دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب الادبية سنة ثالثة ثانوي

‫‪y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪4 (Cf‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(y=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J→ →I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪(x=1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (x ) = x3 + x 2 − 5x + 3 :‬‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪f‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ [∞‪Df =]−∞,+‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪lim x → f ( x ) = lim ( x 3 ) = −‬‬ ‫∞‪− ∞ x → −‬‬ ‫∞‪lim x → f ( x ) = lim ( x 3 ) = +‬‬ ‫∞‪+ ∞ x → +‬‬ ‫•ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '(x) = 3x 2 + 2x − 5‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ∆‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆=b2-4ac=4-4(-5)(3)=64‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f′(x)=0‬ﻟﻬﺎ ﺤﻼﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬‫‪f′(x) + - +‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪−3 1‬‬ ‫‪f′(x) + - +‬‬ ‫‪34‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪-∞ 0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=)‬ ‫‪34‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(1)=0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪f '(x) = 3x 2 + 2x − 5 Df‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ '' ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ Df‬ﺇﺫﻥ ‪f ''( x)=6 x+ 2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f ''(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 6x+2=0‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪ f′′(x)=0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪− 3 +‬‬‫)‪f′′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫‪ w‬ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫))‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ‬ ‫ﻭﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ '' ‪ f‬ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺍﺠل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=)‬ ‫‪128‬‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ 3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)∆( ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪-1‬‬ ‫)‪y=f′(-1)(x+1)+f(-1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f′(-1)=-4 ، f(-1)=8‬‬ ‫‪y=-4x+1)+8=-4x-4+8‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪y= -4x+4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )∆( ﻫﻲ‬ ‫‪ 4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)∆(‬

‫‪f(0)=3 , f (−13)=18218 , f(1)=0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬‫)∆(‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪β J→ I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345678‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ 5‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f (x) ≥ 0‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ) ‪ (Cf‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﺍﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪[ β , +‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f (x) ≥ 0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺃﻥ [ ∞‪x ∈[ β , +‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ β‬ﻫﻲ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ (Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬ ‫‪f(x)=-x3+3x-2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Df‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺇﺫﻥ‬ ‫[∞‪Df=]−∞ ,+‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫∞‪lim x a f ( x ) = lim ( − x 3 ) = +‬‬ ‫∞‪−∞ −‬‬‫∞‪lim x a f ( x ) = lim ( − x 3 ) = −‬‬‫∞‪+∞ +‬‬ ‫•ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f′(x) = -3x2+3 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f′(x)=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(-3x2+3=0‬‬ ‫‪-3x2=-3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x2= 1‬ﺃﻱ )‪ (x= 1‬ﺃﻭ ) ‪(x = -1‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪f′(x) -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪f′(x‬‬‫∞‪f(x) +‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫•ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪-+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪-4 -‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(-1) = -(-1)3+3(-1)-2 = 1-3-2 = -4:‬‬ ‫‪f(1)=-(1)3+3(1)-2 = -1+3-2 = 0‬‬ ‫‪ 2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ f(x‬ﺘﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل )‪f(x) = (x-1)(-x2-x+2‬‬ ‫)‪f(x) = (x-1)(-x2-x+2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪f(x)= -x3-x2+2x+x2+x-2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻟﻨﺸﺭ ﻨﺠﺫ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = -x3+3x-2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‬ ‫• ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f(x) = 0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(x)= 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(x-1) (-x2-x+2)=0‬‬ ‫)‪ (x-1=0‬ﺃﻭ )‪(-x2-x+2=0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪(-x2-x+2=0‬‬ ‫)‪ (x= 1‬ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*(…‪-x2-x+2=0‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ∆‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆=b2-4ac=(-1)2-4(-1)(2)= 1+8 = 9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )*(ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻫﻤﺎ‬ ‫‪، x1‬‬ ‫=‬ ‫∆ ‪−b+‬‬ ‫=‬ ‫‪1+ 3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2× ( − 1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫∆ ‪−b−‬‬ ‫=‬ ‫‪1− 3‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫= )‪2×(−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪ 3‬ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f′‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f′′(x)=-6x :‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f′′(x‬‬ ‫)‪f′′(x‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f′′‬ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ x=0‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ))‪ A(0,f(0‬ﻫﻲ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(0)=-2‬ﻓﺈﻥ )‪A(0 , -2‬‬ ‫‪ 4‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )∆( ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=f′(0)(x-0)+f(0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(0)= -2 :‬ﻭ ‪f′(0) = 3‬‬ ‫‪y= 3(x) -2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = 3x - 2‬‬ ‫‪ 5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)∆( ‪4‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→J →I‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪2 x−3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬ ‫‪−x+2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Dg‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ‪ ،‬ﻭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ}‪ IR- {2‬ﺇﺫﻥ‬ ‫[∞‪Dg=]-∞,2[∪]2,+‬‬

‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪− 2 :‬‬ ‫∞‪→ −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪→ −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ )‪ x lim g(x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ )‪(-x+2‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫∞‪2 +‬‬‫‪-x + 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪{2 x − 3 → 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g ( x ) = −∞ :‬ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪− x+2→ 0−‬‬ ‫〉‬ ‫‪{2 x − 3→1‬‬ ‫‪x→ 2‬‬ ‫‪− x+ 2→ 0+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g ( x ) = +∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫〈‬ ‫‪x→ 2‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، Dg‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، Dg‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Dg‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫)‪g' (x‬‬ ‫=‬ ‫)‪(2 x −3)'(− x + 2)−( − x + 2)'( 2 x −3‬‬ ‫‪(− x+ 2)2‬‬ ‫)‪g' (x‬‬ ‫=‬ ‫)‪2( − x + 2) −( −1)( 2 x −3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪(− x+2)2‬‬ ‫)‪g' (x‬‬ ‫=‬ ‫‪−2 x + 4+ 2 x −3‬‬ ‫‪(− x+ 2)2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪g' (x) = (−x+2)2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Dg‬ﻓﺈﻥ ‪g′(x)>0‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪g′(x‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪] 2 , +∞[ ، ]-∞,2‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪g′(x‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪+∞ -2‬‬ ‫∞ ‪-2 -‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim g ( x ) = − 2‬ﻭ ‪lim g ( x ) = − 2‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cg‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = −2‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫∞‪lim g ( x ) = +‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫∞‪lim g ( x ) = −‬‬ ‫〉〈‬ ‫‪x→ 2‬‬ ‫‪x→ 2‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cg‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = 2‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ W(2,-2‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cg‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cg‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ) ‪، (W , I , J‬ﺃﻱ ﻨﻀﻊ ‪{ {:‬‬ ‫‪x=X +2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x= X + x0‬‬ ‫‪y=Y −2‬‬ ‫‪y=Y + y0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪g(X+2)=Y-2‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪g(x)=y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‪−2‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)−3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4−3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫(‪−‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)+2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2+2‬‬ ‫‪Y −2= 2 X +1‬‬ ‫‪−X‬‬ ‫‪Y = 2 X +1+ 2= 2 X +1− 2 X‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪−X −X‬‬

‫‪Y = 1 = −1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪−X X‬‬‫‪h ( X )= −1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪X‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ X‬ﻤﻥ *‪ IR‬ﻓﺈﻥ )‪ (-X‬ﻤﻥ *‪IR‬‬‫) ‪h (− X )= −1 = − ( −1)= − h ( X‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪−X X‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ W(2,-2‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cg‬‬‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cg‬ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪1‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cg‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻓﺎﺼﻠﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪g′(x) = 1‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬‫‪(− x + 2)2 =1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x + 2)2‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (-x+2=1‬ﺃﻭ )‪(-x+2= -1‬‬ ‫)‪ (-x= -1‬ﺃﻭ )‪(-x = -3‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫)‪ (x= 1‬ﺃﻭ )‪(x= 3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x= 1‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )∆( ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=g′(1)(x-1)+g(1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪g(1)= -1‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪y= 1(x-1) -1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )∆( ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = x - 2‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x= 3‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (∆2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=g′(3)(x-3)+g(3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ g(3)= -3‬ﻓﺈﻥ ‪y= 1(x-3) -3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )‪ (D‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = x - 6‬‬

‫‪ 5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)∆(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪J‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪→J‬‬ ‫→‪I‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪-3 (Cg‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪g(x)= x3-x ، f(x) = x3+2x-3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Df‬‬‫‪lim x a‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺇﺫﻥ‬‫∞‪+‬‬ ‫[∞‪Df=]−∞ ,+‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫∞‪lim x a f ( x ) = lim ( x 3 ) = −‬‬ ‫∞‪−∞ −‬‬ ‫∞‪f ( x ) = lim ( x 3 ) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f′(x) = 3x2+2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻓﺈﻥ ‪f′(x) >0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪f′(x) +‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫)‪f′(x‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Dg‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺇﺫﻥ‬ ‫∞‪lim x a g ( x ) = lim ( x 3 ) = −‬‬ ‫[∞‪Dg=]−∞ ,+‬‬ ‫∞‪−∞ −‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫∞‪lim x a g ( x ) = lim ( x 3 ) = +‬‬‫∞‪+∞ +‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g′(x) = 3x2-1 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g′(x)=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪ (3x2-1=0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪3x2=1‬‬‫‪(x = −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫( ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪3 =−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪+‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫)‪g′(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−2 9‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪93‬‬ ‫=‬ ‫‪63‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬‫(‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33 93‬‬ ‫=‬ ‫‪−6 3‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(=) ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=) ‪3‬‬ ‫‪27 − 27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ • 3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)∆( ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(Cg‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‪x=1‬‬ ‫)‪y=g′(1)(x-1)+g(1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪g′(1) = 2 ، g(1)= 0 :‬‬ ‫‪y= 2(x-1) +0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )∆( ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y =2 x - 2‬‬ ‫• ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)‪(D‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(Cf‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x=1‬‬ ‫)‪y=f′(1)(x-1)+f(1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(1)= 0 :‬ﻭ ‪f′(1) = 5‬‬ ‫‪y= 5(x-1) +0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)‪ (D‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = 5x - 5‬‬ ‫‪ 4‬ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫)‪f(x) – g(x)=( x3+2x-3)- (x3-x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪f(x)-g(x) = x3+2x-3- x3+x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪f(x)-g(x)= 3x-3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(x)-g(x)= 0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪3x-3 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 3x=3‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x=1‬ﺇﺫﻥ })‪(Cf)∩(Cg)={B(1,0‬‬

‫‪6y‬‬ ‫‪ 5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫)‪5 (Cg‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪→J1→J →I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)∆( ‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫‪3x+2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪1‬‬ ‫‪−x+3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Df‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ }‪ IR-{3‬ﺃﻱ ﺃﻥ [∞‪Df=]-∞, 3[∪]3 ,+‬‬ ‫• ﻋﻴﻴﻥ ﺍﻟﺜﻭﺍﺒﺕ ‪a,b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x )= a +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪: Df‬‬ ‫‪x+3‬‬‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫(‬ ‫‪− x+3)+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ax + 3 a +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪− x+3‬‬ ‫‪− x+3‬‬‫‪{f‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﺠﺩ ‪3−aa+=b3=2‬‬ ‫‪{a = −3‬‬ ‫‪b =11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫‪−3+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ f(x‬ﺘﻜﺘﺏ‬ ‫‪−x+3‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪3 x/‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪− 3 :‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪− x/‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﻭ‬‫∞‪x → +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫= ‪−1‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ )‪ lim f(x‬ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ )‪(-x+3‬‬‫‪-x + 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪3 +‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪{3 x + 2 →11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim f ( x ) = −∞ :‬ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪− x+3→ 0−‬‬ ‫〉‬ ‫‪{3 x + 2 →11‬‬ ‫‪− x+3→ 0+‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim f ( x ) = +∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫〈‬ ‫‪x→3‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، Df‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، Df‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫=‬ ‫) ‪( 3 x + 2 )' ( − x + 3 ) − ( − x + 3 )' ( 3 x + 2‬‬ ‫‪(− x+3)2‬‬ ‫)‪f ' (x‬‬ ‫=‬ ‫)‪3( − x +3)− ( −1)(3 x + 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪(− x+3)2‬‬‫)‪f ' (x‬‬ ‫=‬ ‫‪−3x+9+3x+2‬‬ ‫‪(− x+3)2‬‬ ‫)‪f ' (x‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪(− x+3)2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻓﺈﻥ ‪f′(x)>0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f′(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-∞ 3‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪++‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪] 3 , +∞[ ، ]-∞,3‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫‪f′(x) +‬‬ ‫∞‪3 +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪+∞ -3‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim f ( x ) = −3‬ﻭ ‪lim f ( x ) = −3‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = −3‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻭ ∞‪lim f ( x ) = +‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ∞‪lim f ( x ) = −‬‬ ‫〉〈‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x→3‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = 3‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ W(3,-3‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪، w , I , J‬ﺃﻱ ﻨﻀﻊ ‪( ):‬‬ ‫‪{ {x = X + 3‬‬ ‫‪y=Y −3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x= X + x0‬‬ ‫‪y=Y + y0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪f(X+3)=Y-3‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪f(x)=y‬‬‫‪Y‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫‪3( X +3)+2‬‬ ‫=‬ ‫‪3X +9+2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪−( X +3)+3‬‬ ‫‪− X −3+3‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫‪3 X +11‬‬ ‫‪−X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‬ ‫‪3 X +11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3 X +11 − 3 X‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪−X‬‬ ‫‪−X‬‬ ‫‪11 −11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪Y = −X = X‬‬ ‫) ‪h(X‬‬ ‫=‬ ‫‪−11‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪X‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ X‬ﻤﻥ *‪ IR‬ﻓﺈﻥ )‪ (-X‬ﻤﻥ *‪IR‬‬‫= ) ‪h(− X‬‬ ‫‪− 11‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪− 11‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫) ‪−h(X‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪−X‬‬ ‫‪X‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ h‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ W(3,-3‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪1‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻓﺎﺼﻠﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪f′(x) = 1‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫‪11‬‬ ‫‪=11‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x+3)2‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﻌﺩ ﺍﺨﺘﺯﺍل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 11‬ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪(-x+3)2=1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (-x+3= 1‬ﺃﻭ )‪(-x+3 = -1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ (-x =-2‬ﺃﻭ )‪(-x = -4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ) ‪ ( x= 2‬ﺃﻭ )‪(x = 4‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x= 2‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (L‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=f′(2)(x-2)+f(2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(2)= 8‬‬ ‫‪y=11(x-2)+8‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪y=11x -22 + 8‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )‪ (L‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = 11x - 14‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x= 4‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=f′(4)(x-4)+f(4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(4)= -14‬‬ ‫‪y=11(x-4)-14‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪y=11x -44 - 14‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪y = 11x - 58‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )‪ (D‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ‬

‫‪ 5‬ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )∆( ﻤﻊ )‪(Cf‬‬ ‫)∆( ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y=-3x -2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f(x)=y‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪3x+2 = (-x+3)(-3x-2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫)‪3x+2 = -(-x+3)(3x+2‬‬ ‫‪3x+2 +(-x+3)(3x+2) =0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪(3x+2)(1-x+3)=0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(3x+2)( -x+4)=0‬‬ ‫)‪ (3x+2=0‬ﺃﻭ ) ‪(-x+4=0‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫=‪{ }(x‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫= )∆( ∩ ) ‪(C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪B‬‬ ‫'‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻀﻌﻴﺔ )∆( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ )‪(Cf‬‬‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪4 +‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪f(x)-y‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ‬ ‫)∆(ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ )‪ (∆) (Cf‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ)‪ (∆) (Cf‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ)‪(Cf‬‬ ‫‪ 6‬ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)∆(‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪(x=3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‪J→1 I‬‬‫‪-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2‬‬ ‫‪3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(y=-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-11‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫)‪(L‬‬ ‫‪-13‬‬ ‫‪-14‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-16‬‬

‫‪g(x)=3x2-9x-3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(x)=x3-x2-x-3 :‬ﻭ‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Df‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺇﺫﻥ [∞‪Df=]−∞ ,+‬‬‫‪lim x a‬‬ ‫∞‪f ( x ) = lim ( x 3 ) = −‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬‫‪lim x a‬‬‫∞‪+‬‬ ‫∞‪f ( x ) = lim ( x 3 ) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f′(x) = 3x2+6x-9 :‬‬ ‫‪3x2-2x-1=0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f′(x)=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ∆‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪∆=b2-4ac=(-2)2-4(3)(-1)=4+12=16‬‬‫= ‪x1‬‬ ‫‪−b+‬‬ ‫∆‬ ‫=‬ ‫‪2+4‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪−b+‬‬ ‫∆‬ ‫=‬ ‫‪2−4‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬‫‪f′(x) + - +‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪76‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪− 27‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫∞‪-‬‬

‫‪f(1)=13 –(1)2-1-3=-4‬‬ ‫‪f (− 1) = − 76‬‬ ‫‪3 27‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪Dg‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺇﺫﻥ [∞‪Dg=]−∞ ,+‬‬‫‪lim x a‬‬ ‫∞‪g ( x ) = lim ( 3 x 2 ) = +‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬‫‪lim x a‬‬ ‫∞‪g ( x ) = lim ( 3 x 2 ) = +‬‬‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g′(x) = 6x-9 :‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ g′(x)=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪6x-9 = 0‬وﻣﻨﻪ ‪ 6x = 9‬إذن‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪2 +‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪2‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪−39‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫(‪32 )=3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫(‪−9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪)−3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪−142‬‬ ‫=‬ ‫‪−39‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻤﻊ )‪(ϕ‬‬ ‫)‪f(x)=g(x‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫‪x3+3x2-9x-11 = 3x2-9x-3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x3-4x2-8x=0‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﻨﺠﺩ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x(x2-4x+8)=0‬ﺇﺫﻥ )‪ (x=0‬ﺃﻭ )‪(x2-4x+8=0‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2-4x-8=0‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻓﻲ‪IR‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ∆‬ ‫‪∆=(-4)2-4(-8)=-16‬‬ ‫ﺇﺫﻥ })‪(C)∩ (ϕ)={A(0,-3‬‬‫‪ 3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻟـ )‪(C‬ﻭ )‪ (ϕ‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (L‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟـ )‪ (C‬ﻋﻨﺩ ‪A‬‬ ‫)‪y=f′(0)(x-0)+f(0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪f′(0)=-1, f(0)=- 3‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y=-(x)-3‬ﺇﺫﻥ ‪y=-x-3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ ( D‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟـ )‪ (ϕ‬ﻋﻨﺩ ‪A‬‬ ‫)‪y=g′(0)(x-0)+g(0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪g′(0)=-9 , g(0)=- 3‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪y=-9x-3‬‬ ‫‪ y=-9x-3‬ﺇﺫﻥ‬ ‫ﻓﺈﻥ‬‫‪ 4‬ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ‪y‬‬‫‪2‬‬‫‪(∆) 1‬‬ ‫‪→I‬‬ ‫)‪(ϕ‬‬ ‫→‪J‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9x‬‬‫‪-1‬‬‫‪-2‬‬‫‪-3‬‬‫‪-4‬‬‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫)‪(L‬‬‫)‪(C‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬‫‪-9‬‬‫‪-10‬‬

‫‪ 5‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ )‪ f (x)〉 g(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [0,+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪1‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫‪x)=(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+13x−5000‬‬ ‫‪ 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪200‬‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪ ،‬ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪lim‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫=)‪x‬‬ ‫‪lim (−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)x2‬‬ ‫∞‪=−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪lim (−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪x2‬‬ ‫∞‪=−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪200‬‬ ‫• ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g'(x)=−1010 x+13‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−∞ 1300‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1300‬‬ ‫• ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪3450‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪-∞ -‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪ -‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ – ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ -‬ﻫﻲ‬ ‫‪B‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+13‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪200‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ =ﺍﻟﺜﻤﻥ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ – ﺘﻜﻠﻔﺔ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ‬‫‪B ( x ) =17‬‬ ‫‪x − C ( x ) =17‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 2 + 4 x + 5000‬‬ ‫)‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪200‬‬‫‪B‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪=17‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪C‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪=17‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 2 − 4 x −5000‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) x 2 + 13 x − 5000‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪200‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬‫ﺏ‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺏ ﺇﻨﺘﺎﺠﻪ ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻋﻅﻤﻰ‪ ،‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x=1300‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ f(1300)= 3450‬ﻴﻤﺜل ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﺃﻱ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺠﺏ ﺇﻨﺘﺎﺠﻪ ﻫﻭ ‪ x=1300‬ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺤﺼل ﺒﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ‪ 3450‬ﺩﻴﻨﺎﺭﺍ‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪01‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ‬ ‫ﺍﻨﻘل ﻭﺃﻜﻤل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل]‪[-2,5‬‬‫‪x -2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪f′(x‬‬‫‪f(x) 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X -3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ : 02‬ﻨﻔﺱ ﺴﺅﺍل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل‬‫‪f′(x) +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪13‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 03‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻨﻘل ﻭﺃﻜﻤل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪f(1)=1‬ﻭ‪f(6)=4‬‬‫‪X -2 1 3‬‬ ‫‪6‬‬‫‪f′(x) +‬‬‫‪f(x) 2‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺩﺩ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(0‬ﻭ )‪f(0‬‬ ‫‪ 3‬ﻤﺎﻩ ﻱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f(x‬ﻋﻠل ﺒﺈﺠﺎﺒﺘﻙ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬‫ﻻﺤﻅ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭﻴﻥ‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪+∞ +‬‬‫‪f(x) 2‬‬ ‫∞‪-∞ -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﺘﻼﺤﻅﻪ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل‬