دروس مادة الرياضيات للفصل الاول سنة ثالثة متوسط

‫‪a = −2‬‬ ‫و ‪: b = +3‬‬ ‫‪A = 2b + 3a − 2‬‬ ‫‪B = (b − 5) − 2a‬‬‫‪ .7‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﻴﻦ اﻟﺠﺒﺮﻳﻴﻦ ‪ M = a − b + c‬؛ ‪N = −a + b − c‬‬ ‫‪ .1‬ا( اﺣﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﻴﻦ ‪ M‬و ‪ N‬ﻣﻦ أﺟﻞ‬ ‫‪ a = 7‬؛ ‪ b = 4,4‬؛ ‪. c = −2,6‬‬ ‫ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ ‪. M + N‬‬ ‫‪ .2‬دون اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺄﻋﺪاد‪ ،‬هﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻗﻴﻤﺔ ‪ M + N‬؟‬ ‫‪ .3‬ﻣﺎذا ﻥﻘﻮل ﻋﻦ ‪ M‬و ‪ N‬؟‬‫ج( )‪2 × (−30‬‬ ‫ب( )‪(−8) × (−8‬‬ ‫‪ .8‬اﺣﺴﺐ ذهﻨﻴﺎ‬‫و( )‪25 × (−4‬‬ ‫ه( ‪100 × 2,5‬‬ ‫ا( ) ‪5 × (−7‬‬ ‫د( )‪0 × (−1,8‬‬‫ج( ) ‪240 × (−36‬‬ ‫‪ .9‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أ ّن ‪ ، 24 × 36 = 864‬اﺣﺴﺐ ذهﻨﻴﺎ‬ ‫ا( ) ‪ 24 × (−36‬ب( ) ‪(−24) × (−36‬‬ ‫د( ) ‪. (2,4) × (3,6‬‬ ‫‪ .10‬اﺣﺴﺐ اﻟﺠﺪاءات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ج( )‪−4 × (−125‬‬ ‫ب( )‪15 × (−20‬‬ ‫ا( ‪−11× 8‬‬ ‫‪× −7 −3,6‬‬ ‫‪ .11‬اﻥﻘﻞ اﻟﺠﺪول ﺙﻢ أآﻤﻠﻪ‬ ‫‪−6‬‬‫‪−1,3‬‬ ‫‪2 5,2‬‬ ‫‪5‬‬‫ج( )‪45 = ...× (−9‬‬ ‫‪ .12‬أآﻤﻞ ﺑﺘﻌﻴﻴﻦ اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪.‬‬ ‫ا( ‪ −3 × ... = 12‬ب(‪−28 = 7 × ...‬‬‫‪ A = (−1) × (−1) × ...× (−1) .13‬هﻮ ﺟﺪاء )‪ (−1‬ﻓﻲ ﻥﻔﺴﻪ ‪ n‬ﻣ ّﺮة‪.‬‬ ‫ﻣﺎ هﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ A‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ‪ n = 2004‬؛ ‪ n = 2005‬؟‬

‫‪ .14‬اﺣﺴﺐ ﺑﺘﻤﻌﻦ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬‫ا( )‪ (−5) × (−0,1) × 0,2 × (−10‬ب( )‪(−8) × 0,2 × (−5) × (−1,25‬‬ ‫‪a −42 18‬‬ ‫‪ .15‬اﻥﻘﻞ اﻟﺠﺪول ﺙﻢ أآﻤﻠﻪ‪.‬‬ ‫‪b −6 −0,3‬‬ ‫‪81‬‬‫‪a÷b‬‬ ‫‪−11‬‬ ‫‪−9 3‬‬ ‫‪ .16‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أ ّن ‪ a = 9‬؛ ‪ b = −15‬؛ ‪ ، c = 7‬اﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫د(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ج(‬ ‫ب( ‪(a + b) c‬‬ ‫ا( ‪a + bc‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬‫‪ .17‬ﻣﺮﺑﻰ ﻟﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﻴﻼت‪ ،‬ﺣﺠﻤﻪ ‪ 1m3‬وﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ﻟﻬﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻃﻮﻟﻪ ‪2,50 m‬‬ ‫وﻋﺮﺽﻪ ‪. 0,50 m‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺎ هﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ) ‪ (m²‬؟‬ ‫‪ .2‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ 1 / x‬ﻟﻠﺤﺎﺳﺒﺔ‪ ،‬اﺣﺴﺐ ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺮﺑﻰ‪.‬‬ ‫اﺷﺮح اﻟﺤﺴﺎب‪.‬‬ ‫‪ .18‬ﺕﺰن ﺹﻔﻴﺤﺔ ﻣﻌﺪﻥﻴﺔ ‪ ، 6 ,565 kg‬أﺑﻌﺎدهﺎ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻄﻮل ‪ 1m‬؛ اﻟﻌﺮض ‪71cm‬؛ اﻟ ُﺴﻤﻚ ‪. 1,3 mm‬‬ ‫اﺣﺴﺐ آﺘﻠﺘﻬﺎ اﻟﺤﺠﻤﻴﺔ‪ .‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ‪. 0,1 g / cm3‬‬‫)اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻟﺤﺠﻤﻴﺔ ‪ g / cm3‬ﺕﺴﺎوي ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ اﻟﻜﺘﻠﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺠﻢ ‪( ) ( )( ).( cm3‬‬ ‫‪ .19‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﺼﺤﻴﺤﻴﻦ اﻟﻨﺴﺒﻴﻴﻦ ‪ y ، x‬ﺣﻴﺚ ‪x × y = −15‬‬ ‫‪ .20‬أآﺸﻒ \" اﻟﺪﺥﻴﻞ \" ﻋﻦ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫• )‪−9 × (7 + 4‬‬ ‫• ‪−9 ×7 + (−9) × 4‬‬ ‫• ‪−3 × (−11) × 3‬‬ ‫• )‪−9 + 10 × (−9‬‬ ‫• ‪9 × (−5 − 5) − 9‬‬

‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪−8 5‬‬ ‫‪a+b‬‬‫‪−2 −6 11‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫ج( ‪−11,3‬‬ ‫ب( ‪−9,5‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ج( ) ‪(−26‬‬ ‫ا( ‪−3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫ا( )‪ (+32‬ب( ) ‪(+7‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪0,5 −4,5 2,5‬‬ ‫‪1,5 −0,5 −2,5‬‬ ‫‪−3,5 3,5 −1,5‬‬ ‫‪.5‬‬‫=‪C‬‬ ‫ج( ‪−0,4‬‬ ‫ب( ‪B = 2‬‬ ‫ا( ‪A = −3‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪B = −4‬‬ ‫‪A = −2‬‬ ‫ب( ‪. M + N = 0‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪ .1‬ا( ‪M = N = 0‬‬ ‫‪.2‬‬

‫)‪M + N = a − b + c + (−a + b − c‬‬ ‫)‪= a − b + c + (−a) + (+b) + (−c‬‬ ‫)‪= a + (−a) − b + (+b) + c + (−c‬‬ ‫‪=0+0+0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ °3‬اﻟﻌﺪدان ‪ N ، M‬ﻣﺘﻌﺎآﺴﺎن‪.‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن ‪ ، 24 × 36 = 864‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬ ‫د( ‪8,64‬‬ ‫ج( ‪−8640‬‬ ‫ا( ‪ −864‬ب( ‪864‬‬ ‫ج( ‪500‬‬ ‫ب( ‪−300‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫ا( ‪−88‬‬ ‫‪.11‬‬‫×‬ ‫‪−7 −3,6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5,2‬‬‫‪−6 42 21,6 −12 −31,2‬‬‫‪−1,3 9,1 4,68 −2,6 −6 ,76‬‬‫‪5‬‬ ‫‪−35 −18‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪26‬‬ ‫ج( ‪(-5)x(-9)=45‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫ا( ‪ −3 × (−4) = 12‬ب( ‪7x(-4)= -28‬‬ ‫‪ .13‬ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ n ) n = 2004‬زوﺟﻲ(‪ A = 1 ،‬؛‬ ‫ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ n ) n = 2005‬ﻓﺮدي(‪A = −1 ،‬‬ ‫ب( ‪−10‬‬ ‫‪.14‬‬ ‫ا( ‪−1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−42 18‬‬ ‫‪81 −33‬‬‫‪a÷b‬‬ ‫‪−6 −0,3 −9 −11‬‬ ‫‪7 −60 −9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.16‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫د(‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ج(‬ ‫ب( ‪−42‬‬ ‫ا( ‪−96‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ .1 .17‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‪1,25 m² :‬‬ ‫‪ .2‬ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺮﺑﻰ ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ = ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺕﻔﺎع‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0,8‬‬ ‫‪m‬‬ ‫هﻮ‬ ‫اﻻرﺕﻔﺎع‬ ‫ﻥﺠﺪ‬ ‫‪1,25‬‬‫وهﻮ اﻟﻄﻮل اﻟﺬي ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ 1 / x‬ﻟﻠﺤﺎﺳﺒﺔ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أ ّن اﻟﺤﺠﻢ ﻳﺴﺎوي اﻟﻮﺣﺪة‪.‬‬ ‫‪ .18‬اﻟﺤﺠﻢ هﻮ ‪100 ×71× 0,13 = 923 cm3‬‬‫‪6565‬‬ ‫≈‬ ‫‪7 ,1‬‬ ‫اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻟﺤﺠﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳﺐ اﻟﻤﻄﻠﻮب‪ ،‬هﻲ ‪g / cm3‬‬‫‪923‬‬ ‫‪ .19‬اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ‪ y ، x‬ﺣﻴﺚ ‪ x × y = −15‬هﻲ‪:‬‬ ‫‪) y = −15 ، x = 1‬أو ‪ ( y = 15 ، x = −1‬؛‬ ‫‪) y = −5 ، x = 3‬أو ‪( y = 5 ، x = −3‬‬ ‫‪ \" .20‬اﻟﺪﺥﻴﻞ \" ﻋﻦ اﻟﺤﺴﺎﺑﺎت هﻮ ‪. −3 × (−11) × 3‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ )ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ‪ ،‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ(‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫‪.1‬اﻻرﺗﻘﺎع‬ ‫‪ .2‬اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫‪ .3‬اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ‬ ‫‪ .4‬ﻡﻨﺼﻒ زاویﺔ‬ ‫‪ .5‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬

‫• ‪.1‬اﻻرﺗﻘﺎع ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬‫‪-‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ارﺗﻔﺎﻋﺎ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ أﺡﺪ رؤوس هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫و یﻌﺎﻡﺪ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺬا اﻟﺮأس‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (AH‬هﻮ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ .A‬هﻮ ایﻀﺎ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪.[BC‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪ :‬آﻞ ﻡﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [BC‬و اﻟﻄﻮل ‪ AH‬یﺴﻤﻰ أیﻀﺎ ارﺕﻔﺎﻋﺎ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺙﺔ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪.‬‬

‫اﻻرﻓﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ )‪ (d’’) ، (d’) ، (d‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.H‬‬ ‫‪ .2‬اﻟﻤﺤﻮر ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ﻡﺤﻮرا ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻡﺤﻮر أﺡﺪ اﺽﻼﻋﻪ‪.‬‬‫)‪ (d‬هﻮ ﻡﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [BC‬وهﻮ ﻡﺤﻮر اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ [BC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.ABC‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺤﺎوراﻟﺜﻼﺙﺔ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وهﻲ ﻡﺮآﺰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺤﺎور اﻟﺜﻼﺛﺔ )‪ (d’’) ، (d’) ، (d‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،O‬ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪..ABC‬‬ ‫‪ .3‬اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ﻡﺘﻮﺳﻄﺎ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ أﺡﺪ رؤوس هﺬا‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ و یﺸﻤﻞ ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺬا اﻟﺮأس‪.‬‬ ‫)’‪ (AA‬هﻮاﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ .A‬هﻮ ایﻀﺎ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪.[BC‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:1‬‬ ‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت اﻟﺜﻼﺙﺔ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ و ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫ﻡﺮآﺰ ﺙﻘﻞ هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ )’‪ (CC’) ، (BB’) ، (AA‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪،G‬‬ ‫ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪..ABC‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻡﺮآﺰ اﻟﺜﻘﻞ ﻡﺘﻮاﺟﺪ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬ﻡﻦ آﻞ ﻡﺘﻮﺳﻂ اﺑﺘﺪاء‬ ‫ﻡﻦ آﻞ رأس‪.‬‬ ‫‪ G‬ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻓﺈن ‪:‬‬‫‪CG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫و ’‪CC‬‬ ‫‪BG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫و ’‪BB‬‬ ‫= ‪AG‬‬ ‫‪2‬‬ ‫’‪AA‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ .4‬ﻡﻨﺼﻒ زاویﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ﻡﻨﺼﻔﺎ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻡﻨﺼﻒ إﺡﺪى زوایﺎﻩ‪.‬‬‫)‪ (Ax‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ BAC‬وهﻮ ﻡﻨﺼﻒ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.ABC‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﻨﺼﻔﺎت اﻟﺜﻼﺙﺔ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وهﻲ ﻡﺮآﺰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺮﺳﻮﻡﺔ داﺧﻞ هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺼﻔﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ )‪ (Cz) ، (By) ، (Ax‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪،O‬‬ ‫ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺮﺱﻮﻡﺔ داﺧﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪..ABC‬‬

‫‪ .5‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪ ،‬ﻓﺈن آﻞ ﻡﻦ اﻟﻤﻨﺼﻒ واﻵرﺗﻔﺎع‬ ‫واﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺬي ﺗﺸﻤﻞ اﻟﺮأس اﻷﺳﺎﺳﻲ یﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ﻡﺤﻮر ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫‪ ABC‬ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ A‬ﻓﺈن )‪ (Ax‬هﻮ ﻡﺘﻮﺱﻂ وﻡﺤﻮر‬ ‫وإرﺕﻔﺎع وﻡﻨﺼﻒ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.ABC‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‪:‬‬‫إذا آﺎن ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬إﺡﺪى اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﺨﺎﺹﺔ ﻡﻨﻄﺒﻘﺔ ﻡﻊ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺧﺎص أﺧﺮ‪ ،‬ﻓﺈن هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﺘﻦ‪.‬‬ ‫)‪ (Ax‬هﻮ اﻹرﺕﻔﺎع اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ A‬وهﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ BAC‬ﻓﺈن‬ ‫‪ ABC‬ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪.A‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬إﻟﻴﻚ اﻷﺵﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫أﺕﻤﻢ اﻟﺠﻤﻞ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪-‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ .....‬هﻮ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ‪ .......‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪........‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ .....‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ‪ ........‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪..............‬‬ ‫‪-‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ .....‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ‪ .....‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪.......‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ .....‬هﻮ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ‪ .....‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪........‬‬‫‪ .2‬أﻥﺸﺊ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺣﻴﺚ ‪.CA = 3cm ، BC = 6 cm ، AB = 7 cm‬‬ ‫‪ -‬أﻥﺸﺊ اﻻرﺕﻔﺎع )‪ (d‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.C.‬‬ ‫‪ -‬أﻥﺸﺊ اﻻرﺕﻔﺎع )’‪ (d‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.A.‬‬

‫‪ .3‬إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MEC‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.M‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MAE‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.M‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻦ ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ BMD‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.M‬‬‫‪ .4‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ I ،‬هﻲ ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AC‬و ‪.ABE = EBC‬‬‫‪ -‬أﺕﻤﻢ اﻟﺠﻤﻠﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‪:‬‬‫• اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BD‬هﻮ‪.........‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس‪......‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (MI‬هﻮ ‪........................‬‬ ‫•‬‫‪ -‬ﻡﺎذا یﻤﺜﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BI‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬؟‬‫‪ -‬ﻡﺎذا ﻥﻘﻮل ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BE‬؟‬‫‪ .5‬اﻥﺸﺊ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺣﻴﺚ ‪.BAC = 60° ، AC = 5 cm ، AB = 6 cm‬‬‫‪ -‬أﻥﺸﺊ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ ]‪ [AM‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬واﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس‪.A‬‬‫‪ -‬أﻥﺸﺊ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ ]‪[MI‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ AMB‬واﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.M‬‬

‫‪ .6‬إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫أﻥﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ویﻌﺎﻡﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ .(GE‬ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .7‬إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫أﻥﺸﺊ ﻡﺤﻮر اﻗﻄﻌﺔ ]‪ .[AC‬ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .8‬أرﺱﻢ ﻡﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻤﺎ ﻓﻲ ‪.A‬‬ ‫‪ -‬ﻋّﻴﻦ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ّ .ABC‬ﻋﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .9‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪ M ،‬هﻲ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻻرﺕﻔﺎﻋﺎت‪.‬‬

‫‪ -‬ﻡﺎ هﻲ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ RSM‬؟‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻲ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ RMT‬؟‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ هﻲ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ SMT‬؟‬ ‫‪ .10‬ﻡﺎ هﻮ ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MNP‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬‫‪ .11‬هﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬؟ ﻟﻤﺎذا ؟‬

‫‪ .12‬أرﺱﻢ ﻡﻠﺜﺎ ‪ .ABC‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻂ ’‪ C ‘، B’ ، A‬ﻡﻨﺘﺼﻔﺎت اﻷﺽﻼع ]‪ [AB] ،[AC] ،[BC‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ ABC‬و ’‪ A’B’C‬ﻟﻬﻤﺎ ﻥﻔﺲ ﻡﺮآﺰ اﻟﺜﻘﻞ‪.‬‬‫‪ .13‬ﺑﺮهﻦ أن ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻡﺮآﺰ اﻟﺜﻘﻞ ‪،‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻻرﺕﻔﺎﻋﺎت و ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ‬ ‫وﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺮﺱﻮﻡﺔ ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة‪.‬‬ ‫‪ - .14‬ارﺱﻢ ﻡﺮﺑﻌﺎ ‪ .ABCD‬ﻋﻴﻦ ﻥﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻦ ﻥﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [CD‬وﺧﺎرج اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[CD‬‬ ‫‪ -‬أﻥﺸﺊ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ .BMD‬هﺬا اﻟﻤﻨﺼﻒ یﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪.N‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BN‬هﻮﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.MBC‬‬ ‫‪ .15‬أرﺱﻢ ﻡﺘﻮازي اﺽﻼع ‪.EFGH‬‬‫ارﺱﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ E‬ویﻌﺎﻡﺪ )‪ .(FG‬ارﺱﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ ‪ F‬ویﻌﺎﻡﺪ )‪ .(EG‬ﻥﺴﻤﻲ ‪ I‬ﻥﻘﻄﺔ‬ ‫ﺕﻘﺎﻃﻊ هﺬیﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺎ ﻥﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ HIG‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ .16‬أرﺱﻢ ﻡﺮﺑﻌﺎ ‪ ABCD‬ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﻥﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻡﻦ ﻥﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ [CD‬ﻟﻜﻦ ﺧﺎرج ﻋﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪.[CD‬‬ ‫‪ -‬أﻥﺸﺊ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ BMD‬اﻟﺬي یﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪.N‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن )‪ (BN‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.MBC‬‬ ‫‪ ABC .17‬ﻡﺜﻠﺚ و ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[BC‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎرن ﻡﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AMB‬و ‪.AMC‬‬ ‫‪ .18‬أرﺱﻢ ﻡﺘﻮازي اﺽﻼع ‪ ABCD‬ﻡﺮآﺰﻩ ‪ .O‬ﻋﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ’‪ B‬ﻥﻈﻴﺮة ‪B‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ .C‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )’‪ (OB‬یﻘﻄﻊ )‪ (CD‬ﻓﻲ ‪ .E‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (BE‬و)‪ (B’D‬یﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ ‪.F‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺮهﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[B’D‬‬

‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (MT‬هﻮ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ [NP‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪MNP‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (d‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪ EFG‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. EFG‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BM‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. BAC‬‬ ‫‪-‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )’‪ (d‬هﻮ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ [IJ‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.IJK‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MEC‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ M‬هﻮ )‪.(MD‬‬‫‪ -‬ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MAE‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ M‬هﻮ )‪.(MC‬‬ ‫‪ -‬ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ BMD‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪. M‬‬ ‫‪.4‬‬‫• اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ هﻮ)‪ (BD‬هﻮ ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس‪.B‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (MI‬هﻮ ﻡﺤﻮر ]‪[AC‬‬ ‫•‬‫‪ -‬اﻟﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BI‬هﻮ ﻡﺘﻮﺱﻂ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ABC‬‬‫‪ -‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BE‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ زاویﺔ‪.‬‬

‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ویﻌﺎﻡﺪ )‪ (GE‬هﻮ ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ،EFG‬إذن یﻤﺮ ﻡﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،M‬ﻥﻘﻄﺔ‬ ‫ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻻرﻓﺎﻋﻴﻦ )‪ (EH‬و )’‪ (GH‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.EFG‬‬

‫‪.7‬‬‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪ :‬ﻡﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AC‬هﻮ اﻟﻤﺤﻮراﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ،ABC‬إذن یﺸﻤﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫]‪ [AC‬واﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،M‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺤﻮریﻦ )‪ (MI‬و )‪ (MJ‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ABC‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪ :‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، A‬اﻻرﻓﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ هﻲ‪:‬‬‫)‪ (CA) ، (BA) ، (AH‬إذن ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ‪ ،A‬راس اﻟﺰاویﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪ -‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ RSM‬هﻲ ‪.T‬‬ ‫‪ -‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ RMT‬هﻲ ‪.S‬‬ ‫‪ -‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ ارﺕﻔﺎﻋﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ SMT‬هﻲ ‪.R‬‬‫‪ .10‬ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MNP‬هﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻷن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ ]‪ [NF‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪MNP‬‬‫= ‪. MD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪MF‬‬ ‫و ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬‫‪ .11‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻟﻴﺴﺖ ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻷن اﻟﻨﻘﻄﺔ ’‪ C‬ﻟﻴﺴﺖ ﻡﺘﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ]‪.[AB‬‬

‫‪.12‬‬ ‫‪ G‬هﻮ ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﺜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪G .ABC‬هﻮ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت)’‪(CC’)، (BB’)،(AA‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺮهﻦ أن ‪ G‬هﻮ أیﻀﺎ ﻡﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ’ ‪.A’B’C‬‬ ‫ﻥﺴﻤﻲ ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ )’‪ (B’C‬و )’‪ (AA‬و ‪ N‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ )’‪ (A’C‬و )’‪(BB‬‬ ‫و ‪ P‬ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ )’‪ (A’B‬و )’‪. (CC‬‬‫ﻟﻨﺒﺮأن اﻟﻨﻘﻂ ‪ P ، N ، M‬هﻲ ﻡﻨﺘﺼﻔﺎت اﻟﻘﻄﻊ ]’‪ [A’B’] ، [A’C’] ، [B’C‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪیﻨﺎ ’‪ C‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و ’‪ B‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[AC‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺹﻴﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫)’‪ (BC) (B’C‬وﻡﻨﻪ)‪ (A’C) (B’M‬و )‪. (C’M) (A’B‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’‪ ACA‬ﻟﺪیﻨﺎ ’‪ B‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AC‬و)‪. (B’M) (A’C‬‬ ‫‪.C'M‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن '‪BA‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺹﻴﺔ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’‪ABA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’‪ ABA‬ﻟﺪیﻨﺎ ’‪ C‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و)‪. (C’M) (A’B‬‬‫= ’‪BA‬‬ ‫‪ . B ' M‬ﻟﻜﻦ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫'‬ ‫أن‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫’‪ACA‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎت‬ ‫ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫‪2‬‬ ‫’‪ CA‬إذن ‪. B’M = C’M‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ ’‪ C’ ، M ، B‬ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة و‪ B’M = C’M‬ﻓﺈن‬ ‫‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]’‪. [B’C‬‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮیﻘﺔ ﻥﺒﺮهﻦ أن ‪ P ، N‬ﻡﻨﺘﺼﻔﻲ اﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ]’‪ [A’B’] ، [A’C‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ‪.‬‬‫إذن اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺎت )‪ (C’P) ، (B’N) ، (A’M‬ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ و هﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻷن )‪(A’M‬‬ ‫یﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ )‪ (B’N‬و )‪ (A’M‬یﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ )’‪(BB‬‬ ‫و )‪ (C’P‬یﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ )’‪.(CC‬‬‫‪ .13‬ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪ ،‬ﻡﺮآﺰ اﻟﺜﻘﻞ یﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس اﻷﺱﺎﺱ ﻲ وﻥﻘﻄ ﺔ ﺕﻘ ﺎﻃﻊ‬‫اﻻرﺕﻔﺎﻋ ﺎت ﺕﻨﺘﻤ ﻲ إﻟ ﻰ اﻻرﺕﻔ ﺎع اﻟ ﺬي ی ﺸﻤﻞ اﻟ ﺮأس اﻷﺱﺎﺱ ﻲ وﻡﺮآ ﺰ اﻟ ﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄ ﺔ یﻨﺘﻤ ﻲ إﻟ ﻰ ﻡﺤ ﻮر‬‫اﻟﻘﺎﻋﺪة و ﻡﺮآﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤـﺮﺱﻮﻡﺔ یـﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻡﻨﺼﻒ زاویﺔ اﻟﺮأس اﻷﺱﺎﺱﻲ و ﺑﻤﺄن آ ﻞ ه ﺬﻩ اﻟﻤ ﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬ ‫ﻡﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ) ﺧﺎﺹﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﺨﺎﺹﺔ ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ( إذن آﻞ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﺱﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة‪.‬‬

‫‪.14‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MBC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ C‬و اﻟﻘﻄﺮ)‪ (EI‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪MCB‬‬ ‫) ﺧﻮاص ﻗﻄﺮي ﻡﺮﺑﻊ(‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MBC‬ﻟﺪیﻨﺎ )‪ (AC‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪ MCB‬و)‪ (MN‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.BMC‬‬‫ﺣ ﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹ ﻴﺔ \" ﻓ ﻲ ﻡﺜﻠ ﺚ‪ ،‬اﻟﻤﻨ ﺼﻔﺎت اﻟﺜﻼﺛ ﺔ ﺕﺘﻘ ﺎﻃﻊ ﻓ ﻲ ﻥﻔ ﺲ اﻟﻨﻘﻄ ﺔ \" ﻥ ﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ N‬ﻥﻘﻄ ﺔ ﺕﻘ ﺎﻃﻊ‬ ‫اﻟﻤﻨﺼﻔﺎت وﻡﻨﻪ )‪ (BN‬هﻮﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.MBC‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ HGI‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪.G‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (EI‬و )‪ (FI‬هﻤﺎ ارﺕﻔﺎﻋﺎن إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(GI‬‬ ‫هﻮ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ .[EF‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن )‪ (GI‬یﻌﺎﻡﺪ)‪.(EF‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ )‪ (EF‬یﻮازي )‪ EFGH ) (GH‬ﻡﺘﻮازي اﻟﻀﻼع( و)‪ (GI‬یﻌﺎﻡﺪ)‪.(EF‬‬ ‫ﺣﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ \" إذا آﺎن ﻡﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻡﺘﻮازیﻴﻦ‪ ،‬ﻓﺈن آﻞ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ یﻌﺎﻡﺪ اﻵول ﻓﻴﻌﺎﻡﺪ اﻟﺜﺎﻥﻲ\"‪.‬‬ ‫إذن )‪ (GI‬یﻌﺎﻡﺪ )‪. (GH‬‬

‫‪.16‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MBC‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ (MN) -‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪. BMC‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ (CN) -‬ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.BCM‬‬ ‫ﺣﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ‪ \" :‬ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﻨﺼﻔﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ\"‬‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (BN‬هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ،MBC‬إذن هﻮ ﻡﻨﺼﻒ اﻟﺰاویﺔ ‪.MBC‬‬ ‫‪ .17‬ﻡﺴﺎﺣﺘﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AMB‬و ‪ AMC‬ﻡﺘﺴﺎویﺘﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪:‬‬ ‫ﻥﺮﺱﻢ اﻻرﺕﻔﺎع ]‪ [AH‬اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ A‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.ABC‬‬‫ﻥﻼﺣﻆ أن ]‪ [AH‬هﻮ أیﻀﺎ اﻻرﺕﻔﺎع اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ A‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪AMB‬و هﻮ أیﻀﺎ اﻻرﺕﻔﺎع‬ ‫اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪ A‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.AMC‬‬‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪AH‬‬ ‫×‬ ‫‪BM‬‬ ‫ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMB‬هﻲ‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪AH‬‬ ‫×‬ ‫‪CM‬‬ ‫و ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AMB‬هﻲ‬‫‪2‬‬‫ﻟﻜﻦ ‪ ) BM = CM‬ﻷن ‪ M‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ ([BC‬إذن ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‪:‬‬‫یﻌﻨﻲ أن ﻟﻠﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ AMB‬و ‪ AMC‬ﻥﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪AH‬‬ ‫×‬ ‫‪BM‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪AH‬‬ ‫×‬ ‫‪CM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.18‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’‪ BDB‬ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬‫‪ O -‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪ [BD‬إذن )‪ (B’O‬هﻮ ﻡﺘﻮﺱﻂ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ’‪.B‬‬ ‫‪ C -‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]’‪ [BB‬إذن )‪ (DC‬هﻮ اﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﺬي یﺸﻤﻞ اﻟﺮأس ‪.D‬‬ ‫ﺣﺴﺐ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ‪ \" :‬ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ‪ ،‬اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ﺕﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ\"‪،‬‬ ‫وﺑﻤﺄن اﻟﻤﺘﻮﺱﻄﻴﻦ )‪ (B’O‬و )‪ (DC‬یﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ،E‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫)‪ (BE‬هﻮاﻟﻤﺘﻮﺱﻂ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ’‪.BDB‬‬ ‫ﺑﻤﺄن )‪ (BE‬ﺑﻘﻄﻊ ]‪ [B’D‬ﻓﻲ ‪ ،F‬ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﻡﻨﺘﺼﻒ ]‪.[B’D‬‬

‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺠﻤﻊ ﻭﻁﺭﺡ ﻭﻀﺭﺏ ﻭﻗﺴﻤﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺎﻁﻘﻴﻥ‪.‬‬‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ )ﺗﺬآﻴﺮ(‬ ‫• اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺎﻃﻘﺔ‬ ‫• اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺎﻃﻘﺔ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬

‫• ﺣﺎﺹﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ )ﺗﺬآﻴﺮ( ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬‫‪.b× x = a‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫‪x‬‬ ‫هﻮ اﻟﻌﺪد‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻓﺈ ّن ﺣﺎﺹﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻊ ‪b ≠ 0‬‬ ‫‪a‬و ‪b‬‬ ‫إذا آﺎن‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪k×a‬‬ ‫ﻓﺈ ّن‬ ‫‪k‬‬ ‫‪≠0‬‬ ‫إذا آﺎن‬ ‫‪b‬‬ ‫‪k ×b‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪−18‬‬ ‫=‬ ‫) ‪3 × (−6‬‬ ‫=‬ ‫‪−6‬‬ ‫؛‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪5×3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪5×7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3×7‬‬

‫• اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺎﻃﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‪:‬‬‫ﻋﺪدا ﻧﺎﻃﻘﺎ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ ،‬ﻧﺴﻤﻲ ﺣﺎﺹﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻊ ‪b ≠ 0‬‬ ‫‪a‬و ‪b‬‬ ‫إذا آﺎن‬ ‫‪b‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫أﻋﺪاد ﻧﺎﻃﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 1,3‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮة ﻟﻌﺪد ﻧﺎﻃﻖ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻠﻪ اﻟ ُﻤﺒﺴﻂ ﺏﺈﺵﺎرة واﺣﺪة‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻋﺪدیﻦ ﻧﺴﺒﻴﻴﻦ ﻡﻊ ‪ ، b ≠ 0‬ﻓﻨﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد اﻟﻨﺎﻃﻖ‬ ‫‪a‬و‪b‬‬ ‫إذا آﺎن‬ ‫‪b‬‬‫ُﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﻡﻦ إﺵﺎرﺗﻲ ‪ a‬و ‪ b‬ﺏﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻔﺲ ﻗﺎﻋﺪة إﺵﺎرات اﻟﺠﺪاء ‪ ab‬ﻡﻊ اﻻﺧﺘﺰال ﻋﻨﺪ اﻹﻡﻜﺎن‪:‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫و‬ ‫‪−a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪−18‬‬ ‫=‬ ‫‪−180‬‬ ‫=‬ ‫‪180‬‬ ‫=‬ ‫‪12 × 15‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪−2,4‬‬ ‫‪−24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪12 × 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫• اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺎﻃﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1.2‬اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻄﺮح‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬‫ﻟﺠﻤﻊ )أو ﻃﺮح( ﻋﺪدیﻦ ﻧﺎﻃﻘﻴﻦ ﻧﻜﺘﺒﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺎﻃﻘﻴﻦ ﻡﻘﺎﻡﺎهﻤﺎ ﻋﺪدان ﻃﺒﻴﻌﻴﺎن ﺙﻢ ُﻧﻮﺣﺪ‬ ‫هﺬیﻦ اﻟﻤﻘﺎﻡﻴﻦ وﻧﺠﻤﻊ )أو ﻧﻄﺮح( اﻟﺒﺴﻄﻴﻦ‪.‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬‫‪−3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−1,2‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪−45‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪−45 +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪33‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬‫‪4‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ 2.2‬اﻟﻀﺮب واﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‪:‬‬ ‫‪ca‬‬ ‫• ﻟﻀﺮب ﻋﺪدیﻦ ﻧﺎﻃﻘﻴﻦ ‪ b‬و ‪ ، d‬ﻧﻀﺮب اﻟﺒﺴﻄﻴﻦ ﻓﻴﻤﺎ ﺏﻴﻨﻬﻤﺎ واﻟﻤﻘﺎﻡﻴﻦ ﻓﻴﻤﺎ ﺏﻴﻨﻬﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪a×c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b×d‬‬‫‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻓﻲ ﻡﻘﻠﻮب‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻧﻀﺮب‬ ‫‪،‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻨﺎﻃﻖ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﻌﺪوم‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻧﺎﻃﻖ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫•‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫÷‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪ad‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪d‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫×‬ ‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫)‪(−2) × (−3‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫•‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−11‬‬ ‫)‪5 × (−11‬‬ ‫‪−55‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫÷‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫×‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪−14‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫•‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬