دروس مادة الرياضيات للفصل الاول للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﺇﺫﻥ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪(2) ...‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f ′ (1) = 1 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪(1 +‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ln (1 +‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫هـ( ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x lnx :‬‬‫‪x0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬‫∞‪f ( x) +‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ∞‪] [0; +‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lna = lnb :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ a = b‬؛ ‪ lna > lnb‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪a > b‬‬ ‫‪ lna < lnb‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ a < b‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ lnx > 0 : x > 1‬؛ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪lnx < 0 : 0 < x < 1‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻨﺩ ﻜل ﻤﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ( ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x lnx :‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻲ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪lnx‬‬ ‫)‪ c (1;0‬ﻭ )‪ D (e;1‬ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺩ )‪ y = 1( x − 1) + 0 : c (1;0‬ﺃﻱ ‪y = x − 1 :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪e‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪D (e;1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺩ‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪y‬‬‫‪y = ex‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪0 0,5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = lnx‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‪ x lnx :‬ﻭ ‪x e x‬‬‫ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‪ y = x :‬ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻬﻤﺎ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫)‪u′( x‬‬ ‫ﻭ( ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫)‪u( x‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻤﻊ ‪ u′‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ .‬ﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪x ln u( x) :‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫→‪x‬‬ ‫)‪u′ ( x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬ ‫)‪u( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪ln u ( x ) + λ :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫)‪u′( x‬‬ ‫)‪u( x‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪. λ ∈ :‬‬‫‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]3;+‬ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪]−∞ ; 3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ‪x2 − 9‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ −3 ; 3‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪x ln x2 − 9 + λ : λ ∈ ] [:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ‪:‬‬ ‫ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪x‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ e x ≥ x :‬ﻭ ‪ x ≥ lnx‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪lnx ≤ x ≤ e x :‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪x e x , x lnx , x x3 , x x2 , x x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬‫‪2,5‬‬‫‪2‬‬‫‪1,5‬‬‫‪1‬‬‫‪0,5‬‬‫‪-1,5 -1 -0,5 0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-0,5‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ∞‪، x → +‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺴﻠﻭﻜﻬﺎ ﻤﺨﺘﻠﻑ ‪.‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ﻟﻬﺎ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﺘﻔﻭﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻗﻭﺓ \" ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ‪.‬‬

: ‫ ﺤﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬- lim lnx = 0, n ∈ ∗ • xn x→+∞ : ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ lim lnx = 0 ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬n = 1 ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ x x→+∞ lim lnx = lim lnx × 1 =0 : n≥2 ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ xn x x n−1 x→+∞ x → +∞ lim ex = +∞, n∈ ∗ • xn x→+∞ : ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ lim e x = +∞ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ n=1 ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ xx → +∞ lim ex : ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ :n≥ 2 ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ xn x → +∞:‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ lnt = x − nlnx : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ lnt = lne x − lnxn : ‫ﻓﻨﺠﺩ‬ t = ex : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ xn lnt = x  1 − n lnx   x  lim x  1 − n lnx  = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  x  x→+∞ lim ex =+ ∞ : ‫ﺃﻱ ﺃﻨﻪ‬ t → +∞ : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ lnt → +∞ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ xn x → +∞ lim xnlnx = 0 , n ∈ ∗ • x→0 x>0 : ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ lim x lnx =0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ n=1 ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ x→0 x>0 lim xnlnx = lim xn−1 .xlnx = 0 : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬: n ≥ 2 ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ x→0 x→0 x>0 x>0

lim xn .e x = 0 , n ∈ ∗ • x→−∞ lny = ln xn .e x : ‫ ﻨﺠﺩ‬y = xn .e x ‫ﺒﻭﻀﻊ‬lny = nln x + x : ‫ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬lny = ln xn + lne x : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬x<0 ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ lny = − x  n ln (− x ) − 1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬    −xlny → −∞ : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ lim − x  n ln (−x ) − 1 = −∞ :‫ﺇﺫﻥ‬   x→−∞  −xlim x x .e x = 0 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ lim xn .e x =0 : ‫ﺇﺫﻥ‬ y→0 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬x → −∞ x → −∞ y>0

‫‪ – II‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪log‬‬ ‫= ‪log x‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫[∞‪]0; +‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪log10 = 1 (2‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬ ‫‪log1 = 0 (1‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x log x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [0; +‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪log 10‬‬ ‫=‬ ‫‪ln10‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫•‬ ‫‪log 1‬‬ ‫=‬ ‫‪ln1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫•‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪log‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.lnx‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪log x‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻭ ‪ln10 > 0‬‬ ‫‪x>0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x log x‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪] [0;+‬‬ ‫‪ -3‬ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ∞‪] [0;+‬‬‫•‬ ‫‪log‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪log‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻨﺎﻁﻕ ‪ r‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪• log (a × b) = log a + log b‬‬‫‪• log ar = r log a‬‬ ‫•‬ ‫‪log‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪log‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪log‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬

• log ( a × b) = ln ( a × b) = lna + lnb = lna + lnb = log a + log b ln10 ln10 ln10 ln10  1  ln  1  −lnb  b   b  ln10 • log = = = − log b ln10• log  a  = log  a × 1  = log a + log 1 = log a − log b  b   b  b • log ar = lnar = r lna = r log a ln10 ln10 : x → log x ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬-6 y 2 1 -1 0 1 2 3 4 5x -1 -2

‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬‫)‪. y (1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻁﺭﻴﻘﺔ‬ ‫‪ y c‬ﻤﻊ ﺍﻟﺸﺭﻁ ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺎ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪x‬‬ ‫‪ Euler‬ﺒﻤﺠﺩﻭل ‪ Excel‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0;b‬ﻭﺍﻟﺨﻁﻭﺓ ‪@ @. h 0.005‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 'y | f c(x ).'x :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ f (x  h )  f (x ) | f c(x ).h‬ﺃﻭ‬ ‫‪ f (x  h)  f (x) | f c(x).h‬ﻤﻊ ‪h ! 0‬‬ ‫‪ f (x  h) | f (x)  f c(x).h‬ﺃﻭ ‪f (x  h) | f (x)  f c(x).h‬‬‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫|‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫)‪f c(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y c‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫|‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬‫ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )ﺍﻟﺤل( ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x t 1‬ﻭﺘﻌﻁﻲ‬ ‫‪f (x‬‬ ‫‬ ‫)‪h‬‬ ‫|‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﻨﺘﺤﺼل‬ ‫‪x‬‬‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ f (x  h) | f (x)  f c(x).h‬ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )ﺍﻟﺤل( ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻡ‪0 ≺ x d 1‬‬ ‫ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ‪ f (1) 0‬ﻓﻲ ﺍﻻﻨﻁﻼﻗﺔ ﻭﺠﻌل ‪ h‬ﺼﻐﻴﺭﺍ ﺒﺎﻟﻘﺩﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻀﻤﻥ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ ﺠﻴﺩﺍ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﺠﺩﻭل ‪ Excel‬ﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺤل ‪.‬‬ ‫ﺤﺠﺯ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ :‬ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﺨﻁﻭﺓ ‪ h‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ A3‬ﻤﺜﻼ‪.‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : 0 ≺ X d 1‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ A4‬ﻗﻴﻤﺔ ﺇﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻭﻫﻲ‪ 1‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ‬‫‪ A5‬ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪ x  h‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﻗﺒل ‪ 1‬ﺒﻁﺭﺡ ﺍﻟﺨﻁﻭﺓ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ‬‫ﺤﺘﻰ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﻓﻨﺤﺠﺯ‪ A4  A$3 :‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﻤﻥ‬ ‫ﻋﻤﻭﺩ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪. 0‬‬ ‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ B4‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻭﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 1‬ﻷﻥ ‪f (1) 0‬‬ ‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ B5‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ) ‪y f (x  h‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (x  h) | f (x)  f c(x).h‬ﻓﻨﺤﺠﺯ ‪ B4  $A$3 / A4 :‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﻤﻥ ﻋﻤﻭﺩ ‪ B‬ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻭﺼﻭل ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪. A‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : X t 1‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ C 4‬ﻗﻴﻤﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻭﻫﻲ ‪1‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ C5‬ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪ x h‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﺒﻌﺩ ‪ 1‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺨﻁﻭﺓ‬‫ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻓﻨﺤﺠﺯ‪ C4  A$3 :‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﻤﻥ ﻋﻤﻭﺩ ‪ C‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺁﺨﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪. B‬‬ ‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ D4‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻭﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 1‬ﻷﻥ ‪f (1) 0‬‬ ‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺔ ‪ D5‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ) ‪ y f (x  h‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ f (x  h) | f (x)  f c(x).h‬ﻓﻨﺤﺠﺯ ‪ D4  $A$3 / C4‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﻤﻥ ﻋﻤﻭﺩ ‪ D‬ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻭﺼﻭل ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻋﺩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬‫‪ ،‬ﻨﻭﺍﺼل ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺜﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ‬ ‫ﻭﻨﺨﺘﺎﺭ‬‫ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺒﺎﻟﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ .‬ﺜﻡ ﻨﻀﻐﻁ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺨﺹ ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )ﺍﻟﺤل( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻷﻭل ‪ 0.1‬ﻤﺤﺠﻭﺯﺓ ﺒﺎﺴﻡ@ @‬‫ﻹﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 1;b‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪> >:‬‬‫ﻨﻀﻊ ﻤﺅﺸﺭ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺨﺎﻨﺔ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺜﻡ ﻨﺤﺠﺯ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ C‬ﺒﺎﻟﻀﻐﻁ ﺒﺎﻟﻔﺄﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻓﻲ ‪ C 4‬ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ‪.‬‬‫ﻨﻀﻊ ﻤﺅﺸﺭ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺨﺎﻨﺔ ﻗﻴﻡ ‪ y‬ﺜﻡ ﻨﺤﺠﺯ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ D‬ﺒﺎﻟﻀﻐﻁ ﺒﺎﻟﻔﺄﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻓﻲ ‪ D4‬ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ‪.‬‬‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﻥ ﻤﻜﻤﻼﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻠﻭﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ‬ ‫ﻨﻀﻐﻁ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫‪،‬ﺤﻴﺙ ﻴﺸﻜﻼﻥ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )ﺍﻟﺤل( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ، 0,b‬ﺜﻡ ﺍﻹﻨﻬﺎﺀ ‪@ @.‬‬



‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪:‬‬‫‪-1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ) ‪ x ln ( − x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪]0;+‬‬‫‪ -2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ) ‪ x ln ( x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∗‬ ‫‪-3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ln x 2 :‬‬‫∗) (‬ ‫‪+‬‬‫ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬‫‪ -4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ α‬ﻓﺈﻥ ‪ln 2α = lnα2‬‬‫‪ -5‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ln x > 0 : x‬‬‫‪ -6‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪ln (a + b) = lna + lnb‬‬‫‪ -7‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x < 1‬ﻓﺈﻥ ‪ln x < 0 :‬‬‫‪ x‬ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ [∞‪]0;+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -8‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪lnx‬‬‫‪ -9‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪elnx = x‬‬ ‫‪lne2008 = 2008 -10‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-11‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪Lim‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x ) ‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫‪-13‬‬‫∞‪x→−‬‬‫‪ln ( −2)1830 = 1830ln2‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪lnx2 = 2ln x :‬‬ ‫‪-14‬‬ ‫‪-15‬‬‫‪ln12‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪ln4‬‬‫‪ln3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪1) ln e − lne−3‬‬ ‫‪2) ln‬‬ ‫‪e3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e2‬‬‫)‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln25‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4) ln2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ln2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪5)ln (128)2 − ln (16× 32‬‬ ‫‪6)ln243‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln610‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 10−2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ln ( 2007)2006‬‬ ‫;‬ ‫‪ln (1962)1954‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln1830‬‬ ‫‪( )( )ln 2 1418 ; ln ( 2,0005)12 ; ln 25×37×53‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪3ln7‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5ln5; b‬‬ ‫=‬ ‫‪3ln2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( )c = ln‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪;d‬‬ ‫=‬ ‫‪ln3‬‬ ‫)‪ln(0, 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫‪( )2ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫ﺼﺤﺔ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‬

. 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬‫ ﻭ ﺍﺤﺴﺏ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ‬f ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل‬ 1) f (x) = 1 x2 − x + lnx : ‫ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬ 2 2) f ( x) = ln ( x2 − 4) 3) f ( x) = x ln x 4) f (x) = x 1 lnx 5) f ( x) = x ln (− x) 6) f ( x ) = ln  x−1  x − 2  ( )7) f ( x) = ln e2x − 5ex + 6 8) f (x) = 1 ( lnx )2 2 . 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬1) lim  x − lnx  2)lim 1 3) lim ln  x  >  x  > lnx  x2 + 1  x 0 x→+∞ x→0 →4)lim ln (lnx) 5) lim e x ( )6) lim x2 − lnx > > lnx x→+∞ x→1 x →0 7) lim lnx lnx ( lnx ) 2 xx →+∞ x4 x 8) lim 9) lim x→+∞ x→+∞10) lim ( x − lnx) lnx 11) lim x lnx 12) lim x ln  1 + 1  > >  x  x→0 x→0 x→+∞ : ‫ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ ﺤل ﻓﻲ‬. 8‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 1) lnx − ln ( x − 2) = 1 2) lnx2 = 4 3) ln ( x − 1) + ln ( x + 2) = ln ( x2 − 3x + 2) 4) 2(lnx)2 + 5lnx − 3 = 0

‫)‪1‬‬ ‫< ‪lnx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪2) ln x < 1‬‬ ‫‪3) lnx + ln ( x − 1) > ln6‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪ln ( x -‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ln ( x +‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪5) (lnx)2 − 8lnx + 7 > 0‬‬ ‫‪( )6) x2 − 4x lnx ≥ 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[∞‪; I= ]0 ; +‬‬ ‫‪x‬‬‫)‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x) = −x3 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[∞‪; I= ]1 ; +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪-1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫[∞‪; I= ]2 ; +‬‬ ‫‪x2 − 2x‬‬ ‫[∞‪; I= ]0 ; +‬‬ ‫[ ‪; I= ]0 ; π‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪(lnx) 2‬‬ ‫[∞‪; I= ]-∞ ; +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ex +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪e) x2 − (9 − 4e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 + 4x + 3‬‬ ‫‪ : e‬ﻴﺭﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪− {−3;−1} :‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ d , c, b, a :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [−1;+‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻋﻨﺩ ‪x = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫)‪f ( x) = − x2 + x + 2ln ( x + 1‬‬ ‫;‪O‬‬‫‪( )‬‬‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪ – 1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ c‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﺎ ‪ 3‬ﺤﻴﺙ ﻴﻁﻠﺏ) (‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ ‪.‬‬‫‪( )2‬‬ ‫‪5‬‬‫<‬ ‫‪x0‬‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ‪x0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ – 3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x = 0‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪ 3‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪( ). c‬‬ ‫‪ – 5‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‪:‬‬ ‫)‪g ( x) = − x2 + x + 2ln ( x + 1‬‬ ‫ﺃ – ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ– ﺃﻜﺘﺏ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﺝ– ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ) ( ‪ g‬ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ) ‪. (c‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫‪ ϕ (I‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ϕ ( x ) = x2 − 4 x + 3 + 6 ln x − 2 :‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ )‪ ϕ (1‬ﻭ )‪. ϕ ( 3‬‬

‫‪ – 2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ϕ‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ) ‪. ϕ ( x‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ln x − 2‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( II‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪x ≠ 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2)2‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ ( 3‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ Γ‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ) (‬ ‫‪ ،‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪( ). Γ‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫‪ ( 4‬ﺍﺤﺴﺏ )‪ f ( −4) , f (4) , f (0) , f ( −1‬ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﺇﻟﻰ ‪. 10−1‬‬ ‫‪ ( 5‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ )‪ w ( 2;4‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪. (Γ‬‬ ‫‪ ( 6‬ﺍﺭﺴﻡ )‪. (Γ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪( )،‬‬‫‪‬‬‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ )‪(4cm‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺃﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪ .‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f ′ ( x) : x > 0‬ﻭ ) ‪f ′′ ( x‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ) ‪ lim f ′ ( x‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ) ‪f ′ ( x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪ -5‬ﺃﻨﺸﺊ )‪(c‬‬ ‫‪ -6‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪g ( x ) = xf ( x ) − x :‬‬ ‫‪-‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ g′ x‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ) ( ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞ ‪] [0 ; +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ c ,‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ) (‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln (6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ c‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪( )0‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺘﻘﺭﻴﺏ ‪ 10−2‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪f (4) ; f ( 3) ; f (0) ; ( )f −1 :‬‬ ‫‪ f (α ) = 0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪α‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺤﻴﺩ‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪−1 < α < 0‬‬ ‫‪ f ( β ) = 0‬‬ ‫‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺤﻴﺩ‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪0 < β < 6 :‬‬ ‫‪ -6‬ﺃﻨﺸﺊ )‪(c‬‬ ‫‪ -7‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﻭ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺤﻠﻭل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ( x ) = m‬‬ ‫‪ -8‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪( )f x ≤ m :‬‬‫‪b; a‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ -9‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x−6‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‬‫‪ -10‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪ g ( x ) = ( x − 6) ln (6 − x ) + x :‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪]−∞;6‬‬

‫‪ -11‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [−∞;6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ √ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ×ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫∗‬ ‫;‬ ‫‪log‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪logx‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪loge‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪log2n = ln2n -3‬‬ ‫‪n ∈ ; log10n = n -4‬‬‫‪( ). 109 < log 9, 26.109 < 1010 -5‬‬ ‫∈‪a‬‬ ‫∗‬ ‫;‬ ‫‪log‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪loga‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪logx‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫∗‬ ‫;‬ ‫‪(logx)2 = 2logx -8‬‬ ‫‪+‬‬‫‪.‬‬ ‫∈‪n‬‬ ‫∗‬ ‫}‪{1‬‬ ‫;‬ ‫‪logn‬‬ ‫‪10 n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪n‬‬‫‪ x‬ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0;+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -10‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪logx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪logx + log ( x − 1) = log6 ( 1‬‬ ‫‪2(log x)2 + 5logx − 3 = 0 ( 2‬‬ ‫‪logx > 3 ( 4‬‬ ‫‪log ( x − 6) > 2logx ( 5‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪log‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+log‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+log‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+log‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪+log‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = x + log x‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪( )f ( x) = x2 − 1 − log x2 − 1 ( 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪logx‬‬ ‫‪f ( x) = (logx)2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪f ( x ) = log x − 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( )C‬‬ ‫‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪( )2‬‬ ‫‪ -4‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ) (‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪. 10‬‬ ‫‪ -5‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ C‬ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ) ( ) (‬ ‫‪ -6‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻋﺩﺩ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ (C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = m :‬ﺤﻴﺙ ‪ m‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 21‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ( x ) = −4 + 4 logx :‬‬

‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل) (‬‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﻨﺸﺊ ) ‪. (C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 22‬‬‫‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪= logx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 23‬‬‫‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪log x − 1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺒﺂﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i,‬‬ ‫‪j‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫‪ -1‬ﺨﻁﺄ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ − x > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x < 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [‪]−∞;0‬‬‫‪ -2‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ x ≠ 0‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∗‬ ‫‪ -3‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x > 0‬‬ ‫‪ -4‬ﺨﻁﺄ ‪ .‬ﻷﻥ ‪ lnα 2 = 2 lnα :‬ﻟﻜﻥ ‪ln 22 = α ln 2‬‬‫‪ -5‬ﺨﻁﺄ ‪ ln x > 0 .‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x > 1‬ﺃﻱ [∞‪x ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]1;+‬‬ ‫‪ -6‬ﺨﻁﺄ ‪ .‬ﺒل ‪ln (a × b) = ln a + ln b‬‬‫‪ -7‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x < 1‬ﻓﺈﻥ ‪ ln x < ln1‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ln x < 0‬‬ ‫(‬ ‫∗‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ln‬‬ ‫) ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪+‬‬‫ﺨﻁﺄ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x > 0‬ﻭ ‪ ln x ≠ 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x > 0‬‬ ‫‪-8‬‬‫ﻭ‪ x ≠ 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪]0;1[ ∪ ]1;+‬‬ ‫‪ -9‬ﺨﻁﺄ ‪ .‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x > 0‬‬‫‪ -10‬ﺼﺤﻴﺢ ‪. ln e2008 = 2008 ln e = 2008 .‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻷﻥ ‪= +∞ :‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫‪-11‬‬ ‫‪ln x‬‬ ‫‪ln x‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬‫‪( )lim ln − x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫‪-12‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪z → +‬‬‫‪ -13‬ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪( )ln −2 1830 = ln 21830 = 1830 ln 2 :‬‬‫ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ ﻓﺈﻥ ‪ln xn = n ln x :‬‬‫‪ -14‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ln x2 = 2 ln x : x > 0‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x < 0‬‬

ln x2 = 2 ln x : ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ln x2 = ln ( − x )2 = 2 ln ( − x ) : ‫ﻓﺈﻥ‬ ln 12 = ln12 − ln 3 ‫ﻷﻥ‬ . ‫ﺨﻁﺄ‬ – 15 3 ln 12 = ln (4× 3) = ln 4 + ln 3 : ‫ﻟﻜﻥ‬ ln 3 ln 3 ln 3 . 2‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‬1) ln e − ln e−3 = 1 − (−3) ln e = 1 ln e + 3×1 = 1 × 1 + 3 = 7 2 2 2 ln e 2( )2)lne3 e e3 1 1 ln e2 3 1 ln e 2 ln e − ln e2 = ln 2 − + = ln − 2 + ln e2 e2 = 3 − 1 + 2 = 3 2 2 1 3) 1 ln 25 + ln 2 = 5 ln 2 + ln 22 = ln 2 + 1 ln 2 = 9 ln 2 5 4 5 4 8 8 4) ln 2 2 − 3 ln 2 = ln  2× 1  − 3 ln 2 = ln 3 − 3 ln 2 2   2 2 22  22  = 3 × ln 2 − 3 × ln 2 = 0 2 2 ( ) ( )5)ln(128)2 − ln(16×32) = ln 27 2 − ln 24 ×25 = ln214 − ln29 = 14 ln 2 − 9 ln 2 = 5 ln 2 6) ln 243 + ln 610 + ln  1  = ln 35 + 10 ln 6 − ln (1024)  1024  = 5 ln 3 + 10 ln ( 2× 3) − ln 210 = 5 ln 3 + 10(ln 2 + ln 3) − 10 ln 2

= 5 ln 3 + 10 ln 2 + 10 ln 3 − 10 ln 2 = 15 ln 3 . 3‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ‬• ln ( 2007)2006 = 2006 ln ( 2007) ln ( 2007)2006 15262, 02 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬• ln (1962)1954 = 1954 ln (1962) ln (1962)1954 14841, 68 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬• ln 1 0,13 1830• ln ( 2)1418 = 1418 ln 2 ( )ln 2 1418 982, 88 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬• ln (2, 0005)12 = 12 ln ( 2, 0005) ln ( 2, 0005)12 8, 32 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬( )• ln 25 × 37 × 53 = ln 25 + ln 37 + ln 53 = 5 ln 2 + 7 ln 3 + 3 ln 5 ( )ln 25 × 37 × 53 15, 98 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ . 4‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬• a = 3 ln 7 − 5 ln 5 a = ln 73 − ln 55 = ln 73 = ln 343 55 3125 a < 0 : ‫ﺇﺫﻥ‬ ln  343  < 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ 343 <1 : ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺒﻤﺎ‬ ‫ﻭ‬  3125  3125

• b = 3 ln 2 − 1 ln 15 = ln 23 − ln (15) 1 2 2 b = ln 8 − ln 15 = ln 8 15 b > 0 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 8 >0 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 8 >1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 15 15( )• c = ln 3 − 2 ( )c < 0 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ln 3 − 2 < 0 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬3 − 2 < 1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬• d = ln 3 = ln 3 = ln 3 ln 0, 5 1 − ln 2 ln  2    d < 0 : ‫ﺇﺫﻥ‬ d = − ln 3 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ln 2 . 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ( )2ln  2 3+ 4  3 −1 + ln  4  = 0 ( ) ( )2ln ln  2 3 + 4  2  2 3+4 3 −1 +  4  = ln 3 −1 + ln  4  ( ) ( )= ln 22 3 + 4  ln  3+2 3 −1  4  = 4−2 3  2  ( ) ( )= ln 2 − 3 2 + 3 = ln(4 − 3) = ln1 = 0 . 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ f ( x) = 1 x2 − x + ln x : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 2 ] [: ‫ ﺤﻴﺙ‬0;+∞ ‫ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬f ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x −1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪− x+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( x ) = ln x2 − 4 :‬ﺤﻴﺙ ‪{ } ( )Df = x ∈ : x2 − 4 > 0 :‬‬‫‪x‬‬ ‫‪−∞ - 2‬‬ ‫∞‪2 +‬‬‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Df = ]−∞;−2[ ∪ ]2;+∞[ :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( x ) = x ln x :‬ﺤﻴﺙ ‪Df = { x ∈ : x ≠ 0} :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Df = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ :‬‬‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1 ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ D f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪f ′ ( x) = ln x + 1 :‬‬‫∈‪Df ={x‬‬ ‫‪: xln x ≠ 0 ,‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪x > 0} :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪Df = { x ∈ : x ≠ 0 , ln x ≠ 0 , x > 0} :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ ln x ≠ 0 :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x ≠ 1 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪Df = ]0;1[ ∪ ]1;+∞[ :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪− (ln x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x ln x)2‬‬‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪( x ln x)2‬‬‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( x ) = x ln ( − x ) :‬ﺤﻴﺙ ‪Df = { x ∈ : − x > 0} :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ − x > 0 :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x < 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪Df = ]−∞;0[ :‬‬ ‫‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1 ln‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪ln (−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−x‬‬

Df = x∈ : x−1 >0 , x −2 ≠ 0 : ‫ﺤﻴﺙ‬ f (x) = ln  x−1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ (6  x−2   x − 2  Df = ]−∞;1[ ∪ ]2;+∞[ : ‫ﺇﺫﻥ‬ x −∞ 1 2 ∞ +x−1 - + +x−2 - - +x−1 +- +x−2 : ‫ ﺤﻴﺙ‬f ‫ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬D f ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 1.( x − 2) − 1.( x − 1) −1 f ′(x) = ( x − 2)2 = ( x − 2)2 x−1 x−1 x−2 x−2 f ′ ( x ) = ( −1 × x − 2 = ( x − −1 − 1) x − 1 x − 2) 2)( x{ } ( )Df = x∈ :e2x −5ex +6> 0 : ‫ ﺤﻴﺙ‬f ( x) =ln e2x −5ex +6 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬7 τ 2 − 5τ + 6 : ‫ ﻨﺠﺩ‬e x = τ : ‫ ﺒﻭﻀﻊ‬e2x − 5e x + 6 : ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬τ 2 −5τ + 6 = (τ − 2) (τ − 3) : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬τ2 = 3 , τ1 = 2 , ∆ = 1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ( ) ( )e2x − 5e x + 6 = e x − 2 e x − 3 : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ x = ln 2 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln e x = ln 2 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬e x = 2 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬e x − 2 = 0 x > ln 2 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln e x > ln 2 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬e x > 2 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬e x − 2 > 0 x = ln 3 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln e x = ln 3 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬e x > 3 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬e x − 3 > 0 x > ln 3 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln e x > ln 3 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬e x = 3 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬e x − 3 = 0

x −∞ ln 2 ln 3 ∞ + ex − 2 e2 − 3 - + + - - + (ex − 2)(ex − 3) + - + Df = ]−∞;ln 2[ ∪ ]ln 3;+∞[ : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ( )f ′x = 2e2x − 5e x : ‫ ﺤﻴﺙ‬D f ‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ f ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ e2x − 5e x + 6 Df ={x∈ :x>0 } : ‫ﺤﻴﺙ‬ f ( x) = 1 ( ln x)2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬8 2 Df = ]0;+∞[ : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ f ′( x) = 1 ×2× 1 × ( ln x) : ‫ﺤﻴﺙ‬ Df ‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ f ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 2 x f ′( x) = ln x : ‫ﺇﺫﻥ‬ x . 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ 1) lim  x− lnx  = lim  x− 1 lnx  = +∞ >  x  >  x  x→0 x→0 2) lim 1 = 0 > lnx x →0     x  x   1 3) lim ln  x2 +  = lim ln  1 = lim ln  = −∞  1    x→+∞  1  x→+∞ x→+∞ 1 + x2  x2  1 + x2  

4) lim ln (ln x) = −∞ > x →1 5) lim e x = 0 > lnx x 0 →( )6) lim  lnx  x → +∞  x  x2 − lnx = lim x x − = +∞ x → +∞7) lim lnx = lim lnz 2 = lim 2lnz =0 xx → +∞ z z z→+∞ z→+∞ z +∞ : ‫ ﻓﺈﻥ‬x +∞ ‫ ( ﻟﻤﺎ‬x2 = z ‫ﺃﻱ‬ x = z ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬ 18) lim lnx = lim ln 4 z = lim lnz 4 = lim 1 lnz =0 x4 z z 4 z x→+∞ z→+∞ z→+∞ z→+∞ x +∞ ‫ ( ﻟﻤﺎ‬x = 4 z ‫ ﺃﻱ‬x4 = z ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬(( )) ( ( ) )9) lim ln x 2 2 2ln x 2lim (lnx)2 = x  = lim  : ‫ﻓﺈﻥ‬ z → +∞ 2xx → +∞ 2 x→+∞ x = lim 4  ln x 2 = lim 4  lnt 2 = 0  x   t  x → +∞ t → +∞ t +∞ : ‫ ﻓﺈﻥ‬x +∞ : ‫ ( ﻟﻤﺎ‬x = t ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬ 10) lim ( x − lnx) lnx = −∞ > x→0 11) lim x lnx = lim z lnz2 = lim 2z lnz = 0 > >> x→0 z→0 z→0 >> z 0 : ‫ ﻓﺈﻥ‬x 0 ‫ ( ﻟﻤﺎ‬x2 = z ‫ ﺃﻱ‬x = z ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln (1 + τ) = 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  = lim‬‬‫)‪12‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪τ→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫∞‪+‬‬ ‫( ﻟﻤﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪τ‬‬ ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪τ 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lnx − ln ( x − 2) = 1 :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D = { x ∈ : x > 0; x > 2} :‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪lne :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪D = ]2;+∞[ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(1 − e) x = −e :‬‬ ‫‪x = xe − e‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪ :‬ﻷﻥ ‪( x > 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−e‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lnx2 = 4 :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ D = { x ∈ : x ≠ 0} :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪D = ∗ :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ lnx2 = 4 lne :‬ﺃﻱ ‪lnx2 = lne4 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x2 = e4 :‬ﺃﻱ ‪ x = e2 :‬ﺃﻭ ‪x = −e2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪−e2 , e2 :‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )ln ( x − 1) + ln ( x + 2) = ln x2 − 3x + 2 :‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪{ }D = x∈ : x −1 > 0, x + 2 > 0, x2 − 3x + 2 > 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x > 1 :‬ﻭ ‪ x > −2‬ﻭ ‪x2 − 3x + 2 > 0‬‬‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪x2 = 2 , x1 = 1 , ∆ = 1 , x2 − 3x + 2 > 0 :‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−∞ 1‬‬ ‫‪2 ∞+‬‬‫‪x2 − 3x + 2 > 0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ ]−∞;1[ ∪ ]2;+∞[ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D = ]2;+∞[ :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( )ln ( x − 1) ( x + 2) = ln x2 − 3x + 2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( x − 1) ( x + 2) = x2 − 3x + 2 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x2 + x − 2 = x2 − 3 x + 2 :‬ﺇﺫﻥ ‪ 4 x = 4 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x = 1 :‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪2 ( lnx )2 + 5 lnx − 3 = 0 :‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ D = { x ∈ : x > 0} :‬ﺤﻴﺙ ‪D = ]0;+∞[ :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ lnx = t :‬ﻨﺠﺩ ‪2t 2 + 5t − 3 = 0 :‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪t1 = −3 ,‬‬ ‫‪∆ = 49‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ lnx = −3 : t = −3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪e Lnx = e−3 :‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫‪τ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪τ = e−3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e3‬‬‫‪e,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ e Lnx = e 2 :‬ﺇﺫﻥ ‪e :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪:‬‬‫∈‪D ={x‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: x > 0} :‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ D = 0; +∞ :‬ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪] [lnx < lne 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x < e 2 :‬ﺃﻱ ‪ x < e :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ‬

‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪. 0 ; e  :‬‬‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ln x < 1 :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D = { x ∈ : x ≠ 0} :‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x < lne :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x < e :‬ﺇﺫﻥ ‪−e < x < e :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪] [ ] [. −e;0 ∪ 0;e :‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lnx + ln ( x − 1) > ln6 :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫}‪ D = { x ∈ : x > 0, x > 1‬ﺤﻴﺙ ‪D = ]1;+∞[ :‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ lnx ( x − 1) < ln6 :‬ﺇﺫﻥ ‪x2 − x > 6 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x2 − x − 6 > 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x2 = 3 , x1 = −2 , ∆ = 25 :‬‬‫‪x‬‬ ‫‪−∞ -2‬‬ ‫‪3 ∞+‬‬‫‪x2 − x − 6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪]−∞;−2[ ∪ ]3;+∞[ :‬‬‫ﻟﻜﻥ [∞‪ D = ]1;+‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪]3;+∞[ :‬‬ ‫)‪ln ( x − 1‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪ln ( x + 3‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪{ }D = x ∈ : x −1 > 0, x + 3 > 0, ln( x + 3) ≠ 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪x + 3 ≠ 1 , x > −3 , x > 1 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x ≠ −2 , x > −3 , x > 1 :‬ﺇﺫﻥ ‪D = ]1;+∞[ :‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ln ( x − 1) :‬‬ ‫‪ ln ( x − 1) = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x − 1 = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 2 :‬‬ ‫‪ ln ( x − 1) > 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x − 1 > 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x > 2 :‬‬ ‫‪ ln ( x − 1) < 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x < 2 :‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪Ln ( x + 3) :‬‬ ‫‪ ln ( x + 3) = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x + 3 = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = −2 :‬‬ ‫‪ ln ( x + 3) > 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x + 3 > 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x > −2 :‬‬

x 1 x < −2 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ln ( x + 3) < 0 ln ( x − 1) 2 +∞ ln ( x + 3) -+ ++ln  ln ( x − 1)   ln ( x + 3)  -+ ] [. 1;2 : ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‬D = ]0;+∞[ : ‫ ( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬lnx )2 − 8 lnx + 7 > 0 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 τ 2 − 8τ + 7 > 0 : ‫ ﻨﺠﺩ‬lnx = τ ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ τ 2 = 7 , τ1 = 1 , ∆ = 36 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ τ 2 − 8τ + 7 = (τ − 1) (τ − 7) : ‫ﺇﺫﻥ‬ ( lnx)2 − 8 lnx + 7 = ( lnx − 1) ( lnx − 7) : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ x = e : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬lnx = 1 ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬lnx − 1 = 0x > e ‫ ﺇﺫﻥ‬lnx > lne : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬lnx > 1 ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬lnx − 1 > 0x = e7 ‫ ﺇﺫﻥ‬lnx = lne7 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬lnx = 7 ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬lnx − 7 = 0x > e7 ‫ ﺇﺫﻥ‬lnx > lne7 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬lnx > 7 ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬lnx − 7 > 0 x 0 e e7 +∞ lnx − 1 -++ lnx − 7 --+( lnx − 1) ( lnx − 7) + - + ] [0 ; e ∪ e7 ; + ∞ : ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ‬

‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x2 − 4x lnx ≥ 0 :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪( )] [D = 0;+∞ :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪4 +‬‬ ‫‪x2 − 4x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫‪( x2 − 4x) lnx‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪. ]0 ; 1] ∪ [4 ; + ∞[ :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪: g‬‬‫∈ ‪g ( x) = x3 − 2 lnx + c ; c‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪− x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪− 1)2‬‬‫)‪g( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln( x − 1) -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫∈‪; c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x − 2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 − 2x‬‬ ‫‪x2 − 2x‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(ln x2‬‬ ‫‪− 2x) + c‬‬ ‫;‬ ‫∈‪c‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫(×‬ ‫‪lnx )2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪lnx )2‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪lnx )3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∈‪c‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬‫∈ ‪g ( x) = ln (sin x) + c , c‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪cosx‬‬ ‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬

( )g ( x) = ln ex + 1 + c , c ∈ : ‫ﺤﻴﺙ‬ f ( x) = ex 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 ex + . 11‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬-1 f ( x) = ax + b + x c 3 + d + x+1f ( x) = ( ax + b)( x + 3)( x + 1) + c ( x + 1) + d ( x + 3) ( x + 3)( x + 1) ( )f ( x) = (ax + b) x2 + 4x + 3 + cx + c + dx + d x2 + 4x + 3 f ( x) = ax 3 + 4ax 2 + 3ax + bx2 + 4bx + 3b + cx + c + dx + d x2 + 4x + 3 f ( x ) = ax 3 + ( 4a + b) x2 + ( 3a + 4b + c ) x + 3b + c + d x2 + 4x + 3 a = −1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ a = −1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ b = −8 + e 4a + b = −12 + e c = 26 3a + 4b + c = −9 + 4e d = −4 3b + c + d = 3e − 2 f ( x) = − x − 8 + e + 26 − x 4 1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ x+3 + : g ‫ ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬-2 g ( x ) = − 1 x2 − 8 x + ex + 26 ln ( x + 3) − 4 ln ( n + 1) + c 2 g ( x ) = − 1 x2 + ( −8 + e ) x + 26 ln ( x + 3) − 4 ln ( x + 1) + c , c∈ 2 g (0) = 1 : ‫ ﺤﻴﺙ‬h( x ) = g ( x ) : h ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬-3 c = −26 ln3 : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬26 ln3 + c = 0 : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬g (0) = 1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬

h( x) = - 1 x2 + ( -8 + e) x + 26 ln( x + 3) -4 ln( x + 1) -26 ln3 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 . 12‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-1 Df = ]−1;+∞[ : ‫ ﺤﻴﺙ‬Df = { x ∈ : x + 1 > 0} : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ lim f ( x) = lim ( − x2 + x + 2 ln ( x + 1)) = −∞> > x →−1 x →−1 lim f ( x) = lim − x2 + x + 2 ln ( x + 1) x→+∞ x → +∞ = lim ( x + 1 )  − x 2+ x + 2 ln ( x + 1)  x +1 x→ +∞  x+1    x2  −1 + 1     x   = lim  + 2 ln ( x + 1 )   x→ +∞  x  1 + 1  x+1   x    x  −1 + 1     x   = lim  1 + 2 ln ( x + 1)  = −∞  x x → +∞  1+ x+1  • f ′( x) = −2 x +1+ 2 x+1 f ′ ( x ) = ( −2 x + 1) (x+ 1) + 2 x +1 f ′( x) = −2 x 2 − 2x + x + 1+ 2 x+1 f ′( x) = −2 x 2 − x + 3 x + 1

‫) ‪ f ′ ( x‬ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺒﺴﻁ ‪.‬‬ ‫‪∆ = 25 :‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪− 2x2 − x + 3‬‬ ‫‪, x1 = 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪x -1‬‬ ‫‪1 ∞+‬‬‫‪−2x2 − x + 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪ 1;+‬ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ] [ [−1 ; 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∞+‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪2.ln2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪−‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪f (1) = 2 ln2‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪ :‬ﻫﻨﺎﻟﻙ ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim f ( x ) = −∞ :‬ﻓﺈﻥ ‪ x = −1 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫>‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫(‬ ‫‪x+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪ln ( x + 1) ‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪. +‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪: 3‬‬ ‫‪−2x2 − x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ′ ( x ) = 3‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ −2x2 − x + 3 = 3x + 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪−2x2 − 4 x = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ −2x ( x + 2) = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x = 0 :‬ﺃﻭ ‪x = −2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ -2 ) x = 0 :‬ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺭﻓﻭﻀﺔ (‬‫ﺇﺫﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻤﻤﺎﺱ ﻭﺍﺤﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 0‬ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ )‪y = f ′ (0) × ( x − 0) + f (0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ f (0) = 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪y = 3x :‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ f ( x ) = 0‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪−15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1, 24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f (2) = −2 + 2 ln3 ; f (2‬‬ ‫‪0,19‬‬ ‫; ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪2 ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(2). f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪( )2‬‬‫<‬ ‫‪x0‬‬ ‫<‬ ‫‪5‬‬ ‫;‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ x0‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺴﺎﺕ ﻭ ) ‪: (C‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫) ‪(γ‬‬‫) ‪(γ‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪ -5‬ﺃ( ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Dg = :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ − x ∈ Dg : Dg‬ﻭ‬ ‫) ‪ g ( − x ) = g ( x‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪( ):‬‬‫‪ g ( x) = − x2 + x + 2 ln ( x + 1) ; x > 0‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪x>0‬‬ ‫ﺝ( ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪ ) : γ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ () (‬‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ g ( x ) = f ( x ) : x > 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ) ‪ (γ‬ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ )‪(c‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : x < 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻴﺎﻨﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ -1 – I‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ϕ (1) = 0 ; ϕ ( 3) = 0 :‬‬ ‫‪ -2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬

Dϕ = { x ∈ : x − 2 ≠ 0} Dϕ = ]−∞;2[ ∪ ]2;+∞[ lim x2 − 4x + 3 + 6 ln x − 2 = +∞ x→−∞ lim ϕ ( x) = lim x2 − 4x + 3 + 6 ln x − 2 = +∞ x→−∞ x→−∞ lim ϕ ( x) = lim x2 − 4x + 3 + 6 ln x − 2 = −∞ >> x→2 x→2 lim ϕ ( x) = lim x2 − 4x + 3 + 6 ln x − 2 = −∞ << x→−∞ x→2 lim ϕ ( x) = lim x2 − 4x + 3 + 6ln x − 2 = +∞ x→+∞ x→+∞ ϕ′( x) = 2x − 4+ 6 2 x− ϕ′( x) = (2x − x)( x − 2) + 6 = 2( x − 2)2 + 6 x−2 x−2 : ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬2 ( x − 2)2 + 6 > 0 : ‫ ﻷﻥ‬x − 2 ‫ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ϕ ′ ( x ) x −∞ 2 +∞ϕ′( x) -+ x ]−∞;2[ ‫] ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬2;+∞[ ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ϕϕ′( x) −∞ 2 3 +∞ϕ ( x) -+ +∞ +∞ −∞ −∞ : ϕ ( x ) ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬-3 : ‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻓﺈﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬

x −∞ 1 2 3 +∞ϕ(x) + -- + f ′ ( x) = ( ϕ (x) : ‫( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬1 (II x − 2)2 Df = − {2} : ‫ ﺤﻴﺙ‬Df = { x ∈ : x − 2 ≠ 0} : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 5 1 2 × ( x − 2) − ln x − 2 x− ( x − 2)2f ′( x) = 1+ − 2)2 − 6× ( x f ′( x) = (x − 2)2 + 5 − 6 + 6ln x − 2 ( x − 2)2 f ′(x) = x2 − 4x + 4 − 1 + 6ln x−2 ( x − 2)2 f ′ ( x) = ( ϕ (x) : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ x − 2)2 : f ‫( ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬2 lim f ( x) = lim x + 2 − x 5 2 + 6 ln (− x + 2) = −∞ − x→−∞ x → −∞ −x + 2 lim f ( x) = lim x + 2 − 5 − 6ln x − 2 = +∞ < < − x − 2 x→2 x 2 x→2 ( )= 1 lim x − 2 ( x + 2) ( x − 2) − 5 − 6ln x − 2 = −∞ < x→2 lim f ( x) = lim x + 2− 5 − 6ln x − 2 > > − x − 2 x 2 x→2 x→2 = lim 1 2 ( x + 2)( x − 2) − 5− 6ln x − 2  = +∞ > x− x→2

‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪lim x + 2 −‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2)2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ) ‪ f ′ ( x‬ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ) ‪ ϕ ( x‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−∞ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪3 +‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+--+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ −∞ ; 1‬ﻭ ∞ ‪[ [ ] ]3 ; +‬‬ ‫ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ 1 ; 2‬ﻭ ‪] ] [ [2 ; 3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−∞ 1‬‬ ‫∞‪2 3 +‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫∞‪−∞ +‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪+∞ −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪f (1) = 8 , f ( 3) = 0 :‬‬ ‫‪ (3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻫﻨﺎﻟﻙ ‪ 4‬ﻓﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x = 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ y = x + 2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪−‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( −1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4, 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3ln2‬‬ ‫‪6, 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3ln2‬‬ ‫‪1, 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( −4‬‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ln6‬‬ ‫‪0, 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ w‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ‪:‬‬ ‫ﻨﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ 4 − x ∈ D f : D f‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﺤﻘﻕ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪. f (4− x)+ f (x) = 8‬‬‫‪f‬‬ ‫‪(4−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪6−‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6ln 2−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪5−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6ln 2− x‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪2− x‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪= 8+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ln x − 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5 6ln x − 2‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x−2− x−2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪ w ( 2;4‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪. (Γ‬‬ ‫‪ -6‬ﺇﻨﺸﺎﺀ )‪: (Γ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪[ [D f = 0;+∞ :‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim−‬‬ ‫‪xln1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪lim−‬‬ ‫‪ln  1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪lim −‬‬ ‫‪ln(1+‬‬ ‫)‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪t →+‬‬ ‫‪t‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x)− f‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim−‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x−0‬‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻻ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻨﺼﻑ) (‬ ‫ﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪. 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺤﺴﺎﺏ ) ‪ f ′ ( x‬ﻭ ) ‪: f ′′ ( x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‪−1‬‬ ‫×‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫×)‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪f‬‬ ‫( ‪′′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪′′ ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+x+1− x‬‬ ‫)‪x + 1‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪x ( x + 1)2‬‬

f ′′ ( x) = − x ( 1 1)2 x+ lim f ′( x) = lim − ln  1 + 1  + 1 = 0  x  x+1 x→+∞ x→+∞ : f ′ ( x ) ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬- x 0 +∞ f ′′ ( x) + 0 f ′(x) −∞ f ′ ( x ) < 0 ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‬ : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-4lim f ( x) = lim − xln1+ 1  = lim − ln1+ 1  = lim− ln(1+ t) = −1 x  1 x x→+∞ x→+∞ x→+∞ t→0 t x .( t= 1 ‫) ﺒﻭﻀﻊ‬ x [ [0;+∞ ‫ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬f ′ ( x ) < 0 ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x 0 +∞ f ′( x) - 0 −1 f ′′ ( x)

‫‪ (5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ y = −1 : (C‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫‪y‬‬‫‪0,5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4‬‬ ‫‪x‬‬‫‪-0,5‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ (6‬ﺤﺴﺎﺏ ) ‪: g′ ( x‬‬ ‫‪g′ ( x) = 1. f ( x) − 1‬‬ ‫‪g′( x) = f ( x) −1‬‬ ‫(‪g′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xLn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪ g′ ( x) = f ( x) − 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪f ( x) = g′ ( x) + 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h‬ﺤﻴﺙ ‪h( x ) = g ( x ) + x + c ; c ∈ :‬‬ ‫ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞‪] [. 0;+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪: f‬‬ ‫}‪Df = { x ∈ : 6 − x < 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪Df = ]−∞;6[ :‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x − 11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln (6 −‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪x−6‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x − 11‬‬ ‫‪− ln (6 −‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫‪x−6‬‬‫‪x→6‬‬ ‫‪x→6‬‬‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 2 x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x )ln (6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x )‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x→6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′(x‬‬ ‫=‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6) − 1(2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪( x − 6)2‬‬ ‫‪6− x‬‬ ‫= )‪f ′(x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫)‪−1 − ( x − 6‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪( x − 6)2‬‬ ‫‪( x − 6)2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−x + 5‬‬ ‫‪( x − 6)2‬‬ ‫‪ f ′ ( x ) = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ − x + 5 = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 5 :‬‬ ‫‪ f ′ ( x ) > 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ − x + 5 > 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x < 5 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪] ]−∞;5‬‬ ‫‪ f ′ ( x ) < 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x > 5 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪[ [5;6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪56‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪:‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪′(0‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫;‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Ln6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪y = f ′(0)( x − 0) + f (0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln6‬‬ ‫‪−0,16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln6‬‬ ‫‪0, 04‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln3‬‬ ‫‪0, 56‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln2‬‬ ‫‪0, 80‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -4‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ −1 ; 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪[ ]:‬‬‫‪ f ( −1) . f (0) < 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f (α ) = 0‬‬ ‫‪ -5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f (5) = 1 − ln1 = 1 :‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 5;6‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ[ [‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (5) > 0 :‬ﻭ ∞‪ lim f ( x ) = −‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫<‬ ‫‪x→6‬‬ ‫ﻭﺤﻴﺩ ‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f ( β ) = 0 :‬‬ ‫‪ -6‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪: (C‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x − 11‬‬ ‫‪ln (6 −‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x2 − 6x‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻋﻨﺩ ∞‪( )−‬‬

‫‪ x = 6‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ -7‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ‬ ‫ﺤﻠﻴﻥ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫;∞‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Ln6‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﺃﺨﺭ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫ﺤل‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Ln6‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ‬ ‫ﺤﻠﻴﻥ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Ln6‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫• ﻟﻤﺎ ‪ : m = 1‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﻭﺠﺏ ‪.‬‬ ‫• ﻟﻤﺎ [∞‪ : m ∈ ]1;+‬ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫‪ -8‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪( )f x ≤ 0 :‬‬ ‫‪ f ( x) ≤ 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x ∈ ]−∞; β ] ∪ [α;6[ :‬‬ ‫‪ -9‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪: b‬‬ ‫‪2x − 11‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x−6‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6x +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−6‬‬

‫‪a = 2‬‬ ‫‪a = 2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪b = 1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−6a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪−11‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪− 11‬‬ ‫=‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪x−6‬‬ ‫‪ -10‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪] [Dg = −∞;6 : g‬‬ ‫‪g′‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1.ln‬‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪g′( x) = ln (6 − x) − 1 + 1 = ln (6 − x‬‬ ‫‪ -11‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪g′( x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪6− x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪ h‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪h( x) = 2x − ln (6 − x) − ( x − 6) ln (6 − x) − x + c‬‬ ‫‪h( x) = x − (1 − x + 6) ln (6 − x) + c‬‬‫∈ ‪h( x) = x − (7 − x) ln (6 − x) + c ; c‬‬‫‪√ (7 × (6‬‬ ‫‪. √ (5‬‬ ‫‪√ (4 . × (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.. 16‬‬ ‫‪√ (2 √ (1‬‬ ‫‪. × (10 √ (9 . × (8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪17‬‬ ‫‪ (1‬ﺤل ﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪:‬‬ ‫)‪log6 = logx + log ( x − 1‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x > 0 :‬ﻭ ‪x − 1 > 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x > 1‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪ 1;+‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪] [( )1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ logx ( x − 1) = log6 :‬ﻭ ﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x ( x − 1) = 6 :‬‬