دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫ﻓـﻬﺭﺱ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫‪ -‬ﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ : 03‬ﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. (a ≠ 0), x → ax2 + bx + c‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺠﺫﻭﺭ ﺜﻼﺜﻲ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫* ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪(a ≠ 0), x → ax2 + bx + c‬‬ ‫* ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻠﻠﺔ‬‫‪ -‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪(a ≠ 0), x → ax2 + bx + c‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺠﺒﺭﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺠﺒﺭﻴﺎ‬‫‪-‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺘﺘﺩﺨل ﻓﻴﻬﺎ ﺜﻼﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‬‫‪ /2‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫أ‪ .‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫‪ /3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪/5‬ﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫•ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫•ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ !!‬ ‫• ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ d, y, x‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪(1)......x2 + 2x + 1 = ()2‬‬ ‫‪(2).....x2 − 4x + ... = ()2‬‬ ‫‪(3)....x2 + 2xy + ... = ()2‬‬ ‫‪(4)....x2 + dx + .... = ()2‬‬‫ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺎﻤﻠﻴﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺘﻴﻥ )‪ A(x‬ﻭ )‪B(x‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ‪B(x) = 3x2 + x − 2 ، A(x) = x2 − 6x + 8 :‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ \" ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ\"‬ ‫‪(1)......x2 + 2x + 1 = (x + 1)2‬‬ ‫‪(2).....x2 − 4x + 4 = (x − 2)2‬‬ ‫‪(3)....x 2 + 2xy + y 2 = (x + y)2‬‬‫‪d = 2. d‬‬ ‫ﻭﻟﻼﻗﺘﺭﺍﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺸﻬﻴﺭﺓ‪ ،‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= ‪+ dx‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪+ 2.⎜⎛ d ⎞⎟(x‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪:‬‬ ‫⎠‪⎝2‬‬ ‫‪⎛⎜ x + d ⎞⎟2‬‬ ‫ﻨﺸﺭ‬ ‫\"ﺒﺩﺍﻴﺔ\"‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﻭ )‪x2 + 2.⎛⎜ d ⎟⎞(x‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫⎠‪⎝2‬‬ ‫‪x 2 + dx + ⎜⎛ d ⎞⎟2 = ⎜⎛ x + d ⎟⎞2‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪:‬‬ ‫⎠‪⎝2⎠ ⎝ 2‬‬ ‫‪A(x) = (x2 − 6x) + 8 -‬‬

‫ﻭ ‪ x2 − 6x‬ﻫﻭ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻨﺸﺭ ‪ (x − 3)2‬ﻭﻟﻜﻥ ‪(x − 3)2 = x2 − 6x + 9‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪x2 − 6x = (x − 3)2 − 9‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‪A(x) = ((x − 3)2 − 9) + 8 :‬‬ ‫ﺃﻱ‪A(x) = (x − 3)2 −1 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪A(x) = (x − 3)2 −12‬‬ ‫ﺃﻱ ]‪A(x) = [(x − 3) −1][(x − 3) +1‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺍﻷﺨﻴﺭ‪A(x) = (x − 4)(x − 2) :‬‬ ‫)‪B(x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎝⎜⎢⎣⎡‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟ ‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎤‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫⎥⎦ ‪3‬‬ ‫‪x2 + 1 x − 2 = x2 + 2. 1 x − 2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪33‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪⎛⎜ x + 1 ⎟⎞2‬‬ ‫ﻨﺸﺭ‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺔ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪x2 + 2⎛⎜ 1 ⎟⎞(x‬‬ ‫ﺴﺒﻕ‬ ‫ﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺜل‬ ‫⎠‪⎝ 6‬‬ ‫⎠‪⎝6‬‬‫⎜⎛‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞ ‪x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 ⎟⎞2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪⎜⎛ x + 1 ⎞⎟2 = x2 + 1 x + 1‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‬‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝⎜‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫⎠‪⎝ 6‬‬ ‫‪3 36‬‬ ‫)‪B(x‬‬ ‫=‬ ‫⎝⎜⎛ ⎛⎝⎜⎜⎡⎣⎢⎢‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎟⎞ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎞⎟ ‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤‬ ‫‪6‬‬ ‫⎠‬ ‫⎠⎟ ‪36‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦ ‪3‬‬ ‫ﻭ‪(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻘﺎﻤﻲ‬ ‫)ﺘﻭﺤﻴﺩ‬ ‫‪= 3⎡⎢⎜⎛ x + 1 ⎞⎟2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫⎤‬ ‫⎥‬ ‫‪3 36‬‬ ‫⎥⎦ ‪⎢⎣⎝ 6 ⎠ 36‬‬ ‫=‬ ‫⎝⎜⎛⎡⎣⎢‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎜⎝⎛⎜‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎥⎤⎦⎞⎟⎟⎠‬ ‫‪6‬‬ ‫⎠‬ ‫‪6‬‬ ‫⎝‬ ‫‪6‬‬ ‫⎠‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎝⎛⎣⎢⎡‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎞⎠⎟⎦⎥⎤[x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫]‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪B(x) = (3x − 2)(x + 1‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ‪ x2 + dx‬ﻫﻭ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻨﺸﺭ ‪⎛⎜ x + d ⎞⎟2‬‬‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫‪ ⎛⎜ x +‬ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪d ⎟⎞2‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dx + ⎜⎛ d‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪⎟⎞2 :‬‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫‪⎝2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪(*).......x 2 + dx = ⎜⎛ x + d ⎞⎟2 − ⎛⎜ d ⎞⎟2‬‬ ‫⎠‪⎝ 2⎠ ⎝2‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 02‬ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﺴﺅﺍل ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪ a ≠ 0 :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = ax + b :‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ ، f (x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪x‬‬ ‫ﻭﻟﺨﺹ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ‪a < 0, a > 0 :‬‬ ‫• ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a > 0‬‬‫⎟⎞ ‪⎛⎜ x = − b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫)‪(ax = −b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b = 0‬‬‫⎠‪⎝ a‬‬‫⎞⎟ ‪⎛⎜ x > − b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫)‪(ax > −b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b > 0‬‬‫⎠‪⎝ a‬‬‫⎞⎟ ‪⎜⎛ x < − b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫)‪(ax < −b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b < 0‬‬‫⎠‪⎝ a‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a > 0‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬

‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪−b +‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax + b‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a < 0‬‬ ‫‪x=−b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b = 0‬‬ ‫‪a‬‬‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺴﺎﻟﺏ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫⎞⎟ ‪⎛⎜ x < − b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b > 0‬‬ ‫⎠‪⎝ a‬‬ ‫⎞⎟ ‪⎛⎜ x > − b‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫)‪(ax + b < 0‬‬ ‫⎠‪⎝ a‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a < 0‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫∞‪x −‬‬ ‫∞‪−b +‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax + b‬‬ ‫‪0-‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪R‬‬‫ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ f (x) = ax + b‬ﺃﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎﻥ‬‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ ax + b‬ﺘﺴﻤﻰ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ )ﺃﻭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ( ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪a ≠ 0 :‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ ax + b‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−∞ −b‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪a‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ax + b‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬ ‫‪ 0‬ﻋﻜﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪a‬‬

‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﻼﺜﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ( ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬‫‪ f (x) = ax2 + bx + c‬ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0‬‬‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ ax2 + bx + c‬ﺘﺴﻤﻰ ﺜﻼﺜﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ)ﺃﻭ‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ( ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬‫‪ /2‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪، f (x) = ax2 + bx + c :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻋﺎﻤل ﻓﻲ ﺠﺩﺍﺀ(‬ ‫‪a‬‬ ‫)ﻭﻀﻊ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫⎡‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤‪c‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪a‬‬ ‫⎦⎥ ‪a‬‬‫‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪= a⎡⎢⎜⎛ x + b ⎟⎞2‬‬ ‫‪− ⎜⎛ b ⎟⎞2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤‪c‬‬ ‫⎠ ‪⎣⎢⎝ 2a‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2a‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦ ‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a⎢⎡⎜⎛ x +‬‬ ‫‪b ⎞⎟2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤‪c‬‬ ‫⎝⎣⎢‬ ‫⎠ ‪2a‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦ ‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎝⎜⎜⎛‬ ‫‪b2 − 4ac‬‬ ‫⎤⎥⎥⎦⎟⎞⎠⎟‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻭﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ax 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪bx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎟⎞ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎝⎛⎜⎜‬ ‫‪b2 − 4ac‬‬ ‫⎤⎦⎥⎥⎞⎠⎟⎟‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻟﻜﺜﻴﺭ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫⎜⎛⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎜⎜⎛⎝‬ ‫‪b2 − 4ac‬‬ ‫⎥⎦⎤⎥⎠⎞⎟⎟‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪ax2 + bx + c‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ax2 + bx + c‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ax2 + bx + c‬ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b2 − 4ac‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ax2 + bx + c‬ﻭﻴﺭﻤﺯ‬ ‫ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ∆‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ g(x‬ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ f (x) = −3x2 + 6x − 3‬ﻭ‪g(x) = x2 − 6x + 11‬‬ ‫* )‪ f (x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax2 + bx + c‬ﻤﻊ ‪c = −3 ، b = 6 ، a = −3‬‬‫∆ ﻤﻤﻴﺯ )‪ f (x‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ∆ = b2 − 4ac :‬ﻤﻨﻪ )‪ ∆ = 62 − 4(−3)(−3‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪∆=0‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎟⎞ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∆‬ ‫⎤‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻭﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦‬

‫∆‬ ‫ﻭ‪= 0‬‬ ‫‪b = −1‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪f (x) = −3(x −1)2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫* )‪ g(x‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax2 + bx + b‬ﻤﻊ ‪c = 11 ، b = −6 ، a = 1‬‬‫∆ ﻤﻤﻴﺯ )‪ g(x‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ∆ = b2 − 4ac :‬ﻤﻨﻪ )‪ ∆ = (−6)2 − 4(1)(11‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪∆ = −8‬‬‫ﻭﻟﻨﺎ‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∆‬ ‫⎤‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ‪:‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﻭﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫⎝⎣⎢‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦‬ ‫∆‬ ‫ﻭ ‪= −2‬‬ ‫‪b = −3‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪g(x) = (x − 3)2 + 2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪g(x‬‬ ‫‪ /3‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪، f (x) = ax2 + bx + c :‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪∆ = b2 − 4ac‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛⎡⎢‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∆‬ ‫⎤‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻟﻨﺎ‪f '(x) = 2ax + b :‬‬‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﻨﻤﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ‪ a > 0 :‬ﻭ ‪) a < 0‬ﻷﻥ )‪f '(x‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻤﻨﻁﺒﻕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(2‬‬

‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a > 0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x −∞ − b +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a > 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪⎣⎡⎢−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎢⎣⎡∞‪,+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪⎤⎥⎦−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a < 0‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '(x‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺘﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫∞‪x −∞ − b +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ +‬ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ : a < 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪⎢⎣⎡−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎡⎢⎣∞‪,+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪⎤⎦⎥−‬‬ ‫‪∞,−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎥⎦‬‫ﻓﻲ‬ ‫‪−b‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪x‬‬ ‫)ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫∆ ‪f ⎛⎜ − b ⎞⎟ = −‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪⎝ 2a ⎠ 4a‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺠﻲ(‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x → ax2 + bx + c‬ﺃﻴﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a > 0‬‬ ‫‪ax2 + bx + c‬‬ ‫∞‪−∞ − b +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫∆‪−‬‬ ‫‪4a‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x → ax2 + bx + c‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻋﻨﺩ ‪− b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: a < 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪− b +‬‬ ‫‪ax2 + bx + c‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫∆‪−‬‬ ‫‪4a‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x → ax2 + bx + c‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﻋﻨﺩ ‪− b‬‬ ‫‪2a‬‬‫ﺤﻴﺙ ∆ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪(∆ = b2 − 4ac) ax2 + bx + c‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫) ‪، (0, I, J‬‬‫ﺘﻘﻊ \"ﺘﺤﺕ\" ﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ‬ ‫⎞⎟ ∆ ‪S⎜⎛ − b , −‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ : a > 0‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫⎠ ‪⎝ 2a 4a‬‬ ‫‪P‬‬‫ﺘﻘﻊ \"ﻓﻭﻕ\" ﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﻁ‬ ‫⎞⎟ ∆ ‪S⎛⎜ − b , −‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ : a < 0‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫⎠ ‪⎝ 2a 4a‬‬ ‫‪P‬‬‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻜﻤﺎ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫∆‬ ‫ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺈﺸﺎﺭﺓ‬ ‫∆‪−‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪4a‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺸﻜل )‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x → ax2 + bx + c‬ﺤﻴﺙ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪ ، (0, I, J‬ﻭﻋﺩﺩ ﻨﻘﻁ‬‫ﺘﻘﺎﻁﻌﻪ ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل – ﺤﺴﺏ ﺇﺸﺎﺭﺘﻲ ‪ a‬ﻭ ∆‬ ‫)‪ - (∆ = b2 − 4ac‬ﻴﻠﺨﺹ ﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫<∆‬ ‫‪∆=0‬‬ ‫‪∆>0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 S.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪a<0‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 S. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1 -1 -1‬‬ ‫)‪(P‬‬ ‫‪-2 -2 -2‬‬ ‫‪-3 -3 -3‬‬ ‫‪(P) -4‬‬ ‫‪-4 -4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5 -5‬‬ ‫‪-6 -6 -6‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪555‬‬ ‫‪444‬‬‫‪a>0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(P‬‬ ‫)‪2 (P‬‬ ‫)‪(P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2 .‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﻓﺭﻀﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪ (P‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x → ax2 + bx + c‬ﺤﻴﺙ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪ ، (0, I, J‬ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ‬‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = − b‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ )‪ (P‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ S‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭﻩ ﺘﺴﻤﻰ ﺫﺭﻭﺓ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ )‪(P‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ∆ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪f (x‬‬ ‫)‪(∆ = b2 − 4ac‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ، (1)......ax2 + bx + c = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ ، R‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪(a ≠ 0‬‬ ‫)ﻷﻥ‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎞⎟ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∆‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫⎝‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ∆ < 0‬‬‫ﺤل‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﻻ ﻴﻭﺠﺩ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪⎛⎜ x + b ⎞⎟2‬‬ ‫∆‪−‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪− ∆ >0‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫⎠ ‪⎝ 2a‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(1‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ∆ = 0‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪x+ b =0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪⎛⎜ x + b ⎞⎟2 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2a‬‬‫)ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل ﻴﺴﻤﻰ ﺤﻼ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ(‬ ‫‪−b‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻭﻫﻭ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭ ‪⎟⎞2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: ∆ > 0‬‬ ‫∆) (‬ ‫=‬ ‫⎝⎛⎜⎜‬ ‫∆‬ ‫‪⎟⎟⎠⎞ 2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫=∆‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪∆ 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a 2‬‬‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎟⎞ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎝⎜⎛⎜‬ ‫∆‬ ‫‪⎠⎞⎟⎟ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫⎝‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪a‬‬‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫⎛⎜⎢⎡‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪+‬‬ ‫⎜⎜⎝⎛‬ ‫∆‬ ‫× ⎥⎥⎦⎤⎠⎟⎟⎞‬ ‫‪⎡⎢⎛⎜ x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫‪−‬‬ ‫⎝⎛⎜⎜‬ ‫∆‬ ‫⎤⎥⎦⎥⎠⎞⎟⎟‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫⎝⎢⎣‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪a‬‬ ‫⎝⎣⎢‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x+ b +‬‬ ‫∆‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪x+ b −‬‬ ‫∆‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪−b−‬‬ ‫ﻭ∆‬ ‫‪−b+‬‬ ‫∆‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻭﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )**( ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎝⎜⎜‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b+‬‬ ‫∆‬ ‫⎜⎛⎜⎝⎞⎠⎟⎟‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b−‬‬ ‫⎠⎞⎟⎟ ∆‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‪:‬‬‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a ≠ 0‬ﻭﻟﻴﻜﻥ‬‫)‪ f (x‬ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪f (x) = ax2 + bx + c :‬‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ (1)......ax2 + bx + c = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪، R‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ∆ ﻤﻤﻴﺯ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ f (x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ∆ ) ∆ = b2 − 4ac‬ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪((1‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪∆ = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪∆ > 0‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، R‬ﺤﻼﻥ‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺤل‬‫ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺃﻱ ﺤل‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪ ، R‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ )ﻭﻫﻭ ﺤل‬ ‫ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ '‪ x‬ﻭ ''‪ x‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ‪، R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻑ( ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل ﻫﻭ‬ ‫∆ ‪x''= − b +‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪:(1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x'= − b −‬‬ ‫∆‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻭ‬‫ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻠﻲ‬ ‫) ‪f (x) = a(x − x0‬‬ ‫)''‪f (x) = a(x − x')(x − x‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﻜﺜﻴﺭ‬‫)‪ f (x‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬‫ﺠﺩﺍﺀ ﻜﺜﻴﺭﻱ‬ ‫)‪f (x‬‬‫ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ c ، b ، a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﺫﺭﺍ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ ax2 + bx + c‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻜل ﺤل‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ax2 + bx + c = 0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R‬‬ ‫‪ /5‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ‪5x 2 − 30x − 9 = 0 5x2 + 7x + 3 = 0 6x2 −13x − 5 = 0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪( R‬‬‫)‪30)2 − 4(−25)(−9) ∆ = 72 − 4(5)(3) −13)2 − 4(6)(−5‬‬ ‫∆ ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪∆=0‬‬ ‫‪∆ = −11‬‬ ‫‪∆ = 189‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ∆‬ ‫‪∆=0‬‬ ‫‪∆<0‬‬ ‫‪∆>0‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫)‪− (−30‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺃﻱ ﺤل‬ ‫‪− (−13) − 189‬‬ ‫)‪2(−25‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− (−13) + 189‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2.6‬‬‫)ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻀﺎﻋﻑ(‬ ‫‪x'= − 1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ' '‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫)ﺤﻼﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ(‬

‫• ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ‪:‬‬ ‫ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪− 25x 2 − 30x − 9 x) = 5x2 + 7x + 3 ) = 6x 2 −13x − 5 f (x‬‬ ‫‪∆=0‬‬ ‫‪∆ = −11‬‬ ‫‪∆ = 189‬‬ ‫∆ ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∆ = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∆ < 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪∆ > 0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﻟﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫‪x'= − 1‬‬ ‫ﺠﺫﻭﺭ )‪f (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل )‪f (x‬‬ ‫)‪ f (x‬ﺃﻱ ﺠﺫﺭ ﻓﻲ‬ ‫)ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻀﺎﻋﻑ(‬ ‫‪R‬‬ ‫= ' '‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫⎛⎝⎜⎜‪−25‬‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪3‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎟⎞⎟⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﻻ‬ ‫‪⎜⎛ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎝⎜⎛⎟⎞⎠⎟‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫⎝‬ ‫‪5‬‬ ‫⎠‬ ‫ﺠﺩﺍﺀ‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ f‬ﺇﻟﻰ‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f (x) = −(5x + 3)2‬‬ ‫)‪ = (3x + 1)(2x − 5‬ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬