ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠεριεχόμεναΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ  Σύνολα ……………………………………………………..2ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πιθανότητες  1.1 Δειγματικός χώρος-Ενδεχόμενα...................................11  1.2 Έννοια της πιθανότητας……………………………...23ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Πραγματικοί αριθμοί  2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητες……………………………37  2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών………………………59  2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού…………………73  2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών……………………….....86ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εξισώσεις  Εξισώσεις 1ου βαθμού…………………………………….100  Η εξίσωση xv = a ………………………………………...117  Εξισώσεις 2ου βαθμού…………………………………....120ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ανισώσεις  Ανισώσεις 1ου βαθμού……………………………………152  Ανισώσεις 2ου βαθμού……………………………………166ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πρόοδοι  Αριθμητική πρόοδος..……………………………………179  Γεωμετρική πρόοδος………………….…………………193ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Βασικές έννοιες των συναρτήσεων  Η έννοια της συνάρτησης..………………………………205  Γραφική παράσταση συνάρτησης…………….………...214  Η συνάρτηση f  x = ax + β ……………………………..224ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Μελέτη βασικών συναρτήσεων  Μελέτη f  x = ax2 ………………………………………234  Μελέτη f  x = ax2 + βx+ γ …………………..…………240 1

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Το Λεξιλόγιο της ΛογικήςΣτόχοςΝα γνωρίζουν οι μαθητές: ➢ Να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας ➢ Να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και»Στην καθημερινή πράξη, ως λογική αντιλαμβανόμαστε τη διαδικασία εξαγωγήςσυμπερασμάτων ή ελέγχου ισχυρισμών, βασιζόμενοι σε ισχυρισμούς που δεχόμαστε ότιείναι αληθείς. Η λογική αφορά περισσότερο τη μορφή παρά το περιεχόμενο ενόςσυλλογισμού. Για παράδειγμα: ▪ Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί. Ο Χρήστος είναι άνθρωπος. Άρα ο Χρήστος είναι θνητός. ▪ Όλα τα πουλιά έχουν φτερά. Το σπουργίτι είναι πουλί. Άρα το σπουργίτι έχει φτερά.Οι παραπάνω συλλογισμοί έχουν την ίδια μορφή. Όλα τα Α είναι Γ. Το Β είναι Α. Άρα το Β είναι Γ. Η πρότασηΣτα Μαθηματικά, πρόταση είναι κάθε ισχυρισμός ο οποίος μπορεί να χαρακτηριστεί είτεως αληθής είτε ως ψευδής.Τους ισχυρισμούς τους συμβολίζουμε με P,Q,...Παράδειγμα • Ο ισχυρισμός P : 4  6 είναι πρόταση (αληθής). • Ο ισχυρισμός Q : αν x = 2, τότε x2 =10 είναι πρόταση (ψευδής) -1-

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ • Ο ισχυρισμός R : x2 = 9 δεν είναι πρόταση, αφού δεν μπορούμε να τον χαρακτηρίσουμε αληθή ή ψευδή. Για x = 2 είναι ψευδής, ενώ για x = 3 είναι αληθής. Η συνεπαγωγήΈστω δύο πραγματικοί αριθμοί α και β. Γνωρίζουμε ότι: Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους είναι ίσα.Δηλαδή:Αν ο ισχυρισμός « α = β » είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός « α2 = β2 » θα είναιαληθής.Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός « α = β » συνεπάγεται τον ισχυρισμό « α2 = β2 » καιγράφουμε: α = β  α2 = β2Γενικά:Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και οQ ,τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε: PQΟ ισχυρισμός « P  Q » λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται: • Αν P , τότε Q . • Ο P είναι ικανή συνθήκη για τον Q . • Ο Q είναι αναγκαία συνθήκη για τον P .Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.Η συνεπαγωγή P  Q είναι: • ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές. • αληθής, σε κάθε άλλη περίπτωση. Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγήΈστω οι συνεπαγωγές: α = β  α2 = β2 α =βα+γ =β+γΠαρατηρούμε ότι: • Για την πρώτη συνεπαγωγή δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή α2 = β2  α = β για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β , αφού για παράδειγμα είναι (−2)2 = 22 , ενώ −2  2. -2-

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ • Για τη δεύτερη όμως συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α , β και γ , ισχύει η συνεπαγωγή: α+γ =β+γ α =β Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε α =β α+γ =β+γΓενικά:Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Qκαι όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P , τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q καιαντιστρόφως, ή αλλιώς, ότι ο P είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε: PQ.Ο ισχυρισμός « P  Q » λέγεται ισοδυναμία και διαβάζεται: • P ισοδυναμεί με Q . • P αν και μόνο αν Q . • Ο P είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για τον Q . Ο σύνδεσμος «ή»Γνωρίζουμε ότι:«Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο ανένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν.»Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους α και β είναι ίσος με το μηδέν,γράφουμε: α=0 ή β=0Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: αβ = 0  α = 0 ή β = 0Γενικά:Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P ή Q αληθεύει μόνο στηνπερίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.Ο ισχυρισμός « P ή Q » λέγεται διάζευξη των P και Q . ❖ ΠαρατήρησηΟμοίως ορίζεται η διάζευξη « P1 ή P2 ή ... ή Pκ » και είναι αληθής στην περίπτωση πουένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P1, P2, ..., Pκ είναι αληθής. Προφανώς η διάζευξη -3-

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ« P1 ή P2 ή ... ή Pκ » είναι ψευδής μόνο όταν όλοι οι ισχυρισμοί P1, P2, ..., Pκ είναιψευδείς. Ο σύνδεσμος «και»Γνωρίζουμε ότι:«Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνοαν και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός.»Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός, γράφουμε: α  0 και β  0Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: α β  0  α  0 και β  0Γενικά:Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P και Q αληθεύει μόνο στηνπερίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.Ο ισχυρισμός « P και Q » λέγεται σύζευξη των P και Q . ❖ ΠαρατήρησηΟμοίως ορίζεται η σύζευξη « P1 και P2 και ... και Pκ » και είναι αληθής μόνο στηνπερίπτωση που όλοι οι ισχυρισμοί P1, P2, ..., Pκ είναι αληθείς. Αν ένας τουλάχιστον απότους ισχυρισμούς P1, P2, ..., Pκ είναι ψευδής, τότε και η σύζευξη « P1 και P2 και ... καιPκ » είναι ψευδής. Η άρνησηΜε την πρόταση «ο αριθμός x είναι θετικός» αποδίδουμε μια ιδιότητα στον αριθμό x, ενώμε την πρόταση «ο αριθμός x δεν είναι θετικός» εννοούμε ότι ο αριθμός x δεν έχει τηνιδιότητα που του δώσαμε με την πρώτη πρόταση.Έτσι, αν η μία πρόταση είναι αληθής, τότε η άλλη είναι ψευδής.Γενικά:Αν P είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός όχι P ονομάζεται άρνηση του P,συμβολίζεται με P και χαρακτηρίζεται ως: • αληθής αν ο P είναι ψευδής • ψευδής αν ο P είναι αληθής -4-

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ❖ ΠαρατήρησηΕίναι φανερό ότι η σύζευξη « P και P » είναι πάντα ψευδής, αφού ένας από τουςισχυρισμούς P , P είναι ψευδής. Μέθοδος τηςαντιθετοαντιστροφήςΗ μέθοδος αυτή δεν πρέπει να συγχέεται με τη μέθοδο απαγωγής σε άτοπο. Βασίζεταιστο ότι ο ισχυρισμός P  Q είναι ισοδύναμος με τον αντιθετοαντίστροφο ισχυρισμόQ  P . Μπορούμε έτσι να επιλέξουμε να αποδείξουμε, αντί για την αρχική πρόταση,την αντιθετοαντίστροφή της, η απόδειξη της οποίας μπορεί να είναι ευκολότερη.Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να αποδείξουμε την ακόλουθη πρόταση:«Αν το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού είναι περιττός, τότε ο αριθμός αυτός είναιπεριττός».Η ισοδύναμη αντιθετοαντίστροφη πρόταση είναι:«Αν ένας αριθμός δεν είναι περιττός, τότε το τετράγωνό του δεν είναι περιττός»,η απόδειξη της οποίας είναι πολύ πιο απλή:Αφού ο αριθμός, έστω α, δεν είναι περιττός, θα είναι άρτιος. Θα είναι δηλαδή* . Επομένως α2 = (2ν)2 = 2 2ν2 =κ *( )α = 2ν, ν  2ν2 = 2κ , που είναι άρτιος. -5-

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ6. Να χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω προτάσεις. i) (α  0 ή β  0)  αβ  0 ii) (α  0 και β  0)  αβ  0 iii) α = β  α2 = β2 iv) α + γ = β + γ  α = β v) α  β  α2  β2 vi) (α  γ και β  γ)  α + β  2γ vii) (α  0 και β  0)  αβ  07. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς. i) αβ  0  (α  0 και β  0) ή (α  0 και β  0) ii) α = 0  α2  0 ή α2 = 0 iii) α  β και α  γ  β  γ iv) αβ = αγ  β = γ v) (α  0 ή β  0)  αβ  0 vi) α2 = β2  α = β vii) αγ  βγ  α  β viii) α2 + β2  0  α  0 και β  08. Να χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω προτάσεις. i) x2  0 για κάθε x  ii) Υπάρχει πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε x2  0 iii) Υπάρχουν α,β, γ  , ώστε α2 + β2 = γ2 iv) Υπάρχει κ  , ώστε 13 = 3κ v) Για κάθε x  , ισχύει x4  0 vi) Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 0, τότε ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 5 vii) Αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο. viii) Για κάθε α,β  και γ  0 ισχύει αγ = βγ  α = β9. Να συμπληρώσετε τις ακόλουθες προτάσεις με όσους από τους συνδέσμους «ή» ,«και» ταιριάζουν, ώστε να είναι αληθείς. i) x2  25  x  5......x  −5 ii) x = 2......x = −2  x2 − 4 = 0 iii) x =1......y = 3  (x −1)(y − 3) = 0 iv) x = 2......x = 6  (x − 2)(x − 6) = 0 v) (x − 4)(y +10) = 0  x = 4......y = −10 vi) (x  0.....y  0)......(x  0.....y  0)  xy  0 - 10 -

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ • Το σύνολο των πραγματικών αριθμών , που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.Σχόλιο Τα σύνολα που προκύπτουν αν από τα παραπάνω εξαιρέσουμε το στοιχείο 0 (μηδέν) τα συμβολίζουμε με *, *, *, * . Τα σύμβολα και • Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο ενός συνόλου Α, γράφουμε xAκαι διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α».• Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο ενός συνόλου Α, γράφουμε xAκαι διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α».Με την βοήθεια των προηγούμενων συμβολισμών έχουμε:6 , 3  , −9 , 3 , 9  , 5 8 2 Παράσταση συνόλουΥπάρχουν δύο βασικοί τρόποι για να δηλώσουμε τα στοιχεία από τα οποία αποτελείταιένα σύνολο. Ο ένας είναι με αναγραφή, αναγράφοντας δηλαδή όλα τα στοιχεία τουσυνόλου και ο άλλος με περιγραφή, περιγράφοντας δηλαδή τα στοιχεία του με βάση μίαή περισσότερες ιδιότητες που το χαρακτηρίζουν.• Παράσταση με αναγραφή Για παράδειγμα: ➢ Αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθμούς 1,3,5 και 7 γράφουμε: A = 1,3,5,7 ➢ Αν το σύνολο Β έχει ως στοιχεία τους ακεραίους από 1 μέχρι και το 100, γράφουμε: B = 1, 2,3,...,100 - 13 -

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΆμεσες συνέπειες του ορισμού του υποσυνόλου είναι:• A  A , για κάθε σύνολο Α (ανακλαστική ιδιότητα)• Αν A  B και Β  Γ , τότε A  Γ (μεταβατική ιδιότητα)• Αν A  B και Β  Α , τότε A = B (αντισυμμετρική ιδιότητα)Σχόλιο Για τα γνωστά μας σύνολα , , και ισχύει:   Το κενό σύνολοΚενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο.Το κενό σύνολο συμβολίζεται με  ή   . Για παράδειγμα το σύνολο A = x  / x2 = −1 είναι το κενό σύνολο, δηλαδή A =  ,αφού η εξίσωση x2 = −1 είναι αδύνατη.Σχόλιο Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Το βασικό σύνολοΚάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενόςσυνόλου που ονομάζεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω .Τα σύνολα , , είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω = . Διαγράμματα VennΈνας εποπτικός τρόπος παρουσίασης συνόλων, ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για τηναπεικόνιση των μεταξύ τους σχέσεων, είναι τα διαγράμματα Venn. • Συμβολίζουμε το βασικό σύνολο Ω με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Στη συνέχεια συμβολίζουμε τα υποσύνολα του Ω με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο ορθογώνιο του Ω. - 15 -

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ω Α• Αν Α και Β είναι δύο υποσύνολα του Ω και A  B, παριστάνουμε το Α με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης, που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Β. Ω ΑΒ Πράξεις με σύνολαΈστω Ω το βασικό σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολα του Ω. Μεταξύ των υποσυνόλων τουΩ ορίζουμε τις εξής πράξεις:Ένωση των συνόλων Α και Β ονομάζεται το Ωσύνολο των στοιχείων του Ω τα οποίαανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο ΑBσύνολα Α και Β και συμβολίζεται A  B .Δηλαδή: A  B = x  / x A ή x Β - 16 -

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΒ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Παράσταση συνόλων-Πράξεις συνόλων • Για να δείξουμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β (A  Β) : i) Ελέγχουμε αν όλα τα στοιχεία του Α ανήκουν στο Β. Η μέθοδος αυτή είναι εφαρμόσιμη στις περιπτώσεις παράστασης των συνόλων Α και Β με αναγραφή. ii) Υποθέτουμε τυχαίο ω Α και συμπεραίνουμε με συλλογισμούς ότι ωΒ. • Για να δείξουμε για δύο σύνολα Α και Β ότι A = Β : i) Αν τα Α και Β παριστάνονται με αναγραφή, ελέγχουμε αν έχουν τα ίδια στοιχεία. ii) Δείχνουμε ότι A  Β και Β  Α . - 19 -