Квант №5 (май 2022)

ОЛИМПИАДЫ XLIII Турнир городов Задачи весеннего тура от друга разбивают доску 20 u 21 на трими- ношки. Затем они сравнивают полученные Базовый вариант разбиения, и Петя платит Васе столько руб- лей, сколько триминошек в этих двух разби- 8–9 классы ениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выиг- 1 (3)1 . Два человека шли по прямой до- рыша может гарантировать себе Вася неза- рожке навстречу друг другу с постоянными висимо от действий Пети? скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил А.Глебов вперед от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). 10–11 классы Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака верну- 1 (4). Натуральное число умножили на 5, лась раньше – быстрого хозяина или медлен- результат снова умножили на 5 и так далее, ного? всего сделали k умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полу- А.Рубин ченных k чисел нет цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое мож- 2 (4). Петя взял произвольное натураль- но k раз умножить на 2, и снова ни в одном ное число, умножил его на 5, результат снова числе не будет цифры 7 в его десятичной умножил на 5, потом еще на 5 и так далее. записи. Верно ли, что с какого-то момента все по- лучающиеся у Пети числа будут содержать 5 А.Грибалко в своей десятичной записи? 2 (4). На Поле Чудес выросло 8 золотых С.Дориченко монет, но стало известно, что ровно три из них фальшивые. Все настоящие монеты ве- 3 (5). На Поле Чудес выросло 11 золотых сят одинаково, все фальшивые тоже, но они монет, но стало известно, что ровно четыре легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино из них фальшивые. Все настоящие монеты собрали монеты и стали их делить. Алиса весят одинаково, все фальшивые тоже, но собирается отдать Буратино три монеты, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Бурати- он хочет сначала проверить, все ли они но собрали монеты и стали их делить. Алиса настоящие. Сможет ли он сделать это за два собирается отдать Буратино четыре монеты, взвешивания на чашечных весах без гирь? но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два А.Грибалко взвешивания на чашечных весах без гирь? 3 (5). Пусть n – натуральное число. Назо- А.Грибалко вем последовательность a1,a2,…,an интерес- ной, если для каждого i 1, 2, ..., n верно 4 (5). На диагонали AC квадрата ABCD одно из равенств ai i или ai i  1. Назовем взята точка P. Пусть H – точка пересечения интересную последовательность четной, если высот треугольника APD, M – середина AD сумма ее членов четна, и нечетной – если и N – середина CD. Докажите, что прямые иначе. Для каждой нечетной интересной PN и MH взаимно перпендикулярны. последовательности нашли произведение ее чисел и записали его на первый листок. Для И.Кухарчук каждой четной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке 5 (6). Прямоугольник 1 u 3 будем называть сумма чисел больше и на сколько? (Дайте триминошкой. Петя и Вася независимо друг ответ в зависимости от n.) 1 В скобках после номера задачи указано А.Глебов число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по 4 (5). См. задачу 5 для 8–9 классов. которым достигнуты наилучшие результаты 5 (6). Четырехугольник ABCD вписан в (баллы за пункты одной задачи суммируются). окружность Z с центром в точке O. Описан-

50 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 ная окружность треугольника AOC пересе- нок). Радиусы вписанных окружностей этих кает вторично прямые AB, BC, CD и DA в шести треугольников равны. Докажите, что точках M, N, K и L соответственно. Докажи- радиусы вписанных окружностей двух ис- те, что прямые MN, KL и касательные, ходных треугольников также равны. проведенные к Z в точках A и C, касаются одной окружности. А.Кушнир А.Марданов 6 (10). Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все Cложный вариант медали из одного металла должны быть одинаковой массы, а из разных должны 8–9 классы иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела 1 (4). Найдите наибольшее натуральное неправильную массу. При этом нестандарт- число n со свойством: для каждого простого ная золотая медаль может быть только легче числа p, большего 2 и меньшего n, разность стандартной золотой, бронзовая – только n  p также является простым числом. тяжелее стандартной бронзовой, а серебря- ная может отличаться по массе от стандарт- И.Акулич ной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без 2 (7). См. задачу M2698 «Задачника «Кван- гирь найти нестандартную медаль? та». А.Грибалко 3 (7). Для каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n, ..., 9n выписали на доску 7 (12). На плоскости нарисован выпуклый первую слева цифру в его десятичной запи- многоугольник M, и дано простое число p. си. При этом n выбрали так, чтобы среди Оказалось, что существует ровно p разбие- девяти выписанных цифр количество раз- ний многоугольника M на равносторонние личных цифр было как можно меньше. Чему треугольники со стороной 1 и квадраты со равно это количество? стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника M равна p  1. А.Толпыго Н.Белухов 4. В белом клетчатом квадрате 100 u 100 закрашено черным несколько клеток (не 10–11 классы обязательно соседних). В каждой горизонта- ли или вертикали, где есть черные клетки, 1 (5). См. задачу 3 для 8–9 классов. их количество нечетно, так что одна из 2. В прямоугольной системе координат (с клеток – средняя по счету. Все черные клет- одинаковым масштабом по осям x и y) нари- ки, средние по горизонтали, стоят в разных вертикалях. Все черные клетки, средние по совали график функции y f x. Затем ось вертикали, стоят в разных горизонталях. ординат и все отметки на оси абсцисс стерли. а) (5) Докажите, что найдется клетка, Предложите способ, как с помощью каран- средняя и по горизонтали, и по вертикали. даша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если б) (5) Обязательно ли каждая клетка, средняя по горизонтали, средняя и по верти- а) (4) f x 3x; кали? б) (4) f x loga x, где a ! 1– неизвестное Б.Френкин число. М.Евдокимов 5 (10). Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 3 (8). См. задачу 5 для 8–9 классов. шесть маленьких треугольников (см. рису- 4 (8). См. задачу M2699 «Задачника «Кван- та». 5 (8). См. задачу M2700 «Задачника «Кван- та». 6 (8). См. задачу M2701 «Задачника «Кван- та».

ОЛИМПИАДЫ 51 7. Звездолет находится в полупростран- написанных ранее функций, так можно де- стве на расстоянии a от его границы. Экипаж лать много раз. В какой-то момент на доске знает об этом, но не представляет, в каком оказалась функция, равная для всех дей- направлении двигаться, чтобы достигнуть ствительных x некоторой константе c. Чему граничной плоскости. Звездолет может ле- может равняться c? теть в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет М.Евдокимов датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолет гарантиро- 5. Дан неравнобедренный треугольник ванно достигнуть границы, преодолев путь ABC. Выберем произвольную окружность Z, длиной касающуюся описанной окружности тре- угольника ABC внутренним образом в точке а) (6) не более 14а; B и не пересекающую прямую AC. Отметим б) (6) не более 13а? на Z точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались Z, а отрезки AP и CQ пересекались М.Евдокимов внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые PQ Устный тур для 11 класса проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности Z. 1. Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учи- А.Марданов тель сообщил ученикам два из этих корней. Еще он сообщил все четыре коэффициента 6. На доске написана буква А. Разрешает- многочлена, но не указал, в каком порядке ся в любом порядке и количестве эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень? а) приписывать А слева; б) приписывать Б справа; Б.Френкин в) одновременно приписывать Б слева и А справа. 2. Назовем расположенный в простран- Например, БААБ так получить можно стве треугольник ABC удобным, если для (A o БАА o БААБ), а АББА – нельзя. любой точки P вне его плоскости из отрезков Докажите, что при любом натуральном n PA, PB и PC можно сложить треугольник. половину слов длины n получить можно, а Какие углы может иметь удобный треуголь- другую половину – нельзя. ник? Фольклор, предложил А.Шень Д.Бродский Материал подготовили: Е.Бакаев, 3. Дан клетчатый квадрат n u n, где n ! 1. Н.Белухов, И.Богданов, Д.Бродский, Кроссвордом будем называть любое непус- А.Глебов, А.Грибалко, С.Дориченко, тое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную по- М.Евдокимов, А.Заславский, лоску (клетчатый прямоугольник шириной П.Кожевников, Э.Лю, М.Малкин, в одну клетку), целиком состоящую из кле- А.Марданов, Л.Медников, В.Ретинский, ток кроссворда и не содержащуюся ни в М.Святловский, А.Тертерян, А.Толпыго, какой большей полоске из клеток кроссвор- да (ни горизонтальной, ни вертикальной). Б.Френкин, И.Фролов, А.Шень Пусть x – количество слов в кроссворде, y – наименьшее количество слов, которыми мож- но покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения x y при данном n. Б.Френкин 4. На доске написана функция sin x  cos x. Разрешается написать на доске производ- ную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух

52 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Всероссийская олимпиада по физике имени Дж.К.Максвелла Заключительный этап Задача 2. Секретный продукт При производстве суперсекретного про- Теоретический тур дукта в заводских условиях в тару непре- рывно заливают три различных ингредиен- 7 класс та: сначала «красный», затем «зеленый» и, наконец, «синий» (настоящие названия за- Задача 1. Связанные препятствия секречены). Все ингредиенты заливаются с Между источником сигнала S и приемни- одинаковым постоянным объемным расхо- ком P перпендикулярно прямой, соединяю- дом. Сотрудники предприятия построили щей их, движутся навстречу друг другу с график зависимости массы продукта от вре- постоянными скоростями две пары связан- мени в процессе производства. Но в целях ных тонкой нитью пластин (рис. 1). Если соблюдения секретности график был стерт сотрудниками службы безопасности вместе с единицами измерений по осям. В то же время на нем (рис. 2) все еще можно увидеть 4 Рис. 1 Рис. 2 сигнал по пути от источника к приемнику точки, одна из которых соответствует перво- проходит через одну из пластин, приемник зажигает на дисплее желтую лампочку, если му моменту полной готовности продукта. Из через обе – красную. В момент прохожде- ния пластин мимо источника сначала на сведений, полученных по различным кана- t1 1 с на дисплее зажглась красная лам- почка, затем t2 2 с горела желтая, а потом лам, также известно, что плотности каких-то в течение t3 6 с – опять красная. Ни до, ни после этого лампочки не загорались. Изве- двух ингредиентов равны U и 2U. стно, что первые пластины и справа и слева 1) Определите плотности «красного», «зе- имеют длину L 30 см, вторая пластина справа имеет длину 3L. Считайте, что сиг- леного» и «синего» ингредиентов. нал от источника к приемнику передается мгновенно. 2) Восстановите утраченный график. 1) Определите длину Lx второй пластины 3) Найдите плотность готового продукта. слева, а также длины соединяющих пласти- ны нитей (l1 – левой и l2 – правой). Длины 4) Какую долю от общего объема составля- нитей отличны от нуля. ют объемы каждого из ингредиентов? 2) Найдите скорости движения левых (v1) и правых (v2) пластин. Примечание. Объемным расходом назы- А.Евсеев вается величина P 'V , где 'V – объем 't ингредиента, заливаемого в тару за время 't. Объем готового продукта равен сумме объе- мов ингредиентов. А.Евсеев

ОЛИМПИАДЫ 53 Рис. 3 1) При какой максимальной толщине шай- бы она сможет оторваться от дна стакана при Задача 3. Неодинаковые пружины полном удалении воздуха из шланга? Длинную легкую пружину жесткостью k В стакан с закрытым отверстием наливают ртуть плотностью Up. Обозначим Hm макси- разрезали на n частей (не обязательно оди- мальный уровень ртути, при котором ее еще можно слить из сосуда, полностью откачав наковых). Из получившихся пружин, лег- воздух из шланга. ких нерастяжимых нитей, легких гладких 2) Нарисуйте качественный график зави- симости Hm от h, обозначив на нем характер- блоков и легкой планки собрали конструк- ные значения физических величин. цию, изображенную на рисунке 3. С.Кармазин 1) Найдите силу натяжения нити Fн, пере- 8 класс кинутой через блоки, если к планке прило- Задача 1. От частного к среднему жена сила F. Дорога из пункта A в пункт B состоит из двух участков с разным качеством покры- 2) Определите, в каком диапазоне может тия. Поэтому автомобиль, выехавший из A в B, на первом участке поддерживал одну меняться значение эффективной жесткости постоянную скорость, а на втором – другую. Известно, что на первом участке автомобиль kэф полученной конструкции на растяжение находился не менее 1 8 всего проведенного в при заданном n. пути времени, а по второму проехал не менее 1 8 всего пути. При этом средняя скорость При движении планка не вращается. автомобиля на первой половине всего пути составила 2v, а средняя скорость за вторую Примечание. Эффективной жесткостью половину всего времени – v. F , где F – сила, 1) Какую максимально возможную скорость называется величина kэф мог иметь автомобиль во время движения? 'x 2) Какую минимально возможную скорость приложенная к планке, 'x – смещение план- мог иметь автомобиль во время движения? 3) Какой могла быть средняя скорость ки относительного начального положения. автомобиля на всем пути от A до B? А.Евсеев А.Евсеев Задача 4. Пневматическая заглушка Задача 2. Неодинаковые пружины См. задачу 3 для 7 класса. Отверстие площадью S в дне стакана плот- Задача 3. Симметрия есть или нет? Определите эквивалентное сопротивление но закрыто цилиндрической шайбой (рис. 4). RED между узлами E и D и сопротивление RBD между узлами B и D электрической цепи, Площадь шайбы 5S 4, толщина h, плотность сопротивления отдельных ветвей которой, выраженные в омах, указаны на рисунке 5. Uш. В месте соприкосновения шайбы с дном воздух под нее не проникает. Сверху к шайбе В.Слободянин прикреплен тонкостенный легкий шланг площадью сечения S 2, соединенный с ваку- умным насосом. Атмосферное давление p0. Рис. 4 Рис. 5

54 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 вытекает весь испарившийся диоксид. В ус- тановившемся режиме показания весов пада- ют на 0,1 г в секунду, а температура внеш- ней поверхности сосуда tвнеш 22 qC. Мате- риал стенок и дна сосуда одинаковый. 1) Определите удельную теплоту Lc субли- мации «сухого льда», если коэффициент теплопроводности стенок сосуда F 2,1 ˜ 102 Вт м ˜ qС. 2) В некоторый момент времени отверстие Рис. 6 в крышке стакана закрывают и обматывают Задача 4. Сублимация При определенных условиях может на- стакан со всех сторон теплоизолирующим блюдаться интересное явление: твердое ве- щество, минуя фазу плавления, испаряется. материалом, теплоемкостью которого мож- Данный процесс называется сублимацией. Диоксид углерода или «сухой лед» – это но пренебречь. Какова масса 'm испарив- вещество, сублимация которого при атмо- сферном давлении происходит при темпера- шегося «сухого льда» после теплоизоляции туре tс 78 qC. В лаборатории на весах стоит стакан, имеющий форму прямоуголь- стакана? Удельная теплоемкость материала ного параллелепипеда (рис. 6,a) с длиной ребра a 6 см, толщиной стенок и дна стенок c 2100 Дж к㠘 qС, а плотность h 1 мм и высотой H 10 см, заполненный сухим льдом. Стакан закрыт не проводящей U 1000 кг м3. Теплоемкостью крышки тоже тепло крышкой (на рисунке закрашена тем- нее) с небольшим отверстием, через которое можно пренебречь. Примечание. Тепловая мощность, переда- ваемая через плоскую пластину площадью S и толщиной h при разности температур 't между ее сторонами (рис. 6,б), равна N F S't . h А.Уймин Публикацию подготовил В.Слободянин Заключительный этап LV Всероссийской олимпиады школьников по физике Теоретический тур минимальное время W Настя сможет оказать- 9 класс ся рядом с автобусом, если она умеет бегать со скоростью v? Временем разгона девочки Задача 1. Автобус можно пренебречь. Настя стоит в поле на расстоянии s от прямой дороги, по которой от остановки с М.Замятнин постоянным ускорением a в ее сторону начи- нает движение автобус (рис. 1). Расстояние Задача 2. Черепахи от остановки до девочки равно l. Через какое См. задачу Ф2705 «Задачника «Кванта». Рис. 1 Задача 3. О стену На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии s от стены покоится шайба массой m. На нее налетает вторая такая же шайба, движущаяся перпендикулярно стене со скоростью u (рис. 2; вид сверху). Извест-

ОЛИМПИАДЫ 55 Рис. 2 Рис. 4 Рис. 5 но, что удары шайб о стену упругие, а при центральном столкновении самих шайб рас- сеивается доля D (0  D  1) их суммарной кинетической энергии в системе отсчета их центра масс. Постройте качественный гра- фик зависимости расстояния l между первой шайбой и стеной от времени t, отсчитываемо- го от момента первого столкновения шайб. Отметьте на нем характерные точки. Е.Весенин Задача 4. Ледяная картина После добавления в сосуд с водой некото- рого количества льда в нем устанавливается тепловое равновесие. На рисунке 3 приведе- Рис. 3 Рис. 6 на диаграмма, на которой выделены области Диоды D1 и D2 открываются при разных напряжениях (U01  U02). Их вольт-ампер- с указанием конечного состояния содержи- ная характеристика приведена на рисун- ке 5. На диаграмме (рис. 6) изображен цик- мого сосуда в зависимости от температуры tл лический процесс 1–2–3–4–1, отражающий и массы mл добавленного льда. связь силы тока I, входящего в фрагмент, и показаний вольтметра U. Масштаб по оси 1) Какая температура установится в сосу- ординат утерян, но известно, что в течение цикла сила тока I изменялась с постоянной де, если в него добавить 0,5 кг льда при по модулю скоростью k 1 мА с, а количе- ство теплоты, выделившееся на резисторах в температуре 10 qC? процессе 2–3, равно Q23 6,4 Дж. Опишите возможную последовательность действий с 2) Определите начальную температуру t и ключами, которая приведет к такому виду циклического процесса. Определите: массу m воды в сосуде. 1) напряжения открытия диодов U01 и U02; Тепловыми потерями и теплоемкостью со- 2) сопротивления резисторов R1 и R2; 3) время W , которое длился цикл; суда можно пренебречь. Содержимое из со- 4) количество теплоты Q41 , выделившееся на резисторах на участке 4–1. суда не выливается. Удельная теплота плав- Д.Рубцов ления льда O 330 кДж кг, удельная тепло- Дж к㠘 qС, удель- 10 класс емкость льда cл 2100 Дж к㠘 qС. ная теплоемкость воды c 4200 Задача 1. Три тигра Три тигра одновременно начинают движе- М.Замятнин ние по горизонтальной поверхности с посто- янными по модулю скоростями. Скорость Задача 5. Электроцикл первого тигра в любой момент времени на- Фрагмент электрической цепи состоит из правлена на второго, скорость второго – на соединенных параллельно диодов, резисто- ров, ключей и идеального вольтметра (рис. 4).

56 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Рис. 7 осями колес 2l. Центр масс тележки O выше пола на h и на x (x ! 0) правее средней точки третьего, а скорость третьего – на первого. В между осями. Электродвигатели сообщают начальный момент времени тигры образуют колесам быстрое встречное вращение, как прямоугольный треугольник с катетами, рав- показано на рисунке 8. Коэффициент тре- ными L (рис. 7). Считайте размеры тигров ния колес о пол P (P  l h). Массой колес много меньшими L. Модуль скорости перво- можно пренебречь. Ускорение свободного го тигра v1 v, где v – известная величина, а падения g. Определите: скорости второго и третьего тигров v2 и v3 таковы, что в процессе движения углы в 1) ускорение тележки в начальный момент треугольнике ABC, образованном тиграми, времени, если ее колеса не отрываются от остаются постоянными. Введем систему ко- пола; ординат так, как показано на рисунке. Нача- ло координат совпадает с положением перво- 2) при каком(их) значении(ях) возможно го тигра в момент старта (точка A). При движение без отрыва колес. ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и И.Воробьев могут развивать любое усилие. Найдите: Задача 4. Неизвестная жидкость под 1) время t, через которое тигры встретят- поршнем ся; См. задачу Ф2706 «Задачника «Кванта». 2) модули скоростей второго и третьего тигров v2 и v3; Задача 5. Термоисточник 3) координаты x,y точки, в которой Источник состоит из соединенных после- тигры встретятся. довательно идеального источника постоян- В действительности движение тигров огра- ного напряжения E и терморезистора, сопро- ничивается коэффициентами трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одина- тивление которого зависит от температуры ков и равен P. Ускорение свободного паде- по закону R R0 1  D t  t0 , где R0 – ния g. сопротивление резистора при температуре 4) В течение какого времени W с момента старта тигры могут поддерживать такое дви- t0 0 qC, t – установившаяся температура жение? резистора, D – постоянный коэффициент А.Уймин (рис. 9). На графике (рис. 10) приведена Задача 2. Поле цилиндра нагрузочная кривая источника, т.е. зависи- См. задачу Ф2707 «Задачника «Кванта». мость установившегося напряжения U меж- Задача 3. Электрическая тележка Электрическая тележка для перемещения ду его клеммами от силы протекающего грузов состоит из двух цилиндрических ко- лес и корпуса (рис. 8). Расстояние между через него тока I. При протекании тока I1 0,55 А цепь разрывается, так как резис- тор плавится. Температура плавления изве- стна и равна E tпл 306 qC . Мощ- ность тепловых потерь в окружающую среду Рис. 9 от нагретого до темпе- Рис. 8 Рис. 10

ОЛИМПИАДЫ 57  ратуры t резистора равна N E t  tсреды , Рис. 12 где E – постоянный неизвестный коэффици- прижат к торцу цилиндра, воздуха внутри ент. Считайте, что температура окружаю- нет. В первом случае цилиндр заполняют щей среды tсреды t0. Определите: воздухом до объема V0, медленно перемещая поршень, после чего останавливают, а затем 1) напряжение E идеального источника; освобождают поршень. 2) сопротивление R0; 3) напряжение UAB между клеммами A и 1) Определите температуру воздуха в ци- B, если к ним подключить резистор сопро- линдре T1 в момент остановки поршня при тивлением 10 Ом; объеме V0, а также температуру T2 после 4) величину D; освобождения поршня и прекращения его 5) какую силу тока гарантированно не движения. сможет пропускать аналогичный резистор, имеющий те же значения параметров R0 и D, Во втором случае поршень резко переме- но очень высокую температуру плавления. щают в положение, при котором объем под поршнем равенV0, так что воздух не успевает Д.Рубцов проникнуть через клапан в цилиндр. В этом положении поршень фиксируют, дожидают- 11 класс ся заполнения цилиндра воздухом и так же, как в первом случае, освобождают поршень. Задача 1. Две резинки На горизонтальной поверхности в точке O 2) Определите и для этого случая темпера- удерживают шайбу массой m, связанную с туру воздуха в цилиндре T1c после остановки двумя невесомыми резинками, продетыми поршня и заполнения цилиндра воздухом и через зафиксированные на этой поверхности температуру T2c после освобождения поршня гладкие колечки B и C (рис. 11). Другие и прекращения его движения. Считайте, что процесс заполнения цилиндра воздухом про- Рис. 11 исходит квазистатически, клапан закрыва- ется мгновенно после того, как разность концы резинок закреплены в точках A и D, давлений оказывается меньше пороговой. при этом AB CD L, BC 2L, BO CO L 2. Длины обеих резинок в Снаружи цилиндра воздух находится при свободном состоянии равны L, а коэффици- атмосферном давлении и температуре T0. енты жесткости kOBA k , kOCD 3k, где k – Трением поршня о стенки, массой поршня, а известная величина. Коэффициент трения также теплообменом воздуха с поршнем и шайбы о поверхность P, а резинки не касают- стенками цилиндра можно пренебречь. Воз- ся поверхности. Ускорение свободного паде- дух можно считать двухатомным идеальным ния g. Шайбу отпускают. газом. После отпускания поршня клапан все время остается закрытым. 1) Найдите максимальную скорость vmax шайбы в процессе дальнейшего движения. А.Аполонский 2) Определите время W от момента старта Задача 3. Колебания заряда до момента, когда максимальная скорость Длинная диэлектрическая тонкостенная достигается. труба радиусом R, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда V, закреп- А.Уймин лена горизонтально в поле тяжести g (рис. 13). К верхней точке трубы одним Задача 2. Цилиндр и клапан В торце теплоизолированного цилиндра с поршнем установлен клапан (рис. 12), пере- крывающий небольшое отверстие, который открывается и начинает пропускать воздух снаружи в цилиндр при перепаде давлений 'p p0 3 (p0 – атмосферное давление). Воз- дух из цилиндра наружу клапан не пропус- кает. В начальный момент времени поршень

58 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 13 нелинейного элемента. В данной задаче рас- сматриваются две электрические цепи, со- концом прикреплена невесомая нерастяжи- держащие данный нелинейный элемент. мая непроводящая нить длиной R, на другом конце нити закреплен маленький заряжен- Часть 1. Электрическая цепь, схема кото- ный шарик массой m. Знаки зарядов шарика рой приведена на рисунке 16, состоит из и трубы совпадают. Шарик сначала удержи- источника постоянного напряжения с пре- вают так, что нить не натянута, а затем небрежимо малым внутренним сопротивле- отпускают. Через некоторое время движение нием, резистора сопротивлением R и нели- прекращается, причем нить принимает фор- нейного элемента с известными параметрами му прямого отрезка, перпендикулярного оси U1 и A. цилиндра. 1) При каких значениях напряжения ис- 1) Какие значения может принимать вели- точника U0 в цепи может протекать постоян- чина заряда шарика q? ный электрический ток? 2) Определите величину силы натяжения Часть 2. Электрическая цепь, схема кото- нити при значениях заряда, полученных в рой приведена на рисунке 17, состоит из первом пункте, и постройте график этой источника постоянного напряжения U0 с пренебрежимо малым внутренним сопротив- зависимости Fн q с указанием характерных лением, резистора сопротивлением R, кон- денсатора емкостью C 10 мФ и нелиней- точек и участков. ного элемента, для которого U1 2 В. Изна- 3) Пусть модуль заряда шарика q, причем чально конденсатор не заряжен. Затем в результате кратковременного внешнего воз- q ! 2H0mg V. Определите период малых гар- действия в цепи начинает протекать электри- монических колебаний шарика, происходя- ческий ток. На рисунке 18 представлен гра- щих в плоскости рисунка. А.Аполонский Задача №4. Соленоид и виток См. задачу Ф2708 «Задачника «Кванта». Задача 5. Нелинейный элемент и конден- сатор Рис. 16 Рис. 17 Рассмотрим нелинейный элемент (рис. 14) такой, что при протекании через него тока в направлении от A к B зависимость напряже- ния UAB от силы тока I описывается форму- лой UAB A, 0. Если U1  I где U1 ! 0 и A ! сила тока, текущего через элемент, равна нулю, то напряжение на нем может прини- мать любые значения. В противоположном направлении электрический ток протекать не может. На рисунке 15 качественно пред- ставлена вольт-амперная характеристика Рис. 18

ОЛИМПИАДЫ 59 фик зависимости напряжения на конденса- 2) Найдите U0, R и A. торе UC от силы тока в цепи I. Точка 1 3) Найдите количество теплоты QR , выде- соответствует моменту времени начала про- лившееся на резисторе за все время протека- текания тока, точка 2 – достижению макси- мального напряжения на конденсаторе, а ния тока в цепи. пунктирная линия 23 – прекращению проте- кания в цепи электрического тока. 4) Определите время W , в течение которо- го в цепи протекал ток. А.Уймин Победители олимпиады 9 класс Гаранов Илья – Москва, Кобозев Артем – Москва, Прохоров Павел – Москва, Чайка Максим – Москва, Винокурова Елизавета – Тюменская об- ласть, Муравьев Михаил – Кировская область, Иванов Максим – Пензенская область, Битлев Роберт – Санкт-Петербург (8 класс), Чувилин Владислав – Москва, Аверьянов Александр – Москва; Куимов Данила – Кировская область; 10 класс 11 класс Душанин Алексей – Московская область, Калашников Олег – Московская область, Ершов Александр – Московская область, Ерин Вадим – Московская область, Буторин Глеб – Москва, Гладышев Илья – Москва, Стеценко Георгий – Санкт-Петербург, Гуляев Артем – Москва, Бобков Вячеслав – Москва (9 класс), Яковлев Алексей – Москва, Паюсов Никита – Кировская область, Пермяков Максим – Республика Мордовия, Мякутин Иван – Москва, Терехова Ольга – Московская область, Важенин Юрий – Москва, Кравацкий Алексей – Москва, Кировичев Сергей – Санкт-Петербург, Виноградов Иван – Санкт-Петербург. Гаврилов Даниил – Московская область (9 класс), Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ «Квант» для младших школьников (см. «Квант» №4) 1. Один из возможных примеров приведен на рисунке 1. Рис. 2 Рис. 1 Рис. 3 2. 769999. Рис. 4 Первое решение. Сумма пяти последних цифр числа по условию делится нацело на 6 (частное отрезков должен быть свободен (если отмечены равно первой цифре). Сумма четырех последних оба конца, то куски сыра должны располагаться цифр числа также делится нацело на 6 (частное на прямой, перпендикулярной этому отрезку, а равно второй цифре). Поэтому вторая цифра, значит, подходящих мест будет ровно 6; рис. 4). как разность двух чисел, делящихся на 6, также Отсюда можно вывести и то, что больше 26 делится на 6. Значит, вторая цифра 0 или 6. задумчивых мышек быть не может: если один из Если она равна 0, то и сумма последних четырех концов свободен, то у нас есть минимум 10 цифр также равна 0, а значит, и первая цифра неотмеченных перекрестков. равна 0, но шестизначное число с нуля начинать- 2. Сюжет задачи отсылает к известному мыслен- ся не может. Итак, этот вариант не подходит, и ному эксперименту, наиболее ярко описанному вторая цифра равняется 6. Тогда сумма после- немецким математиком и философом рубежа дних четырех цифр равняется 6 ˜ 6 36, а зна- XVII–XVIII веков Готфридом Вильгельмом Лейб- чит, все они равны 9. Наконец, сумма последних ницем: «Голодный осел, оказавшийся на одина- пяти цифр равняется 42, и, следовательно, пер- ковом расстоянии от двух совершенно одинако- вая цифра равняется 42 : 6 7. Тем самым иско- вых охапок сена, умрет с голоду, так и не мое число – это 769999. выбрав, какую съесть». Этот эксперимент при- Второе решение. Сумма последних 4 цифр в 6 думан не Лейбницем, он встречается и у других раз больше, чем вторая цифра, значит, сумма философов, рассуждавших о свободе выбора – у последних 5 цифр равна 7 вторым и равна 6 нидерландского философа XVII века Бенедикта первым цифрам. Следовательно, 7 вторых цифр Спинозы и даже у древнегреческого ученого равны 6 первым, значит, первая цифра равна 7, Аристотеля в его трактате «О небе», где он а вторая равна 6; тогда сумма последних четы- иронически приведен в споре с софистами в рех равна 36, а это достижимо, только если все 4 качестве примера абсурдного умозаключения. А последние цифры – девятки. самого осла обычно называют буридановым в Комментарий. Можно решить задачу, перебрав честь французского философа XIV века Жана все возможные варианты (от 0 до 9) значения Буридана. Выражение «буриданов осел» вошло второй цифры числа. Например, если эта цифра в язык как обозначение нерешительного, сомне- равна 9, то сумма цифр правее нее в 6 раз вающегося, колеблющегося человека. больше, т.е. 9 ˜ 6 54, но тогда сумма всех цифр правее первой равна 9  54 63. Так как число 63 не делится на 6, вариант, что вторая цифра 9, не подходит и т.д. 3. а) Ответ показан на рисунке 2. б) Максимальное число мест для задумчивых мышек равно 26 (рис.3). Комментарии. 1. В любом примере для пункта б) один из концов каждого из следующих 10

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 61 4. 98. равные синие стороны с углом 90q  60q 150q Будем считать, что сержант построил шеренгу солдат между двумя столбами. После первой между ними. Тогда CE ED EF. Далее можно команды каждый новобранец смотрит либо в затылок соседу, либо в лицо, кроме двух солдат продолжить решение двумя способами. с краю, которые могут смотреть на столбы. Если солдат смотрит в затылок соседу, то после Первый способ. При этом ‘BEC ‘AED разворота этот сосед будет смотреть в затылок ему. Поэтому число смотрящих в затылок не 180q  150q 2 15q, значит, ‘CED 60q  поменяется. Крайний солдат, смотревший на столб, после  15q  15q 30q, и ‘CEF 30q  60q 90q. Итак, разворота не будет этого делать; напротив, если он не смотрел на столб, то после разворота CEF – прямоугольный равнобедренный треу- будет. Таким образом, количество смотрящих на столб либо не изменится (был 1 и останется 1), гольник, откуда ‘ECF 45q и ‘DCF 90q  либо увеличится на 2 (было 0, станет 2), либо уменьшится на 2 (было 2, станет 0).  ‘BCE  ‘ECF 90q  15q  45q 30q. Так как общее число солдат постоянно, число смотрящих в лицо также либо не изменится, Второй способ. Так как точка E равноудалена либо увеличится или уменьшится на 2. По условию, число солдат, смотрящих в лицо, от C, D и F, то E – центр описанной окружности сначала составляло шестую часть числа смотря- щих в затылок, а потом седьмую часть. Значит, треугольника CDF. Значит, угол DEF в 2 раза их количество уменьшилось (и, стало быть, умень- шилось на 2). С другой стороны, оно изменилось больше угла DCF. Поэтому ‘DCF 60q 2 30q. на 1 6  1 7 1 42 от неизменного числа смотрев- 27. а) 5049994950; б) 205. ших в затылок. Выходит, смотревших в затылок было 2 ˜ 42 84 человека, а смотревших в лицо а) Обозначим прогрессию a1,a2,…,a100, ее раз- друг другу до разворота было 84 : 6 14. Смот- ность – d. Так как a100  a1 99d, то первый и рящих на столбы при этом не было. Таким последний члены должны иметь одинаковые ос- образом, общее число новобранцев 84  14 98. татки при делении на 99. Конкурс имени А.П.Савина (см. «Квант» №3) Выберем a1 и a100 так, что a1  a100 и они дают одинаковые остатки при делении на 99. Тогда d, 25. Не могло. а значит, и вся прогрессия, восстанавливаются В первый год было сыграно N N  1 2 матчей, а однозначно. Сначала выберем остаток одним из значит, и побед было столько же, поэтому каж- 99 способов, затем выберем два числа из дый выиграл по N  1 2 раз. Так как это целое 999999 10101 чисел с таким остатком. Получим число, N нечетно. Аналогично, в следующем 99 году было сыграно матчей и одержано побед 99 ˜ 10101˜ 10100 ответ 99 ˜ C120101 2 5049994950. N  1 N 2, а значит, каждый выиграл N 2 раз, б) Обозначим прогрессию a1,a2,…,a10. Прогрес- т.е. N четно – противоречие. 26. 30q. сия состоит из натуральных чисел, значит, ее Проведем отрезок CE (рис. 5). Треугольники BCE и ADE равны, так как в каждом есть по две знаменатель – рациональное (не обязательно на- туральное!) число, пусть это p, где p и q взаим- Рис. 5 q ¸·9. § p ¹ но просты и p ! q. Тогда a10 a1 ˜ ¨ q Так как © это целое число, то a1p9 делится на q9, а значит, и a1 делится на q9. Поэтому обозначим a1 cq9, где c – натуральное. Итак, прогрессия a1,a2,…,a10 представляет собой cq2, cpq8, cp2q7,…, cp8q, cp9. Для выбора такой прогрессии достаточно взять натуральные c, p, q так, что p ! q и cp9 d 99999. Разберем три случая, каким может быть p. x Если p 2, то q 1; c d 99999 , что дает 29 ª99999 º 195 вариантов для c. ¬« 29 ¼» x Если p 3 , то для q два варианта – 1 или 2; c d 99999 , что дает ª99999 º 5 вариантов для c, 39 ¬« 39 ¼» а значит, всего 2 ˜ 5 10 вариантов. x Если p t 4, то cp9 t 49 262144 ! 99999 – про- тиворечие. Получаем в сумме 195  10 205 вариантов. 28. В обоих пунктах ответ 56.

62 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Рис. 6 Калейдоскоп «Кванта» а) Проведем в каждой клетке диагональ из лево- Вопросы и задачи го нижнего угла в правый верхний (рис.6,а). 1. Увы, этот опыт не удастся. Поле тяготения Солнца сообщает одинаковое ускорение всем ча- Тем самым весь квадрат 8 u 8 окажется разрезан стям используемого прибора. 2. Резко выдернуть платок из-под бутылки, ско- на 16 полосок: 14 трапеций и 2 треугольника. рее всего, не получится – ее положение слишком неустойчиво. Однако, равномерно и несильно Тогда каждая фигурка занимает два треуголь- постукивая кулаком одной руки по столу недале- ко от бутылки, другой рукой платок можно ак- ничка (по полклетки) в какой-то трапеции. Но куратно вытянуть. Дело в том, что при вибраци- ях сила трения уменьшается, главное – подо- каждая трапеция состоит из нечетного количе- брать интенсивность и частоту ударов. 3. Колесики, приводящие в движение генерато- ства таких треугольничков, а значит, в каждой ры, вращаются из-за трения об обод одинаково, так как велосипеды едут с равными скоростями. из 16 полосок хотя бы по полклетки будет не Значит, и фонарики будут светить одинаково. 4. Для этого спичку достаточно согнуть посере- занято фигурками. Следовательно, незанятая дине. 5. Оказывается, это возможно. Видимо, дело в площадь не менее 16 2 8, поэтому занято не том, что поверхность яйца не гладкая, на ней имеется множество мелких выступов, которые не более 64  8 56 клеток, а поэтому и фигурок не дадут ему упасть. Правда, нужно большое терпе- ние и время (подробности – в «Кванте» №2 за более 56. 2011 г.). 6. Когда бутылка переворачивается, поначалу Пример привести нетрудно: оставим в каждой давление водяного столба и воздуха в ней боль- ше наружного давления, поэтому вода выливает- полоске пустыми те треугольнички, которые при- ся, пока давления не сравняются. Но затем над оставшейся водой возникает разрежение, а зна- мыкают к верхней и нижней границам квадрата. чит, давление снизу, со стороны открытого гор- лышка, становится больше внутреннего давле- Оставшиеся части полосок можно заполнить фи- ния воздуха, воздушный пузырь прорывает слой воды и лопается над нею – этот звук мы и гурками, ориентированными так же, как синяя. слышим. 7. Быстрее потухнет спичка, лежащая на метал- б) (Это решение предложила участница конкур- ле, дольше будет гореть та, что лежит на дереве (хотя сама поверхность не загорится), посколь- са Александра Нестеренко.) В этом пункте тот ку металл намного лучше камня и дерева отво- дит получаемое тепло. же ответ, а следовательно, и пример подходит 8. При нагревании арбуза его кожура расширя- ется, за этим должно последовать и расширение тот же. сердцевины. На это необходима энергия, а так как снаружи она уже не поступает, то берется из Докажем оценку. В каждой из рассмотренных «внутренних резервов» – и арбуз охлаждается. 9. Утром происходит испарение росы, а вече- ранее трапеций проведем среднюю линюю – по- ром – ее конденсация из насыщенного водяными парами воздуха. Первый процесс идет с погло- лучим зеленые линии, как на рисунке 6,б. Рас- щением тепла, а второй – с его выделением. 10. Нет, термометр не менял бы своих показаний. стояние между зелеными линиями такое же, как 11. Полная Луна наблюдается только в то время, когда Солнце ушло за горизонт. Летом оно пре- ширина фигурки, поэтому каждую фигурку пе- бывает там очень недолго, столько же видна и полная Луна. Зимой же происходит обратное ресекает ровно одна линия. Отдельный случай явление. составляют фигурки, которые граничат с двумя зелеными линиями (зажаты между линиями – как синяя фигурка на рисунке). Чтобы изба- виться от этого исключения, будем рассматри- вать все фигурки без левой верхней границы (она изображена пунктиром), но с правой ниж- ней. Тогда действительно каждая фигурка пере- секает ровно одну зеленую линию, причем по отрезку длины 2. Длины 14 зеленых линий составляют 3 2, 5 2, 22 7 2, …, 15 2 – по две линии каждой длины. 22 При этом на каждой линии будет занято не- сколько раз по 2, а значит, будет занято не более чем 2 1  2  …  7 7 ˜ 8 56 отрезков по 2. Следовательно, и фигурок не более 56.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 63 12. Так как со временем нить накала лампы Uш2 3 Uр, Uш3  3 Uр. утончается, то ее сопротивление растет, сила 5 5 тока через нее уменьшается, а мощность и яр- кость падают. 8 класс 13. Если подводящие провода достаточно тол- стые, то их сопротивление мало и, в соответ- 1. 1) vmax 11 6 v; 3) 4 v d vср d 3 v. ствии с законом Джоуля–Ленца, потери в них на 3 v; 2) vmin 11 3 2 тепловыделение также будут малы. 14. Для быстрого сбора гвоздей, очевидно, ну-  3. RED 5 Ом = 1,7 Ом, RBD 5 Ом. жен магнит. Однако, «фишка» в условии – как 3 всыпать гвозди в коробку? Для этого нужно 4aH  a2 F tвнеш  tc  | 580 кДж кг, перед сбором обернуть магнит бумагой, вместе с 4. 1) Lc ней внести в коробку, а затем вытащить магнит Ph из бумажной обертки – все гвозди сами посыпят- где P 0,1 г с – скорость, с которой уменьшается ся на дно. масса «сухого льда»; Всероссийская олимпиада 2) 'm cUh2P 5 г. по физике имени Дж.К.Максвелла 2F 7 класс Заключительный этап 1. 1) Lx 7L 210 см, l1 L 30 см, l2 0,5L LV Всероссийской олимпиады 15 см; 2) v1 30 см с, v2 15 см с. школьников по физике 2. 1) Uк 2U, Uc U, Uз 12U; 2) см. рис. 7; 9 класс 1. W 2 v2  la  v4  2v2la  a2s2 (задачу a2 можно решать в системе отсчета дороги или автобуса, а также можно воспользоваться мето- дом аналогий: равноускоренное движение девоч- ки в системе отсчета автобуса эквивалентно дви- жению тела, брошенного со скоростью v в одно- родном гравитационном поле с ускорением сво- бодного падения а). 3. См. рис. 9 (на первом этапе первая шайба движется к стене со скоростью 1  Eu 2, где Рис. 7 3) Uгп 4,2U; 4) Vк 9 , Vc 3, Vз 1 V 20 V 10 V 4. 3. 1) Fн 2 F 1; 2) kэф n  12 k (результат n  не зависит от длин конкретных пружин). 4. 1) hmax p0 ; 2) см. рис. 8, где Uш1 ! 3 Uрт, 5Uш g 5 Рис. 8 Рис. 9 E 1  D , на втором этапе шайба движется от стены со скоростью 1  Eu 2, на третьем этапе она покоится на расстоянии s 1  D ). 4. 1) tуст 0 qC; 2) t 88 qC, m 165 г. 5. 1) U01 4 B, U02 8 B; 2) R1 400 Ом, R2 200 Ом; 3) W 100 c; 4) Q41 0,8 Дж.

64 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 10 класс R I1Umax 997 Ом,A I1I22Umax | 3,99 L; v, v ; 3) x 4L, I1  I22 | I1  I22 мВт; v 2 25 1. 1) t 2) v2 v3 y 2L; 4) W L  v при P ! v2 , в против- 3) QR RCS | 370  383 мДж, где S | 5 v 2Pg 2gL | 37,1  38,3 мВт; ном случае W 0. 4) W C § U0  U1 Umax  RS  U 2 · | A ¨¨© max ¹¸¸ 3. 1) Ускорение направлено влево и равно 2 a Pgx ; 2) x  l  Ph. l  Ph | 10,9 r 1,6 c. 5. 1) E 10 B; 2) R0 10 Ом; 3) UAB 4 B; 4) D 5,1 ˜ 103 град1; 5) I ! 0,71 A. 11 класс 1. 1) vmax L 5k  Pg m; 2) W T , где m 2 k 4 КВАНТ T 2S m – период гармонических колебаний 4k НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ шайбы, как если бы она находилась под воздей- Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов, А.Ю.Котова, Н.М.Панюнин, ствием пружины жесткостью 4k. 8 В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан 7 5 НОМЕР ОФОРМИЛИ 2. 1) T1 T0, T2 8 T0; 2) T1c 5 T0, T2c T0. 7 М.Н.Голованова, Д.Н.Гришукова, 2H0mg ; А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина 3. 1) q t V 2) Fн mg при q1 < q < 2q1, где ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ q1 = 2H0mg , и Fн qV  mg при q > 2q1, см. РЕДАКТОР V 2H0 М.Н.Грицук рис. 10; 3) T 2S 4mRH0 при q ! 4H0mg qV  4mgH0 V КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА Рис. 10 М.Н.Грицук, Е.А.Митченко иT 2S 2mRH0 при 2H0mg d q  4H0mg. Журнал «Квант» зарегистрирован 4mgH0  qV V V в Комитете РФ по печати. 5. 1) U0 t U1  2 AR; Рег. св-во ПИ №ФС77–54256 2) U0 U1  Umax  2I1I2Umax | 11,99 B , где Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № I1  I2 2 Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, Umax | 6 B, I1 | 9,6 A (сила тока в цепи в точке «Квант» 1), I2 | 2 A (сила тока в точке 2), Тел.: +7 916 168-64-74 Е-mail: [email protected], [email protected] Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «Принт-Хаус» г. Нижний Новгород, ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8 Тел.: (831) 218-40-40

ШАХМАТНАЯ СТРАНИЧКА РедкаЯ оценив опасность пешки b. онном стиле – визитная карточ- 33…>g4 (но не 33…/e5 34.qc7 ка классических шахмат! КЛАССИКА >d5 35. qf7+ 7g8 36. qd7, и у белых лучше) 34.qc7>e5 35. f4 Решающая партия игралась В 2022 году постепенно начи- /d3 36. qd3 >d3 37. qf7+ 7g8 на тай-брейке в рапид и показа- нают сбываться пессимистичные 38.qd7 b3! (с постоянной угро- ла огромную разницу в качестве прогнозы экспертов об «ускоре- зой b2) 39. qd8+ 7g7 40. qd7+ игры на разных контролях. нии» шахмат и, как следствие, 7f8 41. mc4 b2 42. mb2 >b2 падении качества игры. Многие 43. qa7 >a4 44. qa5 >b6 45. g4 М.Вашье-Лаграв – У.Со организаторы соревнований от- >d7 (точнее 45…/d6 46. f5 gf Бухарест 2022, рапид казываются от классических 47.qf5+ 7g7) 46. ug3 /e3+ шахмат в пользу рапида и бли- 47. uh4 >f6 48. qa8+ 7f7 32... 3g4? (черные не нахо- ца. Так, в престижной серии 49. qa7+ /e7 50. qa5 >e4 51. f5 дят простое 32... 3e2+! 33. ug2 Grand Chess Tour в этому году /d7 52. fg+? (стоило попробо- /e5 с выигрышем фигуры) 33. b4 лишь два турнира из пяти про- вать 52. qa4 /e7 53. fg+ hg ab 34. ab /f6 35. ue1! /e6+ водятся с классическим контро- 54. uh3) hg 53. qa4 /e7 54. qa5 36. ud2! 3g6? (точнее 36.../e2+ лем. Победителем первого из 7f6 55. g5+ 7f7 56. ug4 >d6 37. uc1 h5, запирая короля на них стал французский гроссмей- 57. qa4 >f5 58. h4? (лучше первой горизонтали) 37. qe1+ стер Максим Вашье-Лаграв. 58. uf3) >g7 59. uf3 >h5 (с /a6 38. qe5 >d6 39. h5 3f6 (с угрозой/e5) 60.qb4/d7 61. ug4 угрозой ... 3e5!) 40. f4 >f5 А.Фирузджа – М.Вашье-Лаграв /d6 62. qe4 /d1 63.qa4 7e6 41. g4 >h4 42. se4+ g6 43. b5 Бухарест, 2022 64.qa6+/d6 65.qa47e5 66.qa3 /a5 44. b6 3d8+ 45. uc3 3d1 /d4+ 67. uh3 7 f5 68.qa5+7e4 46. sc2 3a1+ 47. ub4?? (пра- 1. d4 >f6 2. c4 g6 3. mf3 +g7 69.ug47e3+ 70. uh3/e4 71.qa1 вильно 47. uc4!/a2 48. hg+>g6 4. g3 c6 5. og2 d5 6. 0-0 0-0 7f2 72.qa2+ 7f3 73.qa3+ /e3 49. sf5, сохраняя возможность 7. me5 dc 8. mc4 +e6 9. b3 +d5 74.qa4 >f4+, и белые сдались. убежать в лагерь черных)>f3?? 10. ob2 >bd7!? 11. mc3 +g2 (47.../a2! 48. sa2 3a2 с выиг- 12. ug2 b5 13. md2 e5 14. de У.Со – Ш.Мамедьяров рышем ферзя) 48. sb3?? (бе- >e5 15. mde4 >eg4 16. mf6+ Бухарест, 2022 лые отдают свою ладью, вместо >f6 (к более сложной игре вело того чтобы выиграть чужую пос- 16…3f6 17. e43e6 18.sc2/ad8) 35. od4 +c6 36. f3 h5 37. sf2 ле 48. hg+ fg 49. of8!+ 7f8 17. sc2 3e7 18. qfe1 3c5 3f8 38. sb2 3b8 39. sd2 7g6 50.qa5)>e5 49. fe3e1+ 50. uc4 19. qac1 /fe8 20. md1 3c2 (активнее 3e8! с контригрой по 3e2+? Черные сами подталки- 21. qc2/e6 22.me3/d8 23. mf1 линии e) 40. se3 7f7 41. oc3 вают короля к пешке, к выигры- >d5 (с угрозой >b4) 24. og7 +d7 42. uh2 3d6 43. ug3 7g6 шу вело 50... 3c1+! 51. ud3 7g7 25. a3 a5 26. md2 b4 27. a4 44.uh4+b5 45.sd4+d7 46. sd2 3f1+ 52. ud43f2+ 53.se33e3+ /e3 28. qc6 (интереснее выгля- +c6 47. od4 +d7 48. g3 +e8 54. ue3/c5, и ладья останавли- дело 28. qb2!?/e7 29. mc4)/c3 49. sb2 3c6 (стоило заблокиро- вает пешку b. 51. ud5 3g4? Две 29. mc4 /b3 30. e4 /e8 31. md6 вать пешку слоном 49…+b5) ошибки подряд – приговор для /e6 32. qd1 >f6. 50. sa3 3a4 51. se3 (с угрозой черных. Сохраняло равенство поставить мат после 3e6) 3d7 51...gh 52. b7/b5. 52. ud6 3с8, 33. e5? Динамическое рав- (лучше 51…7f7) 52. b5!+ 3b5?, и черные сдались, не дожида- новесие сохранялось после и, не дожидаясь 53. sе6, чер- ясь 53. sf7 с потерей всех пешек 33.qd4, ходом в партии белые ные сдались. Победа в позици- на королевском фланге. решили забрать пешку h7, недо- А.Русанов