Квант №5 (май 2022)

№5 2022 МАЙ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА В номере: УЧРЕДИТЕЛИ 2 Гамов: Георгий Антонович, Джордж, «Джо». Российская академия наук Математический институт Л.Ашкинази им. В.А.Стеклова РАН 14 Игра в 15. К.Кохась Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН ЗАДАЧНИК «КВАНТА» ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 21 Задачи М2698–М2701, Ф2705–Ф2708 23 Решения задач М2686–М2689, Ф2693–Ф2696 А.А.Гайфуллин «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 30 Задачи Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов, 31 Осторожно, проценты! С.Дворянинов М.Н.Бондаров, А.А.Варламов, КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» С.Д.Варламов, А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, Н.П.Долбилин, 32 Опыты и наблюдения С.А.Дориченко, В.Н.Дубровский, А.А.Заславский, А.Я.Канель-Белов, Ш К О Л А В «КВАНТЕ » П.А.Кожевников (заместитель главного редактора), С.П.Коновалов, К.П.Кохась, 34 Как переформулировать задачу? Ю.Блинков А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский, ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, 39 Как по рельсам скользя. А.Власов А.В.Устинов, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора) ОЛИМПИАДЫ РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 49 ХLIII Турнир городов. Задачи весеннего тура А.В.Анджанс, В.И.Берник, 52 Всероссийская олимпиада по физике А.А.Боровой, В.В.Козлов, С.П.Новиков, А.Л.Семенов, имени Дж.К.Максвелла С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов 54 Заключительный этап LV Всероссийской РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА олимпиады школьников по физике ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 60 Ответы, указания, решения И.К.Кикоин Вниманию наших читателей (29) ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ НА ОБЛОЖКЕ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА I Иллюстрация к статье «Гамов: Георгий А.Н.Колмогоров Антонович, Джордж, «Джо» II Коллекция головоломок Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, III Шахматная страничка И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, IV Прогулки с физикой В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Гамов: Георгий Антонович, Джордж, «Джо» Л.АШКИНАЗИ РАССКАЗЫВАЯ О ГАМОВЕ, ЭТОМ этой редчайшей способностью видеть глу- достаточно известном ученом-физике, бинные связи между самыми разнообраз- нам хотелось бы не просто перечислить, ными идеями в науке и даже искусстве. Он что было в биографии персонажа, но и обожал физику до такой степени, которая объяснить – почему, откуда, вследствие доступна лишь немногим, и, более того, чего. Попытаемся провести анализ – найти умел сообщать это чувство наслаждения и причинно-следственные связи, выделить воодушевления своим книгам и лекциям, закономерное и случайное и отметить так адресованным как ученым, так и всем, называемые развилки. интересующимся наукой». Что говорили и писали о Гамове и о его Эдвард Теллер («отец водородной бом- работе коллеги-физики, которые прекрас- бы»): но его знали? «Гамов обладал исключительно живым Кристиан Мёллер (теория относитель- воображением. Это был приятнейший ма- ности, квантовая механика): лый, и к тому же он был единственным из моих друзей, кто считал меня математи- «Временами возникало ощущение, что ком... Пожалуй, как это ни печально, я на самом деле он использует все свое время должен сказать, что девяносто процентов и энергию на придумывание шуток и гру- гамовских теорий были неверны, и не боватых острот и что он именно это считал, стоило большого труда убедиться, что дело так сказать, своей главной задачей, а важ- обстоит именно так. Но он не спорил. Он ные статьи, которые он писал тогда об был не из тех, кто носится со своими альфа-распаде и свойствах атомных ядер, идеями и молится на свои изобретения. У были лишь побочным продуктом его дея- него всегда была наготове новая идея, а тельности». при неудаче он легко мог обратить все это в шутку. С ним было легко и приятно Вера Рубин (вращение галактик): работать». «Он не умел ни писать, ни считать. <Возможно, это его собственная шутка.> Иосиф Шкловский (модель Солнца, Он не сразу сказал бы вам, сколько будет радиоизлучение галактик, проблема SETI): семью восемь. Но его ум был способен понимать Вселенную». «За этим могучим мастером значатся по Станислав Улам (результаты в разных самому крупному счету не какие-то изящ- областях математики): ные финты или передачи поперек поля, а «В его творчестве можно увидеть, наря- три чистых «гола». Это альфа-распад, ду с другими выдающимися особенностя- горячая Вселенная с реликтовым излуче- ми, может быть, последний пример люби- нием и генетический код». тельства в научном творчестве. Стефан Банах говорил, что хорошие математики В предисловии Улама к автобиографии видят аналогии между теоремами, а луч- Гамова сказано: «Незадолго до смерти он шие – аналогии между аналогиями. Гамов рассказал жене, что во сне он оказался в обладал в исключительно высокой степени компании таких великих людей, как Нью- тон и Эйнштейн, и открыл, подобно им, DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220501 крайнюю простоту конечных физических законов».

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 3 Георгий Гамов А вот уже прямой и не случайный тол- чок: в 1910 году (Георгию шесть лет) он Биографии принять начинать с рассказа получает телескоп, в который наблюдает о предках. По отцовской линии Гамов комету Галлея (до следующего ее появле- происходил из древнего (есть документы ния в 1986 году он не дожил, а говорил, что XVII века) дворянского рода, по матери хотел). В 13 лет ему дарят микроскоп, и он его предки принадлежали к южнорусско- производит анализ так называемого «тела му духовенству. Один дед был полковни- Христова», полученного в церкви и не ком, командующим Кишиневским гарни- съеденного на месте, а принесенного до- зоном, другой – протоиереем Одесского мой. Эксперимент он описал так: «Для собора. Существенно, что в обеих линиях сравнения я заранее приготовил малень- среди его предков были математики, и уж кую хлебную крошку, вымоченную в крас- наверняка важно, что отец был преподава- ном вине. Смотря в микроскоп, я не мог телем русского языка и литературы, а увидеть разницы между двумя образцами. мать – преподавателем истории и геогра- Микроструктура двух кусочков хлеба была фии. Знания и их передача в семье цени- совершенно одинаковой и совсем не похо- лись – мать учила ребенка французскому, дила на микроструктуру тонких кусочков преподаватель – немецкому, в доме была моей кожи, которую я предварительно большая библиотека. В поздних анкетах срезал с пальца острым ножом. Цвет об- Гамов пишет: «Читаю и перевожу со сло- разца был все еще красноватым, но мой варем – древнегреческий, читаю и могу микроскоп был недостаточно сильным, объясняться – французский, владею сво- чтобы увидеть отдельные эритроциты. бодно – немецкий, английский, датский». Поэтому это было только полу-доказа- Кстати, насчет древнегреческого – это, тельство, но я думаю, это был экспери- наверное, одна из его шуток. А всерьез он мент, который сделал меня ученым». пишет: «В возрасте семи лет я читал Жюль Верна и мечтал о путешествии на Луну». В школе Гамов учится хорошо, особенно Большая библиотека, конечно, способству- по математике, физике, языкам, в послед- ет успехам в науке, но, как показывает них классах интересуется (случайность ли жизнь, сама по себе их не определяет. это?) теорией относительности. Далее – физико-математический факультет Одес- ского университета, занимается математи- кой и подрабатывает вычислителем в об- серватории. Но проучился он в универси- тете лишь год. Услышав о бурном разви- тии физики в Петрограде, он собирается туда ехать, и, чтобы это стало возможным, отец продает остатки фамильного серебра. Это важнейший момент, это развилка. В Петрограде Гамов учится в Петроград- ском университете и заканчивает его в декабре 1924 года, сдав почти все экзаме- ны с высшей оценкой. Поступает в аспи- рантуру, изучает аномальную дисперсию света в парах калия, придумывает метод контроля качества оптического стекла; но теоретическая физика влечет его больше. Гамов хочет заниматься теорией относи- тельности, которой интересовался еще в школе (значит, тот интерес был не случа- ен), его руководителем становится не кто иной, как Александр Фридман (математи-

4 КВАНT $ 2022/№5 ка, метеорология, космология). Но Фрид- тов – это навсегда его: в статье, опублико- ман в 1925 году умирает. ванной в журнале «Nature» в 1948 году, Гамов разработал уравнения для массы и Тем временем в Университете формиру- радиуса галактики, содержащей около ста ется кружок молодых физиков-единомыш- миллиардов звезд типа Солнца, причем в ленников, названный его участниками его уравнения входят только фундамен- «Джаз-бандой». Ими издавался самодея- тальные константы (гравитационная по- тельный журнал «Отбросы физики», уст- стоянная, постоянная Планка, элементар- раивались конкурсы остроумия и провер- ный заряд и др.). ки эрудиции. Сначала членами кружка были Гамов, Дмитрий Иваненко (ядерная В 1926 году научные руководители реко- физика, теория поля, гравитация), Анд- мендовали его для стажировки в Германии рей Ансельм (теория жидкостей, молеку- – это закономерно. Однако разрешение и лярная физика), Владимир Кравцов (мет- все необходимые документы были получе- рология атомных масс). Потом присоеди- ны лишь весной 1928 года. Гамов прибыва- нились Виктор Амбарцумян (астрофизи- ет в Геттинген – тогдашний центр развития ка), Лев Ландау (теорфизика), Матвей квантовой механики. Он работает в группе Бронштейн (теорфизика). Макса Борна (одного из создателей кван- товой механики); собираясь заняться ка- Все, кто пишут о Гамове, упоминают о кой-либо нерешенной проблемой, выбира- шутках и розыгрышах, юморе и озорстве. ет теорию атомного ядра, в частности – Те, кто более проницательны, говорят, что проблему альфа-распада, одного из видов центром его мира была физика. Наши радиоактивности. Предполагает, что аль- герои – молодые, талантливые, лучше фа-частицы туннелируют через потенци- других знающие, как устроены атомы и альный барьер, и делает соответствующий вселенная, и вдобавок знающие, что они расчет. Это и было первым успешным это знают лучше других. Они считают, что объяснением поведения радиоактивных «пот не должен быть виден», что всем элементов на основе квантовой теории. должно казаться, что работа, наука, физи- Одновременно с Гамовым и независимо от ка – все это для них так, игра, почти него идею о роли туннельного эффекта в развлечение. Отчасти это и было так, процессе альфа-распада высказали Рональд особенно для Гамова, хотя и работы это Гёрни (квантовая механика, ядерная фи- вовсе не исключало. зика, фотопроцесс) и Эдвард Кондон (кван- товая механика, ядерная физика), однако Гамов, Иваненко и Ландау опубликова- только Гамову удалось получить количе- ли в 1928 году в «Журнале Русского ственные результаты. На основе своей физико-химического общества» статью теории Гамов оценил размер ядер и объяс- «Мировые постоянные и предельный пе- нил закон Гейгера – Неттолла, связываю- реход», в которой дали иерархию физи- щий энергию вылетающей альфа-частицы ческих теорий на основе системы фунда- с периодом полураспада ядер. Теория и ее ментальных констант, включающей ско- автор были признаны научным миром. рость света, гравитационную постоянную Веселый, остроумный и общительный, он и постоянную Планка (так называемая становится популярной фигурой и среди cGh-система). Авторы считали эту работу отечественных, и среди европейских фи- шуткой и никогда на нее не ссылались, но зиков. она привлекла внимание исследователей своими идеями, касавшимися фундамен- По окончании четырехмесячной стажи- тальных основ физики и принципов ее ровки в Геттингене Гамов переезжает в развития. Если говорить коротко: авторы Копенгаген, где датская Академия наук построили классификацию физических предоставила ему годичную стипендию для теорий, исходя из того, какие величины работы у Нильса Бора (квантовая механи- считаются в них основными, базовыми. ка) в Институте теоретической физики. Он посещает другие важнейшие научные Заметим, что стремление к простоте ос- нований, к фундаментальности результа-

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 5 центры того времени, так в 1929 году в ми, обсуждавшими следствия, к которым Лейдене он обсуждает с Паулем Эренфес- могло бы привести это новое развитие том (теорфизика) капельную модель ядра. квантовой теории… Я всегда предпочитал Такое рассмотрение приводило к открытию работать в менее людных областях. Поэто- возможности деления ядер; но это выясни- му, в то время как все квантовые физики лось 10 лет спустя благодаря работам Яко- в мире вели наступление на атомы и моле- ва Френкеля (теорфизика), Нильса Бора и кулы, я решил посмотреть, что могла бы Джона Уилера (космология, ядерная фи- дать новая квантовая теория для случая зика). Вспоминая о капельной модели ядра атомного ядра… Как может случиться, что в своем последнем интервью, данном исто- бомбардирующие частицы большой энер- рикам физики весной 1968 года, Гамов гии не могут перейти барьер снаружи, в то сказал: «Я и сам мог бы тогда предсказать время как внутренние частицы, которые деление ядер – если б был поумнее». Тогда имеют только половину такой энергии, же он объяснил, почему менял области ухитряются просочиться наружу? …Преж- физики и как их выбирал: «Я начал зани- де, чем я закрыл журнал, я уже знал, что маться ядерной физикой, потому что в 1928 в действительности происходит в таком году все занимались атомами и молекула- случае. Это было типичное явление, кото- ми; Ван-дер-Ваальс, дублеты, триплеты, рое было бы невозможно в классической спин и так далее – этого было слишком ньютоновской механике, но фактически много. Я не хочу, чтобы все это перепуты- ожидалось в новой волновой механике». валось, поэтому я решил выбрать себе уголок, где никто ничего не делал, и я Иногда Гамова именуют «трижды не- выбрал ядерную физику. А когда ядерная лауреат Нобелевской премии». Понимать физика стала большим делом, я перебрался это можно двояко – как то, что Нобелевс- в ядерную астрофизику и космологию. Мне кие премии три раза были получены теми, нравятся новаторские вещи». В Кембрид- кто использовал его идеи, и как то, что он же он включается в обсуждение перспектив сам получил три результата «нобелевского расщепления ядер ускоренными протона- класса», но не получил соответствующей ми, которые благодаря туннельному эф- премии. Верно и то, и другое. Сам Гамов фекту оказались эффективным «консерв- пишет: «По мере все убыстряющейся ско- ным ножом». Соответствующие экспери- рости научных исследований и быстро менты были сделаны Джоном Кокрофтом увеличивающегося числа людей, занимаю- (ядерная физика) и Эрнестом Уолтоном щихся этим, все чаще и чаще случается, (ядерная физика) и закончились Нобелев- что важные открытия делают одновремен- ской премией. С Фрицем Хоутермансом но и независимо друг от друга двое и более (ядерная физика) и Робертом Аткинсоном ученых, а то и несколько их коллективов. (ядерная физика) Гамов обсуждает ядер- То же произошло и с моей теорией радио- ные реакции в звездах. активного альфа-распада, которая была выдвинута одновременно Рональдом Гёр- Что написал позже об этой поездке Га- ни совместно с Эдвардом Кондоном. В мов? Слово главному герою, тем более, действительности их статья, которая была что из его рассказа мы узнаем кое-что о нем опубликована в «Nature», была получена самом: «Геттинген – красивый маленький издателями на несколько дней раньше, городок со старым знаменитым универси- чем моя, которая была опубликована в тетом. По уровню развития теоретической «Zeitschrift fьr Physik». физики он мог бы поспорить в то время даже с Копенгагеном. Он гудел от возбуж- Уехав в июне 1928 года за рубеж аспи- дения, вызванного волновой и матричной рантом, Гамов возвратился в Ленинград в механиками, которые получили развитие мае 1929 года получившим известность только за два года до моего прибытия. И ученым. Вернулся ненадолго: по представ- аудитории для семинаров, и кафе были лению Эрнеста Резерфорда (основополож- заполнены физиками, старыми и молоды- ник ядерной физики, множество учени- ков), А.Н.Крылова (кораблестроитель,

6 КВАНT $ 2022/№5 механик) и Ю.А.Круткова (теорфизика) летнюю школу в Мичигане. Гамов получа- ему была присуждена Рокфеллеровская ет очередное приглашение из-за границы, стипендия для работы в течение года в на сей раз – на Международный Сольвеев- Кавендишской лаборатории в Кембридже. ский конгресс по ядерной физике, кото- В сентябре 1929 года он прибыл в Англию. рый должен был состояться в Брюсселе в Там он написал восемь статей и свою октябре 1933 года. И едет на конгресс, первую научную монографию «Строение причем вместе со своей женой – выпускни- атомного ядра и радиоактивность», она цей физфака МГУ Любовью Вохминце- была издана на английском и немецком вой. Это была развилка: если бы Гамову не языках. Заметим, что одновременно со разрешили взять с собой жену, он бы не своими первыми оригинальными публика- поехал. циями Гамов начал публиковать и обзор- ные статьи по физике, что, вообще говоря, А что делать дальше – возвращаться в не характерно для молодых ученых. СССР или нет? Поль Ланжевен (теорфи- зика) поручился за него, подвести его Весной 1931 года Гамов возвращается в Гамов не может, но о проблеме узнает Россию. В 1931 году Гамова – ему 28 лет Мария Кюри: она разговаривает с Ланже- – избирают членом-корреспондентом Ака- веном, и тот соглашается не считать Гамо- демии наук СССР, за него подано 42 ва связанным его ходатайством. Это зако- голоса из 43-х, и он один из самых моло- номерность, и это – развилка. После дых членкоров за всю историю. Физика Сольвеевского конгресса ученый читал развивается стремительно. Однако пред- лекции в Радиевом институте в Париже, в ложение молодых создать в Ленинграде Кавендишской лаборатории в Кембридже центральный академический Институт те- у Резерфорда и в Копенгагене у Нильса оретической физики во главе с Гамовым и Бора. В 1934 Гамов отплывает в США, где Ландау принято не было – старшее поко- проходит его жизнь в течение последую- ление не собиралось уступать командные щих тридцати с лишним лет. В письме к высоты. Это было, наверное, им обидно. Петру Капице (результаты в разных обла- Гамов работает в Радиевом институте, в стях физики, организатор науки) Гамов Ленинградском физико-техническом ин- писал: «Сейчас я хочу идти по Вашим ституте, в Ленинградском университете. В стопам и, если возможно, перейти в так 1932 году он и Лев Мысовский (ядерная называемое «Kapitza-Zustand» [«состоя- физика) разрабатывают проект первого в ние Капицы»], т.е. жить за границей с Европе циклотрона, в 1937 году машина советским паспортом. Написал в Москву, заработала. прося в firm expressions [крепких выраже- ниях] продления командировки на год». Еще будучи за границей, Гамов получил Целью Гамова была возможность подобно от Гульельмо Маркони (один из создате- Капице работать за границей, посещать лей радио) приглашение принять участие научные центры и мероприятия и при этом в первом Международном конгрессе по в любое время приезжать в СССР. Однако атомному ядру (Рим, 1931) и представить это желание не нашло понимания у влас- статью по структуре ядра. Однако поездку тей, в октябре 1934 он был уволен из ему не разрешили, доклад был зачитан Радиевого института и Физико-математи- Максом Дельбрюком (биофизика). Деле- ческого института, в 1938 году – исключен гаты конгресса послали Гамову открытку с из Академии. сожалениями о его отсутствии, подписан- ную в числе прочих Марией Кюри (радио- Итак, 1934 год, Гамов и его жена – в активность), Вольфгангом Паули (физи- США. Через два года Гамов получает ка элементарных частиц), Энрико Ферми американское гражданство. Вохминцева в (теоретическая и экспериментальная фи- заграничных поездках работала эпизоди- зика), Лизе Мейтнер (ядерная физика) и чески, главным образом лаборанткой, а другими знаменитостями. В следующем также в редакции журнала – писала рефе- году ему не разрешили поездку в США на раты советских статей по оптике и спект-

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 7 роскопии. В браке с Гамовым сначала из Института Карнеги. Он сказал прези- родилась дочь, но она умерла вскоре после денту университета, что Гамов может под- рождения, в 1934 году родился сын Рус- нять физику в Вашингтоне до мирового тем-Игорь. Брак Вохминцевой с Гамовым уровня. И оказался отчасти прав – в распался в 1956 году. Сын Гамова стал Вашингтоне Гамов закономерно становит- профессором биологии и альпинистом. А ся организатором проведения ежегодной еще он изобрел «мешок Гамова» – устрой- Международной конференции по теорети- ство для насыщения крови человека кис- ческой физике – по типу конференций, лородом при горной болезни, т.е. кисло- проводимых Нильсом Бором. Другое его родном голодании. С помощью этого уст- важное и удачное решение – приглашение ройства спасено немало жизней. в качестве ближайшего сотрудника своего Университету Джорджа Вашингтона знакомого еще по копенгагенским време- порекомендовал взять Гамова на работу нам Эдварда Теллера, «чтобы было с кем физик-экспериментатор Мерл Тьюв (ядер- поговорить о теоретической физике». Они ная физика, геофизика, радиоастрономия) познакомились у Бора в Копенгагене и на каникулах объездили пол-Да- нии на мотоцикле Гамова. Гамов работает в Университе- те Джорджа Вашингтона с 1934 до 1956 года, когда он стал приглашенным профессором в Университете Калифорнии, в Беркли. В 1958 году Гамов же- нится на Барбаре Перкинс, ре- дакторе одного из своих издате- лей и своем соавторе – для неко- торых его популярных книг она писала стихи и рисовала кар- тинки. В 1956 году Гамов пере- ходит в Университет Колорадо в Боулдере, где и работает до 1968 года, до конца жизни: за- нимается ядерной физикой и космологией, публикует науч- ные и популярные статьи, пре- подает, общается с друзьями. Барбара Гамова пережила его на восемь лет, и ей довелось увидеть растущее признание достижений человека, которого она любила. В соответствии с американской академической традицией она и Департамент физики Университета учредили так называемые «гамовские лек- ции» (George Gamow Memorial Lectures) – правильная женщи- на и правильные люди. Тридцать четыре года, про- Памятная доска в честь Джорджа Гамова в Университете житые Гамовым в Америке, вме- Джорджа Вашингтона стили в себя множество важных

8 КВАНT $ 2022/№5 Джорж Гамов и его кот Спин. Наверное, это был вым и Теллером. Оказалось, что в некото- рых звездах энергия вырабатывается в ученый кот результате длинной цепочки превраще- ний, в которой участвуют углерод и азот. и интересных и для него, и для других Эти превращения называются теперь угле- людей событий, встреч, занятий, трудов; родно-азотным циклом или циклом Бете. что касается физики, то перечень будет Что касается звезд помельче, размером с довольно длинным. Позже он говорил, что Солнце или еще менее массивных, то в после 1934 года ничего интересного в его реакциях участвуют литий и бериллий, это жизни не было. К этим словам надо отно- протон-протонный цикл. Гамов говорил, ситься как к некоторой рисовке и игре, что этот цикл он мог придумать сам, «если свойственной ему с юности. был бы поумнее». Фактически он начал соответствующие расчеты вместе со своим Первая конференция, организованная студентом Чарлзом Кричфилдом (атом- Гамовым и Тьювом в Вашингтоне, состоя- ная физика) раньше, чем Бете, но тот лась в 1935 году. До начала второй миро- оказался упрямее и методичнее. вой войны прошло пять конференций, на них приезжали Бор, Ферми, Бете (атом- Еще в 1911 году Эйнар Герцшпрунг ная физика), Чандрасекар (физика звезд), (астрономия) и Генри Рассел (астрофизи- Дельбрюк; европейские физики знакоми- ка) заметили, что существует связь между лись с американской наукой, налаживали видимым цветом звезд и излучаемой ими контакты с американскими коллегами. Это энергией. Расположение всех звезд на гра- оказалось важным и для них, и для науки фике с осями цвет–светимость (оба зави- США, которая с тех пор является лидиру- сят от температуры звезды) называется с ющей. тех пор диаграммой Герцшпрунга–Рассе- ла. Звезды в ходе своей эволюции прохо- На конференцию 1938 года Гамов, Тел- дят из правого нижнего угла диаграммы к лер и Тьюв пригласили физиков и астро- левому верхнему, меняя по ходу развития номов, темой была физика звезд. Еще в и светимость, и цвет. Такие звезды нахо- 1926 году Артур Эддингтон (астрофизи- дятся, как говорят, на главной последова- ка) предположил, что источник энергии тельности. Существуют и добавочные вет- звезд – ядерная реакция, синтез гелия из ви, причем, по воспоминаниям астронома водорода. Для него важно туннелирование и астрофизика Вальтера Бааде, взаимо- частиц сквозь потенциальный барьер, ко- связь одной из ветвей с главной последова- торое происходит и при альфа-распаде. тельностью разгадал Гамов, сообщил об Узнав об этом эффекте от Гамова в 1928 этом в письме и не стал публиковать. году, Хоутерманс и Аткинсон начали рас- Несерьезный он был человек, да? четы ядерных превращений в звездах, 10 лет спустя Гамов и Теллер их продолжили Теорией эволюции звезд Гамов занимал- и создали теорию «красных гигантов» (типа ся и позже. Ведь правда же, интересно, Бетельгейзе), а «добил» проблему Ганс почему они светят? Однажды Фриц Хоу- Бете после конференции и бесед с Гамо- терманс гулял с девушкой, и, глядя на звезды (дело было ночью), девушка про- изнесла: «Посмотри, как они сверкают!» И надо же было так случиться, что произ- несла она это в ночь того дня, когда ее ухажер первым кое-что об этом узнал. И он ответствовал: «Да, и с сегодняшнего дня я знаю, почему они сверкают». Для следующей конференции в январе 1939 года Гамов, Теллер и Тьюв предло- жили в качестве основной темы физику низких температур. Но Бор привез из

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 9 Европы исключительную новость: Отто годах он же занимал должность заместите- Ган (ядерная физика) и Фриц Штрассман ля директора Лос-Аламосской лаборато- (ядерная физика) открыли новый тип ядер- рии. Теллер называл Гамова «ученым, ных реакций. Облучая ядра урана нейтро- начавшим в Соединенных Штатах теоре- нами, они обнаружили, что ядро при зах- тические работы, которые впоследствии вате нейтрона превращается не в более привели к самому большому взрывному тяжелый изотоп того же элемента, а раска- явлению, когда-либо осуществленному лывается на два крупных осколка. Ключе- человеком». О термоядерных реакциях, вое слово «деление» содержалось в статье называя их «гамовскими играми», Теллер Отто Фриша (ядерная физика) и Лизе говорил как о предмете особых научных Мейтнер, которые построили первую тео- достижений и заслуг Джорджа. Но чемпи- рию явления. Начиналась новая глава на- оном «гамовских игр» он считал Ганса уки и новая глава истории. Бете. Американские физики проявили понача- Мы ничего не знаем о гамовских идеях, лу некоторую нерешительность; им было которые были использованы для водород- непривычно использование науки в воен- ной бомбы. Однажды Гамова спросили, ных целях, но европейцы лучше понима- какие свои работы он считает самыми ли, что такое нацизм, и повели себя актив- важными, и он сказал: «Не знаю... Потен- нее. Лео Сциллард (ядерная физика), Юд- циальный барьер и затем расширяющаяся жин Вигнер (элементарные частицы, ядро), Вселенная и термоядерные реакции, объяс- Ферми и Теллер предприняли первые по- нение источников энергии Солнца, форму- пытки получить правительственные ассиг- лы, использованные для расчетов водо- нования на исследования по военному ис- родной бомбы». Но не сказал, естествен- пользованию ядерной физики и предло- но, какие. Гамов шутил, что его главный жили ограничить открытые публикации вклад в американскую водородную бомбу по этой тематике в США. Почему Гамов состоит в том, что он перетащил в Америку остался в стороне от атомной проблемы? Теллера. Но не менее важным надо счи- Похоже, что и приятели Гамова, и началь- тать и организацию вашингтонских кон- ство сочли его недостаточно серьезным, ференций. Дело ведь не в одном Теллере, слишком легкомысленным для таких дел. такая большая задача – это всегда работа У него была репутация человека веселого, многих людей. разговорчивого, общительного, любителя дружеских застолий. Альберта Эйнштей- Гамов никогда не забывал космологию, на (теорфизика), Джона фон Неймана науку своей юности. Всерьез он занялся (математика) и Джорджа Гамова привлек ею в 1946 году и посвятил ей больше с началом войны к оборонным исследова- десяти лет. Он хотел «скрестить космоло- тельским работам Военно-морской флот гическую науку с ядерной физикой». Од- США. Тематика их работ была связана с нажды нечто подобное ему удалось – скре- физикой и технологией взрывчатых ве- стил ядерную физику и астрономию, про- ществ – обычных, не ядерных. Эйнштейн двинулся в вопросе о ядерных источниках не мог регулярно приезжать в Вашингтон энергии звезд. Теперь Гамов предполо- по этим делам, и потому начальство реши- жил, что первичное вещество мира было не ло, что кто-то должен ездить к нему за только очень плотным, но и очень горя- консультациями в Принстон. На эту роль чим. Сам он почему-то считал, что идея назначили Гамова, так что раз в две недели горячего начала мира принадлежит не ему, он ездил в Принстон. а Фридману, однако в космологических работах последнего нет ни слова о темпе- В 1948 году Гамов включается в работы ратуре ранней Вселенной. Идея Гамова по проекту водородной бомбы. Когда он состояла в том, что в горячем и плотном появился в Лос-Аламосе, его давний про- веществе ранней Вселенной происходили теже Теллер был одним из главных дей- ядерные реакции, и в этом ядерном котле ствующих лиц проекта, а в 1949–1952 за несколько минут были синтезированы

10 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 все химические элементы, из которых и ном. Пензиас и Вильсон ничего не знали о состоит теперь все на свете. Сейчас этот теории Гамова. В их первой статье нет ни процесс называется «первичный нуклео- слова о космологии, но и некоторые физи- синтез», при нем образуются элементы по ки не сразу поняли смысл открытия, и тем литий включительно, остальные – позже. более далеко не все понимали, что открыто Но тогда это угадать было нельзя, не было именно то, что предсказывали Гамов и его необходимых экспериментальных данных. ученики. Гамову оставалось три года жиз- ни, и он успел увидеть свой успех признан- Расчеты ядерных превращений в усло- ным – на симпозиуме 1967 года в Нью- виях расширяющейся космической среды Йорке Гамов принимал поздравления кол- требовали немалых усилий, и Гамов при- лег и праздновал успех. Его Вселенная не влек к ним Ральфа Альфера (астрофизи- подвела, она оказалась горячей! Через ка) и Роберта Хермана (астрофизика). десять лет после смерти Гамова первоотк- Первая публикация, подготовленная Га- рыватели Пензиас и Вильсон получили мовым и Альфером, появилась в печати в Нобелевскую премию; она присуждаются 1948 году под тремя именами: Альфер, только при жизни. Бете, Гамов. Это самая знаменитая шутка в истории физики: ради красивого назва- Почему DEJ -теория долго была незаме- ния Гамов вписал не спросясь имя Бете, ченной, а открытие Пензиаса и Вильсона так возникла работа, ставшая сразу же стало случайным? Есть общий научный знаменитой под названием DEJ -теория. поток, мэйнстрим, а есть смелые поиски Самым эффектным результатом этой тео- вбок или вовсе вверх. Концепция «горячей рии стало предсказание космического фона Вселенной» представлялась тогда малове- излучения. Электромагнитное излучение роятной: конкуренцию ей составляли мо- должно было сосуществовать с горячим дель «холодной Вселенной» (Яков Зель- веществом в эпоху ранней Вселенной. Оно дович, ядерная бомба и теорфизика) и не исчезает при общем расширении мира и теория стационарной Вселенной (Фред сохраняется, только сильно охлажденным, Хойл, астрофизика). Но в итоге работа до сих пор. Гамов и его сотрудники попы- Гамова и его учеников была признана. тались оценить, какова должна быть тем- Стивен Вайнберг (теорфизика) писал: пература этого излучения сегодня. С уче- «Гамов, Альфер и Херман заслуживают том возможных неопределенностей, неиз- колоссального уважения, помимо всего бежных при весьма ненадежных астроно- прочего, за то, что они серьезно захотели мических данных об общих параметрах воспринять раннюю Вселенную и исследо- Вселенной как целого, и скудных сведе- вали то, что должны сказать известные ний о ядерных константах предсказанная физические законы о первых трех мину- температура должна была лежать в преде- тах». лах от 1 до 10 К. В 1950 году в одной научно-популярной статье Гамов написал, С открытием реликтового излучения в что, скорее всего, температура космичес- космологии начался расцвет. Интенсивная кого излучения составляет примерно 3 К. работа, в которой участвовали чуть ли не Результат был получен изящным и сме- все ведущие физики и астрономы, а также лым способом; и если можно говорить о и молодые активно работающие теорети- «стиле» научной работы, то это был стиль ки, быстро привела к созданию на основе последней трети века, а не его середины. идей Гамова и новых наблюдательных данных весьма полной и надежной космо- Через 15 лет Арно Пензиас (радиоастро- логической теории, которая называется номия) и Роберт Вильсон (радиоастроно- сейчас теорией горячей Вселенной, или мия) случайно открыли это излучение. теорией Большого Взрыва. Что же касает- Это было самое крупное открытие в космо- ся космического излучения, то в СССР его логии со времен открытия Эдвином Хаб- стали называть реликтовым (по предложе- блом (астрономия) в 1929 году расшире- нию И.С.Шкловского), а на Западе – ния Вселенной, предсказанного Фридма- микроволновым. Его средняя температура

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 11 Гамов в Боулдере – читает лекции, общается – 2,725 К – измерена с фантастической со студентами и друзьями для космологии точностью. Ныне это из- лучение изучают очень тщательно, оно – основной источник данных о физическом состоянии Вселенной в первые секунды ее существования. Как только кончилась война, Гамов и Тьюв возобновили вашингтонские конфе- ренции. Первая послевоенная встреча осе- нью 1946 года называлась «Смежные про- блемы физики и биологии». С тех пор Гамов не выпускал события в биологии из поля зрения. Так паук сидит и ждет, чтоб появилась мушка; и тогда он выскакивает из засады. Это сравнение Гамов применил, когда у него спросили, чего он ждал, чтобы включиться в биологию, если интересо- вался ею с 1946 года. Как оказалось, чтобы включиться в биологию, ему нужно было дождаться 1953 года, приехать с кратким визитом в Калифорнийский университет в Беркли и случайно встретить там в кори- доре Луиса Альвареса (атомная физика). В руках у него (этого очередного в гамов- ских дружеских встречах и научных при- ключениях Нобелевского лауреата) был свежий журнал «Nature» со статьей Джей- мса Уотсона и Френсиса Крика о структу- ре дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК. В жизни Гамова началась новая, биологическая полоса, и в этом новом жизненном и научном приключении было немало волнующего, драматического и, само собой разумеется, смешного и веселого. Гамов исходил из следующего. В основе всего живого лежат белки. Они служат строительным материалом для живых тка- ней, образуют гормоны, ферменты и т.д. В организме человека более миллиона раз- личных белков. Белки строятся из 20 аминокислот; индивидуальные свойства белка определяются тем, из каких амино- кислот и в какой последовательности он образован. Синтез белков управляется нуклеиновыми кислотами, в которых хра- нится и посредством которых передается полный набор сведений о строении белков. Уотсон и Крик показали, что запись этой информации осуществляется с помощью выстроенных друг за другом «слов», при- чем «буквами» для этих слов служат четы-

12 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 ре нуклеотида. Для ДНК эти буквы суть ся элементов, в частности колес. В задаче аденин, гуанин, цитозин и тимин. В РНК спрашивалось, какие механизмы и маши- вместо тимина присутствует урацил. Спо- ны будут изобретены такой цивилизацией, соб записи генетической информации с как там будут жить люди. Студенты увлек- помощью четырехбуквенного алфавита лись этой игрой – писались даже романы нуклеотидов универсален, одинаков для об особенностях жизни в таком обществе, всего живого на Земле – для животных, но между делом было сделано немало растений, бактерий и вирусов. Каждое вполне практичных изобретений. слово в генетическом тексте – это название аминокислоты, каждое предложение опре- Существование именно трехбуквенного деляет белок. Но как из букв строятся кода ДНК, каждое такое «слово» было слова? Этим вопросом и задался Гамов в названо кодоном, было подтверждено экс- 1954 году. периментально в начале 60-х годов. Нобе- левской премии 1968 года были удостоены Очевидно, что число слов должно быть биохимики Маршалл Ниренберг, Хар не меньше 20. Если допустить, что каждое Корана и Роберт Холли – имя Гамова слово состоит из двух букв, то таких опять-таки не всплывало. Не всегда всплы- различных пар будет 42 16. Это мало. вает оно даже и сейчас. Гамов сделал предположение, что в каж- дом слове должно быть три буквы. Таких Все, кто пишут о Гамове, пишут о его трехбуквенных слов в четырехбуквенном шутках. Одесситы со свойственным им алфавите было бы 43 64. Это уже не несгибаемым юмором считают, что причи- меньше, но, наоборот, больше числа ами- ной шуток и розыгрышей Гамова было его нокислот. Может быть, считать, что слова одесское происхождение. Редкая публика- не обязательно состоят каждое из трех ция о Гамове обходится без упоминания букв? Или, возможно, среди 64 трехбук- двух его приколов. В одной из своих венных слов есть синонимы? Гамов оста- научных статей он сослался на публика- новился на второй возможности как более цию Ландау в несуществующем журнале простой: пусть будет 64 слова, но несколь- «Червоный гудок», который начали ра- ко из них означают одну и ту же аминокис- зыскивать некоторые дотошные читатели. лоту. Выяснить соответствие между 64 Про другую хохму, DEJ , рассказано выше. словами языка жизни и 20 аминокислота- Ходят слухи, что он попытался уговорить ми должен эксперимент. Новые исследо- еще одного своего сотрудника поменять вания Крика, работы биохимиков Мар- фамилию, чтобы получилось «альфа-бета- шалла Ниренберга, Северо Очоа, Хар гамма-дельта», но тот оказался недоста- Корана и других вскоре показали, что точно одесситом. Третий прикол – иссле- идея Гамова об универсальном коде с трех- дуя роль нейтрино в процессе остывания буквенными словами верна. Это был три- звезд, Гамов назвал это явление URCА- умф генетики и личный успех Гамова. Он процесс. Результаты были получены со- торжествовал победу, а радоваться удаче вместно с Марио Шёнбергом (физика он умел, как рассказывают, очень хорошо. звезд), с которым Гамов познакомился В интервью 1968 года на вопрос о работе, именно в «Казино-де-Урка» в Рио-де-Жа- которая доставила ему больше всего удо- нейро. На случай, если бы в «Physical вольствия, Гамов ответил: «Пожалуй, био- Review» заинтересовались странным на- логия; это было нечто совсем новое, и так званием, Гамов заготовил объяснение – занятно было разгадывать коды». это-де сокращение от unrecordable cooling agent, недетектируемый охлаждающий Гамов продолжает работать весело и с агент. Западные физики сочли, что это удовольствием. В те годы он придумал для намек на выкачивание денег из карманов своих студентов игру: они должны были посетителей игорного дома – аналогично представить себе цивилизацию высокого выкачиванию энергии из звезды потоком уровня, в которой не додумались только нейтрино. Одесские физики расценили это до одной вещи – до введения вращающих- как исчезновение денег с помощью одес-

ГАМОВ: ГЕОРГИЙ АНТОНОВИЧ, ДЖОРДЖ, «ДЖО» 13 Вот он, Боулдер – классический городок глу- ведены и на русский. Но никто, кажется, не попытался понять, почему они попу- бинки Америки. Население меньше ста тысяч лярны. Разобраться с должной полнотой в этом вопросе нам не под силу, но кое-что человек, 300 солнечных дней в году, крупней- сказать можно. Первое: переплетение с жизнью – задача возникает из некоторой ший университет штата Колорадо, треть насе- (часто – вполне реальной) жизненной си- туации. Надо уметь увидеть в природе ления города – студенты. Самое высокое зда- ситуацию, которая может быть проанали- зирована на некоторую глубину при опоре ние города – корпус физического факультета на определенного объема багаж и аппарат. Иными словами, решаемую, как всегда Колорадского университета, который называ- частично, задачу. Второе: обычная задача при написании научно-популярных книг – ется «Джордж Гамов тауэр», а если посмотреть как протянуть ниточку от «научного» до «популярного», уж больно далеко ушло с другого бока – то горы, конечно, выше. одно от другого, да и школьной-то физики почти никто не знает. Некоторые авторы и Потому что это горы, природа, Вселенная… издатели практикуют многослойность (обычно двухслойность, предлагалось и ских воров – «урок». В разных книгах и более) текста: например, мелкий шрифт, статьях упоминаются и другие его шуточ- врезы, подверстки и т.п. В некоторых ки. А вот его расчеты с Шёнбергом были книгах Гамова этот прием проведен фун- подтверждены не кем-нибудь, а лично взры- даментально – более серьезные «лекции», вом сверхновой в Большом Магеллановом которые слушает персонаж, чередуются с Облаке, ближайшей к нам галактике. переживанием персонажем (во сне) ка- Интенсивность потока нейтрино, долетев- ких-либо событий, в которых иллюстри- ших до нас в 1987 году, подтверждает их руется прослушанное. Третье и самое ред- теорию. Нейтринное цунами летело к Зем- кое: тот персонаж, который у Гамова пред- ле 170 тысяч лет и опоздало лишь на ставляет науку, способен произнести и, 0,01%: тот, кто его предсказал и кого более того, время от времени произносит друзья называли «Джо», умер в 1968 году. «нам не известно», «науке не известно». Гамову за его книги ЮНЕСКО была при- Кроме нескольких научных, Гамов на- суждена «Премия Калинги» – наиболее писал двадцать популярных книг, переве- престижная награда за популяризацию денных на многие языки; некоторые пере- науки. Георгий Антонович (Джорж) Гамов ос- тавил след в этом мире: «Джордж Гамов тауэр» в Боулдере, «сквер Гамова» в его родном городе Одессе и «кратер Гамова» на Луне, который смотрел бы на все это сверху, если бы не располагался на обрат- ной стороне Луны. Поэтому кратер смот- рит во Вселенную, которая так интересо- вала того, чьим именем он назван.

Игра в 15 К.КОХАСЬ КАК-ТО РАЗ, НАТКНУВШИСЬ В Обобщенная игра в 15. В XXI веке сундуке на старую детскую игрушку, автор посмотрел по сторонам и с удивлени- кажется уже несколько несолидным рас- ем обнаружил, что подрастающее поколе- ние не очень-то знает, что такое игра в 15, сматривать такие простые штучки, поэто- в то время как 50 лет назад о ней мало кто не знал. «И наши прошлые святыни для му сразу рассмотрим обобщение этой игры. них пустые имена», как говорил классик. Предлагаемая статья призвана восполнить Пусть дан произвольный связный граф этот пробел. G с n вершинами. Две вершины, соединен- ные ребром, мы называем соседними. Возьмем фишки, пронумерованные числа- ми от 1 до n  1, и поставим на каждую вершину одну фишку. Одна вершина ока- Классическая игра в 15. Игра-голово- жется свободной, т.е. без фишки. После этого разрешается перемещать фишки: в ломка «15», если попытаться описать ее свободную вершину можно переместить совсем коротко, – это кубик Рубика XIX фишку из любой соседней вершины. В века, только не трехмерный 3 u 3 u 3, а освободившуюся вершину можно передви- двумерный 4 u 4. Дана коробочка размером нуть фишку из любой ее соседней верши- 4 u 4 клетки, на дне которой лежат 16 ны и т.д. Выберем одно из расположений плиток 1u 1. Плитки пронумерованы, одна фишек, которое будем считать «стандарт- из плиток (с числом 16) убрана, точнее ным». Нас будет интересовать вопрос: говоря, вообще отсутствует в комплекте. В верно ли, что из любого начального поло- результате имеется одна пустая клетка, на жения фишек с помощью таких переме- которую можно пере- щений можно получить стандартное рас- двинуть любую из со- положение? Ну или наоборот: верно ли, седних плиток что из стандартного расположения фишек (рис.1). На освобо- можно получить любое другое? Если да – дившееся место опять будем говорить, что игра-головоломка «15» можно передвинуть на графе G собирается, а если нет – то не одну из соседних пли- собирается. ток и т.д. Требуется, Исходной игре в 15 соот- Рис. 1. Игра в 15 передвигая плитки, ветствует граф, показанный расположить их в ка- на рисунке 2. ком-нибудь стандартном порядке. Давайте поиграем. Рас- Игра была изобретена в США во второй смотрим примеры различ- половине XIX века и благодаря удачной ных графов (рис. 3–6). рекламной компании приобрела огромную Рис. 2. Граф Предлагаем читателю по- популярность. Прочесть об истории игры игры в 15 пытаться разобраться само- можно в книге [1]. В данной статье мы расскажем о замечательной теореме Уил- сона, посвященной этой игре. DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220502 Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6. Граф G1 Граф G2 Граф G3 Граф G4

ИГРА В 15 15 му, собирается ли головоломка «15» в этих при всех x  », кроме точки x0 асиdcм, пв- примерах, прежде чем читать наши рас- которой график имеет вертикальную суждения. Условимся, что вершина, кото- рая в стандартном расположении фишек тоту. Кроме того, функция принимает ров- должна остаться свободной, обозначается светлым кружочком. но один раз каждое вещественное значе- a, которое соот- Чтобы дать читателю возможность не ние, кроме значения y0 c подсматривать, мы отодвинем разбор этих примеров на следующую страницу, а пока ветствует горизонтальной асимптоте. займемся «теоретической подготовкой» на совершенно другую тему. Эти наблюдения позволяют проделать следующий фокус: будем считать, что к множеству вещественных чисел » (о кото- ром можно думать, как о множестве точек Дробно-линейные функции. Этим тер- координатной прямой) добавлена еще одна мином называют функции вида точка, которую мы будем обозначать знач- ax  b, где a, b, c, d – фиксирован- ком f. Слишком сильно задумываться о f x cx  d природе этой точки мы не будем, но, ные вещественные числа. Например, говоря неформально, мы считаем ее «бес- 1  4x , x конечно удаленным элементом», интуи- 2x  3 3x  1 f x f x и т.п. При тивно полагая, что если некоторая величи- этом должно выполняться единственное на возрастает по модулю, то тем самым она приближается к точке f. Полученное мно- ограничение: требуется, чтобы функция жество обычно называют проективной была непостоянной, иными словами, дробь, задающая функцию, должна быть несок- прямой. Впрочем, нам его незачем как-то ратимой. Это эквивалентно условию называть, давайте просто обозначим его ». Это множество нам мило тем, что оно ad  bc z 0. является естественной областью определе- Других ограничений нет, так что функции ния и естественным множеством значений x, f x 2x  1, f x 1, дробно-линейных функций. В самом деле, x f x будем считать, что всякая дробно-линей- f x 1 тоже дробно-линейные. ная функция задана при x  » и принима- 2x  ет значения в множестве ». Для этого 1 примем следующие соглашения. График дробно-линейной функции (при ax  b cx  d c z 0) – это хорошо известная «школь- Для функции f x (при c z 0) ная» гипербола (рис. 7). Разглядывая этот полагаем график, заметим, что функция определена § d · f, (1) ©¨ c ¸¹ f  f f a . (2) c Для функции f x ax  b полагаем f f f. (3) Рис. 7. Гипербола y ax  b Отметим, что после всех этих модифика- cx  d ций дробно-линейные функции обладают свойствами, которые читатель легко про- верит: 1) каждая дробно-линейная функция есть взаимно однозначное отображение из » в », 2) если f x и g x – две дробно-линей- ные функции, то их композиция f g x – тоже дробно-линейная функция.

16 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Нам понадобится еще одно свойство дроб- дела в случае, когда граф G1 – цикл длины но-линейных функций. n, n t 4. Теорема 1. Для любых трех различных На графе G2 головоломка не собирается, потому что ни одна фишка из левой поло- точек D, E, J  » и любых трех различных винки графа не сможет перебраться в точек $, %, *  » существует единствен- правую половинку и наоборот. Так же ная1 дробно-линейная функция f , для обстоят дела в случае, когда граф G2 содержит вершину, при удалении которой которой граф распадается на две (или более) ком- поненты, – такая вершина называется f D $, f E %, f J *. (4) точкой сочленения. Этот факт широко известен, но не впол- Для анализа игры на графе G3 нам не очевиден, мы не будем его здесь доказы- понадобятся стандартные соображения вать, вместо этого приведем формулу, по теории перестановок. Пусть дано нату- которой любой желающий может такую ральное число n. Выпишем числа от 1 до n функцию найти: в некотором порядке. Полученное распо- ложение чисел называется перестанов- x  D : J  D f  $ : *  $. (5) кой. Будем называть беспорядком в пере- xE JE f % *% становке (или инверсией) ситуацию, когда большее число встречается левее меньше- Выразив из этой формулы f через x, го. Например, в перестановке получим искомое. Понять, что найденная 6, 2, 3, 4, 5, 1 функция удовлетворяет требованиям (4), имеется 9 беспорядков: пять из них связа- ны с числом 6, которое стоит левее осталь- несложно. Например, при x D левая ных (меньших) чисел, и еще четыре беспо- часть формулы (5) равна 0, а единствен- рядка образуют числа 2, 3, 4, 5, стоящие левее 1. Для каждой перестановки вычис- ное значение f, для которого правая часть лим суммарное количество беспорядков в ней, остаток этого числа при делении на формулы (5) равна 0 – это f $. Анало- два называется четностью перестановки, гичные соображения применимы при x E а сама перестановка – четной (если оста- и x J. Отметим, что формула (5) позво- ток 0) или нечетной (если 1). Перестанов- ляет находить функцию f и в тех случаях, ка, рассмотренная выше, нечетная. когда среди значков D, E, J, $, %, * Четность перестановки обладает замеча- встречаются бесконечности. Например, при тельным свойством: если в перестановке истолковываем дроби J  D и поменять местами два числа, четность из- J  f, $ f J E менится. В случае, когда переставляют f $ в духе соседние числа в перестановке, это очевид- соотношения (2) как единицы но. А когда не соседние – это небольшая *$ загадка для читателя. Иллюстрацией слу- и получаем совсем короткую формулу, из жит рассмотренная нечетная перестанов- ка: если в ней поменять местами 1 и 6, которой в этом случае можно найти f: получится перестановка, в которой 0 бес- порядков, т.е. четная. x  D *  %. xE f % Вернемся к графам. На графе G3 голово- ломка «15» тоже не собирается. Граф G3 Вернемся к игре в 15. относится к двудольным графам – его Игра на Gгр1агфоалховGол1о–мкGа 3н(есмсо.рбиирс.а3е–т5ся),. множество вершин разбито на две части На графе или, как говорят, доли, причем концы каждого ребра принадлежат разным до- поскольку при перемещении фишек не может измениться их циклический поря- док: уж если идут фишки в порядке 1–2–3 (по часовой стрелке), то так же они будут упорядочены и дальше. Переставить их в порядок 1–3–2 не удастся. Так же обстоят 1 Отметим тонкость: одна и та же функция может быть задана разными дробями: напри- x 1 2x 22 . мер, x 1 2x

ИГРА В 15 17 лям. Другое нагляд- новку, четность ко- ное описание дву- торой не совпадает с дольного графа – номером той доли, граф является дву- где находится фиш- дольным, если он не ка 6. Пример такой содержит нечетных перестановки пока- Рис 11. Интересное зан на рисунке 11. циклов. Будем счи- Рис. 8. Стандартное по- расположение фишек Аналогичные рас- тать, что стандарт- ложение фишек на гра- суждения примени- на графе G3 ным расположени- фе G3 ем фишек на графе G3 является положе- мы к любому двудольному графу, в том ние, показанное на рисунке 8. Здесь фиш- числе (см. рис. 6), к графу классической ки с числами 1, 2, 3 стоят в вершинах игры в 15! Игра на графе G4 (см. рис. 6). Докажем первой доли, а фишки 4, 5, 6 – в вершинах теперь, что и на графе G4 головоломка «15» не собирается. Вообще-то граф G4 второй. довольно маленький, и любому, кто хоть В этом разделе мы считаем, что в свобод- ной вершине находится фишка с числом 6, в начале и в конце игры она занимает немного поиграл на нем в игру в 15, это вершину, помеченную светлым кружоч- утверждение покажется «конструктивно ком, а во время игры фишка 6 перемеща- ясным». Но мы предложим красивое мате- ется по графу, меняясь местами с соседни- матическое доказа- ми фишками. тельство этой невоз- Проведем эксперимент – сделаем какой- можности. нибудь ход, например передвинем фишку Начнем с того, что 1 на пустое место, разметим фишки и т.е. в текущих обо- будем считать стандар- значениях это зна- тным положение, по- чит – поменяем 1 и 6 казанное на рисун- Рис. 12. Стандартная местами (рис. 9). ке 12. Будем интере- расстановка на гра- Расположение фи- соваться только таки- фе G4 ми перестановками фишек, в которых сво- шек можно записы- Рис. 9. Сделаем один ход вать в виде переста- бодная клетка размещается в центре. В новки: сначала вы- отличие от предыдущего графа свободную писываем фишки, стоящие в первой доле вершину не будем помечать никаким знач- (слева направо), а потом стоящие во вто- ком и будем называть свободной фишкой. рой. После следующего хода (например, Ясно, что перемещение фишек однозначно если поменять 6 и 4) перестановка снова задается траекторией свободной фишки. станет четной. Мы «законспектировали» Как может двигаться свободная фишка, этот эксперимент на диаграмме (рис. 10). если ее путь начинается и заканчивается в Посмотрите на нее внимательно и найдите центральной вершине? Очевидно, она закономерность. выходит из центра, делает целое или полу- Ну как? Нашли? Закономерность такая: целое число оборотов, возвращается в четность перестановки совпадает с четнос- центр, потом снова выходит из центра, тью номера доли, где находится фишка 6! снова делает целое или полуцелое число Таким образом, из стандартного началь- оборотов, снова возвращается в центр и ного положения нельзя получить переста- т.д. В случае, когда свободная фишка делает несколько оборотов, будем считать, что она после каждого оборота «на се- Рис. 10. Конспект эксперимента кундочку» воз-

18 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 жение по этому маршруту в обратном направлении эквивалентно четырехкрат- ному повторению этого маршрута. Анало- гично, движение по второму маршруту в обратном направлении эквивалентно его Рис. 13. Пер- Рис. 14. Вто- Рис. 15. Тре- трехкратному повторению. Что же касает- вый маршрут рой маршрут тий маршрут вращается домой, т.е. в центр, после чего ся третьего маршрута, задаваемую им пе- тут же возвращается обратно и продолжа- ет движение. Тогда можно считать, что рестановку можно выполнить, если снача- траектория движения свободной фишки состоит в том, что она последовательно ла применить первый маршрут, а после проходит маршруты, показанные на ри- сунках 13–15 (каждый из маршрутов мож- этого запустить второй маршрут в проти- но проходить в указанном направлении либо в противоположном). воположном направлении. Читатель легко проверит, что при про- Итак, мы можем считать, что все воз- хождении первого и второго маршрутов остальные фишки переставляются так, как можные перестановки, получающиеся из показано на рисунках 16, 17. (На графе указано конечное расположение фишек стандартной, могут быть получены после- после того, как, начав со стандартного положения, мы проведем свободную фиш- довательным применением перестановок, ку по маршруту. Снизу подписано прави- ло, задающее полученную перестановку.) указанных на рисунках 16, 17. Как видим, в результате выполнения Теперь зададим перестановки формула- первого маршрута (см. рис. 16), фишки 0–4 переставляются циклически, а фишка ми. f остается на месте. Следовательно, дви- Проективная прямая над полем F5. Рис. 16. Перестановка первого маршрута Положим F5 ^0,1,2,3,4` – множество ос- Рис. 17. Перестановка второго маршрута татков по модулю 5. Зададим в этом мно- жестве операции сложения и умножения остатков по модулю 5. Замечательным обстоятельством является то, что в этом множестве можно не только находить сум- мы, разности и произведения остатков, но также (!) частные. Например, найдем, чему равно 3: 2 3 = 3◊3 = 4 = 4. 2 (*) 2◊3 (**) 1 Здесь равенство ( ) получено с помощью домножения числителя и знаменателя дро- би на 3. Далее мы провели вычисления: 3 ˜ 3 9 { 4 mod 5 , 2 ˜ 3 6 { 1mod 5 и получили в результате равенство ( ). Раз у нас имеется полноценное деление, мы можем рассматривать на множестве F5 дробно-линейные функции со значениями в F5. Это функции, которые задаются формулами f x ax  db , cx  где a,b,c,d  F5 и ad  bc z 0. (6) Но... такие функции имеют тот же недо- статок, что и вещественные дробно-линей- ные функции: невозможность деления на 0. Рассмотрим тогда «расширенное» мно- жество остатков по модулю 5, а именно,

ИГРА В 15 19 положим все перестановки, которые можно полу- чить в игре в 15 на графе G4, задаются F5 F5 ∪ ^f`, дробно-линейными функциями! Мы не будем проверять, можно ли с помощью зададим правила работы со значком f функций f, g и операции композиции пост- формулами (1)–(3) и, начиная с этого роить все возможные дробно-линейные момента, будем считать, что функции вида функции (ответ: можно). Вместо этого (6) заданы на множестве F5 и принимают докажем, что даже если мы будем исполь- значения тоже в F5. зовать все возможные дробно-линейные Возьмем на вооружение принятые обо- значения. Как видим на рисунке 12, вер- функции, то мы не сможем получить все шины графа G4 пронумерованы в точности возможные перестановки. всеми элементами множества F5. Посмот- рим тогда еще раз на перестановку на Это совсем просто. Для дробно-линей- рисунке 16. Нельзя ли задать ее с помо- ных функций, заданных на F5, остается в щью какой-нибудь функции? силе теорема, сформулированная нами для вещественного случая, а именно: с помо- Ответ очевиден, формула «бросается в щью дробно-линейных функций можно глаза» – это функция любые три различные точки отобразить в любые другие три различные точки, и g x x  1. (7) функция, осуществляющая такое отобра- жение, единственна. Перестановка на рисунке 17 представля- Значит, если мы выбрали произвольную ет собой более крепкий орешек. Она зада- расстановку и хотим получить ее из стан- дартной расстановки, мы точно знаем, ется формулой куда следует отобразить 0, куда 1 и куда 2. Но на этом наши возможности заканчива- f x x 3 3 . (8) ются: дробно-линейная функция, осуще-  ствляющая такое отображение, единствен- на, и куда она отображает оставшиеся Действительно, проверим это: элементы, мы контролировать не можем. Поэтому нам не удастся получить произ- f 0 3 1, вольную перестановку, в которой уже 3 фиксированы места фишек 1, 2 и 3, – из шести возможных вариантов перестановки f 1 3 3 3 2, остальных трех фишек осуществится толь- 4 1 ко один. Кстати, это значит, что на графе G4 существует как минимум шесть попарно f 2 3 f по (1), неэквивалентных перестановок, т.е. пере- 0 становок, которые не могут быть получены друг из друга в головоломке «15». f 3 3 3 3, 33 1 Итак, игра в 15 на графе G4 тоже не собирается. f 4 3 3 4 – это мы уже 43 2 Теорема Уилсона. Мы разобрались с анализом игры в 15 на небольших конкрет- вычисляли, ных графах – графах G1–G4. Оказывает- ся, нам встретились в этих примерах все f f 0 по (2). возможные препятствия, которые могли бы помешать головоломке «15» собраться. Читатель может поупражняться и выве- Имеет место следующая замечательная сти формулу для перестановки, задавае- теорема. Ее доказал американский мате- мой третьим маршрутом (см. рис. 15). матик Ричард Уилсон приблизительно 50 лет назад [3]. Заметим, что при последовательном вы- полнении перестановок, задаваемых дроб- но-линейными функциями h1 x и h2 x , получается перестановка, которая задает- ся функцией h2 h1 x , – а эта функция тоже дробно-линейная. Таким образом,

20 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Теорема 2. Пусть G – граф, который Наконец, в случае графа-цикла с n вер- шинами (n ! 3) можно получить лишь цик- 1) не является циклом из четырех или лические перестановки стандартного рас- положения, т.е. n  1 перестановку из более вершин, n  1 ! возможных (напомним, что место 2) не содержит точек сочленения, для свободной фишки зафиксировано). 3) не является двудольным, Некоторые примеры того, как может 4) не совпадает с графом G4. выглядеть процесс сборки головоломки на Тогда на графе G головоломка «15» соби- графах, похожих на граф G4, можно про- честь в статье [2]. рается. Доказательство этой теоремы не являет- Ну и напоследок, проверим внимание и наблюдательность читателя. Рассмотрим ся столь же изысканным и элементарным, кубик Рубика. как ее формулировка. Но общий ход дока- зательства вполне предсказуем: поскольку Задача. Допустим, что, собирая кубик, граф не имеет точек сочленения (напом- мы решили ограничиться поворотами ним: это значит, что при удалении одной только его верхней грани ABCD и правой вершины он не может распасться на от- грани CDEF (рис. 18). Верно ли, что, дельные компоненты) и не является цик- лом, то он «достаточно сложный»: напри- Рис. 18. Кубик Рубика мер, в нем можно найти две вершины A и B, соединенные тремя путями, не имеющи- пользуясь только поворотами этих гра- ми общих вершин (как вершины «2» и ней, мы сумеем добиться любой переста- « f » в графе G4 на рисунке 12), будем новки угловых кубиков, изначально рас- называть такую конфигурацию 3-путь. положенных в углах A, B, C, D, E, F? Дальнейшее – дело техники: если граф не (Как будут повернуты при этом кубики, настолько маленький, как граф G4 (и неко- неважно – лишь бы стояли на указанных торые другие примеры, на которых голо- местах.) воломка все же собирается), и если отсут- ствуют препятствия, связанные с четнос- Литература тями перестановок, то можно проверить, 1. М.Гарднер. Математические досуги. – что преобразования вроде тех, что мы М.: Мир, 1972. рассматривали на рисунках 13–15, по- 2. Д.Вакарелов. Путешествия по графам. – рождают множество всех возможных пе- «Квант», 1986, № 7. рестановок фишек на графе. 3. R.M.Wilson. Graph puzzles, homotopy, and the alternating group. – J. Combin. Theory, Итак, если граф G не двудольный и Ser. B, 16 (1974), 86–96. содержит хотя бы один 3-путь, то голово- ломка собирается: из стандартной переста- новки можно получить все возможные перестановки. Справедливости ради доба- вим, что на цикле длины 3, а также на графе, состоящем из одного ребра, голово- ломка тоже собирается. Для остальных графов можно уточнить, как именно не собирается головоломка «15». Если граф G двудольный, не совпадает с G4 и содер- жит хотя бы один 3-путь, то из стандарт- ной перестановки можно получить лишь четные перестановки, т.е. ровно половину всех возможных перестановок. На графе G4 можно получить 120 перестановок (они описываются дробно-линейными функци- ями) из 720 возможных.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи по математике и физике Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон- ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2698 – М2701 предлагалась на XLIII Турнире городов. Задачи Ф2705 – Ф2708 предлагались на заключительном этапе LV Всероссийской олимпиады школьников по физике. Задачи М2698–М2701, Ф2705–Ф2708 жен будет назвать предполагаемый цвет M2698. Докажите, что из любого выпук- своего колпака. Могут ли мудрецы зара- лого четырехугольника можно вырезать нее договориться действовать так, чтобы три его копии вдвое меньшего размера. гарантированно хотя бы 150 из них назва- А.Юран ли цвет верно? M2699. По доске n u n прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем А.Грибалко каждый ее ход был на соседнюю по сторо- не клетку. Клетки занумерованы целыми Ф2705. Три черепахи, движущиеся с по- числами от 1 до n2 в порядке прохождения стоянными по модулю скоростями и все ладьи. Пусть M – наибольшая разность время поддерживающие курс одна на дру- между номерами соседних по стороне кле- гую, в момент за- ток. Каково наименьшее возможное значе- пуска секундомера ние M? находились в вер- шинах равнобед- Б.Френкин ренного прямоу- гольного треуголь- M2700. Дан приведенный многочлен сте- ника ABC с катета- пени 2022 с целыми коэффициентами. ми длиной l Какое наибольшее число корней он может (рис. 1). Скорость первой черепахи Рис. 1 иметь на интервале 0; 1 ? v1 v, где v – известная величина, а ско- рости второй и третьей черепах v2 и v3 А.Канель-Белов таковы, что в процессе их движения углы в треугольнике, образованном черепаха- M2701. Султан собрал 300 придворных ми, не изменяются. Найдите: мудрецов и предложил им испытание. Он 1) время t, через которое черепахи встре- сообщил им список из 25 цветов и сказал, тятся; что на испытании каждому мудрецу наде- 2) модули скоростей v2 и v3 второй и нут на голову колпак одного из этих цве- третьей черепах; тов, причем если для каждого цвета напи- 3) ускорения черепах в начальный момент сать количество надетых колпаков этого времени; цвета, то все числа будут различны. Каж- 4) на каком расстоянии s от места старта дый мудрец увидит, какой колпак на ком первой черепахи произойдет их встреча. надет, но свой колпак не увидит. Затем одновременно (по сигналу) каждый дол- А.Уймин

22 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Ф2706. В атмосфере с давлением 1) массу M поршня; лp0инд1р0и5ч еПскаирйасспоослуоджсеенчевнеритеимкаSльн0ы,0й1цми2- 2) массу m0 содержимого под поршнем (суммарно во всех агрегатных состояниях); и высотой 2H (H 1 м). Вдоль стенок 3) количество теплоты Q, подведенное к сосуду начиная с момента отрыва поршня сосуда может переме- от опор и до момента окончания нагрева. щаться без трения гер- А.Уймин метичный поршень (рис. 2). Стенки сосу- Ф2707. Бесконечно длинный незаряжен- да и поршень не про- ный металлический цилиндр радиусом R водят тепло. Изна- расположен в однородном электрическом Рис. 2 чально поршень поко- поле E0. Ось цилиндра и вектор напряжен- ности поля горизонтальны и взаимно пер- ится на небольших опорах, расположен- ных на высоте H над дном сосуда. Из-под пендикулярны (рис. 4). Напряженность поршня выкачивают весь воздух и поме- поля направлена впра- щают туда некоторое количество жидко- во. На поверхности сти. После установления термодинамичес- цилиндра установи- кого равновесия температура содержимо- лось некоторое рас- го сосуда оказалась равной T0 350 К. Затем пределение индуциро- включают нагреватель, и через дно сосуда ванных зарядов. содержимое под поршнем медленно нагре- Рис. 4 Далее рассмотрим бес- вается. В процессе нагрева измеряют тем- конечно длинный тонкостенный непрово- пературу и давление под поршнем. Когда дящий цилиндр такого же радиуса R вне низ поршня достигает отметки 2H, нагрев поля E0 вдали от первого (проводящего) цилиндра. Поместим на его поверхность прекращают. График полученной зависи- мости от начала нагрева и до его окончания заряды так, чтобы зависимость плотности представлен на рисунке 3. Удельная теп- заряда от угла T к горизонту совпадала для лота парообразования жидкости при тем- обоих цилиндров. Непроводящий цилиндр пературе 1,1 T0 равна L 2,2 МДж кг. Мо- расположен горизонтально в поле тяжес- лярная масса жидкости 0 18 г моль, ти. Ускорение свободного падения равно универсальная газовая постоянная g. Поместим внутрь непроводящего ци- R 8,31 Дж моль ˜ К , ускорение свобод- линдра гладкий точечный положительный ного падения g 9,8 м с2. Пар жидкости заряд q массой m. можно считать идеальным многоатомным 1) Определите изменение суммарной по- газом. Объем жидкости много меньше SH. тенциальной энергии точечного заряда Определите: (энергии в поле тяжести и в электрическом поле) при перемещении его из крайнего левого положения в крайнее правое. 2) Точечный заряд помещают в самое нижнее положение и сообщают ему на- чальную скорость v0, направленную влево перпендикулярно оси цилиндра (рис. 5). Найдите максималь- ную скорость заря- да vmax в процессе дальнейшего движе- ния. 3) При каких значе- ниях v0 точечный за- ряд совершит пол- Рис. 5 ный оборот? Рис. 3 М.Карманов

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 23 Ф2708. Полубесконечный соленоид с ра- Решения задач М2686–М2689, диусом витков r и плотностью намотки n Ф2693–Ф2696 (число витков на единицу длины) распо- ложен соосно круговому сверхпроводяще- M2686. 99 команд сыграли двухкруговой му витку радиусом R так, что его основа- турнир по волейболу: каждая сыграла с ние находится в плоскости витка (рис. 6). каждой матч дома и матч в гостях. Известно, что r R. Изначально ток в Каждая команда выиграла ровно полови- витке отсутствовал. Индуктивность витка ну своих домашних матчей и ровно поло- равна L. Силу тока в соленоиде медленно вину гостевых. Докажите, что какая-то увеличивают от нуля до I и далее поддер- из команд дважды обыграла какую-то живают постоянной. Провода, подводя- другую. щие ток к соленоиду, расположены таким образом, что их магнитным полем и взаи- Предположим противное. Тогда в каждой модействием с другими элементами можно пренебречь. Направим ось x так, как пока- паре команд либо обе победили соперника зано на рисунке. у себя дома, либо обе победили соперника Рис. 6 в гостях. Соединим ребром те пары, где 1) Точки A и C расположены в плоскости витка на расстояниях r 3 и 3r соответ- обе команды победили друг друга дома. ственно от оси симметрии системы. Найди- те проекции индукции BAx и BCx магнитно- Получим граф на 99 вершинах, и из каж- го поля, создаваемого соленоидом в точках A и C соответственно. дой вершины выходит ровно 49 ребер. Но 2) Найдите силу тока Iв в витке. Укажите, как он направлен. это невозможно, так как в противном слу- 3) Найдите величину и направление силы магнитного взаимодействия, действующей чае общее количество ребер было бы равно на соленоид со стороны витка. нецелому числу 99 ˜ 49 2. Примечание. Для бесконечного соленоида поле внутри соленоида однородное, век- М.Антипов тор магнитной индукции направлен парал- лельно оси и его величина определяется M2687. Дан правильный n-угольник, n t 4. формулой B0 P0nI. Снаружи бесконеч- Рассматриваются расстановки в его вер- ного соленоида B 0. шинах n чисел, каждое из которых равно 1 или 2 (всего 2n расстановок). Для каж- А.Уймин дой такой расстановки K находим коли- чество нечетных сумм среди всех сумм чисел в нескольких подряд идущих верши- нах. Это количество обо- значим a K (например, для расстановки K, показанной на рисунке, n 5 и a K 8). а) Найдите наи- большее  возможное значе- ние a K . б) Найдите количество рас- становок, для которых a K принимает это наибольшее возможное значение. Ответ: а) ª n2 º ; б) Cnn21 для четного n, « 2 » ¬ ¼ Cnn11 2  Cnn11 2 для нечетного n. Заметим, что количество подмножеств из нескольких подряд идущих вершин равно n n  1  1 (для каждого k 1, 2, …, n – 1 имеется n наборов, а кроме того, набор из всех n чисел). Занумеруем вершины по кругу: A1, A2,}, An и обозначим через ai число, стоящее в вершине Ai.

24 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Положим S0 0, S1 a1, S2 a1  a2, … что если известны четности чисел ..., Sn a1  a2  }  an. S1, S2,}, Sn1 (вспомним также, что мы Если исключить из рассмотрения множе- находимся в случае четного Sn), то числа ство всех вершин ^A1, A2,}, An`, осталь- a1,a2,}, an восстанавливаются, причем од- нозначно, исходя из условий ai Si  Si1. ные подмножества подряд идущих вершин Таким образом, имеется ровно Cnm1 расста- разбиваются на пары, дополняющие друг новок чисел a1,a2,}, an, для которых сре- друга до всего множества ^A1, A2,}, An` ди чисел S1, S2,}, Sn1 ровно m нечетны. Отсюда вытекает, что в случае четного n (скажем, в паре с подмножеством {A2, A3} будет подмножество {A4, A5,}, An, A1} и n2 т.д.). Сумма чисел в каждой такой паре 2 подмножеств равна Sn. количество a K равно ровно для Cnn21 Если для какой-то расстановки K сумма Sn нечетна, то суммы чисел в каждой такой расстановок, в случае же нечетного n коли- паре подмножеств имеют разную четность, ª n2 º n n  1 и тогда a K  1, что при n t 4 чество a K равно « 2 » ровно для 2 ¬ ¼ меньше значения ª n2 º», указанного в ответе. Cnn11 2  Cnn11 2 расстановок. « 2 ¼ П. Кожевников ¬ Если же для расстановки K сумма Sn M2688. Пусть Ta, Tb, Tc – точки касания четна, то  суммы чисел в каждой нашей вписанной окружности Z треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответ- паре подмножеств имеют одинаковую чет- ственно (рис.1). Пусть X, Y, Z – такие ность. Покрасим в каждой нашей паре то подмножество, которое не содержит An.  Тогда a K будет равно удвоенному коли- честву покрашенных подмножеств с нечет- ной суммой чисел. Любая сумма в покра- шенном подмножестве (т.е. сумма несколь- ких подряд идущих чисел, не содержащих числа an) представляется (причем един- ственным образом) в виде Si  Sj, где 0 d j  i d n  1. Видим, что она нечетна тогда и только тогда, когда Si и Sj имеют разную четность. Значит, количество покра- шенных подмножеств с нечетной суммой Рис. 1 равно m n  m , где m и n – m – соответ- точки на окружности Z, что A лежит на ственно количества нечетных и четных чи- луче YX, B лежит на луче ZY, а C лежит на луче XZ. Пусть P – точка пересечения сел среди чисел S0, S1,}, Sn1. Тем самым, отрезков ZX и TbTc, и аналогично 1 Q XY ∩ TcTa, R YZ ∩TaTb. Докажите,  a(K) 2m n  m 2 что точки A, B, C лежат соответствен- но на прямых RP, PQ, QR. не превышает n2 n2  n  2m 2 , что В решении будем использовать известные факты проективной геометрии: свойства 2 при четном n и не поляр (см., например, статью Д.Швецова «Поляра» в «Кванте» №5 за 2017 г.) и превышает n2  1 при нечетном n, т.е. не теорему Паскаля. 2 Введем новые точки (рис.2) S TaTc ∩ XZ, превышает значения, указанного в ответе. B0 – точка пересечения касательных к Z в При этом равенство достигается в случае четного n тогда и только тогда, когда n m 2 , а в случае нечетного n тогда и только тогда, когда m n r 1. Заметим, 2

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 25 Рис. 2 Ответ: 403920 561˜ 720 . Пример. Разобьем джентльменов с номе- точках X и Z, B2 TcZ ∩ TaX, прямую BB0 рами 1–560 на пары вида (k, 561–k). назовем lb. Выделим 561 множество из 720 человек и Заметим, что lb – поляра точки S, посколь- с каждого множества соберем налог 720. В ку S лежит на полярах точек B и B0.Отсю- множестве номер i будут все джентльмены да вытекает, что B2  lb. с номерами, большими 560 (их 440), а из По теореме Паскаля для шестиугольника каждой пары (k, 560 – k) будет ровно один (с кратной вершиной) XYZTcTaTa имеем: джентльмен: с меньшим номером, если точка B пересечения касательной к Z в этот номер не больше i, и с бульшим иначе. точке Ta и ZY, а также Q TaTc ∩ XY и Докажем, что предъявленный способ сбо- B2 ZTc ∩ XTa лежат на одной прямой, ра налогов подходит. Джентльмен с номе- таким образом, Q  lb. ром k £ 280 является наименьшим номе- Так как C лежит на прямой XZ – поляре ром в какой-то паре, поэтому он будет точки B0, то B0 лежит на прямой TaTb – участвовать ровно в k множествах. Джен- поляре C. тльмен с номером 281 £ k £ 560 был буль- По теореме Паскаля для шестиугольника шим в какой-то паре и участвует в 561 – (с кратной вершиной) TaTbTcZZX имеем: – (561 – k) = k множествах. Джентльмены точка B0 пересечения касательной к Z в с номерами, большими 561, были в 561-м точке Z и TaTb, а также P TbTc ∩ ZX и множестве, налог 561 они заплатить могли. B2 ZTc ∩ XTa лежат на одной прямой. Оценка. Предположим, удалось собрать Итак, доказано, что на одной прямой lb S ! 561 ˜ 720 налога. Рассмотрим людей с лежат точки B, P, Q (и, кроме того, B0 и номерами от 1 до 560. Назовем их бедны- B2). ми. Обозначим собранный с них налог Аналогичные рассуждения проводятся для через T. Поскольку в каждом наборе из точек A и C. 720 людей бедных хотя бы 280, то они заплатили хотя бы 280 от собранного у Л. Шатунов 720 M2689. В английском городе 1000 джент- любого множества налога, значит, они льменов, зарегистрированных в Реестре под номерами от 1 до 1000. Любые 720 из заплатили хотя бы 280 от всего собранного них образуют клуб. Мэр хочет обло- 720 жить каждый клуб налогом, который выплачивается всеми участниками клу- налога, т.е. T t 280 S. Но они могли зап- ба в равных долях (налог – произвольное 720 неотрицательное вещественное число). При этом суммарный налог, выплачивае- латить не больше суммы своих номеров, мый джентльменом, не должен превосхо- дить его номера в реестре. Какой наи- т.е. T d 560 ˜ 561. Получаем, что 561 ˜ 280 t больший налог может собрать мэр? 2 280 t T t 720 S. Таким образом, 561 ˜ 720 t S. И.Богданов Ф2693. Три одинаковых по форме шарика соединены невесомыми упругими (т.е. растяжимыми) нитями и подвешены к потолку на длинной нити, как показано на рисунке. Верхний – это теннисный шарик со стандартными параметрами: диаметр D 40 мм, масса оболочки m 2,7 г. Средний и нижний – это сплош- ные шарики из алюминия плотностью Uа 2,7 г см3. Шарики все вместе погру- жены в бочку с водой так, что они не

26 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 касаются стенок и дна боч- оставшихся целыми нитей изменятся толь- ки. Расстояния от верхнего ко после того, как шарик (или шарики), на шарика до поверхности воды который (на которые) действовала нить до и от нижнего до дна бочки, а перерезания, сдвинется (сдвинутся) с ме- также от всех шариков до ста. А поскольку нити по условию задачи стенок бочки значительно упругие, то это произойдет не сразу после больше диаметров шариков. перерезания. Будем рассматривать проек- И расстояние между соседни- ции всех сил на направление «вниз» и ми шариками тоже во много обсудим три возможных перерезания ни- раз больше размеров шариков. С какими тей. ускорениями будут двигаться шарики Вариант В. Сумма всех сил, действую- сразу после перерезания одной из нитей? щих вначале на теннисный шарик, равна (Не забудьте про присоединенную массу нулю: воды, которая для шарика равна полови- не массы воды, вытесненной шариком.) 0 mg  FB  FC  gUв. Вязкостью воды можно пренебречь, уско- рение свободного падения g 9,81 м с2. После того, как нить В перерезали и прошло совсем немного времени, все ос- Во-первых, заметим, что возможных вари- тальные силы не изменились. Это означа- антов перерезания «одной из нитей» три. ет, что ускорения шариков из алюминия Может быть перерезана верхняя (В), ниж- равны нулю, а теннисный шарик будет няя (Н) или средняя (С) нить. Поэтому двигаться с ускорением, направленным ответ к задаче может выглядеть как табли- вниз. Под действием суммы всех сил тен- ца с девятью клеточками, соответствую- нисный шарик и находящаяся рядом с ним щими разным шарикам и разным вариан- вода пришли в движение с ускорением, там перерезания. направленным вниз: Обозначим объем одного шарика через V. Плотности алюминия Uа 2,7 г см3 и воды m  UвV 2 aверх(В) mg  FC  gVUв Uв 1,0 г см3 известны. Плотность возду- ха равна примерно Uвозд 1,2 ˜ 103 г см3. V 2Ua  3Uв  Uш g, Средняя плотность теннисного шарика с где UвV 2 – это так называемая присоеди-  воздухом внутри равна Uш 6m SD3  ненная масса воды. Отсюда находим уско- рение теннисного шарика:  Uвозд 0,082 г см3. Сначала система шариков находится в состоянии равнове- aверх(В) g 2Ua  3Uв  Uш Uш  Uв 2 сия. При этом верхняя нить натянута с силой g ˜ 4,276 | 41,9 м с2. FB V 2Ua  3Uв  Uш g. Вариант С. Сразу после разрезания сред- ней нити теннисный шарик будет двигать- Средняя нить, соединяющая теннисный ся с ускорением, направленным вверх, а шарик и алюминиевый шарик, растянута с верхний из двух алюминиевых шариков силой будет двигаться с ускорением, направлен- ным вниз. Нижний шарик из алюминия FC 2V Ua  Uв g. будет иметь нулевое ускорение. Ускоре- ние теннисного шарика находим из соотно- Сила натяжения нижней нити равна шения FH V Ua  Uв g. V Uш  Uв 2 aверх(C) mg – FB  gVUв Пока нити были целыми, суммы сил, дей- VgUш  gV 2Ua  2Uв  Uш , ствующих на каждый из шариков, были равны нулю. После разрезания нити соот- откуда ветствующая сила натяжения сразу стано- вится равной нулю. При этом натяжения aверх(С) g 2Ua  2Uв Uш  Uв 2 57,3 м с2.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 27 Знак «минус» означает, что ускорение пом (С) и компотом (К). После чего сосуд направлено вверх. Ускорение верхнего из закрыли не проводящей тепло крышкой. алюминиевых шариков находим из соот- В начальный момент температуры жид- ношения костей в сосуде были такими: TЧ 92 qС, TС 60 qС, TК 40 qС. Через минуту тем- V Ua  Uв 2 aсред(С) gVUa  пература чая стала равной 91qС. Тут объявили учебную тревогу и про жидко-  gV Ua  Uв  gVUв 2gV Ua  Uв , сти забыли. Через какое время компот прогрелся до первоначальной температу- откуда ры супа? aсред(С) 2g Ua  Uв Ua  Uв 2 | 10,4 м с2. Все налитые в сосуд жидкости – это вода с небольшим количеством примесей. Вода Вариант Н. Сразу после разрезания ниж- совсем невязкая жидкость, поэтому в каж- ней нити с ускорениями будут двигаться дой секции температуру по всему ее объе- оба алюминиевых шарика. Для среднего му секции в любой момент времени можно шарика запишем считать одинаковой. Теплоемкостью тон- ких перегородок и стенок сосуда можно aсредн(Н)V Ua  Uв 2 пренебречь. Поскольку теплоизоляция сосуда хорошая, то суммарный запас ко- gVUa  gVUв  2V Ua  Uв g личества теплоты в сосуде сохраняется. Это означает, что выполняется равенство и получим TЧ  TС  TК 252 qС const. aсредн(Н) g Ua  Uв Ua  Uв 2 Мощность процесса теплопередачи через 5,2 м с2, перегородку пропорциональна ее площа- ди, обратно пропорциональна толщине и причем ускорение направлено вверх. пропорциональна разнице температур по Для нижнего шарика запишем разные стороны перегородки. Обозначим коэффициент, учитывающий теплопровод- aнижн(Н)V Ua  Uв 2 gVUa  gVUв, ность перегородок и теплоемкости жидко- стей, через D и запишем соответствующие откуда дифференциальные уравнения: aнижн(Н) g Ua  Uв Ua  Uв 2 5,2 м с2. TЧc D 2TЧ  TC  TК , TКc D 2TК  TC  TЧ , Это ускорение направлено вниз. TСc D 2TС  TЧ  TК 2. С.Шариков Если считать, что 1 минута – это малое Ф2694. Хорошо теплоизолированный со- время в сравнении с характерными време- суд в форме куба стоит на горизонталь- нами установления теплового равновесия, ном столе. Сосуд разделен тонкими вер- то величина D примерно равна 1 84 мин1 тикальными перегородками на три сек- (на самом деле она чуть больше). В про- ции (см. рисунок; вид сверху). Все перего- цессе решения можно будет уточнить зна- родки сделаны из одинакового материала чение этой величины. Введем такие обо- и имеют одинаковую толщину. Секции значения: X TЧ  TК, Y TЧ  TК. Тогда сосуда доверху заполнили чаем (Ч), су- X  2TC 252 qС, Xc 2D X  126 qC , Yc 3D Y . Начальные значения равны X0 132 qС, Y0 52 qС, поэтому текущие значения (в

28 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 градусах Цельсия) будут A – одинакова для всех простых веществ Xt 126q  6q ˜ et˜2D, величина. Yt 52q ˜ et˜3D. В пенопластовую емкость с нулевой теп- лопроводностью и нулевой теплоемкос- Через 1 минуту будет тью стенок поместили 635 г меди при температуре 3 К и 627 г висмута при X1  Y1 63q  3q ˜ e1мин˜2D  91q. температуре 10 К. Какая температура 2  26q ˜ e1мин˜3D установится со временем в этой емкос- ти? Температура Дебая для меди Обозначим величину e1мин ˜ D символом Z. TДм 315 К, для висмута TДв 120 К. Мо- Тогда уравнение для нахождения величи- лярная масса меди 0м 63,5 г моль, ны D будет таким: висмута 0в 209 г моль. 28 26 ˜ Z3  3 ˜ Z2. При абсолютных температурах, которые во много раз меньше температуры Дебая Численное решение этого уравнения дает для соответствующего вещества: T TД, Z = 0,9879559, что соответствует значению молярные теплоемкости этого конкретно- D, равному 1 82,5272 мин1. Действитель- го вещества, измеренные и при постоян- но, получилась величина немного боль- ном объеме, и при постоянном давлении, шая, чем грубая предварительная оценка отличаются друг от друга очень мало и 1 84 мин1. зависят от температуры по одинаковому По условию задачи нужно найти время, за закону: которое компот нагреется до температуры 60 qC, т.е. нужно решить уравнение  Сp | СV Смол A T TД 3. X  Y 63q  3q ˜ et˜2D  26q ˜ et˜3D 60q. А внутренняя энергия одного моля веще- 2 ства, соответствующая предположению, что при 0К она равна нулю, равна Получается t 52,63 мин. U TA T TД 3 4. А.Зильберман Обозначим параметры, соответствующие Ф2695. Тепловые свойства разных ве- разным веществам (меди и висмуту) в ществ в конденсированном состоянии момент помещения их в теплоизолирован- имеют одинаковые характеристики. ную емкость, индексами «1» и «2». Урав- Например, для большинства простых нение теплового баланса будет выглядеть веществ при средних температурах вы- так: полняется соотношение, которое назы- вают законом Дюлонга и Пти. Согласно  T1 m1 01 A T1 TД1 3 4  этому закону молярная теплоемкость твердых веществ весьма близка к вели-   T2 m1 01 A T2 TД2 3 4 чине 3R | 25 Дж моль ˜ К . При низких    AT m1 01 T TД1 3  m2 02 T TД2 3 4, температурах наблюдается отступле- откуда находим установившуюся темпера- ние от этого закона. Та температура, туру Т: при которой для данного вещества его молярная теплоемкость становится при- T | 9,59 К. мерно на 10% меньше величины 3R, на- зывается температурой Дебая TД . При В.Дебаев температурах, значительно меньших температуры Дебая, молярные тепло- Ф2696. На два непроводящих и немаг- емкости простых веществ в твердом нитных цилиндра одинаковой длины l, состоянии зависят от температуры имеющих разные диаметры D1 и D2, много меньшие длины l, намотаны виток к вит-  одинаковым образом: Cмол A T TД 3, где

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 29 Следовательно,   L P0N2S D12  D22 4l . ку в один слой по N витков тонкой Отсюда находим максимальное значение сверхпроводящей проволоки с очень тон- силы тока: ким слоем изоляции снаружи. Меньшую из получившихся двух катушек соосно Imax Q LC 0,5 вставили внутрь катушки с бульшим диаметром. Катушки соединены так, как   2Ql 0,5 показано на рисунке. При таком соедине- CP0N2S D12  D22 нии по виткам двух катушек течет оди- . наковый ток и магнитное поле внутри катушки меньшего диаметра равно нулю. С.Дмитриев К выводам системы катушек подключили заряженный конденсатор. Емкость кон- денсатора C, а на его обкладках находи- лись электрические заряды +Q и –Q. Какой максимальный по величине ток будет протекать по виткам катушек? В тот момент времени, когда значение тока в витках катушек принимает максималь- ное значение, вся энергия, запасенная до подключения к катушкам в конденсаторе и равная Q2 2C , превратилась в энергию магнитного поля в пространстве возле ка- тушек, равную LI2 2, где L – индуктив- ность системы катушек. Поэтому макси- мальное значение силы тока будет таким: Imax Q LC 0,5. Магнитное поле в пространстве между цилиндрами при протекании тока I по виткам катушек характеризуется величи- ной вектора индукции магнитного поля, которую можно найти с помощью теоремы о циркуляции. Индукция равна B P0IN l, где P0 – магнитная постоянная. Будем считать, что D1 ! D2. Суммарный магнит- ный поток, пересекающий все витки двух катушек, равен (с учетом того, что поле внутри катушки меньшего диаметра равно нулю):  ) BNS D12  D22 4  P0IN l NS D12  D22 4 IL.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ Задачи 1. Ваня расставил в кружках различ- 3. Цифры от 0 до 9 зашифрованы ные цифры, а внутри каждого тре- буквами A, B, C, D, E, F, G, H, I, J в каком- угольника записал либо сумму, либо то порядке. За один вопрос можно произведение цифр в его вершинах. узнать зашифрованную запись суммы Потом он стер цифры в кружочках. нескольких различных букв. Напри- Впишите в кружочки различные циф- мер, если спросить «А + B ?», то в ры так, чтобы условие выполнялось. случае, когда A 9, B 1, C 0, отве- том будет «А + В BC». Как можно за 2. В.Клепцын пять таких вопросов определить, ка- Три лягушки на болоте прыгнули кие буквы каким цифрам соответству- по очереди. Каждая приземлилась ют? точно в середину отрезка между дву- мя другими. Длина прыжка второй 4. А.Заславский лягушки 60 см. Найдите длину прыжка В четырехугольнике ABCD извест- третьей лягушки. но, что AB BC CD, ‘A 70q и ‘B 100q. Чему могут быть равны углы А.Шаповалов C и D? М.Волчкевич Эти задачи предлагались на Математичес- Иллюстрации Д.Гришуковой ком празднике.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 31 Осторожно, – Что ж, в таком случае дадим слово проценты! Толику, – сказал Иван Петрович. С.ДВОРЯНИНОВ И вот что мы услышали. – В нашем учебнике химии для 8 класса Дело было в 8 классе. На уроке матема- на странице 125 написано: тики. Наш учитель Иван Петрович дал нам такую задачу: Отношение массы растворенного веще- ства к общей массе раствора называют В сосуд, содержащий 5 литров 27-про- массовой долей растворенного вещества. центного водного раствора вещества, до- бавили 4 литра воды. Сколько процентов Там же даны два примера, и в обоих составляет концентрация получившего- говорится именно о массе. Далее на стра- ся раствора? нице 126 читаем про объемную долю: А потом добавил: «Эта задача на оценку. Аналогично массовой доле определяет- Кто решит, получит пятерку в журнал. ся и объемная доля газообразного веще- Напишите на листочке свою фамилию и ства в газовой смеси. ответ. Листочки сдайте. Урок у нас послед- ний, и потому сразу можете идти домой. Единицы объема (литры и кубические Только не спешите!» метры) использованы в учебнике в двух примерах при описании газовых смесей. У Конечно, получить пятерку в журнал нас же в задаче речь идет о 27-проценто- заманчиво, тем более похожие задачи мы ном водном растворе, например соли или решали. Так что довольно быстро на столе сахара. Количество соли и сахара в точ- у Ивана Петровича выросла кипа листоч- ных расчетах никогда не указывают в ков. Все отправились по домам, только объемных единицах. Это только в пова- Толик Втулкин остался в классе... ренных книгах читаем: возьмите ложку соли. А математика – наука точная! А на следующий день случилось самое интересное. «Вас в классе 19 человек, Как можно получить такой раствор – ответов я получил только18, – начал Иван известно. Берем 27 г соли и 73 г воды, или Петрович. Как и обещал, ставлю пятер- 27 кг соли и 73 кг воды. А можно взять ки… Но только одному – Толе Втулкину». 2,7 кг соли и 7,3 кг воды. По условию задачи такого раствора имеется 5 литров. Как так? Класс загудел. Задача-то лег- Поскольку мы не знаем плотность раство- кая, по сути в одно действие: ра, то не знаем его массу и не можем узнать массу растворенной в нем соли. 0,27 ˜ 5 1,35 0,15, 54 9 А какой смысл имеет используемое в и потому ответ: 15%. приведенном решении равенство 5  4 9? Да никакого! Объем смеси не равен сумме объемов смешиваемых растворов. Это все равно, что складывать 5 яблок и 4 груши. Следовательно, задача сформулирована некорректно, решить ее невозможно, да и решать не стоит, – заключил Толик. – Вот именно за такое понимание я и поставил пятерку Толику, – торжественно произнес Иван Петрович. – Да и по химии ему надо пять поставить. В рассказе А.П.Че- хова есть строчка: «Кто писал не знаю, а я дурак читаю». Так что, ребята, будьте бдительны. Не решайте дефектные задачи!

… пусты и полны заблуждений те науки, Чем проще материалы иллюстративного которые не порождены опытом – отцом вся- опыта и чем более они привычны учащемуся, кой достоверности… тем глубже он поймет идею, которую должен иллюстрировать этот опыт. Леонардо да Винчи Джеймс Клерк Максвелл Природа дала нам глаза, чтобы мы узнали ее творения. Но она наделила нас также моз- Если последовательно опускать даже нетре- гом, способным понять эти творения. нированную руку в два сосуда с водой, то, как мы нашли на опыте, можно обнаружить раз- Галилео Галилей ность температур меньше одной четверти гра- дуса Цельсия. … в противность ряду опытов не следует измышлять на авось каких-нибудь бреден. Уильям Томсон (лорд Кельвин) Исаак Ньютон … опыт – единственный источник истины, только опыт может научить нас чему-либо Время от времени следует производить са- новому… мые дикие эксперименты. Из них почти никог- да ничего не выходит, но если они удаются, то Анри Пуанкаре результат бывает потрясающим. Без экспериментаторов теоретики скисают. Эразм Дарвин Лев Ландау А так ли хорошо знакомы вам ?ОПЫТЫ и НАБЛЮДЕНИЯ Впереди лето. Конечно, каникулы – ствующее ускорение, располагая, напри- прекрасная возможность и отдохнуть, и мер, уровнем с жидкостью? развлечься на даче или в лагере, дома или на природе. Но там же вполне реально на 2. Разложите на столе носовой платок практике, «вживую», убедиться в дей- и поставьте на него горлышком вниз ствии и всемогуществе физических зако- пустую стеклянную бутылку. Как вытя- нов – ведь они проросли из опытов и нуть платок из-под бутылки, не прикаса- наблюдений. И необязательно для этого ясь к ней? располагать сложным оборудованием, зачастую хватает лишь внимательного 3. Вы встретили вечером двух ребят, взгляда, простейших подручных средств, которые катаются с одинаковой скорос- смекалки и элементарных расчетов. тью на велосипедах с разными по диа- метру колесами. У кого из них ярче Надеемся, вы не проведете ближайшие горит фонарик, работающий от генера- месяцы в праздности, а дадите волю лю- тора на ободе колеса? бознательности и сообразительности, по- работаете и руками, и головой, найдете 4. Как бросить на пол с высоты, напри- ответы на накопившиеся вопросы и озада- мер, 1 метр картонную (плоскую) спич- читесь новыми в преддверии будущих ку, чтобы она упала на ребро? учебных лет. И наш журнал – вам в помощь. Предлагаем «для разминки» гор- 5. Удастся ли вам поставить не разбитое стку летних упражнений. яйцо вертикально на ровной поверхности (т.е. решить задачу о колумбовом яйце)? Вопросы и задачи 6. Переверните полную бутылку гор- 1. При движении Земли по эллиптичес- лышком вниз. Почему вода выливается с кой орбите скорость ее все время меняет- бульканьем? ся. Смогли бы вы обнаружить соответ- 7. Разложите зажженные спички по ме- таллической, каменной и деревянной по- верхностям. Какая из спичек будет гореть дольше, а какая быстрее потухнет?

8. Жарко, а ваш арбуз – теплый. Ока- струировав хронометр со спиральной пру- зывается, если его опустить в нитяной жиной и исследуя возникающие в ней сетке в очень горячую воду (но не больше, деформации, Гук установил закон упруго- чем на полминуты!), то, разрезав его сти для твердых тел. через 5–10 минут, вы обнаружите чуть ли не замороженную сердцевину. Как это … фактически первое эксперименталь- объяснить? ное свидетельство вращения Земли вок- руг своей оси получил в 1851 году фран- 9. Почему роса вечером бывает теплее, цузский ученый Леон Фуко. Небольшой чем утром? тяжелый шар, подвешенный на длинной проволоке, во время колебаний медленно 10. Как вы думаете, действовал бы поворачивался относительно земного на- имеющийся у вас термометр, если бы блюдателя. Поскольку плоскость колеба- жидкость в нем имела тот же коэффици- ний маятника сохраняет свое положение в ент теплового расширения, что и стекло? инерциальном пространстве, это доказы- вает, что поворачивается Земля. 11. Обратите внимание на то, что летом полная Луна видна на небе меньше време- … опыт 1927 года американских физи- ни, чем зимой. Отчего так? ков Дэвиссона и Джермера по бомбарди- ровке электронами кристалла никеля бле- 12. Как меняются мощность и яркость стяще подтвердил гипотезу де Бройля о лампы накаливания со временем? связи между волнами и частицами – кор- пускулярно-волновом дуализме. 13. По нити лампы и по подводящим проводам идет один и тот же ток. Почему … молодой немецкий экспериментатор же нить раскаляется, а провода на ощупь Рудольф Мёссбауэр, исследуя поглоще- остаются холодными? ние и рассеяние гамма-квантов с помощью патефона с заводной ручкой (!), открыл в 14. Если у вас рассыпались по полу 1958 году эффект, удостоенный Нобелев- мелкие гвозди, то как проще всего собрать ской премии. их вместе и всыпать (именно всыпать!) в коробку? … получить графен – двумерный мате- риал, состоящий из углерода одноатом- Любопытно, что… ной толщины, – будущим нобелевским лауреатам, выпускникам Физтеха Анд- … в основе закона Архимеда лежал рею Гейму и Константину Новоселову опытный факт: при погружении тела в удалось буквально «на коленке», исполь- воду оно становится легче. Поэтому на- зуя простейшую технологию с обычной блюдения ученого в ванне порой называ- липкой лентой. ют первым в истории физическим экспе- риментом, а его закон – первым физичес- Что читать в «Кванте» ким законом. об опытах и наблюдениях (публикации последних лет) … проведя опыты с маятниками равной длины, Галилей пришел к замечательно- 1. «Наполеон-водолаз и Фейнман-экспери- му выводу о равенстве скоростей свобод- ментатор» – 2017, №4, с. 42; ного падения тел независимо от вида ве- щества. 2. «Наблюдая за струей воды…» – 2017, №8, с. 30; … более чем три века спустя участник экспедиции «Аполлон-15» астронавт Дейв 3. «Опыт по Галилею» – 2019, №4, с. 26; Скотт, находясь на поверхности Луны, 4. «Наблюдения над туманом» – 2020, №1, выпустил из рук молоток и перышко, и те с. 62; прилунились одновременно – в полном 5. «Загадка плоского стекла» – 2021, №9, с. 43; согласии с законом Галилея. 6. «Три истории про воду» – 2022, №2, с. 40; 7. «Наблюдение двупреломления в кристал- …научный соперник Ньютона, неуто- ле кальцита» – 2022, №3, с. 33. мимый Роберт Гук создал множество при- боров для проведения экспериментов в Материал подготовил А. Леонович Лондонском Королевском обществе. Скон-

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Как переформулировать задачу? Ю.БЛИНКОВ Рис. 1 Консерватория. Два студента разгова- сы. И наоборот, если в задаче рассматрива- ривают: ются, например, биссектрисы внутренних или внешних углов и точки их пересечения – Завтра сдавать курсовую по компо- (центры вписанных или вневписанных ок- зиции, а у меня ничего не готово. ружностей), то можно заменить, например, центры вневписанных окружностей на вер- – А ты сыграй сочинение своего пре- шины треугольника, его биссектрисы – на подавателя, только наоборот, задом высоты полученного треугольника и, соот- наперед. ветственно, инцентр исходного – на орто- центр полученного. – Да пробовал уже, Моцарт получает- ся... Чем может быть привлекательна такая переформулировка? В СТАТЬЕ БУДЕТ РАССМОТРЕНА кон- струкция, связанная с ортоцентром треу- Во-первых, это приводит к другим спосо- гольника. Используя классические факты, бам доказательств известных утверждений. можно заметить эквивалентность двух вроде Рассмотрим классические примеры. бы изначально не похожих друг на друга задач, переформулировать уже известную Пример 1. Прямые, содержащие высоты олимпиадную задачу или попытаться приду- треугольника, пересекаются в одной точке. мать свою. Об этом и пойдет речь. Доказательство (см. рис. 1). Для любого Итак, вспомним следующий факт. треугольника рассмотрим треугольник, об- Факт 1. Высоты треугольника являются разованный основаниями его высот (ортот- биссектрисами его ортотреугольника. реугольник). Тогда высоты будут являться Напомним, что ортотреугольник – это тре- биссектрисами ортотреугольника, которые, угольник с вершинами в основаниях высот как известно, пересекаются в одной точке. данного треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника Может возникнуть вопрос: а как быть с является центром вписанной окружности тупоугольным треугольником? На самом ортотреугольника, а вершины треугольни- деле, проблем никаких нет: прямые, содер- ка – центрами его вневписанных окружнос- жащие две высоты, станут биссектрисами тей. внешних углов ортотреугольника, и пересе- чением будет являться центр вневписанной Упражнение 1. Докажите факт 1. окружности ортотреугольника (вершина ис- Указание (рис. 1). Можно использовать, на- ходного треугольника). пример, то, что точки A, A1, B и B1 (и аналогичные четверки точек) лежат на одной окружности. Из Пример 2 (окружность девяти точек). этого следует, что угол B1A1C равен углу BAC (и Середины сторон треугольника, основания аналогичные равенства углов). его высот и середины отрезков, соединяю- щих вершину с ортоцентром, лежат на одной Как же можно использовать эти факты? окружности. Пусть в какой-то задаче речь идет о высо- тах треугольника. Тогда задачу можно пере- Доказательство (рис. 2). Пусть A1B1C1 – формулировать, заменив треугольник на ортотреугольник треугольника ABC, M – ортотреугольник, а высоты – на биссектри- середина AB, K – середина CH, где H – ортоцентр. Достаточно показать, что точки DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220503 M и K лежат на окружности, описанной

ШКОЛА В «КВАНТЕ» 35 Рис. 2 Рис. 4 около треугольника A1B1C1. Заметим, что обе Упражнение 3. Докажите факт 3. эти точки равноудалены от A1 и B1 и лежат на Указание (рис. 4). Пусть O – центр описанной внешней и, соответственно, внутренней бис- окружности, H – ортоцентр, C0, B0, K и L – сектрисах угла A1C1B1. Осталось заметить, середины AB, AC, CH и BH соответственно. что серединный перпендикуляр к стороне Докажите равенство треугольников C0OB0 и KHL. треугольника и биссектриса противолежа- Возможны и другие способы доказательства. щего угла (внутреннего или внешнего) пере- секаются на описанной окружности треу- Факт 4. Пусть высоты треугольника гольника. ABC пересекаются в точке H. Тогда ради- усы окружностей, описанных около треу- Во-вторых, мы можем переформулиро- гольников ABH, BCH, ACH и ABC, равны. вать уже известные задачи и получать «но- вые» и, наоборот, решения незнакомых за- Упражнение 4. Докажите факт 4. дач сводить к уже известным. Указание. Используйте симметрию относитель- но прямой AC или следствие из теоремы синусов. Для этого потребуется вспомнить еще не- которые факты, связанные с ортоцентром Отметим, что центры окружностей, опи- треугольника. санных около треугольников ABC и ACH, симметричны относительно прямой AC. Факт 2. Пусть AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника АВС, O – Теперь рассмотрим несколько задач. Для центр описанной окружности. Тогда пря- начала – классическая задача. мые CO и A1B1 перпендикулярны. Задача 1. Докажите, что перпендикуля- Упражнение 2. Докажите факт 2. ры, опущенные из центров IA, IB, IC вневпи- Указание (рис. 3). Воспользуйтесь тем, что санных окружностей треугольника ABC на угол B1A1C равен углу BAC и тем, что угол BCO его стороны, пересекаются в одной точке дополняет угол BAC до 90q. (рис. 5,а). Факт 3. Расстояние от вершины треу- Отметим, что зада- гольника до его ортоцентра в два раза больше, чем от центра описанной окружно- ча допускает различ- сти до противолежащей стороны. ные способы реше- Рис. 3 Рис. 5

36 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 ния, в том числе, использование теоремы ника ABC, то О и O1 симметричны относи- Карно. Но проще всего свести ее к уже тельно AC (см. факт 4). Учитывая факт 3, известной. получим, что BOO1H – параллелограмм, откуда, используя факт 2, и можно получить В качестве треугольника, указанного в утверждение задачи. задаче, рассмотрим ортотреугольник треу- гольника АВС. Тогда вершины треугольни- Упражнение 5. Попробуйте решить эту задачу ка АВС – центры вневписанных окружнос- в первоначальной формулировке. тей и задача будет выглядеть так (рис. 5,б): Теперь чуть более сложная задача. Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты остро- Задача 3 (Московская устная олимпиада угольного треугольника АВС. Докажите, по геометрии, 2016). Точки IA, IB, IC – что перпендикуляры, опущенные из В на центры вневписанных окружностей треу- A1C1, из А на B1C1 и из С на A1B1, пересека- гольника ABC, касающихся сторон BC, AC ются в одной точке. и AB соответственно. Перпендикуляр, опу- щенный из IA на AC, пересекает перпенди- Доказательство. Согласно факту 2, ука- куляр, опущенный из IB на BC, в точке XC. занные перпендикуляры пересекаются в цен- Аналогично определяются точки XA и XB. тре описанной окружности треугольника Докажите, что прямые IAXA, IBXB и ICXC АВС. пересекаются в одной точке. Доказательство. Рассмотрим треугольник Теперь – несколько олимпиадных задач. IAIBIC (рис. 7,а). Заметим, что перпендику- Задача 2 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки IA, IC – центры вневписанных окруж- ностей, касающихся сторон BC и AB соот- ветственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника IIAIC. Докажи- те, что OI A AC (рис. 6,а). Доказательство. В качестве треугольни- ка, указанного в задаче, рассмотрим орто- треугольник треугольника АВС. Тогда зада- ча переформулируется следующим образом: Высоты AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H, O1 – центр опи- санной окружности треугольника AHC. До- кажите, что O1H A A1C1. Этот факт нам уже знаком и является классической задачей (рис. 6,б). Действи- тельно, если O – центр окружности, описан- ной около треуголь- Рис. 6 Рис. 7

ШКОЛА В «КВАНТЕ» 37 ляры, опущенные из IA на BC, из IB на AC Рассмотрим еще один пример задач-близ- и из IC на AB пересекаются в одной точке X, нецов. Первая взята из задач Всероссийской равноудаленной от вершин треугольника олимпиады по математике 2002 года. Вторая IAIBIC (см. задачу 1). Кроме того, в силу же предлагалась на олимпиадных сборах и параллельности перпендикуляров, известна, судя по всему, очень давно. IAXIBXC – параллелограмм. Следователь- но, он является ромбом и точки X и XC Задача 5. а) Пусть Ac – точка касания симметричны относительно IAIB. Перефор- вневписанной окружности треугольника мулировав, получим следующую задачу: ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку Ac и параллельна биссектрисе Пусть OB – точка, симметричная центру внутреннего угла A. Аналогично строятся O описанной окружности треугольника ABC прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и относительно прямой AC. Аналогично оп- c пересекаются в одной точке. ределяются точки OA и OC. Докажите, что прямые AOA, BOB и COC пересекаются б) Пусть A1B1C1 – ортотреугольник тре- в одной точке. угольника ABC, A2, B2, C2 – проекции вер- шин A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 Заметим, что это утверждение мы факти- соответственно. Докажите, что перпен- чески доказали при решении задачи 2. Дей- дикуляры, опущенные из точек A2, B2 и C2 на ствительно, если H – ортоцентр треугольни- прямые BC, CA и AB соответственно, ка, то точка OB – центр окружности, описан- пересекаются в одной точке. ной около треугольника ACH, и BOOBH – параллелограмм (рис. 7,б). Тогда его диаго- Упражнения наль BOB проходит через середину отрезка 8. Попробуйте свести пункт б) к пункту а). OH. Рассуждая аналогично, получим, что 9. Докажите пункт а). прямые AOA и COC также проходят через эту Указание. Используйте то, что точки касания точку. вписанной и вневписанной окружностей симмет- ричны относительно середины стороны и гомоте- Отметим, что эта точка является центром тию исходного и срединного треугольников. окружности девяти точек. Теперь, когда мы потренировались пере- формулировать задачи, можно решить что- Разумеется, идея подобных переформули- то сложное. ровок не нова. Например, в задачнике [1] Задача 6 (Всероссийская олимпиада по можно встретить такую пару задач-близнецов. математике, 2005, региональный этап). В треугольнике ABC (AB  BC) точка I – Задача 4. а) В треугольнике ABC прове- центр вписанной окружности, M – середи- дены высоты AA1, BB1 и CC1. Прямые AB и на стороны AC, N – середина дуги ABC A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в описанной окружности. Докажите, что точках C0, A0 и B0. Докажите, что точки ‘IMA ‘INB (рис. 8,а). C0, A0 и B0 лежат на радикальной оси Классическое решение этой задачи исполь- окружности девяти точек и описанной ок- зует степень точки и лемму о трезубце, но ружности. додуматься до него не так-то просто. Упражнение 10. Попробуйте решить эту зада- б) Биссектрисы внешних углов треуголь- чу, используя факты, указанные выше. ника ABC пересекают продолжения проти- воположных сторон в точках C0, A0 и B0. Рис. 8 Докажите, что точки C0, A0 и B0 лежат на одной прямой, причем эта прямая перпенди- кулярна прямой, соединяющей центры впи- санной и описанной окружностей треуголь- ника ABC. Упражнения 6. Попробуйте свести пункт б) к пункту а). 7. Докажите пункт а). Указание. Используйте то, что точки A, A1, B и B1 лежат на одной окружности. Рассмотрите степень точки C0 относительно этой окружности, окружности девяти точек и описанной окружно- сти треугольника.

38 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 Мы же попробуем ее переформулировать Рис. 9 (аналогичные рассуждения приводятся в (центре О описанной окружности треуголь- статье [2]). ника). В качестве треугольника, указанного в Используя эти соображения, получим сле- задаче, возьмем ортотреугольник A1B1C1 тре- дующую «новую» задачу: угольника ABC, а в качестве I – орто- центр треугольника ABC. Тогда M – середи- Задача 7. В остроугольном треугольнике на стороны A1C1 ортотреугольника. А чем же ABC проведены высоты AAc и BBc. Точка является точка N? Вспомним, что описанная O – центр окружности, описанной около окружность ортотреугольника является ок- треугольника ABC. Докажите, что рас- ружностью девяти точек треугольника ABC. стояние от точки Ac до прямой BO равно Середина стороны AC на ней лежит и явля- расстоянию от точки Bc до прямой AO. ется пересечением серединного перпендику- ляра к A1C1 и биссектрисы внешнего угла B1 В действительности эта задача не нова: она (см. доказательство примера 2). Следова- предлагалась на Московской математичес- тельно, в качестве точки N можно рассмот- кой олимпиаде в 2019 году. Ну что ж, мы реть середину AC. Учитывая, что точка B1 немного опоздали. также лежит на AC, задача переформулиру- ется следующим образом: Попробуем еще? Высоты AA1 и CC1 треугольника ABC Упражнения пересекаются в точке H. Пусть N и M – для самостоятельного решения середины AC и A1C1 соответственно. Дока- жите, что ‘HMA1 ‘HNC. Переформулируйте следующие утверждения: а) Факт 4. Но эта задача нам знакома, ее решение б) Биссектрисы двух внутренних и одного следует из подобия треугольников HMA1 и внешнего угла неравнобедренного треугольника HNC, которое, в свою очередь, легко полу- пересекают прямые, содержащие противополож- чить из подобия треугольников C1HA1 и AHC. ные стороны, в трех точках, лежащих на одной прямой. Упражнение 11. Докажите это подобие. в) Описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписан- Попробуем теперь придумать задачу сами. ной и вневписанной окружностей этого треуголь- Возьмем, например, такой факт. ника. Факт 5. Пусть B1 и A1 – точки касания вневписанных окружностей треугольника АВС со сторонами АС и BC соответствен- но. Тогда BA1 AB1. Упражнение 12. Докажите факт 5. Указание (рис. 9,а). Используйте равенство отрезков касательных. Попробуем переформулировать? Обозначим треугольник, указанный в ус- ловии, через A1B1C1, и пусть он является ортотреугольником треугольника ABC. Тог- да указанные точки касания – основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и B на соответствующие стороны ортотреу- гольника. Обозначив точки касания через A2 и B2, получим A1B2 B1A2 (рис. 9,б). Задача не кажется совсем известной, но узнать можно... Попробуем еще чуть-чуть переформулировать. Из задачи 1 нам извес- тно, что перпендикуляры из вершин треу- гольника к соответствующим сторонам ор- тотреугольника пересекаются в одной точке

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 39 г) Описанная окружность треугольника ABC з) (Всероссийская олимпиада по геометрии, является окружностью девяти точек для треу- 2009, заочный тур). В остроугольном треугольни- гольника, образованного центрами вневписанных ке ABC точка H – ортоцентр, O – центр описан- окружностей треугольника ABC. ной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, д) В треугольнике ABC проведены высоты BB1 что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности. и CC1. Докажите, что если ‘A 45q, то B1C1 – диаметр окружности девяти точек треугольника Литература ABC. 1. В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. – М: е) С помощью циркуля и линейки восстановите МЦНМО, 2007. остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту. 2. Д.Швецов. Подобие с медианами. – «Квант», 2021, №7. ж) В остроугольном треугольнике АВС прове- дены высоты BD и CE. Из вершин В и С на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG. ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Как по рельсам Теперь об алгоритме решения задач. Так скользя как основная физическая система для всех задач будет оставаться постоянной (магнит- А.ВЛАСОВ ное поле, контур, подвижная перемычка), то и алгоритм решения в основном будет еди- Данная статья посвящена большой группе ным. Основные этапы решения будут приво- задач электромеханики, в которых основны- дить нас к дифференциальному уравнению ми элементами системы являются рельсы движения перемычки. И вот с этого момента (пара параллельных проводников), прово- могут возникнуть сложности с математикой дящая перемычка (прямой массивный про- решения этих уравнений. Но у нас будет вод произвольного сечения) и магнитное всесильный помощник – компьютер. Он смо- поле. На этой основной системе можно пост- жет показать нам общую картинку (график) роить физическую задачу на любой вкус: движения, которая будет хорошим ориенти- простенькую и сложную, статическую и ди- ром для поиска аналитического решения намическую. Варианты задач «множатся» (пусть даже приближенного). Картинки (гра- различием линейных элементов (R, C, L), фики) движений, которые будут встречаться которые могут закорачивать рельсовую сис- в решениях задач, получены в системе тему, различием функций изменения маг- Mathcad и мощность компьютера позволяла нитного поля во времени и пространстве, использовать простой алгоритм Эйлера (иног- вариантами начальных условий и, наконец, да с усреднением ускорения). отсутствием или наличием трения в системе. Можно надеяться, что статья будет полез- Это огромное многообразие иллюстриру- ной для школьника, увлеченного математи- ют конкретные примеры задач. Каждая за- кой и программированием (компьютерным дача будет иметь свой «шифр», который моделированием). В математике решений поможет ориентироваться в большом много- будем использовать производную и интег- образии условий. Способ шифровки будет рал. Однако всегда можно будет адаптиро- понятен в ходе представления конкретных вать наше продвинутое решение к более задач. Степень сложности задач будет отме- простому варианту, используя математику чаться «звездочкой». малых интервалов и простого суммирова- ния. DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220504 При построении вариантов можно варьи- ровать два основных элемента физической системы: изменять шунтирующий элемент (резистор, конденсатор, катушка индуктив- ности) и изменять характер магнитного поля

40 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 (постоянное однородное, постоянное гради- силы Ампера): ентное, однородное линейно возрастающее во времени, однородное синусоидальное). m'v  lB 2 v't  lB 2 's. Эти два параметра позволяют смоделиро- вать различные варианты задач. Дополни- R R тельно можно варьировать начальные усло- вия. Это выражение можно просуммировать от Задача 1 (B, v0 , R)*. Два параллельных начала движения перемычки до ее остановки рельса расположены в горизонтальной плос- кости и замкнуты на резистор (прямой и определить величину тормозного пути: провод) (рис. 1). На рельсах, перпендику- m 0  v0  lB 2 s, откуда s mv0R . R lB 2 Этим можно ограничить школьный вари- ант решения задачи. Но математика произ- водной и интеграла позволяет получить бо- лее информативное решение. Магнитный поток контура равен ) xlB. ЭДС, возникающая в подвижной перемыч- ке, определяется производной от магнитного Рис. 1 потока: лярно им, лежит перемычка. Система на- H  d) lBxc. ходится в вертикальном однородном маг- dt нитном поле. В начальный момент времени перемычке сообщается горизонтальная ско- Сила тока в контуре равна рость v0. Определите характер и парамет- ры движения перемычки в процессе ее даль- i lB xc. нейшего движения. Дополнительные дан- R ные: B – индукция магнитного поля, m – масса перемычки, l – расстояние между Записываем динамическое уравнение (на пе- рельсами, R – сопротивление резистора. ремычку действует тормозящая сила Ампе- Сопротивление перемычки и рельсов равно ра): нулю. Трения в системе нет. mxcc  lB 2 xc, xcc  lB 2 xc, xcc Exc, Решение. Этот вариант задачи очень про- стой (встречается в школьных задачниках) и R mR не требует помощи компьютера. где E lB 2 . Школьный вариант решения задачи выг- лядит так. При ортогональном движении mR перемычки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции Полученное динамическое уравнение совпа- дает с уравнением торможения тела в вязкой среде (сила сопротивления пропорциональ- на скорости). Уравнение легко интегрирует- ся. Первый интеграл дает временнуе уравне- ние скорости: H lBv. dv Ev, dv Edt, v v0eEt. dt v В замкнутом контуре, который образован Вторичное интегрирование определяет коор- перемычкой, рельсами и проволокой резис- динатное уравнение движения (экспоненци- тора, возникает ток i lB v. Наличие тока R альное затухание): приводит к появлению силы Ампера  x v0 1  eEt . lB 2 E FA v, которая определяет динамику R Координата остановки перемычки определе- движения перемычки. Записываем второй на ее начальным импульсом: закон Ньютона для небольшого интервала xmax v0 mv0 . E времени (при этом учитываем направление lB 2 R

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 41 Теперь посмотрим, как изменяется дина- гаться с постоянной скоростью. Определим мика системы при замене резистора на кон- изменение скорости перемычки при входе в денсатор. область магнитного поля. Уравнение дина- мики для переходного процесса можно запи- Задача 2 (B, v0 , C)*. Два параллельных сать в виде проводящих рельса расположены в горизон- тальной плоскости и замкнуты на конден- m'v i'tBl 'qBl. сатор (рис. 2). На рельсах, ортогонально Интегрируем (суммируем) до равновесия: Рис. 2 им, лежит перемычка. В области простран- m v0  v qBl. ства x ! 0 существует однородное магнит- ное поле, ортогональное плоскости систе- Находим накопленный заряд (из уравнения мы. В начальный момент времени перемыч- контура): ке, которая находится в начале системы координат (вблизи границы магнитного vBl q , q vBlC. поля), сообщается горизонтальная скорость C v0. Определите характер движения пере- мычки в магнитном поле. Дополнительные Из последних двух равенств получаем данные: B – индукция магнитного поля, m – масса перемычки, l – расстояние между v v0 1 1 Bl 2 , q 1 v0BlC 2 . рельсами, С – емкость конденсатора. Со- противление перемычки и рельсов равно C  C Bl нулю. Трения в системе нет. После такого несложного решения следует Решение. Магнитный поток контура ра- вен сделать важное замечание по условию зада- ) xlB. чи. В данном варианте перемычка перед ЭДС, возникающая в подвижной перемыч- ке, равна «стартом» не находилась в магнитном поле, H lBxc. она была на его границе. При входе в Уравнение контура имеет вид магнитное поле перемычка мгновенно изме- lBxc  q 0. няет скорость. Эта «мгновенность» объясня- C ется отсутствием сопротивления контура. В контуре возникает ток (дифференцируем по времени уравнение контура): Если же сообщать скорость перемычке в lBxcc  i 0, i lBCxcc. присутствии магнитного поля, то при даль- C нейшем движении скорость уже не меняется Записываем динамическое уравнение: и решение задачи существенно упрощается. mxcc – (lB)2Cxcc, m + (lB)2C xcc 0, xcc 0. В следующем варианте задачи «замыкаю- щим» элементом является катушка индук- Очевидно, что перемычка (после переходно- тивности. го процесса) в магнитном поле будет дви- Задача 3 (B, v0, L). Параллельные про- водящие неподвижные рельсы расположены в горизонтальной плоскости на расстоянии l друг от друга (рис. 3). Однородное маг- нитное поле с индукцией B направлено вертикально. К шинам подсоединена ка- тушка индуктивностью L. По рельсам (шинам) может скользить без трения, ос- таваясь перпендикулярной рельсам и не Рис. 3

42 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 теряя с ними электрического контакта, Рис. 4 проводящая перемычка массой m. В некото- рый момент перемычке сообщают скорость ми), x0 – начальное расстояние между v0 вдоль шин. Опишите движение перемыч- перемычками. Трения в системе нет. В ки, найдите характерное время ее движе- определение «судьбы» входит: определение ния. На какое максимальное расстояние стационарного состояния и его параметров может удалиться перемычка от первона- чального положения? Омическим сопротив- лением катушки, шин и перемычки пренеб- речь. Решение. Магнитный поток контура ра- вен ) xlB. ЭДС, возникающая в перемычке, равна (движение и конфигурация системы), коли- H lBxc. чество теплоты, выделившееся в системе при выходе на стационарное состояние. Из уравнения контура определяем соотно- шение между током и координатой: Решение. Очень просто решается тепло- вой вопрос. При движении перемычек в них lBxc  L di 0, i lB x. возникают ЭДС и, соответственно, в контуре dt L течет ток. Общая сила, действующая со Динамическое уравнение стороны магнитного поля на контур, равна mxcc  lB 2 x, или xcc Z2x, нулю, так как силы Ампера, действующие на L перемычки, равны и противоположны по где Z2 lB 2 , направлению. Первая перемычка тормозит- mL ся, а вторая разгоняется. Энергия такой является уравнением гармонических колеба- замкнутой системы (две перемычки), разде- ний. Период колебаний равен ляется на две части: энергия движения цен- тра масс, которая остается постоянной, и энергия движения относительно центра масс T 2S 2S mL . (внутренняя энергия). Кинетическая энер- Z lB гия относительно центра масс для двух тел Интересно отметить, что индукция магнит- определена известной формулой ного поля и индуктивность катушки опреде- Eк m1m2 v1  v2 2 . ляют коэффициент упругости колебатель- m1  m2 2 ной системы: k lB 2 L. И, наконец, амп- В нашем случае в стационарном режиме литуда колебаний (максимальное смещение перемычки будут двигаться с постоянной перемычки от нулевой точки) равна скоростью центра масс, равной v0 2, а перво- начальная кинетическая энергия системы v0 mL . x0 Z v0 lB относительно центра масс будет постепенно расходоваться на тепло. Общее количество Задача 4 (B, v0, 2R)*. Определите «фи- зическую судьбу» системы, состоящей из теплоты, выделившееся в перемычках при двух сверхпроводящих рельсов и двух оди- наковых перемычек (плоскость системы выходе на стационарный режим, будет равно горизонтальна; рис. 4). Система находит- m ˜ m v02 ся в вертикальном однородном магнитном Q mm 2 m v02. поле. Правой перемычке сообщается гори- 4 зонтальная скорость v0. Дополнительные данные: m – масса перемычки, l – расстоя- Теперь определим увеличение расстояния ние между рельсами, R – сопротивление между перемычками. Магнитный поток кон- перемычки (между ее контактами с рельса- тура, образованного рельсами и перемычка- ми (x, y – координаты перемычек), равен ) Bl x  y . ЭДС, возникающая в контуре (в перемыч-

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 43 ках), равна рая находится в начале системы коорди- H Bl xc  yc . нат, сообщается горизонтальная скорость Сила тока контура, определяющая силы v0. Определите максимальное смещение Ампера, равна перемычки в процессе ее дальнейшего дви- Bl жения по рельсам и количество теплоты, 2R i  xc  yc . выделившееся в замыкающем резисторе. Дополнительные данные: m – масса пере- Динамическое уравнение для стартующей мычки, l – расстояние между рельсами, перемычки имеет вид сопротивление перемычки равно нулю. Тре-  Bl 2  yc , ния в системе нет. mxcc xc Решение. Магнитный поток контура ра-  2R  или 'v E xc  yc 't E' x  y , вен x2 2 ) xl Dx Dl . 2 Bl 2 . где E ЭДС, возникающая в подвижной перемыч- 2Rm ке, равна Отсюда легко получаем величину увеличе- H Dlxxc. ния расстояния между перемычками (сум- Сила тока в контуре равна мируем): Dl R v0  v0 E' x  y , i  xxc. 2 v0 mv0 Динамическое уравнение имеет вид 'x  y 2E R.  Bl 2 Dl 2 Dl 2 mxcc  x2xc, xcc  x2xc, Это увеличение расстояния пропорциональ- R mR но первоначальному импульсу системы. Dl 2 . или xcc Ex2xc, где E mR Следующие задачи усложняются введени- Динамическое уравнение непростое, поэто- ем градиента индукции магнитного поля. При этом начальное положение перемычки му попросим компьютер показать картинку выбирается в точке «нуля». Посмотрим, как это отражается на динамике движения. движения (рис. 6). Видим монотонное тор- Задача 5 (Dx, v0, R)*. Два параллельных можение, но отличное от экспоненциально- сверхпроводящих рельса расположены в го- ризонтальной плоскости и замкнуты на го, которое наблюдалось в первой задаче. И резистор (прямой провод) сопротивлением R (рис. 5). На рельсах, ортогонально им, все же первый интеграл движения (уравне- лежит перемычка. Система (рельсы – пере- мычка) находится в вертикальном неодно- ние скорости) мы сможем достаточно просто родном магнитном поле. Индукция магнит- ного поля линейно возрастает в положи- получить аналитически. Для этого динами- тельном направлении оси x: B Dx. В на- чальный момент времени перемычке, кото- ческое уравнение преобразуем к виду dxc ˜ dx dxc ˜ xc Ex2xc, или dv Ex2. dx dt dx dx Теперь это уравнение легко интегрируется (в начальный момент времени координата Рис. 5 Рис. 6

44 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 перемычки равна нулю): Уравнение контура (ЭДС, возникающая в перемычке, уравновешивается напряжением v v0  E x3 . конденсатора) имеет вид 3 Dlxxc  q 0. Отсюда получаем величину «пробега» пере- C мычки: Дифференцируя это уравнение по времени, получаем величину тока в контуре: § 3v0 ·1 3 § 3mv0R ·1 3 ©¨ E ¸¹ ¨©¨ ¹¸¸ xmax Dl 2 .   Dl xc2  xxcc  i 0, i DlC xc2  xxcc . C Этот результат интересно сравнить с резуль- Записываем динамическое уравнение: татом первой задачи (при однородном маг-  mxcc E2 xc2x  Dl 2 C xc2  xxcc x, xcc 1 E2x2 нитном поле) xmax mv0R .  , lB 2 Dl 2 C . Количество теплоты, выделившееся в ре- где E2 m зисторе до момента остановки, легко опреде- Уравнение преобразуем к виду ляется из энергетического уравнения: Q m v02 .  xcc 1 d v2  E2v2x . 2 2 dx 1  E2x2 Задача 6 (Dx, v0, C)**. Два параллель- Первый интеграл этого уравнения легко ных рельса расположены в горизонтальной вычисляется: плоскости и замкнуты на конденсатор v v0 . 1  E2x2 (рис. 7). На рельсах, ортогонально им, ле- жит перемычка. Система (рельсы – пере- мычка) находится в вертикальном неодно- Вторичное интегрирование приводит к дос- таточно простому известному интегралу (на- ходим его в справочнике): dx v0 , dt 1  E2x2 1x³t 1  E2x2 dx v0 0  1 2v0 Рис. 7 § x 1  E2x2  1 ln Ex  1  E2x2 ·¸¹. ©¨ E родном магнитном поле. Индукция магнит- ного поля линейно возрастает в положи- Получили очень «мудрое» соотношение меж- ду временем и координатой движущейся тельном направлении оси x: B Dx. В на- перемычки. Теперь можно посмотреть на графики такого движения (рис. 8). Видим чальный момент времени перемычке, кото- монотонное бесконечное торможение. Дви- жение перемычки замедляется, но остановки рая находится в начале системы коорди- нат, сообщается горизонтальная скорость v0. Определите характер дальнейшего дви- жения перемычки. Дополнительные дан- ные: m – масса перемычки, l – расстояние между рельсами, С – емкость конденсато- ра. Сопротивление перемычки и рельсов равно нулю. Трения в системе нет. Решение. Магнитный поток контура ра- вен ) lx Dx Dl x2 . 2 2 ЭДС, возникающая в перемычке, равна H Dlxxc. Рис. 8

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 45 нет. При однородном магнитном поле дви- Динамическое уравнение имеет вид жение было равномерным. mxcc  Dl 2 x3, xcc  Dl 2 x3, или xcc Ex3, Задача 7 (Dx, v0, L)**. Два параллельных рельса расположены в горизонтальной плос- 2L 2mL Dl 2 . кости и замкнуты на катушку индуктив- ности (рис. 9). На рельсах, ортогонально где E 2mL Получили ожидаемое уравнение нелиней- ных колебаний. Для решения этого уравне- ния преобразуем его к виду  xcc 1 d v2 Ex3. 2 dx Первый интеграл этого уравнения дает Рис. 9 v v02  E x4. 2 им, лежит перемычка. Система (рельсы – Из этого соотношения определяем макси- перемычка) находится в вертикальном неод- мальное смещение перемычки (v 0): нородном магнитном поле. Индукция маг- нитного поля линейно возрастает в поло- xmax § 2v02 ·1 4 жительном направлении оси x: B Dx. В ¨©¨ E ¸¸¹ начальный момент времени перемычке, ко- . торая находится в начале системы коорди- нат, сообщается горизонтальная скорость Второе интегрирование приводит к непрос- v0. Определите характер и параметры дви- жения перемычки после старта. Дополни- тому интегралу, который позволяет вычис- тельные данные: m – масса перемычки, l – расстояние между рельсами, L – индуктив- лить период колебаний: ность катушки. Активные сопротивления перемычки, рельсов и катушки индуктив- ³dx v02  E x4, t x dx , ности считать равными нулю. Трения в 2 системе нет. dt 0 v02  E x4 2 Решение. Сначала сделаем одно замечание о характере движения перемычки. В задаче 3 ³T xmax dx . было показано, что в постоянном магнитном поле перемычка совершает гармоничные (ли- 4 0 v02  E x4 нейные) колебания. Очевидно, что наличие 2 градиента поля должно приводить к нелиней- ности колебаний. Далее следуем уже стандар- Преобразуем интеграл к безразмерному виду: тному алгоритму решения. x dx § ·1 4 1 dz , Магнитный поток контура равен ³ ³T ¨ 2 ¸ 0 1  z4 E © Ev02 ¹ ˜ 4 2 0 v02  x4 где z x. xmax Безразмерный определенный интеграл яв- ляется константой, вычисление которой пре- Dx x2 доставим компьютеру. В результате полу- 2 2 ) lx Dl . чим T §2 ·1 4 § 2 ·1 4 4 ¸ ¨ Ev02 ¸ ЭДС, возникающая в перемычке, равна ¨ Ev02 ¹ ˜ 1,311, T 5,244 ˜ © ¹ . © H Dlxxc. Используя полученное ранее выражение для Сила тока определяется из уравнения конту- максимального смещения перемычкм, форму- ра (ЭДС перемычки уравновешена напря- лу периода можно представить в виде, при жением индуктивности): котором четко видна нелинейность колебаний: Dlxxc  L di 0, i Dl x2 . B 2 = 10,5 mL . dt L 2 T = xmax , где B = 5,244 E Dl

46 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 между рельсами, С – емкость конденсато- ра. Сопротивление перемычки и рельсов равно нулю. Трения в системе нет. Решение. Магнитный поток контура ра- вен ) lxDt Dl xt . ЭДС, возникающая в перемычке, равна H Dl xct  x . Сила тока определяется из уравнения конту- Рис. 10 ра (ЭДС перемычки уравновешена напря- Подобная обратная зависимость периода жением конденсатора): колебаний от амплитуды наблюдается у Dl xct  x  q 0, i DlC xcct  2xc . C поперечного пружинного маятника. Динамическое уравнение имеет вид Получить явное уравнение движения не- mxcc  Dl 2 C xcct  2xc t, dv  2E2vt , просто. Поэтому ограничимся картинками dt 1  E2t2 движения (временныѣ е графики координаты и скорости), которые легко получает компь- где E2 Dl 2 C . ютер. Графики на рисунке 10 иллюстриру- ют степень нелинейности колебаний (при m E 5 ). Первый интеграл этого уравнения (времен- Следующие варианты задач определены изменением индукции магнитного поля во нуе уравнение скорости) легко вычисляется: времени. Задачу с резистором пропускаем, она под силу только компьютеру, а вот с v 1 v0 . конденсатором математика решения получа-  E2t2 ется интересной и не очень сложной. Вторичное интегрирование приводит к дос- Задача 8 (Dxt, v0, C)*. Два параллельных сверхпроводящих рельса расположены в го- таточно простому (табличному) интегралу: ризонтальной плоскости и замкнуты на конденсатор (рис. 11). По рельсам, ортого- ³dx 1 v0 , x v0 t 1 dt . нально им, движется перемычка со скорос-  E2t2 0  E2t2 тью v0. В некоторый момент перпендику- dt лярно плоскости системы возникает маг- нитное поле, индукция которого изменяет- После интегрирования получаем координат- ся со временем в соответствии с формулой B Dt. В начальный момент времени пере- ное уравнение движения (монотонное тор- мычка находится в начале системы коорди- нат. Определите характер дальнейшего можение с конечной точкой): движения перемычки. Дополнительные дан- ные: m – масса перемычки, l – расстояние x v0 arctg Et. E Находим точку остановки перемычки (тор- мозной путь): S v0 . xmax 2 E Временныѣ е графики (координаты и скорос- ти в относительных единицах при E 1, v0 1) представлены на рисунке 12. Рис. 11 Рис. 12

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 47 Теперь самая интересная и красивая своей математикой задача (но – для любителей сложных проблем). Задача 9 (B0 (1 + at), v0, L)***. Опреде- лите «физическую судьбу» (характер и параметры движения) системы (рис. 13), Рис. 14 I E mv02 ∼ x02Z. Z 2Z Эту величину называют адиабатическим Рис. 13 инвариантом, и у нас есть возможность ис- пользовать этот необычный и красивый за- состоящей из сверхпроводящих перемычки кон сохранения при решении данной задачи. и двух рельсов, замкнутых на идеальную катушку индуктивностью L, если ортого- Но сначала попросим помощи у компьюте- нально плоскости рельсов возникает линей- но возрастающее магнитное поле ра. График решения (рис. 14) получен в B B0 1  Dt . Дополнительные данные: m – системе Mathcad с помощью простого алго- масса перемычки, l – расстояние между ритма Эйлера при D Z0 0,3 (не очень рельсами. В начальный момент времени малый параметр). Эта картинка полностью координата и скорость перемычки равны 0 и v0 соответственно. Трения в системе согласуется с нашим замечанием о существо- нет. Катушка индуктивности подключена к рельсам таким образом, что перемычка вании адиабатического инварианта. Мы ви- беспрепятственно может пересекать ну- левую точку. Скорость изменения индук- дим, что частота колебаний со временем ции магнитного поля DB0 считайте малой величиной. растет, а амплитуда уменьшается. Решение. При постоянной величине индук- ции магнитного поля система является элек- Как уже повелось, математика аналити- тромеханическим гармоническим осцилля- ческого решения начинается с потока индук- тором (см. задачу 3) с периодом колебаний ции магнитного поля: ) lxB0 1  Dt . Возникающая в контуре ЭДС равна H lB0 d x 1  Dt . dt Уравнение связи тока и координаты полу- чим из уравнения контура: m H  L di 0, lB0 d x 1  Dt  L di 0, dt dt dt T 2S l2B2 . L lB0 Здесь величину l2B2 L k можно считать i L x 1  Dt . коэффициентом упругости колебательной системы. В данной задаче индукция магнит- Уравнение динамики (здесь будьте внима- ного поля медленно возрастает со временем тельны со знаком силы) имеет вид и, соответственно, медленно увеличивается параметр (коэффициент упругости) осцил- mxcc  lB0 2 1  Dt 2 x, лятора. В соответствии с этим, здесь уместно будет принять на веру (без доказательства) L следующее. Для маятника, совершающего колебания в режиме медленно меняющегося xcc Z20 1  Dt 2 x, параметра, сохраняется величина отноше- ния энергии к частоте колебаний: где Z02 lB0 2 . mL Это уравнение можно считать уравнением колебаний с изменяющейся во времени час-

48 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 5 тотой второго уравнения: Zt ∼ Z0 1  Dt . dx0 = - 1 kD dt, x0 = c x0 + 2kDt 1 + 2kDt . Очевидно, что приближенное решение урав- нения динамики можно искать в виде Очевидно, что это решение совпадает с на- x t x0 t sin Zt t, шим предварительным результатом (при k = 1 2). Далее видим, что если мы примем где и амплитуда, и частота колебаний явля- k = 1 2, то первое дифференциальное урав- ются функциями времени. При «построе- нии» этого приближенного решения будем нение значительно обнуляется, но не полно- использовать адиабатический инвариант. стью – в правой его части остается вторая производная. Однако при медленном изме- При медленном изменении магнитного поля можно считать, что в любой момент времени нении амплитуды вторая производная заве- колебания будут близки к гармоническим. В этом случае справедливо такое соотношение домо очень мала (близка к нулю), и можно между амплитудами и частотой: считать, что наше решение удовлетворяет и первому дифференциальному уравнению. В v0 (t) = x0 (t) Z(t) = x0 (t) Z0 (1 + Dt). итоге колебания должны описываться урав- нением Это соотношение подгоним под формулу x (t) = v0 sin Ê Z0 ËÁÊ1 + D t¯˜ˆ t¯˜ˆ . 1+ ËÁ 2 инварианта (возводим в квадрат и преобра- Z0 Dt зовываем): Проверка нашего «адиабатного» решения представлена на рисунке 15, на котором v02 Dt) = x02Z0 (1 + Dt). Z0 (1 + Чтобы левая часть уравнения была инвари- антом, амплитуда координаты должна опре- 0,5 деляться функцией 0 x0 (t) = c , где с – некоторая константа. –0,5 1 + Dt 0 2 4 6 8 10 Этот результат можно получить и без t использования адиабатического инвариан- та. Представим наше приближенное реше- Рис. 15 ние в виде видим прекрасную согласованность с точной компьютерной реализацией. Пунктирная x (t) = x0 (t) sin (Z0 (1 + kDt) t). кривая – это график, построенный по урав- нению колебаний при D Z0 = 0,3. А при Здесь мы ввели подгоночный параметр k, D Z0 = 0,1 графики практически совпадают. который определим позже. После подста- новки этого решения в уравнение динамики получим равенство, части которого будут содержать временныѣе синусы и косинусы. Но если наше решение правильное, то равен- ство должно быть нулевым тождеством для любого момента времени. Поэтому мы долж- ны отдельно приравнять нулю сумму коэф- фициентов при синусах и косинусах. В итоге мы получим систему двух дифференциаль- ных уравнений для амплитуд (опускаем не- сложные, но «утомительные» вычисления): x0¢¢ - x0Z02 (1 + 2kDt)2 = -Z02 (1 + Dt)2 x0, x0¢ (1 + 2kDt) + x0kD = 0. Амплитуда колебаний легко определяется из