Guía para el examen global de conocimientos 235 Unidad 1 Aritmética Unidad 2 Álgebra Unidad 3 Geometría y trigonometría Unidad 4 Geometría analítica Unidad 5 Probabilidad y estadística Objetivo: al término de la unidad, el estudiante conocerá los conceptos básicos de la geometría y resolverá ejercicios donde se apliquen las funciones trigonométricas. Ángulos Ángulo Es la abertura entre 2 líneas rectas, el punto donde se intersecan recibe el nombre de vértice y los siste- mas de medición más comunes para obtener la magnitud de un ángulo son: el sistema sexagesimal (grados) y el cíclico (radianes). \" Donde: §A¨A’, §B¨B’ : Líneas rectas B # O: vértice #0 a: Ángulo a \" Ángulo recto Ángulo obtuso Es aquel cuya magnitud es de Tipos de ángulos 90° Es aquel cuya magnitud es mayor que 90°, pero menor Ángulo agudo A que 180° Es aquel cuya magnitud es # mayor que 0°, pero menor \" que 90° \" # Q ¡ R = 90° 90° R 180° $ $ B
236 Colegio Nacional de Matemáticas Ángulo llano Ángulo entrante Ángulo perigonal Es aquel cuya magnitud es de 180° Es aquel cuya magnitud es Es aquel cuya magnitud es mayor que 180°, pero menor de 360° R = 180° que 360° # \" 180° R 360° R = 360° A0 B A $ Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Son aquellos cuya suma es de 90° Son aquellos cuya suma es de 180°. AB x x y 90° B x y 180° y y C C A x0 Ejemplos 1. ¿Cuál es el complemento de 75p? a) 180° b) 25° c) 15° d ) 90° Solución: x 90° 75° Sea x ángulo complementario. x 15° Por definición de ángulos complementarios: x 75° 90° n Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. De acuerdo con la figura: A B C D x 55° 20° ¿Cuál es el valor de x? a) 15° b) 35° c) 180° d ) 360°
Guía para el examen global de conocimientos 237 Solución: Los ángulos son complementarios, entonces: x 55° 20° 90° x 90° 55° 20° x 15° Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 3. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo? a) 120° b) 60° c) 90° d ) 30° Solución: Ángulo x Suplemento del ángulo 2x Por definición: x 2x 180° n 3x 180° x 180p 3 x 60° Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 4. De acuerdo con la figura: 40° DAB C x 0 35° ¿Cuál es el valor de x ? a) 180° b) 90° c) 225° d ) 105° Solución: Los ángulos son suplementarios, entonces 40° x 35° 180° x 75° 180° x 180° 75° x 105° Por tanto, la opción correcta es el inciso d.
238 Colegio Nacional de Matemáticas 5. De acuerdo con la figura: $ # Y p % p d ) 75° p \" 0 ¿Cuál es el valor de x ? a) 30° b) 45° c) 60° Solución: La suma de los ángulos forma un ángulo llano, entonces, 20° (2x 10°) 60° 180° n 2x 90° 180° 2x 180° 90° 2x 90° x 90p 2 x 45° Por tanto, la opción correcta es el inciso b. Conversión de medidas de ángulos 1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por el factor Q y se simplifica. 180p 2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por el factor 180p y se simplifica. Q Ejemplos 1. Al convertir 135p a radianes se obtiene: a) 5 Q b) 3 Q c) 3 Q d ) 7 Q 4 4 5 4 Solución: Q , es decir, Se multiplica 135p por el factor 180p 135° (135°) ¦Q µ 135o Q 27 Q 3 Q §¨180o ¶ 180o 36 4 · La respuesta correcta corresponde al inciso b. 2. Al convertir 1 Q a grados se obtiene: 5 a) 36° b) 86° c) 120° d ) 60°
Guía para el examen global de conocimientos 239 Solución: 1 Q por el factor 180p , es decir, Se multiplica 5 Q 1 Q ¦ 1 Q µ ¦§¨18Q0p µ 180 p 36° 5 § 5 ¶ ¶ 5 ¨ · · La respuesta correcta es el inciso a. 3. Al convertir 210p a radianes, se obtiene: a) 1 Q b) 5 Q c) 7 Q d ) 161Q 6 6 6 Solución: Q y la fracción resultante se simplifica, entonces Se multiplica por el factor 180p 210° 210° ¦Q µ 210pQ 7 Q ¨§180p ¶ 180p 6 · El inciso c es la respuesta correcta. Rectas paralelas cortadas por una secante Dadas las rectas §R¨R’ ] ] §Q¨Q’ y §S¨S’ una recta secante, se forman los siguientes ángulos: 4 3 3 2 2 4 Los cuales se clasifican de la siguiente manera: Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos que tienen el vértice en común y los lados de uno de los ángulos son la prolongación del otro, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 1 3, 2 4, 5 7 y 6 8 Ángulos alternos internos Son ángulos internos no adyacentes situados en distinto lado de la secante. Los ángulos alternos inter- nos son iguales. 3 5 y 4 6
240 Colegio Nacional de Matemáticas Ángulos alternos externos Son ángulos externos no adyacentes situados en distinto lado de la secante. Los ángulos alternos exter- nos son iguales. 2 8 y 1 7 Ángulos correspondientes o colaterales Dos ángulos no adyacentes situados en un mismo lado de la secante. Los ángulos correspondientes o colaterales son iguales. 1 5, 2 6, 3 7 y 4 8 Ángulos adyacentes Son aquellos que tienen un lado en común y en las rectas paralelas cortadas por una secante suman 180p, esto es, 2 ángulos adyacentes son suplementarios. 1 2 180°, 2 3 180°, 3 4 180° y 1 4 180° 5 6 180°, 6 7 180°, 7 8 180° y 5 8 180° Ángulos colaterales internos (suplementarios) Dos ángulos internos no adyacentes y situados del mismo lado de la secante. Los ángulos colaterales internos suman 180p. 3 6 180° y 4 5 180° Ángulos colaterales externos (suplementarios) Dos ángulos externos no adyacentes situados del mismo lado de la secante. Los ángulos colaterales ex- ternos suman 180p. 1 8 180° y 2 7 180° Ejemplos 1. Si §A¨B es paralela a §C¨D y §E¨F es una recta secante, hallar el valor de x en la figura. \"$ & Y ¡ ' a) 40° # % d ) 72° b) 140° c) 50°
Guía para el examen global de conocimientos 241 Solución: En la figura los ángulos son correspondientes, entonces x 40p Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 2. Si §P¨Q es paralela a §R¨S y §T¨T ’ , es una recta secante. 31 5 ¡ Y Z 5 42 Los valores de los ángulos x y y son: a) 10°, 80° b) 45°, 45° c) 25°, 65° d ) 30°, 60° Solución: por ser suplementarios Por la figura se tiene que: y 135° 180° y 180° 135° y 45° Luego x y, por ser ángulos correspondientes, entonces: x 45° Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. En la siguiente figura§A¨A’ ] ] §C¨C’ y §S¨S’ es una recta secante. 4 $ Y ¡ $ \" \" Y¡ 4 El valor de x en la figura es: a) 30° b) 45° c) 60° d ) 75°
242 Colegio Nacional de Matemáticas Solución: Los ángulos 2x 50p y 4x 10p son alternos externos, por tanto, son iguales, entonces: 4x 10° 2x 50° Se resuelve la ecuación para obtener el valor de x 4x 10° 2x 50° n 4x 2x 50° 10° 2x 60° x 60p 2 x 30° Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. En la siguiente figura §P¨P’ ] ] §Q¨Q’ y §S¨S’ es una recta secante. 4 Y ¡ 1 1 2 Y¡ 2 4 El valor de x en la figura es: a) 45° b) 65° c) 35° d ) 75° Solución: Los ángulos 3x 20p y 2x 15p son colaterales externos y suman 180p, entonces: 3x 20° 2x 15° 180° n 3x 2x 180° 20 15° 5x 175° x 175p 5 x 35° Por tanto, la opción correcta es el inciso c. Triángulos Porción de plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices. C AB
Guía para el examen global de conocimientos 243 Elementos de un triángulo A, B, C: vértice a, b, c: lados C 1, 2, 3: ángulos interiores 3 ba A1 c 2B Propiedades 1 2 3 180° 1 2 4 C 2 1 34 A B Clasificación por sus lados $ Equilátero AB BC AC Es aquel que tiene sus tres lados iguales AC BC y AB \" # $ Isósceles Es aquel que tiene dos lados iguales y uno diferente Escaleno \"# AC y BC y AB Es aquel que tiene sus tres lados diferentes $ # Clasificación por sus ángulos \" Acutángulo. Es aquel que tiene sus 3 ángulos $ A 90° agudos \"# B 90° C 90°
244 Colegio Nacional de Matemáticas $ Obtusángulo. Es aquel que tiene un ángulo obtuso. 90° A 180° # \" $ A 90° Rectángulo. Es aquel que tiene un ángulo recto. # \" Ejemplos 1. Determinar el valor del ángulo x de la siguiente figura 45° x 60° a) 20° b) 45° c) 75° d ) 105° Solución: El triángulo tiene como datos los ángulos interiores, al aplicar la propiedad para los ángulos interiores de un triángulo se obtiene: x 45° 60° 180° Se resuelve la ecuación de primer grado: x 45° 60° 180° x 180° 45° 60° x 75° Por tanto, la opción correcta es el inciso c.
Guía para el examen global de conocimientos 245 2. En un triángulo isósceles el ángulo diferente mide 40p, ¿cuál es el valor de los ángulos iguales? a) 40° b) 70° c) 90° d ) 140° Solución: Sea x el valor de uno de los ángulos iguales del triángulo isósceles 40° xx Los ángulos interiores de un triangulo suman 180p, entonces x x 40° 180° Al resolver la ecuación de primer grado se obtiene: x x 40° 180° 2x 180° 40° x 70° Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. De la siguiente figura, determina el valor del ángulo x 80° xx a) 180° b) 100° c) 80° d ) 50° Solución: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180p, entonces x x 80° 180° Al resolver la ecuación de primer grado se obtiene: x x 80° 180° 2x 180° 80° x 50° Por tanto, la opción correcta es el inciso d.
246 Colegio Nacional de Matemáticas Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y la razón de cada par de lados homólogos es constante. A A’ A A’ B B’ AB BC AC C C C’ A'B' B'C ' A'C ' C’ B B’ Ejemplos 1. Determina el valor de a en los siguientes triángulos semejantes A 6 A’ 24 16 C’ 4 C B B’ a 12 a) 24 b) 12 c) 10 d) 3 Solución: Se obtiene la razón de los lados homólogos AB BC AC A'B' B'C ' A'C ' 16 1a2 24 4 6 Se toma una igualdad, por ejemplo: 12 24 a 6 Se resuelve la ecuación de primer grado 12 a 24 n a 6 n a 12 6 n a 3 6 12 24 24 Por tanto, la opción correcta es el inciso d.
Guía para el examen global de conocimientos 247 2. Determina el valor de y en la siguiente figura y 5m 6m 12m a) 72 b) 10 c) 11 d ) 17 Solución: Se obtiene la razón de los lados homólogos y 12 5 6 Se resuelve la ecuación de primer grado y 12 n y 12 5 n y 10 5 6 6 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. Determina la longitud del punto A al punto B en la laguna A 15m 12m Laguna 3m a) 60 m b) 45 m B d ) 24 m c) 36 m Solución: Se obtiene la razón de los lados homólogos AB 15 12 3 Se resuelve la ecuación de primer grado AB 12 135 n AB 15 12 n AB 1830 n AB 60 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.
248 Colegio Nacional de Matemáticas Polígonos Figura plana delimitada por segmentos de recta llamados lados. Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican de acuerdo con la medida de sus lados o sus ángulos. Por sus lados: Irregulares Regulares Polígonos cuyos lados tienen diferente longitud. Polígonos cuyos lados tienen la misma longitud. BB C BB BD B E Por sus ángulos: Cóncavos Convexos Polígonos que tienen un ángulo interior mayor que Polígonos cuyos ángulos interiores miden menos 180° que 180° $ # # %& \" D 180° \" %$ ' Elementos de los polígonos Todo polígono consta de los siguientes elementos: • Ángulo interior. Es aquel que se forma con dos lados adyacentes en un polígono. • Ángulo exterior. Es aquel que se forma con la prolongación de uno de los lados y su lado adyacente. • Diagonal. Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. • Vértice. Es el punto de intersección entre dos lados de un polígono. $ DEF: ángulo interior #% EFH: ángulo exterior \"& CG: diagonal A, B, C, D, E, F, G: vértices ) ('
Guía para el examen global de conocimientos 249 Polígonos regulares Son aquellos cuya longitud de sus lados es la misma y reciben su nombre según el número de lados que los forman. Numero de lados Nombre del polígono Número de lados Nombre del polígono 3 Triángulo equilátero 12 Dodecágono 4 13 Tridecágono 5 Cuadrado 14 6 Pentágono 15 Tetradecágono 7 Hexágono 16 Pentadecágono 8 Heptágono 17 Hexadecágono 9 Octágono 18 Heptadecágono 10 Nonágono 19 Octadecágono 11 Decágono 20 Nonadecágono Undecágono Icoságono Diagonal Se define como el segmento de recta que une dos vértices no adyacentes. Número de diagonales. A continuación se dan las fórmulas para calcular el número de diagonales trazadas desde un solo vértice, el número de diagonales totales, así como el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales desde un solo vértice. • Trazadas desde un solo vértice. El número de diagonales trazadas desde un solo vértice de un polígono de n lados está dado por la fórmula: d n3 Donde: n número de lados d diagonales desde un solo vértice • Totales. El número de diagonales totales de un polígono de n lados está dado por la fórmula: n (n 3) D 2 Donde: n número de lados D diagonales totales • Número de triángulos en un polígono. El número de triángulos que se forman en un polígono de n lados, al trazar todas las diagonales desde un solo vértice, está dado por la fórmula: NT n 2
250 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice de un heptágono? a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 Solución: Un heptágono tiene 7 lados, entonces n 7, al sustituir en la fórmula se obtiene: d=n–3 C d 7–3 BD d 4 AE GF Entonces, en un heptágono se pueden trazar 4 diagonales desde un solo vértice. Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. Indica el número de diagonales trazadas desde un solo vértice del siguiente polígono C BD AE a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 Solución: La figura es un pentágono, entonces el número de lados es 5, es decir, n 5 al sustituir el valor de n en la fórmula se obtiene: d=n–3 d 53 d 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso d.
Guía para el examen global de conocimientos 251 3. Determina el número total de diagonales de un decágono. a) 35 b) 40 c) 60 d ) 70 Solución: El número de lados que tiene un decágono es 10, entonces n 10, al sustituir en la fórmula se obtiene: D n (n 3) 2 10 (10 3) D 2 D 35 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. Observa la siguiente figura y determina el número de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un solo vértice. a) 4 b) 6 c) 10 d ) 12 Solución: El número de lados del polinomio es 6, entonces n 6, al sustituir en la fórmula se tiene: NT = n – 2 NT = 6 – 2 NT = 4 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.
252 Colegio Nacional de Matemáticas Circunferencia S Es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Círculo Es el área o superficie limitada por una circunferencia. Rectas notables en la circunferencia Radio. Es el segmento de recta unido por el centro y un punto cualquie- ra de la circunferencia. Cuerda. Es el segmento de recta que une 2 puntos de la circunferencia C’ sin pasar por el centro. C Diámetro. Es la cuerda más grande que une 2 puntos opuestos de la cir- A cunferencia y pasa por el centro. B S’ Secante. Es la recta que pasa por 2 puntos de la circunferencia. S 5 Tangente. Es la línea recta que tiene sólo un punto en común con la cir- 5 cunferencia. Flecha o sagita. Es la perpendicular trazada de un punto de la circunfe- - rencia al punto medio de una cuerda. -
Guía para el examen global de conocimientos 253 Ejemplos 1. De la siguiente figura, ¿cuál es el nombre de la recta AA’? A A’ a) secante b) tangente c) radio d ) cuerda Solución: Se observa que la recta es exterior a la circunferencia y sólo tiene un punto en común con ella, entonces la recta recibe el nombre de tangente. Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. ¿Cuál es el nombre de las rectas notables que se indican? C r C’ a) secante y cuerda b) cuerda y sagita c) tangente y radio d ) radio y cuerda Solución: El segmento CC ’ es una cuerda, ya que está limitada por dos puntos de la circunferencia, y la otra es un segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia que recibe el nombre de radio. Por tanto, la opción correcta es el inciso d.
254 Colegio Nacional de Matemáticas Rectas y puntos notables de un triángulo Altura $ Es el segmento perpendicular trazado 0#BSJDFOUSP desde un vértice al lado opuesto. 0 Ortocentro Es el punto donde se intersecan las \" # alturas. Mediana $ Es el segmento que une un vértice 1N\"$ 1N#$ 0#BSJDFOUSP con el punto medio del lado opuesto. 0 # Baricentro \" 1N\"# Es el punto donde se intersecan las medianas. Mediatriz $ Recta perpendicular al lado de un 1N\"$ 1N#$ 0$JSDVODFOUSP triángulo y que pasa por el punto \" 0 # medio de este mismo lado. 1N\"# Circuncentro Es el punto donde se intersecan las mediatrices. Bisectriz $ Semirrecta que divide en dos ángulos iguales a un ángulo 0 0*ODFOUSP interior de un triángulo. Incentro \" # Es el punto donde se intersecan las bisectrices.
Guía para el examen global de conocimientos 255 Áreas y perímetros Perímetro Es la suma de los lados de un polígono. Área o superficie Región del plano limitada por los lados de un polígono. Figura Fórmulas Nomenclatura a, b, c: lados del triángulo Triángulo Perímetro b: base Área h: altura c a P=a+b+c h A = 1bh a: lado del cuadrado 2 b b: base Cuadrado Perímetro h: altura Área a P = 4a r = radio A = a2 C = centro de la circunferencia a Perímetro P = 2b + 2h a = lado del rombo Rectángulo Área A = bh d = diagonal menor D = diagonal mayor h : lado del polígono b Perímetro P = 2 Qr n : número de lados Circunferencia Área A = Qr2 a : apotema Perímetro r Área P = 4a C A = d D Rombo 2 BB % E BB Polígono regular de n lados Perímetro P = n Área A = P a B 2
256 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. Si el perímetro de un triángulo es la suma de sus lados, ¿cuál es el perímetro de un triángulo que tiene de lados 20, 10 y 25 cm? a) 10 cm b) 75 cm c) 30 cm d ) 55 cm Solución: El perímetro de un triángulo es la suma de los lados, entonces: P 20 cm 10 cm 25 cm P 55 cm Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 2. Si el área de un rectángulo es el producto de la base por su altura, ¿cuál es la longitud de la base de un rectángulo que tiene de área 36 cm2 y tiene de altura 3 cm? a) 108 cm b) 12 cm c) 0.083 cm d ) 33 cm Solución: Si el área de un rectángulo es el producto de la base por su altura A bh se despeja la base b A se sustituye A 36 cm2 y h 3 cm h b 36cm2 12cm 3cm Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. El área de una circunferencia de radio r, se obtiene con la formula A Qr 2. Si el radio se incre- menta al doble, se puede afirmar que el área de la nueva circunferencia: a ) aumenta 4 veces b ) disminuye a la mitad c ) aumenta al doble d ) aumenta al triple Solución: Área de la primera circunferencia. A Qr2 Si el radio se incrementa al doble, entonces r aumenta a 2r, al sustituir en la fórmula se obtiene el área de la nueva circunferencia: A1 Q (2r )2 Q (4r 2) 4Q r 2 = 4(Q r 2) = 44 El área inicial se aumentó 4 veces, por tanto, la opción correcta es el inciso a.
Guía para el examen global de conocimientos 257 Volumen de cuerpos geométricos Se le llama volumen a la magnitud del espacio ocupado por un cuerpo geométrico. Cubo V a3 Prisma rectangular V abh a a = longitud de (paralelepípedo) a = largo a la arista b = ancho h h = altura a ab Cilindro circular V Qr 2h Cono V 1 Qr 2h r r = radio h 3 h h = altura r = radio h = altura r Esfera V 4 Qr3 Pirámide de base cuadrada r 3 V 1a2h 3 r = radio a = lado de la base h h = altura a a
258 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. Para calcular el volumen de un cubo se emplea la fórmula V a3, donde a es la longitud de su arista. Si la arista de un cubo mide 10 cm, ¿cuál es el volumen del cubo? a) 10 000 cm3 b) 1000 cm3 c) 100 cm3 d ) 10 cm3 Solución: Al sustituir a 10 cm en la fórmula V a3, se obtiene: V (10 cm)3 1000 cm3 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. Observe la figura: h = 6 cm r = 2 cm De acuerdo con ella, ¿cuál es el volumen del cilindro circular? a) 150 Q cm3 b) 54 Q cm3 c) 24 Q cm3 d ) 36 Q cm3 Solución: La fórmula del volumen para el cilindro circular recto es: V Qr2h Al sustituir r 2 cm y h 6 cm, se obtiene: V Q r 2h Q(2 cm)2(6 cm) Q(4 cm2)(6 cm) 24 Q cm3 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 3. Las dimensiones de una pirámide de base cuadrada son: 6 cm de lado de la base y 4 cm de al- tura. Si el lado de la base se disminuye a la mitad y la altura se incrementa 4 veces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) El volumen de la primera pirámide es el doble que el volumen de la segunda. b) El volumen de la primera pirámide es igual al volumen de la segunda. c) El volumen de la primera pirámide es la mitad del volumen de la segunda. d ) El volumen de la primera pirámide es el triple del volumen de la segunda. Solución: Se obtiene el volumen de la primera pirámide cuyo lado de la base es 6 cm y su altura es 4 cm. V 1 a 2h 1 (6 cm)2(4 cm) 1 (36 cm2)(4 cm) 144 48 cm3 3 3 3 3
Guía para el examen global de conocimientos 259 Se obtienen las dimensiones de la segunda pirámide. 1 a: el lado de la base se disminuye a la mitad: 6 cm 2 (6 cm) 6 cm 3 cm 3 cm. h: la altura se incrementa cuatro veces: 4(4 cm) 16 cm. Se sustituyen los datos para obtener el volumen. V 1 a 2h 1 (3 cm)2(16 cm) 1 (9 cm2)(16 cm) 144 cm3 48 cm3 3 3 3 3 Los volúmenes de ambas pirámides son iguales, por tanto, la opción correcta es el inciso b. Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. B Teorema de Pitágoras ca (Hipotenusa)2 (1er. cateto)2 (2o. cateto)2 A bC Donde: a : hipotenusa b, c : catetos B, C : ángulos agudos B C 90° (ángulos complementarios) Ejemplos 1. El valor de x en el siguiente triángulo rectángulo es: Y a) 20 b) 17 d ) 31 c) 25 Solución: De la figura, x hipotenusa, 1er. cateto 7, 2o. cateto 24, los datos se sustituyen en la fórmula: (hipotenusa)2 = (1er. cateto) 2 + (2do. cateto) 2 n x2 (7)2 (24)2 n x2 49 576 x2 625 x 625 x 25 Por tanto, la opción correcta es el inciso c.
260 Colegio Nacional de Matemáticas 2. El valor de m en el siguiente triángulo rectángulo es: N a) 24 b) 36 c) 16 d ) 25 Solución: De la figura, la hipotenusa 26, el 1er. cateto m y el 2o. cateto 10, los datos se sustituyen en la fórmula: (hipotenusa)2 = (1er. cateto)2 + (2do. cateto)2 n (26)2 m2 (10)2 n 676 m2 100 676 100 m2 576 m2 576 m 24 m Por tanto, la opción correcta es el inciso a. Aplicaciones del teorema de Pitágoras Para aplicar el teorema de Pitágoras a la solución de problemas, se sugiere realizar un dibujo que rela- cione los datos. Ejemplos 1. La parte superior de una escalera se apoya contra a parte superior de un muro de 4 m, si el pie de la escalera dista 3 m del muro, ¿cuál es la longitud de la escalera? a) 12 m b) 5 m c) 7 m d ) 49 m Solución: Se muestra un dibujo para relacionar los datos. E N N
Guía para el examen global de conocimientos 261 Por la figura se observa que la longitud de la escalera es la hipotenusa y al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene: d 2 (3)2 + (4)2 9 16 25 d 25 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. La diagonal de un rectángulo mide 25 m, la base mide 24 m, ¿cuál es la longitud de su ancho? a) 7 m b) 1 m c) 49 m d) 9 m Solución: Se muestra un dibujo que relaciona los datos. N - N En la figura se observa que los lados del cuadrado son los catetos y al aplicar el teorema de Pi- tágoras se determina que: (25)2 (24)2 + L 2 n 625 576 L 2 625 576 L2 49 L2 49 L 7 L Por tanto, la opción correcta es el inciso a. Trigonometría Funciones trigonométricas Las relaciones por cociente que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo, son conocidas con el nombre de funciones trigonométricas.
262 Colegio Nacional de Matemáticas Definiciones Abreviatura Seno de un ángulo seno = co Es la razón entre el cateto opuesto (co) y la hipotenusa (hip). hip Coseno de un ángulo coseno = ca Es la razón entre el cateto adyacente (ca) y la hipotenusa (hip). hip Tangente de un ángulo tangente = co Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. ca Cotangente de un ángulo cotangente = ca Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. co Secante de un ángulo secante = hip Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. ca Cosecante de un ángulo. cosecante = hip Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. co Ejemplo: Obtener las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo PQR. 1 RS 3Q 2 Solución: Los catetos opuesto y adyacente se definen de la siguiente manera: Para el ángulo Q Para el ángulo P r hipotenusa (hip) r hipotenusa (hip) q cateto opuesto (co) p cateto opuesto (co) p cateto adyacente (ca) q cateto adyacente (ca)
Guía para el examen global de conocimientos 263 Funciones trigonométricas para los ángulos Q y P Para el ángulo Q Para el ángulo P senQ co q cscQ hip r senP co p cscP hip r hip r co q hip r co p cosQ ca = p secQ hip r cos P ca q secP hip = r hip r ca p hip r ca q tanQ co q cot Q ca p tanP co = p cot P ca q ca p co q ca q co p Ejemplos 1. De la siguiente figura, determinar cos B A a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 2 Solución: Por la figura y de acuerdo con el ángulo indicado se da el nombre de los lados IJQ El coseno se define como: D P A cos B cateto opuesto D B hipotenusa Entonces cos B cateto opuesto 1 hipotenusa 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.
264 Colegio Nacional de Matemáticas 2. Dado el siguiente triángulo B # C Si a = 6(2) y b = 3(2)2 determinar el valor de tan A \" a) 12 b) 6 c) 4 d) 1 Solución: De acuerdo con el ángulo A , a 6(2) cateto opuesto y b 3(2)2 cateto adyacente, al sustituir los valores de a y b en la definición de la función tangente se obtiene: tan 6 2 A cateto opuesto 3 22 12 1 cateto adyacente 12 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. W Valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables y 0°, 90°, 180°, 270° y 360° Radianes 0 Q Q Q Q Q 3Q 2Q Grados 6 4 3 2 2 Seno Coseno 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Tangente 0 1 23 1 0 −1 0 2 22 1 3 21 0 −1 0 1 222 0 3 1 3 ∞ 0 −∞ 0 3 W Cofunciones En un triángulo rectángulo la función de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su ángulo comple- mento. Función Cofunción seno coseno tangente cotangente secante cosecante
Guía para el examen global de conocimientos 265 En el triángulo ABC, B y C son ángulos complementarios, entonces: # DB \"C $ sen B = cos C cot B = tan C cos B = sen C sec B = csc C tan B = cot C csc B = sec C Ejemplos 1. En el siguiente triángulo: / 1 . La razón 7 corresponde a la función: 5 a) cos N, sec M b) tan N, cot M c) sen N, sec M d ) tan N, cos M Solución: Se determinan la hipotenusa, el cateto opuesto y el adyacente para cada uno de los ángulos agudos, entonces: Para el ángulo M 7 equivale a cateto adyacente , esta 5 cateto opuesto )JQPUFOVTB $BUFUPPQVFTUP razón define a la función cotangente, . entonces 7 es el valor de cot M $BUFUPBEZBDFOUF 5
266 Colegio Nacional de Matemáticas Para el ángulo N / 7 equivale a cateto opuesto , esta razón $BUFUPBEZBDFOUF 5 cateto adyacente )JQPUFOVTB define a la función tangente, entonces 7 es 5 el valor de tan N $BUFUPPQVFTUP Entonces, las razones trigonométricas que corresponden a 7 son cot M y tan N. 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. La solución de los siguientes ejemplos se obtiene con la aplicación de las cofunciones. 2. En el siguiente triángulo: \" $ # La razón 5 corresponde a la función: 2 a) tan A, sen B b) sen A, cos B c) sec A, csc B d ) sec B, csc A Solución: Se elige el ángulo agudo del triángulo, en este caso el ángulo A, entonces: \" IJQ La razón dada es 5 , la cual representa la DB DP 2 siguiente función trigonométrica: # 5 = Hipotenusa = sec A 2 Cateto adyacente Por consiguiente, la función restante que satisface la relación es la cofunción del ángulo com- plementario B, es decir, csc B. Por tanto, la opción correcta es el inciso c.
Guía para el examen global de conocimientos 267 3. En el siguiente triángulo: \" $ # 8 corresponde a la función: La razón 73 a) sec B, csc A b) sen A, cos B c) tan A, sen B d ) cot B, sec A Solución: Se elige el ángulo agudo del triángulo, en este caso el ángulo A, entonces: \" La razón 8 , es equivalente a DB 73 cateto opuesto IJQ hipotenusa , la cual define a la DP # función trigonométrica seno, como se tomó el ángulo A, entonces 8 = sen A 73 Por consiguiente, la otra función que satisface la relación es la cofunción del ángulo comple- mentario B, es decir, cos B. Por tanto, la opción correcta es el inciso b. Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes Signos en los cuadrantes Funciones I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
268 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. Si sen B 3 , ¿Cuál es el valor del cos Bsi 90p< B < 180p? 5 4 5 5 a) 1 b) – 5 c) 4 d ) – 3 Solución: La función seno se define como: sen B = cateto opuesto hipotenusa Luego, sen α 3 cateto opuesto , entonces 3 cateto opuesto y 5 hipotenusa 5 hipotenusa Se construye un triángulo rectángulo con los datos dados Y DB A DP IJQ Para obtener el valor del lado restante, el cual es el cateto adyacente, se aplica el teorema de Pitágoras (5)2 = (x)2 + (3)2 25 = x2 + 9 25 − 9 = x2 16 = x2 16 = x 4=x Por consiguiente el valor del cateto adyacente es x 4 Se obtiene el valor de la función coseno Cos B cateto adyacente 4 hipotenusa 5 Pero B, se encuentra en el segundo cuadrante y de acuerdo con la tabla, el cos B es negativo, entonces cos B 4 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso b
Guía para el examen global de conocimientos 269 Gráfica de las funciones trigonométricas ¤ Gráfica de la función y = senx : Características de la función seno 1) La función tiene periodo igual a 2Q rad. 2) La función es creciente en el primero y cuarto cuadrantes. 3) La función decrece en el segundo y tercer cuadrantes. P 4) La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes y negativa 9 en el tercer y cuarto cuadrantes. PP 5) La función interseca al eje horizontal en múltiplos enteros de Q P 6) El dominio de y sen x son todos los reales. 7) El rango de y sen x es – 1 ≤ y ≤ 1 o ¤ Gráfica de la función y = cosx Características de la función coseno 1) La función tiene periodo igual a 2Q rad. : 2) La función decrece en el primero y segundo cuadrantes. 3) La función crece en el tercero y cuarto cuadrantes. 4) La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes, y negati- P P 9 P P va en el segundo y tercer cuadrantes. Q o 5) La función interseca al eje horizontal en múltiplos impares de 2 6) El dominio de y cos x son todos los reales. 7) El rango de y cos x es – 1 ≤ y ≤ 1 ¤ Gráfica de la función y = tanx Características de la función tangente : 1) La función interseca al eje x en múltiplos de Q 2) La función es positiva en el primero y tercer cuadrantes. 3) La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. P P P P 9 4) La función tiene periodo igual a Q rad. o 5) El dominio de la función y tan x son todos los reales, excepto Q aquellos valores de la forma x 2 (2n + 1) con n Z (asíntotas verticales). 6) El rango de la función y tan x son todos los reales. ¤ Gráfica de la función y = cotx Características de la función cotangente Q : 1) La función interseca al eje x en múltiplos impares de 2 2) La función es positiva en el primero y tercer cuadrantes. 3) La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. P P P P 9 4) La función tiene periodo igual a Q rad. 5) El dominio de la función y ctg x son todos los reales, excepto aque- o llos valores de la forma x nQ con n Z (asíntotas verticales). 6) El rango de la función y ctg x son todos los reales.
270 Colegio Nacional de Matemáticas ¤ Gráfica de la función y = secx Características de la función secante : 1) La función no interseca al eje x 2) La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes. 3) La función es negativa en el segundo y tercer cuadrantes. P P P P 9 4) La función tiene periodo igual a 2π rad. o 5) El dominio de la función y sec x son todos los reales, excepto Q aquellos valores de la forma x 2 (2n + 1) con n Z (asíntotas verticales). 6) El rango de la función y sec x se define como y ≥ 1 o y ≤ – 1 ¤ Gráfica de la función y = cscx Características de la función cosecante 1) La función no interseca al eje x : 2) La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes. 3) La función es negativa en el tercer y cuarto cuadrantes. 4) La función tiene periodo igual a 2π rad. 5) El dominio de la función y csc x son todos los reales, excepto aque- P P P P 9 llos valores de la forma x nQ con n Z (asíntotas verticales). o 6) El rango de la función y csc x se define como y ≥ 1 o y ≤ – 1 W Identidades trigonométricas fundamentales De recíprocos Pitágoricas sen2B + cos2B=1 s enB cs cB= 1 sec2B =1 + tan2B cos B s ecB= 1 csc2B =1 + cot2B tanB cot B= 1 De cocientes tan B = senB cosB cot B = cosB senB Ejemplos 1. ¿Cuál de las siguientes identidades es fundamental? a) senB = 1 b) cot B sen B= cos B c) sen2B+ cos2B= 1 d ) sec2Btan2B=1 csc B Solución: Se comparan los incisos con las identidades, y la que resulta fundamental es sen2B + cos2B= 1, por consiguiente la respuesta es el inciso c.
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