ม3 เทอม 1

200 บทท่ี 4 | ความคล้าย คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 8. อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปส่ีเหล่ียมสองรูปท่ีมีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากันอาจมีมุมท่ีมีขนาดไม่เท่ากัน เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ ดังตวั อยา่ ง 4 4 5 54 4 3 34 4 33 54 9. อาจไมเ่ ปน็ รปู ทค่ี ลา้ ยกนั เพรา5ะรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี พี น้ื ทเ่ี ทา่ กนั อาจมมี มุ ท4ม่ี ขี นาดไมเ่ ทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ ดงั ตวั อยา่ ง 55 55 88 88 10. ˆI = 65° , ˆC = 120° , ˆH = 95° , ˆB = 80° และ ˆK = 95° 11. 1) ˆC = Wˆ = 90° และ ˆA = ˆO = 70° 2) แนวคิด เนอื่ งจาก COLD ∼ WARM จะได้อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคูท่ ่ีสมนยั กนั เทา่ กนั คือ W—COA = O—ALR = R—LMD = —MDWC จาก R—LMD = —WCOA จะได้ —L6D = 1—82 LD = 9 หนว่ ย จาก M—DWC = —WCOA จะได้ M—1W5 = 1—82 MW = 10 หน่วย ดังนั้น ความยาวของด้าน LD และความยาวของด้าน MW เทา่ กับ 9 หน่วย และ 10 หน่วย ตามลำ�ดบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 201 3) แนวคิด เนื่องจาก อัตราส่วนของความยาวของด้านคทู่ ส่ี มนัยกันของ COLD และ WARM เท่ากัน คอื เทา่ กบั —WCOA = 1—82 = –23 จะได ้ O—ALR = –23 ดังนัน้ OL = –23AR เนอ่ื งจาก ความยาวรอบรปู ของ COLD เท่ากับ 12 + 15 + 9 + OL = 36 + OL หน่วย และความยาวรอบรปู ของ WARM เทา่ กบั 8 + 10 + 6 + AR = 24 + AR หนว่ ย จะได้ อัตราสว่ นของความยาวรอบรูปของ COLD ตอ่ ความยาวรอบรูปของ WARM 36 + AORL = 3624++–32AARR เปน็ 24 + = –322(244++AARR ) = –32 น่ันคอื ความยาวรอบรูปของ WCAORLDM = –32 ความยาวรอบรูปของ 12. AB FG DE HC 1) เนื่องจาก รปู ส่เี หลีย่ มคางหมูทุกรปู เป็นรปู ท่ีคลา้ ยกัน ดังนั้น EˆFG = 3—630 = 120 อA6ง0ศ° 6า0° xB และ FˆGH = 3—630 = 12x0 องศาF 60° x G จะได้ GˆHC = 118200 – อ1งDศ2า0 6 0 °= E60 อง6ศ0°าI 60° H 60° C และ EˆHG = ดังนน้ั HˆEF = 360 – (120 + 120 + 60) = 60 องศา นนั่ คอื ขนาดของมมุ แต่ละมมุ ของรปู ส่เี หลี่ยมคางหมู ABCD ม ี ˆA = 120° , ˆB = 120° , ˆC = 60° และ ˆD = 60° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

A B คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 202 บทที่ 4 | ความคลา้ ย FG 2) เม่ือสะท้อนรูปสี่เหล่ียมคางหมู ABCD โดยใช้ CD เป็นเส้นสะท้อน จะได้รูปหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า ซ่ึงมี เส้นทแยงมมุ ตัดกันท่ีจดุ I Dดังรปู E HC A xB 60° 60° 60° x xF G D 60° E 60° 60° H 60° C I จากรูป จะพบว่า ΔABI , ΔAID และ ΔBIC เป็นรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่า เนื่องจาก มมี ุมภายในแตล่ ะมุมเท่ากบั 60 องศา ดงั น้ัน DI และ CI ยาว x หนว่ ย น่นั คือ CD ยาว 2x หน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 203 4.2 รูปสามเหล่ยี มท่คี ล้ายกัน (5 ชั่วโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. ระบุเงอื่ นไขท่ที �ำ ใหร้ ปู สามเหลยี่ มสองรูปคลา้ ยกัน 2. ใชส้ มบัตขิ องรูปสามเหล่ยี มทคี่ ล้ายกันในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อน - สื่อทแี่ นะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ 1. อปุ กรณข์ องกิจกรรม : สำ�รวจรปู สามเหลย่ี ม (1) 2. อุปกรณข์ องกจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สามเหล่ียม (2) 3. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องเกี่ยวกับการระบุเงื่อนไขที่ทำ�ให้รูปสามเหล่ียมสองรูปคล้ายกัน โดยอาจเป็นเงื่อนไขตามบทนิยาม ที่เก่ียวข้องกับขนาดของมุม หรือเง่ือนไขตามทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน ครคู วรใหน้ กั เรยี นไดท้ �ำ กจิ กรรมในเชงิ ส�ำ รวจ สงั เกต และสรา้ งขอ้ ความคาดการณ ์ เพอ่ื น�ำ ไปสขู่ อ้ สรปุ ทเ่ี ปน็ สมบตั ิ ซง่ึ จะน�ำ ไปใช้ ในการให้เหตุผลและการแก้ปญั หา แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ได้ดงั นี้ 1. ครูยกตัวอย่างเก่ียวกับรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกันจากสิ่งแวดล้อมหรือสิ่งก่อสร้างต่าง ๆ เช่น หน้าจ่ัวบ้าน โครงหลังคา โครงสะพาน เพ่ือนำ�ไปสู่การอภิปรายเก่ียวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในชีวิตจริง ซึ่งเป็นไปตาม บทนิยามของรปู หลายเหล่ยี มท่ีคลา้ ยกนั ที่นกั เรยี นไดเ้ รียนมาแล้ว 2. ครใู ห้นกั เรียนท�ำ “กจิ กรรม : สำ�รวจรปู สามเหล่ียม (1)” ในหนงั สอื เรียน หน้า 121 เพอื่ ใหน้ ักเรียนส�ำ รวจ และ สร้างข้อความคาดการณ์ว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ แล้วอัตราส่วนของ ความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทั้งสามคู่จะเท่ากันด้วย ดังน้ัน ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากัน เปน็ คู่ ๆ สามคู่ กจ็ ะท�ำ ใหส้ รปุ ไดว้ า่ รปู สามเหลยี่ มสองรปู นน้ั เปน็ รปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั ซง่ึ เปน็ ไปตามบทนยิ าม ของรูปสามเหลย่ี มท่ีคล้ายกัน ในการท�ำ กิจกรรมขา้ งต้นน้ ี ครคู วรใหน้ ักเรียนสำ�รวจรปู สามเหลี่ยมทม่ี ีมมุ ขนาดอ่ืน ๆ เพมิ่ เตมิ โดย ดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลย ี ในหนังสอื เรยี น หนา้ 121 เพอื่ ส�ำ รวจรปู สามเหลย่ี มทีห่ ลากหลายและ ยืนยันขอ้ ความคาดการณ์ทสี่ รา้ งขนึ้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

204 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3. ครใู หน้ ักเรียนทำ� “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สามเหลีย่ ม (2)” ในหนังสอื เรยี น หน้า 131–133 เพอ่ื ใหน้ กั เรียนสำ�รวจ และสร้างข้อความคาดการณ์ว่า ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็น อตั ราส่วนทเี่ ท่ากนั แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนนั้ จะมีขนาดของมมุ เทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามค ู่ ดงั นน้ั ถ้ารูปสามเหล่ยี ม สองรูปมีอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ก็จะทำ�ให้สรุปได้ว่า รูปสามเหล่ียมสองรูปน้ัน เป็นรปู สามเหลย่ี มท่คี ล้ายกนั ซ่ึงเปน็ ไปตามทฤษฎีบท ในการทำ�กิจกรรมข้างต้นนี้ ครูควรให้นักเรียนสำ�รวจรูปสามเหล่ียมอื่น ๆ ท่ีมีอัตราส่วนของ ความยาวของดา้ นคทู่ ี่สมนัยกนั ทุกคูเ่ ป็นอตั ราสว่ นทีเ่ ท่ากันเพิ่มเตมิ โดยดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสอื เรียน หน้า 131 เพอื่ สำ�รวจรูปสามเหล่ยี มทีห่ ลากหลายและยืนยนั ข้อความคาดการณท์ ่ีสรา้ งขนึ้ 4. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั อภปิ รายผลท่ีไดจ้ ากกิจกรรมในข้อ 2 และ 3 เพือ่ น�ำ ไปส่ขู อ้ สรุปทีว่ ่า รูปสามเหล่ียมสองรูป จะเป็นรูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยกนั เม่ือมีเงือ่ นไขใดเงอื่ นไขหน่ึงเพียงเงื่อนไขเดียวจากสองเง่ือนไขต่อไปน้ี 1) รูปสามเหลย่ี มทัง้ สองรูปน้ันมขี นาดของมมุ เท่ากนั เปน็ คู่ ๆ สามคู ่ หรือ 2) อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคูท่ ส่ี มนยั กนั ทุกคู่ เป็นอตั ราส่วนที่เทา่ กนั 5. ในการพจิ ารณาอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั เปน็ คู่ ๆ นน้ั เพอื่ ไมใ่ หส้ บั สน ครอู าจแนะน�ำ ใหน้ กั เรยี น พิจารณาความยาวของด้านท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ท่ีมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ เช่น ในแบบฝึกหัด 4.2 ก ข้อ 2 ขอ้ ย่อย 3) ใชก้ ารพจิ ารณาดงั นี้ P 9 Sx 12 6 Q 9T y R 1) พิจารณา PˆQR ใน DPQR คกู่ ับ TˆQS ใน DTQS จะได้อัตราสว่ นของความยาวของด้านตรงข้ามกับมุมเป็น x : 6 2) พิจารณา PˆRQ ใน DPQR ค่กู ับ TˆSQ ใน DTQS จะได้อัตราส่วนของความยาวของดา้ นตรงข้ามกบั มุมเปน็ 21 : 9 6. ครูยกตัวอย่างให้นักเรียนใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกันในการแก้ปัญหาและการให้เหตุผล ดังตวั อยา่ งที่ 1 และ 2 ในหนงั สือเรยี น หน้า 124–125 และตวั อยา่ งที่ 3–5 ในหนงั สือเรียน หนา้ 135–136 โดยครคู วรเนน้ ย้ำ�ให้นักเรยี นตรวจสอบความคล้ายกันของรปู สามเหล่ียมสองรปู กอ่ นใชส้ มบัติ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 205 กจิ กรรม : ส�ำ รวจรูปสามเหลี่ยม (1) กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทต่ี อ้ งการใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี ขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามค ู่ ในการท�ำ กิจกรรม นักเรียนต้องใช้การสร้าง วัดขนาดของมุม และวัดความยาวของด้านของรูปสามเหล่ียมที่สร้างขึ้น เพ่ือสังเกตขนาด ของมุมคู่ท่ีสมนัยกันและอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน รวมทั้งสร้างข้อความคาดการณ์เก่ียวกับอัตราส่วนของ ความยาวของดา้ นคทู่ ่สี มนยั กนั ทงั้ สามค่ ู โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั นี ้ สอื่ /อุปกรณ ์ 1. โพรแทรกเตอร์ 2. ไมบ้ รรทัด ขั้นตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนใช้โพรแทรกเตอร์สร้าง DABC ให้มีขนาดตามใจชอบ และเพ่ือความสะดวกในการสร้าง DDEF ครคู วรแนะนำ�ให้นักเรยี นก�ำ หนดขนาดของมมุ ทฐ่ี านของ DABC เปน็ จำ�นวนเตม็ 2. ครใู หน้ กั เรยี นสรา้ ง DDEF ตามขน้ั ตอนการท�ำ กจิ กรรมขอ้ 2 และ 3 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 121 และตอบค�ำ ถามขอ้ 3 3. ครใู หน้ กั เรยี นวดั ความยาวของดา้ นทกุ ดา้ นของรปู สามเหลยี่ มทง้ั สองรปู แลว้ น�ำ มาค�ำ นวณหาอตั ราสว่ นของความยาว ของด้านคู่ที่สมนัยกันโดยให้นักเรียนเขียนคำ�ตอบในรูปทศนิยมสองตำ�แหน่ง พร้อมท้ังตอบคำ�ถามแล้วสร้างข้อความ คาดการณเ์ กยี่ วกับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ทสี่ มนยั กนั 4. ครูยกตัวอย่างเพิ่มเติมจากกิจกรรมท่ีนักเรียนทำ� หรืออาจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หนา้ 121 ใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจเกย่ี วกบั รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี ขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามคเู่ พม่ิ เตมิ เพอื่ ยนื ยนั ข้อความคาดการณท์ ่สี ร้างขึน้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

206 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจรปู สามเหลย่ี ม (1) ตวั อย่างการสำ�รวจ โดยใช้ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 121 m∠CAB = 45.00° m∠FDE = 45.00° AB = 0.71 m∠ABC = 50.00° m∠DEF = 50.00° DE AB = 6.24 ซม. DE = 8.76 ซม. BC = 0.71 BC = 4.43 ซม. EF = 6.22 ซม. EF CA = 4.80 ซม. FD = 6.73 ซม. CA = 0.71 FD C F A BD E ตัวอย่างคำ�ตอบ 3. เนือ่ งจาก ขนาดของมมุ ภายในท้ังสามของรูปสามเหล่ยี มรวมกนั เท่ากับ 180° และ รปู สามเหลี่ยมท้งั สองรูปมีมมุ ทมี่ ีขนาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สองค ู่ คือ ˆA = ˆD และ ˆB = ˆE ดงั นน้ั ˆF = ˆC 4. อตั ราสว่ นท้ังสามของความยาวของดา้ นคู่ทส่ี มนัยกันทัง้ สามคู่ นา่ จะเป็นอัตราส่วนทเี่ ทา่ กัน คอื D—AEB = —BECF = C—FAD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 207 กจิ กรรม : สำ�รวจรูปสามเหลย่ี ม (2) กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทต่ี อ้ งการใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี อี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กนั โดยใชค้ วามรเู้ รอ่ื งการสรา้ งทางเรขาคณติ ในการสรา้ งรปู สามเหลยี่ มรปู ทส่ี องใหม้ คี วามยาวของดา้ น แต่ละด้านเป็น a เท่าของความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหล่ียมรูปที่หน่ึง เม่ือ a เป็นจำ�นวนจริงบวก และในการทำ� กจิ กรรม นกั เรียนต้องหาอตั ราสว่ นของความยาวของด้านคทู่ ี่สมนัยกัน และวัดขนาดของมมุ คทู่ ่สี มนัยกัน รวมทัง้ สร้างขอ้ ความ คาดการณเ์ กย่ี วกับขนาดของมมุ คูท่ ่สี มนยั กนั ของรปู สามเหลี่ยม โดยมสี ่ือ/อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดงั น ี้ ส่ือ/อปุ กรณ์ 1. โพรแทรกเตอร์ 2. ไม้บรรทดั 3. วงเวียน ข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจรูปสามเหลี่ยม (2)” ข้อ 1 โดยเติมข้อมูลเก่ียวกับความยาวของด้านของ รปู สามเหลย่ี มทกี่ �ำ หนดใหท้ งั้ สองรปู และขนาดของมมุ ทว่ี ดั ไดล้ งในตารางใหส้ มบรู ณ์ และเขยี นอตั ราสว่ นของความยาว ของดา้ นคู่ทีส่ มนยั กันในรปู เศษส่วนอย่างต่�ำ 2. ครูให้นักเรยี นสร้าง DPQR และ DXYZ โดยให้ความยาวของดา้ นทุกด้านของ DXYZ เปน็ a เท่าของความยาวของ ดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ของ DPQR เมอ่ื a เปน็ จ�ำ นวนจรงิ บวก แลว้ เตมิ ขอ้ มลู เกยี่ วกบั ความยาวของดา้ นของรปู สามเหลยี่ ม ทงั้ สอง และวัดขนาดของมุมของรปู สามเหลยี่ มทงั้ สอง แล้วเตมิ คา่ ลงในตาราง 3. ครใู หน้ กั เรยี นใชข้ อ้ มลู จากการส�ำ รวจมาสรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ขนาดของมมุ ทส่ี มนยั กนั เมอื่ รปู สามเหลยี่ ม ทงั้ สองรูปนัน้ มีอตั ราส่วนของความยาวของด้านค่ทู สี่ มนัยกนั เท่ากันทง้ั สามค ู่ ในขอ้ 3 ด้วยภาษาของตนเอง 4. ครอู าจดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลย ี ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 131 ในการแสดงตวั อยา่ งหรอื ใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจ เกยี่ วกบั รปู สามเหลย่ี มทม่ี อี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กนั เพม่ิ เตมิ เพอื่ ยนื ยนั ข้อความคาดการณท์ ีส่ ร้างข้นึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

208 บทที่ 4 | ความคลา้ ย ค่มู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจรูปสามเหล่ยี ม (2) 1. จงเติมข้อมูลเก่ียวกับความยาวของด้านของรูปสามเหล่ียมท้ังสอง และวัดขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสอง แลว้ เตมิ ค่าลงในตาราง ความยาวของดา้ น ความยาวของดา้ น อัตราส่วนของ ขนาดของมมุ ขนาดของมมุ ของ DABC ของ DDEF ความยาวของดา้ น ของ DABC ของ DDEF (ซม.) (ซม.) คู่ทสี่ มนัยกนั (องศา) (องศา) AB = 3 DE = 6 DA—EB = –63 = –21 ˆA = 53° ˆD = 53° BC = 4 EF = 8 —EBFC = 8–4 = 2–1 ˆB = 90° ˆE = 90° CA = 5 FD = 10 C—FAD = 1—50 = 2–1 ˆC = 37° ˆF = 37° 2. ค�ำ ตอบของนกั เรยี นทไ่ี ดจ้ ากการท�ำ กจิ กรรมขอ้ 2 ขน้ึ อยกู่ บั รปู ทน่ี กั เรยี นสรา้ ง แตน่ กั เรยี นควรไดค้ �ำ ตอบไปในแนวทางเดยี วกนั ดงั น้ี 1) อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ท่ีสมนัยกันของ DXYZ และ DPQR เทา่ กันทง้ั สามคแู่ ละเทา่ กับ a 2) ขนาดของมมุ คู่ทส่ี มนยั กันของ DXYZ และ DPQR เทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่ 3. จากการส�ำ รวจขา้ งตน้ ใหน้ กั เรยี นคาดการณเ์ กย่ี วกบั ขนาดของมมุ ทส่ี มนยั กนั เมอื่ รปู สามเหลยี่ มทง้ั สองรปู นน้ั มอี ตั ราสว่ น ของความยาวของด้านคทู่ ีส่ มนยั กนั เท่ากันทง้ั สามคู่ คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ ✤ ขนาดของมมุ คทู่ ี่สมนยั ของ DXYZ และ DPQR เท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามคู่ ✤ ขนาดของมมุ คูท่ ี่สมนัยกันเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามคู่ ✤ ขนาดของมมุ คทู่ ส่ี มนัยกนั เท่ากนั ✤ รปู สามเหลี่ยมท้งั สองมีขนาดของมมุ เทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู่ 4. นกั เรยี นคดิ วา่ ถา้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู มอี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั เทา่ กนั ทกุ ค ู่ แลว้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั จะคลา้ ยกันหรือไม่ จงอธบิ าย คำ�ตอบมีได้หลากหลาย เช่น ✤ คล้ายกัน เพราะมีขนาดของมมุ เท่ากนั เป็นคู่ ๆ สามคู่ ✤ คล้ายกนั เพราะรปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั มขี นาดของมมุ เท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ ✤ คล้ายกัน เพราะการที่มอี ัตราส่วนของความยาวของด้านคทู่ สี่ มนัยกันเท่ากันทุกคู่ อาจกล่าวไดว้ ่า รปู หนงึ่ เปน็ รปู ยอ่ /ขยายของอกี รูปหนึ่ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 209 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 4.6 ตัวอย่างค�ำ ตอบ การเคลื่อนยา้ ยกา้ นไม้ขีดท้ังหมด 3 ก้านเพอ่ื ทำ�ให้เกิดรปู สามเหลี่ยมที่คลา้ ยกันค่หู นึง่ ipst.me/11404 รปู ท่กี �ำ หนดให ้ มี 13 รูป ตัวอยา่ งค�ำ ตอบ มี 14 รปู ชวนคดิ 4.7 มี 4 รปู มี 1 รูป มี 2 รูป ipst.me/11405 มี 7 รปู ดังน้นั มรี ปู สามเหลย่ี มทคี่ ลา้ ยกับ ทั้งหมด 13 + 14 + 4 + 7 + 1 + 2 = 41 รปู ชวนคิด 4.8 Dʹ Cʹ D ipst.me/11406 C B Bʹ O A Aʹ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

210 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 แนวคดิ รปู ห้าเหลย่ี ม OABCD และรปู หา้ เหล่ียม OAʹBʹCʹDʹ จะเป็นรปู ทีค่ ล้ายกนั กต็ อ่ เม่อื 1. DˆOA = DʹˆOAʹ, OˆAB = OˆAʹBʹ, AˆBC = AʹˆBʹCʹ, BˆCD = BʹˆCʹDʹ และ CˆDO = CʹˆDʹO 2. —OOAAʹ = —AAʹBBʹ = —BBʹCCʹ = —CCʹDDʹ = —DDʹOO พจิ ารณา ΔOAB และ ΔOAʹBʹ (ก�ำ หนดให้) เนื่องจาก AʹBʹ // AB ม ี �OAʹ และ �OBʹ เป็นเสน้ ตัด (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบน จะได ้ OˆAB = OˆAʹBʹ และ AˆBO = AʹˆBʹO ขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั มีขนาดเท่ากัน) (เป็นมุมเดียวกนั ) (มีมุมทม่ี ขี นาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ สามค่)ู (กำ�หนดให ้ OAʹ = 2(OA)) BˆOA = BʹˆOAʹ ดงั นั้น ΔOAB ~ ΔOAʹBʹ จะได ้ —OOAAʹ = —AAʹBBʹ = —BBʹOO = –21 พจิ ารณา ΔOBC และ ΔOBʹCʹ (ก�ำ หนดให)้ เน่อื งจาก BʹCʹ // BC มี �OBʹ และ �OCʹ เปน็ เสน้ ตัด (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบน จะได้ OˆBC = OˆBʹCʹ และ BˆCO = BʹˆCʹO ขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั มขี นาดเท่ากนั ) (เปน็ มุมเดียวกนั ) (มมี ุมที่มีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ สามคู่) ( )—BBʹOO = 1–2 จากการแสดงขา้ งตน้ CˆOB = CʹˆOBʹ (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) (สมบัติของการเท่ากนั ) ดังน้ัน ΔOBC ~ ΔOBʹCʹ จะได้ —OOBBʹ = B—BʹCCʹ = C—CʹOO = –12 และ AˆBO + OˆBC = AʹˆBʹO + OˆBʹCʹ จะได้ AˆBC = AʹˆBʹCʹ ในทำ�นองเดยี วกันจะแสดงไดว้ า่ ΔOCD ~ ΔOCʹDʹ จะได ้ O—OCCʹ = C—CʹDDʹ = —DDʹOO = –21 และ CˆDO = CʹˆDʹO , BˆCD = BʹˆCʹDʹ , DˆOA = DʹˆOAʹ ดงั นนั้ DˆOA = DʹˆOAʹ , OˆAB = OˆAʹBʹ , AˆBC = AʹˆBʹCʹ , BˆCD = BʹˆCʹDʹ และ CˆDO = CʹˆDʹO และ —OOAAʹ = A—AʹBBʹ = —BBʹCCʹ = C—CʹDDʹ = —DDʹOO = –12 นน่ั คอื รปู หา้ เหล่ยี ม OABCD และรูปห้าเหล่ียม OAʹBʹCʹDʹ เป็นรูปที่คล้ายกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 211 ชวนคดิ 4.9 C F ipst.me/11407 7 E 5 D 3 1 2 4 6 A G H B 1. จะแสดงว่า AG = GH = HB (ˆ1 เป็นมุมร่วม) พิจารณา ΔADG และ ΔAEH (จากการสรา้ ง) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตดั จะได้ ˆ1 = ˆ1 แลว้ มุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่ตรงข้าม บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเท่ากนั ) เนอ่ื งจาก DG // EH มี AB และ �AC เป็นเส้นตดั (มมี มุ ที่ขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่) (อัตราส่วนของความยาวของด้านคทู่ ส่ี มนยั กนั จะได ้ ˆ2 = ˆ4 และ ˆ3 = ˆ5 ของรูปสามเหลี่ยมทคี่ ลา้ ยกนั เท่ากนั ) (จากการสรา้ ง) (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) (สมบตั ิของการเทา่ กัน) (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดังนั้น ΔADG ~ ΔAEH (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) จะได ้ AA—ED = AA—HG เนื่องจาก AD = DE จะได ้ AE = 2AD และ —AAED = 2—AADD = 2–1 —AAHG = 2–1 ดังน้นั จะได้ AG = GH ในท�ำ นองเดียวกนั จะแสดงไดว้ า่ ΔADG ~ ΔAFB จะได ้ —AAFD = —AABG (อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นค่ทู ีส่ มนัยกัน ของรปู สามเหลย่ี มที่คลา้ ยกนั เทา่ กนั ) (จากการสรา้ ง) (สมบตั ิของการเทา่ กนั ) เนื่องจาก AD = DE = EF (สมบัติของการเทา่ กัน) จะได ้ AF = 3AD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี และ A—AFD = —3AADD = –31

212 บทที่ 4 | ความคล้าย คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ดงั น้นั —AABG = –31 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) จะได้ (สมบัตขิ องการเท่ากัน) AB = 3AG (จากการพสิ จู น์ขา้ งต้น) (สมบัติของการเทา่ กัน) เนอ่ื งจาก AG = GH จะได้ AG = GH = HB 2. ถ้าต้องการแบง่ ส่วนของเสน้ ตรงออกเปน็ 7 สว่ นทีเ่ ทา่ กนั จะทำ�ไดท้ ำ�นองเดียวกับการสรา้ งข้างตน้ ดงั รูปทีแ่ สดง แตล่ ะข้ัน ดังนี้ ขนั้ ท่ี 1 A B ขั้นที่ 2 C AB ขั้นที่ 3 J C ขน้ั ที่ 4 I B H G F E D A J C F I E H D G A P O NM L K B จะไดว้ า่ AB ถูกแบง่ ออกเป็น 7 สว่ น เท่า ๆ กัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 213 เฉลยแบบฝึกหดั แบบฝึกหัด 4.2 ก 1. 1) คล้ายกนั เพราะมขี นาดของมมุ เทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่ คอื ˆP = ˆN = 50° , ˆL = ˆO = 90° และ ˆA = ˆI = 40° 2) ไมค่ ล้ายกัน เพราะมขี นาดของมุมเท่ากนั เพียงคู่เดยี ว คอื ˆB = ˆM 3) คล้ายกนั เพราะมขี นาดของมุมเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามคู่ คอื MˆAP = MˆOB , AˆPM = OˆBM และ PˆMA = BˆMO 4) คลา้ ยกนั เพราะมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ เน่ืองจากรูปสามเหล่ียมทั้งสองรูปเป็นรูปสามเหล่ียม หน้าจว่ั ทีม่ ขี นาดมมุ ยอดเท่ากัน คอื ˆM = ˆE ท�ำ ให้มุมท่ีฐานมีขนาดเท่ากนั คอื ˆE = ˆB และ ˆR = ˆL 5) ไม่คล้ายกัน เพราะมขี นาดของมมุ ไม่เทา่ กันเป็นคู่ ๆ ทุกค ู่ (อาจใชก้ ระดาษลอกลายตรวจสอบ) 6) คลา้ ยกัน เพราะมขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามคู่ คอื DˆES = KˆSD , EˆDS = SˆKD และ EˆSD = SˆDK 2. 1) แนวคิด เนอ่ื งจาก ΔMBO กับ ΔFRO ม ี BˆMO = RˆFO , MˆBO = FˆRO และ MˆOB = FˆOR จะได้ ΔMBO ∼ ΔFRO ดงั นนั้ —RBOO = B—RMF = —MFOO จะได้ 4–x = –5y = 1—65 จาก 4–x = 1—65 –5y = 1—65 จะได้ จาก 6y = 5 × 15 จะได้ 6x = 4 × 15 ดังน้นั x = 10 ดงั น้ัน y = 12.5 นัน่ คอื x = 10 และ y = 12.5 2) แนวคดิ เนอ่ื งจาก ΔQPS กบั ΔPRS ม ี PˆQS = RˆPS , PˆSQ = RˆSP และ QˆPS = PˆRS จะได ้ ΔQPS ∼ ΔPRS ดังนนั้ —PRQP = —SSQP = —RPSS 1—x6 = y –84 จะได้ + 4 = = 2 8 จาก 1—x6 = 2 y + 4 จ าก 8 = 2 จะได้ 16 = 2x จะได ้ y + 4 = 8 × 2 ดงั นั้น x = 8 ดังน้ัน y = 12 น่นั คอื x = 8 และ y = 12 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

214 บทที่ 4 | ความคลา้ ย ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3) แนวคดิ เน่อื งจาก ΔPQR กับ ΔTQS มี PˆQR = TˆQS , PˆRQ = TˆSQ และ QˆPR = QˆTS จะได้ ΔPQR ∼ ΔTQS ดงั นนั้ —TPRS = Q—QRS = P—TQQ จะได ้ 6–x = y1+29 = 2—91 = –37 จ าก –6x = – 37 จ าก y1+29 = 3–7 จะได ้ 3x = 6 × 7 จะได ้ (y + 9) × 3 = 12 × 7 ดังนั้น x = 14 ดังน้นั y = 19 น่ันคือ x = 14 และ y = 19 4) แนวคิด เนอ่ื งจาก ΔMPQ กบั ΔMNO ม ี MˆPQ = MˆNO , PˆMQ = NˆMO และ MˆQP = MˆON จะได ้ ΔMPQ ∼ ΔMNO ดังนั้น M—MQO = —NPQO = M—MNP จ ะได ้ x +x 15 = —3y0 = 2—480 = 1—70 —3y0 = 1—70 จ าก x +x 15 = 1—70 จาก จะได ้ 10x = 7(x + 15) จะได ้ 10y = 30 × 7 ดงั นน้ั x = 35 ดังนนั้ y = 21 นั่นคอื x = 35 และ y = 21 5) แนวคิด เน่ืองจาก ΔSUN กบั ΔTUE มี SˆUN = TˆUE , NˆSU = EˆTU และ SˆNU = TˆEU จะได ้ ΔSUN ∼ ΔTUE ดงั นั้น —STNE = N—EUU = —TSUU จะได ้ —2x5 = 1—y5 = 32—20 = 8–5 จาก 2—x5 = –85 1—y5 = 8–5 จาก 15 × 5 = 8y จะได ้ 5x = 25 × 8 จะได ้ ดงั นั้น x = 40 ดงั นน้ั y = 9.375 น่นั คือ x = 40 และ y = 9.375 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 215 6) แนวคดิ เน่ืองจาก ΔACR กับ ΔBDQ ม ี AˆCR = BˆDQ , CˆAR = DˆBQ และ AˆRC = BˆQD จะได ้ ΔACR ∼ ΔBDQ A—BQR = 4—620 = 1—70 ดังนั้น จะได้ x + 4284 = 1—70 x + 10(x + 24) = 7(x + 48) 10x + 240 = 7x + 336 3x = 96 x = 32 เน่อื งจาก ΔBDQ เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากทมี่ ี DˆBQ เปน็ มมุ ฉาก จะได ้ DQ2 = BQ2 + BD2 (y + 28)2 = 802 + 602 (y + 28)2 = 10,000 y + 28 = ±100 แต ่ y + 28 เปน็ ความยาว จงึ มคี ่าเป็นจ�ำ นวนลบไม่ได้ จะได้ y + 28 = 100 y = 72 น่ันคอื x = 32 และ y = 72 3. ΔABE ∼ ΔCDE เพราะ EˆAB = EˆCD และ AˆBE = CˆDE (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัด แลว้ มุมแย้งมขี นาดเทา่ กัน) และ AˆEB = CˆED (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตดั กนั แลว้ มุมตรงข้าม มีขนาดเทา่ กัน) 4. 1) ΔDBA ∼ ΔABC เพราะ BˆDA = BˆAC , DˆBA = AˆBC และ DˆAB = AˆCB ΔDAC ∼ ΔABC เพราะ CˆDA = CˆAB , DˆCA = AˆCB และ DˆAC = AˆBC ΔDBA ∼ ΔDAC เพราะ BˆDA = AˆDC , DˆAB = DˆCA และ AˆBD = CˆAD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

216 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คูม่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2) แนวคิด เนื่องจาก ΔDAC ∼ ΔABC ดงั น้นั A—BCC = A—BAD = C—CDA จะได ้ 7—x5 = —6y0 = 2—x7 จาก 7—x5 = 2—x7 จะได้ x2 = 75 × 27 ดังนั้น x = 45 จาก 6—y0 = 2—x7 แทน x ดว้ ย 45 จะได ้ 6—y0 = 42—57 ดงั น้ัน y = 36 หมายเหต ุ ในข้อนี้นักเรยี นอาจใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการแกป้ ญั หา 5. แนวคดิ เนือ่ งจากก�ำ หนดให ้ ΔABC ∼ ΔDEF จะได ้ A—DEB = —BECF = C—FAD จาก A—DEB = —BECF จะได ้ AB × EF = DE × BC ดงั นนั้ A—BCB = —DEFE จาก B—ECF = —CFDA จะได้ BC × FD = EF × CA ดังนนั้ C—BAC = —FEDF จาก C—FDA = A—DEB จะได ้ CA × DE = FD × AB ดังนัน้ C—AAB = —DFDE น่ันคือ A—BCB = D—EFE , C—BCA = —FEDF และ C—AAB = —DFDE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 217 6. แนวคิด เนื่องจากก�ำ หนดให้ ΔCAT ∼ ΔFOX จะได้ C—AAT = OF—OX แต ่ CA : AT = 2 : 5 และ OX = 12 จะได้ 5–2 = F—1O2 ดังนัน้ FO = 4.8 นนั่ คอื FO ยาว 4.8 เซนตเิ มตร 7. อาจวาดภาพประกอบการพิสูจนไ์ ด้ดงั นี้ C MN AB ก�ำ หนดให ้ ΔABC มีจุด M เปน็ จุดกงึ่ กลางของด้าน AC และลาก MN // AB ตดั BC ท่ีจุด N ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ MN = –12 AB A พิสจู น ์ พิจารณา ΔMNC และ ΔABC เนอ่ื งจาก MN // AB (กำ�หนดให้) จะได ้ CˆMN = CˆAB D � (ถ้าเส้นตรงสEองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก CˆNM = CˆBA และมมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาด A ˆCBB เท่ากนั ) C และ = MˆCN (ˆC เปน็ มมุ รว่ ม) ดังนน้ั ΔMNC ∼ ΔABC (มมี ุมทมี่ ขี นาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามค่)ู จะได ้ M—ABN = —CCMA (ถา้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู คลา้ ยกนั แลว้ อตั ราสว่ นของความยาว ของดา้ นคทู่ ส่ี มนัยกนั จะเทา่ กัน) (CA = 2CM เพราะ M เปน็ จุดกง่ึ กลางของ CA) M—ABN = —2CCMM M—ABN = –12 ดังน้นั MN = –12AB น่ันคือ ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางของด้านด้านหนึ่งให้ขนานกับด้านอีกด้านหนึ่งและไปพบกับ ดา้ นท่สี าม จะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของดา้ นท่สี อง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

218 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย ค่มู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 8. ก�ำ หนดให ้ ΔABC มีจดุ D บน AB ท่ี AD : DB = 2 : 1 และลาก DE // BC พบ AC ท่จี ดุ E ตพอ้ิสงจู กนา์ ร พสิ พูจิจนารว์ ณา่ าD E = Δ A32–BDCE และ ΔABC เนอื่ งจาก DE // BC (ก�ำ หนดให)้ จะได ้ AˆDE = AˆBC � (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาด AˆED = AˆCB เท่ากัน) DˆAE = BˆAC (ˆA เป็นมมุ รว่ ม) ดงั นน้ั ΔADE ∼ ΔABC (มมี ุมท่ีมขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามค)ู่ จะได ้ —DBCE = A—ADB (ถา้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู คลา้ ยกนั แลว้ อตั ราสว่ นของความยาว ของดา้ นคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากัน) เน่ืองจาก (กำ�หนดให)้ นัน่ คือ A—DBD = 2–1 (สมบัติของการเท่ากัน) A—ADB = 3–2 จะได้ —DBCE = 3–2 ดังนนั้ DE = 32–BC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 219 9. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนรปู แสดงต�ำ แหนง่ ของสว่ นของเส้นตรงดังกลา่ ว ไดด้ ังน้ี A B A B GH H 5x 3x E F E FG 3x 5x D CD C กรณที ี่ 1 กรณีที่ 2 กำ�หนดให ้ ABCD เปน็ รปู สีเ่ หลี่ยมคางหมูท่ีมดี า้ นคทู่ ไ่ี มข่ นานกนั คือ AD และ BC โดย AD เปน็ ด้านท่ี ยาวกวา่ และมเี สน้ ทแยงมมุ เสน้ ทย่ี าวกวา่ คอื BD ยาว 24 เซนตเิ มตร และเสน้ ทแยงมมุ เสน้ ทส่ี น้ั กวา่ คอื AC ยาว 16 เซนติเมตร โดยมี EH เปน็ เสน้ ทขี่ นานกบั ดา้ นคูข่ นาน และแบง่ AD ออกเป็น อตั ราสว่ น 3 : 5 กรณีท่ี 1 พจิ ารณา ΔADB และ ΔEDF เนือ่ งจาก AˆDB = EˆDF (AˆDB เปน็ มุมรว่ ม) DˆAB = DˆEF (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ AˆBD = EˆFD มมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มมุ ภายในทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั ) ดังนนั้ ΔADB ~ ΔEDF (มมี ุมทม่ี ขี นาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู่) จะได้วา่ —EADD = —BFDD 83—xx = —D24F น่นั คอื DF = 9 เซนตเิ มตร และ FB = 24 – 9 = 15 เซนติเมตร ในท�ำ นองเดยี วกัน ΔADC ~ ΔAEG (AˆDC = AˆEG , DˆCA = EˆGA และ CˆAD = GˆAE) จะไดว้ า่ AA—DE = A—ACG 5—8xx = A—16G AG = 10 เซนตเิ มตร นั่นคอื และ GC = 16 – 10 = 6 เซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

220 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ดงั น้นั EH แบง่ เส้นทแยงมุมเส้นทยี่ าวกวา่ คือ BD ออกเปน็ 2 สว่ น ซงึ่ FD ยาว 9 เซนตเิ มตร และ BF ยาว 15 เซนตเิ มตร และ EH แบ่งเส้นทแยงมมุ เส้นท่ีสน้ั กว่า คือ AC ออกเปน็ 2 สว่ น ซง่ึ GC ยาว 6 เซนติเมตร และ AG ยาว 10 เซนตเิ มตร กรณีท่ี 2 ทำ�ในท�ำ นองเดยี วกบั กรณที ี่ 1 โดยพิจารณาว่า ΔADB ~ ΔEDF และ ΔADC ~ ΔAEG จะไดว้ ่า EH แบง่ เส้นทแยงมมุ เส้นทยี่ าวกวา่ คือ BD ออกเปน็ 2 ส่วน ซ่งึ FD ยาว 15 เซนตเิ มตร และ BF ยาว 9 เซนตเิ มตร และ EH แบง่ เสน้ ทแยงมมุ เส้นท่ีสั้นกวา่ คือ AC ออกเปน็ 2 สว่ น ซึง่ GC ยาว 10 เซนติเมตร และ AG ยาว 6 เซนติเมตร 10. แนวคดิ เนอ่ื งจาก AˆBD = BˆDE (AB // DE และมี BD เปน็ เสน้ ตดั ท�ำ ใหม้ มุ แยง้ มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นนั้ ΔEDB เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจ่วั (มีมมุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั 2 มมุ ) จะไดว้ ่า BE = z หนว่ ย (กำ�หนดให้ ED = z หนว่ ย) จากโจทย์ ต้องการหาความยาวของเส้นรอบรปู ของ ΔABC ดงั นน้ั เราจะต้องหาค่า z กอ่ นว่ามคี า่ เปน็ เท่าไร พจิ ารณา ΔBCA และ ΔECD เนื่องจาก BˆCA = EˆCD (ˆC เปน็ มุมร่วม) AˆBC = DˆEC � (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและ BˆAC = EˆDC มุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาด เทา่ กนั ) ดงั นน้ั ΔBCA ~ ΔECD (มีมมุ ทีม่ ขี นาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู่) จะได้ —BECC = A—DCC z + (3z 4– 4) = 107.5 3z – 28z – 28 = 31.5z – 42 z = 4 เนื่องจาก A—DEB = A—DCC (ΔBCA ~ ΔECD) A4B = 107.5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 221 จะได้ AB = 6 ดังนน้ั ความยาวของเสน้ รอบรูปของ ΔABC = AB + BC + CA = 6 + z + (3z – 4) + (7 + 3.5) = 6 + 4 + 8 + 10.5 = 28.5 หนว่ ย แบบฝกึ หัด 4.2 ข 1. 1) แนวคิด เนื่องจาก D—BOO = –48 = –21 —OOYG = 1—50 = –21 G—YDB = 1—62 = –21 จะเห็นว่า อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกนั ทกุ คูข่ อง ΔDOG และ ΔBOY เป็นอัตราสว่ นทเ่ี ท่ากัน ซึง่ เท่ากับ 1 : 2 ดงั นั้น ΔDOG ~ ΔBOY 2) แนวคิด เนอื่ งจาก —NEAU = 1—220 = 5–3 —UATT = 1—255 = –53 TT—NE = 1—380 = –35 จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของดา้ นคทู่ ่ีสมนัยกันทุกค่ขู อง ΔEAT และ ΔNUT เป็นอตั ราสว่ นท่เี ท่ากัน ซง่ึ เท่ากบั 3 : 5 ดังนนั้ ΔEAT ~ ΔNUT 3) แนวคดิ เน่ืองจาก —DACB = 11—28 = –32 C—BCA = 12—64 = –32 CA—AD = 23—46 = –32 จะเหน็ ว่า อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคูท่ ส่ี มนยั กันทกุ คขู่ อง ΔABC และ ΔDCA เปน็ อตั ราสว่ นท่ีเท่ากัน ซึ่งเทา่ กับ 2 : 3 ดังนั้น ΔABC ~ ΔDCA สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

222 บทท่ี 4 | ความคล้าย คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 4) แนวคดิ ✤ พิจารณา ΔBDA และ ΔADC เนอ่ื งจาก A—BDD = 1—92 = –43 D—DAC = 11—26 = –43 C—AAB = 1—242 = —171 จะเหน็ ว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ท่ีสั้นที่สุดไม่เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของ ด้านคูท่ ่ียาวทสี่ ดุ ดงั น้ัน ΔBDA และ ΔADC ไมเ่ ปน็ รปู สามเหล่ียมที่คลา้ ยกนั ✤ พจิ ารณา ΔBDA และ ΔBAC เนื่องจาก —BBDA = 1—94 D—AAC = 1—222 = 1—61 A—CBB = 12—45 จะเหน็ วา่ อัตราส่วนของความยาวของด้านทกุ คูไ่ มเ่ ทา่ กัน ดงั นั้น ΔBDA และ ΔBAC ไม่เป็นรปู สามเหลี่ยมที่คลา้ ยกนั ✤ พิจารณา ΔADC และ ΔBAC เนอื่ งจาก A—BAD = 11—42 = –76 D—ACC = 12—62 = 1—81 C—CAB = 22—52 จะเห็นวา่ อตั ราสว่ นของความยาวของด้านทกุ คไู่ มเ่ ท่ากนั ดงั น้ัน ΔADC และ ΔBAC ไมเ่ ป็นรูปสามเหลย่ี มที่คล้ายกนั นัน่ คอื ไม่มีรปู สามเหล่ยี มคใู่ ดท่คี ล้ายกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 223 2. แนวคิด พจิ ารณา ΔABC และ ΔACD เน่ืองจ าก B—CCD = 119.2 5 = 19,10205 = –45 AA—CB = 11—52 = –45 C —DAA = 181.57 5 = 11,,857005 = –45 จะเห็นว่า อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคู่ที่สมนยั กันทกุ คู่ของ ΔABC และ ΔACD เปน็ อตั ราส่วนที่เทา่ กัน ซ่ึงเทา่ กบั 4 : 5 ดงั นัน้ ΔABC ~ ΔACD จะได้ AˆBC = AˆCD = 90° , BˆAC = CˆAD = 37° , BˆCA = CˆDA เนอื่ งจากขนาดของมมุ ภายในท้งั สามมุมของรูปสามเหลีย่ มรวมกนั เทา่ กับ 180° จะได ้ BˆCA = 180 – (37 + 90) = 53 องศา ดังน้ัน BˆCA = CˆDA = 53° นั่นคอื BˆAC = 37° , BˆCA = 53° และ CˆDA = 53° 3. แนวคดิ ในการพสิ จู น์ (ก�ำ หนดให)้ เนื่องจาก —RFDP = —PDQE = —QEFR (อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ท่ีสมนัยกนั เทา่ กันทกุ คู่) (มุมท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลยี่ มทคี่ ลา้ ยกนั มีขนาดเทา่ กัน) จะได ้ ΔFDE ~ ΔRPQ ดงั นนั้ ˆD = ˆP 4. แนวคดิ ในการพสิ จู น์ เนือ่ งจาก A—AXB = X—BCY = CY—AA (ก�ำ หนดให)้ จะได้ ΔAXY ~ ΔABC (อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคู่ท่ีสมนยั กันเท่ากนั ทุกคู่) (มุมที่สมนัยกันของรปู สามเหลี่ยมทคี่ ลา้ ยกัน มขี นาดเท่ากัน) ดังน้ัน AˆXY = AˆBC (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หน่ึง ทำ�ให้มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด นัน่ คอื XY // BC เทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคูน่ ั้นขนานกนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

224 บทที่ 4 | ความคล้าย คู่มือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4.3 โจทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั รูปสามเหลยี่ มที่คลา้ ยกนั (5 ชวั่ โมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถใช้สมบัติของรปู สามเหลีย่ มท่คี ล้ายกนั ในการแกโ้ จทย์ปัญหาในชวี ิตจริง ความเขา้ ใจที่คลาดเคลื่อน - ส่อื ที่แนะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ น้ี เปน็ เรอ่ื งเกย่ี วกบั การน�ำ สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั มาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกโ้ จทยป์ ญั หาตา่ ง ๆ ท่ีนักเรียนอาจพบได้ในชีวิตประจำ�วัน หรือในสิ่งแวดล้อมรอบตัว ทำ�ให้นักเรียนเห็นการใช้งานของรูปสามเหล่ียมที่คล้ายกัน ในชีวิตจริง และได้ฝึกทักษะการใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกันในการแก้ปัญหา ซ่ึงเป็นการเรียนรู้อย่างมีความหมาย แนวทางการจัดกจิ กรรมการเรยี นรอู้ าจทำ�ได้ดังนี้ 1. ครูและนักเรียนร่วมกันสนทนาเก่ียวกับสถานการณ์ในชีวิตจริงท่ีเกี่ยวข้องกับการใช้ความรู้ในเร่ืองรูปสามเหลี่ยม ทีค่ ลา้ ยกัน เช่น การหาความสงู ของตกึ การหาความกวา้ งของแมน่ ้ำ� และตวั อยา่ งอื่นท่ีนักเรียนสามารถนกึ ภาพได้ เพอื่ กระตนุ้ ความสนใจให้นกั เรียนค้นหาแนวทางการแก้ปัญหาโดยใช้ความร้เู รื่องรูปสามเหล่ยี มท่ีคล้ายกัน จากนนั้ ใหน้ กั เรยี นฝกึ การนกึ ภาพเกยี่ วกบั สถานการณ์ การวาดภาพจ�ำ ลอง และวเิ คราะหเ์ พอื่ ท�ำ ความเขา้ ใจ ปัญหา ซึ่งครูควรช้ีให้นักเรียนเห็นว่า เมื่อวาดภาพจำ�ลองแทนสถานการณ์เหล่านั้นแล้วรูปท่ีได้จะมีลักษณะเป็น รูปสามเหลี่ยมท่ีคล้ายกัน ซ่งึ จะสามารถใช้สมบัตขิ องรูปสามเหลยี่ มทคี่ ลา้ ยกันทไ่ี ด้เรยี นมา ในการหาค�ำ ตอบได้ 2. ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกัน ครูควรเน้นย้ำ�ให้นักเรียนตรวจสอบความคล้ายกันของ รูปสามเหลี่ยม กอ่ นทีจ่ ะใชส้ มบัติของรูปสามเหล่ยี มท่ีคลา้ ยกนั ในการแก้ปญั หา 3. ครอู าจใหน้ กั เรยี นสรา้ งโจทยป์ ญั หาเอง หรอื อาจจดั กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั นิ อกหอ้ งเรยี น เชน่ หาความสงู ของเสาธง หาความสูงของอาคารเรียน หาความกว้างของสระนำ้� โดยใช้การจำ�ลองสถานการณ์ สมบัติของ รูปสามเหลีย่ มท่คี ล้ายกัน และกระบวนการแกป้ ัญหาทีไ่ ด้จากตัวอยา่ งและแบบฝกึ หัด 4. ครอู าจใชม้ มุ คณติ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 148 เปน็ ตวั อยา่ งของการน�ำ สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มคลา้ ยไปใชป้ ระโยชน์ ในการสรา้ งรปู ขยายของรปู หลายเหลยี่ มทค่ี ลา้ ยกนั นกั เรยี นสามารถอาศยั แนวคดิ นใ้ี นการเขยี นรปู ยอ่ และรปู ขยาย ของรปู อ่ืน ๆ ใหม้ ีขนาดตามอัตราส่วนท่ีตอ้ งการได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 225 สำ�หรับนักเรียนที่มีความสนใจเป็นพิเศษ ครูอาจให้นักเรียนแสดงการให้เหตุผลว่า รูปที่ได้จากการย่อหรือ การขยายเป็นรูปที่คล้ายกับรูปเรขาคณิตท่ีกำ�หนดให้ ในการให้เหตุผลจะต้องใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้าย ในความรเู้ พม่ิ เติมสำ�หรับครู 5. ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ” ในคมู่ อื ครู หนา้ 228 เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นเหน็ การใชอ้ ปุ กรณท์ ช่ี อ่ื วา่ “แพนโทกราฟ” และเหน็ ตวั อยา่ งของการน�ำ ความรเู้ รอื่ งรปู สามเหลยี่ มทค่ี ลา้ ยกนั ไปใชใ้ นการสรา้ งเครอื่ งมอื ส�ำ หรบั ยอ่ หรือขยายรูป ซง่ึ จะท�ำ ให้นักเรียนเห็นการใช้คณติ ศาสตร์ในงานศลิ ปะ ความร้เู พม่ิ เติมส�ำ หรับครู ในการพิจารณาความคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยม นอกเหนือจากการใช้บทนิยามในการพิจารณารูปสามเหล่ียม สองรูปท่ีมีขนาดของมุมที่เท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ และการพิจารณาจากอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ท่ีสมนัยกัน ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั แลว้ ยงั มที ฤษฎบี ททเ่ี กย่ี วกบั การพจิ ารณาความคลา้ ยของรปู สามเหลย่ี มอกี ทฤษฎบี ทหนง่ึ ดงั น้ี ทฤษฎบี ท ในรูปสามเหลี่ยมสองรูป ถ้าขนาดของมุมมุมหน่ึงของรูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงเท่ากับ ขนาดของมมุ มมุ หนง่ึ ของรปู สามเหลยี่ มอกี รปู หนงึ่ และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นของ รปู สามเหลย่ี มทเ่ี ปน็ แขนของมมุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั นน้ั เปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั แลว้ รปู สามเหลย่ี ม ทั้งสองรปู เปน็ รปู สามเหล่ยี มทีค่ ลา้ ยกนั AD B CX Y E F กำ�หนดให้ ΔABC และ ΔDEF มี ˆA = ˆD และ —DAEB = A—DCF ตอ้ งการพสิ จู น์ ΔABC ~ ΔDEF พิสจู น ์ บน DE สร้าง DX = AB สร้าง XY ขนานกับ EF และตัด DF ที่จดุ Y พจิ ารณา ΔDXY และ ΔDEF สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

226 บทท่ี 4 | ความคล้าย คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 XˆDY = EˆDF (เป็นมุมเดยี วกัน) DˆXY = DˆEF ( ถ้ า เ ส้ น ต ร ง ส อ ง เ ส้ น ข น า น กั น แ ล ะ มี เ ส้ น ตั ด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้าม DˆYX = DˆFE บนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด มขี นาดเท่ากนั ) ( ถ้ า เ ส้ น ต ร ง ส อ ง เ ส้ น ข น า น กั น แ ล ะ มี เ ส้ น ตั ด ดงั น้ัน ΔDXY ~ ΔDEF แล้วมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้าม จะได้ บนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด มขี นาดเท่ากนั ) D—DXE = —DDYF (มมี มุ ทมี่ ขี นาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่) เน่ืองจาก —DAEB = —ADCF (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน ของรปู สามเหลีย่ มท่ีคลา้ ยกนั จะเทา่ กัน) และ DX = AB (ก�ำ หนดให)้ ดังนัน้ DD—XE = —DAEB = —DDYF = A—DCF (สร้าง) —DDYF = A—DCF จาก (สมบตั ขิ องการเท่ากนั ) จะได้ DY = AC (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) (ด.ม.ด.) ดงั นัน้ ΔABC ≅ ΔDXY (บทนิยามของรปู สามเหลย่ี มที่คล้ายกนั ) (สมบตั ิถา่ ยทอด) น่นั คือ ΔABC ~ ΔDXY และ ΔABC ~ ΔDEF ตัวอยา่ งเชน่ จากมมุ คณิต ในหนังสอื เรียน หนา้ 148 เราสามารถใช้สมบตั ิดงั กลา่ วมาใช้ในการพิสจู นเ์ กยี่ วกบั การสร้างรปู ยอ่ หรือรูปขยายของรูปหลายเหลยี่ มทค่ี ลา้ ยกนั P AB DC Bʹ Aʹ Dʹ Cʹ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 227 ต้องการแสดงว่า รูปที่เกิดจากการสร้างด้วยวิธีดังกล่าว ทำ�ให้ได้รูปส่ีเหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของความยาวของ ดา้ นคทู่ สี่ มนัยกนั เทา่ กับ 3 : 1 พจิ ารณา ΔPAB และ ΔPAʹBʹ เน่อื งจาก —PPAAʹ = 1–3 (จากการสรา้ ง) AʹˆPBʹ = AˆP B (เปน็ มมุ เดยี วกัน) (จากการสรา้ ง) —PPBBʹ = 13– ดงั นนั้ ΔPAB ~ ΔPAʹBʹ จะไดว้ า่ A—AʹBB ʹ = 13– น่นั คอื AʹBʹ เปน็ 3 เทา่ ของ AB ในท�ำ นองเดยี วกัน จาก ΔPAD ~ ΔPAʹDʹ จะได้วา่ AʹDʹ เปน็ 3 เทา่ ของ AD จาก ΔPDC ~ ΔPDʹCʹ จะไดว้ า่ DʹCʹ เป็น 3 เท่าของ DC และ จาก ΔPCB ~ ΔPCʹBʹ จะไดว้ ่า CʹBʹ เปน็ 3 เท่าของ CB ดังน้ัน รปู สเี่ หลย่ี มรปู ใหมท่ สี่ รา้ งจากการสรา้ งโดยวธิ ดี งั กลา่ ว มอี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั เทา่ กบั 3 : 1 ตามที่ต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

228 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ กจิ กรรมนมี้ งุ่ ใหค้ วามรเู้ พมิ่ เตมิ เกย่ี วกบั การน�ำ ความรเู้ รอื่ งรปู สามเหลย่ี มทคี่ ลา้ ยกนั ไปใชใ้ นการสรา้ งเครอื่ งมอื ส�ำ หรบั ยอ่ หรอื ขยายรปู ที่เรียกวา่ แพนโทกราฟ ซึ่งจะท�ำ ใหน้ กั เรยี นเหน็ การใช้คณติ ศาสตรใ์ นงานศลิ ปะ โดยมีสอื่ /อุปกรณ์ และขนั้ ตอน การดำ�เนินกิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/อุปกรณ์ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครอู าจใหน้ กั เรยี นศกึ ษาการวาดรูปย่อ/ขยาย โดยใชแ้ พนโทกราฟ จากส่อื เสรมิ เพิ่มความรู้ ในหนังสือเรียน หนา้ 118 จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาการท�ำ งานของแพนโทกราฟ และตอบค�ำ ถามจาก ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ 2. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั อภปิ รายค�ำ ตอบที่ไดจ้ ากข้อ 1–3 ของใบกิจกรรม โดยค�ำ ถามข้อ 2 ถามในรูปอัตราสว่ นของ PB ตอ่ PA และอตั ราส่วนของ PE ตอ่ PD เพอื่ ให้นักเรียนมองเหน็ การขยายรูปโดยใช้ความรู้เรื่องอตั ราสว่ นและเป็น แนวทางในการตอบค�ำ ถามขอ้ 3 ซงึ่ ครอู าจใหน้ กั เรยี นตอบดว้ ยวาจา ไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งเขยี นแสดงการพสิ จู น ์ แตใ่ นเฉลย ใบกิจกรรมได้แสดงการพสิ ูจนไ์ วเ้ พื่อเป็นแนวทางใหค้ รใู ช้ในการอภิปรายร่วมกับนกั เรียน 3. ส�ำ หรับค�ำ ถามขอ้ 4 ครใู ห้นกั เรยี นน�ำ เสนอคำ�ตอบและแนวคดิ สนบั สนุนค�ำ ตอบของตนเอง จากน้ันครแู ละนักเรียน ร่วมกนั อภิปรายเพื่อสรุปแนวคิดในการได้มาซงึ่ ค�ำ ตอบ แพนโทกราฟ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 229 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ แพนโทกราฟ แพนโทกราฟ (pantograph) เปน็ เครอ่ื งมอื ส�ำ หรบั ขยายหรอื ยอ่ รปู ประกอบดว้ ยแทง่ ไม ้ 4 แทง่ ยดึ ตดิ กนั ด้วยหมุดที่จุด A, B, C และ D ใหม้ ลี กั ษณะเป็นรปู สเ่ี หลยี่ มด้านขนาน ABCD โดยจดุ P, D และ E อยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกัน ซึง่ จุด P จะถกู ตรงึ ไว้บนแผ่นรองเขียนภาพ ในการขยายรูป จะตดิ ปลายเขม็ ไว้ท่จี ดุ D ตดิ ดนิ สอไวท้ ี่จุด E ขณะท่ีเคล่อื นทป่ี ลายเขม็ ท่จี ดุ D ไปตาม รปู ตน้ แบบ ดินสอที่จุด E ก็จะเคลื่อนทไ่ี ปด้วย เกดิ เป็นรปู ขยายขนึ้ จากรูปต้นแบบ ดงั รูป ก ขณะทจ่ี ดุ D เคล่ือนที ่ มุมของรูปสเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ABCD จะมขี นาดเปลย่ี นแปลงไปโดยที่จดุ P, D และ E ยังคงอยูใ่ นแนวเส้นตรงเดยี วกนั ดังรปู ข PA BP D C D′ D E E′ E รูป ก รปู ก รูป ขรปู ข จากความรขู้ า้ งตน้ ถา้ ก�ำ หนดให ้ PA ยาว 3 หนว่ ย และ AB ยาว 6 หนว่ ย ใหน้ กั เรยี นตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี 1. DPBE ~ DPAD หรือไม่ เพราะเหตใุ ด 2. จากรูป ก จงหาอตั ราสว่ นของ PB ตอ่ PA และอตั ราส่วนของ PE ตอ่ PD 3. จากรูป ข จะได้อัตราส่วนของความกว้างของรูปท่ีเขียนต่อความกว้างของรูปต้นแบบ หรือ EEʹ : DDʹ เป็นเท่าไร 4. ถ้าตอ้ งการเขียนรูปย่อของผีเสือ้ ตวั ใหญใ่ ห้เป็นผีเสื้อตวั เล็ก โดยอัตราสว่ นของความกวา้ งของรูปทเ่ี ขียนตอ่ ความกวา้ งของรูปต้นแบบเปน็ 1 : 2 นักเรียนจะต้องปรับและใช้แพนโทกราฟอย่างไร จงอธบิ าย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

230 บทท่ี 4 | ความคล้าย คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 4.3 : แพนโทกราฟ 1. เนอื่ งจาก BˆPE = AˆPD (ˆP เปน็ มุมร่วม) และ AD // BC ( ABCD เป็นรูปส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอก จะได ้ PˆBE = PˆAD และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มขี นาดเทา่ กัน) เนือ่ งจาก BˆPE + PˆBE + PˆEB = AˆPD + PˆAD + PˆDA (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เท่ากบั 180 องศา) (สมบัติของการเท่ากัน) จะได ้ PˆEB = PˆDA ดังนน้ั DPBE ~ DPAD (มีมุมท่ีมขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามคู่) 2. เนอ่ื งจาก PA = 3 และ PB = 3 + 6 = 9 (ก�ำ หนดให)้ จะได้ PB : PA = 9 : 3 = 3 : 1 (สมบัตขิ องการเท่ากัน) เนื่องจาก PB : PA = PE : PD (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ท่ีสมนัยกันของ รูปสามเหลย่ี มท่ีคลา้ ยกัน เท่ากัน) ดังนัน้ PE : PD = 3 : 1 (สมบตั ิของการเท่ากนั ) 3. เนื่องจาก DPEEʹ ~ DPDDʹ (มมี ุมที่มขี นาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ สามคู่) จะได ้ EEʹ : DDʹ = PE : PD (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันของ รปู สามเหลีย่ มที่คลา้ ยกนั เท่ากัน) เนอื่ งจาก PE : PD = 3 : 1 (จากข้อ 2) ดังนัน้ EEʹ : DDʹ = 3 : 1 (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั ) 4. ตัวอย่างค�ำ ตอบ สามารถปรบั และใชเ้ ครื่องแพนโทกราฟ ได้ดังน ้ี 1) ปรับให ้ PA ยาว 1 หน่วย และ AB ยาว 1 หน่วย 2) เปล่ียนตำ�แหนง่ ปลายเข็มจากจดุ D ไปทจ่ี ดุ E และตำ�แหน่งดนิ สอจากจุด E ไปที่จดุ D สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 231 เฉลยแบบฝึกหดั แบบฝกึ หัด 4.3 1. แนวคดิ จากขอ้ มลู ในโจทย์ เขยี นแผนภาพไดด้ งั นี้ A P x 1.6 B 15 C Q 1.2 R ให ้ AB แทนความสงู ของตกึ เท่ากับ x เมตร S BC แทนความยาวของเงQาของตึกเทา่ กับ 15 เมตร PQ แทนความสงู ของนนทเ์ ทา่ กบั 1.6 เมตร x QR แทนความยาวของเงา3ข0อซงนมน. ท์เทา่ กับ 1.2Q เมตร แเนล่อื ะงลจ�ำ าแกส งขอAงˆBดCวPง อ =าท 3 ติ P0ยˆQจ์ ซRะมข . น =าR น ก9ัน0ท° �ำ ให้ม1.มุ 5ทมล่ี .Pำ�แสงRท�ำ กบั พน้ื ดนิ UมีขT1น.5าดมเ.ท่ากนั จะได้ AˆCB = PˆRQ 20 ม. และ BˆAC = QˆPR (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั 180° เมื่อมมุ สองคมู่ ีขนาดเท่ากัน มุมคทู่ ่เี หลือจงึ มขี นาดเทา่ กัน) ดงั นั้น DABC ~ DPQR (มีมมุ ที่มขี นาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ สามคู)่ จะได้ —PAQB = —QBCR หรือ 1—x.6 = 1—1.52 ดังน้นั x = 20 นัน่ คือ ความสงู ของตึกเท่ากบั 20 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

232 x P บทที่ 4 | ความคลา้ ย 1.6 คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 B 15 C Q 1.2 R 2. แนวคดิ จากขอ้ มลู ในโจทย ์ เขยี นรูปเฉพาะทเี่ กีย่ วข้องไดด้ ังน้ี S Q x 30 ซม. Q P 30 ซม. R P R T 1.5 ม. 20 ม. U 1.5 ม. ให้ SU แทนความสงู ของตกึ เทา่ กับ ST + TU = x + 1.5 เมตร PT แทนระยะระหวา่ งปริญกบั ตึกเท่ากับ 20 เมตร TU แทนความสูงจากตาถึงเทา้ ของปรญิ เท่ากบั 1.5 เมตร PR = QR = 30 เซนตเิ มตร หรอื 0.3 เมตร เนือ่ งจาก PˆRQ = PˆTS = 90° และ QˆPR = SˆPT (ˆP เป็นมุมร่วม) จะได้ PˆQR = PˆST (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มมขี นาดรวมกนั เทา่ กบั 180° เม่อื มมุ สองคมู่ ขี นาดเท่ากัน มมุ คู่ทีเ่ หลือจึงมีขนาดเท่ากนั ) ดงั นั้น DPQR ~ DPST (มีมมุ ที่มีขนาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามค)ู่ จะได ้ —PPRT = Q—STR หรอื 0—2.03 = 0—x.3 ดังน้ัน x = 20 น่นั คือ ตกึ สูง 20 + 1.5 = 21.5 เมตร 3. แนวคดิ จากขอ้ มูลในโจทย์ เขียนรูปเฉพาะทเี่ กยี่ วขอ้ งไดด้ ังน้ี P M 30 N x 120 R 25 L C สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 233 ให้ PR แทนความกว้างของเหว เทา่ กับ x เมตร เนอ่ื งจาก LˆMN = PˆRN = 90° และ LˆNM = PˆNR (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กนั แล้วมุมตรงข้ามมขี นาดเท่ากนั ) จะได ้ MˆLN = RˆPN (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม รวมกนั เทา่ กบั 180° เมอ่ื มุมสองคู่มีขนาดเท่ากนั มมุ ค่ทู ่ีเหลอื จงึ มีขนาดเท่ากนั ) ดังน้ัน DLMN ~ P DPRN (มีมุมทีม่ ีขนาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู)่ จะได้ L—PMR = M—RNN 2—x5 = x 1—3200 หรอื ดงั นัน้ x = 100 M 30 N นนั่ ค1อื 2 0 ความกว้างขอRงเหวเทา่ กับ 100 เมตร 25 L 4. แนวคดิ จากขอ้ มลู ในโจทย ์ เขียนรูปเฉพาะทีเ่ กี่ยวข้องไดด้ ังนี้ C ให ้ AB แทนระยะจากเชิงบันไดถงึ ผนงั ตกึ เท่ากับ x เมตร FB แทนระยะระหวา่ งจดุ ทีแ่ ปรงตกลงมาถูกพนื้ ดินกับผนังตกึ เทา่ กบั 4 ม. E 0.3 เมตร จะได้ DE = FB = 0.3 เมตร D AC แทนความยาวของบันไดเทา่ กบั 4 เมตร AD แทนระยะจากเชงิ บนั ไดถงึ จุดทช่ี า่ งทาสีท�ำ แปรงตกเท่ากบั –32 × 4 = –38 เมตร A F 0.3 ม. B x จะได้ DC = AC – AD = 4 – 3–8 = –34 เมตร เน่อื งจาก AˆBC = DˆEC = 90° AˆCB = DˆC E (ˆC เปน็ มมุ ร่วม) CˆAB = CˆDE (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มรวมกนั เทา่ กบั 180° เม่ือมมุ สองคมู่ ีขนาดเทา่ กนั มุมคทู่ ่ีเหลือจึงมขี นาดเท่ากนั ) ดังนน้ั DABC ~ DDEC (มมี ุมท่ีมีขนาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ สามค)ู่ จะได้ —DAEB = —ADCC หรอื 0—x.3 = 4–4 3 ดังนนั้ x = 0.9 นั่นคอื เชงิ บนั ไดอยู่หา่ งจากผนังตึก 0.9 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

234 บทท่ี 4 | ความคล้าย คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 5. แนวคดิ จากข้อมูลในโจทย ์ เขยี นรูปเฉพาะทเี่ ก่ียวขอ้ งได้ดังนี้ A x ม. B 10 ม. D 19.2 ซม. E C 10 ซม. F ให้ ความยาวของ AB เปน็ x เมตร จากรปู ความยาวของ AC เป็น 10 เมตร ความยาวของ DE เปน็ 19.2 เซนติเมตร หรือ 0.192 เมตร ความยาวของ DF เป็น 10 เซนตเิ มตร หรอื 0.10 เมตร เน่ืองจาก DABC ~ DDEF (มมี ุมทมี่ ีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่) จะได้ —DAEB = A—DCF ห รือ 0.1x9 2 = 01.100 ดังนัน้ x = 19.2 น่ันคอื น้�ำ ตาลหาความยาวของ AB ได้ 19.2 เมตร 6. แนวคิด ให ้ ระยะ PQ ยาว x เมตร P จากโจทย์ก�ำ หนดให้ QS = 42 เมตร QR = 50 เมตร RT = 48 เมตร เน่ืองจาก x PˆQS = PˆRT = 90° QˆPS = RˆPT (ˆP เป็นมุมร่วม) Q 42 S QˆSP = RˆTP (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ 50 รูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180° R 48 T เมอ่ื มมุ สองคมู่ ขี นาดเทา่ กนั มมุ คทู่ เ่ี หลอื จงึ มขี นาดเทา่ กนั ) ดงั นนั้ DPQS ~ DPRT (มมี มุ ทีม่ ีขนาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 235 G จะได้ P—PQR = Q—RTS หรอื x  +x5  0 = 4428 x  +x5  0 = 78 8x = 7x + 350 ดังนนั้ x = 350 น่นั คอื ตน้ ฝนจะหาระยะ PQ ได้ 350 เมตร 7. แนวคิด E 200 m C 140 y x A 120 B 60 D 120 F ให้ ความยาวของ BC เทา่ กับ x เมตร ความยาวของ DE เทา่ กบั y เมตร ความยาวของ CE เทา่ กบั m เมตร จากโจทยก์ ำ�หนดให ้ AB = 120 เมตร , BD = 60 เมตร , DF = 120 เมตร , AC = 140 เมตร และ FG = 200 เมตร เนือ่ งจาก CˆAB = GˆAF = EˆAD (ˆA เปน็ มมุ ร่วม) และ AˆCB = AˆGF = AˆED � (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตัด AˆBC = AˆFG = AˆDE แล้วมุมภายนอกและมมุ ภายในที่อยตู่ รงข้าม บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัด มีขนาดเทา่ กนั ) ดงั นั้น DABC ~ DAFG ~ DADE (มีมมุ ทีม่ ขี นาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ สามค)ู่ จาก DABC ~ DAFG จะได้ —FBGC = AA—FB หรือ —2x00 = 13—2000 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

236 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ดงั นน้ั x = 80 และ A—ACG = A—AFB หรอื 1—A4G0 = 3—10200 ดงั นัน้ AG = 350 จาก DADE ~ DABC จะได ้ A—ACE = A—ADB m 1+4104 0 = 118200 ดังนั้น m = 70 จาก DAFG ~ DADE จะได ้ D—FGE = AA—DF —2y00 = 1—38000 หรือ ดังนัน้ y = 120 จะได้ EG = AG – AC – m = 350 – 140 – 70 = 140 น่นั คือ ความยาวของ BC เท่ากับ 80 เมตร ความยาวของ DE เทา่ กบั 120 เมตร ความยาวของ CE เท่ากบั 70 เมตร และ ความยาวของ EG เท่ากบั 140 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 237 8. แนวคิด จากขอ้ มูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดงั นี้ D B x ม. E A 30 ซม. 45 ซม. C 5.6 ม. ให้ DE แทนความสูงของโคมไฟเทา่ กบั x เมตร BC แทนความยาวของไม้บรรทัด เทา่ กบั 30 เซนติเมตร หรอื 0.30 เมตร AC แทนระยะจากปลายเชอื กด้านที่ติดกับตาถงึ ปลายของไมบ้ รรทดั เทา่ กบั 45 เซนติเมตร หรอื 0.45 เมตร เนอื่ งจาก เชือกยาว 6 เมตร และปลายเชือกสว่ นที่ใชผ้ กู กบั โคนเสาไฟยาว 40 เซนตเิ มตร หรือ 0.4 เมตร จะได้ AE แทนระยะจากปลายเชือกด้านที่ติดกบั ตาถึงโคนเสาของโคมไฟ เทา่ กบั 6 – 0.4 = 5.6 เมตร เน่ืองจาก DˆAE = BˆAC (ˆA เป็นมุมรว่ ม) AˆED = AˆCB � (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมเี ส้นตัด แล้วมุมภายนอก และ AˆDE = AˆB C และมุมภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั มีขนาดเทา่ กนั ) ดังนั้น DADE ~ DABC (มมี มุ ทมี่ ขี นาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่) —DBCE = A—ACE จะได้ หรือ —0.x30 = —05.4.65 ดงั นนั้ x ≈ 3.73 น่นั คือ ไนซ์จะหาความสูงของโคมไฟได้ประมาณ 3.73 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

238 บทท่ี 4 | ความคล้าย คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมท้ายบท : ซอ่ นไว้ทไ่ี หน กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทม่ี งุ่ ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ การใหเ้ หตผุ ลเกยี่ วกบั รปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั พรอ้ มทง้ั ฝกึ การใชส้ มบตั ขิ อง รปู สามเหลี่ยมท่คี ลา้ ยกันในการหาความยาวของดา้ น หรอื ขนาดของมมุ ในรปู สามเหล่ยี ม โดยมีขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดังนี้ สือ่ /อุปกรณ์ - ข้ันตอนการด�ำ เนินกิจกรรม 1. ครูให้นักเรยี นแตล่ ะคนท�ำ “กิจกรรมทา้ ยบท : ซอ่ นไว้ที่ไหน” ในหนงั สอื เรียน หน้า 150–151 2. ครใู ห้นกั เรียนช่วยกันอธบิ ายเหตผุ ลว่า รูปสามเหล่ยี มค่ใู ดบ้าง ท่ีเปน็ รูปสามเหลย่ี มที่คล้ายกนั เพราะเหตุใด จากนน้ั จึงใหน้ กั เรยี นหาคา่ ของตวั แปรต่าง ๆ จากรปู สามเหล่ียมที่คล้ายกันเหลา่ น้ัน 3. ครูให้นกั เรยี นช่วยกนั จัดเรียงตวั อกั ษรที่ไดจ้ ากค่าของตวั แปร พรอ้ มท้ังน�ำ เสนอค�ำ ศพั ทแ์ ละความหมาย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 239 เฉลยกจิ กรรมท้ายบท : ซอ่ นไว้ทไี่ หน แนวคิด รูปทีย่ ืนยันได้ว่าเปน็ รปู สามเหล่ียมท่คี ล้ายกัน มดี งั ตอ่ ไปนี้ 6 จากรปู จะได้ x31 = 26 2 x1 = 9 x1 3 2 6 x5 จากรูปจะได้ x74 = 162 x4 x4 = 14 7 และ x5 +5 5 = 162 5 x5 = 5 12 6 x6 จากรูปจะได้  2x47  =  1 68   24 x7 = 8 x7 จากรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากรปู เล็ก 12 จะได้ (ความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก)2 = 62 + 82 = 100 6 ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = 10 ดังนนั้ x6 1+01 0 = 168 x6 = 20 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

240 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 7 จ ากรูปจะได ้ 2 x28  = 1  98   x8 x8 = 11 15 9 และ x8 +7 x9 = 198 x9 11 + x9 = 14 18 x9 = 3 คา่ ของตวั แปรที่หาได้ 9 , 14 , 5 , 20 , 8 , 11 , 3 เมือ่ จบั ค่คู า่ ของตวั แปรกับตัวอักษรแตล่ ะตัวในตาราง จะไดด้ ังนี้ I 2 N E T H K C เมอ่ื จดั เรียงตัวอกั ษรใหม้ ีความหมาย จะไดว้ ่า ภัทรซอ่ นสมบตั ไิ ว้ที ่ K I T C H E N หรอื ห้องครัว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 241 เฉลยแบบฝึกหดั ท้ายบท 1. แนวคดิ เนื่องจาก DFON ~ DCIN จะได ้ OˆNF = IˆNC = 35° ดังนนั้ x + 35 + 86 = 180 จะได้ x = 59 และเนือ่ งจาก DFON ~ DCIN จะได้ว่า CF—NN = F—COI 1—92 = 6–y หรอื ดังนนั้ y = 8 2. แนวคิด เนอื่ งจาก DRED ~ DRAT จะได้ RˆED = RˆAT = x° เนอ่ื งจาก x + 83 + 42 = 180 จะได้ x = 55 และเนื่องจาก DRED ~ DRAT จะได ้ R—RAE = AE—TD = D—TRR จาก R—RAE = E—ADT ดงั น้นั 11—06 = 2—y4 จะได้ y = 15 จาก R—RAE = D—TRR ด งั น้ัน 11—60 =  z + z7  . 5 10z + 75 = 16z นน่ั คือ z = 12.5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

242 บทที่ 4 | ความคล้าย คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 3. แนวคิด BC จะขนานกับ DE เมอ่ื AˆBC = AˆDE และ AˆCB = AˆED แ ต่ BˆAC = DˆAE เพราะ ˆA เป็นมุมรว่ ม นนั่ คอื เม่ือ DABC ~ DADE จะได้ —AADB = A—ACE หรือ 2  0  + 2(x0 –  2 )  =  2 4  + 2(4x +  6  ) 1 8 2+0  x = 3  0 24+  x  600 + 20x = 432 + 24x 168 = 4x จะได้ x = 42 นนั่ คือ ค่า x ที่ทำ�ให้ BC ขนานกบั DE คือ 42 4. แนวคิด จากขอ้ มลู ในโจทย์ เขยี นรปู เฉพาะทเ่ี ก่ียวขอ้ งได้ดงั นี้ D 6B 24 24 A 24 E 6C จากรปู DE เป็นระยะที่หา้ งสรรพสินคา้ อยูห่ า่ งจากโรงพยาบาล และจะเห็นว่า DABC เปน็ รปู สามเหล่ียมดา้ นเทา่ ดงั น้นั AˆBC = BˆCA = CˆAB = 60° และเนือ่ งจาก AD = AE = 24 + 6 = 30 เมตร ดงั นนั้ DADE เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว และมีมุมยอด DˆAE = 60° ดงั นั้น AˆDE = AˆED = 60° จะได้วา่ DABC ~ DADE เน่ืองจากมขี นาดของมุมเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามคู่ น่ันคอื —AABD = B—DCE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 243 หรือ 32—04 = —D24E จะได้ DE = 30 เมตร นนั่ คอื ห้างสรรพสินคา้ อยู่หา่ งจากโรงพยาบาล 30 เมตร หมายเหต ุ นกั เรียนอาจหาความยาวของ DE ได้จากรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ADE 5. แนวคดิ จากขอ้ มูลในโจทย์ เขยี นรปู เฉพาะท่ีเกีย่ วขอ้ งได้ดงั น้ี B C ใหค้ วามกวา้ งของแม่น้ำ�ท่ีจดุ K เทา่ กบั CK = x เมตร KA = 200 เมตร AE = 7 เมตร x ม. ED = 13 เมตร A K 7 ม. 200 ม. D 13 ม. E เนื่องจาก AˆKC = DˆE A = 90° CˆAK = AˆDE (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ยู่ตรงข้าม และ AˆCK = DˆAE บนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มีขนาดเทา่ กัน) (ขนาดของมุมภายในทงั้ สามมุมของรูปสามเหลี่ยม ดงั น้นั DAKC ~ DDEA รวมกันเทา่ กบั 180° เมอื่ มมุ สองคู่มีขนาดเท่ากัน มุมคูท่ ่เี หลือจงึ มขี นาดเทา่ กนั ) (มีมมุ ทมี่ ีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ สามคู่) จะได้ CA—KE = —KEDA หรอื –x7 = 2—1030 ดงั น้ัน x ≈ 107.69 นั่นคือ ปาหนนั จะหาความกวา้ งของแม่น้ำ�ทจ่ี ดุ K ไดป้ ระมาณ 107.69 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

244 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 6. แนวคดิ จากขอ้ มลู ในโจทย์ เขียนรปู เฉพาะที่เก่ียวขอ้ งไดด้ ังน้ี 3.2 กม. 2.4 กม. A HB 5.53 กม. C 1.82 กม. W D E 0.8 กม. 0.8 กม. กำ�หนดให้ จดุ H แทนตำ�แหน่งของบ้าน และ จุด W แทนต�ำ แหนง่ ของท่ที ำ�งาน เน่ืองจาก AB // DE จะได ้ BˆAC = DˆEC � (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมเี สน้ ตัด แล้วมุมแยง้ มขี นาดเท่ากนั ) AˆBC = EˆDC (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตดั กนั แล้วมุมตรงข้ามมขี นาดเท่ากนั ) AˆCB = EˆCD ดังนน้ั DABC ~ DEDC (มมี มุ ทมี่ ขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สามคู่) จะได ้ —EADB = —DBCC หรือ 15—..66 = 1—B.8C2 จะได้ BC = 6.37 กโิ ลเมตร และ —EADB = —AECC หรือ 15—..66 = 5—E.5C3 จะได ้ EC = 1.58 กโิ ลเมตร นัน่ คอื จากจุด C ไปถึงที่ท�ำ งาน ควรเดนิ ทางจากจุด C ไปจุด E ก่อน ต่อไปจะพจิ ารณาการเดนิ ทางจากบ้านไปยังจดุ C หากเดินทางจากบา้ นไปยงั จุด C โดยผา่ นจุด A จะใชร้ ะยะทางเทา่ กบั 3.2 + 5.53 = 8.73 กิโลเมตร หากเดินทางจากบา้ นไปยงั จดุ C โดยผา่ นจดุ B จะใชร้ ะยะทางเทา่ กบั 2.4 + 6.37 = 8.77 กโิ ลเมตร ดังน้นั ควรเดนิ ทางจากบา้ นไปทีท่ �ำ งานโดยผ่านจุด A และจดุ E จึงจะเป็นระยะทางท่สี นั้ ท่ีสดุ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 245 7. 2.5 ซม. 1.75 ซม. หอ� งทำงาน หอ� งนำ้ ห�องครัว 3 ซม. หอ� งนอน หอ� งนั่งเลน� 3 ซม. โถงทางเขา� 2.25 ซม. โรงรถ 2 ซม. 1 เซนตเิ มตร : 2 เมตร แนวคิด ความยาวของห้องน�้ำ = ความยาวของตวั บา้ น – ความยาวของหอ้ งท�ำ งาน – ความกวา้ งของห้องครวั = ความยาวของตวั บ้าน – 2.5 – 1.75 = ความยาวของตัวบา้ น – 4.25 ความยาวของโถงทางเขา้ = ความยาวของตวั บา้ น – ความกว้างของห้องนอน – ความยาวของโรงรถ = ความยาวของตวั บ้าน – 2.25 – 2 = ความยาวของตัวบา้ น – 4.25 นน่ั คอื ความยาวของห้องน�ำ้ เท่ากบั ความยาวของโถงทางเขา้ ความกวา้ งของหอ้ งน�ำ้ = ความกวา้ งของตัวบ้าน – ความยาวของหอ้ งนอน = ความกวา้ งของตัวบา้ น – 3 ความกว้างของโถงทางเขา้ = ความกว้างของตวั บ้าน – ความยาวของห้องครวั = ความกว้างของตวั บา้ น – 3 นั่นคอื ความกว้างของหอ้ งน�ำ้ เท่ากับ ความกว้างของโถงทางเข้า ดงั นนั้ พืน้ ทีห่ ้องน�ำ้ เท่ากับ พืน้ ทโ่ี ถงทางเข้า จากโจทย ์ ก�ำ หนดใหห้ ้องนำ�้ ในแปลนบ้านมพี ้ืนที่ 3 ตารางเซนตเิ มตร และกำ�หนดมาตราสว่ น เป็น 1 เซนตเิ มตร : 2 เมตร นัน่ คือ 1 ตารางเซนตเิ มตร เท่ากบั 4 ตารางเมตร ดงั นน้ั หอ้ งนำ้�จะมีพ้ืนทจี่ รงิ 3 × 4 = 12 ตารางเมตร นัน่ คือ โถงทางเข้าก็จะมีพ้ืนที่จรงิ 12 ตารางเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

246 บทท่ี 4 | ความคล้าย คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 8. 1) 2) แนวคดิ กำ�หนดให้ ด้านของรปู หกเหลี่ยมด้านเท่ามมุ เทา่ ทง้ั สามรปู ยาว 6 เซนติเมตร 6 จากรูปหกเหล่ยี มด้านเทา่ มมุ เทา่ สามารถแบง่ ออกเปน็ รูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่า 6 รปู รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ แต่ละรปู มพี ้ืนที่เท่ากับ √—43 × (ความยาวดา้ น)2 = √—43 × 62 = 9√3 ตารางเซนติเมตร จะไดว้ า่ รูปหกเหลีย่ มดา้ นเท่ามุมเทา่ รูปเดิมมพี ้ืนท ี่ 6 × 9√3 = 54√3 ตารางเซนตเิ มตร เนอ่ื งจาก รปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ รปู ใหมท่ ค่ี ลา้ ยกบั รปู เดมิ เกดิ จากรปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู เกา่ 3 รปู มาประกอบกัน ท�ำ ให้รูปใหมม่ ีพืน้ ทเี่ ป็น 54√3 × 3 = 162√3 ตารางเซนติเมตร ดังนัน้ จะแบง่ เป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเท่ามุมเทา่ 6 รูป โดยแต่ละรูปมีพ้นื ที่ 1626√3 = 27√3 ตารางเซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 247 นน่ั คือ เราสามารถหาความยาวด้านของรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ นี้ได้จาก √—43 × (ความยาวดา้ น)2 = 27√3 (ความยาวด้าน)2 = 108 ความยาวด้าน = 6√3 เซนติเมตร ดงั นั้น รูปหกเหล่ยี มทีป่ ระกอบขึ้นใหม่ท่ีไดน้ จี้ ะมีพน้ื ท ี่ 162√3 ตารางเซนตเิ มตร และมีดา้ นยาว 6√3 เซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

248 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ตัวอยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. ข้อความต่อไปน้เี ปน็ จริงหรือเทจ็ เพราะเหตใุ ด (กรณเี ปน็ เทจ็ ใหน้ กั เรยี นยกตวั อยา่ งค้านโดยใช้เหตผุ ลหรือใช้รปู ประกอบ) (10 คะแนน) 1) รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ทม่ี ขี นาดของมมุ ทฐ่ี านแตล่ ะมมุ เทา่ กบั 70° กบั รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ทมี่ ขี นาดของมมุ ยอด เทา่ กบั 40° เป็นรปู สามเหล่ยี มที่คล้ายกนั 2) รูปสามเหลยี่ มด้านเทา่ ทม่ี ีความยาวของแตล่ ะด้านเท่ากับ 8 เซนติเมตร กับรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ที่มีความยาว ของแต่ละดา้ นเทา่ กับ 12 เซนติเมตร เป็นรูปสามเหล่ียมทีค่ ล้ายกัน 3) รปู สามเหลีย่ มมุมฉากสองรปู ใด ๆ เปน็ รูปสามเหลีย่ มท่คี ลา้ ยกันเสมอ 4) รูปส่เี หลยี่ มสองรูปใด ๆ ทม่ี ขี นาดของมุมเทา่ กันเป็นคู่ ๆ สคี่ ู่ เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมทค่ี ลา้ ยกนั เสมอ 5) รปู สี่เหลยี่ มสองรูปใด ๆ ท่มี ีความยาวของด้านเท่ากนั ทุกด้าน เป็นรปู สีเ่ หล่ยี มทคี่ ลา้ ยกนั เสมอ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 249 2. จงพิจารณาว่ารปู สามเหลี่ยมทก่ี ำ�หนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เป็นรปู สามเหลยี่ มท่คี ล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด (6 คะแนน) 1) 62° 28° 2) 50° 30° 80° 3) 50° 30° 80° 30° 30° 10 15 10 15 8 20 8 20 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี