เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 53-54

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 99 19. กาํ หนดให้ a,b,c, x, y และ z เป็นจํานวนจรงิ ซึง่ สอดคลอ้ งกบั ระบบสมการ a  2543b  2543c  2543  x  2543y  2543z  2543  1 a  2544b  2544c  2544  x  2544y  2544z  2544  10 a  2545b  2545c  2545  x  2545y  2545z  2545  100 ค่าของ a  2554b  2554c  2554  x  2554y  2554z  2554 1000 เปน็ เทา่ ใด แนวคิด ให้ A  a  2544, B  b  2544, C  c  2544, P  x  2544, Q  y  2544 และ R  z  2544 จะได้ ABC  PQR  10 ...............  ( A 1)(B  1)(C 1)  (P  1)(Q 1)(R  1)  1 ABC  AB  BC  CA  A  B  C  PQR  PQ  QR  RP  P  Q  R  1.......  ( A  1)(B 1)(C  1)  (P 1)(Q  1)(R 1)  100 ABC  AB  BC  CA  A  B  C  PQR  PQ  QR  RP  P  Q  R  100........ + จะได้ 2( A  B  C  P  Q  R)  81 – จะได้ 2(AB  BC  CA  PQ  QR  RP)  99 (a  2554)(b  2554)(c  2554)  (x  2554)( y  2554)(z  2554)  1000  (A  10)(B  10)(C  10)  (P  10)(Q  10)(R  10)  1000  ABC  10AB  10BC  10CA 100A  100B  100C  PQR 10PQ 10QR  10RP  100P  100Q 100R  1000  10  5(99)  50(81)  1000  5555 ตอบ 55555555

เสรมิ คดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 100 20. ถา้ หาร  x2010  x2009  x  2 2 ด้วย x2 1 แลว้ จะเหลือเศษเทา่ ใด แนวคดิ ที่ 1 ให้ Px  x2010  x2009  x  22 ไดผ้ ลลพั ธ์ qx และ rx เป็นเศษ  ดงั นน้ั  x2010  x2009  x  2 2  x2 1 qx  rx จะได้ rx เปน็ พหนุ ามทีม่ ีดีกรสี งู สดุ เท่ากบั 1 ให้ rx  ax  b P1  11 9  a  b a  b  9 ...........(1) P1  111  a  b ab 3 ...........(2) (1)  (2); 2b  12 b6 (1)  (2); 2a  6 a3  เศษเทา่ กบั 3x  6 แนวคิดท่ี 2  P x  x2010  x2009  x2  4x  4     x2010  1  x2009  x  x2  3x  5       x2010  1  x x2008  1  x2  1  3x  6  เหลอื เศษ 3x  6 ตตออบบ 33xx + 66

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 101 21. คา่ ต่าํ สุดทีเ่ ปน็ ไปได้ของ 6x2 10xy  8y  x 13y2  33 มีคา่ เทา่ ใด 4 แนวคดิ 21. คา่ ตา่ํ สดุ ทเี่ ป็นไปได้ของ 6x2  10xy  8 y  x  13 y2  33 มีคา่ เทา่ ใด แ6นxว2 คิด10xy  8y  x  13y2  33 4 4  5x2  10xy  5y 2  x2  2x383y 2  8y  33 6x2  10xy  8y  x  13y 4 4  5( x  y)2  (x  1)2  2(2 y  1) 283y433143  2  5x2  10xy  5y 22 x2 x  8y2 4  5( x  y)2  (x  1 )2  2(2 y  1)2  633  1  2  5( x  y)2  (x  12 )2  2(2 y  1)2  12 4 4 เมื่อ x  1, y  21 )2 6  y2)2  (x  2  2(2 y  1)2   5(x ตเมออื่ บ x 66 1 , y   1 2 2 22. รตูปอสบี่เหล6ย่ี มจัตรุ สั มเี ส้นทแยงมมุ ยาว 14 2 เซนติเมตร บรรจุในครง่ึ วงกลมโดยมีจุดยอดทัง้ สอ่ี ยบู่ นเส้น 22. รรรปูอูปบสสเ่ีเ่ีวหหงลลแลยี่ีย่ มมะเจจสตัตั น้ รรุุ ผัสสั ่ามนีเเสศมนู้นอ่ื ทยaก์แลยแางลมงะุมทยbาําวใหเป1้พน็4ื้นจทํา2ีร่นปู วเสนซ่ีเเนหตตล็มิเ่ียมแมตลจระัตบรุหสัร.รรเ.จปมใุ น็.นขคอbaรงง่ึ วเทงaก่าลขมอแโงลดพะย้นื มทbีจี่รุดูปยเคปอร็นดง่ึ ทวงั้ง1กสลี่อแมยลสบู่ ้วว่นนเสทaน้ ีอ่ ยbนู่ อก รมรูปอีคบส่าเ่เีวทหง่าลแใลีย่ ดมะเจส(ัตใน้ ชรุ ผ้ัส่า27น2เศมนูือ่ แยทa์กนลคแาา่ลงปะรทะbํามใาหเปณ้พน็ ข้นื จอทาํ งี่รนปู วสน)ี่เเหตล็ม่ียแมลจะัตรุหสั .รเ.ปม็น. ขอbaง เทา่ ของพ้ืนท่ีรูปคร่งึ วงกลมสว่ นทอ่ี ยนู่ อก a และ b เปน็ 1 แลว้ a  b แมนคี า่วเคทิด่าใด (ใช้ 22 แทนคา่ ประมาณของ  ) เปน็ รปู สี่เหล่ียมจตั ุรัส มี รูปสี่เหล่ียม ABCD D 7 AC  14 2 C แนวคิด C จะได้ BC  14 , OB  7 B รปู พสพดดจ้ืนเ่ีงังัะนื้ หทนนไทลร่ีด้นนัั้ ่คีปูยี่้ รมสB่งึ ีเ่ OOวหCAงลCCกB่ียลCม1มจD4ัต,44รุ เOสัป99็นB3ร811ปู 5991ส7669เ่ี ห6ลี่ยม22จ44ตั55รุ สั มี AC  14 2 D AO 14 2 a  196  196  28 ดังพน้ืนน้ั ทีค่ aรงึ่ วbงกลม1  385 b 38A5  196O 18B9 27 พนื้ ทร่ี ูปส่ีเหลย่ี มจัตุรสั  196 a  ต3อ8บ51916196  196  28 ดังนัน้ a  b 1 b 189 27 ตอบ 11

เสรมิ คดิ ...คณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 102 23. จากรูปมีคร่งึ วงกลม 3 คร่งึ วงกลมแต่ละคร่งึ วงกลมมีรศั มียาวเทา่ กนั คือ R หน่วย ถา้ r เป็นความยาว 232.3จ. าจกาขรกอปู รงมูปรคี ัศมรมคี ึ่งีวรง่ึ กวงลกมลเลม3ก็ 33ทคสี่รคึง่มั รวผึง่ สัวกกงลกบั มลคแมรตแึ่งล่ วตะง่ลคกะรลคึง่มรวทงึ่ ว้ังกสงลกามลมมมดีรมงั ัศรี มปูศั ียมาแยี วลาเทว้วเา่ ทกRา่ นั กเันคปอื็นคกอื Rี่เทRRา่หขนหอว่ นงยว่ rยถา้ ถา้r rrเปเน็ ปค็นวคาวมายมายวาว ขอขงอรงศั รมัศีวมงีวกงลกมลเมล็กเลทก็ สี่ ทมั สี่ ผมั สั ผกสั บั กคบั รคึ่งรว่งึ วกงลกมลทมง้ั ทส้งัาสมาดมงั ดรงัูปรูปแลแว้ ลว้ R RRเปเ็นปก็น่เี กท่ีเาทขา่ อขงองr rr แนวคดิ rC AC  R  r AO  R และ OC  R  r แนแวนควดิ คดิ r Crr C ACAAจCCากRทฤRRษrฎีพrr ิธาAกOอAAรOOสั ใRนRRแลAแะลOะCOCOOCC R RR r rr จาจกาทกฤทษฤฎษพี ฎธิ พี าิธกาอกRรอสั รัสใrนใ22นAROAA22COOCCR  r22 R O RR RR22RR2rR2rrr22Rr 22RR22 RR22RRrR2rr2222 2Rr  r22 A R2RR22 2R22rRRrr r2rr022RR2RR2222R42RRR22r2R22rRRrr r2rr22 A A OO RR 0 400rR 2RR022 4R44rRRrr ตอบ 4 RRRRRR 4r44rrR0004r ตอตบอบ4 44 R RR 4r44rr

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 103 24. จากรปู ABCD เป็นรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ สั มจี ดุ A และ B อยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลม และดา้ น CD สมั ผสั กบั วงกลม ถ้ารปู ส่ีเหลย่ี ม ABCD มีพ้ืนที่ 64 ตารางหน่วย แลว้ วงกลมมีรศั มียาวกี่หน่วย AB D C แนวคดิ AB x O x r 8-2x DC รปู สี่เหลย่ี มจัตรุ ัสมพี ้ืนท่ี 64 ตารางหนว่ ยแสดงว่ามดี ้านยาว 8 หนว่ ย r 8 x . ............1 r2  OA2  x2  42 ............2 8  x2  x2  42 8  x2  x2  42 64 16x  x2  x2  16 16x  48 x  3 แทนใน (1) จะได้ r  5 ตอบ 5 หนว่ ย

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 104 25222.555..ทแ22.Aทแนํา255AทแBทแใAนํา5.ว.AนหBํานใาํ.วBคใBAหวทแ้ทแใแวหคAAดิหADทแค้นนแําลาํคAAดิ้BแBA้DในใแดิาํละววEิดDหBหลDใละวคคEAหAะ้้แECแะคEิดดิAD้DแลCลิดDCD8CละะEED8DะEOD8ห8เCCDOปCหเนCODหDO8DปCเ็นห8เ8DนปC่วDDปC8น็นเ8น8ยว่็นOสO8็นห่วหเเเยว่DOปCสเปCน้ยหเเEนนสยDแส8ปC8้นน็ผ็นEน้น่ว่วแล8น้E็นผ่าเเEแFยยว่ผแสสละนผ่าเFลยB่าสลน้้นะFน่าศEEFะBนแแน้EะนผผBศEนู BแลศลEผา่่าFศ4ูนFFยEละEะูนนน่าFูนFยB์กBFะนยศFศยB์กลEE์กศูนนู์กลา4EFFลนูยยงลา4Fาวย4ก์ก์งาห4งว์กงลลหนวกงหวลาาห44งนว่กลงงงนาก4นยก่วลมวงหว่หลยว่ลงงมวตลยหนมนยกกงมแตดัลานต่วกว่ลลลแลตัดกกลาแยยว่ดัลมมาแล้วัดกกนัาลยกกมจตลพตว้Cกลกลันเ้วแนัแะจตปพว้ดัดัCลาื้นนัาเCจFพCแจไละพลปเดัCกกกกน็า้นืทเCะFดปนื้Fะลไว้ปว้CFกกันนื้น็ัมทCFไี่วด้น็จจไFพจพ้วท2CCDน็ดนัเทมเFุงดีว่้CจEะFะพปะจมป22Crื้นDว่ีนื้้มกเCFC8Fุจงี่วฉ2้DCไะEไจปไะ22ุมrOrน็DFง2ื้น็นทCกทCลEFมุ8งดะดคด2ฉาrCFEไFะกไ2r8rน็OF2ฉมกทมล8มดว่ีกไ่วีฉ้คด้าลr้OF2Fจจไ2ลDrOF2Dคดามลุมงุมงี่วกคCเด้าCลC้าErEจะะ222r8Dมกปล้1ก8ุม8มงกฉฉCเยลC้E้าrถ2ไะไ2FrrrOF82rCOFCปเEก1ล้าน็2ล81ˆคฉCดคเาดา8ยกา้ป2ถา้ไ1F8rrOF2CปยDE1ลน็2มถมกD1Dก2ˆคกดFายrล้ลC้กบัถEา้F็น2rC1ˆEDกน็2ม1าก้ˆCDเD2กCเตี่ล้ก้าD้าบัา้D84ปDD2กปD11บัDD2กCเยยี่ตา้าับถDถFrF8rC4CปEEต่ีF1็น2Dน็21ˆˆ1ยร่ีตกกDาถา้้Fr9CEEDDFน็า21DDˆ2กDD1ก2รDกาบับัา้F90EรDFงODD2กา่ีต2ร9ตี่เDDDบัDE90าEOFปหDDงOาต่ีD0DาเDาDง0OOFFปหเFงน็นOรรเาOFปห9D9EOEFปหFน็นาารDคว่DDDD90็นน0EงOง็นนOายเDคว่Dเอ0OFปOหFคว่ปหงOยค่วเอรDDOยFปหอ็นนน็นย์ดอ(รDต็นรนคว่คว่ด์รต(์ดต(อยยคว่อด์อ(ตัดตตตอยบอรตรัดออัดบ์ดด์ใร((ัดAบตตนบ์ดตใ(ตAตใBอนอรAใตัดัดนABนอูปบบรัดBรBบปูรใทใAAูปนนูปใที่จAทBBนรรทดุจ่ี)Bูปปูจ่ีรี่จดุ )ปูดุทท)ดุE)ท่ีจจี่EEีจ่ดุุดE))ุด)EEE D r r2rr2222rr4r224142412112842248182 พพr้นื r2้ืนทrr2ท่วี22ง่ีวr4กง248กล448ลม88ม412r2r24488 พพื้นพพื้นทืน้ ้นืทว่ี ททงว่ี วี่กงว่ี งกลงกกลมลลมrมม2r2r4rr282244844888 ตตออบบ 4488ตตาราารงาหงหนน่วยว่ ย พ้ืนท่ีวงกลม  r2  48 ตตอตตอบออบบบ44844888ตตาตรตาารารงาราหงางหงนหหนว่ นนยว่ ว่ ย่วยย 2266. .จตจงอหงบหาจาจาํ4นาํ8นวนวนคตคู่อาู่อนัราันดงดบั หบั น(ว่x(ยx, y, y) )ขขอองจงจํานํานวนวนเตเตม็ ม็ททัง้ ห้ังหมมดดททีเ่ ป่เี ป็นน็คคําตาํ ตออบบขขอองสงสมมกการาร22xyxy55xxyy5555 26222.666..จ2.งจ6จหจง.งหงาหหจแจาาจาํแงานจนหจาํนวํานําวาวคนนจนวคดิวาํนวคดินนนคู่อควคู่อนั ู่อนู่อนัดันคันดับดู่อดบั ับนัับ(ดx((xบั(,xxy,,)y,(yxy))ข),ขอyขของ)อจองงาํจขงจนจําอํานําวงนนจนววํานวเนตนนเตเ็มวเตตม็ทน็มม็ทงั้เทตทหั้ง้ังม็หั้งมหทหมดมั้งมดทดหดทเ่ี ทปมทเี่ ปีเ่ด็นี่เปปท็นคน็ ็นคเ่ีาํ คปตคาํ ําน็ตอําตตคอบออําบขบตบขอขอของอบสองงสขมงสสมอกมมงกากสรกาามราร2รก2xา22yรxxyxy2y5x5yx55xxx5yxyyy5y55555555 แแนแแนวนนวควแ2วคิดคน2คดิ ิดควิดคคณู ูณิดตตลล2อ2อดx22yดxxyxy42y4x25xyx5yxx5y5yxxx15y105xy0xyxyx5y525y552y55y5551511100 2222คคูณคคูณตูณูณตลตตลอลลอดออดดด44x44yxxyxyy4214x10yx110xy00xx1x5102x02xy22xyyyy2121y1110y511050055110055 2 คูณตล4อ4ดx44yxxyxy4(y21(x2x1y011x0x00x11xx)102()x22(y222yyyyy255y555)5)1110110500551510055 (2((2x(22xxx41x)1y(1)12)()(2(y212yy0yx5)555))2) y1105110500555130353355 (2x  1)(2 y  5)33333135333053555577 จจะมะมีคคีาํ ตาํ ตออบบททเ่ี ปเ่ี ปน็ น็จจํานํานวนวนเตเตม็ ็มทท้งั ห้ังหม3มด3ด33151653565ค7คอู่737อู่7ัน5นัดดบั ับ จะจจจมะะะมคี มตจมีคําคีตะอตคีําาํมอตบอําตตีคบอบออาํบท1บตบท่เี16ทอปที่เ6บปี่เน็ี่เคปปท็นจคูอ่็นน็าํจ่เีอู่นั จปนจํานัดําน็นําวดบนั นจนวบัวํานวเนตนนเตเม็วเตตม็ทนม็ ็มทเง้ั ทตทห้ังง้ั็มหงั้มหทหมดมง้ัมดดห1ด16ม116ด6ค6ค1ูอ่ คค6่อูนั 3อู่ ูอ่ันดันคันดบั ดู่อด5บั ับันบัด7ับ ตตอตตอบออบบบ1161166ค6คูอ่ คคู่อนั ่อู ู่อันดันันดบั ดดบั บั บั ตอบ 16 คูอ่ ันดบั

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 105 27. ค่าของ  21  22  23  24  ...  2 1999  2  2000 2   31  32  33  34  ...  32999  33000 3 21  22  23  24  ...  2 1999  2  2000 31  32  33  34  ...  32999  33000 2เป7น็. เคทา่่าขใดอง  21  22  23  24  ...  2 1999  2  2000 2   31  32  33  34  ...  32999  33000 3 21  22  23  24  ...  2 1999  2  2000 31  32  33  34  ...  32999  33000 แนวคเปดิ ็นเทา่ ใด แนวคดิ21  22  23  24  ...  22000 22 (2  1)  24 (2  1)  ...  22000 (2  1)  24  ...  22000  22 (2  1)  24 (2  1)  ...  22000 (2  1) 21  22  23 21  22 23 24 22220000(0(022((222222222222 ((222244441122))22666622.....44...((...2.222222211000))0202000))00(0(0..22)..)..((221122))1122))000000((22 21  22  23  24  ...   1)    ...   1) 332 2 22221111((223322  24  26  ...  22000 )(2  1) 3322  24  26  ...  22000 )(2  1) 331 1 3333 33334444.......... 3333330033000000000033332222(((33(33221111))))11333334444((((33331111)))) 33000 (3 331 1 3333  ...  33000 (3  11))  ...   11)) 31  32  33  34  ...  333(3(03030000((223322333442233((334433611633))6.6...33...4.4..33((..33330030300011)3)))3(0(0303000)..)..((.1.133))3311)3)3000000((33  1) 31  32  33  3 4  ...   1)  221122221122 222 322 3 42...4 22......2200000022233220000003311332111133(2(3333332221111223323333442233 36  ...  33000 )(3  1) 2332  23 222322342..4. 36  .....33....4433330..33..000..000)00(333333001003)00 23  3343  3343 ตอบต อ 1บ7 21  22  23  24  ...  2 2000 2   31  3 2  33  3 4  ...  331733000000137 32  23 21  22  23  24  ...  2 2000 31  3 2  33  3 4  ...  17  17 ตอบ 17 28. ถา้ มีจาํ นวนนับที่หาร 2n ลงตัวอยู่ 28 จาํ นวน และมจี ํานวนนับท่หี าร 3n ลงตัวอยู่ 30 จํานวน แล้วจะมจี าํ นวนนับที่หาร 6n ลงตวั ทั้งหมดก่จี ํานวน 28. ถา้ มีจาํ นวนนับทหี่ าร 2n ลงตวั อยู่ 28 จาํ นวน และมจี ํานวนนบั ท่ีหาร 3n ลงตัวอยู่ 30 จาํ นวน แนวคแลดิ ้วจะมีจํานวนนับทีห่ าร 6n ลงตวั ท้ังหมดก่จี ํานวน 2n  26  33 3n แ3น4วคิด25 6n 22n62364  33  มี3n63144251  35 จํานวนทห่ี าร 6n ลงตวั 6n  26  34 ตอบ35มี จ6าํ นว1น4 1  35 จาํ นวนที่หาร 6n ลงตัว ตตออบบ 3355 จจ�ำาํ นนววนน



แบบทดสอบการแขงขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 107 คณะผูจดั ทํา ท่ปี รึกษา เลขำธกิ ำรคณะกรรมกำรกำรศึกษำขน้ั พื้นฐำน นำยชินภทั ร ภมู ริ ัตน รองเลขำธกิ ำรคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขั้นพื้นฐำน นำงเบญจลักษณ์ น�ำ้ ฟำ ผู้อำ� นวยกำรสำ� นกั พัฒนำนวตั กรรมกำรจดั กำรศึกษำ นำงพจมำน พงษ์ไพบูลย ์ ศกึ ษำนิเทศก์เชยี่ วชำญ ส�ำนักงำนเขตพน้ื ทก่ี ำรศกึ ษำประถมศกึ ษำกรุงเทพมหำนคร คณะรวบรวม / เรียบเรยี ง ชว่ ยรำชกำรสำ� นักพฒั นำนวัตกรรมกำรจัดกำรศึกษำ 1. นำยปรำโมทย์ ขจรภัย ศึกษำนเิ ทศก์ชำ� นำญกำรพเิ ศษ ส�ำนกั งำนเขตพ้นื ที่กำรศกึ ษำประถมศึกษำสงขลำ เขต 1 โรงเรียนสวนกุหลำบวทิ ยำลัย 2. วำ่ ท่ ี พ.ต.ไพโรจน ์ เอมวัฒน์ ส�ำนักงำนเขตพ้ืนทก่ี ำรศกึ ษำมัธยมศึกษำ เขต 1 โรงเรียนสำมเสนวทิ ยำลยั 3. นำยมำนติ ย์ จิรโกเมศ สำ� นกั งำนเขตพ้นื ที่กำรศกึ ษำมธั ยมศึกษำ เขต 1 โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษำ 4. นำงวรรณวิภำ สทุ ธเกยี รติ ส�ำนักงำนเขตพน้ื ทกี่ ำรศึกษำมธั ยมศกึ ษำ เขต 1 โรงเรียนสำยปญ ญำ 5. นำยไมตร ี ศรที องแท้ สำ� นกั งำนเขตพืน้ ที่กำรศกึ ษำมธั ยมศึกษำ เขต 1 โรงเรียนพระปฐมวิทยำลยั 6. วำ่ ที ่ ร.ต.วชั รสันต ์ อนิ ธิสำร สำ� นักงำนเขตพ้ืนทก่ี ำรศึกษำมธั ยมศึกษำ เขต 9 นักวิชำกำรศกึ ษำช�ำนำญกำร ส�ำนักพัฒนำนวัตกรรมกำรจัดกำรศกึ ษำ 7. นำงสำวภำวด ี สรุ ิยพันธ์ ุ นักวิชำกำรศกึ ษำชำ� นำญกำร สำ� นกั พฒั นำนวัตกรรมกำรจดั กำรศึกษำ ขำ้ รำชกำรบ�ำนำญ กระทรวงศกึ ษำธิกำร 8. นำงนิจวด ี เจรญิ เกียรตบิ วร ขำ้ รำชกำรบำ� นำญ กระทรวงศึกษำธิกำร 9. นำงรัชทติ ำ เชยกล่นิ ข้ำรำชกำรบำ� นำญ กระทรวงศกึ ษำธกิ ำร 10. นำยลออ เพิม่ สมบัติ รองผ้อู �ำนวยกำรโรงเรยี นวดั หวำยเหนียว “ปุณสิริวทิ ยำ” 11. นำยอดุ ม แคกระโทก สำ� นักงำนเขตพื้นที่กำรศกึ ษำประถมศึกษำกำญจนบุร ี เขต 2 12. นำงรชั นี นำคนคร ส�ำนักพัฒนำนวตั กรรมกำรจดั กำรศึกษำ ปก / รปู เลม่ 1. นำยประมุข ปญุ สริ ิ 2. นำยภำณุวิชญ ์ สโุ สภำ

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2554) : 108 คณะรบั ผดิ ชอบโครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล 1. นำงนจิ วด ี เจรญิ เกียตบิ วร หวั หน้ำกลมุ่ วจิ ัยและพัฒนำองคก์ รแหง่ กำรเรียนรู้ ส�ำนกั พฒั นำนวัตกรรมกำรจดั กำรศึกษำ 2. นำยปรำโมทย์ ขจรภยั ศึกษำนเิ ทศกเ์ ชยี่ วชำญ ส�ำนักงำนเขตพน้ื ท่ีกำรศกึ ษำประถมศึกษำกรงุ เทพมหำนคร ชว่ ยรำชกำรสำ� นกั พฒั นำนวตั กรรมกำรจดั กำรศกึ ษำ 3. นำงสำววรนุช ร่งุ เรืองเจริญกลุ นกั วิชำกำรศกึ ษำชำ� นำญกำร สำ� นกั พฒั นำนวตั กรรมกำรจดั กำรศึกษำ 4. นำงสำวมำลี กิตตอิ ดุ มเดช นักวชิ ำกำรศึกษำชำ� นำญกำร ส�ำนกั พัฒนำนวตั กรรมกำรจดั กำรศึกษำ 5. นำงรัชทิตำ เชยกลนิ่ นกั วชิ ำกำรศึกษำชำ� นำญกำร ส�ำนักพฒั นำนวัตกรรมกำรจัดกำรศกึ ษำ ……………………………………………….