เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 53-54

แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 49 19. กําหนด a,b,c เปนจํานวนจริง และถาระบบสมการเปนดังน้ี abc6 a 2  b2  c2  18 a b c4 แลว 9abc มคี า เทาใด แนวคิด a  b  c  6............... จาก  a 2  b2  c 2  18.............. a  b  c  4..............  a  b  c2  36 a 2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  36 2ab  2bc  2ca  36 18 2ab  bc  ca  18 ab  bc  ca  9 จาก   a  b  c 2  42 a  b  c  2 ab  2 bc  2 ca  16  6  2 ab  bc  ca  16  2 ab  bc  ca  10 ab  bc  ca  5  ab  bc  ca 2  52 ab  bc  ca  2 ab2c  2 abc2  2 a 2bc  25 2 ab2c  abc2  2 a 2bc   25  9  16    ab2c  abc2  a 2bc   16  8  2  abc b  c  a  8 abc  8 4 abc  8  2 4 abc  4 9abc  94  36 ตอบ 36

เสรมิ คิด...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2553) : 50 20. สุดหล่อเกดิ เดือนมกราคม เขาบอกเพอ่ื นว่าวนั เกดิ ของเขาเป็นพหุคูณของ 3 หรอื สอดคลอ้ งกับคําตอบ ของสมการ (x2  5x  6)3  (x2  9x  20)3  8(x2  7x 13)3 ถา้ ความนา่ จะเป็นที่เพอื่ น 20. จสตขถa2ะอ้าดุ2อแ0nท0งหบ2(นP.b22(xส.า0Sลว21021มยSE.)่อ10ค1..3กว1จสตขถเ.a4จสตดิขถ=กaันา5ะอ้าุดอแ=ะอ้าดุ=อจสตขถnแรดิaเx1ทจจสถถตตขถnงห1บ(นaaทกงหะPอา้ดุบ(1อb(นแเ3xสจสตขถ1P3ะะbอา้้าา้ดุ(ออnaxSลสแแดิดทวาbaงSหลnnบ(2{1นะวม3อา้ดุยอSททEPงแห2)bบบ(((1่อ1มx62นนยอืASสEเคn1)PPาbb3่อ1((Sลxxทสค1งหกววขบ(31าา)1นSS2ล,เ1กวPมน,ย14ววbE(ดิx)เ3ส22่อ1=11กัน4มาิดยยSSา4คEE1Sล5))3=กนัอ่113วา=กวคค5ม1112=331มเยSรE=ไดิ(กววเx4)n=ดิ111อ่1รดิ,1เ=คก1ันเxา144x3ดกดิดิก511กว==กันันกเ13=า(1(3155เ=434ริดดิ21ด==เx3Eิด้ถ1ร===baกนัx11ารดดิ{ิด5เเxxก3ba11,111{=3เ362า=)ือกก1ูกเ32ริด11เx62อืเ331ดดิ11331ขba5)1คก{,ด3นขิดิ,1ตaabb)1เ3,531{{น6,23ือ33เ4=า,3ด2มิด36622baือ4าเเ้อขมx{)133,ไ(น9ม,nขข6))6112อื30ไ,(,,เnน,,4xดางก,33x3ขxดก)441มาา,((0น14,33เไ((2เ(nม3E้ถร4x,42าปไไ(Eถ้x6ขรnnด9กx38,,,มา)xดด(กู(ก,2ไ(4)nา)2ูก็น,2((E้ถ((รx5442คxด23ก2EEถ้ถ้ตร5xxค,5บ((าต)1กู04=2,5,,2มE้ถรา))=xกููก,อ้22x5มค)2อ้อ9,xตba6555า)คกู932ตต6=ง,(5มx,กง5้อ==ค,x,,22xม1xตเ9,เอ้้อ5x61เ1=ปเ,99เ6ขง966ม002ปx้อx6ข9พมงง,915xx8เ)6เ็น,า,,00)112เเปง็3น,า6ข9ื่อ(x่อื2,3บปป6ข1991098เxบเ)10็น,า9นป.2)6ข93)2อ็็นน,,าba2ห2222)บ2อ3x31ba0).(ว็น,าบ3,11ก002(3,.xก)2อab่บาร.x10))1223อเเabab(12,เ33เกว7พ.ม2),(2อx58,,2พabกม583xัน122xเเ(่ือ(่อื,302ก,11เพอื่เ(.มือ่x,2x5800เพ)มม90x1น.เ5588เก9ข32น่อื(อื่.2ห,พ00มx2}อ่ืหือ่((581x,,.วxิดอ9.นวxx.9.8่ือ(3อ่ื,92น่าห...ร.xขงx่าร.22หห.)ว9x8นว7....,ว3.ว272.หอม,่าร.(x..2นัแมx.วa่าร.ร.30ันxxวง7..3.0,ล2.่าวเม77ร.)..0,,เ2แนั2x)มมแกข0330วข7ันว้.กxxข3,.}13320มลเล}ิด)..อ10ันxาดิอเก33)0ข300ะ.3ก้วขขขง3}Aเ71))ขง08ดิอ}}11)ปก3ข833ดิอออx3(}อ331ขงba(x)น็ดิอx8ขงงงa))x3ง8อ1(33เ2ขงแพอแ)aเ2แ(81ขเxแ0ง3aaขอลxปงลห(3ล23เ2แาลaแxาเ2ขงแแะ)แแ็น้ว,เุค7ะขล้ว3ลเ732แปแาลลมลลxปขูณาะ,x้วเลb71xล็นะะ4้้ววีคbถาเ7xปน็xขะป,้วพเ7า่า้xbแ5xน็พ1เปอbb1xxเน็เxคปห3ลป2ทพbห3x็นง21เพว)น็,ว้คุ1)เเป็น3,า่หุค33พา23ปป33ห13เูณ22ใ,)็น,มaณูคุป1,ห)34ดนน็็ถ,,123ุค43ถ33นข)ูณ,็น,,คุขห้า+,1ูณแ35,,34้าถแอ511า่ค44ณูอถขร,ล,ค1า้จลขงแ,,b45ถวอื้างอแแ้ว55วคขะ,้วอลาา้ค3แส5งลลาม3วอเงมaคว้วปลมอa้้ววาีคง3นวา3้วดนหม็+a่าห+ามaaา่3คน่ารทเมaหร+จนbทจอืห++ลb่า่ีเือนะร่าพห+่าะสจ้อรbมสเอืา่จbbใมเรือปะอ่ืองดจปคีอะสbคีือมกเสนดน็มมะา่ดเปน็อ่าสบัคีปอคมทเเคีคีคดน็ทเทปอ่าคด็นลทีคเี่า่่าลคทเ่ีเดพน็่าาํค้อทา่เเทพ้อลใทท่ีเตคทเอ่ืลงใีเ่พดา่่ืองท้อดพอา่ก่าลนอ้่ีเใกน่อืงพ่าใใดบับ้ออ่ืงับดดกใน่อืกงคนดบัคกนับาํ ําคับตคตําคอาํ อตําตบบอตอบอบบ 21. ถตแ2้า2นอ112บวA.2.1ค21.ิด12.ถตแ.,ถตแ1า้นอา้นอถตแ11ถตตแแบวA้าบนอวA2ถตแ้านนออคคบวAา้นอบบ2ววดิA2ดิค22บวA0คค,ดิ,102ค0ดิดิ122110,1ิด8121,,2119122,1111122122122202022022202020A002220008000280290000000229082000098289091202A9980222020920222292223222A8A000200222022220202A022222000002AA022209082029000002982222A00901022A000100002200A0220201200098222009000029080902221999009080A2200093112200AA982398000022000809812000A9902222000329990แ22208233222208890228ล002322022000222822221022012้ว2022010000002012000002222290022000009008222022202290289080202010002000A00009832000220211008002900902809089900200099020109990008000020แ02200902แ00800299929082022200098988800ล992122008ล9990แ02201080200199900แ้ว02221001902222ว้8ล01222900แ00220220388ล2202200222210280000122ว้812202181A8ล0900800311้ว20000020A02298300000002221ม2000222212้ว80000000220222908800A2298883002220022ีค009002A998833222900800922280122980002A98า่003012020000222029222200เ09802222299021100239988ท0100002222103021920002028202122988011022่า002202201098300020ม00002211302ใ22ม2900880080022010098180ด080คี1130002ีคม00000092822819ม8822า่2200099่า8888คี 00ม2เคี00229เ88ท่า220220222ทคี122่า00100เ่า2200900800า่เท009282001ใท00022022เ0000ใ1100ดา่009ท8ด22่า0090080019988ใ982200า่ใ00ด9800000ด098ใ009988ด20029898222 2222200002202202200002290080098000000009800998898

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 51 22. กําหนดให n เปนจาํ นวนเตม็ บวก ถา 255324  255316  25538 1 หารดวย 2n ลงตวั แลว n มคี า มากทีส่ ดุ เปนเทาใด แนวคิด จะได255324  255316  25538 1  (2553 1)2(2553 1)2(25532 1)2(25534 1)2(25538 1) ตอบ 13 2n  82  22  22  22  2  213 ดงั นน้ั n 13 23. ABC เปน รูปสามเหลี่ยม มี AB = 108 หนว ย BC = 1009 หนว ย CA = 1043 หนวย ถาเสนแบงครึ่งมุม แบบภายในตดั กันทจ่ี ดุ O แลว พื้นท่ีรปู สามเหลย่ี ม ABC เปน กีเ่ ทาของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม AOB แนวคิดท่ี 1 A พนื� ที� ABP BP AB พนื� ที� OBP === พนื� ที� ACP CP AC พนื� ที� OCP R พนื� ที� BAQ AQ BA พนื� ที� OAQ Q = == O พนื� ที� BCQ CQ BC พนื� ที� OCQ พนื� ที� CAR AR CA พนื� ที� OAR BP C === พนื� ที� CBR BR CB พนื� ที� OBR พน้ื ท่ี ABC = 20 เทา ของพนื้ ท่ี AOB แนวคิดที่ 2 จะได O เปนจดุ ศนู ยกลางของวงกลมที่แนบในรูป ABC พ.ท.AOB 1  r  AB พ.ท.ABC 2  1 2  r  AB  BC  CA   AB AB  BC  CA  108 2160 1 20  พ.ท. ABC  20 (พ.ท. AOB) ตอบ 20 เทา

เสรมิ คิด...คณิตศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2553) : 52 24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปน็ วงกลมที่สมั ผสั กับด้านของรปู ส่เี หล่ยี มดา้ น ขนาน ABCDและเสน้ ทแยงมุม BD ดงั รปู โดยที่ AB เปน็ เสน้ สัมผสั วงกลม P และวงกลม Q AD BD เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S P CD เปน็ เสน้ ตรงสมั ผัสวงกลม R และวงกลม S S กาํ หนดให้ พืน้ ที่วงกลม P และวงกลม R เทา่ กนั เทา่ กับ 4ตารางหน่วย Q และพน้ื ท่วี งกลม Q และวงกลม S เท่ากนั เทา่ กบั  ตารางหน่วย R ถ้า  ABCD มพี ้ืนท่ี a b ตารางหนว่ ย และ b เป็นจํานวนเฉพาะ B C แล้ว a  b มคี า่ เทา่ ใด แนวคดิ จากรูป วงกลม P , วงกลม R มรี ศั มี 2 หนว่ ย, วงกลม Q วงกลม S มรี ัศมี 1 หนว่ ย AG D PQ  PS  SR  RQ  3, หน่วย BQ  3 หน่วย F เป็นจดุ สมั ผสั บนดา้ น AB แล้ว BF  2 2 หนว่ ย P S G เปน็ จุดสมั ผสั บนดา้ น AD แล้ว BG  8 หน่วย R BFQ ~ BGA ทําให้ AD  4 2 หนว่ ย Q ABCD มพี ืน้ ท่ี 32 2 ตารางหนว่ ย F a  b  34 B C ตอบ 34

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 53 2255.. 25. AABBCCDADBเCปเปDน็ ็นทเทปรรง็นงเทหเหรลลงยี่ เ่ยี มหมสลสห่ียห่ี นมนส้าา้ม่หี มปีนปี รา้ รมิ มิ าปี าตรตริมรา99ต99ร999ล9ลูก9กู บบาลาศูกศกบก์หาห์ นศนกว่ ว่ ยห์ ยนโโดว่ ดยยทโทแี่ด่ีแตยต่ลท่ละแ่ี ะหตหนล่ นา้ะา้เหปเปนน็ ็นา้ รเรูปปู สน็ สารามปู มเสหเหาลมลยี่ เี่ยมหมดลด้าย่ี ้านมนเดทเทา้ า่ น่าเท่า ถถ้าา้ PPถAAา้BBCPC,A,QBQCAA,BBQDD,A,RBRADAC,CDRDAแCแลDละะแSSลBBะCCDSDBเCปเปDน็ น็ ทเทปรรง็นงเทหเหรลลงี่ยเี่ยมหมสลส่หียห่ี นมนสา้ า้ท่หี ที่แนี่แตา้ ตล่ท่ละ่ีแะหตหนล่ น้าะา้เหปเปนน็ ็น้ารเรปู ูปสน็ สารามูปมเสหเหาลมลยี่ เย่ี มหมดลด้าย่ี ้านมนเดทเทา้ ่านา่ซซเึ่งทง่ึถา่ถูกซกู ่งึ ถกู สสรร้า้างสงบบรนา้นงAบABนBCCDADBCแแDลลว้ ้วแทลทร้วรงงเทหเหรลลงยี่ เ่ยี มหมสลสห่ียห่ี นมนส้าา้ ี่หPนPQ้าQRRPSSQมRมปีSปี รรมิ มิ าปี าตรตริมรกาก่ลี ตลี่ กู รูกบกบา่ีลาศูกศกบก์หาห์ นศนกว่ ่วย์หยน่วย แแนนววคแคดินดิ วคิด AA A OO ODD D BB B TT T CC C SS S จจาากกรจรูปาูปกรOูปOSSO53S53OOAA53 OA ปปรริมิมาปาตรตริมราPPตQQรRRPSSQRS==53=5333ป53ปรรมิ3มิ าปาตรตรมิ ราAAตBBรCCDADBCD == =121227257512929795999999 ==4466=225456ล2ลูก5กู บบาลาศกู ศกบก์หาห์ นศนกว่ ่วย์หยน่วย ตตออบบตตออ44บบ,6,624245,56,622ล55ลูก ูกลบบูกาลาบศูกศำกบกศห์ าห์กนศน์หก่วว่นยห์ ย่วนย่วย 2266.. 26. ถถ้าา้ aถa,,b้าb เaปเ,ปb็นน็ จเจําปํานน็ นวจวนํานเนตเตว็มน็มบเบวตวก็มกบวก แแลละะนแนยิลยิ าะามนมดยิ ดังางันมนี้ ด้ี งั 1น1.ี้ . 1. aabbabbaaba 26 ถำ้ a, b เปน็ จ22ำ�..นว2น.เaตaม็ aบaaวกaa แแลaละะและ และนิยำมดัง3น3.ี ้ . 3. aabbaaabbbabbbaabaabba b ตแตแนอนอบวบวคตแ แ คแดินนอลดิแบววแว้ดลคคดล งัว้62ิดิดังว้น2แน4*้ัน4ดล ั้น1(326826งัว้ ...26 น* *ม*a46 *86((aัน้ 862ีค(86(a6*22(** 6*ำ่2)**+*a เ*b**8ม8ท6*86(8ม68=b2คี(46=่ำ2)คี4*)*า่)ใ)a*า่)ดbเ(*8ม 8ทเ==aแ6ท*คี4า่ ล)=*า่334)ใa==ะใด=เ=b =ดท=(=()224า่ ==4*ใ=23*4ด= 234= 4b64(4(26()42)(26(2a23*4*4=***(=4(26642()6))a*)2*+=244b46))))24 (2 * 4) = 4 ดังน้ัน 6 * 8 = 4× 6 = 24 ตอบ 24

เสรมิ คิด...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2553) : 54 27. มจี ํานวนเต็มบวก n ทัง้ หมดกีจ่ าํ นวนทีส่ อดคลอ้ งกับอสมการ (1)n9 49  1  1  1  1   99 27. แนมแ44ีจวน99าํควนิดคว11ิดน11เต(21็ม2บวก222)1n 3ทง้ั หม3ดก่ีจํา4นวนท4สี่ อด5คลอ้ งกับอnสม9การ n 10 4n (91)5n)n9...10 (3 2 3 1 3 )4( 43 1 54)( (919)n 9 ( n9  n 10 )  99   แน444ว999คิด111(11((1)n12)1)0n9(n n21010 939) 99( 3  4 )  ( 4  5) ...  (1)n9 ( n  9  n 10 )  99 4590(11)1n10(1n)n19 0 n 10100   99 4295001n(101)n1100,00n010  99 520490(n1)n190,99n0 10 100 แ25ต0่ 0n nเปน็ 1จ0าํ น1ว0น,0เต00ม็ คู่บวก ด2งั 4น90น้ั มnี n9,990ทั้งหมด 3,749 จาํ นวน ตแอตบ่ n 3เป,7น็ 4จ9ํานวจนาํ เนตวม็ นคู่บวก ดังน้ัน มี n ทั้งหมด 3,749 จาํ นวน 28. กตําอหบนดใ3ห,7้ 4x9,y,zจําแนลวะนw เปน็ จํานวนเตม็ บวก ถ้า 2(x4  y4  z4  w4)  (x2  y2  z2  w2)2  8xyzw  10373 28. กแาํลห้วนดxใyห้ yxz,y,zzwแลwะx wเปเปน็ น็เทจา่ ําในดวนเต็มบวก ถา้ แน2ว(คxดิ 4  y4  z4  w4)  (x2  y2  z2  w2)2  8xyzw  10373 จแาลกว้ 2x(yx4 yzy4 zwz4 wwx 4)เป็น(xเท2 า่ ใดy2  z2  w2)2  8xyzw  10373 จแะนแไวดนค้ วิดคิด จากx 2(yx4 zy4wxz4yw4z)w(x2xyy2zz2wwx2)2y8zxyzww 11031713 23 41 จะได้ ………………….. (1) x  yzw 1 x  y  z  wx  yxz ywzx w y11z  wx……y……z……w….. 1(2)11 23 41 xxyyzzww 123 ………………….. (13) xxyyzzww1411 ………………….. (24) (1) + (2) + (3); x3xyyzzw w2335 ………………….. (35) (4) + (5) ; 4xx y  z  w  41 = 7…6…………แ…ล…ว้ .. (x4)19, y  2,z  7,w 13 (1) + (2) + (3); =xy3xyzyzzwwwx35 3…8…+…1…4…+……91.. +(5)247 = 390 (4ต)อ+บ(5) 3; 90 4x = 76 แล้ว x  19, y  2,z  7, w  13 xy  yz  zw  wx = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 55 29. ตัวประกอบที่มีคา่ มากท่สี ุดของ n37  n ทกุ ค่าของ n ทเี่ ปน็ จํานวนเตม็ บวก มีค่าเท่าใด n6 แนวคิด n6 ตแตจnnวันะ3อ3ป7ไ7วบดรค้ะดิnnก25อ1บnn,38(ท(n7nี่ม50ีค11า่)7)(ม(nnา1ก311ท))(1ี่ส(nn9ดุ 22ขอ5111ง))8((7nnn02237เปnn็นnต11)วั)(ท(ปnnกุร22คะกา่ nnขออบง11ท))(ี่ม(nnnา44กททnn่สี ีเ่ 2ป2ุดน็1จ1))ํา((nนn66วนเnnต33็มบ11ว))(ก(nn6ม6 คีา่nnเ33ท่า1ใ1)ด)((nn1122 29.   1)   1) 30. ตจAหะอนBไบ่วCดยD้ E25416เ,3ป288น็750รหูปน7หว่้าย1เห3แลล1ยี่ ะ9ม3แ55น18บ88ใ7น0หวนงเป่วกย็นลตมตัวถปาา้มรรละะกํายดอะับบหท่าแมี่งลจา้วากรกทะจย่ีสดุ ะดุ หA่างไจปายกังจุดBCA, CD และ DE เปน็ 3293 ไปยงั BE เทา่ กบั ก่หี นว่ ย แนวคดิ 30. เปน็ รูปหา้ เหลย่ี มแนบในวงกลม ถ้าระยะห่างจากจุด A ไปยัง BC, CD และ DE เปน็ 3293 ABCDE หน่วย 4628 หนว่ ย และ 3588 หนว่ ย ตามลําดับ แลDว้ รAะRยะ~ห่างBจAาSกจแุดละA ไDปAยงัQ~BEBเทA่าPกบั กห่ี นว่ ย แนวคิด จะได้ AS  AP  AR  2553 หนว่ ย AQ DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP จะได้ AS  AP AR  2553 หน่วย AQ ตอบ 2,553 หน่วย ตอบ 2,553 หนว่ ย



การแขง ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ.2554 สาํ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนตน้ ระดับเขตพน้ื ที่การศึกษา ประจา� ปี พ.ศ. 2554



สา� กนาักรงแาขนง่ คขณันะทการงรวมชิ กาากรากรารระศดึกับษนาขานนั้ าพชน้ื าฐตาิ นปรกะรจะ�าทปรี วพง.ศศกึ. ษ25า5ธ4กิ าร แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น เพื่อการคัดเลือกตวั แทนนักเรยี นระดับพ้นื ท่ีการศึกษา ประจา� ปี พ.ศ. 2554 สอบวนั ท่ี 22 มกราคม พ.ศ. 2554 เวลา 9.30 น. - 11.30 น. ค�าช้แี จง 1. แบบทดสอบฉบบั น ้ี เปน็ แบบทดสอบชนดิ เตมิ ค�ำตอบ (ไมต่ อ้ งแสดงวิธีท�า) มีจำ� นวน 6 หน้ำ รวมเวลา 2 ชัว่ โมง 3. แบบทดสอบมีท้ังหมด 28 ขอ้ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบ่งเป็น 3 ตอนคอื ตอนที่ 1 ต้งั แตข่ ้อท ่ี 1 – 16 จำ� นวน 16 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 48 คะแนน ตอนที่ 2 ตั้งแตข่ อ้ ที่ 17 – 24 จ�ำนวน 8 ข้อ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 32 คะแนน ตอนท่ี 3 ตั้งแต่ขอ้ ท ี่ 25 – 28 จำ� นวน 4 ขอ้ ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน 4. กระดำษค�ำตอบม ี 1 แผน่ ให้นกั เรียนเขยี น ชือ่ -นำมสกลุ เลขประจำ� ตวั สอบ ห้องสอบ ชอ่ื โรงเรยี น สำ� นกั งำนเขตพน้ื ทก่ี ำรศกึ ษำประถมศกึ ษำ เขต ของนกั เรยี นใหค้ รบในกระดำษคำ� ตอบ 5. คำ� ตอบ แตล่ ะข้อทนี่ ักเรียนตอบ ต้องตอบลงในกระดำษค�ำตอบเทำ่ นน้ั และใหต้ รงกบั ขอ้ ค�ำถำม 6. คำ� ถำมข้อใดทีต่ อ้ งแสดงคำ� ตอบมำกกวำ่ หนึง่ ค�ำตอบ นักเรยี นตอ้ งตอบใหถ้ ูกทกุ ค�ำตอบ จึงจะไดค้ ะแนนในข้อนน้ั 7. ไมอ่ นญุ ำตให้ใช้เครือ่ งคดิ เลข โทรศัพท์ หรอื เครอ่ื งมืออิเล็กทรอนกิ ส์ใดๆ ในกำรค�ำนวณ 8. การตดั สนิ ของคณะกรรมการถอื เปน็ ขอ้ ยตุ ิ แบบทดสอบฉบบั น ้ี เป็นลิขสิทธิ์ของ ส�ำนกั งำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขัน้ พนื้ ฐำน กระทรวงศกึ ษำธกิ ำร หา้ มเผยแพร่ อา้ งองิ ตดั ต่อ ดดั แปลงหรอื เฉลย กอ่ นได้รบั อนญุ าต

เสรมิ คดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดับเขตพืน้ ทีก่ ารศกึ ษา ป 2554) : 60 ตอนที่ 1 ตง้ั แตข่ อ้ ที่ 1-16 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. จากรูป OPQR เป็นรปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน O เปน็ จุดกําเนดิ R มีพกิ ดั จุดเปน็ (5,0) y และ Q มพี ิกัดจดุ เปน็ (8, 4) ถา้ P มีพกิ ดั จดุ เป็น (a,b) P(a,b) Q แล้ว a  b มคี า่ เท่าใด x OR 2. กาํ หนด a  23  32  7 และ b  3 72 11 ถ้า p เปน็ ห.ร.ม. ของ a กับ b และ q เป็น ค.ร.น. ของ a กบั b แลว้ p  q มคี า่ เทา่ ใด 3. a เปน็ จํานวนนบั ท่มี ากกวา่ 1000 และ b มากกวา่ a อยู่ 543 เมือ่ พิจารณา (a,b) ใด ๆ แลว้ พบว่า (1002,1545) เปน็ คู่อนั ดบั แรก ที่มี ห.ร.ม. ของ 1002 และ 1545 เปน็ 3 (1005,1548) เป็นคอู่ นั ดับทส่ี อง ท่มี ี ห.ร.ม. ของ 1005 และ 1548 เปน็ 3 ถา้ (a,b) เปน็ คอู่ ันดับท่ี 5 ทมี่ ี ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 3 แล้ว a  b มีค่าเท่าใด 4. ผลบวกของจาํ นวนนับท้ังหมดที่หาร 2040 และ 2376 ลงตวั มคี ่าเท่าใด 5. ถา้ 4111111  4414414  4616616  4999998  a แลว้ เลขโดดในหลักหนว่ ยของ a เปน็ เท่าใด 6. ถ้านาํ จํานวนคี่ 1 ถึง 17 ใสล่ งในตารางมหศั จรรยข์ ้างล่าง โดยใหผ้ ลบวกแนวนอน แนวตัง้ และแนวเส้นทแยงมุมเทา่ กนั แล้ว x มคี ่าเท่าใด 1 5 13 x

7. จากรูป มีรปู สเ่ี หล่ยี มจตั ุรสั กรี่ ูป แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 61 8. จากรปู ถา้ ตวั เลขและตัวอกั ษรทีเ่ ขยี นกาํ กบั ไวเ้ ป็นค่าของมุมของรปู หลายเหลย่ี มมีหนว่ ยเปน็ องศา แลว้ a  x มีค่าเทา่ ใด 2x a 2x 3x 4x 3x 3x 3x 9. จากรปู ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากมมี ุม C เป็นมมุ ฉาก มี AC  6 หนว่ ย , BC  8 หน่วย O เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมท่มี ีด้าน AC และ BC เปน็ เสน้ สมั ผสั r เปน็ ความยาวของรศั มขี องวงกลม O a a ถ้า r  b แลว้ a  b มีคา่ เทา่ ใด (กําหนดให้ b เป็นเศษสว่ นอยา่ งตา่ํ ) A Or BC 10. 10101012 2 เม่ือทําเป็นผลสาํ เรจ็ ในรปู ตวั เลขฐานสอง แลว้ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะมีเลข 1 ทง้ั หมดกี่ตัว 11. จากรูป B ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มี B เป็นมมุ ฉาก 12 และ D เปน็ จดุ ก่ึงกลางของด้าน AC 48 5 ถา้ AB  48 5 หน่วย และ BC  12 หน่วย C แล้ว BD เทา่ กับกีห่ น่วย AD 12. จากรูป ABCD เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมผนื ผา้ กาํ หนดให้ AD  a หนว่ ย CD  2a 10 หน่วย DC   45 องศา ADG AG FB และ ED  15 2 หน่วย ถา้ EF  GE แลว้ a มคี า่ เทา่ ใด E 13. นางสาวสาวกิ าเลี้ยงเป็ดไว้จาํ นวนหนงึ่ ปรากฏวา่ เปด็ เปน็ โรคไข้หวัดนกตายไป 100 ตวั และอีก 200 ตัว ถูกนําไปกาํ จัดทงิ้ ถ้าขณะน้เี หลือเปด็ น้อยกว่า 430 ตวั แลว้ เดมิ สาวิกาเลย้ี งเป็ดมากที่สุดกี่ตวั 14. เส้นตรง 3x  4y  12 ตัดแกน x ท่ีจดุ A และตดั แกน y ทจ่ี ดุ B ถ้า O เป็นจุดกําเนิด แล้ว พน้ื ที่ OAB เทา่ กบั ก่ตี ารางหน่วย

D C กาํ หนดให้ AD  a หน่วย CD  2a 10 หนว่ ย 12. จเสากรADมิรูปคดิ A..B.คCณDGติ ศเปาน็Eสรตปู รส เี่รหFะลดีย่ บั มมผัธนื ยผBมา้Cศึกษาตอนตกถน าํา้ ห(รนEแะดลดFใะหับA้เCEขDAGDตDGDEพน้ืแ21ท4aลa5่ีก5ว้ าหอ2รa1นศง0่วศหึกมยานษหีคว่นา่ายเ่วทปย่า ใ2ด554) : 62   45 องศา ADG 13. ถนูกาAงนสาํ าไวปสกาําวจิกัดGาทเลง้ิ ้ยี งถEเ้าปข็ดณไวะF้จนาํ ้เี นหวลนือหเปนB็ดงึ่ นอ้ปยรกากว่าฏว4่า3เ0ปถด็า้ตเัวปEแ็นแลFโลระค้วเไEดขGDมิห้ Eสวาดั วแ1นิกล5กาว้ ตเลา2aย้ียงไหมปเปนีค1็ด่วา่ 0ยมเท0าา่กตใทดัวส่ี ุดแกลีต่ ะัวอีก 200 ตวั 14. เส้นตรง 3x  4y  12 ตัดแกน x ทจี่ ุด A และตดั แกน y ท่ีจดุ B 13. นถาา้ งสOาวเสปา็นวจกิ ดุ ากเลํา้ียเนงเิดป็ดแไลวจ้้วําพน้นืวทนห่ี นO่งึ AปBราเกทฏ่าวกา่ บั เปก็ดต่ี เาปร็นางโรหคนไว่ ขย้หวดั นกตายไป 100 ตวั และอกี 200 ตัว ถูกนาํ ไปกาํ จัดทิ้ง ถา้ ขณะน้เี หลือเปด็ น้อยกวา่ 430 ตัว แลว้ เดมิ สาวิกาเล้ียงเปด็ มากทีส่ ดุ กี่ตวั 15. ถา้ a2(a  5)  a(a 19)  2(a2 10) แยกตวั ประกอบไดเ้ ปน็ (a  5)(a  b)(a  c) 14. เเสมน้่ือตbรง แ3ลxะc4เyป็นจ1าํ2นตวนดั นแกบั นแลxว้ cทจี่ุดb Aมีคแา่ ลเทะา่ตใดั ดแกน y ท่ีจดุ B ถา้ O เป็นจดุ กาํ เนดิ แลว้ พืน้ ท่ี OAB เท่ากับก่ีตารางหน่วย 1156.. ถถา้้า aA2(a9852)919a02(0a2 129)แล2้ว(a202 101A0)มีคแ่ายเกทตา่ ใวั ดประกอบไดเ้ ป็น (a  5)(a  b)(a  c) เม่ือ b และ c เปน็ จํานวนนับแลว้ c  b มคี า่ เทา่ ใด 2x  y ตอนท่ีA56x 2แ4ลต้วแงั้ 2ลแ0ว้ ต10่ข8Aอ้1 ทมxคี ่ี า่1เมท7ีค่า-ใา่2ดเท4า่ ใขดอ้ ละ 4 คะแนน 1167.. ถถ้าา้  7 แ9ล9ะ2 56 y 982  1002  2 18. สําหรบั จาํ นวนจริง a, b ใด ๆ กําหนด2 ay b   a  b  1   2  x 17. ถถา้ า้ 5x6x (7x แล1ะ25) 6yx เ4มือ่ แลว้x 8เป1น็ จxาํ นวมนคี จ่ารเงิทใ่าดใดๆ แล้ว x มีคา่ เทา่ ใด 1189.. สกแําลําหหะรนผบั ดลจใตาํหน่า้ งจวขํานอนจงวรสนิงอนงaบั เท,สbา่อขงใอจดงาํ จๆนําวนนกวมํานหีผมนลาตดกา่ กงบัขaอจาํงกนําวbลนงันส้ออยงaเขปอ็น2งbจแําตน่ล1วะนจเําฉนพวานะเป็น 75 ถถ้า้า mx แล(ะx n เ1ป2น็ )จํานxวนเนมับื่อสอxงจาํเปน็นวนจาํทนี่ วmนจ>ริงnใดแลๆว้ แmล้ว+x2nมคี ม่าคี เทา่ เา่ ทใด่าใด 19. กําหนดให้ จํานวนนบั สองจํานวนมผี ลตา่ งของกําลังสองของแตล่ ะจํานวนเปน็ 75 และ ผลต่างของสองเท่าของจาํ นวนมากกับจาํ นวนน้อยเป็นจํานวนเฉพาะ ถ้า m และ n เปน็ จาํ นวนนับสองจาํ นวนที่ m > n แล้ว m + 2n มคี า่ เท่าใด 20. ถ้า f (x)  ax4  bx2  7x  9 และ f (7)  2011 แลว้ f (7) มคี ่าเท่าใด 21. สุ่มหยบิ สลากทม่ี ีจาํ นวนนับตั้งแต่ 1 ถงึ 2020 เขยี นกาํ กับไว้ ใบละ 1 จํานวน มา 1 ใบ a ถ้าความน่าจะเป็นทไี่ ดส้ ลากทจ่ี าํ นวนน้นั ยกกาํ ลังสามแลว้ หารดว้ ย 3 ไมล่ งตัว เท่ากบั b โดยท่ี b  0 และ ห.ร.ม. ของ a กบั b เท่ากบั 1 แลว้ a  b มคี ่าเทา่ ใด 22. รูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั มดี า้ นทเี่ ท่ากันยาว 5 หนว่ ย ฐานยาว 6 หน่วย แนบในวงกลม ถ้ารัศมขี องวงกลมเท่ากบั R หน่วย แลว้ 8R เทา่ กบั กี่หนว่ ย 23. ให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั มีด้านยาวดา้ นละ 10 หนว่ ย โดย E,F,G และ H เปน็ จุดกง่ึ กลางด้านแตล่ ะด้าน แล้วสร้างรปู สเ่ี หลย่ี ม EFGH การกระทําน้เี กดิ ขึน้ ซ้ํา ๆ ดงั รูป ถ้าผลบวกของความยาวเส้นรอบรปู ของรปู สเี่ หล่ยี มจตั ุรัสทงั้ หมดเทา่ กบั 70  a 2 หนว่ ย เม่ือ a เปน็ จาํ นวน ตรรกยะแลว้ a มคี า่ เท่าใด A EB

ถา้ ความนา่ จะเป็นท่ไี ดส้ ลากทจ่ี าํ นวนน้ันยกกําลงั สามแลว้ หารด้วย 3 ไม่ลงตวั เท่ากบั a b โดยที่ b  0 และ ห.ร.ม. ของ a กบั b เท่ากบั 1 แลว้ a  b มีค่าเท่าใด แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 63 22. รูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั มีด้านทเ่ี ท่ากนั ยาว 5 หน่วย ฐานยาว 6 หน่วย แนบในวงกลม ถา้ รศั มขี องวงกลมเท่ากับ R หนว่ ย แลว้ 8R เท่ากบั ก่หี น่วย 23. ให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลี่ยมจัตุรัส มดี ้านยาวด้านละ 10 หนว่ ย โดย E,F,G และ H เป็นจุดกึง่ กลางด้านแต่ละด้าน แลว้ สรา้ งรปู ส่เี หลี่ยม EFGH การกระทํานีเ้ กิดขน้ึ ซํ้า ๆ ดงั รปู ถ้าผลบวกของความยาวเสน้ รอบรปู ของรปู ส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสทงั้ หมดเท่ากับ 70  a 2 หน่วย เมอื่ a เปน็ จาํ นวน ตรรกยะแล้ว a มคี ่าเทา่ ใด A EB I NJ Q R HM OF T P S L K DGC 24. ถุงใบหนงึ่ มลี กู หิน สแี ดง 5 ลกู และ สีขาว 3 ลูก หนดู ีหยิบลูกหนิ 2 ลูกอยา่ งสุ่ม โดยหยิบทีละลกู แลว้ ไมใ่ สค่ นื กอ่ นหยิบลกู ใหม่ a a ถา้ ความน่าจะเป็นท่จี ะได้ลกู หินสีแดงท้งั สองลูกเป็น b เมื่อ b เปน็ เศษส่วนอย่างตาํ่ แลว้ a  b มีค่าเทา่ ใด ตอนท่ี 3 ตั้งแตข่ อ้ ที่ 25-28 ขอ้ ละ 5 คะแนน 25. จากรปู ถ้า  ,   30 และ  A B D  A D B  20 CBD C A D  40 A แล้ว  มีขนาดกีอ่ งศา BDC B FD C 26. กาํ หนด 9x2  25 y2 = 61 และ xy 15xy  y  30 (1  x)2 (1  y)2 1 x จงหาผลเฉลย (x, y) ทง้ั หมดของสมการท่ที ําให้ xy เป็นจํานวนเต็ม 27. ถา้ a  20 3 16 16  20 3 4  31 และ a เป็นจาํ นวนนบั แล้ว a มคี า่ เท่าใด 28. ABCDE เป็นรูปหา้ เหล่ยี มมี   และ  ABC  AED  90, A C B  A C D A D C  ADE

C 26. กเาํ สหรนิมดคิด(1..9.คxณx2)ิต2 ศา(ส12ต5รy yร2)ะ2ด=ับ6ม1ัธยมแศลกึะษxาyตอ11น5ตxyนx (ระดับเข3ต0พื้นทก่ี ารศกึ ษา ป 2554) : 64 y จงหาผลเฉลย (x, y) ทงั้ หมดของสมการท่ที าํ ให้ xy เป็นจํานวนเต็ม 27. ถ้า a  20 3 16 16  20 3 4  31 และ a เปน็ จาํ นวนนบั แลว้ a มคี า่ เทา่ ใด 28. ABCDE เปน็ รูปหา้ เหลยี่ มมี   และ  ABC  AED  90, A C B  A C D A D C  ADE ถ้า AC  65 หน่วย CD  138 หน่วย และ AD  119 หน่วย แล้วรูปหา้ เหลยี่ ม ABCDE มพี น้ื ทก่ี ีต่ ารางหน่วย AE B 65 119 C 138 D ***********************************

การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�าปี พ.ศ. 2554 ส�านกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนตน้ เพอ่ื การคัดเลอื กตัวแทนนักเรยี นระดับเขตพ้ืนทกี่ ารศกึ ษา ประจา� ปี พ.ศ. 2554 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศำสตรฉ์ บบั นี ้ เป็นลิขสิทธิ์ของ ส�ำนกั งำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขนั้ พ้ืนฐำน กระทรวงศึกษำธกิ ำร ห้ามเผยแพร่ อ้างอิง ตัดต่อ ดัดแปลงหรอื เฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

เสริมคิด...คณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ระดับเขตพนื้ ทีก่ ารศกึ ษา ป 2554) : 66 1. จ1า. กจราูปกรOปู POQPRQRเปน็ เปรูป็นสรูปเี่ หสล่เี หี่ยมล่ยีดมา้ นดขา้ นนขานนาOน Oเปน็ เปจน็ดุ กจุดําเกนําดิ เนดิ R Rมพี มิกพีัดิกจุดัดเจปุด็นเป(น็ 5,(05),0) y และแลQะ Qมพี มกิ ีพัดิกจดุดั เจปดุ ็นเป(็น8,(48), 4) y P(a,b) Q แถล้าว้แถPลา้ aว้ Pมaีพbมิกีพดั มbิกจคี ดุดั ม่าเจเีคปทดุ า่ น็่าเเปใทด(น็า่ aใ,ด(ba),b) P(a,b) Q O R x O R x แนแแวนนควิดวคคดิดิ จากจราปูกรปู y a abb33447 7 y P(3,4) Q(8,4) P(3,4) Q(8,4) O(0,0) R(5,0) x O(0,0) R(5,0) x ตอตบอบ7 7 2. 2.ถกา้าํ หถกpน้าําหดเpนปaด็นเปaหน็ 2.ร3ห.2ม.ร3.3.มข2อ.3งข27อaงแ7กลaับะแกลbับะb แbbล3ะแล3q7ะ2เq7ป21น็ เ1ปค1็น.1รค.น.ร..นขอ. งขอaง กaับกbับ แbลว้แลpว้ pq มqคี ม่าเคี ทา่ ่าเใทดา่ ใด แนแวนควดิ คิด p p33772121 q q 23233232727211113838808808 ดงั นด้นังั นนั้ p p qq 38388088082121 ตอตบอบ3883289829  3838828929

แบบทดสอบการแขงขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 67 5. ถำ้ 4111111 + 4414414 + 4616616 + 4999998 = a แล้วเลขโดดในหลกั หน่วยของ เปน็ เทำ่ ใด แนวคดิ ใชแ้ บบรปู 4111111 มหี ลกั หน่วยเปน็ 1 4414414 มหี ลกั หนว่ ยเป็น 6 4616616 มหี ลักหนว่ ยเป็น 6 4999998 มีหลักหน่วยเป็น 1 เลขโดดในหลกั หนว่ ย ได้จำกกำรน�ำเลขโดดแต่ละตวั มำรวมกัน จะไดเ้ ลขโดดในหลกั หนว่ ย เปน็ 4 ตอบ 4

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพนื้ ทีก่ ารศกึ ษา ป 2554) : 68 6. ถ้านําจํานวนค่ี 1 ถึง 17 ใสล่ งในตารางมหัศจรรย์ข้างลา่ ง โดยให้ผลบวกแนวนอน แนวตัง้ และแนวเสน้ ทแยงมมุ เทา่ กัน แลว้ x มีค่าเทา่ ใด 6. ถ้านาํ จํานวนค่ี 1 ถงึ 17 ใส่ลงในตารางมหศั จรรย์ขา้ งล่าง โดยใหผ้ ลบวกแนวนอน แนวตง้ั และแนวเสน้ ทแยงมุมเท่ากนั 1แล้ว x มีคา่ เท่าใด 6. ถแา้ลนะําแจนําวนเสว้นนทค่ีแ1ยงถมึงุม1เx57ทา่ ใกสันล่ งใแน1ลต้วารxางมม1คี3ห่าัศเจทรา่ รใยดข์ ้างลา่ ง โดยให้ผลบวกแนวนอน แนวต้งั 6. ถแ้าลนะําแแจนนําวนวเสวแคน้นนิดทควผ่ีแค1ลยิดบงถมวงึ มุก1เ7ท9่าใกจสันาํ่ลนงใวแ5นx5นลต้ว1า,รxา3ง,มม15ีคห,่าัศ7เจท,ร่า9รใ,1ยด113์ข31า้ ,ง1ล3า่ ,ง15โ,ด1ย7ให้ผลบวกแนวนอน แนวต้งั ผมจแผมจมแจะลีคะะถถลีคีคไบ่าไไววบ่า่าดเดดวททเเทว้ผทท้ผ้ผก่ีกี่ลา่ ลลา่่าx522กบ9กกบบ9บั วับับววกจกกจ9ขํา99ขขาํ55น2อน22ออวงวงง1xแน115แแcน8ต3388ตต11ล่111ล่ล่,ะ,ะะ3แ993แแ,ถ,1ถถ5ว5319วว,ห,22หห7ร777รร,ือ,ือือ9แ9แแ,ต,ตต11่ล1b่ล่ล13ะ1,ะะ,ห1หห1ล3ลล3กั,กััก,1ห1หห5ร5รร,ือ,ืออื 1แ1แแ7ต7ตต่ลหเเล่่ลตตะละะมมิิ แกัแแ นทนนวี่ ววเเเสสส้น้น้นท191ททแ 7 แแ ย ยย ก งใงงแม่งึนมมลกมุหมมุุะลเลเเแทำททกันาง่ าา่่ทตกวกกีส่ำทบั ับบั รอแำ2งย22ง7แง77ถวท่ี 3 แนวคิด แนวคิด แนวคดิ ผลบวก 9แถจวําทนี่ ว2น  53,51,cx37, 9 117112,713, 15ba, พบวำ่ c + x = 22 1, 9, b + x = 18 17 มีค่าเท่ากับ 92  81 c5 19 b13 c - b = 4 แจะถไวดทผ้ ่ี ล2บวแกต ข5่ อง1แ3ต่ลccะ 9+=แถ b1ว55 x2ห=7ร 2ือ6แต1ล่97ะหลักห1รa3ือแตล่ ะแนวเส้นทแยงมมุ เทา่ กับ 27 ถถดา้้าังนxxัน้ == c xจจ =ะะไ ไ2ดด1x7้้ จ a-ะ 2ได01้1 =ab77ซ่ึงเ3ป็น, ไbปaไม1ไ่ ด1้ 9 และ 9 อยูต่ รงกลางของตาราง ดงั น้ัน x9 7 เปน็ ไปได้ ตอบตอ7บดถถด้าา้ังงั น7นxxัน้ ้นั ==x5xx97จ7จ7ะะไไ1ดด79้้ จaะได1้ a1aซ3่งึ เ3ปน็ , ไbปไม1ไ่ ด1้ และ 9 อยตู่ รงกลางของตาราง ดังนน้ั เป็นไปได้ x9 ถถต7า้า้ อ. บxxจ==า7ก97รปู จจะะมไไดดีรู้้ปจaสะเี่ไหด1ล้ ่ยีaมซจง่ึ เตั3ปุรน็ ัส, ไกbปรี่ ไูปม1่ได1้ และ 9 อยู่ตรงกลางของตาราง ดังนั้น x9 เปน็ ไปได้ ตอบ 7 ด7งั.นนั้ จาxกรูป7 มีรูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ ัสกร่ี ปู แนวคดิ 1. มี รปู ส่เี หลยี่ มจัตรุ ัสท่ีมคี วามยาวด้านละ 1 หนว่ ย = 16 รูป แนวคดิ 2. มี รูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรัสท่ีมคี วามยาวด้านละ 2 หนว่ ย = 9 รูป 13..มมี ีรรปู ูปสส่เี ่ีเหหลลยี่ ย่ี มมจจตั ัตรุ ุรสั ัสทที่มม่ี คี คี ววาามมยยาาววดดา้ ้านนลละะ13หหนนว่ ่วยย == 146 รรูปูป 7. จากรปู มรี ปู สเ่ี หล่ยี มจตั ุรัสกร่ี ปู 24..มมี ีรรูปปู สสีเ่ ่เีหหลลย่ี ย่ี มมจจัตัตรุ รุ สั ัสททีม่ ีม่ คี คี ววาามมยยาาววดด้าา้ นนลละะ24หหนน่วว่ ยย == 91 รรูปปู แนวคิด 1. มี รรปูปู สสต43เ่ี่เีตหห..ออมมบลลบีียยี่่ี รรมม3ูปปู 3จจ0สส0ตัตั ีเ่ีเ่ รุุรหหรรสััสปูลลูปททยย่ี่ี ่ีมม่ีมมคคีีจจววัตัตาาุรุรมมัสสั ยยททาา่มีม่ี ววคคีี ดดววา้้าาานนมมลลยยะะาาวว12ดดหหา้า้ นนนนลล่ว่วยยะะ 3 หน่วย = 4 รปู 2. มี 4=หน16่วย รปู= 1 รูป = 9 รปู 3. มี รปู สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสท่มี คี วามยาวด้านละ 3 หน่วย = 4 รปู 4. มี รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทมี่ คี วามยาวด้านละ 4 หนว่ ย = 1 รปู ตอบ 30 รปู

แบบทดสอบการแขง ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 69 8. จากรปู ถา้ ตัวเลขและตัวอกั ษรท่ีเขียนกาํ กับไว้เปน็ คา่ ของมุมของรปู หลายเหล่ียมมหี นว่ ยเป็นองศา 8. แจแาลลก้วว้ รูปaaถ้าxตxัวม2มเลีคxคี ข่าา่ เแเททลา่ ะา่aใใตดดัวอกั2ษxรทเี่ ขียนกาํ กับไวเ้ ป็นค่าของมุมของรปู หลายเหล่ยี มมหี น่วยเปน็ องศา 3x2x 2x3x 4x a แนวแคนดิ วคดิ 3x 3x4x 3x 3x รูปเจ็ดเหล3่ียxมมมุ ภ3าxยในรวมกันได้ แนวคิด รูปเจด็ เหลยี่ มมมุ ภายในรวมกนั ได้ 4(3x)  2(2x)  4x  180(7  2) x  45 4(3x) a2(23x6)044xx118800(7  2) a  xx 42525 ตอบตอ2บ25225อ งอศงาศำ a  360  4x  180 a  x  225 ตอบ 225 องศา 9. จากรปู ABC เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากมมี ุม C เปน็ มมุ ฉาก มี AC  6 หน่วย , BC  8 หน่วย จOถOาา้ กเรเปrปปู น็ ็นจจbaุดดุ AศศBนูแนู ลยCย้วก์ ์กลเลaปาาง็นงขขรbอปูองงสววมางงมคีกกเ่าลลหเมทมลทา่ท่ยี มี่ใมA่มี ดดี มีดา้ มุ้า(นนกฉาําAหกACนมCมีดมุใแแหลล้Cะะba BเBปเCปCน็ ็นมเเเมุปศปฉ็นษ็นาเสเสกส่วน้ น้นสมสอัมี ัมยผA่าผสังCสั ตrํา่r) 6เปห็นนคว่วายม,ยาBวCของร8ศั มหีขนอว่ งยวงกลม 9. เปน็ ความยาวของรศั มีของวงกลม O O ถา้ r  a แลว้ a  b มคี ่าเทา่ ใด (กําหนดให้ a เปน็ เศษสว่ นอย่างตํ่า) b A b Or BO r C แนวคดิ A แนวแคนดิ วคิด B ให้ COM  ON  r หนว่ ย B A ใพหื้น้ Oที่MABOCN12r ห6น่ว8ย 24 ตารางหนว่ ย B Or พพลพลาืน้้นื า้ืนกททกท่ี่ี O่ี OCBACBOBOจจC12CะCะไไดดr้ พ้12พ้ืนนื้B6BททO6Oี่ ี่ C1C28AAOแOแrลCล2Cะะ48ต2A2Aา42O4รO4าCCงหนว่ ย Or M ตอบ 31 ตอบตอ3บ1 31 N M C C 1  r  6  1  r 78r 2244 N 2 2 24 274 7rr  ra  2244 b 77 a  b  24 a72341 b7 a  b  24  7  31

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพืน้ ทก่ี ารศึกษา ป 2554) : 70 10. (10101012)2 เม่อื ท�ำเป็นผลส�ำเรจ็ ในรูปตัวเลขฐำนสอง แลว้ ผลลัพธ์ทีไ่ ด้จะมีเลข 1 ทง้ั หมดกต่ี วั แ10น.วคิดแแ1 น0น1ว.ว0คค1ดิ ดิ01011 1 102011 02 10เ1ม2ื่อ1 112ท000ํา เปเมน็ ่อื ผทล1ํา 0111ส10เ0000ปาํ0 เ็นร11ผ็จ01ใล01นส00รํา11111111101ูป1เ0ร010000000ต0111็จ วั00ใ0เน1ล1111รข01000111ปู11ฐ0000ต0า111111111น1วั 010000เ00ส1 ล1111อข0000งฐ111า1แ11น10ล00ส11101ว้ อ0000ผง ล111ลแัพลธว้ ์ทผ1111ไี่ล ดx ล จ้ พั ะธมท์ เี ลไ่ี ดข้จ1ะมทเี ล้งั ขหม1ดกทตี่งั้ หัวมดกตี่ วั 10 110011 10001001100110100111 00 1 ตอบ 7ตตออบบ 77 11 111.1จ. ากจ1รำ1ูปก.รจูปากรปู B ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยม มี B เป็นมมุ ฉาก B ABC เแปล็นะรปู Dสาเมปเ็นหจลุด่ียกมงึ่ กมลี าBงขเอปง็นดมา้ ุมนฉาAกC 48 5 และ Dถเา้ ปน็AจBดุ กง่ึ 4ก8ลาง5ขอหงนด่ว้ายน แAลCะ BC  12 หน่วย 48 5 12 ถา้ ABแล้ว48BD5 หเทน่าว่ กยบั กแลี่หะน่วBยC  12 หนว่ ย 12 แลว้ BD เท่ากับกห่ี น่วย AD C AC 2  (48 5)2  122  122 (42  5  1)  122  81 A แนวคิด D C AC 2  (A4C8 51)02 8 122  122 (42  5  1)  122  81 แนวคดิ B AC ล1า0ก8BD ต่อไปทาง D จนถงึ E โดยท่ี ED = BD A D B ลาก BDจตะไอ่ ดไ้ปทABางCEDเจปนน็ ถรงึูปสEี่เหโดลย่ียทม่ี ผEนืDผ=้า BD A D จะได้ AจBุดCEDเปแ็นบร่งูปคสร่เีงึ หลAีย่ Cมผืนผา้ 12 จุด D จแะบไง่ ดค้ รDง่ึ AเปC็นจดุ ศูนย์กลางวงกลม 12 จะได้ Dทม่ี เปีรูปน็ สจาดุ มศเูนหยล์กย่ี ลมางAวBงกCลมแนบใน ทีม่ รี ปู สาจมะเไหดล้ ยี่DมA ABDCB แนDบCใน 54 หนว่ ย C จะได้ DA  DB  DC  54 หน่วย C E E ตอบ 54 หนว่ ย ตอบ 54 หนว่ ย

แบบทดสอบการแขง ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 71 12. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กาํ หนดให AD  a หนวย CD  2a 10 หนวย DC  AG FB ADG  45 E และ ED  15 2 หนวย ถา EF  GE แลว a มีคา เทาใด แนวแคนิดวทค่ี 1ดิ ท่ี 1 D 2a  10 C 45 45 a 2a a A a 45 G 45 10 45 F 45 aB จะได x 9E0 x  จาก    ADG  45 AGD  45  EFG  FGE และ GF  10 ดงั นน้ั EG2  EF 2  102 2x2  100 x5 2 DG  DE  5 2  15 2  5 2  10 2 DG  2a  a  10 ตอบ 10 หนวย แนวแคนิดวทค่ี 2ดิ ที่ 2 CED เปน รปู สามเหลยี่ มมุมฉากหนาจั่ว CD2  CE 2  ED2  (15 2)2  (15 2)2  152  4 2a  10  30 ตอบ 10 หนวย a  10

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ระดับเขตพน้ื ทกี่ ารศึกษา ป 2554) : 72 13. นางสาวสาวกิ าเลยี้ งเป็ดไวจ้ าํ นวนหนงึ่ ปรากฏวา่ เปด็ เปน็ โรคไข้หวัดนกตายไป 100 ตัว และอีก 200 ตวั 13. นถาูกงนสําาไวปสกาําวจิกัดาทเล้งิ ี้ยงถเา้ปข็ดณไวะจ้ นําเี้นหวลนือหเปนด็ง่ึ นป้อยรากกวฏา่ ว4า่ 3เป0็ดตเัวปน็ แโรลคว้ ไเดขิม้หสวดัาวนิกกาตเลายย้ี ไงปเป1ด็ 0ม0ากตทัวีส่ ดุแกลตี่ะวัอกี 200 ตวั แนวถแคกูนิดนวาํคไดิ ปกาํ จดั ทิ้ง ถ้าขณะน้เี หลอื เปด็ น้อยกวา่ 430 ตัว แล้วเดมิ สาวกิ าเล้ยี งเป็ดมากทส่ี ดุ กต่ี วั แนวคใหดิ ส้ าวิกาเล้ยี งเป็ด x ตัว จะไดอ้ สมการคือ (x 100)  200  430 ใหส้ าวกิ าเลย้ี งเปด็ x ตวั จะได้อสมการคอื (x 100x) 230000  443300 เดิมสาวิกาเลย้ี งเป็ดxมา3ก0ทx0xีส่ ดุ 747332009 ตอบตอ7บ2972ต9วั ตวั 730 ตัว ตอบ 729 ตวั เดมิ สาวกิ าเลย้ี งเปด็ มากทส่ี ุด 729 ตวั 14. เส้นตรง 3x  4y  12 ตัดแกน x ท่จี ุด A และตดั แกน y ทจี่ ดุ B 14. เสถ้นา้ ตOรง เป3x็นจุด4กyาํ เนิด12แตลัดว้ แพกืน้ นที่xทO่ีจAุดBAเทแา่ ลกะบั ตกัดตี่ แากรนางหyน่วทย่จี ดุ B แนวคถ้าิด O เป็นจุดกาํ เนดิ แลว้ พนื้ ท่ี เทา่ กับก่ตี ารางหน่วย y OAB แนวแคนดิ วคดิ y B (0,3) B (0,3) Ax O (4,0) พ้ืนท่ี OAB  1O 4  3  6 ตาราAงห(4น,0)ว่ ย x 2 ตอบพ้นื 6ทตี่ ารOางAหBนว่ย12  4 3  6 ตารางหนว่ ย ตอบตอ6บต6าร ตาำงหรำนง่วหยน่วย 15. ถา้ a2(a  5)  a(a 19)  2(a2 10) แยกตวั ประกอบไดเ้ ป็น (a  5)(a  b)(a  c) 15. ถเมา้ ่อื ab2(aและ5)cเaป(็นaจาํ น1ว9น)นบั 2แ(ลa้ว2 c10b) มแคี ยา่ กเทต่าวั ใปดระกอบได้เป็น (a  5)(a  b)(a  c) แแ1ตแน5นนอ.ววบวเแเถคคaคaมมานดิิด2ดิ่อื23อ่ื (ว(aaaคabb2ิด2((aแแ5a5ลล))ะะ55)ccaa)((เเaaปปaaน็น((aจ1จa1ําาํ99นน))11วว9น9น)22)นน((ับับaa2แแ222(ลล(aวa้ว2112ccc0c0))11b0bb0b))aaมม3(3(44แคีaคีaยaา่ากเ232เ1ท1ทต1a1aา)า่ัว)22ใ(2(ใปดa3a3ดaร121ะ9ก955aอa)1)(บ(9aaไaด22เ00ป442น))0 (a  5)(a  b)(a  c) ตอบ 3  (a  1)(a  5)(a  4) c b  41 3 ตอบ 3

แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 73 16. ถ้า A  982 992  2 แล้ว 2010 A มีค่าเทา่ ใด  1002 แนวแคนดิ วทค่ี 1ดิ ท่ี 1 ให้ x  99 x 1  98 x 1  100 จะได้ 982 992  2  (x  1) 2 x2  1)2  2  1002  (x  x2  2x x2  2x 1 2 1 x2  x2  1 2x2 2 นั่นคอื 2010A  2010  1  1005 2 แนวแคนดิ วทค่ี 2ิดที่ 2 992 992 982  1002  2  (982 1)  (1002  1)  (99)2 (98 1)(98  1)  (100 1)(100  1)  (99)2 99(97  101) A  (99)2  1 99(198) 2 2010 A  2010  1  1005 2 ตอบตอ1บ0015005

17. เถสา้ ริม5ค6ิดx...คณ7 ติ แศลาะส5ต6รyระด4ับมแัธลยว้ มศ8กึ ษาตอนมคีต่านเท(า่ รใะดดบั เขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษา ป 2554) : 74 2x  y แนวคิด 1 x ต1แ7นอ.บวต1แ1ตค7นอ8อ.ต1แดิบ11ว.บ7นอ97คถ.86บ.วิด1้าถส1ค9า้าํถต1แ98ดิ61ห85า้576นอ97ร6ถ.68บต1แxว6ับา้x75นอค57จ5.6บ6ดิว71ํา6555xค9น75ถ(768666ดิ16วx้าxx95นแ5ถ587665จล6า้5655xร675ะ6แ657x6งิ16ล56x52x57แ1ะ66a)56ล5,xx56y55ะ6b7156661xด65x5ใ5yแx17งัด6646ลนเxดxyๆมะแน้ัด5ังแ่ือ4ลงัน6ดล5นะก1ั้น5งั ว้6แ4้นัําxน6x852yหล1นั้1x26แ8ว้นเ1ดxxปล8y2ดxxัง18็นyว้xy428น1ด2xจ821น้ัx1งัxxําxแ28y4ayxน15นxyลั้นx6xวว้แyyมน258ล2คีx15จ6xว2้b8า่1ม6yรx528เ2ิงคี2xx1ทx6xy2y8ใxม1่าx2ดy4เีคxyใxxทayดy9ๆ่า5y่าเ46ทใ4มด9แ225b4า่ 9คีx4ลใ6ด่าม9้วy24เ1ีคx1ท4xา่9y่า4เ46ใ1ทมด919่าีค9416ใา่ ด69เ4ท6า่ 4ใ1ด96196 1แ8น.ว1แแค8นนถส.1แิดว้าําว8นคห.ควถสดิ ริดxค้าําxบัxห1ต1แแถสดิxจ78นนา้อํารxxาํ..หบัxบx1แวว(นxxร(8จ(นคคxxxxวxxับ.าํถส(ดิิดว1นx(นจx้าํา2ค(9((จxถหวํา1(8xxถส6ิด1x(ร2นxนา้3ร(้าํา((xx22xงิ1วับ2จxหxxx)2(1(2x11นร1จ25xร531ax)x2272งิ1จ13xําับ66,21)1)x)22(รน12)จxb((21a1งิ1x)2วาํxx1x(1,3212นใ11)น)2x1(x2x(53ดba)x)))25จว1xx176,x(เ1)ร6น)2ๆมใ3xbx2xxิง1ดxจแ่ือ)2xx2xx12เ1รใ2ลกๆมxxxa2ด)งิx12ะ1ําx่ือ5,1เ2))1หๆม6bกa)522xน1เอ่ื1xําx,ป6))ใดหกbxxxดxน็yาํนxเx1เจปใหๆมดดxดxาํ็นa่ือเังนเป4จนๆมกดวน็ํา้นัือ่าํxaนแนจหกจลวาํbนเaาํxรนปว้นหดิง8วจ็น2ใbนเ1นxดรป28จ1ดxงิจํา็นabaๆxใxรนyyจดิงวําaใaแ2ๆนbนดล5จวbaว้ๆ6รนแ2bม1ิง2ลจbxคีใxแ2ว้รbดา่ 1ิงyลมaเใๆxท้วดคี 1่าา่aม4xใๆแ2bเด9ีคทลม่า้วแ2bเคีใ1ทล4ดา่xว้า่ เ1ทใมดx1า่ คี 9ใด่าม6เีคท่าา่ เใทดา่ ใด xถส12า้าํ(5หx(xร2x(x2ับx1จ2x2(13ํา2x1x3x)น13x(13ว2x)3xน1()122(x13xจ5xxx13ร)x212(22ิง12115x2xx152x3x2ax2)132),xx3x)12bx113x13)ใ21x22ด15xxเๆม2x21อ่ื xx2xกาํxห2x1นเปด1็นจําaนวนจbรงิ ใด ตอบ 15 a  b  1  18. 2  ตอบตอบ15 15ตอบ ๆ แล้ว x มีค่าเทา่ ใด ตอบ แต1นอ5ตบวอค1บดิ 515 x  ( x x  15 x  15 x 12) x  (x  12  1)  x 2 x  ( x 213) 1  x 2 ( x 13)  2x  x 1 2 x 13  2x  2 ตอบ 15 x  15

แบบทดสอบการแขง ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 75 19. ถ1กแ้า9ลาํ .หะถmกแนผา้ลาํดลหะใตแmหนผา่ล้ดงลจะใขาํตแหnอนา่ล้ งงจวะสขนเาํ ปอnอนนน็งงวับเสจนเทสปอํานา่อ็นนงขบังเจวทอจสนําง่าําอนนจขนงวาํบัอจวนนสนงํานจวนอมนาํับงวีผนมจสนลวาําอมตนนกงผีา่ มกจวงลนาํับาขตนกทอจ่ากวาํ่ีงงนับกนขmทําอจวลนาํ่ีง>ังกนนmสาํวn้ออลนย>งังแนเขสปลnอ้ ออว้็นยงงแจเแขปลmาํตอ้ว็นนล่งจว+แะmนาํตจ2นเ่ลาํ ฉnว+นะพนจวม2าเนําีคฉnะนเา่พปวมเาท็นนคีะ่าเ่า7ปใเด5ท็น่า7ใด5 แนวแคนใิดหว้ คใิดmห้ , mn ,เปnน็ จเปํา็นนจวนาํ นนวับนทน่ตี ับ้อทงก่ีตาอ้ รงการ m2 mn2 2n72 5 75 (m (mn)(mn)(mn)n7)5 75 m –mn –n m127+555mn127+555 nm m131084n13571 n135172m11327–59m*n1137–59*n m132+160m221n32+16022n 1 1 38 3 3 14 5 5 10 ตอบตอ3บ6 36 20. 2ถ0า้ . ถf า้(x)f (xa)x4 axb4x2 bx72 x79x แล9ะแลfะ(7f )(72)012101แ1ลว้ แลfว้ (7)f (ม7คี)า่ มเทีค่า่าใเดทา่ ใด แ2น0.วแถค2แfนาิด0น(ว1ว7คf21คff)ิด(0ิด((2x17)041f)f1a70(21()(a2047x01a702)7412144)(a)1470(021b)21a44xbaa72a402((4(0)17041a4b)71a47792(a9)xb)74bb44)49(24799b94(bbb7bแ79(()7ล)2ะ4(7747999))9)f227(9(97977)7(()27709))11 แลว f (7) มคี า เทา ใด 9 9 20(2214010f5(2121(a44)07005)11a45)982ba445(09781b4)a944499b9(b79)2  7(7)  9 ตอบตอ2บ109210291029109 2401a  49b  49  9 (2051)  58 ตอบ 2109  2109

เสริมคดิ ...คณิตศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั เขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา ป 2554) : 76 21. สุ่มหยิบสลากท่ีมีจํานวนนับตัง้ แต่ 1 ถงึ 2020 เขยี นกํากบั ไว้ ใบละ 1 จาํ นวน มา 1 ใบ a b ถา้ ความน่าจะเป็นที่ได้สลากทจ่ี าํ นวนนั้นยกกําลงั สามแล้วหารดว้ ย 3 ไมล่ งตัว เท่ากบั โดยท่ี b  0 และ ห.ร.ม. ของ a กบั b เท่ากบั 1 แลว้ a+b มคี ่าเทา่ ใด แนวคแิดนวคิด จาํ นวนยกกําลังสามทห่ี ารดว้ ย 3 ไม่ลงตวั ได้แก่ 13 , 23 , 43 ,53 , 73 ,83 ,103 ,113 มี 8 จํานวน a 8  2 จะได้ a = 2, b = 505 , a+b = 507 b 2020 505 ตอบ 507 22. รูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ มดี า้ นท่เี ท่ากันยาว 5 หน่วย ฐานยาว 6 หน่วย แนบในวงกลม 22. รถูป้าสรศัามมเขี หอลงย่ี วมงกหลนมา จเทว่ั า่มกีดับานRทเี่ ทหานก่วนั ยยแาวล้ว5 8หRนวเยท่าฐกาับนกย่ีหานวว่ 6ยหนวย แนบในวงกลม ถา รศั มีของวงกลมเทากบั R หนวย แลว 8R เทา กบั ก่ีหนว ย แแนนววแคคนิดิดวคดิ AA A 55 55 CC 5 OO 5 C O BB 66NN B N 6 จจพาาน้ื กกทสส่ีูตูตรรARRBRRCaa4545bbcc44s55(s66a)(s  b)(s  พพเพเมมน้ื้นืื้นือ่ือ่ ททท่ี่ีี่   c) AABBCSCSasa8(s2(b82bac6)c()s(855b)552()s52(86c6)58) 8 ABC  88((82)(36))((38) 5)(8  5) R R54485(53234)(1(563121)2)2(63)2แแ5ทท2น8น5ใในน 8R  42(512) 8 ตตออบบ 2255 8R  25 หนว่ ย

แบบทดสอบการแขงขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 77 23. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลยี่ มจตั รุ สั มีด้านยาวด้านละ 10 หนว่ ย โดย E , F , G และ H เปน็ จุดก่ึงกลางดา้ นแต่ละด้าน แลว้ สรา้ งรปู สี่เหลยี่ ม EFGH การกระทํานี้เกดิ ขนึ้ ซ้าํ ๆ ดงั รูป ถ้าผลบวกของความยาวเสน้ รอบรปู ของรปู สีเ่ หล่ียมจัตุรัสทงั้ หมดเทา่ กบั 70  a 2 หนว่ ย เมอื่ a เป็นจํานวน ตรรกยะแลว้ a มีคา่ เทา่ ใด A EB I NJ Q R HM OF T P S L K DG C แนวคิด แนวคดิ ความยาวเส้นรอบรูปของ  ABCD  4(10) ความยาวเส้นรอบรูปของ  EFGH  4(5 2) ความยาวเส้นรอบรูปของ  IJKL  4(5) ความยาวเสน้ รอบรปู ของ  MNOP  4( 5 2 ) 2 ความยาวเส้นรอบรูปของ QRST  4(5) 2  ผลบวกของความยาวเส้นรอบรปู ของรปู สี่เหลยี่ มทัง้ หมด เท่ากับ 410  5 2  5  5 2  5  2 2  4 35  15 2   70  30 2  70  a 2 2 2 a  30 ตอบตอ3บ0 30

เสริมคดิ ...คณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ระดบั เขตพ้ืนทีก่ ารศึกษา ป 2554) : 78 2แต2แ4น4นอ.ว.บวแหถถค2แต2แแถหถคลุง้านดิ4น4นอลงุ้านใคิด้วูด.ใค.บว้วบ1วูดวหวบีหแหถถวแหถถหวค9คาีหธิยหaาลงุา้ยธิลงุ้านมนดิยีทิดaยบิใมคในคที้วบิคว้1ดูนบิดูบึ่งหี่บบิควลนหววงึ่หวว่หี9ลมหีหี่าลหยหวาลมbิธากูิธา่ายูกยยจลีaยbaกูยามบินมทีกูนมจลีทีแบิหิบะิบูกิบมคแบิคนนล่ึงหะกูี่หนรง่ึี่หเลมหนิลลวนรลมวลมปเ่ากูกมหา่นิ่ายยbกูปbากีคูกกูนิาูกา่จลีูกจีลไหจน็คีบิิน2ิบมแมไแา่หจ็นดหะ2กูหะูกะทนิ่าดลนเรลนะรส้เทินลมเหนิเทมหนเิส้ปส่จีกลกูปกูกปเ่าทีแ่าูกสี่จีคนิีคปา่นิแีะอไูกหจ็นไหจ็น2็นดา่2สอะอใา่ด่าด็นไดงสะอะทนิใดทินงทแีเไยดงเส้ลลส้ดลงเททีแยเดทสจ่ีลสดจี่า่ปไี่้ลปแีไูกูกีแูกดา่า่ีไ่ล้ดา่ะองไูกดะองูก็นดส็นดโอดสงอดใงสใกูท้ไงไโ้ดงหดสงดทแีท้5ยงดทแีย5ด้ดลุ่มหลง้ั5ย5ุ่มนิดา่่ไีดล้้งั่าไ่ีย้ลไูกสไูกินลหวดงดดสโงงสดลูกงหูกวโอโโูกดิธสสสย้ทท้อ้ดแีด้กูดหธิหย5งี55ยีแ่มุ5บิุ่มัง้งยัง้ดียลยนิบิินหหดสแลสลทหลวงหูกหวหโแสโทสงอลยูกยอทูกดธิูกลีดิธยเยลยยีแทีแีลบิปะงบิเีงยีั้งะยิบิบบิปะบิดลดัง้ละสท็นลหหลแหหแสททสทง็นลกูงลกูอสกูสีลกูยยลยทยีขทอลีกูีลเสลีูกเงีขทีแะิบปบิิบปะบิา้ังะงั้งทะีแะลาลดสี่วสแทน็ลสทน็ลลลลดสกูีส่วสแกูงออลูกอสีลูกกูสลีกููก3งขีเอีขลง3ปงว้เทงแีะทีแะแางาปว้ไลไลลแล็นด่ีสลวไดดแี่สลวไแลม85็นกูกูกดูลมูก85งอกูงล้สอ้วลกูใ่3เ3เ้สว้ใ่สbงไaปว้แีงป้วแสbไแaมแีไ7ไ4ไค่ลไดลน็มน็ด7ล4ดค่ลม85ดใ่ม85aกูนืเกูง่ใส้สว้aส้ว้ืนมใ่เงใ่สไมสbไaค่สแีbไaแีื่อไดค่ม1ม74ือ่7ค่ด4นดค่ด154b้นื4ใ่5ใ่4bนื้aเงืนก4เ8งสbaสมกมว8baไ่อไค่วค่อ่ืิธอ่ดื่อด11นธิ1นืเนืี5454น้71b้a4ปเ4ี9ห7กba8ปก8ba9baหวน็วยอ่อ่น็ยธิิธเิบนน1ศเเ5ีเิบี77baปศba5ปลห9หษ6ลษ6น็กูน็ยยสกู ใสเวเบิิบ่วศใ5หวศ5ธิว่หนลลิธษ6ษ6มีนกูมีอกู ส่สอใ่วยใวว่ว่หยหิธธิา่นนา่มีมงี องอต่่ ตยย่ําํา่่าา่ งงตต่ําํ่า ตอบ 19 a  b  19 ตอบ 19  22,00,CCB,,BCDCDDBBD3DD30แ0แลลว้3แ3ว้ แ0ล0แและลละB้ว้วBแแDCลลDCCะะCBBAADDCมDCมDCขีCขีAAนนามDมD4าด4ีข0ีขดก0นนกีอ่าาี่อ44งดดงศ00กศกาอ่ีา่ีองงศศาา 25. 2จ5าก. รจูปากรถปู ้า 25. จากรปู ถ้า ถAถA้าา้ BBDAADAABBDDAAADDBAABDD2BB200 F 25. จากรูป AF B B B FD B FD แนวแคนดิ วคดิ C แนวคิด C แนวคิด C B 20 3B0 20 A C DลลาากกจลลจAะาAาะไTกกไดTดจจ้B้ABแะAะแTไบไBTTAบดดAง่TB้่ง้BคBแAแคTรBDTบTบรDA่งึAT่ึงง่Tง่ BBTคAคBBTTรรDADง่ึึง่AADTATDDBBDCDATAลTAAลTDาDาDDกCกTTลลDาDากTกT DT 30 A DT B 20 30 70 30 7400 30 40 B 20 A 30 70 30 40 A 20 D ตอบตอ8บ0 80 70 30 40 30 20 ตอบ 80 5030 ตอบ 80 องศำ 60 6060 60 20 50  60 D T 60 30 60 60 T D  ABBTTABABTTCDDTCTDC T5050 50 20 30 ABBDT CBBDCTC8DA0T80D50TC T 6600 60 30 50 C 30 30 T 60 C  BD CABT80CDT  50 C 30  BDC  80 C

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 79 แ26น.วใกจ1คแ2Aหงําดิ6น2ห้หA.วAาถน2จใก1คผAา้หดBงําBิดลA2ห้หBAเ2B(AAฉาถนA12ผลา้ด2B19BลยAB3x1B6เ2B(1Aฉ2x1A1x,12(ลx)x231…92ย,0B3x1…16yBB162…x11x,2(…),1,x)x3……แ…B2(ท,01……1ทyB…2ัง้B6…(น……)1ห5,…1,…ใแม…y…B(ท…yน1…ทด2……2้งั1)…(Bขน…1ห52.…5อ)ใม…y=y…yนงด2…yส1)…6Bข2ม.51อ)ก=yงาyสถ16รแม้าท1ลกท่ีะา2ถํา1AรแxใBา้ทyลหี่ทะ้ 2ําAxxใ2B1y1yห(B51้เ2xปxy21น็yx1(BB5จ1เ6)2xาํป1yนน็xyวBจน6)าํ เ1นแตyวท็มนน3เใ0แตนท็มน3ใ0น  B2 BB2  3B0300  0 B2 BB2  3B0300  0 B  B6,65,  5 B  B6 , 5 6 , 5 B 6 -5 -6 5 A B -5 6 6 -5 5 -6 -6 5 A -5 6 5 -6 31x3xxx31x33xAAxxA3AAAAxAAAx 51y5yyy51y5y5BByyBB5BBByBBBy B 6 -5 -6 5 A B -5 6 6 -5 5 -6 -6 5 X A 5 -5 2 6 5 5 2 -6 X 2 5 3 2 8 5 2 2 ∞ 3 6 8 1 Y Y 6 6 ∞ 6 2 1 11 2 21()2, 11 ตอบตอ(2บ, 1 2 )

เสริมคิด...คณิตศาสตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั เขตพื้นทีก่ ารศึกษา ป 2554) : 80 27. ถา a  20 3 16  16  20 3 4  31 และ a เปนจํานวนนับ แลว a มีคาเทา ใด แนวคิด ให a  20 3 16  16  20 3 4  31  a2  20 3 16  3 4  47  2 (203 16 16)(20 3 4  31)  a2  20 3 16  3 4  47  2 1600  3203 4  6203 16  496    a2  20 3 16  3 4  47  2 103 4  103 16  36 2 a2  25 แต a  0 a5 ตอบ 5    28. ABCDE เปน รปู หา เหลยี่ มมี ABC  AED  90, AC B  AC D และ A D C  ADE ถา AC  65 หนวย CD  138 หนวย และ AD  119 หนวย แลวรูปหาเหลี่ยม ABCDE มพี น้ื ท่กี ต่ี ารางหนวย แนวคิด วาดรูปจากโจทย AE 65 119 B C T 138 D ลาก AT  CD ท่ี T จะได ABC  ATC และ AED  ATD  พน้ื ท่ี ABCDE  2 พน้ื ท่ี ACD  2 161(161  65)(161  138)(161  119)  7728 ตารางหนวย ตอบ 7728

การแขง ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ.2554 สํานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น ระดบั ประเทศ ประจา� ปี พ.ศ. 2554



การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำปี พ.ศ. 2554 สำ� นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เพ่ือการคัดเลือกตวั แทนนกั เรยี นระดบั ประเทศ ประจ�ำปี พ.ศ. 2554 สอบวนั ท่ี 6 มีนาคม 2554 เวลา 09.30 - 11.30 น. คำ� ชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้ เปน็ แบบทดสอบชนิดเติมคำ� ตอบ (ไม่ตอ้ งแสดงวิธที ำ� ) 2. แบบทดสอบมีจ�ำนวน 7 หนา้ 28 ขอ้ คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบ่งเปน็ 3 ตอน ดังนี้ ตอนท่ี 1 ต้ังแตข่ อ้ ที่ 1 - 16 จ�ำนวน 16 ขอ้ ข้อละ 3 คะแนน รวม 48 คะแนน ตอนที่ 2 ต้งั แตข่ ้อท่ี 17 - 24 จำ� นวน 8 ขอ้ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 32 คะแนน ตอนท่ี 3 ตั้งแต่ขอ้ ท่ี 25 - 28 จ�ำนวน 4 ขอ้ ข้อละ 5 คะแนน รวม 20 คะแนน 3. กระดาษค�ำตอบมี 1 แผน่ ให้นักเรยี นเขียนข้อมูลลงในกระดาษค�ำตอบให้ครบถว้ น (ชอ่ื -นามสกุล เลขประจำ� ตัวสอบ ห้องสอบ ช่ือโรงเรียน ส�ำนกั งานเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษาประถมศึกษา) 4. คำ� ตอบแต่ละข้อท่ีนกั เรียนตอบ ต้องตอบลงในกระดาษค�ำตอบเท่านน้ั และตอบให้ตรงกับ ข้อคำ� ถาม 5. ไม่อนญุ าตใหใ้ ชเ้ คร่อื งคดิ เลข โทรศพั ท์ หรือ เคร่อื งมืออิเล็กทรอนกิ ส์ใดๆ ในการค�ำนวณ 6. ไม่อนญุ าตให้นักเรยี นออกจากหอ้ งสอบจนกวา่ จะหมดเวลาสอบ (เม่อื หมดเวลาสอบ ใหว้ างกระดาษค�ำตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไวบ้ นโต๊ะ) 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถือเป็นขอ้ ยตุ ิ แบบทดสอบฉบบั นี้ เปน็ ลขิ สทิ ธิ์ของ ส�ำนักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หา้ มเผยแพร่ อา้ งองิ ตดั ตอ่ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รับอนญุ าต

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2554) : 84 ตอนที่ 1 ตัง้ แตข่ อ้ ท่ี 1-16 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ n! 1 2 3 4... n และ n! อ่านวา่ n แฟคทอเรยี ล จํานวนเตม็ บวกทั้งหมดทหี่ าร 10! ลงตวั มีก่ีจํานวน 2. ถ้า N  522  512  502  492  482  472  462  452  ...  42  32  22  12 แลว้ จํานวนเต็มบวกท่ีหาร N ลงตัวมีทง้ั หมดกี่จาํ นวน 3. ถา้ n เป็นจาํ นวนเต็มคทู่ ี่มีคา่ ระหวา่ ง 6 กับ 20 และ n2 1 เปน็ จาํ นวนเฉพาะ แลว้ มัธยฐานของ n มคี า่ เทา่ ใด 4. กาํ หนดพหุนาม px  ax  32  bx 1 และ qx  2x2  cx  2 13 ถ้า px  qx ทกุ ค่าของ x แล้วค่าของ a  b  c มคี ่าเทา่ ใด 5. ถ้า (x  2  3  5)(x  2  3  5)  (x  2  3  5)(x  2  3  5) แล้ว 5x2  3 มคี า่ เท่าใด 6. ถา้ P เป็นจุดวกกลบั ของกราฟพาราโบลา y  x2  12x  38 และ O เป็นจดุ กําเนิดแแลล้วว้ 2 PO มีค่าเท่าใด 7. จากรูป ABCD เปน็ รูปสเี่ หลีย่ มผืนผา้ มี AB ยาว 4x หน่วย และ BC ยาว x หน่วย และรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABF เท่ากันทกุ ประการกบั รูปสามเหล่ียมมุมฉาก CDE ถา้ พ้ืนท่ี ส่วนท่ีแรเงาตอ่ พืน้ ทร่ี ปู ส่ีเหลย่ี มผืนผา้ ABCD เท่ากับ c : d โดยที่ c และ d เปน็ จํานวนเต็มบวก และ ห.ร.ม. ของ c , d เท่ากับ 1 แลว้ c  d มีค่าเท่าใด AE B DF C 8. จากรูป ถา้ รปู สามเหลีย่ ม ABC และรูปสามเหลยี่ ม BDE เป็นรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่าท่มี คี วามยาว ดา้ นละ 4 หนว่ ย และ AE  x แล้ว x มีคา่ เทา่ ใด CE AB D 9. จากรูป รูปสีเ่ หลยี่ มจตั รุ สั ABCD มี AE  EC  6 หน่วย     60 องศา BAE BCE ถา้ พืน้ ที่รปู สเ่ี หลย่ี ม ABCD เขยี นใหอ้ ยูใ่ นรปู อยา่ งง่ายได้เป็น x  y 3 เม่อื x , y เปน็ จาํ นวนเต็ม แล้ว x  y มีค่าเท่าใด C

CE CE A แบบทดสอบการแขง ขDนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 85 B D AB 99.. จแถจแถาาลา้ลา้ กก้วว้ รรพพปูปูxxน้ืนื้ ททรร่ีรร่ี ูปูปyyปูปู สสสสมมเ่ีีเ่ เ่ี่ีเหหีคีคหหลล่า่าลลเเีย่่ยี ่ยีี่ยททมมมมา่า่ จจใใตัตัดดุรุรAAัสัสBBCCAADDBBCCเเDDขขยีียนนมมใใหหีี อ้้อAAยยEEใูู่ใ่ นนรรปูปู EEออCCยยา่า่ งงงง66า่า่ ยยหหไไดดนนเ้้เว่่วปปยย็นน็   60 xxออ,,งงyyศศาาเเปปน็น็ จจําาํ นนววนนเเตต็มม็ BA E  BC E เเมม6ือ่่อื 0 BAxEyBC3E xy 3 DC DE C E AB AB 1100.. มคเมคเขขววคีีคียยี าาา่า่ นนมมเเททหหนน่าา่มมา่่าใใจจาาดดยยะะเเเเลลปปขข็็นนทท11จ่ีีจ่ ถถะะึงึงไไดด11้สส้ 00ลล00าา00กกหหลลมมงงาาใใยยนนเเสสลลลลขขาากกททใใบบ่ี่ี 22ลละะหห11าารรหหลลมมงงตตาายยัววั เเลลแแขขตต่่ ใใ33สสก่่กหหลลาาออ่่ รรงงไไมมแแลล่่ ลลงงตตว้ว้ สสัวัวเเมมุุ่่ ททหหา่า่ ยยกกบบิิับบั มมาาAA11 แแใใบบลล้ว้ว 500 A 500 A 1111.. 42351จจ42351จจ..........งํางําหหนนผเเจจผเเจจาาววลลลลาํําาํําลลจจนนขขขขนนนนรราํําเเโโโโววววววตตนนดดดดมมนนนนม็ม็ววดดดดขขนนนนนนบบแแแแออีเ้้มีเ้ี้มีโโววตตตตปปชชงงกีเกเีล่่ล่ล่ลเเลลน็็นคคจจลละะะะขขพพดดําาํขขตตตตโโทีีทนนหหโโดวััวดัวัวดด่ีมม่ีววุคคุสอสอดดดดนนคีคีาูณาาูณาออททมมจหจห่า่ายยขขนนปง้ัป้ังาานนูู่่ออหหรรอ้้อรร44ึ่งง่ึ งงถถมมาาจจยยนนกกดดะะททตต44ฏฏาําํถถวััว่สีี่สคคไไมูกมกูดุุดปปือือเเาาหหรรกกียีย22าากกกกรร00วววว่า่า44า่า่ 8811““จจคคลลาํํารรงงนน้ัง้งัตตกวกวัวัวนนไ็ไ็ ดดโโชช้้ คคดดีี”” เเมมอ่ืื่อมมสสีี มมบบัตตั คิคิ รรบบททั้งง้ั หหมมดดดดงัังตต่่ออไไปปนน้ี้ี 12. จาํ นวนส่หี ลักแต่ละหลักไมซ่ าํ้ กันท่สี รา้ งจากเลขโดด 1, 2,3, 4,5, 6, 7 และ 8 โดยท่จี ํานวนนนั้ หารดว้ ย 9 ลงตัว มีทงั้ หมดกจ่ี าํ นวน 13. มตี ูเ้ อกสารอย่จู ํานวนหนึ่ง ตอ้ งการติดแผน่ ป้ายพลาสตกิ เพ่อื แสดงหมายเลข โดยทแ่ี ผน่ ปา้ ยพลาสตกิ แตล่ ะแผน่ จะแสดงเลขโดดแผน่ ละ 1 ตวั เชน่ ถา้ ตดิ เลข 31 ต้องติดแผน่ ที่เปน็ เลข 3 กบั แผ่นที่เปน็ เลข 1 โดยตัวเลขพลาสติกมีราคาตัวละ 2 บาท เร่มิ ตดิ หมายเลข 1 ทต่ี แู้ รกแลว้ เรียงหมายเลขไปเร่อื ย ๆ ถ้าใช้เงินซือ้ พลาสตกิ ท้ังหมด 8306 บาท แลว้ ตูเ้ อกสารมีทั้งหมดกีต่ ู้ 14. จาํ นวนนับต้ังแต่ 2 ถึง 1000 มีกี่จาํ นวน ที่สามารถเขียนไดใ้ นรปู n2 หรอื n3 เม่อื n เป็นจาํ นวนนบั 15. มีจาํ นวนเต็มบวกกจ่ี าํ นวน ทหี่ าร m ลงตวั เมอ่ื m มีสมบตั ดิ งั น้ี 1. มจี ํานวนเตม็ บวก 35 จํานวน ทหี่ าร m2 ลงตัว 2. มีจาํ นวนเฉพาะ 2 จํานวนเทา่ น้ันทีห่ าร m ลงตวั 16. จากระบบสมการ xyz  1 x  1  36 z y  1  81 x แล้ว z มีคา่ เทา่ ใด

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 86 ตอนที่ 2 ตง้ั แตข่ ้อท่ี 17-24 ขอ้ ละ 4 คะแนน 17. ให้ Px เป็นพหุนามทม่ี ีดกี รเี ท่ากบั n โดยที่ n  3 ถ้า Px หารดว้ ย x 1 เหลอื เศษ 1 หารด้วย x  2 เหลอื เศษ 2 หารดว้ ย x  3 เหลอื เศษ 3 ถา้ หารดว้ ย x 1x  2x  3 จะเหลือเศษเท่าใด 18. จงหาจํานวนเตม็ บวก n ทงั้ หมด ทที่ ําให้ n3  2n2  6n  75 หารดว้ ย n  3 ลงตัว 19. กําหนดให้ a,b,c, x, y และ z เป็นจาํ นวนจริงซ่ึงสอดคลอ้ งกบั ระบบสมการ a  2543b  2543c  2543  x  2543y  2543z  2543  1 a  2544b  2544c  2544  x  2544y  2544z  2544  10 a  2545b  2545c  2545  x  2545y  2545z  2545  100 คา่ ของ a  2554b  2554c  2554  x  2554y  2554z  2554 1000 เปน็ เทา่ ใด 20. ถา้ หาร  x2010  x2009  x  2 2 ดว้ ย x2 1 แลว้ จะเหลือเศษเทา่ ใด 21. ค่าต่ําสดุ ท่เี ป็นไปได้ของ 6x2 10xy  8y  x 13y2  33 มีคา่ เท่าใด 4 22. รูปสี่เหลย่ี มจัตรุ ัสมีเสน้ ทแยงมมุ ยาว 14 2 เซนตเิ มตร บรรจใุ นครง่ึ วงกลมโดยมีจุดยอดทงั้ ส่ีอยบู่ นเสน้ a รอบวงและเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง ทําให้พ้ืนทร่ี ปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรสั เป็น b เท่าของพ้ืนที่รูปคร่งึ วงกลมส่วนทอี่ ยนู่ อก รูปสี่เหลี่ยมจตั รุ สั เม่ือ a และ b เปน็ จาํ นวนเตม็ และ ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 1 แลว้ a  b มคี า่ เทา่ ใด (ใช้ 22 แทนค่าประมาณของ ) 7 23. จากรปู มีครึง่ วงกลม 3 คร่ึงวงกลมแต่ละครึง่ วงกลมมรี ัศมียาวเท่ากัน คือ R หน่วย ถ้า r เป็นความยาว ของรศั มีวงกลมเลก็ ทีส่ มั ผสั กบั ครงึ่ วงกลมทงั้ สามดงั รูป แล้ว R เปน็ ก่ีเทา่ ของ r 24. จากรูป ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั มจี ดุ A และ B อยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลม และด้าน CD สมั ผสั กับวงกลม ถ้ารปู ส่ีเหลย่ี ม ABCD มพี ้ืนที่ 64 ตารางหนว่ ย แล้ววงกลมมรี ัศมยี าวกห่ี นว่ ย AB

ของรัศมีวงกลมเล็กทีส่ มั ผสั กบั ครง่ึ วงกลมทงั้ สามดังรูป แลว้ R เปน็ ก่ีเทา่ ของ r แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 87 24. จากรปู ABCD เปน็ รปู สี่เหลย่ี มจตั ุรสั มีจุด A และ B อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลม และด้าน CD สัมผสั กบั วงกลม ถ้ารปู สี่เหลย่ี ม ABCD มพี ื้นที่ 64 ตารางหน่วย แลว้ วงกลมมรี ศั มยี าวก่หี นว่ ย AB DC ตอนที่ 3 ต้ังแตข่ ้อท่ี 25-28 ขอ้ ละ 5 คะแนน 25. AB และ CD เป็นเสน้ ผ่านศูนย์กลางวงกลมตดั กันเปน็ มมุ ฉาก ถา้ DF เปน็ คอรด์ ตัด AB ที่จดุ E ทาํ ให้ DE  8 หน่วย และ EF  4 หนว่ ย แลว้ พื้นทีว่ งกลมเปน็ ก่ีตารางหนว่ ย (ตอบในรูป  ) 26. จงหาจํานวนคู่อันดับ (x, y) ของจํานวนเต็มทัง้ หมดท่ีเปน็ คาํ ตอบของสมการ 2xy  5x  y  55 27. ค่าของ  2 11  2  22  2 33  2  44  ...  2 11999999  2  22000000 22   311  322  333  344  ...  322999999  333000000 33 211  2  22  233  244  ...  2 11999999  2  22000000 311  322  333  344  ...  322999999  333000000  เปน็ เทา่ ใด 28. ถ้ามจี ํานวนนับท่หี าร 2n ลงตัวอยู่ 28 จํานวน และมีจาํ นวนนับที่หาร 3n ลงตัวอยู่ 30 จาํ นวน แลว้ จะมีจาํ นวนนบั ที่หาร 6n ลงตัวทง้ั หมดก่จี ํานวน ***********************************



การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�าปี พ.ศ. 2554 สา� นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนต้น เพอ่ื การคดั เลือกตวั แทนนกั เรยี นระดับประเทศ ประจ�าปี พ.ศ. 2554 แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศำสตรฉ์ บับน้ี เป็นลขิ สิทธิ์ของ สำ� นักงำนคณะกรรมกำรกำรศกึ ษำขั้นพ้นื ฐำน กระทรวงศึกษำธกิ ำร ห้ามเผยแพร่ อา้ งองิ ตัดตอ่ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

เสริมคดิ ...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 90 1111.... 1เจก1เจกเจก1เจก11.ทแเจก1ทททําํา0ทําาําําํํา00ํา0ําําน0่านา่ห่า!่านนหนห!ห!!่านจหแ!กจจจแกแกแกววเจกจน1แวกวนวนนาํ วทาํนับํานาํนับนบันับนค21ําาํนําน20น221ดนบั11นดดดน5นนน21555า่วดนนหว8ว!เว0ดิ588เ80เ0ใเ0วใวใจใ8ตแวกเว0วตตคตใหคคววคหนหหต88น8ค8าํนหนน็มนับ8็มม็็มดินน21ดิ้ดิิด2้็ม้้2น232ขดิ5333ข้ข9ขบ2ว9บ9บ9nบ38เข0nnn9ใบ4วอ4n4ต4อออ!ค1วห4!1ว!1ว!อ21ว283น!1ว3ง3399็มง9งงก3กดิกก9้7ง728จก38จข8จ8จ9บท58จ41nท5ท5ท540141401าํ4ท5ําําอ4าํ15552!1วาํ3้งั22323้ัง3นง้ั5ง้ัน3นน23ง้ังนหกห7หห777ว8จหวว2ว7122211ท51ว3ม34312ม2มม2น2127าํ3นนน7ม772น273ดงั้3ดน3ด3ด31เ11เเ1เด362ห626ต126เ27ตท2ต2ต23ทท6ท3ว33ต22ท137็มม27ม็7ม็7็ม่ีหน7ห่ีีห่ีห่7ม็่หี บด3บบบ15เา15า5า51บา11624ต5า4414ทว23รว2ว2ร42วรรว2ร7ม็กกีห่ก1ก111ก111114บท444ทท1ท5.า1..4.ท034.003.03.3..ว2รีห่0.3่ีห่หี.่ีห..!.!!1!ี่ห.111ก!1า1าาา31333ลา4ลทลล3ร.รรnรลnnn03ร.ง5nง5ง5ง5่หี.ง5!1ต11ต1ต1ต21ตา22230ัว0020ลวััวแัวแแแร0วั nแ2!2!2!2!ง5ลลล2ล!ลล21ต1ลลมล221211มะมมะละะ221มะง0งัวงงีกแกีีกีกงตกีตต2!ตnจ่ีลnตnnจี่3จี่จ่ี333nวัีจ่ลวัวั2วั3!1ม!!ํา!ะัวําําํา!าํงนีกนนนออออนตอ2n2ว2จ่ี2วว3ว่า่า2่า่าวัว!า่นาํนนนนนนนนนนวอวววว2วา่ า่า่่าา่ นนnnnnวn่าแแแแแฟnฟฟฟฟคคคคคแทททททฟอออออคเเเเรเรรรทรียียยีียอียลลลลลเรียล 1. ตตตตออออบบบบ 222277770000จจจ22จ92าําําํ77าํ7นนน0น005ววว2ว9นนน7น305232 2ถแตแถแตแแถตแแถตแN.NNถแตแNNา้ลนอา้ลล้านอลา้นอนอ้าลนอว้บว้วว้ว้บบบวววว้บวNจNถแตแNNจจจคNคNคคจ55555555คํา้าลนาํอ5ํา555าํ5ิดิด2าํิด5335ิดจ5จ33533จ5น33ิดนนนว้จ3533บ33วน723ําํา2าํ22Nวจว5าํว2ว55ค505ว5นน455น5525554544น222นําน5นน525422222ดิ2น221225733ว1ว21ว21727น72เ3ว1เ2เ7เ2ต72เน22น2จน2ตตต222222ว22นต5122111055ม็า4ํเ็ม2เม็เ็ม1นเ2็ม2ตต2ต4222น414247บต1บ2บบ1411เบม็็ม19ม็5269ต595ว956จ266็ม32ว39ว35ว3ว613บวบ1บน1ม็21าํ1ก2บ22กกก12ก24นว2ว2ว2บท1ททว25ท5554ท95กก4ก6445ว3วกห่ี41่ีหหี่1ีห่1171ท7ีห่ทน7ท712กท72า5222า5า5า524244ห่ี4าหี่5ห่ีทร54หี่ร0รร00046ร6660าาา่ีห162า472224424รร22ร2N22242N2N2Nรา5225N455525ร222026NNNN444427ล47ล7ล7ล242N7ล9.999.ง.5.2งงง292.2...2.ง2ลล2ตล..2ต2.ต2.ต.ล52ต5.554งงง5ัว7ลัววัวัง00ัว00ตตต9ม.0มมตมง27.77ม.72...22วั4ัว2ัว744.2ต4ที...2ที.ัวที.ที 45..ที.ม.ม.ม8888วั.ม้ง้งั้ัง8้งั0ีง้ัีี2มห222หหีห537513512351.3ห24513.ีทมมม2ม22222.22222ม8222ด้งัด7ดด7774ด44247ห3ก45จ33จ3จกกก272จ3227ก772มํา7จี่าําํ22จี่ี่จจ่ีํา2ี่จ222น4นนด4าํ4427ําําําน441าํ1119น3วกว9น2ว9น9น12222ว79น2นนน2ว6่จี2ว2ว62ว66น444422ว64น4ํานนน22622น661629น62222244442ว26442น22226244442445555522222444244488885822.22...22....4.......855552.54.44242224.22222254233332322222322222222222211112122222 12 2222.... 2. 3ต3ต3ต3ตnnnnnnn3ตnn.อ..อ.ออ2.22อ22บบบบบตค3ตคแคแคแคแnnถมตตคแมถตมถตมถต1.อำ่อ1่านมถต11่านา่น่าน21า้คีออ้าา่nน้าีคอา้ีคอคีอมnnnมบบมา้มมีคอวnวววมา่บบ่าบา่บว่าบัธธัคแัธัธ่าบธัnคnคnคเnมถคตตัธเเ1เยnคย1ทยเา่นยยทททดิยิดา้ิดีคดิออ4ทn5ฐ5ม5ิด5จมม1มา่7เว115า่1่า7-เ่า7เ7เม---่าบบำ10่าป7เ00ป0ฐาํ-ปัธใป4ฐฐใฐใใnค4404ปเนฐใด4นดดายด็นทาาน็าน็น็ดดิา็นขน5นมนวนจจ1า่จ7เจจน-6อจ6066ปนขฐาํขใํา8ขข46ํา8-ํา8าํ8---ข5าํ8ดง555-นอนา็เอนอนอน5อ นตนงวว1งจงงวววงม็6วนขน0ํา8นนน-18น1815818บ9อน18เ,9-เ99-เ-เ-เ029ต0202ต02-เตวตตง021วต,็ม็มก,,,ม็็มม็น41,11็ม1181บทคค9คค,4-เ4144ค10211ต411ทู่ว11่หี11่ทู111ูทู่่ท,011,0ทู่,0,0,ม็1ก00,1001001ม่ี006า1มี่ม่ีี่ม1100111มี่6ทค16ร66 ีค4คีคี1ีค6เีค11ู่ทห่ีทา่,0่าา่่า่า1N00รีม่1ารรรเ1ำ่11เเเร116ท1เะ1ทรทะทะะคี2ก12-22ทะ---121ห11-่าหหหา่2า่บั่าา่122ล2หา่2กNวกกรกว1ววเ งกว1ทบั่าะ1บัา่ับ่าับ่า2ต-ับ่า1งหง4งง1่า1211วังล1111ก4ว16ม4-44616-6--ง112142262-1ับา่5255ตี544445กงก1ก4ก1วัก1ับบั2บับั46ม-1บั211511ี412111222กจ7117-727---3073303-00ําับ02300000น1แแแแ12แวจ7ล-ลลล30ลน1าํ1011ะ1ะ1ะะ111111นะ911999แ4494444447ว447n77ลnnn7nน12ะ22112294422722n12111121121-212---2512555-656666เเเเ2ปเปปป1ป12-็น5็น็น็น22็น62211211จ1111จจเจ511555จป6656ํา66666ําําํา766777ําน็7นนน2น11วจววว5ว66นํานนน7น2222นเ12เ1เ1เ19ฉเ199-ฉ9ฉฉ---ว79ฉ777-0พ700พ0พพน0พ2าาาาเ1า9ฉะ-ะะะ7ะ0พ3333แ13แ1แ1แ12แา12-22---ล82ล8ล8ล8-ะ5ล8555้ว5้ว้ว้ว3้วมแ1มมมม2-ัธล8ธััธัธ33533ธั 1ย31ว้1ย1ยย61ย6-66---9ฐม699ม9ม-ม29ม222ำ2ฐธัฐฐฐ3ฐน1ายาาา6า-นข9นมนนน2อขฐขขขขงอาออออ นงงงงnงขnnnnอnง n

แบบทดสอบการแขงขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 91 4. กาํ หนดพหนุ าม px  ax  32  bx 1 และ qx  2x2  cx  2 13 4. ถก้าาํ หpนpดxxพห44..ุน4qqา4.4ม.กถกถ.xx้าาํ้าาํ กถหหppก้าาํกถทpนpนหําา้าํxxกุดหดpนหxxคพพนดpน่าxถหดหแพดขา้xaพุนนุนaพหอqqาหาวุนหงxpxมมqคุนานุxxxดิมqาxxาxppม3ม3ททxpแxx2ุกุก2ทpลpqคคxกุท้วxา่า่xคุกbxbขขaา่aคxxออขา่aงงทxxอขaaุก1งอ1xxxคxงx3a3แxa่าลแแขx322ะลอล33แb2b้วว้งลแ2qคคq2bb้วลxา่า่xxคx้วbcxขขcา่คbxbออขแมxา่x1ง1งอลขคี 12ง้วอ2aaแา่แ1คx1งเxลลaแทา่2ะ2ะแลaข่าแbbลใะอลqqดbะงcะcqbxxccqaxqxxcมมxxcีคีคม2b22่าา่ีคมxxเเ2่าททีค222x2เcา่่าา่1ท1x2xใเใ33่าทดด2ม2ccใ่าคีดใcx่าxดccเxทxx่า22ใด2221133113133         ตจแaaaaะนอxxไxบวx22ด22ค้aaิดcaca8866x6x6a66aaaaxaxxxbb336a6a2b2bจba9ตจแbaแตจ929aa92aaำc2c92ะ9ะนอนaจอxaxกตจแcaaac2ไไxถxaะบ2บว9วจแ2ะ2กนอ9ตจแaaดดxbbaa;bb2า้2;ไคbะคไนxำbบะb2xวน้อa2้axดb2xx3ดb3ไxbรx1ิดดิ2cacxไaว1x2คบ88ว้22ด66้pax2เด.x32.x1x3ค62661ท.ดิa6acคac.้aaac8้.a1ตจ619.81a1aaดิa9aaต98c.axaียxxxดิ16.cxa6x-a1.628ะbaอb.26x((xa16.xอบ61.6axa6x3+.6ไxx3aa9x2.บ6a9a6a+2a1.bบaด21.bส2bxa.232x2x2a.3-b2a-xb2a93a+9b22.292b926ab2.้aมั2.c2-bccc2qx2.839cc92ax6c3cba36caba2caจaจax98ป16ax922+b61c32c62ba3aa22c)2x2xbaะ69ะ92x69a9b92a1928รxaจa21928xbbbbcx;;22cไ9ccไa22ab2bะ9xa1จ+ะb2xb291aจxดxดcb33+bbbba+2c;xส1x1cะa2ไ29cb2ะ3้39้2c2ทb23========bbxb6xcaxด;..ทิb3b33ไ;b112bbx9ไ1c..9bbc2ccxxดxxกุ bb2a้9.213x.xด1b1929ธx18983x2.19--22-b)13a.xx11+c112้.ค92c23.2์ิจx้2aจ.; 3.x1211631.1.+983c1.1+.cจ+า่ab2..1ะ99cะ.19.22119a8.1.12219.ข8bb12.-ะ;13ไ..322abไ22a1=.2b.c2921b.2.229c2b2ด1.อxดไ1.+13..bccxcccxx.2.193c222ด2ax.9 ้x1.1ง2้2.1221.-x3232..-323.2axbcc1 ้.x3x2+2a2222..x218c121=8+12.x121131..1cc1x9283.22x22ccx.1x12c311x31281313x1.82132+-1=32+1x.3c22c223x183321.3c9c18+=12.1แ2=cc1ccx82.3x22a1xx3c2.32จลxxc222.ccc(2x3cxc223=าxcx้ว1cxxc32xxกcxxx9ค2x22218x2-2=2xก22a2+า่cc1+222า+ขcc1c222c3)cร22cอ21c22ccx2เcx1c+111xxงทc-xc11333321-1ยี13a3c11133บ121322133312+3c3สcจจ33cมัb+าา1จกปก3จา11จ1กกรก1า33า3cะาากก3กรรสกากเมเิทรทาทจาคี เธรารียยีทา่เ์ิ กเบบทเยีททกสสียบียา่ามัมับสบรใปปสดัมเสทรรมัปมั ะียะปรปสสบะรรทิิทสะสะธธัมสทิส์ิิ์ทิปธิทิ์ธรธะิ์ ์ิ สทิ ธ์ิ แถตแ((((ล้านอxxxxว้บว((คxx55ดิ 9x9x55552255))))22..2252253.35.ตแตถแ.แถ(ต(แ((((มxลา้นลา้อxxอนxxอแถตแ((ีคว้ว้บ2บบวแวถตแ2ล้า3นxxอแถต(แ(3(่า(5((คลา้คนxxอ ้วบxเลา้xวนxxอ5.59(ท้วดิดิบว้วคบ9ว9xxx5(555่า(55คดิคx225xใ9)xแถตแ5))))3((ดิ5535ดิด258222x2229ลา้นxxอx55)2)552)))2ว้22บ223ว(32))())(2x22คx22((((x3(25ม2มxดิx393((xคี(คี55ม222x2x((323x((า่า่ม))ีคมx5x52เเ2232ีค2่าททคี2x2x4324เ35า่53่า่าา่2ท2เใเ)ใ)((5ท53335า่ท35ด5ด2ม25x55ใ)่า5))))า่)3)ีค35xxด3322xxใ3)2222((ใ)33)5่าด32)5ดxx2(2(เ)())ท)2x(92((6(94((6(54า่x22x(xx(ใ)5(65536552255ด222x(622)6(3))32xx)x2544x2(2225x5x42(25353(x2(x4554x))))233x(533233xx3xx3222225x53))5))353xx223552222))))23xx3322xxx3229((964((6442229((654556565322229((65496((66)4)3))5356322xx3225665)565322226)363)3(3(x9x((633433())))x(335(56222222x33x6))33)35522))))22)22)22(((2xxx2332))2233 2  3  5)(x  2 3 5) 322355))533(()5xx()x(x5522)) 2233 3355))5)5) 5. 3  5)(x  2  3  5) ตอบ 9

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 92 6. ถา้ P เป็นจุดวกกลบั ของกราฟพาราโบลา y  x2  12x  38 และ O เป็นจดุ กาํ เนิดแแลล้วว้ 2 PO 6. มถคี า้ ่าเPท่าเใปด็นจดุ วกกลับของกราฟพาราโบลา y  x2 12x  38 และ O เปน็ จุดกาํ เนดิ แล้ว 2 PO มแคี นา่ เวทค่าดิ ใด แyนวคดิ x2 12x  38 y  x(x2 21122xx) 3838  ((xx22 1122xx)3368)  36  38  ((xx261)22 x236)  36  38 จุดวกก(ลxับค6อื )2(6,2 2) และจดุ O คือ (0,0) จดุ วดกงั กนล้ันับ คPือO(6,(26)แ0ล)ะ2จุด(O2 คอื 0)(20,0) ดังนั้น PO  (636 0)42  (2  0)2  3460 4 2  PO  40 40 2 ตอบ 44P00O  40 ตอบ 40 7. จากรูป ABCD เปน็ รูปสี่เหลี่ยมผนื ผ้า มี AB ยาว 4x หนว่ ย และ BC ยาว x หนว่ ย 7. จแสแแสาล่วลล่วกนะนะะรรทรทหปูปูปูี่แ่ีแ.สสรรรAาเ.าเมงงมมBาา.เเตCตหหข่ออ่ลอDลพพีย่ง่ียืน้ม้ืนมcเทมทมป,มุรีุ่มี่รdน็ ปููปฉฉรสาสาปูเกี่เกทเ่ี หสหา่ เี่ลลAกAหยี่ยี่ับBBลมม่ียFFผ1ผมืนืนผผผแเนืเท้าท้าลผา่ว้า่ า้AกAกcนัBนัBมททCCี กุกุ DDdปAปรBรมเเะะททคีกก่าา่่าายากกเรราทับบักกว่าับบั ใccดรร4::ูปปู xddสสาาโมโหมดดเนเยหยห่วททลลยี่่ีย่ี่ยี ccมมแมมลแมุแุมะลฉลฉะาะากBกCddCCเเDปDปยน็็นาEEวจจาําํ นถนถx้าวา้วพนพนหนื้เื้นเตตนทท็ม็ม่ว่ี่ี บบยววกก แAละ ห.รE.ม. ของ c , d เBท่ากับ 1 แล้ว c  d มคี า่ เทา่ ใด AE B DF C แD นวคิดF C แลานกวคดิEF B ลากA E aEF A aE b bB a D aF b bC ได้รDูปสเ่ี หลF ย่ี ม AEFD และ BCFE เป็นรปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉาก C ไcdcdดc้รปู 1ส4242,เี่ d((((หaaaaล่ีย2มbbbb))))AE1212FD และ BCFE เป็นรูปส่เี หลยี่ มมุมฉาก cc  1d, d 3 2 ตcอบd 3 3 ตตอบ 33

แบบทดสอบการแขง ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 93 8. จากรูป ถ้ารปู สามเหลี่ยม ABC และรปู สามเหลี่ยม BDE เป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าที่มีความยาว 8. ดจา้านกรลูปะ ถ4้ารปูหสนา่วมยเหแลลย่ี ะม AAEBC แลxะรูปแลส้วามxเหลม่ียคี ม่าเทBา่ DใดE เป็นรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ ที่มีความยาว ด้านละ หนCว่ ย และ E แลว้ x มีคา่ เท่าใด 4 x AE  CE AB D D แนวคดิ A B ลแานกวคEิดF ต้งั ฉากกับ AD ลาก EF ตงั้ Cฉากกับ AD E CE A BF D ไดA้ AB  4 และ BF  2 D เดไดพดังงั รน้นานั้้นั ะA(ฉ(BะAนAxxั้นF)F)422 แล66(Bะ2แแลBล3ะะF)2FEEFF26 x  483 2 3 (2 2  48 2 3 ) 2  62  48 ตตออบบเพ 4ร48า8ะฉะน้นั x  48 9. จตาอกบรูป48รปู สเ่ี หลีย่ มจัตรุ สั ABCD มี AE  EC  6 หน่วย     60 องศา BAE BCE 9. เถถจม้าาา้ อื่ กรพพxปู น้ืื้น,ททyรร่ีีร่ ูปูปูปเปสสส่เีน็่เีเี่หหหจลลลาํ ีย่ ย่ีนย่ี มมวมจนตั เAตุรAัสม็BBCCADแDBล้วCเเขDขxยียี นนมใใyหหี อ้อ้ มAยยคี E่ใูใู่ า่นนเรรทูปปู ่าEอใอดCยยา่า่ งงงง6า่่ายยไหไดดนเ้้เปว่ปยน็็น BAxEyBC3E  60 องศา xy 3 เปEน็ จํานวนเตC็ม เมอื่ D แล้ว x  y มีคา่ เท่าใด x, y DC E A B แนวคดิ B ลาก EF  AB และ EG  BC A C แนวคิดD 6 3 พจพจลExxEะะา้นื้นื FFไกไททดด3y่ีรรี่้้E6ูปูปAAEFEสส,FFG5เ่ีG่ีเหyห4ลลAี่ยCย่ีC133มBมGG8 3A3AแBลBห3ห3ะCCนนหDหDว่E่วนยนยG่วว่ ยย((33แแBลลC33ะะ D E CG 6 63 3 3 3)2  36  18 3 G 3)2  36  18 3 E 33 33 A 6 F3 3 B x  36 , y  18 3 ตอบ 54A 3 F B x  y  54 ตตออบบ 5544

เสริมคิด...คณิตศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน (ระดบั ประเทศ ป 2554) : 94 10. เขียนหมายเลข 1 ถงึ 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสก่ ลอ่ ง แล้วสมุ่ หยบิ มา 1 ใบ ความนา่ จะเป็นทจี่ ะได้สลากหมายเลข ท่ี 2 หารลงตัว แต่ 3 หารไมล่ งตวั เทา่ กบั A แล้ว 500A 10. เมขีคยี า่ นเทห่ามใาดยเลข 1 ถงึ 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใส่กลอ่ ง แล้วสมุ่ หยบิ มา 1 ใบ ความน่าจะเป็นท่จี ะไดส้ ลากหมายเลข ท่ี 2 หารลงตัว แต่ 3 หารไมล่ งตวั เท่ากบั A แลว้ 500A มแีคน่าวเคทดิา่ ใด แนวคดิ 2 3 334 166 23 334 166 ดงั นั้นจาก 1 ถึง 1000 ทหี่ ารดว้ ย 2 ลงตวั แต่ 3 หารไมล่ งตัว มที ง้ั หมด 334 จํานวน 3ลงหตาัวรไมแล่ตง่ ต3วั หามรีทไง้ัมห่ลมงตดวั 3เท3่า4กบัจาํ 1น30ว30น40 ความน่าจะเป็นท่จี ะได้สลากหมายเลขหารด้วย 2 334 คดงัวนาม้นั นจา่าAจกะ1เป13ถ็น03ึง0ท401ี่จะ0ไ0ด0้สลทาี่หกาหรมดาว้ ยยเล2ขหลางรตดัวว้ ยแต2่ ลงตวั แต่ 3 หารไมล่ งตวั เทา่ กับ 1000 500 AA163734 1000 ตอ5บ0 0 11A6677 167 ตอบ 167 11. จาํ นวนเต็มบวกจาํ นวนหนงึ่ จะถูกเรยี กว่า “จํานวนโชคดี” เม่ือมสี มบัตคิ รบทงั้ หมดดงั ต่อไปน้ี 1. จํานวนน้ีมเี ลขโดดอยู่ 4 ตัว 11. จ2าํ. นเวลนขเโตด็มดบแวตก่ลจะาํตนวั วสนาหมานรง่ึ ถจนะําถไกู ปเรหียากรว4า่ 8“จลํางนตวัวนโชคดี” เม่อื มสี มบตั คิ รบทง้ั หมดดงั ต่อไปน้ี 13. จเลาํ ขนโวดนดนแี้มตเี ่ละขตโดวั อดาอจยปู่ ร4ากตฏวั มากกว่า 1 คร้งั ก็ได้ 24. เผลลขรโวดมดขแอตง่ลเละตขโวั ดสดาทมา้งั หรถมนดําคไปอื หา2ร0 48 ลงตัว 35. เจลําขนโวดนดนแเ้ีตป่ลน็ ะพตหัวอคุ าณู จขปอรงาก4ฏมากกว่า 1 ครั้งก็ได้ 4จ.งหผาลจรําวนมวขนอโงชเคลดขีทโด่ีมดีคทา่ ั้งนห้อมยดทีส่ คดุ ือ 20 5. จาํ นวนน้เี ปน็ พหุคูณของ 4 จแงนหวาคจิดํานวนโชคดที ่มี คี า่ น้อยทสี่ ดุ เลขโดดทีเ่ ป็นตัวประกอบของ 48 คอื 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 หลกั พนั ทนี่ ้อยท่สี ุดคอื เลข 1 ตวั เลข แอนกี ว3คิดหลัก รวมกนั เทา่ กบั 19 หลกั หนว่ ยที่มากทีส่ ุด คอื 8 และสองหลกั สดุ ทา้ ยที่ 4 หารลงตัว เคลือขโ8ด8ดทดเ่ี ปัง็นต้นั วัจปํานระวกนอทบ่ีตข้อองงกา4ร8คือคือ1318,82 , 3 , 4 , 6 , 8 หลกั พนั ที่นอ้ ยทีส่ ุดคอื เลข 1 ตวั เลข อกี 3 หลกั รวมกันเท่ากับ 19 หลักหนว่ ยท่มี ากท่สี ดุ คือ 8 และสองหลกั สดุ ท้ายที่ 4 หารลงตัว คตือบ8813ด8งั 8นั้นจาํ นวนทต่ี อ้ งการคือ 1388 ตอบ 11338888

แบบทดสอบการแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2553-2554 : 95 12. จาํ นวนส่หี ลักแต่ละหลกั ไมซ่ ํ้ากันทส่ี ร้างจากเลขโดด 1, 2,3, 4,5, 6, 7 และ 8 โดยท่ีจํานวนนั้น หารดว้ ย 9 ลงตวั มีทง้ั หมดกจ่ี ํานวน 12. จาํ นวนสี่หลกั แต่ละหลักไมซ่ าํ้ กันท่ีสร้างจากเลขโดด 1, 2,3, 4,5, 6, 7 และ 8 โดยท่ีจํานวนน้ัน แหนารวดค้วิดย 9 ลงตัว มที ั้งหมดกจี่ าํ นวน พจิ ารณาจากเลขโดดท่ีมคี ่านอ้ ยไปมาก แยกได้ดงั น้ี กแรนณวคีทิด่ี 1 ใช้เลขโดด 1, 2, 7, 8 สรา้ งได้ 4  3 2 1  24 จํานวน พิจารณาจากเลขโดดที่มีคา่ น1อ้ ,ย3ไ,ป6ม,า8กสแรย้ากงได้ดัง4น้ี 3 21  24 จาํ นวน กรณีท่ี 1 ใชเ้ ลขโดด 1, 42, 57, 8 สรา้ งได้ 44 33 2211  2244 จํานวน 1, 43, 6, 78 สรา้ งได้ 44  33 22 11  2244 จาํ นวน กรณีที่ 2 ใช้เลขโดด 21, 34, 5, 8 สร้างได้ 44  33 22 11  2244 จาํ นวน 21, 34, 6, 7 สร้างได้ 44  33 22 11  2244 จํานวน กรณที ่ี 2 ใชเ้ ลขโดด 2, 43, 5, 78 สรา้ งได้ 44  33 22 11  2244 จาํ นวน กรณที ี่ 3 ใชเ้ ลขโดด 32, 43, 56, 67 สรา้ งได้ 44  33 22 11  2244 จาํ นวน 2, 4, 5, 7 สรา้ งได้ 4  3 2 1  24 จํานวน กรณจําีทนี่ 3วนใสชหี่ ้เลลขักโทดี่ ด9 หารล3ง,ต4วั , 5ม,ีท6ัง้ หสมรา้ดงไ8ด้ 24431922จ1ํานว2น4 จํานวน ตอบจาํ น1ว9น2สจหี่ ําลนกั วทน่ี 9 หารลงตัว มีท้ังหมด 8 24  192 จํานวน 13. ตมตีอ้เูบอก1ส9า2รอจยํา่จู นําวนนวนหนึง่ ต้องการติดแผ่นป้ายพลาสติกเพือ่ แสดงหมายเลข โดยทแี่ ผน่ ปา้ ยพลาสตกิ แต่ละแผน่ จะแสดงเลขโดดแผน่ ละ 1 ตวั เช่น ถา้ ตดิ เลข 31 ตอ้ งติดแผน่ ที่เป็นเลข 3 กับแผ่นที่เปน็ เลข 1 13. มโดีตยเู้ อตกวั เสลำาขรพอลย่จูาสำ�าํ นตกิวนมหรี านคึ่งา ตตต้อวั อ้ลงงกะกำาร2รตตดิบดิ แาแผทผ่นน่ ปเปรำม่ิ้ายยตพพดิ ลหลำสามสตาตยกิ กิเเลพเพขื่อื่อแ1แสสดทดงี่ตหงแู้ หมรมำกยาแยเลลเว้ลขเข รโยีดงโยดหทยมี่แทาผยแ่ี น่ เผลปน่ ขำ ปไยป้าพยเลรพำื่อลสยาตสๆิกติก แถตา้ ใ่ลชะเ้ แงนิผซ่นอื้จพะแลสาดสงตเิกลขโดดแผ่นทลั้งะห ม11ด ตตวั8วั 3เช0เ่นช6่น ถบ้ำาถตทา้ิดตเลดิแขเลล ้ว3ขต1เู้ 3 อต1ก้อสงตาต้อรดิ งมแตีทผดิ ง้ั ่นแหทผมน่ีเดปทก็นีเ่ ี่ตปเลู้ น็ ขเ ล3ข ก3บั แกผบั น่ แทผีเ่ น่ปท็นีเ่ ปลข็น เ1ลข 1 ถโแจถดาํ้ำา้นยนใใวชชตวค้เเ้ัวนงงดิ เินนิ ล1ซซขอ้ืื้อพพพ9ลลลำาำสาสสตตติกกิิกมทรี ้งัำาหมคเีำมาลตดขวั โ8ลดท3ะด0ง้ั 2ห62 ม 9บบดบำำตทาท8วัท 3เแร0ม่ิลเ6รว้ติ่มตดิ บตู้เหอาิดมทกหำสมยำแาเรลยลมขเว้ ทีล ต1ขง้ั ู้เห อท1กมต่ี สดทู้แากต่ีรรี่ตกแู้มู้ แรีทกลงั้ แ้วหเลรมว้ ยีดเงรกหยี ต่ี มงู้ หำยมเาลยขเไลปขเไรปอ่ื เยร ่อื ๆย ๆ แจาํนนววคนดิ 10  99 มเี ลขโดด 90  2  180 ตัว จํานวน 11009 999 มมีเีเลลขขโโดดดด 9900ตวั 3  2700 ตวั จํานรววนมต1ัว0เลข9พ9ลาสตกิ มทีเงั้ลหขมโดด27900021801809 ตัว2889 ตัว จาํ นควิดนเป1น็ 0เ0งิน 9298989 ม2ีเลขโ5ด7ด7890บ0าท 3  2700 ตัว รวมเหตลัวเอื ลเขงนิพล8า3ส0ต6ิกท้ัง5ห7ม7ด8 27205028 1บ8า0ท 9  2889 ตัว แคสิดดเปงน็วา่เงมินีตเู้ 2ห8ล8็ก9ทใ่ี ช2้เลข5477ห8ลักบอายทู่ 2528 แรวสมดเหตงวลู้ 9า่ือมเงีตนิ 9เู้ ห08ล3ก็ 09ท60่ใี ช0เ้ ล5ข7371486หล21กั 53อ21ย85ู่  316 ตู้ 2บต58ู้า2ท8  316 ตู้ 8 ตอบรวม1ต3ู้ 195ต9ู้ 0  900  316  1315 ตู้ ตอบ 11331155 ตตู้ ู้

เสรมิ คิด...คณติ ศาสตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 96 14. จาํ นวนนบั ตงั้ แต่ 2 ถงึ 1000 มีก่จี ํานวน ท่ีสามารถเขียนได้ในรปู n2 หรือ n3 เมอ่ื n เป็นจาํ นวนนับ 14. จแาํ นนววคนดิ นบั ตัง้ แต่ 2 ถึง 1000 มีกีจ่ ํานวน ท่ีสามารถเขียนได้ในรปู n2 หรอื n3 เมอ่ื n เป็นจาํ นวนนบั แเจเพพนํารรวนาาควะะนิดวว่าเ่าตม็ 2222nถn2งึ2  1000  31.6 n2 อยู่ 30 จาํ นวน n  10 10 อยใู่ นรูป 11000000มี n 32222ถnงึ 3n1n0011100000ม01ี 0n  31.6 จาํ นวนเต็ม n2 อยู่ 30 จํานวน อย่ใู นรูป จาํ นวนเตม็ 22 ถnงึ3 10100000มี n อยู่ในรูป n3 อยู่ 9 จํานวน จจจ2าํํา32าํ นน22น2วว3ว33นนนเททตี่เ2เี่็มข32ข33ีย33ยี 2น22น22ไไดถดงึ้ท67้ท6nั้ง421ัง้490nn021200แแมลลีะะnnnอ33ยม่ใูมนี ี 2ร2ปู จจําnาํ น3นววอนนยู่ 9คือจาํ นวน คอื ต3อ2บ3  33003 3+ 299 - 7222 =9 3377 จจำ� ํานนววนน ตอบ 30  9  2  37 จํานวน 15. มจี ํานวนเตม็ บวกก่ีจํานวน ทห่ี าร m ลงตัว เมอื่ m มีสมบัติดงั น้ี 15. ม121.ีจ..ํามนมมจี ีจีจวาํ นําํานนนเวตววน็มนนเบเเตฉตวม็ พม็กบบากวะว่ีจกกาํ 2น33ว5จ5นาํ จนจทาํ วํานห่ีนนวาวเนทรน่าmนททน้ั หี่ ่ีหลทางาร่หีตราัวmรm2เm2มลอื่ลงลงตmตงวั ตวั ัวมสี มบัติดังน้ี 2แ.นมวีจคําดิ นวนเฉพาะ 2 จํานวนเท่าน้นั ท่หี าร m ลงตวั แใใแหmหนล้ ้ว2ะmmคดิ 2pap2paaa1qqq22bbbb โดยที่ p และ q เปน็ จํานวนเฉพาะ และ เป็นจํานวนเต็มบวก โด1ยที่ p 3แ5ละ q5เป7น็ จาํ นวนเฉพาะ และ a,b เปน็ จํานวนเต็มบวก a,b หแmmหจmลระร22อืะ2mมอื2a2aจีaaาํ22222pนaa242a4221ว21aนแ3แ11เ31ลต365ล6q5ะ็ม3ะ2ห2,หบแ7b2bbแ7bรลรว3ลือือกะแะแ1ล32ล23322ะ3ะb62b62ห2หbรb13ร1331อื อื4542117a7a155533 7 m ลงตวั  m  22  33,23  32 และ b  2 และ b  2 12 จาํ นวน ท่ีหาร จตะอมบจี าํ น1ว2นจเตํา็มนบวนวก 3 12 1  12 จาํ นวน ที่หาร m ลงตัว ตอบ 1122 จจำ� าํ นนววนน

แบบทดสอบการแขง ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจําป พ.ศ. 2553-2554 : 97 1116616. .6.จ.จจาาจกากการรกะระระบบะบบบบบสบสสมมสมกมกกาากรารราร xxyxyxzyzyzz1111 แแแลลแลว้ ้วลว้ ้วzzzzมมมคี มีคคีา่ ีค่าเา่ ทเเ่าททา่เท่าใา่ ดใใ่าดดใด xyxyxyxy1z1x1z11xz1x1z1x3838368163168161 แ1แแน11แนนว1นววคควคดิ2คิด2ิด2ดิ2 xxyxxyxyxyxyyxy1y111xy111xyxy1z1xy1z1zzy11zz1xzy1yzyz11xz1xyzyy1z1xyz3811zxx3z81368111xx1xxz63186111xx61333363633..66....63..66..........8..6..........8..88..1..........8..1..8811............1..8..11..............1............................................1..2..112..212 xxyxxyxyxyxyyxzy1zyz11z1z1zzz1z1zz1z8888188118118111333333666363666688888811118811zz11zz 1111zzzz88881881821282123336z63z6z36z3368638681618181881z18z1z1zzzzzzzz3z3366366888118111111  zzzz3336636688882881282181211111222898928921281921525155 ตตตอตออตบอบบอบบ222898928292128192891525121555

เสริมคิด...คณติ ศาสตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนตน (ระดับประเทศ ป 2554) : 98 11717.7..ใใหหให้ ้ P้PPxxxเเป1ปเ7ปน็ ็น.็นพพพหใหหหุนุน้ ุนาาPมามมททxท่มี มี่่มีดดี เีกดปีกรกี ็นรเีรเีทพทเี ท่าหา่ กา่กุนบักบัาบั มnnทn่มี โโดดี ดโยดีกยทยรทเีท่ี ท่ี n่ีn่าnกบั333n โดยท่ี n  3 17. ถถถใถถห้า้าถถา้้าา้ ห้้า้าหPPหPาPารPารดxxรxดxว้ดxว้ย้วยหเหหยปหาาา็นรxรารxดพดรxดว้ดถถ้วหว้1ยยว้าา้1ยนุ 1หยาPxามxxxxรxทxดx่มี 2ว้1211ีดย21หีกxเาxเรเหหxรxหเเี หทลดลล3อืล้ว่าือ3ือ31กยเือเเศศศบัเจจษศษxษะจะxษnเะ1เ1ห1หเ1หล2หโห1ลหดือลหาอืาายเอืรราxเรศเทดศดเรหดษศ่ี้วษดว้ล้วษเnยยว้3เยทือทเยทเา่่าศใxจ่าxใx3ดษดใะxดเ1ห222ลห2อืาเเเเรหหหศเดหลลษลว้ อืลืออืเยเทอืเเศศศเ่าษศษษใxษด22222หหหหาาาเรรารหดดรดลว้ดว้ว้ อืยย้วยเยศษxxxx2333ห3าเเเรหหหเดหลลล้วอืลืออืยเือเเศศศเษศษษxษ33333 เหลือเศษ 3 แถแนแา้ นหนววาควครคิดดิดดิ ว้ ย x แ1นวxคดิ 2x  3 จะเหลอื เศษเทา่ ใด แนวPPPPPPPPPPPPค5PPPP((((((((ิด((((11323x21x3((((2x––)––)1)––)3)))2)x))))––))))aa994a449(4((aa9aa4xaxa(axa;;ax35b35b35baa35aab13a1a321322aa))b1b3)bb2b((bc()c2PPPPbcx2bx(bbxbbcab2ba((((xaabb1c32caxaccc1––c)1)1c))22c112111110)20)0)110(3(3a0()2309242xx((3x2aaxx35b333aa13)3)2)Q)QbQ)b(cQ2(x(bb(axax(xc)x)c)1)2110)0...a..a(3a...2..x...xa..xx........2..x22.....22.....2.....3..........b)b.....bQ.....xbx.....x.....x(.....xc)ccc ax2  bx c    33(3(0(0)0))b2bba1110 3(0)  b  1 babb1101 b 1  aaa000,,b,b3b(011)1,,,abแแทแทท1น0นนใใ,นนใbน1 , แทนใน 00011,11แccbccทccน101ใ10น10 a  0 , b 0 1  c  1 c  0 ดดงัดงั นังนนั้ น้ั ัน้เเศศเษศษษคคอืคอื อื 000ด0xxัง21x2น222้ันเcxxศxษค100ือ0x0xxx2  x  0  x c0 ตดตตอังอนบอบ้ันบเศxxษxคือ 0ตxอ2บ xx 0  x ตอบ x 11818.8..จจงจงหงหหาาจาจาํจาํ นาํนนววน1วน8นเเต.ตเ็มต็มจบ็มบงบววหกวกากจnnําnนททวท้ังนัง้ หง้ัหเหมตมมด็ ดดบทวทกท่ี ท่ี ท่ีําาํnใาํใหหใทห้ ้ ั้งnnหn33ม333ด22n2ทnn2ที่ 2222าํใ6ห6n6้ nnn37757552หnหหา2ารารดรดว้ด6ว้ ย้วnยยnn7n5333หารลลดงลงตว้งตยวัตัวัวn  3 ลงตวั 18. แจแนแงนหนววาควคจคิดิดําิดนวนเต็มแบนววกคnดิ ทง้ั หมด ทที่ าํ ให้ n3  2n2  6n  75 หารด้วย n  3 ลงตวั แnnnนn33383388ว3n484n4คn422ดิ2หหหn2nn3nหาา3nn2า223nร22ราร2ดดรด1ว้ดว้16้ว66,1ยยว้,2ยn62n2n,2ย2,n2,,(n(,(3,nn3,(n38713,7n71,4n,4571,45,504,3,053,2360,)ห,63),)1n61,n3,)า(,(,172(ลล,7,nลร3n(n3,7ง,ลงดnง,3,1ต,1ตง,ต4ว้2,146ัวต2ัว,ย3ัว43,232,n,2วั9,)13)9,)1,,(,((9,4()1n,431nn(n1,4,n7121,2,,221224,2,,521,121011,3,,1816n,,8n)2n1,28,,n,(82,278ล,2n38,52ง,35,,34,31,4ต5,)3)4,24)232ัว3,)3,2,93,,9)818,89,8(8,4488n44188,444,182141121,11,8n2,82,534,)23,988,4841 จจnะจะมะมมีจีจ3าํีจํานาํนนว1วนวน,นเ2เตตเ,็มต3็ม็มบ,บจ4บวะวก,วกม6กีจ,nnํา7nน,อ1อวยอ2ยนู่ยู่,เ1ตู่994็ม9,บจจ2ําวจาํ1นกาํน,นว2วนnวน8น,อ4ย2ู่ ,894 จาํ นวน n  2,1,0,1,3, 4,9,11,18, 25,39,81 ตตตออบอจบบะม99ีจ9าํจจนาํจําวนาํนนนววเนวนตตน็มอบบวก9nจําอนยวู่ น9 จาํ นวน ตอบ 99 จ�ำาํ นวน