เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 49-50

16. ®“°√ªŸ ∂â“√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°¡’ MB + MA = BC + AC ∂â“ BC = 8 Àπ૬ ·≈– AC = 10 Àπ૬ ®ßÀ“ MB M B CA ·π«§‘¥ MB + MA = BC + AC ∂â“ BC = 8 ·≈– AC = 10 ®–‰¥â«à“ MB + MA = BC + AC = 8 + 10 = 18 ¥—ßπ—Èπ MA = 18 › MB „™â∑ƒ…Æ’∫∑æ‘∑“‚°√—  (MA)2 = (MB + BC)2 + (AC)2 (18 › MB)2 = (MB + 8)2 + 102 324 › 36MB + MB2 = MB2 + 16MB + 164 ®–‰¥â 52MB = 160 MB = 160 μÕ∫ 3 1 52 13 = 40 13 = 31 13 46 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

17. ‡ âπμ√ß L ºà“π®ÿ¥ (›2, 0) ·≈– (›1, 2) L ‡ªìπ‡ âπμ√ß∑’˺à“π®ÿ¥°”‡π‘¥·≈–μ—Èß©“°°—∫ L 12 1 ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡∑’Ë≈âÕ¡√Õ∫¥â«¬·°π x ‡ âπμ√ß L ·≈–‡ âπμ√ß L ‡ªìπ‡∑à“„¥ 12 ·π«§‘¥ ‡ âπμ√ß L ºà“π®ÿ¥ (›2, 0), (›1, 2) ·≈– (x, y) 1 §◊Õ ¡°“√ y › 0 = 0›2 =2 x + 2 ›2 + 1 y = 2(x + 2) ‡ âπμ√ß L ºà“π®¥ÿ (0, 0) ·≈–¡’§«“¡™—π › 1  ¡°“√§◊Õ y = › 1 x 2 2 2 (›1, 2) › 1 x = 2(x + 2) 2 (›8 , 4)A x = ›4x › 8 55 5x = ›8 x = ›8 ®–‰¥â y= 4 5 5 (›2, 0) B 0 L μ—¥°—∫ L ∑’Ë = (›8 , 4 ) 5 5 L L 12 1 2 ∇AOB ¡’∞“𬓫 2 Àπ૬  Ÿß 4 Àπ૬ ∇ 5 ®–μâÕßÀ“æ◊Èπ∑’Ë OAB = 1 Ó OB Ó §«“¡ Ÿß 2 = 1 (2)( 45) μ“√“ßÀπ૬ 2 = 0.8 μ“√“ßÀπ૬ μÕ∫ 0.8 μ“√“ßÀπ૬ 18. ®ßÀ“æ®πå∑’Ë 100 ‡¡◊ËÕ°”Àπ¥æ®πå∑’Ë 90 ¢Õß≈”¥—∫ 1, 2, 4, 7, 11, ... ¡’§à“‡ªìπ 4,006 ·π«§‘¥ 1 2 4 7 11 1234 111 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 47

®–‰¥âæ®πå∑’Ë n §◊Õ an2 + bn + c a = an2 + bn + c n a = a+b+c = 1 1 a = 4a + 2b + c = 2 2 a = 9a + 3b + c = 4 3 π”¡“‡¢’¬π ¡°“√; a + b + c = 1 .......................... ➊ 4a + 2b + c = 2 .......................... ➋ 9a + 3b + c = 3 .......................... ➌ ➋ › ➊ 3a + b = 1 .......................... ➍ ➌ › ➋ 5a + b = 2 .......................... ➎ ➎ › ➍ 2a = 1 a = 1 2 ·∑π§à“„π ➍ 3( 1 ) + b = 1 2 b=1› 3 = ›1 2 2 ·∑π§à“ a, b „π ➊ ®–‰¥â 1 › 1 + c = 1 2 2 c=1 ∴a = 1 n2 › 1 n + 1 2 2 n ∑¥ Õ∫ n = 90 ®–‰¥â a = 1 (90)2 › 1 (90) + 1 2 2 90 = 8,100 › 45 + 1 = 4,050 › 44 2 = 4,006 ¥—ßπ—Èπ a ®–‰¥â a = 1 (100)2 › 1 (100) + 1 2 2 100 100 = 10,000 › 50 + 1 2 = 5,000 › 49 = 4,951 μÕ∫ 4,951 48 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

19. (1 + 3 )(1 + 3 )(1 + . 3. ).(1 + 3 )...(1 + 530)(1 + 531) ¡’§à“‡ªìπ‡∑à“‰√ 4 5 6 7 ·π«§‘¥ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅170 ... 52 ⋅ 5530⋅ 5514 4 5 6 49 = 52 Ó 53 Ó 54 4Ó5Ó6 = 13 Ó 53 Ó 9 5 = 1,240.2 μÕ∫ 1,240.2 20. „Àâ O ‡ªìπ®¥ÿ °”‡π‘¥≈“° à«π¢Õ߇ âπμ√ß OA ·≈– OB ∑’Ë∑”„Àâ®ÿ¥ A ·≈– B Õ¬Ÿà∫π‡ âπμ√ß 2x + y = 4 ‚¥¬¡’ OA = OB ·≈–¡ÿ¡ AOB ‡ªìπ¡ÿ¡©“° ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ OAB ·π«§‘¥ y A E ● x O B æ◊Èπ∑’Ë Δ OAB = 1 (OB)(OA) 2 À√◊Õæ◊Èπ∑’Ë Δ OAB = 1 (AB)(OE) 2 0+0›4 OE = (√–¬– OE ®“°®ÿ¥ (0, 0) ‰ª¬—߇ âπμ√ß 2x + y › 4 = 0 5 < < Δ AOE ·≈– Δ BOE ‡∑à“°—π∑°ÿ ª√–°“√ ¡ÿ¡ OAE = OBE = 45 Ì ·≈– OE = AE = BE æ◊Èπ∑’Ë Δ OAB = 1 ( 8 )( 4 ) = 16 2 5 5 5 μÕ∫ 16 À√◊Õ 3.2 μ“√“ßÀπ૬ 5 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 49

μÕπ∑’Ë 2 ¡’ 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ 21. º≈∫«°¢Õߧ”μÕ∫∑—ÈßÀ¡¥¢Õß ¡°“√ (x2 › 3x › 4)3 + (2x2 + x › 1)3 = (3x2 › 2x › 5)3 ‡ªìπ‡∑à“‰√ ·π«§‘¥ „Àâ a = x2 › 3x › 4, b = 2x2 + x › 1, c = 3x2 › 2x › 5 ®–‡ÀÁπ«à“ a + b = c ®“°‚®∑¬å a3 + b3 = c3 (a + b)3 = c3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 ·μà a + b = c ®–‰¥â 3abc = 0 a3 + b3 = a3 + 3abc + b3 a = 0 ®–‰¥â x3 › 3x › 4 = 0 ∴ x = 4, ›1 b = 0 ®–‰¥â 2x2 › x › 1=0 ∴x = 1 , ›1 2 c = 0 ®–‰¥â 3x2 › 2x › 5 = 0 ∴ x = 53, ›1 §”μÕ∫¢Õß ¡°“√ ›1, 1 , 35, 4 2 º≈∫«°¢Õߧ”μÕ∫§◊Õ ›1 + 1 + 5 + 4 = 5 1 2 3 6 1 μÕ∫ 5 6 22. °”Àπ¥æÀπÿ “¡ P(x) = x4 › 6x3 › 5x2 › 8x › 6 ∂â“æÀπÿ “¡ P(x) À“√¥â«¬ x › 7 ≈ßμ—« ·≈â« x ¡’§à“‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°°’Ë®”π«π ·π«§‘¥ x3 + x2 + 2x + 6 x › 7 )x4 › 6x3 › 5x2 › 8x › 6 x4 › 7x3 x3 › 5x2 x3 › 7x2 2x2 › 8x 2x2 › 14x 6x › 6 6x › 42 ‡»… 36 50 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

∴ x › 7 ®–μâÕßÀ“√ 36 ≈ßμ—« 36 = 22 Ó 32 ®”π«π‡μÁ¡À“√ 36 ≈ßμ—«¡’∑—ÈßÀ¡¥ 18 μ—« §à“¢Õß x › 7 §◊Õ 1, ›1, 2, ›2, 3, ›3, 4, ›4, 6, ›6, 9, ›9, 12, ›12, 18, ›18, 36, ›36 §à“ x ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡≈∫‡¡◊ËÕ x › 7 = ›9, x › 7 = ›12 x › 7 = ›18 ·≈– x › 7 = ›36 §à“ x ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°¡’ 18 › 4 = 14 „™â‰¡à‰¥â 4 μ—« ®“°∑—ÈßÀ¡¥ 18 μ—« ®”π«π∑’Ë„™â‰¥â §◊Õ 14 μ—« μÕ∫ 14 μ—« 23. „Àâ p, g ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 5x + 1 = 0 ·≈– r, s ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 3x + 1 = 0 ®ßÀ“§à“ (p › r) (g › r) (p + s) (g + s) ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ p, g ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 5x + 1 = 0 ®–‰¥â p + g = ›5, pg = 1 r, s ‡ªìπ√“°¢Õß ¡°“√ x2 + 3x + 1 = 0 ®–‰¥â r + s = ›3, rs = 1 (p › r)(g › r)(p + s) (g + s) = (p › r)(g + s)(g › r)(p + s) = [pg + ps › rg › rs][pg + gs › rp › rs] = [1 + ps › rg › 1][1 + gs › rp › 1] = (ps › rg)(gs › rp) = pgs2 › p2sr › rsg2 + r2pg = s2 › p2 › g2 + r2 = (s2 + r2) › (p2 + g2) = [(s + r)2 › 2sr] › [(p + g)2 › 2pg] = [(›3)2 › 2] › [(›5)2 › 2] = (7) › (23) = ›16 μÕ∫ ›16 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 51

24. ®ß·¬°μ—«ª√–°Õ∫¢Õß (x2 + 5x + 6)(x2 + 20x + 96) › 4x2 ·π«§‘¥ (x + 3)(x + 2)(x + 12)(x + 8) › 4x2 = (x + 3)(x + 8)(x +2)(x + 12) › 4x2 = (x2 + 11x + 24)(x2 + 14x + 24) › 4x2 = (x2 + 24 + 11x)(x2 + 24 + 14x) › 4x2 = (x2 + 24)2 + 25x)(x2 + 24) + 154x2 › 4x2 = (x2 + 24)2 + 25x(x2 + 24) + 150x2 = (x2 + 24 + 15x)(x2 + 24 + 10x) = (x2 + 15x + 24)(x2 + 10x + 24) = (x2 + 15x + 24)(x + 4)(x + 6) μÕ∫ (x2 + 15x+ 24)(x + 4 )(x + 6) 25. ¡’®”π«π‡μÁ¡ x, y ∑’Ëμà“ß°—π°’褈٠∑’ËÕ¬àŸ√–À«à“ß 1 ·≈– 100 ∑’Ë 49 À“√ x2 + y2 ≈ßμ—« ∂â“ (x, y) °—∫ (y, x) ∂◊Õ«à“‡ªìπ§àŸ‡¥’¬«°—π ·π«§‘¥ ∂â“ x2 + y2 À“√≈ßμ—«¥â«¬ 49 ·≈â« x2 + y2 À“√≈ßμ—«¥â«¬ 7 ·μà x2 À“√¥â«¬ 7 ®–‡À≈◊Õ‡»… 0, 1, 2 À√◊Õ 4 ‡∑à“π—Èπ „π∑”πÕ߇¥’¬«°—π y2 ´÷Ëß x2 + y2 À“√¥â«¬ 7 ≈ßμ—« ‡¡◊ËÕ ‡»…§◊Õ 0 + 0 = 0 º≈∑’Ëμ“¡¡“ x2 + y2 À“√¥â«¬ 7 ≈ßμ—« ‡¡◊ËÕ x2 ·≈– y2 À“√¥â«¬ 7 ≈ßμ—« π—Ëπ§◊Õ ‡¡◊ËÕ x ·≈– y À“√¥â«¬ 7 ≈ßμ—« ·≈â« x2 + y2 À“√¥â«¬ 49 ≈ßμ—« ¥—ßπ—Èπ  ‘Ëß∑’ËμâÕß°“√À“ §◊Õ ®”π«π§àŸ≈”¥—∫∑’Ë·μ°μà“ß°—π ·≈–‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°∑’Ë x ·≈– y πâÕ¬°«à“ 100 100 = 7 Ó 14 + 2 ¡’æÀ§ÿ Ÿ≥¢Õß 7 √–À«à“ß 1 ∂÷ß 100 Õ¬àŸ 14 ®”π«π ®”π«π§àŸÕ—π¥—∫¡’ 142 › 14 + 14 = 142 › 14 + 2(14) 2 2 = 142 + 14 = 14(14 + 1) 22 = 7(15) = 105 μÕ∫ 105 52 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

26. A E B F H M N D U R Q S P T GC ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π ®ÿ¥ E, F, G ·≈– H ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߥâ“π AB, BC, CD ·≈– DA μ“¡≈”¥—∫ ≈“° AG, CE, DF ·≈– BH μ—¥°—π‡°‘¥√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π MNPQ ´÷Ëß¡’®ÿ¥ R, S, T ·≈– U ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߥâ“π MN, NP, PQ ·≈– QM μ“¡≈”¥—∫ ∂â“ à«π∑’Ë·√‡ß“¡’æ◊Èπ∑’Ë 15 μ“√“ßÀπ૬ ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡ ABCD ·π«§‘¥ æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ MNPQ ‡ªìπ 5 ‡∑à“¢Õß√ªŸ ·√‡ß“ = 5 Ó 15 μ“√“ßÀπ૬ æ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ABCD ‡ªìπ 5 ‡∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª MNPQ = 5 Ó 5 Ó 15 μ“√“ßÀπ૬ μÕ∫ 375 μ“√“ßÀπ૬ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 53

27. ®“°√ªŸ PA ·≈– QC  —¡º— «ß°≈¡ O ∑’Ë®¥ÿ A ·≈– C μ“¡≈”¥—∫ AQ BP ● OC ∂â“ QC = 3 PA ®ßÀ“§à“ QA Ó QB 4 PC Ó PB ·π«§‘¥ BCQ ∼ CAQ∇ ∇∴ ∇ ∇∴ BQ CQ ®–‰¥â = QC QA = (QC)2 ....................................... ➊ ∴ BQ Ó AQ CAP ABP ∼ AP BP ®–‰¥â = CP AP ∴ CP Ó BP = AP2 ................................ ➋ ( )➊ ∴ QA Ó QB = QC 2 = 9 ➋ PC Ó PB AP 16 μÕ∫ 9 16 54 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

28. „Àâ L ‡ªìπ‡ âπμ√ß∑’Ë¡’§«“¡™—π‡ªìπ › 4 ºà“π®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ x2 + y2 › 4x + 2y › 4 = 0 3 ·≈–μ—¥«ß°≈¡∑’Ë®ÿ¥ A ·≈– B ∂â“®ÿ¥ C ¡’æ‘°—¥‡ªìπ (›1, ›2) ·≈â« ®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ·π«§‘¥ ®“°«ß°≈¡ x2 + y2 › 4x + 2y › 4 = 0 (x2 › 4x + 4) + y2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1 (x › 2)2 + (y + 1)2 = 9 A «ß°≈¡¡’®¥ÿ »πŸ ¬å°≈“ß∑’Ë (2, ›1) √—»¡’ 3 ‡ âπμ√ß L ¡’§«“¡™—π ›4 ·≈–ºà“π®ÿ¥ (2, ›1) (2, ›1) 3 D §◊Õ y + 1 = ›4(x › 2) B 3 v 3y + 3 = ›4x + 8 4x + 3y › 5 = 0 À“ CD ®“°®ÿ¥ (›1, ›2) C ‰ª¬—߇ âπμ√ß 4x + 3y › 5 = 0 (›1, ›2) CD = 4(›1) + 3(›2) › 5 = 15 = 3 42 + 32 5 ¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ = 1 Ó 3 Ó 6 = 9 (AB ‡ªìπ‡ âπºà“π»πŸ ¬å°≈“߬“« 6 Àπ૬) 2 μÕ∫ 9 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 55

29. „ÀâÀ“®”π«π„π·∂«∑’Ë 89 π—∫®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 ·∂«∑’Ë 1 1 ·∂«∑’Ë 2 234 ·∂«∑’Ë 3 56789 ·∂«∑’Ë 4 10 11 12 13 14 15 16 μ—«Õ¬à“ß ‡™àπ ·∂«∑’Ë 4 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 12 ·∂«∑’Ë 3 ®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 7 ·π«§‘¥∑’Ë 1 ·∂«∑’Ë 1 ®”π«π¢«“ ÿ¥§◊Õ 12 = 1 ·∂«∑’Ë 2 ®”π«π¢«“ ¥ÿ §◊Õ 22 = 4 ·∂«∑’Ë 3 ®”π«π¢«“ ÿ¥§◊Õ 32 = 9 . . . ·∂«∑’Ë 88 ®”π«π∑’Ë¢«“ ÿ¥§◊Õ 882 = 7,744 ·∂«∑’Ë 89 ®”π«π∑’Ë “¡®“°´â“¬¡◊Õ§◊Õ 7,744 + 3 = 7,747 ·π«§‘¥∑’Ë 2 1, 2, 5, 10, 17, ... 1357 222 √Ÿª∑—Ë«‰ª a = an2 + bn + c n a = a + b + c = 1............................... ➊ 1 a = 4a + 2b + c = 2............................... ➋ 2 a = 9a + 3b + c = 5............................... ➌ 3 ➌ › ➋, 5a + b = 3............................... ❹ ➋ › ➊, 3a + b = 1............................... ➎ 2a + (1) = 2 a =2 ·∑π§à“ a = 1 „π ➎ ®–‰¥â b = ›2 ·∑π§à“ a = 1, b = ›2 „π ➊ ®–‰¥â c = 2 ∴ a = n2 › 2n + 2 n 56 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

= (n › 1)2 + 1 ∴a = (89 › 1)2 + 1 = 882 + 1 = 7,744 + 7,745 89 ∴®”π«π∑’ËÕ¬àŸ·∂«∑’Ë 89 π—∫®“°´â“¬¡◊Õμ—«∑’Ë 3 §◊Õ 7,745 + 2 = 7,747 μÕ∫ 7,747 30. √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ‡ âπ·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡ A æ∫ BC ∑’Ë®ÿ¥ D ®“°®ÿ¥ B ≈“°‡ âπμ—Èß©“°°—∫ AD ∑’Ë®ÿ¥ E ≈“° HG ºà“π®¥ÿ E ·≈–¢π“π°—∫ AC æ∫ BC ∑’Ë®ÿ¥ G ·≈– AB ∑’Ë®¥ÿ H ∂â“ AB = 26, BC = 28, AC = 30 ®ßÀ“ DG ·π«§‘¥ 1) î = ^2 (¡¡ÿ ·¬âß) 2) î = ^5 (‚®∑¬å) 3) ^2 = ^5 A 4) „π Δ AHE, AH = HE 51 5) √Ÿª Δ AEB ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° H ^4 ‡ªìπ¡ÿ¡ª√–°Õ∫¡ÿ¡©“°¢Õß ^5 2 E 3 ^3 ‡ªìπ¡ÿ¡ª√–°Õ∫¡¡ÿ ©“°¢Õß ^2 C ·μà^2 = ^5 ¥—ßπ—Èπ ^3 = 4^ 4 B DG Δ HEB ‡ªìπ Δ Àπâ“®—Ë« ¡’ BH = HE ¥—ßπ—Èπ AH = HE = HB „π Δ ABC ‡π◊ËÕß®“° HG // AC ·≈– H ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߢÕß AB G ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß BC ®–‰¥â BG = 14 „π Δ ABC, AD ·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡ A AB = BD ........................................... ➊ ¥—ßπ—Èπ AC BC „Àâ BD = x ·≈â« DC = 28 › x ·∑π§à“„π ➊ ®–‰¥â 26 = x 30 28 › x π—Ëπ§◊Õ x = 13 = BD ®–‰¥â DG = 1 μÕ∫ 1 Àπ૬ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 57

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫ §≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™«à ß™—Èπ∑’Ë 3 „π°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ªï æ.». 2550 ‚¥¬  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™«à ß™Èπ— ∑Ë’ 3 ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °π—°‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢μæ◊Èπ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ Ê ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ Ê ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß 30 π“∑’ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 61

μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ ¡’ 2 μÕπ ¥—ßπ’È μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 1. º≈∫«°∑—ÈßÀ¡¥¢Õß®”π«ππ—∫∑’ËÀ“√ 2550 ≈ßμ—« ¡’§à“‡∑à“„¥ 2. ∂â“ 1 + 1 = 48 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥ 6 39 1 + 1 x + 5 3. 1 + 2 (1 + 1 ) + 3(1 + 1 ) + 4(1 + 41)+ ... + 100 (1 + 1100) ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 3 4. ®ß‡√’¬ß®”π«πμàÕ‰ªπ’È®“°πâÕ¬‰ª¡“° 2514, 4258, 8171, 16128 ·≈– 32103 5. ¢“¬ ‘π§â“ 2 ™‘Èπ‰ª√“§“™‘Èπ≈– 9,999 ∫“∑ ´÷Ëß™‘Èπ·√°‰¥â°”‰√ 10%  à«π™‘Èπ∑’Ë Õߢ“¥∑ÿπ 10% ∂â“¢“¬‰ª∑—Èß Õß™‘Èπ ·≈⫉¥â°”‰√À√◊Õ¢“¥∑ÿπ°’Ë∫“∑ 6. ∂â“ x = 3 5 + 1 ·≈– y = 3 5 › 1 ·≈â« x6 › y6 › 3x2y2(x2 › y2) ¡’§à“‡∑à“„¥ 22 7. Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡Àπ÷Ëß¡’®”π«πÀπⓉ¡à‡°‘π 100 Àπâ“ ∂â“©’°Àπ—ß ◊ÕÕÕ° 1 ·ºàπ ·≈â«π”‡≈¢Àπâ“ ¢ÕßÀπ—ß ◊Õ∫«°°—π®–‰¥â 2,195 ®ßÀ“«à“Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥°’ËÀπâ“ 62 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

8. ®“°√ªŸ Δ ABC ¡’æ◊Èπ∑’Ë 18 μ“√“ßÀπ૬ ‚¥¬∑’Ë AB = BC, BE ⊥ AC ·≈– AD ⊥ BC ∂â“ AC = 4 Àπ૬ ·≈â« AD ¬“«‡∑à“°—∫°’ËÀπ૬ A E B C D 9. ∂â“√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ëß¡’®ÿ¥¬Õ¥ “¡®¥ÿ §◊Õ ®¥ÿ (›5, 0), ®ÿ¥ (0, 0) ·≈–®¥ÿ ¬Õ¥¢Õß°√“ø y = x2 + 5x + 7 ·≈â«√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√ªŸ π’È¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ 10. π”√ŸªÀⓇÀ≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡ÿ¡‡∑à“¡“μàÕ°—π¥—ß√Ÿª ‚¥¬„Àâ·μà≈–√Ÿª∑’Ë¡“μàÕ°—π¡’¥â“π√à«¡°—π ‡æ’¬ßÀπ÷Ëߥâ“π ∂â“„Àâ n ·∑π®”π«π√ªŸ ∑’Ëπ”¡“μàÕ°—π ·≈– f(n) ·∑π®”π«π¥â“π¢Õß√ªŸ n ·≈â« f(2007) ¡’§à“‡∑à“„¥ 11. ®“°√Ÿª ABCDEF ‡ªìπ√ŸªÀ°‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡ÿ¡‡∑à“ ∂â“Õ—μ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë ·√‡ß“°—∫æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ À°‡À≈’ˬ¡ ABCDEF ‡∑à“°—∫ a : b ·≈– À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a2 + b2 ¡’§à“‡∑à“„¥ AB FC E D 12. 2404 › 2400 + 45 ¡’§à“‡∑à“„¥ 2400 + 3 13.  àÿ¡À¬‘∫ ≈“°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 1 ∂÷ß 1000 ‡¢’¬π°”°—∫‰«â „∫≈– 1 ®”π«π ¡“ 1 „∫ ∂ⓧ«“¡πà“®–‡ªìπ ∑’ˉ¥â ≈“°∑’Ë®”π«ππ—Èπ¬°°”≈—ß Õß·≈â«À“√¥â«¬ 2 ≈ßμ—« ‡∑à“°—∫ a ‚¥¬∑’Ë b ≠ 0 ·≈– b À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 63

14. ·¥ß´âÕ¡¬‘ߪóπ ‚¥¬«“ß°√–∫Õ°ªóπ∑”¡ÿ¡ 30 Ì °—∫·π«æ◊Èπ√“∫ ·≈–¡’‡ªÑ“∑’ËμâÕß°“√¬‘ß Õ¬Ÿà Ÿß®“°æ◊Èπ√“∫ 12 ‡¡μ√ ∂â“®—∫‡«≈“‡¡◊ËÕ‡√‘Ë¡¬‘ß®π≈Ÿ°°√– ÿπ°√–∑∫‡ªÑ“ ®–„™â‡«≈“ 3 «‘π“∑’ ·≈â«≈Ÿ°°√– ÿπ¡’§«“¡‡√Á«°’ˇ¡μ√μàÕ«‘π“∑’ 15. √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¡’‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡¬“« 14 ‡´π쑇¡μ√ ∫√√®ÿ„π«ß°≈¡ ‚¥¬¡’®ÿ¥¬Õ¥ ∑—Èß ’ËÕ¬àŸ∫π‡ âπ√Õ∫«ß ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡∑’ËÕ¬ŸàπÕ°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ‡ªìπ°’ˇ∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√—  (°”Àπ¥ π = 272) 16. π”≈«¥‡ πâ ÀπßË÷ ¡“¢¥‡ªπì «ß°≈¡‰¥æâ πÈ◊ ∑¿’Ë “¬„π«ß°≈¡‡∑“à °∫— 1,386 μ“√“߇´π쇑 ¡μ√ ·μπà ”¡“¢¥ ‡ªπì √ªŸ  ‡’Ë À≈¬’Ë ¡¡¡ÿ ©“°‚¥¬„À§â «“¡¬“«¥“â π·μ≈à –¥“â π‡ªπì ®”π«π‡μ¡Á ∑¡’Ë “°°«“à 30‡´π쇑 ¡μ√ ·≈â«√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°π’È¡’æ◊Èπ∑’Ë¡“°∑’Ë ¥ÿ °’Ëμ“√“߇´π쑇¡μ√ (°”Àπ¥ π = 22) 7 17. ®ßÀ“«à“®¥ÿ μ—¥¢Õß°√“ø¢Õß ¡°“√ x › 3y = 1 ·≈– 2x2 › 3xy › 20 = 0 ¡’√–¬– Àà“ß°—π°’ËÀπ૬ 18. ®“°√ªŸ °”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°∑’Ë¡’¡ÿ¡ BCA ‡ªìπ¡¡ÿ ©“° BN ·≈– CM ‡ªìπ‡ âπ¡—∏¬∞“π ∂â“ BN ⊥ CM ·≈– BC ¬“« 6 Àπ૬ ·≈â« BN ¬“«°’ËÀπ૬ C N O B MA 19. A ¢—∫√∂¬πμå¥â«¬§«“¡‡√Á« 80 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß À≈—ß®“°ÕÕ°‡¥‘π∑“߉¥â 45 π“∑’ B ¢—∫√∂¬πμåÕÕ°®“°μ”·Àπà߇¥’¬«°—∫ A ¥â«¬§«“¡‡√Á« 120 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ‡ªìπ‡«≈“ 20 π“∑’ ®“°π—ÈπÀ¬¥ÿ æ—° 10 π“∑’ ·≈⫇¥‘π∑“ßμàե⫬§«“¡‡√Á« 90 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ®ßÀ“«à“ B ®–‡¥‘π∑“ß∑—π A ‡¡◊ËÕ A ‡¥‘π∑“߉¥â°’Ë™—Ë«‚¡ß °’Ëπ“∑’ 20. ‡»… à«π®”π«πÀπ÷Ëß ‡¡◊ËÕπ” 2 ¡“∫«°‡≈¢‚¥¥¢Õßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π ®–∑”„À⇻… à«ππ—Èπ‡ªìπ 7 10 5 ·≈–‡¡◊ËÕπ” 4 ¡“≈∫‡≈¢‚¥¥¢Õßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π ®–∑”„À⇻… à«ππ—Èπ‡ªìπ 8 ®ßÀ“«à“ ‡»… à«π®”π«ππ—Èπ‡ªìπ‡∑à“„¥ 64 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μÕπ∑’Ë 2 21. ®ßÀ“§«“¡¬“«¥“â π¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡¥“â π‡∑“à ∑¡Ë’ ¢’ 𓥄À≠∑à  Ë’ ¥ÿ ∑∫Ë’ √√®Õÿ ¬„Ÿà π√ªŸ  ‡Ë’ À≈¬Ë’ ¡ ®—μÿ√— ∑’Ë¡’§«“¡¬“«¥â“π 1 Àπ૬ 22. ∂â“™“¬§πÀπ÷Ë߬◊πÕ¬àŸ∫πæ◊Èπ√“∫∑’Ë®¥ÿ A ®–¡Õ߇ÀÁπ¬Õ¥‡ “∏ߥ⫬¡ÿ¡‡ß¬ 15 Ì ·≈–∂Ⓡ¢“ ‡¥π‘ ‡¢“â À“‡ “∏ß 50 ‡¡μ√ ‡¢“®–¡Õ߇ÀπÁ ¬Õ¥‡ “∏ߥ«â ¬¡¡ÿ ‡ß¬ 45 Ì ®ßÀ“§«“¡ ßŸ ¢Õ߇ “∏ßπ’È μÕ∫„π√Ÿª∑»π‘¬¡ 2 μ”·Àπàß (°”Àπ¥ 3 = 1.732) 23. ∂â“ d ‡ªìπ À.√.¡. ¢Õß n › 1 °—∫ n2 + n + 1 ‡¡◊ËÕ n ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ·≈⫺≈∫«°¢Õß d ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥¡’§à“‡∑à“„¥ 24. ∂â“ 19x › 8 + A + B ·≈â« A › B ¡’§à“‡∑à“„¥ 2x2 › x ›21 2x › 7 x+3 25. ∂â“ ABCD ‡ªìπ√ªŸ  ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¬“«¥â“π≈– 28 Àπ૬ ‚¥¬¡’ M ‡ªìπ®ÿ¥∫π AD ∑’Ë∑”„Àâ AM = 3MD, ¡’ I ‡ªìπ®¥ÿ ∫π CD ∑’Ë∑”„Àâ¡¡ÿ IBM ‡∑à“°—∫¡ÿ¡ ABM ·≈–¡’ N ‡ªìπ®¥ÿ ∫π CD ∑’Ë∑”„Àâ BN ·∫àߧ√÷Ëß¡¡ÿ IBC ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BMN ‡∑à“°—∫°’Ëμ“√“ßÀπ૬ 1›a›b 26. ∂â“ 60a = 3 ·≈– 60b = 5 ·≈â« 122(1 › b) ¡’§à“‡∑à“„¥ 27. °”Àπ¥ ABCD ‡ªìπ√ªŸ  ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¬“«¥â“π≈– 900 Àπ૬ ‚¥¬∑’Ë O ‡ªìπ®¥ÿ μ—¥¢Õß ‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ ·≈–¡’ E, F ‡ªìπ®ÿ¥∫π¥â“π AD ‚¥¬∑’Ë®ÿ¥ E Õ¬Ÿà√–À«à“ß A °—∫ F ∂â“ DF = 400 Àπ૬ ·≈–¡¡ÿ EOF = 45 Ì ·≈â« AE ¬“«°’ËÀπ૬ 28. ABCDEFGH ‡ªìπ√Ÿª·ª¥‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡‡∑à“∑’Ë¡’¥â“𬓫 2, 2 2, 4, 4 2, 6, 7, 7 ·≈– 8 Àπ૬ ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 65

29. °”Àπ¥ x, y ·≈– z ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷Ëß Õ¥§≈âÕß°—∫√–∫∫ ¡°“√ x2(y + z)2 = (3x2 + x + 1)y2z2 y2(z + x)2 = (4y2 + y + 1)z2x2 z2(x + y)2 = (5z2 + z + 1)x2y2 ·≈â« 1 + 1 + 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ xy z 30. °”Àπ¥√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ¡’®ÿ¥¬Õ¥ A(1, 6), B(›2, 3) ·≈– C(3, ›4) ∂Ⓡ≈◊ËÕπ®ÿ¥ A ¢π“π‰ª∑“ߢ«“ 3 Àπ૬ ¢÷Èπ‰ª¢â“ß∫π 2 Àπ૬  –∑âÕπ®¥ÿ B ¢â“¡·°π Y ·≈–À¡πÿ ®ÿ¥ C √Õ∫®ÿ¥°”‡π‘¥∑«π‡¢Á¡π“Ãî°“‡ªìπ¡ÿ¡ 180 Ì ·≈â«√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡∑’ˇ°‘¥®“°°“√‡≈◊ËÕπ ¥—ß°≈à“«®–¡’æ◊Èπ∑’ˇªìπ°’ˇ∑à“¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC 66 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥μ‘ »“ μ√å √–¥∫— ™à«ß™πÈ— ∑Ë’ 3 ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°π°— ‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑Ë’°“√»÷°…“ ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ Ê ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ Ê ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß 30 π“∑’ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 67

μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢μæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ ¡’ 2 μÕπ ¥—ßπ’È μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 1. º≈∫«°∑—ÈßÀ¡¥¢Õß®”π«ππ—∫∑’ËÀ“√ 2,550 ≈ßμ—« ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 2,550 = 25(102) = 52 Ó 2 Ó 51 = 52 Ó 2 Ó 3 Ó 17 = 2 Ó 3 Ó 52 Ó 17 º≈∫«° (1 + 2)(1 + 3)(1 + 5 + 52)(1 + 17) = (3)(4)(31)(18) = 6,696 μÕ∫ 6,696 68 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

2. ∂â“ 1 + 1 = 48 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥ 6 39 1 + 1 + x 5 ·π«§‘¥ 48 = 1+ 9 39 39 = 1 + 1 39 9 1 = 1 + 1 + 30 9 1 = 1+6 9 5 = 1 6 1+ 4 1 + 5 x =4 μÕ∫ 4 3. 1 + 2(1 + 1 ) + 3 (1 + 1 ) + 4 (1 + 1 ) + ... + 100 (1 + 1100) ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 3 4 «‘∏’∑” 1 + 2 (1 + 1 ) + 3 (1 + 1 ) + 4 (1 + 1 ) + ... + 100(1 + 1100) 2 3 4 = 1 + 2( 3 ) + 3( 4 ) +4( 5 )+ ... + 100(101) 2 3 4 100 = 1 + 3 + 4 + 5 + ... + 101 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 101 › 2 = (101 )(101 + 1) › 2 2 = 5,149 μÕ∫ 5,149 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 69

4. ®ß‡√’¬ß®”π«πμàÕ‰ªπ’È®“°πâÕ¬‰ª¡“° 2514, 4258, 8171, 16128 ·≈– 32103 ·π«§‘¥ ∑”∞“π„Àâ‡∑à“°—𠇪ìπ 2 2514 = 2514 4258 = (22)258 = 2516 8171 = (23)171 = 2513 16128 = (24)128 = 2512 32103 = (25)103 = 2515 ‡¡Õ◊Ë æ®‘ “√≥“‡≈¢¬°°”≈ß— ∑¡’Ë ∞’ “π‡¥¬’ «°π— ∂“â ‡≈¢™°’È ”≈ß— „¥¡“°°«“à ®”π«πππ—È °¡Á “°°«“à ¥«â ¬ ¥—ßπ—Èπ 2512 = 16128, 2513 = 8171, 2514, 2515 = 32103, 2516 = 4258 ®”π«π∑’Ë„Àâ¡“‡√’¬ß®“°πâÕ¬‰ªÀ“¡“°§◊Õ 16128, 8171, 2514, 32103, 4258 μÕ∫ 16128, 8171, 2514, 32103, 4258 5. ¢“¬ ‘π§â“ 2 ™‘Èπ‰ª√“§“™‘Èπ≈– 9,999 ∫“∑ ´÷Ëß™‘Èπ·√°‰¥â°”‰√ 10%  à«π™‘Èπ∑’Ë Õߢ“¥∑ÿπ 10% ∂â“¢“¬‰ª∑—Èß Õß™‘Èπ ·≈⫉¥â°”‰√À√◊Õ¢“¥∑πÿ °’Ë∫“∑ ·π«§‘¥ ¢“¬™‘Èπ·√°‰¥â°”‰√ 10% ¢“¬ 110 ∫“∑ ®“°∑πÿ 100 ∫“∑ ¢“¬ 9,999 ∫“∑ ®“°∑πÿ ™‘Èπ·√°‰¥â°”‰√ 909 ∫“∑ 100 Ó 9,999 = 9,090 ∫“∑ 110 ™‘Èπ∑’Ë 2 ¢“¥∑πÿ 10% ¢“¬ 90 ∫“∑ ®“°∑πÿ 100 ∫“∑ ¢“¬ 9,999 ∫“∑ ®“°∑πÿ 100 Ó 9,999 = 11,110 ∫“∑ 90 ™‘Èπ∑’Ë 2 ¢“¥∑πÿ 11,110 › 9,999 = 1,111 ∫“∑ ¢“¬ 2 ™‘Èπ ¢“¥∑πÿ 1,111 › 909 = 202 ∫“∑ μÕ∫ ¢“¥∑ÿπ 202 ∫“∑ 70 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

6. ∂â“ x = 3 5 + 1 ·≈– y = 3 5 › 1 ·≈â« x6 › y6 › 3x2y2(x2 › y2) ¡’§à“‡∑à“„¥ 22 ·π«§‘¥ x6 › y6 › 3x2y2(x2 › y2) = (x2)3 › (y2)3 › 3(x2)2y2 + 3x2(y2)2 = (x2 › y2)3 = [(x › y)(x + y)]3 ]=[(3 3 1)( 3 3 ) 3 5 + 1 › 5 › 5 + 1 + 5 › 1 2 2 2 2 = (1 Ó 3 5 )3 =5 μÕ∫ 5 7. Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡Àπ÷Ëß¡’®”π«πÀπⓉ¡à‡°‘π 100 Àπâ“ ∂â“©’°Àπ—ß ◊ÕÕÕ° 1 ·ºàπ ·≈â«π”‡≈¢Àπâ“ ¢ÕßÀπ—ß ◊Õ∫«°°—π®–‰¥â 2,195 ®ßÀ“«à“Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥°’ËÀπâ“ ·π«§‘¥ ∑¥≈Õß∫«°μ—«‡≈¢Àπâ“®“° 1 ∂÷ß ®”π«ππ—∫Õ◊Ëπ Ê „À≥âº≈≈—æ∏å„°≈⇧’¬ß°—∫ 2,195 ‡™àπ 1 + 2 + 3 + ... + 60 = 60 (60 + 1) 2 = 30(61) = 1,830 À√◊Õ 1 + 2 + 3 + ... + 66 = 66 (67) = 2,211 2 ∴ ®–‰¥â«à“ 2,211 ‹› 2,195 = 16 ´÷Ë߉¡à “¡“√∂À“®”π«π∑’Ë¡’Õ¬Ÿàμ‘¥°—π√«¡°—π‰¥â 16 ®÷ß∑¥≈Õß 1 + 2 + 3 +...+ 66 + 67 = 2,278 ®–‰¥â 2,278 › 2,195 = 83 = 41 + 42 ¥—ßπ—Èπ Àπ—ß ◊Õ‡≈à¡π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥ 67 Àπâ“ μÕ∫ 67 Àπâ“ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 71

8. ®“°√Ÿª Δ ABC ¡’æ◊Èπ∑’Ë 18 μ“√“ßÀπ૬ ‚¥¬∑’Ë AB = BC, BE ⊥ AC ·≈– AD ⊥ BC ∂â“ AC = 4 Àπ૬ ·≈â« AD ¬“«‡∑à“°—∫°’ËÀπ૬ A E B C D ·π«§‘¥ ‡π◊ËÕß®“° Δ ABC ¡’ AB = BC ¥—ßπ—Èπ Δ ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë« ®–‰¥â BC^A = BA^C ·≈– AE = EC = 2 Àπ૬ ( ¡∫—μ‘¢Õß Δ Àπâ“®—Ë«) æ◊Èπ∑’Ë Δ ABC = 1 Ó AC Ó BE 2 18 = 1 Ó 4 Ó BE 2 BE Δ BCE; BC2 =9 = 92 + 22 BC = 85 ‡π◊ËÕß®“° Δ ADC ∼ Δ BEC (BC^E = AC^D, B^EC = A^DC, CA^D = C^BE) ®–‰¥â AD =4 9 85 AD = 36 85 AD = 36 85 85 π—Ëπ§◊Õ AD ¬“« 36 85 Àπ૬ 85 μÕ∫ 36 85 Àπ૬ 85 72 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

9. ∂â“√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ëß¡’®¥ÿ ¬Õ¥ “¡®ÿ¥§◊Õ®¥ÿ (›5, 0), ®¥ÿ (0, 0) ·≈–®¥ÿ ¬Õ¥¢Õß°√“ø y = x2 + 5x + 7 ·≈â«√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡√ªŸ π’È¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ ·π«§‘¥ = x2 + 5x + 7 y = x2 + 5x + (5)2 + 7 › ( 5)2 22 = (x + 5 )2 + 7 › 25 2 4 = (x + 5)2 + 3 24 ®¥ÿ ¬Õ¥ Δ §◊Õ (› 5 , 3 ), (›5, 0), (0, 0) 2 4 æ∑. Δ = 1 Ó (5) Ó (43 ) μ“√“ßÀπ૬ 2 μÕ∫ 15μ“√“ßÀπ૬ 8 10. π”√ŸªÀⓇÀ≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡ÿ¡‡∑à“¡“μàÕ°—π¥—ß√Ÿª ‚¥¬„Àâ·μà≈–√Ÿª∑’Ë¡“μàÕ°—π¡’¥â“π√à«¡°—π ‡æ’¬ßÀπ÷Ëߥâ“π ∂â“„Àâ n ·∑π®”π«π√ªŸ ∑’Ëπ”¡“μàÕ°—π ·≈– f(n) ·∑π®”π«π¥â“π¢Õß√ªŸ n √ªŸ ·≈â« f(2,007) ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ®”π«π√ªŸ n 12 34 ... n ®”π«π¥â“π ƒ(n) 5 9 13 17 ... 4n + 1 ƒ(n) = 4n + 1 ƒ(2,007) = (4 Ó 2,007) + 1 = 8,029 μÕ∫ 8,029 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 73

11. ®“°√ªŸ ABCDEF ‡ªìπ√ªŸ À°‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“¡ÿ¡‡∑à“ ∂â“Õ—μ√“ à«π√–À«à“ßæ◊Èπ∑’Ë à«π∑’Ë·√‡ß“ °—∫æ◊Èπ∑’Ë√ªŸ À°‡À≈’ˬ¡ ABCDEF ‡∑à“°—∫ a : b ·≈– À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a2 + b2 ¡’§à“‡∑à“„¥ A B FC ED ·π«§‘¥ AB 23 4 6 18 1 5 F 16 15 7 8 C 17 12 11 9 13 10 E 14 D 2 æ◊Èπ∑’Ë·√‡ß“ = 12 = 2 æ◊Èπ∑’Ë√ŸªÀ°‡À≈’ˬ¡ 18 3 ®–‰¥â a = 2, b = 3 μÕ∫ ¥—ßπ—Èπ 23 + 32 = 4 + 9 = 13 12. 2404 › 2400 + 45 ¡’§à“‡∑à“„¥ 2400 + 3 ·π«§‘¥ 24 ›‹ 1 2400 + 3)2404 › 2400 + 45 2404 + 3.24 ›2400 › 3.24 + 45 ›2400 › 3 › 48 + 48 24 › 1 = 15 μÕ∫ 15 74 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

13.  àÿ¡À¬‘∫ ≈“°∑’Ë¡’‡≈¢‚¥¥ 1 ∂÷ß 1000 ‡¢’¬π°”°—∫‰«â „∫≈– 1 ®”π«π ¡“ 1 „∫ ∂ⓧ«“¡πà“®–‡ªìπ ∑’ˉ¥â ≈“°∑’Ë®”π«ππ—Èπ¬°°”≈—ß Õß·≈â«À“√¥â«¬ 2 ≈ßμ—« ‡∑à“°—∫ a ‚¥¬∑’Ë b ≠ 0 b ·≈– À.√.¡. ¢Õß a °—∫ b ‡∑à“°—∫ 1 ·≈â« a + b ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ æ‘®“√≥“®”π«π§Ÿà∑’ˬ°°”≈—ß Õß·≈⫉¡à‡°‘π 1000 ‰¥â·°à 22, 42, ..., (30)2 ´÷Ëß¡’∑—ÈßÀ¡¥ 15 ®”π«π §«“¡πà“®–‡ªìπ∑’ˉ¥â§◊Õ 15 = 3 1000 200 ¥—ßπ—Èπ a = 3, b = 200 π—Ëπ§◊Õ a + b = 203 μÕ∫ 203 14. ·¥ß´âÕ¡¬‘ߪóπ ‚¥¬«“ß°√–∫Õ°ªóπ∑”¡ÿ¡ 30 Ì °—∫·π«æ◊Èπ√“∫ ·≈–¡’‡ªÑ“∑’ËμâÕß°“√¬‘ß Õ¬Ÿà Ÿß®“°æ◊Èπ√“∫ 12 ‡¡μ√ ∂â“®—∫‡«≈“‡¡◊ËÕ‡√‘Ë¡¬‘ß®π≈Ÿ°°√– ÿπ°√–∑∫‡ªÑ“ ®–„™â‡«≈“ 3 «‘π“∑’ ·≈â«≈°Ÿ °√– πÿ ¡’§«“¡‡√Á«°’ˇ¡μ√μàÕ«‘π“∑’ ·π«§‘¥ X 12 30 Ì 12 ®“°√ªŸ sin 30 Ì = x 1 12 2= x = 24 π—Ëπ§◊Õ „π‡«≈“ 3 «‘π“∑’ °√– πÿ ªóπ‡§≈◊ËÕπ∑’ˉ¥â√–¬–∑“ß 24 ‡¡μ√ Õ—μ√“‡√Á«¢Õß°√– πÿ ªóπ 8 ‡¡μ√/«‘π“∑’ μÕ∫ 8 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 75

15. √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¡’‡ âπ∑·¬ß¡ÿ¡¬“« 14 ‡´π쑇¡μ√ ∫√√®ÿ„π«ß°≈¡‚¥¬¡’®ÿ¥¬Õ¥∑—Èß ’Ë Õ¬àŸ∫π‡ âπ√Õ∫«ß ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡∑’ËÕ¬ŸàπÕ°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ‡ªìπ°’ˇ∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª  ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μ√ÿ —  (°”Àπ¥ π = 22) 7 14111111111111111111111222222222222222222222333333333333333333333444444444444444444444555555555555555555555666666666666666666666777777777777777777777888888888888888888888999999999999999999999000000000000000000000111111111111111111111222222222222222222222333333333333333333333444444444444444444444555555555555555555555666666666666666666666777777777777777777777888888888888888888888999999999999999999999000000000000000000000111111111111111111111 ·π«§‘¥ ®“°√ªŸ æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡∑’ËÕ¬àŸπÕ°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μ√ÿ —  = πr2 › ( 1 Ó 14 Ó 14) 2 = ( 22 Ó 7 Ó 7) › (7 Ó 14) 7 = 7(22 › 14) = 56 ¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë«ß°≈¡∑’ËÕ¬ŸàπÕ°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ‡ªìπ 56 = 4 ‡∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√—  7 Ó 14 7 μÕ∫ 4 7 16. π”≈«¥‡ πâ ÀπßË÷ ¡“¢¥‡ªπì «ß°≈¡‰¥æâ πÈ◊ ∑¿’Ë “¬„π«ß°≈¡‡∑“à °∫— 1,386 μ“√“߇´π쇑 ¡μ√ ·μπà ”¡“¢¥ ‡ªπì √ªŸ  ‡’Ë À≈¬’Ë ¡¡¡ÿ ©“°‚¥¬„À§â «“¡¬“«¥“â π·μ≈à –¥“â π‡ªπì ®”π«π‡μ¡Á ∑¡’Ë “°°«“à 30‡´π쇑 ¡μ√ ·≈â«√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¡¡ÿ ©“°π’È¡’æ◊Èπ∑’Ë¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ëμ“√“߇´π쑇¡μ√ (°”Àπ¥ π = 22 ) 7 ·π«§‘¥ ‡ âπ√Õ∫«ß πr2 = 1,386 μ“√“߇´π쑇¡μ√ §«“¡°«â“ß + §«“¡¬“« r2 = 1,386 Ó 7 μ“√“߇´π쑇¡μ√ r2 = μ“√“߇´π쑇¡μ√ 22 ‡´π쑇¡μ√ r= 63 Ó 7 ‡´π쑇¡μ√ 2πr = ‡´π쑇¡μ√ 21 ‡´π쑇¡μ√ = 2 Ó 22 Ó 21 = 7 132 66 76 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

§«“¡°«â“ß ¡“°°«à“ 30 ‡´π쑇¡μ√ æ◊Èπ∑’Ë 31 Ó 35 = 1,085 μ“√“߇´π쑇¡μ√ æ◊Èπ∑’Ë 32 Ó 34 = 1,088 μ“√“߇´π쑇¡μ√ æ◊Èπ∑’Ë 33 Ó 33 = 1,089 μ“√“߇´π쑇¡μ√ μÕ∫ 1,089 μ“√“߇´π쑇¡μ√ 17. ®ßÀ“«à“®¥ÿ μ—¥¢Õß°√“ø¢Õß ¡°“√ x › 3y = 1 ·≈– 2x2 › 3xy › 20 = 0 ¡’√–¬– Àà“ß°—π°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ x › 3y = 1 .............................. 2x2 › 3xy › 20 = 0 .............................. ®“° ; x = 1 + 3y ·∑π„π ®–‰¥â 2(1 + 3y)2 › 3(1 + 3y)y › 20 = 0 2(1 + 6y + 9y2) › (3y + 9y2) › 20 = 0 2 + 12y + 18y2 › 3y › 9y2 › 20 = 0 9y2 + 9y › 18 =0 y2 + y › 2 =0 (y › 1)(y + 2) =0 y = 1 À√◊Õ ›2 ·∑π§à“ y = 1 ®–‰¥â x = 1 + 3 = 4 y = ›2 ®–‰¥â x = 1 + 3(›2) = ›5 ®ÿ¥μ—¥§◊Õ (4, 1) ·≈– (›5, ›2) Y (4, 1) X 3 (›5, ›2) 9 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 77

√–¬–√–À«à“ß (4, 1) ·≈– (›5, ›2) §◊Õ (›5 ›4)2 + (›2 ›1)2 Àπ૬ = 81 + 9 Àπ૬ = 90 Àπ૬ = 3 10 Àπ૬ μÕ∫ 3 10 Àπ૬ 18. ®“°√ªŸ °”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°∑’Ë¡’¡ÿ¡ BCA ‡ªìπ¡ÿ¡©“° BN ·≈– CM ‡ªìπ‡ âπ¡—∏¬∞“π ∂â“ BN ⊥ CM ·≈– BC ¬“« 6 Àπ૬ ·≈â« BN ¬“«°’ËÀπ૬ C 6N O BM A ·π«§‘¥ 1. BC^N = BO^C μà“ß°Á‡∑à“°—∫ 90 Õß»“ 2. C^BN = OB^C (¡ÿ¡√à«¡) 3. BN^C = BC^O (®“°¢âÕ 1, 2 ¡ÿ¡§àŸ∑’Ë “¡¢Õß√ªŸ Δ) 4. Δ BCN ∼ Δ BOC (®“°¢âÕ 1, 2, 3) π—Ëπ§◊Õ BN = BC BC BO „Àâ BN = 3x ®–‰¥â BO = 2x ∴ 3x = 6 6 2x 6x2 = 6 x2 = 1 x = ±1 (§à“ ›1 „™â‰¡à‰¥â) π—Ëπ§◊Õ BN ¬“« 3(1) = 3 Àπ૬ μÕ∫ 3 Àπ૬ 78 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

19. A ¢—∫√∂¬πμå¥â«¬§«“¡‡√Á« 80 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß À≈—ß®“°ÕÕ°‡¥‘π∑“߉¥â 45 π“∑’ B ¢—∫√∂¬πμåÕÕ°®“°μ”·Àπà߇¥’¬«°—∫ A ¥â«¬§«“¡‡√Á« 120 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ‡ªìπ‡«≈“ 20 π“∑’ ®“°π—ÈπÀ¬ÿ¥æ—° 10 π“∑’ ·≈⫇¥‘π∑“ßμàե⫬§«“¡‡√Á« 90 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ®ßÀ“«à“ B ®–‡¥‘π∑“ß∑—π A ‡¡◊ËÕ A ‡¥‘π∑“߉¥â°’Ë™—Ë«‚¡ß °’Ëπ“∑’ ·π«§‘¥ A ‡¥‘π∑“ß x ™¡. ¥â«¬Õ—μ√“‡√Á« 80 °¡./™¡. ‰¥â∑“ß 80x °‘‚≈‡¡μ√ B ‡¥‘π∑“ß 120 °¡./™¡. ‡ªìπ‡«≈“ 20 π“∑’ ‰¥â∑“ß 120 Ó 20 = 40 °‘‚≈‡¡μ√ 60 B À¬ÿ¥æ—° 10 π“∑’ ·≈⫇¥‘π∑“ßμàե⫬§«“¡‡√Á« 90 °¡./™¡. „™â‡«≈“ x › 75 ™¡. 60 ‰¥â∑“ß 90(x › 54) °‘‚≈‡¡μ√ √∂∑—Èß Õß∑—π°—π · ¥ß«à“√–¬–∑“ß∑’Ë√∂∑—Èß Õß«‘Ë߇∑à“°—π π—Ëπ§◊Õ 80x = 40 + 90(x › 5 ) 4 ›10x = ›145 2 x = 145 20 x = 71 4 ∴ A ‡¥‘π∑“߉¥â 7 ™—Ë«‚¡ß 15 π“∑’ μÕ∫ A ‡¥‘π∑“߉¥â 7 ™—Ë«‚¡ß 15 π“∑’ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 79

20. ‡»… à«π®”π«πÀπ÷Ëß ‡¡◊ËÕπ” 2 ¡“∫«°‡≈¢‚¥¥¢Õßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π ®–∑”„À⇻… à«ππ—Èπ‡ªìπ 7 10 5 ·≈–‡¡◊ËÕπ” 4 ¡“≈∫‡≈¢‚¥¥¢Õßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π ®–∑”„À⇻… à«ππ—Èπ‡ªìπ 8 ®ßÀ“«à“ ‡»… à«π®”π«ππ—Èπ‡ªìπ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „À⇻… à«π®”π«ππ—Èπ§◊Õ x y π” 2 ∫«°‡≈¢‚¥¥∑—Èßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π‰¥â x + 2 = 7 ................. ➊ y + 2 10 π” 4 ‰ª≈∫‡≈¢‚¥¥∑—Èßμ—«‡»…·≈–μ—« à«π‰¥â x › 4 = 5 ................. ➋ y›4 8 ®“° ➊; 10x + 20 = 7y + 14 10x › 7y = ›6 50x › 35y = ›30 ®“° ➋; 8x › 32 = 5y › 20 ........................... ➌ 8x › 5y = 12 56x › 35y = 84 ................................... ➍ ➍ › ➌ 6x = 114 x = 114 6 x = 19 ·∑π x = 19 ®–‰¥â y = 12 › 152 ›5 y = 28 ‡»… à«π®”π«ππ—Èπ§◊Õ 19 28 μÕ∫ 19 28 80 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μÕπ∑’Ë 2 21. ®ßÀ“§«“¡¬“«¥“â π¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡¥“â π‡∑“à ∑¡Ë’ ¢’ 𓥄À≠∑à  Ë’ ¥ÿ ∑∫Ë’ √√®Õÿ ¬„àŸ π√ªŸ  ‡Ë’ À≈¬Ë’ ¡ ®—μÿ√— ∑’Ë¡’§«“¡¬“«¥â“π 1 Àπ૬ ·π«§‘¥ C1 P y „Àâ PQR ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“∑’Ë¡’¢π“¥„À≠à∑’Ë ÿ¥ Q ´÷Ëß¡’¥â“𬓫¥â“π≈– y Àπ૬ 1 „Àâ CQ = RB = x Àπ૬ ®–‰¥â QA = AR = 1 › x Àπ૬ A R B ®“° Δ ¡¡ÿ ©“° PCQ ®–‰¥â y2 = 1 + x2 ®“° Δ ¡¡ÿ ©“° ARQ ®–‰¥â y2 = (1 › x)2 + (1 › x)2 ¥—ßπ—Èπ 1 + x2 = 1 › 2x + x2 + 1 › 2x + x2 x2 › 4x + 1 = 0 x = 4 ± 16 › 4 2 = 2± 3 ∴ ®–‰¥â x = 2 › 3 ( 2 + 3 > 1) ®“° y2 = 1 + x2 y2 = 1+4›43+3 y = 8 › 4 3 „™â‡©æ“–§à“∫«° π—Ëπ§◊Õ §«“¡¬“«¥â“π¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“∑’Ë¡’¢π“¥„À≠à∑’Ë ÿ¥ = 2 2 › 3 Àπ૬ μÕ∫ 2 2 › 3 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 81

22. ∂â“™“¬§πÀπ÷Ë߬◊πÕ¬Ÿà∫πæ◊Èπ√“∫∑’Ë®¥ÿ A ®–¡Õ߇ÀÁπ¬Õ¥‡ “∏ߥ⫬¡¡ÿ ‡ß¬ 15 Ì ·≈–∂Ⓡ¢“ ‡¥π‘ ‡¢“â À“‡ “∏ß 50 ‡¡μ√ ‡¢“®–¡Õ߇ÀπÁ ¬Õ¥‡ “∏ߥ«â ¬¡¡ÿ ‡ß¬ 45 Ì ®ßÀ“§«“¡ ßŸ ¢Õ߇ “∏ßπ’È μÕ∫„π√Ÿª∑»π‘¬¡ 2 μ”·Àπàß (°”Àπ¥ 3 = 1.732) ·π«§‘¥ D ) ) )15 Ì 30 Ì 45 Ì x C A E Bx ∑’Ë®ÿ¥ E ≈“° DE ∑”„Àâ¡ÿ¡ DEB = 30 Ì „Àâ DC = x = BC „π Δ DEC; sin 30 Ì = x DE 1x 2 = DE DE = 2x „π Δ AED; ¡ÿ¡ DEA = 180 Ì › 30 Ì = 150 Ì ®–‰¥â¡¡ÿ ADE = 15 Ì Δ AED ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë« AE = 2x „π Δ DEC; tan 30 Ì = x EB + x 1= x 3 EB + x EB = 3 x › x = ( 3 › 1)x = 50 › 2x x = 50 ⋅ 3 ›‹ 1 = 50( 3 ‹› 1) 3+1 3›1 2 = 25(1.732 › 1) = 25(0.732) = 18.30 ‡¡μ√ μÕ∫ 18.30 ‡¡μ√ 82 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

23. ∂â“ d ‡ªìπ À.√.¡. ¢Õß n › 1 °—∫ n2 + n + 1 ‡¡◊ËÕ n ‡ªìπ®”π«ππ—∫ ·≈⫺≈∫«°¢Õß d ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ‡π◊ËÕß®“° n2 + n + 1 = (n › 1)(n + 2) + 3 d ‡ªìπ À.√.¡. ¢Õß n › 1 °—∫ n2 + n + 1 ¥—ßπ—Èπ d À“√ n › 1 ≈ßμ—« ·≈– d À“√ n2 + n + 1 ≈ßμ—« ®–‰¥â d À“√ (n › 1)(n + 2) + 3 ≈ßμ—« ·μà d À“√ (n › 1)(n + 2) ≈ßμ—« ¥—ßπ—Èπ d À“√ 3 ≈ßμ—« ®–‰¥â d §◊Õ 1 À√◊Õ 3 º≈∫«°¢Õß d ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥§◊Õ 1 + 3 = 4 μÕ∫ 4 24. ∂â“ 19x › 8 = A + B ·≈â« A › B ¡’§à“‡∑à“„¥ 2x2 › x › 21 2x › 7 x + 3 ·π«§‘¥ 19x › 8 = A +B 2x2 › x › 21 2x › 7 x + 3 = A(x + 3) + B(2x › 7) (2x › 7)(x + 3) (A + 2B)x + (3A › 7B) = 2x2 › x › 21 ‚¥¬°“√‡∑’¬∫ —¡ª√– ‘∑∏‘Ï ®–‰¥â A + 2B = 19 ........................................... ➊ 3A › 7B = ›8 ........................................... ➋ ➊ Ó 3, 3A + 6B = 57 ........................................... ➌ ➌ › ➋, 13B = 65 B =5 ®–‰¥â A =9 ¥—ßπ—Èπ A › B = 9 › 5 = ›2 μÕ∫ ›2 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 83

25. ∂â“ ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¬“«¥â“π≈– 28 Àπ૬ ‚¥¬¡’ M ‡ªìπ®ÿ¥∫π AD ∑’Ë∑”„Àâ AM = 3MD, ¡’ I ‡ªìπ®ÿ¥∫π CD ∑’Ë∑”„Àâ¡ÿ¡ IBM ‡∑à“°—∫¡¡ÿ ABM ·≈–¡’ N ‡ªìπ®¥ÿ ∫π CD ∑’Ë∑”„Àâ BN ·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡ IBC ·≈â«æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BMN ‡∑à“°—∫°’Ëμ“√“ßÀπ૬ ·π«§‘¥ N´ A 28 7 ) B x ) 21 ) ) M 7S D I Nx C À¡πÿ √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BCN √Õ∫®ÿ¥ B μ“¡‡¢Á¡π“Ãî°“‡ªìπ¡¡ÿ 90 Ì ®–‰¥â Δ BN′M ≅ Δ BNM (¥.¡.¥.) ¥—ßπ—Èπ BN^′M = BN^M = BN^C Δ BSN ≅ Δ BCN „Àâ CN = x ®–‰¥â ND = 28 › x ·≈– MN = 21 + x √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° DMN; (28 › x)2 + 72 = (21 + x)2 ∴x=4 æ◊Èπ∑’Ë Δ MDN = 1 Ó 7 Ó 24 = 84 μ“√“ßÀπ૬ 2 æ◊Èπ∑’Ë Δ BMN = 282 › 1 Ó 21 Ó 28 › 1 Ó 4 Ó 28 › 84 μ“√“ßÀπ૬ 2 2 = 28(28 › 21 + 4 ) › 84 μ“√“ßÀπ૬ 2 = 28 Ó 31 › 84 μ“√“ßÀπ૬ 2 = 350 μ“√“ßÀπ૬ μÕ∫ 350 μ“√“ßÀπ૬ 84 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

1›a›b 26. ∂â“ 60a = 3 ·≈– 60b = 5 ·≈â« 122(1 › b) ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 12 = 60 = 60 = 601 › b 5 60b 1›a›b 1›a›b ∴ 12 2(1 › b) = (601 › b)2(1 › b) 1 = (601 › a › b)2 ( ) ( )1 1 = 60 2 = 60 2 60a Ó 60b 3Ó5 =2 μÕ∫ 2 27. °”Àπ¥ ABCD ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—μÿ√— ¬“«¥â“π≈– 900 Àπ૬ ‚¥¬∑’Ë O ‡ªìπ®ÿ¥μ—¥ ¢Õ߇ âπ∑·¬ß¡ÿ¡ ·≈–¡’ E, F ‡ªìπ®ÿ¥∫π¥â“π AD ‚¥¬∑’Ë E Õ¬Ÿà√–À«à“ß A °—∫ F ∂â“ DF = 400 Àπ૬ ·≈–¡¡ÿ EOF = 45 Ì ·≈â« AE ¬“«°’ËÀπ૬ ·π«§‘¥ „Àâ AE = x Àπ૬ AB EF = 500 › x Àπ૬ x E °”Àπ¥®ÿ¥ P ∫π CD ) 500 ›‹ x 45 Ì O ∑”„Àâ DP = AE F )45 Ì ≈“° OP D P ®–‰¥â Δ AOE ≅ Δ DOP C ≈“° FP ®–‰¥â Δ OEF ≅ Δ OFP FP = 500 › x √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡¡¡ÿ ©“° FDP ¡’ (500 › x)2 = x2 + 4002 ∴ x = 90 Àπ૬ μÕ∫ 90 Àπ૬ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 85

28. ABCDEFGH ‡ªìπ√Ÿª·ª¥‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡‡∑à“ ∑’Ë¡’¥â“𬓫 2, 2 2, 4, 4 2, 6, 7, 7 ·≈– 8 Àπ૬ ®–¡’æ◊Èπ∑’Ë°’Ëμ“√“ßÀπ૬ ·π«§‘¥ 2A 8 72 (2 45 Ì B2 45 Ì 2 2 45 Ì 7 2( 11 ( ( 7 2 45 Ì C 42 G D 7 2 45 Ì 7 42 (2 45 Ì 45 Ì 4 ( ( 72 F 6 E4 2 æ∑. ABCDEFGH = (6 + 722)(10 + 722) › 1 (22 + 42 + 2( 7 2 )2) μ“√“ßÀπ૬ 2 2 = 60 + 56 2 + 49 › 10 › 49 2 2 = 50 + 56 2 μ“√“ßÀπ૬ μÕ∫ 50 + 56 2 μ“√“ßÀπ૬ 29. °”Àπ¥ x, y ·≈– z ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«° ´÷Ëß Õ¥§≈âÕß°—∫√–∫∫ ¡°“√ x2(y + z)2 = (3x2 + x + 1)y2z2 y2(z + x)2 = (4y2 + y + 1)z2x2 z2(x + y)2 = (5z2 + z + 1)x2y2 ·≈â« 1 + 1 + 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ xy z ( 1 + 1 )2 = 1+ 1 +3 = ( 1 + 1 )2 + 11 y z x2 x x 2 4 ( 1 + 1 )2 = 1+ 1 + 4 = ( 1 + 1 )2 + 15 z x y2 y y 2 4 ( 1 + 1 )2 = 1+1 +5 = ( 1 + 1 )2 + 19 xy z2 z z2 4 86 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

( 1 + 1 › 1 › 1 ) ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 11 ................... ➊ y z x 2 x y z 2 4 15 ................... ➋ ( 1 + 1 › 1 › 1 ) (x1 + 1 + 1 + 1 ) = 4 z x y 2 y z 2 19 ................... ➌ 4 ( 1 + 1 › 1 › 1 ) (x1 + 1 + 1 + 1 ) = x y z 2 y z 2 ➊+➋+➌ ( 1 + 1 + 1 › 3 )( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 45 x y z 2 x y z 2 4 „Àâ a = 1 + 1 + 1 ®–‰¥â a2 › a › 3 = 45 xy z 44 a2 › a › 12 =0 =4 a =4 1+1 + 1 xy z μÕ∫ 4 30. °”Àπ¥√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ¡’®¥ÿ ¬Õ¥ A(1, 6), B(›2, 3) ·≈– C(3, ›4) ∂Ⓡ≈◊ËÕπ®ÿ¥ A ¢π“π‰ª∑“ߢ«“ 3 Àπ૬ ¢÷Èπ‰ª¢â“ß∫π 2 Àπ૬  –∑âÕπ®ÿ¥ B ¢â“¡·°π Y ·≈–À¡ÿ𠮥ÿ C √Õ∫®¥ÿ °”‡π‘¥∑«π‡¢Á¡π“Ãî°“‡ªìπ¡ÿ¡ 180 Ì ·≈â«√ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡∑’ˇ°‘¥®“°°“√‡≈◊ËÕπ ¥—ß°≈à“«®–¡’æ◊Èπ∑’ˇªìπ°’ˇ∑à“¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ·π«§‘¥ YY 6 A(1, 6) 8 A´(4, 8) 6 B(›2, 3) 4 ·ª≈ß·≈â« 4 2 2 X ‹›2 ‹›1 123 C´(›3, 4) B´(2, 3) ‹›2 C(3 ›4) 2 4 68 X ‹›4 ›4 ›2 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 87

®¥ÿ A(1, 6) ‡≈◊ËÕπ‰ª∑“ߢ«“ 3 Àπ૬ ¢÷Èπ‰ª¢â“ß∫π 2 Àπ૬ ‡ªìπ A´(4, 8) ®¥ÿ B(›2, 3)  –∑âÕπ¢â“¡·°π Y ‡ªìπ B(2, 3) ®ÿ¥ C(3, ›4) À¡ÿπ√Õ∫®¥ÿ °”‡π‘¥∑«π‡¢Á¡π“Ãî°“‡ªìπ¡¡ÿ 180 Ì ‡ªìπ C´(›3, 4) æ∑. Δ ABC = (5 Ó 10) › 1 {(3 Ó 3) + (2 Ó 10) + (7 Ó 5)} 2 = 50 › 32 = 18 μ“√“ßÀπ૬ æ∑. Δ A´B´C´= 7Ó5› 1 (2 Ó 5 + 5 Ó 1 + 7 Ó 4) 2 = 35 › 21.5 = 13.5 μ“√“ßÀπ૬ æ∑. Δ A´B´C´ = 13.5 æ∑. Δ ABC 18 μÕ∫ 3 4 88 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·∫∫∑¥ Õ∫§≥μ‘ »“ μ√å √–¥∫— ™«à ß™π—È ∑Ë’ 3 (©∫∫— ∑Ë’ 1) ‡æËÕ◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√¬’ π√–¥∫— ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 30 ¢âÕ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ Ê ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ Ê ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß 30 π“∑’ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 89

μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 1) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ ¡’ 2 μÕπ ¥—ßπ’È μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 1. ∂â“ m, n, p ·≈– q ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–∫«° ´÷Ëß mnpq = 27000001 ·≈â« m + n + p + q ¡’§à“‡∑à“„¥ 2. ∂â“ x = 3 + 1 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥ 1 4 + 3 1 + 4 + ... 3. ¡’‰¢àÕ¬Ÿà∑—ÈßÀ¡¥‰¡à‡°‘π 500 øÕß ∂â“𔉪„ à„πμ–°√â“„∫≈– 2, 3, 4, 5 À√◊Õ 6 øÕß ‡∑à“ Ê °—π ®–‡À≈◊Õ‰¢à 1 øÕ߇ ¡Õ ·μà∂â“„ àμ–°√â“„∫≈– 7 øÕß ‡∑à“ Ê °—π ®–‰¡à¡’‰¢à‡À≈◊Õ ®ßÀ“«à“ ¡’‰¢à∑—ÈßÀ¡¥°’ËøÕß 4. ∂â“¡’‡ß‘π 3,440 ∫“∑ ‡ªìπ∏π∫—μ√©∫—∫≈– 20 ∫“∑ 50 ∫“∑ ·≈– 100 ∫“∑ √«¡ 72 ©∫—∫ ·≈â«®–¡’∏π∫—μ√∑—Èß “¡™π‘¥„π‡ß◊ËÕπ‰¢∑’Ë°”Àπ¥„À≥Ⱂ˫‘∏’ 5. ∂â“ a ‡ªìπ À.√.¡. ¢Õß 234 °—∫ 324 ·≈– b, c ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡„π™à«ß ›10 ∂÷ß 10 ∑’Ë∑”„Àâ a = 234b + 324c ·≈â« a + b + c ¡’§à“‡∑à“„¥ 6. (1 › 1 )(1 › 1 ) (1 › 1 ) ... (1 › 1 ) ¡’§à“‡∑à“„¥ 22 32 42 (2,007)2 7. ∂â“ A = 0.5(22,550 + 2›2,550), B = 0.5(22,550 › 2›2,550) ·≈â« A2 › B2 ¡’§à“‡∑à“„¥ 90 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

8. ∂â“ x ‡∑à“°—∫ x% ¢Õß y ·≈– y ‡∑à“°—∫ y% ¢Õß z ‚¥¬∑’Ë x, y, z ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«°·≈â« y + z ¡’§à“‡∑à“„¥ 9. §”μÕ∫¢Õß ¡°“√ x › x › x › x › 99 = 99 ¡’§à“‡∑à“„¥ 10. ®“°√Ÿª Δ ABC ¡’ M ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ߢÕߥâ“π BC ∂â“ AB = 4 Àπ૬, AM = 3 Àπ૬ ·≈– AC = 8 Àπ૬ ·≈â« BC ¬“«°’ËÀπ૬ A 8 43 C BM 11. ∂â“ N = 10296 › 10259 + 10222 › 10185 + 10148 › 10111 + 1074 › 1037 + 1 ·≈– 1 = 0.d⋅ d d ... d⋅ ‡ªìπ∑»π‘¬¡´È” ´÷Ëß¡’‡≈¢‚¥¥´È”„π·μà≈–™¥ÿ πâÕ¬∑’Ë ¥ÿ m ®”π«π N 1 2 3 m ·≈â« m ¡’§à“‡∑à“„¥ 12. ∂â“°”Àπ¥æÀÿπ“¡ (x + 5)3 + (3x › 2)4 › (2x + 1)5 ·≈â« —¡ª√– ‘∑∏‘Ï¢Õß x3 ¡’§à“‡∑à“„¥ 13. ∂â“ x + y = 11 ·≈– x2 + y2 = 16 ·≈â« x4 + y4 ¡’§à“‡∑à“„¥ 14. °”Àπ¥„Àâ x ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«° ·≈– n(x) ‡ªìπº≈∫«°¢Õ߇≈¢‚¥¥∑’ˇ¢’¬π·∑π x ‡™àπ n(517) = 5 + 1 + 7 = 13 ·≈– n(3229) = 3 + 2 + 2 + 9 = 16 ‡ªìπμâπ ∂â“ y = (10k + 2 + 3.10k)2 ‡¡◊ËÕ k ‡ªìπ®”π«π‡μÁ¡∫«°·≈â« n(y) ¡’§à“‡∑à“„¥ 15. ∂â“π”°√«¬‚≈À–ª≈“¬μ—¥∑’Ë¡’√—»¡’∞“π 2 ‡´π쑇¡μ√ ·≈– 5 ‡´π쑇¡μ√ ¡“À≈Õ¡‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°å ¬“«¥â“π≈– 2 ‡´π쑇¡μ√ ·≈â«®–‰¥â≈Ÿ°∫“»°å∑—ÈßÀ¡¥ 143 ≈Ÿ° ®ßÀ“«à“°√«¬‚≈À– ª≈“¬μ—¥π’È¡’§«“¡ ßŸ °’ˇ´π쑇¡μ√ (°”Àπ¥ π = 22) 7 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 91

16. ∂â“ a + b + c = 4 ·≈– 1 + 1 + 1 = 0 ·≈â« a2 + b2 + c2 ¡’§à“‡∑à“„¥ ab c 17. °”Àπ¥ P ‡ªìπæ“√“‚∫≈“ y = x2 › 3x ∂â“ P′ ‰¥â®“°°“√‡≈◊ËÕπ P ¢π“π‰ª¢â“ß∫π ( )4 Àπ૬ ·≈–‰ª∑“ߴ⓬ 3 Àπ૬ ·≈– P′ ºà“π®ÿ¥ ›2, 2a › 4 ·≈â« a ¡’§à“‡∑à“„¥ 5 18. §«“¡‡√«Á ¢Õßπ”È ∑‰Ë’ À≈º“à π°Õä °∑ÀË’ πßË÷ ·≈–°Õä °∑’ Ë Õß ‡ªπì Õμ— √“ «à π 2 : 3 ∂“â ‡ª¥î °Õä °∑ Ë’ Õß ·≈–°äÕ°∑’Ë “¡æ√âÕ¡°—π ·≈â«πÈ”®–‰À≈‡¢â“∂—ß≈Ÿ°∫“»°å´÷Ëß°«â“ߥâ“π≈– 1.2 ‡¡μ√ ‚¥¬„™â ‡«≈“ 20 π“∑’ ®÷ß®–‡μÁ¡∂—ß ·≈–∂Ⓡªî¥°äÕ°∑’ËÀπ÷Ëß°—∫°äÕ°∑’Ë “¡æ√âÕ¡°—π ·≈â«πÈ”®–‰À≈ ÕÕ°®“°∂—ߥ—ß°≈à“«‚¥¬„π‡«≈“ 5 π“∑’ ®–‡À≈◊ÕπÈ” 4 ¢Õß∂—ß ®ßÀ“«à“πÈ”‰À≈ºà“π°äÕ°∑’Ë “¡ 5 ¥â«¬§«“¡‡√Á«°’Ë≈‘μ√μàÕπ“∑’ 19. °√–¥“πÀ¡“°√ÿ°°√–¥“πÀπ÷Ë߉¥â√—∫°“√√–∫“¬ ’μ“¡™àÕ߬àÕ¬ Ê ¥â«¬ ’¢“«À√◊Õ ’πÈ”‡ß‘π ™àÕß≈–Àπ÷Ëß ’‡∑à“π—Èπ ‚¥¬æ∫«à“„π∑ÿ°√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡º◊πºâ“∑’Ë¡’ 6 ™àÕ߬àÕ¬ (¢π“¥ 2 Ó 3 À√◊Õ 3 Ó 2) ®–¡’ 2 ™àÕ߬àÕ¬‡ªìπ ’πÈ”‡ß‘π  à«π∑’ˇÀ≈◊Õ‡ªìπ ’¢“«‡ ¡Õ ∂â“°√–¥“ππ’È ¡’¢π“¥ 9 Ó 11 ·≈â«®–¡’™àÕ߬àÕ¬∑’ˇªìπ ’πÈ”‡ß‘π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™àÕß 20. ®“°√ªŸ «ß°≈¡ O ·≈–«ß°≈¡ P μ¥— °π— ∑®’Ë ¥ÿ C ·≈– D ‚¥¬¡‡’  πâ μ√ß AB ‡ªπì ‡ πâ  ¡— º — √«à ¡ ∂â“ AC^B = 107 Ì ·≈â« A^DB ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ A B C OP D 92 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μÕπ∑’Ë 2 21. ∂â“ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«∑’Ë¡’ AB = AC, B^AC = 66 Ì, D ‡ªìπ®ÿ¥∫π AB, E ‡ªìπ®¥ÿ ∫π AC ∑”„Àâ DE = BD + CE ·≈– I ‡ªìπ®¥ÿ ∫π BC ∑’Ë∑”„Àâ DI ·∫àߧ√÷Ëß B^DE ·≈â« D^IE ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 22. °”Àπ¥ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«∑’Ë¡’ AB = AC, P ‡ªìπ®¥ÿ ∫π¥â“π AC ·≈– Q ‡ªìπ®ÿ¥∫π¥â“π AB ∑”„Àâ AP = PQ = QB = BC ·≈â« B^AC ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 23. ∂â“ a, b, c ·≈– d ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ´÷Ëß Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√ a = 82 › 58 › a b = 82 + 58 › b c = 82 › 58 + c ·≈– d = 82 + 58 + d ·≈â« abcd ¡’§à“‡∑à“„¥ 24. ∂â“ ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«∑’Ë¡’ B^AC = 100 Ì, M ‡ªìπ®ÿ¥¿“¬„π∑”„Àâ M^BA = 10 Ì ·≈– MC^A = 5 Ì ·≈â« BM^A ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 25. ∂â“ √Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡ ABCD ¡’ B^AC = 81 Ì, CA^D = 27 Ì, A^BD = 36 Ì ·≈– C^BD = 30 Ì ·≈â« A^DC ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 26. √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ·π∫„π«ß°≈¡ O ‚¥¬¡’ P ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß OA ·≈– Q ‡ªì𠮥ÿ °÷Ëß°≈“ß BC ∂â“ A^BC ¡’¢π“¥‡ªìπ 4 ‡∑à“¢Õß¢π“¥¢Õß O^PQ ·≈– A^CB ¡’¢π“¥‡ªìπ 6 ‡∑à“¢Õß¢π“¥¢Õß O^PQ ·≈â« O^PQ ¡’¢π“¥°’ËÕß»“ 27. °”Àπ¥„Àâ AB ‡ªìπ‡ âπºà“π»Ÿπ¬å°≈“ß«ß°≈¡∑’Ë¡’√—»¡’ 99 Àπ૬ ·≈– P ‡ªìπ®¥ÿ ¿“¬„π ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ∑’Ë A^PB ≤ 135 Ì (μÕ∫„π√ªŸ ¢Õß π) ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 93

28. °”Àπ¥„Àâ (x , y ), (x , y ) ·≈– (x , y ) ‡ªìπ§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√ 11 22 33 x3 › 3xy2 = 1,999 y3 › 3x2y = 1,998 ·≈â« 1 ¡’§à“‡∑à“„¥ (1 › x ) (1 › x ) (1 › x ) 1 2 3 y y y 123 29. ∂â“°”Àπ¥√–∫∫ ¡°“√ 10x2 + 5y2 › 2xy › 38x › 6y + 41 = 0 3x2 › 2y2 + 5xy › 17x › 6y + 20 = 0 ·≈â«§à“¢Õß x3 + y3 ‡ªìπ‡∑à“„¥ 30. ∂â“°”Àπ¥√–∫∫ ¡°“√ a + a + a + ... + a = 96 123 n a 2 + a 2 + a 2 + ... + a 2 = 144 123 n a 3 + a 3 + a 3 + ... + a 3 = 216 123 n ‡¡◊ËÕ a ‡ªìπ®”π«π®√‘ß∫«°  ”À√—∫∑ÿ° i = 1, 2, 3, ..., n ·≈â« a 4 + a 4 + a 4 + ... + a 4 i 123 n ¡’§à“‡∑à“„¥ 94 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

μ—«Õ¬à“ß ·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥μ‘ »“ μ√å √–¥∫— ™à«ß™πÈ— ∑Ë’ 3 (©∫—∫∑Ë’ 1) ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°π°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 30 ¢âÕ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ 2. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’È¡’®”π«π 30 ¢âÕ ·∫à߇ªìπ 2 μÕπ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ Ê ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ Ê ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. ‡«≈“∑’Ë„™â„π°“√ Õ∫ „™â‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß 30 π“∑’ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 95

μ—«Õ¬à“ß·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 (©∫—∫∑’Ë 1) ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈◊Õ°π—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ªï æ.». 2550 §”™’È·®ß ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫π’ȇªìπ·∫∫‡μ‘¡§”μÕ∫ §–·ππ‡μÁ¡ 100 §–·ππ ¡’ 2 μÕπ ¥—ßπ’È μÕπ∑’Ë 1 ®”π«π 20 ¢âÕ ¢âÕ≈– 3 §–·ππ μÕπ∑’Ë 2 ®”π«π 10 ¢âÕ ¢âÕ≈– 4 §–·ππ μÕπ∑’Ë 1 1. ∂â“ m, n, p ·≈– q ‡ªìπ®”π«π‡©æ“–∫«° ´÷Ëß mnpq = 27000001 ·≈â« m + n + p + q ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ 27000001 = 27000000 + 1 = (300)3 + 13 301 = 7 Ó 43 3002 › 300 + 1 = 9x4 › 3x2 + 1 ‡¡◊ËÕ x = 10 9x4 + 6x2 + 1 › 9x2 = (3x2 + 1)2 › (3x)2 = (3x2 › 3x + 1)(3x2 + 3x + 1) = = 271 Ó 331 27000001 = 7 Ó 43 Ó 271 Ó 331 m + n + p + q = 7 + 43 + 271 + 331 = 652 μÕ∫ 652 96 ✎ ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550)

2. ∂â“ x = 3 + 1 ·≈â« x ¡’§à“‡∑à“„¥ 1 4+ 3+ 1 4 + ... ·π«§‘¥ = 3+ 1 x 1 4 + x 3 1 x›3 + 4 + ... = 3+ 1 1 4 +x = 3 + x 1 › 3 4x + 4x2 › 12x › 3 = 0 x = 12 ± 144 + 48 8 x = 12 ± 8 3 8 x = 3±2 3 2 ®–‰¥â x = 3 ± 2 3 2 μÕ∫ 3 ± 2 3 2 ‡ √‘¡§‘¥§≥‘μ»“ μ√å √–¥—∫™à«ß™—Èπ∑’Ë 3 μ—«Õ¬à“ß·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘μ»“ μ√å (ªï æ.». 2549-2550) ✎ 97