ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรับการควบคุมการแพร่ระบาดของ ไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้

62 ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรบั การควบคุมการแพรร่ ะบาดของ ไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ A Mathematical Model for Controlling the Spread of Influenza by Education Campaign รฐั ราช ขำช่วย โครงงานนเ้ี ป็นส่วนหนึง่ ของการศกึ ษาตามหลักสูตร ปรญิ ญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรธี รรมราช ปีการศกึ ษา 2562

62 A Mathematical Model for Controlling the Spread of Influenza by Education Campaign Rattharat Khamchuay A PROJECT IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF BACHELOR OF SCIENCE IN MATHEMATICS SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY NAKHON SI THAMMARAT RAJABHAT UNIVERSITY ACADEMIC YEAR 2019

หวั ข้อโครงงาน 62 ชอื่ นกั ศึกษา ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตรส์ ำหรบั การควบคุมการแพรร่ ะบาดของโรค ปรญิ ญา ไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ ปีการศกึ ษา A Mathematical Model for Controlling the Spread of อาจารยท์ ป่ี รกึ ษา Influenza by Education Campaign นายรัฐราช ขำชว่ ย รหัสนกั ศกึ ษา 5911427003 วิทยาศาสตรบณั ฑิต (คณติ ศาสตร์) 2562 อาจารย์อรอมุ า รกั ษาชล คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช อนุมัติให้โครงงานนี้เปน็ สว่ นหน่งึ ของการศกึ ษาตามหลกั สตู รปริญญาวิทยาศาสตรบณั ฑติ สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ประจำปกี ารศึกษา 2562 คณะกรรมการสอบ ลายมอื ชื่อ อ.อรอุมา รักษาชล ประธานกรรมการ อ.ณฎั ฐิณีย์ คงนวล กรรมการ อ.รตั ตยิ า ฤทธชิ ว่ ย ประธานหลักสูตร วท.บ. รศ.ดร.ปานจิต มสุ ิก คณบดี ลิขสทิ ธ์ิของคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครศรธี รรมราช

หัวข้อโครงงาน ก ชือ่ นักศกึ ษา ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรบั การควบคมุ การแพร่ระบาดของโรค ปริญญา ไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ สาขาวชิ า นายรัฐราช ขำชว่ ย รหสั นักศกึ ษา 5911427003 ปีการศกึ ษา วิทยาศาสตรบณั ฑติ (คณิตศาสตร์) อาจารย์ท่ปี รึกษา คณิตศาสตร์ 2562 อาจารย์อรอมุ า รกั ษาชล บทคดั ย่อ โครงงานเรื่องตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรับการควบคุมการแพร่ระบาดของโรคไข้หวัดใ หญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ จัดทำขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์ เพื่อสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการรณรงค์ ให้ความรู้ต่อตัวแบบของโรคไข้หวัดใหญ่ และเพื่อวิเคราะห์เสถียรภาพของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ สำหรับควบคุมการแพร่ระบาดของโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้วิเคราะห์ตัวแบบโดย ใช้การวิเคราะห์ตามมาตรฐาน ศึกษาจุดสมดุล ศึกษาเสถียรภาพของจุดสมดุล หาคำตอบ วิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งได้ศึกษาประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ความรู้ในตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์และ ตรวจสอบการแพร่ระบาดของโรค ผลการวิเคราะห์ พบว่า ณ จุดสมดุลที่ไม่มีโรค เมื่อประสิทธิภาพ การรณรงค์ให้ความรู้ ������ = 0.9 มีค่าระดับการติดเชื้อ ������0 = 0.999 และ ณ จุดสมดุลที่มีโรค เมื่อประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ความรู้ ������ = 0.1 มีค่าระดับการติดเชื้อ ������0 = 8.998 จะเห็นว่า ประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ความรู้เป็นปัจจัยที่ส่งผลต่อตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ คือถ้ามีการรณรงค์ ให้ความรู้มากการติดเชื้อจะมีจำนวนน้อยและถ้ามีการรณรงค์ให้ความรู้น้อยการติดเชื้อจะมีจำนวน เพิ่มมากขึ้น คำสำคัญ : ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์,โรคไขห้ วัดใหญ่,การรณรงค์ให้ความรู้

Title ข Students A Mathematical Model for Controlling the Spread of Degree Influenza by Education Campaign Department Mr. Rattharat Khamchuay Student ID 5911427003 Academic Year Bachelor of Science (Mathematics) Advisor Mathematics 2019 Miss Onuma Ruksachol Abstract The research” mathematical model for controlling the spread of influenza by education campaign was developed to 1.) develop the mathematical model for controlling the spread of influenza by education campaign and 2.) analyze stability of mathematical model for controlling the spread of influenza by education campaign. the data was analyzed by analyzing the model with standard method such as the equilibrium point and stability of the equilibrium points. analytic solutions and numerical solutions were carried out. this research, adding the rate of putting on education campaign into mathematical modeling and verify the spread of epidemic. the results founded that mathematical model of disease-free equilibrium when the effectiveness of education campaign ������ = 0.9 have basic reproductive number ������0 = 0.999 and the effectiveness of education campaign ������ = 0.1have Basic reproductive number ������0 = 8.998. It can be seen that the effectiveness of education campaign was affecting to the mathematical modeling. If education campaign increased then the spread of influenza decreased, and if education campaign decreased then the spread of influenza increased. Keyword : Mathematical model, influenza, Education Campaign

ค กติ ตกิ รรมประกาศ การจัดทำโครงงานเรื่อง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรับการควบคุมการแพร่ระบาดของ โรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ เล่มนี้สำเร็จลุล่วงได้ด้วยดีเนื่องจากได้รับความกรุณาอย่างสูง จาก อาจารยอ์ รอมุ า รักษาชล อาจารยท์ ่ปี รึกษาโครงงาน ท่ีใหค้ ำแนะนำและแนวคดิ ในการจัดทำโครงงาน ฉบบั น้ี ตลอดจนปรับปรงุ แก้ไขขอ้ บกพร่องตา่ ง ๆ ดว้ ยความเอาใจใสอ่ ยา่ งดีย่ิงต้ังแตเ่ รม่ิ แรกจนสมบรู ณ์ ขอกราบขอบพระคณุ อาจารย์ประจำหลักสตู รวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ ทกุ ท่าน ที่คอยให้คำปรึกษา และคำแนะนำในการจัดทำโครงงานฉบับนี้เสร็จสมบูรณ์ยิ่งขึ้น รวมถึงบิดา มารดา และครอบครัวที่ให้การสนับสนุนในการทำโครงงานครั้งนี้ ขอบคุณเพื่อนนักศึกษาทุกคนที่ให้ ความช่วยเหลือ และเปน็ กำลังใจใหต้ ลอดเวลาในการศกึ ษาจนสำเร็จ ผศ.ดร.สุรพล เนาวรัตน์ อาจารย์ประจำสาขาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสุราษฎร์ธานี ที่ใหค้ ำปรกึ ษาเกีย่ วกบั การสรา้ งตวั แบบเชิงคณิตศาสตรส์ ำหรับการควบคมุ การแพร่ระบาดของโรคไข้หวัด ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ การวเิ คราะหเ์ ชิงตัวเลขและการสรา้ งกราฟดว้ ยโปรแกรม Maple 18 นอกจากนี้ผู้จัดทำโครงงานขอกราบขอบพระคุณคณะกรรมการโครงงานทุกท่านที่ให้คำแนะนำ ในการศึกษา การค้นคว้าข้อมูลต่าง ๆ และไดน้ ำมาอ้างอิงในโครงงานครง้ั นี้ รัฐราช ขำชว่ ย

ง สารบัญ หน้า บทคัดย่อภาษาไทย..................................................................................................................... ก บทคัดย่อภาษาอังกฤษ................................................................................................................ ข กติ ตกิ รรมประกาศ...................................................................................................................... ค สารบัญ....................................................................................................................................... ง สารบญั ตาราง............................................................................................................................. ช สารบญั รูป .................................................................................................................................. ซ บทท่ี 1 บทนำ............................................................................................................................ 1 1.1 ทมี่ าและความสำคัญ .............................................................................................. 1 1.2 วัตถปุ ระสงค์ของโครงงาน ...................................................................................... 2 1.3 ประโยชน์ท่ีคาดว่าจะไดร้ ับ..................................................................................... 2 1.4 ขอบเขตของเนื้อหา ................................................................................................ 2 บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ัยทเี่ กย่ี วข้อง................................................................................... 4 2.1 โรคไขห้ วดั ใหญ่....................................................................................................... 5 2.2 การรณรงค์ให้ความรู้ .............................................................................................. 7 2.3 ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ .......................................................................................... 8 2.3.1 ความหมายของตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์....................................................... 8 2.3.2 ประเภทของตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์............................................................ 9 2.3.3 ขน้ั ตอนในการสรา้ งตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์................................................. 10

จ สารบญั (ต่อ) หน้า 2.3.4 คณติ ศาสตร์สำหรับตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์................................................. 13 2.4 โปรแกรม Maple................................................................................................... 21 2.4.1 ประวัตโิ ปรแกรม Maple............................................................................. 21 2.4.2 ลักษณะของโปรแกรม Maple..................................................................... 21 2.5 งานวจิ ยั ทีเ่ กีย่ วข้อง................................................................................................. 24 บทที่ 3 วธิ กี ารดำเนนิ การโครงงาน........................................................................................... 28 3.1 การกำหนดพารามิเตอรท์ ี่ใชใ้ นการศึกษา................................................................ 28 3.2 เคร่อื งมือท่ีใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล........................................................................ 29 3.3 วธิ กี ารและขน้ั ตอนการวเิ คราะห์ข้อมลู .................................................................... 29 3.3.1 สรา้ งตัวแบบเชิงคณิตศาตร์.......................................................................... 29 3.3.2 วิเคราะหต์ วั แบบเชงิ คณติ ศาสตรก์ ารแพร่ระบาดของโรคไขห้ วดั ใหญ่........... 30 โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ .............................................................................. 3.3.3 วเิ คราะห์เชิงตัวเลขของตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์การแพร่ระบาดของ ............ 31 โรคไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความร้.ู ................................................... บทที่ 4 ผลการวิเคราะหข์ ้อมูล.................................................................................................. 32 4.1 การสรา้ งตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์การแพรร่ ะบาดของโรคไขห้ วัดใหญ่...................... 32 โดยการรณรงค์ใหค้ วามรู้ ......................................................................................... 4.2 การวเิ คราะหต์ ัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์...................................................................... 34

ฉ สารบญั (ต่อ) หน้า 4.3 การวิเคราะห์เชงิ ตัวเลข........................................................................................... 43 4.3.1 ความเสถยี รภาพของจุดสมดุลทไ่ี ม่มโี รค ...................................................... 46 4.3.2 ความเสถยี รภาพของจุดสมดลุ ทม่ี โี รค .......................................................... 48 บทท่ี 5 สรุปอภิปรายผลและข้อเสนอแนะ................................................................................ 49 5.1 สรุปผลการศึกษา.................................................................................................... 49 5.2 อภิปรายผล ............................................................................................................ 50 5.3 ข้อเสนอแนะ .......................................................................................................... 50 เอกสารอา้ งองิ ............................................................................................................................ 51 ภาคผนวก................................................................................................................................... 52

ช สารบญั ตาราง หนา้ ตารางที่ 2.1 สว่ นประกอบของโปรแกรม Maple ……………………………………………………………… 22 ตารางท่ี 2.2 แถบเครอ่ื งมือของโปรแกรม Maple ……………………………………………………………. 23 ตารางที่ 3.1 ค่าพารามิเตอรท์ ่ีใช้วิเคราะหเ์ ชงิ ตวั เลข …………………………………………………….…… 28 ตารางท่ี 4.1 คา่ พารามเิ ตอรท์ ี่ใชจ้ ำลองเชงิ ตวั เลข ………………………………………………………..…… 43 ตารางที่ 4.2 ความสมั พันธ์ระหวา่ งคา่ พารามิเตอร์ของประสทิ ธภิ าพ........................................... 44 การรณรงค์ให้ความรู้กับค่าระดับการตดิ เช้ือ...........................................................

ซ สารบญั รปู หน้า ภาพท่ี 2.1 กระบวนการสรา้ งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์................................................................... 12 ภาพท่ี 2.2 กระบวนการสร้างตัวแบบด้านชีววิทยา………………………………………………………………. 12 ภาพท่ี 2.3 แสดงหนา้ หลกั ของโปรแกรม Maple 18………………..………………………………………….. 22 ภาพที่ 2.4 แผนภาพแสดงขน้ั ตอนผลกระทบต่อปรมิ าณน้ำฝนที่มีตอ่ ตวั แบบ................................ 24 ของโรคตาแดง……………………….................................................................................. ภาพที่ 2.5 แผนภาพแสดงขั้นตอนของโรคไข้หวัดใหญ่ .........…..................................................... 25 โดยพิจารณาผลกระทบจากปริมาณนำ้ ฝน .........…..................................................... ภาพท่ี 2.6 แผนภาพแสดงขน้ั ตอนการแพรร่ ะบาดของโรคตาแดง……........................................... 26 ภาพท่ี 2.7 แผนภาพแสดงขนั้ ตอนการควบคมุ โรคปอดบวม.......................................................... 26 ภาพท่ี 2.8 ตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ SEIR สำหรบั การควบคุมการแพรร่ ะบาดของ……………………. 27 โรคอีสกุ อีใสโดยการรณรงค์ให้ความรู้………………………………………………………………... ภาพที่ 3.1 การสร้างตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้………. 29 ภาพท่ี 4.1 การสรา้ งตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ของโรคไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้………. 32 ภาพท่ี 4.2 ความเสถยี รภาพเชิงเส้นกำกบั เฉพาะที่ ณ ท่ีจุดสมดุลที่ไม่มีโรค……………………………. 45 ภาพท่ี 4.3 ความเสถยี รภาพเชิงเสน้ กำกบั เฉพาะท่ี ณ ท่ีจุดสมดุลท่มี โี รค……………………………….. 48

1 บทท่ี 1 บทนำ 1.1 ทีม่ าและความสำคญั โรคไข้หวัดใหญ่เกิดจากเชื้อไวรัส สามารถจำแนกออกเป็น 3 ชนิด ได้แก่ ชนิดเอ บี และซี โดยท่ี พบมากที่สุด คือ ไข้หวัดใหญ่ ชนิดเอ (H1N1) รองลงมาได้แก่ ชนิด บี และชนิดซีพบการระบาดได้ น้อย โรคไขห้ วดั ใหญ่ เป็นโรคติดเช้อื ของระบบทางเดินหายใจ มกี ารระบาดเป็นคร้ังคราวเกิดได้ทุกเพศทุก วัย ทั้งเด็กและผู้ใหญ่ โรคนี้มักมีอาการรุนแรงกว่าไข้หวัดธรรมดา ระยะการฟักตัวของเชื้อไวรัสจะอยู่ท่ี ประมาณ 1-3 วนั การตดิ ต่อของโรคนเ้ี กดิ ข้นึ ไดง้ า่ ยระหวา่ งผใู้ กลช้ ดิ ท่ีอยใู่ นสถานทแี่ ออัด อากาศถ่ายเทไม่ สะดวก เช่นโรงมหรสพ ห้างสรรพสินค้า สวนสนุก รถโดยสาร และอาคารบ้านเรือนที่มีอากาศถ่ายเทไม่ สะดวก อาการของโรคไข้หวัดใหญ่ ผู้ป่วยจะเริ่มมีไข้สูงเฉียบพลัน (โดยทั่วไปประมาณ 38-39 องศา เซลเซียส) หนาวสั่น ปวดศีรษะ ปวดเมื่อยกล้ามเนื้อ อ่อนเพลียมาก ไอแห้ง ๆ คอแห้ง เจ็บคอ อาจมี อาการคัดจมูก น้ำมูกไหล จาม หรอื มีเสมหะมาก และตาแดง ตาแฉะตามมา โดยทัว่ ไปผปู้ ่วยที่เป็นเด็กมัก มีไข้สูงกว่าผู้ใหญ่อาจพบอาการคลื่นไส้อาเจียนและอุจาระร่วงได้ ผู้ป่วยไข้หวัดใหญ่ส่วนมากมีอาการ รุนแรงและปว่ ยนานกวา่ ไข้หวัดธรรมดาโดยทั่วไปมักมีอาการดีขึน้ ภายใน 5 วันหลังป่วยและหายเปน็ ปกติ ภายใน 7-10 วัน อาจจะมีโรคแทรกซ้อนของผู้ป่วยบางรายโดยเฉพาะผู้สูงอายุ เด็กเล็ก ผู้ป่วยโรคเรื้อรัง เช่น โรคปอด โรคหัวใจ มีอาการรุนแรงถึงขั้นเสียชีวิตได้การรักษาของโรคน้ี ผู้ป่วยที่มีอาการน้อย ให้การ รกั ษาตามอาการ เช่น ยาลดไขพ้ าราเซตตามอล ยาละลายเสมหะ จากสถานการณก์ ารเกดิ โรคไข้หวดั ใหญ่และมีการแพร่ระบาดของเช้ือไวรสั ทำให้มีผู้คนตดิ เช้ือไวรัส เพิ่มมากขึ้น จึงได้เล็งเห็นว่าสามารถนำความรู้ทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการแก้ปญั หาได้ด้วยการสร้างตัว แบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เป็นการแปลงปัญหาที่เกิดขึ้นจริงให้อยู่ในรูปของสมการ คณิตศาสตร์เพื่อง่ายต่อการแกป้ ัญหา โดยตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ท่ีใช้จะเป็นตัวแบบ SIR โดย S เป็นกลุ่ม ที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ I เป็นกลุ่มที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ R เป็นกลุ่มที่หายจากการติดเชื้อ ซึ่ง เหมาะสมกับโรคไขห้ วัดใหญ่

2 1.2 วตั ถปุ ระสงค์ของโครงงาน 1. เพื่อสรา้ งตัวแบบเชงิ คณิตศาสตรข์ องการรณรงค์ให้ความรู้ตอ่ ตวั แบบของโรคไขห้ วัดใหญ่ 2. เพ่ือวิเคราะห์เสถยี รภาพของตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์สำหรับควบคุมการแพรร่ ะบาดของ โรคไข้หวดั ใหญ่ โดยการรณรงคใ์ หค้ วามรู้ 1.3 ประโยชน์ทีค่ าดว่าจะไดร้ บั 1. ไดต้ ัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ของการรณรงค์ใหค้ วามรู้ต่อตวั แบบของโรคไขห้ วัดใหญ่ 2. ได้ทราบเสถียรภาพของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรับควบคุมการแพร่ระบาดของ โรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ 1.4 ขอบเขตของเนอ้ื หา ในการศึกษาครั้งน้ี ผ้วู จิ ัยจะสร้างตวั แบบ SIR ของโรคไข้หวัดใหญ่โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ ซง่ึ สามารถเขยี นแผนภาพแสดงความสัมพนั ธข์ ององคป์ ระกอบในตัวแบบ ดงั น้ี โดยการสร้างตัวแบบจะพจิ ารณาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ ดงั นี้

3 S คือ ประชากรเส่ยี งต่อการติดเชือ้ I คอื ประชากรตดิ เชื้อและแพร่เช้อื ได้ R คอื ประชากรท่หี ายจากการติดเช้อื p คอื ประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ความรู้ β คอื อัตราการตดิ เช้ือ γ คือ อตั ราการหายจากเช้ือ μ คือ อัตราการเกิดของประชากร N คอื จำนวนประชากร

4 บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ัยทีเ่ กีย่ วขอ้ ง การศึกษาและการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สามารถแก้ปัญหาต่าง ๆ ได้ ปัญหาทางระบาด วิทยาเป็นปัญหาหนึ่งท่ีสามารถนำความรู้ทางคณิตศาสตร์และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มาช่วยแก้ปัญหา ต่าง ๆ โดยโรคไข้หวัดใหญ่เป็นโรคที่พบมาก ผู้จัดทำโครงงานจึงได้ศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ เพื่อพิจารณาโรคไข้หวัดใหญ่โดยพิจารณาการรณรงค์ให้ความรู้ โดยผู้จัดทำโครงงานจะทำการสร้าง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์และวิเคราะห์ความเสถียรภาพของตัวแบบรวมถึงได้กำหนดค่าพารามิเตอร์ มาวิเคราะห์เชิงตัวเลข ผู้จัดทำโครงงานจึงได้ศึกษาเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้องกับการสร้าง ตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์และการระบาดโรคไข้หวดั ใหญ่ ซึ่งมรี ายละเอยี ดหัวขอ้ ดงั ต่อไปน้ี 2.1 โรคไขห้ วดั ใหญ่ 2.2 การรณรงคใ์ หค้ วามรู้ 2.3 ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ 2.3.1 ความหมายของตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ 2.3.2 ประเภทของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ 2.3.3 ข้ันตอนในการสร้างตัวแบบทางคณติ ศาสตร์ 2.3.4 คณติ ศาสตรส์ ำหรับตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ 2.4 โปรแกรม Maple 2.4.1 ประวัติโปรแกรม Maple 2.4.2 ลกั ษณะของโปรแกรม Maple 2.5 งานวิจัยท่เี ก่ียวข้อง

5 2.1 โรคไข้หวดั ใหญ่ โรคไข้หวัดใหญ่ เกิดจากเชือ้ ไวรัสไข้หวัดใหญ่ (Influenza virus) โดยเชื้อไข้หวัดใหญต่ ามฤดูกาล สามารถจำแนกออกเป็น 3 ชนิด ได้แก่ ชนิดเอ บี และซี โดยที่พบมากที่สุด คือ ไข้หวัดใหญ่ ชนิดเอ (H1N1) (H3N2) รองลงมาได้แก่ ชนิด บี และชนิดซีพบการระบาดได้น้อย โรคไข้หวัดใหญ่อาจมีอาการ เรมิ่ ต้นเหมือนไขห้ วดั แต่อาจมคี วามรุนแรงทำใหเ้ กิดปอดอกั เสบ และเสียชวี ติ ได้ (กญั ชมุ า ทองตนั ,2562) 1. ไขห้ วดั ใหญส่ ายพนั ธ์ุ A (Influenza A) เชื้อไวรสั สายพนั ธ์ุ เอ ถือเปน็ สายพันธุ์ที่รุนแรงท่ีสดุ และสามารถแพร่ระบาดไปไดท้ ั่วโลก โดย เชือ้ ไวรสั สายพันธ์เุ อ จะแบง่ ความแตกตา่ งออกเปน็ อกี หลายชนดิ ย่อย ๆ โดยแบ่งตามชนิดของโปรตนี ของ ไวรสั คือ H (Hemagglutinin) และ N (Neuraminidase) โดยชนิดย่อยของไข้หวัดสายพันธ์ุ A ทเี่ คย แพรร่ ะบาดก็อย่างเช่น - ไขห้ วดั สุกร H3N2 หรือ H3N2V ไข้หวดั สกุ รนน้ั มีแหล่งกำเนิดมาจากหมู ระดบั ความรุนแรงน้นั ถือว่าสูงกวา่ ไขห้ วัดใหญ่ แต่นอ้ ย กว่าไข้หวัดนก เน่ืองจากการติดตอ่ นนั้ ยากกวา่ ไขห้ วัดนก ทั้งนค้ี นมักเข้าใจผดิ วา่ ไขห้ วัดสุกรน้ันเป็นเพยี ง แคไ่ ข้หวัดใหญธ่ รรมดา จึงทำใหไ้ ด้รับการรักษาทีไ่ ม่ดีเพยี งพอ ซึ่งความเข้าใจผดิ นี้อาจจะทำให้อาการ รุนแรงข้นึ จนเกดิ ภาวะแทรกซ้อนและเสยี ชีวิตได้ - ไขห้ วัดนก ไข้ หวัดนก เปน็ โรคไขห้ วัดใหญส่ ายพันธเุ์ อ ท่เี คยระบาดอยา่ งรุนแรงในประเทศไทย โดยสายพันธุ์ ที่เคยพบในประเทศไทยก็ได้แก่ H5N1 และ H5N8 โดยไขห้ วัดนกจะมีอาการรุนแรงมากกว่าไข้หวัดใหญ่ ชนดิ อ่ืน ๆ เน่อื งจากเป็นไขห้ วัดท่สี ามารถติดต่อได้งา่ ย และสามารถตดิ ต่อจากคนสคู่ น หรอื ติดต่อจากสัตว์ ปีกไดโ้ ดยตรง -ไข้หวดั ใหญส่ ายพันธุ์ใหม่ H1N1 ไขห้ วัดชนดิ น้ีมีอีกชื่อหนึง่ ทรี ูจ้ ักกันดีนนั่ กค็ ือไข้หวดั ใหญ่ 2009 เป็นไข้หวดั ใหญ่สายพนั ธุใ์ หม่ของ มนษุ ย์ เกดิ ขึ้นจากผสมกันขา้ มสายพันธุ์ของไข้หวัดนก ไข้หวัดสกุ ร และไข้หวดั ใหญ่ของมนุษย์ โดยเร่ิมมี การระบาดครัง้ แรกท่ปี ระเทศสเปน ในปี พ.ศ. 2461-2462 ขณะนั้นรูจ้ ักกันในช่อื ของ \"ไข้หวัดสเปน\" จาก การระบาดในครัง้ นั้นไดค้ รา่ ชีวิตผูค้ นไปกวา่ 20-30 ลา้ นคนท่ัวโลก ตอ่ มาในปี พ.ศ. 2520 ก็เกิดการ ระบาดอีกครงั้ ในประเทศรสั เซีย และมชี ือ่ เรียกใหมว่ ่า \"ไข้หวัดรัสเซยี \" และการระบาดคร้ังล่าสดุ เกิดข้นึ ใน

6 ปี พ.ศ. 2552 (ปี 2009) ซ่ึงมีการระบาดข้ึนในประเทศแถบอเมริกาเหนอื ก่อนจะกระจายไปทว่ั โลกผ่านผู้ เดนิ ทางทเ่ี ดนิ ทางเข้า-ออกประเทศในทวีปอเมรกิ าเหนือ ทั้งน้ีไขห้ วัดใหญส่ ายพนั ธุ์ H1N1 ยงั ถือเป็นโรคที่ ต้องเฝ้าระวงั การแพรร่ ะบาดอยู่อย่างใกล้ชิด 2. ไข้หวดั ใหญ่สายพันธ์ุ B (Influenza B) เช้อื ไวรสั ไข้หวดั ใหญส่ ายพนั ธ์ุบี เปน็ สายพันธุท์ ีร่ ะบาดเฉพาะในภมู ิภาค และโดยสว่ นใหญก่ ม็ ักจะ ระบาดในช่วงฤดฝู นและฤดูหนาว เนอื่ งจากเชอื้ ไวรัสชนิดนี้สามารถเจริญเตบิ โตไดด้ ใี นอากาศเย็น มีอาการ รุนแรงน้อยกวา่ สายพันธุเ์ อ แต่รุนแรงกวา่ ไขห้ วัดใหญ่ทวั่ ไป และสายพนั ธุ์ซี ทง้ั น้โี ดยสว่ นใหญ่แล้วอาการก็ จะคล้าย ๆ กับอาการของไขห้ วัดใหญ่ท่วั ไป และสามารถป้องกนั ได้ดว้ ยการฉดี วัคซีน 3. ไขห้ วดั ใหญ่สายพันธุ์ C (Influenza C) เชอื้ ไวรสั สายพนั ธ์ุนเ้ี ป็นสายพันธท์ุ พ่ี บไดน้ ้อยมาก อีกทงั้ ยังมอี าการท่ีไมร่ ุนแรงและไมพ่ บการ ระบาด จงึ ทำใหบ้ างครง้ั ไขห้ วัดใหญส่ ายพันธุ์น้กี ็ไม่ถูกนบั รวมเปน็ ชนิดของโรคไขห้ วัดใหญ่ อาการของโรคไข้หวัดใหญ่ เกิดอาการไข้สูง ตัวร้อน หนาว ปวดเมื่อยตามกล้ามเนื้อมาก โดย เฉพาะที่หลัง ต้นแขน ต้นขา ปวดศีรษะ อ่อนเพลีย เบื่ออาหาร คัดจมูก มีน้ำมูกใสๆ ไอแห้งๆ โดยในเด็ก อาจพบอาการคลืน่ ไส้ อาเจียน ท้องรว่ งได้มากกวา่ ผู้ใหญ่ ส่วนอาการคัดจมูก จาม เจบ็ คอ พบเปน็ บางคร้ัง ในไข้หวัดใหญ่ แต่จะพบในไข้หวัดมากกว่าผู้ป่วยส่วนใหญ่มีอาการไม่รุนแรง หายป่วยได้โดยไม่ต้องนอน รักษาตัวในโรงพยาบาล อาการจะทุเลาและหายป่วยภายใน 5 – 7 วัน แต่บางรายที่มีอาการปอดอักเสบ รุนแรง จะพบอาการหายใจเร็ว เหนอ่ื ย หอบ หายใจลำบาก ซึง่ อาจทำให้เสยี ชีวิตได้ (สำนักโรคตดิ ต่ออบุ ัตใิ หม่ คณะแพทยศาสตรศ์ ิรริ าชพยาบาล,2560) กลุ่มเสีย่ งทจ่ี ะทำใหเ้ กิดโรคแทรกซ้อน - ผู้มโี รคประจาํ ตวั เช่น โรคหอบหดื โรคทางระบบประสาท โรคปอด โรคเบาหวาน โรคไต โรค ตับ โรคเอดส์ โรคมะเรง็ ผู้ท่รี ับยาสเตียรอยดเ์ ร้ือรงั หรอื คนทอ่ี ายุน้อยกวา่ 19 ปีท่ไี ดร้ ับการรักษาดว้ ยยา แอสไพรนิ ในระยะยาว - ผสู้ งู อายุทมี่ ีอายุ 65 ปขี น้ึ ไป - หญงิ ต้ังครรภ์ (และหญงิ ตง้ั ครรภท์ ม่ี ีอายคุ รรภต์ ง้ั แต่ 2 สัปดาห์ จนถึงหลงั คลอด) - บคุ ลากรทางการแพทย์และผู้ทีด่ ูแลผู้ป่วยอยา่ งใกล้ชดิ เปน็ เวลานาน - เดก็ ที่อายนุ อ้ ยกวา่ 5 ขวบ โดยเฉพาะในเดก็ ทอ่ี ายนุ อ้ ยกวา่ 2 ขวบ - คนทเี่ ป็นโรคอ้วน (ดัชนีมวลกายหรือ BMI เทา่ กับ 40 หรือสงู กวา่ )

7 การรกั ษา ผู้ปว่ ยที่มีอาการรนุ แรงตอ้ งรบี ไปโรงพยาบาลทนั ที ซงึ่ แพทยจ์ ะพิจารณาให้ยาตา้ นไวรัส คอื ยาโอลเซลทามิเวียร์ (Oseltamivir) เปน็ ยาชนดิ กิน หากผปู้ ่วยไดร้ ับยาภายใน 2 วนั หลงั เรมิ่ ป่วย จะให้ ผลการรักษาดี ผู้ป่วยที่มีอาการเล็กน้อย เช่น มีไข้ต่ำ ๆ และยังรับประทานอาหารได้ อาจไปพบแพทย์ที่ คลินิก หรือรับยาและขอคำแนะนำจากเภสัชกรใกล้บ้าน และดูแลรักษากันเองที่บ้าน โดยรับประทานยา รักษาตามอาการ เช่น ยาลดไข้พาราเซตามอล ยาละลายเสมหะ เป็นต้น เช็ดตัวลดไข้เป็นระยะ ด้วยน้ำ สะอาด ไมเ่ ย็น ด่ืมนำ้ สะอาดและนำ้ ผลไมม้ าก ๆ งดดม่ื น้ำเยน็ พยายามรบั ประทานอาหารที่มีประโยชน์ให้ ได้มากพอ เช่น โจ๊ก ข้าวต้ม ไข่ ผัก ผลไม้ เป็นต้น หากรับประทานอาหารได้น้อย อาจต้องได้รับวิตามิน เสริม นอนหลับพักผ่อนมาก ๆ ในห้องที่อากาศถ่ายเทดี ไม่จำเป็นต้องรับประทานยาปฏิชีวนะ ยกเว้นติด เช้ือแบคทเี รยี แทรกซอ้ น ซง่ึ ตอ้ งรบั ประทานยาจนหมดตามแพทย์ส่ัง เพือ่ ปอ้ งกันไม่ใหด้ ้ือยา (สำนกั โรคติดต่ออุบตั ิใหม่ คณะแพทยศาสตร์ศริ ริ าชพยาบาล,2560) การป้องกันไม่ให้ติดเชื้อ หลีกเลี่ยงการคลุกคลีกับผู้ป่วยไข้หวัดใหญ่ หากต้องดูแลผู้ป่วยควร สวมหน้ากากอนามัย เมื่อดูแลเสร็จ ควรรีบล้างมอื ด้วยนำ้ และสบู่ใหส้ ะอาดทันที ไม่ใช้แก้วน้ำ หลอดดูด น้ำ ชอ้ นอาหาร ผ้าเช็ดมือ ผา้ เช็ดหน้าร่วมกบั ผอู้ นื่ โดยเฉพาะผู้ป่วย ไขห้ วัดใหญ่ ใชช้ ้อนกลางทุกครั้งเมื่อ รับประทานอาหารร่วมกบั ผู้อื่น หมนั่ ลา้ งมอื บอ่ ยๆ ดว้ ยน้ำและสบหู่ รอื เจลแอลกอฮอล์ โดยเฉพาะอยา่ งย่ิง หลังไอ จาม รักษาสุขภาพให้แข็งแรง โดยรับประทานอาหารที่มีประโยชน์ รวมทั้งไข่ นม ผัก และผลไม้ ดื่มน้ำสะอาดและนอนหลับพักผ่อนให้พอเพียง ออกกำลังกายอย่างสม่ำเสมอ หลีกเลี่ยงบุหรี่และสุรา (ศูนย์วิจัยสุขภาพ,2560) 2.2 การรณรงคใ์ หค้ วามรู้ การรณรงค์ หมายถึง การสื่อสารเพื่อมุ่งโน้มน้าวใจให้กลุ่มเป้าหมายปรับเปลี่ยน พฤติกรรมหรือ เสริมย้ำความคดิ คา่ นยิ มในเรอื่ งใดเร่อื งหน่ึง จนนำไปสู่การเขา้ ร่วมสนบั สนนุ ในทิศทางทีม่ ุง่ บรรลเุ ป้าหมาย เพื่อการเอาชนะต่อปัญหาใดปัญหาหนึ่งหรือฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง โดยมีแนวทางและแผนงาน กิจกรรม และ การระดมสอื่ ตา่ ง ๆ มาสนบั สนุนการดำเนนิ งานอย่างเปน็ ระบบทีต่ ่อเนอ่ื งสอดคล้องสนบั สนุนซง่ึ กันและกัน ภายใต้กรอบเวลาทช่ี ดั เจน (สรุ ะชยั ชผู กา, 2556) จากสถานการณ์การเกิดโรคไข้หวัดใหญ่ มีการระบาดซึ่งทำให้มีการติดเชื้อเพิ่มมากข้ึน โรคไข้หวัดใหญ่เกิดจากเชื้อไวรัสที่สามารถแพร่กระจายไปสู่คนอีกคนหนึ่งได้โดยตรงกับน้ำลาย เชื้อโรค อาจติดมากับสิ่งของเครื่องใช้ต่าง ๆ หรือการไอจามรดกันก็ได้ โดยเฉพาะสถานที่อากาศถ่ายเทไม่สะดวก อยรู่ วมกนั มาก อย่างโรงเรยี น รถตู้ สวนสนุก เป็นต้น ซ่งึ การทจี่ ะลดโรคน้ันสามารถทำไดห้ ลายวธิ ี โดยวิธี

8 หนึ่งท่สี ำคญั ก็คือการรณรงค์ใหค้ วามรเู้ กยี่ วกับโรคไข้หวดั ใหญ่ ซ่งึ สามารถทำใหผ้ ้ทู ี่ไม่มีความรู้หรือบุคคลที่ ติดโรค สามารถเข้าใจการรกั ษาและป้องกันโรคได้ ซึง่ ทำให้ป้องกันและรกั ษาได้ถูกวิธแี ละทนั ทว่ งที 2.3 ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ การศกึ ษาตวั แบบเชงิ คณิตศาสตรม์ รี ายละเอียด ดงั น้ี 2.3.1 ความหมายของตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ การศึกษาในเรื่องเกี่ยวกับการใช้ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เพื่อช่วยในการตัดสินใจ มีองค์กร จำนวนมากที่ได้รับประโยชน์จากการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ คำว่าตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ นั้นคือการนำเอาหลักการทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการจำลองสถานการณ์ที่เกิดขึ้นจริง ทั้งน้ีการสร้างตัว แบบเชิงคณติ ศาสตร์นั้นอาจจะทำได้โดยไม่ต้องใชร้ ะบบคอมพิวเตอร์ แต่ด้วยความก้าวหน้าของโปรแกรม คอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน ทำให้การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์มาช่วยคิดคำนวณในตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งที่มีประโยชน์และมีความแพร่หลายเป็นอย่างมาก และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เหล่านี้จะทำให้เกิด ประโยชนก์ บั ผบู้ ริหารในมมุ มองต่าง ๆ (สุกัลยา ศรสี ุริฉัน, 2545) ดงั น้ี 1. ช่วยลดต้นทุน การใช้ตัวแบบจะทำให้องค์กรสามารถลดค่าใช้จ่ายได้เป็นจำนวนมาก เนื่องจากว่าตัวแบบทำให้องค์กรทราบถึงความน่าจะเป็นในการประสบความสำเร็จหรือล้มเหลวใน โครงการต่าง ๆ ทำให้องค์กรสามารถประเมินได้ว่าโครงการเหล่านั้นควรจะต้องดำเนินการหรือไม่ และ หากเห็นว่าโครงการเหล่านั้นไม่ควรที่จะต้องดำเนินงาน ก็จะมีส่วนทำให้องค์กรสามารถลดค่าใช้จ่ายท่ี เกิดข้ึนได้ 2. ทันเวลา ตัวแบบจะช่วยย่นระยะเวลาที่ในสถานการณ์จริงแล้ว อาจจะต้องใช้เวลานาน แต่ ในแบบจำลองจะสามารถลดระยะเวลาเหล่านั้นลงได้ และสามารถหาคำตอบและคาดการณ์สิ่งที่อาจจะ เกิดข้ึนไดอ้ ยา่ งรวดเรว็ และทันการณ์ยกตัวอย่างเช่น ตวั แบบอาจจะทำการทำนายยอดขายทจ่ี ะลดลงได้ใน กรณที ล่ี ูกคา้ เร่ิมทจ่ี ะไม่มีความพึงพอใจเกิดขน้ึ โดยไม่ตอ้ งรอใหส้ ถานการณ์เหล่านเี้ กิดข้ึนจริง ๆ ซ่ึงอาจจะ ใช้เวลาเป็นปี กอ่ นท่สี ่ิงเหล่าน้ีจะสง่ ผลกระทบต่อองค์กรจรงิ ๆ 3. เป็นหนทางเดียวท่ีเปน็ ไปไดใ้ นการทดสอบผลกระทบ หลายคร้งั สถานการณท์ ่ีอาจจะเกิดขึ้น ในธุรกิจจริงนั้น มีความรุนแรงและอาจจะทำให้องค์กรประสบความเสียหายได้ การใช้ตัวแบบเชิงทาง คณิตศาสตร์เพ่ือทดสอบความเสยี หายที่อาจจะเกิดขนึ้ นั้น อาจจะเปน็ หนทางทีด่ ที ส่ี ดุ และเป็นหนทางเดียว ที่เป็นไปได้ในการทดสอบผลกระทบเหล่านั้น ยกตัวอย่างเช่น การทดสอบว่าอะไรจะเกิดขึ้นกับองค์ กร หากเครอื่ งจักรในสายการผลติ เกดิ ความเสียหาย หรอื พนกั งานหยุดงานประทว้ ง ซึ่งหากทำการทดลองโดย

9 ให้เครื่องจักรหยุดผลิตจริง ๆ หรือให้พนักงานหยุดทำงานจริง ๆ ย่อมจะทำให้เกิดผลกระทบต่อองค์กร อย่างมาก การใช้ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์จึงเป็นหนทางที่ดีที่จะทำการประมาณการสิ่งเหล่านี้ และเสนอ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ต่อการตัดสินใจและช่วยลดความเสี่ยงที่อาจจะเกิดขึ้นกับองค์กรโดยสรุปแล้ว ตัว แบบเชิงคณิตศาสตร์จะช่วยทำให้ผู้บริหารได้รับข้อมูลในเชิงลึก เพื่อที่จะสามารถนำเอาข้อมูลเหล่านี้ไป ประกอบการตดั สนิ ใจทางธรุ กจิ ได้ 2.3.2 ประเภทของตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical หรือ Quantitative Models) เป็นตัวแบบที่แสดง ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบหรือตัวแปรต่าง ๆ โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เดิมตัวแบบจะใช้กับ ศาสตร์ทางด้านวิทยาศาสตร์ แต่ปัจจุบันมีแนวโนม้ ในการนำไปใช้ด้านพฤติกรรมศาสตร์และสงั คมศาสตร์ เพิ่มขึ้นรวมทั้งการศึกษาด้วย โดยเฉพาะในการวัดผลการศึกษา ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ สามารถอธิบาย ความสัมพันธ์และสร้างเป็นทฤษฎี เพราะสามารถทดสอบสมมุติฐานได้ ซง่ึ ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ที่มักพบ เป็นตัวแบบ (ลดารัตน์ ผาตนิ าวนิ และ ธีรศกั ดิ์ ชกั นำ,2546) ดังต่อไปนี้ 1. ตัวแบบ SIR เป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของโรคโดยตรงหรือจากกลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อ การติดเชื้อก็แพร่เชื้อออกไปในกลุ่มประชากรที่ติดเชื้อ ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม คือ กลุ่ม S เป็นกลุ่มท่ี เสยี่ งตอ่ การติดเชอื้ กลุม่ I เปน็ กลุม่ ท่ตี ดิ เช้ือและแพร่เชือ้ ได้ และกลุม่ R เปน็ กลุม่ ทหี่ ายจากการตดิ เช้อื 2. ตัวแบบ SEIR เป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของเชื้อจากกลุ่มประชากรเสี่ยงต่อการติดเชื้อ โดยแพร่เช้อื ออกไปในกลุ่มประชากรที่ติดเช้ือแต่ไม่สามารถแพร่เชอื้ ได้ ซึ่งแบง่ ออกเปน็ 4 กลุ่ม คือ กล่มุ S เป็นกลมุ่ ทเี่ ส่ียงต่อการตดิ เช้ือ กลุม่ E เปน็ กลมุ่ ท่ีติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ กลุ่ม I เป็นกลุ่ม ท่ีตดิ เชอ้ื และแพรเ่ ช้ือได้ และกลมุ่ R เป็นกลมุ่ ท่หี ายจากการตดิ เชื้อ 3. ตัวแบบ SIQR เป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของเชื้อแต่ในตัวแบบนี้จะนำไปใช้กับโรคต้องมี การกักกันของเช้อื ซง่ึ แบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม คือ กลุ่ม S เปน็ กลุ่มท่ีเส่ียงต่อการติดเชอ้ื กลมุ่ I เป็นกลุ่มท่ีติด เช้ือและแพรเ่ ชือ้ ได้ กลมุ่ Q เป็นกลุ่มกักกนั ทไี่ ด้รบั เชื้อ และกล่มุ R เป็นกล่มุ ทีห่ ายจากการตดิ เชื้อ 4. ตัวแบบ SAIR เป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของเช้ือแต่ในตัวแบบนี้จะนำไปใช้กับโรคที่มีตัว ต้านเชื้อ ซึ่งแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม คือ กลุ่ม S เป็นกลุ่มที่เสีย่ งต่อการตดิ เชื้อ กลุ่ม A เป็นกลุ่มที่มีตัวต้าน เช้ือ กลมุ่ I เป็นกลมุ่ ทต่ี ดิ เชื้อและแพร่เช้อื ได้ และกลุ่ม R เป็นกลุ่มที่หายจากการติดเชื้อ 5. ตัวแบบ SEIQR เป็นตวั แบบท่มี กี ารแพร่ระบาดของเช้ือแต่ในตวั แบบน้ีจะนำไปใช้กับโรคท่ีมีท้ัง การกักกันของเชื้อและการติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ ซึ่งแบ่งออกเป็น 5 กลุ่ม คือ กลุ่ม S เป็น

10 กลมุ่ ท่เี สี่ยงต่อการติดเชือ้ กล่มุ E เป็นกลมุ่ ท่ตี ดิ เชื้อแต่ไมส่ ามารถแพรเ่ ช้อื ได้ กลมุ่ I เป็นกลุ่มที่ติดเช้ือและ แพรเ่ ช้อื ได้ กลมุ่ Q เป็นกล่มุ กักกันทไี่ ดร้ ับเชอ้ื และกลุ่ม R เป็นกลมุ่ ทีห่ ายจากการติดเชื้อ 6. ตัวแบบมาร์คอฟ (Markon Model) เปน็ ตวั แบบทางคณิตศาสตร์ใช้ในการวเิ คราะห์พฤติกรรม ของตวั แปร เพอ่ื พยากรณพ์ ฤติกรรมในอนาคตของตวั แปรน้ัน 7. ตัวแบบแถวคอย (Queneing Model) เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยในการแก้ปัญหา แถวคอยที่เป็นอยู่ในชีวิตประจำวัน เช่น การเข้าแถวเพื่อรอจ่ายเงินหรือรอรับบริการต่าง ๆ ซึ่งตัวแบบ แถวคอยจะเป็นการหาจำนวนหน่วยให้บริการหรือผู้ให้บริการที่เหมาะสม โดยมีเป้าหมายทำให้ค่าใช้จ่าย รวมต่ำที่สดุ 8. ตวั แบบเชิงเส้น (linear Model) เป็นตัวแบบทางคณติ ศาสตรท์ ่ีใชก้ ำหนดการเชงิ เส้นแก้ปัญหา ในการหาคำตอบของตวั แบบ 9. ตัวแบบกำลงั สอง (Quadratic Model) เปน็ ตวั แบบทางคณิตศาสตรท์ ใ่ี ช้ฟังกช์ ัน พหุนามกำลัง สองช่วยในการแกป้ ญั หาของแต่ละโจทย์ 10. ตัวแบบไม่เชิงเส้นอื่น ๆ (Other Non-linear Model) เป็นตัวแบบที่ใช้ฟังก์ชันทาง คณิตศาสตร์ เช่น Sine, Cosine, Tangent, square root และอน่ื ๆ เพอ่ื หาคำตอบของตัวแบบ 2.3.3 ขั้นตอนในการสร้างตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ การสร้างตัวแบบเพื่อใช้ในการแก้ปญั หา ซึ่งปัญหาส่วนใหญ่ในชีวิตจริงมักจะไมอ่ ยู่ในรปู แบบทาง คณิตศาสตร์ และคำตอบของปัญหาก็อาจจะไม่อยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ด้วย เช่นกัน อย่างไรก็ตาม วิธีการทางคณติ ศาสตร์ยังคงมสี ว่ นสำคัญในการหาคำตอบ จึงมคี วามจำเปน็ ท่ีจะต้องทำความเขา้ ใจ ศึกษา และวิเคราะห์ปัญหา จำแนกองค์ประกอบปัญหา เพื่อกำหนดตัวแปร และเขียนความสัมพันธ์เหล่านั้นใน เชิงคณติ ศาสตร์ ศึกษาความสัมพนั ธท์ างคณิตศาสตร์เหล่านั้นแทนสถานการณจ์ รงิ เมอ่ื ได้วิธกี ารหาคำตอบ แล้ว จึงนำตัวแบบท่ีสร้างขึ้นนี้ไปทดสอบ เพื่อปรับปรงุ แกไ้ ขและนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหาตามสถานการณ์ จรงิ ต่อไป (ธรี วฒั น์ นาคะบุตร, 2546) แบง่ ได้ขน้ั ตอนดังน้ี ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา (Idenify the real problem) การทำความเข้าใจปัญหาเป็น ขั้นตอนแรกในการสรา้ งตัวแบบ ต้องวิเคราะห์ใหท้ ราบว่าปัญหาคืออะไร มีอะไรบ้างที่เกี่ยวข้องกับปญั หา มีคำถามมากมายที่ต้องทำความเข้าใจโจทย์ปัญหาในสถานการณ์จริง เช่น ปัญหานี้ต้องการทราบอะไร มี วัตถุประสงค์และเป้าหมายอะไรจะตัดสินผลที่ออกมาอย่างไร แหล่งข้อมูลมาจากไหนเชื่อถือได้หรือไม่ มี คำตอบเป็นแบบเดียวหรือไม่ จำแนกปัญหาว่าเป็น แบบมีคำตอบแน่นอน (deterministic) หรือ แบบมี

11 คำตอบไม่แน่นอน (stochastic) ต้องใช้การสร้างสถานการณ์จำลอง (simulation) หรือไม่ คำถามหรือ คำตอบ ดังกล่าวมาแลว้ ตอ้ ง นยิ าม กำหนดขอบเขต ให้ตรงประเดน็ และชดั เจน ขั้นที่ 2 สร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Formulate a mathematical model) ขั้นตอนนี้เป็น ขน้ั ตอนการสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ จากปัญหาที่ได้วิเคราะห์หรือทำใหช้ ดั เจนแลว้ ในข้ันท่ี 1 ทดลอง สร้างตัวแบบท่ีซับซ้อนน้อยที่สุดก่อน เขียนแผนภาพตามความเหมาะสม เขียนรายการปัจจัยที่เกี่ยวข้อง รวบรวมข้อมูลและทดสอบเนื้อหารายละเอียด อธิบายพฤติกรรมของตัวแปร รวบรวมข้อมูลเพิ่มเติมถ้า จำเปน็ แสดงตวั แปรแตล่ ะตัวดว้ ยสญั ลักษณ์ทเี่ หมาะสมพร้อมท้ังกำหนดหน่วย กำหนดขอ้ สมมตทิ ่ีต้องการ สร้าง เขียนความสัมพันธ์และสมการของตัวแปรในโจทย์ โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ เช่น การเป็น สัดส่วน ความสัมพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ความสัมพันธ์จากการทดลอง หลักการ input กฎการ เคลื่อนที่ของนิวตัน สมการเชิงผลต่างและสมการเชิงอนุพันธ์ เมทริกซ์ ความน่าจะเป็น การกระจายเชิง สถิติ เป็นตน้ ขั้นที่ 3 หาผลลัพธ์ของตัวแบบ (Solve the mathematical model) การหาคำตอบทาง คณิตศาสตร์ของตัวแบบ อาจจะใช้วิธีเกี่ยวกับพีชคณิต หรือใช้วิธีเชิงตัวเลข ใช้แคลคูลัสและกราฟ เขียน โปรแกรมคอมพิวเตอร์ หรือใช้โปรแกรมสำเร็จรูปที่เหมาะสม หาค่าของตัวแปรที่ต้องการ อาจจะเป็น รปู แบบตารางหรือรปู ภาพ ขั้นที่ 4 แปลความหมายของผลลัพธ์ (Interpret the mathematical solution) ขั้นตอนนี้เป็น การแปลความหมาย และตรวจสอบผลลพั ธท์ ีห่ าได้ จากวิธีการเชงิ คณิตศาสตร์ เชน่ พิจารณาคา่ ของตัวแปร ที่หาได้ ว่ามีเครื่องหมาย และขนาดถูกต้องหรือไม่มีค่าเพิ่มหรือลดตามที่ควรจะเป็นหรือไม่ พิจารณาค่า มากและค่าน้อยของตวั แปรเพื่อตรวจสอบพฤติกรรมความไวต่อสงิ่ กระตุ้น ได้คำตอบที่ดีท่ีสุดตามที่คาดไว้ หรือไม่ ขั้นที่ 5 ตรวจสอบผลลพั ธ์กับข้อมลู จรงิ (Compare with reality) ผลลัพธท์ ีไ่ ดส้ ามารถตรวจสอบ กับข้อมูลจริงได้หรือไม่ คำตอบเชิงคณิตศาสตร์มีความหมายหรือไม่ การทำนายสอดคล้องกับข้อมูลจริง หรือไม่ ประเมนิ ตวั แบบทีส่ ร้างขน้ึ ว่าไดค้ รบตามวตั ถุประสงค์หรือไม่ ตัวแบบสามารถปรับปรงุ ใหด้ ีข้นึ ได้อีก หรือไม่ ผลลัพธ์ที่ได้ก่อนหน้านี้ ชี้ให้เห็นว่าต้องคำนวณหาค่าตัวแปรจากตัวแบบที่ปรับปรุงใหม่เพื่อความ แมน่ ยำที่ดกี วา่ หรือไม่ ถา้ ตอ้ งการทำใหม่ก็ต้องกลับไปเร่ิมที่ข้นั ท่ี 1 หรอื ถา้ ไม่ตอ้ งก็ให้ไปท่ีขั้นที่ 6 ขั้นตอน นสี้ ำคัญมาก เพราะมบี ่อยครั้งทต่ี ้องการสรา้ งตัวแบบหลายรอบก่อนทีจ่ ะไดผ้ ลเป็นท่ีนา่ พอใจ ขั้นที่ 6 เขียนรายงาน (Write a report) การเขียนรายงานต้องทราบว่าเขียนเพ่ือใคร ผู้อ่าน ต้องการทราบอะไร ตอ้ งการราย ละเอียดในรายงานมากน้อยเพียงใด จะสร้างรายงานอย่างไร จึงจะทำให้ ลักษณะที่สำคัญชัดเจน และผลที่ต้องการทราบปรากฏอยู่ ขั้นตอนน้ีอาจจะไม่ต้องทำ ถ้าไม่ทราบว่าจะ เขียนใหใ้ ครอา่ น (ธีรวัฒน์ นาคะบุตร, 2546) ซงึ่ สอดคลอ้ งกับ (สรุ พล เนาวรตั น์,2561)

12 ภาพท่ี 2.1 กระบวนการสรา้ งตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ภาพท่ี 2.2 กระบวนการสรา้ งตวั แบบดา้ นชวี วิทยา

13 2.3.4 คณิตศาสตร์สำหรบั ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์สำหรับตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ มดี งั นี้ 1. เมทรกิ ซ์ บทนิยาม เมทริกซ์ คือการจัดเรียงจำนวนให้อยู่ในรูปของสี่เหลี่ยมมุมฉากโดยจัดลงใน เครือ่ งหมาย [ ] และถ้าเมทริกซ์ A เปน็ เมทรกิ ซ์ที่มจี ำนวน ������ แถวและ ������ หลักเขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A = [aij]m×nเมื่อ ������ = 1,2,3, . . . , ������ และ j = 1,2,3,...,n 2. การคณู เมทรกิ ซ์ บทนยิ าม ถา้ เมทริกซ์ A = [aij]m×n และ B = [bij]n×p แลว้ ผลคณู ของเมทริกซ์ A และ B เขยี นแทนดว้ ย AB = [cij ] กำหนดโดย ������������������ = ������������1������1������ + ������������2������2������ + ⋯ + ������������������������������������ โดยที่ m×p ������ = 1,2,3, … , ������ ������ = 1,2,3, … , ������ ตัวอยา่ ง กำหนดเมทริกซ์ A, B ดังนี้ จงหา AB A = [15 23] , ������ = [64 1 25] 0 วธิ ที ำ AB = [15 23] [64 1 25] 0 = [((51 × 4) + (3 × 6) (1 × 1) + (3 × 0) (1 × 2) + (3 × 55))] × 4) + (2 × 6) (5 × 1) + (2 × 0) (5 × 2) + (2 × = [3222 1 1207] 5 3. ดีเทอรม์ แิ นนต์ บทนยิ าม ดีเทอร์มแิ นนต์คือ ฟังก์ชันจากเซตของเมทรกิ ซจ์ ัตรุ ัสท้งั หลายซึ่งมีขนาด ������ × ������ ไปยังเซตจำนวนจรงิ โดยเขยี นดเี ทอรม์ ิแนนต์ของเมทริกซ์ A ด้วย det (A) บทนิยาม ดีเทอร์มิแนนต์ ถ้า ������ = [������������1211 ������������1222]2×2 แล้ว ������������������ ������ = (������11������22) − (������21������12)

14 บทนยิ าม ถ้า A = [������������������] เป็นเมทริกซ์ ������ × ������(������ ≥ 3) สามารถหาดเี ทอรม์ ิแนนต์จาก การกระจายโคแฟกเตอร์ ดงั น้ี A = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin โดยท่ี i =1, 2,3,..., n หรอื A = a1 jC1 j + a2 jC2 j + ... + anjCnj โดยท่ี j = 1,2,3,..., n ทฤษฎบี ท 2.1 ถา้ ������ เปน็ เมทริกซ์จัตรุ ัสทีม่ แี ถวใดแถวหนงึ่ หรอื หลกั ใดหลักหน่ึงเปน็ ศนู ย์ det(A) = 0 ตัวอยา่ ง กำหนดเมทริกซ์ B = 1 −2 จงหา det(B) 2 4  วธิ ีทำ det(B) = (14) − (2(−2)) det(B) = 4 + 4 det(B) = 8 1 0 − 1 ตัวอย่าง กำหนดเมทริกซ์ A = 3 −1 − 2 จงหา det(A) 2 5 8  วิธีทำ det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 det(A) = 1 −1 − 2 + 0−1 3 −1 58 25 = (−8+10)− (15+ 2) = −15

15  1 0 0 2 ตวั อยา่ ง กำหนดเมทริกซ์ D = −2 1 0 2 0 จงหา det(D) 6 2 4  0 4 3  1 วธิ ที ำ det D = (2)(C32) = 2(−1)3+2 M 32 = −2M32 1 02 = −2 −2 2 1 1 43 = −2(6 + 0 −16 − 4 − 4) = −2(6 − 24) = 36 4. ไมเนอร์ บทนยิ าม ไมเนอร์ของสมาชิก aij ของเมทริกซ์ ������ มิติ n n (n  2)หมายถงึ ตัวกำหนด ของเมทรกิ ซ์ย่อย ������ ซึง่ ไดจ้ ากการตดั แถวที่ ������ และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A เขยี นแทนดว้ ย M ij (A) ตัวอย่าง กำหนดเมทริกซ์ a11 a12 จงหา Ma13  A = a21 a22 a23  22 a31 a32 a33  วธิ ีทำ M 22 = a11 a13 a31 a33 = a11a33 − a31a13

16 5. โคแฟกเตอร์ บทนิยาม โคแฟกเตอร์ aij ของเมทริกซ์ A คือการหาเครื่องหมาย ว่าเป็นบวกหรือลบ ของไมเนอร์ โดยมีค่าเท่ากับ (− )1 i+ j คูณกับค่า ไมเนอร์ Mij ของสมาชิกแถวที่ ������ และ หลักที่ ������ เขียน แทนด้วย Cij a11 a12 a13  ตัวอย่าง กำหนดเมทริกซ์ A = a21  จงหา a22 a23  C11 a31 a32 a33  วิธีทำ ( )C11 = −1 1+1 M11 a23 ( )= −1 1+1 a22 a33 a32 = a22a33 − a32a23 6. เมทริกซ์ผกผัน บทนิยาม เม่อื A เป็นเมทริกซ์มติ ิ ������ เมทรกิ ซ์ A มีตัวผกผนั กต็ ่อเม่ือสามารถหา เมทรกิ ซ์ B มิติ ������ ซงึ่ ทำให้ AB = In = BA และเรียก B ว่าตวั ผกผนั ของ A เขยี นแทนด้วย A−1 ในกรณีที่ n  2 ได้ว่า A−1 = 1 adj( A) det(A) เมทริกซ์ทีจ่ ะหาค่าเมทริกซ์ผกผันจะต้องเป็นเมทริกซ์มิใชเ่ อกฐานซ่งึ สามารถหาได้ดงั นี้ ให้ A = [a b] ดงั น้ัน เมทรกิ ซ์ผกผัน คือ A−1 = 1 [−dc −ab] c ad−bc d

17 ตัวอย่าง จงหาเมทริกซ์ผกผันของเมทรกิ ซ์ A เมือ่ กำหนดให้ A = [2 3] 14 วิธีทำ เมทริกซผ์ กผัน A−1 = 1 [−41 −23] 8−3 =1 [−41 −23] 5 7. เมทรกิ ซ์เอกฐานและเมทรกิ ซไ์ มเ่ อกฐาน บทนิยาม กำหนด A เปน็ เมทริกซจ์ ัตรุ ัสมิติ ������ × ������ ถ้า A สามารถหาเมทรกิ ซผ์ กผันได้ เราจะเรยี กเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์เอกฐาน ถา้ A ไม่สามารถหาเมทริกซผ์ กผันได้ เราจะเรียกเมทริกซ์ A วา่ เมทรกิ ซ์ไม่เอกฐาน 8. สมการลักษณะเฉพาะและคา่ ลกั ษณะเฉพาะ บทนยิ าม ให้ A เปน็ เมทริกซ์จัตุรัสมิติ n เรียก det(A − (In ))ว่าฟงั ก์ชันพหนุ าม ลักษณะเฉพาะและเรียกสมการ det(A − (In )) = 0ว่าสมการลกั ษณะเฉพาะ ตวั อย่าง กำหนดเมทริกซ์ A = 2 3 จงหาสมการลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ 2 1 วธิ ที ำ det(A − I ) = 2 3 −  1 0 2 1 0 1 = 2 −  3  2  1 −    = (2 − )(1− )− 6 = (2 − 3 + 2 )− 6 = 2 − 3 − 4 นั่นคอื 2 −3 − 4 = 0 เป็นสมการลักษณะเฉพาะ จาก ������2 − 3������ − 4 = 0 จะได้ (������ − 4)(������ + 1) = 0 ������ = −1,4 นัน่ คอื ค่าลักษณะเฉพาะคือ ������ = −1,4

18 9. การหาอนุพันธ์ บทนยิ าม ถา้ ������ = ������(������) เปน็ ฟงั ชนั ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจำนวนจรงิ และ lim ������(������+ℎ)−������(������) หาค่าไดแ้ ลว้ เรียกค่าของลิมติ น้วี า่ อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน ������ ที่ ������ เขียนแทนด้วย ℎ→0 ℎ ������′(������), ������������ , ������′ หรือ ������������������������(������) ������������ ตัวอยา่ ง กำหนด ������(������) = ������2 − 2������ + 4 จงหา ������������ ������������ วิธที ำ ������������ ������(������ + ℎ) − ������(������) = lim ������������ ℎ ℎ→0 = lim (������+ℎ)2−2(������+ℎ)+4−������2+2������−4 ℎ→0 ℎ = lim 2������ℎ+ℎ2−2ℎ ℎ→0 ℎ = lim(2������ − 2 + ℎ) ℎ→0 = 2������ − 2 10. อนพุ นั ธ์ยอ่ ย บทนิยาม ให้������ = ������(������, ������) เป็นฟังก์ชันของสองตวั แปร และ (������0, ������0) เป็นจดุ ภายในของ โดเมนของ ������ อนุพันธย์ ่อยของ ������ เทยี บกบั ������ ( หรอื อนพุ นั ธย์ อ่ ยของ ������ เทยี บกับ ������ ) ที่จดุ (������0, ������0) คอื ������������ (������0, ������0) = lim ������(������0 + ∆������, ������0) − ������(������0, ������0) ������������ ∆������ ∆������→0 และอนุพนั ธ์ยอ่ ยของ ������ เทียบกับ y ( หรืออนพุ นั ธ์ยอ่ ยของ ������ เทียบกบั ������ ) ทจ่ี ุด (������0, ������0) คือ ������������ (������0, ������0) = lim ������(������0, ������0 + ∆������) − ������(������0, ������0) ������������ ∆������ ∆������→0 ตวั อย่าง จงหาอนพุ นั ธ์ย่อยของ ������(������, ������) = ������3 + 2������2������ + 3������ + 4������ วิธีทำ ������������(������, ������) = ������ ������3 + ������ 2������2������ + ������ 3������ + ������ 4������ ������������ ������������ ������������ ������������ = 3������2 + 4������������ + 3 ������������ (������, ������) = ������ ������3 + ������ 2������2������ + ������ 3������ + ������ 4������ ������������ ������������ ������������ ������������ = 2������2 + 4

19 11. รัศมีทโ่ี ดดเดน่ ถ้า ������ เป็นเมทรกิ ซข์ นาด n n ท่มี ีค่าลกั ษณะเฉพาะ k คา่ คือ 1,2,3,...,k แล้ว รัศมที ี่โดดเดน่ (Spectral radius)ของเมทริกซ์ A เขยี นแทนด้วย (A)นยิ าม ดงั น้ี (A) = max{ i }, i = {1,2,3,.., k} ตัวอยา่ ง  = 4,−1จะได้ (A) = max{ 4 , −1} = max{4,1} (A) = 4 12. Jacobian matrix บทนิยาม Jacobian คือ เมทรกิ ซข์ องอนุพันธ์อนั ดับหนึ่งเป็นอนพุ ันธย์ อ่ ยบางสว่ นของ ฟังกช์ นั ท่ีมีคา่ เปน็ เวกเตอร์ เป็นลักษณะเฉพาะ สมมติ ������: ������������ → ������������ เปน็ ฟงั กช์ นั ทเ่ี ป็นจริง เช่น ฟังกช์ นั ������ ������1(������1, … , ������������), … , ������������(������1, … , ������������) อนพุ ันธย์ ่อยของฟงั ก์ชันเกี่ยวกับตัวแปร ������1, … , ������������ สามารถจัดระเบียบในเมทรกิ ซ์ ������ โดย ������ เปน็ จาโคเบยี นเมทริกซ์ ������ ของ ������ ดงั นี้ ������������1 ⋯ ������������1 ������������1 ������������������ ������ = ⋮ ⋱ ������������������ ������������������ เมทริกซจ์ ะมีฟังก์ชนั ของ [ ������������1 ������������������ ] และ ������(������1,…,������������) เขียนแทนด้วย ������(������1,… ,������������) ������1, … , ������������ ������������ (������1, … , ������������)

20 13. เงือ่ นไขการทดสอบรากลบของสมการลกั ษณะเฉพาะอันดบั n (Routh-Hurwitz) ทฤษฎบี ท (Routh – Hurwitz) กำหนดสมการลกั ษณะเฉพาะ P() = n + a1n−1 + ...+ an−1 + an เม่ือสัมประสทิ ธิ์ ai เปน็ จำนวนจรงิ คงท่ี i =1,2,3,...,n นิยาม n เมทรกิ ซด์ ังนี้ a1 1 0 ... 0  a3 a2  a1 ... 0  a1 1  a1 1 0 H n = a.5 a4 a3 ... 0  a3 H3 = a3 a2  . .  H1 = a1 , H2 = a2  , a4 a1  ,   a5 . . a3   . ... 0  . . .     0 0 0 ... an  ซง่ึ a j = 0 ถา้ j  n แล้วทุกคา่ ของค่าลักษณะเฉพาะมีส่วนจรงิ เปน็ จำนวนลบ นัน่ คอื จดุ สมดลุ x จะเสถียร ก็ต่อเม่ือดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์ ทุกเมทรกิ ซ์เปน็ บวก det H j  0, j = 1,2,3,...,n เม่อื n = 2 จะได้ว่า det H1 = a1  0 และ det H 2 = a1 1  = a1a2 0 ซง่ึ a1  0, a2 0 a3 a2   สำหรบั ดกี รพี หุนาม n =1,2,3,4,5 สรุปได้ดังนี้ n = 2 : a1  0, a2  0 n = 3 : a1  0, a3  0, a1a2  0 n = 4 : a1  0, a3  0, a4  0, a1a2 a3  a32 + a12 a4 n = 5 : ai  0 ; i = 1,2,3,4,5, a1a2a3  a32 + a12 a4 , ( )( ) ( )a1a4 − a5 2 a1a2 a3 − a32 − a12 a4  a5 a1a2 − a3 + a1 a 5 2

21 2.4 โปรแกรม Maple การศึกษาโปรแกรม Maple มีดังน้ี 2.4.1 ประวตั โิ ปรแกรม Maple โปรแกรม Maple เป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ประยุกต์ทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Symbolic Computation System หรือ Computation Algebra System ทำงานบน Windows ผลิตโดยบริษัท Water Maple ประเทศแคนาดา มีความสามารถในการคำนวณข้อมูลที่อยู่ในรูปสัญลักษณ์หรือข้อความ ทางคณิตศาสตร์ ในรปู ของ worksheet และ spreadsheets แสดงผลลัพธใ์ นรปู ของจำนวน ค่าประมาณ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีสัญลักษณ์และตัวแปร รูปกราฟ 2 มิติและ 3 มิติ ภาพการเคลื่อนไหวของ กราฟทีเ่ กิดจากการเปลย่ี นแปลงตัวแปรต่าง ๆ นอกจากน้ียงั สามารถสร้างโปรแกรมการประมวลผลข้อมูล และสร้างฟังก์ชันต่าง ๆ ได้ตามต้องการ มีฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เพียงพอต่อการใช้งาน มีเทคนิคต่าง ๆ ของ worksheet ทำเอกสารเพื่อการสอน หรือการนำเสนอที่สามารถซ่อนและแสดงรายละเอียดของคำ สำคญั ทตี่ ้องการเนน้ และหัวข้อ Hyperlinks ทสี่ ามารถโยงและเคลอื่ นไปยงั ข้อมลู อนื่ ท่ีสัมพันธ์กัน สามารถ เปลีย่ นแปลงเอกสารในรปู แบบต่าง ๆ เชน่ Latex HTML (ธรี วฒั น์ นาคะบุตร, 2551) 2.4.2 ลกั ษณะของโปรแกรม Maple โปรแกรม Maple เป็นโปรแกรมท่ีใช้คำนวณงานและปญั หาทางคณติ ศาสตร์ โดยมกี ารใชค้ ำส่ัง ในการทำงาน เช่น คำสั่ง With(Linear Algebra) เพื่อสร้างเมทริกซ์ คำสั่ง Determinant เพื่อหาดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ และอื่น ๆ เมื่อเข้าสู่การทำงานของโปรแกรม Maple จะปรากฏหน้าหลักของ โปรแกรม Maple (ธรี วัฒน์ นาคะบุตร, 2551) โดยเวอร์ช่นั 18 จะแสดงดังภาพที่ 2.3

22 ภาพที่ 2.3 แสดงหนา้ หลกั ของโปรแกรม Maple 18 ส่วนประกอบของโปรแกรม Maple มีดงั นี้ 1. เมนหู ลกั ของโปรแกรม Maple เม่อื เข้าสู่โปรแกรม Maple จะมีเมนูหลกั ของโปรแกรม Maple เป็นคำส่งั เรม่ิ ตน้ ของ การทำงาน ซึ่งสว่ นประกอบของโปรแกรม Maple ดังตาราง ตารางที่ 2.1 ส่วนประกอบของโปรแกรม Maple เครอ่ื งมอื ความหมาย Menu Bar บริเวณรายการคำสงั่ ท่ีเปน็ ตวั หนงั สือ ซึ่งมีรายการต่างๆ เช่น File Edit View Insert Format Spreadsheet Option Windows Help Tool Bar บรเิ วณรายการคำส่ังทเ่ี ปน็ รูปภาพ Worksheet บรเิ วณใช้งาน พมิ พข์ ้อความ พมิ พ์คำสัง่ และแสดงผลลัพธ์ Status Bar บรเิ วณแสดงสถานภาพต่าง ๆ Prompt เคร่อื งหมายแสดงตำแหน่งรอรับข้อความหรือคำส่งั

23 2. แถบเครือ่ งมือของโปรแกรม Maple เคร่อื งมือ แถบเครื่องมือของโปรแกรม Maple 18 มีดังนี้ ตวั แปรต่าง ๆ ตารางที่ 2.2 แถบเครอ่ื งมือของโปรแกรม Maple เครือ่ งมอื เมนูท่ใี ช้บ่อย สว่ นประกอบต่าง ๆ การทำงานรว่ มกันของโปรแกรม Maple 18 การสร้างเมทริกซท์ างคณิตศาสตร์ การสรา้ งกราฟในรปู แบบต่าง ๆ

24 ตารางที่ 2.3 (ต่อ) แถบเครื่องมือของโปรแกรม Maple เคร่ืองมอื เคร่อื งมอื การเรยี กใช้งานของฟงั กช์ นั ต่าง ๆ การเรียกใชง้ านของแคลคลู ัส 2.5 งานวจิ ยั ที่เกี่ยวข้อง การศึกษาตวั แบบเชิงคณิตศาสตรใ์ นครั้งน้ี ผู้จัดทำได้ศกึ ษางานวิจัยต่าง ๆ ดงั นี้ Surapol Naowarat (2014) ไดศ้ ึกษาตัวแบบเชิงคณติ ศาสตรข์ องผลกระทบต่อปริมาณน้ำฝนท่มี ีต่อตวั แบบของโรคตาแดง โดยจะอธิบายแผนภาพแนวคิดในการสรา้ งตัวแบบทางคณติ ศาสตร์แสดง ดงั ภาพ ภาพท่ี 2.4 แผนภาพแสดงขั้นตอนผลกระทบต่อปริมาณน้ำฝนทมี่ ตี ่อตวั แบบของโรคตาแดง ผลวิจัยพบว่าแบบเชิงคณิตศาสตร์ของผลกระทบต่อปริมาณน้ำฝนที่มีต่อตัวแบบของโรคตาแดง เขียนในรูประบบสมการเชิงอนุพันธไ์ ม่เชิงเส้นประกอบด้วย 3 สมการ โดยแบ่งประชากรออกเป็น 3 กลุ่ม คือ ������ กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ I กลุ่มประชากรที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ R กลุ่ม ประชากรที่หายจากการติดเช้ือ การวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ พบว่า กลุ่มประชากรที่เสีย่ งต่อการ ตดิ เชื้อ มกี ารติดเช้ือของโรคตาแดงนอ้ ยลงเม่ือไมส่ ัมผัสกับนำ้ ที่ปนเปื้อน

25 ณัฐกร จนั ทร์ชัย เจษฎา กลยนยี ์ ฤทธิเดช อินอุเทน และมาลี ศรพี รหม (2557) ได้ศึกษาตัวแบบ เชิงคณิตศาสตร์ของโรคไข้หวัดใหญ่ โดยพิจารณาผลกระทบจากปริมาณน้ำฝน ผู้วิจัยสร้างตัวแบบเชิง คณิตศาสตร์สำหรับโรคไข้หวัดใหญ่ที่สอดคล้องกับกลุ่มประชากร ซึ่งกำหนดให้จ้านวนประชากรมีขนาด คงท่ี โดยจะแบ่งประชากรออกเป็น 3 กลุ่ม คือ กล่มุ ประชากรทเ่ี สีย่ งต่อการติดเชือ้ กลมุ่ ประชากรที่พร้อม จะแพร่เชื้อ กลุ่มประชากรที่หายจากการติดเชื้อ โดยแผนภาพอธิบายแนวคิดในการสร้างตัวแบบทาง คณติ ศาสตร์แสดงไดด้ ังภาพ g (T )  SI ������������ ������������ ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������ ภาพที่ 2.5 แผนภาพแสดงข้นั ตอนของโรคไขห้ วดั ใหญ่ โดยพิจารณาผลกระทบจากปริมาณน้ำฝน ผู้วิจัยได้ทำการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ เพื่อศึกษาการระบาดของโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการ รวบรวมข้อมูลจากการวิจัยต่าง ๆ และขอ้ มูลจากสำนกั ระบาดวิทยา กรมควบคุมโรคจงั หวัดสกลนคร เพ่ือ สร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ โดยกำหนดรูปสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ จากผลการศึกษา พบว่า จุดสมดุล ของระบบมี 2 จุด คือ จุดสมดุลในสภาวะไรโรค (Disease free equilibrium point) หรือจุด E0และจุด สมดุลในสภาวะระบาดอย่างเรื้อรัง (Endemic equilibrium point) หรือจุด E1 รวมทั้งได้ค่าภาวะการ ระบาดของโรค หรือค่า R0 โดยพบว่าเมื่อค่า R0  1 จุดสมดุลในสภาวะที่ไร้โรค (จุด E0) จะเกิดความ เสถียร ในทางกลับกนั สภาวะระบาดอย่างเรอ้ื รงั (จดุ E1) จะเสถียรเม่อื คา่ R0  1โดยที่ R0 เปน็ คา่ เฉล่ียทีแ่ สดงจำนวนของการเกิดโรคในระยะท่ีสองโดยใช้ ผลจากระยะแรกจากการศึกษายังพบอีกว่าคา่ g (T ) หรือค่าปริมาณน้ำฝนนั้นมีผลกระทบกับจำนวนผู้ท่ี ติดเชื้อ ดังนั้น ค่า g (T )ที่มีค่ามากจะส่งผล ให้จำนวนผู้ที่ติดเชื้อมีจำนวนมาก และค่า g (T )ที่มีค่าน้อย จะสง่ ผลใหจ้ ำนวนผ้ตู ิดเช้ือมีจำนวนนอ้ ย

26 Surapol Naowarat (2014) ได้ศึกษาตัวแบบเชงิ คณิตศาสตรข์ องผลการรณรงค์ใหค้ วามรูต้ ่อตัว แบบโรคตาแดงโดยจะอธิบายแผนภาพแนวคดิ ในการสร้างตัวแบบทางคณติ ศาสตร์แสดง ดงั ภาพ ภาพท่ี 2.6 แผนภาพแสดงข้ันตอนการแพรร่ ะบาดของโรคตาแดง ผลวิจัยพบว่าแบบเชิงคณิตศาสตร์ของผลการรณรงค์ให้ความรู้ต่อตัวแบบโรคตาแดงเขียนในรูป ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นประกอบด้วย 3 สมการ โดยแบ่งประชากรออกเป็น 3 กลุ่ม คือ ������ กลมุ่ ประชากรที่เส่ียงต่อการติดเชื้อ I กลมุ่ ประชากรทต่ี ิดเชือ้ และสามารถแพรเ่ ชื้อได้ R กลมุ่ ประชากรที่ หายจากการติดเชื้อ การวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ พบว่ากลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อมี จำนวนที่มากข้นึ และค่าระดับการติดเชื้อทมี่ ากกวา่ หนึ่ง น่ันคือโรคตาแดงจะเกิดข้นึ ในชุมชน แต่เม่ือมีการ รณรงคใ์ หค้ วามรู้ พบวา่ กลมุ่ ประชากรท่ีเสีย่ งต่อตดิ เช้ือลดลง คา่ ระดับการติดเช้อื ทีน่ ้อยกว่าหนึ่งนั่นคือโรค ตาแดงจะหายไปจากชมุ ชน Mengistu Kassa and Samba Narasimha Murthy. (2016) ไดศ้ ึกษาตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์การ ควบคุมโรคปอดบวมภายใตเ้ ดก็ อายุ 5 ปี ประกอบด้วย ประชากรคนแบ่งออกเป็น 4 คือกลมุ่ (S) คือกลุ่ม ทเ่ี สีย่ งต่อการเกิดโรค กลุ่ม (E) คือกลมุ่ ทีไ่ ด้รับการติดเชื้อแต่ไมม่ ีของอาการใด ๆ กลุ่ม (I) คือกลุ่มท่ีติด เช้ือซงึ่ มอี าการทไ่ี ดร้ ับการตดิ เชือ้ และกลมุ่ (R) คือบุคคลทีไ่ ด้หายจากโรค โดยแผนภาพอธบิ ายแนวคิดใน การสรา้ งตวั แบบทางคณิตศาสตร์แสดงได้ดงั ภาพ ภาพที่ 2.7 แผนภาพแสดงขั้นตอนการควบคมุ โรคปอดบวม

27 ผลวิจยั พบวา่ รูปแบบปจั จบุ นั ได้แสดงใหเ้ ห็นถงึ ความสำเร็จในการพยายามทจ่ี ะคาดเดาสาเหตุของ การแพร่กระจายของเชื้อโรคในปอดบวมภายในประเทศเอธิโอเปีย รูปแบบดังกล่าวบ่งชี้ว่าการ แพร่กระจายของโรคส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับอัตราการติดต่อกับผู้ติดเชื้อในเด็ก จากผลการวิจัยพบว่าจำนวน การแพรเ่ ชื้อโดยไม่มกี ารฉดี วคั ซีนสำหรับรปู แบบทางระบาดวิทยาของ SEIR บง่ ช้ีว่า R0 1 การวเิ คราะห์ ความแสดงให้เห็นว่าเมื่อมีอัตราการติดเชื้อเพิ่มขึ้นหรืออัตราการฟื้นตัวจะเพิ่มขึ้นโรคจะแพร่กระจาย แต่ ด้วยการฉีดวัคซีนอัตราการติดเชื้อของโรคจะลดลงหรืออัตราการฟื้นตัวจะเพิ่มขึ้น ซ่ึงหมายความว่าใน ขณะที่เด็ก ๆ เป็นโรคปอดบวมมากขึ้นเร่ือย ๆ โดยไม่มีการฉดี วคั ซีนเน่ืองจากการแทรกแซงการฉีดวัคซีนมี ผลกระทบอยา่ งมีนัยสำคัญต่อการลดโรคหากมีการดำเนินการในระดบั เป้าหมายในชุมชนโรคท่เี กดิ โรคแล้ว คนรนุ่ ใหม่ท่ีปราศจากโรคปอดบวมในแง่ ของระดบั การสง่ ข้อมลู ที่แตกตา่ งกันสามารถคาดหวัง จุฬาลักษณ์ ใจอ่อน สุดาทิพย์ หาญเชิงชัย อนุรักษ์ วีระประเสริฐสกุล อนุวัตร จิรวัฒนพาณิช (2560) ไดศ้ กึ ษาตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ SEIR สำหรบั การควบคุมการแพร่ระบาดของโรคอสี ุกอีใสโดยการ รณรงค์ใหค้ วามรู้ ดงั ภาพ ภาพที่ 2.8 ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ SEIR สำหรบั การควบคุมการแพร่ระบาดของโรคอสี ุกอีใส โดยการรณรงค์ให้ความรู้ ผลวิจัยพบว่าตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ ณ จุดสมดุลไมม่ ีโรคเมือ่ ประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ความรู้ ω = 0.5 มีค่าระดับการติดเชื้อ ������0 = 0.914 และ ณ จุดสมดุลที่มีโรคเมื่อประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ ความรู้ ω = 0 มีค่าระดับการติดเชื้อ ������0 = 1.827 และประสิทธิภาพของการรณรงค์ให้ความรู้ เป็น ปัจจัยทมี่ ีผลต่อตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ ถ้าประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเช้ือมีความรู้เก่ียวกับการป้องกันโรค อีสุกอีใสและปฏบิ ตั ิตามสมมติฐานที่ตั้งไว้มากขึ้นจะส่งผลให้การแพรร่ ะบาดของโรคลดลงจนไมม่ ีการแพร่ ระบาดของโรค

28 บทท่ี 3 วิธีดำเนนิ การโครงงาน การจดั ทำโครงงานคร้ังนี้มวี ัตถุประสงค์เพื่อสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์และวิเคราะห์เสถียรภาพ ของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ และนำข้อมูลที่ ได้มาใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข โดยการทำโครงงานเรื่องตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาด โรคไขห้ วัดใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ มีรายละเอียดและขั้นตอนในการดำเนินการ ดงั ตอ่ ไปน้ี 3.1 การกำหนดพารามเิ ตอรท์ ี่ใช้ในการศึกษา จากการศึกษาเอกสารและงานวิจัยทีเ่ ก่ียวขอ้ งสามารถกำหนดพารามเิ ตอร์ทเี่ ก่ียวข้องได้ จากตาราง 3.1 ตารางที่ 3.1 ค่าพารามเิ ตอร์ท่ีใช้วิเคราะหเ์ ชงิ ตวั เลข พารามเิ ตอร์ ความหมาย ค่าพารามเิ ตอร์ แหลง่ ข้อมูล ������ อตั ราการเกดิ ของประชากร 1 ตอ่ วนั ระบบสถิติทางการทะเบยี น 365×75 (2561) ������ อัตราการติดเช้อื 0.002 ตอ่ วัน สำนักระบาดวทิ ยาและ กรมวทิ ยาศาสตร์การแพทย์ (2561) ������ อัตราการหายจากเชือ้ 0.2 ตอ่ วัน สำนกั ระบาดวิทยาและ กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์ (2561) ������ ประสิทธิภาพการรณรงค์ให้ 0−1 ความรู้ ������ จำนวนประชากร 1000

29 3.2 เครือ่ งมือที่ใชใ้ นการวิเคราะห์ข้อมลู ในการจดั ทำโครงงานครั้งน้ีผจู้ ัดทำได้นำโปรแกรม Maple 18 เป็นเคร่อื งมือทช่ี ่วยในการวิเคราะหต์ ัว แบบเชงิ คณิตศาสตรแ์ ละการวิเคราะหเ์ ชิงตัวเลข 3.3 วธิ กี ารและขัน้ ตอนการวเิ คราะหข์ อ้ มลู การจดั ทำโครงงานคร้ังนีม้ วี ิธีการและข้ันตอนการวเิ คราะห์ข้อมูล ดงั น้ี 3.3.1 สร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการระบาดโรคโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ ความรู้ ผ้จู ัดทำไดศ้ กึ ษาตวั แบบ SIR และไดส้ ร้างตวั แบบทางคณติ ศาสตร์เพ่ือการศึกษาการระบาดของโรค ไข้หวัดใหญ่ ซึ่งในการสร้างตัวแบบโดยการนำกลุ่มประชากรที่ติดเชื้อ และดัดแปลงตวั พารามิเตอร์บางตวั ซึ่งประกอบด้วย กลุ่มประชากรแบ่งออกเป็น 3 กลุ่มย่อย คือ กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ (S) กลุ่มประชากรที่ติดเชื้อและแพร่เชื้อได้ (I) และกลุ่มประชากรที่หายจากการติดเชื้อ (R) ตามลำดับ ดัง ภาพท่ี 3.1 1. สรา้ งตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ สร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ SIR ของการระบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ ซ่ึง ประกอบด้วย กลุ่มประชากรแบ่งออกเป็น 3 กลุ่มย่อย คือ กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ (S) กลุ่ม ประชากรที่ติดเช้อื และแพร่เชอ้ื ได้ (I) และกล่มุ ประชากรทหี่ ายจากการติดเชื้อ (R) ตามลำดบั ดังภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.1 การสร้างตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ของโรคไขห้ วัดใหญ่ โดยการรณรงค์ใหค้ วามรู้ จากนั้นนำตัวแปรที่ต้องการศึกษามาเขียนแผนผังการระบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ ความรู้ และทำการตรวจสอบความถูกตอ้ งของแผนผังการระบาดโรคไข้หวดั ใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้

30 ซึ่งตัวแบบเชิงคณติ ศาสตรข์ องการระบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ใหค้ วามรู้ สามารถสร้างสมการ จากแผนผงั ไดด้ งั นี้ dS = μN − (1 − p)βSI − μS (1) dt dI = (1 − p)βSI − (γ + μ)I (2) dt dR = γI − μR (3) dt 3.3.2 วิเคราะห์ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์การแพรร่ ะบาดของโรคไขห้ วดั ใหญ่ โดย การรณรงค์ใหค้ วามรู้ การศกึ ษาจุดสมดุลและศึกษาเสถยี รภาพของจดุ สมดุลเพือ่ หาเงอื่ นไขของพารามิเตอรท์ ี่เหมาะสม ของจดุ สมดลุ นั้น โดยวิธีการวเิ คราะหแ์ ละหาคำตอบเชงิ ตวั เลขของตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ มีดังน้ี 1. จุดสมดลุ (Equilibrium point) ในการหาจุดสมดลุ โดยใชว้ ิธีการคำนวณซง่ึ ทำได้โดยจัดสมการเชงิ อนุพนั ธท์ ี่ไดจ้ ากการแปลงสมการของตวั แบบใหม่ ให้เทา่ กับ ศนู ย์ ซงึ่ dS = 0 , dI = 0 , dR = 0 dt dt dt จะได้ค่าจากการแก้สมการสองค่า คือ ค่าแรกเป็นค่าที่ทำให้จุดสมดุลที่ไม่โรค (Disease Free Equilibrium Point : E0) จดุ สมดุลจะไมม่ กี ารแพร่ระบาดของโรค ส่วนคา่ ทส่ี องเป็นคา่ ที่ทำให้ จุดสมดุลมีโรค (Endemic Free Equilibrium Point: E1) ในกรณีนี้กลุม่ ประชากรที่ติดเช้ือมีค่าเปน็ บวก ดงั นน้ั จดุ สมดุลจะกลายเป็นการการแพรร่ ะบาดของโรค 2. เสถียรภาพ (Stability) โดยการหาค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสามารถหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ ของจาโคเบียนเมทริกซ์ det(J − I ) = 0 โดยใช้วิธีการคำนวณและตรวจสอบเงื่อนไข จะได้สมการ ลักษณะเฉพาะเนื่องจากต้องการตรวจสอบเสถียรภาพของระบบโดยดูจากค่าลักษณะเฉพาะของจาโค เบียนเมทริกซ์ต้องเป็นลบและสอดคล้องกับเงื่อนไขของ Routh-Hurwitz ซึ่งสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี ดงั นี้ 2.1 เสถยี รภาพเฉพาะทเี่ ชงิ เส้นกำกับของจดุ สมดลุ ท่ไี มม่ โี รค (E0) ซ่งึ จะไดส้ มการลักษณะเฉพาะ และได้ค่าลักษณะเฉพาะของเมทรกิ ซจ์ าโคเบยี นสอดคล้องกับเง่ือนไขของ Routh-Hurwitz โดย ลักษณะเฉพาะทกุ คา่ ตอ้ งเป็นลบจึงจะสอดคล้องตามเงื่อนไข R0 < 1

31 2.2 เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกบั ของจดุ สมดลุ ที่มโี รค E1 จะได้สมการลกั ษณะเฉพาะจาก det(J − I) = 0 ซึ่งคา่ สมั ประสิทธข์ิ องสมการลกั ษณะเฉพาะเปน็ ลบและสอดคลอ้ งตามเง่ือนไขของ Routh-Hurwitz สำหรบั คา่ ท่ีไดต้ ามเกณฑ์ R0 > 1 3.3.3 วเิ คราะหเ์ ชงิ ตวั เลขของตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ของการแพร่ระบาดของ โรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ การศึกษาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดของ โรคไข้หวดั ใหญ่ โดยการรณรงคใ์ หค้ วามรู้ มีดงั นี้ 1. การหาค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่ทำให้จุดสมดุลที่ไม่มีโรค (Disease Free Equilibrium Point: E0) และจุดสมดุลที่มีโ รค (Endemic Free Equilibrium Point: E1) ซึ่งเป็นการหาค่า ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จาโคเบียน ต้องมีค่าลักษณะเฉพาะทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบซึ่งสอดคล้องกับ เงอื่ นไขของ Routh - Hurwitz 2. การใช้โปรแกรม Maple 18 ในการหาคำตอบและเพ่ือนำคา่ พารามเิ ตอร์มาหาคำตอบ 3. นำผลท่ีได้จากการคดิ คำนวณและนำเสนอในรูปของกราฟจากโปรแกรม Maple 18 4. นำผลกราฟมาแปลความหมายพร้อมสรปุ ผลและอภิปรายผล รวมท้ังจดั ทำรูปเลม่ รายงาน

32 บทท่ี 4 ผลการวิเคราะห์ข้อมลู ในบทน้เี ป็นการแสดงผลการวเิ คราะห์ข้อมลู ของตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดโรค ไขห้ วัดใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ โดยการหาคำตอบจากการศึกษาจุดสมดลุ ของระบบ (Equilibrium Point) ระบบเสถียรภาพของจุดสมดุล ทั้งจุดสมดุลที่ไม่มีโรค (Disease Free Equilibrium Point : E0 ) และจุดสมดุลที่มีโรค (Endemic Free Equilibrium Point: E1 ) และหาคำตอบจากการวิเคราะห์เชิง ตัวเลขเพ่อื สนับสนุนคำตอบเชิงวเิ คราะห์ของระบบสมการ 4.1 การสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดโรคไขห้ วดั ใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ ในการกำหนดปัญหาซึง่ สมมตใิ ห้ N แทนจำนวนประชากรทงั้ หมด ซึ่งแบง่ ประชากรออกเป็น 3 กลุ่มคือ กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ (S) กลุ่มประชากรที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ (I ) และกลมุ่ ประชากรทหี่ ายจากการติดเชื้อ (R) ดงั ภาพท่ี 4.1 ภาพท่ี 4.1 แผนภาพแสดงขัน้ ตอนการแพรร่ ะบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงค์ให้ความรู้ หมายเหตุ : ลกู ศรชีเ้ ข้า แทนการเพ่ิมขึน้ และลูกศรช้ีออก แทนการลดลง ตวั แบบเชิงคณิตศาสตรข์ องการแพรร่ ะบาดโรคไข้หวัดใหญ่ โดยการรณรงคใ์ ห้ความรู้ เป็นตวั แบบ เชิงคณิตศาสตร์ SIR (Model : Susceptible - Infectious - Recovered)ที่มรี ะบบสมการดงั นี้

33 dS = μN − (1 − p)βSI − μS (1) (2) dt (3) dI = (1 − p)βSI − (γ + μ)I dt dR = γI − μR dt โดยที่ S + I + R = N เมอ่ื ������(������) คือ ประชากรทเ่ี สย่ี งตอ่ การติดเช้ือ ณ เวลา t ใด ๆ ������(������) คือ ประชากรที่ตดิ เชื้อและแพร่เชือ้ ได้ ณ เวลา t ใด ๆ ������(������) คือ ประชากรทีห่ ายจากการตดิ เชือ้ เมอื่ มตี วั พารามิเตอร์ ณ เวลา t ใด ๆ N คือ จำนวนประชากรท้ังหมด p คอื ประสิทธิภาพการรณรงค์ใหค้ วามรู้ β คอื อตั ราการติดเช้ือ γ คือ อตั ราการหายจากเชอ้ื μ คือ อตั ราการเกิดของประชากร

34 4.2 การวเิ คราะหต์ วั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ 4.2.1 คุณสมบัติพนื้ ฐานของแบบจำลอง สำหรบั จดุ สมดุล (S, I, R) สามารถหาไดจ้ ากการจดั สมการ (1) - (3) ใหเ้ ทา่ กบั ศูนย์ จากสมการ (1) จะได้ μN − (1 − p)βSI − μS = 0 −(1 − p)βSI − μS = −μN นำ -1 คณู ตลอดสมการ จะได้ (1 − p)βSI + μS = μN [(1 − p)βI + μ]S = μN S = μN (4) (1−p)βI+μ จากสมการ (2) จะได้ (1 − p)βSI − (γ + μ)I = 0 [(1 − p)βS − (γ + μ)]I = 0 I=0 หรอื (1 − p)βS − (γ + μ) = 0 [(1 − p)β ((1−pμ)NβI+μ)] − (γ + μ) = 0 [(1 − p)β ((1−pμ)NβI+μ)] = (γ + μ) ((1−pμ)NβI+μ) = (γ+μ) (1−p)β μN = (γ+μ)[(1−p)βI+μ] (1−p)β μN(1 − p)β = (γ + μ)[(1 − p)βI + μ] μN(1 − p)β = [(1 − p)βI(γ + μ)] + [μ(γ + μ)] μN(1 − p)β − μ(γ + μ) = [(1 − p)βI(γ + μ)] (1−p)βμN−μ(γ+μ) = I (5) (1−p)β(γ+μ)

จากสมการ (3) จะได้ 35 γI − μR = 0 (6) − μR = −γI R = −γI −μ R = γI μ ดงั นนั้ S = μN ,I = (1−p)β(μN)−μ(γ+μ) ,R = γI (1−p)βI+μ (1−p)β(γ+μ) μ 4.2.2 จุดสมดลุ ทไ่ี มม่ ีโรค (������������) จุดสมดุลท่ไี ม่มีโรค จะเปน็ กรณีที่ไมม่ ีโรค นน่ั คือ I = 0 จากสมการ (4) จะได้ S = μN (1−p)βI+μ แทนคา่ I = 0 จะได้ S = μN (1−p)β(0)+μ S = μN μ S=N จากสมการ (6) จะได้ R = γI μ แทนค่า I = 0 จะได้ R = γ(0) μ R=0 ดงั นั้น จดุ สมดุลทีไ่ ม่มีโรค (E0) คอื E0(S, I, R) = E0 (N, 0,0)

36 4.2.3 จุดสมดุลทมี่ โี รค (������������) จดุ สมดลุ ทมี่ ีโรค จะเปน็ กรณีท่มี โี รค น่นั คือ I ≠ 0 จากสมการ (1) จะได้ μN − (1 − p)βS∗I∗ − μS∗ = 0 (1 − p)βS∗I∗ + μS∗ = μN [(1 − p)βI∗ + μ]S∗ = μN S∗ = μN (7) (1−p)βI∗+μ (8) จากสมการ (2) จะได้ (1 − p)βS∗I∗ − (γ + μ)I∗ = 0 [(1 − p)β ((1−pμ)NβI+μ)] I∗ = (γ + μ)I∗ [(1 − p)β ((1−pμ)NβI∗+μ)] = (γ+μ)I∗ I∗ ((1−pμ)NβI∗+μ) = (γ+μ) (1−p)β μN = (1−p)βI∗+μ (γ+μ) (1−p)β μN(1−p)β = (1 − p)βI∗ + μ (γ+μ) (1 − p)βμN − μ(γ + μ) = (1 − p)βI∗ (γ + μ) (γ + μ) (1−p)βμN−μ(γ+μ) = (1 − p)βI∗ (γ+μ) (1−p)βμN−μ(γ+μ) = I∗ (1−p)β(γ+μ)

จากสมการ (3) จะได้ 37 γI∗ − μR∗ = 0 (9) μR∗ = γI∗ R∗ = γI∗ μ ดงั นัน้ E1(S∗, I∗, R∗) = E1 ((1−pμ)NβI∗+μ , μN(1−p)β−µ(γ+μ) , γI∗) (γ+μ)(1−p)β μ คา่ ระดับการตดิ เช้ือ (������������) คา่ ระดับการติดเชอ้ื หาไดโ้ ดยวธิ ี next generation และรัศมโี ดดเด่นเราสามารถเขียนสมการใหม่ ในรูปเมทริกซ์ dX = F(x) − V(x) dt เมือ่ F(x) เปน็ เมทริกซ์ท่ีแสดงซึ่งผู้ปว่ ยรายใหม่ และ V(x) เป็นเมทริกซ์ทเ่ี หลอื จากการแยก F(x) จะ ได้ S 0 −μN + (1 − p)βSI + μS x = [ I ] , F(x) = [(1 − p)βSI] , V(x) = [ γI + μI ] R0 −γI + μR และกำหนดให้ F = [∂F������(E0)] และ V = [∂V������(E0)] ∂X������ ∂X������ สำหรบั ทุกๆ ������, ������ = 1,2,3 จะเป็นเมทริกซ์จาโคเบียนของ F(x) และ V(x) ทจ่ี ดุ (E0) ส่วนคา่ ระดับการติดเชือ้ (R0) คือค่าเฉลี่ยทผ่ี ปู้ ่วย 1 คน จะแพร่เช้ือใหแ้ กก่ ลุ่มประชากรที่เสยี่ งต่อการติดเช้อื หรือคา่ ระดับการติดเชือ้ เปน็ การวดั ความสามารถของการแพร่เช้ือในกลมุ่ ประชากรท่ีเส่ียงต่อการติดเชอ้ื ซงึ่ สามารถคำนวณโดยสูตร ρ(FV−1(E0)) เม่ือ FV−1(������0) คือ next generation matrix และ ρ(FV−1(E0)) เป็นรัศมที ีโ่ ดดเดน่ ของ FV−1(������0) สำหรบั ตวั แบบนีส้ ามารถเขียนเมทริกซจ์ าโคเบียน จาก 0 0 0∂F ∂F ∂F ∂S = [(1 − p)βI] , ∂I = [(1 − p)βS] , ∂R = [0] 0 0 0

38 และ (1 − p)βI + μ (1 − p)βS 0 ∂V = [ ] , ∂V = [ γ + μ ] , ∂V = [0] 0 ∂I −γ ∂R μ ∂S 0 พิจารณาท่ีจุด E0 (N, 0,0) จะได้ 000 ∂(F(E0)) ∂(F(E0)) ∂(F(E0)) ∂S = [0] , ∂I = [(1 − p)βN] , ∂R = [0] 0 0 0 μ (1 − p)βN 0 ∂(V(E0)) ∂(V(E0)) ∂(V(E0)) ∂S = [0] , ∂S = [ γ+μ ] , ∂R = [0] 0 −γ μ นั่นคือ 0 0 0 และ V(E0) = μ (1 − p)βN 0 F(E0) = [0 (1 − p)βN 0] [0 μ+γ 0] 000 0 −γ μ ต่อไปจะหาคา่ ระดบั การติดเช้ือ (R0) หา V−1(E0) จะได้ det(v(E0)) = (μ)(−1)1+1 |μ−+γγ 0μ| + 0(−1)2+1 |(1 − p)βN μ0| −γ + 0(−1)3+1 |(1 − p)βN 00| μ+γ = μ[(μ + γ)(μ) − 0] + 0 + 0 det(v(E0)) = μ(μ + γ)(μ) |μ−+γγ 0μ| − |00 0μ| |00 μ−+γγ| ������ และ adj(v(E0)) = − |(1 − p)βN μ0| |0μ μ0| − |μ0 (1 −−pγ)βN| −γ [ |(1 − p)βN 00| − |0μ 00| |0μ (1μ−+p)γβN| ] μ+γ (μ + γ)μ 0 0 ������ = [(−1 + p)βNμ μ2 μγ ] 0 0 (μ + γ)μ (μ + γ)μ (−1 + p)βNμ 0 adj(V(E0)) = [ 0 μ2 0 ] 0 μγ (μ + γ)μ

39 จะได้ V−1(E0) = 1 adj(v(E0)) det(v(E0)) V−1(E0) = μ(μ 1 (μ + γ)μ (−1 + p)βNμ 0 + γ)(μ) [ μ2 0 μγ 0] 0 (μ + γ)μ 1 (−1 + p)βN 0 μ V−1(E0) = 0 (μ + γ)μ 0 1 1 [0 μ] (μ + γ) γ (μ + γ)μ 0 0 0 0] และ FV−1(E0) = [0 (1−p)βN 0 0 μ+γ 0 ทำการหาค่าลกั ษณะเฉพาะจากสมการลักษณะเฉพาะ det(FV−1(E0) − λI) = 0 0 0 01 0 0 0] − ������ [0 1 0] พิจารณา FV−1(E0) − ������Ι = [0 (1−p)βN μ+γ 001 000 −λ 0 0 =[0 (1−p)βN − λ 0] −λ 0 μ+γ 0 det(FV−1(E0) − λI) (−λ)(−1)1+1 (1−p)βN − λ 0| + (0)(−1)2+1 |00 −0λ| −λ | μ+γ 0 00 +(0)(−1)3+1 |(1−p)βN − λ 0| = 0 μ+γ (−λ) [((1−p)βN − λ) (−λ) − 0] + 0 + 0 = 0 μ+γ (−λ) [((1−p)βN−(μλ+γλ)) (−λ)] = 0 μ+γ (−λ) [((−1+p)βN+μλ+γλ)) (−λ)] = 0 μ+γ − ������2(βNp−βN+γ������+������������) = 0 μ+γ