ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก

A ผลกระทบของปริมาณนำ้ ฝนทม่ี ผี ลตอ่ ตวั แบบสำหรบั โรคมือ เท้า ปาก Effect of Rainfall on the Transmission Model of Hand Foot Mouth Disease กติ ตภิ ทั ร พลเดช โครงงานนเ้ี ป็นสว่ นหนงึ่ ของการศึกษาตามหลักสตู ร ปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรธี รรมราช ปีการศกึ ษา 2562

B Effect of Rainfall on the Transmission Model of Hand Foot Mouth Disease Kittipat Pondach A PROJECT IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF BACHELOR OF SCIENCE IN MATHEMATICS SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY NAKHON SI THAMMARAT RAJABHAT UNIVERSITY ACADEMIC YEAR 2019

C หัวข้อโครงงาน ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนท่มี ีผลตอ่ ตวั แบบสำหรบั โรคมือ เทา้ ปาก Effect of Rainfall on the Transmission Model of Hand Foot ชอื่ นกั ศกึ ษา Mouth Disease ปรญิ ญา นายกิตติภทั ร พลเดช รหสั นักศึกษา 5911427004 ปกี ารศึกษา วทิ ยาศาสตรบัณฑิต (คณติ ศาสตร์) อาจารยท์ ีป่ รกึ ษา 2562 อาจารยอ์ รอุมา รักษาชล คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช อนุมัติให้โครงงานนี้เปน็ ส่วนหนึง่ ของการศกึ ษาตามหลักสตู รปริญญาวทิ ยาศาสตรบัณฑติ สาขาวิชาคณิตศาสตรป์ ระจำปกี ารศึกษา 2562 คณะกรรมการสอบ ลายมือชือ่ อ.อรอุมา รกั ษาชล ประธานกรรมการ อ.ณัฎฐณิ ีย์ คงนวล กรรมการ อ.รตั ตยิ า ฤทธชิ ว่ ย ประธานหลกั สตู ร วท.บ. สาขาคณติ ศาสตร์ รศ.ดร.ปานจติ มุสกิ คณบดี ลิขสิทธข์ิ องคณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครศรธี รรมราช

หัวข้อโครงงาน ก ชือ่ นักศกึ ษา ปริญญา ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มผี ลตอ่ ตัวแบบสำหรบั โรคมือ เทา้ ปาก สาขาวิชา นายกติ ติภัทร พลเดช รหัสนักศกึ ษา 5911427004 ปกี ารศกึ ษา วทิ ยาศาสตรบัณฑิต (คณติ ศาสตร์) อาจารย์ทป่ี รึกษา คณิตศาสตร์ 2562 อาจารยอ์ รอุมา รกั ษาชล บทคัดยอ่ การทำวิจัยครั้งนี้เพื่อพัฒนาและวิเคราะห์เสถียรภาพผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีต่อตัวแบบ ทางคณิตศาสตร์สำหรับโรคมือ เท้า ปาก โดยได้ใช้วิธีการมาตรฐานในการวิเคราะห์ตัวแบบ ทำการหาจุด สมดุลท่ีทำให้เกิดเสถียรภาพ ซึ่งมี 2 จุด คือ จุดสมดุลที่ไม่มีโรคและจุดสมดุลที่มีโรค ซึ่งจะขึ้นอยู่กับค่า ระดับการติดเช้ือ (R0 ) ถ้า R0  1 แล้วจดุ สมดลุ ท่ไี ม่มีโรคจะเสถยี ร แตถ่ ้า R0  1 แลว้ จุดสมดุลท่ีมีโรค จะเสถยี ร ผลการวิเคราะห์พบวา่ ณ จุดสมดุลที่ไมม่ โี รค เมอ่ื ปรมิ าณน้ำฝน g(T ) = 0.01 มคี า่ ระดับการ ติดเชื้อ R0 = 0.04823 และ ณ จุดสมดุลที่มีโรค เมื่อปริมาณน้ำฝน g (T ) = 0.33 มีค่าระดับการติดเช้ือ R0 =1.59183 สรุปได้ว่าปริมาณน้ำฝนมีผลต่อการแพร่ระบาดของโรคมือ เท้า ปาก คือถ้าปริมาณน้ำฝน เพ่มิ ขน้ึ สง่ ผลให้การแพร่ระบาดของโรคมือ เท้า ปาก เพิ่มข้นึ คำสำคัญ : ปรมิ าณน้ำฝน, ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์, โรคมือ เทา้ ปาก

Title ข Students Effect of Rainfall on the Transmission Model of Hand Foot Degree Mouth Disease Department Mr.Kittipat Pondach Student ID 5911427004 Academic Year Bachelor of Science (Mathematics) Advisor Mathematics 2019 MissOnuma Ruksachol Abstract This research were to develop and evaluate stability of effect of rainfall on the transmission model of Hand Foot Mouth disease by using standard method to analyze this model. We found that there were two equilibrium points; disease free equilibrium and endemic equilibrium point where depend on the basic reproductive number (R0 ) . If R0  1, then the disease free equilibrium point is local asymptotically stable, but if R0 1 , then the endemic equilibrium point, is local asymptotically stable. The results showed that at the disease free equilibrium point, we have the rainfall at g(T ) = 0.01 and basic reproductive number at R0 = 0.04823 and at the disease equilibrium point we have the rainfall at g (T ) = 0.33 and basic reproductive number at R0 =1.59183. We concluded that the rainfall has effect on the transmission model of Hand Foot Mouth Disease. If the amount of rainfall increases, the spread of HFMD will increase. Keyword : Rainfall, Mathematical model, Hand Foot Mouth Disease

ค กิตติกรรมประกาศ การจัดทำโครงงานเรื่อง ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก เล่มนี้สำเร็จลุล่วงได้ด้วยดีเนื่องจากได้รับความกรุณาอย่างสูงจาก อาจารย์อรอุมา รักษาชล อาจารย์ที่ ปรึกษาโครงงาน ที่ให้คำแนะนำและแนวคิดในการจัดทำโครงงานฉบับนี้ ตลอดจนปรับปรุงแก้ไข ขอ้ บกพรอ่ งต่าง ๆ ดว้ ยความเอาใจใสอ่ ย่างดยี ง่ิ ตั้งแตเ่ ริ่มแรกจนสมบูรณ์ ขอกราบขอบพระคุณอาจารย์ประจำหลักสตู รวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ ทุกท่าน ที่คอยให้คำปรึกษา และคำแนะนำในการจัดทำโครงงานฉบับนี้เสร็จสมบูรณ์ยิ่งขึ้น รวมถึงบิดา มารดา และครอบครัวที่ให้การสนับสนุนในการทำโครงงานครั้งนี้ ขอบคุณเพื่อนนักศึกษาทุกคนที่ให้ความ ชว่ ยเหลือ และเป็นกำลงั ใจใหต้ ลอดเวลาในการศกึ ษาจนสำเร็จ อาจารยอ์ รอมุ า รกั ษาชล อาจารย์ประจำสาขาคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช ที่ให้คำปรึกษาเกี่ยวกับการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เรื่อง ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัว แบบสำหรับโรคมอื เท้า ปาก การวเิ คราะห์เชงิ ตัวเลขและการสรา้ งกราฟดว้ ยโปรแกรม Maple 18 นอกจากนีผ้ ูจ้ ดั ทำโครงงานขอกราบขอบพระคุณคณะกรรมการโครงงานทกุ ท่านที่ให้คำแนะนำใน การศกึ ษา การค้นคว้าข้อมูลตา่ ง ๆ และได้นำมาอ้างองิ ในโครงงานครัง้ นี้ นายกติ ติภัทร พลเดช

ง สารบญั หนา้ บทคัดย่อภาษาไทย..................................................................................................................... ก บทคัดย่อภาษาอังกฤษ................................................................................................................ ข กิตตกิ รรมประกาศ...................................................................................................................... ค สารบญั ....................................................................................................................................... ง สารบญั ตาราง............................................................................................................................. ช สารบญั รปู .................................................................................................................................. ซ บทท่ี 1 บทนำ…………………………………………………………………………………………………………..….. 1 1.1 ทมี่ าและความสำคัญของโครงงาน ………………………………………..…………………….…….. 1 1.2 วตั ถปุ ระสงค์ของโครงงาน ………………………………………..……………..………….……….….. 2 1.3 ประโยชนท์ ่คี าดว่าจะไดร้ ับ ………………………………………..…………………………..…….….. 2 1.4 ขอบเขตของเนื้อหา ………………………………………..………………….………………..………….. 2 บทท่ี 2 เอกสารและงานวจิ ัยที่เกย่ี วข้อง ………………………………………..……………………………….. 4 2.1 โรคมอื เท้า ปาก ………………………………………..……………………………………………….….. 5 2.2 ลกั ษณะทางกายภาพ ในภาคใต้ ….………………………………………..………………………….. 7 2.2.1 ลักษณะภูมปิ ระเทศของภาคใต้ ………………………………………..……………………….. 7 2.2.2 ลักษณะของชายฝงั่ ทะเลภาคใต้ ………………………………………..…………………..….. 8 2.2.3 ลกั ษณะภูมิอากาศของภาคใต้ …………………………….………..……………….………….. 8 2.2.4 สาเหตขุ องการเกิดฝนตกชุกในภาคใต้ ………….………………..………………………….. 9 2.3 ตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ ………………………………………..……….……………………………….. 10

จ สารบัญ(ตอ่ ) หน้า 2.3.1 ความหมายของตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ …………………………………………………….. 10 2.3.2 ประเภทของตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ …………………………..…………………………….. 10 2.3.3 ขัน้ ตอนการสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ..………………..……………………………….. 12 2.3.4 คณิตศาสตรส์ ำหรับตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ …………………..……….………………….. 15 2.4 โปรแกรม Maple ………………………………………..………………………………..……………….. 23 2.4.1 ประวัติโปรแกรม Maple ………………………………………..……………………………….. 23 2.4.2 ลักษณะของโปรแกรม Maple ………………………………..……………………………….. 23 2.5 งานวิจยั ท่เี กีย่ วขอ้ ง ………………………………………………………..……………………………….. 32 บทที่ 3 วิธดี ำเนินการโครงงาน ……………………………………………………..……………………………….. 36 3.1 การกำหนดพารามิเตอร์ที่ใช้ในการศึกษา …………………………………………………………... 36 3.2. เคร่ืองมือท่ใี ชใ้ นการวเิ คราะห์ข้อมูล ………………………………..……………………………….. 37 3.3 วธิ กี ารและขน้ั ตอนการวิเคราะหข์ ้อมลู ……………………………..……………………………….. 37 3.3.1 สรา้ งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ …………………………………..……………………………….. 37 3.3.2 วเิ คราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์………………….…………..……………………………….. 38 3.3.3 การวเิ คราะห์เชงิ ตัวเลขของตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์…………………….……………….. 39 บทที่ 4 ผลการวเิ คราะห์ข้อมูล ………………………………………….………………….……………………….. 40 4.1 การสรา้ งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ……………………………………..……………………………….. 40 4.2 การวิเคราะหต์ วั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ ……………………………….……………………………….. 42 4.2.1 คณุ สมบัติพน้ื ฐานของแบบจำลอง …………………………..………………………..……….. 42

ฉ สารบัญ(ตอ่ ) หนา้ 4.2.2 คา่ ระดบั การติดเช้ือ …………………………………….………..……………………..………….. 57 4.2.3 จุดเสถยี รภาพ …………………………………………..…………..……………………………….. 51 4.3 การวิเคราะห์เชงิ ตัวเลข …………………………………………………..……………………………….. 57 4.3.1 ความเสถียรภาพของจุดสมดลุ ท่ไี ม่มโี รค …………………………………………………….. 58 4.3.2 ความเสถียรภาพของจุดสมดลุ ทีม่ ีโรค ……………………....……………………………….. 60 บทท่ี 5 สรปุ ผลและข้อเสนอแนะ ………………………………………..…………………………….…….…….. 63 5.1 สรุปผลการศกึ ษา ………………………………………..………………………………………………….. 63 5.2 อภปิ ลายผล ………………………………………..………………………………………………………….. 65 5.3 ขอ้ เสนอแนะ ………………………………………..………………………………………….…………….. 66 เอกสารอา้ งอิง ............................................................................................................................ 67 ภาคผนวก................................................................................................................................... 68 ภาคผนวก ก .............................................................................................................................. 69 ภาคผนวก ข .............................................................................................................................. 80

ช สารบัญตาราง หน้า ตารางที่ 2.1 สว่ นประกอบของโปรแกรม Maple ……………………………………………………………… 24 ตารางที่ 2.2 แถบเครอ่ื งมือของโปรแกรม Maple ……………………………………………………………. 25 ตารางที่ 3.1 คา่ พารามิเตอรท์ ่ีใชว้ เิ คราะห์เชงิ ตัวเลข …………………………………………………….…… 36 ตารางที่ 4.1 คา่ พารามเิ ตอรท์ ่ีใช้จำลองเชิงตวั เลข ………………………………………………………..…… 57

ซ สารบัญภาพ หนา้ ภาพท่ี 1.1 ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตรข์ องผลกระทบของปริมาณนำ้ ฝน ……………………………………..3 ท่มี ีผลตอ่ ตวั แบบสำหรบั โรคมือ เทา้ ปาก ภาพที่ 2.1 ลกั ษณะของโรคมือ เท้า ปาก ……………………………………………………………………………..6 ภาพท่ี 2.2 แสดงพ้นื ทีใ่ นภาคใต้ ……………………………………………………………………..…………………..9 ภาพที่ 2.3 กระบวนการสร้างตวั แบบคณติ ศาสตร์ ……………………………………………………………….. 14 ภาพที่ 2.4 กระบวนการสรา้ งตัวแบบดา้ นชวี วทิ ยาหรอื นิเวศวิทยา ……………………………..…………..14 ภาพท่ี 2.5 หนา้ หลกั ของโปรแกรม Maple 18 ………………………………………..………………………….. 23 ภาพท่ี 2.6 แบบจำลองเชิงคณติ ศาสตรข์ องการระบาดโรคมือ เทา้ ปาก …………………..…………….. 32 ในภาคใต้ ของประเทศไทย ภาพที่ 2.7 แผนภาพแสดงแนวคดิ ในการสร้างตวั แบบทางคณติ ศาสตร์ ………………………………….. 33 ของโรคมือ เท้า ปาก ทมี่ ีผลกระทบของการรณรงค์การล้างมือ ภาพที่ 2.8 แผนภาพแสดงแนวคดิ ในการสร้างตัวแบบทางคณติ ศาสตร์ …………………………………...34 ของโรคเทา้ มือปากทมี่ ผี ลกระทบของการรณรงค์การล้างมือ ภาพท่ี 2.9 ตัวแบบเชิงคณิตศาสตรข์ องโรคไขหวัดใหญ่ โดยพจิ ารณา …………………………………….. 35 ผลกระทบจากปริมาณน้ำฝน ภาพที่ 3.1 การสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ของโรคมือ เท้า ปาก …………………………………………. 37 ภาพที่ 4.1 แผนภาพแสดงผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลตอ่ ตวั แบบ ………………………………..40 สำหรับโรคมอื เทา้ ปาก

ฌ สารบัญภาพ(ตอ่ ) หนา้ ภาพท่ี 4.2 คำตอบเชงิ ตวั เลขแสดงความสัมพันธข์ อง (a) กลมุ่ ประชากรทีเ่ สีย่ งต่อ ………………….. 59 การติดเชื้อ (b) กล่มุ ประชากรท่ตี ดิ เช้อื แต่ไม่สามารถแพร่เช้ือได้ (c) ประชากรท่ีติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ (d) กลุ่มประชากรท่หี าย จากการตดิ เช้ือ เทยี บกับเวลา (t) ในสภาวะทไ่ี ม่มโี รค ดงั กราฟ จะเหน็ ได้วา่ คำตอบเชิงตวั เลขของระบบจะลูเ่ ขา้ ส่จู ุดสมดุลท่ีไม่มโี รค E0 (N,0,0,0) ดังปรากฏ ภาพที่ 4.3 คำตอบเชงิ ตัวเลขแสดงความสัมพันธข์ อง (e) กลุ่มประชากรทเ่ี สี่ยงต่อ ………………….. 63 การติดเชอ้ื (f) กลุ่มประชากรท่ตี ดิ เชือ้ แต่ไมส่ ามารถแพรเ่ ช้ือได้ (g) ประชากรท่ีตดิ เช้ือและสามารถแพร่เชื้อได้ (h) กลุ่มประชากรที่หาย จากการติดเชื้อ เทยี บกับเวลา (t) ในสภาวะทีไ่ ม่มโี รค ดังกราฟ จะเห็น ได้ว่าคำตอบเชงิ ตวั เลขของระบบจะลู่เขา้ ส่จู ุดสมดุลที่มีโรค E1 (109.03845,126.44670,315.40033, 449.11452) ดงั ปรากฏ

1 บทที่ 1 บทนำ 1.1. ท่มี าและความสำคัญของโครงงาน โรคมือ เท้า ปาก เป็นโรคที่เกิดจากเชื้อไวรัสในกลุ่ม enterovirus ซึ่งมักเป็น coxsackievirus A16 และยังอาจเกิดจากเชื้อไวรัสตัวอื่น ๆ ในกลุ่มนี้ได้ เช่น enterovirus 71 โรคมือ เท้า ปาก พบ บ่อยในเด็กเล็ก ๆ จนถึงอายุ 10 ปี พบมีผู้ป่วยตลอดทั้งปี แต่ช่วงที่พบมีผู้ป่วยด้วยโรค มือ เท้า ปาก มากที่สุดคือช่วงฤดูฝน ทำให้ประชาชนทางภาคใต้มีความเสี่ยงที่จะป่วยเป็นโรคนี้มากกว่าภาคอื่น ๆ เนื่องจากมีฤดฝู นยาวนาน โรคมือ เทา้ ปาก เป็นโรคท่ีตดิ ตอ่ ไดง้ า่ ยจากการสัมผัส ทำให้เป็นไข้และมีตุ่ม พองเกิดขึ้นที่ มือ เท้า และในปาก หลังจากติดเชื้อแล้วจะเกิดภูมิคุ้มกันต่อเชื้อสายพันธุ์นั้น แต่ยังมี โอกาสเป็น โรคมือ เท้า ปาก ได้อีกจากเชื้อไวรัสสายพันธุ์อื่นในกลุ่มเดียวกัน เชื้อไวรัสพบในอุจจาระ สารคัดหลั่ง เช่น น้ำมูก น้ำลาย รวมทั้งในตุ่มพองของผู้ป่วย เชื้อจึงแพร่กระจายได้จากการสัมผัสกับ อุจจาระ น้ำมูก นำ้ ลายและน้ำในตุ่มพองของผู้ทเ่ี ป็นโรค และหลังจากสัมผสั เช้ือ 3 – 6 วัน เด็กจะมีไข้ อ่อนเพลีย เจ็บคอ หลังจากนั้น 1 – 2 วัน เด็กมักจะมีอาการเจ็บในปาก ทำให้ไม่ยอมรับประทาน อาหารตามปกติ ทั้งนี้เน่ืองจากมีตุ่มพองและแผลเกิดข้ึนในปาก นอกจากนี้ยังพบตุ่มพองที่มือและเท้า ด้วยจึงได้เล็งเหน็ ว่าปัญหาโรคมือ เท้า ปาก เป็นปัญหาทางระบาดวิทยาที่มีความสำคัญและควรได้รับ แนวทางการป้องกันของโรคมือ เท้า ปาก ซงึ่ โดยส่วนใหญพ่ บว่าการศึกษาทางระบาดวทิ ยาสามารถนำ ความร้ทู างคณติ ศาสตรม์ าชว่ ยในการแก้ปญั หาไดด้ ้วยการสร้างตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์การระบาดของโรคมือ เท้า ปาก พบว่ามีประชากรซึ่งแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม คือกลมุ่ ประชากรที่เส่ียงต่อการติดเช้ือ ( S ) กลุ่มประชากรทต่ี ิดเช้ือแต่ไมส่ ามารถแพร่เชื้อได้ (E) กลุ่มประชากรที่ติดเช้ือและสามารถแพร่เชื้อได้ ( I ) กลุ่มประชากรท่ีฟืน้ จากการติดเช้ือ ( R ) โดยรวม การศึกษามีหลักฐานที่แสดงให้เห็นว่ามีการระบาดของโรคมือ เท้า ปาก ซึ่งจากการคำนวณค่าระดับ การติดเชื้อและการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์การระบาดของโรคมือ เท้า ปาก

2 เนื่องจากมีผู้ป่วยดว้ ยโรค มือ เท้า ปาก มากในเด็กเล็กจนถึงอายุ 10 ปี พบมากที่สุดคือช่วงฤดู ฝนในภาคใต้มีความเสี่ยงที่จะป่วยเป็นโรคนี้มากกว่าภาคอื่น ๆ เนื่องจากมีฤดูฝนยาวนาน จึงได้นำ แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์มาใช้แก้ปัญหาการแพร่เชื้อของโรคมือ เท้า ปาก เพื่อนำผลวิจัยไปหา แนวทางแกป้ ญั หาการแพร่เชื้อโรคมอื เทา้ ปาก ในพ้ืนที่ต่อไป 1.2. วัตถุประสงคข์ องโครงงาน 1. เพื่อสร้างตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ของผลกระทบต่อปรมิ าณน้ำฝนทมี่ ผี ลตอ่ ตัวแบบของโรค มือ เท้า ปาก 2. เพอ่ื วิเคราะหเ์ สถียรภาพของตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดโรคมือ เท้า ปาก ใน ภาคใต้ 1.3. ประโยชนท์ ีค่ าดว่าจะได้รบั 1. สรา้ งตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ของผลกระทบต่อปรมิ าณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบของโรคมือ เท้า ปาก 2. ไดจ้ ุดสมดุลทีม่ ีโรคมอื เท้า ปาก ในภาคใต้ 3. ไดน้ ำผลวจิ ยั ไปหาแนวทางแก้ปญั หา 1.4. ขอบเขตของเน้ือหา ในการศึกษาครั้งนี้ ผู้วิจัยจะสร้างตัวแบบ SEIR ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัว แบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ขององค์ประกอบในตัวแบบ ดังภาพท่ี 1.1

3 ภาพท่ี 1. 1 ตวั แบบเชิงคณิตศาสตรข์ องผลกระทบของปริมาณนำ้ ฝนท่มี ผี ลต่อตวั แบบสำหรับโรคมอื เทา้ ปาก โดยการสร้างตวั แบบจะพิจารณาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ ดงั น้ี S แทน ประชากรทเี่ สย่ี งต่อการตดิ เช้ือ E แทน ประชากรที่ติดเชื้อแต่ไมส่ ามารถแพร่เชอ้ื ได้ I แทน ประชากรทีต่ ดิ เชื้อและแพร่เช้ือได้ R แทน ประชากรทีห่ ายจากการตดิ เช้ือ b แทน อตั ราการเกิดของประชากร N แทน จำนวนประชากรทงั้ หมด  แทน อตั ราการแพรเ่ ชื้อ  แทน อตั ราการฟกั ตัวของโรคมอื เทา้ ปาก  แทน อตั ราการฟน้ื ตวั ของประชากร  แทน อัตราการตายโดยธรรมชาตขิ องประชากร  แทน อัตราการฟ้นื ตัวของประชากรทส่ี ามารถกลบั มาเป็นประชากรท่เี สย่ี งต่อการติดเช้ือ g (T ) แทน ปริมาณนำ้ ฝน ซึง่ ค่า b และ  อ้างอิงจากระบบสถิติของประชากร คา่  , , อ้างอิงจากสำนักระบาทวทิ ยาและกรมวทิ ยาศาสตร์การแพทย์ ( 2561 ) คา่  อา้ งอิงจากเร่ือง แบบจำลองโรคมือ เท้า ปาก ที่มผี ลกระทบต่อการล้างมอื ของ Chutima Karaket, Piyada Wongwiwat และ Surapol Naowarat ปี พ.ศ.2558

4 บทที่ 2 เอกสารและงานวิจัยทเ่ี กย่ี วข้อง การศึกษาและการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สามารถแก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตประจำวันได้ ซ่ึง ปญั หาทางระบาดวทิ ยาเปน็ ปัญหาหนึ่งท่ีสามารถนำความรทู้ างคณติ ศาสตรแ์ ละตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์มา ช่วยแก้ปัญหาได้ โดยโรคมือ เท้า ปาก เป็นโรคทางระบาดวิทยาชนิดหนึ่ง ซึ่งมีการแพร่ระบาดของโรค อย่างมากในปัจจุบัน ผู้จัดทำโครงงานจึงได้ศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เพื่อจะมาช่วยแก้ปัญหาของโรค มอื เทา้ ปาก ในภาคใต้ เนอ่ื งจากภาคใต้มฤี ดฝู นยาวนานจงึ มคี วามเสยี่ งท่ีจะปว่ ยเปน็ โรคนมี้ ากกว่าภาคอ่ืน ๆ และเป็นภาคที่มีอัตราการป่วยของโรคสูงสุด โดยผู้จัดทำโครงงานจะทำการสร้างตัวแบบและวิเคราะห์ ความเสถียรภาพของตัวแบบรวมถึงได้กำหนดค่าพารามิเตอร์มาวิเคราะห์เชิงตัวเลข และจะแสดงคำตอบ ในรปู แบบกราฟของแต่ละกลุ่มประชากรเทียบกับเวลา ผจู้ ดั ทำโครงงานจึงได้ศึกษาเอกสารและงานวิจัยที่ เกี่ยวขอ้ งกบั การสรา้ งตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์และการระบาดโรคมือ เทา้ ปาก ซง่ึ มรี ายละเอยี ดหัวขอ้ ดังน้ี 2.1 โรคมอื เท้า ปาก 2.2 ลกั ษณะทางกายภาพ ในภาคใต้ 2.3 ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ 2.3.1 ความหมายของตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ 2.3.2 ประเภทของตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ 2.3.3 ขน้ั ตอนการสรา้ งตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ 2.3.4 คณติ ศาสตรส์ ำหรบั ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ 2.4 โปรแกรม Maple 2.4.1 ประวัติโปรแกรม Maple 2.4.2 ลกั ษณะของโปรแกรม Maple 2.5 งานวิจยั ท่เี กย่ี วขอ้ ง

5 2.1 โรคมือ เท้า ปาก โรคมือเท้าปากเกิดจากการติดเชื้อไวรัสในกลุ่มเอนเทอโรไวรัส ซึ่งมีมากกว่า 100 สายพันธ์ุ โดยสายพันธุท์ ่ีทำใหเ้ กิดโรคทีพ่ บได้บ่อย เช่น คอกซากีไวรัส เอ 16 (coxsackievirus A16) และเอน เทอโรไวรัส 71 (enterovirus 71) กลุ่มเสี่ยงที่พบบ่อยคือ เด็กทารกและเด็กเล็กอายุต่ำกว่า 5 ปี ซ่ึง มักมอี าการรนุ แรงมากกว่าเดก็ โต สำหรบั ผู้ใหญ่พบโรคน้ไี ดบ้ า้ ง ( โรงพยาบาลบำรงุ ราษฎร์, 2559 ) โรคมอื เท้า ปาก สามารถตดิ ต่อไดโ้ ดยการสมั ผัสกับนำ้ ลาย น้ำมูก ผนื่ ตมุ่ น้ำใส และอจุ จาระ ของผู้ป่วยเชื้ออาจจะแพร่กระจายโดยผ่านทางมือผู้ที่สัมผัสกัน เช่น การเปลี่ยนผ้าของเด็กเล็ก สาร คัดหลั่งจากจมูก ลำคอ น้ำลาย และน้ำจากตุ่มใส และสามารถติดตอ่ ทางอ้อมจากการสัมผัสของเล่น อาหารหรือนำ้ ดม่ื ทปี่ นเปื้อนเชอ้ื โดยสถานที่ทีม่ ักพบการระบาดของโรค ได้แก่ สถานรบั เลีย้ งเด็กและ โรงเรียนอนุบาล ช่วงที่มักมีการระบาดของโรคนี้คือ ช่วงฤดูฝนเข้าสู่ฤดูหนาว เด็กจะเริ่มมีไข้สูง 38- 39 องศาเซลเซียสเป็นอาการนำก่อน จากนนั้ จึงมีอาการอน่ื ๆ ตามมาภายใน 1-2 วัน คือ เจ็บคอ ไม่ อยากอาหาร อ่อนเพลีย และจะเร่มิ มีตุ่ม ผ่นื หรือแผลอักเสบมีหนองท่ีผิวหนังบริเวณ ฝ่ามือ ฝ่าเท้า และบริเวณปากทั้งภายนอกและภายใน อย่างไรก็ตามโรคมือ เท้า ปาก อาจมีภาวะแทรกซ้อนท่ี รุนแรง เชน่ เหย่อื หุ้มสมองอักเสบ เหย่อื หมุ้ หวั ใจอักเสบ หรืออมั พาตกลา้ มเน้ืออ่อนปวกเปียก ซึ่งพ่อ แม่ควรดูแลอย่างใกล้ชิด หากมีอาการเตือนของภาวะรุนแรง เช่น ซึมลง ไม่เล่น ไม่ทานอาหารหรือ นม สับสน พูดเพ้อพูดจาไม่รู้เร่ือง ควรรีบนำมาพบแพทย์ทนั ที ( โรงพยาบาลศคิ รินทร์, 2560 ) เนื่องจากในปัจจุบันยงั ไมม่ วี ัคซีนป้องกนั เช้ือไวรัสท่ีก่อให้เกิดโรคมือเท้าปาก สงิ่ สำคญั ท่สี ุด คือการดูแลรักษาสุขอนามัยที่ดี โดยคุณพ่อคุณแม่สามารถป้องกันโรคมือเท้าปาก รวมถึงป้องกัน อาการแทรกซอ้ นท่ีอาจรุนแรงถงึ เสียชีวิตได้โดย 1. หลีกเล่ยี งการให้เด็กคลกุ คลหี รือใกลช้ ดิ กับผูป้ ว่ ย 2. รักษาอนามยั ส่วนบคุ คล โดยเฉพาะผ้เู ลย้ี งดูเดก็ เล็กควรล้างทำความสะอาดมือกอ่ นหยบิ จับ อาหารใหเ้ ด็กรบั ประทาน และรบั ประทานอาหารท่ีสกุ สะอาด ปรงุ ใหม่ๆ ไม่มแี มลงวันตอม ดมื่ นำ้ สะอาด 3. ไม่ใชภ้ าชนะในการรบั ประทานอาหารรว่ มกบั ผอู้ ื่น โดยเฉพาะชอ้ น จาน ชาม แก้วน้ำ ขวดนม 4. เมื่อเชด็ นำ้ มูกหรอื น้ำลายใหเ้ ด็กแล้วตอ้ งลา้ งมอื ให้สะอาดโดยเรว็ 5. รบี ซักผา้ อ้อมหรือเส้ือผ้าที่เปือ้ นอจุ จาระให้สะอาดโดยเรว็ และท้งิ นำ้ ลงในโถส้วม ห้ามทิ้งลง ท่อระบายน้ำ

6 6. หากเด็กมีอาการของโรคมือเท้าปากใหร้ ีบพาเดก็ ไปพบแพทย์ และเม่อื แพทยว์ ินจิ ฉัยวา่ เป็น โรคมือเทา้ ปาก ต้องให้เด็กหยุดเรยี นอยา่ งน้อย 1 สัปดาห์ หรือจนกวา่ แผลจะหาย ในกรณีที่มีการตดิ เช้ือโรคมือเท้าปากชนิดที่มอี าการรนุ แรงโดยเฉพาะมกี ารเสยี ชวี ติ เช่น เชื้อเอนเทอ โรไวรัส 71 สถานรบั เลย้ี งเดก็ หรือโรงเรยี นอนบุ าลอาจจำเป็นตอ้ งใชม้ าตรการการป้องกนั ที่เข้มขน้ ขน้ึ เชน่ 1. การปิดท้ังโรงเรียนเป็นเวลาอย่างน้อย 2 สัปดาห์ ทำความสะอาดห้องเรยี นและของเลน่ ต่าง ๆ 2. การคดั แยกเดก็ ป่วยออกต้ังแตเ่ ดนิ เข้าที่หนา้ ประตโู รงเรยี น 3. การหม่ันลา้ งมือ เชด็ ถูทำความสะอาดห้องเรียนและของเล่นต่าง ๆ สิง่ สำคัญที่สุดคือ คุณพ่อคณุ แมซ่ ่งึ เปน็ ผทู้ ี่ใกลช้ ดิ กบั ลกู ท่ีสดุ จะต้องหม่นั สงั เกตอาการ หากลกู มีอาการ ปว่ ยท่ีผิดปกติ ควรรบี พบแพทยท์ ันที ( โรงพยาบาลบำรงุ ราษฎร์, 2559 ) ภาพที่ 2.1 ลักษณะของโรคมือ เท้า ปาก

7 2.2 ลักษณะทางกายภาพ ในภาคใต้ ภาคใต้ เป็นภูมิภาคหนึ่งของไทย ตั้งอยู่บนคาบสมุทรมลายู ขนาบด้วยอ่าวไทยทางฝ่ัง ตะวนั ออก และทะเลอนั ดามันทางฝ่ังตะวันตก มเี นอ้ื ท่ีรวม 70,715.2 ตารางกิโลเมตร ความยาวจากเหนือ จรดใต้ ประมาณ 750 กโิ ลเมตร ทกุ จังหวัดของภาค มพี น้ื ทตี่ ดิ ชายฝง่ั ทะเล ประกอบด้วย 14 จงั หวดั แบ่ง ออกเปน็ 2 ฝ่งั ดังนี้ 1. ภาคใต้ฝ่งั ตะวันออก ได้แก่ ชมุ พร สรุ าษฎร์ธานี นครศรธี รรมราช สงขลา พทั ลุง ปตั ตานี ยะลา นราธิวาส 2. ภาคใตฝ้ ัง่ ตะวนั ตก ไดแ้ ก่ ระนอง พงั งา ภเู ก็ต กระบ่ี ตรัง สตลู 2.2.1 ลักษณะภมู ิประเทศของภาคใต้ ภาคใตม้ ลี กั ษณะภูมิประเทศเป็นคาบสมุทรที่มที ะเลขนาบอยู่ 2 ดา้ น คอื ตะวันออกด้าน อ่าวไทย และตะวันตกด้านทะเลอันดามนั จังหวัดยะลาเป็นจังหวัดทีไ่ ม่มีพื้นที่ติดต่อกับทะเล ลักษณะภูมิ ประเทศแบ่งได้ 2 เขต คอื 1. เขตเทือกเขา มลี กั ษณะการวางตวั ในแนวเหนอื -ใต้ เช่น 1.1 เทือกเขาตะนาวศรี เป็นพรมแดนกน้ั เขตแดนไทยกบั พม่า 1.2 เทือกเขาสันกาลาครี ี เปน็ พรมแดนกัน้ เขตแดนไทยกบั มาเลเซยี 1.3 เทอื กเขาภเู ก็ต อยทู่ างตะวันตกของภาค 1.4 เทือกเขานครศรีธรรมราช เปน็ แกนกลางของภาค 2. เขตที่ราบ ที่ราบในภาคใต้มีลักษณะยาวขนานระหวา่ งภูเขาและชายฝั่งทะเลแคบ ๆ ซ่ึงทางตะวันออกเปน็ ชายฝ่ังแบบยกตวั ส่วนชายฝัง่ ตะวันตกเป็นแบบยุบตัว แมน่ ้ำท่ีสำคัญของภาค แม่น้ำ ของภาคใต้เป็นสายส้ัน ๆ เนื่องจากมีพื้นที่น้อย และไหลลงสู่อ่าวไทย เช่น แม่น้ำชุมพร แม่น้ำปัตตานี แม่ น้ำตาปี แม่น้ำสายบุรี ส่วนแม่น้ำโกลก เป็นพรมแดนธรรมชาติที่กั้นเขตแดนระหว่างประเทศไทยกับ มาเลเซีย ส่วนแม่น้ำปากจ่ัน กั้นพรมแดนระหว่างประเทศไทยกับพม่า และแม่น้ำตรังไหลลงสู่ทะเลอันดา มนั

8 2.2.2 ลักษณะของชายฝ่ังทะเลภาคใต้ ภาคใต้มชี ายฝั่งทะเลยาวประมาณ 1,825 กิโลเมตร แบ่งเป็นชายฝั่งทะเลด้านตะวันออก ตั้งแต่ชุมพรถึงนราธิวาส ยาว 960 กิโลเมตร และชายฝั่งทะเลด้านตะวันตกยาว 865 กิโลเมตร ซึ่งมี ลักษณะดงั น้ี 1. ชายฝั่งด้านตะวันออก (ฝั่งอ่าวไทย) เป็นหาดทรายกว้าง เป็นฝั่งทะเลที่มีการยกตัว ของพื้นที่ มีสันทรายจงอย มี ลากูน ท่ีเกิดจากสันดอนที่ปิดกั้นทะเลสาบสงขลาจากทะเลภายนอก มีอ่าว ขนาดใหญ่ เช่น อ่าวบ้านดอน อา่ วชมุ พร อ่าวสวี เป็นต้น 2. ชายฝง่ั ดา้ นตะวันตก (ฝงั่ ทะเลอนั ดามนั ) เปน็ ฝัง่ ทะเลจมตวั มชี ายหาดเวา้ แหว่งและ เป็นหาดน้ำลึกมีป่าชายเลนขึ้นตามชายฝั่ง และมี ชวากทะเล คือ การยุบจมบริเวณปากแม่น้ำขนาดกว้าง อ่าวที่สำคญั ของฝัง่ ทะเลตะวนั ตก ไดแ้ ก่ อ่าวระนอง อ่าวพงั งา อ่าวกระบี่ อา่ วกนั ตงั เปน็ ตน้ 2.2.3 ลกั ษณะภูมิอากาศของภาคใต้ ลักษณะภูมิอากาศเป็นแบบรอ้ นชื้นแถบมรสุม (Am) คือมีฝนตกชุกสลับกับฤดูแล้งสั้น ๆ ภาคใต้ไม่มีฤดูหนาว เนื่องจากอยู่ใกล้เส้นศูนย์สูตร และได้รับอิทธิพลจากลมมรสุมตะวันออกเฉียงใต้และ ลมมรสมุ ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื ทำใหฝ้ นตกชุกตลอดท้ังปี จงั หวดั ทมี่ ีฝนตกชกุ ท่ีสุดคือ ระนอง และจังหวัดท่ี มฝี นตกนอ้ ยคอื สุราษฎร์ธานี ปัจจัยควบคุมอุณหภมู ิของภาคใต้ เปน็ ดังนี้ 1. ลม เป็นปัจจัยสำคัญที่ควบคุมลักษณะภูมิอากาศของภาคใต้มากที่สุด เนื่องจาก ภาคใต้มีลักษณะเป็นคาบสมุทร ทำให้ตกอยู่ภายใต้อิทธิพลของลมมรสุมตะวันตกเฉียงใต้ และลมมรสุม ตะวันออกเฉยี งเหนืออยา่ งเตม็ ท่ี 2. การวางตวั ของภูเขา เมอื่ ลมมรสุมตะวันตกเฉียงใต้พัดเข้าสฝู่ ั่งทะเลด้านตะวันตกทำ ให้ปะทะกับเทือกเขาตะนาวศรี ทำให้มีฝนตกหนักโดยเฉพาะจังหวัดระนอง ส่วนด้านหลังเขาเป็นเขตอับ ฝนจะอยทู่ ่จี ังหวัดสุราษฎรธ์ านี

9 2.2.4 สาเหตุของการเกิดฝนตกชกุ ในภาคใต้ ดงั น้ี 1. เกดิ จากร่องลมมรสุมท่ีเคลื่อนจากทางเหนือเข้าสเู่ สน้ ศูนยส์ ูตร ทำใหฝ้ นตกชุก 2. เกิดจากลมมรสุมตะวนั ออกเฉียงเหนอื พัดผา่ นอา่ วไทยและทะเลจีนใต้ นำฝนมาตกทาง ทะเลด้านตะวันออกของภาคใต้ 3. เกิดพายุดเี ปรสชันทีก่ ่อตวั อยู่ในทะเลจนี ใต้ ทำใหฝ้ นตกหนกั และน้ำท่วม ภาพที่ 2.2 แสดงพ้ืนทีใ่ นภาคใต้

10 2.3 ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ 2.3.1 ความหมายของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ การศกึ ษาในเรื่องเกี่ยวกับการใชต้ ัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เพ่ือชว่ ยในการตัดสินใจน้ัน ไมใ่ ชเ่ ป็นเรื่องใหม่ มอี งค์กรจำนวนมากที่ได้รับประโยชน์จากการใชเ้ คร่ืองมือทางคณิตศาสตร์เหล่านี้คำว่า ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ นั้นคอื การนำเอาหลักการทางคณิตศาสตรม์ าใชใ้ นการจำลองสถานการณ์ที่เกิดขึ้น จริง ทั้งนี้การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์นั้นอาจจะทำได้โดยไม่ต้องใช้ระบบคอมพิวเตอร์ แต่ด้วย ความกา้ วหนา้ ของโปรแกรมคอมพวิ เตอร์ในปัจจุบัน ทำใหก้ ารใชโ้ ปรแกรมคอมพวิ เตอร์มาช่วยคิดคำนวณ ในตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่มีประโยชน์และมีความแพร่หลายเป็นอย่างมาก และตัวแบบเชิง คณิตศาสตร์เหล่านี้จะทำให้เกิดประโยชน์กับการนำมาใช้ เป็นเครื่องมืออย่างหนึ่งที่นำมาใช้ในด้าน สาธารณสุข เพื่อหาแนวโน้มว่าโรคจะระบาดบริเวณใด และยังนำมาใช้ประโยชน์ในการวางแผนหา มาตรการควบคุมโรค เพอื่ เตรียมการรับมอื ยบั ยัง้ การแพรร่ ะบาด หรอื การรกั ษาผู้ปว่ ยได้ทันท่วงที 2.3.2 ประเภทของตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ตับแบบเชิงคณิตศาสตร์ ( Mathematical หรือ Quantitative models ) เป็นตัว แบบที่แสดงความสัมพันธ์ขององค์ประกอบหรือตัวแปรต่าง ๆ โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เดิมตัว แบบจะใช้กับศาสตร์ทางด้านวิทยาศาสตร์ แต่ปัจจุบนั มีแนวโนม้ กับการนำไปใช้ด้านพฤติกรรมศาสตร์และ สังคมศาสตร์เพิ่มขึ้นรวมทั้งการศึกษาด้วย โดยเฉพาะในการวัดผลการศึกษา ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ สามารถอธิบายความสัมพันธ์และสร้างเป็นทฤษฎี เพราะสามารถทดสอบสมมติฐานได้ ซึ่งตัวแบบเชิง คณิตศาสตรท์ ่ีมักพบเป็นตัวแบบ ดงั ตอ่ ไปน้ี 1. ตัวแบบ SIR เป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของโรคโดยตรงหรือจากกลุ่ม ประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อก็แพร่เชื้อออกไปในกลุ่มประชากรที่ติดเชื้อ ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม คือ กลมุ่ S เป็นกล่มุ ทเ่ี สย่ี งต่อการติดเชื้อ กล่มุ I เปน็ กลมุ่ ทต่ี ิดเชื้อและแพรเ่ ชื้อได้ และกลุ่ม R เป็นกลุ่มท่ีหาย จากการตดิ เช้ือ

11 2. ตัวแบบ SEIR เป็นตวั แบบท่ีมกี ารแพรร่ ะบาดของเชื้อจากกลุ่มประชากรที่เส่ียง ต่อการติดเชื้อโดยแพร่เชื้อออกไปในกลุ่มประชากรที่ติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ ซึ่งแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม คือ กลุ่ม S เป็นกลุ่มที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ กลุ่ม E เป็นกลุ่มที่ติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ กลุ่ม I เป็นกลมุ่ ท่ีตดิ เช้อื และแพร่เชอ้ื ได้ และกล่มุ R เป็นกลมุ่ ทีห่ ายจากการติดเชื้อ 3. ตัวแบบ SIQR เปน็ ตัวแบบที่มกี ารแพร่ระบาดของเชื้อแตใ่ นตัวแบบน้ีจะนำไปใช้ กบั โรคทตี่ อ้ งมีการกักกันของเชื้อ ซง่ึ แบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม คือ กลุม่ S เป็นกลุม่ ทเี่ ส่ยี งต่อการติดเชื้อ กลุ่ม I เป็นกลุ่มที่ติดเชื้อและแพร่เชื้อได้ กลุ่ม Q เป็นกลุ่มที่ได้รับการกักกันเชื้อ และกลุ่ม R เป็นกลุ่มที่หายจาก การตดิ เชอ้ื 4. ตัวแบบ SAIR เปน็ ตวั แบบท่ีมีการแพรร่ ะบาดของเช้ือแต่ในตัวแบบนี้จะนำไปใช้ กับโรคที่มีตัวต้านเชื้อ ซึ่งแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม กลุ่ม S เป็นกลุ่มที่เสี่ยงต่อการติดเชือ้ กลุ่ม A เป็นกลุ่มที่มี ตัวต้านเช้ือ กลุ่ม I เปน็ กลมุ่ ที่ตดิ เช้ือและแพร่เชอ้ื ได้ และกลุ่ม R เป็นกลุ่มที่หายจากการตดิ เชือ้ 5. ตัวแบบ SEIQR เป็นตัวแบบเป็นตัวแบบที่มีการแพร่ระบาดของเชื้อแต่ในตัว แบบนี้จะนำไปใช้กับโรคที่ต้องมีการกักกันของเชื้อและการติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ ซึ่งแบ่ง ออกเปน็ 5 กลุม่ คอื กลุ่ม S เปน็ กลุม่ ทีเ่ สี่ยงต่อการตดิ เชือ้ กล่มุ E เปน็ กลมุ่ ทตี่ ิดเช้ือแต่ไม่สามารถแพร่เช้ือ ได้ กลุ่ม I เป็นกลมุ่ ท่ีตดิ เชื้อและแพร่เช้ือได้ กลุ่ม Q เป็นกลมุ่ ท่ีได้รับการกักกันเช้ือ และกลุ่ม R เป็นกลุ่มท่ี หายจากการตดิ เชอ้ื 6. ตัวแบบมาร์คอฟ ( Markon Model ) เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ใช้ในการ วิเคราะห์พฤตกิ รรมของตวั แปร เพื่อพยากรณ์พฤติกรรมในอนาคตของตวั แปรนัน้ 7. ตัวแบบแถวแถวคอย ( Queneing Model ) เปน็ ตัวแบบทางคณติ ศาสตรท์ ชี่ ่วย ในการแก้ปัญหาแถวคอยที่เป็นอยู่ในชีวิตประจำวัน เช่น การเข้าแถวเพื่อรอจ่ายเงินหรือรับบริการต่าง ๆ ซึ่งเป็นตัวแบบแถวคอยจะเป็นการหาจำนวนหน่วยให้บริการหรือผู้ให้บริการที่เหมาะสม โดยมีเป้าหมาย ทำให้คา่ ใช้จ่ายรวมต่ำที่สุด 8. ตวั แบบเชงิ เสน้ ( Linear Model ) เป็นตวั แบบทางคณติ ศาสตร์ทใ่ี ช้กำหนดการ เชิงเส้นแก้ปญั หาในการหาคำตอบของตวั แบบ 9. ตัวแบบกำลังสอง ( Quadratic Model ) เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ ฟงั กช์ ันพหนุ ามกำลงั สองช่วยในการแก้ปัญหาของแต่ละโจทย์

12 10. ตัวแบบไม่เชิงเส้นอื่น ๆ ( Other Non-Linear Model ) เป็นตัวแบบที่ใช้ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เช่น Sine, Cosine, Tangent, square root และอื่น ๆ เพื่อหาคำตอบของตัว แบบ 2.3.3 ข้ันตอนการสรา้ งตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ การสร้างตัวแบบเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งปัญหาส่วนใหญ่ในชีวิตจริงมักจะไม่อยู่ ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ และคำตอบของปัญหาก็อาจจะไม่อยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ด้วยเช่นกัน อย่างไรก็ตามวิธีการทางคณิตศาสตร์ยังคงมีส่วนสำคัญในการหาคำตอบ จึงมีความจำเป็นที่จะต้องทำ ความเข้าใจ ศึกษาและวิเคราะห์ปัญหา จำแนกองค์ประกอบปัญหา เพ่ือกำหนดตัวแปร และเขียน ความสัมพันธ์เหล่านั้นในเชิงคณิตศาสตร์ ศึกษาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์เหล่านั้นแทนสถานการณ์ จริง เมื่อได้วิธีการหาคำตอบแล้ว จึงนำตัวแบบที่สร้างขึ้นน้ีไปทดสอบ เพื่อปรับปรุงแก้ไขและนำไปใช้ใน การแกป้ ัญหาตามสถานการณจ์ รงิ ต่อไป แบง่ ไดข้ ้นั ตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา ( Idenify the real problem ) การทำความเข้าใจ ปญั หาเปน็ ขน้ั ตอนแรกในการสรา้ งตัวแบบ ตอ้ งวเิ คราะห์ให้ทราบว่าปัญหาคืออะไร มอี ะไรบ้างท่ีเก่ียวข้อง กับปัญหา มีคำถามมากมายที่ต้องทำความเข้าใจโจทย์ปัญหาในสถานการณ์จริง เช่น ปัญหานี้ต้องการ ทราบอะไร มวี ัตถปุ ระสงค์และเปา้ หมายอะไรจะตัดสนิ ผลท่อี อกมาอยา่ งไร แหลง่ ขอ้ มูลมาจากไหน เชอ่ื ถือ ได้หรือไม่ มีคำตอบเป็นแบบเดียวหรือไม่ จำแนกปัญหาว่าเป็นแบบมีคำตอบแน่นอน ( deterministic ) หรือ แบบคำตอบไม่แน่นอน ( stochastic ) ต้องใช้การสร้างสถานการณ์จำลอง ( deterministic ) หรือ แบบคำตอบไม่แนน่ อน ( stochastic ) ต้องใชก้ ารสรา้ งสถานการณจ์ ำลอง ( simulation ) หรือไม่ คำถาม หรอื คำตอบ ดงั กลา่ วมาแล้วต้อง นิยามกำหนดขอบเขตใหต้ รงประเดน็ และชัดเจน ขั้นที่ 2 สร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ( formulate a mathemacical model ) ขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ จากปัญหาที่ได้วิเคราะห์หรือทำให้ชัดเจนแล้วใน ขั้นที่ 1 ทดลองสร้างตัวแบบที่ซับซ้อนน้อยที่สุดก่อน เขียนแผนภาพตามความเหมาะสม เขียนรายการ ปัจจัยที่เกี่ยวข้อง รวบรวมข้อมูลและทดสอบเนื้อหารายละเอียด อธิบายพฤติกรรมของตัวแปร รวบรวม ข้อมูลเพิ่มเติมถ้าจำเป็น แสดงตัวแปรแต่ละตัวด้วยสัญลักษณ์ที่เหมาะสมพร้อมทั้งกำหนดหน่วย กำหนด ข้อสมมติที่ต้องการสร้าง เขียนความสัมพันธ์และสมการของตวั แปรในโจทยโ์ ดยใช้ความรู้ทางคณติ ศาสตร์ เช่น การเปน็ สัดส่วน ความสัมพนั ธเ์ ชิงเส้นและไม่เชงิ เส้น ความสมั พันธจ์ ากการทดลองหลกั การ input กฎ การเคลื่อนที่ของนิวตัน สมการเชิงผลต่างและสมการเชิงอนุพันธ์ เมทริกซ์ ความน่าจะเป็น การกระจาย สถติ ิ เป็นตน้

13 ขั้นที่ 3 หาผลลัพธ์ของตัวแบบ ( solve the mathematical model ) การหา คำตอบทางคณิตศาสตร์ของตัวแบบ อาจจะใช้วิธีเกี่ยวกับพีชคณิต หรือใช้วิธีเชิงตัวเลข ใช้แคลคูลัสและ กราฟเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ หรือใช้โปรแกรมสำเร็จรูปที่เหมาะสม หาค่าของตัวแปรที่ต้องการ อาจจะเป็นรูปแบบตารางหรอื รูปภาพ ขั้นที่ 4 แปลความหมายของผลลัพธ์ ( Interpret the mathematical solution ) ขนั้ ตอนน้เี ปน็ การแปลความหมาย และตรวจสอบผลลพั ธท์ ่ีหาได้ จากวธิ ีการเชิงคณติ ศาสตร์ เชน่ พิจารณา ค่าของตัวแปรที่หาได้ ว่ามีเครื่องหมายและขนาดถูกต้องหรือไม่มีค่าเพิ่มหรือลดตามที่ควรจะเป็นหรือไม่ พิจารณาค่ามากและค่าน้อยของตัวแปรเพื่อตรวจสอบพฤติกรรมความไวตอ่ สิ่งกระตุ้น ได้คำตอบที่ดีที่สุด ตามทคี่ าดไว้หรือไม่ หรอื ตอ้ งเปลยี่ นเงือ่ นไขเริ่มต้น ขั้นที่ 5 ตรวจสอบผลลัพธ์กับข้อมูลจริง ( Compare with reality ) ผลลัพธ์ที่ได้ สามารถตรวจสอบกับข้อมูลจริงได้หรือไม่ คำตอบเชิงคณิตศาสตร์มีความหมายหรือไม่ การทำนาย สอดคล้องกับข้อมูลจริงหรือไม่ ประเมินตัวแบบที่สร้างขึ้นว่าได้ครบตามวัตถุประสงค์หรือไม่ ตัวแบบ สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้อีกหรือไม่ ผลลัพธ์ที่ได้ก่อนหน้านี้ชี้ให้เห็นว่าต้องคำนวณหาค่าตัวแปรจากตั ว แบบทป่ี รับปรุงใหม่เพ่ือความแมน่ ยำทด่ี ีกว่าหรอื ไม่ ถา้ ต้องการทำใหม่กต็ ้องกลบั ไปเริม่ ที่ขน้ั ที่ 1 หรือถ้าไม่ ต้องก็ให้ไปที่ขั้นที่ 6 ขั้นตอนสำคัญนี้สำคัญมาก เพราะมีบ่อยครั้งที่ต้องการสร้างตัวแบบหลายรอบก่อนท่ี จะไดผ้ ลเปน็ ท่นี ่าพอใจ ขั้นที่ 6 เขียนรายงาน ( Write a report ) การเขียนรายงานต้องทราบว่าเขียนเพ่ือ ใครผู้อ่านต้องการทราบอะไร ต้องการรายละเอยี ดในรายงานมากน้อยเพียงใด จะสร้างรายงานอย่างไรจึง จะทำให้ลักษณะที่สำคัญชัดเจน และผลที่ต้องการทราบปรากฏอยู่ขั้นตอนนี้อาจจะไม่ต้องทำ ถ้าไม่ทราบ ว่าจะเขียนให้ใครอ่าน ( ธีรวัฒน์ นาคะบุตร, 2546 ) ซึ่งสอดคล้องกับ “กระบวนการสร้างตัวแบบ คณติ ศาสตร์” ของ ผศ.ดร. สรุ พล เนาวรตั น์

ปรากฏการณใ์ นโลก 14 กำหนดปญั หาท่ี นำผลเฉลยอธิบาย ตอ้ งการศึกษา ปรากฏการณ์ สร้างตวั แบบคณิตศาสตร์ วิธีการทางคณิตศาสตร์ หาผลเฉลยของตัวแบบ ภาพท่ี 2.3 กระบวนการสร้างตวั แบบคณิตศาสตร์ ตัวแบบคณติ ศาสตรข์ องปญั หา แผนภาพของปญั หาที่ ชีววิทยาและนเิ วศวิทยา ต้องการศกึ ษา ไดเ้ สถียรภาพของสมการ สมการเชิงอนุพนั ธ์ เชิงอนุพนั ธไ์ ม่เชงิ เส้น ไม่เชิงเส้น ตรวจสอบเสถยี รภาพ สมการเชิงอนุพนั ธ์ สมการเชงิ อนุพนั ธ์เชงิ เส้น เชงิ เสน้ ภาพที่ 2.4 กระบวนการสรา้ งตัวแบบดา้ นชวี วิทยาหรือนเิ วศวทิ ยา ท่ีมา : สรุ พล เนาวรตั น์ (2561)

15 2.3.4 คณติ ศาสตรส์ ำหรับตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ 1. เมทรกิ ซ์ (Matrix) บทนยิ าม 2.1 เมทริกซ์ คือการจัดเรยี งจำนวนให้อยูใ่ นรูปของสีเ่ หล่ียมผืนผ้าโดย จัดลงในเครอื่ งหมาย [ ] และถา้ เมทริกซ์ A เปน็ เมทรกิ ซท์ ี่มจี ำนวน m แถวและ n หลกั เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ A = aij mn เมื่อ i =1,2,3,..., m และ j =1,2,3,...,n หรอื จะเขียนในรูป  a11 a12 a1n   a22  A =  a21 a2 n  am2      am1 amn  2. เมทรกิ ซส์ ับเปล่ยี น (Transposed matrix) บทนิยาม 2.2 กำหนดให้ A เป็นเมทรกิ ซ์ใด ๆ เมทริกซส์ ับเปลีย่ นของ A เขยี น แทนดว้ ย At อ่านวา่ A Transposed ซง่ึ At เมทริกซ์ทีเ่ ปลี่ยนสมาชกิ ของแถว A เปน็ หลกั หรือจากหลัก ไปเปน็ แถว น่นั คือ A = aij mn แล้ว At = aji nm 3. ไมเนอร์ (Miner) บทนิยาม 2.3 ไมเนอร์ของสมาชิก ของเมทรกิ ซ์ A มติ ิ n n (n  2) หมายถงึ ตวั กำหนดของเมทริกซย์ ่อย A ซ่ึงได้จากการตดั แถวที่ i และหลักท่ี j ของ A เขยี นแทนด้วย Mij 4. โคแฟกเตอร์ (Cofactors) บทนิยาม 2.4 โคแฟกเตอร์ aij ของเมทริกซ์ A คอื การหาเครื่องหมาย ว่าเป็น บวกหรอื ลบ ของไมเนอร์ โดยมีค่าเทา่ กบั (−1)i+ j คณู กับค่า ไมเนอร์ aij ของสมาชกิ แถวที่ i และหลักท่ี j เขียนแทนด้วย Cij

16 5. ดเี ทอรม์ แิ นนต์ (Determinant) บทนิยาม 2.5 ถ้า A = [aij ] เปน็ เมทริกซ์มติ ิ nn (n  3) แลว้ n×n A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain โดยท่ี i = 1,2,3,..., n หรอื A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj โดยที่ j = 1,2,3,...,n ทฤษฎบี ท 2.1 ถ้า A เปน็ เมทริกซ์จตั รุ ัสที่มีแถวใดแถวหนงึ่ หรือหลกั ใดหลักหนึ่ง เป็นศนู ย์แล้ว det ( A) = 0 6. เมทริกซผ์ ูกพนั (Adjoint matrix) บทนิยาม 2.6 ให้ A เป็นเมทริกซ์ nn เม่อื n  2จะเปน็ เมทรกิ ซ์ ผกู พนั (adjoint matrix) ของ A คือเมทรกิ ซ์ Cij ( A)t เขียนแทนเมทรกิ ซผ์ ูกพนั ของ A ดว้ ย ������������������(������) ดงั นี้ ������11 ������21 ⋯ ������������1 ������������������(������) = [������⋮12 ������22 ⋯ ������������2 ] ⋮ ⋱ ⋮ ������1������ ������2������ ⋯ ������������������ 7. เมทรกิ ซ์ผกผัน (Inverse Matrix) บทนิยาม 2.7 เมื่อ A เป็นเมทรกิ ซ์มิติ n เมทริกซ์ A มีตวั ผกผนั กต็ ่อเมื่อ สามารถหาเมทริกซ์ B มติ ิ n ซ่ึงทำให้ ������������ = ������������ = ������������ และเรยี ก B ว่าตัวผกผนั ของ A เขียนแทนดว้ ย ������−1 ในกรณที ี่ ������ ≥ 2ไดว้ า่ ������−1 = 1 ������) ������������������(������) ������������������(

17 ทฤษฎบี ท 2.2 ถ้า A = a b  แล้วเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A คือ c d  A−1 = 1 d −b −c  det ( A) a  8. สมการลกั ษณะเฉพาะ บทนิยาม 2.8 ให้ A เปน็ เมทริกซจ์ ัตรุ สั มิติ n เรียก ������������������(������ − ������(������������))ว่า ฟงั กช์ นั พหนุ ามลักษณะเฉพาะและเรยี กสมการ ������������������(������ − ������(������������)) = 0 ว่าสมการลกั ษณะเฉพาะ 9. เมทรกิ ซเ์ อกฐานและเมทริกซไ์ ม่เอกฐาน บทนยิ าม 2.9 กำหนด A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ สั มิติ ������ × ������ ถ้า A สามารถหาเมทริกซ์ผกผนั ได้ เราจะเรียกเมทริกซ์ A วา่ เมทรกิ ซเ์ อกฐาน ถ้า A ไมส่ ามารถหาเมทรกิ ซผ์ กผนั ได้ เราจะเรยี กเมทริกซ์ A วา่ เมทรกิ ซ์ไม่เอกฐาน 10. รัศมีท่ีโดดเด่น บทนยิ าม 2.10 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด n n ทม่ี ีค่าลักษณะเฉพาะ k ค่า คอื 1,2,3,...,k แลว้ รศั มที โี่ ดดเดน่ (Spectral radius) ของเมทริกซ์ A เขียนแทนดว้ ย (A) นยิ าม ดงั น้ี ( A) = max{ i }, i = {1,2,3,.., k}

18 11. การหาอนพุ นั ธย์ ่อย เนื่องจากฟังก์ชันสองตัวแปร f (x, y) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ (x, y) บนระนาบ ดังนั้นอัตราการ เปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจึงพิจารณาได้หลายทิศทาง เช่น เราอาจจะพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงตาม แกนพิกัด ในกรณีนี้อัตราการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะหาได้จากการกำหนดให้ตวั แปรใดตัวแปรหนึ่งคงตัว แล้วพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรที่เหลือ ในอัตราการเปล่ียนแปลงจะมี ทั้งหมดสองรูปแบบ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f เมื่อตัวแปร x เปลี่ยนแปลงไป (โดยตัวแปร y เป็นค่าคงตัว) และอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f เมื่อตัวแปร y เปลี่ยนแปลงไป (โดยตัวแปร x เป็นค่าคงตัว) ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงทั้งสองนี้คือ การหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน f เมื่อเทียบกับตัว แปร x และอนพุ ันธย์ อ่ ยของฟงั ก์ชนั f เมื่อเทยี บกับตวั แปร y (มหาวทิ ยาลยั ศลิ ปากร, ม.ป.ป.) บทนยิ าม ให้ ������ = ������(������, ������) เปน็ ฟังกช์ นั ของสองตวั แปร และ (������0, ������0) เปน็ จดุ ภายในของ โดเมนของ ������ อนุพันธ์ยอ่ ยของ ������ เทยี บกบั ������ ( หรืออนพุ นั ธย์ อ่ ยของ ������ เทียบกับ ������ ) ทีจ่ ุด (������0, ������0) คอื ������������ (������0, ������0) = lim ������(������0 + ∆������, ������0) − ������(������0, ������0) ������������ ∆������ ∆������→0 และอนุพันธย์ ่อยของ ������ เทียบกับ y ( หรอื อนพุ ันธ์ย่อยของ ������ เทยี บกบั ������ ) ทีจ่ ุด (������0, ������0) คอื ������������ (������0, ������0) = lim ������(������0, ������0 + ∆������) − ������(������0, ������0) ������������ ∆������ ∆������→0 12. Jacobian matrix บทนยิ าม Jacobian คือ เมทริกซ์ของอนุพนั ธ์อันดับหนึ่งเป็นอนพุ ันธ์ยอ่ ยบางสว่ นของฟงั กช์ ันท่ีมี ค่าเป็นเวกเตอร์ เป็นลักษณะเฉพาะ สมมติ ������: ������������ → ������������ เป็นฟังก์ชนั ที่เป็นจรงิ เชน่ ฟังก์ชนั ������ ������1(������1, … , ������������), … , ������������(������1, … , ������������) อนุพนั ธ์ย่อยของฟงั กช์ นั เกีย่ วกบั ตวั แปร ������1, … , ������������ สามารถจัดระเบียบในเมทริกซ์ ������ โดย ������ เปน็ จาโคเบยี นเมทรกิ ซ์ ������ ของ ������ ดงั นี้  aF1 aF1     ax1 axn  J =     aFm aFm   ax1 axn  เมทริกซ์จะมีฟงั ก์ชันของ ������1, … , ������������ เขียนแทนด้วย ������������ (������1, … , ������������) และ ������(������1,…,������������) ������(������1,… ,������������)

19 13. การวิเคราะหต์ ัวแบบคณิตศาสตร์ 13.1 จุดสมดลุ ของระบบสมการ คือคำตอบทเ่ี ป็นค่าคงตวั แทนด้วย X ซ่งึ สอดคลอ้ งกบั F(X ) = 0 13.2 จุดสมดลุ ของตัวแบบคณติ ศาสตร์หาได้จากการกำหนดให้อนุพันธ์เทา่ กบั ศูนย์ จะมี 2 กรณี ดังน้ี 1. จุดสมดลุ ท่ไี ม่มีโรค (Disease-Free Equilibrium) 2. จดุ สมดลุ ทีม่ โี รค (Disease Endemic Equilibrium) 14. การวเิ คราะหเ์ สถยี รภาพ 14.1 จดุ สมดลุ (X ,Y ) จะกลา่ ววา่ เสถียร ถ้าค่าลกั ษณะเฉพาะทุกค่าของ เมทรกิ ซจ์ าโคเบียน ณ จุดสมดุลมีค่าส่วนจริงเป็นลบ 14.2 เสถียรภาพของระบบสมการเชงิ อนุพนั ธเ์ ชิงเส้น dx = a11 x1 + a12 x2 dt dy = a 21 x1 + a22 x2 dt จุดสมดลุ x1 = x2 = 0 สมการลักษณะเฉพาะของระบบสมการ คอื det(A − I ) = 0 a11 −  a12 = 0 a21 a22 −  2 − b + c = 0 เมือ่ b = a11 + a12 ,c = a11a12 − a12a21 14.3 ค่าลกั ษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ คอื ค่ารากสมการ 2 −b + c = 0 คา่  มี 3 กรณี คือ 1. ถา้ b2 − 4c  0 แลว้ สมการจะมรี ากเปน็ จำนวนจริงท่ีแตกต่าง 2. ถา้ b2 − 4c = 0 แลว้ สมการเปน็ จำนวนจริงท่ซี ำ้ กัน

20 3. ถา้ b2 − 4c  0 แล้วจะมีรากเปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน 14.4 เงื่อนไขการทดสอบรากลบของสมการลกั ษณะเฉพาะอนั ดับ n (Routh-Hurwitz criteria) ทฤษฎบี ท (Routh – Hurwitz Criteria) กำหนดสมการลกั ษณะเฉพาะ P() = n + a1n−1 + ...+ an−1 + an เมอ่ื สัมประสทิ ธิ์ ai เปน็ จำนวนจริงคงที่ i =1,2,3,...,n นยิ าม n เมทรกิ ซด์ ังน้ี a1 1 0 ... 0  a3  a2 a1 ... 0  a1 1  a1 1 0 H n = a.5 a4 a3 ... 0  a3 H3 = a3 a2  . .  H1 = a1 , H2 = a2  , a4 a1  ,   a5 . . a3   . ... 0  . . .     0 0 0 ... an  ซง่ึ a j = 0 ถ้า j  n แล้วทุกค่าของคา่ ลักษณะเฉพาะมีสว่ นจริงเปน็ จำนวนลบ นั่นคือ จดุ สมดลุ x จะเสถียร ก็ตอ่ เมื่อดเี ทอร์มแิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ ทุกเมทริกซ์เปน็ บวก det H j  0, j = 1,2,3,...,n เม่อื n = 2 จะไดว้ ่า det H1 = a1  0 และ det H 2 = a1 1 = a1a2 0 ซง่ึ a1  0, a2 0 a3  a2  สำหรบั ดกี รพี หนุ าม n =1,2,3,4,5 สรปุ ไดด้ ังน้ี n = 2 : a1  0, a2  0 n = 3 : a1  0, a3  0, a1a2  0 n = 4 : a1  0, a3  0, a4  0, a1a2 a3  a32 + a12 a4 n = 5 : ai  0 ; i = 1,2,3,4,5, a1a2a3  a32 + a12 a4 , ( )( ) ( )a1a4 − a5 a1a2 a3 − a 2 − a12 a4  a5 a1a2 − a3 2 + a1a25 3

21 14.5 ค่าระดับการตดิ เช้ือ ค่าระดับการตดิ เชอื้ จะมีอยู่ 3 กรณี ดังนี้ 1. ถ้า R0  1แสดงว่ามีโรคระบาดเพิ่มขึ้น หรือประชากรที่ฟื้นจากการติดเชื้อมี โอกาสกลบั มาติดเชื้ออีกคร้ัง เนอ่ื งจากจำนวนเฉลย่ี ของประชากรทต่ี ิดเชื้อมีจำนวนเพิ่มขึน้ เพียงพอท่ีจะทำ ใหบ้ ริเวณทศี่ กึ ษาเกิดการแพร่ระบาดของเช้ืออีกครงั้ 2. ถ้า R0 =1 แสดงว่าเริ่มเสถียร หรือเป็น Bifurcation point คือโรคจะเริ่มไม่มี การแพร่ระบาดหรอื ไมม่ กี ารแพรร่ ะบาดเลย 3. ถ้า R0 1 แสดงวา่ โรคไม่มกี ารระบาด หรือการแพร่ระบาดของประชากรที่ ตดิ เชอื้ ลดลงหรอื ไม่มกี ารแพรร่ ะบาดในอาณาบรเิ วณที่ศกึ ษา การคำนวณคา่ R0 ทำได้ดังนี้ 1. พจิ ารณาระบบสมการเชิงอนพุ นั ธ์ไม่เชิงเสน้ นำมาเขียนให้อยู่ในรปู เมทริกซ์ดังน้ี dx = F(x) − V (x) dt ซง่ึ  F1 (x) V1 (x)  ) V2 (x)  F2 (x F (x ) =  .  , V (x) =  .       .  .   .  .  Fn (x) Vn (x) โดยท่ี x = (x1, x2 ,..., xn )' ซงึ่ ทกุ ๆ xi  0 เปน็ จำนวนของประชากรในแต่ละกลุ่ม Fi (x) คอื อตั ราการปรากฏของการตดิ เช้ือใหมใ่ นกลุม่ i Vi+ (x) คอื อัตราการถ่ายทอดเฉพาะบุคคลภายในกลมุ่ i Vi− (x)คอื อัตราการถ่ายทอดเฉพาะบคุ คลภายนอกกลุ่ม i

22 ซึง่ Vi (x) = Vi − (x) − Vi + (x)และฟงั กช์ นั Fi (x), Vi− (x), Vi+ (x) สอดคล้องกับเงื่อนไขดังน้ี 1.1 ถา้ x = (x1, x2 ,..., xn )' ทกุ ๆ xi  0 แลว้ Fi (x),Vi − (x),Vi + (x)  0 สำหรบั i = 1,2,3,..., n 1.2 ถ้า x  xs = {x xi  0 และ xi = 0,i =1,2,3,...,m} ซง่ึ m < n แล้ว Vi− (x) = 0 สำหรบั i =1,2,3,...,m 1.3 ถ้า i > m แลว้ Fi (x) = 0 1.4 ถ้า x  xs แล้ว Fi (x) = 0 และVi+ (x) = 0 สำหรบั i =1,2,3,...,m 2. หาเมทริกซจ์ าโคเบียน (Jacobean Matrix) ของ F(x)และ V (x) ซ่งึ ให้ D(x) = F และ DV(x) = V แล้วแทนค่าท่ี x = x0 จะได้ F และ V ดังนี้ F =  Fi (x0 ) , V =  Vi (x0 ) ซึ่ง i, j = 1,2,..., n  x j  x j     จะได้ว่า F เป็นเมทริกซ์ที่ไมเ่ ป็นลบ (nonnegative matrix) และ V เป็นเมทริกซไ์ ม่เอกฐาน M (non-singular M matrix ) เมทริกซ์ V = [vij ] จะกล่าวว่าเปน็ M matrix ก็ต่อเมื่อ vij  0สำหรบั i  j และทกุ ๆ ค่าเฉพาะของ V มสี ่วนจริงเปน็ บวก 3. เนอ่ื งจาก V เปน็ เมทรกิ ซ์ไม่เอกฐาน M จึงนำ V มาหา V −1 4. หา FV −1 5. หารัศมีที่โดดเดน่ (Spectral radius) ของ FV −1 จากบทนยิ าม 2.9 และจะไดค้ ่าระดับการติด เช้อื (Basic reproductive number: R0 ) ดงั นี้ ( )R0 =  FV −1

23 2.4 โปรแกรม Maple 2.4.1 ประวัติโปรแกรม Maple โปรแกรม Maple เป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ประยุคต์ทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Symbolic Computation System หรือ Computation Algebra System ทำงานบน windows ผลิต โดยบริษัท Water Maple ประเทศแคนนาดา มีความสามารถในการคำนวนข้อมูลที่อยู่ในรูปสัญลักษณ์ หรอื ข้อความทางคณิตศาสตร์ ในรปู ของ worksheet และ spreadsheets แสดงผลลพั ธ์ในรูปของจำนวน ค่าประมาณ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีสัญลักษณ์และตัวแปร รูปกราฟ 2 มิติและ 3 มิติ ภาพการ เคลื่อนไหวของกราฟที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงตัวแปรต่าง ๆ นอกจากนี้ยังสามารถสร้างโปรแกรมการ ประมวลผลข้อมูลและสร้างฟังก์ชันต่าง ๆ ของ worksheet ทำเอกสารเพื่อการสอน หรือการนำเสนอท่ี สามารถซ่อนและแสดงรายละเอียดของคำสำคัญท่ีตอ้ งการเน้นและหัวข้อ Hyperlinks ที่สามารถโยงและ เคลื่อนไปยังข้อมูลอื่นที่สัมพันธ์กัน สามารถเปลี่ยนแปลงเอกสารในรูปแบบต่าง ๆ เช่น Latex HTML (ธีรวัฒน์ นาคะบตุ ร, 2551) 2.4.2 ลกั ษณะของโปรแกรม Maple โปรแกรม Maple เป็นโปรแกรมที่ใช้คำนวณงานและแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ โดย มีการใช้คำสั่งในการทำงาน เช่น คำสั่ง with(Linear Algebra) เพื่อสร้างเมทริกซ์ คำสั่ง Determinant เพื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ และ อื่น ๆ เมื่อเข้าสู่การทำงานของโปรแกรม Maple จะปรากฏหน้า หลักของโปรแกรม Maple (ธีรวัฒน์ นาคะบุตร, 2551)โดยเวอร์ชนั่ 18 จะแสดงดังภาพ ภาพที่ 2.5 หน้าหลักของโปรแกรม Maple 18 สว่ นประกอบของโปรแกรม Maple มีดังน้ี 1. เมนูหลกั ของโปรแกรม Maple

24 เม่อื เข้าสู่โปรแกรม Maple จะมเี มนูหลักของโปรแกรม Maple เปน็ คำสง่ั เรม่ิ ต้นของ การทำงาน ซ่ึงส่วนประกอบของโปรแกรม Maple ดังตาราง ตารางที่ 2.1 ส่วนประกอบของโปรแกรม Maple เครื่องมอื ความหมาย บริเวณรายการคำสง่ั ทเ่ี ป็นตวั หนังสือซึ่งมีรายการต่าง ๆ เช่น File Menu Bar Edit View Insert Format Spreadsheet Option Windows Help บริเวณรายการคำสัง่ ที่เป็นรปู ภาพ Tool Bar บรเิ วณใชง้ าน พมิ พ์ข้อความ พมิ พค์ ำสั่ง และแสดงผลลัพธ์ Worksheet บรเิ วณแสดงสถานภาพต่าง ๆ Status Bar เครือ่ งหมายแสดงตำแหน่งรอรบั ข้อความหรอื คำส่งั Prompt

25 2. แถบเครื่องมือ ก่อนทจ่ี ะพมิ พ์คำสง่ั ตา่ ง ๆ ตอ้ งเลอื กเครอ่ื งมอื ทจ่ี ะทำงานก่อน ซ่งึ แถบเคร่ืองมือของ โปรแกรม Maple ดงั ตาราง ตารางท่ี 2.2 แถบเครื่องมือของโปรแกรม Maple เครื่องมือ ความหมาย เมนทู ที่ ำงานบ่อยคร้งั การทำงานรว่ มกันของโปรแกรม Maple

26 ตารางท่ี 2.2 แถบเครื่องมือของโปรแกรม Maple (ต่อ) เคร่อื งมอื ความหมาย การเรยี กใชง้ านของฟังก์ชันต่าง ๆ

27 ตารางท่ี 2.2 แถบเคร่ืองมือของโปรแกรม Maple (ต่อ) เครือ่ งมือ ความหมาย การเรยี กใช้งานของแคลคูลัส

28 ตารางท่ี 2.2 แถบเคร่ืองมือของโปรแกรม Maple (ต่อ) เครื่องมอื ความหมาย การเรียกใชเ้ คร่ืองหมายทางคณติ ศาสตร์ การสรา้ งกราฟในรูปแบบต่าง ๆ ตวั แปรตา่ ง ๆ

29 ตารางท่ี 2.2 แถบเคร่ืองมือของโปรแกรม Maple (ตอ่ ) เครื่องมอื ความหมาย การสร้างเมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ หนว่ ยในระบบ SI หน่วยในระบบ FPS

30 ตารางท่ี 2.2 แถบเครื่องมือของโปรแกรม Maple (ต่อ) เคร่อื งมอื ความหมาย สญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ ภาษากรกี

31 ตารางท่ี 2.2 แถบเคร่ืองมือของโปรแกรม Maple (ตอ่ ) เครือ่ งมือ ความหมาย สว่ นประกอบต่าง ๆ

32 2.5 งานวจิ ัยท่ีเก่ียวขอ้ ง การศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ในครงั้ น้ี ผูจ้ ัดทำได้ศึกษางานวิจัยต่าง ๆ ดังน้ี ปิยะมาศ หนูรอด (2559) ได้ศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการระบาดโรคมือ เท้า ปาก ใน ภาคใต้ ของประเทศไทย โดยจะอธบิ ายแผนภาพแนวคิดในการสรา้ งตวั แบบทางคณติ ศาสตร์แสดง ดังภาพ ภาพที่ 2.6 แบบจำลองเชงิ คณิตศาสตร์ของการระบาดโรคมือ เท้า ปาก ในภาคใต้ ของประเทศไทย ผลการวิจัยพบว่า แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ของการระบาดโรคมือ เท้า ปาก เขียนในรูประบบ สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นประกอบด้วย 4 สมการ โดยแบ่งประชากรออกเป็น 4 กลุ่ม เป็นกลุ่มที่เสี่ยง ต่อการติดเชื้อ กลุ่ม กลุ่มที่ติดเชื้อและแพร่เชื้อได้ กลุ่มที่หายจากการติดเชื้อ กลุ่มที่ติดเชื้อแต่ไม่สามารถ แพร่ได้ การวิเคราะห์ตัวแบบคณิตศาสตร์พบจุดสมดุล 2 จุด คือ จุดสมดุลที่ไม่มีโรค มีค่าระดับการติด ไวรัส ( R0 ) เท่ากบั 0.038310331 และจุดสมดุลทีม่ ีการระบาดของไวรสั จะมีค่าระดบั การติดไวรัสเท่ากับ 1.149310298 ซงึ่ ถา้ อตั ราการถ่ายทอดเชื้อมีค่ามากแล้วคา่ ระดับการติดเชื้อจะมีค่ามาก แต่เม่ืออัตราการ ถา่ ยทอดเช้อื มคี า่ นอ้ ยแลว้ คา่ ระดบั การตดิ เช้ือจะมีค่าน้อยลงด้วย นั่นคอื การแพรร่ ะบาดของโรคจะลดลง

33 Chutima Karaket, Piyada Wongwiwat และ Surapol Naowarat (2558) ได้ศึกษาการ เปลี่ยนแปลงตัวแบบของโรคมือ เท้า ปาก ที่มีผลกระทบของการรณรงค์การล้างมือ ซึ่งในการศึกษา ประกอบไปด้วย จำนวนประชากร 5 กลมุ่ คอื SEIQR โดยแผนภาพอธิบายแนวคิดในการสร้างตัวแบบ ทางคณิตศาสตร์แสดง ได้ดงั ภาพ ภาพที่ 2.7 แผนภาพแสดงแนวคิดในการสร้างตวั แบบทางคณิตศาสตรข์ องโรค มอื เทา้ ปาก ท่มี ผี ลกระทบของการรณรงค์การล้างมือ จากการศึกษาแสดงให้เห็นว่าการล้างมือสามารถควบคุมการแพร่ระบาดของโรคมือ เท้า ปากได้ ซึ่งเมื่อค่าระดับการติดเชื้อลดลง (R0 1) ค่าประสิทธิภาพของกิจกรรมการล้างมือจะเพิ่มขึ้น ( ในกรณี  = 0.01, = 0.50, = 0.75 ค่าระดบั การติดเชื้อจะเทา่ กับ R0 =158.372,79.986,39.993 ตามลำดบั ) สรุปได้ว่า กลุ่มที่เสี่ยงต่อการเกิดโรคจะปกป้องตัวเองโดยการล้างมือและหลีกเลี่ยงในการติดต่อกับผู้ติด เชื้อ การล้างมือจะทำให้ค่าระดับการติดเชื้อลดลงเพื่อให้บรรลุความสมดุลของโรค ดังนั้นการแพร่ระบาด ของโรคมอื เท้า ปาก สามารถลดลงตามลำดับ

34 Thanyada Phutthichayanon and Surapol Naowarat (2558) ได้ศึกษาการเปลี่ยนแปลงตวั แบบของโรคมือ เท้า ปาก ที่มีผลกระทบของการรณรงค์การล้างมือ ซึ่งในการศึกษาประกอบไปด้วย จำนวนประชากร 5 กลุ่ม คือ (S, E, I, IA, R) โดยแผนภาพอธิบายแนวคิดในการสร้างตัวแบบทาง คณติ ศาสตร์แสดง ได้ดงั ภาพ ������������������ ������������������ ������������ I������ S (1 − ������)(������������������) E R ������������ (1 − ������)(������������������������������) ������������ I ������������ ภาพที่ 2.8 แผนภาพแสดงแนวคิดในการสรา้ งตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของโรคมือ เท้า ปาก ท่ีมผี ลกระทบของการรณรงค์การลา้ งมือ จากการศึกษาแสดงใหเ้ ห็นว่าการล้างมือสามารถควบคุมการแพร่ระบาดของโรคมอื เท้า ปาก ได้ ซึ่งเมื่อค่าระดับการติดเชื้อลดลง (R0 1) ค่าประสิทธิภาพของกิจกรรมการล้างมือจะเพิ่มขึ้น ( ในกรณี k = 0.90 ค่าระดับการติดเชื้อจะเท่ากับ R0 = 0.8229 ) สรุปได้ว่า กลุ่มที่เสี่ยงต่อการเกิดโรคจะ ปกป้องตัวเองโดยการล้างมือและหลีกเลี่ยงในการติดต่อกับผู้ติดเชื้อ การล้างมือจะทำให้ค่าระดับการติด เชื้อลดลงเพื่อให้บรรลุความสมดุลของโรค ดังนั้นการแพร่ระบาดของโรคมือเท้าปากสามารถลดลง ตามลำดบั

35 มาลี ศรีพรหม และ ณัฐกร จันทร์ชัย (2559) ในบทความนี้เป็นแบบจำลอง SIR (กลุ่มเสี่ยงต่อ การตดิ เชอื้ , กลุ่มติดเชือ้ และแพร่เชอ้ื ได้, กลุม่ หายจากการตดิ เชื้อ) โดยแผนภาพอธิบายแนวคิดในการสร้าง ตวั แบบทางคณิตศาสตร์แสดงดัง ภาพท่ี 2.9 ภาพท่ี 2.9 ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ของโรคไขหวัดใหญ่ โดยพิจารณาผลกระทบจากปริมาณน้ำฝน จากการศึกษาพบว่าค่า g (T ) หรือค่าปริมาณน้ำฝนนั้นมีผลกระทบกับจำนวนผู้ที่ติดเชื้อ ดั้งนั้น ค่า g (T ) ทม่ี คี ่ามากจะส่งผล ใหจำนวนผู้ที่ตดิ ชื้อนัน้ มีจำนวนมาก และคา่ g (T ) ทมี่ คี ่านอ้ ยจะสงผลให จำนวนผู้ติดเชื้อนั้นมีจำนวนน้อย โดยที่หากเราสามารถ คำนวนหาคา g (T ) ที่มีความ เหมาะสมกับ ชว่ งเวลาใดเวลาหน่งึ ได้ เราก็สามารถทจ่ี ะทำการพยากรณ์หาจำนวนผู้ปว่ ยที่คาดวาจะ เกิดขึ้นในอนาคตได้ ซึ่งจะเป็นประโยชนในการวางแผนการป้องกันและควบคุมโรคเพื่อลดจำนวนผู้ป่วยก่อนที่ เหตุการ์จะ เกิดขน้ึ จริงใน อนาคตการปอ้ งกันและควบคุมโรคท่ดี ีทีส่ ุดในตอนนี้

36 บทที่ 3 วิธีดำเนนิ การโครงงาน การจัดทำโครงานครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตรแ์ ละวิเคราะห์เสถียรภาพ ของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการแพร่ระบาดโรคมือ เท้า ปาก ในภาคใต้ ซึ่งรวบรวมข้อมูลจากสำนัก ระบาดวิทยา กรมควบคุมโรค และนำข้อมูลทีไ่ ด้มาใชใ้ นการวิเคราะหเ์ ชิงตัวเลข โดยการทำโครงงานเรื่อง ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก มีรายละเอียดและขั้นตอนในการ ดำเนนิ การดังต่อไปนี้ 3.1 การกำหนดพารามเิ ตอรท์ ่ีใช้ในการศึกษา จากการศึกษาเอกสารและงานวจิ ยั ทเี่ กยี่ วข้องสามารถกำหนดพารามิเตอร์ท่ีเก่ยี วข้องได้ ดังนี้ ตารางที่ 3.1 ค่าพารามิเตอร์ทีใ่ ช้วเิ คราะห์เชิงตวั เลข พารามเิ ตอร์ คำอธบิ าย ค่าพารามิเตอร์ อ้างอิง อัตราการเกิดของประชากรมนุษย์ 1 b 36512.0613 ระบบสถติ ิทางการทะเบียน ต่อวนั N จำวนประชากรทั้งหมด 1,000 สำนักระบาดวิทยาและ อัตราการแพร่เชื้อ กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์ 1 (2561)  365 0.9827 ตอ่ วัน อัตราการฟักตัวของโรคมอื เท้า 1 ต่อวัน สำนกั ระบาดวทิ ยาและ  ปาก กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์ 4 (2561) อัตราการฟนื้ ตัวของประชากร 1 ตอ่ วนั สำนักระบาดวิทยาและ กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์  10 (2561)

37 ตารางที่ 3.1 คา่ พารามิเตอร์ทใ่ี ชว้ เิ คราะห์เชิงตัวเลข (ต่อ) พารามิเตอร์ คำอธบิ าย ค่าพารามเิ ตอร์ อา้ งอิง chutima karaket, อัตราการเปลี่ยนแปลงจากกล่มุ ท่ี Piyada Wongwiwat และ Surapol Naowarat(2558) ฟื้นจากการตดิ เช้ือเป็นกลมุ่ เสี่ยง 0.07 ตอ่ วนั เรื่องตัวแบบของโรคมอื เท้า ปาก ท่มี ีผลกระทบของการ ต่อการติดเชือ้ รณรงคก์ ารล้างมือ ระบบสถิตทิ างการทะเบยี น  กรมอตุ นุ ยิ มวทิ ยา  อัตราการตายโดยธรรมชาติ  =b g (T ) ปรมิ าณน้ำฝน 0.01 ตอ่ วนั 3.2 เครอื่ งมือทใ่ี ชใ้ นการวเิ คราะหข์ ้อมลู ในการจัดทำโครงงานครั้งนี้ผูจ้ ัดทำได้นำโปรแกรม Maple 18 เป็นเครอื งมือทช่ี ่วยในการ วิเคราะหต์ วั แบบเชิงคณติ ศาสตร์และการวิเคราะห์เชงิ ตัวเลข 3.3 วธิ ีการและข้ันตอนการวเิ คราะหข์ อ้ มูล การจัดทำโครงงานครัง้ นี้มีวิธีการและข้นั ตอนการวิเคราะห์ข้อมลู ดงั น้ี 3.3.1สรา้ งตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ภาพท่ี 3. 1 การสร้างตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของโรคมอื เท้า ปาก

38 จากนั้นนำตัวแปรที่ต้องการศึกษามาเขียนแผนผังการระบาดโรคมือ เท้า ปาก และทำการ ตรวจสอบความถูกต้องของแผนผังการระบาดของโรคมือ เท้า ปาก ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการ ระบาดโรคมอื เทา้ ปาก สามารถสรา้ งสมการจากแผนผงั ได้ดงั นี้ dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) (2) dt (3) (4) dE = g (T )  SI − E − E dt dI =  E − I −  I dt dR =  I − R −  R dt 3.3.2วเิ คราะหต์ วั แบบเชิงคณติ ศาสตร์ของผลกระทบของปริมาณนำ้ ฝนทีม่ ผี ลตอ่ ตัวแบบ สำหรบั โรคมือ เทา้ ปาก การศึกษาจุดสมดุลและศึกษาจุดเสถียรภาพของจุดสมดุลเพื่อหาเงื่อนไขของพารามิเตอร์ที่ เหมาะสมของจุดสมดุลนั้น โดยวิธีการวิเคราะห์และหาคำตอบเชิงตัวเลขของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ มี ดังน้ี 1. จุดสมดุล (Equilibrium point) ในการหาจุดสมดุลโดยใช้วิธีการคำนวนซึ่งทำได้โดยจัด สมการเชิงอนุพันธ์ทไ่ี ดจ้ ากการแปลงสมการของตวั แบบใหม่ ใหเ้ ทา่ กับศูนย์ ซง่ึ dS = 0 , dE = 0 , dI = 0 , dR = 0 dt dt dt dt เราจะได้ค่าจากการแก้สมการสองค่า คือ ค่าแรกเป็นค่าที่ทำให้จุดสมดุลไม่มีโรค (Disease Free Equilibrium point : E0) ในกรณีนี้ไม่มีการติดเชื้อ จุดสมดุลก็จะไม่มีการแพร่ระบาดของโรคมือ เท้า ปาก ส่วนคา่ ท่ีสองเปน็ คา่ ท่ที ำให้จุดสมดุลทม่ี ีโรค (Endemic Free Equilibrium Point:E1) ในกรณนี ้ี กลมุ่ ประชากรที่ตดิ เชอ้ื มคี า่ เป็นบวก ดังนน้ั จดุ สมดลุ จะกลายเป็นการแพรร่ ะบาดของโรคมือ เทา้ ปาก 2. เสถียรภาพ (Stability) โดยการหาค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสามารถหาได้จากสมการ ลักษณะเฉพาะของจาโคเบียนเมทริกซ์ det ( J − I ) = 0 โดยใช้วิธีการคำนวนเพื่ออธิบายคำตอบของ สมการเกี่ยวกับค่าความสมดุล เพื่อตรวจสอบว่ามีความเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ จากการ ตรวจสอบเง่ือนไข จะได้สมการลักษณะเฉพาะเน่ืองจากต้องการตรวจสอบเสถียรภาพของระบบโดยดูจาก ค่าลักษณะเฉพาะของจาโคเบียนเมทริกซ์ต้องเป็นลบและสอดคล้องกับเงื่อน ไขของ Routh − Hurwitz Criteria ซึง่ สามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี ดังน้ี