ความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม THE MATHEMATICAL BEAUTY OF SQUARE NUMBERS

ความสวยงามทางคณติ ศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปส่ีเหลี่ยม THE MATHEMATICAL BEAUTY OF SQUARE NUMBERS นายชชั วาล ทองสง่ โสม โครงงานน้เี ปน็ ส่วนหนึ่งของการศกึ ษาตามหลกั สตู ร ปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑติ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั นครศรธี รรมราช ปกี ารศึกษา 2562 ก

THE MATHEMATICAL BEAUTY OF SQUARE NUMBERS CHATCHAWAN THONGSONGSOM A PROJECT IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF BACHELOR OF SCIENCE IN MATHEMATICS SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY NAKHON SI THAMMARAT RAJABHAT UNIVERSITY ACADEMIC YEAR 2019 ข

หวั ข้อโครงงาน ความสวยงามทางคณิตศาสตรข์ องจำนวนเชิงรปู ส่ีเหลี่ยม The MathematIcal Beauty of Square Numbers ชอ่ื นักศึกษา นายชัชวาล ทองสง่ โสม รหัสนกั ศกึ ษา 5911427014 ปรญิ ญาตรี วทิ ยาศาสตรบัณฑิต (คณติ ศาสตร์) ปกี ารศึกษา 2562 อาจารย์ทป่ี รกึ ษา ผ้ชู ว่ ยศาสตราจารย์อนุสรณ์ จิตมนสั คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช อนุมัติให้โครงงาน พิเศษนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิตสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ประจำปีการศกึ ษา 2562 คณะกรรมการสอบ ลายมือชื่อ ผศ.อนุสรณ์ จิตมนสั ประธานกรรมการ ดร.มนิต พลหลา กรรมการ อ.ณวสิ าร์ จุลเพชร กรรมการ อ.ณัฎฐณิ ีย์ คงนวล กรรมการ อ.รัตติยา ฤทธิชว่ ย ประธานหลกั สูตร วท.บ. สาขาวิชาคณิตศาสตร์ รศ.ดร.ปานจติ มสุ กิ คณบดี ลขิ สทิ ธขิ์ องคณะวิทยาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช ค

หัวข้อโครงงาน ความสวยงามทางคณิตศาสตรข์ องจำนวนเชงิ รูปส่เี หลยี่ ม ช่ือนักศกึ ษา นายชชั วาล ทองส่งโสม รหัสนกั ศกึ ษา 5911427014 ปรญิ ญา วทิ ยาศาสตรบณั ฑติ (คณิตศาสตร์) สาขาวชิ า คณิตศาสตร์ ปกี ารศึกษา 2562 อาจารยท์ ปี่ รึกษา ผู้ช่วยศาสตราจารย์อนุสรณ์ จิตมนัส บทคัดย่อ การจัดทำโครงงานครั้งนี้ ศึกษาเนื้อหาและทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม (Square numbers) ซึ่งนิยามโดย Sn = n2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม pn ซึ่งนิยามโดย pn = 1 (3n2 − n) ผลการศึกษาพบว่าจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันใน 2 หลากหลายรูปแบบ และพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยมและจำนวนรูปห้าเหลี่ยม ขนาดตา่ ง ๆ ดังสมการ u(pn ) = 1 (n 2 − n) 2 คำสำคญั : จำนวนเชงิ รปู สเี่ หล่ียม ลำดับพหนุ าม การพสิ จู น์แบบอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์ ก

Title The Mathematical Beauty Of Square Numbers Students Chatchawan Thongsongsom Student ID 5911427014 Degree Bachelor of Science (Mathematics) Mathematics Department 2019 Academic Year Asst.Prot.Anusorn Jitmanas Advisor Abstracts This project aims to study the content and various theory of Square Number which are defined as Sn = n2 when n is a positive integer and Pentagonal Numbers which is defined by ( )pn=1 . The finding is the square number has a pn 2 3n2 − n relationship in the various form and find the relationship between Pentagonal number and number of pentagon as a equation u(pn ) = (1 n2 − n). 2 Keywords : Square numbers, Polynomial Sequence, Mathematical Induction ข

กิตติกรรมประกาศ การจัดทำโครงงานเรื่อง ความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม เล่มน้ี สำเร็จลุล่วงได้ด้วยดีเนื่องจากได้รับความกรุณาอย่างสูงจาก ผู้ช่วยศาสตราจารย์อนุสรณ์ จิตมนัส อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน ที่ให้คำแนะนำแนวคิดในการจัดทำโครงงานเลม่ นี้ ตลอดจนปรับปรุงแก้ไข ขอ้ บกพร่องต่าง ๆ ดว้ ยความเอาใจใสอ่ ย่างดียง่ิ ตัง้ แตเ่ ริม่ แรกจนสมบรู ณ์ ขอกราบขอบพระคณุ อาจารยป์ ระจำหลกั สูตรวทิ ยาศาสตรบัณฑิต สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ ทุก ท่านที่คอยให้คำปรึกษา และคำแนะนำในการจัดทำโครงงานเล่มนี้เสร็จสมบูรณ์ยิ่งขึ้น รวมถึงบิดา มารดา และครอบครัวที่ให้การสนับสนุนในการทำโครงงานครั้งนี้ ขอบคุณเพื่อนนักศึกษาทุกคนที่ให้ ความช่วยเหลือ และเป็นกำลังใจให้ตลอดเวลาในการศึกษาจนสำเร็จ นอกจากนี้ผู้จัดทำโครงงานขอกราบขอบพระคุณคณะกรรมการโครงงานทุกท่านที่ให้ คำแนะนำในการศกึ ษา การค้นควา้ ขอ้ มูลต่าง ๆ และไดน้ ำมาอา้ งในครงั้ น้ี นายชัชวาล ทองส่งโสม พฤศจิกายน 2562 ค

สารบญั หน้า บทคดั ย่อภาษาไทย..............................................................................................................................ก บทคดั ย่อภาษาอังกฤษ…………………………………………………………………………………………………………..ข กติ ติกรรมประกาศ…………………………………………………………………………………………………………….….ค สารบญั …………………………………………………………………………………………………………………………….….ง สารบัญตาราง……………………………………………………………………………………………………………………….จ สารบัญภาพ.................................................................................................................... .....................ฉ บทท่ี 1 บทนำ……………………………………………………………………………………………………………………...1 1.1 ความเปน็ มาและความสำคัญของโครงงาน………………………………………………………...…..1 1.2 วตั ถุประสงค์ของโครงงาน………………………………………………………………..……………….….1 1.3 ประโยชนท์ ่ีคาดว่าจะได้รับ…………………………………………………………………………………..2 1.4 ขอบเขตของเนื้อหา………………………………………………………………………………………….....2 บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ัยท่ีเก่ยี วขอ้ ง.............................................................................................3 2.1 จำนวนเชิงรูปส่ีเหลีย่ ม......................................................................................................3 2.2 จำนวนเชิงรปู สามเหลยี่ ม……………………………………………………………………………………..4 2.3 ลำดับเลขคณิต…………………………………………………………………………………………………...5 2.4 อนกุ รมเลขคณิต…………………………………………………………………………………………………6 2.5 ลำดับพหนุ าม…………………………………………………………………………………………………….8 2.6 การพิสูจนแ์ บบอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร์…………………………………………………………………..10 บทที่ 3 วิธดี ำเนินการโครงงาน……………………………………………………………………………..………….….12 3.1 วธิ กี ารศกึ ษา............................................................................................................. ......12 3.2 ข้ันตอนการศึกษา…………………………………………………………………………………………..….12 บทท่ี 4 ผลการศกึ ษา.........................................................................................................................13 บทท่ี 5 สรุปผล อภิปรายผลและขอ้ เสนอแนะ………………………………………………………….…….……..25 5.1 สรุปผล................................................................................................................... ........25 5.2 อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ………………………………………………………………………..…….25 เอกสารอา้ งองิ …………………………………………………………………………………………………….……………….27 ภาคผนวก………………………………………………………………………………………………………………..……….…28 ง

สารบญั ตาราง ตารางท่ี หน้า 4.1 แสดงความสัมพนั ธ์จำนวนรูปห้าเหลย่ี มทกุ ขนาด ของจำนวนเชิงรปู หา้ เหลยี่ ม………………………22 จ

สารบญั ภาพ ภาพท่ี หนา้ 2.1 จำนวนเชิงรปู สเี่ หลยี่ ม S1, S2 , S3 และ S4 ..............................................................................3 4.1 จำนวนเชิงรปู สเ่ี หล่ยี ม S1, S2 , S3 และ S4 .............................................................................13 4.2 จำนวนเชิงรูปห้าเหลยี่ ม T1 + S1...............................................................................................17 4.3 จำนวนเชิงรปู หา้ เหลย่ี ม T2 + S2 ..............................................................................................18 4.4 จำนวนเชงิ รูปหา้ เหลย่ี ม T3 + S3 …………………………………………………………………………………..18 4.5 จำนวนเชิงรปู หา้ เหลี่ยมT4 + S4 ...............................................................................................18 4.6 จำนวนเชงิ รปู หา้ เหลี่ยมT5 + S5…………………………………………………………………………………….19 ฉ

7 บทที่ 1 บทนำ 1.1 ความเปน็ มาและความสำคญั ของโครงงาน คณิตศาสตร์เปน็ ศาสตร์ทม่ี ุ่งเนน้ การศึกษาคน้ คว้าได้อย่างไรข้ อบเขตจำกัด นิยามโดยท่ัวไปว่า คณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้างการเปลี่ยนแปลง กล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์นั้นสนใจ “รูปแบบและจำนวน” รูปแบบเป็นการแสดงความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ท่ีมี ลักษณะสำคัญบางอย่างร่วมกันอย่างมีเงื่อนไข ซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธ์เหล่านั้นได้โดย กระบวนการ การสงั เกต การวิเคราะห์ และหาเหตุผล เพอ่ื นำความรู้ความสามารถใช้ในการแก้ปัญหา ทางคณติ ศาสตรไ์ ด้ ซึง่ จะทำใหผ้ ู้เรียนนน้ั สามารถเรียนรู้และพัฒนาตนเองไดอ้ ย่างเต็มศักยภาพ จำนวนเชิงรูป (Figurate numbers) หรือจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม (Polygonal number) คือ จำนวนเต็มที่สามารถแทนด้วยรูปเรขาคณิต ที่แต่ละจุดในด้านเดียวกันมีระยะห่าง เท่ากัน โดยจำนวนแรกคือ 1 หรือจุดหนึ่งจุดนั่นเอง และจำนวนที่สองคือจำนวนจุดยอดมุมของรูป หลายเหลี่ยม เชน่ จำนวนเชงิ รปู สามเหลีย่ ม จำนวนเชิงรูปสีเ่ หลีย่ ม เป็นต้น (นฤพนธ์, 2556 อ้างถึงใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) จำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม (Triangular numbers) คอื จำนวนเตม็ บวกทสี่ ามารถเขียนอยู่ ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวก ������ ตัวแรก ซึ่ง ������������ = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ������ = ������(������+1) เมื่อ ������ 2 เ ป ็ น จ ำ น ว น เ ต ็ ม บ ว ก ใ ด ๆ จ ำ น ว น เ ช ิ ง ร ู ป ส า ม เ ห ล ี ่ ย ม เ ข ี ย น เ ป ็ น ล ำ ด ั บ ไ ด ้ ด ั ง น้ี 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … (สมพงคแ์ ละคณะ, 2560 อา้ งถึงใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม (Square numbers) คือ จำนวนเต็มบวกที่สามารถเขียนอยู่ในรูป กำลังสองของจำนวนเต็มบวก ซึ่ง ������������ = ������2 เมื่อ ������ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม เขียนเป็นลำดับได้ดังนี้ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … (นฤพนธ์, 2556 อ้างถึงใน อนุสรณ์และ คณะ, 2561) จากการศึกษาสัมมนาเรื่อง ความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม ซ่ึง เปน็ การศึกษาสมบัติต่าง ๆ ของจำนวนเชงิ รูปสามเหล่ยี ม จึงทำให้ผศู้ กึ ษามีความสนใจ ความสวยงาม ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม โดยสร้างทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมขึ้น เพอ่ื เปน็ ประโยชนใ์ นการเรยี นวิชาคณติ ศาสตรใ์ นระดบั สงู ตอ่ ไป 1.2 วตั ถุประสงคข์ องโครงงาน เพอ่ื สร้างทฤษฎบี ทที่เกี่ยวกบั จำนวนเชงิ รปู ส่เี หลย่ี มอยา่ งน้อย 5 ทฤษฎีบท 7

8 1.3 ประโยชนท์ ีค่ าดว่าจะไดร้ ับ ได้ทฤษฎบี ทท่เี กย่ี วกบั จำนวนเชิงรปู ส่ีเหลยี่ มอยา่ งน้อย 5 ทฤษฎีบท 1.4 ขอบเขตของเน้ือหา การหาความสัมพันธข์ องจำนวนเชิงรปู สี่เหล่ยี มในรปู แบบตา่ ง ๆ และจดั รปู หรอื พสิ จู นใ์ ห้ เห็นจริง สรา้ งเปน็ ทฤษฎีบท พร้อมตวั อยา่ งประกอบ 8

9 บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ัยทีเ่ กยี่ วขอ้ ง การทำโครงการคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม ได้ศึกษาเอกสารและหนังสือทีเกี่ยวข้องเป็นพื้นฐานในการศึกษาประกอบการวิเคราะห์และอภิปราย ผลโครงงานโดยสาระสำคัญตามหัวข้อดังตอ่ ไปนี้ 2.1 จำนวนเชิงรปู สเี่ หลี่ยม 2.2 จำนวนเชงิ รปู สามเหล่ียม 2.3 ลำดับเลขคณติ 2.4 อนุกรมเลขคณิต 2.5 ลำดบั พหนุ าม 2.6 การพิสจู นแ์ บบอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร์ 2.1 จำนวนเชงิ รูปส่เี หลย่ี ม (Square numbers) จำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ียม (Square numbers) คือ จำนวนเตม็ บวกทีส่ ามารถเขียนอยู่ในรูปกำลัง สองของจำนวนเตม็ บวก ซ่ึง ������������ = ������2 เมอื่ ������ เปน็ จำนวนเตม็ บวกใด ๆ จำนวนเชงิ รูปสเี่ หล่ียมเขยี น เปน็ ลำดับได้ดงั นี้ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … (นฤพนธ์, 2556 อ้างถึงใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) S1 = 1 S2 = 4 S3 = 9 S4 = 16 ภาพที่ 2.1 จำนวนเชิงรปู สีเ่ หลยี่ ม S1, S2 , S3 และ S4 ตวั อย่างที่ 2.1 จงหาจำนวนเชิงรูป เมื่อ n = 5 วธิ ีทำ จาก Sn = n2 จะได้ S5 = 52 = 25 ดังนั้น จำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ยี ม เมอื่ n = 5 คือ 25 9

10 2.2 จำนวนเชงิ รปู สามเหล่ยี ม (Triangular numbers) จำนวนเชงิ รูปสามเหลีย่ ม (Triangular numbers) คือ จำนวนเต็มบวกทีส่ ามารถเขียนอยู่ในรูป ผลบวกของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกซึ่ง T n = 1+ 2 + 3 + 4 +   + n = n(n +1) เมื่อ n เป็น 2 จำนวนเต็มบวกใด ๆ ทฤษฎบี ท 1 T เป็นจำนวนสามเหลีย่ มกต็ อ่ เมอื่ 8T +1 เปน็ กำลังสองสมบูรณ์ พิสูจน์ (→) สมมตใิ ห้ T เป็นจำนวนสามเหลีย่ ม ให้ T = n(n +1) โดยที่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก 2 8T = 8 n(n + 1) 2  8T +1 = 8 n(n + 1) +1 2  = 8 n(n + 1) + 2 2 2  = 8n2 + 8n + 2 2 ( )= 2 4n2 + 4n +1 2 = (2n +1)(2n +1) = (2n + 1)2 ดังนัน้ ถา้ T เป็นจำนวนสามเหลี่ยมแลว้ 8T +1 เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ () ให้ 8T +1 เปน็ กำลงั สองสมบูรณ์ สำหรบั n เปน็ จำนวนเตม็ บวก จาก 8T + 1 = (2n + 1)2 8T +1 = 4n2 + 4n +1 8T = 4n2 + 4n T = (4 n2 + n) 8 = n(n +1) 2 ดงั น้นั ถา้ 8T +1 เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์แล้ว T เป็นจำนวนสามเหล่ียม น่ันคอื T เปน็ จำนวนสามเหลี่ยมกต็ อ่ เม่อื 8T +1 เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ 10

11 2.3 ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequece) บทนิยามลำดับเลขคณิต คอื ลำดับท่ีมผี ลต่างที่ไดจ้ ากการนำพจน์ที่ n +1 ลบด้วยพจน์ท่ี n แล้วมคี ่าคงท่ีเสมอและเรยี กผลต่างที่มีค่าคงท่ีวา่ ผลตา่ งร่วม (Common difference) แทนดว้ ย d พิจารณา 1, 3,  5,  7, ... จะเห็นว่าผลตา่ งของพจนห์ ลงั ลบดว้ ยพจน์หนา้ 22 2 ทอี่ ยู่ตดิ กันมีคา่ คงตัวเท่ากบั 2 พจิ ารณา 3, 6,  9,  12, ... จะเหน็ วา่ ผลตา่ งของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้า 33 3 ที่อย่ตู ิดกนั มคี ่าคงตวั เท่ากบั 3 ให้ a1,a2,a3,... เป็นลำดบั ทม่ี ีผลตา่ งที่ได้จากการนำพจนท์ ี่ n +1 ลบดว้ ยพจน์ท่ี n แล้วมคี า่ คงตัว เสมอ เรยี กลำดับดังกล่าวน่ีว่า ลำดับเลขคณติ และเรียกผลตา่ งทมี่ ีคา่ คงตวั ว่า ผลต่างร่วม กรณที ่ัวไป ถา้ a1,a2,a3,a4,...,an ,... เป็นลำดบั เลขคณิต และ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์ อื่น ๆ ของลำดับเลขคณิตในรูป a1 และ d ดงั นี้ a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d  an = an−1 + d = (a1 + (n − 2)d ) + d = a1 + (n −1)d ดงั นน้ั รปู ท่ัวไปของลำดับเลขคณิตคือ an = a1 + (n −1)d ตวั อยา่ งท่ี 2.2 จงหาพจนท์ ่ี n ของลำดับเลขคณิต 1,8,15,22,29,... วธิ ีทำ a1 = 1 d = 8 −1 = 7 จาก an = a1 + (n −1)d จะได้ an = 1+ (n −1)7 ดังน้นั พจนท์ ่ี n ของลำดับเลขคณิต 1,8,15,22,29,... คอื an = 1+ 7(n −1) ตัวอยา่ งที่ 2.3 จงเขยี นส่พี จน์ถดั ไปของลำดับเลขคณติ − 2,5,12,... วธิ ีทำ จากลำดบั เลขคณิต − 2,5,12,... จะได้ d = 5 − (− 2) = 7 และ a3 = 12 a4 = a3 + d = 12 + 7 = 19 a5 = a4 + d = 19 + 7 = 26 a6 = a5 + d = 26 + 7 = 33 a7 = a6 + d = 33 + 7 = 40 ดังน้นั ส่พี จน์ถัดไปของลำดบั ที่กำหนดให้ คือ 19,26,33,40 11

12 ตัวอยา่ งที่ 2.4 จงหาพจน์ท่ี 40 ของลำดับเลขคณิต 2,6,10,14,... วิธีทำ จากลำดบั เลขคณติ 2,6,10,14,... จะได้ a1 = 2 และ d = 6 − 2 = 4 จาก an = a1 + (n −1)d จะได้ a40 = 2 + (40 −1)(4) = 2 + (39)(4) = 2 +156 a40 = 158 ดงั น้ัน พจนท์ ี่ 40 ของลำดับเลขคณิต 2,6,10,14,... คือ 158 ตัวอยา่ งที่ 2.5 จงหาพจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณติ 4,6,8,10,... วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 4,6,8,10,... จะได้ a1 = 2 และ d = 6 − 4 = 2 จาก an = a1 + (n −1)d จะได้ a100 = 4 + (100 −1)(2) = 4 + (99)(2) = 4 +198 a100 = 202 ดังนั้น พจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณติ 2,6,10,14,... คือ 202 2.4 อนกุ รมเลขคณติ (Arithmetic series) อนกุ รมเลขคณติ (Arithmetlc series) คือ อนุกรมทเ่ี กดิ จาการนำลำดับเลขคณติ มาบวกกัน ให้ a1,a1 + d,+ a1 + (n −1)d เปน็ ลำดับเลขคณิต จะได้อนุกรมเลขคณติ ดงั นี้ S1 = a1 S2 = a1 + (a1 + d ) = 2a1 + d S3 = a1 + (a1 + d )+ (a1 + 2d ) = 3a1 + 3d  Sn = n (2a1 + (n −1)d ) และ Sn = n (a1 + an ) 2 2 หมายเหตุ ใชส้ ตู ร Sn = n (2a1 + (n − 1)d ) เมื่อทราบ a1 และ d 2 ใชส้ ตู ร Sn = n (a1 + an ) เม่ือทราบ a1 และ พจน์สดุ ทา้ ย (an ) 2 เมอ่ื Sn คอื ผลรวม n ผลรวมของลำดบั เลขคณติ n คอื จำนวนสมาชกิ ทต่ี ้องการบวก n พจน์ 12

13 a1 คือ พจน์ท่ี 1 ของลำดบั เลขคณติ an คือ พจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณติ d คอื ผลต่างรว่ ม ตัวอย่างที่ 2.6 จงหาผลรวมอนุกรมเลขคณิตของ 1+ 2 + 3+ 4 ++100 วธิ ีทำ จะได้ Sn = n (a1 + an ) 2 = 100 1 +100 2 = 100(101) 2 = 5,050 ดงั น้ัน ผลรวมอนกุ รมเลขคณิตของ 1+ 2 + 3+ 4 ++100 คอื 5,050 ตวั อย่างท่ี 2.7 จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ บวกระหว่าง 100 ถงึ 500 ทหี่ าร 9 ลงตวั วธิ ีทำ 108 +117 +126 ++ 495 เปน็ อนุกรมเลขคณิต มี a1 = 108,d = 9,an = 495 จงหาค่า n จากสตู ร an = a1 + (n −1)d 495 = 108 + (n −1)(9) 495 = 108 + 9n − 9 9n = 396 n = 44 จากสตู ร Sn = n a1 + an  2 S 44 = 44 108 + 495 2 = 22603 = 13,226 ดงั น้นั ผลบวกของจำนวนเต็มบวกระหวา่ ง 100 ถึง 500 ทหี่ าร 9 ลงตวั คือ 13,226 ตวั อยา่ งที่ 2.8 จงหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ 5 +10 +15 + 20 ++150 วธิ ีทำ a1 = 5,d = 5,an = 150 จากสูตร an = a1 + (n −1)d 150 = 5 + (n −1)(5) 145 = (n −1) 5 29 = n −1 30 = n 13

14 จากสูตร Sn = n a1 + an  2 = 30 5 + 150 2 = 15155 = 2,325 ดงั น้ัน ผลบวกของอนุกรมเลขคณติ 5 +10 +15 + 20 ++150 คือ 2,325 2.5 ลำดับพหุนาม (Polynomial Sequence) ขอ้ กำหนดให้พหนุ าม คือ an = ak nk + ak−1nk−1 +  + a1n + a0 เมอ่ื k  I + และ ak ,ak−1,...,an ,a0  R แล้ว ลำดบั an = P(n) เรียกว่า ลำดบั พหนุ าม ในการหา an จากผลต่างระหว่างลำดับ 1. การหาผลต่างระหว่างลำดบั “เรยี กผลต่างคร้งั ท่ี 1 ” ถา้ ยังไม่เป็นค่าคงตวั ก็หาผลตา่ ง อีกคร้ัง “เรียกผลต่างครัง้ ที่ 2 ” ถา้ ยังไมเ่ ปน็ คา่ คงตัวก็หาผลตา่ งอีกคร้ัง เปน็ คร้ังท่ี 3,4,5,... ไปเรอ่ื ย ๆ จนกระทั่งได้ค่าคงตัว 2. แทนค่าผลตา่ งตวั แรกของแต่ละครงั้ ลงในสูตรดังนี้ x1 ,  x, x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , ..., xn ผลตา่ งครั้งท่ี b1  b2  b3b4  b5  b6  b7 ... bn−1 ไม่คงตัว ผลต่างครงั้ ท่ี 2 c1  c2  c3  c4  c5  c6 ... cn−2 ไม่คงตัว ผลต่างครงั้ ท่ี 3 ไม่คงตัว d1 d2 d3 d4 d5 ... dn−3    ... ผลตา่ งครง้ั ที่ k ddd d d คงตัว จะเห็นวา่ ผลตา่ งครั้งท่ี k มคี า่ คงตวั เทา่ กับ d an = ak n k + ak−1n k −1 + ak −2 n k −2 + ak −3n k −3 +  + a1n + a0 n = 1; ( )ak + ak−1 + ak−2 + ak−3 + + a1 + a0 = a1 ... 1 ( )n = 2; 2k ak + 2k−1 ak−1 + 2k−2 ak−2 + 2k−3 ak−3 +  + 2a1 + a0 = a2 ... 2 ( )n = 3; 3k ak + 3k−1 ak−1 + 3k−2 ak−2 + 3k−3 ak−3 +  + 3a1 + a0 = a3 ... 3 ( )n = 4; 4k ak + 4k−1 ak−1 + 4k−2 ak−2 + 4k−3 ak−3 +  + 4a1 + a0 = a4 ... 4 14

15 ( )n = 5; 5k ak + 5k−1 ak−1 + 5k−2 ak−2 + 5k−3 ak−3 +  + 5a1 + a0 = a5 ... 5  ( ) ( ) ( ) ( )k +1 k ak n = k +1; + k + 1 k−1 ak−1 + k +1 ak −2 + k + 1 k−3 ak−3 k −2 + ... + (k +1)a1 + a0 = ak+1 ...(k +1) แกส้ มการหาคา่ ak , ak−1, ak−2 , ak−3, ..., a1, a0 จะได้พจน์ท่วั ๆ ไปของสมการโดยการแทนคา่ ak ,ak−1,ak−2 ,ak−3,...,a1,a0 จะได้ an = ak nk + ak−1nk−1 + ... + a1n + a0 ตวั อย่างที่ 2.9 จงหาพจนท์ ่ัวไปของลำดบั ต่อไปนี้ 1,3,6,10,15,... วิธที ำ พิจารณาความสมั พนั ธข์ องพจน์ในลำดบั ที่กำหนดให้ 1 3 6  10 15 ผลตา่ งครัง้ ที่ 1 2  3 4  5 ผลตา่ งครงั้ ที่ 2 11 1 จะเหน็ วา่ ผลตา่ งคร้ังท่ี 2 มีค่าคงตวั เทา่ กับ 1 โดยพจนท์ ่วั ไปของลำดับน้ีอยู่ในรูป an = a2n2 + a1n + a0 n = 1; a2 (1)2 + a1(1) + a0 = 1......(1) n = 2; a2 (2)2 + a1(2) + a0 = 3......(2) n = 3; a2 (3)2 + a1(3) + a0 = 6......(3) นำ (2)− (1) จะได้ 3a2 + a1 = 2.....(4) นำ (3)− (2) จะได้ 5a2 + a1 = 3.....(5) นำ (5)− (4) จะได้ a2 = 1 2 นำ a2 = 1 แทนใน (4) จะได้ 3 1  + a1 =2 2  2  3 + a1 = 2 2 a1 = 2 − 3 2 a1 = 1 2 15

16 นำ a2 = 1 และ a1 = 1 แทนใน (1) 2 2 จะได้ 1 + 1 + a0 =1 2 2 2 + a0 =1 2 a0 = 0 นำ a2 = 1 , a1 = 1 และ a0 =0 แทนใน an = a2n2 + a1n + a0 2 2 จะได้ an = 1 n2 + 1n+0 2 2 an = n2 + n 2 n(n +1) an = 2 2.6 การพสิ จู น์แบบอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ (Mathematical Induction) อุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คอื การพสิ จู นส์ ำหรับประโยคที่มตี ัวแปร เปน็ จำนวนนับ สำหรบั จำนวนเตม็ บวก n แต่ละตวั และ P(n) เปน็ ประพจน์ ถ้า 1) P(1) เปน็ จรงิ 2) สำหรับจำนวนเตม็ บวก k ทุกตวั ถ้า P(k) เปน็ จริงแลว้ P(k +1) เปน็ จริง สรุปได้ว่า P(n) เปน็ จรงิ สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n ทกุ ตัว พิสูจน์ ให้ M = {n | n  I + และ P(n)เปน็ จรงิ } เมือ่ P(1) เปน็ จริง โดยสมมติฐาน แสดงว่า 1 M แสดงไดว้ ่า P(k +1) เปน็ จรงิ เมื่อ P(k) เป็นจรงิ โดยสมมติฐาน ดังนนั้ k +1 M เมอ่ื k  M นัน่ คอื M มสี มาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกทัง้ หมด จงึ สรุปไดว้ า่ P(n) เป็นจริงสำหรับทกุ คา่ ของจำนวนเตม็ บวก ตวั อยา่ งที่ 2.10 จงพสิ จู น์วา่ 1+ 3 + 5 + 7 ++ (2n −1) = n2 สำหรับทุก ๆ จำนวนเตม็ บวก n วธิ ที ำ ให้ P(n) แทนข้อความ 1+ 3 + 5 + 7 ++ (2n −1) = n2............(1) 1. เม่ือ n =1 จะได้ว่า 2(1) −1 = 12 ดงั นั้น P(n) เป็นจริง 1=1 2. พิจารณา ถ้า P(k) เปน็ จริง แลว้ P(k +1) เป็นจริงด้วย สมมุติวา่ P(k) เปน็ จรงิ นน่ั คือ 1+ 3 + 5 + 7 ++ (2k −1) = k 2..................................(2) จะพจิ ารณาวา่ P(k +1) เป็นจรงิ ดว้ ย นั่นคือ 16

17 1+ 3 + 5 + 7 ++ 2(k +1)−1 = 1+ 3 + 5 + (2k +1)+ 2(k +1)−1 = k 2 + 2(k + 1) −1 = k 2 + 2k +1 = (k + 1)2 ดงั น้นั P(k +1) เปน็ จริง เพราะฉะนัน้ โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ P(n) เปน็ จริงทุก ๆ จำนวนเตม็ บวก n 17

18 บทที่ 3 วธิ ีดำเนนิ การโครงงาน การจดั ทำโครงงานเรื่อง ความสวยงามของคณติ ศาสตร์ของจำนวนเชิงรปู สเ่ี หลี่ยม ผู้จัดทำได้ ศึกษาเนื้อหาและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมเพื่อนำไปสู่การสร้างทฤษฎีบทที่ เกีย่ วกบั จำนวนเชงิ รปู สี่เหลยี่ มอย่างนอ้ ย 5 ทฤษฎบี ท ซง่ึ มวี ธิ ีการดำเนนิ การดังน้ี 3.1 วธิ กี ารศึกษา ผู้จัดทำสนใจศึกษา เรื่องความสวยงามของคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งใช้ ความรู้ทางคณติ ศาสตร์ดังน้ี 1. จำนวนเชิงรูปสเี่ หลย่ี ม 2. จำนวนเชิงรูปสามเหลยี่ ม 3. ลำดบั เลขคณิต 4. อนกุ รมเลขคณิต 5. ลำดบั พหนุ าม 6. การพิสจู นแ์ บบอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร์ 3.2 ขน้ั ตอนการศึกษา 1. ศึกษาเน้อื หาเร่อื งจำนวนเชงิ รปู ส่ีเหล่ียม ลำดบั เลขคณิต อนกุ รมเลขคณติ ลำดบั พหุนาม การพิสูจนแ์ บบอุปนยั เชงิ คณิตศาสตรแ์ ละทฤษฎบี ทท่ีเก่ยี วข้องกับจำนวนเชงิ รปู สเี่ หลี่ยม 2. สร้างทฤษฎบี ทท่ีเก่ียวข้องกบั จำนวนเชิงรูปส่เี หลี่ยมดงั น้ี ทฤษฎบี ทที่ 1 กำหนด Sn−1, Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปส่ีเหลี่ยม จะได้ Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n +1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด Sn−1, Sn เป็นจำนวนเชงิ รปู สเ่ี หลยี่ ม จะได้ Sn − Sn−1 = 2n +1 เม่อื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด Sm , Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ียม จะได้ Sm+n = Sm + Sn + 2mn เมือ่ m และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทที่ 4 กำหนด Sm, Sn เป็นจำนวนเชงิ รปู สเ่ี หล่ยี ม จะได้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn เม่อื m และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทท่ี 5 Sn เป็นจำนวนส่เี หลี่ยมกต็ อ่ เมอ่ื 8 S n + n  +1 เป็นกำลงั สองสมบูรณ์ 2  ทฤษฎีบทท่ี 6 สำหรบั จำนวนเชิงรปู หา้ เหลีย่ ม pn และ u(pn ) แทน จำนวนรูปหา้ เหลยี่ ม จะได้ u(pn ) = (1 n2 − n) เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวก 2 18

19 บทท่ี 4 ผลการศกึ ษา ผลการศึกษาโครงงานเรื่อง การจัดทำโครงงานเรื่อง ความสวยงามของคณิตศาสตร์ของ จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม ผู้จัดทำได้ศึกษาเนื้อหาและทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม เพื่อนำไปสู่การสร้างทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมอย่างน้อย 5 ทฤษฎีบท ซ่ึงมีผลการ ดำเนินการดังนี้ จำนวนเชิงรูปสี่เหล่ียม (Square numbers) คือ จำนวนเต็มบวกที่สามารถเขียนอยู่ในรูป กำลังสองของจำนวนเต็มบวก ซึ่ง ������������ = ������2 เมื่อ ������ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม เขียนเป็นลำดับได้ดังนี้ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … (นฤพนธ์, 2556 อ้างถึงใน อนุสรณ์และ คณะ, 2561) S1 = 1 S2 = 4 S3 = 9 S4 = 16 ภาพที่ 4.1 จำนวนเชิงรูปส่เี หลี่ยม S1, S2 , S3 และ S4 ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด Sn−1, Sn เปน็ จำนวนเชงิ รปู สเี่ หลีย่ มจะได้ Sn−1 + Sn = 2n 2 − 2n + 1 เม่อื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก พิสจู น์ พจิ ารณา Sn−1 + Sn = (n − 1)2 + n 2 ( )= n2 − 2n +1 + n2 = 2n2 − 2n +1 ดังนน้ั Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n + 1 ตวั อย่างท่ี 4.1 จงหาจำนวนเชงิ รปู สเี่ หลีย่ ม Sn−1 + Sn เมื่อ n = 20 วธิ ที ำ จาก Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n + 1 จะได้ S20−1 + S20 = 2(20)2 − 2(20) + 1 S19 + S20 = 2(400)− 2(20)+1 19

20 = 800 − 40 + 1 = 761 ดงั นน้ั จำนวนเชงิ รปู ส่ีเหลีย่ ม Sn−1 + Sn เมือ่ n = 20 คือ 761 ตัวอย่างท่ี 4.2 จงหาจำนวนเชิงรปู ส่เี หลย่ี ม Sn−1 + Sn เมอ่ื n =100 วธิ ีทำ จาก Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n + 1 จะได้ S100−1 + S100 = 2(100 )2 − 2(100 ) + 1 S99 + S100 = 2(10,000)− 2(100)+1 = 20,000 − 200 + 1 = 19,801 ดังนั้น จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม Sn−1 + Sn เมอ่ื n = 100 คือ 19,801 ทฤษฎีบทท่ี 2 กำหนด Sn−1, Sn เปน็ จำนวนเชิงรูปส่เี หลยี่ มจะได้ Sn − Sn−1 = 2n +1 เมื่อ n เปน็ จำนวนเต็มบวก พสิ จู น์ พิจารณา Sn − Sn−1 = n2 − (n −1)2 ( )= n2 − n2 − 2n +1 = n2 − n2 + 2n +1 = 2n +1 ดังนน้ั Sn − Sn−1 = 2n +1 ตัวอย่างท่ี 4.3 จงหาจำนวนเชงิ รปู สเี่ หลี่ยม Sn − Sn−1 เมือ่ n = 60 วิธที ำ จาก Sn − Sn−1 = 2n +1 จะได้ S60 − S60−1 = 2(60) +1 S60 − S59 = 120 +1 = 121 ดงั นนั้ จำนวนเชงิ รปู ส่เี หลี่ยม Sn − Sn−1เมอื่ n = 60 คือ 121 ตวั อย่างท่ี 4.4 จงหาจำนวนเชงิ รปู สเ่ี หลยี่ ม Sn − Sn−1 เม่ือ n = 80 วิธีทำ จาก Sn − Sn−1 = 2n +1 จะได้ S80 − S80−1 = 2(80) +1 S80 − S79 = 160 +1 = 161 ดงั นั้น จำนวนเชิงรูปสเี่ หลี่ยม Sn − Sn−1เมื่อ n = 80 คอื 161 20

21 ทฤษฎีบทท่ี 3 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชิงรูปสี่เหลย่ี มจะได้ Sm+n = Sm + Sn + 2mn เมอื่ m และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ พิจารณา Sm+n = (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 = m2 + n2 + 2mn = Sm + Sn + 2mn ดงั น้นั Sm+n = Sm + Sn + 2mn ตวั อย่างท่ี 4.5 จงหาจำนวนเชิงรปู สี่เหล่ียม Sm+n เม่อื m = 40 และ n = 60 วิธีทำ จาก Sm+n = Sm + Sn + 2mn จะได้ S40+60 = S40 + S60 + 2(40)(60) = (40)2 + (60)2 + 2(40)(60) = 1,600 + 3,600 + 4,800 = 10,000 ดังน้ัน จำนวนเชิงรูปสี่เหลย่ี ม Sm+n เมือ่ m = 40 และ n = 60 คือ 10,000 ตวั อยา่ งท่ี 4.6 จงหาจำนวนเชงิ รปู ส่ีเหล่ียม Sm+n เมอื่ m = 90 และ n =100 วิธีทำ จาก Sm+n = Sm + Sn + 2mn จะได้ ( )( )S90+100 = S90 + S100 + 2 90 100 = (90)2 + (100)2 + 2(90)(100) = 8,100 + 10,000 + 18,000 = 36,100 ดงั นน้ั จำนวนเชิงรูปสเี่ หลี่ยม Sm+n เมอื่ m = 90 และ n = 100 คอื 36,100 ทฤษฎีบทท่ี 4 กำหนด Sm, Sn เปน็ จำนวนเชิงรูปสเ่ี หลี่ยมจะได้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn เมื่อ m และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก พสิ จู น์ พจิ ารณา Sm−n = (m − n)2 = m2 − 2mn + n2 = m2 + n2 − 2mn ดงั นน้ั Sm−n = Sm + Sn − 2mn 21

22 ตัวอยา่ งที่ 4.7 จงหาจำนวนเชงิ รปู สเี่ หลี่ยม Sm−n เม่ือ m = 60 และ n = 30 วธิ ีทำ จาก Sm−n = Sm + Sn − 2mn จะได้ S60−30 = S60 + S30 − 2(60)(30) = (60)2 + (30)2 − 2(60)(30) = 3,600 + 900 − 3,600 = 900 ดังนน้ั จำนวนเชิงรปู ส่เี หลยี่ ม Sm−n เมอ่ื m = 60 และ n = 30 คือ 900 ตัวอย่างที่ 4.8 จงหาจำนวนเชิงรปู สี่เหลี่ยม Sm−n เมอื่ m = 140 และ n = 30 วิธที ำ จาก Sm−n = Sm + Sn − 2mn จะได้ ( )( )S140−30 = S140 + S30 − 2 140 30 = (140)2 + (30)2 − 2(140)(30) = 19,600 + 900 − 8,400 = 12,100 ดงั นั้น จำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ยี ม Sm−n เม่อื m = 140 และ n = 30 คือ 12,100 ทฤษฎีบทที่ 5 Sn เปน็ จำนวนเชงิ รปู ส่ีเหลี่ยมกต็ ่อเม่อื 8 S n + n +1 เป็นกำลงั สองสมบูรณ์ 2  พิสูจน์ (→)สมมติให้ Sn เป็นจำนวนเชิงรปู สี่เหลย่ี ม จะได้ Sn = n2 โดยท่ี n เปน็ จำนวนเตม็ บวก พิจารณา 8 S + n   n 2 + n  2  8 2  n =   8 S + n   n 2 + n  2  8 2  n + 1 =  + 1  = n2 + n + 2 8  2  2  = 8n2 + 8n + 2 2 ( )= 2 4n2 + 4n +1 2 = 4n2 + 4n +1 = (2n +1)(2n +1) = (2n +1)2 เมอื่ x = 2n +1 = x2 ดังนน้ั ถ้า Sn เปน็ จำนวนเชงิ รูปสเ่ี หลี่ยมแลว้ 8 S n + n  + 1 เปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ 2  22

23 () สมมตใิ ห้ 8 S n + n +1 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 2  จาก 8 S n + n +1 = x2 เมื่อ x = 2n +1 ; n เป็นจำนวนเต็มบวก 2  8 Sn + n  + 1 = (2n + 1)2 2  8 S n + n +1 = 4n 2 + 4n +1 2  8 S n + n = 4n 2 + 4n 2  4(Sn + n) = 4n2 + 4n 4Sn + 4n = 4n2 + 4n 4Sn = 4n2 + 4n − 4n 4Sn = 4n2 Sn = 4n 2 4 Sn = n2 ดงั นั้น ถา้ ให้ 8 S n + n  + 1 เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์แลว้ Sn เปน็ จำนวนเชิงรูปสเ่ี หลี่ยม 2  น่ันคอื Sn เป็นจำนวนเชิงรูปส่ีเหล่ียมกต็ อ่ เมอื่ 8 S n + n +1 เป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ 2  การหาความสัมพนั ธจ์ ำนวนเชงิ รูปห้าเหลี่ยมทเี่ กิดจากจำนวนจดุ ของ Sn และ Tn จำนวนเชิงรูปห้าเหล่ียม คือ รูปทเ่ี กดิ จากนำจุดของ Sn และ Tn วางต่อกนั โดยใชด้ ้าน ร่วมกัน 1 ด้าน T1 + S1 มีรูปหา้ เหลีย่ ม 0 รปู เนือ่ งจากมแี คจ่ ุดเดียวจึงไมส่ ามารถสรา้ งรปู หา้ เหลีย่ มได้ ภาพท่ี 4.2 จำนวนเชิงรูปหา้ เหลี่ยม T1 + S1 23

24 T2 + S2 มีรูปหา้ เหลีย่ ม 1 รูป คือ รูปห้าเหลยี่ มขนาด 1 หนว่ ย ภาพที่ 4.3 จำนวนเชงิ รูปห้าเหลย่ี ม T2 + S2 T3 + S3มีรูปห้าเหลย่ี ม 3 รปู ประกอบดว้ ย รปู หา้ เหลยี่ มขนาด 1 หน่วย จำนวน 2 รปู รูปหา้ เหลยี่ มขนาด 2 หน่วย จำนวน 1 รปู ภาพที่ 4.4 จำนวนเชงิ รปู หา้ เหลยี่ ม T3 + S3 T4 + S4 มีรูปหา้ เหลย่ี ม 6 รปู ประกอบด้วย รูปห้าเหล่ยี มขนาด 1 หนว่ ย จำนวน 3 รปู รปู ห้าเหลี่ยมขนาด 2 หนว่ ย จำนวน 2 รูป รปู ห้าเหลย่ี มขนาด 3 หนว่ ย จำนวน 1 รปู ภาพท่ี 4.5 จำนวนเชงิ รูปห้าเหลยี่ มT4 + S4 24

25 T5 + S5 มรี ูปหา้ เหล่ียม 10 รูป ประกอบดว้ ย รปู หา้ เหลยี่ มขนาด 1 หน่วย จำนวน 4 รปู รูปห้าเหลย่ี มขนาด 2 หนว่ ย จำนวน 3 รูป รูปหา้ เหล่ยี มขนาด 3 หนว่ ย จำนวน 2 รปู รูปห้าเหล่ียมขนาด 4 หนว่ ย จำนวน 1 รปู ภาพที่ 4.6 จำนวนเชงิ รปู ห้าเหลย่ี มT5 + S5 จำนวนรปู ห้าเหล่ยี มดังกล่าวสามารถนำมาหาความสมั พนั ธ์โดยใชล้ ำดับพหุนามดังนี้ 01 3 6  10 ผลตา่ งคร้ังท่ี 1 12  3 4 ผลต่างครัง้ ท่ี 2 11 1 จะเห็นว่า ผลต่างคร้งั ที่ 2 มีค่าคงตวั เท่ากบั 1 โดยพจนท์ ่ัวไปของลำดบั นี้อย่ใู นรปู an = a2n2 + a1n + a0 n = 1; a2 (1)2 + a1(1) + a0 = 0......(1) n = 2; a2 (2)2 + a1(2) + a0 = 1......(2) n = 3; a2 (3)2 + a1(3) + a0 = 3......(3) นำ (2)− (1) จะได้ 3a2 + a1 = 1.....(4) 25

26 นำ (3)− (2) จะได้ 5a2 + a1 = 2.....(5) นำ (5)− (4) จะได้ a2 = 1 2 นำ a2 = 1 แทนใน (4) 2 จะได้ 3 1  + a1 =1 2 3 + a1 =1 2 a1 = 2 − 3 2 2 a1 = − 1 2 นำ a2 = 1 และ a1 =−1 แทนใน (1) 2 2 จะได้ 1 −1 + a0 =0 2 2 a0 = 0 นำ a2 = 1 , a1 =−1 และ a0 =0 แทนใน an = a2n2 + a1n + a0 2 2 จะได้ an = 1 n2 − 1n+0 2 2 ( )an = 1 n2 2 −n ดังนนั้ จำนวนรปู หา้ เหล่ยี มมีพจนท์ วั่ ไป คือ ( )an = 1 n2 2 −n จำนวนเชงิ รปู ห้าเหลี่ยมดงั กล่าวสามารถนำมาหาความสมั พันธโ์ ดยใช้ลำดับพหนุ ามดังนี้ 15  12 22  35 ผลตา่ งครั้งที่ 1 47 10 13 ผลตา่ งคร้ังท่ี 2 33 3 จะเหน็ ว่า ผลต่างครั้งที่ 2 มคี า่ คงตัวเท่ากับ 1 โดยพจนท์ ่ัวไปของลำดับนอ้ี ยู่ในรปู an = a2n2 + a1n + a0 n = 1; a2 (1)2 + a1(1) + a0 = 1......(1) n = 2; a2 (2)2 + a1(2) + a0 = 5.....(2) n = 3; a2 (3)2 + a1(3) + a0 = 12.....(3) 26

27 นำ (2)− (1) จะได้ 3a2 + a1 = 4.....(4) นำ (3)− (2) จะได้ 5a2 + a1 = 7.....(5) นำ (5)− (4) จะได้ a2 = 3 2 นำ a2 = 3 แทนใน (4) 2 จะได้ 3 3  + a1 = 4  2 9 + a1 = 4 2 a1 = 8 − 9 2 2 a1 = − 1 2 นำ a2 = 3 และ a1 =−1 แทนใน (1) 2 2 จะได้ 1 −1 + a0 =0 2 2 a0 = 0 นำ a2 = 3 , a1 =−1 และ a0 =0 แทนใน an = a2n2 + a1n + a0 2 2 จะได้ an = 3 n2 − 1n+ 0 2 2 ( )an 1 = 2 3n 2 −n ดงั นัน้ จำนวนเชงิ รปู ห้าเหล่ยี มมีพจน์ทว่ั ไป คือ an = (1 3n2 − n) 2 27

28 ทฤษฎีบทที่ 6 สำหรับจำนวนเชงิ รปู หา้ เหลยี่ ม pn และ u(pn ) แทน จำนวนของเชงิ รูปหา้ เหลี่ยม จะได้ u(pn ) = (1 n2 − n) เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวก 2 ตารางที่ 4.1 แสดงความสัมพันธจ์ ำนวนรูปห้าเหล่ียมทกุ ขนาด ของจำนวนเชิงรูปห้าเหลย่ี ม ลำดบั ท่ี จำนวนเชิงรูปหา้ เหล่ยี ม pn จำนวนรปู หา้ เหลีย่ ม u(pn ) รปู แบบความสมั พนั ธ์ 1 p1 = 1 0 u(p1 ) = 0 2 p2 = 5 1= 0+1 u(p2 ) = u(p1 )+ a1 3 p3 = 12 3 =1+ 2 u(p3 ) = u(p2 )+ a2 4 p4 = 22 6 = 3+3 u(p4 ) = u(p3 )+ a3 5 p5 = 35 10 = 6 + 4 u(p5 ) = u(p4 )+ a4   ( )n −1 1 u(pn−1 ) = u(pn−2 ) + (n − 2) ( ) ( )u pn−1 = u pn−2 + an−2 pn−1 = 2 3(n −1)2 − (n −1) ( )n 1 u(pn ) = u(pn−1 )+ (n −1) u(pn ) = u(pn−1 ) + an−1 pn = 2 3n 2 −n หรือ u( pn ) = 1 (n 2 − n) 2 จากตารางพบว่า an−2 = n − 2 และ an−1 = n −1 พจิ ารณาไดจ้ ากความสัมพันธ์ของลำดับ a1,a2,a3,.. คือ 1,2,3,... ซง่ึ เป็นลำดบั เลขคณติ ที่มีพจนท์ ่วั ไป คอื an = n พิสจู น์ ให้ P(n) แทนข้อความ u( pn ) = 1 (n 2 − n) 2 (1) เม่ือ n =1 จะได้ P(1) คือ u( p1 ) = (1 12 −1) = 0 เปน็ จรงิ 2 (2) ให้ k แทนจำนวนเตม็ บวกใด ๆ และสมมติให้ P(k) เป็นจริง น่ันคอื u(pk ) = 1 (k 2 − k) เปน็ จรงิ 2 (3) จะตอ้ งพสิ จู นว์ า่ P(k +1) เปน็ จรงิ ด้วย จากตารางท่ี 4.1 พบว่า u(pn ) = u(pn−1)+ (n −1) เน่อื งจาก u(pk ) = 1 (k 2 − k ) 2 28

29 ได้วา่ ( )u(pk ) + k =1 2 k2 −k +k = 1k2 − 1k + 2k 2 22 = 1k2 + 1k 22 = 1 (k 2 + k ) 2  จาก 1 u( pk+1 ) = 2 (k + 1)2 − (k + 1) = 1 (k 2 + 2k +1)− (k +1) 2  = 1 k 2 + 2k +1 − k −1 2 = 1 (k 2 + k ) 2 ดงั นน้ั P(k +1) เป็นจรงิ โดยหลักการอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตรส์ รปุ ได้วา่ P(n) เป็นจรงิ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ตัวอยา่ งการหาจำนวนรปู ห้าเหลีย่ ม โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 6 ตัวอย่างท่ี 4.8 จงหาจำนวนรูปห้าเหลี่ยม u(pn ) = (1 n2 − n) เมือ่ n = 30 2 ( )จะได้ 1 p30 = 2 (30)2 − 30 = 1 (900 − 30) 2 = 1 (870) 2 = 435 ดงั นั้น เมอื่ n = 30 มจี ำนวนรปู หา้ เหลยี่ ม จำนวน 435 รปู ตัวอยา่ งท่ี 4.9 จงหาจำนวนรูปห้าเหล่ียม u(pn ) = (1 n2 − n) เม่ือ n = 60 2 ( )จะได้ 1 p60 = 2 (60)2 − 60 = 1 (3,600 − 60) 2 = 1 (3,540) 2 = 1,770 ดังน้ัน เม่อื n = 60 มจี ำนวนรปู ห้าเหล่ยี ม จำนวน 1,770 รปู 29

30 ตัวอยา่ งที่ 4.10 จงหาจำนวนรูปหา้ เหล่ยี ม u(pn ) = 1 (n 2 − n) เม่อื n = 80 2 ( )จะได้1 p80 = 2 (80)2 − 80 = 1 (6,400 − 80) 2 = 1 (6,320) 2 = 3,160 ดงั นน้ั เม่อื n = 80 มจี ำนวนรปู หา้ เหลย่ี ม จำนวน 3,160 รปู 30

31 บทที่ 5 สรปุ ผล อภิปรายผลและขอ้ เสนอแนะ การศึกษาความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม มีวัตถุประสงค์เพื่อการ สร้างทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมและพร้อมยกตัวอย่างประกอบเพื่อความกระจ่างชัด ยิง่ ข้ึน สามารถสรปุ ผลการศกึ ษา อภปิ รายผลการศกึ ษาและข้อเสนอแนะ ดงั น้ี 5.1 สรุปผลการศกึ ษา จากการศึกษาความสวยงามทาคณิตศาสตร์ของจำนวนสี่เหลี่ยม โดยใช้สมบัติทาง คณิตศาสตร์ได้แก่ จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม จำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม ลำดับเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต ลำดับพหุนามและการพิสูจนแ์ บบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สามารถสร้างทฤษฎีบทท่ีเกี่ยวกบั จำนวนเชงิ รูปสี่เหลีย่ ม 6 ทฤษฎบี ท ดังน้ี ทฤษฎบี ทท่ี 1 กำหนด Sn−1, Sn เปน็ จำนวนเชงิ รปู ส่เี หล่ยี ม จะได้ Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n +1 เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มบวก ทฤษฎีบทท่ี 2 กำหนด Sn−1, Sn เปน็ จำนวนเชงิ รูปสีเ่ หล่ียม จะได้ Sn − Sn−1 = 2n +1 เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชงิ รปู สเ่ี หล่ยี ม จะได้ Sm+n = Sm + Sn + 2mn เมอ่ื m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎบี ทท่ี 4 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชิงรปู ส่เี หลย่ี ม จะได้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn เมือ่ m และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทที่ 5 Sn เป็นจำนวนสเี่ หลีย่ มกต็ อ่ เมือ่ 8 S n + n +1 เปน็ กำลงั สอง 2  สมบรู ณ์ ทฤษฎบี ทที่ 6 สำหรับจำนวนเชงิ รปู หา้ เหลี่ยม pn และ u(pn ) แทน จำนวนรปู ห้าเหล่ยี ม จะได้ u(pn ) = (1 n2 − n) เมือ่ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก 2 5.2 อภิปรายผลการศึกษา จากการศึกษาเนื้อหาและทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม (Square numbers) ซึ่งนิยามโดย Sn = n2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม pn ซึ่งนิยามโดย pn = 1 (3n2 − n) ผลการศึกษาพบว่าจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันใน 2 31

32 หลากหลายรูปแบบและพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยมและจำนวนรูปห้าเหลี่ยม ขนาดต่าง ๆ ซง่ึ ไดค้ วามสัมพนั ธ์ดงั สมการ u(pn ) = 1 (n 2 − n) 2 5.3 ข้อเสนอแนะ การศกึ ษาความสวยงามทางคณติ ศาสตร์ของจำนวนเชงิ รปู ส่ีเหลีย่ ม โดยการสร้างเปน็ ทฤษฎี บทขึ้นใหม่ สามารถนำไปปรบั และประยุกต์เพื่อสร้างเป็นทฤษฎีบทใหม่ทีเ่ ก่ยี วกับจำนวนเชงิ รูปต่าง ๆ ไดต้ อ่ ไป 32

33 เอกสารอ้างองิ กวิยา เนาวประทีป.(2547).ลำดบั พหุนาม.กรุงเทพฯ:ฟิสิกส์เซ็นเตอร์มสนพ. นฤพนธ์ นพคุณ(2556).จาํ นวนเชงิ รูปหลายเหล่ยี ม.https://coolaun.com/math/pascal_tri/ poly_no/. คนเมอ่ื 4 มกราคม 2562 อนสุ รณ์ จิตมนัส.(2548).หลักการคณิตศาสตร์.นครศรธี รรมราช:คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี อนุสรณ์ จิตมนัส, วลิษา อนิ ทรภกิ ด,ิ์ และ ณัฎฐณิ ยี ์ คงนวล. (2561). ความสัมพนั ธ์ระหว่างจำนวน รูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ กับจำนวนเชิงรปู สามเหลย่ี มและจำนวนรูปสีเ่ หลี่ยมมุมฉากกับ จำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ียม. วารสารวทิ ยาศาสตร์ มข., 46 (2), 383-392. Beer Piranan.(2014). ลำดับและอนกุ รมเลขคณติ . [ออนไลน์]. เขา้ ถงึ ไดจ้ าก https://www.scribd.com/document/238247963/3.[2562, กรกฎาคม 19] Mulatu Lemma.(2015). The Mathematical Beauty Of Triangular Numbers. [ออนไลน]์ . เขา้ ถึงได้จาก https://www.huichawaii.org/assets/mulatu%2C-lemma3---2015 [2562, มกราคม 2] 33

34 ภาคผนวก 34

1 ความสวยงามทางคณติ ศาสตรข์ องจำนวนเชิงรปู ส่ีเหล่ียม THE MATHEMATICAL BEAUTY OF SQUARE NUMBERS ชชั วาล ทองส่งโสม1* และอนสุ รณ์ จติ มนัส 2 สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครศรีธรรมราช ต.ท่าง้วิ อ.เมือง จ.นครศรธี รรมราช 80190 E-mail.com:[email protected] บทคดั ย่อ บทความนี้ ศึกษาเนื้อหาและทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม(Square numbers) ซึ่งนิยามโดย Sn = n2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม pn ซ่ึง นิยามโดย pn = 1 (3n 2 − n) ผลการศึกษาพบว่าจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันใน 2 หลากหลายรูปแบบ และพบความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยมและจำนวนรูปห้าเหลี่ยม ขนาดต่าง ๆ ดงั สมการ u(pn ) = 1 (n 2 − n) 2 คำสำคัญ : จำนวนเชงิ รปู ส่เี หลย่ี ม ลำดับพหนุ าม การพสิ จู นแ์ บบอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร์ Abstracts This project aims to study the content and various theory of Square Number which are defined as Sn = n2 when n is a positive integer and Pentagonal Numbers which is defined by ( )pn=1 . The finding is the square number has a pn 2 3n2 − n relationship in the various form and find the relationship between Pentagonal number and number of pentagon as a equation u(pn ) = (1 n2 − n). 2 Keywords : Square numbers, Polynomial Sequence, Mathematical Induction บทนำ คณิตศาสตรเ์ ปน็ ศาสตรท์ ีม่ งุ่ เน้นการศึกษาค้นควา้ ได้อยา่ งไร้ขอบเขตจำกัด นิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์ เป็นสาขาวชิ าทศี่ ึกษาเก่ยี วกับรูปแบบและโครงสรา้ งการเปล่ยี นแปลง กล่าวไดว้ ่าคณติ ศาสตรน์ ้นั สนใจ “รูปแบบและ 1

2 จำนวน” รูปแบบเป็นการแสดงความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ที่มีลักษณะสำคัญบางอย่างร่วมกันอย่างมีเงื่อนไข ซึ่ง สามารถอธิบายความสัมพันธ์เหล่านั้นได้โดยกระบวนการ การสังเกต การวิเคราะห์ และหาเหตุผล เพื่อนำความรู้ ความสามารถใช้ในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ ซึ่งจะทำให้ผู้เรียนนั้นสามารถเรียนรู้และพัฒนาตนเองได้อย่าง เต็มศักยภาพ จำนวนเชิงรูป (Figurate numbers) หรือจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม (Polygonal number) คือ จำนวนเต็มท่สี ามารถแทนด้วยรปู เรขาคณิต ท่ีแตล่ ะจุดในด้านเดียวกันมีระยะห่างเท่ากัน โดยจำนวนแรกคือ 1 หรือ จดุ หน่ึงจุดน่ันเอง และจำนวนทีส่ องคอื จำนวนจดุ ยอดมุมของรูปหลายเหลย่ี ม เชน่ จำนวนเชิงรปู สามเหลยี่ ม จำนวน เชิงรูปสเ่ี หล่ียม เป็นตน้ (นฤพนธ,์ 2556 อา้ งถงึ ใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) จำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม (Triangular numbers) คอื จำนวนเต็มบวกทส่ี ามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวก ของจำนวนเต็มบวก ������ ตัวแรก ซึ่ง ������������ = 1 +2 +3 + 4+ ⋯ + ������ = ������(������+1) เมื่อ ������ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ 2 จำนวนเชิงรปู สามเหลี่ยมเขียนเป็นลำดบั ได้ดังน้ี 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … (สมพงคแ์ ละคณะ, 2560 อ้างถึงใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) จำนวนเชงิ รปู สี่เหลี่ยม (Square numbers) คือ จำนวนเตม็ บวกที่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองของ จำนวนเต็มบวก ซึ่ง ������������ = ������2 เมื่อ ������ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมเขียนเป็นลำดับได้ดังนี้ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … (นฤพนธ,์ 2556 อ้างถึงใน อนสุ รณ์และคณะ, 2561) จากการศึกษาเรื่อง ความสวยงามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นการศึกษาสมบัติ ต่าง ๆ ของจำนวนเชิงรูปสามเหลี่ยม จึงทำให้ผูศ้ ึกษามีความสนใจ ความสวยงามทางคณิตศาสตรข์ องจำนวนเชิงรปู สี่เหลี่ยม โดยสร้างทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมข้ึน เพื่อเป็นประโยชน์ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ใน ระดับสูงต่อไป ผลการศกึ ษา ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด Sn−1, Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปสี่เหล่ียมจะได้ Sn−1 + Sn = 2n 2 − 2n + 1 เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ บวก พิสจู น์ พจิ ารณา Sn−1 + Sn = (n − 1)2 + n 2 ( )= n2 − 2n +1 + n2 = 2n2 − 2n +1 ดังน้ัน Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n + 1 ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด Sn−1, Sn เปน็ จำนวนเชิงรปู สเี่ หลี่ยมจะได้ Sn − Sn−1 = 2n +1 เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ พิจารณา Sn − Sn−1 = n2 − (n −1)2 ( )= n2 − n2 − 2n +1 = n2 − n2 + 2n +1 = 2n +1 2

3 ดังน้นั Sn − Sn−1 = 2n +1 ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด Sm , Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปสเ่ี หลี่ยมจะได้ Sm+n = Sm + Sn + 2mn เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก พสิ ูจน์ พิจารณา Sm+n = (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 = m2 + n2 + 2mn = Sm + Sn + 2mn ดังน้ัน Sm+n = Sm + Sn + 2mn ทฤษฎบี ทท่ี 4 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชิงรูปส่เี หล่ียมจะได้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn เมอ่ื m และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ พจิ ารณา Sm−n = (m − n)2 = m2 − 2mn + n2 = m2 + n2 − 2mn ดงั นัน้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn ทฤษฎีบทท่ี 5 Sn เปน็ จำนวนเชงิ รูปส่ีเหลยี่ มกต็ ่อเมือ่ 8 S n + n +1 เป็นกำลงั สองสมบูรณ์ 2  พสิ ูจน์ (→) สมมติให้ Sn เป็นจำนวนเชิงรูปสีเ่ หลีย่ ม จะได้ Sn = n2 โดยที่ n เปน็ จำนวนเต็มบวก พิจารณา 8 S n + n  = n2 + n 2  8   2  8 S + n   n 2 + n  2  8 2  n + 1 =  + 1  = n2 + n + 2 8  2  2  3

4 = 8n2 + 8n + 2 เมือ่ x = 2n +1 2 ( )= 2 4n2 + 4n +1 2 = 4n2 + 4n +1 = (2n +1)(2n +1) = (2n +1)2 = x2 ดงั นั้น ถ้า Sn เป็นจำนวนเชงิ รปู สี่เหลยี่ มแล้ว 8 S n + n  + 1 เปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ 2  ()สมมตุ ิให้ 8 S n + n +1 เป็นกำลงั สองสมบูรณ์ 2  จาก 8 Sn + n  + 1 = x2 เมือ่ x = 2n +1 ; n เปน็ จำนวนเตม็ บวก 2  8 S n + n  + 1 = (2n + 1)2 2  8 S n + n +1 = 4n 2 + 4n +1 2  8 S n + n = 4n 2 + 4n 2  4(Sn + n) = 4n2 + 4n 4Sn + 4n = 4n2 + 4n 4Sn = 4n2 + 4n − 4n 4Sn = 4n2 Sn = 4n 2 4 Sn = n2 ดังนั้น ถา้ ให้ 8 S n + n  + 1 เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์แล้ว Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปสเี่ หลย่ี ม 2  นน่ั คือ Sn เป็นจำนวนเชิงรปู สี่เหล่ียมกต็ อ่ เมื่อ 8 S n + n +1 เป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ 2  การหาความสัมพนั ธจ์ ำนวนเชงิ รปู ห้าเหลย่ี มทเ่ี กดิ จากจำนวนจุดของ Sn และ Tn จำนวนเชงิ รูปหา้ เหล่ียม คือ รปู ทเี่ กดิ จากนำของ Sn และ Tn วางตอ่ กัน โดยใชด้ ้านร่วมกัน 1 ดา้ น T1 + S1 มีรปู หา้ เหลย่ี ม 0 รูป เนื่องจากมแี ค่จุดเดยี วจงึ ไมส่ ามารถสร้างรูปหา้ เหลย่ี มได้ 4

5 ภาพที่ 4.2 จำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม T1 + S1 T2 + S2 มรี ูปห้าเหล่ยี ม 1 รูป คอื รปู หา้ เหลี่ยมขนาด 1 หนว่ ย ภาพที่ 4.3 จำนวนเชิงรปู ห้าเหลย่ี ม T2 + S2 T3 + S3 มรี ปู ห้าเหลี่ยม 3 รูป ประกอบด้วย รูปห้าเหลีย่ มขนาด 1 หน่วย จำนวน 2 รูป รูปห้าเหล่ยี มขนาด 2 หนว่ ย จำนวน 1 รปู ภาพที่ 4.4 จำนวนเชิงรูปห้าเหล่ียม T3 + S3 T4 + S4 มีรปู ห้าเหลี่ยม 6 รูป ประกอบดว้ ย รปู ห้าเหล่ียมขนาด 1 หนว่ ย จำนวน 3 รปู รูปห้าเหล่ียมขนาด 2 หนว่ ย จำนวน 2 รูป รปู ห้าเหลี่ยมขนาด 3 หนว่ ย จำนวน 1 รูป ภาพที่ 4.5 จำนวนเชงิ รูปห้าเหลยี่ มT4 + S4 T5 + S5 มรี ปู ห้าเหล่ียม 10 รปู ประกอบดว้ ย รปู หา้ เหลี่ยมขนาด 1 หนว่ ย จำนวน 4 รปู รปู หา้ เหลยี่ มขนาด 2 หนว่ ย จำนวน 3 รูป รปู ห้าเหล่ียมขนาด 3 หนว่ ย จำนวน 2 รูป รูปห้าเหล่ียมขนาด 4 หน่วย จำนวน 1 รูป 5

6 ภาพท่ี 4.6 จำนวนเชงิ รูปหา้ เหลยี่ มT5 + S5 จำนวนรูปห้าเหล่ียมดงั กลา่ วสามารถนำมาหาความสมั พนั ธโ์ ดยใช้ลำดับพหนุ ามดังนี้ 01 3 6  10 ผลตา่ งครง้ั ที่ 1 12  3 4 ผลตา่ งครง้ั ที่ 2 11 1 จะเห็นว่า ผลตา่ งครั้งท่ี 2 มคี ่าคงตวั เท่ากบั 1 โดยพจนท์ ั่วไปของลำดบั น้ีอยู่ในรปู an = a2n2 + a1n + a0 n = 1; a2 (1)2 + a1(1) + a0 = 0......(1) n = 2; a2 (2)2 + a1(2) + a0 = 1......(2) n = 3; a2 (3)2 + a1(3) + a0 = 3......(3) นำ (2)− (1) จะได้ 3a2 + a1 = 1.....(4) นำ (3)− (2) จะได้ 5a2 + a1 = 2.....(5) นำ (5)− (4) จะได้ a2 = 1 2 นำ a2 = 1 แทนใน (4) 2 จะได้ 3 1  + a1 =1 2 3 + a1 =1 2 a1 = 2 − 3 2 2 a1 = − 1 2 6

7 นำ a2 = 1 และ a1 = −1 แทนใน (1) 2 2 จะได้ 1 − 1 + a0 =0 2 2 a0 = 0 นำ a2 = 1 , a1 = −1 และ a0 =0 แทนใน an = a2n2 + a1n + a0 2 2 จะได้ an = 1 n2 − 1n+0 2 2 ( )an= 1 n2 2 −n ดังนน้ั จำนวนรปู ห้าเหลย่ี มมีพจนท์ ัว่ ไป คอื ( )an= 1 n2 2 −n จำนวนเชงิ รปู ห้าเหล่ยี มดังกล่าวสามารถนำมาหาความสัมพันธโ์ ดยใช้ลำดับพหุนามดงั น้ี 15  12 22  35 ผลตา่ งครัง้ ท่ี 1 47 10 13 ผลตา่ งครง้ั ที่ 2 33 3 จะเห็นวา่ ผลตา่ งครง้ั ที่ 2 มคี า่ คงตัวเท่ากับ 1 โดยพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั น้ีอยใู่ นรูป an = a2n2 + a1n + a0 n = 1; a2 (1)2 + a1(1) + a0 = 1......(1) n = 2; a2 (2)2 + a1(2) + a0 = 5......(2) n = 3; a2 (3)2 + a1(3) + a0 = 12......(3) นำ (2)− (1) จะได้ 3a2 + a1 = 4.....(4) นำ (3)− (2) จะได้ 5a2 + a1 = 7.....(5) นำ (5)− (4) จะได้ a2 = 3 2 นำ a2 = 3 แทนใน (4) 2 จะได้ 3 3  + a1 = 4 2 9 + a1 = 4 2 a1 = 8 − 9 2 2 a1 = − 1 2 7

8 นำ a2 = 3 และ a1 = −1 แทนใน (1) 2 2 จะได้ 1 − 1 + a0 =0 2 2 a0 = 0 นำ a2 = 3 , a1 = −1 และ a0 =0 แทนใน an = a2n2 + a1n + a0 2 2 จะได้ an = 3 n2 − 1n+0 2 2 ( )an 1 = 2 3n 2 −n ดงั นน้ั จำนวนเชงิ รปู ห้าเหล่ียมมพี จน์ทัว่ ไป คอื an = 1 (3n 2 − n) 2 ทฤษฎบี ทท่ี 6 สำหรับจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม pn และ u(pn ) แทน จำนวนของเชงิ รปู ห้าเหล่ียม จะได้ u(pn ) = (1 n2 − n) เมอ่ื n เปน็ จำนวนเต็มบวก 2 ตารางท่4ี .1 แสดงความสัมพนั ธจ์ ำนวนรูปหา้ เหลี่ยมทกุ ขนาด ของจำนวนเชงิ รปู ห้าเหลีย่ ม ลำดับที่ จำนวนเชิงรปู หา้ เหล่ยี ม pn จำนวนรปู หา้ เหล่ียม u(pn ) รูปแบบความสมั พนั ธ์ 1 p1 = 1 0 u(p1 ) = 0 2 p2 = 5 1= 0+1 u(p2 ) = u(p1 )+ a1 3 p3 = 12 3 =1+ 2 u(p3 ) = u(p2 )+ a2 4 p4 = 22 6 = 3+3 u(p4 ) = u(p3 )+ a3 5 p5 = 35 10 = 6 + 4 u(p5 ) = u(p4 )+ a4   ( )n −1 1 u(pn−1 ) = u(pn−2 ) + (n − 2) ( ) ( )u pn−1 = u pn−2 + an−2 pn−1 = 2 3(n −1)2 − (n −1) ( )n 1 u(pn ) = u(pn−1 )+ (n −1) u(pn ) = u(pn−1 ) + an−1 pn = 2 3n 2 −n หรือ u(pn ) = 1 (n 2 − n) 2 จากตารางพบวา่ an−2 = n − 2 และ an−1 = n −1 พจิ ารณาได้จากความสมั พนั ธข์ องลำดับ a1, a2 , a3,.. คือ 1,2,3,... ซง่ึ เป็นลำดับเลขคณติ ทีม่ ีพจน์ทวั่ ไป คอื an = n 8

9 พสิ ูจน์ ให้ P(n) แทนข้อความ u(pn ) = (1 n2 − n) 2 (1) เมือ่ n =1 จะได้ P(1) คอื u( p1 ) = (1 12 −1) = 0 เปน็ จรงิ 2 (2) ให้ k แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ และสมมตใิ ห้ P(k ) เปน็ จรงิ นั่นคือ u(pk ) = 1 (k 2 − k) เป็นจรงิ 2 (3) จะต้องพิสจู น์วา่ P(k +1) เป็นจริงดว้ ย จากตารางท่4ี .1 พบวา่ u(pn ) = u(pn−1 )+ (n −1) เนื่องจาก u(pk ) = 1 (k 2 − k) 2 ได้ว่า ( )u(pk ) + k =1 2 k2 −k +k = 1k2 − 1k + 2k 2 22 = 1k2 + 1k 22 = 1 (k 2 + k ) 2  จาก 1 u( pk+1 ) = 2 (k + 1)2 − (k + 1) = 1 (k 2 + 2k +1)− (k +1) 2  = 1 k 2 + 2k +1 − k −1 2 = 1 (k 2 + k ) 2 ดังน้ัน P(k +1) เป็นจรงิ โดยหลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตรส์ รุปได้ว่า P(n) เปน็ จรงิ สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n เมือ่ n  2 สรปุ ผลการวจิ ัย จากการศึกษาความสวยงามทาคณิตศาสตร์ของจำนวนสี่เหลี่ยม โดยใช้สมบัติทางคณิตศาสตร์ได้แก่ จำนวนเชิงรปู ส่เี หล่ียม จำนวนเชิงรูปสามเหล่ยี ม ลำดบั เลขคณติ อนุกรมเลขคณิต ลำดับพหุนามและการพิสูจน์แบบ อปุ นยั เชงิ คณิตศาสตร์ สามารถสร้างทฤษฎีบททเ่ี กยี่ วกบั จำนวนเชิงรูปสีเ่ หลีย่ ม 6 ทฤษฎีบท ดงั น้ี ทฤษฎบี ทท่ี 1 กำหนด Sn−1, Sn เป็นจำนวนเชงิ รูปสเ่ี หล่ียม จะได้ Sn−1 + Sn = 2n2 − 2n +1 เมื่อ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทที่ 2 กำหนด Sn−1, Sn เป็นจำนวนเชงิ รปู ส่เี หลีย่ ม จะได้ Sn − Sn−1 = 2n +1 เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวก 9

10 ทฤษฎบี ทที่ 3 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชิงรปู สเ่ี หลยี่ ม จะได้ Sm+n = Sm + Sn + 2mn เมือ่ m และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทท่ี 4 กำหนด Sm , Sn เปน็ จำนวนเชิงรปู สเ่ี หลย่ี ม จะได้ Sm−n = Sm + Sn − 2mn เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทที่ 5 Sn เปน็ จำนวนสี่เหลยี่ มกต็ ่อเมอ่ื 8 S n + n +1 เปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ 2  ทฤษฎีบทท่ี 6 สำหรับจำนวนเชิงรูปห้าเหลย่ี ม pn และ u(pn ) แทน จำนวนรปู หา้ เหลยี่ ม จะได้ u(pn ) = (1 n2 − n) เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวก 2 เอกสารอา้ งอิง กวยิ า เนาวประทีป.(2547).ลำดบั พหนุ าม.กรุงเทพฯ:ฟสิ กิ สเ์ ซ็นเตอรม์ สนพ. นฤพนธ์ นพคุณ(2556).จํานวนเชิงรปู หลายเหลี่ยม.https://coolaun.com/math/pascal_tri/ poly_no/. คนเมื่อ 4 มกราคม 2562 อนุสรณ์ จติ มนสั .(2548).หลกั การคณติ ศาสตร์.นครศรีธรรมราช:คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี อนสุ รณ์ จติ มนสั , วลษิ า อนิ ทรภกิ ด์ิ, และ ณฎั ฐณิ ยี ์ คงนวล. (2561). ความสัมพนั ธ์ระหว่างจำนวนรูปสามเหลย่ี ม ดา้ นเท่ากบั จำนวนเชิงรปู สามเหลีย่ มและจำนวนรูปสเ่ี หล่ียมมมุ ฉากกับจำนวนเชงิ รูปส่ีเหลยี่ ม. วารสาร วทิ ยาศาสตร์ มข., 46 (2), 383-392. Beer Piranan.(2014). ลำดับและอนุกรมเลขคณติ . [ออนไลน์]. เข้าถึงไดจ้ าก https://www.scribd.com/document/238247963/3.[2562, กรกฎาคม 19] Mulatu Lemma.(2015). The Mathematical Beauty Of Triangular Numbers. [ออนไลน]์ . เข้าถึงไดจ้ าก https://www.huichawaii.org/assets/mulatu%2C-lemma3---2015 [2562, มกราคม 2] 10

39 ประวัตผิ ู้จัดทำโครงงาน 1. ช่อื -นามสกุล(ภาษาไทย) นายชชั วาล ทองสง่ โสม ชื่อ-นามสกุล(ภาษาองั กฤษ) Mr.Chatchawan Tongsongsom 2. ท่อี ยู่ท่ีสามารถติดต่อได้ 32 ม.11 ตำบลท่าขนาน อำเภอเชียรใหญ่ จังหวัดนครศรีธรรมราช รหสั ไปรษณ๊ย์ 80190 3. เบอร์โทร 095-3283714 4. Facebook Chatchawan Tongsongsom 5. E-mail [email protected] 6. ประวัตกิ ารศกึ ษา ปที ่ีสำเร็จการศึกษา ระดบั การศกึ ษา แผนการศึกษา ชอ่ื สถาบัน 2553 ประถมศกึ ษา - โรงเรียนบ้าน บางพระ 2556 มธั ยมศึกษาตอนต้น - โรงเรยี นเชยี รใหญ่ 2559 มธั ยมศกึ ษาตอน วทิ ย์-คณติ โรงเรียนเชยี รใหญ่ ปลาย 39