Τυπολόγιο Φυσικής Λυκείου

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ



Τυπολόγιο Φυσικής 3Γενικά ΘέματαΔιεθνές Σύστημα (S.I.) Μέγεθος Σύμβολο Μονάδα Σύμβολο L mΜήκος m μέτρο meter Kg t secΜάζα χιλιόγραμμο Kilogram i AΧρόνος δευτερόλεπτο secondΈνταση T Kρεύματος Αμπέρ Amperes moleΘερμοκρασία I φ Βαθμός Κέλβιν Kelvin cdΠοσότητα μολ mole rad Candela srΈνταση φωτός Καντέλα radian ακτίνιο steredianΕπίπεδη γωνίαΣτερεά γωνίαΠολλαπλάσια – ΥποπολλαπλάσιαΠολλαπλάσια Υποπολλαπλάσιαdeka da = 101 deci d = 10-1 h = 102 c = 10-2hecto centiKilo K = 103 milli m = 10-3 M = 106 μ = 10-6Mega microGiga G = 109 n = 10-9 nano T = 1012 pico p = 10-12TerraPeta P = 1015 f = 10-15Exa E = 1018 femto atto a = 10-18Παραδείγματα χρήσης Πολλαπλασίων—Υποπολλαπλασίων:12 cm = 12 10-2 m = 0,12 m220 μm = 220·10-6 m15 KW = 15·103 W200 nF = 200·10-9 FΜονάδες εμβαδού όγκουΤυπικά είναι το m2 και το m3. Οι μετατροπές από τις βασικές μονάδες γίνονται ως εξής: cm = 10-2 m ⇔ (cm)2 = (10-2 m)2 ⇔ cm2 = 10-4 m2 mm = 10-3 m ⇔ (mm)3 = (10-2 m)3 ⇔ mm3 = 10-6 m3Ακόμα ισχύουν: 1 L = 10-3 m3, 1 m3 = 103 L 1 L = 103 mL, 1 mL = 10-3 L 3

4 Τυπολόγιο ΦυσικήςΚινήσειςΑ. Σε ευθεία γραμμήΧρειαζόμαστε ένα αριθμό x που είναι η απόσταση του σώματος από την αρχή των αξόνων, με το πρόσημότου. Αν γνωρίζουμε την συνάρτηση x(t) δηλαδή τις θέσεις του σημείου κάθε χρονική στιγμή τότε έχουμεπεριγράψει πλήρως την κίνηση. Η συνάρτηση x=x(t) ονομάζεται εξίσωση κίνησης. - Oi Μ (x) +Β. Σε επίπεδο y A yA A(xA, yA)Χρειαζόμαστε δύο αριθμούς x και y που είναι οιαπoστάσεις του σώματος από την αρχή των αξό- O xA xνων στον x άξονα και τον y άξονα αντίστοιχα.Το x λέγεται τετμημένη και το y τεταγμένη, καιοι δύο μαζί συντεταγμένες.Η δυάδα (x(t), y(t)) προσδιορίζει πλήρως τηνθέση του σώματος στο επίπεδο την χρονικήστιγμή t. Γ. Στον χώρο z zAΧρειαζόμαστε τρεις αριθμούς x y και z που είναιη απoστάσεις του σώματος από την αρχή των A(xA,yA,zAαξόνων στον x τον y και στον z άξονα αντίστοι-χα.Ηrr(t ) τριάδα των εξισώσεων κίνησης Ο xA =(x(t),y(t),z(t)) προσδιορίζει πλήρως την x yAθέση του σώματος στον χώρο την χρονική στιγ- y A’μή t.Μετατόπιση ΔxΕίναι ένα διάνυσμα από την αρχική μέχρι την Τροχιάτελική θέση τuΔοurrυ=σurώr2μ−αurτr1οςό. πΓοευνιτκαά δίνεται από Μετατόπιση ΑΓτην σχέση διανύσματα Γr1 και r2 είναι τα διανύσματα θέσης του σώμα- Ατος στην τελική και αρχική θέση αντίστοιχα.Σε ευθεία γραμμή ισχύει σε μέτρα Δx = x2-x1Διάστημα SΕίναι το συνολικό μήκος της τροχιάς του σώματος. Είναι μονόμετρο μέγεθος.Ταχύτητα u (Velocity) uΔurr ΔtΕίναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ενός σώματος. ur = όπου r το διάνυσμα θέσης του σώματος. (Δεςσχήμα στην καμπυλόγραμμη κίνηση σελ 11)4

Τυπολόγιο Φυσικής Δuuxr 5 ΔtΣε ευθεία γραμμή ur = και με μέτρο u = x2 − x1 ή και απλούστερα u = x t2 -t1 tΜονάδα m/sec2 Δuurr ή αλλιώς η παράγωγος της θέσης ru(utur)Στιγμιαία: ur = όριο Δt Δt →0Μέση Ταχύτητα: u = uμ = Sολ t ολΕυθύγραμμη Ομαλή ΚίνησηΟρισμός: Είναι η ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή σε μέτρο και φορά ταχύτητα. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ⇔ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΑΘΕΡΗΕξισώσεις ή x = xo + ut ή x = ut (αν xo=0) u = σταθερή x = xo + u(t – to)όπου xo η αρχική θέση του σώματος (την to=0 sec)∆ιαγράμματα Διάγραμμα Ταχύτητας—Χρόνου Διάγραμμα Θέσης—Χρόνου U (m/sec) (ή μετατόπισης—χρόνου ή διαστήματος—χρόνου) S (m) 20 10 0 t (sec) 0 24 t (sec) Η ταχύτητα ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται Ευθεία γραμμή στο διάγραμμα x-t σημαίνει σταθε- ρή ταχύτητα άρα Ε.Ο.Κ. ή ακίνητο σώμα. 5

6 Τυπολόγιο ΦυσικήςΕπιτάχυνσηΦυσικό μέγεθος που μας δΔόtερ→ίιοχ0 νΔuΔεuιurtπόσΠοιογραήπγλοάρ:ααrα=λλuΔΔάuζurtειήτοαδ=ιάΔΔνuυt σ=μαut 22τ--ηtuς11 ταχύτητας uΗ στιγμιαία τιμή της αr =Μονάδα m/sec2Το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι ίδιας κατεύθυνσης με αυτό της μεταβολής της ταχύτητας uΔuur , άρα: Η επιτάχυνση α έχει την ίδια φορά α με την ταχύτητα όταν αυτή αυξάνε- ται (επιτάχυνση) Ο Uo U Η επιτάχυνση α έχει την αντίθετη +x φορά με την ταχύτητα όταν αυτή μειώνεται (επιβράδυνση) α Ο Uo U +xΕυθύγραμμη Ομαλά επιταχυνόμενη κίνησηΕίναι η κίνηση στην οποία το σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή και η επιτάχυνσή του α είναι σταθερή.ήΕυθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν το διάνυσμα ar της επιτάχυν-σής του είναι σταθερό. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ⇔ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗ∆ιαγράμματα U α 8 16 5 t 8 04 0 4 79 t -2 Διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου Διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου Διαγράμματα θέσης – χρόνου xx t t επιτάχυνση επιβράδυνσηΕξισώσεις Ευθύγραμμης Ομαλά Επιταχυνόμενης κίνησης Εξισώσεις Ε.Ο.Ε.Κ. με αρχική ταχύτητα (uo ≠ 0)6

Τυπολόγιο Φυσικής 7 Επιτάχυνση (α>0) Επιβράδυνση (α<0) α = σταθερή α = σταθερή u =uo + αt u =uo - αt 1 1 αt2 Δx = uot + 2 αt2 Δx = uot - 2 Εξισώσεις Ε.Ο.Ε.Κ. χωρίς αρχική ταχύτητα (uo = 0) Επιτάχυνση (α>0) Επιβράδυνση (α<0) α = σταθερή u =αt (Δεν γίνεται!) Δx = 1 αt2 2Υπολογισμός μεγεθών από τα διαγράμματαα 8 Επιτάχυνσης – Χρόνου5 t ¾ Το εμβαδό από το γράφημα μέχρι τον άξονα04 του χρόνου μας δίνει την μεταβολή της ταχύτη--2 τας ΔuU Ταχύτητας – Χρόνου16 ¾ Το εμβαδό από το γράφημα μέχρι τον άξονα8 του χρόνου μας δίνει την μετατόπιση Δx0 4 79 t ¾ Η κλίση της ευθείας μας δίνει την επιτάχυνση α= u2 − u1 t2 − t1S (m) Θέσης – Χρόνου10 ¾ Η κλίση της ευθείας μας δίνει την ταχύτητα του 0 24 σώματος. u= x2 − x1 t2 − t1 t (sec) 7

8 Τυπολόγιο Φυσικής∆ύναμη(Force) αιτία που προκαλεί την παραμόρφωση των σωμάτων ή την μεταβολή της κινητικής τους κατάστα-σης.Μονάδα Newton = Kg⋅m/sec2 ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ F1 F2 Fολ F1 F2 Ομόρροπα διανύσματα Fολ Fολ=F2+F1 Αντίρροπα διανύσματακαι έχει την φορά της μεγαλύτερης Fολ=F2-F1 και έχει την φορά της μεγαλύτερης F1 Fολ Ν Fολ F1 Μ F1ημφ θ φ θ π-φ φ F2 Ο F2 Κ Λ Διανύσματα κάθετα F1συνφ Fολ = F12 + F22 εφθ = F1 Διανύσματα σε τυχαία γωνία φ F2 Fολ = F12 + F22 + 2F1F2ημφ εφθ = F1ημφ F2 + F1συνφΑνάλυση διανύσματος σε συνιστώσες: Προσοχή: Η συνιστώσα που πρόσκειται (ακουμπάει) y στη γωνία θ παίρνει το συνημίτονο και αυτή F που είναι απέναντι από τη γωνία θ παίρνει το ημίτονο.Fy = Fημθ θ Ο Fx = Fσυνθ xΝόμος HookeΗ ελαστική παραμόρφωση των σωμάτων είναι ανάλογη της αιτίας που την προκάλεσε. F=Kx, όπου K : σταθερά ελατηρίου, x : παραμόρφωση ελατηρίου.Ο Α’ νόμος NewtonΚάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ακινησίας ή ευθύγραμμης ομαλής κίνησης αν δεν ασκείται σε αυτό δύναμη.8

ΤυπΣuοuλFurό=γιο0r Φυσικής 9 ⇔ Ακινησία ή Ε. Ο. Κ.Ο Β’ Νόμος NewtonΗ ασκούμενη σε ένα σώμα δύναμη προκαλεί επιτάχυνση με την κατεύθυνση της δύναμης και μέτρο ίσο με το πηλίκο τηςδύναμης πΣuuρFuοrς την μάζα του σώματος αr = m ή ΣuuFur = mαrΓενικότερος ορισμός: uΣuFur = Δuupr (δύναμη = ρυθμός μεταβολής της ορμής) ΔtΣε άξονες x και y η σχέση γίνεται:ΣFx=max και ΣFy=mayΠιο απλά: F = mαΣυνέπειες από τον β΄ νόμο της κίνησης:— Σταθερή δύναμη ⇔ Σταθερή επιτάχυνση άρα Ε.Ο.Ε.Κ. Επιτάχυνση μηδέν άρα Ε.Ο.Κ.— Δύναμη μηδέν ⇔ Μεταβλητή επιτάχυνση— Μεταβλητή δύναμη ⇔Ο Γ’ Νόμος NewtonΑν ένα σώμα Α ασκεί δύναμη FAB σε ένα άλλο σώμα Β, τότε και το Β ασκεί στο σώμα Α μία ίσου μέτρου και αντίθετηδύναFrμAηB=FB-AFr.B:AΝόμος Παγκόσμιας έλξης Newton:F=G m1m 2 m1 r m2 r2G : σταθερά της παγκόσμιας έλξης F1 F2G = 6,673⋅10-11 Νm2Kgr-2 Ο νόμος ισχύει για σημειακές μάζες ή για τέλειεςr : απόσταση των δύο σημειακών και ομογενείς σφαίρες ή για ομογενείς φλοιούςμαζών ή των κέντρων τουςΣτατική Τριβή: 0 ≤ Τσ ≤ Τσ,max όπου Tσ,max=μσFkόπου:μσ : συντελεστής στατικής τριβήςFk : κάθετη δύναμη που συμπιέζει τις δύο επιφάνειες που εφάπτονται. 9 Η στατική τριβή είναι πάντοτε αντίθετη με την (οριζόντια) δύναμη που τείνει να κινήσει το σώμα εφόσον Τσ < Τσ,max 9 Η στατική τριβή είναι πάντοτε παράλληλη στο επίπεδο επαφήςΤριβή Ολίσθησης:T = μοFk ισχύει μο≈μσ (μο≤μσ) 9 Η τριβή ολίσθησης έχει πάντα τιμή Τ= μοFk και είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα ολίσθησης και το εμβαδό επαφήςΟρμή (Momentum)ορισμός pr=murΟλική ορμή συστήματοςΕίναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων του συστήματος 9

10 Τυπολόγιο ΦυσικήςΑρχή διατήρησης ορμήςΑν σε ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (ή ασκούνται αλλά η συνισταμένη τους είναι μηδέν)τότε η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Αν ΣFεξ=0 τότε pαρχ=pτελ(Δες ακόμα τις κρούσεις σελ. 43)Ώθηση Δύναμης – Θεώρημα Ώθησης - ΟρμήςΑπόpΔuruατprροχ=ν+βΣuΩuu’rFurνΔ=όμtprοτκελαNιeθwέτtοoνnτα(γςεΏνικθήησμηορΩuφrή=) έΣuχuFοurυΔμtε:έχουμε Δuupr = Ωur ή(Θεώρημα Ώθησης — Ορμής)Οι Τέσσερις Δυνάμεις της Φύσης Ηλεκτρομαγνητική Ισχυρή Πυρηνική Είναι υπεύθυνη για την σταθερότητα των πυρήνων Είναι υπεύθυνη για την σταθερότητα των ατόμων. Συγκρατεί τα νουκλεόνια (πρωτόνια, νετρόνια) Δρα σε άπειρη απόσταση. στον πυρήνα. Δρα σε πολύ μικρές αποστάσεις <10-15 Σωματίδιο φορέας: Φωτόνιο (photon) Σωματίδιο φορέας: Γλοιόνιο (gluon) Ασθενής Πυρηνική Βαρύτητα Είναι υπεύθυνη για την β ραδιενεργή διάσπαση Είναι υπεύθυνη για τον σχηματισμό των αστέρων των πυρήνων, και για τις διασπάσεις των λεπτονί- των γαλαξιών και καθορίζει την εξέλιξη του σύ- ων. Δρα σε πολύ μικρές αποστάσεις <10-18 μπαντος. Δρα σε άπειρη απόσταση. Σωματίδιο φορέας: Ενδιάμεσα διανυσματικά μποζό- Σωματίδιο φορέας: Βαρυτόνιο (Graviton) (δεν νια W+, W-, Zο έχει παρατηρηθεί ακόμα)10

Τυπολόγιο Φυσικής 11Κυκλική κίνησηΠερίοδος Τ : Χρόνος για ένα κύκλοΣυχνότητα f : Αριθμός κύκλων ανά sec f = αριθμός στροφών = N , μονάδα Hz=s-1 αντίστοιχος χρόνος tΣχέση συχνότητας - περιόδου: f= 1 T Γραμμική ταχύτητα u Γωνιακή ταχύτητα ω Ορισμός: u= ΔS Ορισμός: ω= Δφ Δt Δt u = 2πR και u =2πRf ω = 2π και ω = 2πf T T μονάδα: m/sec μονάδα: rad/sec ΔS ω R u Δφ uΗ γραμμική ταχύτητα u είναι πάντοτε εφαπτόμενη Η γωνιακή ταχύτητα είναι αξονικό διάνυσμα! Ασκείται στην τροχιά της κίνησης. πάνω στον άξονα περιστροφής και όχι στο σώμα. Είναι κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής κίνησης και η φορά της καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού ή του δεξιόστροφου κοχλία. Σχέση γραμμικής - γωνιακής ταχύτητας : u = ωRΚεντρομόλος επιτάχυνση:Είναι η επιτάχυνση που έχει ένα σώμα λόγω αλλαγής της κατεύθυνσής ατου. Είναι πάντα κάθετη στη γραμμική ταχύτητα u, άρα έχει τη διεύ-θυνση της ακτίνας, και φορά προς το κέντρο της κυκλικής κίνησης. u R u2 ακ= RΚεντρομόλος δύναμη:Η αναγκαία και ικανή δύναμη για να κάνει ένα σώμα κυκλική κίνηση. Εχει την διεύθυνση της ακτίνας και φο-ρά προς το κέντρο της κυκλικής κίνησης: mu 2 R Fκ=mακ ⇔ Fκ=Ο β’ νόμος Newton στην κυκλική κίνηση: mu 2 R ΣFR=Fκ = Δηλαδή η συνισταμένη των δυνάμεων στην διεύθυνση της ακτίνας είναι η κεντρομόλος δύναμηΓενική Καμπυλόγραμμη ΚίνησηΣτην καμπυλόγραμμη κίνηση η θέση περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης r ως προς σύστημα αξόνων xΟy,και η =ταdduχurrtύτητα του σώματος ορίζεται ως η παράγωγος (ρυθμός μεταβολής) του διανύσματος θέσης r: ur 11

12 Τυπολόγιο ΦυσικήςΑρα η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στην τροχιάΗ επιτάχυνση στην καμπυλόγραμμη κίνηση σχηματίζει γωνία φ με την ταχύτητα, που είναι πάντα εφαπτό-μενη στην τροχιά. Η επιτάχυνση α αναλύεται σε δύο συνιστώσες όπως φαίνεται στο σχήμα:Επιτρόχια επιτάχυνση (αε//u) Μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας uΚεντρομόλος επιτάχυνση (ακ ∟u) Μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας u y αε u Τροχιά σώματος Δr ακ α ro r Υποθετικός κύκλος ακτίνας R x O Για την συνιστώσα ακ ισχύει πάλι ακ= u2 όπου R η ακτίνα του υποθετικού κύκλου (ακτίνα καμπυλότη- R τας της τροχιάς στο θεωρούμενο σημείο) Για την επιτρόχια ισχύει ΣFε = mαε12

Τυπολόγιο Φυσικής 13Έργο - Ενέργεια F SΈργο σταθερής δύναμης W=FSσυνφ (κανονικά W=Fur ⋅ Sr ) φ όπου: F F: η δύναμη που δρα στο σώμα S: η μετατόπιση του σώματος F1 φ: η γωνία F και S. Μονάδα Joule ( J = Newton⋅m)Έργο μεταβλητής δύναμης F=ƒ(x)Βρίσκεται από το εμβαδό της γραφικής παράστασηςF=ƒ(x) μέχρι τον άξονα x.W = εμβαδό στο F=ƒ(x) διάγραμμα. Δx xΈργο Τριβής: S T φ=90 W=TSσυν180 ή W=-TSΈργο Ελατηρίου (από x1 έως x2) :Wελ = 1 Κx12 - 1 Κx22 Θ.Φ Μ. 2 2Tα x1, x2 είναι μετρημένα από την θέση φυσικού μή- Κκους του ελατηρίου. (Θ.Φ.Μ.)(Ο τύπος δίνει αυτόματα και το πρόσημο του έργου) x1 x2Ενέργεια (Energy)Θεμελιώδες μέγεθος, άνευ ορισμού. Έχει διάφορες μορφές. Ένα σώμα έχει ενέργεια όταν μπορεί κάτω απόκατάλληλες προϋποθέσεις να μας δώσει έργο, φως, θερμότητα.Μονάδα Joule, J = Newton⋅mΙσοδυναμία Μάζας – ΕνέργειαςΜία ποσότητα μάζας m αντιστοιχεί σε ενέργεια Ε=mc2 (Einstein 1905). Σύμφωνα με την ειδική θεωρίατης σχετικότητας του Αϊνστάιν, η μάζα και η ενέργεια είναι οι δύο όψεις ενός νομίσματος. Η μάζα μπορείνα μετατραπεί σε ενέργεια (εξαΰλωση ηλεκτρονίου – ποζιτρονίου) και η ενέργεια σε μάζα (π.χ. δίδυμη γέ-νεση σωματιδίου – αντισωματιδίου). 13

14 Τυπολόγιο ΦυσικήςΔυναμική Ενέργεια (Potential Energy)Μέγεθος που ορίζεται μόνο για τις συντηρητικές δυνάμεις έτσι ώστε όταν μετακινήσουμε ένα σώμα από ένασημείο Α του πεδίου σε ένα σημείο Β η αρνητική μεταβολή του ΔUAB να είναι ίση με το έργο της συντηρη-τικής δύναμης του πεδίου για την μετακίνηση ΑΒ ή ΔUΑΒ = - WΑ→ΒΔυναμική Ενέργεια βαρύτητας UB = mg(hαρχ—hτελ) ή UB = mghΔυναμική Ενέργεια Ελατηρίου UEλ= 1 Κx2 2 To x μετρημένο από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργειαδύο σημειακών φορτίων q1 και q2 που απέχουν απόσταση r q1q 2 U = K rΚινητική Ενέργεια (Kinetic Energy) Κ = 1 mu2 2Συντηρητικές Δυνάμεις (Conservative)Είναι αυτές που το έργο τους για μία κλειστή διαδρομή είναι μηδέν, ήΕίναι αυτές που το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής.Τέτοιες δυνάμεις είναι: Βαρυτική, ηλεκτρική (Coulomb), ελατηρίου, κάθε σταθερή δύναμηΔΕΝ είναι συντηρητικές: Τριβή, αντίσταση, δύναμη ανθρώπου, μαγνητική δύναμηΜόνο όταν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές ορίζεται δυναμική ενέργεια για το πεδίο τουςΜηχανική Ενέργεια Ε=Κ+UΑρχή Διατήρησης Μηχανικής ΕνέργειαςΌταν σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις (ή η συνισταμένη των μη συντηρητικών δυνάμε-ων είναι μηδέν) τότε η Μηχανική Ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή, δηλαδή Ετελ = Εαρχ ή Κ1 + U1 = K2 + U2Μεταβολή της Μηχανικής ΕνέργειαςΗ μεταβολή της Μηχανικής ενέργειας σε ένα σύστημα πάντα ισούται με το έργο των μη συντηρητικών δυ-νάμεων ΔEΜΗΧ=WΣFμη-συντηρ (= θερμότητα Q)Θεώρημα Έργου—Ενέργειας(ή Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας, Θ.Μ.Κ.Ε.)14

Τυπολόγιο Φυσικής 15Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνά-μεων που ενέργησαν στο σώμα ΔΚ = WΣF Κτελ — Καρχ = WF1+WF2+…(To Θ.Μ.Κ.Ε. ισχύει π ά ν τ α, αρκεί η μάζα του σώματος να παραμένει σταθερή)Αρχή Διατήρησης ΕνέργειαςΣε κάθε απομονωμένο σύστημα σωμάτων η ολική ενέργεια διατηρείται σταθερήΙσχύςΕίναι ο ρυθμός παραγωγής έργου ή ενέργειας:P= ΔW = ΔΕ Δt ΔtΙσχύει ακόμα P = E/tΓια τον (στιγμιαίο) ρυθμό παραγωγής έργου από δύναμη F έχουμε: P = Fu(συνφ)όπου: u η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος και φ η γωνία F και uΜονάδες ισχύος: Watt, W=Joule/sec και HP =750 W (Horse Power = ίππος)Τι εκφράζει το έργο μίας δύναμης:Το έργο εκφράζει μετατροπή ενέργειας από μία μορφή σε άλλη, ή …Το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας από ένα σώμα σε κάποιο άλλο 15

16 Τυπολόγιο ΦυσικήςΗλεκτρισμόςΦορτίο q ή Q (Electric Charge)Θεμελιώδης ιδιότητα της ύλης (άνευ ορισμού). Υπάρχει σε δύο ποσότητες: Θετικό (+) αυτό που εμφανίζεται στο γυαλί όταν το τρίψουμε με μεταξωτό ύφασμα Αρνητικό (-) αυτό που εμφανίζεται στον εβονίτη όταν τον τρίψουμε με μάλλινο ύφασμαΙδιότητες φορτίου: • Τα ομώνυμα απωθούνται, τα ετερώνυμα έλκονται. • Είναι κβαντισμένο μέγεθος, δηλαδή υπάρχει σε πακέτα (κβάντα) στοιχειώδους φορτίου e = 1,6 10-19 C Κάθε φορτίο στη φύση είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της στοιχειώδους ποσότητας e. Άρα Q=Ne όπου Ν ∫ ɹ • Ισχύει η Αρχή Διατήρησης Φορτίου: Το συνολικό φορτίο ενός απομονωμένου συστήματος παραμένει πάντα σταθερό. Το φορτίο δεν δημιουργείται και δεν καταστρέφεται ποτέ.Μονάδα μέτρησης φορτίου: Coulomb C ( = Ampere⋅sec)Νόμος CoulombΗ δύναμη μεταξύ των σημειακών φορτίων (ή φορτισμένων σφαιρών) q1 και q2 είναι: q1q 2 F=K ηλ r2 Κηλ : η ηλεκτρική σταθερά K=9⋅109 Νm2/C2 r : η απόσταση των δύο σημειακών φορτίων ή η διάκεντρος των σφαιρών Κηλ = 1 4πεοε εο : διηλεκτρική σταθερά του κενού (permittivity of free space) εο = 8,85⋅10-12 C2N-1m-2 ε : διηλεκτρική σταθερά του υλικού (αν υπάρχει τέτοιο ανάμεσα στα δύο φορτία)Ηλεκτρικό Πεδίο (Electric Field)Είναι ο χώρος μέσα στον οποίο ασκούνται ηλεκτρικές δυνάμεις. Περιγράφεται από τα μεγέθη ένταση καιδυναμικό.Ένταση Ε (Electric Intensity) F ℰ -q Ένταση Ε σε κάποιο σημείο του πεδίου ονομάζεται το σταθερό πηλίκο της δύναμης που δέχεται ένα υπόθεμα q που βρίσκεται στο σημείο αυτό του πεδί- ου,Eurπ=ρο+ςFurqτο(ουπρόισθμεμόςα) qΜονάδα Ν/C ή V/m. Ισχύει ακόμα Fℰ E = K ηλ Q +q r2όπου: Το διάνυσμα της έντασης Ε Q : η πηγή του πεδίου έχει ίδια φορά με την δύνα- r : η απόσταση πηγής - σημείου μη που δέχεται το θετικό φορτίο16

Τυπολόγιο Φυσικής 17∆υναμικό V (Potential) ∞ Δυναμικό V σε κάποιο σημείο Α ενός πεδίου, ορίζεται ως το έρ- γο της δύναμης του πεδίου για την μετακίνηση ενός υποθέματος q από το θεωρούμενο σημείο Α ως το άπειρο, δια του υποθέμα- τος q.V= WA→∞ (Ορισμός) Α +q +qV = UΑ + +qVA = Kηλ Q (τo φορτίοo πηγή Q με τo πρόσημό του) rA Το έργο WA→∞ είναι ανεξάρτητο τηςUA : η δυναμική ενέργεια του υποθέματος στη θέση Α διαδρομής∆ιαφορά δυναμικού⎫VΑΒ = VA - VB = WA→B (Ορισμός) +qVΑΒ = VA - VB = ΔUAB +qVAB = K ηλ Q ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎜ rA rB ⎟ ⎝ ⎠(Βάζουμε και τα πρόσημα των φορτίων)∆υναμικές γραμμές πεδίου (Field Lines) +- Δυναμικές γραμμές ηλεκτρικού πεδίου που πα- Δυναμικές γραμμές ηλεκτρικού πεδίου που παράγε- ράγεται από ακίνητο θετικό φορτίο -q ται από ακίνητο αρνητικό φορτίο –qΕίναι οι γραμμές που σε κάθε σημείο τους το διάνυσμα της έντασης Ε του πεδίου είναι εφαπτόμενο σεαυτές.Ιδιότητες:⇒ Ξεκινάνε από θετικά και καταλήγουν σε- αρνητικά φορτία.⇒ Είναι ανοιχτές γραμμές (έχουν αρχή και τέλος)⇒ Δεν τέμνονται ούτε εφάπτονται.⇒ Η πυκνότητά τους είναι ανάλογη με το μέτρο της έντασης Ε του πεδίου. 17

18 Τυπολόγιο ΦυσικήςΟμογενές πεδίο Α ℰ ΒΑυτό που το διάνυσμα της έντασης είναι παντούτο ίδιο. Οι γραμμές του ομογενούς πεδίου είναι πα- Γράλληλες και ισαπέχουσες.Ομογενές πεδίο έχουμε στο εσωτερικό του πυ-κνωτή.Πυκνωτής (Capacitor)Διάταξη μεταλλικών πλακών που αποθηκεύει φορτία. Σύμβολο στο κύκλωμα: CΧωρητικότητα C (Capacitance)Είναι το σταθερό πηλίκο C= Q VΜονάδα Farad, F = Coulomb = C Volt VΓια επίπεδο πυκνωτή ισχύει: C = εο ε S lόπου: εο : η διηλεκτρική σταθερά του κενού ε : η διηλεκτρική σταθερά του υλικού S : το εμβαδό των πλακών ℓ : η απόσταση μεταξύ των οπλισμώνΕνέργεια Πυκνωτή U= 1 QV ή U = 1 Q2 ή U = 1 CV2 2 2 C 2∆ιηλεκτρική Σταθερά ε (permittivity)Αν βάλουμε κάποιο διηλεκτρικό υλικό (μονωτή) στο εσωτερικό πυκνωτή με χωρητικότητα Co η χωρητικό-τητα γίνεται C>Co και ορίζουμε ως διηλεκτρική σταθερά του υλικού το πηλίκο ε=Co/C. Είναι καθαρόςαριθμός (χωρίς μονάδες).18

Τυπολόγιο Φυσικής 19Ηλεκτρικό Ρεύμα (Direct Current)Προσανατολισμένη κίνηση φορτίωνΣυμβατική φοράΕίναι η υποθετική φορά κίνησης των θετικών φορτίων, δηλαδή η αντίθετη της κίνησης των ηλεκτρονίων σταμέταλλα.Ένταση Ηλεκτρικού Ρεύματος (Electric Current)Είναι: Ι = Δq/Δt ή πιο απλά i = q/tΜονάδα Ampere, Α (θεμελιώδης)Ηλεκτρική Πηγή (Electric Cell)Διάταξη που θέτει σε κίνηση τα φορτία στους αγωγούς, με δαπάνη κάποιας μορφής ενέργειας.Ηλεκτρεγερτική Δύναμη Πηγής (ΗΕΔ) Ε(Electromotive Force)Ε= P ή E= ΔW I ΔqΕκφράζει την ενέργεια (ΔE ή ΔW) που δίνει η πηγή στο κύκλωμα ανά μονάδα φορτίου. Μονάδα Volt,V=J/CΑντίσταση Αγωγού (Resistance)Εκφράζει την δυσκολία που βρίσκει το ρεύμα στο να περάσει από ένα αγωγό και ορίζεται ως:R= V IΜονάδα Ohm, Ω = Volt/AmpereΓια πρισματικό μεταλλικό αγωγό μήκους ℓ και εμβαδού διατομής S με ειδική αντίσταση ρ (που εξαρτάταιαπό το είδος του υλικού και την θερμοκρασία) ισχύει:R= ρ l SΕξάρτηση της ειδικής αντίστασης ρ από την θερμοκρασία ρ=ρο(1+αθ)όπου: ρ : ειδική αντίσταση σε θερμοκρασία θ ρο : ειδική αντίσταση σε θερμοκρασία 0 οΚ α : θερμικός συντελεστής αντίστασηςοπότε ισχύει: R=Rο(1+αθ)Νόμος του Ωμ, OhmΤο ρεύμα i που περνάει από ένα ωμικό στοιχείο είναι ανάλογο της τάσης V στα άκρα του και αντιστρόφωςανάλογο της αντίστασής του R, ήΙ= V RΠροσοχή: Ο νόμος ισχύει για τα ωμικά στοιχεία που είναι κυρίως οι μεταλλικοί αγωγοί σταθερής θερμο-κρασίας.Νόμος του JouleΗ θερμότητα που παράγεται σε αντιστάτη R που διαρρέεται από ρεύμα i σε χρόνο t είναι: Q=i2Rt 19

20 Τυπολόγιο ΦυσικήςΕνέργεια και Ισχύς Ρεύματος Ενέργεια Ηλεκτρικού Ρεύματος Ισχύς Ηλεκτρικού Ρεύματος E = iVt P = iV E = i2Rt P = i2R E= V2 t P= V2 R RΣυνδεσμολογίες Αντιστάσεων Παράλληλη σύνδεση Σύνδεση σε σειρά R1 i1 V1 V2 V3 R2 i2 R1 R2 R3 R3 i3 i i V V Εξ’ ορισμού: Τότε εξ’ ορισμού έχουμε ίδια τάση Ίδιο ρεύμα i διαρρέει τις αντιστάσεις V1=V2=V3=V i1 + i2 + i3 = i i1=i2=i3 1 1 1 1 V1+V2+V3=V R ολ = R1 + R2 + R3 Rολ=R1+R2+R3Α΄ Κανόνας KirchhoffΤο αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχονται (+) και εξέρχονται (-) για ένα κόμβο είναι ίσο μεμηδέν. Σi = 0(Είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης φορτίου)Β΄ Κανόνας KirchhoffΤο αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών δυναμικού κατά μήκος ενός βρόχου είναι μηδέν. ΣV = 0(Συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας)Νόμος του Ohm στο κλειστό κύκλωμαΣε κλειστό κύκλωμα με πηγή, που έχει ΗΕΔ Ε και εσωτερική αντίσταση r, και εξωτερική αντίσταση R ι-σχύει: i = E r ή E=i(R+r) R+Ενέργειες στο κλειστό κύκλωμαPπηγής = Εi Η ισχύς που παρέχει η πηγή σε ολόκληρο το κύκλωμαPεξ = Vπi Η ισχύς που παρέχει η πηγή στο εξωτερικό κύκλωμα( = i2R )Pεσ = i2r Η ισχύς που παρέχει η πηγή στο εσωτερικό κύκλωμα20

Τυπολόγιο Φυσικής 21Πολική ΤάσηΕίναι η τάση στους πόλους της πηγής. Ισούται με την ΗΕΔ Ε μόνο όταν η πηγή δεν διαρρέεται από ρεύμα ή ότανδεν έχει εσωτερική αντίσταση r Vπ = E — iRΧαρακτηριστικές καμπύλες στοιχείωνΩμικός Αγωγός (Αντιστάτης) Πηγή Μη Ωμικός Αγωγός V V V Ε i i iβρ iΧαρακτηριστική καμπύλη αντι- Χαρακτηριστική καμπύλη πη- Χαρακτηριστική καμπύλη μηστάτη (ακολουθεί τον νόμο του γής.. Η τιμή Ε στον άξονα V ωμικού αντιστάτη. Το ρεύμαΩμ) είναι η ΗΕΔ της πηγής και η δεν ακολουθεί τον νόμο του τιμή iβρ είναι το ρεύμα βραχυ- Ωμ. κύκλωσηςΡεύμα βραχυκύκλωσης iβρ=Ε/rΑμπερόμετροόργανο που μετράει την ένταση του ρεύματος σε ένα κύκλωμα. Μπαίνει πάντα σε σειρά στο κύκλωμα.Βολτόμετροόργανο που μετράει την διαφορά δυναμικού (τάση) δύο σημείων ενός κυκλώματος. Μπαίνει πάντα παράλ-ληλα στο κύκλωμα. 21

22 Τυπολόγιο ΦυσικήςΜαγνητισμός (Magnetism)Φυσικός ΜαγνήτηςΕίναι ο μαγνητίτης λίθος, δηλαδή το Fe3O4Μαγνητικό Πεδίο (Magnetic Field)Είναι ο χώρος στον τοοπδοιίαοναυσσμκοαύτινκτόαιμμέγαεγθνοηςτικBurέςτδηυςνΈάμνετιαςσ. ηΠςητγοήυ του μαγνητικού πεδίου είναι τα κινούμενα φορτίακαι περιγράφεται με Μαγνητικού Πεδίου ή αλλιώς Μαγνητική Επαγωγή.(Magnetic Induction) Μονάδα: Tesla, T=N/AmΔυναμικές γραμμές Μαγνητικού πεδίουΤο διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής B είναι πάντοτε εφαπτόμενο σε αυτές. Ισχύουν: • Είναι κλειστές γραμμές (χωρίς αρχή και τέλος) • Βγαίνουν από τον βόρειο (North N) μαγνητικό πόλο και μπαίνουν στον νότιο (South S) • Δεν τέμνονται ούτε εφάπτονται • Η πυκνότητά τους είναι ανάλογη της έντασης του πεδίου ΒΝόμος Biot-Savart Ένα μικρό τμήμα Δℓ αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα i δημιουργεί σε απόσταση r επαγωγή ΔΒ ΔΒ = μο iΔl ημφ ΔΒ 4π r2όπου: r μο : η μαγνητική διαπερατότητα του κενού (φυσι- Δi φ κή σταθερά) μο=1,26⋅10-6 mKgC-2Μαγνητικό πεδίο Ευθύγραμμου Αγωγού B= μο 2i 4π r rB B = Κμαγ 2i r iόπου: Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου είναι κύκλοι με το Κμαγ : η μαγνητική σταθερά 10-7 Wb/Am κέντρο τους στον αγωγό και το επίπεδό τους κάθετο μο στον αγωγό (στο σχήμα φαίνεται μόνο μία δυναμική Kμαγ = 4π γραμμή)22

Τυπολόγιο Φυσικής 23Μαγνητικό πεδίο Κυκλικού ΑγωγούΣτο κέντρο του κυκλικού αγωγού που διαρρέε- Bται από ρεύμα i δημιουργείται ένταση: rB = μο 2πi i 4π rB = Κμαγ 2πi rΗ φορά του Β βρίσκεται εφαρμόζοντας τον Εναλλακτικά υπάρχει ο κανόνας του δεξιού χε-κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία (βίδα): αν ριού: Αν βάλουμε τον αντίχειρα από το δεξί χέριπεριστρέψουμε μία βίδα για να προχωρήσει να δείχνει την φορά του ρεύματος τότε τα υπό-όπως δείχνει το ρεύμα i τότε η περιστροφή της λοιπα δάκτυλα κυρτωμένα δείχνουν την φορά τουμας δίνει την διεύθυνση του Β. Β.Μαγνητικό πεδίο Σωληνοειδούς (Solenoid)Στο εσωτερικό σωληνοειδούς εμφανίζεται ομο- Bγενές μαγνητικό πεδίο με ένταση: i Β = 4πμΚμαγnI B = μμοnI Β = μμο N I lόπου: Η φορά των γραμμών του ομογενούς πεδίου που δη- μ : η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα μιουργείται στο εσωτερικό του σωληνοειδούς βρίσκεται (αν υπάρχει στο εσωτερικό του πηνίου) με τον κανόνα του δεξιού χεριού: Αν τοποθετήσουμε Ν : αριθμός σπειρών σωληνοειδούς ℓ : μήκος σωληνοειδούς το δεξί χέρι με τα δάκτυλα κυρτωμένα με την φορά του ρεύματος στις σπείρες του σωληνοειδούς ο αντί- χειρας δείχνει την φορά των γραμμών (και τον βόρειο πόλο του ηλεκτρομαγνήτη που δημιουργείται!)Μαγνητική διαπερατότητα μ ενός υλικού (Permeability of medium)Αν σε ένα σημείο ενός μαγνητικού πεδίου βάλουμε κάποιο υλικό τότε η μαγνητική επαγωγή Βο σε εκείνο τοσημείο θα αλλάξει και θα γίνει Β. Ονομάζουμε μαγνητική διαπερατότητα του υλικού το πηλίκο μ=Β/ΒοΑνάλογα με την τιμή του μ τα υλικά διακρίνονται σε: Σιδηρομαγνητικά Παραμαγνητικά Διαμαγνητικά (Ferromagnetic) (Paramagnetic) (Diamagnetic) Al , U, αέρας… Cu, Bi, Hg, νερό, κτλ… Fe, Ni, Co μ>>1 μ>1 μ<1 23

24 FL Τυπολόγιο Φυσικής θ BΔύναμη Laplace Ρευματοφόρος αγωγός που κομμάτι του ℓ Vi βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο και σχηματίζει γωνία θ με τις δυναμικές γραμμές, δέχεται δύναμη ηλεκτρομαγνητική Laplace με τιμή FL=Biℓημθ Όταν ο αγωγός είναι κάθετος στις γραμμές B τότε η δύναμη Laplace είναι μέγιστη και FL=Biℓ Η δύναμη Laplace είναι κάθετη στο επίπεδο πουΠαράλληλος αγωγός με τις γραμμές του πε- σχηματίζει ο αγωγός με τις γραμμές, έχει φορά πουδίου δεν δέχεται δύναμη Laplace καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού και εφαρμόζεται στο μέσο του αγωγού. Ο κανόνας του δεξιού χεριού για την FL : Βάζουμε το δεξί χέρι με τα δάκτυλα όπως οι γραμμές του πεδίου B και τον τεντωμένο αντίχειρα με την φορά του ρεύματος στο κύκλωμα. Τότε η παλάμη δείχνει την φορά της δύναμης Laplace.Δύναμη LorentzΚάθε κινούμενο φορτισμένο σωματίδιο με FLφορτίο q και ταχύτητα u που σχηματίζει γω- φBνία θ με την ένταση Β, δέχεται μαγνητική δύ-ναμη FL = Buqημθ uΤυπικά: q( Bur × ur ) Tο διάνυσμα της δύναμης είναι κάθετο στο επίπεδο που FL = σχηματίζουν οι γραμμές (B) και η ταχύτητα u και έχει φο- ρά που καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. ΟΓενικά η δύναμη (ηλεκτρική και μαγνητική) κανόνας εφαρμόζεται όπως και στην δύναμη Laplace. Καισε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο δίνεται από πάλι ο αντίχειρας δείχνει το ρεύμα i που υποτίθεται ότιτον τύπο: δημιουργεί η κίνηση του φορτίου και ΟΧΙ την ταχύτητα u. FL = q(Eur + Bur × ur ) Για θετικό φορτίο το ρεύμα i και η ταχύτητα u είναι ομόρ- ροπα, για αρνητικό φορτίο είναι αντίρροπα.24

Τυπολόγιο Φυσικής 25Μαγνητική Επαγωγή (Electromagnetic Induction)Είναι ο φαινόμενο της εμφάνισης ηλεκτρικής τάσης στα άκρα κυκλώματος στο οποίο μεταβάλλεται η μα-γνητική ροή Φ που το διαρρέει.Μαγνητική Ροή Φ (Magnetic Flux)που διέρχεται από μία επιφάνεια S η οποία σχηματίζει γωνία α με nτις μαγνητικές γραμμές στο ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικήςεπαγωγής Β, είναι το μΦον=όμBurε⋅τSrρο φυσικό μέγεθος που έχει μέτρο Sα Φ = BSσυνα ή Βόπου: Το διάνυσμα n είναι κάθετο στην Β : μαγνητική επαγωγή επιφάνεια S. Η ροή Φ εκφράζει το S : εμβαδό επιφάνειας (θεωρείται διάνυσμα) πλήθος των γραμμών που διέρχο- α : η γωνία που σχηματίζει η κάθετος στην επιφάνεια με τις νται από την επιφάνεια. γραμμές του πεδίουΜονάδα: Weber, Wb = Tesla·m².Νόμος Επαγωγής (Faraday)Η ΗΕΔ Ε από επαγωγή είναι ανάλογη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής ΦΕεπ=- ΔΦ ΔtΣτιγμιαία ΗΕΔ από επαγωγήΕεπ=- όριο ΔΦ =- dΦ Δt dt Δt →0Το μείον πρόσημο εξηγείται με τον κανόνα του LenzΚανόνας του LenzΤο επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά ώστε να αντιστέκεται στο αίτιο που το προκάλεσε. Είναι συνέπεια τηςαρχής διατήρησης της ενέργειας και ερμηνεύει το πρόσημο μείον στον Νόμο Faraday.Επαγωγικό φορτίο (Νόμος Von Neumann)Το επαγωγικό φορτίο είναι ανεξάρτητο της ταχύτητας μεταβολής της ροής και εξαρτάται μόνο από την με-ταβολή της ροής ΔΦ.Qεπ=- ΔΦ RΑυτεπαγωγή (Self-Induction)Λέγεται το φαινόμενο εμφάνισης ΗΕΔ σε κάποιο πηνίο λόγω μεταβολής Lτης έντασης Ι του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. Στην περίπτωσηαυτή ισχύει: RΕαυτ=-L Δi Διάταξη στην οποία μπο- Δt ρούμε να παρατηρήσουμεL = συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου με μονάδα Henry (Ανρί) το φαινόμενο της αυτεπα- (Η = VsecA-1)Για σωληνοειδές πηνίο ισχύει: γωγήςL = μμοΑΝ2/ℓμ : (αν υπάρχει) η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήναμο : η μαγνητική διαπερατότητα του κενούΑ : το εμβαδό της σπείρας του πηνίουΝ : ο αριθμός των σπειρών του πηνίου 25

26 Τυπολόγιο Φυσικής ℓ : το μήκος του πηνίουΕνέργεια από αυτεπαγωγήΠηνίο που διαρρέται από ρεύμα i έχει αποθηκευμένη ενέργεια (μαγνητικού πεδίου) UB = 1 Li 2 2Αμοιβαία Επαγωγή Πηνίων (Mutual Inductance)Σε δύο συζευγμένα πηνία (που η μαγνητική ροή που περνάει από το ένα (1) περνάει κατά ένα μέρος της και από τοδεύτερο (2)) η ΗΕΔ από επαγωγή που εμφανίζεται στο (2) λόγω της μεταβολής της έντασης του ρεύματος iστο πηνίο (1) δίνεται από την σχέση: Εαμ =-Μ Δi Δt M : συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής που εξαρτάται μόνο από την γεωμετρία των δύο πηνίων και το υλικό ανάμεσά τουςΝόμος επαγωγής σε κινούμενο αγωγόΗ διαφορά δυναμικού που σχηματίζεται στα άκρα αγω- Aγού μήκους ℓ που κινείται με ταχύτητα U και σχηματί- Βζοντας γωνία φ με τις δυναμικές γραμμές urτο)υεοίνμαοι γφε)νοεύίς-μαγνητικού πεδίου Β (ή όταν η γωνία ( l, U φναι: Γ Ε= ΒUℓημφΗ πολικότητα της Εεπ σε αγωγό καθορίζεται από τηνδύναμη Laplace (Lorenz) που δέχεται κάποιο υποθετικόθετικό φορτίο στον αγωγό.Περιστροφή αγωγούΣε αγωγό που περιστρέφεται με διάνυσμα ω παράλληλο στις γραμμές του πεδίου σχηματίζεται ΗΕΔ απόεπαγωγή: Eεπ = 1 Β ω ℓ² 2 Β ω Δφ u26

Τυπολόγιο Φυσικής 27Εναλλασσόμενο Ρεύμα (Alternating Current)Περιγράφεται από την εξίσωση V=VoημωtVo : η μέγιστη τιμή της τάσηςΣε ωμικό αντιστάτη R το ρεύμα i είναι i=Ioημωt VoΙο : η μέγιστη τιμή της έντασης Ιο= RΕνεργός τιμή Έντασης (Effective value)Είναι η τιμή του υποθετικού συνεχούς ρεύματος το οποίο μας δίνει το ίδιο ποσό θερμότητας με το εναλ-λασσόμενο αν εφαρμόζεται στην ίδια αντίσταση για τον ίδιο χρόνοΙεν = Io 2Ιεν=0,707 ΙοΕνεργός τιμή ΤάσηςΕίναι η συνεχής τάση που δίνει τιμή έντασης ίση με την ενεργό τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου.Vεν = Vo 2Vεν=0,707 VοΝόμος του Ohm για το εναλλασσόμενο ΡεύμαΙσχύει για τις στιγμιαίες, τις ενεργές τιμές και τα πλάτη:i= V , Io= Vo , Iεν= Vεν R R RΣύνθετη αντίσταση Z (Εμπέδηση) (Impedance)Ονομάζεται το πηλίκο Z= Vo = Vεν που παρατηρείται στα άκρα ενός στοιχείου. Ιο ΙενΕμπέδηση Πυκνωτή (Capacitance)ZC= 1 CωΕμπέδηση Πηνίου (Inductance) ΖL = LωΕμπέδηση Αντιστάτη (Resistance) ΖR = RΚύκλωμα με ΠυκνωτήΗ τάση του πυκνωτή VC καθυστερεί κατά π/2 σε σχέση με το ρεύμα i στο κύκλωμαΚύκλωμα με ΠηνίοΗ τάση του πηνίου VL προηγείται κατά π/2 σε σχέση με το ρεύμα i στο κύκλωμαΚύκλωμα με ΑντιστάτηΗ τάση του αντιστάτη VR είναι συμφασική με το ρεύμα i στο κύκλωμα 27

28 Τυπολόγιο ΦυσικήςΚύκλωμα RLC (αντίσταση, πηνίο, πυκνωτής)Από το σχήμα έχουμε:Vολ = ( VL − VC )2 + VR2 ή VL Vολ VL-VC VRVολ = Ι2 ⎛ Lω − 1 ⎞2 + (ΙR )2 και φ ⎝⎜ Cω ⎟⎠ VC iΖ= ⎛ Lω − 1 ⎞2 + R2 ⎜⎝ Cω ⎟⎠και η διαφορά φάσης φ έντασης-τάσης: Ανυσματικό διάγραμμα για κύκλωμα RLCσυνφ= R ZΑν i=Ιημωt τότε v=Vολημ(ωt+φ) όπου τα Vολ και φδίνονται από τις προηγούμενες σχέσεις.Ισχύς Εναλλασσόμενου (Power)Η στιγμιαία ισχύς δεν έχει πρακτική αξία αφού είναι συνεχώς μεταβλητή P=ivΜέση ισχύς (Effective Power) Pμ=ΙενVενσυνφόπου φ : η διαφορά φάσης έντασης-τάσης στο κύκλωμα.Συντονισμός στο RLC κύκλωμαΑν συμβεί ΖL=ZC τότε VL=VC οπότε στο κύκλωμα έχουμε Vολ=VR και φ=0. Το ρεύμα και η μέση ισχύςμεγιστοποιούνται. Το φαινόμενο αυτό λέγεται συντονισμός του κυκλώματος RLC και παρατηρείται στησυχνότητα: f= 1 2π LC (συχνότητα συντονισμού RLC κυκλώματος)28

Τυπολόγιο Φυσικής 29 29Ταλαντώσεις (Periodic Motions)Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (Simple harmonic motion) Θ.Ι. Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν η απομά- Πλάτος κρυνσή του περιγράφεται από σχέση της μορφής x=Aημωt όπου x=0 για t=0Ισχύουν ακόμα: -Α x +Α u = umaxημωt με umax=ωΑ Απομάκρυνση α = -αmaxημωt με αmax=ω2ΑΔύναμη επαναφοράςΙκανή και αναγκαία συνθήκη για να κάνει ένα σώμα γ.α.τ. είναι ΣF = - Dxόπου: D : σταθερά επαναφοράς που εξαρτάται από το σύστημα που κάνει ταλάντωση x : η απομάκρυνση από την Θ.Ι.Κυκλική συχνότητα ω (angular frequency)D = mω2 άραω= D mΠερίοδος Τ (Period)Τ =2π m DΣχέση επιτάχυνσης - απομάκρυνσης α = - ω2xΣχέση ταχύτητας - απομάκρυνσηςu = ±ω A2 − x2Σχέση επιτάχυνσης – ταχύτηταςα = ±ω u2 − u2 maxΔυναμική ενέργεια ταλάντωσηςUT = 1 Dx 2 2Κινητική ενέργεια ταλάντωσης Κ = 1 mu2 2Μηχανική ενέργεια (ολική) ταλάντωσηςΕ= 1 DA 2 = 1 mu 2 2 2 max

30 Τυπολόγιο ΦυσικήςΔιατήρηση μηχανικής ενέργειας ταλάντωσης Κ + UT = EΦθίνουσα ΤαλάντωσηΚάθε ταλάντωση που δέχεται δύναμη αντίστασης (συνήθως της μορφής F=-bu) χάνει ενέργεια όποτε μειώ-νεται το πλάτος της.όπου: b: συντελεστής απόσβεσηςΜείωση πλάτους σε φθίνουσα ταλάντωση Α = Αοe-Λtόπου: Αο : Το πλάτος για t=0 Λ : σταθερά που εξαρτάται από το b t : χρόνος πολλαπλάσιος της περιόδου t=NTΣχέση πλατών σε φθίνουσα ταλάντωση Ao = A1 = A2 =… A1 A2 A3Εξαναγκασμένη ΤαλάντωσηΈνα σύστημα κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν δρα πάνω του μία εξωτερική περιοδική δύναμη (διε-γέρτης). Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα έχει την συχνότητα f του διεγέρτη και όχι την ιδιοσυ-χνότητά του fo δηλαδή την συχνότητα της ελεύθερης ταλάντωσης.Συντονισμός (Resonance) A Λέγεται το φαινόμενο που παρατηρείται όταν η συ- χνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος: fδ = fo.Στον συντονισμό παρατηρούμε μεγιστοποίηση του fo fπλάτους της ταλάντωσης γιατί το σύστημα απορροφάκαλύτερα την ενέργεια που του παρέχει ο διεγέρτης Καμπύλη συντονισμούσε συχνότητα foΗλεκτρική ΤαλάντωσηΚύκλωμα LC με φορτισμένο τον πυκνωτή αν κλείσουμε τον διακόπτη κάνει ηλεκτρική ταλάντωση με συ-χνότητα: T= 2π LCΕξισώσεις Ηλεκτρικής ταλάντωσηςΑ. q=Q και i=0 την t=0: q = Qσυνωt i = - Iημωt με Ι = ωQB. q=0 και i=I την t=0: q = Qημωt i = Iσυνωt30

Τυπολόγιο Φυσικής 31 Q t=0 q=0 Q T/2 +- T/4 -+ +- -+ +- -+ B Q i=0 i=0 i i=I -+ T q=0 -+ -+ 3T/4 B i=I i=0Γ. Αν q≠0 και i≠0 για t=0: q = Qσυν(ωt+φ) i = - Iημ(ωt+φ)Ενέργεια Πυκνωτή (Capacitor)UE = 1 q2 2CΕνέργεια Πηνίου (Inductance)UB = 1 Li2 2Μέγιστη ενέργεια στην ηλεκτρική ταλάντωση E = UE+UB E = 1 Q2 = 1 LI2 2C 2Σχέση ρεύματος – φορτίου στην ηλεκτρική ταλάντωση i = ±ω Q2 − q2Σχέση τάσεων πυκνωτή πηνίου VL = VC 31

32 Τυπολόγιο Φυσικής Αναλογίες Μηχανικής—Ηλεκτρικής Ταλάντωσης Μηχανική Ταλάντωση Ηλεκτρική Ταλάντωση Απομάκρυνση x Φορτίο q Ταχύτητα u Ρεύμα i Μάζα m Συντελεστής αυτεπαγωγής πηνίου L Σταθερά επαναφοράς D 1/C Πλάτος Α Μέγιστο φορτίο Q Επιτάχυνση α Ρυθμός μεταβολής ρεύματος Δi/Δt Δυναμική ενέργεια U Ενέργεια UE Κινητική ενέργεια Κ Ενέργεια UBΣύνθεση ταλαντώσεωνΑν ένα σώμα μετέχει σε δύο ταλαντώσεις τότε η απομάκρυνσή του είναι ίση με το άθροισμα των δύο απο-μακρύνσεων κάθε στιγμή. xολ=x1+x2 Α. Περίπτωση ω1=ω2=ω Β. Περίπτωση Α1=Α2=Α και ω1 ≠ ω2 Αν x1=Aημω1t, x2=Aημω2t Αν τότε x1=A1ημωt, x2=A2ημ(ωt + φ) x = 2A συν ⎛ ω1 − ω2 t ⎞ ημ ⎛ ω1 + ω2 t ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ B1. Υποπερίπτωση Α1=Α2=Α και ω1 ≠ ω2 τότε x = A΄ημ ω t x = A΄ημ(ωt+θ) όπου: A= A12 + A 2 + 2 A1A 2 συνφ Α΄ = 2A συν ⎛ ω1 − ω2 t ⎞ και ω = ω1 + ω2 2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 με Το αποτέλεσμα είναι το διακρότημα (beats) εφθ = Α2ημφ Περίοδος Διακροτήματος: Α1 + Α2συνφ Τδ = 1 και fδ = |f1 - f2| f1 − f232

Τυπολόγιο Φυσικής 33Κύματα (Waves)Κύμα ελαστικότητας (μηχανικό κύμα) λέγεται η διάδοση μιας διαταραχής σε ένα ελαστικό μέσο.Διακρίνονται σε:(α) Μηχανικά Κύματα(β) Ηλεκτρομαγνητικά ΚύματαΑλλά και σε:(α) Εγκάρσια κύματα:Τα μόρια του ελαστικού μέσου (ή τα μεγέθη των εντάσεων) ταλαντώνονται σε διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνσηδιάδοσης του κύματος. Σχηματίζουν όρη και κοιλάδες.(β) Διαμήκη κύματα:Τα μόρια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.Σχηματίζουν πυκνώματα και αραιώματα.(γ) Κυκλικά κύματα:Τα μόρια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται και σε κάθετη και σε παράλληλη διεύθυνση στη διεύθυνση διάδο-σης του κύματος, κάνοντας έτσι μια πιο σύνθετη κίνηση.Μήκος Κύματος (Wave length)Είναι η απόσταση που διανύει η διαταραχή σε χρόνο ίσο με μία περίοδο Τ του κύματος. Ή: Είναι η από-σταση δύο διαδοχικών κορυφών του κύματος. Ή : Είναι η απόσταση δύο σημείων του κύματος που έχουνδιαφορά φάσης 2πΘεμελιώδης εξίσωση της Κυματικήςu = λƒΕξίσωση κύματοςy = A ημ2π ⎛ t − x ⎞ ⎜⎝ T λ ⎠⎟Εξίσωση κύματος που διαδίδεται στον άξονα x προς τα θετικά και έχει μήκος κύματος λ και περίοδο Τy = A ημ2π ⎛ t + x ⎞ ⎝⎜ T λ ⎟⎠Εξίσωση κύματος που διαδίδεται στον άξονα x προς τα αρνητικάΣυμβολή κυμάτων (επίπεδων) (Interference)y = 2Aσυν2π ⎛ r1 − r2 ⎞ ημ2π ⎛ t − r1 + r2 ⎞ ⎝⎜ λ ⎟⎠ ⎜⎝ Τ 2λ ⎟⎠Ενίσχυση κυμάτων : |r1-r2|=ΝλΑπόσβεση κυμάτων : |r1-r2|=(2Ν+1)λ/2Στάσιμο Κύμα (Stationary Wave)Είναι μία ιδιότυπη ταλάντωση χορδής. Προκύπτει όταν δύο ίδια κύματα που κινούνται αντίθετα συμβάλ-λουν.y = y1+y2 x ty = 2Α συν2π λ ημ2π ΤΔεσμοί: xδ =Ν λ , Ν=0, ±1, ±2, ... Κοιλίες: xκ=(2Ν+1) λ , Ν=0, ±1, ±2, ... 2 4Φαινόμενο Doppler στο ηχητικό κύμα(Doppler effect)Αν ένας παρατηρητής (Observer O) ή η πηγή (Source S) κινούνται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης τουκύματος τότε: 33

34 Τυπολόγιο Φυσικής fo=fs u ± uo u m usόπου: fo : Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής fs : Η συχνότητα που εκπέμπει η πηγή u : Η ταχύτητα του κύματος uo : Η ταχύτητα του παρατηρητή us : Η ταχύτητα της πηγήςΤα επάνω πρόσημα ισχύουν όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή (ή η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή)ενώ τα κάτω όταν απομακρύνονται.Ο τύπος ισχύει για ταχύτητες πηγής και παρατηρητή μικρότερες από αυτές του κύματοςΗλεκτρομαγνητικό Κύμα Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα παράγο- νται με την επιτάχυνση ή την ταλάντωση ηλεκτρικών φορτίων.Πρόκειται για δύο κύματα αλληλένδετα, cηλεκτρικό και μαγνητικό, κάθετα μεταξύ Eτους, συμφασικά και με ίδια ταχύτηταδιάδοσης c.Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδο- Bνται και στο κενό.Ε = Εmax ημ2π ⎛ t − x ⎞ ⎜⎝ T λ ⎟⎠B = Bmax ημ2π ⎛ t − x ⎞ Σχηματική παράσταση ηλεκτρομαγνητικού κύματος ⎝⎜ T λ ⎟⎠ Τα επίπεδα ταλάντωσης των εντάσεων είναι κάθετα μεταξύΚάθε χρονική στιγμή ισχύει για τις στιγ- τους αλλά κάθετα και στην ταχύτητα c του κύματοςμιαίες τιμές των εντάσεων: Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό κύμα είναι συμφασικά. E Η ταχύτητα c στο κενό έχει τιμή c=3⋅108 m/s B c=34

Τυπολόγιο Φυσικής 35Ανάκλαση φωτός (Reflection) φπ φαΝόμοι Ανάκλασης • Η προσπίπτουσα ακτίνα η ανακλώμενη και η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επί- πεδο. • Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης φπ=φαΤο φως όταν αλλάζει μέσο διάδοσηςΗ ταχύτητα του φωτός μικραίνει όταν το φως κινείται σε οπτικά διαφανές υλικό.Η συχνότητα του φωτός ΔΕΝ αλλάζει όταν το φως διαδίδεται σε οπτικά διαφανές υλικό.Το μήκος κύματος λ μικραίνει όταν το φως εισέρχεται σε οπτικά διαφανές υλικό σε σχέση με το μήκοςκύματος στο κενό.Τα ίδια ακριβώς συμβαίνουν και όταν το φως περάσει από απτικά αραιό σε οπτικά πυκνό υλικό.Διάθλαση φωτός (Refraction) n1Όταν το φως περνάει την διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικώνυλικών n1 και n2 τότε δεν ακολουθεί την αρχική του πορεία αλλά πα- φπ φαρουσιάζει μία εκτροπή. Το φαινόμενο αυτό λέγεται διάθλαση του φω-τός. φδ φαπ n2Δείκτης διάθλασης n (Refractive Index)Ορίζεται ως το πηλίκο n= co cΙσχύει: n > 1 για κάθε υλικό αφού c<co n = 1 για το κενό και τον αέρα (προσεγγιστικά) Όσο μεγαλώνει το n τόσο (οπτικά) πυκνότερο είναι το σώμαΆρα c = co nΙσχύουν ακόμα: n= λo , λ= λo , λ1 = n2 λ n λ2 n1Από τις προηγούμενες σχέσεις συνεπάγεται ότι:Η ταχύτητα του φωτός μικραίνει όσο μεγαλώνει ο δείκτης διάθλασης n.Το μήκος κύματος μικραίνει όσο μεγαλώνει ο δείκτης διάθλασης n.Όταν n↑ τότε c↓ και λ↓ 35

36 Τυπολόγιο ΦυσικήςΓωνία ΔιάθλασηςΑπό αραιό (οπτικά) υλικό σε πυκνό το φως διαθλάται και πλησιάζει την κάθετο.Από πυκνό υλικό σε αραιό το φως διαθλάται και απομακρύνεται από την κάθετο.Η γωνία απόκλισης φαπ μεγαλώνει όσο μεγαλώνει η διαφορά από n1 σε n2. n1 n1 φπ φα φπ φα φδ φδ φαπ n2 φαπ n2 Πορεία του φωτός από αραιό Πορεία του φωτός από πυκνό σε πυκνό υλικό, δηλαδή n1>n2 σε αραιό υλικό, δηλαδή n1<n2Για τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης θπ και θδ ισχύει ο…Νόμος του Snell ημθπ = nδ ημθδ nπ(το φως πάει από το υλικό nπ στο υλικό nδ)Ολική Ανάκλαση (Total internal reflection)Παρατηρείται όταν το φως περνάει από πυκνό σε αραιό υλικό. Για κάποια οριακή γωνία φορ το φως έχει γωνίαδιάθλασης 90ο οπότε για τις μεγαλύτερες γωνίες δεν παρατηρούμε διάθλαση αλλά μόνο ανάκλαση. φδ 90ο n1 φπ φορ n2 ημφορ = n1 ή ημφορ= n1 ημ90 n2 n2 Όταν περνάει από κάποιο υλικό n στον αέρα όπου n1=1 τότε ημφορ= 1 nΔιασκεδασμός (Dispersion)Ο δείκτης διάθλασης n ενός υλικού δεν είναι ο ίδιος για όλες τις ακτινοβολίες. Η εξάρτηση του δείκτη διάθλα-σης από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας λέγεται διασκεδασμός.36

Τυπολόγιο Φυσικής 37 n 1,54 1,51 λ 400 nm 700 nm Εξάρτηση του δείκτη διάθλασης n από το μήκος κύματος λΟ δείκτης διάθλασης μειώνεται (γενικά) όσο μεγαλώνει το μήκος κύματος λΛόγω του διασκεδασμού όταν σε κάποιο υλικό κινούνται διάφορα «χρώματα» του φωτός τότε:Όσο λ↑ τόσο c↑ και η γωνία εκτροπής φαπ ↓Στο φαινόμενο του διασκεδασμού οφείλεται η ανάλυση του λευκού φωτός σε χρώματα και η δημιουργίατου φάσματος της ίριδας.Λευκό φως Κόκκινο Πορτοκαλί Πρίσμα Κίτρινο Πράσινο Μπλε Ιώδες (βιολετί) 37

38 Τυπολόγιο ΦυσικήςΣτερεό ΣώμαΚέντρο μάζας σώματος ή συστήματος (Center of Mass)Αν Oxyz ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τότε το κέντρο μάζας συστήματος μαζών ή σώματος(που θεωρείται ως άθροισμα πολλών σημειακών μαζών mi που βρίσκονται στις θέσεις xi, yi, zi) βρίσκεταιαπό τις σχέσεις: xcm = Σm i x i , ycm = Σ=ΣmΣmΣimyimii r,ri i zcm = Σm izi Σm i Σm iή πιο συμπυκνωμένα: rrcm(στην περίπτωση του στερεού σώματος τα αθροίσματα γίνονται ολοκληρώματα)Γωνιακή επιτάχυνση αΕίναι ο dρωuυrθμός μεταβολής (παράγωγος) της γωνιακής ταχύτητας ω ενός σώματος. Μονάδα: rad/sec2 αr = dtΤο διάνυσμα της α έχει την κατεύθυνση της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας dωΜεταφορική και στροφική κίνησηΜεταφορική κίνηση είναι η αλλαγή θέσης του κέντρου μάζας του σώματος (συστήματος).Περιστροφική είναι η κίνηση του σώματος στην οποία το κέντρο μάζας παραμένει ακίνητο.Β’ Νόμος για τη μεταφορική κίνηση ΣFurεξ ur = Μ αcmόπου: ΣFεξ : Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων στο σώμα ή σύστημα Μ : Η μάζα του σώματος αCM : Η επιτάχυνση του κέντρου μάζαςΑν PΣFurηεξο=λικddήprt ορμή (διανυσματικό άθροισμα) του σώματος (συστήματος) τότεΔιατήρηση της ορμής σε σύστημα σωμάτων Αν ΣFεξ = 0 τότε dP/dt = 0 ή P = σταθερόΡοπή δύναμης τ (Moment of Force) τ Ονομάζουμε ροπή τ δύναμης ως προς σημείο το διάτν=υσrμ×αFur ή τ=Fdημφ Αd F ή απλούστερα rφ τ=Fd Ροπή δύναμης F ως προς σημείο Α όπου: d : η απόσταση της δύναμης F από το θεωρούμε- νο σημείο38

Τυπολόγιο Φυσικής 39Το διάνυσμα της ροπής σχεδιάζεται έτσι ώστε να είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν η δύναμη Fκαι η απόσταση d ή r και με φορά που καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία ή του δεξιούχεριού:Αν περιστρέψουμε δεξιόστροφο κοχλία έτσι όπως καθορίζει η δύναμη η φορά κίνησης του κοχλία μας δίνει την φοράτου διανύσματοςΡοπή Ζεύγους Δυνάμεων τ Ζεύγος Δυνάμεων ονομάζουμε δύο αντίθετες δυνά- μεις που ασκούνται σε διαφορετικά σημείαΗ ροπή του ζεύγους αποδεικνύεται ότι είναι ίδια για Fοποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ισούται dμε το γινόμενο της μίας δύναμης F επί την απόστα-ση d των δύο δυνάμεων. Fτ = Fd Ροπή ζεύγους δυνάμεωνΙσορροπία Στερεού ΣώματοςΈνα Στερεό Σώμα ισορροπεί όταν συμβαίνουν:ΣFur = 0r ⇔ ⎧⎪⎨ΣΣFFyx = 0 Εξασφαλίζει ότι το κέντρο μάζας του σώματος = 0 ηρεμεί ή κινείται με σταθερή uCM ταχύτητα ⎩⎪ΣFz = 0 Εξασφαλίζει ότι δεν έχει γωνιακή ταχύτητα ω ή αυτή είναι σταθερήκαι: rτ =0 ΣΡοπή Αδράνειας Ι (Moment of Inertia) r1 m1Ορίζεται: r2 m2 I = m1r12 + m2r22 + … + miri2 rri3 m3 I = Σmiri2 miΓια συνεχές μέσο είναι ολοκλήρωμα: ω Ι= ∫ r2dmΗ ροπή αδράνειας παίζει τον ρόλο της μάζας στη στροφική κίνηση 39

40 Τυπολόγιο ΦυσικήςΡοπές αδράνειας μερικών ομογενών στερεών Σώμα Άξονας Ροπή Αδράνειας Υλικό σημείο Απόσταση R mR2 Λεπτή ράβδος μήκους L Κάθετος στη ράβδο στο κέντρο μάζας 1 ML2 12 Ορθογώνιο επίπεδο διαστάσεων α, β Κάθετος στο επίπεδο στο κέντρο μάζας 1 M( α 2 + β2 ) 12 Κάθετος στο επίπεδο στο κέντρο του ΜR2 Διάμετρος Λεπτός Δακτύλιος 1 MR 2 2 Δίσκος Κάθετος στο κέντρο 1 MR 2 2 Κύλινδρος Άξονας κυλίνδρου 1 MR2 2 Σφαίρα Διάμετρος 2 MR2 5 Κοίλη σφαίρα Διάμετρος 2 MR2 3Θεώρημα Steiner-Huygens Μ(Θεώρημα παράλληλων αξόνων) κέντρο μάζας Με το θεώρημα αυτό μπορούμε να βρούμε την ροπή αδρά- νειας ως οποιοδήποτε άξονα παράλληλο με τον άξονα που d περνάει από το κέντρο μάζας του σώματος Ι = ΙCM + Md2 όπου: Ι : η ροπή αδράνειας ως προς τον νέο άξονα ΙCM : η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας Μ : η μάζα του σώματος d : η απόσταση του νέου άξονα από τον άξονα που περνάει από το κέντρο μάζαςΣτροφορμή L (Angular Momentum) L rΟρίζουμε στροφορμή L ενός υλικού σημείου m που κινείται μεγLurρα=Luμrrrμ=×ικrprή×τprαχύτητα u σε κύκλο ακτίνας r το διανυσματικό μέγεθος p L=murόπου: p : η ορμή του σώματος p=mu40

Τυπολόγιο Φυσικής 41Ο ορισμός είναι και γενικότερος. Το σώμα δεν χρειάζεται L pνα κLurιν=είτrrα×ι pσrε κύκλο. Αd L = murημθ ή L = mud rόπου: mφ d : η απόσταση ορμής (ταχύτητας) και σημείου ως προς το οποίο υπολογίζουμε την στροφορμήΣτροφορμή Στερεού Σώματος L ωΥπολογίζεται ότι είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας I επί τηνγωνLuιrακ=ήIτωurαχ(ύ1τ)ητα ω του σώματος Μή L = IωΗ ολική στροφορμή ενός συστήματος είναι το διανυσματικό άθροισματων στροφορμών των στοιχείων του Lur = Lur1 + Lur2 + ...Ο τύπος (1) ισχύει μόνο για σώματα με άξονα συμμετρίας. Στη γενική περίπτωση η στροφορμή L δεν είναι συγ-ψγροαυμμμε ικLuήr με Iτωηurν, γωνιακή ταχύτητα ω (ούτε η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος!). Τότε μπορούμε να γρά- όπου z ο άξονας περιστροφής και Lz η συνιστώσα της στροφορμής στον άξονα z. z=Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής ΚίνησηςΕίναι η εφαρμογή του β’ νόμου Newton στην περίπτωση της στροφικής κίνησης. Αν σε ένα σώμα ασκηθείροπή τ τότε αυτό θα αποκτήσει γωνιακή επιτάχυνση α και θα ισχύει:Σuurτ = ur ή Στ = Ια ΙαΗ ροπή αδράνειας Ι είναι υπολογισμένη ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματοςΓενικότερα ο νόμος διατυπώνεται:Σuurτ = dLur Και για σύστημα σωμάτων Σuurτεξ = d Lur ολ dt dtΑρχή Διατήρησης της ΣτροφορμήςΑν σε ένα σώμα ή σύστημα η συνισταμένη των εξωτερικών ροπών είναι μηδέν τότε η στροφορμή του σώματος ή συστή- σταθερή:ματοΣuςurτδεξια=τηρdεLduίrτtοαλι =0 ⇔ Lurαρχ = Lurτελ ⇔ Iω1=Ιω2 (όταν Ι=σταθ)Ι1ω1=Ι2ω2Κινητική Ενέργεια ΠεριστροφήςΚ= 1 Ιω2 2Όταν το σώμα περιστρέφεται και εκτελεί μεταφορική κίνηση συγχρόνως τότε η κινητική του ενέργεια είναι:Κ= 1 Ιω2 + 1 Μ u 2 2 2 cm 41

42 Τυπολόγιο ΦυσικήςΈργο Σταθερής Δύναμης κατά την περιστροφή dS RΑν μία σταθερή δύναμη F ασκείται εφαπτομενικά σε σώμα που περιστρέφεταιτότε το έργο της υπολογίζεται από το άθροισμα dθ F W = ΣdW = ΣFRdθ = Στdθόπου dθ η απειροστές γωνίες της περιστροφής.Αν η ροπή είναι σταθερή τότε: W=τθΗ ισχύς της παραπάνω ροπής είναι Ρ = τωΤο Θεώρημα Έργου—Ενέργειας στη Στροφική Κίνηση ΣW = 1 Ι ω 2 - 1 I ω12 2 2 2 Το άθροισμα των έργων των ροπών που δρουν σε ένα σώμα ισούται με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας περι- στροφής του σώματος.Κύλιση Τροχού uΌταν ένας τροχός ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει τότε η με- Ruταφορική του ταχύτητα uCM ισούται κατά μέτρο με την γραμμική ucmταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς του uCM = u = ωRάρα παραγωγίζοντας βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των δύο επιτα-χύνσεων: αCM = αRόπου: αCM : η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του α : η γωνιακή επιτάχυνσηΠεριστροφή με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ωΚατ’ αναλογία με την ευθύγραμμη ομαλή έχουμε τις εξής σχέσεις: ω = σταθερή φ = φο + ωοtΠεριστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αΚατ’ αναλογία με την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση έχουμε τις εξής σχέσεις: α = σταθερή ω = ωο + αt φ = φο + ωοt + ½αt242

Τυπολόγιο Φυσικής 43Κρούσεις (Collisions)Ονομάζουμε κρούση το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα αλληλεπιδρούν για ελάχιστοχρόνο με πολύ ισχυρές δυνάμεις.Η κρούση δεν είναι απαραίτητο να αναφέρεται σε σύγκρουση (επαφή) των σωμάτων.Σε ατομικό επίπεδο τα σωματίδια ποτέ δεν έρχονται σε επαφή, όμως θεωρούμε ότι έχουμε κρούση, πουστην περίπτωση αυτή ονομάζεται σκέδαση (scattering)Διακρίνουμε τις κρούσεις σε Κεντρικές (central) και Πλάγιες (non central), αν τα σώματα κινούνται με ταχύτη-τες πάνω στη διάκετρό τους καθώς και σε Ελαστικές (elastic) και Ανελαστικές (inelastic), αν η Μηχανική Ενέρ-γεια (πιο συχνά η Κινητική Ενέργεια) διατηρείται, ή όχι, στην κρούση.Σprεαρκχά=θεprκτρελούση θεωρούμε ότι ισχύει η Αρχή Διατήρησης της ΟρμήςΑ. Πλαστική Κρούση σε μία διάσταση m1 u1 u2 m2Η πλαστική κρούση είναι μία ειδική ανελαστική κρούση στην uσοποία τα δύο σώματα συσσωματώνονται και δημιουργούν ένα +σώμα. Ισχύει m1+m2 pαρχ=pτελ ⇔ + m2u2 — m1u1 = (m1+m2)uσΗ κινητική ενέργεια πάντα μειώνεται κατά την πλαστική κρούσηΒ. Ελαστική Κρούση σε μία διάστασηΙσχύει και η Α.Δ.Ο. αλλά και η διατήρηση της Κινητικής m1 u1 m2 u2ενέρuurrγ1''2ε=ι=ας((.mmΤ12ε−λ−ικmmmmά2111π))++urρur1ο2mm+κ+ύ222π2mτmε2ι1uruόr2τ1 ι: u1΄ u2΄ +όταν δουλεύουμε σε κάποιο άξονα (σε μία διάσταση) τότε αντικαθι- +στούμε τα διανύσματα των ταχυτήτων με τις αλγεβρικές τους τιμές στον άξονα, δηλαδή με τα μέτρα των ταχυτήτωνμαζί με το πρόσημό τους ως προς τον άξονα.Στηuurrν1''2π==ερ(mίmπ2mτ1m1ω+1−1σ+murηm1m2α2ρ)2urχ1ικά ακίνητου δεύτερου σώματος οι σχέσεις γίνονται:Γ. Ελαστική Κρούση σε δύο διαστάσεις.Ισχύει η Α.Δ.Ο. και η διατήρηση της Κινητικής Ενέργειας. Για να βρεθούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετάτην κρούση απαιτούνται όχι μόνο οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση αλλά και κάποιο μέγεθοςμετά την κρούση (μία γωνία ή μία ταχύτητα).Συνήθως αναλύουμε σε άξονες και εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής σε κάθε άξονα ξεχωριστά(αλλά την διατήρηση της ενέργειας συνολικά και όχι σε άξονες). 43

44 Τυπολόγιο ΦυσικήςΙδανικά Αέρια (Perfect Gases)Νόμοι Αερίων Νόμος Ισόχωρης Μεταβολής Νόμος Ισοβαρούς Μεταβολής (Νόμος Gay-Lussac) (Νόμος Charles) P = σταθ. V = σταθ. T T Νόμος Ισόθερμης Μεταβολής Νόμος Αδιαβατικής Μεταβολής (Νόμος Boyle-Marriote) (Νόμος Poisson) PV=σταθ. PVγ =σταθ. Καταστατική Εξίσωση των Αερίων PV = nRTόπου: n : ο αριθμός των mole, n=m/MB, n=N/NΑ ΝΑ : ο αριθμός του Avogadro 6,023⋅1023 που είναι ο αριθμός των μορίων σε ένα mol ουσίας R : η παγκόσμια σταθερά των αερίων με τιμή 8,3144 Jmol-1K-1 Συνδυαστικός Νόμος Αερίων PV = σταθ. TΚινητική Θεωρία των ΑερίωνΗ κινητική θεωρία των αερίων προσπαθεί να ενώσει την μακροσκοπική περιγραφή των αερίων (μεγέθη P, V, T) μετην μικροσκοπική περιγραφή του, δηλαδή με την κίνηση των μορίων του. Το ζητούμενο είναι να βρεθούν σχέσεις πουνα δίνουν μακροσκοπικά μεγέθη, όπως πίεση και θερμοκρασία, συναρτήσει ‘μικροσκοπικών’ μεγεθών, όπως η ταχύ-τητα των μορίων του αερίου, το πλήθος τους, η μάζα τους…Το μοντέλο του Ιδανικού Αερίου περιλαμβάνει τις παραδοχές:i. Τα μόρια είναι ελαστικές σημειακές σφαίρεςii. Στις κρούσεις τους ισχύουν οι αρχές της κλασικής φυσικής (αρχή διατήρησης ορμής, ενέργειας…)iii.Οι κρούσεις των μορίων μεταξύ τους καθώς και με τα τοιχώματα των δοχείων που τα περιέχουν είναι ελαστικέςiv. Η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα σε σχέση με το χρονικό διάστημα μεταξύ των κρούσεωνv. Δυνάμεις ασκούνται στα μόρια μόνο στο χρονικό διάστημα της σύγκρουσης, οπότε η κίνηση των μορίων μεταξύ δύο διαδο- χικών κρούσεων είναι ευθύγραμμη ομαλή.vi. Τα μόρια βρίσκονται σε διαρκή κίνησηvii.Ο όγκος που καταλαμβάνει η μάζα των μορίων είναι αμελητέος σε σχέση με τον όγκο του δοχείου που τα περιέχειviii. Το πλήθος των μορίων είναι πολύ μεγάλοix. Η κινητική ενέργεια κατανέμεται εξίσου σε όλες τις δυνατές κινήσεις των μορίωνΜε βάση τις αρχές αυτές: P = 1 du2 = 1 N mu2 3 3 V u2 : η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων d : η πυκνότητα του αερίου Ν : ο αριθμός των μορίων του αερίου m : η μάζα ενός μορίου του αερίουΗ ενεργός ταχύτητα (root mean square speed) uεν = urms = u2 = 3kT = 3RT m MrΗ μέση Κινητική Ενέργεια των μορίων Κ = 3 kT 2 Στις παραπάνω σχέσεις :44

Τυπολόγιο Φυσικής 45 k : Η σταθερά του Boltzmann, k = R/NA με τιμή 1,38⋅10-23 JK-1Θεώρημα Ισοκατανομής ΕνεργειώνΣε ένα αέριο σε ισορροπία κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή της κίνησης έχει κινητική ενέργεια Κ=½kT.Η ανεξάρτητη μεταβλητή της κίνησης λέγεται βαθμός ελευθερίας f (degree of freedom) και είναι για μονοατομικά αέρια f=3 για διατομικά αέρια χωρίς ταλάντωση f=5 για διατομικά αέρια με ταλάντωση f=7 για πολυατομικά αέρια f>6Άρα η κινητική ενέργεια ενός μορίου είναι :K = f kT 2Ειδικές θερμότητες Αερίων Cp=CV + R Cp : Ειδική γραμμομοριακή θερμότητα υπό σταθερή πίεση CV : Ειδική γραμμομοριακή θερμότητα υπό σταθερό όγκοισχύει: γ = Cp/Cv CV = R/(γ-1) CP = γR/(γ-1) CV = fR/2 CP = (f/2+1)RΕσωτερική Ενέργεια Αερίου (Internal Energy)U = Nf 1 kT 2U = n CVT 45

46 Τυπολόγιο ΦυσικήςΘερμοδυναμικήA’ Νόμος της Θερμοδυναμικής Q=ΔU+W Q : θερμότητα που απορροφάται (>0) ή αποβάλλεται (<0) από το αέριο ΔU : μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου W : έργο που γίνεται από το αέριο (>0) ή γίνεται στο αέριο (<0)Αντιστρεπτή Μεταβολή (Reversible change)Μία μεταβολή λέγεται αντιστρεπτή όταν γίνεται (υποτίθεται) τόσο αργά ώστε κάθε ενδιάμεση κατάσταση ναείναι κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας.Η αντιστρεπτή μεταβολή στο διάγραμμα P-V παριστάνεται από μία συνεχή καμπύλη γραμμή.Ισόθερμη Μεταβολή V PP Τ2>Τ1 Τ2 Τ1 Τ2 Τ Τ1 Τ2 Τ Τ1 VΙσχύουν: ΔU = 0, W = Q,και ο νόμος P2V2=P1V1Ισόχωρη μεταβολή P B V1 V V2P V1 B Δ Δ V2 A Τ2 A φ2 Τ Γ Τ1 φ1 Γ V1<V2 V1 V2 V W=0 Τ Q = nCVΔT, ΔU = nCVΔT,Και ο νόμος: P2/T2=P1/T146

Τυπολόγιο Φυσικής 47Ισοβαρής Μεταβολή P V B P1PP1 A P2 B Δ P2P2 Γ Δ A Τ2 P1 φ1 Γ Τ1 φ2 V Τ P1<P2 Τ Q = nCPΔT, ΔU = nCVΔT, W = PΔVΚαι ο νόμος: V2/T2=V1/T1Αδιαβατική μεταβολήΕίναι η μεταβολή στην οποία το αέριο δεν ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον του. Ο νόμος Poissonγράφεται με σύμβολα ως εξής PVγ = σταθερό ή P1V1γ = P2V2γ (Νόμος Poisson)Οι γραφικές παραστάσεις αυτού του νόμου φαίνονται στα παρακάτω σχήματα:P PVP1 A V1 Β P2 ΑP2 Τ1 P1 Β V2 B Τ2 Α V Τ2 Τ1 Τ Τ2 Τ1 TΣτην αδιαβατική μεταβολή ισχύει: Q = 0, ΔU = nCVΔT ή ΔU = - W, W= P2 V2 − P1V1 1− γΆλλες εκφράσεις του νόμου του Poisson: T1V1γ-1 = Τ2V2γ-1 T1P11-γ/γ = Τ2P21-γ/γΚυκλική μεταβολήΕίναι η μεταβολή που η τελική κατάσταση συμπίπτει με την αρχική. Σε κάθε διάγραμμα μία τέτοια μετα-βολή είναι μία κλειστή καμπύλη. Σε αυτή ισχύουν: 9 Επειδή η συνολική μεταβολή της θερμοκρασίας είναι ΔΤ=0 θα είναι και ΔU = nCVΔΤ = 0. 9 Από τον Α’ θερμοδυναμικό νόμο έπεται: Q = W Δηλαδή η ποσότητα της θερμότητας που συνολι- κά δίνεται στο αέριο (ή αφαιρείται από αυτό) ισούται με το έργο που παράγει ή δαπανά το αέριο 9 Το έργο στην κυκλική μεταβολή είναι πάντα το εμβαδό που ορίζει η κλειστή καμπύλη στο διά- γραμμα P-V και είναι θετικό όταν η καμπύλη είναι δεξιόστροφη και αρνητικό όταν η καμπύλη είναι αριστερόστροφη. 47

48 W>0 P Τυπολόγιο Φυσικής P P1 A W<0 P1 AP2 P2 B B V1 V2 V V1 V2 VΜη αντιστρεπτή μεταβολήΜία μη αντιστρεπτή μεταβολή είναι αυτή που το σύστημα μεταβαίνει απότομα (γρήγορα) από την μία κα-τάσταση στην άλλη και δεν προλαβαίνει έτσι να περάσει από διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας. Μία τέ-τοια μεταβολή παριστάνεται από δύο σημεία στο διάγραμμα P-V.Παραδείγματα μη αντιστρεπτών μεταβολών είναι η απότομη εκτόνωση αερίου, η μεταφορά θερμότηταςαπό το θερμό στο ψυχρό σώμα, η ελεύθερη εκτόνωση αερίου (όταν βγάζουμε ένα διάφραγμα), κτλ. Οι πε-ρισσότερες μεταβολές στην φύση είναι μη αντιστρεπτές, μία καλή προσέγγιση όμως είναι αυτές που γίνονταιαργά και στις οποίες οι τριβές είναι αμελητέες. P P Α Α Β Β Μία αντιστρεπτή μεταβολή V Μία μη-αντιστρεπτή V WΘερμικές Μηχανές μεταβολή Θερμική μηχανή είναι μία διάταξη που μετατρέπει Θερμή Δεξαμενή Τ1 την θερμότητα σε (χρήσιμο) έργο, χρησιμοποιώντας την κυκλική μεταβολή ενός αερίου. Q1 Το αέριο απορροφά ενέργεια Q1 από την θερμή δε- ξαμενή θερμοκρασίας Τ1, σε μια ή περισσότερες αντι- Q2 στρεπτές μεταβολές, και αποδίδει θερμότητα Q2 στην ψυχρή δεξαμενή θερμοκρασίας Τ2<Τ1, (σε μια ή πε- Ψυχρή δεξαμενή Τ2 ρισσότερες αντιστρεπτές μεταβολές). Η μηχανή απο- δίδει επίσης έργο W=Q1 - |Q2|Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανήςn = W = Q1 − Q2 = 1 - Q2 Πάντα ισχύει n>1Q1 Q1 Q1 PAΚύκλος Carnot Q1Αποτελείται από:ΑΒ : ισόθερμη εκτόνωση σε θερμοκρασία Τ1 στην οποία το αέριο α- Β πορροφά θερμότητα Q1 Δ Τ1ΒΓ : αδιαβατική εκτόνωση Q2 Γ Τ2ΓΔ : ισόθερμη συμπίεση στην οποία το αέριο αποβάλλει θερμότητα V Q2 (<0)48

Τυπολόγιο Φυσικής 49ΔΑ : αδιαβατική συμπίεση μέχρι την αρχική κατάσταση ΑΟ συντελεστής απόδοσης nc του κύκλου του Carnot αποδεικνύεται ότι είναι ο μέγιστος από κάθε θερμική μηχανή πουεργάζεται μεταξύ των δύο θερμοκρασιών Τ1 και Τ2. Στο κύκλο Carnot ισχύει: Q2 = T2 άρα: Q1 T1Απόδοση κύκλου Carnot nc= 1 - T2 T1Β΄ Θερμοδυναμικός ΝόμοςΔιατύπωση Kelvin-Planck:Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που να μετατρέπει ολόκληρη την θερμότητα που απορ-ροφά σε ωφέλιμο έργο.Σύμφωνα με την διατύπωση αυτή n<1Διατύπωση Clausious:Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μηχανή που να μεταφέρει ποσό θερμότητας από ψυχρή δεξαμενή σε θερ-μή δεξαμενή χωρίς την δαπάνη ενέργειας για τη λειτουργία της.Σύμφωνα με τη διατύπωση αυτή δεν μπορεί να κατασκευαστεί ψυγείο που να δουλεύει χωρίς δαπάνη ενέργειαςΕντροπίαΕίναι, όπως και η εσωτερική ενέργεια, συνάρτηση της κατάστασης ενός συστήματος. Η μεταβολή της ε-ντροπίας ΔS σε μία μικρή αντιστρεπτή μεταβολή (που θεωρούμε Τ≈σταθερή) ισούται με ΔS = ΔQ ΤΣε μία αντιστρεπτή μεταβολή ΔSAB= B dQ T ∫AΣε μη-αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ η εντροπία υπολογίζεται συνδέοντας τις καταστάσεις Α και Β με κάποιεςκατάλληλες αντιστρεπτές μεταβολές και εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο.Για αδιαβατικές μεταβολές ισχύει πάντα ΔS≥0 και μάλιστα το πρόσημο ίσον ισχύει μόνο για τις αντιστρε-πτές μεταβολές.Η εντροπία σχετίζεται με την αταξία των μονάδων που αποτελούν το σύστημα.Ο Δεύτερος Θερμοδυναμικός Νόμος και η ΕντροπίαΟ β’ Θ. Ν. μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: Σε κάθε απομονωμένο σύστημα οι αυθόρμητες μεταβολέςγίνονται έτσι ώστε να αυξάνεται η εντροπία. 49

50 Τυπολόγιο ΦυσικήςΚινήσεις σε πεδία δυνάμεωνΑρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων (Galileo Galilei 1600 μ.Χ.)Όταν ένα κινητό μετέχει δύο ή περισσοτέρων κινήσεων τότε αυτές γίνονται ανεξάρτητα η μία από την άλληκαι η συνολική μετατόπιση μετά από χρόνο t είναι ίδια είτε αυτές γίνονται ταυτόχρονα για χρόνο t είτε δια-δοχικά για τον ίδιο χρόνο t η καθεμία.Βολή στο ομογενές βαρυτικό πεδίοΠλάγια βολή γωνίας θ προς τα πάνωΣυνδυασμός κατακόρυφης βολής με αρχική τα-χύτητα uoy και ευθύγραμμης ομαλής με ταχύτη-τα uoxx : ux=uox g x=xo + uoxt uo uoyy : uy=uoy - gt uox x y=yo + uoyt - 1 gt2 2Πλάγια βολή γωνίας θ προς τα κάτωΣυνδυασμός κατακόρυφης βολής προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα uoy και ευθύγραμμης ομαλής με ταχύ-τητα uoxx : ux=uox x=xo + uoxty : uy=uoy + gt y=yo + uoyt + 1 gt2 2Οριζόντια βολή y ux x h gΣυνδυασμός ελεύθερης πτώσης χωρίς αρχική ταχύ-τητα και ευθύγραμμης ομαλής με ταχύτητα uox=uox : ux=uo x=xo + uoty : uy=gt y=h - 1 gt2 2Κίνηση σε Ανομοιογενές Βαρυτικό ΠεδίοΕνας πλανήτης ή άστρο μάζας Μ δημιουργεί γύρω του βαρυτικό πεδίο με ένταση g που δίνεται από τησχέση:g=GM, r>R. Στην επιφάνειά του go = G M , R2 r2Και δυναμικό V = - G M rΓενικά το έργο της δύναμης του πεδίου για μετακίνηση μάζας m από σημείο Α σε σημείο Γ του πεδίου εί-ναι WA→Γ=m(VA-VB).Δύο μεγέθη παρουσιάζουν ενδιαφέρον: Η ταχύτητα διαφυγής και οι ΔορυφόροιΤαχύτητα ΔιαφυγήςΕφαρμόζοντας την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στο σύστημα Γη – σώμα έχουμε:Ε1=Ε2 ⇔ 1 mu 2 - G M m = 0 ⇔ uδ= 2GMΓ , άρα: 2 δ r RΓΓια να διαφύγει από την έλξη της Γης ένα σώμα από την επιφάνειά της πρέπει να βληθεί με ταχύτηταuδ= 2GM Γ όπου MΓ η μάζα της Γης και RΓ η ακτίνα της. uδ = 11,2 Km/sec RΓ50