จำนวนจริง

Learn Education หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 จ�ำนวนจรงิ

สาระการเรยี นรู้ จำ� นวนจรงิ 1. ทบทวนจ�ำ นวนตรรกยะ 2. จำ�นวนอตรรกยะ 3. จำ�นวนจรงิ 4. รากทีส่ องของจำ�นวนจริง 5. รากทส่ี ามของจำ�นวนจริง 6. การนำ�ความร้เู ก่ียวกบั จำ�นวนจริงไปใช้ ตวั ชีว้ ดั ค 1.1 ม. 2/2 เขา้ ใจจ�ำนวนจรงิ และความสัมพันธ์ของจำ� นวนจริง และใช้สมบัตขิ องจ�ำนวนจรงิ ในการแกป้ ัญหา คณิตศาสตรแ์ ละปัญหาในชีวิตจริง จดุ ป••••ร ะสงนนนนค์กกัักกักั าเเเเรรรรรยีียียยี เรนนนนียเเสเขขขนา้้าาา้ มรใใใู้าจจจรแโคถคลวใราะชงมส้สสหามรมม้าบางาัตรขยขิถอขอรงอะงจงรบ�ำรานุจากก�ำวทนทนสี่วส่ีจอนรองงิตงแแรลรละกะรยราาะกกแททลีส่ ะส่ี าจามมำ� ในขนวอกนงาจอร�ำตแนรกวรป้ นกัญตยหะรรไาดกค้ยณะติ ศาสตร์ Learn Education

Learn Educationน เขกั ียเนรยีไดนท้ใสนผี่ าร่ามูปนามรถabานใชเักมจ้ เ�ำือ่รนียaนวนแไดเลห้เะรลียbา่ นนเรอป้ี ู้มธ็นาบิ จแาำ�ลยนว้ ถววงึน่าสจเงิ่ต�ำ ตม็จนา่ ว�ำงbนๆนไมเใวชน่เน่ปนช็นวี-จ6ศติ ร,นูป0งิยร,ะ์ โ3จด,�ำ ยว0เนั.ร8ียเ,ชกน่29จำ�มนแฟั ลวฟนะนิเห-ร1ลา73คา่ นาเชว้ีปน้ิา่ ็นลจจะำ��ำ น2น0ววนนบตทารทสี่ ราอกมายากะราถศ ที่กรุงมอสโก ประเทศรัสเซียมีอุณหภูมิ -4 องศาเซลเซียส และแพทย์อ่านอุณหภูมิร่างกายของคนไข้จาก เทอร์มอมิเตอรไ์ ด้ 36.2 องศาเซลเซยี ส [1] [2] ถงึ แม้ว่าจำ�นวนท่ีกลา่ วมาข้างต้นสามารถนำ�ไปใชป้ ระโยชน์ได้อยา่ งกวา้ งขวาง แตย่ งั มปี ญั หาหรอื สถานการณ์บางอย่างทีไ่ ม่สามารถใช้จำ�นวนตรรกยะแทนปรมิ าณทต่ี อ้ งการจะสือ่ ได้ ในหน่วยการเรียนรู้นี้ นกั เรียนจะได้เรยี นร้เู พ่มิ เตมิ เกี่ยวกบั จำ�นวนทไ่ี มใ่ ช่จำ�นวนตรรกยะ 39

จำ� นวนจรงิ ·´Êͺ¤ÇÒÁ¾ÃÍŒ Á 3) 738265#'43152 4) 1. จงหาผลลพั ธต์ ่อไปนี้ 1) 0.4 × 10 2) 0.567 × 100 2. จงเขียนเศษส่วนในรูปทศนยิ ม 1) 5 Learn Education 3) 9 2) 12 4) 56 3 30 3. จงเขยี นทศนิยมซํา้ ศนู ยใ์ นรปู เศษสว่ น 3) 2.7 1) 0.3 4) 15.31 2) 0.45 40

1. ทบทวนจำ� นวนตรรกยะ จำ� นวนท่ีสามารถเขียนได้ในรปู เม่ือ เป็น นักเรยี นทราบมาแลว้ ว่า จ�ำนวนตรรกยะ คอื a และ b b a จำ� นวนเตม็ b ไม่เป็นศนู ย์ และสามารถเขยี นให้อยใู่ นรูปทศนยิ มได้ โดยการนำ� ตวั ส่วนไปหารตัวเศษ ดัง ตัวอย่างต่อไปน้ี 1) 85 5g158.-.60 2) 73 3g726..-030303 ... 33 00- 1 09- Learn Education 109- 190- 0 1 h ดังนั้น 85 = 1.60... ดังน้นั 37 = 2.333... ทศนยิ มท่ีไดจ้ ากข้อ 1) และ 2) เรียกว่าทศนิยมซ้ํา แบง่ ออกเป็น 2 กลุ่ม ได้แก่ 1) ทศนิยมซ้ําศูนย์ เชน่ 1.5000... เขยี นแทนด้วย 1.50: แตโ่ ดยทวั่ ไปนิยมเขียนเป็น 1.5 2) ทศนิยมซ้ําทไ่ี ม่ใชท่ ศนยิ มซ้ําศนู ย์ เชน่ 2.4333... เขียนแทนดว้ ย 2.43: 17.898989... เขยี นแทนดว้ ย 17.8: 9: 1.501501501... เขียนแทนดว้ ย 1.5: 01: ในชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 นักเรียนได้เรียนรู้การเขียนและการอ่านทศนิยมซํ้า การเขียนเศษส่วนในรปู ทศนิยมซํา้ และการเขียนทศนยิ มซ้ําศูนยใ์ นรปู เศษสว่ น ในหนว่ ยการเรยี นรนู้ จ้ี ะกลา่ วถงึ การเขยี นทศนิยมซำ้� ทไ่ี มเ่ ปน็ ทศนยิ มซํ้าศนู ย์ในรูปเศษส่วน ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี 41

จ�ำนวนจรงิ ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี น 0.6o ในรูปเศษสว่ น วธิ ที ำ� ให้ N = 0.6o N = 0.666... ---------- (1) (1) × 10 จะได้ (1) × 10 หมายถึง น�ำ 10 ไป 10N = 6.666… ---------- (2) คณู กบั จำ�นวนท่อี ยทู่ ัง้ สองขา้ งของ เคร่ืองหมายเทา่ กบั ของสมการ (1) (2) - (1) จะได้ (2) - (1) หมายถึง น�ำ จำ�นวนทอ่ี ยู่ 10N - N = (6.666…) - (0.666…) ข้างเดยี วกนั ของเครอ่ื งหมายเท่ากบั 9N = 6 ของสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1) N = 096.6oหรือ 32 แต่ Learn Education N = ดงั นน้ั 0.6o = 32 ตอบ จงเขียน 0.7o ให้อยู่ในรูปเศษสว่ น ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี น 2.4o 51o ในรูปเศษส่วน วิธีทำ� ให้ N = 2.4o 51o N = 2.451451451... --------- (1) (1) × 1000 จะได้ 1000N = 2451.451451451... --------- (2) (2) - (1) จะได้ 1000N - N = (2451.451451451...) - (2.451451451...) 999N = 2449 N = 2949499 หรอื 2 949591 แต่ = 2 949591 N = 2.4o 51o ตอบ ด ังน้ัน 2.4o 51o 42

จงเขยี น 5.1o 07o ใหอ้ ยใู่ นรูปเศษสว่ น ตัวอย่างที่ 3 จงเขียน 0.56o 7o ในรูปเศษสว่ น วธิ ีทำ� ให ้ N = 0.56o 7o N = 0.5676767... --------- (1) (1) × 10 จะได้ Learn Education10N = 5.676767... --------- (2) (1) × 1000 จะได้ 1000N = 567.676767… --------- (3) (3) - (2) จะได้ 1000N - 10N = (567.676767…) - (5.676767…) 990NN == 595696202 หรอื 429851 แต่ = 429851 N = 0.56o 7o ตอบ ด งั นนั้ 0.56o 7o จงเขยี น 0.38o 4o ให้อย่ใู นรูปเศษสว่ น 43

จ�ำนวนจรงิ จากทก่ี ล่าวข้างต้น นกั เรยี นจะเหน็ ว่า ทศนยิ มซํ้าสามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นได้ โดยทต่ี วั เศษ เปน็ จำ� นวนเตม็ และตวั สว่ นเปน็ จำ� นวนเตม็ ทไ่ี มเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ ดงั น้ัน จงึ กลา่ วได้อีกอยา่ งว่า จำ� นวนตรรกยะ คอื จำ� นวนท่ีเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซา้ํ น่นั คือ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนตรรกยะ คอื จ�ำนวนท่ีเขียนแทนได้ดว้ ยทศนิยมซา้ํ หรอื เศษสว่ น a b เมือ่ a และ b เป็นจำ� นวนเตม็ b ไม่เป็นศูนย์ นกั เรียนสามารถพิจารณาไดจ้ ากแผนผังต่อไปนี้Learn Education จ�ำนวนตรรกยะ จำ� นวนตรรกยะที่ไม่ใช่จ�ำนวนเตม็ จ�ำนวนเต็ม จ�ำนวนเต็มลบ ศูนย์ จ�ำนวนเต็มบวก (จ�ำนวนนับ) แบบฝกึ หดั 1 (*) จงเขียนทศนิยมซ้�ำตอ่ ไปน้ใี นรูปเศษส่วน 1) 0.2$ 2) 0.8$ 6) 0.537o 7) 0.1o 04o 3) 0.3o 5o 8) 0.9o 4) 0.76$ 9) 2.5o 5) 0.21o 9o 10) 3.58o 44

2. จำ� นวนอตรรกยะ นกั เรยี นไดพ้ บเหน็ จำ� นวนเตม็ เศษสว่ นและทศนยิ มซา้ํ และสามารถนำ� ไปใชไ้ ดใ้ นชวี ติ ประจำ� วนั แตย่ งั มี สถานการณบ์ างอยา่ งทไ่ี มส่ ามารถใชจ้ ำ� นวนดงั กลา่ วแทนหรอื อธบิ ายปรมิ าณทต่ี อ้ งการได้ ดงั เชน่ สถานการณ์ ตอ่ ไปน้ี คุณพ่อต้องการสร้างสนาม เด็กเล่นให้ลูก ๆ 4 คนเป็น รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส โดยให้มี พน้ื ท่ี 5 ตารางเมตร สนาม เดก็ เลน่ นจ้ี ะมดี า้ นแตล่ ะดา้ น Learn Education [2] ยาวเท่าใด รูปท่ี 2 สนามเด็กเลน่ จากสถานการณข์ า้ งตน้ นกั เรยี นสามารถอธบิ ายการแกป้ ญั หาดงั กลา่ วดว้ ยจำ� นวนตรรกยะไดห้ รอื ไม่ ให้ a แทนความยาวของดา้ น จะไดว้ ่า พน้ื ที่ของรูปส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส = ความยาวของดา้ น × ความยาวของด้าน 5 = a × a 5 = a2 ดังนั้น การหาค่าของ a จึงเป็นการหาจ�ำนวนที่ยกก�ำลังสองแล้วได้ 5 นักเรียนอาจพจิ ารณาโดยการแทนค่า a ด้วยจำ� นวนเตม็ บวก ดงั นี้ a 1 23 a2 1 4 9 จากตาราง จะไดว้ ่า a มีค่าอยู่ระหว่าง 2 กับ 3 เพ่อื หาค่า a เปน็ ทศนยิ มหนง่ึ ตำ� แหน่ง จึงแบง่ ช่วงระหวา่ ง 2 กบั 3 ออกเป็นสิบสว่ นเทา่ ๆ กัน แล้ว พิจารณาวา่ a ควรมีคา่ เท่าใด โดยลองแทนค่า a ดว้ ยทศนยิ มหนึง่ ต�ำแหน่งที่อย่รู ะหวา่ ง 2 กับ 3 ดงั นี้ a 2.1 2.2 2.3 a2 4.41 4.84 5.29 จากตาราง จะได้วา่ a มีค่าอยูร่ ะหว่าง 2.2 กับ 2.3 45

จ�ำนวนจริง เพ่อื หาค่า a เปน็ ทศนิยมสองตำ� แหนง่ จงึ แบง่ ชว่ งระหว่าง 2.2 กบั 2.3 ออกเปน็ สบิ สว่ นเทา่ ๆ กนั แล้วพิจารณาว่า a ควรมีค่าเท่าใด โดยลองแทนคา่ a ดว้ ยทศนิยมสองต�ำแหน่งทอ่ี ยูร่ ะหวา่ ง 2.2 กับ 2.3 ดงั นี้ a 2.21 2.22 2.23 2.24 a2 4.8841 4.9284 4.9729 5.0176 จากตาราง จะได้ว่า a มคี ่าอยรู่ ะหว่าง 2.23 กับ 2.24 เพื่อหาคา่ a เป็นทศนยิ มตำ� แหน่งถดั ๆ ไป จึงทำ� ในทำ� นองเดยี วกัน ดังตารางตอ่ ไปน้ี a 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237 a2 4.977361 4.981824 4.986289 4.990756 4.995225 4.999696 5.004169 จากตาราง จะได้ว่า a มีคา่ อยู่ระหว่าง 2.236 กบั 2.237 Learn Education เมอื่ แทนค่า a เปน็ ทศนยิ มสามตำ� แหนง่ ทศนยิ มสตี่ ำ� แหนง่ ทศนยิ มหา้ ตำ� แหนง่ ไปเรอื่ ย ๆ จะพบว่า คา่ ของ a2 เขา้ ใกล้ 5 มากขนึ้ ดงั น้ี a ≈ 2.23606797749979… ซงึ่ ทศนยิ มในลกั ษณะนไ้ี มส่ ามารถจดั ชดุ ตวั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มใหเ้ ปน็ ชดุ ตวั เลขทซ่ี า้ํ กนั ได้ จงึ ไมส่ ามารถ เขยี นแทนดว้ ยทศนิยมซ้�ำได้ หรือกล่าวได้วา่ ไม่สามารถเขยี นแทนดว้ ยจำ� นวนตรรกยะได้ จากสถานการณ์ดังกลา่ วจะเหน็ ไดว้ า่ ไมส่ ามารถหาความยาวของดา้ นแต่ละดา้ นของสนามเดก็ เลน่ เปน็ จ�ำนวนตรรกยะได้ จึงจำ� เป็นต้องแทนค่า a ด้วยจำ� นวนชนดิ ใหม่ โดยใช้เครือ่ งหมายกรณฑ์ ( ) เขยี นสญั ลักษณ์ 5 แทนจำ� นวนบวกทยี่ กก�ำลงั สองแลว้ ได้ 5 จะได้คำ� ตอบว่าสนามเด็กเลน่ มีดา้ นแตล่ ะ ด้านยาว 5 เมตร 5 เป็นตวั อยา่ งของจ�ำนวนท่ีไม่สามารถเขยี นไดใ้ นรูปทศนิยมซำ้� ดงั น้นั 5 ไมใ่ ช่จำ� นวนตรรกยะ แต่เป็นตวั อยา่ งของ จ�ำนวนอตรรกยะ ตวั อยา่ งของจ�ำนวนอตรรกยะ เช่น 1.234567891011..., 84.37377377737777..., -0.7693253... จากตวั อย่างขา้ งต้น เรยี กทศนยิ มในลกั ษณะน้วี ่า ทศนยิ มไม่ร้จู บไมซ่ ํา้ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนอตรรกยะ เปน็ จ�ำนวนทเี่ ขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไมร่ ูจ้ บไม่ซ�้ำ ซ่ึงไมส่ ามารถเขยี นได้ ในรูปทศนิยมซํา้ หรือเศษสว่ น a เมอ่ื a และ b เปน็ จำ� นวนเตม็ b ไมเ่ ปน็ ศูนย์ b 46

2ต1))วั 7อ25ย่าง จงบอกว่าจ�ำนวนตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จ�ำนวนตรรกยะหรอื จ�ำนวนอตรรกยะ พรอ้ มให้เหตผุ ล 3) 6 4) 0.67676767... 5) 0.232233222333... ตอบ 1) ต25ัวสเ่วปน็นไจมำ� เ่ นทวา่ นกตบั ร0รกยะ เพราะอยู่ในรปู เศษส่วนทตี่ ัวเศษและตวั สว่ นเปน็ จ�ำนวนเตม็ ซึง่ 2) 7 เป็นจ�ำนวนตรรกยะ เพราะสามารถเขยี นในรปู เศษส่วนท่ีมีตัวเศษและตัวส่วนเป็น จำ� นวนเต็มซงึ่ ตวั สว่ นไมเ่ ท่ากับ 0 ไดเ้ ป็น 17 3) 6 เปน็ จำ� นวนอตรรกยะ เพราะจำ� นวนทยี่ กกำ� ลงั สองแลว้ ได้ 6 มคี า่ 2.4494897... ซงึ่ เปน็ ทศนยิ มไมร่ จู้ บไมซ่ ำ�้Learn Education 4) 0.67676767... เป็นจำ� นวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนในรูปทศนิยมซำ�้ ได้เปน็ 0.6o 7o 5) 0.232233222333... เป็นจำ� นวนอตรรกยะ เพราะเป็นทศนยิ มไม่รู้จบไมซ่ ํา้ 2จ1))งบ-23อ72กวา่ จำ� นวนต่อไปน้เี ปน็ จ�ำนวนตรรกยะหรอื จ�ำนวนอตรรกยะ พร้อมให้เหตุผล 3) 3 4) 0.88888... 5) 1.919119111... ให้นักเรยี นยกตัวอยา่ งจำ� นวนอตรรกยะทมี่ ีคา่ อยู่ระหวา่ ง 0 และ 10 มา 10 จำ� นวน 0 10 47

จำ� นวนจรงิ แบบฝกึ หดั 2 (*) จงบอกว่าจ�ำนวนต่อไปน้เี ปน็ จำ� นวนตรรกยะหรือจ�ำนวนอตรรกยะ พร้อมให้เหตผุ ล 1) 2,556 9) 0.515115111... 2) 023 10) 0-1.1.4213$44$ 56789 3) 11) 4) r11 1 12) 18.181181118... 5) 13) 01- ..72979329... 6) -5 14) 7) 35..12$43$2 15) 8) Learn Education 16) 2,013 3จ �ำ.นจว�ำนนอจวตากนรรหจกัวรยขงิ ะ้อ สทาแ่ี มลาว้ รถนเกัขเียรนียไนดไใ้ดน้ทรรปู าทบศวน่าจยิ �ำมนไมวน่รูจ้ตบรรไมก่ซยาํ้ะสามารถเขียนไดใ้ นรปู ทศนิยมซำ�้ และ เรียกจำ� นวนตรรกยะหรือจำ� นวนอตรรกยะว่า จำ� นวนจรงิ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนจริงประกอบด้วยจ�ำนวนตรรกยะและจำ� นวนอตรรกยะ ดังแผนผังต่อไปนี้ จ�ำนวนจริง จำ� นวนอตรรกยะ จำ� นวนตรรกยะ จ�ำนวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ �ำนวนเต็ม จ�ำนวนเตม็ จำ� นวนเต็มลบ ศูนย์ จำ� นวนเตม็ บวก (จ�ำนวนนับ) 48

อกี ตวั อยา่ งหนง่ึ ของจำ� นวนอตรรกยะคอื r ค่า r คือ อัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้ r= ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม ความยาวของเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง Learn Education นักเรยี นสามารถค�ำนวณหาพนื้ ทขี่ องวงกลมโดยใชส้ ูตรพ้นื ท่ขี องวงกลม = rr2 เมื่อ r แทนรศั มีของวงกลม และ ค�ำนวณหาความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมโดยใช้สูตรความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม = 2rr เมอื่ r แทน รัศมีของวงกลม ในการหาค่าของ r ในอดีตมีวิธีการมากมาย หนึ่งในน้ันคือการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน วงกลมและลอ้ มรอบวงกลมแลว้ หาความยาวรอบรปู หลายเหลยี่ มทงั้ สองรปู เพอ่ื หาขอบเขตของคา่ r ยง่ิ รปู หลายเหลยี่ ม ด้านเท่ามุมเท่าที่สร้างมีจ�ำนวนด้านมาก ความยาวรอบรูปหลายเหลี่ยมก็จะย่ิงใกล้เคียงกับความยาวของเส้นรอบวง ของวงกลมมาก ดงั รปู กำ� หนดให้ วงกลมแต่ละรูปดา้ นลา่ งมีเส้นผ่านศนู ยก์ ลางยาว 1 หนว่ ย รูปสีเ่ หลย่ี มแนบในวงกลม รปู หกเหล่ยี มแนบในวงกลม รูปสิบเหลยี่ มแนบในวงกลม และล้อมรอบวงกลม และลอ้ มรอบวงกลม และลอ้ มรอบวงกลม อารค์ ิมดี สี (Archimedes : 287-212 ปกี อ่ นคริสต์ศักราช) นักคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ชาวกรีก ไดแ้ สดง การหาคา่ ของ r โดยอาศยั การสรา้ งรปู เกา้ สบิ หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ แนบในวงกลมและลอ้ มรอบวงกลม และพบวา่ ค ่าขอหงมาrยเอหยต่รู ุ ะ: หrว่าเงปน็ 27จ21�ำ3นวแนลอะตร27ร2กยซะงึ่ มแคีตา่่ ป27ร2ะมแาลณะ 3.14 ซ่งึ เปน็ คา่ ประมาณของ r นัน้ เปน็ จ�ำนวนตรรกยะ 3.14 49

จำ� นวนจรงิ คา่ r เปน็ ค่าคงที่ ไม่ว่าวงกลมจะเล็กหรือใหญ่ อตั ราส่วนระหว่างความยาวของเสน้ รอบวงตอ่ ความยาวของ เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลมจะมีคา่ เท่ากนั เสมอ Learn Education คา่ r [3] ค่า r โดยประมาณ 50 ต�ำแหน่ง คอื 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 แบบฝกึ หดั 3 (*) จงบอกว่าจำ� นวนตอ่ ไปนเี้ ป็นจ�ำนวนตรรกยะหรือจำ� นวนอตรรกยะ พรอ้ มใหเ้ หตุผล 1) 40 9) 25 2) -19 10) 9.23488 3) -135 11) 4 + 160 4) r7 12) 3 + 8 5) 0.75 13) 6 - 5.5 6) 3,189 14) 12..2586 7) 0.001 15) 4 8) 24 16) 0.9o 5o 50