Квант №5 - 2023

№5 2023 МАЙ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА В номере: УЧРЕДИТЕЛИ 2 К 120-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова 3 Конечные геометрии. А.Колмогоров Российская академия наук 15 Проблемы резистора. Л.Ашкинази Математический институт ЗАДАЧНИК «КВАНТА» им. В.А.Стеклова РАН 28 Задачи М2746–М2749, Ф2753–Ф2756 Физический институт 29 Решения задач М2734–М2737, Ф2741–Ф2744 им. П.Н.Лебедева РАН КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Московский физико-технический институт 32 Физика + спорт Московский центр непрерывного математического образования ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ А.А.Гайфуллин 37 Диск Фейнмана, конденсатор Тамма и импульс РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ электромагнитного поля. С.Герасимов Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов, «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ М.Н.Бондаров, А.А.Варламов, 41 Задачи С.Д.Варламов, А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, Н.П.Долбилин, НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ С.А.Дориченко, В.Н.Дубровский, А.А.Заславский, А.Я.Канель-Белов, 42 Парад ледяных сталагмитов. В.Птушенко П.А.Кожевников, С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК А.Б.Минеев, В.Ю.Протасов, 43 Задача о двух биссектрисах. Е.Бакаев А.М.Райгородский, А.Б.Сосинский, ОЛИМПИАДЫ А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, 47 84-я Московская олимпиада школьников А.В.Устинов (заместитель главного по физике редактора), А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора) 59 Ответы, указания, решения РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ НА ОБЛОЖКЕ I Иллюстрация к статье «Проблемы резистора» А.В.Анджанс, В.И.Берник, II Лингвистические задачи А.А.Боровой, В.В.Козлов, III Шахматная страничка С.П.Новиков, А.Л.Семенов, IV Прогулки с физикой С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР И.К.Кикоин ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА А.Н.Колмогоров Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

К 120-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ А.Н.КОЛМОГОРОВА В июне 1972 года состоялась очеред- ная летняя математическая школа ФМШ №18 под руководством акаде- мика Андрея Николаевича Колмогоро- ва. Она проходила в Пущино – неболь- шом научном (биологического направ- ления) городке, полном зелени. Для каждой летней школы Андрей Нико- лаевич выбирал определенную мате- матическую тему, в рамках которой он читал свои лекции, а помогавшие ему студенты-математики и аспиранты про- водили индивидуальные занятия в клас- се – решали со школьниками конкрет- ные задачи по теме лекций. В этот раз Андрей Николаевич выб- рал тему геометрии, но не простой, а конечной – вернее, речь шла о конеч- ных геометриях. В конечной геометрии лишь конеч- ное число точек и конечное число пря- мых. Но что следует понимать под прямой в этой геометрии? Прямая – это некий очень специфический набор точек, подчиняющийся определенным, простым и естественным, правилам – аксиомам. Аксиом совсем немного, три или четыре, и взяты они из стандартно- Андрей Николаевич Колмогоров го курса школьной геометрии. Может ли в такой геометрии быть всего две точки? Может ли прямая состоять из двух точек? Или из трех, четырех, пяти точек? Могут ли какие-то две прямые содержать разное количество точек или же все они содержат одно и то же их количество? А каким может быть общее количество точек во всей конечной геометрии? Может ли оно быть равным 7, 8 или 9? Все вопросы такого рода появляются сразу же, как только возникает сама идея о том, что в геометрии может быть конечное число объектов – точек и прямых. Андрей Николаевич начал свою первую лекцию рассказом о том, что еще в Древней Греции философская идея о физической Вселенной, состоящей из конечного числа объектов- атомов, довольно широко пропагандировалась в научных кругах того времени и поэтому она естественным образом трансформировалась также и в идею о математике с конечным числом объектов, в первую очередь геометрических. Соединить философскую идею о конечности числа геометрических объектов с логикой и простейшими правилами «поведе- ния» объектов – аксиомами – и было движущей силой и путеводной нитью всей летней математической школы 1972 года. Я помню, как был счастлив Андрей Николаевич в те кульминационные моменты своих лекций, когда завершал доказательство того, что любые две прямые конечной геометрии содержат одно и то же число точек, что общее число точек в конечной геометрической «вселенной» может быть только точным квадратом натурального числа и никаким другим, что общее число прямых, проходящих через каждую точку, всегда на 1 превышает число точек на каждой отдельной прямой и другие тому подобные удивительные количественные соотношения, которые логическим путем вытекают из аксиом.

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 3 Мы же, студенты-математики и аспиранты, участвующие в работе математической школы, подробно обсуждали лекции Андрея Николаевича и сопутствующие им конкрет- ные математические задачи, давали решать их школьникам, а также придумывали свои, совсем новые задачи, пополнявшие исходный (не очень большой) список задач по этой теме, предложенный Андреем Николаевичем перед началом своих лекций. Ближе к концу школы Андрей Николаевич стал рассказывать об идее дискретного времени: что, если время течет не непрерывно, а дискретно, от точки к точке, и представляет собой такую же прямую из конечного числа точек, как и все прямые плоскости, и что получится, если эту прямую добавить к уже имеющимся? Однако эта расширенная программа исследований конечных геометрий фактически не была начата: месяц занятий в летней школе истек очень быстро. В результате обработки записей лекций А.Н.Колмогорова автором этих строк и дальнейшей работы над задачами о конечных геометриях и появилась статья, которая предлагается читателям «Кванта» и которая в концентрированном виде передает дух Пущинской летней математической школы 1972 года. Г.Гальперин Конечные геометрии А.КОЛМОГОРОВ А.Н.Колмогоров читает лекцию дачей точного изображения того, что ви- дит глаз. Поскольку реальные картины ВНАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ГЕОМЕТРИЯ являются трехмерными, а картины, вы- имеет несколько ветвей. Первый шаг к полняемые художниками, – двумерными, новой геометрии сделали художники эпо- то может показаться, что рисовать реали- хи Возрождения, которые бились над за- стически нельзя. Художники положили в основу решений этой проблемы зритель- ное восприятие. Представим себе челове- ка, смотрящего одним глазом в окно на некую реальную сцену. Он видит ее пото- му, что световые лучи, испускаемые раз- личными точками этой «картины», дос- тигают его глаза. Скопление таких свето- вых лучей называют проектирующим пуч- ком. А поскольку лучи проходят сквозь стекло, мы имеем возможность отметить на нем точку, через которую проходит каждый луч. Совокупность всех таких точек называется проекцией. Художникам принадлежит открытие, что глаз воспри- нимает эту проекцию так же, как и саму реальную сцену. Использование метода проецирования поставило на повестку дня основной гео- метрический вопрос, который впервые был рассмотрен художниками, а затем подхва- чен математиками. Каковы же те общие

4 КВАНT $ 2023/№5 геометрические свойства исходной фигу- Дадим еще одно определение. ры и ее проекции, которые дают возмож- ность произвести один и тот же эффект на Определение 2. Множество прямых человека? Поиски ответа на этот вопрос привели к новым понятиям и теоремам, на образует пучок, если основе которых окончательно сформули- ровалась новая ветвь геометрии, которая а) либо все прямые этого множества называется проективной геометрией. проходят через одну точку А; Ниже приводятся некоторые из этих понятий и теорем. Но сначала поговорим б) либо все прямые множества парал- об аффинных геометриях. лельны некоторой прямой а – в этом 1. Конечные аффинные геометрии случае будем говорить о пучке параллель- Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, на ных. основе которых построим аксиоматичес- кую теорию. Доказать, что на плоскости существует Определение 1. Аффинной плоскостью еще хотя бы одна точка, нельзя. Действи- назовем множество элементов, называе- тельно, можно построить геометрию ров- мых точками, и систему его подмножеств, но из 4-х точек. Если называемых прямыми. При этом должны выполняться три следующие аксиомы. эти точки занумеровать А1. Через две различные точки прохо- 1, 2, 3, 4 (рис. 1), то дит одна и только одна прямая. получим шесть прямых А2. Для любых заданных прямой а и Рис. 1 (1, 2), (3, 4), (1, 4), точки А существует одна и только одна (2, 3) и (1, 3), (2, 4). проходящая через А прямая b, параллель- При этом пучков параллельных будет ная а. (Прямые называются параллель- ными, если они либо совпадают, либо не вдвое меньше – 3. имеют общих точек.) 2. Конечные проективные геометрии А3. Существуют три неколлинеарные Теперь «пополним» аффинную плоскость точки. некоторыми «бесконечными» точками и придем таким образом к понятию проек- Лемма 1. Две различные прямые имеют тивной плоскости. не более одной общей точки. Пусть задана аффинная плоскость $. Доказательство. Это следует из того, Для каждой прямой a  $ рассмотрим что если общих точек по крайней мере две, пучок параллельных ей прямых и назовем то по А1 прямые совпадают. его бесконечно удаленной точкой направ- ления а. Определим теперь пополнение $ Лемма 2. На плоскости существуют по так. Точками 3 являются все точки плос- крайне мере 4 различные точки. кости $ и все бесконечно удаленные точки. Прямыми служат а) обычные прямые, Доказательство. В силу А3 существуют дополненные соответствующими бесконеч- три неколлинеарные точки А, В, С. Со- но удаленными точками и б) «бесконечная гласно А2, существует прямая а, проходя- прямая», состоящая из всех бесконечно щая через А параллельно ВС, и существу- удаленных точек плоскости. ет прямая b AB и проходящая через С. Если предположить, что a b, то неслож- Легко убедиться, что 3 является проек- но доказать, что AB BC , а это невозмож- тивной плоскостью в смысле следующего но, так как AB z BC, а В – их общая точка. определения. Значит, а и b пересекаются в некоторой четвертой точке, которая по А3 не совпада- Определение 3. Проективной плоско- ет ни с одной из точек А, В, С. Лемма доказана. стью называется множество, элементы которого – точки, и набор его подмно- жеств, именуемых прямыми, если при этом выполнены такие аксиомы. П1. Через две различные точки прохо- дит одна и только одна прямая. П2. Любые две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 5 П3. Существуют четыре неколлинеар- менты которого – прямые в 3, именуемые ные точки (т.е. любые три из них – в & точками, является проективной плос- неколлинеарны). костью, если только называть прямыми Упражнение 1. Проверьте, что задавае- в & пучки прямых в 3. Плоскость & мое выше пополнение аффинной плоско- называется двойственной к 3 (так как сти действительно определяет проектив- ную плоскость. фактически точки и прямые в 3 поменя- лись местами и получилось &). Примеры: 1. Пополняя аффинную плоскость евк- Доказательство. Проверим выполнение лидовой геометрии, мы получим действи- аксиом проективной плоскости. тельную проективную плоскость »P2. 2. Пополняя аффинную плоскость из Х1. Пусть А и В – две различные точки четырех точек до проективной, получим в &; тогда существует единственная пря- проективную плоскость из семи точек и мая из &, содержащая А и В. Но в семи прямых (рис. 2). терминах 3 это означает, что для двух различных прямых из 3 найдется пучок, Рис. 2 содержащий обе эти прямые, а это следу- ет из П2. 3. Построим еще одну модель бесконеч- ной проективной плоскости. Пусть »3 – Х2. Любые две прямые из & имеют обычное трехмерное евклидово простран- общую точку, что следует из П1. ство и О – некоторая точка в нем. Обозна- чим через 3 множество всех прямых, про- Х3. Надо показать, что существуют 4 точ- ходящих через O. Точкой в 3 назовем ки, никакие три из которых не коллинеар- любую из проведенных прямых, а пря- ны в &. Это то же самое, что показать, что мой – множество прямых, проходящих че- в 3 существуют 4 прямые, никакие три из рез О и лежащих в некоторой плоскости. которых не лежат в одном пучке. Возьмем Множество 3 будет удовлетворять аксио- 4 неколлинеарные точки из 3 (такие есть мам П1 – П3 (проверьте это!), стало быть, по П3) и из всех прямых, через них прохо- является проективной плоскостью. дящих, выберем нужные нам четыре. Из примера 2 видно, что в одном частном Таким образом, предложение доказано. случае конечной проективной геометрии Следствие. Если K – некоторое утвер- число точек равно числу прямых. Конеч- ждение в 3, выведенное из аксиом П1–П3, ных аффинных геометрий существует бес- то утверждение K , получаемое из K конечно много (что будет выяснено ниже в задачах), и все их можно пополнить так же, двойственной заменой (типа: прямые как это было сделано в случае четырех точек. Будет ли при этом иметь место совпа- отвечают точкам и т.п.), может быть дение числа точек и прямых? Ответ на этот вопрос дает следующее предложение. выведено из тех же аксиом. Доказательство. Ясно, что K – то же Предложение 1. Пусть 3 – проектив- ная плоскость. Тогда множество &, эле- утверждение K, только в геометрии &. Но аксиомы геометрии & вытекают из аксиом геометрии 3, что и требовалось. Теперь ясно, почему количество точек и прямых в проективной геометрии одина- ково – из-за принципа двойственности. Если из плоскости & аналогичным обра- зом построить двойственную плоскость *, то окажется, что плоскости 3 и * «изомор- фны». Однако плоскости 3 и & не всегда изоморфны. Примеры можно строить с помощью конечных плоскостей, на кото- рых не выполняется аксиома Дезарта (см. ниже). (Одним из таких примеров является плоскость Холла порядка 9, со- стоящая из 91 точки. – Прим. ред.)

6 КВАНT $ 2023/№5 3. Аффинные и проективные Рис. 9 Рис. 10 конечные пространства АС 62 . Для любой плоскости D суще- ствуют неколлинеарные точки A, B, C Пространством называется, как и в плос- ком случае, множество точек Т, в котором такие, что A, B,C  D. выделяются подмножества L прямых и Р АС 63 . Существуют четыре точки, не плоскостей. Введем обозначения: лежащие в одной плоскости (рис. 9). T ^A,B,C,...`, L ^a,b,c,...`, P ^D,E,J,...`. Так же, как и в случае плоскости, можно При этом должны выполняться следующе доказать, что в пространстве существуют аксиомы. по крайней мере 8 точек. То, что больше может и не быть, следует из восьмиточеч- АС1. Для любых точек A и B существу- ной модели пространства (рис. 10). ет единственная прямая a, обозначим ее Упражнение 2. Перечислите все прямые a  A, B, такая, что A, B  a (рис. 3). и все плоскости на этой модели. АС2. Если точки A и B принадлежат Указание. Не упустите плоскости из четырех точек, лежащих в вершинах пра- плоскости D, то прямая  A, B также вильного тетраэдра! принадлежит плоскости D (рис. 4). Рассмотрим несколько важных теорем АС3. Если точки А, В, С не лежат на аффинного пространства. одной прямой, то существует единствен- ТС1. Пусть точка A и прямая a тако- ная плоскость D такая, что A, B,C  D (рис. 5). вы, что A  a. Тогда существует един- ственная плоскость D такая, что A,a  D АС4. Если пересечение плоскостей D и E содержит точку A, то найдется пря- (рис. 11). мая a, которая содержится в пересече- нии этих плоскостей (рис. 6). Рис. 11 Определение 4. Прямые а и b называ- ются параллельными, если они либо со- впадают, либо лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. АС5. Для любой прямой a и любой точки A существует единственная пря- мая b такая, что A  b и b параллельна a (рис. 7). АС 61 . Для любой прямой a существу- ют две различные точки A и B такие, что A, B  a (рис. 8). Доказательство. По аксиоме АС61 най- дутся две точки C, B  a. По аксиоме АС1 точки А, В, С не коллинеарны, значит, по Рис. 3 Рис. 4 АС3 существует единственная плоскость D такая, что A, B,C  D, следовательно, по аксиоме АС2 a  D, значит, a, A  D, что и требовалось доказать. ТС2. Для любых двух несовпадающих пересекающихся прямых a и b существует Рис. 5 Рис. 6 единственная плоскость D такая, что Рис. 7 Рис. 8 a,b Ž D (рис. 12). Доказательство. Пусть прямая a пере- секается с прямой b в точке C. Из аксиомы CАСт6о1чсклаедAу,епт,рчитноасдулщежесатщвауяютa,отилиточчнкыае от B,

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 7 принадлежащая b. такая, что A  a и a b. Докажем, что Точки A,B,C не кол- a ˆ D ‡. Пусть a ˆ D X , тогда X  D ˆ E, линеарны, значит, значит, X  a ˆ b. Но a ˆ b ‡, поскольку по AC3 существует a не совпадает с b (так как A  b) и a b. единственная плос- Противоречие. кость D такая, что A, B,C  D. Остает- Следующие несколько теорем приведем ся два раза приме- нить аксиому АС2. без доказательств. ТС3. Существу- Рис. 12 ТС5. Пусть пря- ют прямые a, b такие, что любая плос- мые a,b и плоско- кость, содержащая прямую a, не содер- сти D, E таковы, жит прямую b. Иными словами, суще- что a E, b  D и ствуют скрещивающиеся прямые a b. Пусть, кро- (рис. 13). ме того, D ˆ E c, тогда a c и b c (рис. 17). Рис. 17 ТС6. Имеет место транзитивность параллельности прямых: если a b и b c, то a c (рис. 18). Рис. 13 Рис. 14 Рис. 18 Рис. 19 Доказательство. По аксиоме АС63 су- ТС7. Имеет место транзитивность ществуют некомпланарные точки A, B, C, параллельности плоскостей: если D E и D (рис. 14). Тогда прямые a  A, B и E J, то D J (рис. 19). b C, D искомые. Действительно, пусть ТС8. Пусть различные прямые a,b при- существует плоскость D такая, что a,b  D, надлежат плоскости D и a ˆ b z ‡, пря- тогда A, B,C, D  D – противоречие. мые ac, bc принадлежат плоскости E и a ac, b bc. Тогда D E (рис. 20). ТС4. Для любой плоскости D и не при- надлежащей ей точки A существует пря- ТС9. Пусть D E, мая a такая, что: A  a и a ˆ D ‡ (т.е. J ˆ D a и J ˆ E b, a D) (рис. 15). тогда a b(рис. 21). ИраззлаикчсиноымхытоАчСек62BсилеС- Доказательство. дует существование таких, что B,C  D (рис. 16). Из АС2 полу- чаем, что b C, B  D, значит, по АС3 существует плоскостьE такая, что A, B,C  E. По ТС1 имеем b, A  E, а по АС5 существует прямая a Рис. 20 Рис. 21 Рис. 15 Рис. 16 Упражнение 3. Используя аксиомы АС1 – АС6 и первые 4 теоремы, докажите теоремы ТС5 – ТС9. Указание. Все они доказываются мето- дом от противного.

8 КВАНT $ 2023/№5 Перейдем теперь к проективному слу- Предложение 2. Из проективной гео- чаю; теоремы ТС1 – ТС9 понадобятся нам в дальнейшем. метрии получается аффинная выбрасы- Пополнение пространства производится ванием любой плоскости. точно так же, как в плоском случае: беско- нечно удаленной точкой назовем пучок Упражнение 5. Проверьте это предло- параллельных прямых; бесконечно уда- ленной прямой назовем пучок параллель- жение (т.е. покажите, что все аксиомы ных плоскостей; все бесконечно удален- ные прямые лежат в одной бесконечно аффинной геометрии выполняются). удаленной плоскости. Перейдем теперь к основной теореме – Упражнение 4. Рассмотрим пополнение 8-точечного пространства. Сколько будет теореме Дезарга в проективном случае точек в полученном проективном простран- стве? А сколько прямых? А плоскостей? (когда нет параллельных прямых). Более точное определение проективного Теорема Дезарга. Если точки пересече- пространства дается такими аксиомами. ния соответственных сторон двух тре- PS1. Для любых точек А, В существует прямая а такая, что A, B  а (рис. 22). угольников лежат на одной прямой, то PS2. Для любых неколлинеарных A, B,C прямые, проходящие через соответствен- существует единственная плоскость D ные вершины, пересекаются в одной точке. такая, что A, B,C  D (рис. 23). Доказательство. Сначала рассмотрим PS3. Если прямая a не лежит в плоско- случай, когда треугольники не лежат в сти D, то существует единственная одной плоскости. точка A такая, что A  a ˆ D (рис. 24). Попарные пере- PS4. Если плоскости D и E не совпада- сечения плоскостей ют, то их пересечение – прямая (рис. 25). BAXBcAc, BCYBcCc PS 51 . Существуют некомпланарные точки A, B, C, D (рис. 26). и ACZAcCc содер- PS 52 . Для любой прямой a существу- жат прямые BBc, ют точки A,B,C такие, что A, B,C  а CCc и AAc (рис. 28). (рис. 27). Рис. 28 В то же время ни- какие две эти прямые не совпадают, так как в противном случае треугольники ле- жали бы в одной плоскости (почему?). Следовательно, пересечение всех плоско- стей – точка О, которая принадлежит и всем прямым AAc, BBc и CCc. Значит, прямые пересекаются в одной точке О. Перейдем к случаю, когда треугольники лежат в одной плоскости (рис. 29). Мы сведем второй случай к первому. Прове- дем через прямую, на которой лежат точки Рис. 22 Рис. 23 Х, Y, Z, плоскость, не совпадающую с нашей плоскостью, где расположены тре- угольники. Обозначим нашу плоскость I, а Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 Рис. 29

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 9 новую – II. Проведем произвольные пря- По П2 прямые АС и BD пересекаются, мые XYAcc, YCcc и ZBcc в плоскости II так, причем если, напри- чтобы они образовали некоторый тре- угольник AccBccCcc. Для треугольников АВС мер, точка пересече- и AccBccCcc выполнен первый случай теоре- мы, поэтому прямые, соединяющие соот- ния совпала с D, то ветственные вершины, пересекаются в не- А, С, D коллинеар- которой точке Oc. Аналогично и для тре- ны, что противоре- угольников AcBcCc и AccBccCcc – прямые, соединяющие соответственные вершины чит выбору точек. Ac, Bc, Сc и Acc, Bcc, Ccc, пересекаются в точке Значит, АС пересе- Рис. 32 Occ. Рассмотрим пересечение прямой OcOcc кает BD в точке K, отличной от точки D. и плоскости I. Докажем, что полученная Аналогично находим еще две точки L и M. точка О – искомая. Действительно, пока- Итак, в 3 содержится не менее семи точек, жем, например, что O  AAc. а модель из 7 точек существует. Точка Occ принадлежит прямой AcAcc, 3. Докажите, что всякая прямая в 3 точка Oc принадлежит AAcc, значит, точка содержит хотя бы 3 точки. O принадлежит плоскости AAcAcc, следова- тельно, O принадлежит AAc, что и требо- Решение. Если прямая проходит через валось доказать. Аналогично доказывает- ся, что O  BBc и что O  CCc. Теорема две из четырех неколлинеарных точек на полностью доказана. 3 (рис. 33), то прямая, проходящая через остальные две точки, по аксиоме П2 пере- секается с нашей прямой в третьей точке. Пусть теперь прямая а не проходит через точки А, В, С, D. Тогда по П2 найдутся 4. Задачи Рис. 33 Рис. 34 1. Докажите, что на любой прямой най- точки пересечения прямых АВ, ВС и DB с дутся две точки. прямой а (рис. 34). Обозначим эти точки буквами Н, K, E и покажем, что никакие Решение. Обозначим прямую а. По А3 две из них не совпадают. Если бы какие- существуют три неколлинеарные точки А, В, С. Рассмотрим два случая. нибудь две из них совпали, то две прямые Первый случай. Точки А, В, С не при- имели бы две общие точки и по П1 совпа- надлежат а (рис. 30). Тогда по А2 по крайней мере две прямые, соединяющие дали бы. Получили противоречие с тем, точки А, В, С, не параллельны а и имеют пересечение с а в точках Х и Y. что точки А, В, С, D не коллинеарны. 4. Докажите, что между точками любых Рис. 30 Рис. 31 двух прямых аффинной плоскости можно Второй случай. Пусть A  a (рис. 31). По А2 через точку В проходит прямая установить взаимно однозначное соответ- b AC. Из транзитивности параллельно- сти b не параллельна а, т.е. имеет с ней ствие. общую точку, что и требовалось. Решение. Так как каждая прямая аф- 2. Какое наименьшее число точек содер- жит проективная плоскость? финной плоскости содержит не менее двух Решение. По аксиоме П3 существуют 4 точек, то для любых двух прямых а и b неколлинеарные точки А, В, С, D (рис. 32). найдутся различные точки А и В такие, что A  a, B  b (рис. 35). Проведем через А и В прямую. Возьмем любую точку M  a и проведем через М прямую c параллельно AB, по А2 это можно сделать единствен-

10 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 ным образом. Если бы р точек, то всего мы получим p2 точек. при этом оказалось, Если бы при этом некоторая точка R не что c b, то через точ- попала в число наших точек, то, проведя ку В проходили бы прямую c AC и замечая, что с не имеет две различные пря- общих точек с а, т.е. c a, получаем про- мые, параллельные c, тиворечие с А2: через точку С проходят что противоречило бы две параллельные прямые с прямой с – А2. Значит, c ˆ b z ‡. таковыми являются а и b. Рассмотрим теперь Теперь посчитаем количество прямых. Рис. 35 два случая: M  b и На плоскости имеется p  1 пучков парал- M  b. В первом слу- лельных прямых; через точку А прямой а чае М ставится в соответствие с собой. Во проходит p  1 прямых, каждая из кото- втором случае c ˆ b H, где H z M и М рых поставлена во взаимно однозначное ставится в соответствие с Н. Легко понять, соответствие с определенным пучком. Но в что полученное соответствие взаимно од- пучке ровно р прямых, значит, всего пря- мых p p  1 p2  p. нозначно (если бы нашлась «лишняя точ- ка», мы провели бы прямую, параллель- 7. На некоторой аффинной плоскости 5 ную АВ, и получили противоречие). Что и точек. Докажите, что на этой плоскости требовалось доказать. есть еще по крайней мере 5. Докажите, что все пучки параллель- 4 точки. ных прямых аффинной плоскости содер- Решение. Минималь- жат одинаковое число прямых. ный точный квадрат Решение. Рассмотрим некоторый пучок больше 4 – это 9, значит, параллельных и прямую, его пересекаю- еще 4 точки найдутся. щую (такая существу- Существование геомет- ет). Точки на этой пря- Рис. 38 рии из 9 точек подтвер- ждает рисунок 38. мой автоматически по- ставлены во взаимно од- 8. Докажите независимость аксиом а) аф- нозначное соответствие финной геометрии, б) проективной гео- с прямыми пучка метрии. (рис. 36). Но между точ- Решение. Независимость аксиом дока- ками любых двух пря- жем, предъявив для каждой из аксиом мых существует взаим- геометрию, в которой только эта аксиома Рис. 36 но однозначное соответ- не выполняется. ствие, стало быть, существует и взаимно а) Для аффинной геометрии невыполне- однозначное соответствие между прямыми ние A1 показано на рисунке 39. Невыпол- любых двух пучков параллельных. нение существования в аксиоме A2 – гео- 6. Пусть прямая в аффинной геометрии метрия Римана – показано на рисунке 41, содержит р точек. Сколько точек и сколь- отсутствие единственности – геометрия ко прямых на плоскости? Лобачевского – на рисунке 40. Невыпол- Решение. Рассмотрим прямую а и точку нение A3 – на рисунке 42. А вне нее (почему б) Покажем независимость аксиом про- такая есть?). Через ективной геометрии. Невыполнение П1 А и точку С на пря- снова иллюстрирует рисунок 41. Чтобы мой а проведем пря- мую b (рис. 37). Через все остальные точки а проведем прямые, параллель- ные b. Так как на Рис. 37 каждой прямой по Рис. 39 Рис. 40 Рис. 41

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 11 Рис. 42 Рис. 43 четырех точек). Пусть А, В, С, D – это 4 точки и A, B  a. Проведем прямые АС и показать невыполнение П2, можно взять BD. По П2 существует единственная точка M  AC ˆ BD и M z A, B,C, D. При этом произвольную аффинную геометрию. Слу- M  a, так как в противном случае АС а и BD a. Кроме того, С, D и М не лежат чай, когда не выполняется П3, показан на на одной прямой, так как в противном случае через М и С проходили бы две рисунке 43. прямые. При удалении а точки С, D и М остаются, так как ни одна из них а не 9. Докажите, что если из проективной принадлежала. Значит, аксиома А3 вы- полнена. плоскости удалить прямую, то получится 10. Постройте аффинную плоскость из аффинная плоскость. 16 точек. Решение. Пусть мы удалили из проек- Решение изображено на рисунке 44. тивной плоскости 3 прямую а. Докажем, Рис. 44 что в полученной плоскости $ выполняют- 11. Прямая в проективной плоскости 3 ся аксиомы А1–А3. Действительно, возьмем содержит n  1 точек. Сколько точек в 3? точки А и В в новой плоскости и пусть Ac Сколько прямых? и Bc – те же точки в проективной плоскости Решение. Возьмем в плоскости 3 пря- 3. Ясно, что Ac и Bc не принадлежат а. мую а с точками A1, A2,…, An1. По аксиоме Согласно П1 существует единственная пря- П3 существует точка В такая, что B  a. тПорчоквиедоекмажBуAт1,сBя Aз2а,д…ей, BстAвnов1.анПнрыимэит.омДвесйе- мая lc такая, что Ac, Bc  lc. По предыдущему ствительно, если, например, С не принад- lc z a, значит, lc перейдет в какое-то непус- лежит а, то ВС пересекается с а в одной из тое множество l  $. Поскольку Ac, Bc  lc, точек Ak и, стало быть, точка С уже учтена. то A, B  l. Раз lc – единственная, значит, и Итак, всего получим l – единственная, так как а мы удалили. Итак, А1 выполнена. n 1 1n 1 1 n2  n 1 Проверим A2. Возьмем произвольную точек в 3. Поскольку через каждую точку (как и через В) проходит n  1 прямых, прямую l и точку X  l в $. Пусть при причем каждая прямая при таком подсчете удалении прямой а прямая lc перешла в l, учитывается n  1 раз (на ней n  1 точек), а точка Xc – в Х. Ясно, что lc z a и Xc  a. то прямых будет Отсюда по П2 существует единственная  n2  n 1 n 1, Mc lc ˆ a. По П1 существует единствен- n 1 ная прямая mc такая, что Xc, Mc  mc. Если т.е. столько же, сколько и точек. Этого Xc  lc, то mc lc и, значит, mc ˆ lc Mc. следовало ожидать, так как имеет место Так как с удалением а удаляется Mc, то m ˆ l ‡, где m и l – образы mc и lc в плоскости $. Значит, m параллельна l, а так как Xc  mc, то X  m. Кроме того, mc единственна, значит, и m единственна, а следовательно, выполнена А2. Если X  l, то Xc  lc, значит, mc lc. Из mc и из lc удаляется ровно одна точка Mc, поэтому m l и можно записать m l. По- скольку mc единственна, следовательно, и m единственна, и через точку на прямой проходит единственным образом прямая, параллельная данной. Таким образом, А2 полностью доказана. Проверим А3. По П3 выбираем 4 некол- линеарные точки. Нас интересует случай, когда две из них лежат на удаленной прямой, так как в остальных случаях А3 выполняется (поскольку на удаленной прямой не может быть более двух из

12 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 принцип двойственности, описанный в сти, на которой теорема Дезарга невыпол- нима. Рассмотрим плоскость »2 и прямую конце раздела 2. 12. Некоторая проективная плоскость а на ней. Новую плоскость будем строить так. Точки останутся прежними. Прямы- была получена пополнением некоторой аффинной плоскости. В проективной плос- ми назовем все прямые, параллельные а, и все прямые, пересекающие а не под тупым кости 13 прямых. Сколько прямых в аф- углом (рис. 46). Если же какая-то прямая финной плоскости? Рис. 46 Решение. В проективной плоскости 13 b была наклонена под тупым углом M к а, точек. Решая уравнение n2  n  1 13, то в нижней полуплоскости она будет под находим n 3. В геометрии из 9 точек 12 углом \\ к а, причем прямых (см. задачу 6). tg § M  S · Этих вычислений можно было и не про- ¨© 2 ¸¹ 2. делывать. Достаточно лишь заметить, что § S · tg ¨© 2  \\ ¹¸ при пополнении добавляется ровно одна бесконечно удаленная прямая. Поэтому Пример, для которого теорема Дезарга ответ: 13  1 12. 13. Установите взаимно однозначное соответствие между точками прямых про- ективной плоскости. Решение. На прямой а имеется k точек, на прямой b – n точек. Докажем, что k n. И k, и n больше 2, значит, кроме точки пересечения O a ˆ b на прямых а и b есть еще по одной точке А и В (рис. 45). невыполнима, приведен на рисунке 47. Рис. 45 Рис. 47 Проведем через А и В прямую, на ней 15. Постройте аффинную геометрию на найдется еще одна точка С. Обозначим p2 точках (р – простое). через Xi точки на прямой а; прямая CXi пересекается с прямой b в точке Yi. Если Решение. На каждой прямой должно i z j, то Xi z Xj и Yi z Yj, так как через С быть р точек, через каждую точку должно и Xi и через С и Yi можно провести проходить р  1 прямых. Построим пря- единственную прямую. Таким образом, мые, проходящие через одну из точек. Для O l O, A l B; Xi l Yi. Итак, точкам простоты продемонстрируем построение прямой а соответствуют точки прямой b. на 25 точках. Точкой будем называть мно- Если при этом на прямой b есть еще одна жество узлов сетки с одинаковыми номе- точка Z, то CZ ˆ a ‡, что невозможно, значит, k n, что и требовалось. 14. Докажите, что теорема Дезарга на плоскости недоказуема – необходим выход в пространство. (Таким образом, в плоском случае теорема Дезарга является аксиомой.) Доказательство. Д.Гильберт построил превосходный пример аффинной плоско-

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 13 Рис. 48 16. Докажите, что плоскость в аффин- ном пространстве аффинна. рами (рис. 48 слева). Прямыми назовем прямые, имеющие одно из изображенных Доказательство. Аксиома А1 автомати- на рисунке направлений и проходящие чески следует из АС1 и АС2. через узлы сетки. (Можно представлять себе в качестве модели сетчатый цилиндр, Проверим выполнение А2. Возьмем пря- показанный на рисунке 48 справа.) мую а в плоскости D. По АС6 существует точка A  D такая, что A  a. По АС5 Докажем, что через точку 1 и любую существует b a, A  b. Докажем, что b  D. другую точку проходит не более одной пря- Рассмотрим плоскость E, содержащую а и мой. Пусть, напротив, через точки 1 и Х, где b (такая плоскость существует по опреде- Х – точка в k-й строке, проходят две пря- лению параллельных). В плоскости E и в мые. Расстояние между точками пересече- плоскости D существуют три неколлинеар- ния этих прямых с первой строкой равно ные точки А, В, С; В и С принадлежат n  p. Тогда расстояние между узлами сетки, прямой а. Но тогда по АС3 плоскости D и обозначающими точку Х, через которые E совпадают. проходят эти прямые, равно kn. Так как р – простое, k  p, n  p, то kn не делится на р, Аксиома А3 вытекает из АС6. поэтому эти два узла не являются одной 17. На прямой аффинного пространства точкой. Прямые, проходящие через точку 1, n точек. Сколько точек в пространстве? проходят и через все остальные точки. Дей- Сколько прямых? Сколько плоскостей? ствительно, через точку 1 проходит р  1 Решение. Как уже доказано в задаче 16, прямых, на каждой из них, кроме точки 1, всякая плоскость аффинна, а в каждой еще p  1 точек, никакие две из всех точек аффинной плоскости n2 точек. Возьмем одну из плоскостей D. В пространстве есть не совпадают, всего точек p  1p  1 еще одна точка А (почему?). Через точку А и точку С на плоскости D проведем p2  1. Что и требовалось доказать. прямую с n точками на ней. Через каждую Если через любую точку плоскости про- точку из этих n проходит плоскость, па- вести все прямые, то получится та же раллельная данной, на каждой из которых картина, что и для точки 1. n2 точек. Следовательно, всего точек в Тем самым А1 проверена. пространстве n3. Доказать, что больше На прямой имеется р точек. Рассмотрим точек нет, можно аналогично тому, как это точку В вне этой прямой, через нее прохо- делалось в задаче 6. дит р  1 прямых. Из них р прямых пере- Посчитаем количество прямых. Пусть секают данную прямую в р точках, а одна через каждую точку проходит k прямых. ее пересечь не может, так как через эту точку и любую другую можно провести На каждой из них по n  1 точек; все они только одну прямую. Следовательно, че- рез каждую точку можно провести ровно проходят через n3  1 точек. Значит, одну прямую, параллельную данной, а значит, выполнена аксиома А2. k n  1 n3  1, следовательно, k n2  Выполнена и аксиома А3, так как есть 3 неколлинеарные точки.  n  1. Всего точек n3, каждая прямая Следовательно, построенная плоскость – проходит через n точек, значит, всего аффинная. прямых  k ˜ n3 n n2 n2  n  1 n4  n3  n2.

14 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 Перейдем к вычислению числа плоско- выбранной). Значит, стей. Пусть через прямую проходит m отсюда pn n3  n2  n, плоскостей. На каждой плоскости кроме n2  n  1 k2  k  1. точек этой прямой есть еще n2  n точек; p все плоскости проходят через n3  n точек. Тогда Значит,  m n2  n n3  n и m n  1. p k  1 k3  2k2  2k  1. Всего прямых n4  n3  n2, на каждой плос- Всего точек n3  n2  n  1 k3  2k2  2k, на кости n2  n прямых, всего плоскостей каждой прямой по k n  1 точек, значит, всего прямых  n4  n3  n2 m n3  n2  n.   n2  n  1 n3  n2  n  1 n2  n n 1 18. Рассмотрим 8-точечную модель аф- n4  n3  2n2  n  1 финного пространства. Прямых в этом пространстве 28, а плоскостей 14. Отноше- k4  3k3  5k2  4k  2. ние этих чисел равно числу точек на каж- дой прямой. Случайно ли это? Разберемся теперь с числом плоскостей. Пусть через каждую прямую проходит q Решение. Из результатов предыдущей плоскостей, на которых, кроме точек этой задачи сразу получается, что плоскостей в прямой, есть еще n2 k2  2k  1 точек. n раз меньше, чем прямых, где n – число Объединение этих плоскостей проходит точек на прямой. по разу через n3  n2 k3  2k2  k точек (все точки, кроме точек этой прямой). 19. На проективной прямой k n  1 то- Значит, чек. Сколько точек, прямых и плоскостей в проективном пространстве? qn2 n3  n2, отсюда Решение. На проективной плоскости D n2  n  1 k2  k  1 точек. Существует q n  1 k. точка А вне плоскости D. Через эту точку и точки плоскости D проведем n2  n  1 Всего прямых n4  n3  2n2  n  1, на каж- дой плоскости n2  n  1 k2  k  1 пря- k2  k  1 прямых, на каждой из которых, мых, значит, всего плоскостей кроме точки А, еще n k  1 точек. Значит, всего точек вместе с А  n4  n3  2n2  n  1 n3  n2  n  1 k3  2k2  2k.    n2  n  1 n  1 k2  k  1 k  1  1 n2  n  1 n3  n2  n  1 k3  2k2  2k. От редакции Докажем, что больше точек нет. Если есть Продолжить знакомство с конечными гео- еще одна точка Х, то она, во-первых, не метриями читатели смогут, изучив следую- лежит ни на одной из проведенных пря- щие статьи: мых (иначе на ней будет n + 2 точек) и, во- вторых, не лежит вне этих прямых, так 1. Л. Беве. Мини-геометрия. – «Квант», как иначе бы прямая АХ пересекала плос- 1976, № 6. кость D в точке, не совпадающей ни с одной из уже имеющихся там точек. 2. А.Н. Земляков. Аксиоматический под- ход к геометрии. – Математическое образо- Вычислим количество прямых. Пусть вание, 2001, вып. 3, с. 4–21. через каждую точку проходит р прямых, на каждой из которых, кроме этой точки, 3. С. Богданов, С.Дворянинов, З. Крау- еще n k  1точек. Объединение этих пря- тер. Какая геометрия нужна пассажирам мых проходит по разу через n3  n2  n метро? – «Квант», 2002, № 4. k3  2k2  2k  1 точек (все точки, кроме

Проблемы резистора Л.АШКИНАЗИ Зачем вообще нужны резисторы На рисунке 1 показаны два усилительных Начнем с вопроса – а зачем они, резис- каскада – на транзисторе и на пентоде; это торы, вообще нужны, что они делают? только примеры, схем таких каскадов де- У них есть две большие области приме- сятки. Для правильной работы эти элемен- нения – электроника и электротехника, а ты должны иметь определенные разности также одна маленькая – искусство (о нем потенциалов между выводами. В электро- – в самом конце статьи). Резисторов вок- нике принято говорить о потенциалах от- руг нас сотни и тысячи, они живут, рабо- носительно общего провода, или корпуса, тают и создают нам удобства, причем мно- или (по традиции) относительно земли. гие из них обитают у вас в кармане. Кроме Обычно это один из полюсов источника того, резисторы часто работают в паре с постоянного напряжения, которым пита- конденсаторами. Накапливать энергию кон- ется схема. На рисунке вы видите дели- денсаторы могут сами, а все остальное тель напряжения из сопротивлений R1 и могут делать только вместе с резисторами R2, который определяет напряжение на или катушками (индуктивностями). При- базе транзистора, напряжение на вторую чем параметры материалов и технологии, сетку пентода подается через сопротивле- которыми располагает цивилизация, тако- ние R3, а на катод – через сопротивление вы, что с резисторами это получается ком- R6. Кстати, подумайте над такими вопро- пактнее и дешевле. сами: делит ли этот делитель напряжение У резисторов есть и свои индивидуаль- именно в отношении R1 R2, влияет ли ные функции. Прежде всего, резисторы величина R3 на напряжение на сетке и чем могут применяться для установления ре- определяется напряжение на катоде? жима работы других элементов схемы. Следующая функция сопротивлений – Рис. 1. Использование резисторов как делите- самая простая: преобразование тока в на- лей напряжения пряжение или напряжения в ток, согласно закону Ома. Например, усиленный тран- DOI: https:doi.org10.4213kvant20230501 зистором и лампой сигнал – это ток кол- лектора или ток анода соответственно. А следующему каскаду надо подать на вход не ток, а напряжение. Поэтому в цепь коллектора и анода включают сопротивле- ние R4, а напряжение с него поступает на вход следующего каскада. На рисунке с электронной лампой нарисованы не все резисторы – еще один есть внутри элект- ронной лампы, при подаче на него напря- жения (напряжения накала) он разогрева- ется и нагревает катод – чтобы началась необходимая для работы лампы термо- электронная эмиссия, вылет из катода элек- тронов. Подогреватель изображен в ниж- ней части лампы, а его выводы принято изображать стрелочками, он просто пре- вращает энергию, которую берет из элек-

16 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 трической сети, в тепловую. А еще он, в Рис. 2. Загадочный кипятильник соответствии с его рабочей температурой, лить и посмеяться. Как вам числа на светится. Как выразился один специалист коробочке на рисунке 2? А иногда и рас- по электронным лампам, «юные женщины четов не нужно, а нужно просто держаться похожи на старые радиоприемники: они подальше. Мы понимаем, что оттаивать теплые, разговаривают и светятся». замерзшие водосточные трубы нагреваю- щимся при пропускании тока проводом – Но это еще не все. Сопротивление нужно красивая идея. Но – сетевое напряжение, еще для того, чтобы после отключения вода вокруг и мокрые ботинки… Конечно, устройства, в котором есть конденсатор, изоляция, экран и другие правильные сло- не сохранился заряд на конденсаторе и ва в рекламе будут, но держитесь подаль- чтобы человек, коснувшийся выводов, не ше от водосточных труб, из которых тор- попал под напряжение. Похожую задачу – чат провода (рис. 3)! убрать заряд оттуда, где он не нужен, решает сопротивление R5 в цепи первой Рис. 3. Осторожнее с этой трубой сетки лампы на рисунке 1. В древности радиолюбители называли это сопротивле- Как и почему рисуют сопротивления ние «гридлик» (англ. grid leak – сопротив- Это совсем простой вопрос, но в глубине ление утечки сетки). ответа (не удивляйтесь, в физике так все- гда) таится кое-что детективное. Резисторы применяются в измеритель- Самый частый вариант изображения на ной технике, они могут преобразовывать схемах постоянных сопротивлений – это изменение освещенности, температуры и № 1 на рисунке 4. Внешне постоянные индукции магнитного поля в изменение сопротивления большую часть прошлого сопротивления. Резисторы применяются века были похожи на цилиндры, потому для расширения пределов измерения ам- что тонкий проводящий слой наносили на перметров (шунты) и вольтметров (доба- поверхность диэлектрического, обычно вочные сопротивления). Резисторами впол- не можно назвать и тензометры, о которых будет рассказано ниже. Живут резисторы и вне электроники – в электротехнике, в простой бытовой техни- ке (в которой, впрочем, тоже полно физи- ки). Это фен, чайник, масляный нагрева- тель и лампа накаливания. В этих случаях сопротивление предназначено только для превращения энергии, которую мы берем из электрической сети, в тепловую. По- мните Джоуля и Ленца? – это про них. Правда, нам еще нужно решить тепловую задачу про охлаждение нагреваемого эле- мента, а в разных случаях она разная. В фене охлаждение идет потоком воздуха, в чайнике – свободной конвекцией воды, в масляном нагревателе – свободной кон- векцией масла, в лампе накаливания – излучением и свободной конвекцией газа. В электронной лампе, где, кстати, тоже есть нагреватель, – или излучением, или кондуктивной теплопередачей, или обо- ими механизмами сразу. Но иногда, прежде чем решать тепловую задачу, надо просто перемножить, поде-

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 17 Рис. 4. Как изображают резисторы на схемах Рис. 5. Переменные резисторы керамического, цилиндра. Такой выбор Вернемся к рисунку 4, на нем изображе- конструкции, как и все в инженерии, не ния от № 5 до № 9 – это переменные случаен. Удельное сопротивление спла- сопротивления. Они явно делятся на две вов, из которых делали сопротивления, группы – с двумя выводами (№ 5, 7, 8) и был таков, что необходимые величины с тремя (остальные). Можно сказать, что сопротивления при разумной длине требо- с двумя – это просто переменные сопро- вали очень малых сечений – помните фор- тивления, а с тремя – это два сопротивле- мулу R UL S ? Но если это малое сече- ния, изменяемые синхронно, так что их ние S реализовать в виде проволочки, сумма постоянна. Но на самом деле исто- получится нечто очень хлипкое, вдобавок рия такова – переменные сопротивления, с малой площадью поверхности, так что которые предполагалось делать регулиру- выделяющаяся мощность перегреет наш емыми вручную, перемещением чего-то, резистор. Вот так параметры веществ оп- выполнялись именно так, в виде реостата. ределяют облик элементов схем (а также Который имел, естественно, три вывода – зданий, шариковых ручек и самолетов). два от концов и один от движка. В схеме, Естественное решение – тонкая пленка на конечно, их можно было использовать и диэлектрической подложке, проще всего как «просто переменное» сопротивление, на керамическом цилиндре. Это и прочно, и как делитель напряжения. и поверхность большая. Заметили ли вы разницу между изобра- Вариант № 2 когда-то был общеприня- жениями № 7 и № 8? В учебнике и тым. Постоянные сопротивления могут задачнике скорее нарисуют № 7, чтобы иметь отводы от части проводника, соот- учащийся не начал мучительно размыш- ветствующие изображения – № 3 и № 4. лять, куда идет ток. Человек, реально У этих отводов может быть два совершен- собирающий схему, использует схему но разных предназначения, про одно мы № 8 – если у примененного им сопротив- узнаем позже, а второе – это делитель ления вообще есть третий вывод. Почему напряжения. Если к концам подведено он так поступит, мы узнаем немного поз- какое-то напряжение, то по сопротивле- же, в разделе про переменные сопротивле- нию протекает ток и отношение напряже- ния. Там же мы узнаем, что такое загадоч- ний на частях резистора равно отношению ное изображено под № 10. Подсказку, сопротивлений участков (при одном до- впрочем, вы только что получили. полнительном условии – подумайте, при каком). Способ изображения сопротивле- Из чего нам делать резисторы ний № 2 упрощенно изображает проволо- ку, намотанную на изолирующий (керами- В нашем распоряжении есть хорошие ческий) цилиндр. Так обычно выполняют проводники, т.е. металлы, проводники переменные сопротивления, реостаты – их похуже – графит и оксиды некоторых вы могли видеть в школе. Поэтому если металлов, а также полупроводники и диэ- вариант № 2 сейчас и применяют, то чаще лектрики. Из диэлектриков делать резис- всего для изображения переменных сопро- тивлений, как вариант № 9. До перемен- ных сопротивлений мы еще доберемся. А реостаты (на случай, если вам их не пока- зали в школе) представлены на рисунке 5.

18 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 торы не получится – хотя диэлектрики и Рис. 6. Постоянные резисторы проводят ток, но их удельное сопротивле- ние слишком велико (в школе считается, сопротивления резисторов все эти чудеса что бесконечно велико). У полупроводни- не мешает. Кстати, для тонких пленок без ков удельное сопротивление меньше, и подложек используется выражение «сво- оно, это было бы удобно для производства, бодные пленки». управляемо, т.е. при небольших измене- ниях состава оно существенно изменятся. Нам пора посмотреть на объект нашего Однако оно сильно зависит от температу- повествования. На фотографии на рисун- ры, и это, очевидно, плохо – любая аппа- ке 6 несколько разных пленочных резис- ратура должна быть работоспособна при торов. В первом ряду – резисторы, сопро- изменении условий работы, прежде всего, тивление которых определено с очень вы- окружающей температуры. А стабильность сокой точностью, она на них написана. Во работы аппаратуры тем проще обеспечить, втором ряду слева – экзотическое сопро- чем стабильнее параметры элементов, в тивление, и вот вопрос: зачем там гармош- том числе резисторов. Зато полупроводни- ка? Причем очевидный ответ неверен. Этот ки можно использовать как термометры, очевидный ответ верен для того сопротив- позже мы к этому вопросу вернемся. ления, что справа, на нем проводящее покрытие прорезано спиралью. В третьем Остаются проводники, но у них удель- ряду – несколько резисторов, сопротивле- ное сопротивление, наоборот, мало. Рези- ние которых изменялось (говорят – «под- сторы с небольшими сопротивлениями из гонялось») уже после покраски. обычных проводников делать можно, а что делать, если нужно большое сопротивле- На следующем снимке (рис. 7) – сверх- ние? Формула R UL S говорит, что есть высокоомные сопротивления (верхнее – два пути решения проблемы – длинный и 10 ГОм), резистивная пленка – углерод, тонкий, но не путь, а проводник. Провод- изготовитель запаял их в стекло, так как ник километровой длины – это неудобно, сопротивление краски (включенной по сути микронную проволоку сделать можно, но параллельно всему резистору) было бы работать с ней тоже сложно, да и сопротив- недостаточно велико. Обратите внимание ление получается недостаточно большим. на белую панель выводов слева – она из Но сделать малое сечение можно не только тефлона или фторопласта-4, диэлектрика у проволоки, есть еще два способа – тонкие с рекордно высоким удельным сопротив- пленки и керметы. Начнем с пленок. лением. Кстати, что касается этих сопро- тивлений и краски, есть тут еще одна Правда, пленки толщиной в микро- и проблема. Пусть для простоты толщины нанометры делать трудно и работать с резистивной пленки и краски одинаковы. ними неудобно. Но когда в физике и Во сколько раз удельное сопротивление инженерии говорят «тонкая пленка», по- чти всегда имеется в виду – на подложке. Например, тонкая пленка проводника, нанесенная на диэлектрическую подлож- ку – отличный резистор. Напылить в ваку- уме или в газовом разряде можно пленку любой толщины. Однако, при совсем ма- лых толщинах электроны начинают рассеи- ваться не только на ионах решетки, но и на поверхностях пленки, а при еще меньших толщинах пленка может потерять, как говорят, сплошность, превратиться в от- дельные кучки атомов (островковая плен- ка) и электроны будут прыгать из остро- вка в островок. Но получать большие

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 19 Рис. 7. Весьма высокоомные резисторы примесей, ускоряющих поверхностную диффузию, за счет которой и происходит краски должно быть выше удельного со- спекание. Таким образом, способов управ- противления материала углеродной плен- ления итоговым значением удельного со- ки, чтобы итоговое сопротивление при противления много, и понятно, почему покраске изменилось менее чем на 1%? керметы стали использовать в качестве Подумайте над этим. материала резисторов. У них, впрочем, есть одна неизбежная, но по сути преодо- Теперь обратимся к другому, не пленоч- леваемая проблема. В любом образце, со- ному решению. Возьмем порошок провод- стоящем из разных материалов (т.е. ком- ника (например, металла) и порошок ди- позите), может при эксплуатации проис- электрика (например, керамики), хоро- ходить взаимодействие между ними, а это шенько перемешаем их, спрессуем и, ско- почти всегда – дрейф параметров. Кроме рее всего, нагреем, а иногда и спрессуем выбора материалов и условий работы при нагреве. Получится композиционный (прежде всего, температуры) есть один материал, композит, который изготовите- универсальный способ – «прогон», т.е. ли резисторов по традиции называют кер- какое-то время выдержка резисторов в метом (теперь вы понимаете, почему). рабочем режиме или с перегрузкой. Если проводника было взято мало, компо- зит окажется диэлектриком, если много – Любимая формула проводником, потому что проводящие ча- стицы будут образовывать цепочки. Опре- О формуле R UL S можно задать мно- деление концентрации, при которой воз- жество вопросов (однако, это множество никает проводимость, называется пробле- конечное – подумайте, почему). Первый, мой протекания. Почему у кермета сопро- простой и не слишком важный вопрос, тивление больше, чем у того проводника, почему мы используем понятие удельного из которого он был сделан, почти очевид- сопротивления U, а не обратную величи- но – частицы контактируют по маленьким ну – удельную проводимость V? В физике, площадкам. Сопротивление контакта об- если смотреть в целом, удельная проводи- ратно пропорционально диаметру контак- мость используется, наверное, чаще, но тной площадки. Впрочем, и тут, как и здесь, в электротехнической ветви – это везде в физике, не все просто. Сопротивле- просто вопрос традиции, пришедшей из ние устроено так, только если проводник – электротехники. Там для величины U рань- это металл с обычной объемной проводи- ше использовали еще и забавную размер- мостью. А у полупроводников проводи- ность: Ом ˜ мм2 м, для меди, например, мость бывает не объемная, а поверхност- U 0,017 Ом ˜ мм2 м. Причина была про- ная, тогда зависимость получается лога- рифмическая. Размер контактных площа- ста – длина проводников чаще всего изме- док зависит от давления при прессовании рялась метрами, сечение – миллиметрами и температуры при спекании, а еще от квадратными, а умножали в прошлом веке в уме. Теперь одно, общее для всех физических формул, соображение. Буквы в формулах обозначают какие-то физические величи- ны. Эти величины могут быть скалярами и векторами, фиксированными числами, функциями от других величин (и упомя- нутых в задаче, и не упомянутых), функ- циями от координат и времени. В школь- ных учебных задачах все это оговаривает- ся, а в не школьных может и не оговари- ваться. Чтобы экзаменатор, увидев, что

20 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 кто-то присваивает числовое значение ско- бывает существенен. И еще проблема – рости воды в реке, мог, хитро улыбаясь, скин-эффект, вытеснение тока к поверхно- спросить, скаляр она, вектор или тензор, сти проводника, но это уже на высоких зависит ли она от координат и времени, и частотах. главное – существенно ли это для конкрет- ной задачи (вот и сообразите, когда да, а Хочется независимости когда нет). Если вы какой-то формулой пользуетесь давно и успешно и привыкли При эксплуатации любой аппаратуры к некоторым условностям, то это не озна- идет время и могут изменяться условия ее чает, что данные предположения будут работы – температура, давление, влаж- соблюдаться всегда. Тем более, что вы ность, радиация. Все зависит от всего, так скорее всего забыли, как формула выводи- что и L, и S зависят, например, от темпе- лась и при каких условиях она вообще ратуры – вещества изменяют размеры при верна. Например, помните ли вы, при изменении температуры. Но учитывать каких условиях и почему верна формула это никому не приходит в голову, и это для давления в жидкости и для силы правильно. Потому что удельное сопро- Архимеда? тивление зависит от температуры намного сильнее, и на этом фоне зависимость дру- Что же касается нашей любимой форму- гих параметров делается несущественной. лы R UL S, то она верна, когда плот- ность тока одинакова во всех точках образ- Из всех зависимостей главная – именно ца, а для этого он должен быть прямым от температуры, и ниже мы ее обсудим, но цилиндром – причем в математическом, а сначала немного о давлении. Зависимость не бытовом понимании, т.е. не обязатель- сопротивления от давления загадочна – у но круговым. Далее, удельное сопротивле- большинства металлов сопротивление с ние U должно быть одинаково во всех ростом давления растет, а у лития, каль- точках образца, а торцевые плоскости, т.е. ция, стронция и сурьмы падает. Это еще контакты, должны быть эквипотенциаль- что – у Ge n-типа растет, у Ge p-типа ны. Эта проблема решается обычно так – падает. А у кремния – вообще наоборот. контакты делаются массивными, больше- Для электроники зависимость от давления го размера, чем сам резистивный элемент, обычно не существенна, но есть один важ- и делаются они из вещества, имеющего ный случай – тензометрия. удельное сопротивление существенно мень- ше, чем вещество резистивного элемента. Из школьной географии мы знаем, что Например, контакт выполнен из меди, а на земле существуют реки. А из ее раздела, резистивный элемент – из специальных экономической географии, мы знаем, что сплавов, имеющих удельное сопротивле- люди торгуют и путешествуют, но для ние в десятки раз выше. этого нужны мосты. (Кстати, если после чтения книг по математике и физике у вас Требование одинаковой плотности тока остается хоть какое-то время на чтение, во всех точках образца ограничивает при- возьмите «Трилогию Моста» Уильяма менимость этой формулы с точки зрения Гибсона.) Для того чтобы строить мосты величины тока и его частоты. Если ток (и здания, и самолеты), нужно уметь изме- велик, то резистор греется, причем нагрев рять деформации и давления. Самый кра- будет неравномерен – греется весь объем, сивый метод измерений основан на фото- а отводится тепло с поверхности. Середи- упругости – зависимости оптических на будет теплее, ее сопротивление станет свойств он механических напряжений, но больше, и поэтому ток не будет равномер- он применим только к прозрачным матери- но распределяться по сечению, а оттеснит- алам. Хотя есть попытки использования ся к поверхности. Возможно и сжатие тока более длинных волн, вне оптического диа- к оси проводника собственным магнитным пазона. Скажем, зондируя радиоволнами полем, правда, в проводниках этот эффект ледники, можно определять давление внут- слаб, а в полупроводниках и плазме он ри многометровых масс льда.

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 21 Однако единственный мас- свойств), две перестройки решетки и точка сово применяемый метод – плавления. В таблице приведен список это тензометрия. Для измере- фаз железа и температур перестройки ния деформаций к объекту, (ОЦК – объемноцентрированный куб, который мы исследуем, при- ГЦК – гранецентрированный куб). Диапа- клеивается проволочка и из- зон температур указан потому, что в раз- меряется ее сопротивление. ных источниках немного разные данные. При изменении размера объек- То ли примеси были разные, то ли ско- та изменяется длина прово- рость изменения температуры, то ли гисте- лочки, ее сечение и удельное резис… полиморфизм – дело тонкое! Пер- сопротивление ее материала. сонаж фильма «Белое солнце пустыни» Стало быть, изменяется со- тоже так считал. И еще что-то интересное противление, которое мы из- изображено на рисунке в правом нижнем меряем. Для измерения дав- углу, там что-то экзотическое, гексаго- лений в газе, жидкости и твер- нальное, плотноупакованное. дом теле в исследуемую среду или внутрь объекта помещается проволочка… дальше Но что нам с зависимостью сопротивле- вы уже знаете. И не забывайте электричес- ния от температуры делать? Разработчи- ки изолировать проволочку от объекта. кам резисторов не слишком интересно, линейна или не линейна зависимость удель- Что касается нашей главной причины ного сопротивления от температуры, им нестабильности резисторов, т.е. зависимо- важно эту зависимость ослабить. Способ сти удельного сопротивления от темпера- известен, он даже упоминается в некото- туры, то в школе обычно говорят, что эта рых школьных учебниках – нужно ис- зависимость линейна, ну и еще упоминают пользовать не металлы, а сплавы. В метал- сверхпроводимость. Реальная ситуация лах электроны рассеиваются на колебани- существенно сложнее, а значит – и инте- ях ионов решетки, и сопротивление зави- реснее. Зависимость сопротивления от тем- сит от температуры потому, что с ее ростом пературы не линейна, и вдобавок на ней увеличивается амплитуда этих колебаний. могут быть скачки при температурах, ког- В сплавах возникает дополнительное рас- да перестраивается решетка. На рисун- сеивание электронов на неоднородностях ке 8 представлен график теплового рас- решетки, поэтому сопротивление увеличи- ширения железа. Стрелками показаны вается и становится менее зависимым от точка Кюри (потеря ферромагнитных температуры. Рис. 8. Как расширяется железо А что делать, если захотелось, чтобы сопротивление менялось с температурой не так слабо, как достигнуто на сегодня, а

22 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 еще слабее? Инженерные задачи часто во. А рассказать обо всех – не уместится в можно решить несколькими способами, и статье. Поэтому придется, как написал хороший инженер должен себе их пред- один поэт, наступить на горло собственной ставлять. Имеющиеся способы обычно ог- песне. И перейти к рассказу о других раничивают набор способов, но часто мы проблемах резисторов. действуем «по инерции», предпочитая не- много усовершенствовать что-то известное Еще шесть проблем и не усложнять себе жизнь анализом дру- гих вариантов. Правда, путь по проторен- Начнем с самой простой и очевидной – ной дорожке часто бывает дешевле и быс- перегрев. Электрическая мощность, кото- трее, и меньше вероятность неудачи, т.е. рая будет потребляться сопротивлением и, ситуация более предсказуема, это тоже соответственно, будет выделяться в нем в надо учитывать. виде тепла, определяется схемой, где это сопротивление будет применено. Именно Постоянство сопротивления при измене- разработчик схемы говорит – тут должно нии условий работы может нам потребо- стоять сопротивление R, по нему должен ваться в двух ситуациях. Первая – когда течь ток I, и на нем должно быть напряже- это метрологические применения, попросту ние U. Точнее – он называет какие-то две говоря – когда нам нужен эталон или нечто из этих трех величин. Остальное понятно: вроде. Тут выкрутиться не удастся, реше- P UI I2R U2 R, и все это переходит ний только два – или искать материал, у в тепло. Вот если бы сопротивление подни- которого стабильность такая, как нам надо, мало груз, издавало бы приятные звуки или же стабилизировать температуру аппа- или излучало бы свет, то тепла выделялось ратуры или даже всего помещения. Вторая бы меньше (в этой фразе три неточности; ситуация – не метрологическая, а, скажем интересно, сколько из них вы найдете). От так, радиотехническая, т.е. сопротивление этого тепла много проблем, часть мы обсу- – элемент какой-то схемы и в ней он что-то дим позже, но первые две – это разогрев делает. Вот тут могут быть и другие реше- самого сопротивления и окружающих де- ния, потому что можно схемными ухищре- талей. Ужас в том, что большинство хими- ниями сделать схему менее чувствительной ческих и физических процессов ускоряет- к изменению параметров деталей. Правда, ся при увеличении температуры, следова- обычно ценой усложнения, удорожания и тельно, сокращается срок службы. уменьшения надежности из-за увеличения количества элементов. Вот тут и требуется Что с этим делать? Ставить кулер на хорошее базовое образование, чтобы выб- резистор – много чести, но можно снаб- рать лучшее решение. С учетом того, что дить его ребрами охлаждения, чтобы воз- само слово «лучший» в разных ситуациях дух снимал тепло с большей площади, а может иметь разный смысл. значит, при меньшей температуре (три такие резистора изображены на рисунке 9 Кстати, у аморфных металлов (с их не слева). Или, по крайней мере, помещать вполне упорядоченным расположением резистивный элемент внутрь керамики атомов) удельное сопротивление в несколь- (эти – на рисунке справа), где он будет ко раз выше, чем у тех же металлов с их защищен от окисления кислородом возду- обычной кристаллической решеткой, а за- ха, и не красить эту керамику краской, висимость от температуры, естественно, которая нагрева может и не выдержать. слабее. Дополнительное рассеивание воз- никает на любых нарушениях решетки, Следующая проблема в школе не упоми- т.е. на дислокациях, а также в очень нается, но догадаться можно – у резистора тонких пленках – просто на их границах, есть выводы, у выводов есть индуктив- на поверхностях. Но в тонких пленках ность, а между выводами есть емкость. возникает столько новых эффектов, что Получается, что параллельно резистору рассказать о каком-то одном, умолчав об включен конденсатор, а последовательно с остальных, было бы не совсем справедли- ними включена катушка. Если схема рабо- тает с постоянными напряжениями и тока-

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 23 Рис. 9. Куда девать тепло? Рис. 10. Не допустим пробоя! Ни по воздуху, ни по поверхности ми, то это не имеет значения. При перемен- ных напряжениях и токах ситуация зави- пряженность поля. На рисунке 10 пред- сит от частоты Q и сопротивления резистора ставлены два обычных высоковольтных R. Чтобы паразитные емкость и индуктив- сопротивления, сделанных длинными спе- ность не влияли на работу схемы, нужно циально, чтобы избежать пробоя по возду- выполнить два условия – реактивное сопро- ху. А третье сопротивление не просто длинное, у него приняты специальные тивление конденсатора RC 2SQC1 R, меры, чтобы спрятать злополучное место контакта в зону слабого электрического реактивное сопротивление катушки или поля – металлический колпачок имеет боль- прямого провода RL 2SQL R. На высо- ший диаметр, чем сам резистор, и он ких частотах начинаются проблемы, и ре- нависает над местом контакта, ослабляя зистор гордо заявляет, что он вообще поле. Кстати – бывает и проводящая кера- представляет собой резонансный контур мика, но в резисторах она, кажется, не применяется; и вообще это отдельная боль-  на частоту Q 2S LC1 2 1 – это наша шая тема. знакомая, формула Томсона, написанная Вот еще проблема – шум. То, что заряд для частоты. На будущее (если оно будет дискретен, вы знали давно и про опыт связано у вас с электроникой) учтите – Милликена слышали. Но никогда не при- инженеры мыслят частотами. Да и физики давали значения – а теперь придется. вспоминают о периоде, лишь когда начина- Представьте себе просто идеальный кусок ют формировать импульсы электромагнит- проводника. В нем есть какой-то заряд, ного поля длительностью в период или который может по нему перемещаться. даже менее. Вы еще не понимаете, какое это Если этот заряд непрерывен, то он может, чудо и почему это чудо, но когда-то пойме- хотя бы в принципе, распределиться по те, и поэтому вам можно позавидовать. проводнику симметрично, и тогда – и только тогда – напряжение между конца- Еще одна проблема резистора – электро- ми проводника будет равно нулю. Но прочность. Мы привыкли, что о пробое электроны дискретны, из-за наличия теп- заходит речь, когда мы прикладываем к ловых энергий они движутся хаотично. диэлектрику высокие напряжения. В рези- Они не обязаны распределяться строго сторе у нас три диэлектрика – керамика поровну, и поэтому между концами про- (реже стекло) внутри, диэлектрическое водника возникает хаотично колеблющее- покрытие (краска) поверх резистивного ся напряжение, «тепловой шум». Среднее слоя, воздух снаружи. Слабых мест два – напряжение оказывается равным, конеч- воздух и поверхностный пробой по диэ- но, нулю, но средний квадрат напряжения лектрическому покрытию, который начи- подчиняется формуле U2 4RkT'f , где нается в месте контакта покрытия и метал- лического колпачка, если там велика на-

24 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 R – сопротивление, k – естественно, по- А теперь вы узнаете страшное и относя- стоянная Больцмана, T – температура, щееся ко всей физике. Исследуя какое-то 'f – диапазон частот. Теперь вы знаете, явление, мы стараемся разделить влияния, почему охлаждают приемники радиоте- факторы, пути взаимодействия – как мы лескопов. Эта формула универсальна, и сейчас это сделали. Разделили шумы по вроде бы все резисторы в одинаковых источникам и механизмам. Мы поступили условиях должны шуметь одинаково. Меж- правильно, но… но где-то в глубине созна- ду тем, шумы резисторов нормируются, ния должна гореть «желтая лампочка» (вер- они указываются в технических условиях, нее, светодиодик) – сигнал настороженно- и существуют малошумящие резисторы. сти. Разделить-то мы их красиво разделили, а не взаимодействуют ли они? Не влияют ли Дело в том, что имеется и другой источ- они друг на друга? В нашем случае можно ник шумов. Шум – процесс хаотический, привести очевидный пример влияния. Не его источник – случайные события. Какие влияют ли кое-какие волны друг на друга, случайные события есть в резисторе? Во- не замешан ли здесь Огюст Кулон? первых, координаты электронов – это как раз источник тепловых шумов. Во-вто- Следующая проблема – электроперенос, рых, это координаты атомов, а это источ- или электромиграция. Электроны в про- ник сопротивления, которое может изме- воднике разгоняются полем, а тормозятся няться, флуктуировать. Обратите внима- на ионах решетки, значит – они передают ние, что этот источник тоже зависит от ионам импульс. Кроме того, в проводнике температуры, но проявляется он только при протекании тока есть электрическое при наличии тока (для напряжения кроме поле, и оно действует на ионы и электро- сопротивления нужен ток). Далее, и в ны. Однако ни импульс, переданный элек- электронной подсистеме, и в атомной мо- тронами ионам, ни поле, действующее на гут быть групповые движения, волны. ионы непосредственно, не вызывают дви- Волны в электронной подсистеме называ- жения проводника как целого – потому, ют волнами зарядовой плотности, волны в что проводник в целом нейтрален. Но атомной подсистеме – это звуковые коле- действие на разные ионы может оказаться бания (фононы), перемещения дислока- различным, и это существенно, по крайней ций и перемещение границ между кристал- мере, в двух случаях – если мы имеем дело лами (если объект не монокристалличес- со сплавом или с контактом двух разных кий). Если эти факторы случайны, то они металлов. В электронике и то, и другое могут быть источником шумов. Удельное встречается не на каждом шагу, а чаще – сопротивление однородного проводника на каждом выводе каждой детали и каж- зависит от концентрации и подвижности дой микросхемы. Потому что вывод сде- электронов (вы это знаете из школьного лан из одного металла, покрыт другим, курса), и флуктуации этих величин вызы- паяем мы его третьим к дорожке, которая вают флуктуации удельного сопротивле- тоже из чего-то сделана. Следствие – на ния и, следовательно, шумы – но возника- контакте двух металлов ионы могут пере- ющие только при пропускании тока. ползать из одного металла в другой, сече- ние проводников меняется, и там, где оно И последнее – если материал резистора меньше, возникает перегрев. И наступает не однороден, если это отдельные прово- конец – т.е. конец срока службы. Ситуа- дящие частички, радостно контактирую- ция усугубляется тем, что даже в чистом щие друг с другом, то эти контакты могут металле ионы не совсем одинаковы. Во- возникать и пропадать, а это обязательно первых, есть изотопы. Во-вторых, одни вызовет колебания сопротивления, кото- ионы находятся внутри кристаллов, дру- рое проявляется, естественно, только при гие – на границах между ними. В-третьих, наличии тока. Все такие шумы называют одни на поверхности, другие внутри. И токовым шумом, хотя от температуры они любая из этих разниц может повлечь элек- все равно зависят.

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 25 троперенос. И не надо уповать на то, что при фазовых переходах. Эти три фактора токи в микросхемах маленькие – эти про- и определяют поведение терморезистора. цессы определяются не током, а плотнос- При этом ему важна его собственная тем- тью тока, которая равна отношению тока к пература, и если она определяется только сечению проводника. Значит, сечение про- внешней средой, то его можно использо- водников делается все меньше и меньше. вать как термометр. Терморезистор может иметь свой нагреватель, тогда его сопро- Ну и на десерт – проблема дрейфа тивление управляется мощностью этого параметров (она уже упоминалась). В нагревателя. И, наконец, терморезистор любом объекте, состоящем из разных ма- может нагреваться текущим по нему само- териалов, может при эксплуатации проис- му током – в этом случае мы получаем ходить взаимодействие между ними, а это нелинейную вольт-амперную характерис- почти всегда – дрейф параметров. Но и тику. Материалы термисторов разнооб- когда материал один, дрейф возможен из- разны, это V2O4, V2O3, VO2, BaTiO3 и за взаимодействия с атмосферой, окисле- другие соединения. Разрабатываются ло- ния, а также из-за процессов в самом гические элементы на основе NbN для материале. Если это порошок, может про- цифровой техники, которые при нагреве исходить спекание, рост контактов между переходят из сверхпроводящего состояния порошинками. А если этой проблемы нет, в резистивное. то может перестраиваться кристалличес- кая структура. Кроме выбора материалов Вторая группа – нелинейные резисторы, и условий работы (прежде всего, темпера- туры) есть один универсальный способ – у них вольт-амперная характеристика I U «прогон», т.е. какое-то время выдержка резисторов в рабочем режиме или с пере- нелинейна, причем не из-за выделения грузкой. мощности, достаточного для разогрева резистора, как в предыдущим примере. Управление резистором Материал этих резисторов – композит, содержащий частицы полупроводника SiC, Резисторы, которые мы обсудили, часто которые контактируют и образуют прово- называют постоянными сопротивлениями. дящие цепочки. Как вы уже знаете, основ- Их сопротивление зависело и от внешней ное сопротивление сосредоточено в кон- температуры, и от режима эксплуатации, тактах, при протекании достаточно боль- и от времени (старение), но эти зависимо- шого тока контакты разогреваются (имен- сти были слабыми и не использовались для но контакты, а не весь резистор) и сопро- чего-либо, а считались вредными и подав- тивление уменьшается. лялись. Однако существуют резисторы, сопротивление которых изменяется в про- Третья группа – фоторезисторы, сделан- цессе эксплуатации сильно, и это измене- ные из полупроводника, в котором при ние для чего-то используется. Такие «уп- освещении возрастает концентрация носи- равляемые резисторы» можно разделить телей заряда и уменьшается удельное со- на несколько групп. противление. Материал фоторезисторов – CdS, CdSe, PbS, PbSe, InSb. Первая группа – резисторы, сопротивле- ние которых зависит от температуры. Их Четвертая группа – магниторезисторы, называют терморезисторами и делят на их сопротивление зависит от магнитного две подгруппы – термисторы, сопротивле- поля. При его наличии сила Лоренца ис- ние которых с увеличением температуры кривляет траектории носителей заряда, падает, и позисторы, у которых сопротив- средняя длина свободного пробега умень- ление растет. Они сделаны из полупровод- шается, удельное сопротивление увеличи- ников, удельное сопротивление которых вается. Материал магниторезисторов – зависит от концентрации носителей заря- InSb, InAs и другие. да, их подвижности и может изменяться И есть еще одна группа управляемых резисторов – их видел, наверное, каждый школьник. Это…

26 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 Механически управляемые Рис. 11. Переменные резисторы, траектория – часть окружности. Слева внизу – резистивный резисторы элемент из проволоки, остальные – проводя- щая пленка У резисторов с механическим управле- нием, т.е. тех, в которых что-то перемеща- Рис. 12. Слева – резистор с выводами, спра- ется, могут быть три траектории переме- ва – сдвоенные резисторы, пленочные и про- щения – по прямой (это реостат, который волочные все видели в школе), по окружности и по спирали (многооборотные потенциометры). Рис. 13. Резистор с нелинейной зависимостью Перемещать может либо сам человек, либо сопротивления от угла поворота (сообразите, другая часть системы, и параметры, кото- какова она) рыми будет характеризоваться резистор, будут одни и те же – хотя требующиеся значения параметров могут оказаться и разными. Сам резистивный элемент может быть двух типов – либо это металлическая проволока, либо резистивная пленка на подложке. Переменные резисторы могут быть совмещенными, т.е. два сопротивле- ния могут изменяться синхронно. Некоторые параметры постоянных рези- сторов не имеют большого значения для переменных резисторов, например – вре- меннбя стабильность и слабая зависимость от температуры. Зато появляются новые параметры. Для переменных резисторов параметр «сопротивление» – это не одно значение, как для постоянных сопротивле- ний, а диапазон значений (минимальное, максимальное), плавность регулирования (наличие и величина скачков), зависи- мость сопротивления от перемещения (ли- нейная или какая-то иная). Минимальное значение определяется конструкцией под- вижного контакта и естественной дискрет- ностью – переходом подвижного контакта с витка на виток. Кроме параметров, связанных с сопро- тивлением, для переменных резисторов проблемой могут быть, естественно, износ резистивного элемента и подвижного кон- такта, устойчивость контакта при вибра- ции и ударах и дополнительные шумы, возникающие из-за случайного характера возникновения контакта при перемеще- нии. Проблема промежуточных выводов формально не является специфической, постоянный резистор тоже может их иметь; в обоих случаях это редкость. На рисунках 11–14 представлены не- сколько вариантов устройства перемен- ных резисторов.

ПРОБЛЕМЫ РЕЗИСТОРА 27 Рис. 14. Необычный переменный резистор Рис. 16. Подвижен резистивный элемент, но контакт на переползает с витка на виток, а У резистора на рисунке 14 для увеличе- скользит вдоль проволоки ния диапазона регулирования, т.е. для подвижен, причем во втором случае дви- расширения диапазона регулирования в жение организовано так, что дискретность области малых величин, резистивный эле- витков не имеет значения, так как контакт мент сделан из трех частей, с разной скользит вдоль проволоки. Этот после- зависимостью сопротивления от угла по- дний вариант можно считать предтечей ворота. Первый участок сделан из медной многооборотных потенциометров, в кото- ленты, второй – из резистивной ленты рых, правда, резистивный элемент был меньшего сечения, третий – из резистив- неподвижен. ной проволоки меньшего сечения. Рис. 17 Следующие два рисунка, 15 и 16, иллю- И в заключение – немного о красоте стрируют относительность движения. Обычно резистивный элемент неподви- (рис. 17). жен, в двух этих случаях наоборот – он Рис. 15. Подвижен резистивный элемент

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи по математике и физике Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон- ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2746 предлагалась на 12-й Европейской олимпиаде для девушек. Задача М2748 предлагалась на устном туре XLIV Турнира городов. Автор задач Ф2753-Ф2756 – В.Плис. Задачи М2746–М2749, Ф2753–Ф2756 клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих кле- M2746. Улитка Турбо сидит в некоторой ток в таблице меньше трети. точке окружности длиной 1. Дана беско- нечная последовательность положитель- Б. Френкин ных чисел с1,c2,… Турбо последовательно проползает расстояния с1,c2,… по этой M2749*. Из n монет одна фальшивая, окружности, каждый раз выбирая, ползти которая отличается по весу от настоящей ли ей по часовой стрелке или против неизвестно в какую сторону. Чашечные часовой стрелки. Определите наибольшую весы работают правильно, если груз на константу C ! 0 со следующим свойством: одной чаше тяжелее, чем на другой, а при для любой последовательности положи- равенстве могут показать что угодно. При тельных чисел с1,c2,… таких, что ci  C для каких n можно найти фальшивую монету каждого i, Турбо может (после изучения и определить, легче она настоящей или последовательности) гарантировать, что тяжелее, за k взвешиваний? на окружности есть точка, которую она никогда не посетит и не переползет. А. Заславский M2747. В тетраэдре ABCD на продолже- Ф2753. Снаряд летит по вертикали и нии ребер AB, AC и AD за точку A отметили разрывается в высшей точке траектории три точки, находящиеся от A на расстоя- на множество осколков, разлетающихся нии, равном полупериметру треугольника во всевозможных направлениях с равны- BCD. Аналогично отметили по три точки, ми по модулю скоростями. Через t1 0,4 c соответствующие вершинам B, C и D. До- после разрыва все осколки находятся в кажите, что если существует сфера, касаю- полете, один из осколков движется гори- щаяся всех ребер тетраэдра ABCD, то зонтально, его импульс p1 30 к㠘 м с. отмеченные 12 точек лежат на одной сфере. Масса снаряда M 10 кг. 1) Найдите модуль p2 суммарного импуль- В. Александров са всех остальных осколков в этот момент времени. Ускорение свободного падения M2748. В таблице 44 u 44 часть клеток g 10 м с2. синие, а остальные – красные. Никакие 2) Найдите угол D между векторами p2 и g синие клетки не граничат друг с другом по в этот момент времени. В ответе укажите стороне. Множество красных клеток, на- значение тригонометрической функции оборот, связно по сторонам (от любой угла: sin D или tgD. красной клетки можно добраться до любой Наибольшее расстояние от точки разрыва другой красной, переходя из клетки в до точки падения осколков на горизон- тальную поверхность d 80 м.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 29 3) Найдите продолжительность T полета вертикальная координата H 10 м, L 4l. таких осколков. Сопротивление воздуха На каждом элементарном перемещении считайте пренебрежимо малым. вектор силы, которую школьник прикла- дывает к санкам, и вектор перемещения Ф2754. Брусок установлен вплотную к санок лежат на одной прямой. Все переме- вертикальной стенке (рис. 1). На бруске щения происходят в одной вертикальной закреплено кольцо плоскости. радиусом R 1 м, на которое надет ша- Ф2756. В цикле 1–2–3–4–1 тепловой ма- рик. Массы бруска и шарика одинако- шины две изобары и две изотермы (рис. 3). вы. Кольцо и держа- тель легкие. Трения Рабочее вещество – одноатомный идеаль- нет. Из верхней точ- Рис. 1 ки кольца шарик начинает скользить с пренеб- ный газ. В процессе изобарного расшире- режимо малой начальной скоростью. 1) Найдите ускорение a шарика в тот ния до удвоения объема газ совершает момент, когда сила, с которой брусок действует на вертикальную стенку, обра- работу A. Такую же работу A совершает щается в ноль. В ответе укажите модуль и направление вектора ускорения. газ при изотермическом расширении. 2) Найдите вертикальное перемещение h шарика к этому моменту времени. 1) Найдите количе- 3) Найдите наибольшую скорость v бруска. Все перемещения происходят в одной вер- ство теплоты Q123, тикальной плоскости. Ускорение свобод- подведенное к газу ного падения g 10 м с2. В процессе дви- жения брусок не отрывается от гладкой в процессах 1–2–3. горизонтальной плоскости. 2) Найдите количе- Ф2755. Школьник втаскивает санки на горку. Профиль горки показан на рисун- ство теплотыQ34, от- ке 2. Чтобы, двигаясь по прямой, медлен- веденное от газа в но втащить санки массой m 5 кг из точки 0 в точку 1, прикладывая силу вдоль процессе изобари- Рис. 3 плоской поверхности горки, необходимо ческого сжатия 3–4 совершить работу A1 300 Дж. В точке 1 школьник отпускает санки. Вертикальная (Q34 ! 0). координата точки старта h 4,6 м, началь- 3) Найдите КПД K цикла. ная скорость санок нулевая. Коэффициент трения скольжения санок по горке одина- Решения задачи М2734–М2737, ков на всей поверхности горки. Ускорение Ф2741–Ф2744 свободного падения g 10 м с2. 1) Найдите скорость M2734. В вершинах n-угольника расстав- v санок у основания ляют вещественные числа, а на каждой горки в точке 0. стороне записывают сумму двух чисел, 2) Какую работу A2 стоящих в концах этой стороны. Для следует совершить, каких n могло оказаться, что суммы, чтобы медленно пе- записанные на сторонах, взятые в неко- реместить санки по тором порядке, равны 1, 2, 3, …, n? горке из точки 1 в точку 2? В точке 2 Рис. 2 Ответ: для нечетных n и для n, делящихся на 4. Пусть числа в вершинах равны x1, x2,…, xn. Тогда в задаче спрашивается, является ли совместной (т.е. имеет ли хотя бы одно решение) система линейных уравнений ­x1  x2 s1, (*) °®°°…x2  x3 s2, °¯xn  x1 sn для какой-нибудь перестановки s1, s2,…, sn чисел 1, 2, …, n.

30 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 Для нечетного n 2k  1 система (*) имеет Рис. 1 единственное решение при любых задан- ных s1, s2,…, sn. Действительно, xi одно- M2735. Пусть AB – диаметр окружнос- значно находятся из равенств ти : с центром O (рис. 1). Точки C, D, X и Y выбраны на : так, что отрезки CX 2x1 x1  x2   x2  x3   и DX пересекают отрезок AB в точках, симметричных относительно O, а + x3  x4   …  xn  x1 XY AB. Пусть прямые AB и CD пересе- каются в точке E. Докажите, что каса- s1  s2  s3  …  sn, тельная к :, проведенная через Y, прохо- дит через E. 2x2 s2  s3  s4  …  sn  s1 Продлим XO до диаметра XZ (рис. 2). и т.д. Для найденных значений справедли- Тогда YZ A AB, XY AB и XO ZO, зна- вы равенства (*). чит, AB – средняя линия в треугольнике Пусть n 2k четно. Если система (*) со- XYZ, и точки Y и Z симметричны относи- вместна, то тельно AB. Из симметрии, касательные к окружности, проведенные в точках Y и Z, s1  s3  s5  … s2k1 пересекаются на AB. Поэтому для завер- шения решения достаточно показать, что в x1  x2   x3  x4   …  x2k1  x2k  четырехугольнике YCZD касательные к x2  x3   x4  x5   …  x2k  x1 описанной окружности, проведенные в s2  s4  s6  …  s2k. точках Y и Z, пересекаются на CD. Докажем, что в четырехугольнике YCZD Значит, числа s1, s2,…, s2k можно разбить на произведения противоположных сторон 2 группы по k чисел с равными суммами. равны (вписанные четырехугольники с Наоборот, если s1  s3  s5  …  s2k1 таким свойством называются гармоничес- s2  s4  s6  …  s2k, то наша система (*) имеет бесконечно много решений следую- кими). Имеем щего вида: CY R sin ‘CXY sin ‘‘XXDCccDCcc, x1 t, x2 s1  t, x3 s2  s1  t, DY R sin ‘DXY sin x4 s3  s2  s1  t, x5 s4  s3  s2  s1  t, ... где Cc и Dc – точки пересечения XC и XD с AB. Применяя теорему синусов к тре- …, x2k s2k1  sk2  …  s1  t. Для таких значений xi все уравнения сис- Рис. 2 темы (*), кроме последнего, очевидно, верны, но и последнее – тоже, так как x2k  x1 s2k1  s2k2  …  s1 s2k. При нечетном k сумма 1  2  …  2k не- четна, поэтому числа 1, 2, …, 2k невозмож- но разбить на две группы с равными сум- мами (иначе эти суммы должны быть целыми, и тогда общая сумма всех чисел четна). При четном k 2m нужное разбиение воз- можно: пусть числа s1, s3,…, s2k1 равны (в любом порядке) числам 1, 2, …, m, 3m  1, 3m  2, …, 4m, а числа s2, s4,…, s2k равны числам m  1, m  2, m  3, …, 3m. Таким образом, для n 2k ответ в задаче положительный при четных k и отрица- тельный в противном случае. П. Кожевников

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 31 угольникам XOCc и XODc, получаем точкам A, B, C, D. Действительно, sin ‘XCcDc sin ‘OCCccXO,  EX2 EZ2  ZX2 EO2  R2  4R2 XO 2 3R . sin ‘XDcCc sin ‘DcXO.  EO2  XO ODc Тогда точка X лежит на окружности с Поделив одно равенство другое и учиты- центром E и радиусом, равным расстоя- вая, что OCc ODc, получаем нию от E до вершины равностороннего треугольника, построенного на отрезке AB sin ‘XCcDc sin ‘CcXO . как на основании. sin ‘XDcCc sin ‘DcXO К. Кноп И так как M2736. Найдите остаток при делении биномиального коэффициента C32nn на 3n1. sin ‘CcXO R sin ‘CcXZ CZ , sin ‘DcXO R sin ‘DcXZ DZ Ответ: 3n при нечетном n, 2 ˜ 3n при четном имеем n. C32nn – это целое число, Заметим, что An CY CZ . равное DY DZ     3n 3n  1 3n  2 … 3n  2n  1 Пусть теперь для гармонического четырех- угольника YCZD касательные, проведен- 2n ! ные в точках Y и Z, пересекаются в точке F. Покажем, что F лежит на прямой CD.     3n  2n Пусть FC вторично пересекает окруж- ˜ 3n  1 3n  2 … 3n  2n  1 2n  1 ! ность в точке D1. Тогда из подобий FYC ∼ FD1Y и FZC ∼ FD1Z вытекает CY 3n ˜ C32nn11. D1Y 2n YF ZF CZ . Получается, что D1F D1F D1Z Но Bn C32nn11 – целое число. Из равенства YD ZD YD1 ZD1. И поскольку углы Bn ˜ 3n An ˜ 2n (*) YDZ и YD1Z равны (опираются на одну следует, что An делится на 3n, и для дугу), треугольники YDZ и YD1Z подоб- нахождения остатка от деления An на 3n1 ны, а так как YZ – общая сторона, эти достаточно знать остаток при делении Bn на 3. треугольники равны и, значит, они совпа- Далее, Bn равно произведению дробей вида дают. Тем самым доказано совпадение 3n  k (для k 1,2,…,2n  1). Пусть 3m – точек D и D1, завершающее решение. k Отметим, что приведенное решение станет наибольшая степень тройки, на которую короче, если перейти на язык «переброс- ки» двойных отношений: тройка точек Cc, делится k, так что k 3m ˜ s, где s не делится на 3. Ясно, что m  n и 3n  k O, Dc вместе с бесконечно удаленной точ- приводится к (несократимому) виkду кой прямой AB образует гармоническую четверку. Следовательно, четверка пря- мых XCc, XO, XDc, XY гармоническая, а 23nnms1дsр.обИейтавки,дBа n3nраmsвноs произведению После домно- значит (проекция на окружность с цент- ром X), четверка C, Z, D, Y гармоничес- . кая. жения на знаменатели имеем равенство В завершение скажем, что из данной кон-  – –Bn ˜ s 3nm  s , откуда (поскольку струкции можно получить алгоритм быст- рого построения точки X такой, что Cc и Dc симметричны относительно O, по данным (Продолжение см. на с. 34)

Citius, altius, fortius! С игрой в гольф связано так много проблем Девиз олимпийского движения динамики, что обсуждение их всех заняло бы гораздо больше времени, чем имеется сегод- Я часто видел, как теннисный мяч при ударе ня в моем распоряжении. наклонной ракеткой описывает кривую… Джозеф Джон Томсон Исаак Ньютон …ниже колена я состою в основном из гаек Исходя из этого принципа ¢закона упруго- и болтов, а еще в моих ногах 24 сенсора, 6 сти – А.Л.², легко можно будет вычислить микропроцессоров и всякие механизмы, по- силу луков… добные мышцам и сухожилиям. С такими ногами я могу прыгать, бегать и танцевать. Роберт Гук Хью Герр А так ли хорошо знакомы вам ?ФИЗИКА + СПОРТ История взаимодействия науки и спорта, на снарядах ладони натирают магнезией, пусть робко и неосознанно, берет начало, а подошвы – канифолью? по крайней мере, с зародившихся в Древ- ней Греции Олимпийских игр. И с тех 2. Как баскетболисты ослабляют силу пор все это долгое время спортсменов удара тяжелого мяча, когда ловят его волновал вопрос: как улучшить свои до- руками? стижения? Настойчивыми тренировка- ми, развивая силу и скорость – так ска- 3. Куда должна быть направлена сила, зать, лишь надеясь на природные дан- с которой легкоатлет действует на землю ные? Или опереться на достижения уче- в момент прыжка в длину, чтобы даль- ных, новинки изобретателей и инжене- ность полета была максимальной? Рас- ров? Да еще когда стали появляться смотрите прыжки с места и с разбега. необычные поначалу виды спорта, где Сопротивлением воздуха пренебречь. вообще без техники и особой амуниции не обойтись: авто-, мото- и велогонки, па- 4. Во время соревнований некоторые русные регаты, альпинизм, серфинг, гор- бегуны держатся позади противника и ные лыжи, прыжки с трамплина… И все вырываются вперед лишь у финиша. По- же, на что еще способен сам человек? чему? Похоже, мы вступаем в эпоху смыка- 5. Почему конькобежец, чтобы остано- ния естественного и искусственного, ког- виться, ставит коньки под углом друг к да новые технологии могут принципиаль- другу? но изменить представления о наших воз- можностях, что, безусловно, в большой 6. Лезвия беговых коньков делаются степени отразится на спорте. Пока же, более тонкими, чем лезвия коньков дру- вооружившись олимпийским девизом, гих видов, например хоккейных. Почему? давайте постараемся обнаружить и в школьном курсе физики немало спортив- 7. Каким образом футболист при штраф- ных сюжетов. ном или угловом ударе посылает мяч по искривленной траектории, обходя «стен- Вопросы и задачи ку» и попадая в ворота? 1. Для чего на уроках физкультуры 8. С какой целью метатель диска сооб- при выполнении некоторых упражнений щает вращение своему снаряду во время броска? 9. Почему использование перчаток сде- лало бокс менее опасным? 10. Как объяснить, зачем борцы во

время поединков широко расставляют ческую его теорию представил в 1877 году ноги? лорд Рэлей. 11. Почему вытянутой рукой нельзя … в 1697 году швейцарский ученый удержать такой же груз, например ганте- Иоганн Бернулли показал, что интересу- лю, как согнутой? ющая еще Галилея форма кривой наиско- рейшего спуска в отсутствие трения – это 12. Штангист «взял» в рывке штангу циклоида. Ее уравнение используют при весом 1000 H. Действительно ли он разви- проектировании санных трасс. вал такую силу во время подъема снаряда? … учет роста спортсмена при толкании 13. Отчего туго натянутая волейбольная ядра или метании молота приводит к сетка может порваться от удара мяча? уменьшению угла, при броске под кото- рым достигается максимальная дальность 14. Велосипед становится устойчивым и полета, составляя, по расчетам, заметно не падает, если его разогнать, и чем боль- меньше 45q. ше скорость, тем выше его устойчивость. Почему? … переход от прыжка «перекатом» к технике «фосбери-флоп» позволил замет- 15. Для чего у парусных яхт делается но увеличить рекорды прыжков в высоту, большой киль? так как во втором случае спортсмену уда- ется удерживать свой центр тяжести ниже Микроопыт уровня планки. Попробуйте забраться на шведскую стен- … на старт одной из гонок «Формулы- ку и, ухватившись руками за одну из ее 1» был выведен болид, оснащенный боль- перекладин, повиснуть на ней. Как при шим вентилятором, высасывающим воз- этом следует расположить ваши руки, дух из-под днища машины, благодаря чтобы их усилия были наименьшими? чему понижалось его давление и возраста- ла прижимная сила. Это позволило обо- Любопытно, что… гнать всех соперников, однако их протес- ты привели к дальнейшему запрету подоб- … правилами древнегреческих олим- ных «ухищрений». пийских игр разрешалось прыгать в дли- ну с какими-либо тяжелыми предметами в … профессор Массачусетского техноло- руках, которые в прыжке следовало от- гического института, создатель бионичес- бросить вниз и назад. Возможно, это и ких протезов Хью Герр, потеряв обе ноги, приводило к увеличению дальности поле- смог вернуться в спорт благодаря созда- та, превышающую порой результаты ны- нию искусственных частей тела. К концу нешних рекордсменов. этого века, считает он, строение и динами- ка наших тел будут до неузнаваемости … ни одно животное не сможет соревно- отличаться от сегодняшних, так что мы ваться с человеком в марафоне, так как не сможем даже летать. способно пробежать без отдыха и останов- ки 42 километра. Наши сухожилия, играя Что читать в «Кванте» роль своеобразных пружин, около 90% потенциальной энергии возвращают в ки- о союзе физики и спорта нетическую, что приводит к высокой эко- номичности циклических движений. Мощ- 1. «Физика и спорт» – 2000, Приложение ность же, затрачиваемая взрослым чело- №5; веком, меняется от 80 Вт в состоянии покоя до 10 кВт при спринтерском беге. 2. «Шайба, мяч и копье» – 2013, №2, с.38; 3. «Спринтеры и стайеры» – 2017, №11, … уже в 1671 году Исаак Ньютон объяс- с.11; нил отклонение вращающегося мяча воз- 4. «Канатоход Толи Втулкина» – 2018, №3, никновением поперечной разницы давле- с.30; ний во время его полета. В 1852 году 5. «Невинная Ифигения и разложение сил» подобное толкование было дано немецким – 2022, № 10, с. 24. физиком Генрихом Магнусом, именем которого назван этот эффект, а математи- Материал подготовил А. Леонович

34 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 (Начало см. на с. 28) нут правильными, и процесс прекратится. 3nm  s { smod3) Bn ˜ –s { –smod3, Далее заметим, что для каждого простого p инвариантом при данной операции явля- и далее (так как количество сомножителей ется набор степеней вхождения p в разло- –равно 2n  1 – нечетно) Bn ˜ s { жение чисел. (Например, если в началь- { – s mod 3. Тогда – s Bn  1 делится ном наборе ровно 5 чисел x, для которых на 3, и поскольку – s взаимно просто с 3, Bn { 1mod 3. Так как 2n { 1mod 3 при Qp x 3 (т.е которые делятся на p3, но не делятся на p4), то это свойство сохранится и после применения любого количества нечетном n и 2n { 1mod 3 при четном n, то операций.) Bn 3t r 1, где 1 – в случае нечетного n Пусть изначально выписаны все делители 2n числа n, имеющего каноническое разложе- ние на простые множители n p1D1 p2D2 … pkDk. и 1 – в случае четного n. Пусть b1 d b2 d … d bt – набор чисел, кото- рый получился в конце; здесь Возвращаясь к равенству (*), получаем, t D1  1D2  1…Dk  1 – количество что при нечетном n число An 3n 3t  1 { делителей числа n. Согласно наблюдениям  { 3n mod 3n1 , а при четном n: выше, в ряду чисел b1 d b2 d … d bt каждое  An 3n 3t  1 { 2 ˜ 3n mod 3n1 . следующее число делится на предыду- В. Расторгуев щее, отсюда следует, что для вхождений M2737. На доске выписаны все делители данного простого p в разложение тоже числа а) 8000000, б) 36010. За один ход можно взять два числа, ни одно из кото- имеется монотонность: Qp b1 d Qp b2  d … рых не делится на другое, и заменить … d Qp bt . Чтобы узнать ответ в задаче числа на их НОД и НОК. В какой-то момент новые операции выполнять бу- (количество различных чисел среди bi ), дет нельзя. Сколько различных чисел достаточно определить, сколько в после- будет на доске в этот момент? довательности b1 d b2 d … d bt знаков стро- го неравенства. Ответ: а) 16; б) 61. В начальном наборе ровно по Ei t Условие известной задачи гласит: если 0,1, 2,…Di,D11. данные операции применять, начав с про- чисел x, для которых Qpi x  извольного набора натуральных чисел, то процесс завершится через конечное коли- Значит, Qp1 bi   Qp1 bi1 тогда и только чество шагов. Назовем пару чисел правильной, если одно тогда, когда i делится на Ei. Теперь ясно, из них делится на другое. Заметим, что что bi  bi1 тогда и только тогда, когда i при каждой операции число правильных делится хотя бы на одно из чисел Ei, пар увеличивается. Действительно, за один i 1,2,…,k. ход какая-то неправильная пара a, b заме- Остается разобрать случаи конкретных няется на правильную пару d НОД a,b, M НОК a,b. Если любое другое число чисел а) и б). а) n 8000000 29 ˜ 56. Здесь t 70, и x из нашего набора делилось на одно из чисел a, b, то оно делится на d; если же x bi  bi1 тогда и только тогда, когда i делилось на оба числа a, b, то x делится и делится или на 10, или на 7 – всего на d, и на M. Аналогично, если x являлось делителем одного из чисел a, b, то оно 6  9 15 различных индексов. является делителем M; если же x являлось б) 36010 230 ˜ 320 ˜ 510. Здесь t 31 ˜ 21 ˜ 11, делителем обоих чисел a, b, то оно являет- и bi  bi1 тогда и только тогда, когда i ся делителем и M, и d. Таким образом, за делится или на 21 ˜ 11, или на 11 ˜ 31, или на конечное количество шагов все пары ста- 31 ˜ 21 – всего 30  20  10 60 различных индексов. Задача решена. В завершение отметим следующую интер- претацию: для данного n p1D1 p2D2 … pkDk ответом в задаче будет количество частей, на которые разбивается отрезок, если его разбить точками на D1  1 равных отрез-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 35 ков, затем (поверх первого разбиения) – на, на которую можно утяжелить ось мас- на D2  1 равных отрезков, ..., на Dk  1 сивного блока, равна 800 г. равных отрезков. А.Бычков В. Брагин Ф2742. В калориметр с горячей водой Ф2741. Система, изображенная на ри- бросили кусочек льда, температура ко- торого была равна 0 qC. После установ- сунке, состоит из трех блоков, невесо- ления теплового равновесия температу- ра воды понизилась на 12 qC. Когда в мых и нерастяжи- калориметр бросили второй такой же кусочек льда, температура воды понизи- мых нитей и двух лась еще на 10 qC. На сколько градусов понизится температура воды, если в нее грузов. Масса лево- бросить третий такой же кусочек льда, который полностью растает? Теплоем- го груза m 1 кг, два костью калориметра и теплообменом с - окружающей средой можно пренебречь. белых блока неве- Ответ выразите в градусах Цельсия и округлите до десятых долей. сомы, а масса серо- го блока m0 200 г. Система находит- ся в равновесии. Ускорение свобод- ного падения g 10 Н кг. 1) Чему равна масса правого груза? От- Пусть теплоемкость воды С1, а теплоем- кость одного кусочка льда С2. Тогда спра- вет выразите в граммах, округлите до ведливы следующие равенства: целого числа. 2) Ось серого блока утяжеляют, а массу правого груза уменьшают так, что сис- С1t1 Q  C2 t  t1, 2Q  2C2 t  t1  t2 , тема по-прежнему находится в равнове- C1 t1  t2  3Q  3C2 t  t1  t2  tx , C1 t1  t2  tx  сии. На какую максимальную величину можно утяжелить ось массивного блока? Ответ выразите в граммах и округлите где t1 12 qC, t2 10 qC, Q – количество теплоты, которое требуется, чтобы расто- до целого числа. пить один кусочек льда, tx – искомая величина. Исключив из первых двух урав- Пусть натяжение нити, прикрепленной к нений Q, приходим к равенству потолку и правому грузу, равна T1, а натяжение нити, соединяющей блоки, рав- C1 t1  t2  2C2t2, на T2. Запишем условия равновесия ниж- него белого и серого блоков соответствен- откуда находим отношение теплоемкос- но: тей: 2T1  T2 mg, C1 20 10. C2 2 T2 2T1  m0g. Решая эту систему уравнений, находим Если из третьего уравнения системы вы- честь сумму первых двух, то получится T1 m  m0 g 2 H, такое уравнение: 4 T2 m  m0 g 6 H. С1tx  C1t1 C2t2  3C2tx. 2 Следовательно, искомая величина равна Следовательно, масса правого груза равна C1t1  C2t2 10t1  t2 M T1 200 г. tx C1  3C2 10  3 | 8,5 qC. g А.Бычков Ось серого блока можно утяжелять до тех пор, пока натяжение T1 не станет равным Ф2743. Школьник собрал почти беско- нулю. Стало быть, максимальная величи- нечную электрическую цепь, состоящую

36 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 равна I U 0,45 A. 3R После каждого ветвления сопротивление нижней ветви в 2 раза больше, чем сопро- тивление верхней, поэтому ток делится между верхней и нижней ветвями в отно- шении 2 к 1. Значит, на верхнюю ветвь идет 2 тока, входящего в узел. Таким 3 образом, через сечение в точке T течет ток IT 2 ˜ 2 ˜ I 4U 0,2 A. 3 3 27 R М.Ромашка Рис. 1 Ф2744. Два плоских зеркала размерами a u a, где а 10 см, расположены перпен- из очень большого числа резисторов (рис. 1). Если двигаться вдоль этой схе- дикулярно плоскости рисунка, касаются мы слева направо, то после каждого ее разветвления сопротивление резистора, друг друга и образуют угол E 70q находящегося выше точки разветвления, (рис. 1). Между зеркалами на расстоя- равно сопротивлению резистора, находя- щегося слева от точки разветвления, а сопротивление резистора, находящегося ниже точки разветвления, в два раза больше, чем сопротивление резистора, находящегося выше точки разветвления. Напряжение источника в этой цепи U 27 В. Найдите силу тока, текущего через поперечное сечение провода в точке Т если R 20 Ом. Ответ выразите в амперах и округлите до десятых долей. Найдем сначала общее сопротивление цепи, обозначив его Rx . Поскольку цепь беско- Рис. 1 нечна, то сопротивление ее верхней ветви нии l 5 см от точки их касания распола- (после первого ветвления) равно сопро- гают небольшое тело, размерам которо- го можно пренебречь. Угол между зерка- тивлению всей цепи, а сопротивление ниж- лом В и направлением из точки соедине- ния зеркала на тело обозначим D. Опре- ней ветви в два раза больше. Иными делите, при каких значениях угла D в системе зеркал будут создаваться 5 изоб- словами, исходная цепь эквивалентна цепи, ражений (сам предмет за изображение не считается). изображенной на рисунке 2. Получаем При отражении от плоского зеркала угол уравнение отражения равен углу падения. Привыч- Rx R  2RxRx , 2Rx  Rx откуда Rx 3R 60 Ом. Рис. 2 По закону Ома сила тока на входе в цепь

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 37 ным для нас является преломлять луч, т.е. Рис. 2 изображать происходящее с точки зрения наблюдателя, стоящего на земле. В данной изображений, луч не попадет только на задаче проще связать наблюдателя с лу- B12. чом. С точки зрения такого наблюдателя, Если же 30q  D  40q, то луч попадет и на при отражении от зеркала луч продолжает B12 и на A12, т.е. получится 6 изображений. двигаться по прямой, а весь мир вокруг При этом от размеров зеркал ответ не симметрично отражается относительно зер- зависит. кала. Нарисуем все возможные располо- Значит, пять изображений можно увидеть жения зеркал при таких отражениях. при D  30q и D ! 40q. Допустим, что луч от источника сначала упал на зеркало A. В результате этого М.Карманов зеркало B отразится в зеркале А и полу- чится зеркало B1. Если после этого луч попадет на зеркало B1, то зеркало A также отразится в B1 и получится зеркало A12. Аналогичную картинку получим, если луч сначала упадет на зеркало B. Рассмотрим возможные положения предмета. Если он расположен под углом D  30q, то луч от него может пройти через зеркала B, A12 и B12 (луч 1), а также через A и B1 (луч 2), а вот на A12 уже не попадет. Таким образом, получим 5 изображений. Если D ! 40q, то аналогично получаем 5 ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Диск Фейнмана, ким проблемам, предложил задачу, которая конденсатор Тамма впоследствии была воспринята как пара- докс. Есть тонкий непроводящий диск, на и импульс периферии которого на равном расстоянии b электромагнитного от центра диска располагаются заряды q, а на оси диска находится соленоид (рис. 1). поля Вся конструкция стационарна, диск непод- вижен. Возникает вполне законный вопрос: С. ГЕРАСИМОВ что произойдет с диском, если электричес- кий ток, питающий соленоид, начнет возра- ЕСТЬ МНОГО ЗАДАЧ, СМЫСЛ (И РЕ- стать? зультат) решения которых со временем не только не рассеивается, но и, наоборот, Ответ достаточно необычен: диск вместе с возрастает. Вот – одна из них. соленоидом должен повернуться под дей- ствием сил F , действующих на заряды. Это Задача Фейнмана действительно так в полном соответствии с Очень давно Ричард Фейнман, известный законом электромагнитной индукции привязанностью к неординарным физичес- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230502 F ˜ 2Sb Sa2 dB0 , q dt если B0 – индукция магнитного поля внутри соленоида с внутренним радиусов а. Иное, т.е. отсутствие воздействия на электричес- кие заряды, исключено: если бы переменный

38 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 готовым выражением для плотности импуль- са электромагнитного поля: g 1 ª¬E u H º¼ , c2 где H – напряженность магнитного поля. После интегрирования этой величины по всему объему, занятому полем, должен по- лучиться импульс, равный по величине и противоположный по направлению механи- ческому импульсу p, соответствующему клас- сической динамике: F dp dt. Неоднозначность стала очевидной: вне соленоида напряженность магнитного поля – почти ноль, а трансформатор успешно ра- ботает. Дело даже не в том, что Фейнман предлагал в центр диска поместить очень маленькую катушку, что, по правде говоря, породило ряд неудачных решений, основан- Рис. 1. Диск Фейнмана ных в том числе и на рассмотрении влияния ток в соленоиде не действовал на заряды, полюсов соленоида на электрические заря- обычный трансформатор не мог бы работать в принципе. По существу, соленоид, длин- ды. Основная проблема, похоже, в другом: ный, как на рисунке 1, или короткий, как у Фейнмана, представляет собой первичную записанное выше выражение наиболее адек- обмотку такого примитивного трансформа- тора, а заряды q – носители тока во вторич- ватно для электромагнитных волн, в кото- ной обмотке. Пример с длинным соленоидом достаточно поучителен: индукция магнитно- рых напряженность электрического поля го поле вне такого электромагнита чрезвы- чайно мала, а создаваемое соленоидом вих- является результатом изменения магнитного ревое электрическое поле поля. В задаче Фейнмана только вихревая составляющая EA электрического поля зави- сит от магнитного поля, а напряженность электрического поля, определяемая гради- ентом потенциала: EA  wA, E grad M  w A , wt wt являющееся следствием закона электромаг- не только не зависит от индукции магнитно- го поля, но и постоянна. нитной индукции, обнулять нет никаких ос- Задача Тамма нований. Такая вот необычная величина этот Как выбраться из ситуации с отсутствием магнитного поля в областях, где есть элект- векторный потенциал A : индукции магнитно- рическое поле, создаваемое постоянными зарядами? Достаточно рассмотреть пример, го поля нет, а векторный потенциал есть, в котором магнитное поле не только отлично от нуля в области, где есть электрическое, но причем с расстоянием от оси соленоида он и однородно. Это – конденсатор Тамма [2], почему-то спустя некоторое время назван- изменяется сравнительно слабо. ный конденсатором Фейнмана. Но это не принципиально. Принципиально другое: Парадоксальность явления не видна до тех длинный цилиндрический конденсатор вы- сотой h и радиусом внешнего цилиндричес- пор, пока мы не вспоминаем о законах кого электрода b находится во внешнем однородном, но не стационарном магнитном сохранения импульса и момента импульса. поле (рис. 2). Это можно сделать, к приме- ру, с помощью катушки Гельмгольца. Пусть Электрические заряды на соленоид, разуме- ется, не действуют, значит, при своем пово- роте они должны от чего-то отталкиваться – «вращаться не задаром» [1], по образному выражению Фейнмана. Дальше следует пре- достережение: «решение не простое, но это и не обман». Тем самым, Фейнман спровоци- ровал большое число попыток решить зада- чу «по-школьному», т.е. воспользовавшись

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 39 поскольку производная от момента импуль- са есть момент сил и так как c2 1 H0P0 , то Nэм q b2 dB N. 2 dt Это явление подтверждено эксперимен- тально как качественно, так и цифрой [3]. Другое дело, что результат эксперимента, подтвердившего существование скрытого момента импульса поля, был приписан поче- му-то эфиру. Эффект оказался настолько слаб, что зарегистрировать его удалось толь- ко в резонансном режиме. Сегодня он слаб, а завтра окажется очень сильным, если с ним разобраться и придумать, как усилить. Решена ли задача? Конечно, нет. До тех пор, пока не получено аналогичное решение, с точностью до знака совпадающее с момен- Рис. 2. Конденсатор Тамма том сил, действующих на заряд q, остаются вопросы. А решение с вопросами – не ответ. внешняя большая обкладка конденсатора Решение задачи Фейнмана заряжена положительно, неся заряд q, а внутренняя обкладка с почти нулевым ради- Прежде всего, следует подчеркнуть, что в усом заряжена отрицательно, имея на себе пространстве, окружающем диск Фейнмана, заряд q. Поверхностная плотность заряда, есть только электрическое поле, а значит, находящегося на внешней обкладке конден- плотность энергии электрического поля это сатора, равна V q . Исходя из закона не что иное, как 2Sbh w 1 ED, электромагнитной индукции, на каждый 2 элемент поверхности ds bd\\dh действует где D – индукция электрического поля. Подставляя сюда напряженность электри- сила dF = -V (b 2) ds (dB dt) и элемент вра- ческого поля, включающую в себя кулонов- скую и вихревую составляющие, вводя плот- щательного момента dN bdF. Интегриро- ность зарядов U, создающих электростати- ческое поле, и учитывая уравнение 'M  U , вание дает N q b2 dB. можно получить выражение для плотносHт0и 2 dt Пренебрегая краевыми эффектами, напря- женность электрического поля внутри кон- энергии, состоящее из трех слагаемых (же- q, лающие могут сделать это самостоятельно). денсатора можно записать в виде E 2SH0rh Первое слагаемое – плотность энергии элек- тростатического поля, второе слагаемое – здесь r – расстояние от оси конденсатора до плотность энергии вихревого электрическо- го поля, создаваемого источником магнитно- точки, где вычисляется плотность импульса го поля, а третье слагаемое – соответствую- щее энергии, создаваемой и зарядами, и электромагнитного поля g EB . Нас инте- источником магнитного поля. Именно оно и c2P0 представляет наибольший интерес. Вычис- ресует то, что должно скомпенсировать вра- лить это слагаемое можно, воспользовав- шись теоремой Остроградского–Гаусса, по- щательный момент, с которым магнитное зволяющей свести интегрирование по объе- му к интегрированию по поверхности, огра- поле действует на внешнюю обкладку кон- ничивающей объем. Поскольку объем беско- денсатора, т.е. производная от момента им- пульса электромагнитного поля dLэм rgdV r q B rdrdhd\\. Интегрирова- 2SH0rh P0  ние по r от 0 до b дает Lэм q b2 2 B, а

40 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 нечен, то его ограничивает сфера бесконеч- находящимся на элементе поверхности внеш- ней обкладки конденсатора, в виде ного радиуса; так как при r o f потенциал M изменяется как 1 r, а векторный потенци- dLэм b ˜ q ds ˜ Bb , 2Sbh 2 ал – как 1 b  r , то результат для диска Фейнмана qa2B0 откуда следует, что Wмэ 2 q Bb2. Lэм 2 огорчает. Ибо при переходе от энергии к Конденсатор вращается, отталкиваясь от импульсу, т.е. после деления этой полной электромагнитного поля. энергии на скорость света [4], что эквивален- На самом деле Тамм решал и решил не- тно умножению на H0P0 1 2, мы ничего хоро- сколько другую задачу, несомненно более шего не получим. Мало того, что исчезла сложную и интересную. Он выяснил, возни- зависимость от расстояния b, так еще и кают ли импульс и момент импульса поля в появилась величина P0, являющаяся «лак- том случае, когда магнитное поле однородно мусовой бумажкой» участия магнитного поля, и стационарно, а заряд конденсатора меняет- которого, разумеется, нет. Деление на ско- ся. Последнее возможно только в том случае, рость света – рецидив электромагнитных если заряд меняется вследствие меняющегося волн, значит, от энергии к импульсу надо электрического тока, например если конден- переходить другим способом. сатор включен в цепь переменного тока, что Тело, находящееся в электромагнитном обеспечивает изменение зарядов на обклад- поле, обладает энергией и это – потенциаль- ках конденсатора. При этом между обкладка- ная энергия, а минус градиент потенциаль- ми конденсатора возникает так называемый ной энергии – это сила. Можно показать ток смещения, плотность которого равна (опять же желающие могут это сделать ∂D dt и перпендикулярна индукции магнит- самостоятельно), что скрытая сила, она же ного поля внутри конденсатора. Поэтому ис- производная от полного импульса поля по пользование выражения для плотности им- времени, отличается от силы, с которой пульса, пропорциональной векторному произ- вихревое электрическое поле действует на ведению напряженности электрического поля электрический заряд, только знаком. Зада- на напряженность магнитного, не только до- чу Фейнмана можно считать почти решен- пустимо, но и напрашивается само собой. ной: диск с зарядами вращается, образно Здесь же по необходимости пришлось кос- говоря, отталкиваясь от электромагнитного нуться другого варианта задачи. Без него поля. изложение такого сравнительно простого и Но вопросы все-таки остались, и относятся непротиворечивого решения задачи Фейнма- они к конденсатору Тамма. Чтобы их зак- на было бы неполным. Обязательно следует рыть, можно вычислить момент импульса подчеркнуть важность задачи и несомненную электромагнитного поля, ссылаясь на полу- заинтересованность в ее адекватном и про- ченный результат. На самом деле вариант зрачном решении. Это тот редкий случай, тот конденсатора Тамма отличается от диска редкий пример, после знакомства с которым Фейнмана только тем, что тело, несущее сомнения в возможности движения тела с постоянный электрический заряд (он же участием электромагнитного поля, создавае- конденсатор), находится в магнитном поле, мого самим телом, исчезают почти полностью. а диск – нет. В остальном это даже больше Литература похоже на трансформатор с внешней обмот- 1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнма- новские лекции по физике, т. 6, гл. 17. – М.: кой в виде длинного цилиндрического про- МИР, 1976. водника, чем в виде диска с зарядами. И еще: 2. И.E. Тамм. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1989. скрытый импульс поля, скрытая сила, при- 3. G.M. Graham, D.G. Lahoz. Observation of писываемая полю, момент импульса поля Static Electromagnetic Angular Momentum in Vacuo. – Nature, v. 285 (1980), p. 154–155. формируются в непосредственной близости 4. Дж. Орир. Физика, гл. 21.– М.: КДУ, 2019. от зарядов. Все это дает возможность запи- сать дифференциал момента импульса поля, создаваемого магнитным полем и зарядом,

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ Задачи 1. Кот за полминуты съел половинку 3. Равнобедренный треугольник ABC самой маленькой рыбки, а всего он (AB = BC ) и квадрат AKLM располо- съел 5 рыбок и потратил на это целое жены, как на рисунке. Точка S на AB число минут (кот ест рыбу с постоян- ной в «клеточках» скоростью). На ри- сунке изображены все рыбки, кото- такова, что AS = SL. Найдите ‘SLB. рые были у кота. Какую рыбку кот не стал есть? 4. Л. Попов У царя есть 7 мешков с золотыми 2. Т. Казицына Найдите какое-нибудь решение монетами, в каждом по 100 монет. Царь ребуса помнит, что в одном мешке все монеты по 7 г, во втором по 8 г, в третьем по 9 г, Ф Е  ВР АЛЬ 1 . в четвертом по 10 г, в пятом по 11 г, в шестом по 12 г, в седьмом по 13 г, но не Разным буквам соответствуют разные помнит, где какие. цифры. Косая черта обозначает деление. Иллюстрации Д.Гришуковой Э. Акопян Эти задачи предлагались на Математичес- Царь сообщил это придворному муд- ком празднике. рецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество мо- нет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двух- чашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). Может ли мудрец определить, какие монеты лежат в указанном мешке, сде- лав не более двух взвешиваний? М. Евдокимов

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ Парад ледяных сталагмитов В.ПТУШЕНКО Фото 2 ВОЗМОЖНО, ЧТО У ЧИТАТЕЛЕЙ И тиметров (на не вызывает удивления существование сталагмитов – сосулек (не важно, ледяных фото 2 в ка- или каменных), растущих снизу вверх. Мне же всегда казалось чем-то удивительным, честве масш- что падающая сверху капля может не только точно попасть на тоненькое острие растущей табного отрез- снизу иглы, но и удержаться на нем, не скатиться, не расплескаться, не растерять ка показана все свое содержимое (саму ли воду или же растворенные в ней вещества). И хотя воз- шариковая можность увидеть сталагмиты – на фотогра- фиях или даже своими глазами – убеждает в ручка, имею- том, что это не фантастика, но все же пред- ставить себе такой рост очень сложно, гораз- щая длину око- до сложнее, чем привычный рост сосульки сверху вниз. Вот если бы можно было уви- ло 11 см). Лег- деть своими глазами, как растет сталагмит... ко заметить, Рост сталагмитов – очень медленный про- цесс, но все же можно найти условия, в что растут они которых растут они если и не на глазах, то, по крайней мере, довольно быстро. Вот «стройными такой «питомник сталагмитов» мне удалось обнаружить этой зимой. Поселился он на рядами» – все маленьком мостике над рекой, перед самым ее входом в трубу (фото 1). Весь «пол» сталагмиты этого мостика усеян ледяными сталагмита- ми. Они довольно крупные – многие дости- располагаются гают высоты около десяти-пятнадцати сан- Фото 3 вдоль четырех Фото 1 DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230503 прямых линий (фото 3). И понятно, почему: все капли стекают с двух реек, тянущихся вдоль моста, – под ними и вырастают все ледяные сталагмиты. Мороз и теплая от промышленных сбросов вода реки создают для этого идеальные условия: в изобилии поднимающийся от воды пар конденсирует- ся на рейках моста, по всей их длине вода множеством капель падает вниз и мгновенно застывает на промороженном полу моста или на уже образовавшейся на нем столбча- той наледи. Конечно, образующиеся ледяные сталаг- миты не похожи на иглы – они гораздо толще, чем обычно бывают сосульки-сталак- титы. Возможно, что в пещере они получа- лись бы тоньше, но здесь, на открытом всем ветрам пространстве, постоянно меняющие- ся потоки воздуха могут приводить к боль- шему разбросу точек падения капель. По изгибам сосулек можно даже заметить, как иногда меняется направление их роста. Глядя на такой «парад сталагмитов», про- ще представить себе, как в течение столетий в пещерах нарастают их известковые собра- тья.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Задача о двух биссектрисах Е.БАКАЕВ Рис. 1 Недавно на Московской математической самом деле для каждого из этих решений олимпиаде восьмиклассникам была предло- нужно только по одной вспомогательной жена такая задача: Докажите, что в прямо- точке. угольном треугольнике с углом 30q одна биссектриса в два раза короче другой. а) На продолжении AC за точку C отметим точку N такую, что AC CN. Тогда ABN – Мы приведем здесь разные решения, боль- равносторонний треугольник. Треугольники шая часть из них использует программу 8 KBN и LCA подобны: в них равные углы. класса. При этом BN AN 2AC, т.е. треугольники подобны с коэффициентом 2, поэтому Подобные треугольники BK 2CL. Решение 1. На самом деле, этот пункт б) Проведем высоту CH. Треугольники состоит из четырех разных решений, но из- KBC и LCH подобны и BC 2CH, так как за их сходства мы поместили их вместе. это катет и гипотенуза в треугольнике BCH Немного посчитав углы, можно заметить, с углами 30-60-90. что ‘ALC ‘BKC 75q (рис. 1). И как раз к этим углам прилегают отрезки, про кото- в) Отметим середину M отрезка AB. Тре- рые нужно доказать, что один в два раза угольники ABK и MCL подобны и AB 2CM, длиннее другого. Напрашивается мысль: это поскольку CM – это медиана прямоугольно- стороны в подобных треугольниках с коэф- го треугольника с гипотенузой AB. фициентом подобия 2 (т.е. треугольники, у которых наборы углов одинаковые, а сторо- г) На продолжении CA за точку A отметим ны одного в два раза больше сторон друго- точку P такую, что AP AB. Треугольники го). Покажем 4 способа, как найти такие подобные треугольники; каждый из этих способов дает решение задачи. Рисунок 2 выглядит устрашающе, потому что на нем все 4 способа изображены одновременно; на DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230504 Рис. 2

44 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 PBK и BCL подобны и BP 2BC, так как, RN 2LC. Осталось показать, что RN BK. опять же, это катет и гипотенуза в треуголь- Действительно, это соответствующие сторо- нике PBC с углами 30-60-90. ны равных (по углам и стороне) треугольни- ков ABK и BNR. Равные треугольники Можно придумать и другие вариации пер- Вместо подобных треугольников может вого решения, с равными треугольниками быть удобнее использовать равные треуголь- вместо подобных. ники. Но требуется доказать, что один отре- зок в два раза больше другого. Поэтому надо Конструкции сначала или один отрезок в два раза «укоро- тить», или другой отрезок в два раза «удли- До следующих двух решений догадаться нить». А затем найти треугольники, в кото- сложно. Основная причина в том, что в них рых такие отрезки будут соответствующими содержится информации больше, чем нужно сторонами. для того, чтобы решить задачу. С ними полезно разобраться, чтобы лучше понять Решение 2. В этом решении мы «укоро- всю конструкцию и связи элементов в ней. тим» отрезок BK в два раза. В прямоуголь- На самом деле факт про биссектрисы был ном треугольнике BCK проведем медиану обнаружен как часть следующей конструк- CO и тогда BK = 2CO (рис. 3). Отрезок CO ции с квадратом. и является тем самым «укороченным» от- резком BK. Осталось доказать равенство Решение 4. Построим квадрат ABCD и отрезков CL и KO, найдя равные треуголь- внутри него равносторонний треугольник ABE ники. Можно найти равные углы: ‘OKC (рис. 5). Пусть диагональ AC пересекает BE в точке N, а прямая CE пересекает сторону ‘ALC 75q. Как и в решении 1, теперь AD в точке M. Используя то, что треугольник нужно построить какую-то сторону напро- BEC равнобедренный, можно найти углы тив этого угла 75q. Проще всего это сделать, треугольника ECN и увидеть, что он тоже пожалуй, проведя высоту CH в треугольни- равнобедренный (рис. 6). Затем можно пока- ке ABC, как в решении 1,б, и высоту OG в зать и другие равенства отрезков: CN CE треугольнике OCK. В треугольниках OGK и CHL углы одинаковые и OG BC 2 CH, DE ME. А дальше можно заметить, что поэтому треугольники равны и OK CL. отрезки CN и CM являются биссектрисами в Это решение почти такое же, как 1,б, но с двух одинаковых прямоугольных треуголь- равными треугольниками вместо подобных. никах с углами 30-60-90 (рис. 7). Решение 3 (предложил Г.Мерзон). В этом Покажем, какую еще конструкцию можно решении мы «удлиним» CL в два раза. здесь обнаружить. Построим точку N так же, как в решении 1,a Решение 5. Рас- (рис. 4). Проведем через точку N прямую, смотрим равносто- ронний треугольник параллельную CL, ABC со стороной пусть она пересекает- длины 1 (рис. 8). На ся с AB в точке R. продолжении его Поскольку C – сере- высоты из вершины дина AN, то CL – сред- няя линия треуголь- Рис. 5 ника ARN и поэтому Рис. 3 Рис. 4 Рис. 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 45 Рис. 7 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 8 (рис. 11). Продлим стороны PC и AQ до пересечения в точке N. А теперь посмотрим B отметим точку P так, что BP 1. Сразу на треугольник CNM. В нем CQ – это можно посчитать, что ‘BPC 75q, биссектриса прямого угла, а MP – это бис- ‘ACP 15q. Сделаем такие же построения сектриса угла величиной 30q. Значит, это и для других сторон треугольника ABC и есть наш исходный треугольник! И мы зна- получим шестиугольник AQBRCP (рис. 9). ем, что CQ 1, MP 2. Этот шестиугольник замечателен своей сим- метричностью и тем, что все диагонали в нем Родственные решения задачи состоят в равны 1. Все стороны равны, а углы том, чтобы построить некоторые элементы ‘A ‘B ‘C 90q, ‘P ‘Q ‘R 150q. этого шестиугольника (не обязательно весь На продолжении PB за точку B отметим шестиугольник целиком) внутри данного в точку M так, что MB AB (рис. 10). Тогда задаче треугольника 30-60-90. в треугольнике ABM углы AMB и MAB равны 15q. Угол QAB, как мы выяснили Окружности ранее, тоже равен 15q. Значит, точки A, Q и M лежат на одной прямой. Аналогично, Приведем решения, связанные с окружнос- точки C, R, M лежат на одной прямой тями. Решение 6 (предложил восьмиклассник В.Кирюшкин). Отразим треугольник ABC относительно стороны AC и проведем в полу- ченном треугольнике биссектрису CN (рис. 12). Требуется доказать, что BK 2CN. Проведем в треугольнике BCK медиану CO и покажем, что треугольник OCN равнобед- ренный. Заметим, что CN и AN – биссектри- Рис. 9 Рис. 12

46 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 сы углов, внешних для треугольника ABC Рис. 14 Рис. 15 (т.е. смежных с его углами C и A). А значит, ружность на 12 дуг величиной по N – это центр вневписанной окружности 360q 12 30q, а поэтому все вписанные углы, треугольника ABC! Эта окружность касает- опирающиеся на такие дуги, равны по 15q (рис. 14). Таким образом, точка L – это ся его стороны AC и продолжений сторон AB пересечение диагоналей AB и CQ этого две- надцатиугольника (рис. 15). Отметим сере- и BC. И поэтому N лежит на биссектрисе угла B, т.е. B, K и N лежат на одной прямой. дину O отрезка BK, чтобы впоследствии Несложно посчитать, что ‘KOC 30q, доказать, что BO CL. Пересечением каких ‘OCN 120q и поэтому в треугольнике OCN диагоналей является точка O? Она лежит на стороны OC и CN равны. серединном перпендикуляре к отрезку BC, Решение 7. Нетрудно посчитать, что угол т.е. на диагонали RS. Посмотрим, как устро- ена пара диагоналей AB и CQ и как – пара SR между BK и CL равен 60q (рис. 13). И и BP. Они получаются друг из друга поворо- том! Можно заметить, что обе пары диагона- Рис. 13 Рис. 16 требуется доказать, что BK 2CL. Это напо- лей проведены, как на рисунке 16 – они минает прямоугольный треугольник с углом соединяют концы групп из двух, трех, трех и 60q: в нем тоже стороны относятся как 1 : 2. четырех сторон. При совмещении этих пар Отсюда можно догадаться до следующего диагоналей друг другу соответствуют отрезки построения: перенесем отрезок BK парал- BO и CL, поэтому эти отрезки равны. лельно так, чтобы K перешла в C, иными словами, достроим треугольник BKC до па- Есть много других решений, более техничес- раллелограмма BKCE. В треугольнике LCE ких – с помощью теоремы Пифагора, тригоно- угол LCE равен 60q и требуется доказать, что метрических теорем, можно и вовсе восполь- EC 2LC. Для этого покажем, что этот тре- зоваться формулой длины биссектрисы... угольник прямоугольный, т.е. что ‘ELC 90q. Так как ‘CBE ‘BCK 90q, Приведем также обобщение этой задачи: то достаточно показать, что точки C, L, B, E лежат на одной окружности! Несложно по- Если в треугольнике ABC угол C равен 60q, считать углы: ‘LBE  ‘LCE 120q   60q 180q, а поэтому признак вписанности то биссектрисы углов A и B обратно про- четырехугольника CLBE выполнен. порциональны противолежащим сторонам. Предлагаем вам подумать, как некоторые из Можно было сделать и наоборот – перено- приведенных решений можно развить для сить отрезок CL к BK, а не BK к CL. доказательства этого обобщения. Его вариа- ция предлагалась на олимпиаде имени Решение 8 (предложил А.Авдеев). Рас- И.Ф.Шарыгина в 2012 году, автор задачи – смотрим описанную окружность треуголь- Б.Френкин. ника и продлим биссектрисы до пересечения с ней. Так как углы треугольника и углы между сторонами и биссектрисами кратны 15q, то все эти точки попадут в вершины правильного 12-угольника – они делят ок-

ОЛИМПИАДЫ 84-я Московская олимпиада школьников по физике 7 класс 1 1. Гонки Мёбиуса (7 баллов) Рис. 2 На рисунке 1 изображена лента Мёбиуса. В нулевой момент времени по ленте одновре- менно из одной точки начинают двигаться в одном направлении вдоль линии, равноуда- Рис. 1 ленной от краев, два жет зависеть от следующих размерных пара- небольших тела с по- метров: от линейных размеров орудия (на- стоянными скоростями, равными v и Dv , где пример, от высоты) H, от плотности матери- D – безразмерный коэффициент (D ! 1). Если мысленно разрезать ленту по линии, перпен- ала U, из которого сделаны детали орудия, и дикулярной линии движения точек, то лента от ускорения свободного падения g, равного развернется в полосу длиной L. Параметры 10 м с2. На основе соображений размернос- v, D, L считаются известными. ти определите, во сколько раз отличается 1a. В какой момент времени t1 тела впер- вые встретятся? дальнобойность требушета от дальнобойнос- 1b. В какой момент времени t2 тела впер- ти его точной копии, все размеры которой в 10 раз меньше. Во сколько раз при таком вые встретятся в точке старта, если D 5 ? изменении размеров изменяется максималь- 2. Про деталь (6 баллов) 3 ная (в процессе выстрела) сила натяжения Согласно паспорту детали, изготовленной веревок, соединяющих рычаг и пращу? 4. LEGO (7 баллов) из сплава меди и свинца, ее масса равна Ребенок хочет собрать устойчивую башню, m 1000 r 1 г. Измерив объем детали, рас- считали среднее значение плотности, кото- использовав минимальное количество LEGO- рое оказалось равным U 10,0 г см3. Сколь- кирпичиков размером 2 u 2 (рис. 3). Детали ко граммов меди может содержать в себе он ставит либо строго одну на деталь, если объем был измерен с погрешно- другую, чтобы все штырьки стью 'V 1 см3? Плотности меди и свинца равны Uм 8,9 г см3 и Uс 11,3 г см3. нижнего кирпичика вошли в 3. Модель требушета (7 баллов) соответствующие отверстия Требушет – это метательное орудие, ис- пользовавшееся в средние века для осады верхнего кирпичика, либо городов. Тяжелый груз, закрепленный на коротком конце рычага, разгоняет пращу со Рис. 3 сдвигает из этого положения снарядом, закрепленную на другом конце вправо или влево на расстояние, равное половине длины детали. На каждом ярусе башни содержится не более одной детали конструктора. Если линия действия резуль- рычага, до большой скорости, после чего тирующей силы тяжести попадает на грани- снаряд отделяется от пращи и летит в цель. Схематично это показано на рисунке 2. Рас- цу основания башни, то она опрокидывает- смотрим требушет, все детали, снаряд и ся. Детали хорошо крепятся друг к другу. 4a. Какое количество LEGO-кирпичиков противовес которого сделаны из одного ма- использовал ребенок, если он построил ус- териала плотностью U. Дальнобойность тре- тойчивую башню и при этом оказалось, что бушета (в предположении, что сила сопро- верхняя и нижняя детали сдвинуты друг тивления воздуха пренебрежимо мала) мо- относительно друга по горизонтали на рас- стояние, равное удвоенной длине кирпичи- 1 Автор всех задач для 7 класса – А.Бычков. ка?

48 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 4b. На каком максимально возможном 1c. Как должен быть устроен подвес маят- расстоянии друг от друга по горизонтали могут находиться верхняя и нижняя детали, ника, чтобы период колебаний не менялся если ребенок использовал 11 кирпичиков? при изменении температуры? Считается, что В качестве ответов на вопросы приведите схематичные рисунки башен с краткими по- в своей конструкции вы можете соединять яснениями. стержни, сделанные из двух разных матери- 8 класс 2 алов, коэффициенты линейного расширения 1. Маятник (10 баллов) Небольшое тело, подвешенное на твердом которых равны D и 2D. В качестве ответа стержне в поле силы тяжести, способно приведите схематичный рисунок с краткими совершать колебательное (повторяющееся) движение, если отклонить его из положения пояснениями. равновесия на небольшой угол и отпустить. Математическим маятником называется фи- Указание. Может оказаться полезной зическая модель, описывающая процесс приближенная формула 1  x | 1  x, вер- колебаний груза на стержне, в которой тело 2 считается материальной точкой, масса стер- ная при x 1. жня, а также все силы трения и сопротивле- 2. Равновесие системы блоков (7 баллов) ния движению считаются пренебрежимо малыми. Время, затрачиваемое маятником Система, изображенная на рисунке 4, со- на одно колебание, иначе говоря, на возвра- щение в исходную точку, называется перио- стоит из двух подвиж- дом колебаний. 1a. Рассмотрим следующие размерные ных блоков, одного не- параметры: длина стержня маятника L, мас- са тела m и ускорение свободного падения g, подвижного двухсту- равное 9,8 м с2. Исходя из соображений пенчатого блока, двух размерности, определите, от каких парамет- грузов и нити. Двух- ров зависит период колебаний математичес- кого маятника. Во сколько раз изменится ступенчатый блок со- период колебаний маятника, если умень- шить длину подвеса в 4 раза? стоит из легких жест- 1b. Заданный интервал времени (напри- ко соединенных дис- мер, минута), измеряемый маятниковыми часами, пропорционален периоду колебаний ков с общей осью, ди- маятника. Рассмотрим маятниковые часы, в устройство которых входит маятник длиной аметры которых рав- L 1 м, сделанный из стали. При такой длине движение маятника в одну сторону ны 15 см и 30 см. Мас- занимает 1,00 с. Известно, что при темпера- туре окружающей среды t1 5 qC часы пока- сы грузов равны зывают точное время. На сколько отстанут за сутки часы при температуре t2 25 qC? m 1 кг и M 3 кг. Линейное тепловое расширение тел описы- Массами нитей и бло- вается формулой L L0 1  D t  t0 , где L ков, а также трением в и L0 – размеры тела при температурах t и t0 соответственно, D – постоянный коэффици- осях блоков можно ент линейного расширения, равный для ста- пренебречь, нить не ли D 12,5 ˜ 106 1 qC. проскальзывает по по- 2 Автор всех задач для 8 класса – А.Бычков. верхностям блоков 2a. Пусть в точке A к нити приложена такая сила F, что система Рис. 4 находится в равновесии. Куда направлена и чему равна эта сила? 2b. Можно ли привести систему в состоя- ние равновесия, действуя с некоторой верти- кальной силой на нить в точке A, если поверхность двухступенчатого блока глад- кая (так что нить по ней проскальзывает)? Ответ объясните. 3. Вода и масло (8 баллов) Цилиндрический сосуд с нанесенной на боковую поверхность мерной шкалой час- тично заполнен водой, в которой плавает выпуклая пластиковая игрушка. В сосуд начинают добавлять масло, которое течет тонкой струйкой с постоянной скоростью P , измеряемой в мл с. Каждую минуту с помо-