E-Modul Transformasi Geometri Berbasis STEAM Kelas XI

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERFBAASTISISHTEAAMTUL AZIZAH TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI E-MODUL Cover MATEMATIKA TTRRANASFNORSMFAOSI RGEMOMAETSRII GEOMETRIBERBASIS STEAM (Science, Technology, Engineering, Art, and Mathematics) JURUSAN TADRIS MATEMATIKA Untuk Siswa FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN SMA/MA INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYiEKH NURJATI CIREBON Kelas 2022 XI

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI E-Modul Pembelajaran Matematika Transformasi Geometri Berbasis Pendekatan STEAM untuk Siswa Kelas XI SMA/MA Penulis : Fatihatul Azizah Pembimbing : Herani Tri Lestiana, M.Sc. Dr. H. Darwan, M.Kom. Validator : Muchammad Guntur, M.Pd. Tamurih, S.Pd., M.Si. Karyono, M.Pd. Jurusan Tadris Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan IAIN Syekh Nurjati Cirebon 2022 i

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Kata Pengantar Alhamdulillahi Robbil ‘Aalamiin, puji dan syukur penulis ucapkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga e-modul matematika berbasis STEAM berbantuan Flip Book Maker ini dapat diselesaikan. E- modul ini disusun sebagai panduan belajar matematika siswa kelas XI SMA/MA dalam mempelajari materi “Transformasi Geometri”. E-modul matematika berbasis STEAM ini difokuskan pada bagaimana siswa dapat meningkatkan hasil belajar matematika dengan pendekatan STEAM. Melalui penggunaan e-modul ini siswa SMA/MA dapat termotivasi dan lebih semangat belajar matematika, khususnya pada materi “Transformasi Geometri”, sehingga siswa diharapkan dapat memahami materi yang dipelajari dan bisa mengaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep dalam e-modul ini dikemas dengan bahasa yang sederhana, mudah dipahami, dan diharapkan dapat memenuhi kebutuhan siswa untuk belajar mandiri. Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan e-modul ini. Terlepas dari kesempurnaan yang diharapkan, semoga e-modul Transformasi Geometri ini bisa bermanfaat dan dapat dijadikan sebagai panduan belajar matematika SMA/MA kelas XI. Cirebon, 2 Februari 2022 Penulis ii

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Daftar Isi Halaman E-Modul Pembelajaran Matematika.................................................................................. i Kata Pengantar.................................................................................................................. ii Daftar Isi .......................................................................................................................... iii Glosarium ......................................................................................................................... v Peta Konsep ..................................................................................................................... vi PENDAHULUAN DESKRIPSI ISI E-MODUL ............................................................. 1 1. Kompetensi Dasar.................................................................................................. 1 2. Kompetensi Inti ..................................................................................................... 1 3. Indikator Pencapaian Kompetensi ......................................................................... 2 4. Pengantar Materi.................................................................................................... 3 5. Waktu..................................................................................................................... 4 6. Prasyarat ................................................................................................................ 4 7. Petunjuk Penggunaan E-Modul ............................................................................. 4 8. Kerangka Pembelajaran STEAM .......................................................................... 5 BAB I TRANSLASI......................................................................................................... 7 1. Tujuan.................................................................................................................... 7 2. Uraian Materi......................................................................................................... 7 3. Rangkuman.......................................................................................................... 14 4. Latihan 1 .............................................................................................................. 15 BAB II REFLEKSI......................................................................................................... 16 1. Tujuan.................................................................................................................. 16 2. Uraian Materi....................................................................................................... 16 3. Rangkuman.......................................................................................................... 32 4. Latihan ................................................................................................................. 33 BAB III ROTASI............................................................................................................ 35 1. Tujuan.................................................................................................................. 35 2. Uraian Materi....................................................................................................... 35 3. Rangkuman.......................................................................................................... 40 iii

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4. Latihan ................................................................................................................. 40 BAB IV DILATASI ....................................................................................................... 42 1. Tujuan.................................................................................................................. 42 2. Uraian Materi....................................................................................................... 42 3. Rangkuman.......................................................................................................... 48 4. Latihan ................................................................................................................. 49 BAB V DESIGN AND INQUIRY ................................................................................. 50 BAB VI EVALUASI..................................................................................................... 53 1. Penilain Diri......................................................................................................... 53 2. Tes Formatif ........................................................................................................ 54 3. Kunci Jawaban Tes Formatif............................................................................... 58 Daftar Pustaka................................................................................................................. 59 iv

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Glosarium Dilatasi : Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Geometri : Cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang Komposisi Transformasi : Transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi Matriks : Susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diapit oleh tanda kurung Refleksi : Transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin Rotasi : Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh ������ terhadap suatu titik tertentu. Transformasi : Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) Transformasi Geometri : Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks Translasi : Transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. v

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Peta Konsep vi

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI PENDAHULUAN DESKRIPSI ISI E-MODUL 1. Kompetensi Inti KI-3 2. Memahami, menerapkan, dan menganalisis (Pengetahuan) pengetahuan faktual, konseptual, procedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahun procedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI-4 3. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah (Keterampilan) konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan. 4. Kompetensi Dasar 3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks. 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi). 1

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 3. Indikator Pencapaian Kompetensi 3.5.1 Menyebutkan contoh dalam kehidupan sehari-hari. translasi, refleksi, 3.5.2 rotasi, dan dilatasi Menemukan sifat-sifat translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang koordinat. 3.5.3 Menemukan konsep translasi dengan kaitannya dengan konsep 3.5.4 matriks. 3.5.5 Menemukan konsep refleksi terhadap titik O(0,0) dengan kaitannya dengan konsep matriks. Menemukan konsep refleksi terhadap sumbu x dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.6 Menemukan konsep refleksi terhadap sumbu y dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.7 Menemukan konsep refleksi terhadap garis ������ = ������ dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.8 Menemukan konsep refleksi terhadap garis ������ = −������ dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.9 Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat ������(0,0) dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.10 Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat ������(������, ������) dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.11 Menemukan konsep dilatasi pada faktor skala k dan pusat ������(0,0) dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.12 Menemukan konsep dilatasi pada faktor skala k dan pusat ������(������, ������) dengan kaitannya dengan konsep matriks. 3.5.13 Membandingkan keempat jenis transformasi dengan menyebutkan perbedaannya. 2

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 3.5.14 Menemukan konsep komposisi transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi). 4.5.1 Menemukan matriks transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) dengan pengamatan terhadap titik-titik dan bayangannya. 4.5.2 Menggunakan konsep transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) dengan kaitannya dengan konsep matriks dalam menemukan koordinat titik atau fungsi setelah ditransformasi. 4.5.3 Membandingkan proses transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi). 4. Pengantar Materi Materi yang terdapat dalam e-modul ini adalah materi matematika dengan pendekatan STEAM. Pendekatan STEAM adalah sebuah pendekatan pembelajaran yang mengintegrasikan sains, teknologi, teknik, seni, dan matematika dalam proses pembelajaran. Dalam kehidupan sehari-hari banyak kegiatan atau kejadian yang berkaitan dengan transformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks. Dengan kata lain, transformasi geometri adalah suatu perubahan posisi (perpindahan) dari suatu posisi awal (������ , ������) menuju ke posisi lain (������’ , ������’). Pada saat bercermin, kalian dapat melihat bayangan kalian sendiri. Bagaimana hasil bayangan yang terbentuk ketika sedang bercermin? Ternyata hasil bayangan mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Bercermin merupakan salah satu kegiatan yang menerapkan konsep transformasi geometri yaitu refleksi (pencerminan). Refleksi merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Bidang pencerminan dalam geometri terdiri atas sumbu X, sumbu Y, garis ������ = ������, garis ������ = −������, garis ������ = ������, 3

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI garis ������ = ������ dan terhadap titik pusat yaitu titik O (0,0). Selain refleksi, pada e- modul ini kita akan mempelajari transformasi geometri yang lainnya seperti translasi, rotasi, dan dilatasi. Translasi merupakan transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak yang sama. Rotasi merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada titik tertentu. Rotasi ditentukan oleh besar sudut dan pusat rotasi. Jika rotasi searah dengan jarum jam maka besar sudut negatif. Jika rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka besar sudut positif. Pusat rotasi terdiri atas titik asal yaitu ������(0,0) dan titik tertentu yaitu ������(������, ������). Dilatasi merupakan transformasi ukuran atau skala suatu bangun geometri (pengecilan/pembesaran) tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala. 5. Waktu Alokasi waktu yang digunakan untuk setiap kegiatan belajar yaitu selama 2 x 45 menit. 6. Prasyarat Materi prasyarat pada transformasi geometri adalah fungsi, trigonometri, dan matriks. 7. Petunjuk Penggunaan E-Modul E-modul ini dirancang untuk memfasilitasi siswa/i dalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan e-modul berikut. 1) Berdoalah sebelum mempelajari e-modul ini. 2) Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3) Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali. 4

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4) Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada e-modul ini. 5) Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada. 6) Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran. 7) Di bagian akhir e-modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada e-modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia. 8) Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi e-modul dan berlatih secara mandiri. 8. Kerangka Pembelajaran STEAM Integration of STEAM, dalam pendekatan STEAM terdapat integrasi konten STEAM yang merupakan suatu karakter yang mengacu pada fenomena yang terjadi dalam kehidupan yang terkait dengan tujuan pembelajaran dan praktik dari berbagai disiplin STEAM. Science Kajian tentang fenomena alam yang melibatkan observasi dan pengukuran, sebagai wahana untuk menjelaskan secara objektif alam yang selalu berubah. Terdapat beberapa domain utama dari sains pada jenjang Pendidikan dasar dan menengah, yakni fisika, biologi, kimia, serta ilmu pengetahuan kebumian dan antariksa. Technology Keseluruhan sarana untuk menyediakan barang-barang yang diperlukan bagi kelangsungan dan kenyamanan hidup manusia. Penggunaan teknologi oleh manusia diawali dengan pengubahan sumber daya alam menjadi alat-alat sederhana. 5

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Engineering Pengetahuan dan keterampilan untuk memperoleh dan mengaplikasikan pengetahuan ilmiah, ekonomi, social, serta praktis untuk mendesain dan mengkontruksi peralatan, material, dan proses yang bermanfaat bagi manusia secara ekonomis dan ramah lingkungan. Art Segala sesuatu yang diciptakan manusia yang mengandung unsur keindahan dan mampu membangkitkan perasaan dirinya dan orang lain Mathematics Ilmu tentang pola-pola dan hubungan antara jumlah, angka, dan ruang. Focus on Problems, mencakup masalah dunia nyata yang dapat meningkatkan kebermaknaan konten yang akan dipelajari. Team Work, mencakup kerja tim dan kolaborasi yang tidak hanya menekankan pentingnya merangsang keterampilan kerja tim, tetapi juga mengembangkan keterampilan komunikasi. Inquiry, dimana peserta didik terlibat dalam kegiatan langsung yang memungkinkan mereka menemukan konsep-konsep baru dan mengembangkan pemahaman baru. Design, proses ini melibatkan siswa dalam proses perencanaan untuk selanjutnya menciptakan dan merancang penemuan konsep. 6

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI BAB I TRANSLASI 1. Tujuan Setelah mempelajari e-modul ini diharapkan siswa dapat: 1. Memahami pengertian translasi (pergeseran) 2. Menentukan hasil translasi menggunakan matriks 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks translasi 2. Uraian Materi Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) Coba kamu amati benda-benda yang bergerak di sekitar kamu. Benda-benda tersebut hanya berubah posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, pesawat terbang yang melintas di udara, bahkan diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Sekarang kita akan membahas pergerakan objek tersebut dengan pendekatan koordinat. Kita asumsikan bahwa pergerakan ke arah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke arah sumbu x negatif adalah ke kiri, pergerakan ke arah sumbu y positif adalah ke atas, dan pergerakan ke arah sumbu y negatif adalah ke bawah. Titik A(4,–3) bergerak ke kiri 6 langkah dan ke bawah 1 langkah, kemudian dilanjutkan kembali bergerak ke kiri 3 langkah dan ke atas 3 langkah. Coba kamu sketsa pergerakan titik tersebut pada bidang koordinat kartesius. Dapatkah kamu temukan proses pergerakan titik tersebut? 7

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Jawab: Gambar 1. Diagram Cartesius Sumber: Koleksi pribadi Jadi, posisi akhir titik A(4,-3) adalah titik … (… , …) Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tersebut ditunjukkan dengan vektor translasi. https://images.app.goo.gl/G https://images.app.goo.gl/kW https://images.app.goo.gl/23 uLG7EBgmDnTR7857 GxXzdKFoX8hdZx8 dhkv6nPch9Ro9A9 Gambar 2. Contoh Translasi Coba kamu amati benda-benda yang bergerak di sekitar kamu. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, buah yang jatuh di tanah, orang yang berjalan ataupun berlari. Dalam mata pelajaran fisika, kamu juga mempelajari gaya gravitasi bumi. Daun yang jatuh ke tanah terjadi karena adanya gaya gravitasi bumi. Menurutmu, 8

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI apakah bentuk objek tersebut berubah? Atau apakah ukuran objek tersebut berubah oleh pergerakan tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kamu perhatikan gambar sebuah mobil. Nah, salah satu teknologi yang dapat kita gunakan untuk mengukur kecepatan kendaraan pada mobil adalah spedoometer. Misalnya sebuah mobil bergerak dari titik A(2,4) bergerak ke titik B(-2,-3). Cobalah kamu buat sketsa pergerakan titik tersebut pada bidang koordinat kartesius! Dengan menggunakan aplikasi geogebra, kita akan merancang bagaimana merancang titik yang mengalami pergerakan. Gambar 3. Pergeseran titik Sumber: Koleksi pribadi Titik A(2,4) mengalami pergeseran ke titik B(-2,-3). Jika kita hitung terhadap sumbu x negatif (ke kiri) sebanyak empat langkah dan sumbu y negatif (ke bawah) sebanyak 7 langkah. Posisi awal titik adalah A(2,4) ke posisi B(-2,-3). Hal ini berarti titik A ditranslasikan oleh T(a,b), sehingga berada di titik B. Dapat dilihat pada gambar 1 bahwa dari titik A bergerak ke kiri empat langkah dan ke bawah tujuh langkah. Sehingga: (42) + (������������) = (−−23) (������������) = ( … ) − ( … ) … … 9

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI (������������) = ( … ) … Dalam matematika translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Suatu translasi T dengan vektor translasi (������������) metransformasikan titik P ke titik P’ secara pemetaan dapat dituliskan: ������(������, ������) →������=(������������) ������′(������ + ������, ������ + ������) ������′(������′, ������′) secara aljabar dapat dituliskan hubungan: ������′ = ������ + ������ dan ������′ = ������ + ������ Titik ������′ disebut bayangan titik P oleh translasi ������ = (������������) Nah, dari pemaparan diatas kalian sudah mengetahui apa itu translasi. Sekarang kita asumsikan bahwa pergerakan ke arah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke arah sumbu x negatif adalah ke kiri, pergerakan sumbu y positif adalah ke atas, dan pergerakan sumbu y negatif adalah ke bawah. Focus On Problem Coba kamu amati permasalahan berikut! Empat orang anak dan seorang guru olahraga sedang berlatih mengoper sepak bola di lapangan. Mereka membuat formasi sebagai berikut: keempat anak berdiri di empat penjuru (utara, selatan, timur, dan barat), sedangkan guru mereka berdiri sebagai pusat penjuru. Tiap-tiap anak berjarak 4 meter ke arah guru olahraga mereka. Aturan latihan sebagai berikut: 1. Guru mengirimkan bola ke anak yang ada di utara dan anak tersebut akan mengirimkan kembali kepada gurunya. 2. Guru langsung mengirimkan bola ke anak yang ada di timur dan anak tersebut akan mengirimkan kembali kepada gurunya. 10

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 3. Demikian seterusnya, bola selalu dikirim ke gurunya, dan guru mengirim bola secara siklis dari utara ke timur, ke selatan, ke barat, dan kembali ke utara. Dapatkah kamu temukan proses pergerakan bola dari guru ke siswa dan sebaliknya? Dapatkah kamu temukan titik guru dan keempat siswanya? Bagaimana jarak mengoper guru ke siswa dan sebaliknya? Design and Inquiry Alternatif penyelesaian Andai formasi mereka dimisalkan pada koordinat kartesius dan guru olahraga sebagai titik pusat (titik tengah), maka formasi itu dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 4. Formasi siswa dan guru pada bidang cartesius Sumber: Koleksi pribadi Pada gambar 4 yang telah disajikan, yaitu: Siswa 1 berada pada koordinat (… , …) Siswa 2 berada pada koordinat (… , …) 11

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Siswa 3 berada pada koordinat (… , …) Siswa 4 berada pada koordinat (… , …). Pergeseran disepakati bergerak mendatar (ke kiri atau ke kanan) lalu vertical (ke atas atau ke bawah). Jadi, setiap kali bola di oper maka pergeseran yang terjadi sejauh … meter. Apabila guru mengoper kembali kepada masing-masing siswa, jaraknya  Sama  Beda Menemukan Sifat-Sifat Translasi Focus On Problem Zamzam merancang sebuah masjid di atas bidang kartesius seperti gambar berikut. Gambar 5. Rancangan masjid Zamzam pada bidang kartesius Sumber: Koleksi pribadi Ternyata Zamzam merasa letak masjid tersebut tidak strategis. Kemudian Zamzam memindahkan masjidnya di dekat lapangan bola. Jika jarak masjid Zamzam dengan jalan raya sebelum dan sesudah dipindahkan itu sama. 12

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Coba sketsa masjid Zamzam setelah dipindahkan! Diskusikan dengan temanmu. Teamwork Koordinat titik-titik sketsa masjid berpindah dari titik : Tabel 1. Koordinat titik-titik masjid Zamzam Titik Awal Titik Akhir Proses Translasi A(1,1) A’(…,…) … B(3,1) B’(…,…) (11) + ( … ) = ( … ) C(3,2) C’(…,…) … … (…) D(1,2) D’(…,…) … E(2,3) E’(…,…) (31) + ( … ) = ( … ) … … (…) … (23) + ( … ) = ( … ) … … (…) … (21) + ( … ) = ( … ) … … (…) (23) + ( … ) = ( … ) … … … (…) Setelah sketsa masjid Zamzam dipindahkan, apakah terdapat perubahan bentuk, ukuran, atau posisi? Jika ya, mengapa? …………………………………………………………………. Jika tidak, mengapa? ………………………………………………………………. Dari pemasalahan tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa sifat-sifat dari translasi adalah: 1. Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 2. Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi. Translasi Garis Contoh Soal Garis k dengan persamaan 2������ − 3������ + 4 = 0 ditranslasikan dengan matriks translasi ������(−1, −3). Tentukanlah bayangan garis k tersebut! 13

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Alternatif Penyelesaian Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan k sedemikian sehingga: ������(������, ������) →������(−−31) ������′(������′, ������′) (������������′′) = (−−31) + ������ = (������������ − 13) (������) − ������′ = ������ − 1 ������������������������ ������ = ������′ + 1 ������′ = ������ − 3 ������������������������ ������ = ������′ + 3 Dengan mensubstitusikan x dan y ke garis k maka ditemukan persamaan garis k setelah ditranslasi, yaitu 2������ − 3������ + 4 = 0 2(������′ + 1) − 3(������′ + 3) + 4 = 0 2������′ + 2 − 3������′ − 9 + 4 = 0 2������′ − 3������′ − 3 = 0 Jadi bayangan garis k adalah 2������ − 3������ − 3 = 0 3. Rangkuman 1. Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Suatu translasi T dengan vektor translasi (������������) metransformasikan titik P ke titik P’ secara pemetaan dapat dituliskan: ������(������, ������) →������=(������������) ������′(������ + ������, ������ + ������) ������′(������′, ������′) secara aljabar dapat dituliskan hubungan: ������′ = ������ + ������ dan ������′ = ������ + ������ Translasi ������(������, ������) memiliki matriks transformasi (������������) 2. Sifat-sifat translasi ada 2 yaitu: a). Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran; b). Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi. 14

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4. Latihan 1 1) Tentukan bayangan dari titik ������(1,2) oleh translasi ������ = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi ������ = (3,4) 2) Diketahui titik ������’(2, −4) adalah bayangan titik ������(3, 5) oleh translasi T. Translasi T = … 3) Tunjukanlah secara gambar pergeseran titik P(3,-5) bila di geser 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah! Asumsikanlah bahwa arah ke kanan adalah sumbu x positif dan arah ke bawah adalah sumbu y negatif. 4) Garis ������ = 2������ − 3 ditranslasikan oleh ������ (−32). Persamaan bayangan garis tersebut adalah? 15

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI BAB II REFLEKSI 1. Tujuan Setelah mempelajari e-modul ini diharapkan siswa dapat: 1. Memahami pengertian refleksi (pencerminan) 2. Menentukan hasil refleksi menggunakan matriks 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks refleksi 2. Uraian Materi Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan) Setelah kamu menemukan konsep translasi, kamu akan belajar menemukan konsep refleksi atau pencerminan. Kita mulai dengan mengamati konsep pencerminan di kehidupan sehari-hari. https://images.app.goo.gl/ZLThe https://images.app.goo.gl/36CGq52417 188buSBQsxP9 6RNLud9 Gambar 6. Contoh Refleksi Kegiatan mengamati sayap kupu-kupu yang seakan-akan dicerminkan dan kegiatan bercermin. Saat bercermin, perhatikan bagaimana bayangan yang dihasilkan dari pencerminan tersebut, apakah jaraknya sama ataukah berbeda. Apakah bayanganmu mengalami perubahan bentuk dan ukuran? Atau apakah jarak dirimu dan cermin akan sama dengan jarak bayangan itu ke cermin? Amatilah juga sayap kupu-kupu yang simetris seakan-akan dicerminkan. Bagaimana bentuk sayap kiri dan kanan? Apakah jarak sayap kiri dan kanan ke badan kupu-kupu sama? 16

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Perhatikan gambar berikut! Coba amati gambar kupu-kupu yang dicerminkan terhadap sumbu Y pada bidang kartesius. Fokuslah pada jarak sayap kiri dan kanan kupu-kupu, serta bentuk/ukuran sayap kiri dan kanan terhadap badan kupu-kupu. Gambar 7. Gambar kupu-kupu pada bidang kartesius Sumber: Koleksi pribadi Bagaimana pengamatanmu? Bentuk dan ukuran sayap kanan dan kiri  Sama  tidak sama Jarak sayap kiri dan kanan ke badan kupu-kupu  sama  tidak sama Berdasarkan pengamatan pada masalah di atas maka dapat diperoleh sifat pencerminan sebagai berikut. Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. 17

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 1. Pencerminan terhadap titik ������(������, ������) Coba amati gambar pencerminan titik berikut. Gambar 8. Refleksi titik terhadap titik O(0,0) Sumber: https://images.app.goo.gl/4SaJbU4PgW4iFzmU7 Dengan memperhatikan titik dan bayangan pada gambar, kita bisa menuliskan koordinat titik-titik tersebut dan bayangan pada tabel berikut. Tabel 2. Koordinat pencerminan titik terhadap titik O(0,0) Nilai Koordinat bayangan A(…, ...) A’(…, ...) B(…, ...) B’(…, ...) C(…, ...) C’(…, ...) D(…, ...) D’(…, ...) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap titik ������(0,0) akan mempunyai koordinat bayangan ������’(… , … ). Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap titik ������(0,0). Misalkan matriks transformasinya adalah ������ = [������������ ������������] sehingga, ������(������, ������) ������=(0,0) ������′(… , … ) → 18

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI [−−������������] = [������������ ������������] [������������] = [������������������������ + ������������������������] + Dengan kesamaan matriks, −������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = −1 ������������������ ������ = 0 −������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 0 ������������������ ������ = −1 Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap titik ������(0,0) adalah [−01 −01] Titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik O(0,0) memiliki bayangan A’(x’,y’), ditulis dengan ������=(0,0) ������(������, ������) → ������′(−������, −������) [������������′′] = [−01 −01] [������������] Focus On Problem Coba kamu amati permasalahan berikut. Pohon ketapang di tanam di kebun pada koordinat titik ������(3,2), dimana pusat dari kebun berada di titik ������(0,0). Berapakah koordinat pohon ketapang berada apabila direfleksikan terhadap pusatnya? Design and Inquiry Alternatif penyelesaian Kedudukan pohon ketapang dan pusatnya di kebun dimisalkan pada koordinat kartesius, maka formasi itu dapat digambarkan sebagai beikut: 19

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Gambar 9. Kedudukan pohon ketapang dalam koordinat kartesius. Sumber: Koleksi pribadi Pada gambar 9, pohon ketapang terletak di titik ������(… , … ) dan titik pusat ������(… , … ). Maka koordinat titik A setelah direfleksikan terhadap titik pusatnya adalah sebagai berikut. ������(������, ������) ������=(0,0) ������′(… , … ) → Jadi, kedudukan pohon ketapang setelah direfleksikan terhadap pusat ������(… , … ) adalah di titik ������’(… , … ). 2. Pencerminan terhadap sumbu x Kita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu x dengan melakukan pencerminan terhadap titik-titik. Secara induktif, kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut. 20

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Gambar 10. Refleksi titik terhadap sumbu x Sumber: https://images.app.goo.gl/4SaJbU4PgW4iFzmU7 Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap sumbu x pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini. Tabel 3. Koordinat pencerminan titik terhadap sumbu x Titik Koordinat bayangan E(… , … ) E’(… , … ) F(… , … ) F’(… , … ) G(… , … ) G’(… , … ) H(… , … ) H’(… , … ) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu x akan mempunyai koordinat bayangan ������’(… , … ). Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu x. Misalnya matriks transformasinya adalah ������ = [������������ ������������] sehingga: ������������������������������ ������ ������(������, ������) → ������′(������, −������) [−������������] = [������������ ������������] [������������] = [������������������������ + ������������������������] + 21

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Dengan kesamaan matriks, ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 1 ������������������ ������ = 0 −������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 0 ������������������ ������ = −1 Dengan demikian, matriks pencerminan titik terhadap sumbu x adalah [10 −01] Titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan ������’(������’, ������’), ditulis dengan, ������������������������������ ������ ������(������, ������) → ������′(������, −������) [������������′′] = [01 −01] [������������] Focus On Problem Coba kamu amati permasalahn berikut. Pak Budi menanam bibit ketapang yang berjarak 20 meter dari pagar horizontal, agar jika tumbuh besar dan melebar pohon tersebut tidak merusak pagar. Sementara jarak sisi kiri pohon dan batas tanah yaitu 15 meter . Jika disebarang tanah Pak Budi yang dibatasi pagar, terdapat tanah Pak Amir yang juga ingin menanam pohon ketapang, maka tentukanlah koordinat titik dimana Pak Amir akan menanam pohon Ketapang? Design and Inquiry Alternatif penyelesaian Berdasarkan permasalahan diatas, kita bisa merancang ilustrasi menggunakan aplikasi geogebra dengan membuat titik pada koordnat kartesius. berikut ilustrasi Pak Budi menanam pohon katapang. 22

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Gambar 11. Titik ������(20,15) Pak Budi menanam bibit pohon ketapang. Sumber: Koleksi pribadi Pada gambar 11 yang telah disajikan, kedudukan Pak Budi menanam bibit pohon ketapang terletak di titik ������(20,15) dan pagar yang mewakili sumbu x. maka koordinat titik dimana Pak Amir menanam pohon adalah refleksi titik A terhadap sumbu x yaitu: ������(������, ������) ������������������������������ ������ ������′ … , … ) → Jadi, kedudukan Pak Amir menanam pohon adalah A’(…,…) 3. Pencerminan terhadap sumbu y Kita akan mengamati pada koordinat titik-titik dan bayangan oleh pencerminan terhadap sumbu y. dengan demikian, kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu y. Perhatikan gambar berikut: 23

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Gambar 12. Refleksi titik terhadap sumbu y Sumber: https://images.app.goo.gl/4SaJbU4PgW4iFzmU7 Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap sumbu y pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini. Tabel 4. Koordinat pencerminan titik terhadap sumbu y Nilai Koordinat bayangan I(…, ...) I’(…, ...) J(…, ...) J’(…, ...) K(…, ...) K’(…, ...) L(…, ...) L’(…, ...) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan ������’(… , … ). Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu y. Misalkan matriks transformasinya adalah ������ = [������������ ������������] sehingga: ������������������������������ ������ ������′(−������, ������) ������(������, ������) → [������������′′] = [������������ ������������] [������������] = [������������������������ + ������������������������] + 24

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Dengan kesamaan matriks, ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = −1 ������������������ ������ = 0 ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 0 ������������������ ������ = 1 Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah [−01 01] Titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan ������′(������′, ������′), ditulis dengan ������������������������������ ������ ������′(������′, ������′) ������(������, ������) → [������������′′] = [−01 10] ������ [������] 4. Pencerminan terhadap sumbu ������ = ������ Kita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap garis ������ = ������ dengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut. Gambar 13. Refleksi titik terhadap garis y = x Sumber: https://images.app.goo.gl/4SaJbU4PgW4iFzmU7 25

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Coba kamu amati pencerminan terhadap beberapa titik terhadap garis ������ = ������ pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebut beserta bayangannya pada tabel dibawah ini. Tabel 5. Koordinat pencerminan titik terhadap sumbu ������ = ������ Nilai Koordinat bayangan M(…, ...) M’(…, ...) N(…, ...) N’(…, ...) P(…, ...) P’(…, ...) Q(…, ...) Q’(…, ...) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu ������ = ������ akan mempunyai koordinat bayangan A’(…, ...). Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu ������ = ������. misalkan matriks transformasinya adalah ������ = [������������ ������������], sehingga, ������(������, ������) ������ ������������������������������ ������=������ ������′(… , … ) → [−������������] = [������������ ������������] [������������] = [������������������������ + ������������������������] + Dengan kesamaan matriks, ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = −1 ������������������ ������ = 0 ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 0 ������������������ ������ = 1 Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah [−01 10] Titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan ������’(������’, ������’), ditulis dengan, ������ ������������������������������ ������=������ ������(������, ������) → ������′(������′, ������′) [������������′′] = [−01 01] ������ [������] 26

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 5. Pencerminan terhadap sumbu ������ = −������ Kita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap ������ = −������ dengan melakukan pengamatan dan pencerminan pada titik-titik. Secara induktif, kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut. Gambar 14. Refleksi titik terhadap garis y = -x Sumber: https://images.app.goo.gl/4SaJbU4PgW4iFzmU7 Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap garis ������ = −������ pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini. Tabel 6. Koordinat bayangan pencerminan terhadap sumbu ������ = −������ Titik Koordinat bayangan R(…, ...) R’(…, ...) S(…, ...) S’(…, ...) T(…, ...) T’(…, ...) U(…, ...) U’(…, ...) 27

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap garis ������ = −������ akan mempunyai koordinat bayangan A’(…,…). Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis ������ = −������. Misalkan matriks transformasinya adalah ������ = (������������ ������������) sehingga, ������(������, ������) ������ ������=−������ ������′(… , … ) → [−−������������] = [������������ ������������] [������������] = [������������������������ + ������������������������] + Dengan kesamaan matriks, ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = 0 ������������������ ������ = −1 ������ = ������������ + ������������ ������������������������ ������ = −1 ������������������ ������ = 0 Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y=-x adalah [−01 −01] Titik ������(������, ������) dicerminkan terhadap garis y=-x menghasilkan bayangan ������’(������’, ������’), ditulis dengan, ������ ������=−������ ������(������, ������) → ������′(������′, ������′) [������������′′] = [−01 −01] [������������] Refleksi Garis Focus On Problem Contoh Soal Garis 2������ − ������ + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O(0,0), kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhada sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut. 28

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Design and Inquiry Alternatif penyelesaian Misalkan titik A(x,y) terletak pada garis tersebut, sehingga: ������(������, ������) →������ ������(0,0) ������′(������′, ������′) →������ ������������������������������ ������ ������′′(������′′, ������′′) Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0) (������������′′) = (−01 −01) ������ = −������ (������) (−������) Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y (������������′′′′) = (−01 01) (������������′′) = (−01 10) −������ = ������ (−������) (−������) Sehingga: ������′′ = ������ dan ������′′ = −������ Langkah 3 (Proses menentukan persamaan bayangan) Tentukan x dan y dalam bentuk ������′′ dan ������′′ ������′′ = ������ dan ������′′ = −������ Langkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan) Substitusi x dan y ke 2������ − ������ + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan bayangan. 2(������) − (−������) + 5 = 0 atau 2������ + ������ + 5 = 0 Geogebra adalah software matematika dinamis yang dapat digunakan sebagai alat bantu dalam pembelajaran matematika berkaitan dengan materi geometri, aljabar, dan kalkulus. Untuk menambah pemahamanmu mengenai konsep refleksi, kamu dapat menggunakan aplikasi Geogebra. Ikuti langkah-langkah berikut: 1. Menggunakan aplikasi geogebra yang dapat di akses pada link https://www.geogebra.org/classic 29

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 2. Pertama kita tentukan titik A(2,1). Masuk ke menu input bar, kemudian ketikkan A=(2,1). Kita klik titik tiga pada style bar algebra view, lalu klik settings dan pada show label pilih name and value untuk menampilkan nama dan nilai. 3. Untuk merefleksikan titik A terhadap sumbu y, klik reflect about line lalu klik titik A setelahnya klik sumbu y sehingga dihasilkan titik A’. 30

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4. Untuk merefleksikan titik A terhadap sumbu x, klik reflect about line lalu klik titik A setelahnya klik sumbu x sehingga dihasilkan titik ������′1. 5. Agar lebih interaktif kita pilih slider. Isikan name a=1 dengan min. -10, max. 10 dan increment 1. Lalu kita buat slider lagi dengan name c=1 dengan min. -5, max. 5 dan increment 1. 6. Buatlah garis dengan mengklik line, lalu klik di (-1,0) dan (0,-1) sehingga menghasilkan garis f:y=x+1. Klik reflect about line lalu klik titik A setelahnya garis f. 31

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 7. Untuk menggeser slide klik move, lalu geserlah tanda bulat pada slider sehingga garis akan berubah (cermin) sehingga titik bayangannya akan berubah sesuai posisi garis. 8. Untuk merefleksikan objek segitiga terhadap garis f dengan mengklik polygon lalu klik titik D(4,-1), E(6,1) dan F(7,-1) serta hubungkanlah hingga membentuk segitiga. klik reflect about line lalu klik segitiga dan klik garis g sehingga terbentuklah segitiga baru D’E’F’. 3. Rangkuman 1. Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada sebuah bidang mdengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. 2. Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. 3. Pencerminan terhadap titik O(0,0) menghasilkan bayangan [������������′′] = [−01 −01] [������������] 32

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4. Pencerminan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan [������������′′] = [10 −01] [������������] 5. Pencerminan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan [������������′′] = [−01 10] [������������] 6. Pencerminan terhadap garis y=x menghasilkan bayangan [������������′′] = [01 10] ������ [������] 7. Pencerminan terhadap garis y=-x menghasilkan bayangan [������������′′] = [−01 −01] ������ [������] 4. Latihan 1) Koordinat bayangan titik P Diketahui titik ������(3, −7) dicerminkan terhadap garis ������ = −������. Koordinat bayangan titik P adalah … 2) Diketahui segitiga ABC dengan titik ������(2,1), ������(7,3), dan ������(4,5). Tentukanlah bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadap: a. Titik ������(0,0) b. Sumbu ������ c. Sumbu ������ d. Sumbu ������ = ������ e. Sumbu ������ = −������ 3) Diketahui dua buah rumah dengan letaknya masing-masing di ������(6,4) dan ������(3,7). Sebuah tiang listrik yang akan dipasang sepanjang jalan pada sumbu Y. Carilah letak tiang listrik agar kawat yang digunakan untuk menghubungkan rumah P dan Q adalah minimum! 33

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 4) Tentukan bayangan garis 2������ − 3������ + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x! 34

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI BAB III ROTASI 1. Tujuan Setelah mempelajari e-modul ini diharapkan siswa dapat: 1) Memahami pengertian rotasi (perputaran) 2) Menentukan hasil rotasi menggunakan matriks 3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks rotasi 2. Uraian Materi Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) Setelah kamu menemukan konsep refleksi, kamu akan belajar menemukan konsep rotasi atau perputaran. Kita mulai dengan mengamati konsep rotasi di kehidupan sehari-hari https://images.app.goo.gl/rvkCqpG2QyXyXRRLA https://images.app.goo.gl/S6GHhhdzfk55jpWE6 Gambar 15. Contoh Rotasi Kegiatan mengamati rotasi bulan dan revolusi bumi merupakan objek yang bergerak dengan berputar. Contoh lain dari rotasi adalah jarum jam berputar menunjukkan angka, kincir angin, kipas angin, dll. Titik yang menjadi acuannya adalah ujung tumpuan ketika objek yang berputar. Salah satu alat yang digunakan untuk mengukur kecepatan putaran poros (rotasi) pada mobil, motor, dan mesin lainnya adalah tachometer. Biasanya mengukur putaran per menit (RPM). Dengan tachometer kita dapat mengetahui putaran engine dan menjaga agar tidak melampaui putaran yang diizinkan (readline). 35

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Jika putaran engine maximal dilampaui maka akan menyebabkan keausan yang lebih cepat pada komponen-komponen engine, bahkan dapat menyebabkan engine macet (engine jam). Putaran maksimal setiap kendaraan berbeda-beda. Putaran tinggi biasanya terjadi saat kendaraan dipacu atau saat menurunkan kecepatan dengan menggunakan kompresi (engine brake). Pada kesempatan ini, kita akan membahas gerak berputar (rotasi) suatu objek dengan sudut putaran dan pusat putaran pada bidang koordinat. Focus On Problem Perhatikan gambar berikut! Gambar 16. Rotasi objek dengan pusat rotasi berbeda. Sumber: buku guru matematika kelas XI Berikan pendapatmu tentang perputaran setiap objek tersebut! Design and Inquiry Pada gambar tersebut, terdapat tiga objek (segitiga) yang diputar dengan sudut putaran tertentu. Hasil putaran akan bergantung pada pusat putaran dan besar sudut putaran?  Setuju  Tidak setuju Jika setuju, kenapa? ………………………………………………………………….. Jika tidak setuju, kenapa? ……………...…………………………………………….. 36

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Gambar … Putaran objek dengan sudut putaran berada pada objek itu sendiri. Gambar … Putaran objek dengan pusat berada di ujung/pinggir objek itu sendiri. Gambar … Putaran objek dengan pusat putaran berada di luar objek itu. Bentuk dan ukuran objek setelah mengalami rotasi?  Berubah  Tidak berubah Perhatikan gambar berikut! Gambar 17. Rotasi objek pada pusat O(0,0) Sumber: buku guru matematika kelas XI Dengan demikian, secara induktif diperoleh sifat rotasi sebagai berikut. Bentuk benda yang dirotasi.  Sama  Tidak sama Ukuran benda yang dirotasi  Tidak sama  Sama 37

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Berikutnya kita akan melakukan percobaan kembali untuk mendapatkan konsep rotasi. Perhatikan pergerakan titik pada gambar berikut. Gambar 18. Rotasi Titik dengan sudut β dan Pusat O(0,0) Sumber: buku guru matematika kelas XI Kamu masih ingat konsep trigonometri, bukan? Pada segitiga OCA, koordinat objek adalah ������′(������ cos ������, ������ sin ������). Diputar sebesar sudut ������ dan Pusat O(0, 0) sehingga posisi objek menjadi di koordinat ������′(������ cos(������ + ������), ������ sin(������ + ������)). Dengan demikian, kita akan mencoba mencari konsep rotasi. Misalkan matriks rotasi adalah (������������ ������������) sehingga: ������������������������������������ ������′(������′, ������′) ������(������, ������) → ������(������ cos ������, ������ sin ������) ������������������������������������ ������′(������ cos(������ + ������), ������ sin(������ + ������)) → (������������ cos(������ + ������������))) = (������������ ������������) (������������ cos ������������) = (������������������������ cos ������ + ������������ sin ������������) sin(������ + sin cos ������ + ������������ sin (scions������������ccooss������������ − sin ������ sin ������������) = (������������ cos ������ + ������ sin ������������) + cos ������ sin cos ������ + ������ sin Ini berarti ������ cos ������, ������ = −sin ������ dan ������ = sin ������. ������ = cos ������ Dengan demikian, matriks rotasi sebesar sudut ������ dan pusat rotasi O(0,0) adalah (csoins ������ −cossin������������) ������ 38

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI Bagaimana jika pusat rotasi di titik ������(������, ������)? Kamu boleh menggeser (translasi) terlebih dahulu pusat rotasi ke titik ������(0, 0) kemudian terjadi proses rotasi kemudian ditranslasi kembali sejauh pusat rotasi sebelumnya. Titik ������(������, ������) diputar dengan pusat ������(������, ������) dan sudut ������ menghasilka bayangan ������’(������’, ������’), ditulis dengan ������(������, ������) →������(������(������,������),������) ������′(������′, ������′) (������������′′) = (csoins ������ −cosisn������������) ������ − ������ + ������ ������ (������ − ������) (������) Matriks rotasi dengan sudut ������ (berlawanan arah jarum jam) adalah (csoins ������ −cossin������������) ������ Ingat sudut ������ dihitung berlawanan arah arum jam, sebaliknya −������ (searah jarum jam. Contoh Soal Coba kamu amati permasalahan berikut. Jika titik ������(−2,3) dirotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut 90° berlawanan arah jarum jam, maka tentukanlah bayangan titik tersebut. Alternatif Penyelesaian ������(−2,3) →������(������(0,0),90°) ������′(������′, ������′) (������������′′) = (csoins 90° −cosisn9900°°) (−32) 90° (������������′′) = (01 −01) (−32) = (−−23) Jadi, bayangan titik A adalah ������’(−3, −2) Rotasi Garis Contoh Soal Jika garis ������ − 2������ + 3 = 0 di dilatasi dengan pusat ������(1, −1) dan sudut 180° searah jarum jam maka tentukanlah bayangan garis tersebut! Alternatif Penyelesaian Misalkan titik ������(������, ������) memenuhi persamaan ������ − 2������ + 3 = 0 sehingga, 39

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI ������(������, ������) →������(������(1,−1),−180°) ������′(������′, ������′) (������������′′) = (csoins((−−118800°°)) −cossin((−−118800°)°)) (������ ���−��� −(−11)) + (−11) (������������′′) = (−01 −01) (������ ���−��� −(−11)) + (−11) (������������′′) = (−−������������ + 11) + (−11) − (������������′′) = (−−������������ + 22) − ������′ = −������ + 1 ↔ ������ = 2 − ������′ ������′ = −������ − 2 ↔ ������ = −������′ − 2 Dengan mensubstitusi x dan y ke garis makan ditemukan bayangannya, (2 − ������) − 2(−������ − 2) + 3 = 0 atau ������ − 2������ − 9 = 0 3. Rangkuman 1. Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh ������ terhadap suatu titik tertentu. 2. Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 3. Matriks rotasi dengan sudut ������ (berlawanan arah jarum jam) adalah (csoins ������ −cossin������������) ������ 4. Latihan 1) Titik A(-2,3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0,0). Hasil rotasi titik A adalah … 2) Bayangan titik (4,-5) oleh rotasi ������[������, 90°] adalah (10,5). Titik pusat rotasi tersebut adalah … 40

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI 3) Perhatikan gambar bianglala berikut! Jika Zamzam menenmpati tempat duduk nomor 16, kemudian bianglaladiputar sejauh ������° maka posisi tempat duduk Zamzam ada di nomor 4. Berapakah besar sudut perputaran bianglala tersebut? 4) Jika garis ������ − 2������ = 5 diputar sejauh 90° terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jarum jam, maka persamaan bayangannya adalah… 41

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI BAB IV DILATASI 1. Tujuan Setelah mempelajari e-modul ini diharapkan siswa dapat: 1) Memahami pengertian dilatasi 2) Menentukan hasil dilatasi menggunakan matriks 3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks dilatasi 2. Uraian Materi Menemukan Konsep Dilatasi Setelah kamu menemukan konsep rotasi, kamu akan belajar menemukan konsep dilatasi atau perkalian. Kita mulai dengan mengamati konsep dilatasi di kehidupan sehari-hari https://images.app.goo.gl/qQR5YsCcpr6x4yM https://images.app.goo.gl/ceJ5GWnfgDtKQw6 w9 67 Gambar 19. Contoh Dilatasi Coba kamu berikan contoh perkalian (dilatasi) yang terjadi di lingkungan sekitarmu? Sebagai contoh pertumbuhan seseorang, balon yang ditiup akan mengembang, karet gelang dapat direnggang dan lain-lain. Semua itu membicarakan perkalian ukuran objek. Coba amati ketika kita mencetak pas photo dengan ukuran 2 x 3, 3 x 4, dll. Dengan berbagai ukuran yang telah disebutkan yaitu memperbesar atau memperkecil 42

E-MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS STEAM TRANSFORMASI GEOMETRI | KELAS XI merupakan salah satu contoh dilatasi dalam kehidupan sehari-hari. Tetapi, pada kesempatan ini, kita akan membahas konsep perkalian objek dengan pendekatan koordinat. Mesin fotocopy merupakan salah satu teknologi yang berfungsi untuk membuat salinan gambar/tulisan ke atas kertas yang bisa memperbesar/mengecilkan hasil fotocopy yang diinginkan. Visualisasi ketika memperbesar/mengecilkan gambar bisa menggunakan software geogebra, dengan skala yang kita inginkan, sehingga kita mengetahui bayangan dari objek yang sedang diamati. Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangunan yang bersangkutan. Focus On Problem Coba amati gambar berikut, berikan pendapatmu. Gambar 20. Dilatasi objek pada pusat O(0, 0) Sumber: buku guru matematika kelas XI 43