วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส

EMA0111 สมั มนาคณติ ศาสตรศ์ กึ ษา (Mathematics Education Seminar) วงกลมคอู่ ารค์ มิ เี ดียนในอาร์บีลอส Some Archimedean Circles in an Arbelos 6115102001025 โดย 6115102001055 นายณรงค์ฤทธิ์ วงศจ์ ินดา 6115102001060 นายสมพงศ์ พรหมดำ นายธนศักด์ิ นาคมณี กลุ่มเรียน 61003.151 อาจารย์ทีป่ รกึ ษา : อาจารย์ ศิรเศรษฐ ภศู รี หลักสูตรสาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะครศุ าสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านี ภาคเรยี นที่ 1/2564



EMA0111 สมั มนาคณติ ศาสตรศ์ กึ ษา (Mathematics Education Seminar) วงกลมคอู่ ารค์ มิ เี ดียนในอาร์บีลอส Some Archimedean Circles in an Arbelos 6115102001025 โดย 6115102001055 นายณรงค์ฤทธิ์ วงศจ์ ินดา 6115102001060 นายสมพงศ์ พรหมดำ นายธนศักด์ิ นาคมณี กลุ่มเรียน 61003.151 อาจารย์ทีป่ รกึ ษา : อาจารย์ ศิรเศรษฐ ภศู รี หลักสูตรสาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะครศุ าสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านี ภาคเรยี นที่ 1/2564

ก กิตติกรรมประกาศ การจัดทำรายงานสัมมนาคณิตศาสตร์ เรื่อง การสร้างวงกลม 6 แบบที่สอดคล้องกับวงกลม อาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส (We construct six circles congruent to the Archimedean twin circles in the arbelos.) ในครั้งนี้สามารถสำเร็จลุล่วงได้ดว้ ยดี ผู้จัดทำขอขอบคุณบุคคลต่างๆ ที่มีส่วนช่วยให้งานในครั้งนี้สำเร็จ ขอขอบคุณ Le Viet An and Emmanuel A. J. Garcia ซึ่งเป็น เจ้าของบทความฉบับนี้ ทำให้คณะผู้จัดทำได้มีความรู้เพิ่มเติมในเรื่องการสร้างวงกลม 6 แบบที่ สอดคล้องกับวงกลมอาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส โดยความรู้เหล่านี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ใน การศึกษาเรอื่ งอื่นๆตอ่ ไปได้ คณะผู้จัดทำขอขอบคุณ อาจารย์ศิรเศรษฐ ภู่ศรี อาจารย์ที่ปรึกษาวิชาสัมมนาคณิตศาสตร์ ศึกษา ซึ่งเป็นบุคคลสำคัญที่คอยให้คำแนะนำ ให้คำปรึกษาเกี่ยวกับการจัดทำรายงานสัมมนา คณิตศาสตร์ในลำดับขั้นตอนต่างๆ ตลอดจนเป็นที่ปรึกษาในการนำเสนอ และการทำรูปเล่มรายงาน สัมมนาคณิตศาสตร์ ทำให้การนำเสนอและการทำรายงานฉบับนี้สำเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี นอกจากนี้ เพื่อให้การสัมมนาครั้งนี้สมบูรณ์ที่สุด คณะผู้จัดทำขอขอบคุณอาจารย์ประจำหลักสูตรสาขาวิชา คณติ ศาสตร์ คณะครศุ าสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสุราษฎร์ธานีทกุ ท่าน ทไ่ี ด้ให้ความร้รู วมถงึ คำแนะนำ ในการค้นควา้ หาข้อมลู ตา่ งๆ มาโดยตลอด คณะผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า รายงานสัมมนาคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะมีประโยชน์แก่บุคคล ทั่วไป รวมไปถึงนิสิตนักศึกษาที่สนใจค้นคว้า และเพิ่มพูนหาความรู้เกี่ยวกบั เรื่อง การสร้างวงกลม 6 แบบที่สอดคล้องกับวงกลมอาร์คิมีเดียนบนพื้นที่อาร์บีลอส (We construct six circles congruent to the Archimedean twin circles in the arbelos.) สำหรับนักศึกษาที่มีความสนใจเฉพาะด้าน เพอ่ื นำความรู้ทไี่ ด้ไปใช้ให้เกิดประโยชน์ต่อไปนใ้ี นการฝึกประสบการณ์วชิ าชีพครูและการจัดการเรียน การสอนตอ่ ไปในอนาคต ณรงคฤ์ ทธิ์ วงศจ์ ินดา ธนศักดิ์ นาคมณี สมพงศ์ พรหมดำ

ข บทคดั ยอ่ อาร์บีลอสเปน็ พ้นื ที่ท่ีล้อมรอบดว้ ยคร่ึงวงกลม 3 รูป ดงั ภาพที่ 1 และสอดคล้องกับเงื่อนไขดงั น้ี 1. จุดปลายของรปู ครึ่งวงกลมเปน็ จดุ เดียวกนั คอื - จดุ A เปน็ จดุ ปลายของรปู ครงึ่ วงกลม X และรปู ครงึ่ วงกลม Y - จดุ B เปน็ จุดปลายของรูปครึง่ วงกลม X และรปู คร่ึงวงกลม Z - จุด C เป็นจุดปลายของรูปคร่งึ วงกลม Y และรูปครึง่ วงกลม Z 2. รูปครึ่งวงกลมทัง้ 3 รูป มีเส้นผ่านศูนยก์ ลางเดยี วกัน คือ - รูปคร่ึงวงกลม Z มีเส้นผ่านศนู ย์กลางคือ BC โดยที่ รัศมี เท่ากบั b - รูปครง่ึ วงกลม Y มเี สน้ ผ่านศูนย์กลางคือ AC โดยท่ี รัศมี เท่ากบั a - รูปครึง่ วงกลม X มเี ส้นผ่านศนู ย์กลางคือ AB โดยที่ รัศมี เท่ากับ a + b วงกลมอาร์คิมเี ดยี นเป็นวงกลมทม่ี ีความยาวของรศั มี เท่ากับ ab a+b บทความนีน้ ำเสนอการสร้างวงกลมคู่อารค์ ิมเี ดยี นจากอาบลี อสจำนวน 3 คู่ ดังภาพท่ี 2 – 4 ภาพท่ี 1 อาร์บลี อส ภาพที่ 2 วงกลมคู่อารค์ มิ เี ดียนคทู่ ่ี 1 ภาพที่ 3 วงกลมคอู่ าร์คิมเี ดยี นคู่ที่ 3 ภาพท่ี 4 วงกลมคอู่ าร์คมิ ีเดียนคูท่ ่ี 4

ค Abstract Arbelos is an area surrounded by 3 semicircles as Picture 1 and conforms with the conditions as follows, 1.The end point of the semicircles is the same point, namely - A is the end point of the semicircle X and the semicircle Y - B is the end point of the semicircle X and the semicircle Z - C is the end point of the semicircle Y and the semicircle Z 2.All 3 semicircles have diameter in the same line, namely - The semicircle Z has the diameter is BC with radius equal to b - The semicircle Y has the diameter is AC with radius equal to a - The semicircle X has the diameter is AB with radius equal toa + b Archimedean Circle is the circle which has radius equal to ab a+b Very good with a novel filtering out Archimedean pairs from Abi the secretary 3 Examines 2 – 4. Figure 1 Arbelos Figure 2 Archimedean Circle Figure 3 Archimedean Circle 3 Figure 4 Archimedean Circle 4

สารบญั ง เรือ่ ง หนา้ กติ ติกรรมประกาศ (ก) บทคัดยอ่ ภาษาไทย (ข) บทคดั ย่อภาษาองั กฤษ (ค) สารบญั (ง) สารบญั (จ) บทที่ 1 บทนำ 1 - บทนำ 1 บทที่ 2 ความรู้พนื้ ฐาน 3 - รปู สามเหลี่ยมคลา้ ย (Similar Triangles 3 - ส่วนประกอบของวงกลม (Circle components) 5 - ทฤษฎีบทของสจวรต์ (Stewart's theorem) 8 - ทฤษฎบี ทพที าโกรสั (Pythagorean theorem) 9 - อาร์บีลอส (Arbelos) 10 - วงกลมอาร์คิมเี ดียน (Archimedean Circle) 11 บทท่ี 3 การสรา้ งวงกลมอาร์คิมีเดยี นสามค่ทู ี่เกดิ จากอาร์บีลอส 12 - การสรา้ งวงกลมอารค์ ิมเี ดยี นคทู่ ี่ 1 12 - การสรา้ งวงกลมอาร์คิมีเดียนคทู่ ่ี 2 33 - การสรา้ งวงกลมอาร์คิมเี ดียนคู่ที่ 3 41 บรรณานกุ รม 54 ภาคผนวก 55

สารบญั รปู ภาพ จ ภาพท่ี หน้า 1.1 อารบ์ ลี อส 2 1.2 วงกลมอารค์ ิมีเดยี นในอาร์บลี อส 2 2.1 รูปสามเหลย่ี มคล้าย 3 2.2 รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 4 2.3 สว่ นโค้งของวงกลม 5 2.4 จดุ ศูนย์กลางของวงกลม 5 2.5 คอร์ดของวงกลม 5 2.6 เสน้ รอบวงของวงกลม 6 2.7 เส้นผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม 6 2.8 รัศมีของวงกลม 6 2.9 เซกเมนต์ของวงกลม 7 2.10 เซกเตอร์ของวงกลม 7 2.11 เส้นสัมผัสวงกลม 7 2.12 ครง่ึ วงกลม 8 2.13 สามเหล่ยี มแนบในคร่ึงวงกลม 8 2.14 แผนผงั ของทฤษฎีบทของสจว๊ ต 9 2.15 ผลรวมของพ้ืนทข่ี องสเี่ หลย่ี มสองรปู บนดา้ นประชดิ มุมฉาก (a และ b) 9 เทา่ กบั พื้นท่ีของสเ่ี หลยี่ มบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) 10 2.16 อารบ์ ลี อส 11 2.17 วงกลมอาร์คมิ เี ดยี นในอาร์บลี อส 12 3.1 อารบ์ ีลอสท่ีล้อมรอบด้วยครง่ึ วงกลม X Y และ Z 12 3.2 การสร้างเส้นสัมผสั คร่งึ วงกลม AC จากจดุ E 13 3.3 การสรา้ งเสน้ สัมผัสครงึ่ วงกลม CB จากจุด D 13 3.4 สร้างวงกลม H ทีม่ รี ัศมี CH โดยมี H เป็นจุดตัดของ EF และ DG 13 3.5 การสร้างจุดตัด I และ J

สารบญั รูปภาพ ฉ ภาพที่ หน้า 3.6 สร้าง I เป็นจดุ ทลี่ ากจากจุด I มาตงั้ ฉากกบั AB 14 3.7 สรา้ ง J เปน็ จุดท่ีลากจากจุด J มาต้ังฉากกบั AB 14 3.8 สร้างเสน้ รอบวง ( A,AJ ) 14 3.9 สร้างเสน้ รอบวงของวงกลม (B,BI ) 15 3.10 สร้าง S เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม ท่ลี ้อมรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) 15 (B,BI ) และครงึ่ วงกลม AC 16 3.11 สร้าง T เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม ทล่ี อ้ มรอบโดยเส้นรอบวงวงกลม ( A,AJ ) 16 (B,BI ) และครึ่งวงกลม C 16 3.12 CI ตดั DH และต้งั ฉากที่จุด M 17 3.13 สรา้ ง CH 17 3.14 สรา้ ง HI 17 3.15 สร้าง ID 18 3.16 สรา้ ง DC 18 3.17 สีเ่ หล่ยี มรปู ว่าวที่เกดิ จากจุด CDIH และCI ตั้งฉากกับ DH 19 3.18 เส้นขนานระหว่างCM และ EG 20 3.19 CDM EDG 20 3.20 วงกลมท่มี ีเส้นผ่านศนู ย์กลาง CI ทม่ี ีชอื่ วา่ “วงกลมอารค์ ิมเี ดียนO50a ” 21 3.21 สร้าง CII 21 3.22 สรา้ ง EDG 22 3.23 CII EDG 23 3.24 สร้าง CJ ตดั EH ทจ่ี ดุ N 23 3.25 สร้าง CE 3.26 สร้าง EJ

สารบญั รปู ภาพ ช ภาพที่ หน้า 3.27 สรา้ ง JH 23 3.28 สรา้ ง HC 24 3.29 สีเ่ หลย่ี มรปู วา่ วทีเ่ กดิ จากจดุ CEJH และCJ ต้ังฉากกับEH 24 3.30 สรา้ ง CJ ตดั EH ทีจ่ ุด N 25 3.31 สร้าง CEN 25 3.32 สร้าง DEF 25 3.33 CEN DEF 26 3.34 สร้าง CJJ 27 3.35 CEN CJJ 27 3.36 วงกลมที่มีเสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง CJ เป็นวงกลมอารค์ มิ ีเดียน 29 3.37 สร้างรูปสามเหล่ียมจากเส้นจุด A S และจดุ B 29 3.38 สร้างสว่ นของเสน้ ตรงจากจดุ D ไปสัมผัสจุด S และให้ DS เป็นเส้นซเี วยี น 29 3.39 สรา้ ง x เป็นรัศมีของวงกลมท่ีมีจดุ ศูนย์กลาง S 30 3.40 สรา้ งรูปสามเหลย่ี มจากเสน้ จุด A T และจุด B 31 3.41 สรา้ งสว่ นของเส้นตรงจากจดุ E ไปสัมผัสจุด T และให้ ET เปน็ เส้นซีเวยี น 32 31 33 3.42 สรา้ ง x เปน็ รศั มีของวงกลมทม่ี ีจุดศนู ยก์ ลาง T 33 3.43 อาร์บลี อสที่ล้อมรอบดว้ ยครึ่งวงกลม X Y และ Z 34 3.44 สร้างคร่งึ วงกลม DE ตัดครึ่งวงกลม AC และ BC ท่ีจุด F และ G ตามลำดับ 34 3.45 สรา้ งเส้นคอร์ด DF และเสน้ คอรด์ EG 34 3.46 CH ไปต้งั ฉากกับ DH 35 3.47 CI ไปตัง้ ฉากกบั GE 35 3.48 สร้าง DF ทม่ี คี วามยาวเท่ากับ a 35 3.49 สร้าง EF ให้ทำมุม 90 กับ DF ท่ีจุด F' 3.50 สร้าง CH ใหท้ ำมมุ 90 กับ DF ทจ่ี ดุ H

สารบญั รูปภาพ ซ ภาพที่ หน้า 3.51 สรา้ ง CDF และ EDF 36 3.52 CDF EDF 36 3.53 สรา้ งวงกลมวงที่หน่งึ ที่มีจดุ ศูนย์กลาง H ท่ีมรี ัศมี HF 37 3.54 สร้าง DG 38 3.55 สรา้ ง GE ให้ทำมุม 90 กบั DG ที่จดุ G 38 3.56 สร้าง CI ให้ทำมุม 90 กับ GE ท่ีจดุ I 38 3.57 สรา้ ง DEG CIE 39 3.58 DEG CIE 39 3.59 สร้างวงกลมวงท่ีหนง่ึ ที่มีจดุ ศนู ยก์ ลาง I และรศั มี IG 41 3.60 อาร์บีลอสที่ล้อมรอบดว้ ยคร่ึงวงกลม X Y และ Z 41 3.61 สรา้ งวงกลม B ท่มี รี ัศมียาว BC ตดั ครึง่ วงกลม AB ที่จุด F 41 3.62 วงกลม A ท่มี รี ัศมี AC ตัดครึง่ วงกลม AB ที่จดุ I 42 3.63 AF ตดั กบั คร่ึงวงกลม AC ท่ีจุดG 42 3.64 สรา้ งเสน้ ตรงผ่านจุด G มาตั้งฉากกับ AB และกำหนดใหจ้ ุดตดั เป็นจดุ G 42 3.65 BI ตดั กบั ครึง่ วงกลม CB ที่จดุ H 43 3.66 สรา้ งเส้นตรงผ่านจุด H มาตง้ั ฉากกับ AB และกำหนดให้จดุ ตดั เปน็ จดุ H 43 3.67 สร้างวงกลมอาร์คิมเี ดียนวงที่หนง่ึ ทมี่ ี R เป็นจุดศูนย์กลางซ่ึงล้อมรอบโดย 44 เส้นรอบวงของวงกลม ของวงกลมA ทม่ี ีรัศมี AC กบั เส้นรอบวงของวงกลม O 44 ที่มีรศั มี OA และเสน้ ตัง้ ฉากGG 3.68 สร้างวงกลมอารค์ มิ เี ดยี นวงทีห่ นง่ึ ทมี่ ี S เปน็ จดุ ศูนย์กลางซง่ึ ล้อมรอบโดย 45 เส้นรอบรอบวงของวงกลมของวงกลม B ท่ีมรี ัศมี BC กับเสน้ รอบวงของ 45 วงกลม O ทม่ี รี ัศมี OA และเสน้ ตัง้ ฉาก HH 3.69 สรา้ ง AGC และมีมมุ ขนาด 90 ทีจ่ ุด G 3.70 สร้าง AFB และมีมมุ ขนาด 90 ทีจ่ ุด F

สารบญั รูปภาพ ฌ ภาพท่ี หน้า 46 3.71 AGC AFB 48 49 CG 49 3.72 วงกลมที่มรี ัศมี 2 คอื วงกลมอาร์คิมเี ดียน 50 3.73 ลากเสน้ จากจดุ A ไปจุดG เพอ่ื สรา้ ง AG 50 51 3.74 สรา้ ง GC ให้ทำมุม 90 กับ AG ที่จดุ G 52 53 3.75 สร้าง GG ใหท้ ำมมุ 90 กับ AB 53 3.76 สร้างรปู สามเหลย่ี ม AGG และรปู สามเหลี่ยม AGC 3.77 รูปสามเหลย่ี ม AGG เปน็ รปู สามเหลีย่ มคล้ายกับรูปสามเหลยี่ ม AGC 3.78 AG = 2a(4ab + b2 ) (a + b)2 3.79 AR = AG− X 3.80 x = ab a+b

1 บทท่ี 1 บทนำ กระทรวงศึกษาธิการ (2560, น.1) คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อความสำเร็จในการ เรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจากคณิตศาสตร์ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมี เหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำไปใช้ในชีวิต จริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่นๆ อันเป็นรากฐานในการพัฒนาทรัพยากรบุคคลของชาติให้มีคุณภาพ และ พัฒนาเศรษฐกิจของประเทศให้ทัดเทียมกับนานาชาติ การศึกษาคณิตศาสตร์จึงจำเป็นต้องมีการ พัฒนาอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้ทันสมัยและสอดคล้องกับสภาพเศรษฐกิจ สังคม และความรู้ทาง วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีท่เี จริญก้าวหน้าอยา่ งรวดเรว็ ในยคุ โลกาภวิ ัตน์ จารุวรรณ สิงห์ม่วง (2548, น.1) เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีการแพร่หลาย มากที่สุด เรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษาและเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นเพียงส่วนประกอบเล็กน้อยส่วน หนึ่งของเรขาคณิตเทา่ น้ัน ในปัจจุบันการนำความรู้เกีย่ วกับเรขาคณิตไปประยุกตใ์ นทางปฏบิ ัติได้เพิม่ ปริมาณขึ้นเป็นลำดับ ทำให้เกิดความสนใจในเนื้อหาใหม่ ๆ มากขึ้น สมบัติทางเรขาคณิตเป็นพื้นฐาน ของหลายสิ่งที่มนุษย์เกี่ยวข้องด้วย และสามารถดัดแปลงนำเรขาคณิตไปประยุกต์ใช้ในงานออกแบบ สถาปัตยกรรม งานอุตสาหกรรม ฯลฯ เรขาคณิตทำให้คนเป็นคนระมัดระวังแม่นยำในกิจกรรมอื่นๆ นอกจากนี้เรขาคณิตยังเป็นวิชาที่ให้ความสำคัญในทางปฏิบัติจึงเป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อบุคคล ทุกสาขาอาชีพ กล่าวได้ว่าทกุ คนมีโอกาสที่จะใช้เรขาคณิตทัง้ ส้ิน ถือกันว่าการศึกษาเรขาคณิตเป็นส่ิง สำคัญในการก้าวไปสู่การฝึกอาชีพวิชาการที่ต้องใช้เรขาคณิต คือ ฟิสิกส์ เคมี วิศวกรรม สถิติ เศรษฐศาสตร์ เป็นต้น

2 อาร์บีลอส เปน็ พืน้ ท่ีทีล่ ้อมรอบด้วยรปู คร่งึ วงกลม 3 รปู ดงั ภาพท่ี 1.1 ภาพท่ี 1.1 อารบ์ ีลอส วงกลมอาร์คิมเี ดียน เปน็ วงกลมทีม่ คี วามสัมพันธก์ ับอาร์บลี อส และมีความยาวของรศั มี เทา่ กับ ������ ดงั ภาพที่ 1.2 ������+������ ภาพท่ี 1.2 วงกลมอารค์ ิมเี ดียนในอาร์บีลอส ซง่ึ ทีผ่ า่ นมาไดม้ ผี ลงานวจิ ัยที่เก่ียวข้องกบั วงกลมอาร์คิมเี ดียนมากมาย ดงั น้นั ทางคณะผู้จัดทำ จึงสนใจศึกษา เรื่อง วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส เพื่อที่จะหาความรู้เพ่ิมเติมทางด้านเรขาคณิต และเข้าใจ เรื่อง วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส โดยการศึกษาบทความน้ีใช้ความรู้พื้นฐาน ได้แก่ รูปสามเหล่ยี มคล้าย เส้นcevian ภาพฉายระยะเงา ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส สว่ นประกอบของวงกลม อาร์ บีลอส และวงกลมอาร์คิมีเดียน เพื่อเป็นประโยชน์ต่อคณะผู้จัดทำและผู้ที่สนใจในเรื่องวงกลมอาร์คิ มีเดียนต่อไป

3 บทที่ 2 ความรูพ้ น้ื ฐาน 2.1 รูปสามเหลี่ยมคลา้ ย (Similar Triangles) รปู สามเหล่ียมคลา้ ย คือ รปู สามเหลีย่ มสองรูปที่มีขนาดของมุมเทา่ กันสามคู่ - ขนาดของมุม ABC เท่ากับขนาดของมมุ DEF - ขนาดของมุม BCA เท่ากับขนาดของมุม EFD - ขนาดของมุม BAC เท่ากบั ขนาดของมุม EDF รูปสามเหลย่ี มคล้ายสองรปู มีดา้ นสมนยั กัน เปน็ สดั ส่วนกัน - ความยาวด้าน AB สมนัยกับความยาวด้าน DE - ความยาวดา้ น BC สมนัยกับความยาวดา้ น EF - ความนาวดา้ น AC สมนัยกับความยาวดา้ น DF A D C BF E ภาพท่ี 2.1 รปู สามเหลยี่ มคล้าย จากภาพที่ 2.1 จะได้วา่ AB = BC = AC DE EF DF จาก AB = BC จะได้ว่า AB = DE DE EF BC EF BC = AC จะได้วา่ BC = EF EF DF AC DF

4 AB = AC จะได้ว่า AB = DE DE DF AC DF นั่นคือ ถ้ามีรูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน อัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหน่ึง โดยท่ดี ้านของรปู สามเหลยี่ มที่หาความยาวนั้นจะต้องเป็นด้านท่ีสมนยั กนั อยูต่ รงข้ามกับมุมที่เท่ากันใน ทำนองเดียวกัน ถ้ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไม่เป็นมุมฉากเท่า กัน สมมติว่าเป็นมุม BCA เท่ากบั มมุ EFD ดงั รูป A D C BF E ภาพที่ 2.2 รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก พบวา่ รปู สามเหลีย่ มสองรปู นคี้ ล้ายกนั (มีมุมเทา่ กันมุมตอ่ มมุ ท้ัง 3 คู่) ดังนัน้ จะได้ว่า AB = DE , AB = DE , AC = DF AC DF BC EF BC EF สรุปได้ว่า ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวจะมีขนาดใหญห่ รือเลก็ ก็ตาม ถ้ารูปสามเหล่ียมทั้งสอง รูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วน ของความยาวของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งที่สมนัยกันเสมอ ( ด้านที่กล่าวถึงนี้ต้อง เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน ) และ ถ้า ABC และ DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เขยี นแทนดว้ ย ABC DEF

5 2.2 ส่วนประกอบของวงกลม (Circle components) 2.2.1 ส่วนโค้ง (Arc) คอื สว่ นเช่อื มต่อต่าง ๆ ของเสน้ รอบวงของวงกลม ภาพที่ 2.3 สว่ นโคง้ ของวงกลม 2.2.2 จุดศูนย์กลาง (Center) คือ จุดที่ตรงกลางวงกลมพอดี และห่างจากเส้นรอบวงเท่ากัน โดยตลอด A ภาพที่ 2.4 จุดศูนย์กลางของวงกลม 2.2.3 เส้นคอร์ด (Chord) คือ เส้นแบ่งส่วนของวงกลมหรือเส้นตรงระหว่างจุด 2 จุดบนเส้น รอบวง AB CD ภาพที่ 2.5 คอร์ดของวงกลม

6 2.3.4 เส้นรอบวง (Circumference) คือเส้นขอบของรูปวงกลมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง เทา่ กนั ภาพท่ี 2.6 เส้นรอบวงของวงกลม 2.2.5 เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือ เส้นคอร์ดที่ยาวที่สุด หรือเป็นเส้นแบ่งที่ผ่านจุด ศูนย์กลางของวงกลม และเปน็ เสน้ ที่ยาวที่สุดระหวา่ งจุด 2 จุดบนวงกลม A K B ภาพท่ี 2.7 เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม 2.2.6 รัศมี (Radius) คอื ระยะทเ่ี ท่ากันของระยะห่างระหวา่ งจดุ ศูนย์กลางไปยงั เส้นรอบวง A K ภาพที่ 2.8 รัศมีของวงกลม

7 2.2.7 เซกเมนต์ (Segment) คอื พืน้ ทท่ี ่ถี ูกปิดลอ้ มดว้ ยคอร์ดกบั ส่วนโค้งของวงกลม ภาพที่ 2.9 เซกเมนต์ของวงกลม 2.2.8 เซกเตอร์ (Sector) คือ ส่วนท่ีปดิ ล้อมด้วยรศั มวี งกลม 2 เส้นและส่วนโคง้ ของวงกลม ภาพที่ 2.10 เซกเตอรข์ องวงกลม 2.2.9 เสน้ สัมผัสวงกลม (Tangent) คือ เส้นตรงที่สัมผัสกบั วงกลมทจ่ี ดุ จดุ หนง่ึ ภาพท่ี 2.11 เสน้ สัมผัสวงกลม

8 2.2.10 ครึ่งวงกลม (Semicircle) คือ ส่วนโค้งของครึ่งวงกลมที่ถูกแบ่งออกโดยเส้นผ่าน ศนู ยก์ ลาง ภาพที่ 2.12 คร่ึงวงกลม 2.2.11 สามเหลยี่ มแนบในครึง่ วงกลม คือ มุมในคร่ึงวงกลมมขี นาดเท่ากับ 90 องศา หรือ หน่ึงมุมฉาก น่ันคือมมุ ACB = 90° ภาพที่ 2.13 ครึ่งวงกลม 2.3 ทฤษฎีบทของสจวร์ต (Stewart's theorem) เส้นซีเวียน (Cevian) เป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่บนด้านตรงข้ามในรูป สามเหล่ยี ม และมรี ายละเอยี ดสอดคลอ้ งกบั เงอื่ นไขดังตอ่ ไปน้ี กำหนดให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ให้ d เป็นความ ยาวของเส้นซีเวียน (Cevian) หากเส้นซีเวียน (Cevian) แบ่งความยาวด้าน a ออกเป็นสองส่วน คือ ความยาวขนาด m และ n โดยมดี ้าน m ติดกบั ด้าน c และดา้ น n ตดิ กบั ด้าน b แล้วได้ว่า b2m c2n a d 2 mn

9 a ภาพที่ 2.14 แผนผงั ของทฤษฎบี ทของสจว๊ ต 2.4 ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม มุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือในแง่ ของพ้ืนท่ี กล่าวไว้ดังนี้ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ ผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น ทฤษฎีบท ดงั กลา่ วสามารถเขียนเป็นสมการแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างความยาวของดา้ น a, b และ c ได้ ซ่ึงมัก เรยี กว่า สมการพที าโกรัส โดยระว่า a2 b2 c2 ภาพท่ี 2.15 ผลรวมของพ้ืนท่ีของส่เี หล่ียมสองรปู บนด้านประชิดมมุ ฉาก (a และ b) เทา่ กบั พ้นื ที่ของ ส่เี หลย่ี มบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (c)

10 2.5 อารบ์ ลี อส (Arbelos) อารบ์ ลี อสเป็นพ้ืนที่ที่ล้อมรอบด้วยครึ่งวงกลม 3 รูป ดงั ภาพท่ี 2.24 และสอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขดงั น้ี 1. จุดปลายของรูปคร่ึงวงกลมเป็นจดุ เดียวกนั คอื - จดุ A เปน็ จุดปลายของรปู คร่ึงวงกลม X และรูปครึง่ วงกลม Y - จดุ B เปน็ จุดปลายของรูปครง่ึ วงกลม X และรูปครงึ่ วงกลม Z - จดุ C เปน็ จดุ ปลายของรปู ครงึ่ วงกลม Y และรูปครง่ึ วงกลม Z 2. รปู คร่ึงวงกลมท้งั 3 รปู มีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางเดียวกัน คือ - รปู ครึง่ วงกลม Z มีเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางคือ BC โดยที่ รัศมี เทา่ กับ a - รปู คร่งึ วงกลม Y มีเส้นผ่านศนู ยก์ ลางคือ AC โดยที่ รัศมี เท่ากบั b - รูปครงึ่ วงกลม X มีเส้นผ่านศนู ยก์ ลางคือ AB โดยท่ี รัศมี เทา่ กับ a + b ภาพที่ 2.16 อารบ์ ีลอส

11 2.6 วงกลมอารค์ ิมเี ดยี น (Archimedean Circle) วงกลมอาร์คิมเี ดยี น เป็นวงกลมที่มีความสัมพันธ์กบั อาร์บีลอส มีเส้นผ่านศูนยก์ ลาง 1 หน่วย  1 AB  1 BC  1 AC BC  2 2  2 BA และมคี วามยาวของรศั มี เทา่ กบั  1  =    2 BA  = 1 2b  2a  2  2(a + b)  = ab a+b ภาพที่ 2.17 วงกลมอาร์คิมีเดยี นในอาร์บลี อส

12 บทที่ 3 การสร้างวงกลมอารค์ ิมีเดยี นสามคูท่ เ่ี กดิ จากอารบ์ ลี อส 3.1 การสร้างวงกลมอารค์ ิมีเดียนคทู่ ี่หน่งึ 3.1.1 การสร้างวงกลมอาร์คิมเี ดยี นคู่ทห่ี นึ่ง ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอส ที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมี a+b a และ b ตามลำดับ และมีจดุ ศนู ยก์ ลาง O D และ E ตามลำดับ ดังภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.1 อาร์บีลอสท่ลี ้อมรอบด้วยครึง่ วงกลม X Y และ Z ขั้นที่ 2 สร้างเส้นสัมผัสจากจุด E ให้สัมผัสครึ่งวงกลม AC โดยมี F เป็นจุดสัมผัส ดงั ภาพท่ี 3.2 ภาพท่ี 3.2 การสรา้ งเส้นสมั ผสั ครง่ึ วงกลม AC จากจุด E

13 ขั้นที่ 3 สร้างเส้นสัมผัสจากจุด D ไปสัมผัสครึ่งวงกลม CB โดยมี G เป็นจุดสัมผัส ดังภาพท่ี 3.3 ภาพที่ 3.3 การสร้างเสน้ สมั ผัสครง่ึ วงกลม CB จากจดุ D ขั้นที่ 4 สร้างวงกลม H ที่มีรัศมี CH โดยมี H เป็นจุดตัดของ EF และ DG ดังภาพท่ี 3.4 ภาพที่ 3.4 สร้างวงกลม H ที่มรี ัศมี CH โดยมี H เป็นจดุ ตัดของ EF และ DG ขั้นที่ 5 กำหนดให้จุดจัดของวงกลม H กับครึ่งวงกลม AC และครึ่งวงกลม BC เป็น จดุ I และจดุ J ตามลำดบั ดังภาพท่ี 3.5 ภาพที่ 3.5 การสรา้ งจุดตดั I และ J

14 ขน้ั ท่ี 6 สร้าง I เป็นจุดท่ลี ากจากจุด I มาต้ังฉากกบั AB ดังภาพที่ 3.6 ภาพท่ี 3.6 สรา้ ง I เป็นจดุ ทีล่ ากจากจุด I มาตัง้ ฉากกบั AB ขั้นที่ 7 สร้าง J เป็นจดุ ทล่ี ากจากจุด J มาตง้ั ฉากกบั AB ดังภาพที่ 3.7 ภาพที่ 3.7 สรา้ ง J เป็นจุดทลี่ ากจากจดุ J มาต้งั ฉากกบั AB ขั้นที่ 8 สรา้ งเสน้ รอบวงของวงกลม A ทีม่ ีรัศมี AJ ดังภาพท่ี 3.8 ภาพท่ี 3.8 สรา้ งเส้นรอบวง ( A,AJ )

15 ขนั้ ท่ี 9 สร้างเสน้ รอบวง ( B,BI ) ดังภาพที่ 3.9 ภาพที่ 3.9 สร้างเส้นรอบวงของวงกลม (B,BI ) ขั้นที่ 10 สร้าง S เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่ล้อมรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) (B,BI ) และคร่ึงวงกลม AC ดังภาพที่ 3.10 ภาพที่ 3.10 สรา้ ง S เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม ทลี่ อ้ มรอบโดยวงกลม ( A,AJ ) (B,BI ) และครง่ึ วงกลม AC

16 ขั้นท่ี 11 สร้าง T เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบโดยเส้นรอบวงวงกลม ( A,AJ ) (B,BI ) และครง่ึ วงกลม CB ดังภาพที่ 3.11 ภาพท่ี 3.11 สรา้ ง T เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลม ที่ลอ้ มรอบโดยเส้นรอบวงวงกลม ( A,AJ ) (B,BI ) และคร่ึงวงกลม C 3.1.2 การพิสจู น์วงกลมอาร์คมิ ีเดียนคู่ท่ีหนึ่งและต้องการพิสูจนว์ ่า CDM EDG ข้ันท่ี 1 สร้าง CI ตดั DH และต้ังฉากที่จุด M ดงั ภาพที่ 3.12 ภาพที่ 3.12 CI ตดั DH และตง้ั ฉากท่จี ุด M ข้นั ท่ี 2 สร้าง CH ดังภาพที่ 3.13 ภาพที่ 3.13 สรา้ ง CH

17 ขั้นที่ 3 สรา้ ง HI ดงั ภาพท่ี 3.14 ภาพท่ี 3.14 สร้าง HI ขน้ั ท่ี 4 สร้าง ID ดังภาพท่ี 3.15 ภาพท่ี 3.15 สร้าง ID ขน้ั ที่ 5 สร้าง DC ดังภาพท่ี 3.16 ภาพที่ 3.16 สร้าง DC

18 ขั้นที่ 6 จะได้สี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดจากจุด CDIH และ CI ตั้งฉากกับ DH ดงั ภาพที่ 3.17 ภาพที่ 3.17 สีเ่ หล่ียมรูปวา่ วที่เกดิ จากจดุ CDIH และCI ตั้งฉากกับ DH จากภาพที่ 3.11 เมื่อลาก CI ใหต้ ัด DH ที่จุด M HI = HC และ DI = DC นน่ั คอื รปู สเี่ หลี่ยม CDIH เปน็ สเ่ี หล่ียมรูปว่าว เนื่องจากมีดา้ นซง่ึ อยู่ตดิ กนั มีขนาดเท่ากนั 2 คู่ ขน้ั ที่ 7 สรา้ งเส้นขนานระหวา่ งCM และ EG ดังภาพท่ี 3.18 ภาพท่ี 3.18 เส้นขนานระหว่างCM และ EG

19 ขั้นที่ 8 สร้าง CDM EDG ดงั ภาพที่ 3.19 ภาพท่ี 3.19 CDM EDG พสิ จู นว์ ่า CDM EDG จากสเี่ หลย่ี มรูปว่าว CDIH จะได้ว่า DMC = DGE = 90 (มุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยตู่ รงข้ามบนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตดั ) และ GDE = MDC (มุมรว่ ม) นน่ั คือ CDM EDG เน่ืองจากมีมมุ ทส่ี มนัยกัน 2 มุมคอื DMC = DGE และ GDE = MDG จากสเ่ี หล่ยี มรปู ว่าว CDIH จะได้ค่า CM = CI 2 (เสน้ ทแยงมุมของสีเ่ หลย่ี มรปู ว่าวหาร 2) EG = b DE = a + b

20 และ DC = a จาก CMD EDG จะไดว้ า่ EG = DE CM DC ดังนั้น b = a+b CI a 2 CI = 2ab a+b 3.1.3 พิสูจน์การสร้าง CII EDG ขั้นที่ 1 สร้างวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง CI เป็นวงกลมอาร์คิมีเดียน (วงที่ 3 ) และใหช้ ื่อว่า “วงกลมอาร์คิมเี ดยี นO50a ” ดังภาพท่ี 3.20 ภาพที่ 3.20 วงกลมทีม่ ีเส้นผ่านศนู ย์กลาง CI ทมี่ ชี อ่ื วา่ “วงกลมอาร์คิมเี ดียนO50a ” ขนั้ ท่ี 2 สร้างสามเหลย่ี ม CII ดังภาพที่ 3.21 ภาพที่ 3.21 สร้าง CII

21 ขั้นท่ี 3 สรา้ ง EDG ดังภาพท่ี 3.22 ภาพที่ 3.22 สรา้ ง EDG ข้อสังเกต จะเหน็ ว่า CII EDG Z (จะเห็นวา่ MC // GE ) ดังภาพที่ 3.23 ภาพท่ี 3.23 CII EDG พสิ ูจน์ CII EDG จาก CI / /EG จะไดว้ ่า ICI = GED (มุมภายนอกและมมุ ภายในมีอยตู่ รงขา้ มบนข้างเดียวกันของเสน้ ตัด) จาก II ต้ังฉากกับ AB จะไดว้ า่ IIC = 90 จาก DGE = 90

22 จะได้ว่า DGE = IIC = 90 นนั่ คือ CII EDG จาก CII EDG จะไดว้ า่ CI = CI EG ED จาก CI = 2ab a+b EG = b ED = a + b CI 2ab b จะได้วา่ = a+b a+b CI  = ( 2ab 2 a + b)2 ขนั้ ที่ 4 สร้าง CJ ตดั EH ที่จุด N ดงั ภาพท่ี 3.24 ภาพที่ 3.24 สร้าง CJ ตดั EH ทจี่ ดุ N

23 ขน้ั ที่ 5 สร้าง CE ดังภาพท่ี 3.25 ภาพท่ี 3.25 สร้าง CE ขน้ั ท่ี 6 สรา้ ง EJ ดังภาพท่ี 3.26 ภาพท่ี 3.13 สรา้ ง CH ภาพที่ 3.26 สร้าง EJ ขน้ั ที่ 7 สร้าง JH ดังภาพที่ 3.27 ภาพท่ี 3.27 สรา้ ง JH

24 ขนั้ ที่ 8 สรา้ ง HC ดงั ภาพท่ี 3.28 ภาพที่ 3.28 สร้าง HC ขั้นที่ 9 จะได้สี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดจากจุด CEJH และ CJ ตั้งฉากกับ EH ดังภาพท่ี 3.29 ภาพท่ี 3.29 สีเ่ หลี่ยมรปู ว่าวที่เกดิ จากจุด CEJH และCJ ตั้งฉากกบั EH พิสจู นว์ า่ สีเ่ หลย่ี ม CEJH เปน็ สเ่ี หล่ียมรปู วา่ ว เมอ่ื ลาก CJ ให้ตดั EH ที่จุด N จะไดว้ ่า HJ = HC (รศั มีของวงกลมที่มีจดุ ศนู ย์กลาง H ) และ EC = EJ (รศั มีของวงกลมทม่ี ีจุดศูนย์กลาง E) น่นั คอื สเ่ี หลย่ี ม CEJH เปน็ สเี่ หล่ยี มรปู วา่ ว เนือ่ งจากมีดา้ นซงึ่ อย่ตู ิดกนั มีขนาดเทา่ กนั 2 คู่

25 3.1.4 พสิ จู น์การสร้าง CEN DEF (ในลักษณะเดยี วกันกบั 3.1.3) ขนั้ ท่ี 1 สรา้ ง CJ ตดั EH ท่ีจุด N ดงั ภาพท่ี 3.30 ภาพที่ 3.30 สรา้ ง CJ ตดั EH ที่จดุ N ขั้นที่ 2 สร้าง CEN ดงั ภาพท่ี 3.31 ภาพที่ 3.31 สรา้ ง CEN ขั้นที่ 3 สรา้ ง DEF ดังภาพที่ 3.32 ภาพที่ 3.32 สร้าง DEF

26 ขอ้ สังเกต จะเหน็ วา่ CEN DEF ดังภาพที่ 3.33 ภาพที่ 3.33 CEN DEF พสิ ูจน์ CEN DEF จาก DF / /CN จะไดว้ า่ EDF = ECN (มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูต่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั ) และ DEF = CEN (มุมร่วม) นนั่ คือ CEN DEF เนอื่ งจากมมุ ทส่ี มนยั กนั 2 มุมคอื EDF = ECN และDEF = CEN DF = a DE = a + b CE = b จาก CEN DEF จะไดว้ ่า DF = DE CN CE

27 a = a+ b CN a น่นั คือ CN = ab a+b ข้ันท่ี 4 สร้าง CJJ ดงั ภาพท่ี 3.34 ภาพท่ี 3.34 สร้าง CJJ ข้อสงั เกต จะเห็นวา่ CEN CJJ ดังภาพที่ 3.35 ภาพที่ 3.35 CEN CJJ

28 พสิ จู น์ CEN CJJ จากส่เี หลีย่ มรปู วา่ ว CEJH จะไดว้ า่ CNE = 90 (เสน้ ทแยงมุมตัดกันเป็นมมุ ฉาก) เนอ่ื งจาก JJ ตงั้ ฉากกบั AB จะไดว้ า่ CJJ = 90 ดังนน้ั CNE =CJJ = 90 และ NCE = JCJ (เปน็ มุมร่วม) นั่นคอื CNE CJJ เนอ่ื งจากมีมุมทส่ี มนัยกนั 2 มุมคอื CNE = CJJ และ NCE = JCJ จาก CEN CJJ จะได้ว่า CJ = CJ CN CE จาก CE = b CN = ab a+b และ CJ = 2CN = 2 ab  a+b CJ 2ab จะไดว้ ่า ab = a+b a+b b CJ =  2ab  1  ab  a+b b a+b CJ = ( 2a2b a + b)2

29 ขั้นที่ 5 สร้างวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง CJ เป็นวงกลมอาร์คิมีเดียน (วงที่ 4 ) ดงั ภาพท่ี 3.36 ภาพที่ 3.36 วงกลมท่ีมเี สน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง CJ เปน็ วงกลมอาร์คมิ ีเดียน 3.1.5 สรา้ งรัศมขี องวงกลมอาร์คิมีเดยี นจากเส้นซีเวยี น ขน้ั ที่ 1 สร้างรูปสามเหล่ียมจากเส้นจดุ A S และจุด B ดงั ภาพที่ 3.37 ภาพที่ 3.37 สรา้ งรปู สามเหลีย่ มจากเสน้ จดุ A S และจดุ B ขนั้ ที่ 2 สร้างสว่ นของเส้นตรงจากจุด D ไปสมั ผัสจดุ S และให้ DS เปน็ เส้นซเี วยี น ดังภาพที่ 3.38 ภาพท่ี 3.38 สร้างสว่ นของเส้นตรงจากจุด D ไปสัมผัสจุด S และให้ DS เป็นเสน้ ซเี วยี น

30 ขนั้ ที่ 3 สร้าง x เปน็ รัศมขี องวงกลมที่มจี ุดศูนยก์ ลาง S ดังภาพที่ 3.39 ภาพที่ 3.39 สร้าง x เป็นรัศมีของวงกลมทม่ี จี ุดศนู ยก์ ลาง S สงั เกต ASB ซงึ่ มี DS เป็นเสน้ ซีเวยี น จากทฤษฎีบทของสจวร์ต (Stewart's theorem) จะได้ b2m +c2n = ad 2 +mn ให้ x เปน็ รศั มขี องวงกลมทมี่ จี ุดศนู ยก์ ลาง S และ a = AB = AC +CB = 2a + 2b b = AS = AC +CJ − X = 2a + 2a2 − x (a + b)2 c = BC = BC +CI+ X = 2b + 2ab2 + x (a + b)2 d = DS = DC + X = a + x m = DB = DC +CB = a + 2b n = AD = a จาก b2m + c2n = ad 2 + mn

31 จะได้ 2a + 2a2b − x 2 (a + 2b ) + 2b + 2ab2 + x  a = ( 2a + 2b ) + (a + x )2 + a(a + 2b ) (a +b)2  (a +b)2  เมอื่ แก้สมาการหาค่า x จะไดว้ ่า x = ab a+b ดังนนั้ วงกลมทมี่ จี ุดศูนยก์ ลาง S เปน็ วงกลมอารค์ ิมเี ดียน ขน้ั ท่ี 4 สร้างรปู สามเหลยี่ มจากเส้นจดุ A T และจุด B ดังภาพท่ี 3.40 ภาพที่ 3.40 สร้างรูปสามเหลย่ี มจากเสน้ จุด A T และจุด B ข้นั ที่ 5 สร้างสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด E ไปสัมผัสจดุ T และให้ ET เปน็ เส้นซเี วยี น ดงั ภาพท่ี 3.41 ภาพที่ 3.41 สร้างส่วนของเส้นตรงจากจดุ E ไปสัมผัสจดุ T และให้ ET เป็นเสน้ ซเี วียน

32 ขัน้ ท่ี 6 สร้าง x เป็นรศั มขี องวงกลมทม่ี ีจุดศูนย์กลาง T ดงั ภาพท่ี 3.42 ภาพที่ 3.42 สรา้ ง x เปน็ รัศมีของวงกลมท่ีมจี ุดศูนย์กลาง T สังเกต ATB ซ่ึงมี ET เปน็ เส้นซีเวียน จากทฤษฎขี องสจวร์ต (Stewart's theorem) จะได้ b2m +c2n = ad 2 +mn ให้ x เป็นรศั มขี องวงกลมท่มี ีจุดศนู ย์กลาง S และ a = AC +CB = 2a + 2b b = AC + CJ + x = 2a + 2a2b + x (a + b)2 c = BC + CI  − x = 2a + 2ab2 − x (a + b)2 d = EJ + JT = b + x m = EB = b n = AC +CE = 2a + b จะได้ 2a + 2a2b + x 2 b + 2a + 2ab 2 − x 2 ( 2a + b) = ( 2a +b ) ( b + x )2 + b(2a +b ) (a +b)2  (a +b)2 

33 เมอื่ แกส้ มาการหาค่า x จะได้ว่า x = ab . a+b ดงั นนั้ วงกลมที่มจี ุดศูนย์กลาง S เปน็ วงกลมอาร์คิมีเดยี น 3.2 การสร้างวงกลมอาร์คิมีเดียนคู่ท่ีสองและการพิสูจน์ CDH EDF โดยทฤษฎีบทของ เธลิส (Thales) 3.2.1 การสรา้ งวงกลมอาร์คิมเี ดยี นคูท่ ่ีสอง ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอสที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมีรัศมี a b a และ b ตามลำดับ และมีจดุ ศูนยก์ ลาง O D และ E ตามลำดับ ดังภาพที่ 3.43 ภาพที่ 3.43 อาร์บีลอสทลี่ ้อมรอบด้วยครง่ึ วงกลม X Y และ Z ขั้นที่ 2 สร้างครึง่ วงกลม DE ตัดครึ่งวงกลม AC และ BC ที่จุด F และ G ตามลำดบั ดงั ภาพที่ 3.44 ภาพท่ี 3.44 สร้างคร่งึ วงกลม DE ตดั ครึง่ วงกลม AC และ BC ทจ่ี ุด F และ G ตามลำดบั

34 ขั้นท่ี 3 สร้างเสน้ คอร์ด DF และเสน้ คอรด์ EG ดังภาพท่ี 3.45 ภาพท่ี 3.45 สร้างเสน้ คอรด์ DF และเส้นคอรด์ EG ขนั้ ท่ี 4 สรา้ ง CH ไปตง้ั ฉากกบั DH ดังภาพท่ี 3.46 ภาพที่ 3.46 CH ไปตั้งฉากกับ DH ข้ันท่ี 5 สร้าง CI ไปต้งั ฉากกบั GE ดังภาพที่ 3.47 ภาพท่ี 3.47 CI ไปตง้ั ฉากกบั GE

35 3.2.2 พิสจู น์การสรา้ ง CDF EDF โดยทฤษฎบี ทของเธลสิ (Thales) ข้นั ที่ 1 สร้าง DF ทีม่ ีความยาวเทา่ กบั a ดงั ภาพที่ 3.48 ภาพที่ 3.48 สรา้ ง DF ท่ีมคี วามยาวเท่ากับ a ขัน้ ที่ 2 สร้าง EF ใหท้ ำมุม 90 กับ DF ทจี่ ดุ F ดังภาพท่ี 3.49 ภาพท่ี 3.49 สร้าง EF ใหท้ ำมุม 90 กบั DF ที่จุด F ขน้ั ท่ี 3 สรา้ ง CH ใหท้ ำมุม 90 กบั DF ที่จุด H ดงั ภาพท่ี 3.50 ภาพที่ 3.50 สร้าง CH ใหท้ ำมมุ 90 กบั DF ที่จุด H

36 ขน้ั ท่ี 4 สรา้ ง CDF และ EDF ดงั ภาพท่ี 3.51 ภาพท่ี 3.51 สรา้ ง CDF และ EDF ข้อสงั เกต จะเหน็ ว่า CDF EDF ดังภาพท่ี 3.52 ภาพท่ี 3.52 CDF EDF ขั้นท่ี 5 พิสูจน์วา่ CDF EDF กำหนด CHD = 90 จะไดว้ า่ CHD = EFD (มุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดียวกันของเส้นตัด) และ DCH = DEF (มมุ ผนวกและมุมภายในทอี่ ยู่ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั )

37 สงั เกตได้ว่า CDH = EDF (มุมรว่ ม) นั่นคอื CDF EDF เนอ่ื งจากมมี ุม 3 มมุ ท่ีสมนัยกันคอื CHF =CHD,CHD = EFD,DCH = DEF ขน้ั ท่ี 6 พสิ จู นว์ ่า FH เปน็ รัศมีของวงกลมอารค์ ิมีดีน เนื่องจาก EDF มี DF =a และ DH = a+ b และ CDH มี DC = a จาก CDH CDH จะได้ว่า DF = DE DH DC a = a + b DH a DH = ab a+b จาก FH = DF DH จะได้วา่ FH = a ab น่นั คอื FH = a a+b ab ซ่ึงเปน็ รัศมีของวงกลมอาร์คมิ เี ดียน a+b ขนั้ ที่ 7 สร้างวงกลมวงทีห่ นงึ่ ทีม่ จี ุดศูนย์กลาง H ที่มรี ัศมี HF ดังภาพท่ี 3.53 ภาพที่ 3.53 สรา้ งวงกลมวงที่หน่ึงทมี่ จี ดุ ศนู ย์กลาง H ท่มี รี ัศมี HF

38 3.2.3 พิสจู น์การสรา้ ง DEG CIE โดยทฤษฎีบทของเธลสิ (Thales) ข้ันท่ี 1 ลากเส้นจากจุด D ไปจุด G เพื่อสรา้ ง DG ดงั ภาพท่ี 3.54 ภาพท่ี 3.54 สรา้ ง DG ข้ันท่ี 2 สร้าง GE ใหท้ ำมุม 90 กับ DG ทีจ่ ุด G ดงั ภาพท่ี 3.55 ภาพท่ี 3.55 สร้าง GE ใหท้ ำมุม 90 กับ DG ท่จี ุด G ขั้นท่ี 3 สรา้ ง CI ให้ทำมุม 90 กับ GE ท่ีจุด I ดังภาพท่ี 3.56 ภาพท่ี 3.56 สร้าง CI ให้ทำมุม 90 กบั GE ทจ่ี ดุ I