ใบความรู้ จำนวนเต็ม

ใบความรู้ ม.1 จัดทำโดย ปรฉิ ตั ร ลลี ะวฒุ ิกำญจน์ 6201102001007

ใบความรู้ เรอื่ งจานวนเตม็ ความหมายของจานวนเตม็ ศนู ย์และจานวนเตม็ บวก (zero and positive integer) ศูนย์ (zero) หรอื “ 0” เป็นจานวนเต็ม แตไ่ มใ่ ชจ่ านวนนบั ดังน้นั “ 0” แทน“ ความไม่มี” เช่น ไม่มีเงิน ไม่มีปากกา ไม่มีสมุด เป็นต้น ไม่นิยมกล่าวว่ามีเงิน 0 บาท มีปากกา 0 ด้ามมี สมุด 0 เล่ม นั่นคือเมื่อไม่มีสิ่งของแสดงถึงว่าไม่มีการนับยกเว้นบางกรณีจาเป็นต้องใช้ 0 ซึ่ง ไม่ได้แทนความไม่มีเสมอไปเช่นอุณหภูมิของน้าแข็งเป็น 0 องศาเซลเซียสไม่ได้หมายความว่า น้าแข็งไม่มีอุณหภูมิ แต่หมายความว่าน้าแข็งมีความเย็นที่ระดับหนึ่งซึ่งกาหนดว่าเป็น 0 องศา เซลเซยี ส เป็นต้น จานวนเตม็ บวก (positive integer) พจิ ารณาจานวนทถ่ี ดั จาก 0 ไปทางขวา 1 หนว่ ยจะ พบว่า 1 เปน็ จานวนที่นอ้ ยทีส่ ุด จานวนนับอื่น ๆ เกิดจากการเพิ่มทีละ 1 ตามลาดับเช่น 1, 2, 3, 4, 5,. ทาใหเ้ กิดจานวนนบั ไม่มีที่ส้นิ สดุ เรียกจานวนนบั นวี้ า่ “ จานวนเต็มบวก” หรอื “ จานวนธรรมชาต”ิ (natural numbers) +1 +1 +1 +1 +1 0 1 23 4 5 678 9 10 ภาพที่ 1 เส้นจานวน ท่มี า : ปริฉตั ร ลลี ะวุฒกิ าญจน์, 2564 ถัดจาก 0 ไปทางขวาจะเปน็ จานวน 1, 2, 3,… ตามลาดับ จานวนเหลา่ น้เี รยี กว่า “จานวนนับ” หรอื “จานวนเตม็ บวก” หรอื “จานวนธรรมชาติ” ค่าของ 1 มากกว่า 0 อยู่ 1 และจาก 1 ไปทางขวา ค่าก็จะเพมิ่ ขน้ึ ทีละ 1 ไปตามลาดบั เรอ่ื ย ๆ ไมม่ ีทส่ี ิ้นสดุ

จานวนเตม็ ลบ (negative integer) ในชวี ติ ประจาวันจะพบว่ามกี ารใช้ตัวเลขแทนจานวน นอกเหนอื จากจานวนนบั และศูนย์ เช่น จานวนอณุ หภมู ขิ องอากาศท่ตี ่ากว่า 0 องศาเซลเซียส ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิต่าสุดวันที่ 23 มกราคม 2557 ที่สถานีเกษตรอ่างขาง อ.ฝาง จ.เชียงใหม่ จะมีน้าค้างแข็งโดยอุณหภูมิ ต่าสุดอยูท่ ่ี -1 องศาเซลเซียส หรือตารางคะแนนฟุตบอลแสดงผลตา่ งประตไู ดเ้ สีย เป็นตน้ -1 -1 -1 -1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 ภาพท่ี 2 เสน้ จานวน ที่มา : ปรฉิ ัตร ลลี ะวุฒกิ าญจน์, 2564 เม่อื พิจารณาจานวนทถี่ ดั จาก 0 ไปทางซา้ ย 1 หนว่ ย คือ จานวนเตม็ ลบ -1 ซึ่งมคี า่ น้อยกวา่ 0 อยู่ 1 และจาก -1 ไปทางซา้ ยค่าจะลดลงทลี ะ 1 เรอ่ื ย ๆ ตามลาดบั โดยไมม่ ีทสี่ ิ้นสุด จานวนเตม็ สามารถเขียนแสดงบนเสน้ จานวนได้ดังนี้ จานวนเตม็ ลบ ศูนย์ จานวนเตม็ บวก -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ภาพที่ 3 เส้นจานวนแสดงจานวนเต็ม ท่มี า : ปรฉิ ตั ร ลีละวฒุ ิกาญจน์,2564

จานวนเต็มจาแนกเป็น 3 ประเภทดงั นี้ จานวนเตม็ บวก เป็นจานวนที่เรมิ่ จาก 1 และจานวนถัดไปมคี ่าเพมิ่ ขน้ึ ทลี ะ 1 ไปเรื่อย ๆ ไม่มีท่ี สิน้ สดุ จานวนเตม็ บวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,... (จดุ สามจดุ หมายถึงไปเรือ่ ย ๆ ไมม่ ีที่สน้ิ สุด) จานวนเตม็ บวกอาจเรยี กวา่ จานวนนับ หรอื จานวนธรรมชาติ ศูนย์ เปน็ จานวนที่นบั ลดจาก 1 ไป 1 จานวน ไดแ้ ก่ 0 จานวนเตม็ ลบ เป็นจานวนที่นับลดลงจาก 0 ทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด จานวนเต็มลบ ไดแ้ ก่ -1, -2, 3, 4, 5,... จานวนเต็มสามารถแสดงดว้ ยแผนผงั ไดด้ งั น้ี จานวนเตม็ จานวนเตม็ ลบ ศูนย์ จานวนเตม็ บวก ภาพท่ี 4 แผนผังแสดงจานวนเต็ม ทม่ี า : ปริฉตั ร ลลี ะวุฒิกาญจน์, 2564 ดงั นัน้ จานวนเต็ม จาแนกเปน็ 3 ประเภท คอื 1. จานวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,… 2. จานวนเต็มศนู ย์ ไดแ้ ก่ 0 3. จานวนเตม็ ลบ ไดแ้ ก่ -1, -2, -3, -4, -5,…

-168 และ 24 เปน็ จานวนเต็มไหม ? 4 เพราะ -168 = -3 และ 24 = 6 4 ซ่ึง -3 เป็นจานวนเต็มลบ และ 6 เป็นจานวนเตม็ บวก -168 24 ดงั น้นั และ 4 จงึ เป็นจานวนเต็ม จานวนทไี่ มเ่ ป็นจานวนเต็ม เช่น 0.1, 0.5, 23, −51, −5 เปน็ ตน้ 9

การเปรยี บเทียบจานวนเต็ม การเปรยี บเทยี บจานวนเตม็ สามารถเปรียบเทียบจากเส้นจานวนได้ดังน้ี -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ภาพที่ 5 เสน้ จานวน ที่มา : ปริฉัตร ลลี ะวฒุ กิ าญจน์, 2564 จากเสน้ จานวนจะพบวา่ จานวนเตม็ ที่อยทู่ างขวาจะมากกวา่ จานวนเตม็ ทีอ่ ยู่ ทางซา้ ยเสมอ และจานวนเต็มท่ีอยทู่ างขวาของศูนยจ์ ะมีค่าเพ่ิมขึน้ ทลี ะ 1 ไปเร่ือยๆ ส่วน จานวนเต็มทอ่ี ยู่ทางซา้ ยของศูนยจ์ ะมีค่าลดลงทีละ1 ไปเรือ่ ย ๆ สัญลักษณ์แสดงการเปรียบเทยี บจานวนเต็ม = แทน เทา่ กับ ≠ แทน ไมเ่ ทา่ กับ > แทน มากกว่า < แทน นอ้ ยกว่า เชน่ เปรยี บเทยี บ 1 กบั -5 บนเสน้ จานวน -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ภาพที่ 6 เสน้ จานวน ทีม่ า : ปริฉัตร ลีละวุฒิกาญจน์, 2564 จะเห็นได้ว่า 1 อยทู่ างขวาของ -5 ดังนั้น 1 มากกว่า -5 เขยี นแทนด้วย 1 > -5 และ -5 อยทู่ างซา้ ยของ 1 ดงั นัน้ -5 นอ้ ยกว่า 1 เขียนแทนด้วย -5 < 1

การบวกจานวนเตม็ การบวกจานวนเตม็ บวกด้วยจานวนเต็มบวก ทาไดเ้ ชน่ เดียวกบั การ บวกจานวนนบั ด้วยจานวนนบั ซงึ่ สามารถใช้เสน้ จานวนแสดงการหาผลบวก โดยวิธกี ารนบั ต่อไปทางขวาได้ดงั นี้ ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลบวก 4+2 วิธที า เร่มิ ตน้ ท่ี 0 แลว้ นบั ไปทางขวาถงึ 4 และเมื่อบวกดว้ ย 2 ใหน้ บั ต่อไป ทางขวาอกี 2 หน่วย ซึ่งจะไปส้ินสุดที่ 6 ดังนี้ ภาพที่ 7 การบวกจานวนเตม็ บวกด้วยจานวนเต็มบวกโดยใช้เสน้ จานวน ท่มี า : สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี 2561 ดงั นัน้ 4+2 = 6 ตอบ 6 การบวกจานวนเตม็ ลบด้วยจานวนเตม็ ลบ สามารถใชเ้ ส้นจานวน แสดงการหาผลบวกโดยใชว้ ิธกี ารนบั ต่อไปทางซา้ ย ได้ดังนี้ ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาผลบวก (-2)+(-4) วธิ ที า เรม่ิ ต้นท่ี 0 แลว้ นับไปทางซา้ ยถึง -2 และเม่ือบวกดว้ ย -4 ใหน้ บั ต่อไป ทางซา้ ยอกี 4 หนว่ ย ซึ่งจะไปส้ินสดุ ที่ -6 ดงั น้ี ภาพท่ี 8 การบวกจานวนเตม็ ลบดว้ ยจานวนเต็มลบโดยใชเ้ สน้ จานวน ที่มา : สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2561 ดงั น้นั (-2)+(-4) ตอบ -6

การบวกกนั ของจานวนเต็มบวกกบั จานวนเตม็ ลบ สามารถใช้เสน้ จานวนแสดงการหาผลบวก โดยใช้การนับแบบย้อนทศิ ทางกัน ไดด้ งั น้ี ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลบวก (-6)+6 วธิ ที า เรม่ิ ต้นท่ี 0 แลว้ นับไปทางซ้ายถึง -6 และเมอ่ื บวกดว้ ย 6 ใหน้ ับไปทางขวา 6 หนว่ ย ซ่ึงจะไปสิ้นสุดที่ 0 ดังนี้ ภาพท่ี 9 การบวกจานวนเตม็ บวกกบั จานวนเต็มลบโดยใช้เส้นจานวน ที่มา : สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2561 ดังนนั้ (-6)+6 = 0 ตอบ 0 การบวกจานวนเตม็ ใด ๆ กับศูนย์ จะไดผ้ ลบวกนั้นเปน็ จานวนเต็มน้นั โดยสามารถใชเ้ สน้ จานวนแสดงการหาผลบวกไดด้ งั นี้ ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลบวก (-6)+0 วิธที า เร่มิ ตน้ ท่ี 0 ให้นบั ไปทางซา้ ยถึง -6 และเมอื่ บวกดว้ ยศนู ย์ หมายถึง ไม่ต้อง นบั ตอ่ จึงส้ินสุดที่ -6 ดงั น้ี ภาพท่ี 10 การบวกจานวนเต็มบวกกบั ศนู ย์โดยใช้เสน้ จานวน ทม่ี า : สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2561 ดงั นน้ั (-6)+0 = -6 ตอบ -6

การบวกจานวนเตม็ โดยใช้คา่ สัมบูรณ์ ค่าสมั บูรณ์ (absolute value) ของจานวนเต็มจานวนหนึง่ คือระยะที่ จานวนเต็มนัน้ อยหู่ า่ งจาก0 บนเส้นจานวน เช่น จากแผนภาพ ภาพที่ 11 แผนภาพแสดงคา่ สัมบูรณบ์ นเส้นจานวน ท่ีมา : สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2561 จะเห็นได้ว่า 5 อยู่ห่างจาก 0 เปน็ ระยะ 5 หน่วย จึงกลา่ วได้วา่ ค่าสัมบูรณข์ อง 5 เทา่ กับ 5 ภาพท่ี 12 แผนภาพแสดงค่าสัมบรู ณ์บนเส้นจานวน ทม่ี า : สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2561 จะเห็นได้ว่า -4 อย่หู ่างจาก 0 เปน็ ระยะ 4 หน่วย จึงกล่าวได้วา่ ค่าสมั บรู ณ์ของ -4 เทา่ กับ 4 ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาผลบวก (-26) + 14 คา่ สัมบรู ณข์ อง -26 เทา่ กับ 26 วิธที า (-26) + 14 = -(26 – 14) ค่าสมั บรู ณ์ของ 14 เท่ากบั 14 เนื่องจาก 26 > 14 ดงั นั้น -26 + 14 = -12 จะมีผลบวกเป็นจานวนเตม็ ลบ ตอบ -12

การลบจานวนเตม็ จานวนตรงขา้ ม คอื จานวนเตม็ อกี จานวนหนึ่ง โดยท่จี านวนเตม็ ท้ังสองนอ้ี ยู่ หา่ งจากศูนย์บนเส้นจานวนเป็นระยะเท่ากัน พิจารณา 3 และ -3 ซ่งึ เปน็ จานวนเตม็ ที่มคี า่ สมั บรู ณเ์ ท่ากนั คอื 3 แสดงได้ ดังแผนภาพต่อไปน้ี ภาพที่ 13 แผนภาพแสดงจานวนตรงขา้ มบนเสน้ จานวน ท่ีมา : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2561 จะเห็นว่ายังมีจานวนเต็มบวกและจานวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันอี กหลายคู่ เช่น 5 และ 5 8 และ -8 ซึ่งจานวนเต็มบวกและจานวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน เหล่านจ้ี ะอยูค่ นละขา้ งของ 0 บนเส้นจานวนและอยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะทีเ่ ท่ากัน ในทางคณิตศาสตรเ์ รยี กจานวนเหลา่ นี้ว่าเปน็ จานวนตรงขา้ มของกันและกนั เช่น เรยี ก -3 ว่าเปน็ จานวนตรงขา้ มของ 3 และเรยี ก 3 ว่าเปน็ จานวนตรงข้ามของ -3 เมือ่ a เปน็ จานวนเต็มใด ๆ จานวนตรงขา้ มของ a เขยี นแทนดว้ ย –a และ a+(-a) = 0 = (-a)+a

ในการลบจานวนเตม็ ลบจะเขยี นการลบให้อยูใ่ นรูปของการบวก แลว้ จงึ หาผลบวกของจานวนเตม็ การเขยี นการลบให้อยใู่ นรูปของการบวก อาศยั ขอ้ ตกลงดังนี้ ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จานวนตรงขา้ มของตวั ลบ นั่นคอื a –b = a + (-b) เม่อื a และ bเป็นจานวนเตม็ ใดๆ ตัวอย่างท่ี 6 จงหาผลลบ 8 – 12 8 -12 คอื 8 บวก วธิ ีทา 8 – 12 = 8 + (-12) จานวนตรงขา้ มของ 12 = -4 ตอบ -4 ตัวอย่างท่ี 7 จงหาผลลบ (-11) – 6 วธิ ีทา (-11) – 6 = (-11) + (-6) = -17 ตอบ -17

ศึกษาเพมิ่ เติมได้ท่ี https://www.youtube.com/watch?v=n8UWaASdJ2Q&list= TLPQMTcwODIwMjGGP_6ce_xZRw&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=sjDPqatLAoE&list= TLPQMTcwODIwMjGGP_6ce_xZRw&index=2 https://www.youtube.com/watch?v=63G79ImQEJI&t=12s