Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore แคลคูลัส

แคลคูลัส

Published by onair.2531, 2020-06-14 06:22:06

Description: แคลคูลัส

Search

Read the Text Version

แคลคูลสั 6 Jun 2017

สารบญั ลมิ ิตของฟังก์ชนั ....................................................................................................................................................................... 1 ลมิ ติ ทางซ้าย – ลมิ ติ ทางขวา ................................................................................................................................................... 6 การหาลมิ ติ จากกราฟ............................................................................................................................................................ 12 ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั ..................................................................................................................................................... 14 อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ .................................................................................................................................................. 21 อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ............................................................................................................................................ 22 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ............................................................................................................................................................... 24 กฎลกู โซ่................................................................................................................................................................................. 30 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั แฝง......................................................................................................................................................... 33 อนพุ นั ธ์อนั ดบั สงู ................................................................................................................................................................... 35 ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง ................................................................................................................................................ 38 กฎของโลปิตาล ..................................................................................................................................................................... 40 ความชนั เส้นโค้ง .................................................................................................................................................................... 42 ฟังก์ชนั เพิ่ม – ฟังก์ชนั ลด....................................................................................................................................................... 46 คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ ...................................................................................................................................................................... 48 ปฏิยานพุ นั ธ์........................................................................................................................................................................... 56 อนิ ทิกรัลจากดั เขต................................................................................................................................................................. 63 พนื ้ ที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง.................................................................................................................................................... 73 พนื ้ ทร่ี ะหวา่ งเส้นโค้ง.............................................................................................................................................................. 79

แคลคลู สั 1 ลมิ ติ ของฟังก์ชนั lim ������(������) อา่ นวา่ “ลมิ ติ ของ ������(������) เมือ่ ������ เข้าใกล้ ������” หมายถงึ คา่ ประมาณของ ������(������) เมื่อ ������ ประมาณ ������ xa เช่น ถ้า ������(������) = 2������ + 5 จะเหน็ วา่ เมือ่ ������ ประมาณ 4 จะได้ ������(������) ประมาณ (2 × 4) + 5 = 13 ดงั นนั ้ lim 2������ + 5 = 13 x4 “ลมิ ิตของฟังก์ชนั ” จะใช้สญั ลกั ษณ์คล้ายๆกบั “ลมิ ิตของลาดบั ” ตา่ งกนั ที่ในเร่ืองนจี ้ ะใช้ ������ → ������ แทนที่จะเป็น ������ → ∞ และในเรื่องนี ้������ จะเป็นจานวนจริงอะไรก็ได้ ไมต่ ้องเป็นจานวนเตม็ บวกเหมอื น ������ ในเร่ืองลาดบั อนนั ต์ จะเหน็ วา่ วธิ ีหา lim ������(������) แบบงา่ ยๆก็คอื ให้แทน ������ = ������ ลงไปนน่ั เอง คา่ ของ ������(������) เม่ือ ������ = ������ xa เชน่ lim 2������ − 7 = (2 × 1) − 7 = −5 แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������(������) x 1 lim ������2 − 2������ + 3 = (−3)2 − 2(−3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 x  3 lim 2������ + 3 = 2−1 + 3 = 1+3 = 7 2 x  1 2 เวลาทเ่ี ราหา lim ������(������) เราจะลองแทน ������ = ������ กอ่ นเป็นอนั ดบั แรกดงั ตวั อยา่ งข้างบน xa แตก่ ็อาจจะมบี างกรณี ที่เราไมส่ ามารถคานวณ ������(������) ได้ ซง่ึ ได้แก่กรณีท่ีเกิดการหารด้วยศนู ย์ขนึ ้ ในกรณีนี ้จะมวี ธิ ีตอบคา่ ลมิ ติ ดงั ตอ่ ไปนี ้  ถ้าตวั ตงั้ ไมเ่ ป็นศนู ย์ แตต่ วั หารเป็นศนู ย์ ตอบได้ทนั ทีวา่ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ xa เช่น lim 2 = หาคา่ ไมไ่ ด้ lim ������ = หาคา่ ไมไ่ ด้ ������ 1+������ x0 x  1 lim ������+2 = หาคา่ ไมไ่ ด้ lim ������−1 = หาคา่ ไมไ่ ด้ ������−1 ������2−������−2 x 1 x2  ถ้าตวั ตงั้ เป็นศนู ย์ แตต่ วั หารไมเ่ ป็นศนู ย์ ตอบได้ทนั ทวี า่ lim ������(������) = 0 xa เชน่ lim ������−1 = 0 = 0 ������2+2������+2 5 x 1  ถ้าตวั ตงั้ เป็นศนู ย์ แล้วตวั หารกเ็ ป็นศนู ย์ด้วย ต้องเปลยี่ นรูป ������(������) ใหมก่ อ่ น เปา้ หมายของการเปลย่ี นรูป ������(������) คอื เพ่ือให้เกิดการตดั กนั ของ ������ − ������ จากนนั้ คอ่ ยลองแทน ������ ลงไปใหม่ การเปลยี่ นรูป ������(������) จะใช้การแยกตวั ประกอบ หรือไมก่ ็ใช้คอนจเู กตคณู คอนจเู กต หรือ สงั ยคุ หมายถึง เทอมที่ตวั หน้ากบั ตวั หลงั เหมอื นเดิม แตเ่ ปลีย่ นเครื่องหมายตรงกลางเป็นตรงข้าม เชน่ คอนจเู กตของ √������ + 2 คอื √������ − 2 คอนจเู กตของ √5 − √������ คอื √5 + √������ เวลาเอาคอนจเู กตเข้าไปคณู จะทาให้เข้าสตู ร (น + ล)(น − ล) = น2 − ล2 ได้เสมอ

2 แคลคลู สั ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim ������2−3������+2 x2 2������2+������−10 วธิ ีทา กอ่ นอ่ืนลองแทน 2 ลงไปดกู ่อน จะได้ 22−3×2+2 = 4−6+2 = 0 2×22+2−10 8+2−10 0 แปลวา่ ต้องเปลย่ี นรูป ������2−3������+2 ใหม่ ให้เกิดการตดั กนั ของ ������ − 2 ก่อน แล้วคอ่ ยลองแทน 2 ลงไปใหม่ 2������2+������−10 ������2−3������+2 จะเหน็ วา่ เราสามารถแยกตวั ประกอบ เพ่อื ให้ ������ − 2 โผลม่ าตดั กนั ได้ 2������2+������−10 = (������−2)(������−1) = ������−1 (������−2)(2������+5) 2������+5 พอ ������ − 2 ตดั กนั แล้ว แทน 2 ดใู หม่ จะได้ 2−1 = 1 2×2+5 9 ������2−3������+2 ดงั นนั้ lim 2������2+������−10 = 1 # 9 x2 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim 3−������ x3 ������3−27 วธิ ีทา ถ้าลองแทน 3 ลงไป จะได้ 0 ดงั นนั้ ต้องเปลย่ี นรูปใหม่ ให้เกิดการตดั กนั ของ ������ − 3 ก่อน 0 ตวั เศษ จดั รูป 3 − ������ ใหม่ ได้เป็น – (������ − 3) ตวั สว่ น ใช้สตู รแยกตวั ประกอบ ������3 − 27 เป็น (������ − 3)(������2 + 3������ + 9) ดงั นนั ้ 3−������ = −(������−3) = −1 น2 − ล2 = (น + ล)(น − ล) ������3−27 (������−3)(������2+3������+9) ������2+3������+9 น3 − ล3 = (น − ล)(น2 + นล + ล2) น3 + ล3 = (น + ล)(น2 − นล + ล2) แทนคา่ 3 ดใู หม่ จะได้ −1 = − 1 9+9+9 27 3−������ −1 ดงั นนั้ lim ������3−27 = # 27 x3 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim ������2−5������+4 √������−1 x 1 วธิ ีทา ถ้าลองแทน 1 ลงไป จะได้ 0 แปลวา่ ต้องเปลยี่ นรูปใหม่ ให้เกิดการตดั กนั ของ ������ −1 ก่อน 0 ใช้วธิ ีแยกตวั ประกอบก็ ต้องคณู ทงั้ เศษและสว่ น ตวั นีไ้ มต่ ้องกระจายเข้าไป เพราะ จะมี ������ −1 โผลอ่ อกมา เพอ่ื ให้คา่ เหมอื นเดมิ เดยี๋ วก็เอา 1 ไปแทน ������ แล้ว ������2−5������+4 = (������−1)(������−4) ∙ √������+1 = (������−1)(������−4)(√������+1) = (������−1)(������−4)(√������+1) = (������ − 4)(√������ + 1) √������−1 √������−1 √������+1 (√������)2−12 ������−1 ตวั นีแ้ ยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ เข้าสตู ร น2 − ล2 ������ − 1 โผลแ่ ล้ว สว่ นใหญ่พวกตดิ รูท มกั ต้องใช้คอนจเู กทคณู หลงั จากตดั ������ − 1 ได้แล้ว จึงลองแทน ������ = 1 ดใู หม่ จะได้ (1 − 4)(√1 + 1) = −3 × 2 = −6 # ดงั นนั ้ lim ������2−5������+4 = −6 x  1 √������−1

แคลคลู สั 3 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim √������+2−1 √������+5−2 x  1 วธิ ีทา ถ้าลองแทน −1 ลงไป จะได้ 0 แปลวา่ ต้องเปลยี่ นรูปใหม่ ให้เกิดการตดั กนั ของ ������ − (−1) หรือ ������ + 1 กอ่ น 0 ข้อนี ้ติดรูททงั้ ตวั เศษและตวั สว่ น ต้องเอาคอนจเู กตของทงั้ ตวั เศษและตวั สว่ นมาคณู √������+2−1 = √������+2−1 ∙ √������+2+1 ∙ √������+5+2 = (√������+22−12)(√������+5+2) = (������+2−1)(√������+5+2) = (������+1)(√������+5+2) √������+5−2 √������+5−2 √������+2+1 √������+5+2 (√������+52−22)(√������+2+1) (������+5−4)(√������+2+1) (������+1)(√������+2+1) = √������+5+2 √������+2+1 แทน −1 ดใู หม่ จะได้ √−1+5+2 = 2+2 = 4 = 2 √−1+2+1 1+1 2 ดงั นนั้ lim √������+2−1 = 2 # √������+5−2 x  1 แบบฝึกหดั 2. lim ������2−������ 1. จงหาคา่ ลมิ ติ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ x  1 ������−1 1. lim 2������2 − ������ x2 3. lim ������+1 4. lim ������+1 x0 ������2−������ x  1 ������2−1 5. lim ������2−3������+2 6. lim ������2+3������−4 x2 ������2−4������+4 x 1 1−������

4 แคลคลู สั 7. lim ������2−√������ x 1 √������−1 2. lim (1−1 ������ − 2−3���1���+������2) มคี า่ เทา่ ใด [A-NET 50/2-5] x 1 3. จงหาคา่ ของ lim ������ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/40] 3√������+8+3√������−8 x0

แคลคลู สั 5 4. จงหาคา่ ของ lim (cot3 ������−1) cosec2 ������ [PAT 1 (มี.ค. 55)/40] x 1+cos 2������−2 sin2 ������ 4 5. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจริงบวก สอดคล้องกบั lim |5������+1|−|5������−1| = 80 x0 √������+������−√������ คา่ ของ ������2 + ������ + 58 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/17]

6 แคลคลู สั ลมิ ติ ทางซ้าย – ลมิ ติ ทางขวา จากหวั ข้อที่แล้ว lim ������(������) หมายถึง คา่ ประมาณของ ������(������) เมือ่ ������ ประมาณ ������ xa คาวา่ “������ ประมาณ ������” จะเหมารวมทงั้ กรณี “������ น้อยกวา่ ������ นิดๆ” และกรณี “������ มากกวา่ ������ นดิ ๆ” ทผ่ี า่ นมา เราไมต่ ้องกงั วลเรื่องนี ้เพราะ ไมว่ า่ ������ น้อยกวา่ ������ นดิ ๆ หรือ ������ มากกวา่ ������ นิดๆ ก็ใช้ ������(������) สตู รเดยี วกนั แตเ่ ราจะมปี ัญหา ถ้า ������(������) เกิดมหี ลายสตู ร และกรณี ������ น้อยกวา่ ������ นดิ ๆ ดนั ใช้คนละสตู รกบั กรณี ������ มากกวา่ ������ นดิ ๆ ในกรณีนี ้เราต้องหาคา่ ประมาณของ ������(������) ออกมา “ทงั้ สองกรณี” แล้วมาเทยี บกนั ถ้าเทา่ กนั ถงึ จะเอาไปตอบได้ เราจะมีสญั ลกั ษณ์ใหม่ คือ ������ → ������− กบั ������ → ������+ ดงั นี ้  lim ������(������) อา่ นวา่ “ลมิ ติ ของ ������(������) เมื่อ ������ เข้าใกล้ ������ ทางด้านซ้าย” x  a หมายถงึ คา่ ประมาณของ ������(������) เม่อื ������ น้อยกวา่ ������ นดิ ๆ  lim ������(������) อา่ นวา่ “ลมิ ิตของ ������(������) เมือ่ ������ เข้าใกล้ ������ ทางด้านขวา” x  a หมายถึง คา่ ประมาณของ ������(������) เม่ือ ������ มากกวา่ ������ นดิ ๆ ในกรณีท่ี ������ → ������− กบั ������ → ������+ อยใู่ นโดเมนของ ������ ถ้าตวั ใดตวั หนง่ึ ในสองตวั นีห้ าคา่ ไมไ่ ด้ หรือ ทงั้ สองตวั หาได้ไม่ เทา่ กนั เราจะกลา่ ววา่ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ แตถ่ ้าสองตวั นหี ้ าคา่ ได้ และได้คา่ เทา่ กนั จงึ จะนาไปเป็นคาตอบได้ xa ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = {������ + 2 เมอื่ ������ ≥ 1 จงหา lim ������(������) เมอ่ื ������ < 1 x 1 ������2 วธิ ีทา จะเห็นวา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → 1− กบั กรณี ������ → 1+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ติ ซ้ายขวา lim ������(������) = lim ������2 = 12 = 1 x  1 x  1 lim ������(������) = lim ������ + 2 = 1 + 2 = 3 x  1 x  1 จะเหน็ วา่ ลมิ ติ ทงั้ สองข้างไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ # x 1 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = {������ + 2 เมื่อ ������ ≥ −1 จงหา lim ������(������) เมื่อ ������ < −1 x  1 ������2 วิธีทา จะเห็นวา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → −1− กบั กรณี ������ → −1+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ิตซ้ายขวา lim ������(������) = (−1)2 = 1 x  1 lim ������(������) = (−1) + 2 = 1 # x  1 ลมิ ิตทงั้ สองข้างเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) = 1 x  1 หมายเหต:ุ เราจะแยกหาลมิ ติ ซ้ายขวา เฉพาะเมอื่ ������(������) มีหลายสตู ร และใช้คนละสตู รกนั เมอ่ื ������ น้อยกวา่ ������ นิดๆกบั เมือ่ ������ มากกวา่ ������ นดิ ๆ แตถ่ ้า ������(������) ไมม่ กี ารแบง่ กรณีเป็นหลายๆสตู ร ก็แทน ������ ลงไปใน ������ เหมือนหวั ข้อทีแ่ ล้วได้เลย

แคลคลู สั 7 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = ������2 + 1 เมอ่ื ������ ≥ −1 จงหา lim ������(������) { ������+2 เมอื่ ������ < −1 x  1 ������+1 วิธีทา จะเห็นวา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → −1− กบั กรณี ������ → −1+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ติ ซ้ายขวา lim ������(������) = −1+2 = 1 = หาคา่ ไมไ่ ด้ −1+1 0 x  1 ถ้าลมิ ิตทางซ้ายหาคา่ ไมไ่ ด้ ก็ไมต่ ้องหาลมิ ติ ทางขวาตอ่ แล้ว ตอบได้ทนั ทวี า่ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ # x  1 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = {������2 + 2������ เม่ือ ������ ≥ 0 จงหา lim ������(������) เม่ือ ������ < 0 x  1 ������2 วธิ ีทา ข้อนจี ้ ะเหน็ วา่ ������(������) มสี องสตู รก็จริง แต่ ������ → −1− กบั ������ → −1+ ใช้สตู รเดยี วกนั คอื ������(������) = ������2 ดงั นนั้ ข้อนไี ้ มต่ ้องแยกหาลมิ ติ ซ้ายขวา แตแ่ ทน ������ = −1 ใน ������(������) = ������2 ได้เลย นนั่ คอื lim ������(������) = (−1)2 = 1 # x  1 ������2+2������ เมือ่ ������ ≥ 0 จงหา lim ������(������) ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = { ������2 ������2 เมือ่ ������ < 0 x0 วธิ ีทา จะเหน็ วา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → 0− กบั กรณี ������ → 0+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ิตซ้ายขวา lim ������(������) = 02 = 0 x  0 lim ������(������) = lim ������(������+2) = lim ������+2 = 2 = หาคา่ ไมไ่ ด้ ������2 ������ 0 x  0 x  0 x  0 ดงั นนั ้ lim ������(������) = หาคา่ ไมไ่ ด้ # x0 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = |������| จงหา lim ������(������) ������ x0 วิธีทา ข้อนี ้������(������) มสี ตู รเดียวก็จริง แตถ่ ้าพิจารณาดีๆจะพบวา่ จริงๆแล้วเครื่องหมายคา่ สมั บรู ณ์ ประกอบด้วยสองสตู ร คือ |������| = { ������ เมื่อ ������ ≥ 0 เมื่อ ������ < 0 −������ ������ เมือ่ ������ ≥ 0 เมอ่ื ������ < 0 ดงั นนั ้ เขยี น ������(������) ได้ใหมเ่ ป็น ������(������) = {−������������ ������ จะเห็นวา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → 0− กบั กรณี ������ → 0+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ิตซ้ายขวา lim ������(������) = lim −������ = lim −1 = −1 ������ x  0 x  0 x  0 lim ������(������) = lim ������ = lim 1 = 1 ������ x  0 x  0 x  0 จะเห็นวา่ ลมิ ติ ทงั้ สองข้างไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ # x0

8 แคลคลู สั ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = |������−1| จงหา lim ������(������) ������ x 1 วิธีทา จากสตู รของคา่ สมั บรู ณ์ จะได้ |������ − 1| = { ������ − 1 เมื่อ ������ − 1 ≥ 0 เมอื่ ������ − 1 < 0 −(������ − 1) ������−1 เม่อื ������ ≥ 1 เม่ือ ������ < 1 ดงั นนั ้ ������(������) = {−(������������−1) ������ จะเหน็ วา่ ������(������) ใช้คนละสตู รกนั ในกรณี ������ → 1− กบั กรณี ������ → 1+ ดงั นนั้ ต้องแยกหาลมิ ิตซ้ายขวา lim ������(������) = −(1−1) = 0 1 x  1 lim ������(������) = 1−1 = 0 1 x  1 ลมิ ิตทงั้ สองข้างเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) = 0 # x 1 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = √������2−1 จงหา lim ������(������) ������2+������ x  1 วธิ ีทา ข้อนี ้������(������) มสี ตู รเดยี วก็จริง แตถ่ ้าพิจารณาดๆี จะพบวา่ √������2 = |������| เม่ือ ������ ≥ 0 ������−1 เมือ่ ������ ≥ 0 เมื่อ ������ < 0 เมอ่ื ������ < 0 เนือ่ งจาก |������| = { ������ ดงั นนั้ ������(������) = |������|−1 = {−������2������+−���1��� ������2+������ −������ ������2+������ ข้อนถี ้ าม ������ → −1 แตจ่ ะเห็นวา่ กรณี ������ → −1− กบั ������ → −1+ ก็เข้ากรณี ������ < 0 ใช้สตู รลา่ ง เหมือนกนั ดงั นนั้ ข้อนใี ้ ช้ ������(������) = −������−1 มาคดิ ลมิ ติ ������ → −1 ได้เลย ไมต่ ้องแยกหาลมิ ิตซ้ายขวา ������2+������ จะเหน็ วา่ แทนแล้วได้ 0 ต้องจดั รูปให้ ������ − (−1) มาตดั กนั ก่อน จะได้ −������−1 = −(������+1) = −1 0 ������2+������ ������(������+1) ������ แทน ������ = −1 จะได้ lim ������(������) = −1 = 1 # x  1 −1 แบบฝึกหดั เมื่อ ������ ≥ 1 1. จงหาคา่ lim ������(������) เม่อื ������(������) = {2������ + 1 เม่ือ ������ < 1 x  1 4������ − 1 2. จงหาคา่ lim ������(������) เม่อื ������(������) = { 2 − ������ เม่ือ ������ ≥ 0 เมื่อ ������ < 0 x  0 3������ + 1

แคลคลู สั 9 3. จงหาคา่ lim ������(������) เมือ่ ������(������) = {������ + 2 เมือ่ ������ ≥ 3 x  1 ������ − 1 เมือ่ ������ < 3 4. ������2−3������+2 เมอื่ ������ ≥ 2 จงหาคา่ lim ������(������) เมือ่ ������(������) = { 2−������ x  2 2������ − 3 เม่อื ������ < 2 ������2−16 เมือ่ ������ ≥ 4 5. จงหาคา่ lim ������(������) เมื่อ ������(������) = { √������−2 x  4 7������ + 4 เมอ่ื ������ < 4 6. จงหาคา่ lim ������(������) เมื่อ ������(������) = |������−1| ������2−1 x 1 7. จงหาคา่ lim ������(������) เม่อื ������(������) = |������−2| ������2−3������+2 x  2

10 แคลคลู สั 8. จงหาคา่ lim ������(1 + ������) เมอ่ื ������(������) = { ������2 เมอื่ ������ ≥ 1 x  0 2������ + 1 เม่อื ������ < 1 9. คา่ ของ lim 1 (1 − ������22���+���31) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/13] √1−������ x 1 10. คา่ ของ lim √������3+������2+������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/18] ������2 x0 11. คา่ ของ lim |1+������−2������2| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/21] √������+3−2 x 1

แคลคลู สั 11 12. คา่ ของ lim |������2−������−2| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 59)/42] 2−3√������2+4 x2 ������2 เมอ่ื ������ < 0 13. กาหนดให้ ������(������) = {2������ − 1 เมื่อ 0 ≤ ������ < 1 3������ เมอ่ื ������ > 1 คา่ ของ lim ������(������2) + lim ������(1 − ������) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-17] x  0 x  0

12 แคลคลู สั การหาลมิ ติ จากกราฟ หวั ข้อทผี่ า่ นมา เป็นการหาลมิ ติ จากสมการฟังก์ชนั ในหวั ข้อนี ้เราจะฝึกการอา่ นกราฟ โดยใช้หลกั ง่ายๆก็คอื ให้อา่ นคา่ ������(������) จากคา่ ������ ปกติ เรามกั ต้องอา่ นกราฟเพอื่ หาคา่ 4 คา่ ดงั ตอ่ ไปนี ้ ������(������) , lim ������(������) , lim ������(������) , lim ������(������) x  a x  a xa คา่ ������ ตรงที่ คา่ ������ ตรงแถวๆท่ี ������ คา่ ������ ตรงแถวๆท่ี ������ จะมคี า่ เม่อื ลิมติ ซ้าย น้อยกวา่ ������ นิดๆ มากกวา่ ������ นิดๆ ขวามีคา่ เทา่ กนั ������ = ������ เช่น Y ตรงที่ ������ = 1 จะเหน็ วา่ ������ = 4 ดงั นนั ้ ������(1) = 4 4 เมอ่ื ������ < 1 นิดๆ จะเห็นวา่ ������ ก็ประมาณ 4 ดงั นนั ้ lim ������(������) = 4 1X x  1 เมอ่ื ������ > 1 นดิ ๆ จะเห็นวา่ ������ ก็ประมาณ 4 ดงั นนั ้ lim ������(������) = 4 x  1 เนือ่ งจากลมิ ติ ซ้ายขวาเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) = 4 x 1 Y ตรงท่ี ������ = 1 จะเห็นวา่ ������ = 2 ดงั นนั ้ ������(1) = 2 2 เมอ่ื ������ < 1 นิดๆ จะเห็นวา่ กราฟพงุ่ ขนึ ้ อยา่ งไมม่ ขี อบเขต จงึ หาคา่ ������ ไมไ่ ด้ 1 ดงั นนั ้ lim ������(������) = หาคา่ ไมไ่ ด้ x  1 เมื่อ ������ > 1 นดิ ๆ จะเห็นวา่ ������ ประมาณ 2 ดงั นนั ้ lim ������(������) = 2 X x  1 เนื่องจากลมิ ติ ทางซ้ายหาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ lim ������(������) = หาคา่ ไมไ่ ด้ x 1 Y X ตรงท่ี ������ = 2 จะเห็นวา่ มจี ดุ ดาๆอยตู่ รง ������ = 4 ดงั นนั้ ������(2) = 4 เมอื่ ������ < 2 นดิ ๆ จะเหน็ วา่ มีเส้นกราฟอยทู่ ี่ ������ = 1 ดงั นนั้ lim ������(������) = 1 4 3 x  2 1 เม่อื ������ > 2 นิดๆ จะเห็นวา่ มีเส้นกราฟอยทู่ ่ี ������ = 3 ดงั นนั้ lim ������(������) = 3 2 x  2 เนื่องจากลมิ ติ ซ้ายขวาไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) = หาคา่ ไมไ่ ด้ x2

แคลคลู สั 13 แบบฝึกหดั ������(2) = 1. จงเตมิ คาในช่องวา่ ง lim ������(������) = 1. x  2 Y lim ������(������) = 1 x  2 X 2 lim ������(������) = 2. Y x2 4 ������(1) = lim ������(������) = X 1 x  1 3. lim ������(������) = Y x  1 3 1 lim ������(������) = 2X x 1 4. Y ������(2) = lim ������(������) = 1 X x  2 lim ������(������) = x  2 lim ������(������) = x2 ������(0) = lim ������(������) = x  0 lim ������(������) = x  0 lim ������(������) = x0

14 แคลคลู สั ความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชนั เราจะกลา่ ววา่ “ฟังก์ชนั ������(������) ตอ่ เนือ่ งที่ ������ = ������” เมือ่ ������(������) = lim ������(������) xa ถ้าแยกคดิ ลมิ ติ ซ้ายขวา lim ������(������) จะมีคา่ เทา่ กบั lim ������(������) และ lim ������(������) xa x  a x  a ดงั นนั ้ ฟังก์ชนั ������(������) ตอ่ เนื่องที่ ������ = ������ เมอ่ื lim ������(������) = ������(������) = lim ������(������) x  a x  a คา่ ของ ������(������) เมือ่ คา่ ของ ������(������) คา่ ของ ������(������) เมอ่ื ������ น้อยกวา่ ������ นิดๆ ตรงจดุ ������ = ������ ������ มากกวา่ ������ นิดๆ ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = 2������ + 5 จงพิจารณาวา่ ������(������) ตอ่ เน่ืองท่ี ������ = 1 หรือไม่ # วธิ ีทา ต้องเช็ควา่ ������(1) กบั lim ������(������) เทา่ กนั หรือไม่ x 1 เนื่องจาก ������(1) = 2 × 1 + 5 = 7 และ lim ������(������) = 2 × 1 + 5 = 7 เทา่ กนั x 1 ดงั นนั ้ ������(������) ตอ่ เนอ่ื งท่ี ������ = 1 ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = ������2+������ จงพิจารณาวา่ ������(������) ตอ่ เนือ่ งท่ี ������ = 0 หรือไม่ ������ วธิ ีทา ต้องเช็ควา่ ������(0) กบั lim ������(������) เทา่ กนั หรือไม่ x0 จะเหน็ วา่ ������(0) = 02+0 = หาคา่ ไมไ่ ด้ จบเลย ไมต่ ้องหา lim ������(������) แล้ว 0 x0 สรุปได้ทนั ทีวา่ ������(������) ไมต่ อ่ เนือ่ งที่ ������ = 0 # ������2−������−2 เมอ่ื ������ > 2 จงพิจารณาวา่ ������(������) ตอ่ เนอ่ื งที่ ������ = 2 หรือไม่ ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = { ������−2 2������ − 1 เม่อื ������ ≤ 2 วธิ ีทา ต้องเช็ควา่ ������(2) กบั lim ������(������) เทา่ กนั หรือไม่ x2 จะได้ ������(2) = 2 × 2 − 1 = 3 แตจ่ ะหา lim ������(������) ต้องคดิ ลมิ ิตซ้ายขวา เพราะ ������(������) ใช้คนละสตู ร x2 lim ������(������) = 2 × 2 − 1 = 3 x  2 lim ������(������) = 22−2−2 = 0 ดงั นนั้ ต้องเปลย่ี นรูปให้ ������ − 2 มาตดั กนั กอ่ น 2−2 0 x  2 เนื่องจาก ������2−������−2 = (������−2)(������+1) = ������ + 1 ดงั นนั้ lim ������(������) = 2+1 = 3 ������−2 ������−2 x  2 ลมิ ิตซ้ายขวาเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ������(������) = 3 x2 จะเหน็ วา่ ������(2) = lim ������(������) = 3 ดงั นนั ้ ������(������) ตอ่ เนอ่ื งที่ ������ = 2 # x2

แคลคลู สั 15 ในกรณีท่ีโจทย์มาเป็นรูปกราฟ จะทาแบบเดมิ ก็ได้ คอื เช็ควา่ ������(������) = lim ������(������) ไหม xa เพียงแตค่ ราวนตี ้ ้องหา ������(������) , lim ������(������) , lim ������(������) จากกราฟ x  a x  a หรือจะดวู า่ เส้นกราฟขาด หรือไมก่ ็ได้ ถ้าเขียนกราฟแล้วต้องยกดนิ สอตรง ������ = ������ แปลวา่ ตรง ������ = ������ ไมต่ อ่ เนอื่ ง ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ������(������) ตามรูป จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ตอ่ เนอ่ื งที่ ������ = 2 หรือไม่ 4 2 2 วธิ ีทา ต้องเช็ควา่ ������(2) กบั lim ������(������) เทา่ กนั หรือไม่ แตค่ ราวนตี ้ ้องหาจากรูปกราฟ x2 จากกราฟ จะได้ ������(2) = 4 แต่ lim ������(������) = lim ������(������) = 2 ไมเ่ ทา่ กนั x  2 x  2 ดงั นนั้ ������(������) ไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี ������ = 2 # ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ������(������) ตามรูป จงพิจารณาวา่ ������(������) ตอ่ เน่อื งท่ี ������ = 1 หรือไม่ 2 # 1 วิธีทา จากกราฟ จะได้ ������(1) = 2 แตจ่ ะเห็นวา่ lim ������(������) หาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ������(������) ไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี ������ = 1 x  1 ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ������(������) ตามรูป จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ตอ่ เน่ืองท่ีตรงไหนบ้าง 3 36 วธิ ีทา ท่ี ������ = 0 ตอ่ เนอ่ื ง เพราะ ������(0) = 3 = lim ������(������) = lim ������(������) x  0 x  0 ที่ ������ = 3 ไมต่ อ่ เนอื่ ง เพราะ ������(3) หาคา่ ไมไ่ ด้ ที่ ������ = 6 ไมต่ อ่ เน่อื ง เพราะ ������(6) หาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั ้ ������(������) ตอ่ เน่อื งเม่ือ ������ ∈ (−∞, 3) ∪ (3, 6) ∪ (6, ∞) #

16 แคลคลู สั แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������(������) = ������2 + 1 จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ตอ่ เน่ืองทคี่ า่ ������ ตอ่ ไปนหี ้ รือไม่ 1. ������ = 0 2. ������ = −1 2. กาหนดให้ ������(������) = ������2+������−2 จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ตอ่ เนื่องทค่ี า่ ������ ตอ่ ไปนหี ้ รือไม่ ������−1 1. ������ = −1 2. ������ = 1 3. กาหนดให้ ������(������) = 2 เม่อื ������ ≥ −1 จงพิจารณาวา่ ������(������) ตอ่ เนอ่ื งทค่ี า่ ������ ตอ่ ไปนหี ้ รือไม่ { 1−������2 เมอื่ ������ < −1 1. ������ = −1 ������+1 2. ������ = 0 4. กาหนดให้ ������(������) = |������| จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ตอ่ เน่อื งที่คา่ ������ ตอ่ ไปนหี ้ รือไม่ ������ 1. ������ = −1 2. ������ = 0 5. กาหนดให้ ������(������) = ������ เม่ือ ������ = 1 จงหาคา่ ������ ที่ทาให้ ������(������) ตอ่ เนอื่ งท่ี ������ = 1 { ������2−������ เมอ่ื ������ ≠ 1 ������−1

แคลคลู สั 17 ������ + ������ เมอื่ ������ > 1 6. จงหาคา่ ������ และ ������ ทีท่ าให้ ������(������) = { 2������ − 1 เม่อื ������ = 1 เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื ง ������������ − ������ เมอ่ื ������ < 1 7. ฟังก์ชนั ในข้อใดบ้างท่ีตอ่ เน่ืองท่ี ������ = 1 2. 1. 1 1 4. 3. 1 1 8. ������−3 เมอื่ ������ ≠ 3 โดยท่ี ������ เป็นจานวนจริง กาหนดให้ ������(������) = {√2������+10−√������+13 ������ เมื่อ ������ = 3 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องทจี่ ดุ ������ = 3 แล้ว ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/44]

18 แคลคลู สั 9. 2������−8 , ������ < 4 โดยท่ี ������ เป็นจานวนจริง ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งที่จดุ ������ = 4 กาหนดให้ ������(������) = {2������−√4������������2���−��� 3������+12 , ������ ≥ 4 3 แล้ว ������(������ + 1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/38] −������ + ������ , ������ ≤ −2 10. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั นยิ ามโดย ������(������) = { − 2 ������ + ������ , −2 < ������ < 3 5 ������2 − 6������ + 11 , ������ > 3 เม่ือ ������, ������ เป็นจานวนจริง ถ้าฟังก์ชนั ������ มีความตอ่ เนอื่ งท่ี ������ = −2 และ lim ������(������) หาคา่ ได้ x3 แล้วคา่ ของ |������ + 5������| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/17] 11. กาหนดให้ ������, ������ เป็นจานวนจริง และ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ นิยามโดย (������ − 1)2 + 1 เม่อื ������ < 0 ������(������) = {������3 + ������������ + ������ เมอ่ื 0 ≤ ������ ≤ 1 ������ − ������ เม่ือ ������ > 1 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องบนช่วง [−2, 2] แล้ว ������ (1) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-20] 2

แคลคลู สั 19 |������3−1| , −1 < ������ < 1 12. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ ������(������) = {������������������−+1 ������ , 1 ≤ ������ < 5 5 , ������ ≥ 5 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง (−1, ∞) แล้วคา่ ของ ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/19] ������3−3������−2 , ������ < 2 , ������ = 2 13. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และ ������ เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ กาหนดโดย ������(������) = { ������−2 ������ − ������ ������2 + ������������ + 1 , ������ > 2 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนือ่ งบนเซตของจานวนจริงแล้ว คา่ ของ ������2 + ������2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/37] ������2 + ������������ + ������ , ������ < 2 14. ให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������(������) = { √������ − 1 , 2 ≤ ������ ≤ 5 ������������ + ������ , ������ > 5 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนเซตของจานวนจริง แล้ว ������ − ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/17]

20 แคลคลู สั ������2������ + 2������ , ������ < 0 15. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั นยิ ามโดย ������(������) = { ������ + ������ , ������ = 0 เม่อื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง √1+������������+5������2−1 , ������ > 0 ������ ถ้าฟังก์ชนั ������ มคี วามตอ่ เน่ืองที่ ������ = 0 แล้วคา่ ของ 15������ + 30������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/41] 16. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่อง ท่ี ������ = 1 และ ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ทกี่ าหนดโดย √������+3−2 เมอื่ ������ > 1 เมื่อ ������ ≤ 1 ������(������) = { √������−1 ������(������) |������|+7 ถ้าฟังก์ชนั ������ มีความตอ่ เนอ่ื งท่ี ������ = 1 แล้ว คา่ ของ (������ ∘ ������)(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/18]

แคลคลู สั 21 อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ในเรื่องนี ้เราจะเจอคาวา่ “อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ ������(������) เทยี บกบั ������ ในช่วง ������ = ������ ถงึ ������ = ������” ซงึ่ จะเป็นคา่ ที่บอกวา่ ������(������) เปลย่ี นไปขนาดไหน เทยี บกบั การเปลย่ี นไปของ ������ นน่ั คอื เราจะหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ นไี ้ ด้จากสตู ร ������(������)−������(������) (หรือจากสตู ร ������(������)−������(������) ก็ได้) ������−������ ������−������ หา่ งกนั ������ − ������ ������ ������(������) หา่ งกนั ������(������) − ������(������) ������ ������(������) ดงั นนั ้ ������(������) เปลย่ี นไป ������(������)−������(������) ������ ������(������) ������−������ เมือ่ เทยี บกบั ������ ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ ������(������) = ������2 − 2������ + 2 เมอ่ื ������ เปลยี่ นจาก 2 เป็น 5 # วิธีทา อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ = ������(5)−������(2) = (52−2∙5+2)−(22−2∙2+2) = 17−2 = 5 # 5−2 5−2 3 ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของพนื ้ ทวี่ งกลม เม่อื รัศมเี ปลย่ี นจาก 1 เป็น 4 วิธีทา ข้อนตี ้ ้องรู้เองวา่ สตู รพนื ้ ที่วงกลมทม่ี รี ัศมี ������ คือ ������������2 ดงั นนั ้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี = ������42−������12 = 16������−������ = 5������ 4−1 3 แบบฝึกหดั 2. ������(������) = √������ − 5 เม่อื ������ เปลย่ี นจาก 9 เป็น 14 1. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = 2������ − 3 เมือ่ ������ เปลยี่ นจาก 1 เป็น 8 3. พนื ้ ที่สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส เมอ่ื ความยาวด้านเปลย่ี น 4. ������(������) = ������2 เมื่อ ������ เปลย่ี นจาก ������ เป็น ������ + 1 จาก 2 เป็น 6

22 แคลคลู สั อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ หวั ข้อท่ีแล้ว อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี จะเป็นการคดิ จากจดุ ต้นกบั จดุ ปลาย 2 จดุ ซงึ่ คิดงา่ ย แตใ่ ช้อะไรไม่คอ่ ยได้ เพราะปกติเรามกั จะอยากรู้อตั ราการเปลย่ี นแปลงตรงจดุ ใดจดุ หนงึ่ แคจ่ ดุ เดียว ดงั นนั้ ในหวั ข้อนี ้เราจะพยายามหา “อตั ราการเปลยี่ นแปลง ขณะที่ ������ = ������” = ������(������+ℎ)−������(������) = ������(������+ℎ)−������(������) โดยเราจะหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ในชว่ ง ������ = ������ ถงึ ������ = ������ + ℎ กอ่ น (������+ℎ)−(������) ℎ แล้วคอ่ ยบบี ให้ ℎ เข้าใกล้ศนู ย์โดยใช้ความรู้เร่ืองลมิ ิตของฟังก์ชนั มาชว่ ย = lim ������(������+ℎ)−������(������) ℎ h0 แตป่ กติ เรามกั จะไมแ่ ทน ������ = ������ แตแ่ รก แตจ่ ะหา lim ������(������+ℎ)−������(������) แบบตดิ ตวั แปร ������ ไว้ก่อน ℎ h0 แล้วถ้าอยากได้อตั ราการเปลย่ี นแปลงท่ี ������ เทา่ กบั เทา่ ไหร่ คอ่ ยแทนเอาตอนท้าย สรุป อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ ������(������) เทียบกบั ������ ขณะ ������ ใดๆ คอื lim ������(������+ℎ)−������(������) ℎ h0 ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ ������(������) = 2������2 − ������ + 3 เทียบกบั ������ ขณะที่ ������ = 1 วธิ ีทา อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ = lim ������(������+ℎ)−������(������) = lim [2(������+ℎ)2−(������+ℎ)+3]−[2������2−������+3] ℎ ℎ h0 h0 = lim [2(������2+2������ℎ+ℎ2)−(������+ℎ)+3]−[2������2−������+3] ℎ h0 = lim 2������2+4������ℎ+2ℎ2−������−ℎ+3−2������2+������−3 ℎ h0 = lim 4������ℎ+2ℎ2−ℎ = lim 4������ + 2ℎ − 1 = 4������ − 1 ℎ h0 h0 ดงั นนั้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะท่ี ������ = 1 คอื (4)(1) − 1 = 3 # ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ ������(������) = 3 − 5������ เทียบกบั ������ ขณะท่ี ������ = 8 วธิ ีทา อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ = lim [3−5(������+ℎ)]−[3−5������] ℎ h0 = lim 3−5������−5ℎ−3+5������ ℎ h0 = lim −5ℎ = lim −5 = −5 ℎ h0 h0 ดงั นนั้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะท่ี ������ = 8 คือ −5 # ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงพนื ้ ที่รูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ ัส เทยี บกบั ความยาวด้าน ขณะทด่ี ้านของสเี่ หลยี่ มยาว 4 หนว่ ย วิธีทา ให้ ������ คือความยาวด้าน จะได้ พนื ้ ท่ี = ������2 ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงพนื ้ ทีข่ ณะใดๆ = lim (������+ℎ)2−������2 ℎ h0 = lim ������2+2������ℎ+ℎ2−������2 ℎ h0 = lim 2������ℎ+ℎ2 = lim 2������ + ℎ = 2������ ℎ h0 h0 ดงั นนั้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงพนื ้ ที่ขณะที่ด้านของสเ่ี หลย่ี มยาว 4 หนว่ ย = (2)(4) = 8 #

แคลคลู สั 23 แบบฝึกหดั 1. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ������(������) = 3 − 2������ − ������2 เทยี บกบั ������ ขณะท่ี 1. ������ = 1 2. ������ = 2 2. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของพนื ้ ทส่ี เ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส เทยี บกบั ความยาวด้าน ขณะที่ 1. ด้านยาว 2 หนว่ ย 2. ด้านยาว 6 หนว่ ย

24 แคลคลู สั อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั “อนพุ นั ธ์ของ ������(������) เทยี บกบั ������” หรือ “ด๊ฟิ ������(������)” แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������′(������) หรือ ������������(������) หรือ ������ ������(������) ������������ ������������ หมายถึง อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ ทเ่ี รียนในหวั ข้อท่ีแล้วนนั่ เอง บางทีเราสามารถใช้ ������ แทน ������(������) ได้ เชน่ “อนพุ นั ธ์ของ ������ เทียบกบั ������” ซงึ่ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������′ หรือ ������������ หรือ ������ ������ ������������ ������������ ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธ์ของ ������(������) เมือ่ กาหนดให้ ������(������) = 2������2 + 3 วิธีทา ทาแบบเดยี วกบั ตอนหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆในเร่ืองทแ่ี ล้ว เพียงแตใ่ ช้สญั ลกั ษณ์ ������′(������) ของเรื่องนี ้ ������ ′ (������) = lim ������(������+ℎ)−������(������) ℎ h0 = lim [2(������+ℎ)2+3]−[2������2+3] ℎ h0 = lim 2������ 2+4������ℎ+2ℎ2+3−2������2−3 ℎ h0 = lim 4������ℎ+2ℎ2 = lim 4������ + 2ℎ = 4������ ℎ h0 h0 จะได้คาตอบคือ ������′(������) = 4������ # หมายเหต:ุ ในตวั อยา่ งข้างบน เราสามารถพดู สนั้ ๆได้วา่ “ดฟิ๊ 2������2 + 3 ได้ 4������” ซง่ึ สามารถเขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ������ 2������ 2 +3 = 4������ ������������ อยา่ งไรก็ตาม เวลาทเ่ี ราหาอนพุ นั ธ์ ก็จะไมไ่ ด้ทาขนั้ ตอนยงุ่ ยากเหมอื นอยา่ งท่ีทาให้ดขู ้างบน แตเ่ ราจะมีสตู รหาแบบงา่ ยๆ คอื ������ ������������ ������ = ������������������������−1 และ ด๊ิฟ กระจายในบวกลบได้ ������������ เชน่ ������ 2������4 = 8������3 ������ 3������2 = 6������1 = 6������ ������������ ������������ ������ ������3 = 3������2 ������ 2 = ������ 2������0 = 0 (ดฟ๊ิ คา่ คงที่ ได้ 0 เสมอ) ������������ ������������ ������������ ������ 4������1/3 = 4 ������31−1 = 4 ������−32 ������ −2������5 = −10������4 ������������ 3 3 ������������ ������ 2������−3 = −6������−4 ������ (4) = ������ 4������−1 = −4������−2 = − 4 ������2 ������������ ������������ ������ ������������ ������ 5 3√������ = ������ 1 = 5 ������−32 ������ (− 6 ) = ������ (−6������−21) = 3������−23 ������������ ������������ 5������3 3 ������������ √������ ������������ ������ (2������2 − 3������ + 5) = ������ 2������2 − ������ 3������ + ������ 5 ������������ ������������ ������������ ������������ = 4������ − 3 ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ ของ ������(������) = ������3 − 4������ ขณะท่ี ������ = 1 # วธิ ีทา ข้อนี ้จะใช้สตู รการหาอนพุ นั ธ์มาช่วยหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ จะได้ ������′(������) = 3������2 − 4 แทน ������ = 1 ลงไป จะได้ ������′(1) = 3(12) − 4 = −1 หมายเหต:ุ สญั ลกั ษณ์ ������′(1) หมายถงึ หาอนพุ นั ธ์ของ ������(������) ออกมาก่อน แล้วแทน ������ = 1 ลงไป

แคลคลู สั 25 เราสามารถดงึ “ตวั เลข” ท่ี คณู หาร อยู่ ออกมาไว้หน้าดิฟ๊ ได้ เช่น ������ (3)(������2 + 2������ + 4) = 3 ∙ ������ (������2 + 2������ + 4) ������������ ������������ แต่ ด๊ฟิ กระจายในคณู หาร หรือ ยกกาลงั ไมไ่ ด้ กลา่ วคือ ������ (2������ 2 )(3������ + 2) ≠ (4������)(3) ������������ แตจ่ ะมสี ตู รด๊ฟิ ผลคณู ผลหาร ดงั นี ้ ������ หน้า ∙ หลงั = หน้า ∙ ������ หลงั + หลงั ∙ ������ หน้า ������������ ������������ ������������ ������ (ลบา่ นง) = (ลา่ ง∙������������������บน)−(บน∙������������������ลา่ ง) ������������ ลา่ ง2 เชน่ ������ (2������2)(3������ + 2) = (2������2)(3) + (3������ + 2)(4������) ������ ( 2������2 ) = (3������+2)(4������)−(2������2)(3) ������������ (3������+2)2 ������������ 3������+2 = 6������2 + 12������2 + 8������ = 12������2+8������−6������2 (3������+2)2 = 18������2 + 8������ 6������2+8������ = (3������+2)2 ตวั อยา่ ง จงหา ������ (2������ + 5)2 ������������ วธิ ีทา เน่อื งจากดฟิ๊ กระจายในการยกกาลงั ไมไ่ ด้ ทาให้เราไมส่ ามารถหา ������ 2������ + 5 ก่อน แล้วคอ่ ยยกกาลงั สองได้ ������������ ข้อนตี ้ ้องกระจาย (2������ + 5)2 ออกมาในรูปการบวกกอ่ น แล้วคอ่ ยดฟ๊ิ ดงั นี ้ ������ (2������ + 5)2 = ������ 4������2 + 20������ + 25 ������������ ������������ = 8������ + 20 หรือจะใช้สตู รด๊ิฟผลคณู ก็ได้ ดงั นี ้ ������ (2������ + 5)2 = ������ (2������ + 5)(2������ + 5) ������������ ������������ # = (2������ + 5)(2) + (2������ + 5)(2) = 4������ + 10 + 4������ + 10 = 8������ + 20 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(1) = 2 , ������′(1) = 3 ถ้า ������(������) = (2������ − 1)������(������) แล้ว จงหาคา่ ของ ������′(1) # วิธีทา จะเหน็ วา่ ������(������) เกดิ จากการคณู กนั ระหวา่ ง 2������ − 1 กบั ������(������) ดงั นนั ้ เราสามารถใช้สตู รดิ๊ฟผลคณู กบั ������(������) จะได้ ������′(������) = (2������ − 1)������′(������) + ������(������)(2) ดงั นนั ้ ������′(1) = (2 ∙ 1 − 1)������′(1) + ������(1)(2) = ( 1 )( 3 ) + (2)(2) = 7 แบบฝึกหดั 2. ������(������) = 3������4 − ������2 + ������ 1. จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = ������2 + 2������ + 5 3. ������(������) = 1 − ������ + ������2 − ������3 4. ������(������) = √������ + 2

26 แคลคลู สั 6. ������(������) = √������(������ − 2) 5. ������(������) = ������√������ − ������ 7. ������(������) = 1 ������√������ 2. จงใช้สตู รดฟ๊ิ ผลคณู ผลหาร เพอ่ื หาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = (2������ + 1)(������ − 2) 2. ������(������) = (������2 + 1)(2������ − 3) 3. ������(������) = 1 4. ������(������) = ������−1 ������2+2 ������+1 3. กาหนดให้ ������(������) = ������������2 − ������������ + 1 ถ้า ������′(1) = 2 แล้ว จงหาคา่ ของ ������′(2) ������(2) 4. กาหนดให้ ������(0) = 1 , ������′(0) = 2 ถ้า ������(������ ) = (������2+������−1) แล้ว จงหาคา่ ของ ������′(0) ������(������)

แคลคลู สั 27 5. กาหนดให้ ������(1) = 1 , ������′(1) = 2 , ������(1) = 3 , ������′(1) = 4 ถ้า ℎ(������) = ������(������)������(������) − ������(������) แล้ว จงหาคา่ ������(������) ของ ℎ′(1) 6. ถ้า ������(������) เป็นพหนุ ามดกี รีสาม ซงึ่ มี 1, 2, 3 เป็นคาตอบของสมการ ������(������) = 0 และ ������(4) = 5 แล้ว ������′(1) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-18] 1. − 6 2. − 5 3. 4 4. 5 7 6 5 3 7. ถ้า ������, ������ และ ℎ สอดคล้องกบั ������(1) = ������(1) = ℎ(1) = 1 และ ������′(1) = ������′(1) = ℎ′(1) = 2 แล้วคา่ ของ (������������ + ℎ)′(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/33]

28 แคลคลู สั 8. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : ℝ → ℝ , ������ : ℝ → ℝ และ ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������(������) = ������ + 1 สาหรับทกุ ������ ∈ ℝ ������(������(������)) = ������2 + 2������ − 1 สาหรับทกุ ������ ∈ ℝ และ ������(������) = lim (������(������+ℎ))2−(������(������))2 สาหรับทกุ ������ ∈ ℝ คา่ ของ (������������)(1) เทา่ กบั เทา่ ใด ℎ h0 [PAT 1 (พ.ย. 57)/44] 9. กาหนดให้ ������(������) = ������������2 + ������√������ เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริงท่ี ������ ≠ 0 ถ้า 2������′(1) = ������(1) แล้ว ������(4) มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-18] ������′(9) ������ + ������ − 4 , ������ ≤ ������ 10. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ ������(������) = {������2 + ������������ + ������ , ������ < ������ ≤ ������ เมอื่ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง 2������������ − ������ , ������ > ������ และ ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนเซตของจานวนจริง ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (มี.ค. 59)/17] 1. (������ ∘ ������)(������ − ������) = ������ − ������ 2. ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) 3. ������′(������(2)) = ������(������′(2))

แคลคลู สั 29 11. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่อง ท่นี ยิ ามโดย ������(������) = {������������2 + ������ เมื่อ ������ ≥ 0 ������3 + 1 เมื่อ ������ < 0 ถ้า ������′(1) = 4 แล้ว (������ ∘ ������) (− 3√12) มคี า่ เทา่ ใด [A-NET 51/2-9] 12. ถ้า ������ ′ (������) = 1 (1 + 1 3) แล้วคา่ ของ lim ������(1+ℎ)−������(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/34] 2 √������ ������(4+ℎ)−������(4) √������ h0 13. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : R → R , ������ : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������(������) = ������������+1 เมอื่ ������ เป็นจานวนจริง ������(������) = (������2 + 1)������′(������) และ ℎ(������) = {������(������) เมื่อ ������ ≥ 2 ������2+1 ������(������) เม่ือ ������ < 2 ถ้าฟังก์ชนั ℎ ตอ่ เน่อื งท่ี ������ = 2 แล้ว คา่ ของ 2ℎ(−2) − ℎ(2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/17]

30 แคลคลู สั กฎลกู โซ่ จากตวั อยา่ งข้างบน จะเห็นวา่ การหา ������ (2������ + 5)2 คอ่ นข้างลาบาก เพราะ ต้องกระจายกาลงั สองออกมาก่อน ������������ ยง่ิ ถ้าจะหา ������ (2������ + 5)10 ยิง่ ลาบาก เพราะคราวนตี ้ ้องกระจายกาลงั 10 ������������ ทาแบบนไี ้ ด้ไหม ก่อนอืน่ เปลยี่ นตวั แปรกอ่ น โดยให้ ������ = 2������ + 5 ก่อน ดงั นนั้ (2������ + 5)10 จะกลายเป็น ������10 จากนนั ้ ดฟิ๊ ������10 จะได้ 10������9 แล้วคอ่ ยเปลย่ี นตวั แปรกลบั เป็น 10(2������ + 5)9 คาตอบคือ “ไมไ่ ด้” เพราะถ้าสงั เกตดีๆ ตอนท่ี ดิฟ๊ ������10 ได้ 10������9 นนั้ เป็นการดฟ๊ิ โดยใช้ ������ เป็นตวั แปร ดงั นนั้ คาตอบท่ไี ด้ 10(2������ + 5)9 เป็นคาตอบของคาถาม ������ (2������ + 5)10 ไมใ่ ช่คาถาม ������ (2������ + 5)10 ������������ ������������ ในหวั ข้อนจี ้ ะพดู ถงึ กฎลกู โซ่ ทีจ่ ะชว่ ยให้เปลยี่ นตวั แปรในการดฟ๊ิ ได้ ดงั นี ้ ������������ = ������������ ∙ ������������ ������������ ������������ ������������ ถ้าจะเปลย่ี นตวั แปร ต้องดฟ๊ิ ตวั ของเดมิ ดิ๊ฟเทียบกบั ������ เปลยี่ นตวั แปรเป็นด๊ฟิ แปรใหมเ่ ทียบกบั ������ คณู ไปด้วย เทยี บกบั ������ แทน จะเห็นวา่ ถ้าเราเปลยี่ นตวั แปรในการดฟ๊ิ เราจะต้องคณู ด้วย “ด๊ิฟตวั แปรใหม”่ เพิม่ เข้าไปด้วย ดงั นนั้ ������ (2������ + 5)10 = ������ (2������ + 5)10 ∙ ������ (2������ + 5) ������(2������+5) ������������ ������������ = 10(2������ + 5)9 ∙ (2) บางคนเรียกตวั นวี ้ า่ “ดิ๊ฟไส้” = 20(2������ + 5)9 ตวั อยา่ งการใช้กฎลกู โซ่ เช่น ������ (2������2 − 3������ + 5)4 = 4(2������2 − 3������ + 5)3 ∙ (4������ − 3) ������������ ������ √3������ −2 = 1 (3������ − 2)−21 ∙ (3) = 3 (3������ − 2)−12 ������������ 2 2 ������ (3√������12+2) = ������ (������2 + 2)−13 = − 1 (������2 + 2)−43 ∙ (2������) ������������ ������������ 3 ������ ((������2 + 2)3 + 2(������2 + 2)2 − 2) = (3(������2 + 2)2 + 4(������2 + 2))(2������) ������������ ������ ((������5 + 3)2 + 2(������5 + 3) + 1)10 = 10((������5 + 3)2 + 2(������5 + 3) + 1)9(2(������5 + 3) + 2)(5������4) ������������ อยา่ งไรกต็ าม บางคน เรียกกฎลกู โซน่ วี ้ า่ การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั คอมโพสทิ (หรือเรียกวา่ ฟังก์ชนั ประกอบก็ได้) เนือ่ งจาก (2������ + 5)10 ในตวั อยา่ งกอ่ นหน้า สามารถแบง่ เป็น 2 สว่ นได้ คอื สว่ นของ 2������ + 5 กบั สว่ นการยกกาลงั 10 กลา่ วคอื ถ้าให้ ������(������) = 2������ + 5 และ ������(������) = ������10 จะได้ (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(2������ + 5) = (2������ + 5)10 ถ้าเขยี นกฎลกู โซใ่ นแบบฟังก์ชนั คอมโพสทิ ก็จะได้ (������ ∘ ������)′(������) = ������ ������(������(������)) ������������ = ������ ������(������(������)) ∙ ������ ������(������) ������(������(������)) ������������ ดฟิ๊ โดยใช้ ������(������) เป็นตวั แปร ดิฟ๊ ไส้

แคลคลู สั 31 โดยสตู รท่ีนิยมทอ่ งกนั คือ (������ ∘ ������)′(������) = ������′(������(������)) ∙ ������′(������) ดิ๊ฟโดยใช้ ������(������) เป็นตวั แปร ดฟิ๊ ไส้ สง่ิ ท่ีต้องระวงั เวลาใช้สตู รนี ้คือ เวลาหา ������′(������(������)) ให้ดิ๊ฟหา ������′(������) ก่อน แล้วคอ่ ยแทน ������ ด้วย ������(������) (เหมือนกบั เวลาหา ������′(3) ก็ต้องดิฟ๊ หา ������′(������) กอ่ น แลว่ คอ่ ยแทน ������ = 3 → ห้าม แทน ������ = 3 ก่อน คอ่ ยด๊ฟิ ) ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = 2������2 + 1 และ ������(������) = ������2 + 2������ + 5 จงหา (������ ∘ ������)′(������) # วธิ ีทา ใช้สตู ร (������ ∘ ������)′(������) = ������′(������(������)) ∙ ������′(������) หา ������′(������(������)) ต้องหา ������′(������) กอ่ น จะได้ 2������ + 2 แล้วคอ่ ยแทน ������ ด้วย ������(������) จะได้ ������′(������(������)) = 2������(������) + 2 = 2(2������2 + 1) + 2 = 4������2 + 4 และ ������′(������) = 4������ ดงั นนั ้ (������ ∘ ������)′(������) = (4������2 + 4)(4������) = 16������3 + 16������ แบบฝึกหดั 2. ������(������) = 1 1. จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี ้ ������2+2������−5 1. ������(������) = (2������3 + 1)100 3. ℎ(������) = √������2 + 3������ 4. ������(������) = (������2 + 2������)2 − 3(������2 + 2������) 2. กาหนดให้ ������(������) = ������4 + 3 และ ������(������) = √������ จงหา 1. (������ ∘ ������)′(������) 2. (������ ∘ ������)′(������)

32 แคลคลู สั 3. ให้ ������(������) = ������2 − 2������ − 1 และ (������ ∘ ������)(������) = ������3 − 2������ ถ้า ������(1) = 2 จงหา ������′(1) 4. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ และ ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 2 ������(������) = 3������3 , ������(1) = 8 และ ������′(1) = 2 คา่ ของ (������ ∘ ������)′(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/18] 3 5. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : R → R , ������ : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนั ทม่ี ีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั โดยท่ี ℎ(������) = ������2 + 4 , ������(������) = ℎ(������(������) − 1) และ ������′(1) = ������′(1) = 1 แล้วคา่ ของ ������(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/18] 6. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ และ ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั ท่ีหาอนพุ นั ธ์ได้ทกุ ������ ∈ ������ โดยที่ ������(������) = ������2 − 2������ + 5 , (������ ∘ ������)(������) = ������6 + 2������4 − 2������3 + ������2 − 2������ + 5 และ ������(0) = 0 คา่ ของ (������′ ∘ ������′)(1) + (������′ ∘ ������′)(0) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/42]

แคลคลู สั 33 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั แฝง ทผี่ า่ นมา ������(������) จะมาให้เราดิ๊ฟแบบจะๆ กลา่ วคอื จะมาในรูป ������(������) = “ก้อนท่ีจะดิ๊ฟ” แตใ่ นบางกรณี ������(������) อาจจะ “แฝง” มาในก้อนทจี่ ะดิ๊ฟได้ด้วย เช่น ������(������) = 2 − ������(������) − 4������2 ������(������) = (2������ − 1)������(������) + 2 ������(������) = √������(������) + 1 ������(������) = ������2 + ������3(������) ในกรณีแบบนี ้ถ้าจะด๊ิฟ อาจจดั รูปให้ ������(������) แยกไปอยเู่ ดย่ี วๆกอ่ น แล้วคอ่ ยดฟิ๊ เชน่ ������(������) = 2 − ������(������) − 4������2 ������(������) + ������(������) = 2 − 4������2 2������(������) = 2 − 4������2 ������(������) = 1 − 2������2 ������′(������) = −4������ จะเห็นวา่ วธิ ีนตี ้ ้องลาบากจดั รูป และอาจใช้ไมไ่ ด้กบั บางกรณี อีกวิธีหนง่ึ ทจี่ ะดิฟ๊ ������(������) ประเภทนไี ้ ด้โดยไมต่ ้องจดั รูปให้เสยี เวลา คอื ใช้วธิ ี “ลยุ ดิ๊ฟ” มนั ทงั้ อยา่ งนนั้ โดยเราจะดิฟ๊ ตลอดทงั้ สมการ และ “ใช้กฎลกู โซเ่ มอื่ ต้องดิ๊ฟพจน์ทม่ี ี ������(������)” ตวั อยา่ งการใช้กฎลกู โซเ่ พอื่ ดฟ๊ิ พจน์ท่ีมี ������(������) เชน่ ������(������(������))3 = 3(������(������))2 ∙ ������′(������) ������������ ด๊ิฟโดยใช้ ������(������) เป็นตวั แปร ดิ๊ฟไส้ อยา่ งไรก็ตาม โจทย์ประเภทนี ้มกั นิยมใช้ ������ แทน ������(������) เพราะเขยี นงา่ ยกวา่ ตวั อยา่ งการด๊ิฟพจน์ท่มี ี ������ เช่น ������������3 = 3������2 ∙ ������′ ������������ ������√������ = 1 (������)−21 ∙ ������′ = ������′ ������������ 2 2√������ ������ (1) = ������ (������−1) = −������−2 ∙ ������′ ������������ ������ ������������ ������ (������2 + ������ + 5)3 = 3(������2 + ������ + 5)2(2������ ∙ ������′ + ������′) ������������ ตวั อยา่ ง จงหา ������������ เม่ือกาหนดให้ ������2 + ������2 = 4 # ������������ # วิธีทา ด๊ิฟทงั้ สองข้างของสมการ จะได้ 2������ + 2������ ∙ ������′ = 0 ดงั นนั ้ ������′ = − 2������ = − ������ 2������ ������ ตวั อยา่ ง จงหา ������������ ที่จดุ (5, 0) เมื่อกาหนดให้ (2������2 + 5)2 = ������2 + 2������ ������������ วิธีทา ดิ๊ฟทงั้ สองข้างของสมการ: 2(2������2 + 5) ∙ (4������ ∙ ������′) = 2������ + 2������′ แทน ������ = 5 และ ������ = 0: 2(2 ∙ 02 + 5) ∙ (4 ∙ 0 ∙ ������′) = 2 ∙ 5 + 2������′ 0 = 10 + 2������′ ������′ = −5

34 แคลคลู สั แบบฝึกหดั 2. ������������ + ������ = 3������2 ณ จดุ (2, 4) 1. จงหา ������′ ณ จดุ ที่กาหนด ของความสมั พนั ธ์ดงั ตอ่ ไปนี ้ 1. √������ + √������ = ������ ณ จดุ (4, 4) 3. ������2 + ������������ = 3������2 − ������ ณ จดุ (1, 1)

แคลคลู สั 35 อนพุ นั ธ์อนั ดบั สงู ถ้าเราเอาผลด๊ิฟ มาดฟิ๊ ตอ่ ไปอีกเทย่ี ว จะได้ “อนพุ นั ธ์อนั ดบั สอง” เราจะแทนอนพุ นั ธ์อนั ดบั สองด้วยสญั ลกั ษณ์ ������ ′′(������) หรือ ������2������(������) หรือ ������2 ������(������) ������������2 ������������2 หรือ ������′′ หรือ ������2������ หรือ ������2 ������ ������������2 ������������2 ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธ์อนั ดบั 2 ของ ������(������) = ������4 − 2������3 + 3������2 − 2������ + 5 # # วิธีทา ������(������) = ������4 − 2������3 + 3������2 − 2������ + 5 ������′(������) = 4������3 − 6������2 + 6������ − 2 ������′′(������) = 12������2 − 12������ + 6 ทานองเดียวกนั ถ้าดฟ๊ิ ตอ่ ไปอีก จะเรียกวา่ อนพุ นั ธ์อนั ดบั สาม เราจะแทนอนพุ นั ธ์อนั ดบั สามด้วยสญั ลกั ษณ์ ������′′′(������) หรือ ������3������(������) หรือ ������3 ������(������) ������������3 ������������3 หรือ ������′′′ หรือ ������3������ หรือ ������3 ������ ������������3 ������������3 ทานองเดยี วกนั ถ้าด๊ฟิ ตอ่ ไปอีก จะเรียกวา่ อนพุ นั ธ์อนั ดบั ส่ี อนพุ นั ธ์อนั ดบั ที่ 4 ขนึ ้ ไป จะไมน่ ิยมใช้ ������′′′′(������) แตจ่ ะใช้ ������(4)(������) แทน อนพุ นั ธ์อนั ดบั ที่ ������ ก็คือการดิ๊ฟไป ������ เทยี่ ว แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ������(������)(������) หรือ ������������������(������) หรือ ������������ ������(������) ������������������ ������������������ หรือ ������(������) หรือ ������������������ หรือ ������������ ������ ������������������ ������������������ ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธ์อนั ดบั 4 ของ ������(������) = (2������ + 1)100 = 2 ∙ 100 ∙ (2������ + 1)99 วิธีทา ������′(������) = 100(2������ + 1)99 ∙ (2) ������′′(������) = 2 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2������ + 1)98 ∙ (2) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2������ + 1)98 ������′′′(������) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2������ + 1)97 ∙ (2) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2������ + 1)97 ������(4)(������) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97(2������ + 1)96 ∙ (2) = 24 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97 ∙ (2������ + 1)96 แบบฝึกหดั 1. จงหาอนพุ นั ธ์อนั ดบั 2 ของ ������(������) = ������3 + ������2 + ������ + 1 2. จงหาอนพุ นั ธ์อนั ดบั 3 ของ ������(������) = 1 ������

36 แคลคลู สั 3. กาหนดให้ ������(������) = 1 จงหาคา่ ของ ������ (4) (1) √2������−1 4. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยที่ ������(2������ + 1) = 4������2 + 14������ คา่ ของ ������ (������′(������′′(2553))) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/47] 5. กาหนดให้ ������(������) = 1 + ������ และ ������(������) = ������2 + ������ ถ้า (������ ∘ ������)(0) = 1 และ ������′′(−1) = 2 แล้ว (������)′ (������ + ������) ������ 2 ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-21]

แคลคลู สั 37 6. ให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั ท่สี อดคล้องกบั สมการ ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) + 3������2������ + 3������������2 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และ ������ และ lim ������(������) = 2 x0 ������ คา่ ของ ������′(1) + ������′′(5) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/35]

38 แคลคลู สั ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง หวั ข้อหลายๆหวั ข้อตอ่ ไปจะเป็นเรื่องของการนาอนพุ นั ธ์ไปใช้ประโยชน์ ถ้ายงั จาได้ อนพุ นั ธ์ ก็คอื อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ และในชีวิตคนเรา มกั ต้องพบกบั การเปลย่ี นแปลงหลายๆอยา่ ง ตวั อยา่ งการเปลยี่ นแปลงอยา่ งหนง่ึ ท่ีเราค้นุ กนั ดี ก็คือ ระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง “ความเร็ว” คอื อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ “ระยะทาง” เทยี บกบั เวลา เช่น ถ้า “เคลอื่ นที่ได้ระยะทางเพม่ิ ขนึ ้ 60 เมตรในทกุ ๆ 1 วนิ าที” จะเรียกวา่ “ขบั รถด้วยความเร็ว 60 เมตรตอ่ วนิ าที” ความเร็วจะเป็น 0 เม่ือวตั ถหุ ยดุ เคลอื่ น (เชน่ เมอ่ื โยนวตั ถขุ นึ ้ ฟา้ จดุ ท่วี ตั ถพุ งุ่ ขนึ ้ ไปได้สงู ทสี่ ดุ จะมีความเร็ว = 0) “ความเร่ง” คอื อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ “ความเร็ว” เทียบกบั เวลา เชน่ วินาทีแรก ขบั 5 เมตรตอ่ วนิ าที เช่น ถ้า “เคลอ่ื นทโ่ี ดยเพ่มิ ความเร็ว 10 เมตรตอ่ วินาที ในทกุ ๆ 1 วินาที” วินาทีตอ่ มา ขบั 15 เมตรตอ่ วนิ าที วนิ าทตี อ่ มาเป็น 25 เมตรตอ่ วินาที จะเรียกวา่ “ขบั รถด้วยความเร่ง 10 เมตรตอ่ วนิ าที ตอ่ วินาที” หรือ “10 เมตรตอ่ วินาทยี กกาลงั สอง” ความเร่งจะเป็น 0 เม่อื วตั ถไุ มเ่ ปลยี่ นความเร็ว (= เมอ่ื เคลอื่ นท่ีด้วยความเร็วคงท)ี่ สรุป ความเร็ว = ด๊ฟิ ระยะทาง ความเร่ง = ดิ๊ฟความเร็ว = ดฟิ๊ ระยะทางสองเทย่ี ว ในเรื่องนี ้จะใช้ตวั แปร ������ แทน ������ และใช้ ������(������) แทน ������(������) โดยที่ ������(������) หมายถงึ ระยะทาง ������(������) หมายถงึ ความเร็ว = ������′(������) ������(������) หมายถงึ ความเร่ง = ������′(������) = ������′′(������) ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = ������2 + 5������ − 2 จงหาความเร็ว และความเร่ง ณ เวลา ������ = 2 # วธิ ีทา หาความเร็วโดยการดิ๊ฟระยะทาง จะได้ ������(������) = ������′(������) = 2������ + 5 ดงั นนั ้ ที่ ������ = 2 จะได้ความเร็ว = 2(2) + 5 = 9 หาความเร่งโดยการด๊ิฟความเร็ว จะได้ ������(������) = ������′(������) = 2 จะเห็นวา่ ความเร่งเทา่ กบั 2 โดยไมข่ นึ ้ กบั ������ นน่ั คอื ท่ี ������ = 2 ก็จะได้ความเร่ง = 2 นนั่ คอื ณ เวลา ������ = 2 จะมีความเร็ว 9 และความเร่ง 2 ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = ������3 − 6������2 + 3������ + 15 จงหาระยะทาง และความเร็ว ขณะทคี่ วามเร่งเป็นศนู ย์ วิธีทา จะได้ ������(������) = 3������2 − 12������ + 3 ������(������) = 6������ −12 ขณะทค่ี วามเร่งเป็นศนู ย์ จะได้ ������(������) = 0 → 0 = 6������ −12 → ������ = 12 = 2 6 แทน ������ = 2 เพอื่ หา ระยะทางและความเร็ว ระยะทาง: ������(2) = 23 − 6(22) + 3(2) + 15 = 5 ความเร็ว: ������(2) = 3(22) − 12(2) + 3 = −9 #

แคลคลู สั 39 แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������(������) = ������3 − 2������2 + 3������ + 4 จงหาความเร็วและความเร่ง เมื่อ ������ = 2 2. กาหนดให้ ������(������) = 5������2 + 2������ − 3 จงหาความเร่ง ณ เวลา ������ = 1 3. โยนลกู บอลขนึ ้ ไปในอากาศ โดยลกู บอลเคลอ่ื นทด่ี ้วยสมการ ������(������) = 4������ − ������2 จงหาวา่ ลกู บอลเคลอ่ื นทไ่ี ด้สงู เทา่ ไหร่กอ่ นจะตกลงมา

40 แคลคลู สั กฎของโลปิตาล ประโยชน์อกี อยา่ งของอนพุ นั ธ์ คอื สามารถช่วยหา “ลมิ ติ ของฟังก์ชนั “ ได้ โดยเวลาหา lim ������(������) เราจะแทน ������ ลงไปใน ������(������) กอ่ น xa กรณีที่สร้างความลาบากให้เราทสี่ ดุ คอื กรณีท่ีแทนแล้วได้ 0 ซง่ึ ทาให้เราจดั รูปใหมเ่ พือ่ ให้ (������ − ������) โผลม่ าตดั กนั 0 แตด่ ้วยกฎของโลปิตาล จะชว่ ยให้เราหาลมิ ติ ในกรณี 0 ได้ง่ายขนึ ้ 0 กฎของโลปิตาลกลา่ ววา่ ในกรณที แ่ี ทน ������ ด้วย ������ แล้วได้ 0 ให้เรา “ดฟ๊ิ เศษ 1 ที และ ด๊ิฟสว่ น 1 ที แล้วคอ่ ยแทนใหม”่ 0 และถ้าแทนใหมแ่ ล้วยงั ได้ 0 อีก ก็ให้ด๊ฟิ เศษกบั สว่ นตอ่ ไปอีกที แล้วแทนใหม่ ทาเช่นนไี ้ ปเร่ือยๆจนกวา่ จะหลดุ จากกรณี 0 00 ตวั อยา่ ง จงหา lim ������2−3������+2 x2 2������2+������−10 วิธีทา แทน 2 ลงไปดู จะได้ 0 0 ใช้กฎของโลปิตาล ดฟิ๊ บน ได้ 2������ − 3 ดิ๊ฟลา่ ง ได้ 4������ + 1 ดงั นนั้ lim ������2−3������+2 = lim 2������−3 = 2∙2−3 = 1 # x2 2������2+������−10 4������+1 4∙2+1 9 x2 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim √������+2−1 √������+5−2 x  1 วธิ ีทา แทน −1 ลงไปดู จะได้ 0 0 ใช้กฎของโลปิตาล ดิฟ๊ บน ได้ 1 (������ + 2)−12 ∙ (1) = 1 (������ + 2)−12 22 ด๊ฟิ ลา่ ง ได้ 1 (������ + 5)−12 ∙ (1) = 1 (������ + 5)−12 22 21(������+2)−21 ดงั นนั้ lim √������+2−1 = lim 12(������+5)−21 = lim √������+5 = √4 = 2 # x  1 √������+5−2 √������+2 √1 x  1 x  1 หมายเหต:ุ กฎของโลปิตาล เป็นคนละเรื่องกบั การ “ด๊ฟิ ผลหาร” กฎของโลปิตาล จะใช้หา lim บน ในกรณีที่แทนแล้วได้ 0 โดยโลปิตาลบอกวา่ ให้ไปหา lim ดิ๊ฟบน แทน ลา่ ง 0 ด๊ิฟลา่ ง xa xa แตถ่ ้าเราจะหา ������ √������+2−1 จะยงั ต้องใช้สตู ร ������ (ลบา่ นง) = (ลา่ ง∙������������������บน)−(บน∙������������������ลา่ ง) จะหาจาก ดิ๊ฟบน ไมไ่ ด้ ������������ √������+5−2 ������������ ลา่ ง2 ด๊ิฟลา่ ง แบบฝึกหดั 1. จงหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนดี ้ ้วยกฎของโลปิตาล 1. lim 3������2+2������−1 2. lim ������2−5������+4 x  1 ������2−1 x  1 √������−1

แคลคลู สั 41 3. lim ������2−3������+2 4. lim ������3−3������+2 x2 ������2−4������+4 x 1 ������3−4������2+5������−2 2. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������: ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ทสี่ ามารถหาอนพุ นั ธ์ได้ และสอดคล้องกบั lim ������2+������−6 = 6 และ 1 + ������(������) ≥ 0 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ x2 √1+������(������)−3 ถ้าเส้นตรง 6������ − ������ = 4 ตดั กบั กราฟ ������ = ������(������) ท่ี ������ = 2 แล้วคา่ ของ ������′(2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/33] 3. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ ������(3) = 111 และ lim ������������(������)−333 = 2013 x3 ������−3 แล้วอตั ราการเปลย่ี นแปลงของ ������(������) เทยี บกบั ������ ขณะที่ ������ = 3 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/42]

42 แคลคลู สั ความชนั เส้นโค้ง “ความชนั เส้นโค้ง ������ = ������(������)” หมายถงึ ความชนั ของเส้นตรงท่ีลากมาสมั ผสั กราฟ ������ = ������(������) ณ จดุ ท่กี าหนด โดยความชนั ดงั กลา่ ว จะหาได้จากการแทนคา่ ������ ของจดุ ทตี่ ้องการลงไปใน ������′(������) สรุปคอื ความชนั = ������′(������) ตวั อยา่ ง จงหาความชนั ของเส้นสมั ผสั โค้ง ������ = ������2 ณ จดุ ������ = 1 ความชนั = ? 1 # # วธิ ีทา ดิฟ๊ หนงึ่ ที จะได้สมการความชนั คอื ������′ = 2������ ดงั นนั ้ ความชนั เส้นสมั ผสั โค้งท่ี ������ = 1 คอื ������′ = (2)(1) = 2 # ตวั อยา่ ง จงหาความชนั ของเส้นโค้ง ������ = (2������2 − 1)3 ท่ี ������ = −1 วธิ ีทา ดิ๊ฟหนง่ึ ที จะได้สมการความชนั คือ ������′ = 3(2������2 − 1)2(4������) ดงั นนั ้ ความชนั ท่ี ������ = −1 คอื ������′ = 3(2 ∙ (−1)2 − 1)2 ∙ (4 ∙ −1) = −12 ตวั อยา่ ง จงหาจดุ บนเส้นโค้ง ������ = ������3 − 6������2 + 2������ − 5 ท่ีมคี วามชนั เทา่ กบั 2 วิธีทา ดิ๊ฟหนง่ึ ที จะได้สมการความชนั คอื ������′ = 3������2 − 12������ + 2 ข้อนี ้ต้องหาวา่ ตรงไหนทม่ี ี ������′ = 2 นนั่ คือ ต้องแก้สมการ 2 = 3������2 − 12������ + 2 0 = 3������2 − 12������ 0 = 3������(������ − 4) ������ = 0 , 4 ถ้า ������ = 0 จะได้ ������ = 03 − 6 ∙ 02 + 2 ∙ 0 − 5 = −5 ถ้า ������ = 4 จะได้ ������ = 43 − 6 ∙ 42 + 2 ∙ 4 − 5 = −29 ดงั นนั้ จดุ บนเส้นโค้งท่มี คี วามชนั เทา่ กบั 2 คือ (0, −5) และ (4, −29) ในเรื่องนี ้เรามกั ต้องวาดรูปกราฟเพ่ือทาความเข้าใจสง่ิ ทโ่ี จทย์ถาม โดยความชนั แบบตา่ งๆ จะมคี วามหมายดงั นี ้ ชนั = 0 ชนั = +น้อยๆ ชนั = +1 ชนั = +มากๆ หาความชนั ไมไ่ ด้ ชนั = −น้อยๆ ชนั = −1 ชนั = −มากๆ

แคลคลู สั 43 โจทย์ในหวั ข้อนี ้มกั จะนาไปออกร่วมกบั ความรู้เร่ืองกราฟเส้นตรง ซงึ่ มีสตู รทค่ี วรทราบดงั นี ้ สมการกราฟเส้นตรง ที่มคี วามชนั เทา่ กบั ������ และตดั แกน Y ที่ ������ คือ ������ = ������������ + ������ สมการกราฟเส้นตรง ทม่ี คี วามชนั เทา่ กบั ������ และผา่ นจดุ (������, ������) คอื ������−������ = ������ ������−������ เส้นตรงทีข่ นานกนั จะมคี วามชนั เทา่ กนั เส้นตรงที่ตงั้ ฉากกนั จะมีความชนั คณู กนั ได้ −1 ตวั อยา่ ง จงหาสมการกราฟเส้นตรงทสี่ มั ผสั โค้ง ������ = ������2 ท่ี ������ = 1 สมการคอื ? 1 วิธีทา หาความชนั ของเส้นสมั ผสั กอ่ น โดยแทน ������ = 1 ใน ������′ = 2������ ได้ ความชนั = 2(1) = 2 จากโจทย์ จดุ สมั ผสั จะมพี กิ ดั ������ เป็น 1 ดงั นนั้ หาพกิ ดั ������ ได้โดยแทน ������ = 1 ในสมการโค้ง ������ = ������2 ได้ ������ = 1 ดงั นนั้ จะได้พกิ ดั ของจดุ สมั ผสั คอื (1, 1) จากสตู ร จะได้สมการกราฟเส้นตรงท่มี ีความชนั 2 และผา่ นจดุ (1, 1) คอื ������−1 = 2 ������−1 ������ − 1 = 2(������ − 1) ������ − 1 = 2������ − 2 ������ = 2������ − 1 นนั่ คอื สมการกราฟเส้นตรงทตี่ ้องการ คือ ������ = 2������ − 1 # ตวั อยา่ ง จงหาสมการเส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั กราฟ ������ = ������2 − 2������ + 5 ท่จี ดุ (0, 5) วธิ ีทา สมการความชนั คอื ������′ = 2������ − 2 ดงั นนั้ เส้นสมั ผสั กราฟที่ (0, 5) จะมคี วามชนั คือ (2)(0) − 2 = −2 เน่อื งจาก เส้นตรงที่ตงั้ ฉากกนั ต้องมคี วามชนั คณู กนั ได้ −1 ดงั นนั้ เส้นตรงทตี่ งั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั นี ้ต้องมคี วามชนั = 1 เพราะ – 2 × 1 = −1 22 1 ������−5 1 ������ จากสตู ร จะได้สมการเส้นตรงทมี่ คี วามชนั 2 และ ผา่ นจดุ (0, 5) คอื ������−0 = 2 ซง่ึ จดั รูปได้เป็น ������ = 2 + 5 ดงั นนั้ สมการเส้นตรงทตี่ ้องการ คอื ������ = ������ +5 # 2 แบบฝึกหดั 2. ������(������) = √������ + 1 เม่ือ ������ = 3 1. จงหาความชนั ของเส้นโค้ง ณ จดุ ที่กาหนด 1. ������(������) = ������2 − 2������ − 1 เมือ่ ������ = 0 2. จงหาสมการเส้นตรงทสี่ มั ผสั โค้ง ������ = 1 − ������2 ท่ี ������ = 1

44 แคลคลู สั 3. จงหาสมการเส้นตรงท่ีตงั้ ฉากกบั สมั ผสั โค้ง ������ = 1 ท่ี ������ = −2 ������ 4. กาหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง ������ = 3������4−2 เมอื่ ������ > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงที่สมั ผสั กบั เส้นโค้ง C ทจี่ ดุ (1, 1) ������3 ถ้าเส้นตรง L ตดั กบั พาราโบลา ������(������ − 1) = ������ − 1 ที่จดุ A และจดุ B แล้วระยะหา่ งระหวา่ งจดุ A และจดุ B เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/20] 5. เส้นตรงซงึ่ ตดั ตงั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั ของเส้นโค้ง ������ = 2������3 − 1 ท่จี ดุ ������ = 1 คือเส้นตรงในข้อใดตอ่ ไปนี ้ √������ [PAT 1 (ก.ค. 52)/34] 1. 13������ − 2������ − 11 = 0 2. 13������ + 2������ − 15 = 0 3. 2������ − 13������ + 11 = 0 4. 2������ + 13������ − 15 = 0

แคลคลู สั 45 6. กาหนดให้ ������ เป็นเส้นโค้ง ������ = 2 + ������|������ − 1| เม่ือ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า ������ เป็นเส้นตรงทส่ี มั ผสั กบั เส้นโค้ง ������ ท่ี จดุ (0, 2) และให้ ������ เป็นเส้นตรงท่ตี งั้ ฉากกบั เส้นตรง ������ ณ จดุ (0, 2) แล้วเส้นตรง ������ ผา่ นจดุ ในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (ต.ค. 58)/14] 1. (−1, 3) 2. (1, 5) 3. (−2, 5) 4. (3, −2) 5. (−3, 4) 7. กาหนดให้ ������ : R → R โดยท่ี 2 ������(������) = ������3 ถ้า N เป็นเส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั กราฟของ ������(������) ท่จี ดุ (������, ������(������)) , ������ > 0 และ N มีระยะตดั แกน ������ เทา่ กบั 5 หนว่ ย แล้ว ข้อใดเป็นพกิ ดั ของจดุ บนเส้นตรง N [PAT 1 (ธ.ค. 54)/17] 2 1. (−2, 7) 2. (−1, 4) 3. (2, −4) 4. (3, −5) 8. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจานวนจริง โดยทงั้ ������ และ ������ เป็นฟังก์ชนั ท่ี สามารถหาอนพุ นั ธ์ได้ และสอดคล้องกบั (������ ∘ ������)(������) = √������2 + 5 สาหรับทกุ ������ ทอ่ี ยใู่ นโดเมนของ ������ ∘ ������ และ ∫ ������(������) ������������ = ������2 − 4������ + ������ เมื่อ ������ เป็นคา่ คงตวั ถ้า ������ เป็นเส้นตรงทีส่ มั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ณ ������ = 0 แล้วเส้นตรง ������ ตงั้ ฉากกบั เส้นตรงที่มสี มการตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/16] 1. ������ + ������ − 3 = 0 2. 2������ + ������ − 7 = 0 3. 3������ + ������ − 5 = 0 4. 5������ + ������ − 2 = 0

46 แคลคลู สั ฟังก์ชนั เพ่ิม – ฟังก์ชนั ลด ถ้ายงั จาได้ ������′(������) ก็คือ อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ  ถ้า ������′(������) เป็นบวก แปลวา่ อตั ราการเปลย่ี นแปลงเป็นบวก หมายถึง ������(������) เปลยี่ นแบบเพิ่มขนึ ้ หมายความวา่ ������(������) เพิม่ ขนึ ้ เมือ่ ������ เพมิ่ ขนึ ้ และ ������(������) ลดลง เม่ือ ������ ลดลง ในกรณีนี ้เราจะเรียกวา่ ������(������) เป็น “ฟังก์ชนั เพิม่ ”  ถ้า ������′(������) เป็นลบ แปลวา่ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเป็นลบ หมายถึง ������(������) เปลย่ี นแบบลดลง หมายความวา่ ������(������) ลดลง เมอื่ ������ เพ่มิ ขนึ ้ และ ������(������) เพมิ่ ขนึ ้ เม่อื ������ ลดลง ในกรณีนี ้เราจะเรียกวา่ ������(������) เป็น “ฟังก์ชนั ลด” สรุป: ถ้าคา่ ������ ตรงไหนทท่ี าให้ ������′(������) เป็นบวก แปลวา่ ������(������) เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ ท่ีตรงนนั้ ถ้าคา่ ������ ตรงไหนทท่ี าให้ ������′(������) เป็นลบ แปลวา่ ������(������) เป็นฟังก์ชนั ลดท่ีตรงนนั้ สว่ นคา่ ������ ทที่ าให้ ������′(������) = 0 คอื จดุ เปลย่ี นสถานะของฟังก์ชนั ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = ������2 − 2������ จงพจิ ารณาวา่ ������(������) เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ หรือลด เมอ่ื ������ = 3 # วิธีทา จะได้ ������′(������) = 2������ − 2 ดงั นนั ้ ������′(3) = 2(3) − 2 = 4 เป็นบวก # ดงั นนั้ ������(������) เป็นฟังก์ชนั เพมิ่ ท่ี ������ = 3 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = ������3 − 3������2 − 9������ + 1 จงหาคา่ ������ ทีท่ าให้ ������(������) เป็นฟังก์ชนั ลด วิธีทา จะได้ ������′(������) = 3������2 − 6������ − 9 ดงั นนั ้ ������(������) จะเป็นฟังก์ชนั ลด เม่อื 3������2 − 6������ − 9 < 0 +−+ −1 3 ������2 − 2������ − 3 < 0 (������ − 3)(������ + 1) < 0 จะได้ ������(������) เป็นฟังก์ชนั ลด เมอื่ ������ ∈ (−1, 3) แบบฝึกหดั 1. จงพิจารณาวา่ ������(������) ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั เพิม่ หรือฟังก์ชนั ลด ณ คา่ ������ ทก่ี าหนด 1. ������(������) = 2������2 − 3������ + 5 เม่ือ ������ = 1 2. ������(������) = √������2 − ������ + 1 เม่อื ������ = 0 3. ������(������) = 1 เมอ่ื ������ = −1 4. ������(������) = (1 − 2������)100 เมอ่ื ������ = 1 ������2+������−2

แคลคลู สั 47 2. จงพจิ ารณาวา่ ������(������) ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เป็นฟังก์ชนั เพิ่มเมือ่ ������ มีคา่ อยใู่ นช่วงใด 1. ������(������) = ������2 − 6������ + 5 2. ������(������) = ������3 − 6������2 + 9������ + 6 3. กาหนดให้ ������(������) = ������4 − 3������2 + 7 ������ เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ บนเซตในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/33] 1. (−3, −2) ∪ (2, 3) 2. (−3, −2) ∪ (1, 2) 3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2) 4. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ ซงึ่ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจานวนจริง โดยท่ี ������−1(������) = 2������ สาหรับทกุ ������+1 สมาชิก ������ ในเรนจ์ของ ������ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ต.ค. 58)/15] 1. 2������′(4) − ������(4) = 3 2. ������′′(������(4)) = ������(������′′(4)) 3. ������ เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ บนชว่ ง (0, 2)

48 แคลคลู สั คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ ประโยชน์ของอนพุ นั ธ์ ทีด่ จู ะเป็นประโยชน์กบั เรามากกวา่ อนั อืน่ คอื การนาอนพุ นั ธ์ไปใช้หาคา่ สงู สดุ หรือ คา่ ตา่ สดุ ได้ โจทย์ท่ีจะเจอในเรื่องนี ้เชน่ กาหนด ������(������) = ������2 − 2������ + 5 แล้วถามวา่ ������(������) จะมีคา่ น้อยทสี่ ดุ ได้เทา่ กบั เทา่ ไหร่ สมมตวิ า่ เราไมเ่ คยเรียนเรื่องอนพุ นั ธ์มาก่อน เราอาจจะใช้แรง ลยุ แทน ������ ด้วยคา่ ตา่ งๆลงไปดู จะได้คา่ ������(������) ดงั นี ้ ������ ������(������) −2 (−2)2 − 2(−2) + 5 = 13 −1 (−1)2 − 2(−1) + 5 = 8 0 (0)2 − 2( 0 ) + 5 = 5 1 (1)2 − 2( 1 ) + 5 = 4 2 (2)2 − 2( 2 ) + 5 = 5 3 (3)2 − 2( 3 ) + 5 = 8 จากการลยุ แทนคา่ จะพอเดาได้วา่ ������ = 1 นา่ จะได้ ������(������) มคี า่ ต่าสดุ เทา่ กบั 4 อยา่ งไรก็ตาม เราสามารถนาความรู้เรื่องอนพุ นั ธ์มาหาคา่ สงู สดุ หรือ คา่ ต่าสดุ ได้ โดยอาศยั แนวคดิ ตอ่ ไปนี ้  จดุ ตา่ สดุ จะเป็นจดุ ที่ ������(������) เปลยี่ นสถานะจากขาลง เป็นขาขนึ ้  จดุ สงู สดุ จะเป็นจดุ ที่ ������(������) เปลย่ี นสถานะจากขาขนึ ้ เป็นขาลง จากหวั ข้อทแ่ี ล้วเร่ืองฟังก์ชนั เพ่ิม – ฟังก์ชนั ลด จดุ ท่ี ������(������) เปลย่ี นสถานะดงั กลา่ ว ก็คือจดุ ท่ี ������′(������) = 0 นนั่ เอง โดยเราจะเรียกจดุ ท่ี ������(������) เปลย่ี นจากขาลงเป็นขาขนึ ้ หรือ ขาขนึ ้ เป็นขาลง วา่ “จดุ วกกลบั ” และจะเรียกคา่ ������ ทจ่ี ดุ วกกลบั นี ้วา่ “คา่ วกิ ฤติ” ตวั อยา่ ง จงหาจดุ วกกลบั ของ ������(������) = ������2 − 2������ + 5 # วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = 2������ − 2 เนื่องจากจดุ วกกลบั คือจดุ ท่ี ������′(������) = 0 ดงั นนั้ ให้ 2������ − 2 = 0 จะได้ ������ = 1 (= คา่ วิกฤต)ิ แทน ������ = 1 ลงไปในสมการ ������(������) เพ่อื หาคา่ ������ จะได้ ������(1) = 12 − 2(1) + 5 = 4 ดงั นนั้ จะได้จดุ วกกลบั คือ (1 , 4) จะเหน็ วา่ จดุ วกกลบั อาจจะเป็นได้ทงั้ แบบทเ่ี ปลย่ี นจาก “ขาลงเป็นขาขนึ ้ ” และ แบบ “ขาขนึ ้ เป็นขาลง” จดุ วกกลบั จงึ อาจเป็นได้ทงั้ จดุ ตา่ สดุ หรือ จดุ สงู สดุ ก็ได้ เชน่ ในตวั อยา่ งข้างบน เราจะไมร่ ู้วา่ (1 , 4) เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ ถ้าอยากรู้วา่ (1 , 4) เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ วิธีงา่ ยๆ คือ ใช้แรงลยุ แทนคา่ รอบๆ ������ = 1 ดู โดยเราจะเอาคา่ ������ ของจดุ รอบๆ มาเทยี บกบั 4 เช่น แทน ������ = 0 จะได้ ������(������) = (0)2 − 2(0) + 5 = 5 → มากกวา่ 4 แทน ������ = 2 จะได้ ������(������) = (2)2 − 2(2) + 5 = 5 → มากกวา่ 4 จะเห็นวา่ จดุ ข้างๆตา่ งก็มคี า่ ������ สงู กวา่ 4 ดงั นนั้ (1, 4) เป็นจดุ ตา่ สดุ


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook