ลำดับและอนุกรม

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เลขคณิต จงหำพจน์ท่ี 6 ของลำดบั เลขคณิตท่ีมีพจน์ที่ 12 เท่ำกบั 85 และ ผลต่ำงร่วมเท่ำกบั 7 จำกโจทยจ์ ะได้ a12 = 85 และ d = 7 ตอ้ งกำรหำวำ่ a6 = ? จำก am = ak + (m − k)d จะได้ a6 = a12 + (6 −12)d = 85 + (−6)(7) = 85 − 42 a6 = 43

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เลขคณิต จงหำค่ำของ a, b, c ในลำดบั เลขคณิต 4, a, b, c,16 จำกโจทยจ์ ะได้ a1 = 4 และ a5 = 16 ตอ้ งหำวำ่ d = ? จำก am = ak + (m − k)d ดงั น้ัน จะได้ a5 = a1 + (5 −1)d a = 4+3 = 7 b = 7 + 3 = 10 16 = 4 + 4d 12 = 4d c = 10 + 3 = 13 d =3

FMB N การหาลาดบั ท่ขี องพจนใ์ นลาดบั เลขคณิต จงหำวำ่ 64 เป็ นพจน์ที่เท่ำใดของลำดบั เลขคณิต 10,16, 22, 28, ... จำกโจทยจ์ ะได้ a1 =10 และ d =16 −10 = 6 ให้ an = 64 ตอ้ งหำวำ่ n = ? จำก an = a1 + (n −1)d นัน่ คือ n = 10 จะได้ 64 = 10 + (n −1)(6) ดงั น้นั 64 เป็ นพจน์ที่ 10 = 10 + 6n − 6 ของลำดบั น้ ี = 4 + 6n 60 = 6n

FMB N การหาลาดบั ทข่ี องพจนใ์ นลาดบั เลขคณิต จงหำวำ่ ระหวำ่ ง 100 – 999 มีกี่จำนวนท่ีหำรดว้ ย 12 ลงตวั จำนวนแรกท่ีหำรดว้ ย 12 ลงตวั คือ 108 จำนวนสุดทำ้ ยที่หำรดว้ ย 12 ลงตวั คือ 996 เขยี นเป็ นลำดบั ไดด้ งั น้ ี 108,120,132,144, ..., 996 นัน่ คือ a1 = 108, an = 996 และ d = 12 จำก an = a1 + (n −1)d 996 = 96 +12n 996 = 108 + (n −1)(12) 900 = 12n = 108 +12n −12 n = 75

FMB N ลาดบั เรขาคณิต พิจำรณำลำดบั ตอ่ ไปน้ ี 2, 4, 8,16, 32, ... 4=2 8=2 16 = 2 32 = 2 24 8 16 27 = 3 81 = 3 1, 3, 9, 27, 81, ... 9 27 3=3 9=3 1 3 ลำดบั ดงั กลำ่ วเรียกวำ่

FMB N ลาดบั เรขาคณิต ลาดบั เรขาคณิต คือ ลำดบั ท่ีมีอตั รำส่วนระหวำ่ งพจน์หลงั กบั พจน์หนำ้ ท่ีอยตู่ ิดกนั มีคำ่ เท่ำกนั ตลอด อตั รำสว่ นระหวำ่ งพจน์ ที่มีคำ่ เท่ำกนั ตลอด เรียกวำ่ อตั รำส่วนรว่ ม 4,16, 64, 256,1024, ... เป็ นลำดบั เรขำคณิต เน่ืองจำก 16 = 64 = 256 = 1024 = 4 4 16 64 256

FMB N ลาดบั เรขาคณิต จงหำวำ่ ลำดบั 1, 5, 25,125, 625 เป็ นลำดบั เรขำคณิตหรือไม่ จำกลำดบั 1, 5, 25,125, 625 ให้ r เป็ นอตั รำสว่ นระหวำ่ งพจน์หลงั และพจน์หนำ้ ที่อยตู่ ิดกนั จะได้ r1 = 5 /1 =5 r2 = 25 / 5 =5 เท่ำกนั หมด r3 = 125 / 25 = 5 r4 = 625 /125 = 5 ดงั น้นั ลำดบั น้ ีเป็ นลำดบั เรขำคณิต และมีอตั รำส่วนร่วมเท่ำกบั 5

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต กำหนดลำดบั เรขำคณิต a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ... มีอตั รำส่วนรว่ มเท่ำกบั r r r r r r a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ... , an , ... a2 = a1r = (a1r)r = a1r2 a3 = a2r = (a1r2 )r = a1r3 a4 = a3r = (a1r3)r = a1r4 a5 = a4r an = a1rn−1

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต กำหนดลำดบั a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ... เป็ นลำดบั เรขำคณิต มีอตั รำส่วนร่วมเท่ำกบั r จะไดว้ ำ่ พจน์ที่ n หรือพจน์ทวั่ ไป เท่ำกบั an = a1rn−1 จำกพจน์ทวั่ ไปขำ้ งตน้ เรำจะสำมำรถหำพจน์ใด ๆ ของลำดบั เรขำคณิตไดอ้ ยำ่ งง่ำย ๆ ถำ้ ทรำบ พจน์ที่ 1 และอตั รำสว่ นร่วม

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต จงเขียนส่ีพจน์แรกของลำดบั เรขำคณิตท่ีมี a1 = 3 และ r=4 4 a1 = 3 4 a2 = a1r = 34 =3 4 a3 = a2r = 3 4 = 12 a4 = a3r = 12  4 = 48 ดงั น้นั ส่ีพจน์แรกของลำดบั น้ ีคือ 3 , 3,12, 48 4

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต จงหำพจน์ที่ 7 ของลำดบั เรขำคณิต 4, 20, 100, … จำกโจทยจ์ ะได้ a1 = 4 และ r = 20 = 5 ตอ้ งกำรหำวำ่ a7 = ? 4 และ an = a1rn−1 จะได้ a7 = 4(5)7−1 = 4(5)6 = 4(15,625) ดงั น้นั a7 = 62,500

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต ในกรณีที่ทรำบพจน์ใดพจน์หน่ึงที่ไมใ่ ชพ่ จน์แรกของลำดบั เรขำคณิตและ อตั รำสว่ นร่วม จะสำมำรถหำพจน์ท่ีตอ้ งกำรไดเ้ ชน่ กนั r r r r r r r r r a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10  r −3  r −2  r −1  r  r 2  r3  r 4  r5

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต กำหนดลำดบั เรขำคณิต a1, ..., ak , ..., am, ..., an, ... มีอตั รำสว่ นรว่ มเท่ำกบั r จะไดว้ ำ่ am = ak rm−k ถำ้ ทรำบพจน์ใดพจน์หนึ่งของลำดบั และอตั รำสว่ นรว่ ม จะสำมำรถ หำพจน์ท่ีตอ้ งกำรไดเ้ สมอ โดยไม่ตอ้ งหำพจน์แรก เชน่ ถำ้ ทรำบพจน์ท่ี 10 ตอ้ งกำรหำพจน์ที่ 14 จะได้ a14 = a10r14−10 ถำ้ ทรำบพจน์ท่ี 15 ตอ้ งกำรหำพจน์ที่ 8 จะได้ a8 = a15r8−15

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต จงหำพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เรขำคณิตที่มีพจน์ที่ 3 เท่ำกบั 5 และ อตั รำสว่ นร่วมเท่ำกบั 4 จำกโจทยจ์ ะได้ a3 = 5 และ r = 4 ตอ้ งกำรหำวำ่ a7 = ? และ am = ak rm−k จะได้ a7 = a3r7−3 = 5(4)4 = 5(256) ดงั น้นั a7 = 1, 280

FMB N พจนท์ วั ่ ไปของลาดบั เรขาคณิต จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดบั เรขำคณิต 8, 16, 32, 64, … จำกโจทยจ์ ะได้ a1 = 8 และ r = 16 = 2 ตอ้ งกำรหำวำ่ an = ? 8 จำกสูตร an = a1rn−1 จะได้ an = 8(2)n−1 = 23 2n−1 = 23+n−1 ดงั น้นั an = 2n+2

FMB N อนุกรม อนุกรม คือ ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ในลำดบั กำหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็ นลำดบั จำกดั จะไดว้ ำ่ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an เป็ นอนุกรมจำกดั a1 พจน์ท่ี 1 ของอนุกรม a2 พจน์ท่ี 2 ของอนุกรม a3 พจน์ที่ 3 ของอนุกรม an พจน์ที่ n ของอนุกรม

FMB N อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่ไดจ้ ำกลำดบั เลขคณิต กำหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็ นลำดบั เลขคณิต ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต เขยี นแทนดว้ ย Sn โดยท่ี S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

FMB N 1 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต + พิจำรณำกำรหำผลบวกต่อไปน้ ี 2 1+ 2 + 3+ 4 + 5 = 15 1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = x 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3+ 2 +1 = x 11+11+11+11+11+11+11+11+11+11 = 2x 1011 = 2x 10 11 = x = 55 2 1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = 55

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต พจิ ำรณำกำรหำผลบวกต่อไปน้ ี 1+ 2 + 3 +...+ n = ? 1 + 2 + 3 + ... + (n − 2) + (n −1) + n =x n + (n −1) + (n − 2) + ... + 3 + 2 + 1 + =x (n +1) + (n +1) + (n +1) + ... + (n +1) + (n +1) + (n +1) = 2x n ตวั n  (n +1) = 2x n(n +1) = x 1+ 2 + 3 +...+ n = n(n +1) 2 2

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต กำหนดให้ a1, a2, a3, ..., an เป็ นลำดบั เลขคณิต และมีผลต่ำงรว่ มเทำ่ กบั d จะได้ a1 + a2 + a3 +...+ an เป็ นอนุกรมเลขคณิต Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = a1 + [a1 + d ] + [a1 + 2d ] + [a1 + 3d ] + ... + [a1 + (n −1)d] = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d + ... + a1 + (n −1)d = [a1 + a1 + a1 + a1 + ... + a1] + [d + 2d + 3d + ...+ (n −1)d] n ตวั = na1 + [1+ 2 + 3 + ...+ (n −1)]d

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต Sn = na1 + [1+ 2 + 3 + ...+ (n −1)]d = na1 +  (n −1)n  d 1+ 2 + 3 + ... + n = n(n +1) =  2  2 = = 2na1 +  (n −1)n  d 2  2  2na1 + (n −1)nd 2 n[2a1 + (n −1)d ] = n [2a1 + (n − 1)d ] 2 2

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต Sn = n [2a1 + (n − 1)d ] = 2 = n [a1 + a1 + (n − 1)d ] 2 n [a1 + an ] 2 ถำ้ a1 + a2 + a3 +...+ an เป็ นอนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมหำไดจ้ ำกสูตร Sn = n + (n −1)d ] หรือ Sn = n [a1 + an ] 2 [2a1 2

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จงหำผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 4 + 6 + 8 + 10 + … จำกสตู ร Sn = n [2a1 + (n − 1)d ] 2 Sn = n [a1 + an ] 2 จำกโจทย์ a1 = 4 และ d = 6 − 4 = 2 จะได้ S20 = 20 [2(4) + (20 −1)(2)] 2 = 10[8 + 38] = 460

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 5 + 10 + 15 + 20 + … + 150 จำกสูตร Sn = n [2a1 + (n − 1)d ] Sn = 2 n [a1 + an ] 2 จำกโจทย์ a1 = 4 an = 150 และ d = 10 − 5 = 5 จำก an = a1 + (n −1)d 150 = 5n 30 = n 150 = 5 + (n −1)(5) = 5 + 5n − 5

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 5 + 10 + 15 + 20 + … + 150 จำกสูตร Sn = n [2a1 + (n − 1)d ] 2 Sn = n [a1 + an ] 2 จำกโจทย์ a1 = 5 an = 150 และ d = 10 − 5 = 5 จำก Sn = n [a1 + an ] Sn = (15)(155) 2 = 2,325 = 30 [5 +150] 2

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จงหำผลบวกของจำนวนคตู่ ้งั แต่ 10 ถึง 200 จำกโจทย์ Sn = 10 +12 +14 +...+ 200 a1 = 10 , an = 200 d = 12 −10 = 2 ใชส้ ูตร Sn = n [a1 + an ] หำ n ก่อน จำกสูตร an 2 200 = a1 + (n −1)d 200 = 8 + 2n 2n = 10 + (n −1)(2) 192 = n = 10 + 2n − 2 96 =

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จงหำผลบวกของจำนวนคู่ต้งั แต่ 10 ถึง 200 จำกโจทย์ Sn = 10 +12 +14 +...+ 200 a1 = 10 , an = 200 d = 12 −10 = 2 ใชส้ ูตร Sn = n [a1 + an ] หำ n กอ่ น 2 S200 = 96 [10 + 200] 2 = 48(210) = 10, 080

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ตอ้ งกำรจดั เกำ้ อ้ ีในหอ้ งท้งั หมดใหไ้ ด้ 20 แถว โดยแถวที่ 1 มี 4 ตวั แถวที่ 2 มี 6 ตวั แถวที่ 3 มี 8 ตวั ไปเร่ือย ๆ จงหำวำ่ จะตอ้ งใชเ้ กำ้ อ้ ี ท้งั หมดก่ีตวั d a1

FMB N การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ตอ้ งกำรจดั เกำ้ อ้ ีในหอ้ งท้งั หมดใหไ้ ด้ 20 แถว โดยแถวที่ 1 มี 4 ตวั แถวท่ี 2 มี 6 ตวั แถวท่ี 3 มี 8 ตวั ไปเรื่อย ๆ จงหำวำ่ จะตอ้ งใชเ้ กำ้ อ้ ี ท้งั หมดกี่ตวั จำกสตู ร Sn = n [2a1 + (n − 1)d ] 2 = 20 [2(4) + (20 −1)(2)] 2 = 10(8 + 38) = 460 ดงั น้นั จะตอ้ งใชเ้ กำ้ อ้ ี 460 ตวั

FMB N อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่ไดจ้ ำกลำดบั เรขำคณิต กำหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็ นลำดบั เรขำคณิต ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต เขียนแทนดว้ ย Sn โดยท่ี S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

FMB N ; r=2 การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต พจิ ำรณำกำรหำผลบวกต่อไปน้ ี 1+ 2 + 4 + 8 +16 = 31 1+ 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 +128 + 256 + 512 = x 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 +128 + 256 + 512 +1024 = 2x 1024 −1 = x 1023 = x 1+ 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 +128 + 256 + 512 = 1023

FMB N 1 2 การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต กำหนดให้ a1, a2, a3, ..., an เป็ นลำดบั เรขำคณิต และมีอตั รำส่วนรว่ มเท่ำกบั r จะได้ a1 + a2 + a3 + a4 + ...+ an เป็ นอนุกรมเรขำคณิต Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn−1 rSn = a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn−1 + a1rn 2−1 rSn − Sn = a1rn − a1

FMB N การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต rSn − Sn = a1rn − a1 (r −1)Sn = a1(rn −1) Sn = a1(r n −1) เม่ือ r  1 r −1 เม่ือ r  1 Sn = a1(1− r n ) 1− r = a1 − a1r n−1r 1− r = a1 − a1r n 1− r เมื่อ r  1 Sn = a1 − anr 1− r

FMB N การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต ถำ้ a1 + a2 + a3 +...+ an เป็ นอนุกรมเรขำคณิต และมีอตั รำสว่ นร่วมเท่ำกบั r ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมหำไดจ้ ำกสูตร Sn = a1(1− rn ) เม่ือ r 1 1− r หรือ Sn = a1 − anr เม่ือ r  1 1− r

FMB N การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต จงหำผลบวกของอนุกรมเรขำคณิต 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2048 จำกโจทย์ a1 =1 an = 2048 และ r = 2 = 2 1 a1(1− r n ) จำกสตู ร Sn = 1− r Sn = a1 − anr 1− r จะได้ S20 = 1− 2048(2) = 1− 4096 = −4095 1− 2 1− 2 −1 = 4095

FMB N การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต จงหำผลบวก 4 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต เม่ือ a1 = 3, r = 2 จำกโจทย์ a1 =3 r= 2 และ n = 4 −45 จำกสูตร Sn −1 = a1(1− r n ) = 3(1−16) = Sn 1− r 1− 2 จะได้ S4 = a1 − anr 1− r = 3(1− 24 ) 1− 2 = 45

FMB N