unidad temática 1

FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANAExiste una relación entre el número de minutos que hablamos cuandoRealizamos una llamada desde un celular de prepago y el monto dedinero que debemos pagar.En cierta compañía si habla un minuto debe pagar 80 céntimos.Si habla 2 minutos 160 céntimos, y así sucesivamente.Esta situación se puede representar como una función que relaciona lavariable “número de minutos hablados” con la variable “monto quepagamos a la compañía”.En esta caso, el número de minutos hablados será la variable independiente “x” y el montoque cancelamos será la variable dependiente “y” = f(x), porque depende del número deminutos que hablamos.Si analizamos el dominio de esta función, es decir, el conjunto de valores que puede tomar lavariable independiente asignada por “x”, nos debemos centrar en lo que esta variablerepresenta, en este caso el número de minutos. Esto indica que “X” puede tomar solo valorespositivos y el cero, por lo tanto, el dominio de la función será el conjunto de los númerosreales no negativos.Si analizamos el recorrido de esta función, es decir, los valores que puede tomar la variabledependiente f(x), debemos observar que el valor f(x) se obtiene de multiplicar 80 por “x”. Donde“x” será un número positivo, debido a esto solo obtendremos valores positivos y por lo tanto elrecorrido de la función será el conjunto de los reales positivos. 48

Indicadores Lo hice con Evaluación ayudaAUTOEVALUACIÓN 1. El perímetro de una piscina de atletismo mide 400 Lo hice solo m. Le enseñe a a. ¿Qué espacio habrá recorrido un atleta, después de otro efectuar 4,25 vueltas?Luego de resolver la evaluación, marca “x” en la opción que más se ajuste al logro que obtuviste para cada indicador Utilizo definiciones y b. ¿Cuál será el desplazamiento realizado? fórmulas de la velocidad al 2. Un ómnibus empleó 20 horas en recorrer un resolver el problema. trayecto de 1 360 km. ¿Qué tiempo empleará en Reconozco y aplico los recorrer 340 km a la misma velocidad? algoritmos necesarios para convertir la unidad de a. 5 h b. 3 h c. 6 h tiempo. 3. Un móvil se mueve con MRU. Con velocidad de 72 Resuelvo situaciones km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas? aplicando concepto y 4. Un móvil que tiene MRUV, triplica su velocidad luego de recorrer 400 m en un tiempo de 10 formula del movimiento segundos. Hallar la aceleración del móvil. rectilíneo uniforme. 5. Calcular la velocidad final de un objeto en caída Resuelvo situaciones libre, que parte de reposo y cae durante 5,5 segundos. Construir gráfica. aplicando concepto y 6. formulas del MRUV. La tabla muestra los valores para la función: f(x) = a������2 + b Resuelvo situaciones aplicando concepto y fórmulas de movimiento de caída libre. Calculo los valores de las variables de una tabulación. 49

Halla el valor de: a x b x 1 0 5 F(x) 8 a. 15 b. 20 c. 12 7. Observa las gráficas y completa:Identifico las a. El dominio de f es……………………..características y b. El rango de g es………………………..propiedades de las c. El dominio de f + g es……………………funciones d. El dominio de g es………………………..Resuelvo situaciones 8. La gráfica muestra la variación de la velocidad deaplicando conceptos y una partícula, en el eje “x”. Hallar:formulas de la gráfica delmovimiento rectilíneo. a. El espacio que recorre en el intervalo t = 0 y t = 6 s. b. El desplazamiento en el intervalo t = 0 y t = 6 s. c. El desplazamiento en el intervalo t = 1 y t = 4 s. 50

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PROTOCOLO DE ELABORACIÓN DE LOS MÓDULOS DE AUTOAPRENIZAJE DE LA FORMA DE ATENCIÓN SEMIPRESENCIAL - 2016 EBA-UGEL N° 03I. DATOS GENERALESCEBA IV CICLO AVANZADO GRADO CUARTOMÓDULO DE CIENCIASAUTOAPRENDIZAJE MOVIMIENTO Y FUERZASCAMPO DE I TÍTULO LAS FUERZASCONOCIMIENTO 02 TÍTULOUNIDAD TEMÁTICAACTIVIDADII. PROPÓSITOS Y OBJETIVOS DEL MÓDULOPROPÓSITO DE LA UNIDAD TEMÁTICA OBJETIVOReconocer la noción de materia, los estados ▪ Conocer sobre movimiento, fuerza yen que se presenta, sus propiedades, su trabajo.clasificación y su transformación en la vida ▪ Aplicar funciones lineales a situacionesdiaria. Asimismo identificar la importancia del cotidianas.conjunto de números racionales en actividades ▪ Utilizar la calculadora científica para la resolución de ejercicios de funcionescotidianas. trigonométricas.PROPÓSITO DE LA ACTIVIDAD 02: LAS FUERZAS (Pág. Guía: 34)▪ Conoce las leyes que permiten explicar las causas de los movimientos, las cuales se denominan Leyes de Newton.▪ Identifican las funciones trigonométricas y su utilidad en la física.III.COMPETENCIAS Y APRENDIZAJES LOGRAR ACTIVIDAD 02: LAS FUERZASCOMP. COMPETENCIA APRENDIZALES A LOGRARAVANCES Comprende y aplica conocimientos CINETÍFICOS Y TECNOLÓGICOS científicos y tecnológicos que le permiten Conoce las leyes que permiten tener una visión amplia de los procesos explicar las causas de los naturales y de los cambios que se movimientos, las cuales se producen en el entorno, asumiendo una denominan Leyes de Newton. actitud científica e innovadora para lograr Identifican las funciones el desarrollo sostenible y el mejoramiento trigonométricas y su utilidad en la de la calidad de vida en su región y en su física. país. 52

SISTEMAS ������������Resuelve y formula problemas Resuelve problemas vinculados NUMÉRICOS Y con la realidad que involucran matemáticos de contexto real, lúdico o funciones trigonométricas. FUNCIONES matemático, a través de estrategias que involucran (a) los sistemas numéricos, las ecuaciones e inecuaciones o las funciones, demostrando confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones.IV CONTENIDOS POR ÁREA ACTIVIDAD 02: LAS FUERZAS Ciencia Ambiente y Salud MatemáticaExperiencia 1: Las fuerzas y el movimiento Experiencia 3: FuncionesConcepto trigonométricasActividad: conceptoRepresentación y medición Teorema de PitágorasComposición de varias fuerzas Reconociendo conceptos básicosExperimento 1: Construye un dinamómetro simple de trigonometría.Tipos de fuerzas Ejercicios de aplicaciónExperimento 2: ¿Qué forma es más resistente? Razones trigonométricas recíprocasExperiencia 2: Leyes de Newton Razones trigonométricas complementarias y recíprocos.Actividad: concepto Razones trigonométricas dePrimera ley de Newton o ley de la inercia ángulos notablesSegunda ley de Newton: Relación entre fuerza masa y Signos de las RT en cadaaceleración cuadranteTercera ley de Newton o ley de acción y reacción Angulo cuadrantalExperimento 1: Construye un barquito a propulsiónFicha aplicativa: leyes del movimiento de NewtonExperiencia 3:Suma de fuerzas gráficamenteSuma de fuerzas analíticamenteV. EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE / FICHASEXPERIENCIAS DE FICHA DE TRABAJO FICHA INFORMATIVAAPRENDIZAJE Problemas aplicando fuerzas Efemérides de algunos01 Las fuerzas y el Tipos de fuerzas inventos y movimiento descubrimientos Aplicando las leyes de Newton en02 Leyes de problemas cotidianos ¿Cómo se mueve la Newton Crucigrama: Física general – Leyes Jibia? de Newton 53

Aplicando el Teorema de Pitágoras R.t. de ángulos agudos. Resolución de problemas con03 Funciones triángulos rectángulos Curvas geométricas trigonométricas Calculando ángulos notables Signos de las RT. en los cuadrantesEvaluación Ficha de evaluación y autoevaluaciónVI. BIBLIOGRAFIA: Bibliografía y enlaces de la web por módulo, Guía metodológica deldocente, Guía del estudiante, otros materiales educativos e insumos. 54

EXPERIENCIA 1 35 Siempre que abres una puerta o un grifo, o que aprietas una tuerca con una llaveejerces una fuerza de giro. Luego al efecto de giro o rotación de un cuerpo debido a unafuerza se le conoce como ________________.El momento o toque se determina como: OMOF = F x d d FDónde: MOF: Módulo del momento de una fuerza (N.m) F : fuerza que se aplica sobre el cuerpo (N) d : distancia perpendicular al centro de giro, o también se le conoce como brazo de palanca (m) Por convención: Si el giro es antihorario entonces el momento será positivo (+) Si el giro es horario, entonces el momento será negativo: (-)Hay que tener en cuenta que si la línea de acción de la fuerza pasa por el centro degiro, entonces el momento de fuerza o torque es igual a cero. 55

Problemas aplicando fuerzas1. Hallar MOF, si F = 24 N 2. Hallar MOF, si F = 6 Na) 192 N.m a) 42 N.m 12 b) 30 mb) -192 O 8 c) -42 Oc) 120 m d) -30 7 e) Cero F = 6Nd) -120 3 Fme) -723. Hallar MOF, si F = 30 N 4. Hallar MOF, si F = 35 Na) 30 N.mb) -120 F a) Cero O 4 Fc) 26 4 b) 140 N.m md) 120 c) -140e) 75 O d) 70 e) -705. Hallar MOF, si F = 20 N 6. Hallar MOF, si F = 100 Na) -30 N.m F a) -800 N.m F 60ºb) -45 O b) 400c) 45 c) 800 d) -400d) -60 3m 8me) 60 e) 200 56

TIPOS DE FUERZAS 391. Indica si las interacciones que aparecen en los diferentes dibujos ¿son a distancia o por contacto?2. Observa las imágenes y responde: Masa y tiempo son ejemplos de a. Indica 4 imágenes en la que observas ……………. una interacción. 5. Realiza el siguiente crucigrama: b. Indica los cuerpos que interactúan en 1. Fuerza que ejerce una superficie sobre cada una de las anteriores. un cuerpo apoyado sobre ella. 2. Fuerza que se aplica sobre tu mano3. De la siguiente lista de palabras cuando estiras o comprimes un resorte. 3. Físico nacido en Inglaterra el 25 desubraya las que corresponden a las diciembre de 1 642, autor de los Philosophiae Naturalis.características de las fuerzas. 4. No es sencillo arrastrar una heladera por el piso porque es muy grande laPunto de aplicación Normal fuerza de … 5. La fuerza empuje es ejercida por unMasa Sentido …Un niño que se hamaca no se cae porque las cuerdas de las mismaMagnitud Módulo ejercen una fuerza … sobre el niño.Peso Escalar 6. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.Dirección A distancia a. Las magnitudes peso, fuerza elástica y ( )4. Completa las siguientes oraciones: temperatura son magnitudes vectoriales. Una fuerza es una magnitud ………….. que se mide con el ………….., su b. La fuerza peso siempre tiene sentido ………… en el S.I. de unidades es el vertical y dirección hacia abajo. ( ) ………….. . c. El módulo de la fuerza peso de una Los efectos de la fuerza son manzana de 100g es de 0,98N ( ) ………………. y o ………….. …. … Las………….. se representan con d. Si muevo una heladera hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento es hacia la derecha.( ) vectores. . 57

EFEMÉRIDES DE ALGUNOS INVENTOS Y DESCUBRIMIENTOS 1608 Lippershey Telescopio de refracción 1644 Torricelli Barómetro de mercurio 1654 Guericke Bomba (aspirante) de vacíoALGUNOS PREMIOS NÓBEL DE FÍSICA1903 Henri Becquerel (Francia), por su trabajo ¿Por qué…? en la radiactividad espontánea y Pierre y La perilla en la puerta no se coloca Marie Curie (Francia) por sus estudios en el centro sobre la radiactividad. AB1904 John Strutt “Lord Rayleigh” (Inglaterra) por su descubrimiento del argón al investigar la densidad del gas. Antes que Newton formulase sus leyesfundamentales el hombre ya tenía conocimiento delas propiedades de la palanca y fue Arquímedes, unode los nueve sabios de Grecia Antigua, quien enuncióla Ley de Equilibrio de la Palanca, y se le atribuye lacuriosa frase universalmente conocida “Dadme unpunto de apoyo y moveré la Tierra”. 55

EXPERIENCIA 2 41LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON:En 1 687, Isaac Newton publicó en su “Principia” las tres leyes del movimiento:Primera Ley: Todo cuerpo que se halla en reposo o en movimiento, continúa en su estadode reposo o movimiento rectilíneo y uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza o actúanvarias fuerzas que se anulan entre sí. Esta propiedad fue definida por Kepler (1 751 – 1630) como inercia por ello también se le llama Principio de Inercia.Actividades: Fíjate que cuando un colectivo arranca bruscamente, los pasajeros se desplazan hacia atrás como si quisieran quedarse en el reposo en el que se encontraban. Al arrancar un ascensor, los pasajeros sienten una sensación particular, pues sus cuerpos se resisten a ponerse en movimiento. En los caminos, cuando un vehículo toma una curva, los pasajeros se inclinan hacia el exterior de la curva, como si quisieran seguir en línea recta.En la figura, si se rompe la cuerda, ¿qué trayectoria seguiría el balde? _________________________________________ A _________________________________________ ________________________________________ P _________________________________________ _________________________________________2DA. LEY DE NEWTON “Si una fuerza actúa sobre un cuerpo le produce una aceleración en la misma dirección y sentido” a = FR mDónde: FR : Fuerza ResultanteUnidades: m : masa m FR a m/s2 Kg N 56

Tercera Ley: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza a otro (acción), éste ejerce sobre elprimero una fuerza igual y de sentido contrario (reacción). Este es el principio de acción yreacción.Actividades: Infla un globo con aire y suéltalo. El aire se escapa en un sentido y el globo en el sentido contrario. Si saltamos sobre un trampolín, éste nos despide con sentido contrario al de nuestro salto. Si parados en un bote hacemos fuerza con un remo sobre la orilla, el bote se aleja de la orilla, como si lo empujan desde ella.Automóvil de Vapor que se atribuye a ¿Sabías que…? A Newton, se le atribuye Newton. uno de los proyectos más antiguos de automóvil a vapor. Este automóvil debía constar de una caldera, montada sobre ruedas, de la que el vapor salía de una tobera posterior, mientras que la propia caldera, debido a la fuerza de retroceso, avanzaba sobre las ruedas en sentido contrario, tal como muestra la figura.Cuando realizamos un esfuerzo muscular para empujar o tirar de un objeto,le estamos comunicando una Fuerza, entonces:Fuerza:………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………….Unidad: Según el Sistema Internacional (S.I.), la unidad de la Fuerza es el Newton (N).Principales Fuerzas Peso (W): Es una fuerza de tipo gravitacional, con la que la Tierra atrae a todo cuerpo cercano a ella.C.G.: Centro de Gravedad W = mg Unidades: g W m/s2 N m kgm: masag: Aceleración de la gravedad57

Segunda Ley de Newton a = FR  Su fórmula matemática es : a D.p FR m a I.p. m ∴En forma general : FR = ma De esta expresión se deduce que la “FR” y “a” presentan la misma dirección.I. En cada caso determine la fuerza resultante y el sentido de la aceleración.1. 2. 40N 10N 10NFR = _____N ( ) FR = _____N ( )a:( ) a:( )3. 40N 4. 10 5N 10N 20NFR = _____ ( ) FR = _____ ( ) a:( )a:( )1. Hallar la aceleración que adquiere el móvil : a) 6 m/s2 b) 2 16N 32N c) 8 4kg d) 5 e) 42. Hallar el valor de “m” (masa) para que el cuerpo acelere con 4 m/s2. a) 10 kg b) 11 40N m 12N c) 4 16 d) 8 58

1. Resuelve los siguientes problemas aplicando Leyes de Newton1.- Un ascensor pesa 400 Kp. ¿Qué fuerza debe ejercer el cable hacia arriba para que suba con una aceleración de 5 m/s2? Suponiendo nulo el roce y la masa del ascensor es de 400 Kg.2.- Un carrito con su carga tiene una masa de 25 Kg. Cuando sobre él actúa, horizontalmente, una fuerza de 80 N adquiere una aceleración de 0,5 m/s2. ¿Qué magnitud tiene la fuerza de rozamiento Fr que se opone al avance del carrito?3.- ¿Cuál es la fuerza necesaria para que un móvil de 1500 Kg., partiendo de reposo adquiera una rapidez de 2 m/s2 en 12 s?4.- ¿Qué aceleración adquirirá un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre él actúa una fuerza de 200000 dinas?5.- Dos niños, Juan de 20kg y Pedro de 25kg, están frente a frente en una pista de hielo. Juan da un empujón a Pedro y este sale despedido con una rapidez de 3m/seg. Calcular la rapidez con que retrocede Juan, suponiendo que los patines no ofrecen resistencia al movimiento 59

Investiga y completa el siguiente crucigrama, las preguntas son de física general yleyes de Newton.HORIZONTALES VERTICALESFísico inglés que estudio al movimiento y 1. La primera ley de Newton nos dice queplanteo tres leyes sobre las cuales podemos “Todo cuerpo se mantiene en su estado dedescribir el movimiento de cualquier cuerpo. reposo o de……. movimiento rectilíneo4. La segunda ley de Newton hace referencia uniforme, si la resultante de las fuerzas quesobre los cambios en la… actúan sobre él es cero”6. La primera ley de Newton nos sirve para 3. Un cambio en la velocidad de un cuerpodefinir un tipo especial de sistemas de efectuado en la unidad de tiempo, recibe elreferencia conocido como sistemas de nombre de…………referencia… 5. Ley de Newton que dice “Cuando un7. Ley de Newton que dice “La aceleración de cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpoun objeto es directamente proporcional a la B, este reacciona sobre A ejerciendo unafuerza neta que actúa sobre él, e fuerza de la misma intensidad y dirección,inversamente proporcional a la masa” pero en sentido contrario”8. Es una de las ramas de la mecánica que 10. Negación.estudian las causas del movimiento. 12. Así se les llama a los planteamientos de9. Todo cuerpo se mantiene en su estado Newton sobre las causas del movimiento.de…….. o de movimiento rectilíneo uniforme, 13. Verbo que en inglés se escribe GO.si la resultante de las fuerzas que actúansobre él es cero.11. Físico sobre el cual Newton baso susestudios.13. Es la tendencia de los cuerpos demantener su estado de reposo o movimientoinicial.14. Se le pone a la comida para darle sabor. 60

¿CÓMO SE MUEVE LA JIBIA? Quizá te parezca extraño oír que hay muchos animales para los que el presunto“levantarse a sí mismos tirándose de los pelos” es el procedimiento ordinario de trasladarse en elagua. La jibia, lo mismo que la mayoría de moluscos cefalópodos, se mueve en el agua de la forma siguiente: el agua entra en su cavidad bronquial, a través de una abertura lateral y de un embudo especial que tienen en la parte delantera del cuerpo, y después es expulsada enérgicamente, en forma de chorro, a través de este mismo embudo (sifón). Al ocurrir esto, debido a la ley de la reacción, el animal recibe un empuje en sentido contrario que es suficiente para que pueda “nadar” bastante de prisa hacia atrás, es decir, con la parte posterior del cuerpo hacia adelante. La jibia puede también dirigir el sifón hacia un lado o hacia atrás, en cuyo caso, al expeler rápidamente el agua, se mueve en cualquier dirección. En este mismo se basa el movimiento de las medusas. Estas últimas contraen sus músculos y de esta forma expulsan de su cuerpo acampanado el agua, con lo que reciben el empuje en dirección contraria. Procedimientos análogos emplean para trasladarse las salpas, las larvas de las libélulas (caballitos del diablo) y otros animales acuáticos. ¡Y nosotros dudábamos de que fuera posible moverse así! 61

EXPERIENCIA 3411. Hallar las 6 Razones 2. Hallar las 6 Razones Trigonométricas Trigonométricas del ángulo “A” de del ángulo “C” de un triángulo un triángulo rectángulo ABC, recto rectángulo ABC, recto en “B”. en “B”. Sabiendo que: a = 6; c = 8 Sabiendo que: a = 5; c = 133. Si se cumple que: tg(2x+5).ctg21 = 1. 4. Si: sen(15x – 31) . csc(3x – 25º) = 1Hallar el valor de “x” Hallar el valor de “x”5. Si cos(a b 20)  1 . 6. Siendo: ctg( + 10º) = tg( + 40º) sec ( 6a b  60) Hallar “” Hallar el valor de Sen (a + 14º)7. Si sen(2 + 10) = cos ( + 50º). 8. Si sec( + 40) = csc( + 20º). Hallar tg(3) Hallar sen(35º + )9.Si sen = 1 . Hallar ctg 3 62

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo  un ángulo agudo se cumple: csc  1  sen. csc 1 Ejemplo: sen sec  1  cos.sec 1 Si sen  3  csc  4 cos   1  sec   5 cos 43 5 ctg  1  tg .ctg 1 tg RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSDos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia: Debido a estas relaciones las razones:sen  b  cos ; cos  a  sen • seno y coseno c c • tangente y cotangentetg  b  ctg ; ctg  a tg • secante y cosecante a b Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra. Ejemplos:sec  c  csc ; csc  c  sec sen40º = cos50º sec20º = csc70º a b tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º cos62º = sen28º csc24º = sec66ºEjemplo:Si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle  63

Razones trigonométricas Razones trigonométricas recíprocas complementarias1. Si tg(xº + 20º) x ctg50º = 1. 1. Si sen(3x + 10°) = cos(2x + 35°), Hallar “x” calcula el valor de “x” Resolución2. Sabiendo que: 2.Siendo ������������(������������+������������−������°) = ������ , halla “x” sen(2x + 15°). csc( 65°) = 1. ������������������(������������+������������°) Calcula el valor de “x”3. Si se cumple que: 3.Si: sec(x + 10º) = csc40º. Hallar tg(5º + x)cos(7������������ + 3°). sec(25x – 9°) - 1= 0. Halla el valor de “x”4. Si: 4.Calcular “x”, siendo:tg(2x+3y –20°).ctg(5x+3y–50°) = 1, Sen(4x + 12º) = Cos(3x + 8º)halla el valor de “x”5. Si se cumple que: 5.Si se cumple que:sen(3x + 2y – 30°). csc(x – y + 10°) = 1……I sen(2x + y + 8°) = cos(x + 2y + 16°)….Itg(5x + y + 20°).ctg(x + 2y + 30°) = 1……II, Sec(2x + 3y – 8°) = csc(x + y + 20°)……II calcula “x” e “y” 64

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLESRazones Trigonométricas del Ángulo de 45ºSean los catetos del triángulo rectángulo ABC: . AB = BC = L .Por el teorema de Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 AC2 = L2 + L2 = 2 L2 AC = 2L2 = 2 L2  . AC = 2 L .Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45ºsen 45º = csc 45º =cos 45º = sec 45º =tg 45º = ctg 45º =Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60ºPara hallar las razones trigonométricas de30º y 60º, construimos un triánguloequilátero, veamos:En el triángulo rectángulo BHC; calculamosBH, por el teorema de Pitágoras BC2 = BH2 + HC2Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC. 65

Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53ºsen 37º = sen 53º =cos 37º = cos 53º =tg 37º = tg 53º =ctg 37º = ctg 53º =sec 37º = sec 53º =csc 37º = csc 53º =Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74ºsen 16º = sen 74º =cos 16º = cos 74º = tg 74º = tg 16º = ctg 74º =ctg 16º = sec 74º =sec 16º = csc 74º =csc 16º = 66

Del gráfico calcular: E  senx senya) 4 2 xy 45º 53º 5b) 4 5c) 2 5d) 4 2e) 1Calcular: 3. Calcular: “x”E = (sec245º + tg45º) . ctg37º - 2cos60º 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30ºa) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 54.Calcular: 5. Calcular: E  tg30º sec60ºsen37ºcos30ºE = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º sen245ºa) 25/1 2b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18 a) 3 b) 11 3 c) 3 3 d) 5 3 e) 2 36. Calcular: tg 45º 555 35 2a) 2 b) 2  1 c) 2  1 d) 1  2 e) 2  2 ������������������������ ������������° . ������������ ������������°+������������������ ������������° . ������������������ ������������°7.. Calcula el valor de: P = ������������������ ������������° . ������������������ ������������° 67

Resuelve en tu carpeta de trabajo.1. Hallar “x” si : 2. Si : sen 7x sec 2x = 1. Calcular : cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1 E = tg2 6x + tg(x + 42º - y).tg(3x+y + 8º)a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Determine el valor de “x” : 4.Sabiendo que : tg 5x . ctg (x + 40º) = 1. sen(3x – 42º) csc(18º - 2x) = 1 Calcular : cos 3xa) 6º b) 12º c) 15º d) 20º e) 24º a) 1 b) 1/2 c) 2 /2 d) 3 e) 2/3 5.Calcular : 6. Calcular:E = (tg 20º + ctg 70º) (ctg 20º + tg 70º) E = sen245º . tg45º . tg 37ºa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 a. 1 b. 4/3 c. 3/4 d. 5/2 e. 3/87. Calcular: 8. Calcula: E = (sen30º + cos60º)tg37º E = (sen30º + cos60º)tg37º9.G = sec37º + ctg53º - 2sen30º ������������������������������������������+ √������ ������������������������������ 10: Calcula:F = ������������������������������������������������+ √������ ������������������������������������a. E = (������������������������45º + tg45º) ctg37º - 2cos60º ������������������������������������+ ������������������������ ������������������11.Halla A = ������−������������������������������������ . ������������������������������������ 12. Determina E = √2 + √2 + √2 + √������������������4 450 68

SIGNOS DE LAS R.T. EN CADA CUADRANTEPRIMER CUADRANTE Reemplazamos E = () () ()En el primer cuadrante TODAS las R.T. sonPOSITIVAS porque LA ABSCISA (X) la E = ()ordenada (Y) y el radio vector (r) son ()positivos. E = (+)SEGUNDO CUADRANTE 2. Si   II  Cos2 = 2 . Hallar CosEn el segundo cuadrante el SENO y la 9COSECANTE son POSITIVAS porque laORDENADA (y) el RADIO vector (r) son RESOLUCIÓNpositivas. Despejamos Cos de la Igualdad datoTERCER CUADRANTE Cos2 = 2 9En el tercer cuadrante la TANGENTE YCOTANGENTE son POSITIVAS porque la Cos =  2ABSCISA (X), y la ordenada (y) son negativas. 3Las demás R.T. son negativas. Como   III entonces Cos es negativo, porCUARTO CUADRANTE tantoEn el cuarto cuadrante el COSENO y la 2SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA(X) y el radio vector (r) son positivos. Cos = -Las demás R.T. son negativas. 3REGLA PRACTICASon POSITIVOS 3. Si   IV  Tan2 = 4 . Hallar Tan 25 RESOLUCIÓN Despejamos Tan de la igualdad dato:EJEMPLOS Tan2 = 4 25 Tan2 =  2 51.¿Qué signo tiene? E = Sen100º•Cos200º Como   IV entonces la Tan es negativa, Tan300º por tanto: Tan = - 2 5RESOLUCIÓN100º  II  Sen100º es (+)200º  III  Cos200º es (-) 300º IV  Tan300º es (-) 69

ANGULO CUADRANTAL RESOLUCION Los ángulos están en radianes, haciendo laUn ángulo en posición normal se llamará conversión obtenemosCUADRANTAL cuando su lado final coincidecon un eje. En consecuencia no pertenece a  90ºningún cuadrante. 2Los principales ángulos cuadrantes son: 0º,90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad  180ºgráfica” se escribirán en los extremos de losejes. 3  270º 2RESUMENANALOGAMENTE 2 360º 0º 90º 180º 270º 360º ReemplazamosR.T.Sen 0 1 0 -1 0 E = 2Sen90º Cos180ºCos 1 0 -1 0 1 Cot 270ºSec360ºTan 0 ND 0 ND 0Cot ND 0 ND 0 ND E = 2(1) (1)Sec 1 ND -1 ND 1 0 1Csc ND 1 ND -1 NDEJEMPLOS E= 31. Calcular E = 2Sen( / 2) Cos 2. Calcular el valor de E para x = 45º Cot(3 / 2) Sec2 E = Sen2x Cos6x Tan4x  Cos8x RESOLUCIÓN Reemplazamos x = 45º en E : E = Sen90ºCos270º Tan180ºCos360º E = 10 0 1 E= 1 1 1 70

01.Si: 3/2 < x < 2. Halla el signo de las siguientes expresiones:Senx. ������������������������ + 1 Tgx/3 + Cotx III. Sec xTgxSenx ������ Cot2 xa. (-) (+) (-) b. (+) (+) (+) c. (-) (+) (+) d. (+) (+) (-) e. (+) (-) (+)02.Dado: 360º <  < 540º 03. Siendo:  = 1180º y  = - 260º ¿Qué¿Cuál de las siguientes afirmaciones es relación tienen dichos ángulos?incorrecta? a. Son iguales b. Sumados dan 4 vueltasa. /3  IIQ c. Son coterminalesb. /2  IIIQ d. Son suplementariosc. 2/3  IVQ e. No tienen ninguna relaciónd. (/4 +45º)  IIQe. (/6 – 90º)  IVQ04. Dada la relación: Sen Cos < 05. Si: f(Senx) = Cos(Cosx). Halla: f (1) + f (-1)0. Halla el signo de la expresión:Sen•Cos+Tana. (+) a. 0b. (-) b. 1c. () c. –1d. (+) ó (-) d. –2e. Depende de “” e. 206. Halla un ángulo coterminal del 07.Calcula: Costg(Sen) + SecSen(������������2������ ������)ángulo 36º, que este comprendidoentre 1000º y 1200º. a. 0 b. 1a. 1096º c. 2b. 1146º d. -1c. 1116º e. –2d. 1156ºe. 1086º08.Siendo:  = 1180º y  = - 260º ¿Qué 09.Indica el signo de:relación tienen dichos ángulos?  Tan  Sen Cosa. Son iguales Sec Csc3b. Sumados dan 4 vueltasc. Son coterminales a. (+)d. Son suplementarios b. (-)e. No tienen ninguna relación c. () 10.Reducir: d. (+) ó (-) e. Depende de “”a2 Sen90º2abCos0ºb2 Sen3 / 2(a  b)2 Cos4 4abCosa. 0 b. 2 c. ½ d. 1 e. 3 72

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AUTOEVALUACIÓN Indicadores Lo hice con Evaluación ayuda Analizo proposiciones y 1.Además de cambiar de forma los objetos, las establezco conclusiones Lo hice solo fuerzas pueden... a partir de ellas. Le enseñe a a. Frenar o disminuir la velocidad de un cuerpo que Identifico y hago la otro está en movimiento. diferencia entre las leyes b. Poner en movimiento un cuerpo que estaLuego de resolver la evaluación, marca “x” en la opción que más se ajuste al logro que obtuviste para de Newton. parado. cada indicador c. Cambiar la dirección en la que se mueve el Resuelvo situaciones cuerpo. aplicando concepto y formula del movimiento 2.Completa la primera Ley de Newton: rectilíneo uniforme. Compensan, cuerpo, fuerzas, recta, reposo, Analizo proposiciones y constante. establezco conclusiones Si sobre un…………no actúan………….,o las que a partir de ellas. actúan se…………..unas con otras, el cuerpo está en………… o se mueve en línea…………con Analizo proposiciones y velocidad………….. establezco conclusiones a partir de ellas. 3.La igualdad: F = m.a, es la expresión matemática de: a. La segunda ley de Newton b. La primera ley de Newton c. La tercera ley de Newton 4.Una piedra se deja caer de un edificio muy alto y llega a pegar en el suelo. Si se toma en cuenta la fuerza que ejerce el aire sobre la piedra, esta…… a. Cae debido a los efectos combinados de la fuerza gravitatoria, empujándola hacia abajo, y la fuerza del aire, también empujándola hacia abajo. b. Aumenta la velocidad mientras cae porque la atracción gravitatoria se hace considerablemente mayor cuando más se acerca la piedra a la tierra. c. Aumenta su velocidad porque una fuerza gravitatoria casi constante actúa sobre ella. Un camión grande choca frontalmente con un pequeño auto. Durante el choque……. a.El camión y el auto se ejercen fuerzas de igual 74

valor numérico. b.El valor numérico de la fuerza que ejerce el camión es mayor que la del auto. c.El camión ejerce una fuerza sobre el auto pero el auto no ejerce fuerza sobre el camión. 5.Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ:Determino los valores de 7.Calcule los valores de las funcioneslas seis razones trigonométricas del <������trigonométricas de unángulo agudo. a. sen θ = 3/5Determino los valores de b. tag θ = 5/2las razonestrigonométricas 8.Sabemos que en un triángulo rectángulo un catetopropuestas. mide 10 cm y el ángulo opuesto a dicho cateto tiene cos = 0.4, al calcular la longitud del otroAnalizo y relaciono las cateto y la hipotenusa el resultado es: SUSTENTEmedidas de los lados deun triángulo rectángulo. a. Cateto 5,36 cm hipotenusa 12.91 cm²Analizo expresiones b. Cateto 3.36 cm hipotenusa 11.11 cm²trigonométricas ydetermino su valor de c. Cateto 4,36 cm hipotenusa 10.91 cm²verdad. d. Cateto2.36 cm hipotenusa 9,91 cm² 9. Escribe V o F, según corresponda. a. sen∝ = cos������, ∝ + ������ = 180° () b. tg∝ . ctg∝ = cos∝ . sec∝ () c. ������������ ������������������ 80° .csc 80° 30° = 2 () 80°−������������������ 10°+������������������ d. ���������������������������2���2+∝1= ������������������2 ∝ () 75

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PROTOCOLO DE ELABORACIÓN DE LOS MÓDULOS DE AUTOAPRENIZAJE DE LA FORMA DE ATENCIÓN SEMIPRESENCIAL - 2016 EBA-UGEL N° 03I. DATOS GENERALESCEBA IV CICLO AVANZADO GRADO CUARTOMÓDULO DE CIENCIASAUTOAPRENDIZAJECAMPO DE I TÍTULO MOVIMIENTO Y FUERZASCONOCIMIENTO 03 TÍTULO ROZAMIENTO, GRAVEDAD Y TRABAJOUNIDAD TEMÁTICAACTIVIDADII. PROPÓSITOS Y OBJETIVOS DEL MÓDULOPROPÓSITO DE LA UNIDAD TEMÁTICA OBJETIVOReconocer la noción de materia, los estados ▪ Conocer sobre movimiento, fuerza yen que se presenta, sus propiedades, su trabajo.clasificación y su transformación en la vida ▪ Aplicar funciones lineales a situacionesdiaria. Asimismo identificar la importancia del cotidianas.conjunto de números racionales en actividades ▪ Utilizar la calculadora científica para lacotidianas. resolución de ejercicios de funciones trigonométricas.PROPÓSITO DE LA ACTIVIDAD 03: ROZAMIENTO, GRAVEDAD Y TRABAJO (Pág. Guía: 55)▪ Analiza las fuerzas: rozamiento y gravedad.▪ Comprende los conceptos de trabajo y potencia, y aplicarlos en los diferentes campos de la vida diaria y la tecnología.▪ Resuelve ejercicios sobre trabajo y potencia.III. COMPETENCIAS Y APRENDIZAJES LOGRAR ACTIVIDAD 03: ROZAMIENTO, GRAVEDAD Y TRABAJOCOMP. COMPETENCIA APRENDIZALES A LOGRARAVANCES CINETÍFICOS Comprende y aplica conocimientos Y TECNOLÓGICOS científicos y tecnológicos que le permiten tener una visión amplia de los procesos naturales y de los cambios que se Explica la relación entre el campo producen en el entorno, asumiendo una gravitacional y la ley de la actitud científica e innovadora para lograr gravitación universal. el desarrollo sostenible y el mejoramiento de la calidad de vida en su región y en su país.SISTEMAS ������������Resuelve y formula problemas Resuelve y formula problemas NUMÉRICOS Y relacionados con la realidad, matemáticos de contexto real, lúdico o utilizando sistemas de ecuaciones FUNCIONES matemático, a través de estrategias que con dos variables en R. involucran (a) los sistemas numéricos, las ecuaciones e inecuaciones o las funciones, demostrando confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones. 77

IV. CONTENIDOS POR ÁREAS ACTIVIDAD 03: ROZAMIENTO, GRAVEDAD Y TRABAJO Ciencia Ambiente y Salud MatemáticaExperiencia 1: Rozamiento y gravedadFuerzas de rozamientoConceptoTipos de rozamientoEjercicios de aplicaciónRozamiento: ¿necesario o innecesario?La fuerza de gravedadCentro de gravedadEjercicios de aplicación¿Es lo mismo la masa y el peso?Experiencia 2: Trabajo y potencia Sistema de ecuaciones con dos¿Qué es el trabajo? y tres variables: matricesTrabajo realizado por una fuerza constanteEl trabajo se puede medir Métodos de resolución.Potencia: Concepto Resolución de problemas.EficienciaLas máquinas y la eco eficienciaExperiencia 3: Máquinas simplesLa palancaExperimento 1: ¿Cómo trabaja la palanca?Tipos de palancaHerramientas que usamos como palancasLey de equilibrio de los momentosEl plano inclinadoLa poleaV. EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJES / FICHASEXPERIENCIAS DE FICHA DE TRABAJO FICHA APRENDIZAJE INFORMATIVA01 Rozamiento y Trabajo, potencias y máquinas El avión gravedad simples Sin rozamiento Fuerza de rozamiento02 Trabajo y potencia Trabajo mecánico Método de Gauss en la Potencia vida real03 Máquinas simples Aplicando los métodos de resolución de sistema deProyecto ecuaciones en problemas. Seguridad laboral y saludEvaluación Ficha de evaluación y autoevaluaciónVI. BIBLIOGRAFIA ▪ BIBLIOGRAFÍA Y ENLACES WEB POR MÓDULO ▪ GUÍA METODOLOGICA DEL DOCENTE ▪ GUÍA PARA EL ESTUDIANTE ▪ OTROS MATERIALES EDUCATIVOS E INSUMOS 78

EXPERIENCIA 155 FUERZA DE ROZAMIENTO ( ) Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento.La naturaleza de estas fuerzas es electromagnética y se generan por el hecho de quelas superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones), las mismas que alponerse en contacto y pretender deslizar producen fuerzas predominantementerepulsivas. La fuerza de rozamiento es una componente de la resultante de estasfuerzas, su línea de acción es paralela a las superficies, y su sentido es opuesto al delmovimiento relativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo de lafuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerposson sólidos, las superficies en contacto son planas y secas, se puede comprobar queestas fuerzas dependen básicamente de la normal (N), y son aproximadamenteindependientes del área de contacto y de la velocidad relativa del deslizamiento. TIPOS DE ROZAMIENTOFUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (FS) NEste tipo de fuerza aparece cuando los f Fcuerpos en contacto no deslizan. Su valor µmáximo se presenta cuando el deslizamiento emes inminente, y el mínimo cuando la intenciónde movimiento es nula. f S = µs . N FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO (FK)Esta fuerza se presenta cuando las superficies en contacto se deslizan unarespecto a la otra. Su valor es prácticamente constante, y viene dado así:Nota: µS = coeficiente de rozamiento estático. f K = µK . N µK = coeficiente de rozamiento cinético.COEFICIENTES DE FRICCIÓN (  )El valor de “µ” representa de un modo indirecto el grado de aspereza odeformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos encontacto. Asimismo, “µ” depende de los materiales que forman las superficies. µS > µK 79

El bloque sobre la superficie desliza sobre acero. El bloque es de acero también y pesa800N. Halle el rozamiento.  = 0,78 f K 0,50 Solución fK Luego: f K = 0,50 (800) = 400 newton W Rozamiento = 400N N Resuelve los siguientes problemas de rozamiento1. Un escritorio pesa 400N y descansa 2. Suponga que el peso de un trineo es de sobre el piso de la oficina con el cual el 200N y del esquimal que viaja en él coeficiente de rozamiento estático es 700N. ¿Con qué fuerza jalan los perros 0,4. ¿Qué fuerza horizontal es necesaria para mover el escritorio? cuando el esquimal viaja en el trineo a velocidad constante sobre un lago congelado? μK = 0,3a) 160N b) 120 c) 140 d) 180 e) 100 a) 300N b) 280 c) 270 d) 320 e) 1803. Un bloque de 5kg es jalado por una 4. Una fuerza de 100N es capaz de iniciar el fuerza “F” a través de una pista rugosa. movimiento de un trineo de 300N de peso Hallar “F” si el bloque se mueve a sobre la nieve compacta. Calcule μS velocidad constante.(g = 10 m/s2 ) 100a)30N 0, F a) 0,13 N 4 b) 0,23b) 20N c) 0,43 3c) 40N d) 0,33 e) 0,53 sd) 80Ne) 10N 80

Rozamiento estático y cinético1. Un estante pesa 300N y descansa 2. Suponga que el peso de un trineo es de sobre el piso de la oficina con el cual el 250N y del esquimal que viaja en él coeficiente de rozamiento estático es 750N. ¿Con qué fuerza jalan los perros 0,4. ¿Qué fuerza horizontal es cuando el esquimal viaja en el trineo a necesaria para mover el escritorio? velocidad constante sobre un lago congelado? μK =0,3 a) 320N b) 270 c) 300 d) 350 e) 280a) 120N b) 150 c) 144 d) 170 e) 1603. Un bloque de 20kg es jalado por una 4. Una fuerza de 200N es capaz de iniciar fuerza “F” a través de una pista rugosa. el movimiento de un trineo de 600N de Hallar “F” si el bloque se mueve a peso sobre la nieve compacta. Calcule: velocidad constante. (g = 10 m/s2 ) 200a) 35N F 0,2 a) 1/8 Nb) 40 b) 1/5c) 80 c) 1/4 3d) 60 d) 1/3e) 18 e) 1/9 s Rozamiento con aceleración5. El bloque mostrado es llevado con 6. El bloque mostrado es llevado con F =aceleración, jalado por F = 120N. Halla 60N y con aceleración “a”. Calcule “a”la fuerza de rozamiento. k = a 1/5 10 Fa) 30 N a = 5 m/s2 a) 2 m/s2 b) 9b) 38c) 68 8 kg F c) 6 kgd) 80 d) 3e) 54 e) 47. En la figura el bloque pesa 20N y los coeficientes de rozamiento valen 0,4 y 0,6, Halle la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2) θ = 37º F = 25a) 8 m/s2 b) 7c) 3d) 2e) 5 81

La fuerza de gravedad es la fuerza física que ejerce la masa del planeta sobre los objetosque se hallan dentro de su campo gravitatorio. De esta manera, la gravedad representael peso de un cuerpo. Por ejemplo, no importa que tan fuerte arrojes una pelota hacia arriba,ésta siempre caerá. Una fuerza misteriosa llamada Fuerza de Gravedad, atrae todo hacia elsuelo.Ahora veamos que sucede cuando la pelota es lanzada en forma horizontal la pelota no avanzaen forma rectilínea, sino que su trayectoria es una curva, esto debido a que la tierra, lo atraecon una fuerza llamada Fuerza de Gravedad.Es debido a esta fuerza que todo cuerpo elevado a cierta altura de la Tierra al ser soltadodesciende. Por ejemplo: En los ríos el agua fluye hacia abajo, después de saltar hacia arribaretornaremos a la Tierra, ya que seremos atraídos por la Tierra. El valor de la aceleración de la gravedad es 9, 8 m s2, pero para nuestros cálculos usaremos el valor de g  10 mEl Centro de Gravedad es el punto donde se considera concentrada toda la masa del cuerpo. Cuando un cuerpo es simétrico y homogéneo (hecho del mismo material) el Centro de Gravedad coincide con el Centro Geométrico. C.G. C.G.En la placa cuadrada de En la placa triangularmadera su Centro de Gravedad de acero su Centro de(C.G.) coincide con su Centro Gravedad (C.G.) coincideGeométrico. con su Centro Geométrico 82

Completa y resuelve los siguientes problemas aplicando fuerza de gravedad1………………………..es aquella fuerza con que la Tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentra en sus cercanías.2………………………es el punto donde se considera concentrada toda la masa de cuerpo.3. Grafique y determine el valor de la fuerza de gravedad de un bloque homogéneo de 5 kg (g = 10m/s2)4.Grafique y determine el valor de la fuerza de gravedad de la esfera homogénea de 1,5 kg (g = 10m/s2)5. Ubica el centro de gravedad de la placa homogénea rectangular.6. Ubique el centro de gravedad de la placa triangular homogéneo.7. Ubique aproximadamente el centro de gravedad de la barra no homogénea.madera cartón 83

Sin rozamiento. Imagínese que una persona se encuentra en una superficie horizontal perfectamente lisa. ¿De qué manera podría desplazarse por ella? Si no existiera rozamiento, sería imposible caminar; éste es uno de los inconvenientes de semejantesituación. No obstante, sería posible desplazarse por una superficie perfectamente lisa.Para ello habría que arrojar algún objeto en dirección opuesta a la que la persona quisieraseguir; entonces, conforme a la ley de reacción, su cuerpo avanzaría en la direcciónelegida.Si no hay nada que arrojar, tendría que quitarse alguna prenda de vestir y lanzarla.Obrando de la misma manera la persona podría detener el movimiento de su cuerpo si notiene de qué agarrarse.En semejante situación se ve un cosmonauta que sale al espacio extravehicular.Permaneciendo fuera de la nave, seguirá su trayecto por inercia. Para acercarse a ella oalejarse a cierta distancia, podrá utilizar una pistola: la repercusión que se producedurante el disparo le obligará a desplazarse en sentido opuesto; la misma arma le ayudaráa detenerse.ISAAC NEWTONDe joven, el científico británico Isaac Newton ( 1642 – 1727) vió caer una manzana de unárbol. Por supuesto, no era la primera persona que veía esto, pero si fue el primero enexplicar lo que sucedía. Planteó que había una fuerza que hacía caer la manzana, a estamisteriosa fuerza con que la Tierra lo atraía la llamó Fuerza de Gravedad, posteriormente tuvo laaudaz idea de que esta fuerza no solo existía en la Tierra sino en todo el Universo. Newtonperseveró hasta probar la veracidad de su afirmación en su gran obra PRINCIPIA. Newtones considerado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como laculminación de la Revolución Científica. 84

EXPERIENCIA 260 Fuerza DISTANCIA TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTEEs decir si “F” no cambia su módulo, dirección y sentido.  W = F (Cos )d dCASOS:1. Si “F” es paralela al desplazamiento d y actúa a favor del movimiento,el trabajo “W” es positivo.=0 F TRABAJO MOTRIZ W=Fd d2. Si “F” es paralela al desplazamiento d y actúa contra el movimiento, el trabajo “W” es negativo.  = 180º TRABAJO RESISTIVO W=-Fd 85

Si “F” es perpendicular al desplazamiento d, el trabajo es nulo.  = 90º W=0 d TRABAJO NETO Conocido también como trabajo total, es la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo para un desplazamiento determinado. WNETO = FR .d d mg CASOS: a) Si WNETO es positivo, el movimiento es acelerado. b) Si WNETO es cero, el movimiento es uniforme, o el cuerpo se encuentra en reposo. c) Si WNETO es negativo, el movimiento es retardado o desacelerado.Una fuerza de 100 N actúa sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo de un plano horizontalen la misma dirección del movimiento. Si el cuerpo se desplaza 20 m. ¿Cuál es el trabajorealizado por dicha fuerza?SoluciónF = 100 N α = 0º ∆x = 20 m W = ? Todos los datos se encuentran en unidades del SI.sustituimos en la fórmula: W = F cos α ∆x w = 100 . 1 . 20 w = 2000 J 86

Resuelve los siguientes problemas sobre trabajo1. El bloque mostrado se desplaza con 2. Calcular el trabajo total o trabajo neto, el cuerpo se desplaza una distancia de 4m velocidad constante, mediante una fuerza “F” desde “A” hacia “B”, hallar el trabajo 10N 30N en Joules que realiza el rozamiento, si F = 20N, AB = 10mF a. -200 b. -90 c. 150 d. -24A B e. -190 a) 50 J b) 40 c) 80 d) 120 e) 3003. Si el bloque es llevado a velocidad 4.Calcular el trabajo realizado por la fuerza constante, hallar el trabajo que realiza el constante de 100N para un rozamiento al desplazarlo 12m desplazamiento de������1 = -3m a ������2 = +7m v F = 15N a. 120 a. 400 b. -160 c. 320 b. 500 v d. -180 e. -325 c. 3kj d. 0,5kj F = 100N e. 1kj5. calcula el trabajo que realiza un caballo 6. Un motor desplaza un objeto a 50m de que arrastra un carro a 5km de distancia distancia empleando una fuerza de con una fuerza media de 500N. 500N. ¿Qué trabajo realiza?7. para desplazar un objeto 10m se ha 8. Al aplicar una fuerza de 25N sobre un realizado un trabajo de 2000 J. ¿Qué cuerpo hemos realizado un trabajo de fuerza se ha aplicado? 500J. ¿Qué desplazamiento ha experimentado dicho cuerpo?9.Calcula el trabajo realizado cuando se 10. Una grúa ha subido una masa de 450sube una mochila de 10kg a una altura de kg a una altura de 25m. ¿Qué trabajo se10m. ha realizado? 87

Cuando se contrata un trabajo, sin importar el tiempoque tarden en hacerlo, se compra sólo trabajo. Porejemplo, si contratamos a una persona para que pintenuestra casa sin indicarle el tiempo, ella lo podrárealizar en 1 día, en un mes o en un año, con tal de quelo pinte todo. Pero si se compra el trabajo de un día yse quieren hacer las cosas lo más rápido posible, loque pretendemos es conseguir una cantidad de trabajopor hora.Este es el lenguaje práctico de la industria.La potencia es justamente eso, la rapidez dehacer un trabajo. POTENCIA MEDIA POTENCIA = TRABAJO REALIZADO TIEMPO EMPLEADO EN HACERLOLa potencia media esaquella que nos indicala rapidez con que enpromedio se efectuóun trabajodeterminado.¡Fórmula de Pot = Wpotencia! tEn el sistema internacional (S.I.)la unidad depotencia es el watt (W), que se define como unjoule de trabajo en cada segundo: 1W = 1 J/s.POTENCIA INSTANTÁNEAEs el tipo de potencia que nos informa de la rapidez con que se realiza un trabajo en unintervalo de tiempo muy corto. Si la potencia es mecánica, su valor instantáneo se determinaasí:Pot. = F.v.cosθ V F P = F.V 88

Pero si : θ = cero, entonces……. θEFICIENCIA (n)El trabajo útil o salida de potencia deuna máquina nunca es igual a la deentrada. Estas diferencias se deben enparte a la fricción, al enfriamiento, aldesgaste, contaminación,….etc.La eficiencia nos expresa la razón entrelo útil y lo suministrado a una máquina: (Pot) útil n=ESQUEMA SIMPLIFICADO EFICIENCIA n = P3Pabsorvida (P1) Pútil (P3 ) P1 MAQUINA P1 = P2 +P3 Pperdida (P2) PUTIL(P3) = TRABAJO REALIZADO TIEMPOEQUIVALENCIAS ÚTILES:1KW.h = (1000W)(3600s) = 3,6.106 J1 HP = 746W (HP = 1 horse power)Determina la potencia del motor de un ascensor cuando eleva la cabina con un pesototal de 11 200 N, con velocidad constante de 1,5 m/s.SoluciónLa fuerza que desarrolla el motor para vencer la gravedad es:F = 11 200 N velocidad constante: v = 1,5 m/sLa potencia desarrollada por el motor es: P = F.vP = (11 200N)(1,5 m/s) 89

P = 16 800wRpta: El motor del ascensor desarrolla 16 800 joules de trabajo en cada segundo.Resuelve los siguientes problemas aplicando potencia1. Un vendedor ambulante aplica una fuerza 2. Un motor consume una potencia de de 200N para empujar un carrito, una 10kW y es capaz de elevar cargas de 980 distancia de 120m.Hallar la potencia desarrollada al cabo de 2minuto que duró N de peso a 10m/s. ¿Cuál es la eficiencia el recorrido. a)150watts del motor? b)140 c)200 a) 95% b) 69 c) 70 d) 58 e) 983.¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 4. Calcula la potencia de una máquina que 100litros de agua por minuto a una altura realiza un trabajo de 900 J en 10s. de 6m? (g = 9,8m/s2 )a) 58watts b) 20 c) 30 d) 98 e) 784. Calcula la potencia de una máquina que 6. ¿Qué trabajo realiza en 20s, una máquina reliza un trabao de 36 000 J en media de 200w de potencia? hora.7. ¿Qué tiempo tarda una máquina de 8. Una grúa eleva un peso de 2 400N a una200w de potencia en realizar un altura de 20m. ¿Calcula la potencia de la grúatrabajo de 1 600J? sabiendo que tarda 10s en realizar el trabajo? 90

SISTEMÁS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITASMÉTODOS DE RESOLUCIÓN1. Método de igualacióna. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.b. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.c. Se resuelve la ecuación obtenida.d. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. Resuelve: I IISoluciónDe ambas ecuaciones despejamos la misma incógnita:De (I): 3x + 2y = 8 de (II): 4x – 3y = 5 3x = 8 – 2y 4x = 5 + 3y 8−2������ X= 3 5+3������ x= 4(I) Igualamos ambas expresiones y operamos:8−2������ = 5+3������ Para hallar “x”, sustituimos “y” en x 3 4 8−2������4(8 – 2y) = 3(5 + 3y) X= 332 – 8y = 15 + 9y 8−2(1)32 – 15 = 9y + 8y X= 317 = 17y 8−217 X= 317 = y 6 1=y X=3 Luego: X=2 C.S. = {(2; 1)}2. Método de sustituciónEste método consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en laotra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de estaincógnita, para calcular el valor de la otra incógnita se sustituye su valor en cualquiera de lasecuaciones del sistema inicial. Resuelve: 4x + 2y = 2 …………… (I) 91

2x – 3y = -11…………. (II)Solucióni) Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones:4x + 2y = 24x = 2 – 2yX = 2−2������ …… (III) 4ii) Sustituimos “x” en la otra ecuación: iii) Para hallar “x”, sustituimos “y” en (III) 2X – 3Y = -11 X = 2−2������ 2−2������ 4 2−2(3) 2( 4 ) – 3Y = -11 X = 4 4−4������ X = 2−6) 4 -3y = -11 4 4 - 4y – 12y = -44 -16y = -44 - 4 X = -1 ∴ C.S. = {(-1; 3)} −48 Y = −16 Y=33. Método de reduccióna. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario.b. Se suman o restan ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior y desaparece una de las incógnitas.c. Se resuelve la ecuación resultante.d. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.e. Los dos valores obtenidos, constituyen la solución del sistema. Resuelve:SoluciónLo más fácil es suprimir la “y”, de este modo no tendríamos que preparar lasecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la “x”, para que veamos mejor el proceso.Restamos y resolvemos la ecuación:Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. 92

∴ C.S. = {(2; 3)} RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITASPara resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje algebraico lascondiciones del enunciado y después resolver el sistema planteado.a. Lee detenidamente el enunciado hasta comprender bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.b. Elige las variables con las que se va a representar los valores desconocidos.c. Traduce las situaciones planteadas verbalmente a un lenguaje matemático.d. Resuelve las ecuaciones propuestas.1. Una parcela rectangular tiene un perímetro de 320 m. Si mide el triple de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela? Solución Llamamos: “ x” al ancho e y al largo El largo es triple que el ancho: y =3x El perímetro es 320: 2x+2y=320El sistema es: 2x + 2y = 320 3x – y = 0Resolvemos: 2x + 2y = 320 2x + 2y = 320 2(3x – y = 0) 2(40) + 2y = 320 2x + 2y = 320 6x – 2y = 0 80 + 2y = 320 8x = 320 2y = 320 - 80 X = 40 y = 120Respuesta: La parcela mide 40 m de ancho por 120 m de largo. 92

RESUELVE LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO EL MÉTODO DE IGUALACIÓN1.2.3.4.5. 93

6.RESUELVE LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN1. 2x - 3y = 5 3x - 2y = 5 C.S. = {(1; -1)}2. 5x + 6y = 32 3x - 2y = -20 C.S. = {(-2; 7)}3. 5x - 6y = -9 3x + 4y = -13 C.S. = {(-3; -1)}4. 4x - 3y = -41 6x + 11y = 475. x + 2y = -12 C.S. = {(-5; 7)} 3x - y = -1 C.S. = {(-2; -5)}6. x + 2y = 9 3x - y = 13 94