ແບບຮຽນ ວິ​ຊາ ສະ​ຖິ​ຕິ-ກະ​ຕວງ, ສາຍ ຟິ​ຊີກ​ສາດ ປີ 1

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¢º®À¢©À®ºœ ¤ì÷È´¢º¤§­˜ ê´† «ó ¾­­¨ò ´ö L  154 155  154,5 2 ¢º®À¢©À®ºœ ¤Àêò¤¢º¤§˜­ê†´ó«¾­­ò¨´ö I  159,5 154,5  5 = 159 160  159,5 2 1  12 10  2 2  12  8  4 Áê-£¾È À¢¾í Mod  154,5  5  2 2  .   4 Mod  156,16 ©¤„ ­˜­ £¾È «¾­­ò¨ö´¢º¤ì¸¤¦ø¤­ñ¡¦¡ô ¦¾¥¿­¸­ 50 £ö-Á´-È 156,16 §ñ¤ªóÁ´©ñ ªö¸µ¾È ¤ 5: ª¾ª½ì¾¤ì÷´È ­Áš ´­È ª¾ª½ì¾¤£½Á--¦º®À¦ñ¤¸§ò ¾ £½-©ò ¦¾©¢º¤-¡ñ ¦¡ô ¦¾¥¿ -¸- 40 £-ö . ª¾ª½ì¾¤ 9 ¦½Á©¤£½Á--¦º®À¦ñ¤¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾ §­˜ êó ¢º®À¢©¥¿¡©ñ £¸¾´«† 1 55,5-61,5 4 2 61,-67,5 5 3 67,5-73,5 8 11 §˜­ê†´ó Mod 4 73,5-79,5 4 5 79,5-85,5 4 6 85,5-91,5 4 7 91,5-97,5 츴 N=40 ¸êò óÁ¡É: ¥¾¡ª¾ª½ì¾¤ 9 §˜­ê´† 󣸾´«†¦ø¤¦÷©Á´È­§˜­êó 4 ¥¾¡¦©ø Mod  L  I  1   1  2    L  73,5 I  79,5  73,5  6 1  11  8  3  2  11  4  7 Áê-£¾È À¢í¾ Mod  73, 5  6  3 3    7   73,5 1,8  75,3 ©„¤­˜­, «¾­­ò¨ö´¢º¤£½Á­­¦º®À¦¤ñ ¸§ò ¾£½­ò©¦¾©À꾉 ¡®ñ 75,3 £½Á--. 1.3 £¾È ´©ñ 꽨½«¾-. £¾È ´ñ©ê½¨½«¾­¢º¤¢´Ó ­ø §÷©Î¤‡ Á´È­£¾È ꆵÈøª¿ÁÎȤÀ£¤… ¡¾¤¢º¤¢´Ó ­ø §÷©­˜­Â©¨¡¾-Àºö¾ ¢Ó´-ø ´¾ì¼¤ì¿©ñ®ÁªÈ-ºÉ ¨¹¾Ã¹¨È Íõ ÁªÈù¨È´¾¹¾­Éº¨ÁìɸÀºö¾£È¾êµ† øȪ¿ÁÎȤÀ£¤… ¡¾¤. ¦¸È - 24

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ £È¾êĆ ©¥É ½Á®¤È ¢Ó´ø­ºº¡À¯ñ­¦º¤¦¸È -£õ ¦¸È ­ê†­ºÉ ¨¡¸¾È £È¾´ñ©ê½¨½«¾­ Áì½ ¦È¸­êÆ ¹¨È ¡¸¾È ´ñ©ê½¨½«¾-. ¡¾-§º¡£¾È ´©ñ 꽨½«¾-´ó 2 ¡ðì½-£ó õ : 1.3.1 ¡¾-§º¡£È¾´ñ©ê½¨½«¾- ¦¿ìñ®¢Ó´ø-©ò®  «¾É ¥¿-¸-¢Ó´-ø À¯ñ-¥¿-¸-£ó¡ (N À¯-ñ Àì¡£ó¡) ¢˜­ªº­êó 1: 켤쿩®ñ ¢Ó´-ø ÁªÈ-ɺ¨¹¾Ã¹¨È Íõ ÁªÈù¨¹È ¾-ɺ¨ ¢­˜ ªº­êó 2: £È¾´©ñ 꽨½«¾­Á´­È £¾È ¢º¤¢Ó´ø­êµ† Èøª¿ÁÎ¤È N 1 Íõ ª¿ÁÎȤÀ£…¤¡¾¤. 2  «¾É ¥¿-¸-¢Ó´-ø À¯ñ-¥¿-¸-£Èø ( N À¯ñ-Àì¡£øÈ) ¢­˜ ªº­êó 1: 켤쿩®ñ ¢Ó´-ø Áª-È Éº¨¹¾Ã¹¨È Íõ ÁªÈù¨È¹¾-ɺ¨ ¢˜­ªº­êó 2: £¾È ´ñ©ê½¨½«¾­Á´È­£¾È ¦½ÀìȨ콹¸È¾¤¢Ó´ø­êµ† ªÈø ¿ÁÎȤ N Áì½ 2 N  2 Íõ À¯ñ­¡¾­­¿Àº¾ö £È¾ê†µøÈì½¹¸È¾¤ª¿ÁÎȤÀ£…¤¡¾¤êñ¤¦º¤ªö¸´¾®¸¡¡ñ­Áìɸ ¹¾­Ã¹É 2. 2 ªö¸µÈ¾¤ 1: »¾É ­º¾¹¾­Á¹¤È ·¤Ä©É®ñ­êô¡¥¿­¸­ìø¡£É¾ê†À¢¾í ´¾»ñ®¯½ê¾­º¾¹¾­£ÔÀ¯ñ­¥¿ -¸- 15 ¸­ñ ©¤„ ­š : 40 52 55 38 40 48 56 56 60 37 58 63 46 50 61 ¥‰¤§º¡¹¾£È¾´ñ©ê½¨½«¾­¢º¤¥¿­¸­ìø¡£É¾ê†À¢¾í ´¾»ñ®¯½ê¾­º¾¹¾­£Ôµ»Èø ɾ­©¤„ ¡¾È ¸. ¸òêóÁ¡É: 켤¢´Ó ø­¥¾¡­Éº¨¹¾Ã¹¨ÄÈ ©É©¤„ ­š: ª¿ÁÎ¤È 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ¢Ó´ø- 37 38 40 40 46 48 50 52 55 56 56 58 60 61 63 À­ˆº¤¥¾¡ N=15 À¯ñ-Àì¡£¡ó ¥½Ä©Éª¿ÁÎȤ¢º¤´©ñ 꽨½«¾-Á´È- N 1  15 1  8 22 ©„¤­­˜ £È¾´ñ©ê½¨½«¾­¢º¤¥¿­¸­ì¡ø £É¾êÀ† ¢í¾´¾»®ñ ¯½ê¾­º¾¹¾­£ÔÁ´È­ 52 £ö-. ª¸ö µ¾È ¤ 2: ¢´Ó ø­ì÷´È ­šÁ´È­­ÕΡñ ¢º¤À©¡ñ ­Éº¨êÀ† ¡ó©ÃÏ¥È ¿­¸­ 10 £­ö ¥¾¡Â»¤ÏÁð ¹È¤Î¤‡ ´ó©„¤­š (¹ö¸Îȸ¨: ¡òÂì¡ë¾´). 3,0 3,6 2,8 3,6 3,5 4,0 3,5 4,5 3,7 3,1 ¥¤‰ §º¡¹¾ £È¾´ñ©ê½¨½«¾­¢º¤­ÕΡñ À©ñ¡­Éº¨©¤„ ¡¾È ¸?. ¸êò óÁ¡:É ì¼¤¢´Ó ø­¥¾¡­Éº¨¹¾Ã¹¨ÄÈ ©É©„¤­š: ª¿ÁÎ¤È 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¢Ó´ø- 2,8 3,0 3,1 3,5 3,5 3,6 3,6 3,7 4,0 4,5 À­ºˆ ¤¥¾¡ N=10 À¯ñ-Àì¡£Èø ¥½Ä©Éª¿ÁÎȤ¢º¤´©ñ 꽨½«¾-Á´-È N  10 = 5 Áì½ N  2  12  6 22 22 ©„¤­˜­, £¾È ´ñ©ê½¨½«¾-¢º¤-ÕÎñ¡À©¡ñ -ɺ¨À¡©ó ÃÏÈ Á´-È 3,5  3, 6  3,55 ¡òÂì¡ë¾´. 2 25

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ª¸ö µÈ¾¤3: ¥¾¡¡¾-¦º®«¾´­ñ¡»¼­¢º¤Â»¤»¼­Á¹¤È Τ‡ ¥¿­¸­10 £ö-ꆨ¾È ¤´¾Â»¤»¼­. Äì ¨½ê¾¤¥¾¡®É¾­¢º¤²¸¡À¢ö¾À«ò¤Â»¤»¼­Ä©É¢Ó´ø­©„¤­.š (¹¸ö Îȸ¨: Á´©ñ ). 11 206 38 60 58 9 58 74 58 38 ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾´ñ©ê½¨½«¾-¢º¤Ä쨽꾤ꭆ ñ¡»¼­êñ¤¦®ò £­ö ­šÀ©-ó 꾤´¾Â»¤»¼-. ¸òêÁó ¡É : 켤¢´Ó ø-ÁªÃÈ ¹¨È¹¾-ºÉ ¨Ä©É ª¿ÁÎȤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¢Ó´ø- 206 74 60 58 58 58 38 38 11 9 À­ºˆ ¤¥¾¡ N=10 À¯ñ-Àì¡£Èø ¥½Ä©Éª¿ÁÎȤ¢º¤´ñ©ê½¨½«¾- Á´È- N  10 = 5 Áì½ N  2  12  6 22 22 ©¤„ ­˜­, £¾È ´©ñ 꽨½«¾­ê§† º¡Ä©ÉÁ´­È 58  58  58 Á´ñ© 2 1.3.2. ¡¾­§º¡¹¾£È¾´ñ©ê½¨½«¾­¦¿ìñ®¢´Ó ø­Ã­»®ø Á®®ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«† í¡¾­§º¡¹¾£È¾´ñ©ê½¨½«¾­´¦ó ø©£©ò Äì©È „¤­:š  N  F   2  Med  L  I (3) f L Á´È­¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤ìÈ´÷ ¢º¤§˜­ê†´´ó ñ©ê½¨½«¾­. F Á´­È £¾È £¸¾´«†¦½¦ö´§- ½­ò©­Éº¨¡ºÈ ­§˜­ê´† ´ó ©ñ 꽨½«¾­ 1 §­˜ . f Á´È­£¸¾´«†¢º¤§˜­ê†´ó´ñ©ê½¨½«¾­. I Á´­È £¸¾´¡¸É¾¤¢º¤§˜­ê´† £ó ¾È ´ñ©ê½¨½«¾­. ªö¸µ¾È ¤ 1: ¢´Ó ø­Ã­ª¾ª½ì¾¤ì´÷È ­Áš ´È­£½Á­­¦º®À¦ñ¤¡¾¤²¾¡¸ò§¾¦½«òªò¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾Ã- ´½¹¾¸ò꽨¾ÄìÁ¹¤È ·¤¥¿­¸­ 65 £ö-. (£½Á-- 25%). ª¾ª½ì¾¤ 4 ¦½Á©¤£½Á--¦º®À¦ñ¤¡¾¤²¾¡¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾ §- ¸È ¤£½Á-- ¥¿-¸--ñ¡¦ô¡¦¾ Îɺ¨¡¸¾È 5 4 5 5-7 9 8-10 12 11-13 18 14-16 13 17-19 3 20-22 1 ;¨¡¸È¾ 22 ¥‰¤§º¡¹¾ £¾È ´©ñ 꽨½«¾­¢º¤¢´Ó ø­©„¤¡¾È ¸?.  N  F   2 ¸êò óÁ¡É : ¥¾¡¦ø© Med  L  I . f 26

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ª¾ª½ì¾¤ 5 §­˜ §È¸¤£½Á-- ¥¿-¸-À©õº- £¸¾´«†¦½¦´ö §½­ò©­Éº¨¡¸¾È (K) (¢ó©¥¿¡ñ©) ( fi ) ( F) 1 Îɺ¨¡¸¾È 5 4 4 2 5-7 5 9 3 8 - 10 9 18 4 11 - 13 12 30 5 14 - 16 18 48 §˜­ê´† ó Med 6 17 - 19 13 61 7 20 - 22 3 64 8 ;¨¡¸¾È 22 1 65 §º¡£È¾ N  65  32,5 Áì¸É ¦ñ¤À¡©À®…¤¸È¾§˜­Ã©Á´­È §˜­ê¿º©ò ê´† 󣸾´«†¦½¦ö´Í¾¨ 22 ¡¸¾È 32,5 ¥½Á´È­§­˜ ê´† ó´ñ©ê½¨½«¾­, À§¤… í­šÁ´È­§˜­êó 5 ´£ó ¸¾´«†¦½¦ö´Á´È­ 48. í­˜­ L  13 14  13,5 Á´È­¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤ìÈ÷´¢º¤§˜­ê†´´ó ñ©ê½¨½«¾­¦¸È ­¢º® 2 À¢©¥¿¡©ñ À®œº¤Àêò¤¢º¤§˜­ê´† ó´ñ©ê½¨½«¾­Àꉾ 16 17  16,5 2 I = ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®ºœ ¤Àêò¤¢º¤§­˜ ꆴó Med Œ ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤ìÈ÷´¢º¤§˜­ê´† ó Med I  16,5 13,5  3 F  30 f  18  N  F   2 ¥¾¡¦ø© Med  L  I f Med  13,5  332,5  30 18  13,92 ©¤„ ­˜­, £½Á--´ñ©ê½¨½«¾-¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾¥¿-¸- 65 £ö­­šÁ´È­ 13,92. ªö¸µÈ¾¤ 2: ¥‰¤§º¡£¾È Med ¥¾¡ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«†ê¡† ¿­ö©Ã¹Éíª¾ª½ì¾¤ 6. ª¾ª½ì¾¤ 6 ¦½Á©¤£½Á--¢º¤-¡ñ »¼- ( £½Á--¦¸È - 50 ). §˜­êó £½Á-- £¸¾´«†  fi  £¸¾´«†¦½¦ö´§- ½-ò©-ɺ¨ (F) 1 25 - 29 4 4 2 30 - 34 5 9 3 35 - 39 7 16 §­˜ ê´† ó Med 4 40 - 44 3 5 45 - 49 1 19 20 ¸êò Áó ¡É: 27

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ §º¡£È¾ N  20  10 ¦ñ¤À¡©À®¤… ¸È¾§˜­Ã©Á´­È §˜­ê¿ºò©ê´† £ó ¸¾´«†¦½¦´ö ;¨¡¸¾È 10 22 ¥½Á´È-§­˜ ê´† ´ó ñ©ê½¨½«¾­, í­šÁ´È­§˜­êó 3 ´£ó ¸¾´«¦† ½¦ö´Á´­È 16. ©¤„ ­˜­ L  34  35  34,5 Á´È­¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤ì÷´È ¢º¤§˜­ê†´ó´©ñ 꽨½«¾­. 2 ¦¸È ­¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤Àê¤ò ¢º¤§­˜ ꆴó´ñ©ê½¨½«¾­Àꉾ 39  40  39,5 2 I = ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®ºœ ¤Àêò¤¢º¤§˜­ê†´ó Med Œ ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®ºœ ¤ì÷´È ¢º¤§­˜ ê´† ó Med I  39,5  34,5  5 F 9 f 7  N  F   2  ¥¾¡¦©ø Med  L  I f Áê-£È¾À¢í¾ Med  34, 5  3  10  9 7   35,2 ©¤„ ­˜­ ´ñ©ê½¨½«¾­¢º¤¢´Ó ­ø §÷©­šÁ´­È 35,2. 1.3. £¸¾´¦¿²-ñ ì½¹¸È¾¤ £È¾¦½Àì¨È , ´©ñ 꽨½«¾- Áì½ «¾--ò¨´ö ¡. «É¾À¦­˜ £ɤ£¸¾´«†¹¾¡À£¤… £õ꼮æÀÈ ¦­˜ ª¤˜ ¦¾¡Ã©Î¤‡ ¥½Ä©É: £¾È ¦½Àì¨È =´©ñ 꽨½«¾-=«¾--ò¨´ö Íõ X = Med = X Mod Med X ¢. «¾É À¦˜­Â£É¤£¸¾´«†¹¾¡®ÀÒ £¤… £õ, £¸¾´¦¿²ñ-ì½¹¸¾È ¤ X , Med Áì½ Mod ¥½¯- ȼ--į-©„¤-­š:  «¾É À- ¦˜­Â- £É¤-£¸¾´-«†-¹¾¡À- ®É§É¾¨, ¥½Ä©É X  Med  Mod ©„¤»- ø® : X Med Mod  «¾É À- ¦˜­-£¤É -£¸¾´-«†¹- ¾¡À- ®É¢- ¸¾, ¥½Ä©É Mod  Med  X ©„¤»- ø®: 28

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Mod Med X 2. £¾È ¸ñ©Áê¡¡¾-Á¥¡µ¾¨¢º¤¢´Ó ø- í®ö©»¼­ê†°¾È ­´¾Ä©ûÀ¸¾í À«ò¤¡¾-¸ñ©Áê¡êȾº¼¤À¢¾í ¦¸È -¡¾¤¢º¤¢Ó´-ø À§¤… À»ñ©Ã¹É»ÀÉø «ò¤ìñ¡ ¦½­½¢º¤¢´Ó ø­ê†À¯­ñ ª¸ö Áê­¢º¤¡÷È´²¼¤£¾È ©¼¸À꾉 ­­˜ , ÁªÀÈ ­ºˆ ¤¥¾¡¸È¾£È¾¡¾¤¢º¤ªö¸Áê- ¡È´÷ ²¼¤£¾È ©¼¸­­˜ ®Ò¦¾´¾©À»©ñ ùÀÉ »¾ö »øÉÄ©ÀÉ «ò¤ìñ¡¦½-½¢º¤¢Ó´ø-Ä©µÉ ¾È ¤²¼¤²ð©¤„ ¢´Ó ø­ªÒį­š: ¢Ó´-ø §©÷ êó 1. 12 15 43 65 30 ´ó X  33 ¢Ó´ø-§©÷ êó 2. 29 32 35 37 32 ´ó X  33 ¥¾¡¢ðû´ø­ê¤ñ ¦º¤§÷©¢É¾¤Àêò¤­š«É¾¹¾¡¸È¾®ÀÒ ¹ñ-¡¾-Á¥¡µ¾¨¢º¤²¸¡´ñ-º¾©¥½À¢í¾Ã¥¸È¾ ¢´Ó ø­êñ¤¦º¤§÷©­šÀ꾉 ¡ñ­À²¾½¸È¾ ´ñ­´ó£È¾¦½ÀìȨÀꉾ¡ñ­êñ¤¦º¤§÷©, ÁªÈÀ´ˆº²ò¥¾ì½-¾À®…¤¢ðû´ø­ Ã-§÷©êó 1 ª¸ö Àì¡Á´È­Áª¡ªÈ¾¤¡­ñ ;¨À§„­: ´£ó Ⱦ¢Ó´­ø ¦¤ø ¦©÷ À꾉 65 Áì½ ¢´Ó ­ø ªÔ¦÷©À꾉 12, ¦È¸-¢û´ð ø-Ã-§÷©ê󦺤Á´È-´óªö¸Àì¡Ã¡É£¼¤¡ñ-. ©„¤­˜­, ¡¾­¦ö´ê¼®¢Ó´ø­êñ¤¦º¤§©÷ ¸È¾Áª¡ª¾È ¤¡­ñ Íõ ®Ò­˜­®¢Ò ›­¡ñ®£¾È ¦½ÀìȨµÈ¾¤©¼¸Àꉾ ­˜­,ÁªÈ¥¿À¯ñ-ªÉº¤´£ó Ⱦ¸ñ©Áê¡¡¾-Á¥¡µ¾¨¢º¤¢´Ó ø­À²ˆºÃ¹»É ¡øÉ ¼È ¸¡ñ®ìñ¡¦½­½¢º¤¢Ó´ø-¸È¾ ´£ó ¸¾´Áª¡ªÈ¾¤¡ñ-;¨Îɺ¨²¼¤Ã©, «¾É ¹¾¡¢Ó´ø-´ó£È¾¡¾-Á¥¡µ¾¨Í¾¨¦½Á©¤¸È¾¢´Ó ø-ÁªÈ 콪¸ö ´ó£¾È ®Òáɣ¼¤¡ñ-. ¦½­˜­Ã­¡¾­­¿¦½ÀÎó¢´Ó ­ø ªÉº¤Ä©É¦½Á©¤£¾È ¸ñ©Áê¡¡¾-Á¥¡µ¾¨ ຂອງ¢Ó´ø-ຄວນ£¸®£øÈ¡®ñ £¾È ¸©ñ Áê¡ê¾È º¼¤À¢í¾¦È¸­¡¾¤À²ˆº §È¸¨Ã¹É¡¾-º½êò®¾¨¢´Ó -ø ĩɵ¾È ¤ §ñ©À¥- Áì½ «õ¡ªÉº¤. ¦½«ªò òê†Ã§Éí¡¾­¸ñ©Áê¡¡¾--Á¥¡-µ¾¨ê­† ò¨ö´Ã§ÉÁ´­È : 1. £¾È ²Äò ¦ (Rang=R) 2. £È¾°ñ-¯È¼- (Variance = Var Íõ S2) 3. £¾È °ñ-¯È¼-´¾©ª½«¾- (Variance Standard : S) 2.1 £¾È ²òĦ ( R) ²òĦÁ´È­£¸¾´Áª¡ªÈ¾¤ì½¹¸¾È ¤£È¾¢Ó´­ø ¦¤ø ¦©÷ ¡ñ®£È¾¢´Ó ø­ê†ªÔ¦÷©. £È¾²òĦÀ¯-ñ ¡¾-¸ñ© Áê¡¡¾­Á¥¡µ¾¨ê†¤È¾¨©¾¨ê¦† ÷©, ¡¾­§º¡¹¾£È¾²òĦ´ó 2 »®ø Á®®£õ: ¡. ¦¿ìñ®¢Ó´-ø ©ò® : R  X max  X min Xmax Á´-È £¾È ¢Ó´ø-¦ø¤¦©÷ 29

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Xmin Á´-È £È¾¢´Ó ø-ªÔ¦©÷ ª¸ö µÈ¾¤ 1: ¥¾¡¡¾-ê©ö ¦º® IQ ¢º¤£º®£¸ö Τ‡ ꆴ¦ó ½´¾§ò¡ 5 £ö­, Ä©É©„¤­š : 108 112 127 118 113 . ¥‰¤§º¡£¾È ²òĦ¢º¤£º®£¸ö ­š. ¸òêóÁ¡É: ¥¾¡ R  X max  X min ¥½Ä©É = 127-108 = 19 ©„¤­˜­, £¾È ²Äò ¦ IQ ¢º¤£º®£¸ö ­šÁ´È­ 19 ຂ. ¦¿ì®ñ ¢Ó´­ø Á®®ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«† : R = ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤Àêò¤¢º¤§˜­¦ø¤¦÷© Œ ¢º®À¢©¥¿¡ñ©À®œº¤ì÷È´¢º¤§­˜ ªÔ¦÷©. ªö¸µ¾È ¤2: °ö-¢º¤¡¾-¦º®À¦ñ¤¡¾¤²¾¡¸§ò ¾ ¦½«òªÀò ®ºœ ¤ªí­¢º¤­ñ¡¦ô¡¦¾¥¿­¸­ 30 £ö­À§¤… ´ó£½Á--Àªñ´ 50 £½Á­­©„¤Ã­ª¾ª½ì¾¤: ª¾ª½ì¾¤ 1 £½Á--¦º®À¦¤ñ ¡¾¤²¾¡¸§ò ¾¦½«òªò¢º¤-¡ñ ¦¡ô ¦¾ §¸È ¤£½Á-- 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 ¥¿-¸- -ñ¡¦ô¡¦¾ 2 4 12 7 5 ¥‰¤§º¡¹¾£È¾²òĦ ¢º¤°ö­¡¾­¦º®À¦ñ¤¡¾¤²¾¡¢º¤­ñ¡¦ô¡¦¾©„¤¡È¾¸?. ¸êò óÁ¡É: R = 50,5- Œ 0,5 = 50 ©¤„ ­˜­, £È¾²Äò ¦¢º¤°ö­¡¾­¦º®À¦¤ñ ¡¾¤²¾¡¢º¤­ñ¡¦¡ô ¦¾Á´È­ 50 £½Á­­. 4 ª¸ö µÈ¾¤ 3:Á®®¦º®«¾´®©ö ¸Äò ¥®©ö ·¤Ã­»ø®Á®®º©ñ ª¾¦È¸­¯½´¾­£¾È 5 ºñ­©ñ® £õ: 5 3 2 1. ©¨¦º®«¾´°É§ø ¼È ¸§¾­ 20 êȾ­ ©„¤ª¾ª½ì¾¤Á¥¡µ¾¨£¸¾´«†ªÄÒ ¯­š: ª¾ª½ì¾¤ 2 Á®®¦º®«¾´®ö©¸òÄ¥. ¢êÓ ó ºñ-©ñ® £¸¾´«† ¢êÓ ó ºñ-©ñ® £¸¾´«† 5 2 5 11 4 2 4 8 13 6 23 1 2 4 2 0 1 6 1 0 Mod Á´È- 1,3 N = 20 Mod Á´È- 5 N = 20 ¥¤‰ £¿­¸­¹¾£È¾²òĦ¥¾¡ª¾ª½ì¾¤Á¥¡µ¾¨£¸¾´«† ¢Ó 1 Áì½ ¢Ó 2 ¸òêóÁ¡É: ¥¾¡¢Ó 1 ©¨ºó¤ª¾´¦ø©, ¥½Ä©É R  51 = 4 ¥¾¡¢Ó 2 ©¨ºó¤ª¾´¦ø©, ¥½Ä©É R 53 = 2 ¦½Í÷®Ä©É¸È¾¥¾¡ R  4 Ͼ¨£¸¾´¸È¾£¸¾´£ò©À¹ñ-¢º¤°øɧȼ¸§¾-Á´È-Áª¡ªÈ¾¤¡ñ- ;¨, ¥¾¡ R  2 Ͼ¨£¸¾´¸È¾ °øɧȼ¸§¾-´ó£¸¾´£ò©À¹ñ-įª¾´¡ñ- (¦º©£Èº¤¡ñ-) Áì½ «É¾¹¾¡¸È¾ R  0 Ͼ¨£¸¾´¸È¾£¸¾´£ò©À¹ñ-¢º¤°§øÉ È¼¸§¾-®ÒªÈ¾¤¡ñ-. 30

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 2.2 £È¾°ñ-¯¼È - (Var) £¾È °ñ­¯¼È ­À¯ñ­£È¾ê†Ã§¸É ñ©Áê¡¡¾­Á¥¡µ¾¨¢º¤¢´Ó ø­ê†­ò¨ö´Ã§É;¨ê†¦÷©,©¨ê†£¾È °ñ- ¯È¼-¥½²ò¥¾ì½-¾¥¾¡°ö-츴¢º¤£È¾Áª¡ªÈ¾¤ì½¹¸È¾¤£È¾¢º¤¢Ó´ø-ÁªÈ콣Ⱦ¡ñ®£È¾¦½ÀìȨ, «¾É £È¾Áª¡ªÈ¾¤­­˜ ;¨¦½Á©¤¸È¾ ¢´ûð -ø ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Í¾¨. £¾È ©¤„ ¡¾È ¸º¾©¥½À¯ñ-£È¾®¸¡ Íõ £¾È ìö®¡Äð ©ÁÉ ì¸É ÁªÈ£È¾¦½Àì¨È ¥½Í¾¨¡¸È¾ Íõ -ºÉ ¨¡¸È¾£È¾¢º¤¢´Ó ø-. £¾È °ñ-¯¼È -¢º¤¯½§¾ ¡º­À²…­¦ñ­¨½ìñ¡©É¸¨  2 Áì½ ª¸ö µÈ¾¤Á´È- S 2 ກ. £È¾°ñ-¯¼È -¦¿ìñ®¢´Ó ø-©ò®. - ສຳລບັ ປະຊຳກອນ:   2N 2 N 2  N Xi 2   i   Xi  X   i1  i 1 1    i N   NN Œ ¦¿ìñ®ªö¸µÈ¾¤  N X i  X 2 S 2  i1 N 1 N   N  2  i1    Íõ N X 2 X i i i 1 S2  N N 1 ຂ. ¦¿ìñ®¢Ó´ø­Á®®ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«†. - ສຳລບັ ປະຊຳກອນ: K  fi(Xi  )2  2  i1 N KK  fi X 2  ( fi Xi )2 i ຫຼື  2  i1 i 1 N2 - ສຳລບັ ຕວົ ຢຳ່ ງ:  K fi X i  X 2 S 2  i1 N 1 K   K  2  i1    Íõ N f i X 2 f i X i i i 1 S2  N N 1 31

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ  ¹ö¸Î¸È ¨¢º¤£È¾°ñ-¯È¼- À­ˆº¤¥¾¡¸È¾£È¾°ñ­¯È¼­Àꉾ N X i   2 ¥‡¤À»ñ©Ã¹É¹ö¸Î¸È ¨¢º¤£È¾°ñ-¯È¼-¢›­¡¿ìñ¤ i1 N ¦º¤¨Éº-¸È¾êñ¤£È¾¢Ó´ø- X i  Áì½ £È¾¦½ÀìȨ  ìɸ-ÁªÈÁ´È-¹ö¸Îȸ¨©¼¸¡ñ-À§„­¸È¾«É¾¹ö¸ Î¸È ¨À¯ñ-¡ó®, £È¾°ñ-¯È¼-¥½´ó¹ö¸Îȸ¨À¯ñ- (¡®ó )2 Íõ «É¾£È¾¢º¤¢Ó´ø-À¯ñ-£ö-, £È¾°-ñ ¯¼È -¡ð¥½ ´ó¹¸ö Î¸È ¨À¯ñ- (£ö-)2. ª¸ö µ¾È ¤1: ¥‰¤§º¡¹¾£È¾°­ñ ¯¼È ­¢º¤¢Ó´­ø ªÄÒ ¯­š: 54313 ¸êò Áó ກ:້ £¾È ¦½ÀìȨÁ´È-   N Xi  i1 N  5  4  3 1  3 5  3,2 ¥¾¡¦©ø 2  N  X i   2  i1 N ¥½Ä©É  2  5  3,22  4  3,22  3  3,22  1  3,22  3  3,22 5  8,8  1,76 5   2 N  N X i  2 i 1  i 1  X 2  i N ÍÃõ §É¦ø©  N 25 16  9 1 9  5  4  3 1 32 2  5 5 60  162  5  1,76 5 ©¤„ ­˜­, £È¾°­ñ ¯¼È ­¢º¤¢´Ó ø­©¤„ ¡È¾¸Á´­È 1,76. ªö¸µ¾È ¤ 2: ¢´Ó ø­ì´È÷ ­šÁ´È­¢Ó´ø­ªö¸µÈ¾¤ 12 6 15 3 12 6 21 15 18 12 ¥‰¤§º¡¹¾£È¾ °ñ­¯È¼­¢º¤¢Ó´­ø §÷©­š. ¸êò óÁ¡É: §º¡£¾È ¦½ÀìȨ X  12  6  15  3  12  6  21  15  18  12  120 10 10 X  12 ª¾ª½ì¾¤ 3 ª¾ª½ì¾¤£ò©ÄìÈ£¾È ꆪºÉ ¤Ã§Éí¦©ø : 32

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Xi Xi  X X i  X 2 12 0 0 6 -6 36 15 3 9 3 -9 81 12 0 0 6 -6 36 21 9 81 15 3 9 18 6 36 12 0 0 10  xi   2  288 i 1  N 2  Xi X ¥¾¡¦©ø S 2  i1 N 1 Áê-£¾È À¢¾í  288 9  32 ©„¤­˜­, £È¾°­ñ ¯È¼­¢º¤¢Ó´­ø §÷©­Áš ´È­ 32 ª¸ö µ¾È ¤ 3: À´ˆºÀìºõ ¡Àº¾ö ­¡ñ ¦ô¡¦¾§¾¨¥¿­¸­ 100 £-ö À²ˆº¦º®«¾´ì¸¤¦ø¤Áìɸ¥ñ©À¯ñ-ª¾ ª½ì¾¤Á¥¡µ¾¨£¸¾´«†Ä©É©„¤­š: ª¾ª½ì¾¤ 4 츤¦ø¤¢º¤­ñ¡¦ô¡¦¾Ã­¦½«¾®ñ­Á¹È¤Î¤‡ 츤¦ø¤¢º¤-ñ¡¦¡ô ¦¾§¾¨ (§ñ¤ªóÁ´©ñ ) ¥¿-¸- 135 - 144 5 145 - 154 18 155 - 164 42 165 - 174 27 175 - 184 8 츴 100 À´ºˆ »øɸȾ츤¦¤ø ¦½ÀìȨ¢º¤­ñ¡¦ô¡¦¾§¾¨À;‰ ­šÀꉾ 161 §¤ñ ªÁó ´ñ©. ¥¤‰ §º¡¹¾£¾È °ñ-¯È¼- 츤¦ø¤¢º¤­ñ¡¦ô¡¦¾§¾¨À͉¾­š. ¸êò óÁ¡É: À»ö¾´ó X  161 §´ ª¾ª½ì¾¤ 5 ª¾ª½ì¾¤£ò©ÄìȣȾªÈ¾¤Åê†Ã§ÃÉ ­¦ø©. 33

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ À´©ñ ¡¾¤ £¸¾´«† 2  2 Xi  X fi Xi  X  ¢º®À¢©¥¿¡©ñ Xi fi Xi  X 134,5-144,5 139,5 5 - 21,5 462,25 2.311,25 144,5-154,5 149,5 18 - 11,5 132,25 2.380,5 154,5-164,5 159,5 42 - 1,5 2,25 94, 5 164,5-174,5 169,5 27 8,5 729 19.683 174,5-184,5 179,5 8 18,5 64 512 5  fi X i   2 = 24.981,25 i 1  2 ¥¾¡¦ø©£È¾°-ñ ¯¼È - 5 fi Xi  X S2  i1 N 1 ¥½Ä©É  24981,25 99 S 2  252,33 (§´)2 2.3. £¾È °ñ-¯¼È -´¾©ª½«¾- ¡¾­¸ñ©Áê¡¡¾­Á¥¡µ¾¨¢ð´û ø­ê†«õ¸È¾©óꦆ ÷©Á´-È £È¾°-ñ ¯¼È -´¾©«¾-. ¡¾-£ò©ÄìȮҹ¨É÷¤ ¨¾¡, çɢӴø­ê÷¡Åª¸ö , ¦½­˜­Ã­¡¾­¸ñ©Áê¡¡¾­Á¥¡µ¾¨¢´Ó ø­©¸É ¨£È¾°ñ­¯È¼­´¾© ª½«¾-¥‡¤ «õ¡­ò¨´ö çÉ;¨ê†¦÷©. £¾È °ñ-¯¼È -´¾©ª½«¾-§º¡Ä©É¥¾¡¡¾-«º-»¾¡¢˜­¦º¤¢º¤£È¾°ñ­¯È¼­. «¾É Á´È-£È¾°-ñ ¯¼È -´¾©ª½«¾-¢º¤¯½§¾¡º-¦ñ-¨½ì¡ñ ©É¸¨  (º¾È -¸¾È §ò¡´¾) Áª«È ɾÁ´-È £È¾°-ñ ¯¼È -´¾© ª½«¾-¢º¤ªö¸µÈ¾¤¦ñ-¨½ì¡ñ ©É¸¨ S Íõ S.D ¡. Ã-¡ðì½-¢ó ´Ó ø-©ò® Œ ¦¿ì®ñ ¯½§¾¡º­ N (Xi  )2   i1 N  NN X 2   N Xi  2 i 1 i  i 1  Íõ   N2 Œ ¦¿ì®ñ ªö¸µ¾È ¤ N (Xi  X)2 S  i1 N 1 N N X 2   N Xi  2 i 1 i  i 1  Íõ S  N (N 1) ¥½¦ñ¤À¡©À¹ñ-¸¾È ¦ø©¡¾-§º¡¹¾£¾È °ñ-¯È¼-´¾©ª½«¾-¢º¤ªö¸µ¾È ¤¥½Áª¡ªÈ¾¤ ¥¾¡¦ø© ¡¾-§º¡¹¾£È¾°ñ­¯È¼­´¾©«¾­¢º¤¯½§¾¡º­ê†Ã§É N 1 ¹¾-¡ð¨Éº-¸¾È ¡¾-§º¡ ¹¾£È¾°ñ- ¯È¼-´¾©ª½«¾­¥¾¡ªö¸µÈ¾¤Á´È­À²ˆº¦½Í®Ð ºÉ¾¤ºó¤À«ò¤¯½§¾¡º­À§¤… ´£ó ¸¾´£¾©À£ˆº­Àìñ¡ 34

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ -ɺ¨. ©„¤­˜­,¥¿À¯-ñ ªºÉ ¤Á¡ÄÉ ¢£¸¾´£¾©À£ˆº­­šÂ©¨Ã§É´ªò Àò º¡½ì¾© N 1Áê-.Áª«È ɾ¡÷È´ ªö¸µ¾È ¤´¢ó ½Î¾©Ã¹¨ÃÈ ¡É£¼¤¡ñ®¯½§¾¡º-, £¾È N 1Áì½ N ¥½®´Ò 󣸾´Áª¡ª¾È ¤¡ñ-. ¢. ¡ðì½­¢ó Ó´­ø Á®®ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«† Œ ¦¿ìñ®¯½§¾¡º­   K  fi(Xi  )2 i 1 N K   K  2  i1   Íõ N f i X 2 fi X i i i 1  N2 Œ ¦¿ìñ®ª¸ö µÈ¾¤ K  fi(Xi  X )2 S  i1 N 1 K   K  2  i1   Íõ N f i X 2 f i X i i i 1 S N (N 1) X i Á´È­À´©ñ ¡¾¤¢º¤§˜-êó i fi Á´­È £¸¾´«†¢º¤§˜­êó i N Á´È-¥¿-¸-¢´Ó ø-êñ¤Ï©ö K Á´È­¥¿­¸­§­˜ ªö¸µ¾È ¤ 1: ¥¾¡ªö¸µÈ¾ 1 ¢º¤¢Ó 2 ꆴ¢ó º¤§÷©¢Ó´ø­ 5 4 3 1 3 À§†¤´ó   3,2 Áì½  2  2,2 . ¥‰¤§º¡£¾È °­ñ ¯È¼­´¾©ª½«¾­. ¸òêóÁ¡É: »Éø¸¾È  2 1,76 ¥¾¡¦©ø :   2 Áê-£¾È À¢¾í , ¥½Ä©û:  1,76  1,32 ª¸ö µ¾È ¤ 2: ¥‰¤§º¡¹¾£È¾°­ñ ¯ú¼- Áì½ £È¾°ñ-¯¼È -´¾©«¾-츤¦ø¤¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾¥¿-¸- 5 £ö- ©„¤ªÒį­.š ( ¹ö¸Î¸È ¨: §ñ¤ªÀó ´©ñ ) 162 170 173 158 164 ¸òêóÁ¡É: ¡ºÈ ­ºˆ­§º¡ X ¥¾¡¦ø© N Áê-£¾È ¢´Ó ø-À¢¾í , ¥½Ä©É:  Xi X  i1 N  162 170 173 158 164 5  827 5  165,4 35

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Áì½ ¥¾¡¦ø© N (Xi  X)2 S  i1 N 1 S  (162 165.4)2  (170 165.4)2  (173 165.4)2  (158 165.4)2  (164 165.4)2 5 1 ©„¤­˜­ S  147,2 4  6,06 ¦½­˜­, £¾È °ñ­¯¼È ­´¾©ª½«¾­¢º¤ì¸¤¦¤ø ­¡ñ ¦ô¡¦¾ 5 £­ö ©„¤¡È¾¸Àꉾ¡ñ® 6,06 §ñ¤ªÀó ´©ñ . ªö¸µ¾È ¤ 3: ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾°­ñ ¯È¼­´¾©ª½«¾­¥¾¡ª¾ª½ì¾¤ªÒį­š : ª¾ª½ì¾¤ 6 ¢ó©¥¿¡©ñ £¸¾´«†  fi  ¸êò Áó ¡É: 60- 64 4 55 - 59 6 50- 54 7 45 - 49 5 ¦¾É ¤ª¾ª½ì¾¤£È¾ªÈ¾¤Åꆥ½ªÉº¤Ã§ÉÀ¢¾í í¦ø©. ª¾ª½ì¾¤ 7 £¸¾´«† À´©ñ ¡¾¤      fi X i X i  X ¢©ó ¥¿¡©ñ Xi  X 2 fi Xi  X 2 60 Œ 64  fi  Xi  248 8 64 256 4 62 55 Œ 59 6 57 342 3 9 54 50 Œ 54 7 52 364 Œ 2 4 28 45 Œ 45 5 47 235 Œ 7 49 245 4 4  fi X i =1.189  fi ( X i  X )2 = 583 i 1 i 1 K  fi Xi ¥¾¡¦©ø X  i1 N ¥½Ä©É X  1189 = 54 22 ¥¾¡¦ø© S  K 583  5,147 21  fi(Xi  X )2 i1 = N 1 ©„¤­˜­ £È¾°ñ­¯¼È ­´¾©«¾­Á´È­ 5,147 36

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®©ö À±ò¡¹©ñ 1. ¡¾-Á¥¡µ¾¨¢Ó´ø-À¯ñ-Á-¸Ã© «¾É R=0 2. ¥‰¤§º¡£È¾°ñ­¯¼È ­ Áì½ £È¾°ñ­¯È¼­´¾©ª½«¾­ ¥¾¡¢Ó´­ø ꡆ ¿­ö©Ã¹É £:õ X i 29 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66 fi 1 1 3 4 2 3 2 2 3 1 1 1 1 3. ¥¾¡°-ö ¢º¤¡¾-¦º®À¦¤ñ ¸ò§¾ ¦½«òªò¢º¤-ñ¡¦ô¡¦¾¥¿-¸- 30 £ö- êÀ† ìõº¡´¾¥¾¡¯½§¾ ¡º­¡´È÷ Τ‡ ´£ó ½Á­­©¤„ ­š 32 36 38 40 42 44 45 46 47 47 48 49 50 51 51 51 52 52 53 54 62 62 63 65 66 68 69 71 73 77 ¡. ¥‰¤¦¾É ¤ª¾ª½ì¾¤Á¥¡µ¾¨£¸¾´«†Â©¨Ã¹£É ¸¾´¡¸¾É ¤¢º¤§˜­Àꉾ 5 Áì½ §­˜ Àì´† ªí­ Á´È­ 30Œ34 ¥¾¡­˜­Ã¹É§º¡¹¾£¾È °ñ­¯È¼­´¾©ª½«¾­¢º¤£½Á­­©¤„ ¡È¾¸?. ¢. ¥¤‰ §º¡¹¾£¾È °­ñ ¯È¼­´¾©ª½«¾­¥¾¡¢Ó´-ø ©ò®?. £. ¥¾¡¢Ó ¡ Áì½ ¢ Ó ¢ ù¦É ´ö ê¼®£¾È °ñ-¯¼È -´¾©ª½«¾-ê¤ñ ¦º¤¸¾È ´£ó ¸¾´°ò©®¼È ¤Í¾¨ 뼃 ¨²¼¤Ã©, ¨Éº-¹¨¤ñ ? 4. Àìõº¡Àºö¾­¡ñ »¼­§˜­´ñ©ê½¨ö´¯óêó 5 ´¾¥¿-¸- 10 £-ö ¥¾¡Â»¤»¼­Á¹¤È Τˆ À²ºˆ ê©ö ¦º® ¡¾-²ò´©ó©Â©¨Ã¹²É ´ò ®©ö À캈 ¤ê†¡¿­©ö ùÃÉ ­1 -¾êóÁì¸É -ñ®Àº¾ö £¿¦ñ®ê†²´ò °ò©, ¯½¡ö©¸¾È ¥¿­¸­£¿¦ñ®ê­† ñ¡»¼­ÁªìÈ ½£ö­²´ò °ò©´ó©„¤­:š 9 11 8 18 12 15 7 16 14 10 ¦ö´´÷©Ã¹-É ñ¡»¼- 10 £ö­ ­Àš ¯ñ­¯½§¾¡º­, ¥¤‰ §º¡¹¾£¾È °ñ­¯È¼­´¾©ª½«¾­¢º¤ ¡¾­²´ò êñ¤ 10 £ö­­.š 5. ¥¤‰ §º¡¹¾ £È¾°ñ­¯È¼­ Áì½ £¾È °ñ­¯È¼­´¾©ª½«¾­ ¢º¤¢Ó´ø­ê¡† ¿­ö©Ã¹É©„¤­š: §­˜ êó £½Á-- £¸¾´«† 1 24-26 1 2 21-23 3 3 18-20 8 4 15-17 11 5 12-14 16 6 9-11 10 7 6-8 9 8 3-5 4 9 0-2 1 6. ¥¾¡°ö-¢º¤¡¾-¦º®À¦¤ñ ¸ò§¾ ³ó§ò¡¦¾© ¢º¤­ñ¡¦¡ô ¦¾¯êó ó 2 ¹Éº¤Î‡¤¥¿­¸­ 40 £ö­ ¢º¤ ¦½«¾®ñ-¦¾É ¤£øÁ¹È¤Î‡¤¯½¡©ö °ö­©¤„ ­:š 63 76 98 82 87 84 78 74 68 75 52 86 77 87 70 67 77 79 92 81 77 40 66 94 79 81 82 81 78 70 60 88 46 81 77 83 76 70 61 92 37

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¡. ¥‰¤¦É¾¤ª¾ª½ì¾¤Á¥¡µ¾¡£¸¾´«†?. ¢. ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾²Äò ¦ Áì½ £¾È °ñ­¯¼È ­´¾©ª½«¾­?. 7. ¥‰¤§º¡ X Áì½ S 2 ¥¾¡ª¾ª½ì¾¤£¸¾´«†­š: §˜­êó £½Á-- ¥¿-¸--ñ¡¦¡ô ¦¾ 1 0-10 5 2 10-20 4 3 20-30 8 4 30-40 12 5 40-50 16 6 50-60 25 7 60-70 10 8 70-80 8 9 80-90 5 10 90-100 2 8. ¥¾¡¢Ó´ø­¡¾­¢¾¨ìö©Ã¹¨È ¢º¤®ðìò¦ñ©Î‡¤ ¥¿­¸­ì©ö ꆢ¾¨ºº¡ (£ñ­) º¾êò© 0-4 1 5-9 3 10-14 4 15-19 6 20-24 9 25-29 12 30-34 7 35-39 5 40-44 4 45-49 1 ¥‰¤§º¡£¾È ²Äò ¦Áì½ §º¡£È¾°ñ­¯È¼­´¾©ª½«¾­ ?. 9. ¡¾--¸©ñ Á- ê¡ê- Ⱦ-º¼È ¤-À¢í¾-¦¸È --¡¾¤ ´-󣸾´¦- ¿£ñ--Ã--¡¾---¿-¦½À- ΢ó ´-Ó -ø Á--¸-é? 10. ¥¤‰ -§º¡¹- ¾ X , Med Á- ì½ Mod ¢º¤¢- ´-Ó ø--ÁªìÈ ½§÷©ì÷È´­š: ¢´Ó -ø §÷©êó 1. 10 8 6 0 8 3 2 2 8 0 ¢´Ó ø-§©÷ êó 2. 1 3 3 5 5 5 7 7 9 ¢´Ó ø-§÷©êó 3. 120 5 4 4 4 2 1 0 ¥¾¡¢Ó´ø­ê¤ñ 3 §÷©­š¢Ó-´ø-§- ÷©-é£- ¸-Ã- §£É Ⱦ X Ã- --¡¾-¸- ñ©-Áê¡ê- Ⱦ-º¼È ¤-À¢í¾-¦È¸-¡- ¾¤-, ¨ºÉ - - ¹¨¤ñ ? 11. ¥¾¡ª- ¾ª- ½ì¾¤Á¥¡µ¾¨£¸¾´«†ìÈ÷´­š §˜­êó ¢©ó ¥¿¡©ñ fi 1 13-15 2 2 161- 8 5 3 19-21 7 4 22-24 6 38

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¥¤‰ -§º¡-¹¾ £È¾-¦½-ÀìȨ Áì½ £È¾«¾--ò¨ö´ 12. 츤¦- ø¤-¢º¤--¡ñ »- ¼--§¾¨-¥¿-¸- 10 £ö- Á- ê¡-Ä©©É „¤-­.š- ( ¹ö¸Îȸ¨: §¤ñ ªóÁ´ñ©) 162 160 150 175 155 164 168 159 85 175 ¥¤‰ §- º¡-¹¾ X , Med Á- ì½ Mod 13. ¥¤‰ -§º¡-¹¾ X , Med Á- ì½ Mod ¥¾¡¢Ó´ø­ªÈ¾¤Åì÷È´­šÀ§…¤À¯ñ­º¾¨÷¢º¤­ñ¡»¼­ 16 £ö­ ( ¹ö¸Îȸ¨: ¯)ó 20 17 16 15 19 19 18 12 13 13 17 16 14 14 16 15 14. Ã-¡- ¾-¸- ñ© I.Q ¢º¤--ñ¡-»¼-¥- ¿-¸- 25 £ö- ´ó-©„¤­- š : 100 82 88 81 83 96 105 108 78 102 97 113 126 94 85 119 67 91 88 99 88 72 77 88 114 ¡. ¥¤‰ -§º¡¹- ¾ I.Q ¦½-Àì¨È ¢º¤--¡ñ -»¼­À;‰ ­š. ¢. ¥‰¤-§º¡-¹¾£È¾-´ñ©-꽨½«- ¾- . 15. ¥¾¡¡- ¾--¦¿Í¸©º¾¨÷-¢º¤-Á´È¨- ò¤Ã- --ĸê- †´- -ìó ¡ø -Ä©ÉÃ-¯ó 1987 ¢º¤Ï®Èø ɾ-Á- ¹È¤Î‡¤¥¿-¸- 30 £-ö ¯½-¡©ö -´-Áó ´È-¨ò¤-ê-´† ó-º¾¨1÷ 5-19 ¯ó ´ó 4 £-ö -, 20-24 ¯ó ´ó 5 £ö-, 25-29 ¯ó ´ó 8 £ö-, 30-34 ¯ó ´ó 6 £ö-, 35-39 ¯ó ´ó 4 £ö- -Áì½ 40- 44 ¯ó ´ó 3 £-ö . ¥‰¤-§º¡¹- ¾-º¾¨-÷¦½À- ìȨ¢º¤-Á´È¨- ò¤Ã- --ĸ-ê-´† -óì¡ø -Ä©-¢É º¤Ïø®È ¾É -Á- ¹È¤-­š?. 16. ª¾ª- ½ì¾¤ª- Ä-Ò ¯­- š¦½-Á©¤À- «ò¤ º¾¨÷-¡¾--ç-ɤ¾--Ä©É-¢º¤-©º¡Ä- ³ ¨-¹† Ó A ¥¿-¸- 1000 ©º¡ (¹¸ö Î¸È ¨: -À©ºõ -) º¾¨-÷¡¾--çÉ-¤¾- ¥¿-¸--©º¡Ä- ³ 3,53- ,9 50 4,0-4,4 150 4,54- ,9 430 5,05- ,4 200 5,5-5,9 110 6,06- ,4 60 ¥¤‰ -£ò©Ä- ì-È£¾È -¦½À- ìȨ -Áì½ £È¾´- ñ©-꽨- ½«¾-- ?. 17. ¡¾-Á- ¥¡-µ¾¨-£½-Á---¦º®À- ¦ñ¤¸ò§¾²- ¾¦¾-º¤ñ ¡ò©¢º¤--ñ¡-¦ô¡¦¾-¥¿-¸- 140 £ö­ ©„¤-ª¾-ª½ 쾤-ì´È÷ -­:š §­˜ êó £½Á- -- £¸¾´-«†-¦½¦ö´ 1 10-19 140 2 20-29 133 3 303- 9 118 39

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 4 404- 9 100 5 505- 9 75 6 606- 9 45 7 70-79 25 8 808- 9 9 9 909- 9 2 ¥¤‰ -£ò©-Äì-È£¾È -¦½À- ìȨ¢º¤£- ½-Á---©„¤¡È¾¸? 18. ¥¤‰ -§º¡-¹¾£- ¸¾´-«-†ê-†¢¾©-¹¾¨-į-¥¾¡-¢´Ó- ø--ªÒ-į-­š «É¾»- øɸ- ¾È X  16,82 ²Éº´-ê¤ñ §- º¡- Med - Áì½ Mod §­˜ êó ¢º®-À¢©¥- ¿¡©ñ £¸¾´-«† 1 05- 10 2 51- 0 12 3 10-15 16 4 152- 0 - 5 20-25 14 6 25-30 10 7 30-35 8 19. ¥¾¡ª- ¾-ª½ì¾¤¡- ¾--Á¥¡µ- ¾¨-£¸¾´-«†-­š ¥‰¤-ÁªÉ´À- ¦˜­¦½Á©¤£¸¾´«- †-¦½-¦ö´§- ½-ò©Îɺ¨ ¡¸È¾ -Áì½ Í¾¨¡¸¾È ²Éº´êñ¤-§º¡-£È¾-´ñ©-꽨½«¾-. §­˜ êó £½-Á-- ¥¿-¸---ñ¡-¦¡ô ¦¾ 1 0-10 5 2 10-20 4 3 203- 0 8 4 30-40 12 5 405- 0 16 6 506- 0 25 7 607- 0 10 8 708- 0 8 9 809- 0 5 10 90-100 2 40

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 20. ¥¤‰ §- º¡¹- ¾ Med Á- ì½ Mod ¢º¤-¢Ó-´ø--ª-ÄÒ ¯-­:š §­˜ êó º¾¨÷ ¥¿-¸--£ö- 7 1 55-60 13 15 2 50-55 20 30 3 455- 0 33 28 4 404- 5 14 5 354- 0 6 30-35 7 253- 0 8 202- 5 41

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®ö©êó 3: ຄາ່ ¡½ª¸¤ 1. ຄາສບັ ພ້ືນຖານຂອງຄາ່ ກະຕວງ. 1.1 ¥¡ñ ¡½¸¾-ªö¸µ¾È ¤, À´ñ©ª¸ö µ¾È ¤ Áì½ À¹©¡¾-. ¡. ¥¡ñ ¡½¸¾-ª¸ö µ¾È ¤ Ͼ¨À«ò¤¡È÷´°ö-Ä©É»®ñ ¢º¤¡¾-êö©ìº¤Â©¨®ñ¤Àºó-ê¡÷ µ¾È ¤ê†¦¾´¾©À¯ñ- įĩÉ, ¦ñ-¨½ìñ¡©¸É ¨ S, À§…¤ S ¥½¯½¡º®©É¸¨®ñ-©¾À´ñ©ª¸ö µÈ¾¤ Áì½ Á®È¤ºº¡À¯-ñ 2 §½-ò© £õ ¥¡ñ ¡½¸¾-ª¸ö µÈ¾¤ê¡† ¿­ö©Ä©É Áì½ ¡¿­ö©®ÒÄ©.É - ¥¡ñ ¡½¸¾­ª¸ö µÈ¾¤ê†¡¿­ö©Ä©É (¦­™ ¦©÷ ) Á´­È ¡È÷´¢º¤®ñ­©¾À´ñ©ª¸ö µÈ¾¤ê†­ñ®Ä©É À§„­ ¡¾­ ¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 1 Î¸È ¨ 1 À꺈 , ¥¿­¸­¦ñ©Ã­ ±¤ø Τ‡ ... - ¥ñ¡¡½¸¾­ªö¸µÈ¾¤ê†¡¿­ö©®ÒÄ©ÉÁ´È­¡÷È´¢º¤®ñ­©¾À´ñ©ªö¸µÈ¾¤ê†´ó¥¿-¸-;¨-ñ®®ÒÄ©É À§­„ ¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ-¥-ö ¡¸È¾¥½ºº¡¡Éº¨. ¢. À´ñ©ª¸ö µ¾È ¤ Á´­È °ö­Ä©É»ñ®ê†À¡©ó ¢›­¥¾¡¡¾­êö©ìº¤Â©¨®ñ¤Àº-ó ¹õù Á´-È º¤ö ¯½¡º®¢º¤ ¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤ ꆦ¾´¾©¢¼­©É¸¨¦ñ­¨½ìñ¡Ã©Î‡¤Ä©.É ªö¸µÈ¾¤ 1: Ã-¡¾-ê©ö 캤¨-À¤-ò ͼ- 1 ͼ-1 Àꈺ°ö­¢º¤¡¾­ê©ö 캤º¾©¥½À¯ñ-¹ö¸ (H) Íõ ¡ºÉ ¨ (T) ©„¤­:š S  {H, T} À»ö¾Ä©É¦º¤À´ñ©ªö¸µ¾È ¤£õ H Áì½ T 1. Ã-¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- 2 Àꈺ Íõ 2 ͼ- 1 À꺈 ¥½Ä©É. S  {HH, HT, TH, TT}, À»¾ö Ä©ÀÉ ´©ñ ªö¸µÈ¾¤£õ HH, HT, TH Áì½ TT. À²ˆº£¸¾´¦½©¸¡ Áì½ À¢í¾Ã¥¤È¾¨À»ö¾¦¾´¾©§º¡¹¾°ö-¢º¤¡¾-êö©ìº¤©É¸¨¡¾- Áª´É À¯­ñ Á°­¸¾©Á®®¤È¾©„¤­:š À꺈 êó 1 À꺈 êó 2 °-ö Ä- ©É»- ®ñ HH À¤-ò ¹ù¼- H HT H TH T TT H T T ¥¿-¸-À´©ñ ª¸ö µÈ¾¤¢º¤ S = 2 2  4 2. Ã-¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- 3 À꺈 Íõ 3 ͼ- 1 À꺈 . 42

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ À꺈 êó 1 À꺈 êó 2 Àꈺêó 3 °-ö Ä- ©É»ñ® H H HHH H T T HHT H H HTH À¤ò-¹ù¼- T T HTT H THH T T THT nS = 2  2  2  23  8 H TTH T TTT 3. «É¾¹¾¡À»ñ©¡¾-êö©ìº¤Â¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- 5 Àꈺ,À»ö¾¥½À¹ñ-¸È¾¥¿-¸-À´ñ©ª¸ö µ¾È ¤ ¢º¤ S  2  2  2  2  2  25 Áì½ À´ºˆ À»©ñ ¡¾­ê©ö 캤įÀ캜 ¨Å¥ö­»º© n À꺈 ¥½À¹ñ- ¸È¾¥¿-¸-À´ñ©ª¸ö µÈ¾¤¢º¤¥ñ¡¡½¸¾-ª¸ö µÈ¾¤êñ¤Ï©ö Àꉾ 2  2  2 ... 2n À»ö¾¥¿À¯ñ-ªÉº¤ §º¡»øÉ¥¿-¸-À´ñ©ªö¸µÈ¾¤Ã­¥ñ¡¡½¸¾­ªö¸µÈ¾¤À²ˆº­¿Ã§ÉÀ¢í¾Ã­¡¾­ §º¡¹¾£¾È ¡½ª¸¤. 4. Ã-¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- ¥-ö ¡¸¾È ¥½ºº¡¡Éº¨¥½Ä©É: S  {T, HT, HHT, HHHT, HHHHT, ...} À§…¤À¯ñ­¥ñ¡¡½¸¾­ª¸ö µÈ¾¤ê†®Ò¦¾´¾©¡¿­ö©Ä©É. ª¸ö µÈ¾¤ 2: Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìºñ ¡ 1 Î¸È ¨ 1 Àꈺ¥½Ä©É: S  1, 2,3, 4,5, 6 - Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 2 Î¸È ¨ 1 Àꈺ ¹ùõ 1 Î¸È ¨ 2 À꺈 ¥½Ä©É: S  1 , 1  , 1 , 2  , 1 , 3  , 1 , 4  , 1 , 5  , 1 , 6 ,  2 , 1  ,  2 , 2   2 , 3  ,  2 , 4  ,  2 , 5  ,  2 , 6 ,  3 , 1   3 , 2  ,  3 , 3  ,  3 , 4  ,  3 , 5 ,  3 , 6 ,  4 , 1  ,  4 , 2  ,  4 , 3  ,  4 , 4  ,  4 , 5  ,  4 , 6 ,  5 , 1  ,  5 , 2 ,  5 , 3  ,  5 , 4  ,  5 , 5  ,  5 , 6 ,  6 , 1  ,  6 , 2  ,  6 , 3  ,  6 , 4  ,  6 , 5  ,  6 , 6  nS = 62 = 36 ªö¸µÈ¾¤ 3: Ã-¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- Áì½ Ï¾¡¡½ìñº¡ 1 Îȸ¨²Éº´¡ñ- ¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µ¾È ¤ ¥½´Àó ´ñ©ª¸ö µÈ¾¤À¯ñ­£ºøÈ ñ­©ñ®©„¤­:š S  1 , H  ,  2 , H  ,  3 , H  ,  4 , H  ,  5 , H  ,  6 , H  1 , T  ,  2 , T  ,  3 , T  ,  4 , T  ,  5 , T  ,  6 , T  1.2 À¹©¡¾- º½­÷¡´÷È ¢º¤¥ñ¡¡½¸¾­ªö¸µÈ¾¤Àº­š ¸È¾ À¹©¡¾­. À¹©¡¾­´ó 3 §½-ò©£:õ 43

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 1. À¹©¡¾­©È¼¸ Á´­È À¹©¡¾­ê†´óÀ´ñ©ªö¸µÈ¾¤²¼¤À´ñ©©¼¸. 2. À¹©¡¾­¯½¦´ö Á´È­À¹©¡¾­ê†´ó;¨À´ñ©ª¸ö µÈ¾¤. 3. À¹©¡¾­À¯­ñ į®ÒÄ©É Á´È­À¹©¡¾­ê†®Ò´Àó ´ñ©ª¸ö µÈ¾¤ Íõ À¯­ñ ¡´È÷ À¯¾‰ . ªö¸µÈ¾¤ 4: Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 1 Îȸ¨ 1 Àꈺ¥½Ä©É: S  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  «É¾ A , B , C Áì½ D À¯ñ­À¹©¡¾­ªÒį­š: A Áê­À¹©¡¾­êº† º¡Àì¡Îºû ¨¡¸¾È 6 B Áê­À¹©¡¾­êº† º¡Àì¡£øÈ C Áê­À¹©¡¾­êº† º¡À졹ù¾¨¡¸¾È 4 D Áê­À¹©¡¾­êº† º¡Àì¡Îûº¨¡¸È¾ 2 ¢¼-Ä©É A  1 , 2 , 3 , 4 , 5  B  2 , 4 , 6 C  5 , 6 D  1  B  C Áê­À¹©¡¾­ê†ºº¡Àì¡£øÈ ¹õù ºº¡Àì¡ê†¹ù¾¨¡¸È¾ 4. B  C  2, 4, 6 5, 6 B  C  2, 4, 5, 6  C  D   À¯ñ-À¹©¡¾-ê†À¯ñ­Ä¯®ÄÒ ©É ¨Éº­êñ¤¦º¤À¹©¡¾­®ÒÀ¡ó©¢›­»È¸´¡­ñ  A B    A B  2 , 4 ª¸ö µÈ¾¤ 5 : Ã-¡¾-ê©ö 캤¡¸©£÷--½²¾®¢º¤À£ˆº¤ÀºÀìñ¡Âªë­ò¡§½­ò©Î‡¤Â©¨¥ñ®Àºö¾À£ºˆ ¤ §½­ò©­˜­´¾Á®®®ñ¤Àºó-ÁìɸÀ솴¡¸©¦- º®Â©¨®ñ­ê¡ô À¸ì¾ê†Ã§êÉ ©ö ¦º®¥ö-¡¸È¾À£ˆº¤­˜­¥½ çɮÄÒ ©É, À§…¤Ã¹É t Á´­È º¾¨÷¢º¤¡¾­Ã§¸É ¼¡Ä©É¢º¤À£ºˆ ¤©„¤¡È¾¸­­˜ . À¹©¡¾- E1  t / 0  t  500  Ͼ¨À«ò¤À¹©¡¾­ê†¸¾È À£ºˆ ¤ÀºÀì¡ñ ªë­ò¡§½­ò©­˜­Ã§É Ä©ÎÉ ºÉ ¨¡¸È¾ 500 ¹ö¸Î¸ú ¨À¸ì¾ À§­„ §¸‰ ´¤, ­¾êó ... À¹©¡¾- E2  t / 500  t    Ͼ¨À«ò¤À¹©¡¾­ê†¸È¾À£ˆº¤ÀºÀìñ¡Âªë­ò¡§½­©ò ­˜­ çÄÉ ©É®ªÒ Ô¡¸È¾ 500 ¹¸ö Îú¸¨À¸ì¾.  £÷-ìñ¡¦½-½  Áê­À¹©¡¾­ê†À¯ñ­Ä¯®ÒÄ©É  S (¥ñ¡¡½¸¾­ª¸ö µ¾È ¤) Áê­À¹©¡¾­ê†À¡ó©¢›­Á­È­º­.  À´ˆº A Áì½ B Á´È-¦º¤À¹©¡¾-¥½¢¼-Ä©É. A  B ¢¼­Áê­£¿¸¾È “À¡©ó À¹©¡¾­ A ¹õù B ”. A  B ¢¼­Áê­£¿¸È¾ “À¡©ó À¹©¡¾­ A Áì½ B ²ºÉ ´¡ñ-”. A  B ¢¼­Áê­£¿¸È¾ “À¡ó©À¹©¡¾­ A Áª®È ÀÒ ¡©ó À¹©¡¾- B ”. A ’ ¢¼­Áê­£¿¸¾È “®ÒÀ¡ó©À¹©¡¾­ A ”. ªö¸µ¾È ¤ 6: í«Îȸ¨Î¤‡ ´óϾ¡®ó 15 Î¸È ¨ê†¢¼­­ÕÀ®óແຕ່ 1 À«ò¤15. À²…­¥ñ®Àºö¾Ï¾¡®ó 1 44

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Î¸È ¨Â©¨®ñ¤Àº-ó Áì¸É ºÈ¾--ÕÀ®¢ó º¤´ñ­. ¥¤‰ ¡¿­ö©À¹©¡¾­ªÒį­š: ¡. Ä©É­ÕÀ®êó †¹¾­¢¾©Ã¹É 3 Áì½ 4 ¢. Ä©É­ÕÀ®óꆹ¾­¢¾©Ã¹É 2 ¹ùõ 3 £. Ä©É­ÕÀ®êó †¹¾­®Ò¢¾©Ã¹É 2 (´óÀ¦©) ®ö©Á¡É: Ã¹É A Á´È­À¹©¡¾­ê†Ä©É­ÕÀ®ó ꆹ¾­¢¾©Ã¹É 2 ®ñ¤Àº-ó B Á´È­À¹©¡¾­ê†Ä©­É ÕÀ®ó ꆹ¾­¢¾©Ã¹É 3 C Á´È­À¹©¡¾­êĆ ©É­ÕÀ®ó ꆹ¾­¢¾©Ã¹É 4 ¥½Ä©É A  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 B  3, 6, 9, 12, 15 C  4, 8, 12 ¡. B  C  3, 6, 9, 12, 15 4, 8, 12  12 ¢. A  B  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 3, 6, 9, 12, 15  2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 £. A  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 2. -ò¨¾´£¾È -¡½-ª¸¤ À´ˆº E -Á´È--À¹©¡¾-é-·¤-Ã--¥ñ¡¡½¸¾--ªö¸µÈ¾¤ £È¾-¡½-ª¸¤-¢º¤-À¹©¡¾- E ¦ñ-¨½ ìñ¡-©É¸¨ PE.Á´È-º¡¾©À¡ó©¢›­¢º¤À¹©¡¾­ E ´óÎûº¨ ¹ù¾¨Àꉾé À§…¤À»ö¾-¦¾´¾©-§º¡ £- ¾È -¡½-ª¸¤Ä- ©É-¦º¤-¸òêó£- õ ¸òêóÃ- §ÁÉ- ®®ª˜¤Ã­¡¾­£ò©Ä- ìÈ Áì½ ¸òêó¦- ñ¤À- ¡©¥- ¾¡-¡¾- êö©ìº¤. 2.1 ¡¾-§- º¡-£È¾¡- ½ª- ¸¤©- ¸É ¨-¸òê--ó ¿Ã- §-ÁÉ ®®ª¤˜ £©ò Ä- ìÈ   ¥¿-¸--À´ñ©-ª¸ö µ¾È ¤µ- Èø-Ã--À¹©¡¾- E PE  ¥¿-¸-À- ´ñ©-ª¸ö µÈ¾¤-µÈ-øÃ-¥ñ¡¡½¸¾- S P E   n E   mes E  n S  mes S  Ã--­˜­ mes Ͼ¨-À«ò¤£- Ⱦ-¸ñ©Á- ê¡-¢º¤¡- ÷È´ À- §„­ ¥¿-¸--ºö¤-¯½¡º® (¦¿ìñ®-¡÷È´-¦­™ ¦÷©) 츤- ¨¾¸, À- ­œºê†...(¦¿ìñ®-¡È÷´-®Ò¦- ™­¦©÷ ). ª¸ö -µÈ¾¤8: Ã--¡¾-Â- ¨--À¤ò-ͼ-1 ͼ- 2 À- ꈺ. ¥‰¤-§º¡£- ¾È -¡½-ª¸¤¢- º¤À- ¹©¡¾- E À§…¤À- ¯ñ-À¹© ¡¾-ꆸ- Ⱦ ªºÉ ¤º- º¡-¡ºÉ ¨ 1 -À꺈 . E  {HT, TH} ®ö©-Á¡É: »¸-Éø Ⱦ S  {HH, HT, TH, TT} , E  {HT, TH} 45

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ©¤„ ­- ˜­ P  E   n E   2  0,5 n S  4 ªö¸µ- Ⱦ¤ 9: À´ºˆ »- øÉ-¸È¾-¨ò¤¯- õ-«- õ¡À- ¯í¾Ï¾¨-ê-À† ¯ñ-»- ø®¥- ½ª÷-ìñ©. ¥‰¤-§º¡£- Ⱦ-¡½-ª¸¤-¢º¤-À¹©¡¾-ê- †¸¾È ªÉº¤-«¡õ À¢©-ê-¢† º®©- ɸ¨¸- ö¤´- -ö -Á-®Ã- --»®ø -¥½ªì-÷ ñ©-­š. ®©ö Á- ¡É: S ¦ö´´÷© -¢û¾¤-¢º¤-»ø®¥½ª÷-ìñ©-´ó-츤-¨¾¸-Àꉾ a -Ã-¡-ìð ½-­­ó š ¸¤ö - ´-ö ª- ò©-Ã-»- ø®¥- ½ªì-÷ ñ©-´ì-ó ñ©¦½Ïó-À꾉 a . ©„¤-­­˜ , £¾È -¡½-ª¸¤-ê†- E2 ªÉº¤-§º¡Á- ´-È : mes  E    a  2  mes  S  2  4 »ø®êó 1 PE   a2  ª¸ö -µÈ¾¤ 10: ´ªó- ¸ö º- ñ¡¦º- 5 ª¸ö -£õ A, B, C, D, E µøÈÃ- -¡- ñ®Î¤‡ -¡ñ®, «É¾¥- ñ®ª- ¸ö -º¡ñ ¦º-©- „¤¡È¾¸¢- ›­ ´¾ 3 ª¸ö -©¨®ñ¤À- ºó- 1 À꺈 . ¥‰¤§- º¡-¹¾£- Ⱦ-¡½ª- ¸¤-¢º¤-À¹©¡¾--ꆸ- ¾È -¥½Ä- ©É-ª¸ö -º¡ñ ¦º--¢›­ªí­- ©¸É ¨ A Áì½ E. ®©ö -Á¡:É ¡¾-¥ñ®ª- ö¸º- ñ¡¦º-¥- ¾¡-¡ñ®-À꺈 ì- ½ 3 ª¸ö ¥- ¾¡ 5 ª¸ö ´- ó P53   5 5!  60 ¸òê.ó  3! ¡¾--¥ñ®-ªö¸-ºñ¡¦º- 3 ªö¸-ùɢ- ›­ª­í -©¸É ¨ A ´ó 1 x 4 x 3 = 12 ¸òêó. ¡¾--¥®ñ -ªö¸-ºñ¡¦º- 3 ª¸ö -ù-É¢›­ªí­-©¸É ¨ E ´ó 1 x 4 x 3 = 12 ¸òêó. ¥¿-¸-¸òêóê- ¥-† ½-¥®ñ -ª¸ö º- ñ¡¦º--ùÉ-¢­› ªí­-©¸É ¨ A Áì½ E ´ó-ê¤ñ Ï©ö 12 + 12 = 24 ¸òê.ó P (¢­› ª­í -©É¸¨ A Áì½ E)  24  2  0,4 60 5 ©„¤­˜­, £¾È -¡½-ª¸¤-¢º¤-À¹©-¡¾-ê- ¥-† ½-¥ñ®-Ä©É-ªö¸-ºñ¡¦º--¢›­ªí­-©É¸¨ A Áì½ E À- ꉾ 0,4 . ª¸ö -µÈ¾¤ 11: Ã--¡®ñ -´ó©º¡-ijµ- øÈ 10 ©º¡,Ã-¥- ¿-¸--­´š ©ó -º¡Ä- ³-¢¾©-µÈø 3 ©º¡, À- ͺõ ­˜­-À¯ñ-©º¡ -ijê- Ã-† §ÉÄ- ©ÏÉ ©ö , «É¾¥- ñ®-©º¡Ä- ³º- º¡-¥¾¡-¡ñ® 2 ©º¡-©¨- ®ñ¤-Àºó-. ¥¤‰ -§º¡-¹¾-£È¾-¡½-ª¸¤-¢º¤À- ¹© ¡¾--긆- Ⱦ-©º¡-ijê¥-† ñ®º- º¡´- ¾-À¯ñ--©º¡-ijê- Ã-† §É-Ä©É-Ïö©. ®ö©-Á¡û-: ¸êò óÀ- ¯-ñ Ä- ¯Ä- ©É-ê¤ñ -Ïö©Ã- --¡¾--¥®ñ -©º¡-ij 2 ©º¡-¥¾¡ 10 ©º¡-´:ó C120  10!  10!  45 ¸òêó. 8!2! 10  2!2! ¸òêóÀ- ¯-ñ Ä- ¯-Ä©Éê- ¤ñ Ï- ©ö -Ã--¡¾--¥ñ®©- º¡-ij 2 ©º¡-¥¾¡ 10 ©º¡Á- ì¸É -ùÉ-Ä©É-©º¡©- ó-Ï©ö C 2  7 7!  7!  21 ¸òêó 7 5!2!  2!2! £È¾-¡½ª- ¸¤-¢º¤À- ¹©¡¾-ê- †-¥ñ®©- º¡Ä- ³ 2 ©º¡ Ã- ¹-ÉÄ©É-©º¡-©óê- ¤ñ - 2 ©- º¡-. P  E   C72  21  7 C120 45 15 2.2 ¡¾--§º¡-£È¾¡- ½ª- ¸¤-©¸É ¨-¸òê¦-ó ¤ñ -À¡©¥- ¾¡-°ö--¡¾--êö©ì- º¤ «¾É À»ñ©¡¾-ê©ö 캤§ÕÅ¡ñ­²¾¨ÃªÀÉ ¤ˆº­Ä¢©¼¸¡ñ­ N À꺈 Áì½Ä©É°­ö Ä©»É ñ®À¯ñ­À¹©¡¾- 46

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ A À¡ó©¢›­ n Àꈺ ¥½Ä©É£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾- A À¯ñ-£È¾£¸¾´«†¦¿²ñ© n À´ˆº N ´ó£È¾Ã¹¨È¢­› . N P  A   lim n N  N ª¸ö µÈ¾¤ 12: Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 1 Îú¸¨ 600 À꺈 , ºº¡Àì¡ 1 ¥¿-¸- 95 Àꈺ.¥‰¤§º¡ ¹¾£È¾¡½ª¸¤ ¢º¤À- ¹©¡¾­©„¤¡È¾¸. ®ö©Á¡É: P (ºº¡Àì¡ 1)  95  0,158 600 £¾È -¡½-ª¸¤-¢º¤À- ¹©¡¾-ê- †-ºº¡À- ì¡ 1 ¥¾¡-¡¾--¨--Ͼ¡¡½ìñº¡ 1 Î¸È ¨ -Àꉾ 0,158. ªö¸µ¾È ¤ 13: í®ñ­©¾ìø¡£¾É ê†À¢¾í »É¾­¦ñ®²½¦ò­£¾É Á¹È¤Î‡¤ í§È¸¤À¸ì¾Î‡¤´¥ó ¿­¸­ 50 £-ö , ´ó°É§ø œ¦ò-£¾É ;¨¡¸È¾ 50,000 ¡®ó 15 £ö-. ຈ່ ງ§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤À- ¹©¡¾-ê- ´-† ó£ö­§œ¦­ò £¾É ®ÀÒ «¤ò 50,000 ¡ó®. ®ö©Á¡É: P (§œ¦ò­£É¾®ÒÀ«ò¤ 50,000 ¡ó®)  35  0,70 ©¨¯½´¾-. 50 £È¾¡- ½-ª¸¤-¢º¤-À¹©¡¾--ê†-´£ó ö--§œ¦ò­£¾É -®Ò-À«¤ò 50,000 ¡ó® -À꾉 0,70. 3. Í¡ñ À£¾í Áì½ Íñ¡À¡­²­œ «¾­¢º¤£¾È ¡½ª¸¤ 3.1 Í¡ñ À£¾í £¾È ¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ªÈ¾¤Å´óÍ¡ñ À£í¾©„¤­:š 1. ¦¿ìñ®ê¡÷ ÅÀ¹©¡¾- E : 0  P E  1 2. ¦¿ìñ®À¹©¡¾­êÁ† ­È­º­ S : P  S   1, P    0 3. À´ˆº E1 Áì½ E2 À¯ñ­À¹©¡¾­ê†®Ò¦¾´¾©À¡ó©¢›­²Éº´¡ñ­Ä©É.  E1  E2    P E1  E2   P  E1   P  E2  «É¾ E1, E2 , E3 ,...En Á´­È À¹©¡¾­ê®† Ò-¦¾´¾©À¡ó©¢›­²ºÉ ´¡ñ­¥½-Ä©É: n P  E1  E2  E3 ... En   P  E1   P  E2   P  E3  ... P  En    P  Ei  i 1 3.2 Í¡ñ À¡­²­œ «¾­¢º¤£¾È ¡½ª¸¤  Íñ¡À¡- 1 À´ºˆ E1 Á- ì½ E2 À- ¯ñ--À¹©¡¾--À§…¤ E1  E2  P  E1   P  E2  Áì½ P  E2  E1  P  E2   P  E1 . E2  E1 E2 ²ò¦ø©: À´ºˆ E1  E2 ¥½Ä©É E1  E2  E1   E2 À§¤… E1  E2  E1    ©„¤­˜­ ¥¾¡Íñ¡À£¾í 3 ¥½Ä©:É E1 P  E2   P E1   P  E2  E1  S 47 »ø®êó 2

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ P  E2  E1   P  E2   P  E1  À²¾½¸¾È P  E2  E1   0 ¥¾¡Í¡ñ À£í¾ 1 ¥½Ä©É:  Í¡ñ À¡- 2 P  E2   P  E1   0 P  E1   P  E2  ¦¿ìñ®ê÷¡ÅÀ¹©¡¾- E , 0  P  E   1 ²ò¦ø© »¸øÉ ¾È P  E   0, ¥¾¡Íñ¡À£í¾ 1 ¥½Ä©É 0  PE  1 À²¾½¸È¾   E  S ¥¾¡Íñ¡À¡- 1 P  P E PS ÁªÈ P    0 Áì½ P  S   1 ©¤„ ­˜­ 0  P E  1  Í¡ñ À¡- 3 P    0 ²¦ò ©ø À²¾½¸È¾ S  S   Áì½ S    ¥¾¡Íñ¡À£í¾ 3 ¥½Ä©É P  S   P  S   P    P  0  Í¡ñ À¡- 4 À´ºˆ E Á´­È À¹©¡¾­ê¯† ½ªòÀ¦©À¹©¡¾­ E ¥½Ä©É P  E  1 P  E E’ E ²ò¦ø© À²¾½¸È¾ E  E  S Áì½ E  E   S ¥½Ä©É P  E  E  P  S  P E  P E  1 P E 1 P E  »®ø êó 3  Íñ¡À¡- 5 À´ºˆ E1Áì½ E2 Á´È­À¹©¡¾­ê‰¸Ä¯ ¥½Ä©:É P  E1  E2   P  E1   P  E2   P  E1  E2  ²ò¦ø©: À²¾½¸¾È E1  E2  E1  E2  E1  E2  E1 Áì½ E2  E1  E2  Á´È­À¹©¡¾­ê†®Ò¦¾´¾©À¡ó©¢›­²Éº´¡ñ­Ä©É. ¥¾¡Íñ¡À£¾í 3 Áì½ Íñ¡À¡- 1 ¥½Ä©É: PE1  E2   PE1   PE2  E1  E2   P  E1   P  E2   P  E1  E2  »®ø êó 4 P E1  E2  E3   P E1   P E2   P E3   P E1  E2   P E1  E3   P E2  E3   P E1  E2  E3  ¥¾¡Íñ¡À¡- 5 ¥½Ä- ©:É 48

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ »ø®êó 5 ª¸ö µ¾È ¤ 14: µÈøí¡ñ®Î‡¤º­ñ ´Ïó ¾¡®¾­¦ó¢¾¸ 3 Î¸È ¨, ¦Áó ©¤ 4 Î¸È ¨ Áì½ ¦ó¢¼¸ 3 Î¸È ¨, À´ˆº¥ñ®Ï¾¡®¾­ºº¡¥¾¡¡ñ®­˜­´¾ 2 Îȸ¨²Éº´¡ñ--©¨-®ñ¤-Àºó-, ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¥½ Ä©É¥¾¡Ï¾¡®¾-¦¢ó ¾¸ 1 Îȸ¨ Áì½ ¦óÁ©¤ 1 Îȸ¨. ®©ö Á¡É: ¥¿­¸­¸òêóꥆ ½-À¯ñ-Ä- ¯-Ä©ê-É ¤ñ Ï- ©ö -Ã-¡- ¾-¥ñ®Ï¾¡®¾- 2 Îȸ¨¥¾¡ 10 Î¸È ¨ Àꉾ C120 ¸êò ó. ¥¿­¸­¸êò óꥆ ½À¯ñ­-į-Ä©É-êñ¤-Ïö©-Ã--¡¾-¥ñ®Ï¾¡®¾-¦¢ó ¾¸ 1 Îȸ¨ Áì½ ¦óÁ©¤ 1 Îȸ¨ Ä©ÀÉ ê¾‰ C31 C 1 ¸êò ó. 4 ©¤„ ­˜­, £¾È ¡½ª¸¤ê¥† ½¥ñ®Ï¾¡®¾­¦ó¢¾¸ 1 Îȸ¨ Áì½ ¦óÁ©¤ 1 Î¸È ¨Ä©ÀÉ ê‰¾: P (¢¾¸ 1, Á©¤ 1)  C31 C 1  4 4 C120 15 ªö¸µ¾È ¤ 15: £È¾¡½ª¸¤ê†­ñ¡»¼­°ÎøÉ ‡¤ªÉº¤À- ¦ñ¤°¾È -¸ò§¾£½-ò©¦¾©À- ꉾ 2 , Áì½ ¸ò§¾²¾¦¾ºñ¤ 3 ¡ò©Àꉾ 4 »¸-øÉ È¾£¾È ¡½ª¸¤ê†­ñ¡»¼­°øÉ­˜­¥½-À¦ñ¤°È¾-µ¾È ¤ÎºÉ ¨ 1 ¸ò§¾À꾉 4 . ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤ 95 ꆭ¡ñ »¼­£ö­­š¥½À- ¦ñ¤°È¾-êñ¤¦º¤¸ò§¾. ®ö©Á¡É: Ã¹É A Áê­À¹©¡¾­ê†­ñ¡»¼­-À¦¤ñ °¾È -¸§ò ¾£½-©ò ¦¾© ¥½-Ä©û- PA  2 3 B Áê­À¹©¡¾­ê†­ñ¡»¼­À- ¦¤ñ °È¾-¸§ò ¾²¾¦¾ºñ¤¡ò© ¥½Ä- ©É PB  4 9 A  B Áê­À¹©¡¾­ê†­¡ñ »¼­-À¦¤ñ °È¾-µ¾È ¤Îºû ¨ 1 ¸ò§¾ ¥½Ä©É P  A  B   4 5 A  B Áê­À¹©¡¾­ê†­ñ¡»¼­À- ¦ñ¤°È¾-ê¤ñ 2 ¸§ò ¾ ¥½Ä©É P AB  P A PB P AB  2  4  4 395  14 45 49

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ©¤„ ­˜­, £È¾-¡½-ª¸¤ê- -†-¡ñ »¼-£- -ö -­¥š ½À- ¦¤ñ -°È¾-ê- ñ¤-¦º¤-¸ò§¾-À꾉 14 45 ª¸ö µ¾È ¤ 16: ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê¥† ½Ä©°É ö­®¸¡ ¢º¤¦º¤Î¾É Ͼ¡¡½ìñº¡À¯-ñ 7 ÁªÉ´ Íõ 11 ÁªÉ´¥¾¡¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 2 Îȸ¨²ºÉ ´¡ñ-. ®©ö Á¡É: ¥¿-¸-À´ñ©ª¸ö µÈ¾¤ S  6 6  36 S  1 , 1 , 1 , 2  , 1 , 3  , 1 , 4  , 1 , 5  , 1 , 6  , 2 ,1, 2 , 2 2 , 3, 2 , 4, 2 , 5, 2 , 6,  3 , 1   3 , 2  ,  3 , 3  ,  3 , 4  ,  3 , 5 ,  3 , 6  , 4 ,1, 4 , 2, 4 , 3, 4 , 4, 4 , 5, 4 , 6,  5 , 1  ,  5 , 2 ,  5 , 3  ,  5 , 4  ,  5 , 5  ,  5 , 6  ,  6 , 1  ,  6 , 2  ,  6 , 3  ,  6 , 4  ,  6 , 5  ,  6 , 6  ¢¼­Á°­°¤ñ °ö­®¸¡¢º¤Àì¡ê†Ä©¥É ¾¡Ï¾¡¡½ìñº¡Î¸È ¨êÎ-ó ‡¤ Áì½ Î¸È ¨ê¦ó º¤ Ͼ¡¡½ìñº¡Îȸ¨êó·¤ 123456 Ͼ¡¡½ìñº¡Î¸È ¨ê¦ó º¤: 1 234567 2 345678 3 456789 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Ã¹É A Áê­À¹©¡¾­ê†Ä©É°ö­®¸¡À꾉 7 B Áê­À¹©¡¾­ê†Ä©É°ö­®¸¡Àꉾ 11 À»ö¾Ä©É A  1 , 6  ,  2 , 5  ,  3 , 4  ,  4 , 3  ,  5 , 2  ,  6 , 1   P A 6  1 36 6 B  5 , 6  , 6 , 5   PB  2  1 36 18 P AB  P A PB P AB   1 1 0 6 18 2 9 £¾È ¡- ½ª- ¸¤-¢º¤À- ¹©¡¾-ê- ¥-† ½-Ä©É°-ö -®¸¡-¢º¤-¦º¤Î- ɾÀ- 꾉 7 Íõ 11 ¥¾¡-¡¾-Â- ¨-Ï- ¾¡¡½- ìñº¡ 2 Îȸ¨²- ɺ´-¡-ñ -À꾉 2 . 9 ª¸ö µÈ¾¤ 17 : Ã-¡¾-¨-À¤-ò ͼ- 1 ͼ- 6 Àꈺªò©ªÒ¡ñ­. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ E ê† ¸È¾ ªÉº¤ºº¡¹¸ö ®ÒÍЩ 1 Àꈺ. ®ö©Á¡É: Ã-¡¾-¨-À¤ò-ͼ- 1 ͼ- 6 À꺈 ªò©ªÒ¡ñ­ ¥½´ó S = 26 = 64 À´ñ©ªö¸µ¾È ¤. 50

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Ã¹É E Áê­À¹©¡¾­ê†®Òºº¡¹¸ö ¥¡ñ Àꈺí¡¾­Â¨­ 6 Àꈺ. E  TTTTTT  P  E   1 64 P E  1 P E   1 1  63  0,98 64 64 £¾È -¡½-ª¸¤-¢º¤-À¹©¡¾--ê†-ªÉº¤-ºº¡¹- ¸ö ®- ÒÍ©÷ 1 Àꈺ-À꾉 0,98 4. £¾È ¡½ª¸¤ê†´Àó ¤ºˆ ­Ä¢ Áì½ À¹©¡¾­êÀ† ¯ñ­Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­ 4.1 £È¾¡½ª¸¤ê†´óÀ¤ˆº-Ä¢ ¦ö´´÷© A Áì½ B Á´È-¦º¤À¹©¡¾-, £È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾- B À´ˆº»øɸȾÀ¡ó©À¹©¡¾- A À§…¤ A ²ö¸²ñ-¡ñ® B , Àº­š ¸¾È £È¾¡½ª¸¤¢º¤ B íÀ¤ˆº­Ä¢ A Áì½ ¦-ñ ¨½ìñ¡ ©É¸¨ P  B A À§¤… £ò©ÄìȪ¾´¦ø©. PB A  P AB  - À§…¤ PA  0 P A  Ã-ê¿-º¤©¼¸¡ñ- £¾È ¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾- A À´ˆº»¸Éø ȾÀ¡ó©À¹©¡¾­ B ¢¼-Áê- ©É¸¨ P  A B Áì½ £©ò ÄìªÈ ¾´¦ø©: P A B  P AB  - À§¤… PB  0 P B  ªö¸µÈ¾¤ 18 : Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìñº¡ 2 Îȸ¨ 1 Àꈺ. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾­ê† ¸È¾ºº¡Àì¡£¡õ ñ­ ©¨°ö­®¸¡¢º¤Àì¡êº† º¡Í¾¨¡¸¾È 7. ®ö©Á¡É: Ã¹É A À¯­ñ À¹©¡¾­ê†¸È¾°ö­®¸¡¢º¤Àì¡ê†ºº¡Í¾¨¡¸¾È 7 B À¯ñ­À¹©¡¾­ê¸† ¾È ºº¡Àì¡£õ¡­ñ A  2,6,6, 2,3,5,5,3,4,4 3,6,6,3,4,5,5, 4,5,5 6, 4,4,6,5,6,6,5,6,6 B  1 , 1 ,  2 , 2  , 3 , 3  ,  4 , 4  , 5 , 5  , 6 , 6  A B   4 , 4  , 5 , 5  , 6 , 6   P (Ͼ¡¡½ìñº¡ºº¡Àì¡£õ¡ñ- / °-ö ®¸¡Í¾¨¡¸È¾ 7) = P B A PB A  PA  B  3 36 3  1  0,2 PA 15 36 15 5 Ͼ¨À¹©: À´ºˆ A Áì½ B Á´-È À¹©¡¾-Ã-¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤ S ꡆ ¿-- ö©Ä- ©É¥½À¹ñ-¸¾È : PB A  n A B n A ªö¸µ¾È ¤ 19: ¡¾-¦¿Í¸©¢Ó´ø-¡¼È ¸¡ñ®¡¾-¦ø®µ¾´ó°ö-¡½ê®ö ªÒ¡¾-»¼-Ã-¡÷È´-¡ñ ¦ô¡¦¾¥¿-¸- êñ¤Ï©ö 500 £ö­ í¦½«¾®­ñ ¡¾­¦ô¡¦¾Á¹¤È ·¤Ä©É¢ûð´­ø ©„¤­š: 51

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¯½À²©-¡ñ ¦¡ô ¦¾ ¥¿-¸-£-ö  °-ö ¢º¤¡¾-¦- º®À¦ñ¤Ä©É£½Á--ªÔ 123  °¦øÉ ®ø µ¾ 214  °ö-¡¾--¦º®À¦¤ñ Ä©£É ½Á--ªÔ Áì½ ¦ø®µ¾ 80  °-ö ¡¾--¦º®À¦¤ñ Ä©É£½Á--ªÔ Íõ ¦®ø µ¾ 257  °ö-¡¾--¦º®À¦ñ¤Ä©£É ½Á--¦¤ø Áì½ ®¦Ò ø®µ¾ 243  °-ö ¡¾--¦º®À¦¤ñ Ä©É£½Á--¦ø¤ Áì½ ¦®ø µ¾ 134  °ö-¡¾--¦º®À¦ñ¤Ä©É£½Á--ªÔ Áì½ ®Ò¦ø®µ¾ 43 ¡. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾­ê†¸È¾À´ˆºÀìõº¡­ñ¡¦ô¡¦¾°ÉøΤ‡ -©¨-®¤ñ À- º-ó ¥¾¡¦½«¾®-ñ ¡¾- ¦¡ô ¦¾Á¹¤È ­š´¾ªÉº¤Á´È­°êøÉ †¦ø®µ¾. ¢. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê†¸È¾ À´ˆºÀìõº¡­ñ¡¦ô¡¦¾°øÉ·¤´¾-©¨-®ñ¤-Àºó-Ã-¡÷È´-ñ¡ ¦ô¡¦¾ê†¦- º®À¦ñ¤Ä©É£½Á­­ªÔ Áì½ ­ñ¡¦ô¡¦¾°Éø­˜­ªÉº¤¦®ø µ¾. ®ö©Á¡É: Ã¹É M Á´­È ¡È´÷ ­ñ¡¦ô¡¦¾ê¦† ø®µ¾ L Á´-È ¡´÷È -¡ñ ¦ô¡¦¾ê†Ä©É£½Á­­ªÔ ¦¾´¾©¦½Á©¤¢Ó´ø­ê†¦¿Í¸©´¾¢¾É ¤Àêò¤­š©É¸¨Á°­¸¾©ªÄÒ ¯­:š -ñ¡¦ô¡¦¾ 500 £ö- M L 243 134 80 43 »®ø êó 6 ©„¤­˜­, ¥½Ä©É: ¡. PM  nM   214  0,43 nS  500 ¢. PM L  n  M L  80  0,65 123 n L Ͼ¨À¹©: P  A  B   P  A P  B A ª¸ö µÈ¾¤20: µøÈí¡ñ®ºñ­Î‡¤´Ïó ¾¡®¾­¢½Î¾©©¼¸¡ñ­5 Î¸È ¨, Ã- --­˜­´Ïó ¾¡®¾­¦ó¢¾¸ 3 Îȸ¨ Áì½ ¦©ó ¿ 2 Î¸È ¨. À²­… ªÉº¤¡¾-¥ñ®Ï¾¡®¾-ºº¡¥¾¡¡ñ® 2 Îȸ¨Â- ©¨-®ñ¤À- ºó-,À´ˆº¥ñ®Î¸È ¨ 꿺ò©Â©¨®ÒÀº¾ö æȡ®ñ £õ-. ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê†¸¾È ¥ñ®Ï¾¡®¾­Ä©É¦ó©¿ êñ¤¦º¤ Îȸ¨. 52

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®ö©Á¡É: Ã¹É A À¯ñ­À¹©¡¾­ê¸† ¾È ¥®ñ Ͼ¡®¾­Î¸È ¨ê¿ºò©À¯ñ­¦ó©¿. B À¯ñ­À¹©¡¾­ê†¸È¾ ¥ñ®Ï¾¡®¾­Îȸ¨ê󦺤À¯ñ­¦ó©¿ Íñ¤¥¾¡¥ñ®Îȸ¨êóΤ‡ Áì¸É ຈະໄດ:້ P  A   2 Áì½ P  B A  1 54 P  A  B   P  A . P  A B 21 1 5 4 10 £È¾¡½ª¸¤ê†¥ñ®Ï¾¡®¾­Ä©É¦ó©¿êñ¤¦º¤Îȸ¨Àꉾ 1 10 4.2 À¹©¡¾­ê†À¯ñ­Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­ À´ˆº P  B A  P  B Áì½ P  A B  P  A  À²…­¸È¾À¹©¡¾- A Áì½ B À¯ñ-Àº¡½ì¾©ªÒ ¡-ñ . À¹©¡¾- A Áì½ B ¥½À¯ñ­Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­¡ªð ÀÒ ´ºˆ P  A  B   P  A . P  B . ªö¸µ¾È ¤ 21: ¨-Ͼ¡¡½ìñº¡¦©ó ¿ 1 Îȸ¨ Áì½ ¦¢ó ¾¸ 1 Î¸È ¨. Ã¹É A À¯­ñ À¹©¡¾­ê†Î¸È ¨ Ͼ¡¡½ìºñ ¡¦ó©¿ºº¡Àì¡ 3 Áì½ B À¯­ñ À¹©¡¾­êĆ ©°É ö­®¸¡¢º¤Àì¡ê†ºº¡À¯ñ­Àì¡£ó¡. ¥¤‰ §Áš ¥¤Ã¹ÀÉ ¹ñ­¸È¾ A Áì½ B À¯ñ­À¹©¡¾­ê†À¯ñ­Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­. ®©ö Á¡É: A   3,1  ,  3, 2  ,  3,3  ,  3,4  ,  3,5  ,  3,6  B  1, 2  , 1, 4  , 1,6  ,  2,1  ,  2,3  ,  2,5   3,2  ,  3,4  ,  3,6  ,  4,1  ,  4,3  ,  4,5   5,2  ,  5,4  ,  5,6  ,  6,1  ,  6,3  ,  6,5  A B  3,2  , 3,4  . 3,6  P A B  3  1 36 12 P A 6  1 36 6 P  B   18  1 36 2 P  A .P  B   1  1  1 6 2 12 À¹-ñ ¸È¾ P  A  B   P  A .P  B  ©¤„ ­˜­ A Áì½ B À¯ñ­À¹©¡¾­ê†À¯­ñ Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­. Ͼ¨À¹©: À´ˆº´¦ó ¾´À¹©¡¾­ A , B , C êÀ† ¯­ñ Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­ ¥½Ä©É: P ABC  P A PB  PC  5. ¦©ø £¾È ¡½ª¸¤Àª´ñ Áì½ ¦ø©¢º¤À®¦þ «É¾À»ö¾Á®È¤¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤ S ºº¡À¯-ñ n À¹©¡¾-- À§„­ A1, A2, . . . , An. -ÁªìÈ ½À- ¹© 53

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¡¾--®Ò¦¾´¾©À¡ó©²Éº´¡ñ- Ai  Aj   À´ºˆ i  j Áì½ ­º¡¥¾¡­š Aj ê¤ñ Ïö©¥½ ¯½¡º® À¯ñ- S ²©ð ó£õ A1  A2 . . .  An  S Áì½ ®´Ò ªó ¸ö éÀ¯ñ­¡È´÷ À¯‰¾ Aj   ¦¿ìñ® ê÷¡£È¾¢º¤ j.  «É¾À»ö¾»øɣȾ¢º¤ P Aj êñ¤Ïö©À´ˆº A À¯ñ­À¹©¡¾­ê†ªÉº¤¡¾-¦ô¡¦¾¥½-Ä©É-£È¾-¡½-ª¸¤-¢º¤- À¹©¡¾- A -Á´È-: PA  n PA Aj PAj  ¦ø©-­š-Àºš­¸È¾-¦ø©-£È¾-¡½-ª¸¤-Àªñ´.  j1 A1 A2 . . . An1 An A »ø®êó 7 À´ˆº´ó n À¹©¡¾- A1, A2 , A3 ,... An ꮆ ¦Ò ¾´¾©À¡©ó ¢­› ²Éº´¡ñ­µÃøÈ ­¥¡ñ ¡½¸¾­ S Áì½ S  A1  A2  A3  . . .  An , A  S . «É¾¡¿-ö©¸È¾À¹©¡¾- A Ä©ÀÉ ¡ó©¢›­Áì¸É º¡¾©ê†¥½ À¡ó©´¾¥¾¡ Aj Á´È-: P A A j P  Aj  P Aj A  PA Aj   ¦ø©­Àš º­š ¸È¾ ¦ø©¢º¤À®¦þ. P A  n P A Aj P Aj   j 1 ª¸ö µÈ¾¤ 22: ¦ö´´÷©-¸È¾À£ˆº¤-¥ñ¡ 3 À£ˆº¤ A1, A2 - Áì½ A3 ¦¾´¾©-°½ìò©-¦ò-£É¾-Ä©É 50%, 30% Áì½ 20% ª¾´-ì¿©ñ® Á- ì½- °ö--°½ìò©ê- -º† º¡-´¾­­˜ Ä©-ɦò-£¾É ê- ´†- ó-¢Ó-®ö¡-°ºÈ ¤À- 꾉 3%, 4% -Áì½ 5% ª¾´-ì¿©ñ®. À´ˆº-¥ñ®-Àºö¾-¦ò-£É¾- 1 µÈ¾¤-¥¾¡-»-¤¤¾--©„¤¡È¾¸-¢›­´¾-©¨-®ñ¤-Àºó-¥‰¤-§º¡-¹¾: ¡. £¾È -¡½ª- ¸¤-¢º¤-À¹©¡¾--ê†-¸¾È ¦- -ò £É¾-­˜­´ó¢- Ó-®ö¡-°ºÈ ¤ ¢. -À´ºˆ »- øÉ-¸¾È -¦-ò £É¾ê- -¥† ñ®-´¾­˜­-À¯ñ--¦ò-£¾É -ê†-´-ó¢Ó®- ö¡-°ºÈ ¤. ¥¤‰ §- º¡-¹¾-£¾È -¡½-ª¸¤-¢º¤À- ¹©¡¾--¸È¾ ¦-ò £É¾-©„¤¡È¾¸-°½ìò©¥- ¾¡-À£ˆº¤¥- ñ¡ A1 ®©ö Á- ¡É: PA1   0,5 PA A1   0,03 PA2   0,3 PA A2   0,04 PA3   0,2 PA A3   0,05 ¡. PA  ? ¥¾¡¦- ø©£- ¾È -¡½-ª¸¤À- ªñ´ 3 PA   PA Ai PAi  i 1  PA A1 PA1  PA A2 PA2  PA A3 PA3   0,03 0,5 0,04 0,3 0,05 0,2  0,037 54

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¢. PA1 A  PA1 PA A1   PA1 PA A1  PA3 PA A3  PA2 PA A2    0,5 0,03  0,50,03  0,2 0,05 0,3 0,04  0,015  15  0,40 0,037 37 55

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®ö©À±¡ò ¹©ñ 1. ´ó¯´› 10 ¹ö¸Áª¡ª¾È ¤¡­ñ ¸¾¤ì¼­À¯ñ­Á«¸§ˆ, í¥¿­¸­­š´¯ó ´› £½­ò©¦¾©¡ñ®³ó§ò¡¦¾©µøÈ Á­¸ì½¹ö¸. ¥‰¤§º¡¹¾£¾È ¡½ª¸¤ê†¸¾È : ¡. ¯´› £½­ò©¦¾© Áì½ ³ó§¡ò ¦¾©µøªÈ ò©¡­ñ ¢. ¯›´£½­ò©¦¾© Áì½ ³ó§¡ò ¦¾©µ®Èø Òªò©¡ñ­ 2. ¥‰¤¢¼­À¹©¡¾­ªÈ¾¤Åêñ¤Ïö©ê†À¯ñ­Ä¯Ä©Éí¡¾­Â¨­À¤ò­Í¼­ 5 ͼ-²Éº´¡ñ-. ¥¤‰ §º¡£È¾ ¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾-ªÈ¾¤Åª- Ò-į-­:š ¡. ºº¡¹ö¸ 5 ͼ-. ¢. ºº¡¹ö¸ 2 ͼ-, ¡Éº¨ 3 ͼ-. £. ºº¡¡Éº¨ 1 ͼ-, ¹ö¸ 4 ͼ-. ¤. ºº¡¹¸ö µÈ¾¤ÎºÉ ¨ 4 ͼ-. 3. í¡¾­Àìõº¡¥¿­¸­«¸É ­Î‡¤¥¾¡¥¿­¸­«É¸­ª˜¤ÁªÈ 10 À«¤ò 59.¥‰¤§º¡£¾È ¡½ª¸¤¢º¤À- ¹© ¡¾­ê¥† ¿­¸­À¹ù¾‰ ­­˜ ¹¾­¢¾©Ã¹É 7 Íõ À¯-ñ ¥¿-¸-£ó¡. 4. ¡¿-ö©Ã¹É PA  1 ; PA  B  1 ; PA  B  2 . ¥¤‰ §º¡ PB? 263 5. ¡¿-ö©Ã¹É PA  0,4 ; PB  0,55 ; PC  0,55 ; PA  B  0,25 ; PA  C  0,3 ; PC  A  0,2 Áì½ PA  B  C  0,1. ¥‰¤§º¡¹¾£¾È : ¡. PA  B  C ¢. PB  C 6. ´ó¦½Í¾¡30 î ´ó-ÕÀ®óÁªÈ 1À«ò¤30. ¦½Í¾¡êñ¤Ïö©µøÈÃ-¡ñ®, «É¾¥ñ®¦½Í¾¡-©¨®ñ¤Àºó- ¢›­´¾ 1 î. ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾­ê†¥½Ä©É¦½Í¾¡ ꆹ¾­¢¾©Ã¹É 2 Áì½ 7. 7. í«Îȸ¨Î‡¤´óϾ¡®ó 100 Îȸ¨ À§…¤´ó­ÕÀ®ó 1 À«ò¤ 100. À²…­¥ñ®Àºö¾Ï¾¡®ó Îȸ¨ Τ‡ ©¨®¤ñ Àºó­ ÁìɸºÈ¾­­ÕÀ®ó x ¢º¤´ñ­. ¥‰¤¡¿­ö©À¹©¡¾­ªÒį­š: A = { x ¹¾-¢¾©Ã¹É 5 } ; B = { x ´ó 0 µøêÈ É¾¨ } C = { x ¹¾-¢¾©Ã¹É 2 } ; D = { x ¹¾-¢¾©Ã¹É 3 } ¥‰¤§º¡£¾È ¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ªÄÒ ¯­š : A ; B ; C ; D ; A  C ; A  C ; B  D ; A  B ; A  D ; A  B Áì½ C  D . 8. êɾ¸ A Áì½ ê¾É ¸ B Í­™ À¡´§½­©ò Τ‡ ©¨ êɾ¸ A Áì½ êɾ¸ B ¨-Î¸È ¨Ï¾¡¡½ìñº¡ £ö- ì½Îȸ¨²Éº´¡ñ-, «É¾Àì¡ê†ºº¡ì¸´¡ñ-Ä©É 8 ÁªÉ´Á´-È êɾ¸ A À¯ñ-°Éø§½-½, «É¾ວ່ າÀì¡ê† ºº¡ì¸´¡ñ-Ä©É 7 ÁªÉ´Á´È-êɾ¸ B À¯ñ­°Éø§½­½. °ö­Ä©»É ñ®­º¡¥¾¡­š«¸õ Ⱦ¦½ÀÏó ¡-ñ . «¾É êɾ¸ A Áì½ ê¾É ¸ B Í™­À¡´ 36 À꺈 £¾©¸È¾¥½¦½ÀÏó¡ñ­¥ñ¡Àꈺ? 56

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 9. £¾È ¡½ª¸¤ê†­ñ¡»¼­°ÎøÉ ‡¤-À¦¤ñ °È¾-¸ò§¾£½-ò©¦¾©À꾉 1 Áì½ -À¦¤ñ °¾È -¸ò§¾À£´¦ó ¾© À꾉 3 8 . «É¾£¾È ¡½ª¸¤Ã-¡¾-À- ¦¤ñ °È¾-µÈ¾¤Í¾¨ 1 ¸ò§¾Àꉾ 1 . ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾- 55 êì† ¾¸¥½À- ¦¤ñ °È¾­µ¾È ¤Îɺ¨Î‡¤¸§ò ¾. 10.êɾ¸ ¡, êɾ¸ ¢ Áì½ êɾ¸ £ À¯ñ--ñ¡»¼-¹Éº¤©¼¸¡ñ-¡¿ìñ¤-¦º®À¦ñ¤¸ò§¾ ¦½«òªò À§…¤Âº ¡¾©ê†êɾ¸ ¡ ¥½Ä©ÉÀ¡ë© A í¸ò§¾­šÁ´È­ 0,3, º¡¾©ê†êɾ¸ ¢ ¥½Ä©ÉÀ¡ë© A Ã-¸ò §¾­šÁ´È­ 0,4 Áì½ Âº¡¾©ê†êɾ¸ £ ¥½Ä©ÉÀ¡ë© A í¸ò§¾­šÁ´È­ 0,2. ¥‰¤§º¡ £È¾¡½ ª¸¤ê†¥½´ó¦º¤£ö­Ä©ÉÀ¡ë© A . 11. ¡¾­êö©ìº¤¥ñ®Ï¾¡®¾­ºº¡¥¾¡¡ñ®ê®† ñ­¥÷Ͼ¡®¾­ 10 Î¸È ¨ ꆴó¢½Î¾©À꾉 ¡­ñ À§…¤ ´ó¦ó©¿ 5 Îȸ¨, ¦óÁ©¤ 3 Î¸È ¨ Áì½ ¦ó¢¾¸ 2 Î¸È ¨. ùɥñ®Ï¾¡®¾­¢›­´¾ 4 Îȸ¨ ©¨ ¥®ñ À꺈 ì½Îȸ¨Â- ©¨-®ñ¤-Àºó- Áì½ ®Òæȡ®ñ £õ-. ¥‰¤§º¡£¾È ¡½ª¸¤¢º¤À- ¹©¡¾­ê†¸¾È ຈະÄ©É Ï¾¡®¾-Îȸ¨ê¿ºò©À¯ñ-¦ó©¿, Îȸ¨ê󦺤À¯ñ-¦óÁ©¤, Îȸ¨ê󦾴À¯ñ-¦ó¢¾¸ Áì½ Î¸È ¨ê¦ó À† ¯­ñ ¦©ó ¿. 12. ´©ó º¡Ä³ 100 ©º¡ê†°½ìò©¥¾¡Â»¤¤¾­ A ¥¿-¸- 20 ©º¡, ¥¾¡Â»¤¤¾- B ¥¿-¸- 30 ©º¡, Áì½ ¥¾¡Â»¤¤¾- C ¥¿-¸- 50 ©º¡, ©º¡Ä³ê†°½ì©ò ¥¾¡Â»¤¤¾­ A ´©ó º¡Ä³ ¢¾© 5% °½ìò©¥¾¡Â»¤¤¾- B ´ó©º¡Ä³¢¾© 4% Áì½ °½ìò©¥¾¡Â»¤¤¾- C ´©ó º¡Ä³ ¢¾© 2%. «É¾¥ñ®©º¡Ä³-©¨-®ñ¤-Àºó-´¾ 1 ©º¡¯¾¡ö©¸È¾À¯ñ­©º¡Ä³¢¾©. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾--ê†-¸È¾ ¥½Ä©É©º¡Ä³¢¾©ê†°½ìò©¥¾¡Â»¤¤¾­ B . 13. ´ó¡®ñ µøÈ 3 ¡ñ®, ¡ñ®êÎó ‡¤´óϾ¡®¾­¦ó¢¾¸µøÈ 4 Î¸È ¨ Áì½ ¦©ó ¿ 2 Î¸È ¨, ¡®ñ ê󦺤 ´óϾ¡ ®¾-¦Áó ©¤µøÈ 4 Îȸ¨ Áì½ ¦©ó ¿ 2 Î¸È ¨, ¡ñ®ê¦ó ¾´´Ïó ¾¡®¾-¦ó¢¾¸µøÈ 3 Î¸È ¨ Áì½ ¦ó Á©¤ 3 Îȸ¨. Ã-¡¾-¥ñ®Ï¾¡®¾-Â- ©¨-®ñ¤À- ºó-ºº¡¥¾¡¡®ñ êó 1, 2, 3 £È¾¡½ª¸¤ ꆥ½¥ñ® «¡õ Á´-È 1 ; 1 Áì½ 1 ª¾´ì¿©ñ®, «¾É ¥®ñ ¡®ñ ´¾ 1 ¡®ñ ©¨®ñ¤Àºó-Áìɸ¥ñ® Ͼ¡®¾- 1 23 6 Îȸ¨ºº¡¥¾¡¡ñ®. ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾­ê¥† ½¥ñ®Ä©ÏÉ ¾¡®¾­ ¦ó¢¾¸. 14. »¤¤¾­Á¹È¤Î¤‡ °½ìò©¦ò­£É¾§½­ò©Î‡¤Â©¨Ã§ÉÀ£ˆº¤¥ñ¡ 4 À£ˆº¤ À§…¤°½ìò©Ä©¸É ñ­ì½ 1000, 1200, 1800 Áì½ 2000 º-ñ ª¾´ì¿©ñ®. «¾É ;¨¡¸È¾­šÀ£ˆº¤¥ñ¡¥½°½ìò©¦ò­£¾É ­­˜ ®ÒÄ©É´¾© «¾-Ã-ºñ©ª¾¦½Àì¨È 1%, 1/2%, 1/2% Áì½ 1% ª¾´ì¿©ñ®. «É¾¥ñ®¦ò­£¾É ¢›­´¾ºñ­Î‡Â©¨ ®ñ¤-Àºó­¥¾¡êñ¤Ïö©ê†°½ìò©Ä©Éí 1 ¸ñ­ Áì½ ¯¾¡ö©¸È¾À¯ñ­¦ò­£É¾ê†®ÒÄ©É´¾©«¾-. ¥‰¤§º¡ £¾È ¡½ª¸¤¢º¤-À¹©¡¾­ê†¸¾È ¦­ò £¾É ®ÄÒ ©É´¾©«¾­­š«¡õ °½ìò©Â©¨ À£ˆº¤¥ñ¡À£ˆº¤êó 4. 57

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®©ö êó 4: ª¸ö ¯È¼-®ñ¤Àºó- ແລະ ຄາ່ ກະຕວງຂອງຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອນີ 1. ຄວາມໝາຍຂອງªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó- íÀ´ˆºÀ»¾ö ¨­Ï¾¡¡½ìñº¡ 2 Î¸È ¨, À»¾ö »øɸȾ X êÁ† ê­°­ö ®¸¡¢º¤Àì¡ê†ºº¡, X ¥½ ´ó£È¾µÈøì½¹¸¾È ¤ 2 ¹¾ 12 ÁªÀÈ »¾ö ®Ò»øìÉ È¸¤Î¾É ¸È¾£È¾¢º¤ X í¡¾­Â¨­ÁªÈì½À꺈 ¥½ Á´-È ¹¨ñ¤, À²­… À¸í¾¸È¾£È¾¢º¤ X ¢›­¡ñ®Âº¡¾© í꿭º¤©¼¸¡­ñ ­˜­¦ö´´÷©Ã¹É X Á´È-º¾¨÷¡¾-ç¸É ¼¡ ¢º¤©º¡Ä³©º¡Ã©Î‡¤ê†¥ñ®´¾Á®®®ñ¤Àº­ó ¥¾¡©º¡Ä³§÷©Î‡¤, £¾È ¢º¤ X ¡ð¢›­¡ñ®Âº¡¾©. X ꆡȾ¸´¾­Àš ²…­Àºš­¸È¾ “ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­”, À§…¤£È¾¢º¤´ñ­¢›­¡ñ®Âº¡¾© Íõ ¢›­¡ñ®°ö­¢º¤¡¾­ ê©ö 캤Á®®®¤ñ Àºó-. ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-Á´È-ª¿ì¾¥¾¡¥¡ñ ¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤ ¹¾¡÷È´¥¿-¸-¥ò¤. ª¸ö µÈ¾¤1: «¾É ¡¿-ö©Ã¹É X À¯-ñ ¥¿-¸-À꺈 ꆹù¼­ºº¡¡ºÉ ¨ T  êÀ† ¡ó©¥¾¡¡¾­Â¨­Í¼- 3 ͼ- 1 À꺈 . X Á´È­ª¿ì¾Î‡¤¥¾¡¥¡ñ ¡½¸¾­ª¸ö µ¾È ¤ S ¹¾ 0,1, 2,3 S X S TTT 3 TTH 2 1 THT 0 THH HHH HHT HTH HTT »ø®êó 1 ªö¸¯È¼-®ñ¤Àº-ó Á®È¤À¯-ñ 2 §½-©ò £õ ªö¸¯È¼-®ñ¤Àº-ó ®ªÒ ÒÀ­ºˆ ¤ Áì½ ª¸ö ¯È¼-®ñ¤Àºó­ ªÀÒ ­ˆº¤. ¡. ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­®ªÒ ÒÀ­ˆº¤ «¾É ¥ñ¡¡½¸¾­ªö¸µÈ¾¤Ã©¯½¡º®©¸É ¨À´ñ©ªö¸µÈ¾¤ê­† ®ñ ¥¿­¸­Ä©É£®ö «É¸­ Íõ º¾©¥½À¯ñ-¥ñ¡ ¡½¸¾­ª¸ö µ¾È ¤ê†À¡©ó ¥¾¡¡¾­êö©ìº¤ºˆ­ ê´† 󥿭¸­ºö¤¯½¡º®Í¾¨ªö¸À§­„ : ¡¾-¨-Ͼ¡ ¡½ìñº¡ 1 Îȸ¨1ÀꈺįÀ윺¨Å¥ö­¡¸È¾¥½ºº¡Àì¡ 5 ¡ð¦¾´¾©-ñ®¥¿-¸-À´ñ©ªö¸µÈ¾¤Ä©É À§„­¡ñ­, ¥ñ¡¡½¸¾­ªö¸µÈ¾¤ìñ¡¦½­½­šÀºš­¸È¾ ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó-®ªÒ ÒÀ­ˆº¤. ©¨ê¸‰ įÁì¸É ª¸ö ¯È¼­®ñ¤Àºó-®ÒªÒÀ­ºˆ ¤ ¥½Áꭩɸ¨¢´Ó ø­ê†À¯ñ­¥¿­¸­«É¸­®¸¡ À§„­ ¥¿ ­¸­­¡ñ »¼­, ¥¿­¸­£ø, ¥¿­¸­¯›´, ... ¢. ª¸ö ¯¼È ­®ñ¤Àº­ó ªÀÒ ­ˆº¤. «É¾¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤Ã©¯½¡º®©É¸¨¥¿-¸-À´ñ©ªö¸µÈ¾¤ Íõ ¥¿-¸-ºö¤¯½¡º®ê†®ÒÁ´È­ ¥¿-¸-«É¸-À§„­: £¸¾´¦ø¤, -ÕÎñ¡, º÷-¹½²ø´, £½Á--¦½ÀìȨ¢º¤-ñ¡»¼-,... êñ¤Ï©ö Àº­š ¸¾È ªö¸¯¼È ­®ñ¤Àº­ó ªÀÒ ­ºˆ ¤. 58

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ©¨ê‰¸Ä¯Áìɸ ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­ªÒÀ­ºˆ ¤¥½Áꭩɸ¨¢Ó´­ø ê†À¯ñ­¥¿­¸­¥ò¤ À§­„ 츤¨¾¸¢º¤Ä´É ®-ñ êñ©, Ä쨽À¸ì¾¢º¤¡¾-À©ó-꾤, ... 2. ª¿ì¾¡¾-Á¥¡µ¾¨£¾È ¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àº-ó 2.1 ¡¾-Á¥¡µ¾¨¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-®ÒªÒÀ­ˆº¤ -ò¨¾´: ¡¿-ö©Ã¹É X Á´È-ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-®ÒªÒÀ­ˆº¤, x Á´È­£È¾Î‡¤¢º¤ªö¸¯ú¼­©„¤¡È¾ວ PX  x Ͼ¨À«¤ò £È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯¼È - X À´ˆº X Àꉾ¡®ñ x Áì½ ¡¿-ö©Ã¹É P X  x  f x Á´È-¡¾-Á¥¡ µ¾¨£¾È ¡½ª¸¤ À»¾ö ¥½Ä©É£­÷ ìñ¡¦½­½ªÄÒ ¯­š: 1. f x  0 ; x  R n 2.  f x  1 x 3. PX  x  f x ªö¸µÈ¾¤ 2: ¥‰¤¢¼­ª¿ì¾¡½ª¸¤¢º¤ X À§…¤ X Á´È­¥¿­¸­Àꈺꆺº¡¹ö¸Ã­¡¾­êö©ìº¤ ¨-ͼ-2 ͼ- 1 À꺈 Áì½ Áª´É À¦˜­¦½Á©¤ª¿ì¾£¾È ¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯¼È ­ X. ®ö©Á¡É: ¥ñ¡¡½¸¾-ªö¸µÈ¾¤Ã-¡¾-êö©ìº¤Â¨-ͼ- 2 ͼ- 1 £¤˜ Á´È­:  HH , HT ,TH ,TT  . À»ö¾´ó P HH   1 P HT   1 44 P  TH   1 P  TT   1 4 4 ©¤„ ­˜­, ¥½Ä©É P  X  0   P TT   1 4 P  X  1   P HT   P TH   1  1  1 44 2 P  X  2   P  HH   1 4 ª¿ì¾¡½ª¸¤¢º¤ X ¦¾´¾©¦½Á©¤©¸É ¨ª¾ª½ì¾¤ªÒį­:š X 01 2 1 f x  PX  x 1 1 4 2 4 À¦˜­¦½Á©¤ª¿ì¾¡½ª¸¤ f X  ´»ó ®ø »¾È ¤©¤„ ­:š 59

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ f x f x 1 1 2 2 1 41 4 01 2 x 01 2 x »ø®À¦¾ö »ø®Áê¤È »®ø êó 2 ªö¸µÈ¾¤ 3: í¡ñ®Î‡¤´Ïó ¾¡®¾­¦ó©¿ 4 Î¸È ¨, ¦Áó ©¤ 3 Îȸ¨ À´ˆº¥ñ®Àºö¾Ï¾¡®¾­¥¾¡¡ñ® ­š´¾ 4 Îȸ¨Â©¨®ñ¤Àºó- Áì½ Ã¹É X À¯ñ-¥¿-¸­Ï¾¡®¾­¦óÁ©¤ê†¥ñ®Ä©É.¥‰¤£ò©ÄìÈ¡¾- Á¥¡µ¾¨£¾È ¡½ª¸¤¢º¤ X . ®©ö Á¡É: ¥¾¡£¿«¾´ À¹ñ-¸¾È ´óϾ¡®¾-ê¤ñ Ïö© 7 Î¸È ¨, À­ºˆ ¤¥¾¡¸È¾Ï¾¡®¾­¦óÁ©¤´ó êñ¤ Ï©ö 3 Îȸ¨ ©„¤­­˜ , x  0, 1, 2, 3 ¥½Ä©É: f  x   P  X  x   C3x  C44x À´ˆº x  0, 1, 2, 3 C74 ¦¾´¾©¦½Á©¤£¾È ¡½ª¸¤¢º¤ X ÁªìÈ ½£È¾Ä©É©¤„ ­š: f  0  P X 0 C30  C 4  1 4 35 C 4 7 f 1  P  X 1 C31  C 3  12 4 C74 35 f  2  P X  2 C32  C42  18 C74 35 f  3  P  X  3  C33  C 1  4 4 C74 35 Áì½ ¦¾´¾©¦½Íø®Ã¦ªÈ ¾ª½ì¾¤©¤„ ­:š X 0 1 2 3 3 1 12 18 4 f x  PX  x  f x 35 35 35 35 x0 1 «É¾¡¿-ö©Ã¹É X À¯ñ­ªö¸¯¼È ­®ñ¤Àºó­®ÒªÀÒ ­ˆº¤ ª¿ì¾¡¾­Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤Á®®¦½¦ö´¢º¤ X ¢¼-Áê-©É¸¨ F  x  Ͼ¨À«ò¤°ö-츴¢º¤£È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó- X ´ó£È¾®ÒÀ¡ó- x F  x   P  X  x  (2) ªö¸µ¾È ¤ 4: Ã¹É X Á´È­°ö­®¸¡¢º¤Àì¡ê†ºº¡Ã­¡¾­Â¨­Ï¾¡¡½ìñº¡ 2 Îȸ¨ 1 Àꈺ. À¹ñ-¸È¾ X Á´­È ªö¸¯¼È ­®ñ¤Àº­ó ®ÒªÒÀ­ˆº¤ Áì½ X ¥½´ó£È¾À꾉 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. ©¤„ ­˜­ f x   P  X  x  Áì½ F  x   P  X  x  ´£ó Ⱦ: 60

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 F  x  1 3 6 10 15 21 26 30 33 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Áì½ ¦¾´¾©¦½Á©¤©¸É ¨Á°­¸¾©ªÒį­:š »®ø êó 3 ¥¾¡Á®®ª¤˜ (2) ¦¾´¾©¦½Á©¤Ã¹ÀÉ ¹ñ-¸È¾: P  a  X  b    f  xi   F  b  F  a  a xi b ªö¸µ¾È ¤ 5 : ¥¾¡ªö¸µÈ¾¤ 4, ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê†¸È¾ °ö­®¸¡¢º¤Àì¡ê†¥½ºº¡ ®Ò-ɺ¨¡¸¾È 6 Áì½ ®Ò¹ù¾¨¡¸¾È 9. ®©ö Á¡É: £È¾¡½ª¸¤ê§† º¡Á´È­ P  5  X  9  F  9   F  5   30  10  20 36 36 36 Ͼ¨À¹©: «É¾ X À¯ñ­ª¸ö ¯¼È ­®ñ¤Àº­ó ®ÒªÀÒ ­ºˆ ¤ Áì½ a, b À¯ñ­£È¾¢º¤ª¸ö ¯È¼­©¤„ ¡¾È ¸¥½Ä©É Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b 2.2 ¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-ªÒÀ­ˆº¤ -ò¨¾´: «É¾¡¿-ö©Ã¹É X À¯ñ-ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-§½­ò©ªÒÀ­ˆº¤, ª¿ì¾¡¾­Á¥¡µ¾¨¦½¦ö´ Fx ¡¿-©ö ©¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ X ꆴó£¾È ®ÒÀ¡ó­ x £:õ F  x   P  X  x  (3) Á´È-ª¿ì¾¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ x Áì½ À»ö¾¥½Ä©É £­÷ ì¡ñ ¦½­½©„¤­š: 1. f x  0 x  R 61

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ  2.  f x dx  1  3. Pa  x  b  b f x dx a 4. Fx  PX  x  x f t  dt  ªö¸µ¾È ¤ 6: «É¾¡¿-ö©Ã¹É X À¯ñ­ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­ªÒÀ­ˆº¤, ´óª¿ì¾¡¾­Á¥¡µ¾¨¦½¦ö´¢º¤ X ¡¿-ö©Â©¨:  0 À´ˆº x  0  F  x    x À´ˆº 0 x 1 1 À´ˆº x  1 ª¿ì¾¡¾­Á¥¡µ¾¨¦½¦ö´Ã­ª¸ö µÈ¾¤­š ¦½Á©¤Ä©É©¸É ¨À¦˜­¦½Á©¤©„¤­š: Fx 1 1 2 1 4 0 11 1 x 42 »®ø êó 4 ¥¾¡»®ø £È¾¡½ª¸¤¢º¤ X ê†Îɺ¨¡¸È¾ Íõ À꾉 ¡ñ® 1 Á´-È F 1   P X  1   1 £È¾¡½ 4 4  4 4 ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-Ã-Ä쨽éÄ쨽·¤Á´È­£È¾¡½ª¸¤ê† x ¥½µìÈø ½¹¸È¾¤ x = a Áì½ x = b. À²­… ¦½Á©¤Ä©É©¸É ¨£¾È ²òĦ¢º¤ª¿ì¾¡¾-Á¥¡µ¾¨¦½¦´ö À¸ì¾ x = b Áì½ x =a ©„¤­:š Ã¹É X À¯ñ-ªö¸¯¼È -®ñ¤Àºó-§½­ò©ªÒÀ­ˆº¤ê†´ó F  X  À¯ñ-ª¿ì¾¡¾-Á¥¡µ¾¨¦½¦ö´ Áì½ Ã¹É a Áì½ b À¯ñ­£È¾Ã©Î‡¤¢º¤ X ©¨¸¾È a < b £È¾¡½ª¸¤ ¢º¤ X ꆵøìÈ ½¹¸È¾¤ a Áì½ b Á´È-: P  a  X  b   F  b   F  a  (4) ª¸ö µ¾È ¤ 7: ¥¾¡ª¸ö µ¾È ¤êó 6 ¥‰¤§º¡¹¾£¾È ¡½ª¸¤ê† X ¥½µÈøì½¹¸È¾¤ 1 Áì½ 3 44 ®ö©Á¡É: P  1  X  3   F  3   F  1  4 4  4   4   31  1 44 2 Ͼ¨À¹©: À´ˆº X À¯-ñ ª¸ö ¯¼È -®¤ñ Àºó-§½­©ò ªÀÒ ­ˆº¤ê†µøÈì½¹¸¾È ¤ a Áì½ b À»ö¾¥½Ä©É: P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b = F b  F  a . 62

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ª¸ö µ¾È ¤ 8 ùɪö¸¯¼È -®ñ¤Àºó- X ´óª¿ì¾£¸¾´Î¾ÁÎÉ-Á´È-: f  x   15 ; 0  x  5  0 ; x ]0,5[ ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤ê† X ¥½´£ó Ⱦ콹¸¾È ¤ 2 ¹¾ 3 ®ö©Á¡É: P2  X  3   3 1 dx 25 x 3 52  3 2 55 1 5 P  2  X  3   0.2 f x  1 5 O 1 23 4 5 x P2 X 3 »®ø êó 5 ªö¸µÈ¾¤ 9 ùªÉ ö¸¯¼È -®ñ¤Àºó- X ´ªó ¿ì¾£¸¾´Î¾ÁÎÉ-Á´È- f  x    C x2 ; 0 x 1  0 ; x0 ; 1 ¥‰¤§º¡£È¾¢º¤ C  ®©ö Á¡É: ¥¾¡£-÷ ìñ¡¦½-½êó 2 À»ö¾´ó  f x dx  1  ¦½­˜­ 0 f x dx  1 f x dx   f x dx 1  0 1 1 2 dx 1 Cx0 63

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ Cx3 1 f x 1 30 C  13  03  1 3 3 3 2 C 1   1 1 3 C 3 1 0 x 3x 2; 0  x 1 »®ø êó 6 1x  x , ¦½­˜­ f  0; 0 1 3 £È¾¦½Àì¨È Áì½ £È¾°-ñ ¯¼È -¢º¤¡¾-Á¥¡µ¾¨£¾È ¡½ª¸¤. 3.1 £È¾¦½ÀìȨ¢º¤¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤ຂອງຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອນີ 3.1.1 £È¾¦½ÀìȨ¢º¤ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­®ÒªÒÀ­ˆº¤ -¨ò ¾´: «É¾¸¾È X Á´-È ªö¸¯¼È -®ñ¤Àºó-®ÒªÒÀ­ºˆ ¤ £¾È ¦½Àì¨È ¢º¤ª¸ö ¯¼È -®ñ¤Àºó-Á´È- n   E  X    x f x (4) x ª¸ö µ¾È ¤ 10 : ¥¤‰ §º¡¹¾£È¾¦½ÀìȨ¢º¤Àì¡ê†ºº¡Ã­¡¾­Â¨­Ï¾¡¡½ìºñ ¡ 1 Îȸ¨1Àꈺ. ®©ö Á¡É: Ã-¡¾-¨-Ͼ¡¡½ìºñ ¡ 1 Î¸È ¨ 1 À꺈 ¥½Ä©É S  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  Áì½ £È¾¡½ª¸¤ê†¥½ºº¡ÁªÈì½Àì¡Á´­È 1 . 6 6 ¥¾¡¦ø© (4) ¥½Ä©É E  X    x f x x1  1 1    2  1   3 1    4  1   5  1   6  1   6  6  6  6  6  6 123456 666666  3,5 £¾È ¦½Àì¨È í¡¾­Â¨­Ï¾¡¡½ìñº¡ 1 Î¸È ¨ 1 ÀꈺÁ´­È 3,5. ªö¸µÈ¾¤ 11: «û¾Ã¹É X Áê­¥¿­¸­ìö©¥ñ¡¢º¤ÁªÈì½£º®£ö¸Ã­®É¾­Î‡¤ ©¨´ó¡¾­Á¥¡ µ¾¨ £È¾¡½ª¸¤¢º¤ X ©„¤­š: X0 1 2 3 4 P X  x 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05 ¥‰¤£ò©Äìȹ¾£È¾¦½ÀìȨ¢º¤¥¿­¸-ìö©¥ñ¡¢º¤ÁªÈì½£º®£ö¸ Áì½ º½êò®¾¨£¸¾´ Ͼ¨. n ®©ö Á¡É: ¥¾¡¦©ø (4) E  X    xf x x 64

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 4   xf x x0  0 0,08  1 0,15  2  0,45  3 0,27  4  0,05  2,06 E  X   2,06 ©„¤­˜­, ¦½Íø®Ä©¸É Ⱦ©¨¦½ÀìȨÁì¸É ÁªÈì½£º®£¸ö í®É¾­­š´óìö©¥ñ¡¯½´¾­ 2 £ñ-. «¾É ¡¿ -ö©Ã¹É X À¯ñ­ª¸ö ¯¼È ­®ñ¤Àº­ó §½­ò©®ÒªÒÀ­ˆº¤ê†´ó f  x  À¯ñ-ª¿ì¾£È¾¡½ª¸¤ Áì½ Ã¹É g  x  À¯ñ-ª¿ì¾¢º¤ X Áì½ £¾È ¦½Àì¨È ¢º¤ g  x  ¡¿­©ö Ä©©É „¤­:š E  g  x    n g x  . f x (5)  x ªö¸µÈ¾¤ 12: Ã-¡¾-êö©ìº¤Â¨-ͼ- 2 ͼ-²Éº´¡ñ-, «É¾Í¼-ºº¡¹ö¸êñ¤¦º¤Í¼- êɾ¸ ສີ ພອນ¥½Ä©ÉÀ¤ò- 2.000 ¡ó®, Áª«È ɾºº¡À¯ñ­µÈ¾¤ºˆ­ ê¾É ¸ສພີ ອນ ¥½ªÉº¤À¦¨À¤ò- 1.000 ¡ó®. ¥‰¤§º¡ ¹¾£È¾¦½ÀìÈ¨ê† ê¾É ¸ ສພີ ອນ ¥½Ä©É Íõ À¦¨À¤ò-Ã-¡¾-¨-ÁªÈì½£¤˜ . ®©ö Á¡É: ¡¿-ö©Ã¹É X À¯ñ­¥¿­¸­êº† º¡¹¸ö f  x  À¯ñ-ª¿ì¾£¾È ¡½ª¸¤¢º¤ X g  x  À¯ñ-ª¿ì¾¢º¤ X À§¤… Ͼ¨À«ò¤¥¿­¸­À¤ò-ທ່ີ ີ ê¾É ¸ ສພີ ອນ ¥½Ä©É»®ñ . X0 1 2 f x 0,25 0,50 0,25 gx 1000 1000 2000 2 ¥¾¡¦©ø (5) E  g  x     gxf x x0  1000  0,25   1000  0,50    2000  0,25    250    500   500  250 £È¾¦½ÀìȨ꣆ ò©ÄìÄÈ ©û­­˜ ¦½Á©¤Ã¹ÉÀ¹­ñ ¸È¾ «É¾êɾ¸ສພີ ອນ Í­™ Á®®­š§ÕÅ¡ñ­Í¾¨À꺈 , êɾ¸ ສພີ ອນ ¥½À¦¨À¤ò­¦½Àì¨È À꺈 ì½ 250 ¡ó®. 3.2 ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນຂອງການແຈກຢາຍຄາ່ ກະຕວງ¡½ª¸¤ຂອງຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອນີ 3.2.1 £È¾°ñ-¯È¼-¢º¤ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­®ÒªÒÀ­ˆº¤ -ò¨¾´: ¡¿-ö©Ã¹É X À¯ñ­ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­®ÒªÒÀ­ˆº¤ £È¾¦½ÀìȨ¢º¤¡¿ìñ¤¦º¤¢º¤£¸¾´Áª¡ ª¾È ¤ì½¹¸È¾¤£¾È ¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-¡®ñ £¾È ¦½ÀìȨ.  X   2 Àºš­¸¾È £È¾°ñ­¯¼È ­ ¢º¤ªö¸¯¼È -®ñ¤ Àº-ó X ¦ñ-¨½ìñ¡©É¸¨  2 Íõ Var ( X ) ¡¿-ö©Â©¨. (6)  VarX    2  E  X  2   x  2 f  x  x 65

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ¥¾¡-¨ò ¾´¥½Ä©¸É ¾È ¦ø©À®œº¤ªí­¢º¤¡¾­§º¡¹¾£È¾°­ñ ¯È¼­¢º¤ª¸ö ¯¼È ­®ñ¤Àºó- ¦¾´¾©¯®ñ ¦ø© ©¤„ ¡È¾¸Â©¨º¾Ä¦¢½®¸-¡¾-꾤£½­©ò ¦¾©; ¦½ÍЮĩɩ„¤­š: £¾È °ñ-¯¼È -¢º¤ª¸ö ¯È¼-®ñ¤Àºó- X ¦¾´¾©£ò©ÄìÈÄ©É¥¾¡¦©ø : 2  EX 2  EX 2 À§…¤ EX  n f x (7) 2  x2 x0 £¾È °ñ-¯¼È -´¾©«¾-¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó- X £ò©ÄìÈ¥¾¡¦ø©   EX 2  EX 2 (8) ªö¸µÈ¾¤ 13: Ã¹É X Á´È­¥¿­¸­°ö­°½ìò©ê†®ÒÄ©É´¾©«¾­. «É¾¥ñ®°ö­°½ìò©©¤„ ¡È¾¸´¾ 3 ºñ- ©¨ ®ñ¤Àº­ó À²ˆº´¾¡¸©À®¤… Áì½ »øɸ¾È ¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ X ´©ó „¤­š: X0123 f x 0,51 0,38 0,10 0,01 ¥¤‰ §º¡£¾È °ñ­¯¼È ­ Áì½ £È¾°­ñ ¯¼È ­´¾©ª½«¾­¢º¤ X ®ö©Á¡É:  ¥¾¡¦ø©  2  E X 2  EX 2 EX   0  0,51  1  0,38   2  0,10   3  0,01  = 0,61 E  X 2   02  0,51  12  0,38   22  0,10  32  0,01 = 0,87   2  0,87   0,61 2  0,4979 Áì½   0,4979  0,7056 £È¾°ñ-¯È¼- Áì½ £È¾°ñ­¯È¼­´¾©«¾­¢º¤°ö­°½ìò©ê†®ÒÄ©É´¾©«¾­Àꉾ 0,4979 Áì½ 0,7056 ª¾´ì¿©ñ®. 3.3 £È¾¦½ÀìȨ Áì½ £È¾°ñ-¯È¼-¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó- ªÒÀ­ˆº¤ 3.3.1 £È¾¦½ÀìȨ¢º¤ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­ªÒÀ­ˆº¤. -¨ò ¾´: «É¾ X À¯ñ-ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-§½­ò©ªÀÒ ­ˆº¤ê†´óª¿ì¾£È¾¡½ª¸¤À¯ñ­ f  x  £È¾¦½Àì¨È ¢º¤ X Á´È-. ª¸ö µ¾È ¤ 14:    E  X    xf xdx (9)  ¦´ö ´÷© X Á´È­º¾¨¡÷ ¾­Ã§¸É ¼¡Ä©É¢º¤À£ˆº¤ÀºÀìñ¡Âªë­ò¡§½­ò©Î¤‡ À§…¤¹ö¸ Îȸ¨Á´È­§¸‰ ´¤ Áì½ ´ªó ¿ì¾£¸¾´Î¾ÁÎÉ-¢º¤ X ©„¤­:š  20000 ; x  100  f  x    x3  0 ; x  100 ¥¤‰ §º¡º¾¨÷¡¾­Ã§É¸¼¡Ä©É¢º¤À£ºˆ ¤ÀºÀì¡ñ ªë­ò¡§½­ò©­Âš ©¨¦½Àì¨È . 66

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ®©ö Á¡É:   E  X    x 20000 dx x3 100    20000dx  20000  1 dx x3 x2 100 100    20000 1  1   200  20000  x 1  20000 1    100  100  x  100 Ͼ¨£¸¾´¸È¾ º¾¨÷¡¾­Ã§É¸¼¡¢º¤À£ˆº¤ÀºÀì¡ñ ªë­ò¡§½­ò©­š ©¨¦½ÀìȨÁìɸÁ´-È 200 §¸‰ ´¤. £¾È ¦½ÀìȨ¢º¤ g  x  ¡¿-ö©Â©¨ : ª¸ö µÈ¾¤ 15  E g  x     gx f xdx (10)  Ã¹É X Á´­È ª¸ö ¯È¼­®ñ¤Àºó­ê†´óª¿ì¾£¸¾´Î¾ÁÎÉ­©„¤­š: f x   x2 ,1  x  2  3  0, x  1, 2 ¥¤‰ §º¡£È¾¦½Àì¨È ¢º¤ g  x  À§¤… gx  4x  3 ®©ö Á¡É: ¥¾¡¦ø© E g  x    g  x  f  x dx  À»ö¾Ä©É E  gx    2  4x  3 x2 dx 1 3    1 2 4x2  3x2 dx 3 1   1 3  2 4x3 dx  2 3x 2 dx    1 1 1  2 x3 dx  3 2 x2  3   1 1   4 dx 1  x 4 2  x 3 2 3  1 1  8 ¦½Íø® Egx  E4X  3  8 «É¾¸È¾ a Áì½ b Á´-È ª¸ö £ö¤£È¾ À§…¤ a, b  R ¥½Ä©É E  aX  b   a E X   b (11) ªö¸µ¾È ¤ 16 ¥¾¡ªö¸µÈ¾¤ 15 ¥½Ä©É E 4X  3   4E X   3  4 2 x  x2  dx  3 1 3  4 5   3 4 8 67

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ 3.3.2 £È¾°ñ-¯È¼-¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-ªÒÀ­ˆº¤ £È¾°ñ-¯È¼-¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-ªÒÀ­ˆº¤ X ¢¼-Áê-©É¸¨ 2 Ͼ¨À«ò¤£È¾¦½ÀìȨ¢º¤ X  2 ©¨¸È¾:     2  E  X  2   x  2 f x dx (12)       Íõ  2  E X 2  EX 2 À§¤… E X 2   x2 f xdx (13)  »¾¡¢­˜ ¦º¤¢º¤£È¾°ñ­¯¼È ­ Àº­š ¸È¾£È¾°ñ­¯¼È ­´¾©«¾­ ª¸ö µÈ¾¤ 17 Ã¹É X Á´È­ªö¸¯È¼­®ñ¤Àºó­ê†´£ó ¸¾´Î¾ÁÎ­É Ã­¡¾­Á¥¡µ¾¨ f  x    2x 1 , 1  x  2  x  1, 2   0, ¥‰¤§º¡£¾È °ñ­¯È¼­ Áì½ £È¾°­ñ ¯È¼­´¾©ª½«¾­¢º¤ª¸ö ¯¼È ­®ñ¤Àº­ó X ®©ö Á¡É:  ¥¾¡¦ø© (13)  2  E X 2  EX 2 Áªú   E X    2 2xx  1 dx 1 2  2 2  1 x 2 dx  1   xdx  2  x3 2  x2 2   3 2  1 1 5 3  2 Áì½ E X 2  2  x2 x 1dx 1 2 2 1 x3dx  1   2 x 2 dx   2  x4 2  x3 2   4 3  1 1  17 6 17  5  2 1 1 6 3 18 18 ¥½Ä©É 2   Áì½   4. ¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ª¸ö ¯È¼-Àºó-®ÒªÒÀ­ºˆ ¤ທີຄວນເອົາ ໃຈໃສ.່ 4.1 ¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸²ò ©ö (Binomial Distribution) ¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²ö©Á´È-¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó-®ÒªÒÀ­ˆº¤.¡¾- êö©ìº¤´óìñ¡¦½­½©„¤­:š 68

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ  ¡¾-ê©ö 캤§ÕÅ¡ñ- n Àꈺ ²¾¨ÃªÀÉ ¤ˆº­Ä¢©¼¸¡ñ­.  ¡¾-ê©ö 캤¥½´ó°ö-Ä©É»ñ® 2 Á®® £õ £¸¾´¦¿Àìñ© Áì½ £¸¾´®Ò¦¿Àìñ©.  ¡¾­ê©ö 캤ê¤ñ Ïö©À¯ñ­Àº¡½ì¾©À§¤… ¡ñ­ Áì½ ¡ñ­.  £È¾¡½ª¸¤êĆ ©É¥¾¡¦¤… ꆦ¿Àìñ©¥½´ó£È¾£ö¤£È¾ê¡÷ Àꈺ¢º¤¡¾­ê©ö 캤£õ p Áì½ £È¾¡½ ª¸¤ê†Ä©É¥¾¡¦…¤ê†®Ò¦¿Àìñ©Ã­ÁªÈì½Àꈺ¢º¤¡¾­êö©ìº¤£õ q  1  p .  ªö¸¯¼È -®ñ¤Àºó- X ¥½Á´­È ¥¿­¸­À꺈 ¢º¤¡¾­êö©ìº¤ê†Ä©É¥¾¡¦…¤ê¦† ö­Ã¥ À¯ñ­ ¥¿-¸-£¸¾´¦¿Àìñ©¥¾¡¡¾-êö©ìº¤ê¤ñ Ï©ö n Àꈺ£õ X = 0, 1, 2, 3 ,..., n. ¥¾¡ À¤ºˆ ­ Ä¢¢É¾¤Àê¤ò ¦¾´¾©Àºš­¡¾­ê©ö 캤­¸š Ⱦ “¡¾­ê©ö 캤Á®®ê½¸ò²ö©”. ¦´ö ´÷©Ã¹É S Áê-£¸¾´¦¿Àìñ© Áì½ F Áê-£¸¾´®¦Ò ¿Àìñ©Ã-¡¾-ê©ö 캤 n À꺈 «É¾Ä©É¥¿-¸-£¸¾´¦¿Àìñ© x À꺈 ¥½Ä©É¦…¤®¦Ò ¿Àìñ© n - x À꺈 ©¤„ ­š: ¡¾-êö©ìº¤ n À꺈 SSS...............SFFF...........F £¸¾´¦¿Àì©ñ £¸¾´®Ò¦¿Àì©ñ x À꺈 n-Œx À꺈 À§¤… S Áì½ F êñ¤Í¾¨º¾©¥½¦½Íñ®¡ñ­Á®®Ã©¡Äð ©.É À­ºˆ ¤¥¾¡¡¾­êö©ìº¤ÁªÈì½ À꺈 ê¤ñ Ïö© n À꺈 À¯­ñ Àº¡½ì¾©ªÒ¡ñ­ ©„¤­­˜ P (SSS..............SFFF.............F) = P(S)P(S)...P(S)P(F)P(F)....P(F) = ppp....p qq...q = p xqnx ¥¿-¸-°ö-Ä©É»ñ®¥¾¡¡¾-êö©ìº¤ n Àꈺ Áì½ Ä©»É ñ®£¸¾´¦¿Àìñ© x Àꈺ Á´È­ C x . n -ò¨¾´: ¡¾-êö©ìº¤ n Àꈺ§Õ¡ñ­ íÁªÈ콡¾­êö©ìº¤£È¾¡½ª¸¤ê†¥½À¡ó©À¹©¡¾­ Á´È- Àꉾ¡ñ® p . Ã¹É x Á´È­¥¿­¸­À꺈 êÀ† ¡ó©À¹©¡¾­Ã­ n Àꈺ, ¡¾-êö©ìº¤©„¤¡È¾¸¦¾´¾©¦½ Á©¤Ã¹ÉÀ¹ñ-¸È¾ ªö¸¯È¼-®ñ¤Àº-ó X ´ó¡¾­Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤©„¤­š: f (x)  P(X  x)  Cnx p xqnx ; x  0,1,2.....n (1) À´ºˆ 0  p  1 Áì½ q  1  p ¡¾-Á¥¡µ¾¨£È¾¡½ª¸¤¢º¤ªö¸¯È¼-®ñ¤Àºó- X À§…¤Àº­š ¸¾È ¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²©ö º¾©¢¼-Áê-©¸É ¨ X ~ bx, n, p ©¨ê† bx, n, p  Cnx p xqnx ; x  0,1,2;..., n ª¸ö ¯È¼-®ñ¤Àºó- X ê´† óª¿ì¾£È¾¡½ª¸¤ª¾´¦©ø (1) À²…­Àºš­¸¾È X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½ ¸²ò ö© À§…¤´ó£È¾¦½Àì¨È E X  Áì½ £È¾°ñ-¯È¼- Var(X) ©„¤­:š E X  = np (2) Var(X) = npq (3) 69

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ ª¸ö µÈ¾¤ 1: ­ñ¡¡òì¾®¾­¦‰¤°øÉ·¤¦¾´¾©§ø®¾­Ä©É 60% ¢º¤¡¾­§ø®¾­êñ¤Ïö©. ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤ ê†ì¾¸¥½§ø®¾-Ä©ÁÉ -È-º- 2 Îȸ¨ ¥¾¡¡¾-§ø®¾-êñ¤Ï©ö 4 À꺈 . ®ö©Á¡É: í¡¾­§ø®¾­ÁªÈì½Àꈺ À¯ñ­Àº¡½ì¾©À§…¤¡ñ­ Áì½ ¡ñ­. ©¤„ ­­˜ p  60  3 £È¾¡½ª¸¤êª† ɺ¤§º¡Á´È­ 100 5 PX  x  Cnx p xqnx ; x  2 Áì½ n  4 PX  2  C42 p2 p2  4!  3 2  2 2 2!2! 5   5   0,3456 P X  2  0,3456 Íõ b  2,4, 3   0,3456  5 £È¾¡½ª¸¤ê­† ñ¡¡ò쾧®ø ¾­Ä©ÉÁ­È­º­ 2 Î¸È ¨ ¥¾¡¡¾-§ø®¾-ê¤ñ Ïö© 4 ÀꈺÀꉾ 0,3456. ªö¸µ¾È ¤ 2: £º®£ö¸Î‡¤ªÉº¤¡¾­´ìó ø¡ 4 £ö-, £È¾¡½ª¸¤Ã-¡¾-´óìø¡À²©§¾¨ Áì½ À²©¨ò¤À꾉 Å ¡­ñ . ¥¤‰ §º¡À¤ˆº­Ä¢ê†£È¾¡½ª¸¤£º®£¸ö ­š: ¡. ´ìó ø¡§¾¨ 1 £ö- ¢. ´ìó ø¡§¾¨µÈ¾¤ÎºÉ ¨ 2 £-ö £. ´ìó ø¡§¾¨Îɺ¨¡¸¾È 2 £-ö ®ö©Á¡É: Ã¹É X Áê­¥¿­¸­ìø¡§¾¨ê†Ä©É »øɸȾ p  1 ; q  1 22 ©¤„ ­˜­, X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²©ö ¥¾¡ PX  x  Cnx p xqnx  1  x  1  4 x  2   2  P( X  x)  C4x  1 1  1  3  4 -  0,25  2   2  16 ¡. P( X  1)  C41 4  1  x  1  4 x  1 2  1 2  1 3  1 1  1 4  1 0 x2  2   2   2   2   2   2   2   2  ¢.   C4x  C42  C43  C44 P( X 2)  6  4  1  11  0,6875 10 16 16 16 1  1  x  1  4 x 14 5 x0  2   2  16 16 16 £. x  0,3125 P( X  2)  C 4 ¦¿ìñ®¡¾-§º¡¹¾£È¾¢º¤ª¸ö ¯¼È -®ñ¤Àºó- X Ã-¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²ö© -º¡¥¾¡¥½£ò© r Äì¥È ¾¡ª¿ì¾£È¾¡½ª¸¤Â©¨¡ö¤Áì¸É Ã-¡¾-£ò©ÄìÈ PX  r  bx, n, p º¾©¥½ çɪ¾ª½ x0 쾤ª¿ì¾¡¾­Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²©ö ꆵÀøÈ ®ºœ ¤Í¤ñ ¢º¤¯›´. ªö¸µ¾È ¤3: £È¾¡½ª¸¤¢º¤°ö­°½ìò©ê†®ÒÄ©É´¾©«¾­¢º¤Â»¤¤¾­Á¹È¤Î‡¤Àꉾ 0,4. «É¾¥ñ®°ö- 70

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ °½ìò©¥¾¡Â»¤¤¾­­š 15 ºñ­Â©¨®ñ¤Àºó­´¾¡¸©¦º®. ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê¸† Ⱦ: ¡. Ä©°É ö­°½ìò©ê†®ÒÄ©É´¾©«¾­ 5 ºñ-. ¢. Ä©É°ö­°½ìò©ê†®ÒÄ©´É ¾©«¾­ 3 À«¤ò 8 ºñ-. £. Ä©É°ö­°½ì©ò ꮆ ÒÄ©É´¾©«¾­µ¾È ¤Í¾¨ 10 ºñ-. ¤. Ä©°É ö­°½ìò©ê®† ÒÄ©É´¾©«¾­Í¾¨¡¸È¾ 2 ºñ-. ®ö©Á¡É: Ã¹É X Á´È­°ö­°½ìò©ê®† ÒÄ©É´¾©«¾- x = 0, 1, 2, 3, ..., 15. ©¨¸È¾ X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨ Á®®ê½¸²ò ö©. »É¸ø ¾È p  0.4; q 1  p  1  0,4  0,6 ¡. PX  5  b5; 15; 0,4  C155 0,45 0,610  0,185 8 ¢. P3  X  8  bx, 15, 0,4 x3  b3;15;0,4  b4;15;0,4  ...... b8;15;0,4  0,0634  0,1268  0,1859  0,2066  0,1771 0,1181  0,8779 10 £. PX  10  bx;15;0,4 x0  b0;15;0,4  b1;15;0,4  ...b10;15;0,4  0,0005  0,0047  ......... 0,0245  0,9907 2 ¤. PX  2  bx;15;0,4 x0  1 PX  2  1  b0;15;0,4  b1;15;0,4  b2;15;0,4  1  0,0005  0,0047  0,0219  1  0,0271  0,9729 ªö¸µ¾È ¤ 4: Ã-¡¾-ºº¡¢Ó¦º®¯¾ì½Ä-¸§ò ¾¦½«ªò ò¥¿-¸- 15 ¢Ó Áì½ ÁªÈì½¢Ó´£ó ¿ªº®ê†À¯-ñ Ä¯Ä©É 4 £¿ªº® Ã-­´š 󲼤 1 £¿ªº®ê†À¯­ñ £¿ªº®ê†«¡õ ªÉº¤. ¥‰¤§º¡¹¾: ¡. £¾È ¡½ª¸¤ê¸† Ⱦ­ñ¡»¼­¦¾´¾©ªº®Ä©ÉµÈ¾¤«¡õ ªÉº¤ÁªÈ 5 À«¤ò 10 ¢.Ó ¢. ¥¤‰ §º¡£¾È ¦½Àì¨È Áì½ £¾È °ñ­¯È¼­¢º¤¢Ó¦º® ê­† ñ¡»¼­¥½ªº®«¡õ . ®©ö Á¡É: Ã¹É X Á´­È ¥¿­¸­¢Ó¦º®ê†-¡ñ »¼-ªº®«¡õ x = 0, 1, 2, 3, ............., 15 »¸øÉ È¾ £È¾¡½ª¸¤¢º¤¡¾-ªº®«õ¡Ã-ÁªìÈ ½¢ÁÓ ´-È p  1 ; q  1 1  3 4 44 ©¤„ ­˜­, X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ò²©ö ¥¾¡¦ø© PX  x  bx, n, p  Cnx p xqnx ¡. £È¾¡½ª¸¤ê¸† Ⱦ­ñ¡»¼­¦¾´¾©ªº®Ä©µÉ Ⱦ¤«õ¡ªÉº¤ÁªÈ 5 ¢Ó À«¤ò 10 ¢ÁÓ ´-È : 71

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ P5  X  10  10 b x; 15; 1  x5  4  b5;15; 1   b6;15; 1   b7;15; 1   b8;15; 1   b9;15; 1   b10;15; 1   4  4  4  4  4  4  0,1651 0,0917  0,0393  0,0131 0,0034  0,0007  0,3133 º¡¾©ê­† ñ¡»¼­¥½ªº®«õ¡µøÈì½¹¸¾È ¤ 5 À«ò¤ 10 ¢Ó Àꉾ 0, 3133 ¢. §º¡£¾È ¦½ÀìȨ E(X) Áì½ £¾È °ñ-¯¼È - Var(X) £È¾¦½Àì¨È E( X )  np  15  1 4  3,75 £¾È °ñ-¯¼È - Var(X)= npq  15  1  3 44  2,81 ©¨¦½ÀìȨÁì¸É º¡¾©ê†­ñ¡»¼­¥½ªº®«õ¡´ó¯½´¾­ 3,75  4 ¢Ó À§…¤´£ó Ⱦ°ñ­¯¼È ­ Àꉾ 2,81  3 ¢Ó. ªö¸µ¾È ¤ 5: £È¾¡½ª¸¤ê†¥½²®ö ¸È¾¯›´ê†¥½ªÔ¡¸¾ú ´¾©«¾­À꾉 0,02 í¥¿­¸­¯´› êñ¤Ïö© 3000 ¹¸ö . ¥‰¤§º¡£È¾¦½ÀìȨ Áì½ £¾È °ñ­¯È¼­´¾©«¾­ ¢º¤¥¿­¸­¯›´ê†ªÔ¡¸È¾´¾©«¾­Ã­¥¿­¸­ ¯›´êñ¤Ïö©. ®©ö Á¡É: Ã¹É X Á´È-¥¿­¸­¯›´ê†ªÔ¡¸È¾´¾©«¾- Áì½ X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ó²ö© À§¤… ´ó n = 3.000 Áì½ p = 0,02 ¥¾¡¦©ø (2) E(X) = np = 3000 x 0,02 = 60 Var(X)= npq , q = 1-0,02=0,98 = 3,000  0,02  0,98 = 58,8 £¾È °ñ­¯¼È ­´¾©«¾­Àꉾ 58,8  7,67 ©¨¦½ÀìȨÁìɸ¯›´ê†ªÔ¡¸È¾´¾©«¾­ í¥¿-¸- 3.000 ¹ö¸´ó 60 ¹ö¸ ©¨´ó£¾È °ñ­¯¼È ­´¾©«¾­Àꉾ 7,67. ªö¸µÈ¾¤ 6: «¾É ¸¾È £¾È ¡½ª¸¤¢º¤©º¡Ä³³É¾ÁªìÈ ½©º¡ ê°† ½ì©ò ¥¾¡À£ˆº¤¥¡ñ ºñ­Î¤‡ çɮÒÄ©É À꾉 0,2. ¥¤‰ §º¡£¾È ¦½ÀìȨ Áì½ £¾È °­ñ ¯¼È ­¢º¤¥¿­¸­©º¡Ä³ê†Ã§É®ÄÒ ©É À´ˆº¥ñ®Àºö¾©º¡Ä³ ê°† ½ì©ò ¥¾¡À£ºˆ ¤¥¡ñ ­š 400 ©º¡. ®ö©Á¡É: Ã¹É X Á´È-¥¿-¸-©º¡Ä³Ã§É®ÒÄ©É ©„¤­˜­ X ´ó¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®ê½¸ó²ö© À§…¤ p = 0,2 , n = 400 Áì½ q = 1- p = 1- 0,2 = 0,8 72

ສະຖຕິ ິ ແລະ ກະຕວງ £¾È ¦½ÀìȨꆪɺ¤§º¡Á´­È E(X) = np = 400  0,2 = 80 £È¾°ñ­¯È¼­êª† ɺ¤¡¾­§º¡Á´­È Var(X) = nqp = 400  0,2  0,8 = 64 ©¨¦½ÀìȨ©º¡Ä³ê†Ã§É®ÒÄ©É¥¾¡¥¿-¸- 400 ©º¡ ´ó 80 ©º¡Â©¨´ó£È¾°ñ­¯È¼­ À꾉 64 4.2 ¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®¯ö¸§¤ö (Poisson Distribution) ¡¾­Á¥¡µ¾¨Á®®¯ö¸§ö¤ Á´È­¡¾­Á¥¡µ¾¨ê†º½êò®¾¨À«ò¤¥¿­¸­£˜¤¢º¤À¹©¡¾- Íõ ¥¿ ­¸­¦¤… ꆦö­Ã¥À§¤… À¡ó©¢›­Ã­Ä쨽À¸ì¾Î‡¤ Íõ í¢º®À¢©ê¡† ¿­ö©Ã¹ÉÀ§­„ ¥¿­¸­Àꈺ¢º¤ ¡¾-À¡ó©º÷®ñ©ªòÀ¹©Ã-À¸ì¾ 1 À©õº­, ¥¿­¸­ÀꈺꆴóÂê콦ñ®À¢í¾´¾¨ñ¤¦¿­ñ¡¤¾­ Á¹È¤Î¤‡ í Ä쨽À¸ì¾ 8:00 ´¤¹¾ 10: 00 ´¤, ¥¿­¸­Ã®¦„¤¦­ò £¾É 껆 ¾û ­£É¾Á¹È¤Î‡¤Ä©É »ñ®Ã-¸-ñ ¦¡÷ À¯ñ-ªí-. ìñ¡¦½-½¢º¤¯¾¡©ö ¡¾-©„¤¡È¾¸ ´£ó ¸¾´¦º©£Èº¤¡ñ®¡¾-Á¥¡µ¾¨ êÀ† º­š ¸È¾: ¡¾- Á¥¡µ¾¨Á®®¯ö¸§ö¤. -ò¨¾´: «É¾  Á´È­¥¿­¸­À꺈 ©¨¦½ÀìȨ À§¤… À¹©¡¾­ê†À»¾ö ¦ô¡¦¾À¡ó©¢­› Ã-Ä쨽À¸ ì¾ ê¡† ¿­©ö Ä¸É Íõ í¢º®À¢©Ã©Î¤‡ Áì½ «¾É ¸È¾ªö¸¯¼È ­®ñ¤Àºó­ X Áê­¥¿­¸­ÀꈺêÀ† ¹©¡¾­­˜­ À¡ó©¢­› íÄ쨽À¸ì¾ ¹õù ¢º®À¢©ê¡† ¿­ö©Ä¸,É X ¥½´¡ó ¾-Á¥¡µ¾¨ ©„¤­š: f x  PX  x  e  x ; x  0,1,2... 4 x! ¦ø©¡¾-Á¥¡µ¾¨ (4) Àºš­¸¾È ¦ø©¢º¤¡¾-Á¥¡µ¾¨Á®®¯¸ö §ö¤ º¾©¢¼-Áê-©¸É ¨ X ~ px ; . «É¾ X Á´È-ªö¸¯¼È -®ñ¤Àºó- ê´† ó¡¾­Á¥¡µ¾¨Á®®¯ö¸§ö¤ ¥½Ä©É£È¾¦½ÀìȨ Áì½ £È¾ °-ñ ¯È¼- Àꉾ¡ñ­©„¤­:š EX  VarX    5 ª¸ö µÈ¾¤ 7: ¦´ö ´©÷ ¸È¾ ´ó¥¿­¸­º®÷ ñ©ªÀò ¹©À¡ó©¢›­µêÈø ¾¤¦†Á¨¡Á¹È¤Î‡¤ ©¨¦½Àì¨È 2 À꺈 ªÒ º¾ê©ò . ¥‰¤§º¡£È¾¡½ª¸¤¢º¤À¹©¡¾­ê†¸¾È : ¡. ¥½´óº®÷ ñ©ªòÀ¹©µ¾È ¤Îɺ¨ 2 À꺈 íº¾êò©Îɾ. ¢. ¥½´óº®÷ ñ©ªÀò ¹© 2 Àꈺíº¾êò©Î¾É . ®©ö Á¡:É -¿Ã§É¦©ø (4) £¾È ¡½ª¸¤ê†ªÉº¤§º¡Á´È­: 73