v www.aydinyayinlari.com.tr 10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kavramı • 2 ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü • 12 ➤ Bir Karmaşık Sayının a + i b (a, b ! R) Biçiminde İfade Edilmesi • 20 ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişki • 33 ➤ K ökleri Verilen İkinci Derece Denklemi Elde Etme • 41 ➤ Karma Testler • 47 ➤ Yazılı Soruları • 53 ➤ Yeni Nesil Sorular • 55 1. ? 2. ? 1 1. ? 2. ?
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI İlişkili Kazanımlar 10.4.1.1 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını açıklar. 10.4.1.2 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. TANIM ÖRNEK 3 a, b, c birer reel sayı ve a ! 0 olmak üzere, ( m + 2 )x5 + ( n - 3 )x3 + 2xk + 1 + m · n · k · x + m - n + k = 0 ax2 + bx + c = 0 ifadesine ikinci derece- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, bu denklemi bulunuz. den bir bilinmeyenli denklem denir. Denk- lemi sağlayan x değerlerine denklemin kökle- m + 2 = 0 & m = -2 ri, köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çö- n-3=0 & n=3 züm kümesi ve a, b, c sayılarına denklemin k+1=2 & k=1 katsayıları denir. 2x2 - 6x - 4 = 0 bulunur. ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 3 · xk - 3 + ( k - 2 ) x + k - 1 = 0 2k + 6 3k + 2 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ol- 2 · x 3k - 3 + 3 · x 4k - 1 - 5x - 6 = 0 duğuna göre, k reel sayısı kaçtır? ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bi- k - 3 = 2 & k = 5 bulunur. linmeyenli denklem olduğuna göre, k sayısını bulu- nuz. ÖRNEK 2 2k + 6 =2 ( m - 3 )x2 + ( 2m + 1 )x + m2 - 6 = 0 3k - 3 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ol- duğuna göre, m kaç olamaz? & 6k - 6 = 2k + 6 m - 3 ! 0 & m ! 3 bulunur. & 4k = 12 &k=3 veya 3k + 2 =2 4k - 1 & 8k - 2 = 3k + 2 & 5k = 4 &k= 4 elde edilir. 5 Bulunan k değerleri denklemde yerine yazıldığında k = 3 olduğu görülür. 1. 5 2. 3 2 3. 2x2 - 6x - 4 = 0 4. 3
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF d) 2x2 - 3x - 2 = 0 BİLGİ 2x2 - 3x - 2 = 0 & ( 2x + 1 ) · ( x - 2 ) = 0 ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözüm kümesi: • Çarpanlara ayırma 2x 1 x = - 1 • Tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerinden 2 yararlanma • Değişken değiştirme x -2 x = 2 bulunur. yöntemleri kullanılarak bulunur. e) 3x2 - 2x - 8 =0 HATIRLATMA 3x2 - 2x - 8 = 0 & ( 3x + 4 ) ( x - 2 ) = 0 a2 - b2 = ( a - b ) · ( a + b ) ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3x 4 x = - 4 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3 x -2 x = 2 bulunur. ÖRNEK 5 f) 4x2 - 16x + 15 = 0 Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini çar- 4x2 - 16x + 15 = 0 & ( 2x - 3 ) · ( 2x - 5 ) = 0 panlara ayırma yöntemini kullanarak bulunuz. a) 5x2 - 3x = 0 2x -3 x= 3 2 5x2 - 3x = 0 2x -5 x= 5 bulunur. 2 x( 5x - 3 ) = 0 & x = 0 x= 3 bulunur. 5 g) x2 - 4x - 5 = 0 b) x2 - 3x + 2 = 0 x2 - 4x - 5 = 0 & ( x - 5 ) · ( x + 1 ) = 0 x2 - 3x + 2 = 0 & ( x - 2 ) · ( x - 1 ) = 0 x -5 x = -1 x -2 x = 2 x -1 x = 1 bulunur. x 1 x = 5 bulunur. c) x2 + 5x + 6 = 0 h) x2 - 5ax + 6a2 = 0 x2 + 5x + 6 = 0 & ( x + 3 ) · ( x + 2 ) = 0 x2 - 5ax + 6a2 = 0 & (x - 3a) · (x - 2a) = 0 x -3a x = 3a x 3 x = -3 x -2a x = 2a bulunur. x 2 x = -2 bulunur. 5. a) ( 0, 3 2 b) {1, 2} c) {-3, -2} 3 d) (- 1 , 2 2 e) (- 4 ,22 f) ( 3 , 5 2 g) {-1, 5} h) {3a, 2a} 5 2 3 2 2
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 x2 + ^ 2 - 3 hx - 3 2 = 0 x3 - x2 - 2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x2 +^ 2 - 3 hx - 3 2 = 0 & ^ x + 2 h · ^ x - 3 h = 0 x( x2 - x - 2 ) = 0 & x · ( x - 2 ) · ( x + 1 ) = 0 x 2 x = - 2 x -3 x = 3 x -2 x = 0 Ç.K = % - 2, 3 / bulunur. x 1 x = 2 x = -1 Ç.K = {-1, 0, 2} bulunur. ÖRNEK 7 ÖRNEK 10 m ve n sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere, a bir reel sayı olmak üzere, mx2 + ( mn - n ) x - n2 = 0 x2 - x ·f a2 + 9 p+ a2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. mx2 + ( m · n - n ) x - n2 = 0 mx -n x2 - x · f a2 + 9 p+ a2 = 0 3 xn ^ mx - n h · ^ x + n h = 0 & x = n x - a2 m 3 a2 a2 x =-n x -3 fx- 3 p^ x - 3 h = 0 & x = 3 Ç.K = x = % - n, n / bulunur. x=3 m a2 Ç.K = * 3, 3 4 bulunur. ÖRNEK 8 ÖRNEK 11 -3x2 - 21 = 0 x2 + 11 ·x- 9 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 4 -3x2 - 21 = 0 & -3x2 = 21 denkleminin tam sayı olan kökü kaçtır? & x2 = -7 & Ç.K = Q bulunur. x2 + 11 ·x- 9 =0&dx- 3 n·^x+3h= 0 4 4 4 x - 3 &x= 3 4 4 x 3 x = -3 bulunur. 6. % - 2, 3 / 7. % - n, n / 8. Ø 4 9. \" - 1, 0, 2 , 10. * 3, a2 4 11. -3 m 3
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF e) x2 + 6x + 4 = 0 ÖRNEK 12 x2 + 6x + 4 = ( x + 3 ) 2 - 9 + 4 = 0 Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini tam & (x + 3)2 = 5 kare ve iki kare farkı özdeşliklerinden yararlanarak bulunuz. &x+3= 5 x+3 =- 5 a) x2 - 4x + 4 = 0 & x =-3+ 5 x =-3- 5 x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )2 = 0 & x = 2 Ç.K = { 2 } bulunur. Ç .K = % - 3 - 5, - 3 + 5 / bulunur. f) 2x2 - 4x - 5 = 0 b) 9x2 - 6x + 1 = 0 2x2 - 4x - 5 = 0 & x2 - 2x - 5 =0 2 9x2 - 6x + 1 = ( 3x - 1 )2 = 0 & ( x - 1) 2 - 1 - 5 =0 2 & x= 1 & ( x - 1) 2 = 7 3 2 Ç.K = ( 1 2 bulunur. &x-1= 7 x-1 =- 7 3 2 2 &x=1+ 7 x=1- 7 2 2 c) x2 - 4x - 1 = 0 Ç .K = * 2 - 14 , 2 + 14 4 bulunur. 2 2 x2 - 4x - 1 = ( x - 2 ) 2 - 4 - 1 = 0 & (x - 2)2 = 5 g) x2 - 6x - 7 = 0 &x-2= 5 x-2 =- 5 &x=2+ 5 x=2- 5 x2 - 6x - 7 = ( x - 3 ) 2 - 9 - 7 = 0 & ( x - 3 ) 2 - 16 = 0 & ( x - 3 - 4 ) ( x - 3 + 4 ) = 0 Ç .K = % 2 - 5 , 2 + 5 / bulunur. & ( x - 7 ) ( x + 1) = 0 & x = 7 x =-1 d) x2 - x - 3 = 0 Ç .K = \" - 1, 7 , bulunur. x2 - x - 3 = d x - 1 2 1 -3=0 h) x2 - 5x + 5 = 0 2 4 n- &dx- 1 2 13 dx- 5 2 25 +5=dx- 5 2 5 2 2 4 2 4 2 2 n= n- n -f p =0 &x- 1 = 13 x- 1 =- 13 &fx- 5 + 5 p·f x- 5 - 5 p=0 2 2 2 2 2 2 2 2 &x= 1 + 13 x= 1 - 13 &x= 5- 5 x= 5+ 5 2 2 2 2 Ç .K = * 1 - 13 , 1 + 13 4 bulunur. Ç .K = * 5- 5 , 5+ 5 4 bulunur. 2 2 2 2 12. a) {2} b) ( 1 2 c) % 2 - 5,2 + 5/ d) ( 1 - 13 , 1 + 13 2 5 e) % - 3 - 5, - 3 + 5 / f) ( 2 - 14 , 2 + 14 2 g) {-1, 7} h) ( 5- 5, 5+ 5 2 3 2 2 2 2 2 2
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr b) 4x + 4x + 2 + 16x = 0 ÖRNEK 13 4x = t & t2 + 16t + t = 0 4x2 - 12x + 9 = ^ x + a h2 & t2 + 17t = 0 4 & t( t + 17 ) = 0 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? t= 0 t = -17 & 3x = 0 3x = -17 Ç.K = Q bulunur. d 2x - 3 2 = ^ x + a h2 2 c) 9x - 4 · 3x + 1 + 27 = 0 n &dx- 3 2 = ^ x + a h2 2 n & a =- 3 bulunur. 2 ÖRNEK 14 3x = t & t2 - 12t + 27 = 0 & ( t - 9 ) · ( t - 3 ) = 0 x2 - 3x + 2 = 0 & t = 9 t = 3 x2 - 4 3x = 9 3x = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K = { 1, 2 } bulunur. x2 - 3x + 2 = 0 & x2 - 3x + 2 = 0 & ( x - 2 ) · ( x - 1 ) = 0 d) 3 x + 2 = 3 x2 - 4 3x x -2 x=2 x -1 x=1 x = 2 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinden çıka- 3 x = t & t+2 = 3 rılır. Ç.K = { 1 } bulunur. t & t2 + 2 · t - 3 = 0 & ^ t + 3 h·^ t - 1 h = 0 t =-3 t = 1 3 x =-3 3 x=1 x = - 27 x=1 ÖRNEK 15 Ç.K = { -27, 1 } bulunur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini de- e) x4 - 5x2 + 4 = 0 ğişken değiştirme yöntemini kullanarak bulunuz. a) 25x + 5 = 6 · 5x x2 = t & t2 - 5t + 4 = 0 & ( t - 4 ) ( t - 1 ) = 0 5x = t & t2 - 6t + 5 = 0 & ( t - 5 ) · ( t - 1 ) = 0 x2 = 4 x2 = 1 t=5 t=1 x = \"2 x = \"1 5x = 5 5x = 1 Ç.K = { -2, -1, 1, 2 } bulunur. Ç.K = { 0, 1 } bulunur. 13. - 3 14. { 1 } 15. a) { 0, 1 } 6 b) Q c) { 1, 2 } d) { -27, 1 } e) { -2, -1, 1, 2 } 2
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 x - 3 4 x - 18 = 0 x - 1 - 3x + 6 = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x+2 x-1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 x = t & t2 - 3t - 18 = ^ t - 6 h^ t + 3 h = 0 x-1 3 = 2 & t2 - 2t - 3 = 0 x+2 t &t=6 t =-3 =t&t- &4 x=6 4 x = - 3 ( kök yok ) &t=3 t =-1 x = 64 x-1 =3 x-1 =-1 x+2 x+2 Ç.K = { 64 } bulunur. x =- 7 x =- 1 2 2 Ç .K =(- 7 , - 1 2 bulunur. 2 2 ÖRNEK 17 ÖRNEK 20 x2 + 6x + 9 - | x + 3 | -20 = 0 ( x2 - 6x )2 - 2x2 + 12x = 35 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ( x2 - 6x )2 - 2( x2 - 6x ) -35 = 0 x2 + 6x + 9 - |x + 3| - 20 = 0 & |x + 3|2 - | x + 3 | -20 x2 - 6x = t & t2 - 2t - 35 = 0 | x + 3 | = t & t2 - t - 20 = 0 ( t - 7 ) · ( t + 5 ) = 0 & t = 7 t = -5 & ( t - 5 ) ( t + 4 ) = 0 x2 - 6x - 7 = 0 x2 - 6x + 5 = 0 & | x + 3 | = 5 | x + 3 | = -4 (Kök yok) ( x - 7 ) · ( x + 1 ) = 0 ( x - 5 ) · ( x - 1 ) = 0 & x = 2 , x -8 Ç.K = { -1, 1, 5, 7 } bulunur. Ç.K = { -8, 2 } bulunur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 21 x2 - 2x + 1 - 3 · x2 - 2x + 1 = 10 25x2 - x -24 · 5x2 - x - 25 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x2 - 2x + 1 - 3 ^ x - 1 h2 = 10 5x2 - x = t & t2 - 24t - 25 = 0 & ( t - 25 ) ( t + 1 ) = 0 2 & 5x2 - x = 25 , 5x2 - x = -1 (kök yok) & x2 - x = 2 & x2 - x - 2 = 0 x - 1 - 3 · x - 1 = 10 & x - 1 = t & x = -1 , x = 2 t2 - 3t - 10 = 0 & ^ t - 5 h^ t + 2 h = 0 Ç.K = { -1, 2 } bulunur. & t=5 t =-2 x - 1 = 5 x - 1 = - 2 (kök yok) x =-4 x=6 Ç.K = { -4, 6 } bulunur. 16. { 64 } 17. { -1, 1, 5, 7 } 18. { -4, 6 } 7 19. (- 7 , - 1 2 20. {-8, 2} 21. {-1, 2} 2 2
TEST - 1 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI 1. 5 · xk + 6 + ( k + 6 ) · x + k - 6 = 0 5. x3 + 3x2 + ( a + 1 )xb + 2 - 4 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, k sayısı kaçtır? lem olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) -1 A) -4 B) -3 C) -2 D) 2 E) 4 2. ( m - 4 )x2 + ( 2m + 5 ) x + 4 - m2 = 0 6. (m + n - 4)x4 + (n + k - 8)x3 - 5xm+k+6 - x + 7 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, m sayısı aşağıdakilerden lem olduğuna göre, m · n · k çarpımı kaçtır? hangisi olamaz? A) -32 B) -16 C) 0 D) 16 E) 32 A) 3 B) 4 C) -4 D) -3 E) -2 2m + 6 m+2 7. 2 · x 2m - 1 - 3 · x 3m - 6 + x - 8 = 0 3. ( a + 2 )x3 + ( a - b + 2 ) xb + 1 + x - 2 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır? lem olduğuna göre, m sayısı kaçtır? A) 2 B) 1 C) -1 D) -2 E) -4 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. ( k + 1 )x5 + ( n - 2 )x3 + xk + n - p + 2x - 5 = 0 8. ( m - 2 )x3 + 3x2 - m - 3 · xn + m - 3 - 7 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, p sayısı kaçtır? lem olduğuna göre, m · n çarpımının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) 3 B) 2 C) -1 D) -2 E) -3 A) 36 B) 18 C) -18 D) -36 E) -42 1. A 2. B 3. D 4. C 8 5. E 6. C 7. B 8. D
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI TEST - 2 1. x2 - 6x + 5 = 0 5. ( x -3 ) · ( x + 1 ) = x · ( x - 3 ) · ( x + 1 ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? hangisidir? A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 A) { -5, -1 } B) { 5, -1 } C) { 1, 5 } D) { } E) { -1, 1 } 2. x2 - 2 · x - 4 = 0 6. f( x ) = 2x2 - 5x + 4 fonksiyonu veriliyor. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden f( x ) = 7 hangisidir? A) \" - 2, 4 , B) \" - 2, 2 2 , denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? C) \" - 2, 2 , D) \" - 2 2, 2 , E) \" 2, 2 2 , A) ' 1 , 3 1 B) ' - 21 , 1 1 C) ' - 2 , - 1 1 2 3 3 D) ' - 21 , 3 1 E) ' - 31 , 2 1 3. x3 - 4x2 + 3x = 0 7. 3x2 + ( a - 1 ) x + 2a + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, hangisine eşittir? diğer kökü kaçtır? A) { 0, 1, 3 } B) { 1, 3 } C) { -3, -1, 0 } D) { -3, 1 } E) { -3, 0, 1 } A) -3 B) -1 C) - 1 D) 1 E) 3 33 4. x2 - ( m - 2n ) x - 2 m · n = 0 8. ( m - 1 )x2 + ( m + 2 )x + m2 + m - 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- hangisine eşittir? lem ve bu denkleminin köklerinden biri 1 oldu- ğuna göre, diğer kökü kaçtır? A) { m, 2n } B) { 2m, n } C) { m, n } D) { m, -2n } E) { 2n, -m } A) 9 B) 7 C) - 7 D) -2 E) -3 55 5 1. C 2. B 3. A 4. D 9 5. E 6. D 7. D 8. C
TEST - 3 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI 1. x2 - 8x + 2m - 4 5. x2 - 6x + 2 = 0 ifadesinin tam kare olmasını sağlayan m değeri denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) \" 3 - 2 7, 3 + 2 7 , B) \" 3 - 2 3, 3 + 2 3 , C) \" 6 - 2 7, 6 + 2 7 , D) \" 3 - 2 6, 3 + 2 6 , E) \" 3 - 7, 3 + 7 , 6. 3x2 - x + m - 1 2. x2 - 6x - 5 = 0 ifadesinin tam kare olmasını sağlayan m değeri aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 B) 1 C) 13 D) 7 E) 5 A) \" 3 - 14, 3 + 14 , B) \" 14, - 14 , 12 12 6 3 C) \" , D) \" 5, 1 , E) \" 6 - 2 14, 6 + 2 14 , 7. x2 - 6x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? 3. 9x2 - 6x + 1 = ^ x - a h2 A) 8 B) 6 C) 2 3 D) 3 E) -6 9 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? A) -1 B) - 1 C) - 1 D) 1 E) 1 3 93 9 8. Boyu eninden 5 cm uzun olan bir tablo kenarların- dan 4 er cm boşluk kalacak şekilde bir çerçeveye konulup duvara asılacaktır. 4cm 4 cm 4 cm 4. x2 + 4x + 2 = 0 4cm denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? Çerçeveye konulup duvara asılan tablonun A) - 3 - 2 B) - 2 - 2 C) 2 - 2 kapladığı alan 374 cm2 olduğuna göre, tablonun çevresi kaç cm dir? ( Çerçevenin kalınlığı ihmal D) 2 + 2 E) 3 - 2 edilecektir. ) A) 42 B) 46 C) 52 D) 64 E) 76 1. A 2. A 3. D 4. B 10 5. E 6. C 7. B 8. B
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI TEST - 4 1. 9x + 15x - 2 · 52x = 0 5. x2 - x + 4 x2 - x + 4 - 28 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) Q A) \" - 3, 4 , B) \" - 3 , C) * - 3, 1+ 3 4 D) * 1 -2 3 , 1+ 3 4 2 2 E) * - 3 , 1 -2 3 , 1 + 3 ,44 2 2. x - 2 · 4 x - 15 = 0 6. a bir pozitif reel sayı olmak üzere, denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden a3x - 4a2x - 9ax + 36 = 0 hangisidir? denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı -1 A) \" 5, 25 , B) \" 5, 625 , C) \" 625 , olduğuna göre, a reel sayısı aşağıdakilerden hangisidir? D) \" 5 , E) \" 125 , C) 1 A) 12 B) 6 3 D) 1 E) 1 6 12 3. x6 - 20x3 - 125 = 0 7. c 3x + 1 2 1 + 2 m - 36 = 0 x 3x m - 6c x + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin kökleri a ve b dir. hangisidir? 1 A) \" - 3 5 , B) \" - 3 5, 3 25 , Buna göre, 9a2 + a2 toplamının değeri aşağı- C) 3 25 D) \" 5, 3 5 , dakilerden hangisi olabilir? E) \" 3 25, 5 , A) 64 B) 60 C) 58 D) 45 E) 36 4. 3 x - 2 + 6 x - 2 - 12 = 0 8. ( x - 2 ) · ( x - 5 ) · ( x + 1 ) · ( x + 4 ) = 19 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç- hangisidir? tır? A) \" 29 , B) \" 83 , C) Ø A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 D) \" 245 , E) \" 731 , 1. C 2. C 3. B 4. E 11 5. A 6. E 7. C 8. A
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.2 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Diskriminant Yöntemi ÖRNEK 1 TANIM / BİLGİ x2 - 4x + 1 = 0 a ! 0 ve a , b, c birer reel sayı olmak üzere, denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemini tam kareye dönüştürelim. a ·f x2 + b x+ c p=0 D = b2 - 4 · a · c = 16 - 4 · 1· 1 = 12 a a 4 - 12 4 + 12 b 2 b2 c x1 = 2 , x2 = 2 2a 4a2 a a·ffx+ p- + p=0 Ç .K = * 4-2 3 , 4+2 3 4 2 2 ^ 4a h a·ffx+ b 2 b2 - 4ac p=0 = % 2 - 3 , 2 + 3 / bulunur. 2a 4a2 p- fx+ b 2 b2 - 4ac olur. 2a 4a2 p= Buradan x = -b + b2 - 4·a·c veya ÖRNEK 2 2a 4a2 2x2 - 4x + 3 = 0 x = -b - b2 - 4·a·c elde edilir. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2a 4a2 D = b2 - 4ac = 16 - 4 · 2 · 3 = -8 Bu iki eşitlikte 4a2 > 0 olduğundan D < 0 olduğundan denklemin reel sayılardaki çözüm x1 = -b + b2 - 4 · a · c x2 = -b - b2 - 4 · a · c kümesi boş kümedir. 2a 2a kökleri bulunur. b2 - 4 · a · c ifadesine denklemin diskriminantı de- nir ve D(delta) ile gösterilir. ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminde, D = b2 - 4 · a · c > 0 ise bu denklemin iki fark- ÖRNEK 3 lı reel kökü vardır ve bu kökler, x2 + 5x + 2 = 0 x1 = -b + D ve x2 = -b - D olur. 2a 2a denkleminin çözüm kümesini bulunuz. D = b2 - 4 a c = 0 ise bu denklemin birbirine eşit (çakışık) iki kökü vardır ve bu kökler x1 = x2 = -b olur. D = 52 - 4 · 2 = 17 2a -5+ 17 -5- 17 D = b2 - 4 a c < 0 ise bu denklemin reel kökü x1 = 2 , x2 = 2 bulunur. yoktur. Denklemin reel sayılardaki çözüm kü- mesi boş kümedir. 12 1. % 2 - 3 , 2 + 3 / 2. Ø 3. * -5+ 17 , -5- 17 4 2 2
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 x2 - 3x + 5 = 0 x2 - mx + 2m = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m nin alabileceği değerleri bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = 9 - 4 · 1· 5 = 9 - 20 D = - 11 D = b2 - 4 · a · c = 0 olmal› & m2 - 4 · 2m = 0 D 1 0 & Ç .K = Q bulunur. & m^ m - 8 h = 0 & m = 0 , m = 8 bulunur. ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 - x + 3 = 0 3x2 - x - 3m + 1 = 0 3 2 16 denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre, m denkleminin çözüm kümesini bulunuz. nin değer aralığını bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = d -1 2 1 · 3 = 1 - 1 =0 D = b2 - 4 · a · c 2 0 olmal› 2 3 16 4 4 & ^ - 1 h2 - 4 · 3 · ^ - 3m + 1 h 2 0 n -4· 1 x1 = x2 =- b = 2 = 3 & 36m - 11 2 0 2a 4 2· 1 11 3 &m2 36 bulunur. Ç .K = ( 3 2 bulunur. 4 ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 2x2 - 3x + m - 2 = 0 x2 - ax + 8 = 0 denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre, a nın denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç ol- alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? malıdır? D = b2 - 4 · a · c 2 0 olmal› D = b2 - 4 · a · c = 0 olmal› & a2 - 4 · 8 2 0 & a2 2 32 &9-4·2·^m-2h=0 a = 6 bulunur. & 25 = 8m & 25 bulunur. 8 4. Ø 5. ( 3 2 6. 25 13 7. \" 0, 8 , 8. m 2 11 9. 6 4 8 36
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 4x2 - t · x + 9 = 0 x2 + mx + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 = x2 olduğuna göre, t sayı- denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabi- sını bulunuz. leceği doğal sayı değerlerini bulunuz. D = t2 - 4 · 4 · 9 = 0 D = m2 - 16 < 0 & t2 = 16 · 9 m ! { 0, 1, 2, 3 } bulunur. & t = \" 12 bulunur. ÖRNEK 11 ÖRNEK 14 x2 - 4x + m - 1 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kö- mx2 + 5x + 4 = 0 kü vardır. denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabi- x2 + t · x - 2 = 0 leceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? denkleminin köklerinden biri m olduğuna göre, t D = 25 - 4 · m · 4 < 0 & 25 1 16m kaçtır? &m2 25 16 D = 16 - 4 · ^ m - 1 h = 0 & m = 5 & m = 2 bulunur. x2 + t · x - 2 = 0 denkleminin bir kökü x = 5 olduğun- dan denklemi sağlar. 25 + 5t - 2 = 0 & - 23 = 5t &t= - 23 bulunur. 5 ÖRNEK 12 ÖRNEK 15 x2 + 36 = 0 4mx2 - ^ 2m + 3 hx + m = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 D = b2 - 4 · a · c = 02 - 4 · 1 · 36 = -144 denkleminin farklı iki reel kökünün olması için m nin D < 0 olduğundan alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? Ç.K = Q bulunur. D = ^ 2m + 3 h2 - 4 · 4m · m 20 4 & 12m + 9 2 0 &m2 -9 = -3 12 4 m = 1 bulunur. ^ m = 0 olamaz! h 10. { -12, 12 } 11. - 23 12. Q 14 13. {0, 1, 2, 3} 14. 2 15. 1 5
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 mx2 + 3x + 15 = 0 n ! 0 ve m > n olmak üzere, denkleminin iki reel kökünün olması için m nin de- nx2 + ( n + m ) x + m = 0 ğer aralığını bulunuz. ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bu- lunuz. D $ 0 olmal› 9 - 4 · m · 15 $ 0 D = ^ n + m h2 - 4 · n · m = n2 - 2 · n · m + m2 &m# 3 bulunur. & D = ^ n - m h2 & D = n - m = m - n 20 x1 = -n - m - m + n , x2 = -n - m + m - n 2n 2n x1 =- m , x2 =-1 n Ç .K =%- m , - 1 / bulunur. n ÖRNEK 17 ÖRNEK 20 ( m - 1 )x2 - ( 2m + 3 )x + m - 2 = 0 ( x - 1 ) · ( x2 - ( m + 3 ) · x + 4 ) = 0 denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, m sayı- denkleminin iki farklı kökü olduğuna göre, m nin ala- sını bulunuz. bileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır? D = ^ -^ 2m + 3 h h2 - 4^ m - 1 h · ^ m - 2 h = 0 Verilen denklem ^ x - 1 h · ^ x - 2 h2 = 0 & 4m2 + 12m + 9 - 4m2 + 12m - 8 = 0 ^ x - 1 h · ^ x + 2 h2 = 0 24m + 1 0& m =- 1 bulunur. ^ x - 1 h2 · ^ x - 4 h = 0 fleklinde olabilir. 24 & = m+3 = 4 , m+3 =-4 , m+3 = 5 m=1 m =-7 m=2 1· ^ - 7 h · 2 = - 14 bulunur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 21 x2 + ( m + 3 ) x + m + 18 = 0 x2 - mx + 15 = 0 x+5 denkleminin kökleri x1 ve x2 arasında 7x1 - 3x2 = 4 x2 denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi tek ele- manlı olduğuna göre, m nin alabileceği değerler top- bağıntısı olduğuna göre, m nin alabileceği değerle- lamı kaçtır? ri bulunuz. 7x1 - 3x2 = 4x2 & x1 = x2 oldu€undan ^ x \" 15 h2 = 0 & m =\"2 15 ya da ^ x + 3 h^ x + 5 h =0 D = ^ m + 3 h2 - 4 · ^ m + 18 h = 0 olmal› x+3 x+3 & m2 + 2m - 63 = 0 m = - 8 olabilir. & ^ m - 7 h^ m + 9 h = 0 Toplamlar› | - 2 15 + 2 15 - 8 = - 8 bulunur. & m = - 9 m = 7 bulunur. 16. m # 3 17. -1 18. {-9, 7} 15 19. % -m , - 1 / 20. -14 21. -8 20 24 n
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 22 ÖRNEK 25 x bir reel sayı olmak üzere, x2 + ( m + n )x + m · n = 0 x2 - x + 4 denkleminin kökleri ile ilgili aşağıda verilen ifadeler- ^ x - 2 h2 den hangisi doğrudur? ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) m = n olursa eşit iki kökü vardır. B) -m = n olursa çift katlı kökü vardır. x2 - x + 4 = A & x2 - x + 4 = Ax2 - 4Ax + 4A C) m = n olursa farklı iki reel kökü vardır. ^ x - 2 h2 D) m + n = 0 olursa reel kökü yoktur. E) m · n = 0 olursa reel kökü yoktur. & ^ A - 1 hx2 + ^ 1 - 4A hx + 4A - 4 = 0 ^ x ! R h D $ 0 olmal› ^ 1 - 4A h2 - 4^ A - 1 h^ 4A - 4 h $ 0 D = ^ m + n h2 - 4·mn = ^ m - n h2 m = n olursa D = 0 olur. ^ 1 - 4A h2 - 16^ A - 1 h2 $ 0 eşit iki kökü vardır. A$ 5 Cevap : A 8 A nın en küçük değeri 5 bulunur. 8 ÖRNEK 23 ÖRNEK 26 m pozitif bir tam sayı olmak üzere, x2 + ax + b = 0 denkleminin bir kökü 2, x2 + mx + 24 = 0 x2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü 6 dır. denkleminin kökleri tam sayı olduğuna göre, m nin Bu denklemlerin diğer kökleri eşit olduğuna göre, alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? b : c oranı kaçtır? x2 + mx + 24 = ^ x + a h·^ x + b h & a · b = 24 ^ x - 2 h^ x + m h = 0 & b = - 2m 1· 24 & m = 25 2 · 12 & m = 14 ^ x - 6 h^ x + m h = 0 & c = - 6m 3 · 8 & m = 11 4 · 6 & m = 10 b = - 2m = 1 bulunur. c - 6m 3 25 + 14 + 11 + 10 = 60 bulunur. ÖRNEK 24 ÖRNEK 27 x2 - 6x + m = 0 x2 - 3x - 5 = 0 denkleminin köklerinin rasyonel sayı olması için m nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? denkleminin kökleri a ve b dir. D = 36 - 4m & D = 36 - 4m ! Q olmal› Buna göre, a2 - 3a - 4 ifadesinin değeri 36 - 4m ! % 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0 / b2 - 3b - 3 kaçtır? m ! \" 0, 5, 8, 9 , bulunur. a2 - 3a = 5 , b2 - 3b = 5 oldu€undan 5- 4 =5-2=3 bulunur. 5-3 22. 5 23. 60 24. 4 16 25. A 26. 1 27. 3 8 3
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ TEST - 5 1. 3m2 - t · m + 2 = 0 4. m ! 0 olmak üzere, denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre t sayı- m2x2 - ( 2m + 1 )x + 1 sının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin bir tam kare belirtmesi için, m kaç ol- A) 1 B) 3 C) 2 D) 2 6 E) 5 malıdır? A) -4 B) -2 C) - 1 D) - 1 E) 1 4 24 2. x2 - 2x + a - 1 = 0 5. a ! 0 olmak üzere, denkleminin farklı iki reel kökünün olması için a ax2 - x + a - 8 = 0 nın değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin köklerinden biri a olduğuna göre, A) a > 4 B) a > 2 C) a > 0 diğer kökü kaçtır? A) -2 B) - 3 C) -1 D) 2 E) 3 D) a < 0 E) a < 2 2 32 3. a ! -1 olmak üzere, 6. x2 + 2x - 5 = 0 ( a + 1 )x2 + ( 2a + 1 )x + a - 4 = 0 dekleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) \" - 6, 6 , B) \" 1 - 6, 1 + 6 , A) - 1 B) - 4 C) - 17 C) \" - 1 - 6, - 1 + 6 , 25 20 D) \" - 2 - 6, - 2 + 6 , E) \" 6 - 1, 6 + 1 , D) - 17 E) - 9 16 8 1. D 2. E 3. D 17 4. C 5. B 6. C
TEST - 6 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 1. 4x2 - 5x + m2 + n2 = 0 4. 4x2 + 5x - 6 = 0 denkleminin kökleri m ve n olduğuna göre, 3x2 + 2x - 8 denklemin diskriminantı aşağıdakilerden han- gisidir? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 125 B) 50 C) 25 A) \" - 2 , B) ' 34 1 63 3 D) 25 E) 25 C) ' - 2, 3 1 D) * 34 , 43 4 69 4 E) ' - 2, 43 1 2. a ! - 1 olmak üzere, 5. a ! 0 olmak üzere, ( a + 1 )x2 - 2ax + a - 2 = 0 ax2 - 6x + 9 = 0 denkleminin diskriminantı 16 olduğuna göre, a denkleminin reel kökü olmadığına göre, a nın sayısı kaçtır? bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 A) a > 1 B) a < 1 C) 0 < a < 1 D) a > -1 E) -2 < a < -1 3. x2 - 2x - 1 = 0 6. x2 - ( k + 2 ) x + k + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çift katlı reel kökü olduğuna göre, hangisidir? k sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) \" 2 - 3, 2 + 3 , B) \" 3 - 2, 3 + 2 , C) \" 1 - 2, 1 + 2 , D) \" 1 - 3, 3 , A) -6 B) -2 C) 4 D) 6 E) 8 E) \" - 1, 1 , 1. C 2. D 3. C 18 4. B 5. A 6. C
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ TEST - 7 1. 3x2 - 5x - 6 = 1 4. x2 - x + m + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı denkleminin reel köklerinin olmaması için m kaçtır? nin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) ^ - 3, - 1 h B) ^ - 3, 1 h C) c - 43 , 1 m D) c - 43 , 3 m E) ^ - 1, 1 h 2. x2 + ( 4 - 2x )2 = 9 - 2x · ( 4 - 2x ) 5. 3x2 - 10x + m - 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çakışık iki kökü olduğuna göre, m hangisidir? sayısı kaçtır? A) \" 1, 2 , B) \" 1, 7 , C) \" - 2, 1 , A) 32 B) 12 C) 37 3 3 D) \" 2, 7 , E) \" - 7, 3 , D) 14 E) 46 3 3. 2x2 - 4x + m - 5 = 0 6. ( x2 - ax + 9 ) · ( x2 - 8x + 4b ) = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, denkleminin çözüm kümesini gerçel sayılarda boş m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç- küme yapan a ve b sayıları sırasıyla A ve B küme- tır? leri ile ifade edilmiştir. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A kümesinde bulunmayan en büyük negatif tam sayı m, B kümesinde bulunan en küçük tam sayı n olduğuna göre, x2 - mx + n = 0 denklemi için, I. Gerçel kökü yoktur. II. Simetrik iki gerçel kökü vardır. III. Birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır. IV. Kökleri birer tam sayıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) II ve III C) Yalnız III D) III ve IV E) II, III ve IV 1. D 2. B 3. C 19 4. D 5. C 6. D
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr BİR KARMAŞIK SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.3 : Bir karmaşık sayının a + i · b (a, b ! R) biçiminde ifade edilmesini açıklar. TANIM ÖRNEK 1 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 x4 + 16x2 = 0 denkleminde D = b2 - 4 · a · c < 0 ise bu denkle- denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini min reel sayılarda çözüm kümesi yoktur. Bu denkle- bulunuz. min çözüm kümesini bulmak için reel sayılar küme- sini de kapsayan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç var- x2 ( x2 + 16 ) = 0 & x2 = 16i2 ve x2 = 0 dır. Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar küme- x1 = 4i , x2 = -4i , x3 = 0 bulunur. si denir ve C ile gösterilir. x2 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. ÖRNEK 2 x2 + 1 = 0 & x2 =-1 & x = -1 Verilen kümelerden hangisinin ya da hangilerinin çözüm kümeleri boş kümeden farklıdır? Bu denklemin reel sayılarda çözüm kümesi boş kü- I. % x | x ! Z , x2 + 5x + 4 = 0 / medir. Denklemi sağlayan x = - 1 sayısına sanal II. % x | x ! N , x2 + 4 = 0 / sayı denir ve hayali veya sanal kelimesinin ingilizce III. % x | x ! R , x2 + x + 1 = 0 / karşılığı olan “imaginary” kelimesinin baş harfi olan IV. % x | x Y! R , x2 - x + 3 = 0 / “ i ” harfi ile gösterilir. V. % x | x ! Z+ , 9x2 = 0 / a, b, c ! R ve i sanal sayısı birimi ( i2 = -1 ) olmak üzere, z = a + b · i şeklindeki sayılara karmaşık sa- I. x2+ 5x + 4 = 0 & D>0 , kökler reel sayı yılar, bu sayıların oluşturduğu kümeye ise karma- II. x2+ 4 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil şık sayılar kümesi denir ve C sembolü ile gösterilir. III. x2+ x + 1 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil IV. x2- x + 3 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil C = % z z = a + b · i, a, b ! R, i = - 1 / şeklindedir. V. 9x2 = 0 & D=0 , kökler birbirine eşit ve sıfırdır. z = a + b · i olmak üzere a sayısına z karmaşık sa- yısının reel (gerçek) kısmı denir ve Re(z) = a şek- linde gösterilir. b sayısına z karmaşık sayısının imajiner (sanal) kısmı denir ve Im( z ) = b şeklinde gösterilir. Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayı- dır. R 3 C olur. x2 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi karmaşık sa- yılar kümesinde x2 + 1 = 0 & x2 = -1 & x2 = i2 Ç.K = { -i, i } olarak bulunur. 20 1. {-4i, 0, 4i} 2. I ve IV
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 3 ÖRNEK 6 x2 + 25 = 0 x2 - 8x + 25 = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini bulunuz. bulunuz. x2 + 25 = 0 D = 64 - 4 · 1· 25 = - 36 = 36 · i2 & x2 = - 25 & x2 = 25i2 D = 6i & x \" 5i x = 8 + 6i , x = 8 - 6i 2 2 Ç .K = \" - 5i, 5i , bulunur. 1 2 Ç .K = \" 4 - 3i, 4 + 3i , bulunur. ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 x2 - 4x + 6 = 0 x2 + 6 · i · x + k = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, diğer bulunuz. kökünü bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = 16 - 4 · 1· 6 = - 8 = 8i2 x = i denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. D=2 2·i i2 + 6i2 + k = 0 & k = 7 elde edilir. x = 4+2 2·i , x = 4-2 2·i x2 + 6 · i · x + 7 = 0 & D = 36i2 - 28 = - 64 2 2 1 2 x - 6i + 8i , x - 6i - 8i 2 2 Ç .K = % 2 - i 2, 2 + i 2 / bulunur. 1 = 2 = x1 = i , x2 = - 7i bulunur. ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 + 6x + 16 = 0 x2 - i · x - 2 = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini bulunuz. bulunuz. D = 36 - 4 ·1· 16 = - 28 = 28 · i2 D = i2 + 8 = 7 & D = 7 D=i·2 7 i+ 7 i- 7 2 2 x1 = -6 + 2 7 ·i , x2 = -6 - 2 7 ·i x1 = , x2 = 2 2 7+i 7+i Ç .K = % - 3 + i 7, - 3 - i 7 / bulunur. Ç .K = * - 2 , 2 4 bulunur. 3. \" - 5i, 5i , 4. % 2 - i 2, 2 + i 2 / 5. % - 3 + i 7, - 3 - i 7 / 21 6. \" 4 - 3i, 4 + 3i , 7. -7i 8. * - 7+i , 7+i 4 2 2
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 9 ÖRNEK 10 Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve imajiner z1 = -6 - 7i ve z2 = 3 + 5i karmaşık sayıları veriliyor. kısımlarını bulunuz. Re( z1 ) - 3 · Im( z2 ) ifadesinin değerini bulunuz. a) z = 4 + 3i Re( z ) = 4 , im( z ) = 3 Re( Z1 ) = -6, im( Z2 ) = 5 -6 - 3 · 5 = -21 bulunur. b) Z = 3 ÖRNEK 11 Re( Z ) = 3 , im( Z ) = 0 Re( x + 3i ) + Im( 1 + ( x - 4 )i ) = 8 olduğuna göre, x reel sayısını bulunuz. c) z = -4i x + 3i = Z1 ve 1 + ( x - 4 ) · i = Z2 Re( Z ) = 0 , Re( Z1 ) = x ve im( Z2 ) = x - 4 olur. x + x - 4 = 8 & x = 6 bulunur. im( Z ) = -4 d) Z = 2 2 · i - 4 ÖRNEK 12 Re( Z ) = -4, im( Z ) = 2 2 z = 8 - - 36 karmaşık sayısı veriliyor. e) z = 2 - 3i im( Z ) = -3 Buna göre, Re(z) - Im( z ) ifadesinin değerini bulu- nuz. Re( Z ) = 2, z = 8 - 36i2 & Z = 8 - 6i Re (z) = 8 ve im (z) = - 6 oldu€undan Re (z) - im (z) = 8 - (- 6) = 14 bulunur. f) z = -7i - 6 Re( Z ) = -6, im( Z ) = -7 ÖRNEK 13 -m2 + - n2 karmaşık m < 0 < n olmak üzere z = sayısı veriliyor. Buna göre, Re(z) + Im(z) toplamı kaçtır? g) z = 3i im( Z ) = 3 z = m2 · i2 + n2 · i2 & z = i· m + i n & z = ^ n - m h·i Re( Z ) = 0, Re(z) = 0, İm(z) = n - m olduğundan Re(z) + İm(z) = n - m bulunur. 9. a) Re( z ) = 4 ,im( z ) = 3 b) Re( Z ) = 3 , im( Z ) = 0 22 10. -21 11. 6 12. 14 13. n - m c) Re( Z ) = 0 , im( Z ) = -4 d) Re( Z ) = -4,im( Z ) = 2 2 e) Re( Z ) = 2, im( Z ) = -3 f) Re( Z ) = -6, im( Z ) = -7 g) Re( Z ) = 0, im( Z ) = 3
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 14 Sanal Sayı ^ - 1 = i h Biriminin Kuvvetleri x, y ! R olmak üzere z1 = x - y - i ve z2 = 2x - 3y + 6i BİLGİ karmaşık sayıları veriliyor. i0 = 1 Re( z1 ) = im( z2 ) ve Re( z2 ) = im( z1 ) i1 = i olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz. i2 =-1 i3 = i2 · i =-i Re (Z ) = x - y im (Z ) = - 1 i4 = i2 · i2 = 1 i5 = i4 · i = i 1 1 i6 = 14 · i2 =-1 i7 = i4 · i3 =-i Re (Z2) = 2x - 3y im (Z2) = 6 i8 = i4 · i4 = 1 x - y = 6 x = 19 4 2x - 3y = - 1 y = 13 x + y = 19 + 13 = 32 bulunur. şeklinde bulunur. k bir tam sayı olmak üzere, i0 = i4 = i8 = ... = i4k = 1 ÖRNEK 15 i1 = i5 = i9 = ... = i4k + 1 = i i2 = i6 = i10 = ... = i4k+2 = -1 z = 5a2 - 6 - i · 52a + 4 karmaşık sayısı veriliyor. i3 = i7 = i11 = ... = i4k+3 = -i olur. im^ z h = - 25 Re^ z h olduğuna göre, a reel sayısının alabileceği değerle- ÖRNEK 17 ri bulunuz. i7 · ( i21 + i41 ) im^ Z h = - 52a + 4 , Re^ Z h = 5a2 - 6 işleminin sonucunu bulunuz. - 52a + 4 = - 25 & 5a2 - 4 = 52a + 4 i3 · (i + i) = -i · 2i 5a2 - 6 = -2i2 = 2 bulunur. & a2 - 4 = 2a + 4 & a2 - 2a - 8 = 0 & a = - 2 ve a = 4 bulunur. ÖRNEK 16 ÖRNEK 18 z = -4 + i z = i14 + i11 + 3i karmaşık sayısının reel kısmı m, sanal kısmı n oldu- karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- ğuna göre m-n ifadesinin değerini bulunuz. nuz. Re(Z) = -4 = m , İm(Z) = 1 = n z = i12 · i2 + i8 ·i3 + 3i z = -1 - i + 3i & z = -1 + 2i ^ - 4 h-1 = - 1 bulunur. Re(z) = -1 ve im(z) = 2 bulunur. 4 14. 32 15. {-2, 4} 16. - 1 23 17. 2 18. Re(z) = -1 ve im(Z) = 2 4
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 z = 6i - 2 · i7 + 5 · i5 Verilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz. karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- a) z1 = 3 + 4i nuz. z1 = 3 - 4i z = 6i - 2 · i4 · i3 + 5 · i4 · i z = 6i + 2i + 5i & z = 13i b) z2 = -4 + 2i Re(z) = 0 ve im(z) = 13 bulunur. z2 = - 4 - 2i ÖRNEK 20 c) z3 = -1 - 4i z = i2 + i5 + i8 + i11 + ... + i38 toplamının değerini bulunuz. z3 = - 1 + 4i z = 1-414+42i0+414-43i + f + 1i4264+4i42492+0 4i342 +4 4i4353 + i38 d) z4 = 2i z = i2 = - 1 bulunur. z4 = - 2i ÖRNEK 21 e) z5 = -16 z = i + i2 + i3 + i4 + ... + i23 + i24 z5 = - 16 karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- nuz. z = 1i4-4412-0 4i +4413 + f + 1i4214+4i42422+0 4i243 +44i4243 f) z6 = -^ 1 + 2i h z = 0 & Re (z) = im (z) = 0 bulunur. z6 = -(1 - 2i) = -1 + 2i z6 = - 1 - 2i Bir Karmaşık Sayının Eşleniği g) z7 = 1 - 3i 3 BİLGİ z7 = 1 + 3i a, b ! R olmak üzere, z = a + b · i karmaşık sayısı- 3 nın sanal kısmının işareti değiştirilerek oluşturulan a - b · i karmaşık sayısına a + b · i karmaşık sayısı- 24 22. a) z1 = 3 - 4i b) z2 = - 4 - 2i c) z3 = - 1 + 4i d) z4 = - 2i nın eşleniği denir ve z = a - b · i şeklinde gösterilir. 19. Re(z) = 0 im(z) = 13 20. -1 21. Re(z) = im(z) = 0 e) z5 = - 16 f) z6 = - 1 - 2i g) z7 = 1 + 3i 3
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF Karmaşık Düzlem ÖRNEK 24 BİLGİ Karmaşık düzlemde verilen karmaşık sayıları yazı- nız. Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktala- rı arasında bire bir ve örten bir eşleme yaparsak a) y b) y z = a + i · b karmaşık sayısı analitik düzlemde ( a, b ) noktasına karşılık gelir. x z2 -4 x Karmaşık sayılarla bire bir eşlenen düzleme kar- z1 -3 maşık düzlem denir. z1 = .............. z2 = .............. z = a + 0 · i karmaşık sayısı ( a, 0 ) noktasıyla eş- a) z1 = -3i b) z2 = -4 leştiğinden analitik düzlemdeki x eksenine karma- şık düzlemde reel (gerçek) eksen denir. ÖRNEK 25 z = 0 + b · i karmaşık sayısı ( 0, b ) noktasıyla eşleş- z = 2 - i tiğinden analitik düzlemdeki y eksenine karmaşık karmaşık sayısını düzlemde gösteriniz. düzlemde sanal (imajiner) eksen denir. Sanal (imajiner) eksen y b ( a, b ) = a + i · b a x Reel (gerçek) eksen y 2 -1 x z=2-i ÖRNEK 23 Karmaşık düzlemde verilen karmaşık sayıları yazı- nız. a) y b) y z2 3 ÖRNEK 26 2 z1 z = -2 + 4i karmaşık sayısı veriliyor. z karmaşık sayısını düzlemde gösteriniz. 4x –2 x z = - 2 - 4i z1 = .............. z2 = .............. y -2 x a) z1 = 4 + 2i b) z2 = -2 + 3i z -4 23. a) z1 = 4 + 2i b) z2 = -2 + 3i 25 24. a) Z1 = -3i b) Z2 = -4
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSvELERİNE YÖNELİK İki Karmaşık Sayının Eşitliği ÖRNEK 28 BİLGİ z1 = 2 + 4i ve z2 = i (a + b · i) olmak üzere, z1 = z2 olduğuna göre, a + b topla- z1, z2 ! C olmak üzere, mını bulunuz. z1 = x1 + i · y1 ve z2 = x2 + i · y2 olsun. z1 = z2 & x1 = x2 ve y1 = y2 dir. z1 = 2 + 4i z2 = -b + a · i Karmaşık Sayılarda Dört İşlem z1 = z2 & b = -2 ve a = 4 olur. BİLGİ a + b = 2 bulunur. z1, z2 1 C olmak üzere, ÖRNEK 29 z1 = x1 + i · y1 ve z2 = x2 + i · y2 , (z2 ! 0) olsun. • z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) z1 = 4 - i ve z2 = 2 + 2i • z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + i( y1 - y2 ) olmak üzere, verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz. • z1 · z2 = x1 · x2 - y1 · y2 + i( x1 · y2 + x2 · y1 ) • z1 = x1 · x2 + y1 · y2 + i^ x2 · y1 - x1 · y2 h a) z1 + z2 b) 3z1 - z2 z2 x22 + y22 a) z1 + z2 = 6 + i b) 3z1 - z2 = 10 - 5i NOT c) z12 d) z22 - 2z1 Karmaşık sayılarda bölme yapılırken pay ve c) ^ 4 - i h2 = 16 - 8i + i2 b) ^ 2 + 2i h2 - 2^ 4 - i h payda; paydada bulunan karmaşık sayının eş- = 15 - 8i = 4 + 8i + 4i2 - 8 + 2i leniği ile çarpılır. = - 8 + 10i • z = x + i · y olmak üzere, • z · z = ^ x + i · y h^ x - i · y h = x2 + y2 dir. ÖRNEK 27 f) ( z1 · z2)2 z1 = ( m + 1 ) + 3i ve z2 = 6 - t · i olmak üzere, z1 = z2 olduğuna göre, m · t çarpı- mını bulunuz. e) z1 · z2 + z1 + z2 m+1=6&m=5 a) ^ 4 - i h^ 2 + 2i h + 6 + i b) 6^ 4 - i h^ 2 + 2i h@2 3 = -t & t = -3 = 16 + 7i = ^ 10 + 6i h2 m · t = -15 bulunur. = 64 + 120i 27. -15 26 28. 2 29. a) 6 + i b) 10 - 5i c) 15 - 8i d) -8+10i e) 16 + 7i f) 64+ 120i
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK ÖRNEK 30 ÖRNEK 33 z1 = 8 + a · i ve z2 = 3 - 2i olmak üzere, z · ^ 2 + i h + 2 · ^ i - z h = 5 - 2i z1 · z2 = 28 - 10i olduğuna göre, z · z ifadesinin değerini bulunuz. olduğuna göre, a reel sayısını bulunuz. ^ x + i · y h^ 2 + i h + 2i - 2^ x - i · y h = 5 - 2i ( 8 + a · i ) ( 3 - 2i ) = 24 + 2a + ( 3a - 16 )i - y + ^ x + 2y + 2 + 2y hi = 5 - 2i 24 + 2a = 28 & a = 2 bulunur. y = - 5 ve x = 16 elde edilir. z = 16 - 5i ve z = 16 + 5i oldu€undan z · z = 162 + 52 = 281 bulunur. ÖRNEK 31 ÖRNEK 34 z = a + b · i karmaşık sayısı için z=c 4 - 2i 9 ( 2 + i ) · z = 1 - z 2 + 4i olduğuna göre, z karmaşık sayısını bulunuz. m olduğuna göre, z bulunuz. ^ 2 + i + 1 hz = 1 & z = 1 z=> 2^ 2 - i h 9 ^ 2 - i h^ 1 - 2i h 9 3+i 2^ 1 + 2i h 5 H =d n &z= 1· ^ 3 - i h &f 2 + 2i2 - i - 4i 9 10 5 p = ^ - i h9 = - i 3 1 = 10 - 10 ·i bulunur. z = - i & z = i bulunur. ÖRNEK 32 ÖRNEK 35 z = ( 3 - 2i )( 1 + i ) olduğuna göre, z=f 4 + 6i 9 Re( z-1 ) + im( z-1 ) 3 - 2i p toplamını bulunuz. olduğuna göre, z karmaşık sayısını bulunuz. Z = 5 + i & Z-1 = 1 = 1 = 5-i z=d 2^ 2 + 3i h^ 3 + 2i h 9 Z 5+i 26 13 n Re^ Z-1 h = 5 ve im^ Z h = - 1 oldu€undan =f 2·^ 6 + 6i2 + 4i + 9i h 9 26 26 13 p Re^ Z-1 h + im^ Z-1 h = 5 + -1 = 2 bulunur. z = ^ 2i h9 & Z = 29 · i 26 26 13 30. 2 31. 3 - 1 ·i 32. 2 27 33. 281 34. i 35. 29 · i 10 10 13
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr BİLGİ ÖRNEK 37 a, b, c ! R ve a ! 0 olmak üzere, x2 + kx + m = 0 (k, m ! R) denkleminin kökleri x1 ve x2 ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri olmak üzere, x1 = i - 2 dir. z1 = m + n · i , (m, n ! R) ise diğer kökü x2 + ax + b = 0 (a, b ! R) z1 = z2 = m - n · i olur. denkleminin kökleri x3 ve x4 olmak üzere, x3 = -x1 ÖRNEK 36 olduğuna göre, köşe koordinatları x1, x2, x3, x4 olan dörtgenin alanını bulunuz. a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 x1 =-2 + i & x2 = x1 =-2 - i denkleminin köklerinden biri x1 = 3 - i diğeri x2 ol- duğuna göre, aşağıda istenenleri bulunuz. x = - x = 2 - i & x = x3 = 2 + i a) x2 3 1 4 x2 = 3 + i bulunur. y x1 1 x4 2 –2 x x2 –1 x3 Alan(Dikdörtgen) = 4 · 2 = 8 bulunur. b) x1 + x2 ( 3 - i ) + ( 3 + i ) = 6 bulunur. c) x1 · x2 ÖRNEK 38 ( 3 - i ) ( 3 + i ) = 32 - i2 = 10 bulunur. x2 - 2x + 4 = 0 denklemi ile ilgili I. İki farklı sanal kökü vardır. II. Sanal köklerinden biri 1 - 3 ·i dir. III. Kökleri birbirinin eşleneğidir. ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. D = 4 - 4 · 4 = - 12 1 0 olduğundan doğru d) x1 II. x1,2 = 2 \" 12i2 & x1,2 = 1 \" 3 i olduğundan doğru x2 2 III. x = x2 olduğundan doğru bulunur. 1 3-i = ^ 3 - i h2 3+i 10 = 8 - 6i = 4 - 3 i bulunur. 10 5 5 36. a) 3 + i b) 6 c) 10 d) 4 - 3 i 28 37. 8 38. I, II, III 5 5
BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ TEST - 8 1. x2 - 2x + 6 = 0 4. x2 + 8x + k = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinden biri 1 - i olduğuna gö- hangisidir? re, k sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) \" 1 - 5 i, 1 + 5 i , B) \" 1 - i, 1 + i , C) \" 5 - 5 i, 5 + 5 i , D) \" 5 - 5 i, 5 + 5 i , A) -8 + 10i B) 10i C) 10 - 8i E) \" 5 - i, 5 + i , D) 8 - 10i E) 4i 2. x2 - 6x + a - 4 + i = 0 5. x2 - 4i · x - 3 = 0 denkleminin köklerinden biri ( 3 - i ) olduğuna denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden göre, a sayısının değeri aşağıdakilerden hangi- hangisidir? sidir? A) \" i, - 3i , B) \" - i, 3i , C) \" i, 3i , A) 1- 14i B) -8 - 14i C) 14 - i D) \" - 3i, 3i , E) \" - i, - 3i , D) 14 - 8i E) 14i 3. Karmaşık sayılarda tanımlı 6. x2 + 4x + m + 2 = 0 gf^^ x h = x - i denkleminin köklerinden biri -2 + i olduğuna x h = x i göre, m sayısı aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonları veriliyor. A) -3 B) -1 C) 1 D) 3 E) 4 Buna göre, ( fog ) ( 1 - i ) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 - 2i B) 1 + 2i C) 2i D) -1 E) 1 1. A 2. C 3. E 29 4. A 5. C 6. D
TEST - 9 BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ 1. z = 5 - 3i + i ( 4i - 2 ) 4. ( 1 + i )6 · ( 1 - i )6 karmaşık sayısı veriliyor. çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, Re( z ) + İm( z ) toplamı aşağıdakiler- A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 den hangisidir? A) -5 B) -4 C) -2 D) 4 E) 5 2. z = i18 + i6 + i2 5. n bir tam sayı olmak üzere, karmaşık sayısı veriliyor. i2n - 3 · i3n - 1 i5n - 2 Buna göre, Re( z ) · İ m( z ) çarpımı aşağıdakiler- den hangisidir? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 A) -1 B) -i C) 1 D) i E) 1 + i 3. z = 8 - 4i ( 2 - i ) 6. ^ i3 - 1 h^ 2 + ‹ h 1+i karmaşık sayısı veriliyor. ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, ‹m^ z h oranı aşağıdakilerden han- A) -2 - i B) 2 + i C) -i Re^ z h D) -2i E) 2 gisidir? A) -2 B) -1 C) 1 D) 1 E) 1 24 1. B 2. C 3. A 30 4. D 5. A 6. A
BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ TEST - 10 1. z1 = 3 - 4a · i 4. m bir reel sayı olmak üzere, z2 = b + 1 + 2 · i z = 2m + 1 + ( m - 4 ) · i karmaşık sayıları veriliyor. karmaşık sayısı karmaşık düzlemin IV. bölge- z1 = z2 olduğuna göre, ( a, b ) sıralı ikilisi aşağı- sinde olduğuna göre, m nin alabileceği tam sa- dakilerden hangisidir? yı değerlerinin toplamı kaçtır? A) ( -1, 4 ) B) ( -4, 2 ) C) c - 1 ,2 m A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15 2 D) ( 1, -4 ) E) ( 2, -2 ) 2. z1 = 4i - k + 3 5. y Karmaşık düzlemde z1 3 ve z2 karmaşık sayıları z2 = ( m + 1 ) · i Z1 karmaşık sayıları veriliyor. verilmiştir. –1 x –4 z1 = z2 olduğuna göre, m + k toplamı aşağıda- Z2 –5 kilerden hangisidir? Buna göre, İm( z1 ) - Re( z2 ) ifadesinin değeri A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 3 C) 1 D) -3 E) -4 3. Aşağıda verilen karmaşık sayılardan hangisi 6. z = 25 - - 16 karmaşık düzlemin IV. bölgesindedir? karmaşık sayısı veriliyor. A) 2 + i B) -5 C) -2 + i Buna göre, Re( z ) + İm( z ) toplamı aşağıdakiler- den hangisidir? D) 2 - i E) -3 -3i A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 10 1. C 2. C 3. D 31 4. B 5. A 6. A
TEST - 11 BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK 1. 6^ 1 - 2i h·i - 2i^ 1 + i h@·^ 4 + i h 4. z = a + b · i karmaşık sayısı veriliyor. 17 ( z + 1 )( 1 - i ) = z + 3i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakiler- den hangisidir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 A) -4 + i B) -4 - i C) 4 - i D) -2 + i E) -2 - i 2. i5 + i10 + i15 + f + i95 5. z1 = 4 - 2i ve z2 = 1 + i i - i4 + i7 - i10 + f - i136 karmaşık sayıları veriliyor. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) -1 + i B) 1 + i C) 1 + i Buna göre, f z1 p karmaşık sayısı aşağıdakiler- 2 z2 D) 1 - i E) -i den hangisidir? 2 A) -1 + 3i B) -1 - 3i C) 1 + 3i D) 3 - i E) i - 3 3. ( 1 + i )13 6. z = a + b i karmaşık sayısı veriliyor. ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 + 3i - z = 2i · z A) -64 + 64i B) 64 - 64i olduğuna göre, Re( z ) - İm( z ) değeri aşağıdaki- lerden hangisidir? C) 64i D) -64 - 64i E) -64 A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 1. E 2. B 3. D 32 4. B 5. D 6. C
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.4 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile katsayılar arasındaki ilişkiyi açıklar. BİLGİ ÖRNEK 1 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 2x2 - 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri, denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x1 + x2 ve x1 · x2 değerlerini bulunuz. x1 = -b + D ve x2 = -b - D olduğundan 2a 2a • x1 + x2 = -b + D + -b - D x1 + x2 =- b = 4 =2 2a 2a a 2 x ·x 2 = c = 1 bulunur. a 2 1 = -b+ D -b- D 2a = - 2b = - b bulunur. ÖRNEK 2 2a a x2 + ax + b = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. • x1·x2 = f -b + D p·f -b - D p x1 + x2 = 8 ve x1 · x2 = 3 2a 2a olduğuna göre, a + b toplamını bulunuz. ^ - b + D h^ - b - D h x1 + x2 = -a = 8 & a = -8 = x1 · x2 = b = 3 a + b = -8 + 3 = -5 bulunur. 4a2 = b2 - D 4a2 b2 - (b2 - 4ac) (D = b2 - 4ac) = 4a2 4ac ÖRNEK 3 = 3x2 - 2x - 4 = 0 4a2 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. = c bulunur. Buna göre, ( 2x1 - 3 ) · ( 2x2 - 3 ) çarpımının değe- a rini bulunuz. • O hâlde a ! 0, a, b, c R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise ( 2x1 - 3 ) ( 2x2 - 3 ) = 4x1·x2 - 6 ( x1 + x2 ) + 9 b c = 4· -4 -6· 2 +9 a a 3 3 x1 + x2 =- ve x1 · x2 = olur. 16 12 27 1 bulunur. =- 3 - 3 + 3 =- 3 33 1. 2, 1 2. -5 3. - 1 2 3
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 2x2 - x - 3 = 0 3x2 - 7x - 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x12 · x23 + x13 · x22 toplamının değeri- Buna göre, 1 + 1 toplamının değerini bulunuz. ni bulunuz. x1 x2 1 1 x + x x x x2 x3 x3 x2 x2 x2 + = 1 2 1 · 2 + 1 · 2 = 1 · 2 ^ x + x h x ·x 12 12 1 2 3 1 7 2 2 x · x = - ve x + x = oldu€undan & 3 = -7 bulunur. -5 5 1 2 1 2 ^ x1 · x2 h2 · ^ x1 + x2 h = 9 · 1 = 9 bulunur. 3 4 2 8 ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 - 2mx + m + 1 = 0 x2 - 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri farkının mutlak değeri kaçtır? denkleminin köklerinden biri -2 olduğuna göre, di- ğer kökü kaçtır? ^ x1 - x2 h2 = ^ x1 + x2 h2 - 4x1 · x2 & 62 - 4 · 4 = 20 - 2 + x = 2m ve - 2 · x = m + 1 oldu€undan ^ x1 - x2 h2 = 20 & x1 - x2 = 2 5 bulunur. 1 1 - 2 · ^ 2m + 2 h = m + 1 & 5m = - 5 & m =-1 x1 + x2 = x1 - 2 = 2m & x1 = 0 bulunur. ÖRNEK 6 HATIRLATMA 2x2 + mx + 2m = 0 a ve b sayılarının, Aritmetik ortalaması : a + b dir. denkleminin kökler toplamı -3 olduğuna göre, kök- 2 ler çarpımını bulunuz. Geometrik ortalaması : a · b dir. x1 + x2 =- m =-3 & m = 6 2 a ile b sayılarının aritmetik ortalaması geomet- rik ortalamasına eşit ise a = b dir. x1 · x2 = 2m =m=6 bulunur. 2 4. 9 5. 0 6. 6 34 7. -7 8. 2 5 8 5
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 9 ÖRNEK 12 x2 - kx + k - 3 = 0 2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 12 oldu- denkleminin kökleri arasında 2x1 - x2 = 4 bağıntısı ğuna göre, geometrik ortalaması kaçtır? olduğuna göre, m sayısını bulunuz. x1 + x2 = 12 & x + x = 24 x1 + x2 = 2 4 & x1 = 2 ve x2 = 0 elde edilir. 2 1 2 2x - x = 4 & k = 24 1 2 x ·x = k-3 x1 · x2 = m-3 2 12 & 24 - 3 = 21 bulunur. &0= m-3 & m = 3 bulunur. 2 ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 x2 - ( 2m - 1 ) x + 2m = 0 a ! 2 olmak üzere, ( a - 2 )x2 - ( a - 1 ) x + 1 = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalaması 2 oldu- denkleminin kökleri arasında x2 = 1 bağın- ğuna göre, aritmetik ortalaması kaçtır? x1 5x1 - 1 x · x = 2 & 2m = 4 tısı olduğuna göre, a sayısını bulunuz. 1 2 &m=2 x1 + x2 = 2m - 1 x2 = 1 & 5 · x · x = x1 + x2 2 2 x1 5x1 - 1 1 2 = 3 bulunur. & 5· 1 = a-1 2 a-2 a-2 & a = 6 bulunur. ÖRNEK 11 ÖRNEK 14 mx2 - ( 3m - 1 )x - 2 = 0 x2 - 8x + k = 0 denkleminin kökleri arasında x1 = -x2 bağıntısı ol- denkleminin kökleri arasında 2x1 + x2 = 15 bağıntısı duğuna göre, x1 · x2 çarpımı kaçtır? olduğuna göre, x1 · x2 çarpımını bulunuz. x1 =-x2 & x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 8 4 & x1 = 7 , x2 = 1 2x + x = 15 & 3m - 1 =0 , m= 1 m 3 1 2 x · x = -2 & -2 =-6 bulunur. x1 · x2 = 7 bulunur. m 1 1 2 3 9. 21 10. 3 11. -6 35 12. 3 13. 6 14. 7 2
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 15 ÖRNEK 17 x2 - ( x1 - 2 ) x + 4x2 = 0 x2 - ( m2 - m - 6 ) x - m - 1 = 0 denkleminin sıfırdan farklı kökleri x1 ve x2 olduğuna denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, m göre, x1 + x2 ve x1 · x2 değerlerini bulunuz. nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? x1 + x2 = x1 - 2 & x2 = -2 x1 + x2 = m2 - m - 6 = 0 x1 · x2 = 4x2 & x1 = 4 & ( m - 3 ) ( m + 2 ) = 0 x1 + x2 = 4 - 2 = 2 ve x1 · x2 = (-2) · 4 = -8 bulunur. & m = 3 ve m = -2 bulunur. x2 - 4 = 0 ve x2 + 1 = 0 olduğundan m = 3 değerini alabilir. ÖRNEK 16 ÖRNEK 18 x2 + ( 2k - 1 ) x + 27 = 0 3x2 - ( 2k + 3 )x + 6 = 0 denkleminin kökleri arasında x1 = x22 bağıtısı oldu- ğuna göre, k sayısını bulunuz. denkleminin birbirinden farklı kökleri sayı doğrusu üzerinde -2 ye eşit uzaklıkta olduğuna göre, k sayı- sını bulunuz. x1 · x2 = x23 = 27 & x2 = 3, x1 = 9 x1 + x2 2 x1 + x2 = 12 & -( 2k - 1 ) = 12 =-2 & x1 + x2 =-4 k= - 11 bulunur. x1 + x2 = 2k + 3 =-4 2 3 &k= - 15 bulunur. 2 BİLGİ ÖRNEK 19 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, kx2 - ( 3k - 1 )x - 2 = 0 ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri arasında denkleminin simetrik iki kökünün olması için k sayı- x1 = -x2 bağıntısı varsa bu köklere simetrik kök- sının değeri kaç olmalıdır? ler denir. x1 + x2 = 0 olduğundan -b = 0 olur. Buradan x 1 + x = 3k - 1 =0 a k 2 b = 0 olduğu görülür. &k= 1 bulunur. 3 x1 ve x2 ters işaretli olacağından x1 · x2 = c 10 a dır. 15. {2 ve -8} 16. - 11 36 17. 3 18. - 15 19. 1 2 2 3
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 20 ÖRNEK 23 ( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + ... + ( 2x + 1 ) = 42 m! 1 olmak üzere, ( 3m - 1 )x2 - ( m + 2 )x + m - 1 = 0 3 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımını bu- lunuz. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 + x2 = 2 · x1 · x2 olduğuna göre, m reel sayısını bulunuz. ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + f + ( x + x + 1) = 42 (1 den x + 1 e kadar x + 1 terim vardır.) m+2 m-1 3m - 1 3m - 1 x · ( x + 1 ) + ( x + 1) · ( x + 2 ) = 42 x1 + x2 & 2 · x1 · x2 & = 2· 2 m + 2 = 2m - 2 & m = 4 bulunur. ( x + 1) ·< x + x+2 F = 42 & ( x + 1) · ( 3x + 2 ) = 84 2 3x2 + 5x - 82 = 0 & x + x = - 5 3 1 2 x 1 · x = - 82 bulunur. 3 2 ÖRNEK 21 ÖRNEK 24 x2 - 8x + 9 = 0 x2 - ( 3k - 1 )x + k + 3 = 0 denkleminin köklerinin 3 er fazlasının toplamı 14 ol- denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1 + x2 duğuna göre, k reel sayısını bulunuz. toplamının değerini bulunuz. x1 + 3 + x2 + 3 = 14 & x1 + x2 = 8 a x + x 2 = x + x + 2 · x ·x x1 + x2 = 3k - 1 = 8 & k = 3 bulunur. 1 2 k 1 2 12 = 8 + 2 · 9 = 14 x1 + x2 = 14 bulunur. ÖRNEK 22 ÖRNEK 25 x2 - 5x + 3 = 0 x2 - kx + t = 0 denkleminin bir kökü 1 , x2 - mx + n = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, ( x12 + x22 ) denkleminin bir kökü 2 dir. ve ( x13 + x23 ) toplamlarını bulunuz. Bu iki denklemin diğer kökleri ortak olduğuna göre, Özdeşliklerden yararlanarak, m - k değerini bulunuz. x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1 · x2 = 25 - 6 = 19 x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 - 3x1 · x2 ( x1 + x2 ) = 125 - 3 · 3 · 5 = 80 - x1 + 1 = k b_b & m - k = 1 bulunur. bulunur. ` x + 2 = m bb a 1 20. ( - 5 ve - 82 2 21. 14 22. {19 ve 80} 37 23. 4 24. 3 25. 1 3
TEST - 12 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ 1. x2 + 2 · ( m - 4 ) x + n + 2 = 0 4. y2 - 3y + k = 0 denkleminin kökleri toplamı 4, kökleri çarpımı denkleminin kökleri y1 ve y2 dir. -12 olduğuna göre, m · n çarpımı kaçtır? y12 + y22 = 5 A) -28 B) -20 C) 20 D) 28 E) 40 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3 2 2 2. 2x2 - ( m + 2 ) x + 3m - 1 = 0 5. x2 - kx - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 1 + 1 = 4 x12 · x2 + x22 · x1 = 6 x1 x2 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? olduğuna göre, 11 · m sayısı kaçtır? A) -6 B) -5 C) 4 D) 5 E) 6 A) -4 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4 3. y2 - ( 2t - 5 ) y + t2 = 0 6. a ! 2 olmak üzere, denkleminin kökleri y1 ve y2 dir. ( 2 - a )x2 + 5ax + 7 = 0 Köklerin aritmetik ortalaması geometrik ortala- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. masına eşit olduğuna göre, t sayısı kaçtır? x1 + x2 = 3 A) 5 B) 4 C) - 4 45 5 olduğuna göre, x12 + x22 toplamı kaçtır? D) -1 E) - 5 A) 31 B) 33 C) 7 4 55 D) 49 E) 59 55 1. A 2. E 3. A 38 4. C 5. B 6. A
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ TEST - 13 1. a2 + 5a + m - 2 = 0 4. x2 + ( t - 1 ) x + 8 = 0 denkleminin kökleri a1 ve a2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. a22 + a1 · a2 = 5 Kökler arasında x1 = x22 bağıntısı olduğuna olduğuna göre, m sayısı kaçtır? göre, t sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 A) -5 B) -4 C) -3 D) 5 E) 6 2. x2 + t · x - 8 = 0 5. 3x2 - 6x + m - 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ( 2x1 + 1 ) · ( 2x2 + 1 ) = -19 Kökler arasında 3x1 - x2 = 6 bağıntısı olduğuna olduğuna göre, t sayısı kaçtır? göre, m sayısı kaçtır? A) -20 B) -10 C) -6 D) 6 E) 20 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. x2 - ( m + 4 )x + 5m - 2 = 0 6. x2 - ( a + b )x + 2a + b = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökler arasında, 6x 1 = x1 - 6 x2 x1 + x2 = 9 ve 1+1= 9 olduğuna göre, m sayısı kaçtır? x1 x2 10 A) 26 B) 12 C) -18 D) -24 E) -26 bağıntıları olduğuna göre, b sayısı kaçtır? A) -8 B) -1 C) 1 D) 8 E) 10 1. A 2. C 3. E 39 4. A 5. B 6. D
TEST - 14 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ 1. x2 - 4x + m = 0 4. 2x2 - 6x - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökler arasında x1 · x2 + x1 + x2 = 7 bağıntısı ol- Buna göre, duğuna göre, m sayısı kaçtır? x12·f 1 + x2 p + x22f 1 x1 x2 A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4 + x1 p ifadesinin değeri kaçtır? A) - 3 B) - 1 C) 2 D) 4 E) 9 22 2. x2 - 12x + 8 = 0 5. a ve b birer reel sayı olmak üzere, denkleminin kökleri a ve b dir. x2 - ax + b = 0 Buna göre, 1+ 12 ifadesinin değeri denkleminin bir kökü 2 + i olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? a+ 9 a+ 1 A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 9 b kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 3. x2 + ( x1 + 6 ) x - 4x2 = 0 6. Kökleri a + 10 ve a - 1 olan ikinci dereceden denk- denkleminin kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 reel sa- lemin baş katsayısı 1 dir. yılarıdır. Buna göre, bu denklemin diskriminantı aşağı- Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır? dakilerden hangisidir? A) 81 B) 100 C) 121 D) 144 E) 169 A) -4 B) -2 C) 1 D) 2 E) 4 1. D 2. D 3. D 40 4. A 5. E 6. C
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME İlişkili Kazanımlar 10.4.1.4 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanılarak işlemler yapar. BİLGİ ÖRNEK 27 • a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, x2 - 5x + 1 = 0 a x2 + bx + c = 0 denkleminde eşitliğin her iki ta- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2x1 ve 2x2 olan ikinci dereceden denklemi rafı a ile bölünürse x2 + b x + c = 0 olur. yazınız. aa • b =-^ x1 + x2 h ve c = x1 · x2 a a değerler bu denklemde yerine yazılırsa T = 2x1 + 2x2 = 2( x1 + x2 ) = 10 Ç = 2x1 · 2x2 = 4 · x1 · x2 = 4 x2 - ^ x1 + x2 hx + x1 · x2 = 0 bulunur. x2 - 10x + 4 = 0 bulunur. • Buradan kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x2 - ^ x1 + x2 hx + x1 · x2 = 0 ÖRNEK 28 biçiminde oluşturulur. Kökleri x2 - 7x + 13 = 0 denkleminin köklerinden • T = x1 + x2 ve Ç = x1 · x2 olmak üzere ikişer fazla olan ikinci dereceden denklemi yazınız. x2 - TX + Ç = 0 biçiminde ifade edebiliriz. ÖRNEK 26 T = x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + 4 = 11 Çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden denklem- Ç = ( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) = x1 · x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4= 31 leri yazınız. x2 - Tx + Ç = 0 & x2 - 11x + 31 = 0 bulunur. a) { -2, 3 } ÖRNEK 29 x1 + x2 = 1 4 & x2 - x - 6 = 0 bulunur. x2 + 4x + 2 = 0 x · x = - 6 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri x1 + 1 ve x2 + 1 olan ikinci dereceden 1 2 x2 x1 b) '- 1 , 2 1 denklemi yazınız. 2 3 x1 + x2 =- 1 + 2 = 1 _b x1 + 1 x + 1 x2 + x 2 + x + x 2 3 6 x 2 b x 1 T= + 2 = 1 1 2 ` 6 3 & x2 - - x x ·x 1 2 1 21 12 2 3 3 bb x1 · x2 =- · =- (x 2 + x 2 = (x1 + x2) 2 - 2x1 · x2) 1 2 a 6x2 - x - 2 = 0 bulunur. (- 4) 2 - 2 · 2 + (- 4) 8 T= 2 = 2 =4 c) { 3 } x1 + 1 x2 + 1 x1 · x2 + x1 + x2 + 1 x2 x1 x1 · x2 Ç= · = x1 + x2 = 6 4 & x2 - 6x + 9 = 0 = 2-4+1 =- 1 x1 · x2 = 9 2 2 & ^ x - 3 h2 = 0 bulunur. x2 - 4x - 1 = 0 & 2x2 - 8x - 1 = 0 bulunur. 2 26. a) x2 - x - 6 = 0 b) 6x2 - x - 2 = 0 c) (x - 3)2 = 0 41 27. x2 - 10x + 4 = 0 28. x2 - 11x + 31 = 0 29. 2x2 - 8x - 1 = 0
10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 30 ÖRNEK 33 Kökleri x2 - 4x + 1 = 0 denkleminin köklerinden 3 er İkinci dereceden bir denklemin kökleri arasında eksik olan ikinci dereceden denklemi yazınız. 2x1( 1 - x2 ) + x2( 2 + x1 ) = 4 T = x1 - 3 + x2 - 3 = x1 + x2 - 6 = -2 x2( 2 - x1 ) + 2x1( 1 + x2 ) = 8 Ç = ( x1 - 3 ) · ( x2 - 3 ) = x1 · x2 - 3( x1 + x2 ) + 9 = -2 bağıntıları bulunduğuna göre, bu denklemi yazınız. x2 + 2x - 2 = 0 bulunur. 2x1 - 2x1 · x2 + 2x2 + x1 · x2 = 4 ÖRNEK 31 + 2x - x · x + 2x + 2x · x = 8 x2 + 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 2 1 2 1 1 2 Kökleri 3x1 + 2 ve 3x2 + 2 olan ikinci dereceden denklemi yazınız. 4^ x1 + x2 h = 12 & x1 + x2 = 3 T = 3x1 +2 + 3x2 + 2 = 3( x1 + x2 ) + 4 = -5 x1 ·x2 = 2 değerleri x2 - Tx + Ç = 0 Ç = ( 3x1 + 2 ) ( 3x2 + 2 ) = 9x1 · x2 + 6( x1 + x2 ) + 4 = -32 x2 + 5x - 32 = 0 bulunur. denkleminde yerine yazılırsa istenen denklem x2 - 3x + 2 = 0 bulunur. BİLGİ a ! 0 ve a, b, c ! Q olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin m, n ! R için bir kö- kü m + n ise diğer kökü m - n dir. ÖRNEK 34 Köklerinden biri 3 - 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. x = 3 - 2 & x = 3 + 2 1 2 x1 + x2 = 6 x · x = ^ 3 - 2 h^ 3 + 2h=9-2=7 ÖRNEK 32 1 2 3x2 - 4x - 1 = 0 x2 - 6x + 7 = 0 bulunur. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ÖRNEK 35 Kökleri 3 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi Köklerinden biri 3 - 1 olan rasyonel katsayılı ikinci x1 x2 dereceden denklemi yazınız. yazınız. T= 3 + 3 = 3^ x1 + x2 h = - 12 x1 =-1 + 3 , x2 =-1 - 3 x1 x2 x1 · x2 T = x1 + x2 =-2 Ç = x1 · x2 = 1 - 3 =-2 Ç= 3 · 3 = 9 = - 27 x2 + 2x - 2 = 0 bulunur. x1 x2 x1 · x2 x2 + 12x - 27 = 0 bulunur. 30. x2 + 2x - 2 = 0 31. x2 + 5x - 32 = 0 32. x2 + 12x - 27 = 0 42 33. x2 - 3x + 2 = 0 34. x2 - 6x + 7 = 0 35. x2 + 2x - 2 = 0
www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 36 ÖRNEK 39 Köklerinden biri 1 - 2 ve baş katsayısı 2 olan ras- Köklerinden biri x1 = i - 3 olan reel katsayılı ikinci yonel katsayılı ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden dereceden denklemi yazınız. denkleminde a + b + c toplamını bulunuz. x1 = -3 + i , x2 = -3 - i x = 1 - 2 , x = 1 + 2 x1 + x2 = -6 x1 · x2 = ( -3 + i ) · ( -3 - i ) = 10 1 2 x2 + 6x + 10 = 0 bulunur. 2x2 + bx + c = 0 & x1 + x2 = - b & 2 =- b , b =-4 2 2 x1 · x2 = c &-1 = c , c =-2 2 2 a + b + c = 2 - 4 - 2 = - 4 bulunur. ÖRNEK 37 ÖRNEK 40 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin kök- x2 - 4x - c = 0 leri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri x1 = 3 - 1 x1 = 2 - i olduğuna göre, c sayısını bulunuz. olduğuna göre, x12+ x22 toplamının değerini bulu- nuz. x1 = 2 - i , x2 = 2 + i x1 · x2 = -c & ( 2 - i ) · ( 2 + i ) = -c x1 =-1 + 3 , x2 - 1 - 3 c = -5 bulunur. x1 + x2 = - 2 4 & x 2 + x 22 = ^ x1 + x2 h2 - 2x1 · x2 x1 · x2 = - 2 1 olduğundan x12 + x22 = 4 - 2 · (-2) = 8 bulunur. ÖRNEK 38 ÖRNEK 41 x2 + mx + 4 = 0 ikinci dereceden denkleminin kökle- x2 + ax + 2 = 0 ri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminde a bir reel sayı olmak m bir reel sayı olmak üzere, üzere, köklerinden biri x1 = i + 1 olduğuna göre, a sayısını bulunuz. x1 x2 + x2 x1 = 8 olduğuna göre, m sayısını bulunuz. x1 = 1 + i , x2 = 1- i x1 + x2 = -a & 2 = -a x x + x 2 x = x 1 ·x · a x1 + x k = 8 a = -2 bulunur. 1 2 1 2 2 x1 · x2 = 4 & 2 · a x1 + x2 k = 8 & x1 + x2 = 4 a x1 + x2 2 = 16 & x1 + x2 + 2 x1·x2 = 16 k & - m + 4 = 16 & m = - 12 bulunur. 36. -4 37. 8 38. -12 43 39. x2 + 6x + 10 = 0 40. -5 41. -2
TEST - 15 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME 1. Köklerinden biri 3 - 2 olan ikinci dereceden 4. x2 - 8x - 5 = 0 rasyonel katsayılı denklem aşağıdakilerden ikinci dereceden denkleminin kökleri hangisidir? x2 - 2ax - b + 3 = 0 A) x2 + 6x + 7 = 0 B) x2 - 6x + 7 = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden üçer eksik olduğuna göre, a - b farkı kaçtır? C) x2 - 7x - 6 = 0 D) x2 - 7x + 6 = 0 A) -32 B) -18 C) 18 D) 25 E) 32 E) x2 - 6x - 7 = 0 2. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denkle- 5. a ve b kökleri arasında min kökleri arasında, 3a · b + 2 · a + 2 · b = 13 16 - x1 · x2 - 4x1 = 4x2 a · b - a - b = 1 x1 + x1 · x2 - 6 + x2 = 0 bağıntıları olduğuna göre, bu denklem aşağıda- bağıntıları bulunan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? kilerden hangisidir? A) 3x2 - 10x + 8 = 0 B) 3x2 + 10x + 8 = 0 A) x2 - 2x - 3 = 0 B) x2 + 2x + 3 = 0 C) 3x2 + 10x - 8 = 0 D) 3x2 - 10x - 8 = 0 E) x2 - 10x + 8 = 0 C) x2 - 2x + 3 = 0 D) x2 - 3x - 2 = 0 E) x2 - 3x + 2 = 0 3. x2 - 5x - 6 = 0 6. 2x2 - 3x - 4 = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminin her bir kökünün iki katının bir eksiğini kök kabul eden ikinci de- Kökleri x1 - 3 ve x2 - 3 receden denklem aşağıdakilerden hangisidir? x2 x1 A) x2 - x - 10 = 0 B) x2 - x - 8 = 0 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? C) x2 - 2x - 5 = 0 D) x2 - 2x - 6 = 0 A) x2 - 8x - 9 = 0 B) x2 - 15x - 9 = 0 E) x2 + 5x - 4 = 0 C) 2x2 - 15x - 27 = 0 D) 2x2 + 15x - 27 = 0 E) 2x2 + 15x + 27 = 0 1. B 2. A 3. C 44 4. E 5. C 6. A
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME TEST - 16 1. Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan iki sayıdan bi- 4. Kökleri 2 ve -5 olan ikinci dereceden denklem ri aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 - 3x - 10 = 0 B) x2 - 3x + 10 = 0 A) 1 + i B) 2 + 2i C) -2 - i C) x2 + 3x - 10 = 0 D) x2 + 3x + 10 = 0 E) x2 - 3x - 3 = 0 D) 1 + 2i E) 2 - i 2. x2 - 3x + 1 = 0 5. x ! - 1 olmak üzere, denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x3 · y2 - x2 · y + x · y + y2 - y = 12 Kökleri 2x1 - 1 ve 2x2 - 1 olan ikinci dereceden denklemini sağlayan y reel sayılarının toplamı denklem aşağıdakilerden hangisidir? kaçtır? A) x2 + 3x - 3 = 0 B) x2 + 7x - 2 = 0 A) x + 1 B) 1 C) x x+1 x+1 C) x2 + 2x - 3 = 0 D) x2 - 4x - 1 = 0 D) x - 1 E) 2 E) x2 + 5x - 10 = 0 x+1 x+1 3. Aritmetik ortalaması 6, geometrik ortalaması 6. x2 - 2x - 1 = 0 15 olan iki sayıyı kök kabul eden ikinci dere- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Kökleri 2 ve 2 olan ikinci dereceden denk- A) x2 - 6x + 15 = 0 B) x2 - 6x + 15 = 0 x1 x2 C) x2 - 12x + 15 = 0 D) x2 - 12x + 15 = 0 lem aşağıdakilerden hangisidir? E) x2 + 12x + 15 = 0 A) x2 - 4 = 0 B) x2 + 4x + 4 =0 C) x2 - 4x + 4 = 0 D) x2 + 4x - 4 = 0 E) x2 - 4x - 4 = 0 1. E 2. D 3. D 45 4. C 5. B 6. D
TEST - 17 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME 1. Köklerinden biri 2 2 - 1 olan rasyonel katsayılı 4. 4x2 - x - 2 = 0 ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden han- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. gisidir? Kökleri x12 ve x22 olan ikinci dereceden denk- A) x2 + 2x - 7 = 0 B) x2 - 2x - 7 = 0 lem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 - 17x + 1 = 0 B) x2 - 17x + 16 = 0 C) x2 + 2x + 7 = 0 D) x2 + 2x - 5 = 0 C) 4x2 - 17x + 16 = 0 D) 16x2 - 17x + 4 = 0 E) 16x2 - 17x + 1 = 0 E) x2 + 2x - 9 = 0 2. 9x - 5 · 3x + 36 = 0 5. Köklerinden biri 1 - i olan ikinci dereceden reel denkleminde x in alabileceği değerler toplamının katsayılı denklem aşağıdakilerden hangisidir? bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 2 = 0 B) x2 - 2x + 2 = 0 A) ( 3, 4 ) B) ( 3, 5 ) C) ( 4, 6 ) C) x2 + 2x + 1 = 0 D) x2 - 2x - 1 = 0 D) ( 2, 3 ) E) ( 1, 2 ) E) x2 - x + 2 = 0 3. x2 + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 5, 6. 4x2 + mx + n = 0 x2 + r x + 5 = 0 denkleminin bir kökü -4 tür. rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 2 + 3 olduğuna göre, m - n Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna farkı kaçtır? göre, m - r farkı kaçtır? A) -20 B) -17 C) -12 D) 12 E) 20 A) -13 B) -10 C) -9 D) 8 E) 10 1. A 2. A 3. C 46 4. D 5. B 6. A
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KARMA TEST - 1 1. x2 - ( 3a - 1 ) x - a + 8 = 0 4. x2 - 13x - 30 = 0 ikinci dereceden denkleminin bir kökü -2 oldu- ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesi ğuna göre, a sayısı kaçtır? aşağıdakilerden hangisidir? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 A) { -10, -3 } B) { -3, 10 } C) { -10, 3 } D) { -2, 15 } E) { -15, 2 } 2. x2m + 1 - ( 2m + 1 )x - 6x + 12 = 0 5. 5x2 + ( m + 3 ) x + m - 17 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ikinci dereceden denkleminin simetrik iki reel lem olduğuna göre, köklerinden biri aşağıdaki- kökü olduğuna göre, bu denklemin kökler çar- lerden hangisidir? pımı kaçtır? A) -5 B) -3 C) 1 D) 2 E) 4 A) -4 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2 3. x3 - 9x = 0 6. xm - 3 - mx - 4 = 0 x2 - 4x + 3 ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x13 + x23 toplamı kaçtır? denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 125 B) 137 C) 140 D) 145 E) 185 A) -9 B) -3 C) 0 D) 3 E) 9 1. A 2. D 3. B 47 4. D 5. A 6. E
KARMA TEST - 2 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 1. i = - 1 olmak üzere, 4. 2x2 - mx + 2m + 1 = 0 x2 + 2ix + 15 ikinci dereceden denkleminin kökleri arasın- x2 + 25 da m ye bağlı olmayan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? kesrinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden han- A) 4x1 + 4x2 + 1 = 2x1 · x2 gisidir? B) x1 + x2 + 4 = 2x1 · x2 C) 4x1 + 4x2 = x1 · x2 A) x + 3i B) x - 3i D) 4x1 + 4x2 - 2 = 3x1 · x2 x + 5i x - 5i E) 4x1 + 4x2 - 1 = 2 · x1 · x2 C) x + 5i D) x - 2i x - 5i x + 5i E) x + 2i x - 5i 2. z = x + iy ( x, y ! R ) ve i2 = -1 olmak üzere, 5. x2 + x - 3 = 0 z · ^ 1 + i h = z + 1 - 2i olduğuna göre, ( x - 2 ) · ( x - 1 ) · ( x + 2 ) · ( x + 3 ) olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakiler- çarpımı kaçtır? den hangisidir? A) 4 B) 3 C) 1 D) -3 E) -4 A) 1 - i B) 1 + i C) i D) -i E) 1 3. P( x ) = x3 - 6x2 + 12x 6. x2 - 5x + 1 = 0 polinomu veriliyor. ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri K dır. Buna göre, P( 1 + i ) ifadesinin değeri aşağıdaki- Buna göre, K6 + 1 ifadesinin değeri kaçtır? lerden hangisidir? K3 A) 10 - 2i B) 10 - i C) 10 + 2i A) 140 B) 130 C) 125 D) 110 E) 105 D) 6 - 2i E) 6 + 2i 1. B 2. D 3. C 48 4. A 5. D 6. D
Search