Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore 10. Sınıf Matematik Modülleri 4. Modül İkinci Dereceden Denklemler

10. Sınıf Matematik Modülleri 4. Modül İkinci Dereceden Denklemler

Published by Nesibe Aydın Eğitim Kurumları, 2019-09-27 06:30:58

Description: 10. Sınıf Matematik Modülleri 4. Modül İkinci Dereceden Denklemler

Search

Read the Text Version

v www.aydinyayinlari.com.tr  10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kavramı • 2 ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü • 12 ➤ Bir Karmaşık Sayının a + i b (a, b ! R) Biçiminde İfade Edilmesi • 20 ➤ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişki • 33 ➤ K ökleri Verilen İkinci Derece Denklemi Elde Etme • 41 ➤ Karma Testler • 47 ➤ Yazılı Soruları • 53 ➤ Yeni Nesil Sorular • 55 1. ? 2. ? 1 1. ? 2. ?

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI İlişkili Kazanımlar 10.4.1.1 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını açıklar. 10.4.1.2 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. TANIM ÖRNEK 3 a, b, c birer reel sayı ve a ! 0 olmak üzere, ( m + 2 )x5 + ( n - 3 )x3 + 2xk + 1 + m · n · k · x + m - n + k = 0 ax2 + bx + c = 0 ifadesine ikinci derece- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, bu denklemi bulunuz. den bir bilinmeyenli denklem denir. Denk- lemi sağlayan x değerlerine denklemin kökle- m + 2 = 0 & m = -2 ri, köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çö- n-3=0 & n=3 züm kümesi ve a, b, c sayılarına denklemin k+1=2 & k=1 katsayıları denir. 2x2 - 6x - 4 = 0 bulunur. ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 3 · xk - 3 + ( k - 2 ) x + k - 1 = 0 2k + 6 3k + 2 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ol- 2 · x 3k - 3 + 3 · x 4k - 1 - 5x - 6 = 0 duğuna göre, k reel sayısı kaçtır? ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bi- k - 3 = 2 & k = 5 bulunur. linmeyenli denklem olduğuna göre, k sayısını bulu- nuz. ÖRNEK 2 2k + 6 =2 ( m - 3 )x2 + ( 2m + 1 )x + m2 - 6 = 0 3k - 3 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ol- duğuna göre, m kaç olamaz? & 6k - 6 = 2k + 6 m - 3 ! 0 & m ! 3 bulunur. & 4k = 12 &k=3 veya 3k + 2 =2 4k - 1 & 8k - 2 = 3k + 2 & 5k = 4 &k= 4 elde edilir. 5 Bulunan k değerleri denklemde yerine yazıldığında k = 3 olduğu görülür. 1. 5 2. 3 2 3. 2x2 - 6x - 4 = 0 4. 3

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF d) 2x2 - 3x - 2 = 0 BİLGİ 2x2 - 3x - 2 = 0 & ( 2x + 1 ) · ( x - 2 ) = 0 ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözüm kümesi: • Çarpanlara ayırma 2x 1 x = - 1 • Tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerinden 2 yararlanma • Değişken değiştirme x -2 x = 2 bulunur. yöntemleri kullanılarak bulunur. e) 3x2 - 2x - 8 =0 HATIRLATMA 3x2 - 2x - 8 = 0 & ( 3x + 4 ) ( x - 2 ) = 0 a2 - b2 = ( a - b ) · ( a + b ) ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3x 4 x = - 4 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3 x -2 x = 2 bulunur. ÖRNEK 5 f) 4x2 - 16x + 15 = 0 Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini çar- 4x2 - 16x + 15 = 0 & ( 2x - 3 ) · ( 2x - 5 ) = 0 panlara ayırma yöntemini kullanarak bulunuz. a) 5x2 - 3x = 0 2x -3 x= 3 2 5x2 - 3x = 0 2x -5 x= 5 bulunur. 2 x( 5x - 3 ) = 0 & x = 0 x= 3 bulunur. 5 g) x2 - 4x - 5 = 0 b) x2 - 3x + 2 = 0 x2 - 4x - 5 = 0 & ( x - 5 ) · ( x + 1 ) = 0 x2 - 3x + 2 = 0 & ( x - 2 ) · ( x - 1 ) = 0 x -5 x = -1 x -2 x = 2 x -1 x = 1 bulunur. x 1 x = 5 bulunur. c) x2 + 5x + 6 = 0 h) x2 - 5ax + 6a2 = 0 x2 + 5x + 6 = 0 & ( x + 3 ) · ( x + 2 ) = 0 x2 - 5ax + 6a2 = 0 & (x - 3a) · (x - 2a) = 0 x -3a x = 3a x 3 x = -3 x -2a x = 2a bulunur. x 2 x = -2 bulunur. 5. a) ( 0, 3 2 b) {1, 2} c) {-3, -2} 3 d) (- 1 , 2 2 e) (- 4 ,22 f) ( 3 , 5 2 g) {-1, 5} h) {3a, 2a} 5 2 3 2 2

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 x2 + ^ 2 - 3 hx - 3 2 = 0 x3 - x2 - 2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x2 +^ 2 - 3 hx - 3 2 = 0 & ^ x + 2 h · ^ x - 3 h = 0 x( x2 - x - 2 ) = 0 & x · ( x - 2 ) · ( x + 1 ) = 0 x 2 x = - 2 x -3 x = 3 x -2 x = 0 Ç.K = % - 2, 3 / bulunur. x 1 x = 2 x = -1 Ç.K = {-1, 0, 2} bulunur. ÖRNEK 7 ÖRNEK 10 m ve n sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere, a bir reel sayı olmak üzere, mx2 + ( mn - n ) x - n2 = 0 x2 - x ·f a2 + 9 p+ a2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. mx2 + ( m · n - n ) x - n2 = 0 mx -n x2 - x · f a2 + 9 p+ a2 = 0 3 xn ^ mx - n h · ^ x + n h = 0 & x = n x - a2 m 3 a2 a2 x =-n x -3 fx- 3 p^ x - 3 h = 0 & x = 3 Ç.K = x = % - n, n / bulunur. x=3 m a2 Ç.K = * 3, 3 4 bulunur. ÖRNEK 8 ÖRNEK 11 -3x2 - 21 = 0 x2 + 11 ·x- 9 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 4 -3x2 - 21 = 0 & -3x2 = 21 denkleminin tam sayı olan kökü kaçtır? & x2 = -7 & Ç.K = Q bulunur. x2 + 11 ·x- 9 =0&dx- 3 n·^x+3h= 0 4 4 4 x - 3 &x= 3 4 4 x 3 x = -3 bulunur. 6. % - 2, 3 / 7. % - n, n / 8. Ø 4 9. \" - 1, 0, 2 , 10. * 3, a2 4 11. -3 m 3

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF e) x2 + 6x + 4 = 0 ÖRNEK 12 x2 + 6x + 4 = ( x + 3 ) 2 - 9 + 4 = 0 Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini tam & (x + 3)2 = 5 kare ve iki kare farkı özdeşliklerinden yararlanarak bulunuz. &x+3= 5 x+3 =- 5 a) x2 - 4x + 4 = 0 & x =-3+ 5 x =-3- 5 x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )2 = 0 & x = 2 Ç.K = { 2 } bulunur. Ç .K = % - 3 - 5, - 3 + 5 / bulunur. f) 2x2 - 4x - 5 = 0 b) 9x2 - 6x + 1 = 0 2x2 - 4x - 5 = 0 & x2 - 2x - 5 =0 2 9x2 - 6x + 1 = ( 3x - 1 )2 = 0 & ( x - 1) 2 - 1 - 5 =0 2 & x= 1 & ( x - 1) 2 = 7 3 2 Ç.K = ( 1 2 bulunur. &x-1= 7 x-1 =- 7 3 2 2 &x=1+ 7 x=1- 7 2 2 c) x2 - 4x - 1 = 0 Ç .K = * 2 - 14 , 2 + 14 4 bulunur. 2 2 x2 - 4x - 1 = ( x - 2 ) 2 - 4 - 1 = 0 & (x - 2)2 = 5 g) x2 - 6x - 7 = 0 &x-2= 5 x-2 =- 5 &x=2+ 5 x=2- 5 x2 - 6x - 7 = ( x - 3 ) 2 - 9 - 7 = 0 & ( x - 3 ) 2 - 16 = 0 & ( x - 3 - 4 ) ( x - 3 + 4 ) = 0 Ç .K = % 2 - 5 , 2 + 5 / bulunur. & ( x - 7 ) ( x + 1) = 0 & x = 7 x =-1 d) x2 - x - 3 = 0 Ç .K = \" - 1, 7 , bulunur. x2 - x - 3 = d x - 1 2 1 -3=0 h) x2 - 5x + 5 = 0 2 4 n- &dx- 1 2 13 dx- 5 2 25 +5=dx- 5 2 5 2 2 4 2 4 2 2 n= n- n -f p =0 &x- 1 = 13 x- 1 =- 13 &fx- 5 + 5 p·f x- 5 - 5 p=0 2 2 2 2 2 2 2 2 &x= 1 + 13 x= 1 - 13 &x= 5- 5 x= 5+ 5 2 2 2 2 Ç .K = * 1 - 13 , 1 + 13 4 bulunur. Ç .K = * 5- 5 , 5+ 5 4 bulunur. 2 2 2 2 12. a) {2} b) ( 1 2 c) % 2 - 5,2 + 5/ d) ( 1 - 13 , 1 + 13 2 5 e) % - 3 - 5, - 3 + 5 / f) ( 2 - 14 , 2 + 14 2 g) {-1, 7} h) ( 5- 5, 5+ 5 2 3 2 2 2 2 2 2

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr b) 4x + 4x + 2 + 16x = 0 ÖRNEK 13 4x = t & t2 + 16t + t = 0 4x2 - 12x + 9 = ^ x + a h2 & t2 + 17t = 0 4 & t( t + 17 ) = 0 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? t= 0 t = -17 & 3x = 0 3x = -17 Ç.K = Q bulunur. d 2x - 3 2 = ^ x + a h2 2 c) 9x - 4 · 3x + 1 + 27 = 0 n &dx- 3 2 = ^ x + a h2 2 n & a =- 3 bulunur. 2 ÖRNEK 14 3x = t & t2 - 12t + 27 = 0 & ( t - 9 ) · ( t - 3 ) = 0 x2 - 3x + 2 = 0 &  t = 9  t = 3 x2 - 4 3x = 9 3x = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K = { 1, 2 } bulunur. x2 - 3x + 2 = 0 & x2 - 3x + 2 = 0 & ( x - 2 ) · ( x - 1 ) = 0 d) 3 x + 2 = 3 x2 - 4 3x x -2 x=2 x -1 x=1 x = 2 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinden çıka- 3 x = t & t+2 = 3 rılır. Ç.K = { 1 } bulunur. t & t2 + 2 · t - 3 = 0 & ^ t + 3 h·^ t - 1 h = 0 t =-3 t = 1 3 x =-3 3 x=1 x = - 27 x=1 ÖRNEK 15 Ç.K = { -27, 1 } bulunur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini de- e) x4 - 5x2 + 4 = 0 ğişken değiştirme yöntemini kullanarak bulunuz. a) 25x + 5 = 6 · 5x x2 = t & t2 - 5t + 4 = 0 & ( t - 4 ) ( t - 1 ) = 0 5x = t & t2 - 6t + 5 = 0 & ( t - 5 ) · ( t - 1 ) = 0 x2 = 4 x2 = 1 t=5 t=1 x = \"2 x = \"1  5x = 5   5x = 1 Ç.K = { -2, -1, 1, 2 } bulunur. Ç.K = { 0, 1 } bulunur. 13. - 3 14. { 1 } 15. a) { 0, 1 } 6 b) Q c) { 1, 2 } d) { -27, 1 } e) { -2, -1, 1, 2 } 2

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 x - 3 4 x - 18 = 0 x - 1 - 3x + 6 = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x+2 x-1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 x = t & t2 - 3t - 18 = ^ t - 6 h^ t + 3 h = 0 x-1 3 = 2 & t2 - 2t - 3 = 0 x+2 t &t=6 t =-3 =t&t- &4 x=6 4 x = - 3 ( kök yok ) &t=3 t =-1 x = 64 x-1 =3 x-1 =-1 x+2 x+2 Ç.K = { 64 } bulunur. x =- 7 x =- 1 2 2 Ç .K =(- 7 , - 1 2 bulunur. 2 2 ÖRNEK 17 ÖRNEK 20 x2 + 6x + 9 - | x + 3 | -20 = 0 ( x2 - 6x )2 - 2x2 + 12x = 35 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ( x2 - 6x )2 - 2( x2 - 6x ) -35 = 0 x2 + 6x + 9 - |x + 3| - 20 = 0 & |x + 3|2 - | x + 3 | -20 x2 - 6x = t & t2 - 2t - 35 = 0 | x + 3 | = t & t2 - t - 20 = 0 ( t - 7 ) · ( t + 5 ) = 0 & t = 7 t = -5 & ( t - 5 ) ( t + 4 ) = 0 x2 - 6x - 7 = 0 x2 - 6x + 5 = 0 & | x + 3 | = 5 | x + 3 | = -4 (Kök yok) ( x - 7 ) · ( x + 1 ) = 0 ( x - 5 ) · ( x - 1 ) = 0 & x = 2 , x -8 Ç.K = { -1, 1, 5, 7 } bulunur. Ç.K = { -8, 2 } bulunur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 21 x2 - 2x + 1 - 3 · x2 - 2x + 1 = 10 25x2 - x -24 · 5x2 - x - 25 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x2 - 2x + 1 - 3 ^ x - 1 h2 = 10 5x2 - x = t & t2 - 24t - 25 = 0 & ( t - 25 ) ( t + 1 ) = 0 2 & 5x2 - x = 25 , 5x2 - x = -1 (kök yok) & x2 - x = 2 & x2 - x - 2 = 0 x - 1 - 3 · x - 1 = 10 & x - 1 = t & x = -1 , x = 2 t2 - 3t - 10 = 0 & ^ t - 5 h^ t + 2 h = 0 Ç.K = { -1, 2 } bulunur. & t=5 t =-2 x - 1 = 5 x - 1 = - 2 (kök yok) x =-4 x=6 Ç.K = { -4, 6 } bulunur. 16. { 64 } 17. { -1, 1, 5, 7 } 18. { -4, 6 } 7 19. (- 7 , - 1 2 20. {-8, 2} 21. {-1, 2} 2 2

TEST - 1 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI 1. 5 · xk + 6 + ( k + 6 ) · x + k - 6 = 0 5. x3 + 3x2 + ( a + 1 )xb + 2 - 4 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, k sayısı kaçtır? lem olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) -1 A) -4 B) -3 C) -2 D) 2 E) 4 2. ( m - 4 )x2 + ( 2m + 5 ) x + 4 - m2 = 0 6. (m + n - 4)x4 + (n + k - 8)x3 - 5xm+k+6 - x + 7 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, m sayısı aşağıdakilerden lem olduğuna göre, m · n · k çarpımı kaçtır? hangisi olamaz? A) -32 B) -16 C) 0 D) 16 E) 32 A) 3 B) 4 C) -4 D) -3 E) -2 2m + 6 m+2 7. 2 · x 2m - 1 - 3 · x 3m - 6 + x - 8 = 0 3. ( a + 2 )x3 + ( a - b + 2 ) xb + 1 + x - 2 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır? lem olduğuna göre, m sayısı kaçtır? A) 2 B) 1 C) -1 D) -2 E) -4 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. ( k + 1 )x5 + ( n - 2 )x3 + xk + n - p + 2x - 5 = 0 8. ( m - 2 )x3 + 3x2 - m - 3 · xn + m - 3 - 7 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem olduğuna göre, p sayısı kaçtır? lem olduğuna göre, m · n çarpımının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) 3 B) 2 C) -1 D) -2 E) -3 A) 36 B) 18 C) -18 D) -36 E) -42 1. A 2. B 3. D 4. C 8 5. E 6. C 7. B 8. D

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI TEST - 2 1. x2 - 6x + 5 = 0 5. ( x -3  ) · ( x + 1 ) = x · ( x - 3 ) · ( x + 1 ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? hangisidir? A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 A) { -5, -1 } B) { 5, -1 } C) { 1, 5 } D) {  } E) { -1, 1 } 2. x2 - 2 · x - 4 = 0 6. f( x ) = 2x2 - 5x + 4 fonksiyonu veriliyor. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden f( x ) = 7 hangisidir? A) \" - 2, 4 , B) \" - 2, 2 2 , denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? C) \" - 2, 2 , D) \" - 2 2, 2 , E) \" 2, 2 2 , A) ' 1 , 3 1 B) ' - 21 , 1 1 C) ' - 2 , - 1 1 2 3 3 D) ' - 21 , 3 1 E) ' - 31 , 2 1 3. x3 - 4x2 + 3x = 0 7. 3x2 + ( a - 1 ) x + 2a + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, hangisine eşittir? diğer kökü kaçtır? A) { 0, 1, 3 } B) { 1, 3 } C) { -3, -1, 0 } D) { -3, 1 } E) { -3, 0, 1 } A) -3 B) -1 C) - 1 D) 1 E) 3 33 4. x2 - ( m - 2n ) x - 2 m · n = 0 8. ( m - 1 )x2 + ( m + 2 )x + m2 + m - 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- hangisine eşittir? lem ve bu denkleminin köklerinden biri 1 oldu- ğuna göre, diğer kökü kaçtır? A) { m, 2n } B) { 2m, n } C) { m, n } D) { m, -2n } E) { 2n, -m } A) 9 B) 7 C) - 7 D) -2 E) -3 55 5 1. C 2. B 3. A 4. D 9 5. E 6. D 7. D 8. C

TEST - 3 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI 1. x2 - 8x + 2m - 4 5. x2 - 6x + 2 = 0 ifadesinin tam kare olmasını sağlayan m değeri denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) \" 3 - 2 7, 3 + 2 7 , B) \" 3 - 2 3, 3 + 2 3 , C) \" 6 - 2 7, 6 + 2 7 , D) \" 3 - 2 6, 3 + 2 6 , E) \" 3 - 7, 3 + 7 , 6. 3x2 - x + m - 1 2. x2 - 6x - 5 = 0 ifadesinin tam kare olmasını sağlayan m değeri aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 B) 1 C) 13 D) 7 E) 5 A) \" 3 - 14, 3 + 14 , B) \" 14, - 14 , 12 12 6 3 C) \" , D) \" 5, 1 , E) \" 6 - 2 14, 6 + 2 14 , 7. x2 - 6x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? 3. 9x2 - 6x + 1 = ^ x - a h2 A) 8 B) 6 C) 2 3 D) 3 E) -6 9 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? A) -1 B) - 1 C) - 1 D) 1 E) 1 3 93 9 8. Boyu eninden 5 cm uzun olan bir tablo kenarların- dan 4 er cm boşluk kalacak şekilde bir çerçeveye konulup duvara asılacaktır. 4cm 4 cm 4 cm 4. x2 + 4x + 2 = 0 4cm denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? Çerçeveye konulup duvara asılan tablonun A) - 3 - 2 B) - 2 - 2 C) 2 - 2 kapladığı alan 374 cm2 olduğuna göre, tablonun çevresi kaç cm dir? ( Çerçevenin kalınlığı ihmal D) 2 + 2 E) 3 - 2 edilecektir. ) A) 42 B) 46 C) 52 D) 64 E) 76 1. A 2. A 3. D 4. B 10 5. E 6. C 7. B 8. B

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KAVRAMI TEST - 4 1. 9x + 15x - 2 · 52x = 0 5. x2 - x + 4 x2 - x + 4 - 28 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) Q A) \" - 3, 4 , B) \" - 3 , C) * - 3, 1+ 3 4 D) * 1 -2 3 , 1+ 3 4 2 2 E) * - 3 , 1 -2 3 , 1 + 3 ,44 2 2. x - 2 · 4 x - 15 = 0 6. a bir pozitif reel sayı olmak üzere, denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden a3x - 4a2x - 9ax + 36 = 0 hangisidir? denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı -1 A) \" 5, 25 , B) \" 5, 625 , C) \" 625 , olduğuna göre, a reel sayısı aşağıdakilerden hangisidir? D) \" 5 , E) \" 125 , C) 1 A) 12 B) 6 3 D) 1 E) 1 6 12 3. x6 - 20x3 - 125 = 0 7. c 3x + 1 2 1 + 2 m - 36 = 0 x 3x m - 6c x + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin kökleri a ve b dir. hangisidir? 1 A) \" - 3 5 , B) \" - 3 5, 3 25 , Buna göre, 9a2 + a2 toplamının değeri aşağı- C) 3 25 D) \" 5, 3 5 , dakilerden hangisi olabilir? E) \" 3 25, 5 , A) 64 B) 60 C) 58 D) 45 E) 36 4. 3 x - 2 + 6 x - 2 - 12 = 0 8. ( x - 2 ) · ( x - 5 ) · ( x + 1 ) · ( x + 4 ) = 19 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç- hangisidir? tır? A) \" 29 , B) \" 83 , C) Ø A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 D) \" 245 , E) \" 731 , 1. C 2. C 3. B 4. E 11 5. A 6. E 7. C 8. A

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.2 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Diskriminant Yöntemi ÖRNEK 1 TANIM / BİLGİ x2 - 4x + 1 = 0 a ! 0 ve a , b, c birer reel sayı olmak üzere, denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemini tam kareye dönüştürelim. a ·f x2 + b x+ c p=0 D = b2 - 4 · a · c = 16 - 4 · 1· 1 = 12 a a 4 - 12 4 + 12 b 2 b2 c x1 = 2 , x2 = 2 2a 4a2 a a·ffx+ p- + p=0 Ç .K = * 4-2 3 , 4+2 3 4 2 2 ^ 4a h a·ffx+ b 2 b2 - 4ac p=0 = % 2 - 3 , 2 + 3 / bulunur. 2a 4a2 p- fx+ b 2 b2 - 4ac olur. 2a 4a2 p= Buradan x = -b + b2 - 4·a·c veya ÖRNEK 2 2a 4a2 2x2 - 4x + 3 = 0 x = -b - b2 - 4·a·c elde edilir. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2a 4a2 D = b2 - 4ac = 16 - 4 · 2 · 3 = -8 Bu iki eşitlikte 4a2 > 0 olduğundan D < 0 olduğundan denklemin reel sayılardaki çözüm x1 = -b + b2 - 4 · a · c x2 = -b - b2 - 4 · a · c kümesi boş kümedir. 2a 2a kökleri bulunur. b2 - 4 · a · c ifadesine denklemin diskriminantı de- nir ve D(delta) ile gösterilir. ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminde, D = b2 - 4 · a · c > 0 ise bu denklemin iki fark- ÖRNEK 3 lı reel kökü vardır ve bu kökler, x2 + 5x + 2 = 0 x1 = -b + D ve x2 = -b - D olur. 2a 2a denkleminin çözüm kümesini bulunuz. D = b2 - 4 a c = 0 ise bu denklemin birbirine eşit (çakışık) iki kökü vardır ve bu kökler x1 = x2 = -b olur. D = 52 - 4 · 2 = 17 2a -5+ 17 -5- 17 D = b2 - 4 a c < 0 ise bu denklemin reel kökü x1 = 2 , x2 = 2 bulunur. yoktur. Denklemin reel sayılardaki çözüm kü- mesi boş kümedir. 12 1. % 2 - 3 , 2 + 3 / 2. Ø 3. * -5+ 17 , -5- 17 4 2 2

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 x2 - 3x + 5 = 0 x2 - mx + 2m = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m nin alabileceği değerleri bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = 9 - 4 · 1· 5 = 9 - 20 D = - 11 D = b2 - 4 · a · c = 0 olmal› & m2 - 4 · 2m = 0 D 1 0 & Ç .K = Q bulunur. & m^ m - 8 h = 0 & m = 0 , m = 8 bulunur. ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 - x + 3 = 0 3x2 - x - 3m + 1 = 0 3 2 16 denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre, m denkleminin çözüm kümesini bulunuz. nin değer aralığını bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = d -1 2 1 · 3 = 1 - 1 =0 D = b2 - 4 · a · c 2 0 olmal› 2 3 16 4 4 & ^ - 1 h2 - 4 · 3 · ^ - 3m + 1 h 2 0 n -4· 1 x1 = x2 =- b = 2 = 3 & 36m - 11 2 0 2a 4 2· 1 11 3 &m2 36 bulunur. Ç .K = ( 3 2 bulunur. 4 ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 2x2 - 3x + m - 2 = 0 x2 - ax + 8 = 0 denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre, a nın denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç ol- alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? malıdır? D = b2 - 4 · a · c 2 0 olmal› D = b2 - 4 · a · c = 0 olmal› & a2 - 4 · 8 2 0 & a2 2 32 &9-4·2·^m-2h=0 a = 6 bulunur. & 25 = 8m & 25 bulunur. 8 4. Ø 5. ( 3 2 6. 25 13 7. \" 0, 8 , 8. m 2 11 9. 6 4 8 36

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 4x2 - t · x + 9 = 0 x2 + mx + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 = x2 olduğuna göre, t sayı- denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabi- sını bulunuz. leceği doğal sayı değerlerini bulunuz. D = t2 - 4 · 4 · 9 = 0 D = m2 - 16 < 0 & t2 = 16 · 9 m ! { 0, 1, 2, 3 } bulunur. & t = \" 12 bulunur. ÖRNEK 11 ÖRNEK 14 x2 - 4x + m - 1 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kö- mx2 + 5x + 4 = 0 kü vardır. denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabi- x2 + t · x - 2 = 0 leceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? denkleminin köklerinden biri m olduğuna göre, t D = 25 - 4 · m · 4 < 0 & 25 1 16m kaçtır? &m2 25 16 D = 16 - 4 · ^ m - 1 h = 0 & m = 5 & m = 2 bulunur. x2 + t · x - 2 = 0 denkleminin bir kökü x = 5 olduğun- dan denklemi sağlar. 25 + 5t - 2 = 0 & - 23 = 5t &t= - 23 bulunur. 5 ÖRNEK 12 ÖRNEK 15 x2 + 36 = 0 4mx2 - ^ 2m + 3 hx + m = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 D = b2 - 4 · a · c = 02 - 4 · 1 · 36 = -144 denkleminin farklı iki reel kökünün olması için m nin D < 0 olduğundan alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? Ç.K = Q bulunur. D = ^ 2m + 3 h2 - 4 · 4m · m 20 4 & 12m + 9 2 0 &m2 -9 = -3 12 4 m = 1 bulunur. ^ m = 0 olamaz! h 10. { -12, 12 } 11. - 23 12. Q 14 13. {0, 1, 2, 3} 14. 2 15. 1 5

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 mx2 + 3x + 15 = 0 n ! 0 ve m > n olmak üzere, denkleminin iki reel kökünün olması için m nin de- nx2 + ( n + m ) x + m = 0 ğer aralığını bulunuz. ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bu- lunuz. D $ 0 olmal› 9 - 4 · m · 15 $ 0 D = ^ n + m h2 - 4 · n · m = n2 - 2 · n · m + m2 &m# 3 bulunur. & D = ^ n - m h2 & D = n - m = m - n 20 x1 = -n - m - m + n , x2 = -n - m + m - n 2n 2n x1 =- m , x2 =-1 n Ç .K =%- m , - 1 / bulunur. n ÖRNEK 17 ÖRNEK 20 ( m - 1 )x2 - ( 2m + 3 )x + m - 2 = 0 ( x - 1 ) · ( x2 - ( m + 3 ) · x + 4 ) = 0 denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, m sayı- denkleminin iki farklı kökü olduğuna göre, m nin ala- sını bulunuz. bileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır? D = ^ -^ 2m + 3 h h2 - 4^ m - 1 h · ^ m - 2 h = 0 Verilen denklem ^ x - 1 h · ^ x - 2 h2 = 0 & 4m2 + 12m + 9 - 4m2 + 12m - 8 = 0 ^ x - 1 h · ^ x + 2 h2 = 0 24m + 1 0& m =- 1 bulunur. ^ x - 1 h2 · ^ x - 4 h = 0 fleklinde olabilir. 24 & = m+3 = 4 , m+3 =-4 , m+3 = 5 m=1 m =-7 m=2 1· ^ - 7 h · 2 = - 14 bulunur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 21 x2 + ( m + 3 ) x + m + 18 = 0 x2 - mx + 15 = 0 x+5 denkleminin kökleri x1 ve x2 arasında 7x1 - 3x2 = 4 x2 denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi tek ele- manlı olduğuna göre, m nin alabileceği değerler top- bağıntısı olduğuna göre, m nin alabileceği değerle- lamı kaçtır? ri bulunuz. 7x1 - 3x2 = 4x2 & x1 = x2 oldu€undan ^ x \" 15 h2 = 0 & m =\"2 15 ya da ^ x + 3 h^ x + 5 h =0 D = ^ m + 3 h2 - 4 · ^ m + 18 h = 0 olmal› x+3 x+3 & m2 + 2m - 63 = 0 m = - 8 olabilir. & ^ m - 7 h^ m + 9 h = 0 Toplamlar› | - 2 15 + 2 15 - 8 = - 8 bulunur. & m = - 9 m = 7 bulunur. 16. m # 3 17. -1 18. {-9, 7} 15 19. % -m , - 1 / 20. -14 21. -8 20 24 n

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 22 ÖRNEK 25 x bir reel sayı olmak üzere, x2 + ( m + n )x + m · n = 0 x2 - x + 4 denkleminin kökleri ile ilgili aşağıda verilen ifadeler- ^ x - 2 h2 den hangisi doğrudur? ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) m = n olursa eşit iki kökü vardır. B) -m = n olursa çift katlı kökü vardır. x2 - x + 4 = A & x2 - x + 4 = Ax2 - 4Ax + 4A C) m = n olursa farklı iki reel kökü vardır. ^ x - 2 h2 D) m + n = 0 olursa reel kökü yoktur. E) m · n = 0 olursa reel kökü yoktur. & ^ A - 1 hx2 + ^ 1 - 4A hx + 4A - 4 = 0 ^ x ! R h D $ 0 olmal› ^ 1 - 4A h2 - 4^ A - 1 h^ 4A - 4 h $ 0 D = ^ m + n h2 - 4·mn = ^ m - n h2 m = n olursa D = 0 olur. ^ 1 - 4A h2 - 16^ A - 1 h2 $ 0 eşit iki kökü vardır. A$ 5 Cevap : A 8 A nın en küçük değeri 5 bulunur. 8 ÖRNEK 23 ÖRNEK 26 m pozitif bir tam sayı olmak üzere, x2 + ax + b = 0 denkleminin bir kökü 2, x2 + mx + 24 = 0 x2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü 6 dır. denkleminin kökleri tam sayı olduğuna göre, m nin Bu denklemlerin diğer kökleri eşit olduğuna göre, alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? b  :  c oranı kaçtır? x2 + mx + 24 = ^ x + a h·^ x + b h & a · b = 24 ^ x - 2 h^ x + m h = 0 & b = - 2m 1· 24 & m = 25 2 · 12 & m = 14 ^ x - 6 h^ x + m h = 0 & c = - 6m 3 · 8 & m = 11 4 · 6 & m = 10 b = - 2m = 1 bulunur. c - 6m 3 25 + 14 + 11 + 10 = 60 bulunur. ÖRNEK 24 ÖRNEK 27 x2 - 6x + m = 0 x2 - 3x - 5 = 0 denkleminin köklerinin rasyonel sayı olması için m nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? denkleminin kökleri a ve b dir. D = 36 - 4m & D = 36 - 4m ! Q olmal› Buna göre, a2 - 3a - 4 ifadesinin değeri 36 - 4m ! % 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0 / b2 - 3b - 3 kaçtır? m ! \" 0, 5, 8, 9 , bulunur. a2 - 3a = 5 , b2 - 3b = 5 oldu€undan 5- 4 =5-2=3 bulunur. 5-3 22. 5 23. 60 24. 4 16 25. A 26. 1 27. 3 8 3

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ TEST - 5 1. 3m2 - t · m + 2 = 0 4. m ! 0 olmak üzere, denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre t sayı- m2x2 - ( 2m + 1 )x + 1 sının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin bir tam kare belirtmesi için, m kaç ol- A) 1 B) 3 C) 2 D) 2 6 E) 5 malıdır? A) -4 B) -2 C) - 1 D) - 1 E) 1 4 24 2. x2 - 2x + a - 1 = 0 5. a ! 0 olmak üzere, denkleminin farklı iki reel kökünün olması için a ax2 - x + a - 8 = 0 nın değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin köklerinden biri a olduğuna göre, A) a > 4 B) a > 2 C) a > 0 diğer kökü kaçtır? A) -2 B) - 3 C) -1 D) 2 E) 3 D) a < 0 E) a < 2 2 32 3. a ! -1 olmak üzere, 6. x2 + 2x - 5 = 0 ( a + 1 )x2 + ( 2a + 1 )x + a - 4 = 0 dekleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) \" - 6, 6 , B) \" 1 - 6, 1 + 6 , A) - 1 B) - 4 C) - 17 C) \" - 1 - 6, - 1 + 6 , 25 20 D) \" - 2 - 6, - 2 + 6 , E) \" 6 - 1, 6 + 1 , D) - 17 E) - 9 16 8 1. D 2. E 3. D 17 4. C 5. B 6. C

TEST - 6 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 1. 4x2 - 5x + m2 + n2 = 0 4. 4x2 + 5x - 6 = 0 denkleminin kökleri m ve n olduğuna göre, 3x2 + 2x - 8 denklemin diskriminantı aşağıdakilerden han- gisidir? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 125 B) 50 C) 25 A) \" - 2 , B) ' 34 1 63 3 D) 25 E) 25 C) ' - 2, 3 1 D) * 34 , 43 4 69 4 E) ' - 2, 43 1 2. a ! - 1 olmak üzere, 5. a ! 0 olmak üzere, ( a + 1 )x2 - 2ax + a - 2 = 0 ax2 - 6x + 9 = 0 denkleminin diskriminantı 16 olduğuna göre, a denkleminin reel kökü olmadığına göre, a nın sayısı kaçtır? bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 A) a > 1 B) a < 1 C) 0 < a < 1 D) a > -1 E) -2 < a < -1 3. x2 - 2x - 1 = 0 6. x2 - ( k + 2 ) x + k + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çift katlı reel kökü olduğuna göre, hangisidir? k sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) \" 2 - 3, 2 + 3 , B) \" 3 - 2, 3 + 2 , C) \" 1 - 2, 1 + 2 , D) \" 1 - 3, 3 , A) -6 B) -2 C) 4 D) 6 E) 8 E) \" - 1, 1 , 1. C 2. D 3. C 18 4. B 5. A 6. C

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ TEST - 7 1. 3x2 - 5x - 6 = 1 4. x2 - x + m + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı denkleminin reel köklerinin olmaması için m kaçtır? nin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) ^ - 3, - 1 h B) ^ - 3, 1 h C) c - 43 , 1 m D) c - 43 , 3 m E) ^ - 1, 1 h 2. x2 + ( 4 - 2x )2 = 9 - 2x · ( 4 - 2x ) 5. 3x2 - 10x + m - 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çakışık iki kökü olduğuna göre, m hangisidir? sayısı kaçtır? A) \" 1, 2 , B) \" 1, 7 , C) \" - 2, 1 , A) 32 B) 12 C) 37 3 3 D) \" 2, 7 , E) \" - 7, 3 , D) 14 E) 46 3 3. 2x2 - 4x + m - 5 = 0 6. ( x2 - ax + 9 ) · ( x2 - 8x + 4b ) = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, denkleminin çözüm kümesini gerçel sayılarda boş m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç- küme yapan a ve b sayıları sırasıyla A ve B küme- tır? leri ile ifade edilmiştir. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A kümesinde bulunmayan en büyük negatif tam sayı m, B kümesinde bulunan en küçük tam sayı n olduğuna göre, x2 - mx + n = 0 denklemi için, I. Gerçel kökü yoktur. II. Simetrik iki gerçel kökü vardır. III. Birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır. IV. Kökleri birer tam sayıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) II ve III C) Yalnız III D) III ve IV E) II, III ve IV 1. D 2. B 3. C 19 4. D 5. C 6. D

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr BİR KARMAŞIK SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.3 : Bir karmaşık sayının a + i · b (a, b ! R) biçiminde ifade edilmesini açıklar. TANIM ÖRNEK 1 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 x4 + 16x2 = 0 denkleminde D = b2 - 4 · a · c < 0 ise bu denkle- denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini min reel sayılarda çözüm kümesi yoktur. Bu denkle- bulunuz. min çözüm kümesini bulmak için reel sayılar küme- sini de kapsayan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç var- x2 ( x2 + 16 ) = 0 & x2 = 16i2 ve x2 = 0 dır. Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar küme- x1 = 4i , x2 = -4i , x3 = 0 bulunur. si denir ve C ile gösterilir. x2 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. ÖRNEK 2 x2 + 1 = 0 & x2 =-1 & x = -1 Verilen kümelerden hangisinin ya da hangilerinin çözüm kümeleri boş kümeden farklıdır? Bu denklemin reel sayılarda çözüm kümesi boş kü- I. % x | x ! Z , x2 + 5x + 4 = 0 / medir. Denklemi sağlayan x = - 1 sayısına sanal II. % x | x ! N , x2 + 4 = 0 / sayı denir ve hayali veya sanal kelimesinin ingilizce III. % x | x ! R , x2 + x + 1 = 0 / karşılığı olan “imaginary” kelimesinin baş harfi olan IV. % x | x Y! R , x2 - x + 3 = 0 / “ i ” harfi ile gösterilir. V. % x | x ! Z+ , 9x2 = 0 / a, b, c ! R ve i sanal sayısı birimi ( i2 = -1 ) olmak üzere, z = a + b · i şeklindeki sayılara karmaşık sa- I. x2+ 5x + 4 = 0 & D>0 , kökler reel sayı yılar, bu sayıların oluşturduğu kümeye ise karma- II. x2+ 4 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil şık sayılar kümesi denir ve C sembolü ile gösterilir. III. x2+ x + 1 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil IV. x2- x + 3 = 0 & D<0 , kökler reel sayı değil C = % z z = a + b · i, a, b ! R, i = - 1 / şeklindedir. V. 9x2 = 0 & D=0 , kökler birbirine eşit ve sıfırdır. z = a + b · i olmak üzere a sayısına z karmaşık sa- yısının reel (gerçek) kısmı denir ve Re(z) = a şek- linde gösterilir. b sayısına z karmaşık sayısının imajiner (sanal) kısmı denir ve Im( z ) = b şeklinde gösterilir. Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayı- dır. R 3 C olur. x2 + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi karmaşık sa- yılar kümesinde x2 + 1 = 0 & x2 = -1 & x2 = i2 Ç.K = { -i, i } olarak bulunur. 20 1. {-4i, 0, 4i} 2. I ve IV

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 3 ÖRNEK 6 x2 + 25 = 0 x2 - 8x + 25 = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini bulunuz. bulunuz. x2 + 25 = 0 D = 64 - 4 · 1· 25 = - 36 = 36 · i2 & x2 = - 25 & x2 = 25i2 D = 6i & x \" 5i x = 8 + 6i , x = 8 - 6i 2 2 Ç .K = \" - 5i, 5i , bulunur. 1 2 Ç .K = \" 4 - 3i, 4 + 3i , bulunur. ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 x2 - 4x + 6 = 0 x2 + 6 · i · x + k = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, diğer bulunuz. kökünü bulunuz. D = b2 - 4 · a · c = 16 - 4 · 1· 6 = - 8 = 8i2 x = i denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. D=2 2·i i2 + 6i2 + k = 0 & k = 7 elde edilir. x = 4+2 2·i , x = 4-2 2·i x2 + 6 · i · x + 7 = 0 & D = 36i2 - 28 = - 64 2 2 1 2 x - 6i + 8i , x - 6i - 8i 2 2 Ç .K = % 2 - i 2, 2 + i 2 / bulunur. 1 = 2 = x1 = i , x2 = - 7i bulunur. ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 + 6x + 16 = 0 x2 - i · x - 2 = 0 denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini denkleminin karmaşık sayılarda çözüm kümesini bulunuz. bulunuz. D = 36 - 4 ·1· 16 = - 28 = 28 · i2 D = i2 + 8 = 7 & D = 7 D=i·2 7 i+ 7 i- 7 2 2 x1 = -6 + 2 7 ·i , x2 = -6 - 2 7 ·i x1 = , x2 = 2 2 7+i 7+i Ç .K = % - 3 + i 7, - 3 - i 7 / bulunur. Ç .K = * - 2 , 2 4 bulunur. 3. \" - 5i, 5i , 4. % 2 - i 2, 2 + i 2 / 5. % - 3 + i 7, - 3 - i 7 / 21 6. \" 4 - 3i, 4 + 3i , 7. -7i 8. * - 7+i , 7+i 4 2 2

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 9 ÖRNEK 10 Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve imajiner z1 = -6 - 7i ve z2 = 3 + 5i karmaşık sayıları veriliyor. kısımlarını bulunuz. Re( z1 ) - 3 · Im( z2 ) ifadesinin değerini bulunuz. a) z = 4 + 3i Re( z ) = 4 , im( z ) = 3 Re( Z1 ) = -6, im( Z2 ) = 5 -6 - 3 · 5 = -21 bulunur. b) Z = 3 ÖRNEK 11 Re( Z ) = 3 , im( Z ) = 0 Re( x + 3i ) + Im( 1 + ( x - 4 )i ) = 8 olduğuna göre, x reel sayısını bulunuz. c) z = -4i x + 3i = Z1 ve 1 + ( x - 4 ) · i = Z2 Re( Z ) = 0 , Re( Z1 ) = x ve im( Z2 ) = x - 4 olur. x + x - 4 = 8 & x = 6 bulunur. im( Z ) = -4 d) Z = 2 2 · i - 4 ÖRNEK 12 Re( Z ) = -4, im( Z ) = 2 2 z = 8 - - 36 karmaşık sayısı veriliyor. e) z = 2 - 3i im( Z ) = -3 Buna göre, Re(z) - Im( z ) ifadesinin değerini bulu- nuz. Re( Z ) = 2, z = 8 - 36i2 & Z = 8 - 6i Re (z) = 8 ve im (z) = - 6 oldu€undan Re (z) - im (z) = 8 - (- 6) = 14 bulunur. f) z = -7i - 6 Re( Z ) = -6, im( Z ) = -7 ÖRNEK 13 -m2 + - n2 karmaşık m < 0 < n olmak üzere z = sayısı veriliyor. Buna göre, Re(z) + Im(z) toplamı kaçtır? g) z = 3i im( Z ) = 3 z = m2 · i2 + n2 · i2 & z = i· m + i n & z = ^ n - m h·i Re( Z ) = 0, Re(z) = 0, İm(z) = n - m olduğundan Re(z) + İm(z) = n - m bulunur. 9. a) Re( z ) = 4 ,im( z ) = 3 b) Re( Z ) = 3 , im( Z ) = 0 22 10. -21 11. 6 12. 14 13. n - m c) Re( Z ) = 0 , im( Z ) = -4 d) Re( Z ) = -4,im( Z ) = 2 2 e) Re( Z ) = 2, im( Z ) = -3 f) Re( Z ) = -6, im( Z ) = -7 g) Re( Z ) = 0, im( Z ) = 3

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 14 Sanal Sayı ^ - 1 = i h Biriminin Kuvvetleri x, y ! R olmak üzere z1 = x - y - i ve z2 = 2x - 3y + 6i BİLGİ karmaşık sayıları veriliyor. i0 = 1 Re( z1 ) = im( z2 ) ve Re( z2 ) = im( z1 ) i1 = i olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz. i2 =-1 i3 = i2 · i =-i Re (Z ) = x - y im (Z ) = - 1 i4 = i2 · i2 = 1 i5 = i4 · i = i 1 1 i6 = 14 · i2 =-1 i7 = i4 · i3 =-i Re (Z2) = 2x - 3y im (Z2) = 6 i8 = i4 · i4 = 1 x - y = 6 x = 19 4 2x - 3y = - 1 y = 13 x + y = 19 + 13 = 32 bulunur. şeklinde bulunur. k bir tam sayı olmak üzere, i0 = i4 = i8 = ... = i4k = 1 ÖRNEK 15 i1 = i5 = i9 = ... = i4k + 1 = i i2 = i6 = i10 = ... = i4k+2 = -1 z = 5a2 - 6 - i · 52a + 4 karmaşık sayısı veriliyor. i3 = i7 = i11 = ... = i4k+3 = -i olur. im^ z h = - 25 Re^ z h olduğuna göre, a reel sayısının alabileceği değerle- ÖRNEK 17 ri bulunuz. i7 · ( i21 + i41 ) im^ Z h = - 52a + 4 , Re^ Z h = 5a2 - 6 işleminin sonucunu bulunuz. - 52a + 4 = - 25 & 5a2 - 4 = 52a + 4 i3 · (i + i) = -i · 2i 5a2 - 6 = -2i2 = 2 bulunur. & a2 - 4 = 2a + 4 & a2 - 2a - 8 = 0 & a = - 2 ve a = 4 bulunur. ÖRNEK 16 ÖRNEK 18 z = -4 + i z = i14 + i11 + 3i karmaşık sayısının reel kısmı m, sanal kısmı n oldu- karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- ğuna göre m-n ifadesinin değerini bulunuz. nuz. Re(Z) = -4 = m , İm(Z) = 1 = n z = i12 · i2 + i8 ·i3 + 3i z = -1 - i + 3i & z = -1 + 2i ^ - 4 h-1 = - 1 bulunur. Re(z) = -1 ve im(z) = 2 bulunur. 4 14. 32 15. {-2, 4} 16. - 1 23 17. 2 18. Re(z) = -1 ve im(Z) = 2 4

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 z = 6i - 2 · i7 + 5 · i5 Verilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz. karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- a) z1 = 3 + 4i nuz. z1 = 3 - 4i z = 6i - 2 · i4 · i3 + 5 · i4 · i z = 6i + 2i + 5i & z = 13i b) z2 = -4 + 2i Re(z) = 0 ve im(z) = 13 bulunur. z2 = - 4 - 2i ÖRNEK 20 c) z3 = -1 - 4i z = i2 + i5 + i8 + i11 + ... + i38 toplamının değerini bulunuz. z3 = - 1 + 4i z = 1-414+42i0+414-43i + f + 1i4264+4i42492+0 4i342 +4 4i4353 + i38 d) z4 = 2i z = i2 = - 1 bulunur. z4 = - 2i ÖRNEK 21 e) z5 = -16 z = i + i2 + i3 + i4 + ... + i23 + i24 z5 = - 16 karmaşık sayısının reel ve imajiner kısımlarını bulu- nuz. z = 1i4-4412-0 4i +4413 + f + 1i4214+4i42422+0 4i243 +44i4243 f) z6 = -^ 1 + 2i h z = 0 & Re (z) = im (z) = 0 bulunur. z6 = -(1 - 2i) = -1 + 2i z6 = - 1 - 2i Bir Karmaşık Sayının Eşleniği g) z7 = 1 - 3i 3 BİLGİ z7 = 1 + 3i a, b ! R olmak üzere, z = a + b · i karmaşık sayısı- 3 nın sanal kısmının işareti değiştirilerek oluşturulan a - b · i karmaşık sayısına a + b · i karmaşık sayısı- 24 22. a) z1 = 3 - 4i b) z2 = - 4 - 2i c) z3 = - 1 + 4i d) z4 = - 2i nın eşleniği denir ve z = a - b · i şeklinde gösterilir. 19. Re(z) = 0 im(z) = 13 20. -1 21. Re(z) = im(z) = 0 e) z5 = - 16 f) z6 = - 1 - 2i g) z7 = 1 + 3i 3

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF Karmaşık Düzlem ÖRNEK 24 BİLGİ Karmaşık düzlemde verilen karmaşık sayıları yazı- nız. Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktala- rı arasında bire bir ve örten bir eşleme yaparsak a) y b) y z = a + i · b karmaşık sayısı analitik düzlemde ( a, b ) noktasına karşılık gelir. x z2 -4 x Karmaşık sayılarla bire bir eşlenen düzleme kar- z1 -3 maşık düzlem denir. z1 = .............. z2 = .............. z = a + 0 · i karmaşık sayısı ( a, 0 ) noktasıyla eş- a) z1 = -3i b) z2 = -4 leştiğinden analitik düzlemdeki x eksenine karma- şık düzlemde reel (gerçek) eksen denir. ÖRNEK 25 z = 0 + b · i karmaşık sayısı ( 0, b ) noktasıyla eşleş- z = 2 - i tiğinden analitik düzlemdeki y eksenine karmaşık karmaşık sayısını düzlemde gösteriniz. düzlemde sanal (imajiner) eksen denir. Sanal (imajiner) eksen y b ( a, b ) = a + i · b a x Reel (gerçek) eksen y 2 -1 x z=2-i ÖRNEK 23 Karmaşık düzlemde verilen karmaşık sayıları yazı- nız. a) y b) y z2 3 ÖRNEK 26 2 z1 z = -2 + 4i karmaşık sayısı veriliyor. z karmaşık sayısını düzlemde gösteriniz. 4x –2 x z = - 2 - 4i z1 = .............. z2 = .............. y -2 x a) z1 = 4 + 2i b) z2 = -2 + 3i z -4 23. a) z1 = 4 + 2i b) z2 = -2 + 3i 25 24. a) Z1 = -3i b) Z2 = -4

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSvELERİNE YÖNELİK İki Karmaşık Sayının Eşitliği ÖRNEK 28 BİLGİ z1 = 2 + 4i ve z2 = i (a + b · i) olmak üzere, z1 = z2 olduğuna göre, a + b topla- z1, z2 ! C olmak üzere, mını bulunuz. z1 = x1 + i · y1 ve z2 = x2 + i · y2 olsun. z1 = z2 & x1 = x2 ve y1 = y2 dir. z1 = 2 + 4i z2 = -b + a · i Karmaşık Sayılarda Dört İşlem z1 = z2 & b = -2 ve a = 4 olur. BİLGİ a + b = 2 bulunur. z1, z2 1 C olmak üzere, ÖRNEK 29 z1 = x1 + i · y1 ve z2 = x2 + i · y2 , (z2 ! 0) olsun. • z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) z1 = 4 - i ve z2 = 2 + 2i • z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + i( y1 - y2 ) olmak üzere, verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz. • z1 · z2 = x1 · x2 - y1 · y2 + i( x1 · y2 + x2 · y1 ) • z1 = x1 · x2 + y1 · y2 + i^ x2 · y1 - x1 · y2 h a) z1 + z2 b) 3z1 - z2 z2 x22 + y22 a) z1 + z2 = 6 + i b) 3z1 - z2 = 10 - 5i NOT c) z12 d) z22 - 2z1 Karmaşık sayılarda bölme yapılırken pay ve c) ^ 4 - i h2 = 16 - 8i + i2 b) ^ 2 + 2i h2 - 2^ 4 - i h payda; paydada bulunan karmaşık sayının eş- = 15 - 8i = 4 + 8i + 4i2 - 8 + 2i leniği ile çarpılır. = - 8 + 10i • z = x + i · y olmak üzere, • z · z = ^ x + i · y h^ x - i · y h = x2 + y2 dir. ÖRNEK 27 f) ( z1 · z2)2 z1 = ( m + 1 ) + 3i ve z2 = 6 - t · i olmak üzere, z1 = z2 olduğuna göre, m · t çarpı- mını bulunuz. e) z1 · z2 + z1 + z2 m+1=6&m=5 a) ^ 4 - i h^ 2 + 2i h + 6 + i b) 6^ 4 - i h^ 2 + 2i h@2 3 = -t & t = -3 = 16 + 7i = ^ 10 + 6i h2 m · t = -15 bulunur. = 64 + 120i 27. -15 26 28. 2 29. a) 6 + i b) 10 - 5i c) 15 - 8i d) -8+10i e) 16 + 7i f) 64+ 120i

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK ÖRNEK 30 ÖRNEK 33 z1 = 8 + a · i ve z2 = 3 - 2i olmak üzere, z · ^ 2 + i h + 2 · ^ i - z h = 5 - 2i z1 · z2 = 28 - 10i olduğuna göre, z · z ifadesinin değerini bulunuz. olduğuna göre, a reel sayısını bulunuz. ^ x + i · y h^ 2 + i h + 2i - 2^ x - i · y h = 5 - 2i ( 8 + a · i ) ( 3 - 2i ) = 24 + 2a + ( 3a - 16 )i - y + ^ x + 2y + 2 + 2y hi = 5 - 2i 24 + 2a = 28 & a = 2 bulunur. y = - 5 ve x = 16 elde edilir. z = 16 - 5i ve z = 16 + 5i oldu€undan z · z = 162 + 52 = 281 bulunur. ÖRNEK 31 ÖRNEK 34 z = a + b · i karmaşık sayısı için z=c 4 - 2i 9 ( 2 + i ) · z = 1 - z 2 + 4i olduğuna göre, z karmaşık sayısını bulunuz. m olduğuna göre, z bulunuz. ^ 2 + i + 1 hz = 1 & z = 1 z=> 2^ 2 - i h 9 ^ 2 - i h^ 1 - 2i h 9 3+i 2^ 1 + 2i h 5 H =d n &z= 1· ^ 3 - i h &f 2 + 2i2 - i - 4i 9 10 5 p = ^ - i h9 = - i 3 1 = 10 - 10 ·i bulunur. z = - i & z = i bulunur. ÖRNEK 32 ÖRNEK 35 z = ( 3 - 2i )( 1 + i ) olduğuna göre, z=f 4 + 6i 9 Re( z-1 ) + im( z-1 ) 3 - 2i p toplamını bulunuz. olduğuna göre, z karmaşık sayısını bulunuz. Z = 5 + i & Z-1 = 1 = 1 = 5-i z=d 2^ 2 + 3i h^ 3 + 2i h 9 Z 5+i 26 13 n Re^ Z-1 h = 5 ve im^ Z h = - 1 oldu€undan =f 2·^ 6 + 6i2 + 4i + 9i h 9 26 26 13 p Re^ Z-1 h + im^ Z-1 h = 5 + -1 = 2 bulunur. z = ^ 2i h9 & Z = 29 · i 26 26 13 30. 2 31. 3 - 1 ·i 32. 2 27 33. 281 34. i 35. 29 · i 10 10 13

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr BİLGİ ÖRNEK 37 a, b, c ! R ve a ! 0 olmak üzere, x2 + kx + m = 0 (k, m ! R) denkleminin kökleri x1 ve x2 ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri olmak üzere, x1 = i - 2 dir. z1 = m + n · i , (m, n ! R) ise diğer kökü x2 + ax + b = 0 (a, b ! R) z1 = z2 = m - n · i olur. denkleminin kökleri x3 ve x4 olmak üzere, x3 = -x1 ÖRNEK 36 olduğuna göre, köşe koordinatları x1, x2, x3, x4 olan dörtgenin alanını bulunuz. a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 x1 =-2 + i & x2 = x1 =-2 - i denkleminin köklerinden biri x1 = 3 - i diğeri x2 ol- duğuna göre, aşağıda istenenleri bulunuz. x = - x = 2 - i & x = x3 = 2 + i a) x2 3 1 4 x2 = 3 + i bulunur. y x1 1 x4 2 –2 x x2 –1 x3 Alan(Dikdörtgen) = 4 · 2 = 8 bulunur. b) x1 + x2 ( 3 - i ) + ( 3 + i ) = 6 bulunur. c) x1 · x2 ÖRNEK 38 ( 3 - i ) ( 3 + i ) = 32 - i2 = 10 bulunur. x2 - 2x + 4 = 0 denklemi ile ilgili I. İki farklı sanal kökü vardır. II. Sanal köklerinden biri 1 - 3 ·i dir. III. Kökleri birbirinin eşleneğidir. ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. D = 4 - 4 · 4 = - 12 1 0 olduğundan doğru d) x1 II. x1,2 = 2 \" 12i2 & x1,2 = 1 \" 3 i olduğundan doğru x2 2 III. x = x2 olduğundan doğru bulunur. 1 3-i = ^ 3 - i h2 3+i 10 = 8 - 6i = 4 - 3 i bulunur. 10 5 5 36. a) 3 + i b) 6 c) 10 d) 4 - 3 i 28 37. 8 38. I, II, III 5 5

BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ TEST - 8 1. x2 - 2x + 6 = 0 4. x2 + 8x + k = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin köklerinden biri 1 - i olduğuna gö- hangisidir? re, k sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) \" 1 - 5 i, 1 + 5 i , B) \" 1 - i, 1 + i , C) \" 5 - 5 i, 5 + 5 i , D) \" 5 - 5 i, 5 + 5 i , A) -8 + 10i B) 10i C) 10 - 8i E) \" 5 - i, 5 + i , D) 8 - 10i E) 4i 2. x2 - 6x + a - 4 + i = 0 5. x2 - 4i · x - 3 = 0 denkleminin köklerinden biri ( 3 - i ) olduğuna denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden göre, a sayısının değeri aşağıdakilerden hangi- hangisidir? sidir? A) \" i, - 3i , B) \" - i, 3i , C) \" i, 3i , A) 1- 14i B) -8 - 14i C) 14 - i D) \" - 3i, 3i , E) \" - i, - 3i , D) 14 - 8i E) 14i 3. Karmaşık sayılarda tanımlı 6. x2 + 4x + m + 2 = 0 gf^^ x h = x - i denkleminin köklerinden biri -2 + i olduğuna x h = x i göre, m sayısı aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonları veriliyor. A) -3 B) -1 C) 1 D) 3 E) 4 Buna göre, ( fog ) ( 1 - i ) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 - 2i B) 1 + 2i C) 2i D) -1 E) 1 1. A 2. C 3. E 29 4. A 5. C 6. D

TEST - 9 BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ 1. z = 5 - 3i + i ( 4i - 2 ) 4. ( 1 + i )6 · ( 1 - i )6 karmaşık sayısı veriliyor. çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, Re( z ) + İm( z ) toplamı aşağıdakiler- A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 den hangisidir? A) -5 B) -4 C) -2 D) 4 E) 5 2. z = i18 + i6 + i2 5. n bir tam sayı olmak üzere, karmaşık sayısı veriliyor. i2n - 3 · i3n - 1 i5n - 2 Buna göre, Re( z ) · İ m( z ) çarpımı aşağıdakiler- den hangisidir? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 A) -1 B) -i C) 1 D) i E) 1 + i 3. z = 8 - 4i ( 2 - i ) 6. ^ i3 - 1 h^ 2 + ‹ h 1+i karmaşık sayısı veriliyor. ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, ‹m^ z h oranı aşağıdakilerden han- A) -2 - i B) 2 + i C) -i Re^ z h D) -2i E) 2 gisidir? A) -2 B) -1 C) 1 D) 1 E) 1 24 1. B 2. C 3. A 30 4. D 5. A 6. A

BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ TEST - 10 1. z1 = 3 - 4a · i 4. m bir reel sayı olmak üzere, z2 = b + 1 + 2 · i z = 2m + 1 + ( m - 4 ) · i karmaşık sayıları veriliyor. karmaşık sayısı karmaşık düzlemin IV. bölge- z1 = z2 olduğuna göre, ( a, b ) sıralı ikilisi aşağı- sinde olduğuna göre, m nin alabileceği tam sa- dakilerden hangisidir? yı değerlerinin toplamı kaçtır? A) ( -1, 4 ) B) ( -4, 2 ) C) c - 1 ,2 m A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15 2 D) ( 1, -4 ) E) ( 2, -2 ) 2. z1 = 4i - k + 3 5. y Karmaşık düzlemde z1 3 ve z2 karmaşık sayıları z2 = ( m + 1 ) · i Z1 karmaşık sayıları veriliyor. verilmiştir. –1 x –4 z1 = z2 olduğuna göre, m + k toplamı aşağıda- Z2 –5 kilerden hangisidir? Buna göre, İm( z1 ) - Re( z2 ) ifadesinin değeri A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 3 C) 1 D) -3 E) -4 3. Aşağıda verilen karmaşık sayılardan hangisi 6. z = 25 - - 16 karmaşık düzlemin IV. bölgesindedir? karmaşık sayısı veriliyor. A) 2 + i B) -5 C) -2 + i Buna göre, Re( z ) + İm( z ) toplamı aşağıdakiler- den hangisidir? D) 2 - i E) -3 -3i A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 10 1. C 2. C 3. D 31 4. B 5. A 6. A

TEST - 11 BİR KARMAŞIN SAYININ a + ib BİÇİMİNDE İFADE EDİLMESİ FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK 1. 6^ 1 - 2i h·i - 2i^ 1 + i h@·^ 4 + i h 4. z = a + b · i karmaşık sayısı veriliyor. 17 ( z + 1 )( 1 - i ) = z + 3i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakiler- den hangisidir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 A) -4 + i B) -4 - i C) 4 - i D) -2 + i E) -2 - i 2. i5 + i10 + i15 + f + i95 5. z1 = 4 - 2i ve z2 = 1 + i i - i4 + i7 - i10 + f - i136 karmaşık sayıları veriliyor. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) -1 + i B) 1 + i C) 1 + i Buna göre, f z1 p karmaşık sayısı aşağıdakiler- 2 z2 D) 1 - i E) -i den hangisidir? 2 A) -1 + 3i B) -1 - 3i C) 1 + 3i D) 3 - i E) i - 3 3. ( 1 + i )13 6. z = a + b i karmaşık sayısı veriliyor. ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 + 3i - z = 2i · z A) -64 + 64i B) 64 - 64i olduğuna göre, Re( z ) - İm( z ) değeri aşağıdaki- lerden hangisidir? C) 64i D) -64 - 64i E) -64 A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 1. E 2. B 3. D 32 4. B 5. D 6. C

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ İlişkili Kazanımlar 10.4.1.4 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile katsayılar arasındaki ilişkiyi açıklar. BİLGİ ÖRNEK 1 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 2x2 - 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri, denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x1 + x2 ve x1 · x2 değerlerini bulunuz. x1 = -b + D ve x2 = -b - D olduğundan 2a 2a • x1 + x2 = -b + D + -b - D x1 + x2 =- b = 4 =2 2a 2a a 2 x ·x 2 = c = 1 bulunur. a 2 1 = -b+ D -b- D 2a = - 2b = - b bulunur. ÖRNEK 2 2a a x2 + ax + b = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. • x1·x2 = f -b + D p·f -b - D p x1 + x2 = 8 ve x1 · x2 = 3 2a 2a olduğuna göre, a + b toplamını bulunuz. ^ - b + D h^ - b - D h x1 + x2 = -a = 8 & a = -8 = x1 · x2 = b = 3 a + b = -8 + 3 = -5 bulunur. 4a2 = b2 - D 4a2 b2 - (b2 - 4ac) (D = b2 - 4ac) = 4a2 4ac ÖRNEK 3 = 3x2 - 2x - 4 = 0 4a2 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. = c bulunur. Buna göre, ( 2x1 - 3 ) · ( 2x2 - 3 ) çarpımının değe- a rini bulunuz. • O hâlde a ! 0, a, b, c R olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise ( 2x1 - 3 ) ( 2x2 - 3 ) = 4x1·x2 - 6 ( x1 + x2 ) + 9 b c = 4· -4 -6· 2 +9 a a 3 3 x1 + x2 =- ve x1 · x2 = olur. 16 12 27 1 bulunur. =- 3 - 3 + 3 =- 3 33 1. 2, 1 2. -5 3. - 1 2 3

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 2x2 - x - 3 = 0 3x2 - 7x - 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x12 · x23 + x13 · x22 toplamının değeri- Buna göre, 1 + 1 toplamının değerini bulunuz. ni bulunuz. x1 x2 1 1 x + x x x x2 x3 x3 x2 x2 x2 + = 1 2 1 · 2 + 1 · 2 = 1 · 2 ^ x + x h x ·x 12 12 1 2 3 1 7 2 2 x · x = - ve x + x = oldu€undan & 3 = -7 bulunur. -5 5 1 2 1 2 ^ x1 · x2 h2 · ^ x1 + x2 h = 9 · 1 = 9 bulunur. 3 4 2 8 ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 x2 - 2mx + m + 1 = 0 x2 - 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri farkının mutlak değeri kaçtır? denkleminin köklerinden biri -2 olduğuna göre, di- ğer kökü kaçtır? ^ x1 - x2 h2 = ^ x1 + x2 h2 - 4x1 · x2 & 62 - 4 · 4 = 20 - 2 + x = 2m ve - 2 · x = m + 1 oldu€undan ^ x1 - x2 h2 = 20 & x1 - x2 = 2 5 bulunur. 1 1 - 2 · ^ 2m + 2 h = m + 1 & 5m = - 5 & m =-1 x1 + x2 = x1 - 2 = 2m & x1 = 0 bulunur. ÖRNEK 6 HATIRLATMA 2x2 + mx + 2m = 0 a ve b sayılarının, Aritmetik ortalaması : a + b dir. denkleminin kökler toplamı -3 olduğuna göre, kök- 2 ler çarpımını bulunuz. Geometrik ortalaması : a · b dir. x1 + x2 =- m =-3 & m = 6 2 a ile b sayılarının aritmetik ortalaması geomet- rik ortalamasına eşit ise a = b dir. x1 · x2 = 2m =m=6 bulunur. 2 4. 9 5. 0 6. 6 34 7. -7 8. 2 5 8 5

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 9 ÖRNEK 12 x2 - kx + k - 3 = 0 2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 12 oldu- denkleminin kökleri arasında 2x1 - x2 = 4 bağıntısı ğuna göre, geometrik ortalaması kaçtır? olduğuna göre, m sayısını bulunuz. x1 + x2 = 12 & x + x = 24 x1 + x2 = 2 4 & x1 = 2 ve x2 = 0 elde edilir. 2 1 2 2x - x = 4 & k = 24 1 2 x ·x = k-3 x1 · x2 = m-3 2 12 & 24 - 3 = 21 bulunur. &0= m-3 & m = 3 bulunur. 2 ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 x2 - ( 2m - 1 ) x + 2m = 0 a ! 2 olmak üzere, ( a - 2 )x2 - ( a - 1 ) x + 1 = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalaması 2 oldu- denkleminin kökleri arasında x2 = 1 bağın- ğuna göre, aritmetik ortalaması kaçtır? x1 5x1 - 1 x · x = 2 & 2m = 4 tısı olduğuna göre, a sayısını bulunuz. 1 2 &m=2 x1 + x2 = 2m - 1 x2 = 1 & 5 · x · x = x1 + x2 2 2 x1 5x1 - 1 1 2 = 3 bulunur. & 5· 1 = a-1 2 a-2 a-2 & a = 6 bulunur. ÖRNEK 11 ÖRNEK 14 mx2 - ( 3m - 1 )x - 2 = 0 x2 - 8x + k = 0 denkleminin kökleri arasında x1 = -x2 bağıntısı ol- denkleminin kökleri arasında 2x1 + x2 = 15 bağıntısı duğuna göre, x1 · x2 çarpımı kaçtır? olduğuna göre, x1 · x2 çarpımını bulunuz. x1 =-x2 & x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 8 4 & x1 = 7 , x2 = 1 2x + x = 15 & 3m - 1 =0 , m= 1 m 3 1 2 x · x = -2 & -2 =-6 bulunur. x1 · x2 = 7 bulunur. m 1 1 2 3 9. 21 10. 3 11. -6 35 12. 3 13. 6 14. 7 2

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 15 ÖRNEK 17 x2 - ( x1 - 2 ) x + 4x2 = 0 x2 - ( m2 - m - 6 ) x - m - 1 = 0 denkleminin sıfırdan farklı kökleri x1 ve x2 olduğuna denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, m göre, x1 + x2 ve x1 · x2 değerlerini bulunuz. nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? x1 + x2 = x1 - 2 & x2 = -2 x1 + x2 = m2 - m - 6 = 0 x1 · x2 = 4x2 & x1 = 4 & ( m - 3 ) ( m + 2 ) = 0 x1 + x2 = 4 - 2 = 2 ve x1 · x2 = (-2) · 4 = -8 bulunur. & m = 3 ve m = -2 bulunur. x2 - 4 = 0 ve x2 + 1 = 0 olduğundan m = 3 değerini alabilir. ÖRNEK 16 ÖRNEK 18 x2 + ( 2k - 1 ) x + 27 = 0 3x2 - ( 2k + 3 )x + 6 = 0 denkleminin kökleri arasında x1 = x22 bağıtısı oldu- ğuna göre, k sayısını bulunuz. denkleminin birbirinden farklı kökleri sayı doğrusu üzerinde -2 ye eşit uzaklıkta olduğuna göre, k sayı- sını bulunuz. x1 · x2 = x23 = 27 & x2 = 3, x1 = 9 x1 + x2 2 x1 + x2 = 12 & -( 2k - 1 ) = 12 =-2 & x1 + x2 =-4 k= - 11 bulunur. x1 + x2 = 2k + 3 =-4 2 3 &k= - 15 bulunur. 2 BİLGİ ÖRNEK 19 a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, kx2 - ( 3k - 1 )x - 2 = 0 ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri arasında denkleminin simetrik iki kökünün olması için k sayı- x1 = -x2 bağıntısı varsa bu köklere simetrik kök- sının değeri kaç olmalıdır? ler denir. x1 + x2 = 0 olduğundan -b = 0 olur. Buradan x 1 + x = 3k - 1 =0 a k 2 b = 0 olduğu görülür. &k= 1 bulunur. 3 x1 ve x2 ters işaretli olacağından x1 · x2 = c 10 a dır. 15. {2 ve -8} 16. - 11 36 17. 3 18. - 15 19. 1 2 2 3

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 20 ÖRNEK 23 ( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + ... + ( 2x + 1 ) = 42 m! 1 olmak üzere, ( 3m - 1 )x2 - ( m + 2 )x + m - 1 = 0 3 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımını bu- lunuz. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 + x2 = 2 · x1 · x2 olduğuna göre, m reel sayısını bulunuz. ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + f + ( x + x + 1) = 42 (1 den x + 1 e kadar x + 1 terim vardır.) m+2 m-1 3m - 1 3m - 1 x · ( x + 1 ) + ( x + 1) · ( x + 2 ) = 42 x1 + x2 & 2 · x1 · x2 & = 2· 2 m + 2 = 2m - 2 & m = 4 bulunur. ( x + 1) ·< x + x+2 F = 42 & ( x + 1) · ( 3x + 2 ) = 84 2 3x2 + 5x - 82 = 0 & x + x = - 5 3 1 2 x 1 · x = - 82 bulunur. 3 2 ÖRNEK 21 ÖRNEK 24 x2 - 8x + 9 = 0 x2 - ( 3k - 1 )x + k + 3 = 0 denkleminin köklerinin 3 er fazlasının toplamı 14 ol- denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1 + x2 duğuna göre, k reel sayısını bulunuz. toplamının değerini bulunuz. x1 + 3 + x2 + 3 = 14 & x1 + x2 = 8 a x + x 2 = x + x + 2 · x ·x x1 + x2 = 3k - 1 = 8 & k = 3 bulunur. 1 2 k 1 2 12 = 8 + 2 · 9 = 14 x1 + x2 = 14 bulunur. ÖRNEK 22 ÖRNEK 25 x2 - 5x + 3 = 0 x2 - kx + t = 0 denkleminin bir kökü 1 , x2 - mx + n = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, ( x12 + x22 ) denkleminin bir kökü 2 dir. ve ( x13 + x23 ) toplamlarını bulunuz. Bu iki denklemin diğer kökleri ortak olduğuna göre, Özdeşliklerden yararlanarak, m - k değerini bulunuz. x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1 · x2 = 25 - 6 = 19 x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 - 3x1 · x2 ( x1 + x2 ) = 125 - 3 · 3 · 5 = 80 - x1 + 1 = k b_b & m - k = 1 bulunur. bulunur. ` x + 2 = m bb a 1 20. ( - 5 ve - 82 2 21. 14 22. {19 ve 80} 37 23. 4 24. 3 25. 1 3

TEST - 12 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ 1. x2 + 2 · ( m - 4 ) x + n + 2 = 0 4. y2 - 3y + k = 0 denkleminin kökleri toplamı 4, kökleri çarpımı denkleminin kökleri y1 ve y2 dir. -12 olduğuna göre, m · n çarpımı kaçtır? y12 + y22 = 5 A) -28 B) -20 C) 20 D) 28 E) 40 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3 2 2 2. 2x2 - ( m + 2 ) x + 3m - 1 = 0 5. x2 - kx - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 1 + 1 = 4 x12 · x2 + x22 · x1 = 6 x1 x2 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? olduğuna göre, 11 · m sayısı kaçtır? A) -6 B) -5 C) 4 D) 5 E) 6 A) -4 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4 3. y2 - ( 2t - 5 ) y + t2 = 0 6. a ! 2 olmak üzere, denkleminin kökleri y1 ve y2 dir. ( 2 - a )x2 + 5ax + 7 = 0 Köklerin aritmetik ortalaması geometrik ortala- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. masına eşit olduğuna göre, t sayısı kaçtır? x1 + x2 = 3 A) 5 B) 4 C) - 4 45 5 olduğuna göre, x12 + x22 toplamı kaçtır? D) -1 E) - 5 A) 31 B) 33 C) 7 4 55 D) 49 E) 59 55 1. A 2. E 3. A 38 4. C 5. B 6. A

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ TEST - 13 1. a2 + 5a + m - 2 = 0 4. x2 + ( t - 1 ) x + 8 = 0 denkleminin kökleri a1 ve a2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. a22 + a1 · a2 = 5 Kökler arasında x1 = x22 bağıntısı olduğuna olduğuna göre, m sayısı kaçtır? göre, t sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 A) -5 B) -4 C) -3 D) 5 E) 6 2. x2 + t · x - 8 = 0 5. 3x2 - 6x + m - 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ( 2x1 + 1 ) · ( 2x2 + 1 ) = -19 Kökler arasında 3x1 - x2 = 6 bağıntısı olduğuna olduğuna göre, t sayısı kaçtır? göre, m sayısı kaçtır? A) -20 B) -10 C) -6 D) 6 E) 20 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. x2 - ( m + 4 )x + 5m - 2 = 0 6. x2 - ( a + b )x + 2a + b = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökler arasında, 6x 1 = x1 - 6 x2 x1 + x2 = 9 ve 1+1= 9 olduğuna göre, m sayısı kaçtır? x1 x2 10 A) 26 B) 12 C) -18 D) -24 E) -26 bağıntıları olduğuna göre, b sayısı kaçtır? A) -8 B) -1 C) 1 D) 8 E) 10 1. A 2. C 3. E 39 4. A 5. B 6. D

TEST - 14 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ 1. x2 - 4x + m = 0 4. 2x2 - 6x - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökler arasında x1 · x2 + x1 + x2 = 7 bağıntısı ol- Buna göre, duğuna göre, m sayısı kaçtır? x12·f 1 + x2 p + x22f 1 x1 x2 A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4 + x1 p ifadesinin değeri kaçtır? A) - 3 B) - 1 C) 2 D) 4 E) 9 22 2. x2 - 12x + 8 = 0 5. a ve b birer reel sayı olmak üzere, denkleminin kökleri a ve b dir. x2 - ax + b = 0 Buna göre, 1+ 12 ifadesinin değeri denkleminin bir kökü 2 + i olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? a+ 9 a+ 1 A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 9 b kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 3. x2 + ( x1 + 6 ) x - 4x2 = 0 6. Kökleri a + 10 ve a - 1 olan ikinci dereceden denk- denkleminin kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 reel sa- lemin baş katsayısı 1 dir. yılarıdır. Buna göre, bu denklemin diskriminantı aşağı- Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır? dakilerden hangisidir? A) 81 B) 100 C) 121 D) 144 E) 169 A) -4 B) -2 C) 1 D) 2 E) 4 1. D 2. D 3. D 40 4. A 5. E 6. C

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME İlişkili Kazanımlar 10.4.1.4 : İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanılarak işlemler yapar. BİLGİ ÖRNEK 27 • a ! 0 ve a, b, c ! R olmak üzere, x2 - 5x + 1 = 0 a x2 + bx + c = 0 denkleminde eşitliğin her iki ta- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2x1 ve 2x2 olan ikinci dereceden denklemi rafı a ile bölünürse x2 + b x + c = 0 olur. yazınız. aa • b =-^ x1 + x2 h ve c = x1 · x2 a a değerler bu denklemde yerine yazılırsa T = 2x1 + 2x2 = 2( x1 + x2 ) = 10 Ç = 2x1 · 2x2 = 4 · x1 · x2 = 4 x2 - ^ x1 + x2 hx + x1 · x2 = 0 bulunur. x2 - 10x + 4 = 0 bulunur. • Buradan kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x2 - ^ x1 + x2 hx + x1 · x2 = 0 ÖRNEK 28 biçiminde oluşturulur. Kökleri x2 - 7x + 13 = 0 denkleminin köklerinden • T = x1 + x2 ve Ç = x1 · x2 olmak üzere ikişer fazla olan ikinci dereceden denklemi yazınız. x2 - TX + Ç = 0 biçiminde ifade edebiliriz. ÖRNEK 26 T = x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + 4 = 11 Çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden denklem- Ç = ( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) = x1 · x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4= 31 leri yazınız. x2 - Tx + Ç = 0 & x2 - 11x + 31 = 0 bulunur. a) { -2, 3 } ÖRNEK 29 x1 + x2 = 1 4 & x2 - x - 6 = 0 bulunur. x2 + 4x + 2 = 0 x · x = - 6 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri x1 + 1 ve x2 + 1 olan ikinci dereceden 1 2 x2 x1 b) '- 1 , 2 1 denklemi yazınız. 2 3 x1 + x2 =- 1 + 2 = 1 _b x1 + 1 x + 1 x2 + x 2 + x + x 2 3 6 x 2 b x 1 T= + 2 = 1 1 2 ` 6 3 & x2 - - x x ·x 1 2 1 21 12 2 3 3 bb x1 · x2 =- · =- (x 2 + x 2 = (x1 + x2) 2 - 2x1 · x2) 1 2 a 6x2 - x - 2 = 0 bulunur. (- 4) 2 - 2 · 2 + (- 4) 8 T= 2 = 2 =4 c) { 3 } x1 + 1 x2 + 1 x1 · x2 + x1 + x2 + 1 x2 x1 x1 · x2 Ç= · = x1 + x2 = 6 4 & x2 - 6x + 9 = 0 = 2-4+1 =- 1 x1 · x2 = 9 2 2 & ^ x - 3 h2 = 0 bulunur. x2 - 4x - 1 = 0 & 2x2 - 8x - 1 = 0 bulunur. 2 26. a) x2 - x - 6 = 0 b) 6x2 - x - 2 = 0 c) (x - 3)2 = 0 41 27. x2 - 10x + 4 = 0 28. x2 - 11x + 31 = 0 29. 2x2 - 8x - 1 = 0

10. SINIF 4. MODÜL İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 30 ÖRNEK 33 Kökleri x2 - 4x + 1 = 0 denkleminin köklerinden 3 er İkinci dereceden bir denklemin kökleri arasında eksik olan ikinci dereceden denklemi yazınız. 2x1( 1 - x2 ) + x2( 2 + x1 ) = 4 T = x1 - 3 + x2 - 3 = x1 + x2 - 6 = -2 x2( 2 - x1 ) + 2x1( 1 + x2 ) = 8 Ç = ( x1 - 3 ) · ( x2 - 3 ) = x1 · x2 - 3( x1 + x2 ) + 9 = -2 bağıntıları bulunduğuna göre, bu denklemi yazınız. x2 + 2x - 2 = 0 bulunur. 2x1 - 2x1 · x2 + 2x2 + x1 · x2 = 4 ÖRNEK 31 + 2x - x · x + 2x + 2x · x = 8 x2 + 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 2 1 2 1 1 2 Kökleri 3x1 + 2 ve 3x2 + 2 olan ikinci dereceden denklemi yazınız. 4^ x1 + x2 h = 12 & x1 + x2 = 3 T = 3x1 +2 + 3x2 + 2 = 3( x1 + x2 ) + 4 = -5 x1 ·x2 = 2 değerleri x2 - Tx + Ç = 0 Ç = ( 3x1 + 2 ) ( 3x2 + 2 ) = 9x1 · x2 + 6( x1 + x2 ) + 4 = -32 x2 + 5x - 32 = 0 bulunur. denkleminde yerine yazılırsa istenen denklem x2 - 3x + 2 = 0 bulunur. BİLGİ a ! 0 ve a, b, c ! Q olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin m, n ! R için bir kö- kü m + n ise diğer kökü m - n dir. ÖRNEK 34 Köklerinden biri 3 - 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. x = 3 - 2 & x = 3 + 2 1 2 x1 + x2 = 6 x · x = ^ 3 - 2 h^ 3 + 2h=9-2=7 ÖRNEK 32 1 2 3x2 - 4x - 1 = 0 x2 - 6x + 7 = 0 bulunur. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ÖRNEK 35 Kökleri 3 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi Köklerinden biri 3 - 1 olan rasyonel katsayılı ikinci x1 x2 dereceden denklemi yazınız. yazınız. T= 3 + 3 = 3^ x1 + x2 h = - 12 x1 =-1 + 3 , x2 =-1 - 3 x1 x2 x1 · x2 T = x1 + x2 =-2 Ç = x1 · x2 = 1 - 3 =-2 Ç= 3 · 3 = 9 = - 27 x2 + 2x - 2 = 0 bulunur. x1 x2 x1 · x2 x2 + 12x - 27 = 0 bulunur. 30. x2 + 2x - 2 = 0 31. x2 + 5x - 32 = 0 32. x2 + 12x - 27 = 0 42 33. x2 - 3x + 2 = 0 34. x2 - 6x + 7 = 0 35. x2 + 2x - 2 = 0

www.aydinyayinlari.com.tr İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 4. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 36 ÖRNEK 39 Köklerinden biri 1 - 2 ve baş katsayısı 2 olan ras- Köklerinden biri x1 = i - 3 olan reel katsayılı ikinci yonel katsayılı ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden dereceden denklemi yazınız. denkleminde a + b + c toplamını bulunuz. x1 = -3 + i , x2 = -3 - i x = 1 - 2 , x = 1 + 2 x1 + x2 = -6 x1 · x2 = ( -3 + i ) · ( -3 - i ) = 10 1 2 x2 + 6x + 10 = 0 bulunur. 2x2 + bx + c = 0 & x1 + x2 = - b & 2 =- b , b =-4 2 2 x1 · x2 = c &-1 = c , c =-2 2 2 a + b + c = 2 - 4 - 2 = - 4 bulunur. ÖRNEK 37 ÖRNEK 40 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin kök- x2 - 4x - c = 0 leri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri x1 = 3 - 1 x1 = 2 - i olduğuna göre, c sayısını bulunuz. olduğuna göre, x12+ x22 toplamının değerini bulu- nuz. x1 = 2 - i , x2 = 2 + i x1 · x2 = -c & ( 2 - i ) · ( 2 + i ) = -c x1 =-1 + 3 , x2 - 1 - 3 c = -5 bulunur. x1 + x2 = - 2 4 & x 2 + x 22 = ^ x1 + x2 h2 - 2x1 · x2 x1 · x2 = - 2 1 olduğundan x12 + x22 = 4 - 2 · (-2) = 8 bulunur. ÖRNEK 38 ÖRNEK 41 x2 + mx + 4 = 0 ikinci dereceden denkleminin kökle- x2 + ax + 2 = 0 ri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminde a bir reel sayı olmak m bir reel sayı olmak üzere, üzere, köklerinden biri x1 = i + 1 olduğuna göre, a sayısını bulunuz. x1 x2 + x2 x1 = 8 olduğuna göre, m sayısını bulunuz. x1 = 1 + i , x2 = 1- i x1 + x2 = -a & 2 = -a x x + x 2 x = x 1 ·x · a x1 + x k = 8 a = -2 bulunur. 1 2 1 2 2 x1 · x2 = 4 & 2 · a x1 + x2 k = 8 & x1 + x2 = 4 a x1 + x2 2 = 16 & x1 + x2 + 2 x1·x2 = 16 k & - m + 4 = 16 & m = - 12 bulunur. 36. -4 37. 8 38. -12 43 39. x2 + 6x + 10 = 0 40. -5 41. -2

TEST - 15 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME 1. Köklerinden biri 3 - 2 olan ikinci dereceden 4. x2 - 8x - 5 = 0 rasyonel katsayılı denklem aşağıdakilerden ikinci dereceden denkleminin kökleri hangisidir? x2 - 2ax - b + 3 = 0 A) x2 + 6x + 7 = 0 B) x2 - 6x + 7 = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden üçer eksik olduğuna göre, a - b farkı kaçtır? C) x2 - 7x - 6 = 0 D) x2 - 7x + 6 = 0 A) -32 B) -18 C) 18 D) 25 E) 32 E) x2 - 6x - 7 = 0 2. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denkle- 5. a ve b kökleri arasında min kökleri arasında, 3a · b + 2 · a + 2 · b = 13 16 - x1 · x2 - 4x1 = 4x2 a · b - a - b = 1 x1 + x1 · x2 - 6 + x2 = 0 bağıntıları olduğuna göre, bu denklem aşağıda- bağıntıları bulunan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? kilerden hangisidir? A) 3x2 - 10x + 8 = 0 B) 3x2 + 10x + 8 = 0 A) x2 - 2x - 3 = 0 B) x2 + 2x + 3 = 0 C) 3x2 + 10x - 8 = 0 D) 3x2 - 10x - 8 = 0 E) x2 - 10x + 8 = 0 C) x2 - 2x + 3 = 0 D) x2 - 3x - 2 = 0 E) x2 - 3x + 2 = 0 3. x2 - 5x - 6 = 0 6. 2x2 - 3x - 4 = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ikinci dereceden denkleminin her bir kökünün iki katının bir eksiğini kök kabul eden ikinci de- Kökleri x1 - 3 ve x2 - 3 receden denklem aşağıdakilerden hangisidir? x2 x1 A) x2 - x - 10 = 0 B) x2 - x - 8 = 0 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? C) x2 - 2x - 5 = 0 D) x2 - 2x - 6 = 0 A) x2 - 8x - 9 = 0 B) x2 - 15x - 9 = 0 E) x2 + 5x - 4 = 0 C) 2x2 - 15x - 27 = 0 D) 2x2 + 15x - 27 = 0 E) 2x2 + 15x + 27 = 0 1. B 2. A 3. C 44 4. E 5. C 6. A

KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME TEST - 16 1. Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan iki sayıdan bi- 4. Kökleri 2 ve -5 olan ikinci dereceden denklem ri aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 - 3x - 10 = 0 B) x2 - 3x + 10 = 0 A) 1 + i B) 2 + 2i C) -2 - i C) x2 + 3x - 10 = 0 D) x2 + 3x + 10 = 0 E) x2 - 3x - 3 = 0 D) 1 + 2i E) 2 - i 2. x2 - 3x + 1 = 0 5. x ! - 1 olmak üzere, denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x3 · y2 - x2 · y + x · y + y2 - y = 12 Kökleri 2x1 - 1 ve 2x2 - 1 olan ikinci dereceden denklemini sağlayan y reel sayılarının toplamı denklem aşağıdakilerden hangisidir? kaçtır? A) x2 + 3x - 3 = 0 B) x2 + 7x - 2 = 0 A) x + 1 B) 1 C) x x+1 x+1 C) x2 + 2x - 3 = 0 D) x2 - 4x - 1 = 0 D) x - 1 E) 2 E) x2 + 5x - 10 = 0 x+1 x+1 3. Aritmetik ortalaması 6, geometrik ortalaması 6. x2 - 2x - 1 = 0 15 olan iki sayıyı kök kabul eden ikinci dere- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Kökleri 2 ve 2 olan ikinci dereceden denk- A) x2 - 6x + 15 = 0 B) x2 - 6x + 15 = 0 x1 x2 C) x2 - 12x + 15 = 0 D) x2 - 12x + 15 = 0 lem aşağıdakilerden hangisidir? E) x2 + 12x + 15 = 0 A) x2 - 4 = 0 B) x2 + 4x + 4 =0 C) x2 - 4x + 4 = 0 D) x2 + 4x - 4 = 0 E) x2 - 4x - 4 = 0 1. E 2. D 3. D 45 4. C 5. B 6. D

TEST - 17 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİ ELDE ETME 1. Köklerinden biri 2 2 - 1 olan rasyonel katsayılı 4. 4x2 - x - 2 = 0 ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden han- denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. gisidir? Kökleri x12 ve x22 olan ikinci dereceden denk- A) x2 + 2x - 7 = 0 B) x2 - 2x - 7 = 0 lem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 - 17x + 1 = 0 B) x2 - 17x + 16 = 0 C) x2 + 2x + 7 = 0 D) x2 + 2x - 5 = 0 C) 4x2 - 17x + 16 = 0 D) 16x2 - 17x + 4 = 0 E) 16x2 - 17x + 1 = 0 E) x2 + 2x - 9 = 0 2. 9x - 5 · 3x + 36 = 0 5. Köklerinden biri 1 - i olan ikinci dereceden reel denkleminde x in alabileceği değerler toplamının katsayılı denklem aşağıdakilerden hangisidir? bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 2 = 0 B) x2 - 2x + 2 = 0 A) ( 3, 4 ) B) ( 3, 5 ) C) ( 4, 6 ) C) x2 + 2x + 1 = 0 D) x2 - 2x - 1 = 0 D) ( 2, 3 ) E) ( 1, 2 ) E) x2 - x + 2 = 0 3. x2 + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 5, 6. 4x2 + mx + n = 0 x2 + r x + 5 = 0 denkleminin bir kökü -4 tür. rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 2 + 3 olduğuna göre, m - n Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna farkı kaçtır? göre, m - r farkı kaçtır? A) -20 B) -17 C) -12 D) 12 E) 20 A) -13 B) -10 C) -9 D) 8 E) 10 1. A 2. A 3. C 46 4. D 5. B 6. A

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KARMA TEST - 1 1. x2 - ( 3a - 1 ) x - a + 8 = 0 4. x2 - 13x - 30 = 0 ikinci dereceden denkleminin bir kökü -2 oldu- ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesi ğuna göre, a sayısı kaçtır? aşağıdakilerden hangisidir? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 A) { -10, -3 } B) { -3, 10 } C) { -10, 3 } D) { -2, 15 } E) { -15, 2 } 2. x2m + 1 - ( 2m + 1 )x - 6x + 12 = 0 5. 5x2 + ( m + 3 ) x + m - 17 = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- ikinci dereceden denkleminin simetrik iki reel lem olduğuna göre, köklerinden biri aşağıdaki- kökü olduğuna göre, bu denklemin kökler çar- lerden hangisidir? pımı kaçtır? A) -5 B) -3 C) 1 D) 2 E) 4 A) -4 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2 3. x3 - 9x = 0 6. xm - 3 - mx - 4 = 0 x2 - 4x + 3 ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x13 + x23 toplamı kaçtır? denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 125 B) 137 C) 140 D) 145 E) 185 A) -9 B) -3 C) 0 D) 3 E) 9 1. A 2. D 3. B 47 4. D 5. A 6. E

KARMA TEST - 2 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 1. i = - 1 olmak üzere, 4. 2x2 - mx + 2m + 1 = 0 x2 + 2ix + 15 ikinci dereceden denkleminin kökleri arasın- x2 + 25 da m ye bağlı olmayan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? kesrinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden han- A) 4x1 + 4x2 + 1 = 2x1 · x2 gisidir? B) x1 + x2 + 4 = 2x1 · x2 C) 4x1 + 4x2 = x1 · x2 A) x + 3i B) x - 3i D) 4x1 + 4x2 - 2 = 3x1 · x2 x + 5i x - 5i E) 4x1 + 4x2 - 1 = 2 · x1 · x2 C) x + 5i D) x - 2i x - 5i x + 5i E) x + 2i x - 5i 2. z = x + iy ( x, y ! R ) ve i2 = -1 olmak üzere, 5. x2 + x - 3 = 0 z · ^ 1 + i h = z + 1 - 2i olduğuna göre, ( x - 2 ) · ( x - 1 ) · ( x + 2 ) · ( x + 3 ) olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakiler- çarpımı kaçtır? den hangisidir? A) 4 B) 3 C) 1 D) -3 E) -4 A) 1 - i B) 1 + i C) i D) -i E) 1 3. P( x ) = x3 - 6x2 + 12x 6. x2 - 5x + 1 = 0 polinomu veriliyor. ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri K dır. Buna göre, P( 1 + i ) ifadesinin değeri aşağıdaki- Buna göre, K6 + 1 ifadesinin değeri kaçtır? lerden hangisidir? K3 A) 10 - 2i B) 10 - i C) 10 + 2i A) 140 B) 130 C) 125 D) 110 E) 105 D) 6 - 2i E) 6 + 2i 1. B 2. D 3. C 48 4. A 5. D 6. D