www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF Bir Örnek Uzayda Olay ÖRNEK 3 Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay adı veri- lir. Örneğin, madeni paranın üç kez arka arkaya ha- Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzlerine vaya atılması deney sonucunda en çok bir kez yazı gelen sayıların geldiği durumların kümesi A: Çarpımlarının en çok 6 olma olayı A = { ( T, T, Y ), ( Y, T, T ), ( T, Y, T ), ( T, T, T ) } olur. B: Eşit olma olayı A kümesi, E örnek uzayının bir alt kümesidir. C: Toplamlarının en az 9 olma olayı şeklinde veriliyor. s( E ) = 8 olduğundan E örnek uzayının 28 = 256 ta- Buna göre ne farklı alt kümesi (olayı) yazılabilir. a) A, B ve C olaylarını liste yöntemi ile yazınız. Bir Olayın Tümleyeni A = { ( 1, 1 ),( 1, 2 ),( 1, 3 ),( 1, 4 ),( 1, 5 ),( 1, 6 ),( 2, 1 ),( 2, 2 ),( 2, 3 ), Bir örnek uzayının istenen koşulları sağlayan alt ( 3, 2 ),( 4, 1 ),( 5, 1 ),( 6, 1 ) } kümesi dışında kalan elemanlarının kümesine bir olayın tümleyeni denir. B = { ( 1, 1 ) ,( 2, 2 ),( 3, 3 ),( 4, 4 ),( 5,5 ),( 6,6 )} C = { ( 3, 6 ),( 4,5 ),( 4,6 ),( 5,4 ),( 5,5 ),( 5,6 ),( 6,3 ),( 6,4 ),( 6,5 ),( 6,6 ) } Örneğin, madeni paranın üç kez arka arkaya ha- vaya atılması deneyinde en çok bir kez yazı geldiği b) A, B ve C olaylarından ayrık olanları ve ayrık ol- durumların kümesi mayanları bulunuz. A = { ( T, T, Y ), ( Y, T, T ),( T, Y, T ),( T, T, T ) } A + B = \" ( 1, 1), ( 2, 2 ) , A ve C ayrık kümeler en az iki kez yazı geldiği durumların kümesi A+C=Ø A ve B B + C = \" ( 5, 5 ), ( 6, 6 ) , B ve C ayrık olmayan kümeler B = { ( Y, Y, Y ), ( Y, Y, T ),( Y, T, Y ),( T, Y, Y ) }, olur. B kümesi, E örnek uzayının alt kümesi ve A küme- ÖRNEK 4 sinin tümleyenidir. Bu durumda Aı = B olur. 5 doktor, 6 hemşire arasından rastgele 3 kişilik sağlık Kesin Olay ekibi seçilecektir. Buna göre; Bir deney sonucunda gerçekleşmesi mümkün olan a) Örnek uzayın eleman sayısını bulunuz. tüm durumların kümesine kesin olay denir. Kesin olayların olasılığı 1 dir. Hiçbir koşul olmadan 5 doktor, 6 hemşire arasından ya- Örneğin bir çift zarın atılması deneyinde üst yüze ni 11 kişi arasından 3 kişilik sağlık ekibi seçme işlemi gelen sayıların toplamının 13 ten küçük olması ola- 11 yı kesin olaydır. yapılacağından örnek uzayın eleman sayısı d 3 n = 165 İmkânsız Olay b) İkisinin doktor, birinin hemşire olduğu sağlık ekibini seçme olayının eleman sayısını bulunuz. Bir deney sonucunda gerçekleşmesi mümkün ol- mayan olaya imkânsız olay denir. İmkânsız olayın 5 doktor arasından 2 doktorun seçimi d 5 n olasılığı 0 dır. 2 Örneğin, bir zarın atılması deneyinde üst yüze ge- 6 hemşire arasından 1 hemşirenin seçimi d 6 n farklı len sayının 6 dan büyük olması imkânsız olaydır. 1 Ayrık Olaylar şekilde yapılabilir. Saymanın çarpma kuralı gereğince; Bir E örnek uzayındaki A ve B şeklindeki iki olayın d 5 nd 6 n = 60 ortak elemanı yoksa ya da iki olayın aynı anda ger- 2 1 çekleşmesi mümkün değilse bu olaylara ayrık olay- lar denir. c) Sağlık ekibinden en az bir kişinin doktor olma olayının eleman sayısını bulunuz. A ve B olayları ayrık olaylar ise A + B = Ø olur. d 5 nd 6 n + d 5 nd 6 n + d 5 n A + B ! Ø ise A ve B olayları ayrık olmayan olay- 1 2 2 1 3 lardır. = 75 + 60 + 10 = 145 49 4. a) 165 b) 60 c) 145
10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr 2. Olasılık Fonksiyonu ÖRNEK 6 BİLGİ Hilesiz üç madeni paranın havaya atılması deneyinde a) Birinin yazı, ikisinin tura gelme olasılığını bulunuz. Bir E örnek uzayının, tüm alt kümelerinin küm esi, Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde örnek K olsun. K $ [ 0, 1 ] tanımlı ve aşağıdaki aksiyomla- uzay rı gerçekleyen P fonksiyonuna, olasılık fonksiyonu; P(A) değerine de A olayının olasılığı denir. i) A 1 E için 0 # P( A ) # 1 E = {( Y, Y, Y) , ( Y, Y, T ), ( Y, T, Y ), ( T, Y, Y ), ( T, T, Y ), ( Y, T, T ), ( T, Y, T ), ( T, T, T ) } olup s( E ) = 8 = 23 ii) P( E ) = 1 olur. Birinin yazı, ikisinin tura gelme olayı B ise iii) A, B ! E , A + B = Ø ise B = {( T, T, Y ), ( Y, T, T ), ( T, Y, T )} biçimindedir. P( A , B ) = P( A ) + P( B ) s(B) 3 O hâlde P (B ) = s(E) = 8 olur. Özellikler; b) En az birinin yazı gelme olasılığını bulunuz. A, B ! E olmak üzere, • P(Ø) = 0 En az birinin yazı gelme olayı C ise • A 1 B ise P( A ) # P( B ) C = { ( Y, Y, Y ), ( Y, Y, T ), ( Y, T, Y ), ( T, Y, Y ), ( T, T, Y ), • A + B ! Ø ise ( Y, T, T ), ( T, Y, T )} biçimindedir. P( A , B ) = P( A ) + P( B ) - P( A + B ) O hâlde P^ C h = s^ C h = 7 olur. s^ E h 8 • P( A ) bir olayın olasılığı, P( Aı ) aynı olayın ol- mama olasılığı ise, P( A ) + P( Aı ) = 1 = P( E ) ÖRNEK 7 dir. Hilesiz bir çift zar atılması deneyinde Eş Olumlu Örnek Uzay a) Üst yüze gelen sayıların farklı olma olasılığını Örnek uzayı, E = {e1, e2, ..., en} olan bir P olası- bulunuz. lık fonksiyonu için P(e1) = P(e2) = ... = P(en) ise E ye, eş olumlu (eş olasılı) örnek uzay denir. Eş olumlu bir örnek uzayda bir A olayının olasılığı: s(E) = 62 = 36 aynı olması {( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 3, 3 ), ( 4, 4 ), ( 5, 5 ), ( 6, 6 )} P^ A h = s^ A h dir. 6 tane s^ E h Farklı olması 36 - 6 = 30 tane 30 = 5 olur. 36 6 ÖRNEK 5 b) Üst yüze gelen sayıların toplamının en çok 9 ol- ma olasılığını bulunuz. Bir torbada özdeş 6 kırmızı, 5 sarı renkte bilye var- dır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı s( E ) = 62 = 36 renkte olma olasılığını bulunuz. A = {( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 1, 6 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 3 ),( 2, 4 ),( 2, 5 ),( 2, 6 ), ( 3, 1 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ), ( 3, 6 ), ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ), ( 4, 5 ), P^ A h = s^ A h = 5 ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 ), ( 6, 1 ), ( 6, 2 ), ( 6, 3 )} s^ E h 11 s(A) = 30 s (A) P (A) = s (E) = 30 = 5 36 6 5. 5 50 6. a) 3 b) 7 7. a) 5 b) 5 11 8 8 6 6
www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 8 ÖRNEK 11 İki zar havaya atılıyor. Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüzeydeki sayının; a) Tek sayı olma olasılığı kaçtır? Üst yüze gelen sayıların toplamının 4 olması olası- lığı kaçtır? s(E) = 62 = 36 \" 1, 3, 5 , 3 = 1 6 2 A = {( 1, 3 ), ( 2, 2 ), ( 3, 1 )} P(A) = s (A) = 3 = 1 b) Asal sayı olma olasılığı kaçtır? s (E) 36 12 \" 2, 3, 5 , 3 = 1 6 2 c) 2 den büyük olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 9 \" 3, 4, 5, 6 , 4 = 2 6 3 Bir torbada 5 beyaz, 3 mavi bilye vardır. Bu torbadan geri bırakılmamak koşulu ile art arda iki bilye çekiliyor. Çekilen birinci bilyenin mavi, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? Mavi Beyaz ÖRNEK 12 3 · 5 = 15 Bir at yarışında 2, 3 ve 4 yaşlarında üç at vardır. 2 ya- 8 7 56 şındaki atın yarışı kazanma olasılığı 4 yaşındaki atın ka- zanma olasılığının yarısına, 3 yaşındaki atın kazanma olasılığının ise üç katına eşittir. Bu yarışı 3 yaşındaki atın kazanma olasılığı kaçtır? 2 yaşında 3 yaşında 4 yaşında 3x x 6x x = 1 10x 10 ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 Bir madeni paranın arka arkaya iki kez atıldığı bir de- Bir torbada, 4 sarı ve 3 lacivert eş bilye vardır. neyde, üste gelen yüzlerinin yazı olma olasılığı kaç- tır? Bu torbadan rastgele alınan bir bilyenin lacivert ol- ma olasılığı kaçtır? s(E) = 22 = 4 A = {(Y, Y)} P(A) = s (A) = 1 tür. s(E) = 4 + 3 = 7 s (E) 4 s(A) = 3 P(A) = 3 7 8. 1 9. 15 10. 1 51 11. a) 1 b) 1 c) 2 12. 1 13. 3 12 56 4 2 2 3 10 7
10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 14 ÖRNEK 16 Bir torbada 3 beyaz, 4 siyah ve 5 mavi pinpon topu var- 42 kişilik bir sınıfın 24’ü erkektir. Erkeklerin 16’sı ve kız- dır. ların 12’si matematik dersinden başarılıdır. Torbadan rastgele çekilen bir topun beyaz ya da ma- Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya vi olma olasılığı kaçtır? matematikten başarısız olması olasılığı kaçtır? B+M B Bı 18 14 6 13 K 12 6 42 42 42 21 35 E 16 8 + - = d 1 n+d 1 n = 8 = 2 12 12 3 d1n ÖRNEK 17 ÖRNEK 15 Bir okuldaki 15 öğretmenden 6 sı matematikçidir. Yıl A = {x : 1 # x # 120, x ! N} sonunda herhangi iki öğretmenin ataması başka bir oku- la yapılacaktır. kümesinden rastgele seçilen bir sayının; a) 3 ile bölünebilmesi olasılığı kaçtır? Ataması yapılacak öğretmenlerden ikisinin birden matematikçi olmama olasılığı kaçtır? Tüm durum - ikisi matematikçi 6 d2n 1- 15 =1- 6·5 = 6 15 · 14 7 d2n 3, 6, ... , 120 $ 120 - 3 + 1 = 40 3 P(A) = 40 = 1 ÖRNEK 18 120 3 b) 3 ve 5 ile bölünebilmesi olasılığı kaçtır? Bir E örnek uzayın A ve B olayları için, 3 ve 5 için 15 katı olan sayılar. P(A›) = 3 , P(A , B) = 4 ve P(A + B) = 1 45 5 15, 30, 45, f, 120 \" 120 - 15 +1=8 tane sayı vardır. 1 15 a) P( B ) olasılığı kaçtır? 8 15 P(3 ve 5) = 120 = P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B) 4 = 1 + P(B) - 1 & P(B) = 3 5 4 5 4 c) 3 veya 5 ile bölünebilmesi olasılığı kaçtır? 5, 10, f, 120 $ 120 - 5 + 1 = 24 b) P( A + B› ) olasılığı kaçtır? 5 15, 30, 45, f, $ 120 - 15 +1=8 P(A + B› ) = P(A) - P(A + B) 15 1 1 1 P^ 3 veya 5 h = P ( 3 ) + P ( 5 ) - P ( 3 ve 5 ) = 4 - 5 = 20 40 + 24 - 8 = 56 = 7 c) P( A› , B› ) olasılığı kaçtır? 120 120 120 120 15 d) 3 ile bölünüp, 5 ile bölünememesi olasılığı kaç- P ((A + B) ›) = 4 tir. tır? 5 d) P( A› + B› ) olasılığı kaçtır? P ( 3 ) - P ( 15 ) 40 - 8 = 32 = 4 P^ (A , B) › h = 1 tir. 120 120 120 15 5 14. 2 15. a) 1 b) 1 c) 7 d) 4 52 16. 13 17. 6 18. a) 3 b) 1 c) 4 d) 1 3 3 15 15 15 21 7 4 20 5 5
OLASILIK TEST - 18 1. A ve B aynı örnek uzayda iki olay olmak üzere, 5. Bir madenî para art arda 3 kez havaya atılıyor. P ( A , B) = 23 , P ( A› ) = 1 ve P (( A + B) › ) = 7 Bu paranın 2 kez yazı gelme olasılığı kaçtır? 30 3 10 A) 5 B) 3 C) 1 D) 1 E) 1 88 3 4 8 olduğuna göre, P(B) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 1 D) 3 E) 4 57 2 5 5 2. X ve Y aynı örnek uzayda iki olay olmak üzere, 6. 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile yazılabilecek tüm 3 ba- P ( x ) = 5 ve P(X + Y) = 1 samaklı sayılar birer karta yazılarak bir torbaya ko- 12 24 nuyor. olduğuna göre, P ( X + Y› ) kaçtır? Torbadan rastgele çekilen bir karttaki sayının rakamları farklı ve 5 ile bölünebilen bir sayı ol- A) 2 B) 13 C) 1 D) 6 E) 1 ma olasılığı kaçtır? 3 24 2 13 3 A) 1 B) 7 C) 3 D) 1 E) 9 25 100 16 5 25 3. Bir turist kafilesinde 5 İngiliz, 6 Alman vardır. 7. Bir torbada aynı büyüklükte 5 sarı, 4 mavi bilye var- Kafileden rastgele seçilen 2 kişiden birinin İngi- dır. liz diğerinin Alman olma olasılığı kaçtır? Torbadan rastgele çekilen 2 bilyenin ikisinin de A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 3 aynı renkte olma olasılığı kaçtır? 11 11 11 11 11 A) 8 B) 7 C) 2 D) 5 E) 4 99 3 9 9 4. Bir torbada aynı büyüklükte 3 elmas, 4 yakut, 5 ku- 8. 28 kişilik bir sporcu grubundan rastgele seçile- vars taş vardır. cek iki kişinin ikisinin de yüzücü olma olasılığı 5 olduğuna göre, grupta kaç yüzücü vardır? Torbadan rastgele çekilen 3 taşın üçünün de 42 farklı cinsten olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 5 C) 1 D) 3 E) 3 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 2 12 3 10 11 1. A 2. B 3. C 4. E 53 5. B 6. D 7. E 8. C
TEST - 19 OLASILIK 1. 2 kız ve 3 erkeğin bulunduğu bir gruptan 3 kişilik bir 5. 5 farklı renkteki şişelerin kapakları şişelerin renkle- oyun ekibi seçilecektir. riyle aynıdır. Bu ekipte en az 1 kız bulunma olasılığı kaçtır? Her kapak tüm şişelere uyumlu ise bu şişeler rastgele kapatıldığında, tüm şişelerin kapakla- A) 9 B) 3 C) 1 D) 1 E) 1 rının kendi renginde olma olasılığı kaçtır? 10 4 2 5 10 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 120 100 80 35 5 2. 3 kız, 5 erkek öğrenci nüfus cüzdanlarını bir torba- 6. İçinde aynı büyüklükte siyah, beyaz ve yeşil toplar ya koyuyorlar. bulunan bir torbadan çekilen bir topun yeşil olma olasılığı 1 , beyaz olma olasılığı 7 dir. Torbadan rastgele 3 nüfus cüzdanı çekildiğinde 2 sinin erkeğe, 1 inin kıza ait nüfus cüzdanı ol- 4 12 ma olasılığı kaçtır? Torbada 6 yeşil top bulunduğuna göre, torba- daki siyah topların sayısı kaçtır? A) 5 B) 5 C) 1 D) 15 E) 4 A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 112 56 2 28 7 3. 40 kişilik bir sınıfın 25 i erkektir. Erkeklerin 7 si, kız- 7. Bir madenî para art arda 5 kez havaya atılıyor. ların 5 i müzik dersini seçmiştir. Buna göre, paranın en az bir kez yazı gelmesi olasılığı kaçtır? Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya müzik dersini seçen bir öğrenci olma olasılığı A) 4 B) 5 C) 8 D) 17 E) 31 kaçtır? 5 18 13 18 32 A) 27 B) 11 C) 1 D) 7 E) 1 40 20 2 40 8 4. Oğuz’un bir atışta hedefi vurma olasılığı 1 , Ya- 8. Bir grupta bulunan 7 kişiden 2 si avukattır. Bu 7 ki- 3 vuz’un ise 1 tür. İkisi de hedefe birer atış yapıyor- şi bir sırada oturacaklardır. lar. 4 Buna göre, avukat olanların yan yana oturma olasılığı kaçtır? Buna göre, atışlar sonucunda sadece birinin hedefi vurmuş olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 1 C) 2 E) 1 674 3 2 A) 1 B) 1 C) 1 D) 5 E) 1 12 4 3 12 2 1. A 2. D 3. B 4. D 54 5. A 6. C 7. E 8. B
OLASILIK TEST - 20 1. D C 5. A ile B aynı örnek uzayda iki ayrık olay olmak üzere, P^ A h = 7 ve P^ A , B h = 2 15 3 AB olduğuna göre, P(B) kaçtır? Şekildeki ABCD dikdörtgeni 12 birimkareden oluş- A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 maktadır. 55 5 5 6 ABCD dikdörtgeni içinden rastgele seçilen bir dörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 2 D) 5 E) 13 53 5 12 30 6. A ile B olayları aynı örnek uzayda iki bağımsız olay olmak üzere, 2. Düzlemde herhangi 3 ü doğrusal olmayan A, B, C, P^ A h = 2 ve P^ A + B h = 1 5 5 D, E noktaları veriliyor. olduğuna göre, P(B) kaçtır? Köşeleri bu noktalar olmak üzere, çizilebilecek A) 2 B) 8 C) 2 D) 1 E) 1 çokgenlerden rastgele biri seçildiğinde bunun 25 25 15 2 3 bir üçgen olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 1 C) 3 D) 1 E) 1 82 8 4 8 3. Bir torbada 5 sarı ve bir miktar kırmızı top vardır. 7. Bir torbada bulunan 15 tükenmez kalemden 5 i bo- Torbadan aynı anda çekilen iki topunda sarı ol- zuktur. Torbadan rastgele 3 kalem çekiliyor. ma olasılığı 5 olduğuna göre, torbada kaç ta- Çekilen kalemlerden yalnız birinin bozuk olma 18 olasılığı kaçtır? ne kırmızı top vardır? A) 50 B) 48 C) 45 D) 7 E) 1 91 91 91 15 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. SOYUT kelimesindeki harfleri kullanarak, yazılabi- 8. İki zar birlikte atılıyor. lecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli tüm kelimeler Zarların üst yüzeyine gelen sayıların toplamının birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. 5 olma olasılığı kaçtır? Torbadan rastgele çekilen bir karttaki kelime- A) 1 B) 5 C) 2 D) 5 E) 1 nin S harfi ile başlayıp Y harfi ile biten bir keli- 3 18 9 36 9 me olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 7 72 36 20 10 72 1. B 2. A 3. C 4. C 55 5. A 6. D 7. C 8. E
TEST - 21 OLASILIK 1. A ve B aynı örnek uzayında iki olay olmak üzere, 5. Bir madenî para 4 kez havaya atıldığında en çok P ( A› ) = 5 , P (B) = 5 ve P ( A , B) = 17 1 kez yazı gelme olasılığı kaçtır? 96 18 A) 1 B) 5 C) 3 D) 7 E) 1 4 16 8 16 2 olduğuna göre, P( A + B ) kaçtır? A) 1 B) 4 C) 1 D) 5 E) 2 39 2 9 3 6. A GB FC 2. Bir sınıfta 8 kız, 8 erkek öğrenci vardır. ED Sınıftan rastgele seçilen 2 kişiden birinin kız di- Köşeleri şekildeki çember üzerinde bulunan 7 nok- ğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? tadan üçü olan bir üçgen rastgele seçiliyor. A) 1 B) 2 C) 7 D) 1 E) 8 Bu üçgenin bir köşesinin A veya D noktası ol- 35 15 2 15 ma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 1 D) 3 E) 2 77 2 7 7 3. Bir kutuda bulunan 4 beyaz ve 5 mavi pinpon 7. x, y, z den sadece birinin kazanacağı yarışta, yarı- topundan rastgele 3 ü alınırsa en az ikisinin ma- şı x in kazanma olasılığı, y nin 2 katıdır. vi olma olasılığı kaçtır? z nin yarışı kazanma olasılığı da x in kazanma A) 23 B) 4 C) 25 D) 9 E) 2 olasılığının 3 katı olduğuna göre, x in yarışı ka- 42 7 42 14 3 zanma olasılığı kaçtır? A) 2 B) 8 C) 16 9 81 27 D) 16 E) 16 81 243 4. Hava, deniz ve kara yolu ile seyahat etmeyi düşü- 8. Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırıl- nen 4 kişi vardır. mış 10 top vardır. Bu torbadan art arda geri atıl- maksızın seçilen 2 toptan birincisinin üzerinde- Hepsinin aynı yolla seyahat etme olasılığı kaç- ki numaranın 1 den 4 e kadar ikincisinin üzerin- tır? deki numaranın 8 den 10 a kadar olma ihtimali kaçtır? A) 1 B) 1 C) 3 D) 1 E) 4 81 64 64 27 27 A) 1 B) 1 C) 2 D) 1 E) 4 10 15 15 5 15 1. A 2. E 3. C 4. D 56 5. B 6. A 7. A 8. C
SAYMA VE OLASILIK KARMA TEST - 1 1. 7^ n - 5 h! - 4·^ n - 6 h! = 3 E) 48 5. 18 takımın katıldığı bir turnuvada takımlar kendi 2·^ n - 5 h! + 12^ n - 6 h! aralarında ikişerli maç yapacaklardır, 2 yenilgi alan olduğuna göre, n kaçtır? takım elenecektir. A) 35 B) 40 C) 42 D) 45 Buna göre, en az kaç oyun sonunda bu turnu- vanın birincisi belli olur? A) 17 B) 22 C) 34 D) 56 E) 171 2. a, b, c, d, e, f, k harfleri ile sesli harf ile başla- 6. f a2 - b 9 b2 a yan, dört harfli anlamlı ya da anlamsız kaç söz- p cük yazılabilir? açılımında içinde a ve b bulunmayan terim, aşa- A) 120 B) 180 C) 240 D) 360 E) 720 ğıdakilerden hangisidir? A) 84 B) 76 C) 72 D) -65 E) -28 3. x tam sayı ve 100 < x < 1000 olmak üzere, x in 7. alabileceği değerlerin kaç tanesinde 8 rakamı ABCD bulunur? A, B, C ve D şehirleri arasında şekildeki yollar var- A) 258 B) 256 C) 253 D) 252 E) 250 dır. A dan hareket eden bir araç D ye gittikten son- ra dönüşte C ye uğramadan A şehrine dönmek için kaç farklı yol tercih edebilir? A) 240 B) 280 C) 315 D) 320 E) 360 4. {4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarını kullanarak ya- 8. Şekil X, Y, Z ve K bölmelerinden oluş- maktadır. zılabilecek iki basamaklı doğal sayılardan rastgele XY biri seçiliyor. ZK 5 farklı renk alternatifi bulunan bir Bu seçilen sayının 65 ten büyük olma olasılığı ressam, ortak kenarı bulunan iki bölmeyi aynı kaçtır? renk ile boyamayacağına göre, boyama işlemi- A) 3 B) 1 C) 1 ni kaç farklı şekilde yapabilir? 10 4 2 A) 72 B) 84 C) 96 D) 240 E) 260 D) 3 E) 5 8 16 1. D 2. C 3. D 4. D 57 5. C 6. A 7. C 8. E
KARMA TEST - 2 SAYMA VE OLASILIK 1. ^ 2n + 1 h! - 6 = ^ n + 1 h! 5. Aralarında Gizem ve Hilmi’nin de bulunduğu 6 öğ- ^ 2n h! n! retmen matematik zümresinde oturmaktadır. olduğuna göre, n kaçtır? Zil çalınca hepsi derse gireceğine ve Hilmi, Gi- zem’den hemen sonra kapıdan çıkacağına gö- A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 re, kaç farklı şekilde kapıdan çıkabilirler? A) 2! · 5! B) 5! C) 6! D) 360 E) 480 2. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 6. A Şekilde verilen ABC üç- geni şeklindeki levha 16 kümesinin elemanlarıyla dört basamaklı rakam- adet küçük üçgenden ları tekrarsız 4 ile bölünebilen kaç farklı sayı ya- oluşmaktadır. zılabilir? A) 60 B) 61 C) 69 D) 72 E) 74 3. B Şekilde tel ile oluştu- BC rulmuş 36 tane özdeş Her satırda en az bir üçgen kırmızı renge boya- küpten prizma modeli narak en fazla kaç farklı desen oluşturabilir? vardır. A) 26732 B) 27559 C) 28729 D) 31716 E) 32768 A A noktasındaki bir karınca teller üzerinden ha- 7. B E L L E K reket ederek B ye en kısa yoldan kaç farklı şe- kilde gidebilir? kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan altı harfli kelimelerin kaç tanesinde A) 3600 B) 4200 C) 4800 aynı harfler yan yana gelmez? D) 7200 E) 8400 A) 96 B) 84 C) 72 D) 48 E) 36 4. Bir kutuda 4 mavi, 5 yeşil bilye vardır. Çekilen bilye 8. f x3 + 2m 15 x2 kutu içine atılmak koşulu ile art arda 3 bilye çekliliyor. p Çekilen bilyelerin sırası ile yeşil, mavi, yeşil ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarının gelmesi olasılığı kaçtır? aritmetik ortalaması 211 olduğuna göre, m kaç- A) 20 B) 5 C) 5 tır? 81 42 81 D) 10 E) 100 A) 2 B) 1 C) 3 D) 2 E) 1 243 729 4 3 2 1. D 2. D 3. B 4. E 58 5. B 6. B 7. B 8. E
SAYMA VE OLASILIK KARMA TEST - 3 1. A = {0, 1, 2, 3, 4} 5. ^ x + 3 x h12 kümesinin elemanları kullanılarak, rakamları açılımında ortadaki terimin katsayısı kaçtır? farklı üç basamaklı ve 200 den büyük olan kaç A) 969 B) 924 C) 814 D) 720 E) 576 farklı çift sayı yazılabilir? A) 18 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32 2. Alman, İngiliz ve Fransız aileleri sırasıyla 3, 4 ve 5 6. D Kroki bir şehrin birbiri- kişiliktir. Bu üç aileden 4 kişi seçilip Antalya’da de- ni dik kesen sokakları- niz turuna gönderilecektir. C nı göstermektedir. Her aileden en az bir kişi grupta olacağına göre, B bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A A) 240 B) 270 C) 280 D) 300 E) 320 A dan D ye gitmek isteyen bir kişi B ve C nok- talarının en az birinden geçmek koşuluyla kaç farklı yol izleyebilir? A) 160 B) 180 C) 200 D) 220 E) 240 3. Renkleri farklı 12 adet tenis topu 2 kutuya, birine 3 7. Ali ile Mert’in de bulunduğu 15 kişilik bir futbol adet diğerine 9 adet olmak üzere paketlenecektir. kulübünde Ali ile Mert’in takımda aynı anda yer almaması koşuluyla 11 kişilik bir futbol takımı Buna göre, paketleme işlemi kaç farklı şekilde kaç farklı şekilde oluşturulabilir? gerçekleşebilir? A) 572 B) 624 C) 650 D) 729 E) 858 A) 220 B) 280 C) 320 D) 440 E) 560 4. Şekil özdeş birim küplerden 8. oluşmaktadır. Buna göre, şekilde kaç tane dikdörtgenler priz- Birim karelerin köşelerinde verilen 25 noktadan 2 ması vardır? tanesi seçiliyor. A) 82 B) 96 C) 102 D) 126 E) 132 Bu noktalar arası uzaklığın 5 br olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 4 25 25 50 75 75 1. B 2. B 3. D 4. D 59 5. B 6. C 7. C 8. D
KARMA TEST - 4 SAYMA VE OLASILIK 1. Bir otele gelen 10 kişilik bir turist kafilesi otelde boş 5. f a2 - 2ab + b2 6 olan 4 yataklı 2 oda ve 2 yataklı 1 odaya yerleştiri- a p = a6 + f + k ·bm + f lecektir. olduğuna göre, m + k kaçtır? Kafiledeki Ahmet ile Mehmet farklı odalarda A) 840 B) 880 C) 924 D) 930 E) 960 kalmak şartıyla kaç farklı şekilde bu odalarda kalabilirler? A) 2480 B) 2320 C) 2240 D) 1860 E) 1720 2. Bir un firması deposunda her biri 20 kg olan 8 fark- 6. Bir folklör ekibinde bulunan 5 kız ile 4 erkek arasın- lı paket ile her biri 10 kg olan 5 farklı paket vardır. dan 4 kişilik bir ekip bu ekip içerisinden de bir baş- kan ve bir yardımcı seçilecektir. Bu paketlerden 100 kg lık bir siparişi kaç farklı şekilde hazırlayabilir? Başkan kız ve yardımcısı erkek olacağına göre, kaç farklı seçim yapılabilir? A) 518 B) 540 C) 756 A) 240 B) 320 C) 420 D) 480 E) 560 D) 1036 E) 1080 3. 2f n2 p - c n n 1 m + 2c n + 1 m = 256 7. İçerisinde 7 sarı ve 5 kırmızı topun bulunduğu bir 2 - n - 1 torbadan alınan top yerine konmamak şartıyla ard arda toplar seçiliyor. olduğuna göre, n kaçtır? Buna göre, dördüncü çekilişte ikinci defa kırmı- zı renkli top gelmesi olasılığı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 5 B) 3 C) 8 11 11 33 D) 7 E) 1 33 11 4. Bir firmada üretilen birbirinden farklı toplardan 5 ta- 8. Bir Basketbol takımının 10 kişilik aday kadrosu art nesinin üzerinde 10 sayısı, 8 tanesinin üzerinde ise arda iki maç yapacaktır. 5 sayısı yazılı olan 13 top vardır. Bu toplar üzerin- deki sayıların toplamı 30 olacak şekilde paketlenip Belirli 2 kişi her iki oyunda da oynamak ve di- satışa sunulacaktır. ğerleri en çok bir defa oynamak üzere, bu iki maç için 5 er kişilik iki takım kaç farklı biçimde Buna göre, kaç farklı paketleme yapılabilir? oluşturulabilir? A) 348 B) 488 C) 528 D) 548 E) 668 A) 44 B) 54 C) 66 D) 88 E) 108 1. C 2. D 3. D 4. E 60 5. D 6. C 7. D 8. C
SAYMA VE OLASILIK YAZILI SORULARI 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 5. A = {0, 1, 2, 3} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek dört ba- kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamla- samaklı sayıların kaç tanesinde sadece iki ra- rı tekrarsız yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır? kamı birbirinin aynısı olan kaç farklı sayı yazıla- bilir? 3 3 2 1 & 18 say› yaz›labilir. 1000 · 6 · ^ 1 + 2 + 3 h + 100·^ 0 + 1 + 2 + 3 h·4 + 6 1 5 4 = 120 10^ 0 + 1 + 2 + 3 h·4 + ^ 0 + 1 + 2 + 3 h·4 4 = 38864 f p=6 2 6. (x + m · yn)20 6 · 120 = 720 ifadesinin açılımında x2y10 lu teriminin katsayı- sı 65170 olduğuna göre m12 kaçtır? 2. G F H E f 20 px20 - r·^ m·yn hr = A·x2·y10 D C r 20 - r = 2 & r = 18 AB n·r = 10 & n = 5 9 Şekildeki dikdörtgenler prizmasının köşelerin- f 20 p·x2·d m·y 5 18 20·19 ·x 2 ·m 18 ·y 10 deki noktalar kullanılarak en az bir köşesi ABCD 18 9 2·1 yüzeyinde olan kaç tane üçgen çizilebilir? n= = 190·x2m18·y10 190·m18 = 65170 & m18 = 343 d 4 n · d 4 n + d 4 n · d 4 n + d 4 n ^ m6 h3 = 73 & m6 = 7 & m12 = 49 1 2 2 1 3 4 · 6 + 6 · 4 = 24 + 24 + 4 = 52 7. Hacmi 64000 cm3 olan bir küpün yüzeyleri kırmızı 3. Defne 2, Ayşe 3 ve Arda 4 yaşındadır. 13 farklı renge boyanıyor. Bu küp 512 cm3 hacmindeki kü- çük küplere bölünüyor. oyuncak bu üç çocuğa yaşlarıyla ters orantılı ola- rak dağıtılacaktır. Rastgele seçilen bir küçük küpün sadece iki yü- zünün boyalı olma olasılığı kaçtır? Buna göre, paylaştırma işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir? a3 = 64000 & a = 40 b3 = 512 & b = 8 Defne Ayfle Arda 40: 8 = 8 2 3 4 $ Ters orant›l› Toplam Küp sayısı : 25 · 5 = 125 Sadece iki yüzü boyalı küp sayısı = 36 6 4 3 $ Do€ru orant›l› 36 d 13 nd 7 nd 3 nd 4 n = 60060 125 6 4 3 2 4. n - 1 = m olduğuna göre, 8. d Şekilde d doğrusunun üze- n rinde 5, çember üzerinde 7 ^ n3 + 1 h! nokta vardır. Bu noktalarla meydana getirilebilecek en ^ n3 - 2 h!· n6 çok sayıda üçgen içerisinden ifadesinin m türünden eşiti nedir? rastgele bir üçgen seçiliyor. ^ n3 + 1 h + ^ n3 h · ^ n3 - 1 h · ^ n3 - 2 h! = n6 - 1 = n3 - 1 Bu üçgenin sadece bir kenarının kiriş olma ola- ^ n3 - 2 h! ·n6n3 n3 n3 sılığı kaçtır? =dn- 1 n·f n2 + 1 + 1 57 n n2 p f pf p 1 2 5 · 21 5 · 21 1 1 n2 - 2 + 1 = m2 n2 + 1 = m2 + 2 12 5 = 2· 11· 10 - 10 = 210 = 2 n n2 n2 n- =m ise f 3 p-f 3 p = m · ^ m2 + 3 h = m3 + 3m 1. 720 2. 52 3. 60060 4. m3 + 3m 61 5. 38864 6. 49 7. 36 8. 1 125 2
YAZILI SORULARI SAYMA VE OLASILIK 9. Doktor ve asistanlardan meydana gelen bir grupta 12. A K A S Y A asistanların sayısı, doktorların sayısından 3 fazla- kelimesinin harfleriyle anlamlı veya anlamsız 5 dır. Bu gruptan 2 doktor ve 4 asistandan oluşan bir harfli kaç farklı kelime yazılabilir? ekip seçilecektir. 5! Bu ekipte doktor Meltem’in mutlaka bulunması A yok $ KASYA $ 2! = 60 ve Kerem adlı asistanın ise bulunmaması şar- tı ile 140 farklı seçim yapılabildiğine göre, bu K yok $ AASYA $ 5! = 20 grupta kaç kişi vardır? 3! S yok $ AKAYA $ 5! = 20 3! DA Y yok $ AKASA $ 5! = 20 3! x x+3 f x - 1 pf x + 2 p = 140 60 + 20 + 20 + 20 = 120 14 ^x-1h· ^ x + 2 h^ x + 1 h^ x h^ x - 1 h = 140 24 ^ x - 1 h^ x + 2 h^ x + 1 h^ x h^ x - 1 h = 24 · 140 = 4·4·5·6·7 13. 3 3 3 0 0 5 8 x=5 sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? 5 + 8 = 13 kifli 10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 7! = 7·6·5·4 = 420 say› 3! · 2! 2 kümesinin rakamları kullanılarak dört basamaklı rakamları birbirinden farklı ve rakamlarının ikisi 420 · 3 = 180 say› tek ikisi çift sayı olan kaç farklı sayı yazılabilir? 7 34 0 ile bafllay›p 0 ile bafllay›p f 2 pf 2 p·4! = 432 0 ·33358 0 & 5! = 20 0 ·33358 8 & 5! = 20 3! 3! ile ile ile ile bafllayan biten bafllayan biten 180 - 40 = 140 14. A B K 11. Ahmet ve Ayşe matematik dersinde 15 tane karta C E FG D sayılar yazıyorlar. Bu yazdıkları sayıların 8 tanesi Şekilde ACD ve BCD birer üçgen olmak üzere, negatif ve 7 tanesi ise pozitiftir. Bu kartları bir kutu- A dan ve B den çıkan 3 er adet doğru parçası ile ya atıp içinden rastgele 3 tanesini seçiyorlar. oluşan şekilde kaç adet üçgen vardır? Seçtikleri bu sayıların çarpımının pozitif olma AB C&KD üçgeninde olasılığı kaçtır? K C köşeinden 3, D köşesinden 4 ^ NNP h + ^ PPP h d 8 nd 7 n + d 7 n 33 ve çizilen 3 üç- Tüm durum 2 1 3 65 gen toplam 10 = = D adet 15 d3 n CE G A ve B köşelerinden çizilen 52 4 3 2 2>f pf p + f p + f p + f pH = 60 60 + 10 = 70 21 2 2 2 9. 13 10. 432 11. 33 62 12. 120 13. 140 14. 70 65
SAYMA VE OLASILIK YENİ NESİL SORULAR - 1 1. Bir otomobil galerisi fabrikadan satın aldığı 8 adet 3. Bir marketteki süt rafına üç marka süt şişesi yan sıfır araçları iki katlı bir binanın iki katında satışa yana dizilecektir. sunacaktır. Bu iki katlı binanın her bir katında 4 araç sergileme alanı vardır. A marka 5 adet, B marka 4 adet, C marka 3 adet ol- mak üzere, A BC A marka süt ayrı bir bölmede rafa konulacağına göre bu süt şişeleri kaç farklı şekilde dizilebilir? Bu firma satın aldığı A marka 3 adet mavi renkli ve B marka 5 adet kırmızı renkli araçlardan ma- A) 35 B) 70 C) 140 vilerin herhangi ikisinin yan yana olmadığı kaç durum vardır? D) 5! · 4! · 3! E) 5! · 7! A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24 4. Cem Ahmet A 40 m 24 m 2. Bir siteye ait şekildeki gibi olan 8 ardışık otoparka 6 B C Burak araç park edecektir. Futbol oynayan Ahmet, Burak ve Cem’in bulundu- 12345678 ğu noktalar çizgilerle birleştirilirse ABC dik üçgeni elde ediliyor. [ AB ] = [ BC ], | AB | = 24 m ve | AC | = 40 m dir. Ahmet topu Burak’a doğru atıp ok yönünde düz bir Buna göre boş olan kısım yan yana olması şar- çizgi boyunca koşarak [ BC ] üzerindeki herhangi tıyla bu 6 araç kaç farklı şekilde park edebilir? bir K noktasında durunca Burak topu ona atmakta- dır. A) 6! B) 4 · 5! Buna göre, | AK | uzunluğunun 25 m den büyük olma olasılığı kaçtır? C) 3! · 4! D) 7! A) 3 B) 2 C) 25 43 32 E) 5 · 6! D) 13 E) 27 16 32 1. C 2. D 63 3. B 4. C
YENİ NESİL SORULAR - 2 4. SAYMA VE OLASILIK Defne 1. Mustafa, bir kâğıda önce eşit aralıklı 4 dikey doğru- yu yan yana, sonra da bu doğruları dik kesen 3 ya- tay doğruyu alt alta çiziyor. 1. adım 2. adım Buna göre, Mustafa 13. adımda toplam kaç tane Simge “X” karesi oluşturur? A) 1881 B) 1923 C) 1938 D) 1942 E) 1954 Defne ile Simge, yolları şekilde gösterilen labirentte Defne Simge’nin, Simge ise Defne’nin bulunduğu ye- re en kısa yoldan geçecektir. 2. Eda ile Derin hafta sonu 3 tane çizgi film izlemeye Defne ile Simge’nin her yolu kulanma olasılık- ları ve hızları eşit olduğuna göre, bu labirentte karar verirler. İzleyebilecekleri çizgi filmleri 1 den karşılaşma olasılıkları kaçtır? 12 ye kadar numaralandırıp, çizgi filmlerin yayın- landığı kanal ve saatlere göre aşağıdaki tabloyu A) 21 B) 21 C) 2 oluşturmuşlardır. 100 50 5 Saat Kanal A Kanal B Kanal C D) 41 E) 13 14.00-15.00 1 2 3 100 25 15.00-16.00 4 5 6 16.00-17.00 7 8 18.00-19.00 9 10 11 19.00-20.00 12 20.00-21.00 5. 1 2 3 4 56 Buna göre, Eda ile Derin izleyeceği 3 çizgi filmi kaç farklı şekilde seçebilirler? A) 129 B) 133 C) 137 D) 141 E) 144 3. Parola: •••••• Dolu Boş Damla, e - posta hesabının giriş parolasını değişti- Bir sinema salonundaki Akıl Oyunları filmi için bilet recektir. 6 haneli parolayı oluştururken a, b, c, d, e, alan kişilerin yerleri yukarıdaki bilgisayar ekranında f harflerini ve 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarını kullanacaktır. gösterilmiştir. Damla parolasının 3 harf ve 3 rakamdan oluşa- Dolu olan yerlerden birbirinden habersiz bilet cak, başta ve sonda harf bulunacak şekilde be- alan Evrim ile Bengisu’nun arka arkaya oturma lirlemek istediğine göre, parolayı kaç farklı şe- olasılıkları kaçtır? kilde oluşturabilir? A) 9600 B) 10800 C) 12800 A) 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 D) 14400 E) 28800 33 22 11 11 22 1. C 2. E 3. E 64 4. D 5. B
Search
