10. Sınıf Matematik Modülleri 1. Modül Sayma ve Olasılık

www.aydinyayinlari.com.tr  10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK ➤ Sıralama ve Seçme • 2 ➤ Permütasyon • 9 ➤ Tekrarlı Permütasyon • 18 ➤ Dönel Permütasyon • 23 ➤ Kombinasyon • 26 ➤ Binom Açılımı • 38 ➤ Olasılık • 48 ➤ Karma Testler • 57 ➤ Yazılı Soruları • 61 ➤ Yeni Nesil Sorular • 63 1

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr SIRALAMA VE SEÇME İlişkili Kazanımlar 10.1.1.1 : Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. Sayma Kuralları Çarpma Yoluyla Sayma Toplama Yoluyla Sayma TANIM BİLGİ • A ve B boş kümeden farklı, ayrık iki küme ol- Bir kümenin elemanları ile Z+ = {1, 2, 3, ... } küme- mak üzere, A x B kümesinde oluşan sıralı ikilile- sinin elemanları arasında bire bir eşleme yaparak rin eleman sayısını bulma işlemine çarpma yo- verilen kümenin eleman sayısını bulma işlemine bi- luyla sayma veya saymanın temel ilkesi denir. re bir eşleme yoluyla sayma denir. • Sırasıyla 1’den başlayarak eşleme yapıldığın- s( A x B ) = s( A ) · s( B ) şeklinde hesaplanır. • Bir A olayı ayrık A1, A2, ... Ar aşamalarında sı- da kümenin son elemanı ile eşleşen doğal sayı kümenin eleman sayısı olur. rasıyla gerçekleşsin. A1 aşaması n1 farklı yolla, ÖRNEK 1 A2 aşaması n2 farklı yolla, AYDIN kelimesinin eleman sayısını bire bir eşleme Ar aşaması nr farklı yolla gerçekleşmesi durumun- yoluyla bulunuz. da A olayı n1 · n2 · ... · nr farklı yolla gerçekleşir. A = { A , Y , D , I , N } s( A ) = s( A1 x A2 x ... x Ar ) = n1 · n2 · ... · nr Z+ = {1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , 7, ...} eşlemesinden s( A ) = 5 bulunur. ÖRNEK 3 TANIM 11 kız ve 10 erkek öğrenci arasından 1 kız ve 1 erkek öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulunuz. A ile B sonlu ve ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulma işlemine 11 kız öğrenci arasından 1 kız öğrenci 11 farklı, 10 er- toplama yoluyla sayma denir. Ayrık kümelerde birle- kek öğrenci arasından 1 erkek öğrenci 10 farklı şekil- şim kümesinin eleman sayısı, de seçilir. Bu durumda 11 · 10 = 110 farklı şekilde se- s( A U B ) = s( A ) + s( B ) şeklinde hesaplanır. çim yapılır. ÖRNEK 2 ÖRNEK 4 İstanbul’dan Ankara’ya 4 hava ve 3 kara yolu ile ulaşım Bir lokantada 3 çeşit çorba, 4 çeşit et yemeği ve 5 çeşit sağlanmaktadır. tatlı bulunmaktadır. Buna göre, İstanbul’dan Ankara’ya gitmek isteyen Bir tabak çorba, bir tabak et yemeği ve bir çeşit tat- biri kaç farklı şekilde gidebilir? lı yemek isteyen bir kişi tercihini kaç farklı şekilde yapabilir? Hava yolları kümesi H = {h1, h2, h3, h4} Kara yolları kümesi K = {k1, k2, k3} 3 · 4 · 5 = 60 farklı şekilde yapabilir. H + K = Ø olduğundan ayrık kümelerdir. s( H , K ) =s( H ) + s( K ) = 4 + 3 = 7 bulunur. 1. 5 2. 7 2 3. 110 4. 60

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 5 ÖRNEK 7 A kentinden B kentine 4, B kentinden C kentine 5 farklı a) 5 mektup, 3 posta kutusuna kaç farklı şekilde atı- yolla gidilebilmektedir. labilir? Buna göre; a) B kentine uğramak koşuluyla A kentinden C Birinci mektubun atılabileceği posta kutusu 3 farklı şekilde, ikinci mektubun atılabileceği posta kutusu 3 kentine kaç farklı yolla gidilip dönülebileceğini farklı şekilde, ..., beşinci mektubun atılabileceği posta bulunuz. kutusu 3 farklı şekilde seçilebilir. Bu durumda 5 mektup, 3 posta kutusuna Gidişte A kentinden B kentine 4, B kentinden C kenti- 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 farklı şekilde atılarak posta- ne 5 ve dönüşte C kentinden B kentine 5, B kentinden lanabilir. A kentine 4 farklı yol bulunduğundan saymanın çarp- ma ilkesine göre 4 · 5 · 5 · 4 = 400 farklı yolla gidilip dö- b) 4 mektup, 5 posta kutusuna bir posta kutusunda nülebilir. en çok bir mektup olması koşuluyla kaç farklı şe- kilde atılabilir? b) Gidişte kullanılan yolları dönüşte kullanmamak ve B kentine uğramak koşuluyla A kentinden C Birinci mektup 5 posta kutusundan birine, ikinci mek- kentine kaç farklı yolla gidilip dönülebileceğini tup geriye kalan 4 posta kutusundan birine, üçüncü bulunuz. mektup ise geriye kalan 3 posta kutusundan birine,- dördüncü mektup geriye kalan 2 posta kutusundan bi- Gidişte A kentinden B kentine 4, B kentinden C kentine rine atılarak postalanabilir. Bu durumda her mektup 5 farklı yol vardır. Gidişte kullanılan yollar dönüşte kul- farklı posta kutusuna atılmak koşuluyla 4 mektup, 5 lanılmayacağından C den B ye 4, B den A ya 3 farklı yol posta kutusuna 5 · 4 · 3 · 2 = 120 farklı şekilde posta- kalır. Saymanın çarpma ilkesine göre 4 · 5 · 4 · 3 = 240 lanabilir. farklı yolla gidilip dönülebilir. ÖRNEK 8 c) Gidişte kullanılan güzergahı dönüşte kullanma- A = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5} kümesinin elemanları kullanıla- mak ve B kentine uğramak koşuluyla A kentin- den C kentine kaç farklı yolla gidilip dönülebile- rak 4 basamaklı; ceğini bulunuz. a) Kaç doğal sayı yazılabileceğini bulunuz. Gidişte A kentinden B kentine 4, B kentinden C kentine Binler basamağında 0 kullanılamayacağından 5, diğer 5 farklı yol olduğundan 4 · 5 = 20 farklı yolla A dan C ye basamaklarda ise 6 rakam kullanılabilir. gidilebilir. Gidişte kullanılan yol dönüşte kullanılmaya- Bu durumda 5 · 6 · 6 · 6 = 1080 tane doğal sayı yazı- cağından dönüş için 20 - 1 = 19 farklı yol vardır. Bu du- labilir. rumda saymanın çarpma ilkesi gereği 20 · 19 = 380 fark- lı yolla gidilip dönülebilir. b) Rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabileceğini bulunuz. ÖRNEK 6 Binler basamağında 0 kullanılamayacağından 5 fark- 18 kişilik bir sınıftan 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı- lı rakamdan biri, yüzler basamağında rakamlardan bi- nın kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulunuz. ri kullanıldığı için geriye kalan 5 rakamdan biri kullanı- lır. Benzer düşünceyle onlar basamağında geriye ka- Başkan 18 kişi arasından 18 farklı şekilde, başkan yar- lan 4 rakamdan biri ve birler basamağında kalan 3 ra- dımcısı ise geriye kalan 17 kişi arasından 17 farklı şe- kamdan biri kullanılabilir. O hâlde 5 · 5 · 4 · 3 = 300 ta- kilde seçilebilir. ne rakamları farklı doğal sayı yazılabilir. Bu durumda tüm seçimlerin sayısı 18 · 17 = 306 olur. 5. a) 400 b) 240 c) 380 6. 306 3 7. a) 243 b) 120 8. a) 1080 b) 300

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr c) Rakamları farklı kaç çift doğal sayı yazılabileceği- ÖRNEK 12 ni bulunuz. 2, 4, 6 rakamlarıyla üç basamaklı kaç farklı doğal sa- Sayının çift olması için birler basamağı 0, 2,4 eleman- yı yazılabilir? larından biri olmalıdır. Birler basamağına 0,2 veya 4 yazıldığı durumlarda 5 · 4 · 3 · 1 + 4 · 4 · 3 · 2 = 156 sa- 3 · 3 · 3 = 27 farklı sayı yazılabilir. yı yazılabilir. ÖRNEK 13 d) Rakamları farklı 5 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabileceğini bulunuz. 2, 4, 6, 8 rakamlarıyla, rakamları farklı olan, üç basa- maklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 ve- ya 5 olmalıdır. 4 · 3 · 2 = 24 farklı doğal sayı yazılabilir. Bu durumda 5 · 4 · 3 · 1 + 4 · 4 · 3 · 1 = 108 tane doğal sayı 5 ile bölünebilir. ÖRNEK 14 e) 2000 ile 4000 arasında rakamları farklı kaç doğal 0, 2, 4, 6 rakamlarıyla üç basamaklı kaç farklı doğ­ al sayı yazılabileceğini bulunuz. sayı yazılabilir? Sayı 2000 ile 4000 arasında olacağından binler basa- 3 · 4 · 4 = 48 farklı doğal sayı yazılabilir. mağı 2 ve 3 elemanlarından biri olmalıdır. Bu durumda 2 · 5 · 4 · 3 = 120 tane sayı yazılabilir. ÖRNEK 9 10 kişilik bir topluluktan bir başkan, bir başkan yar­ dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir? 10 · 9 · 8 = 720 farklı şekilde seçilebilir. ÖRNEK 15 ÖRNEK 10 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarıyla, rakamları farklı, üç ba­ samaklı, kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Bir arkadaş grubunda herkes birbirine fotoğrafını ver- miştir. 4 · 4 · 3 = 48 farklı doğal sayı yazılabilir. Toplam 72 fotoğraf el değiştirdiğine göre, grup kaç kişiliktir? n kişi sayısı olmak üzere n(n - 1) = 72 ise n = 9 olur. ÖRNEK 16 ÖRNEK 11 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarıyla sadece iki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Bir mezuniyet töreninde herkes birbirinin elini sık­mıştır. Toplam 210 el sıkışma olduğuna göre, tö­rende kaç Tamamı- (bütün rakamları farklı +bütün rakamları aynı) kişi vardır? 4 · 5 · 5 = 100 tüm durumlar. 4 · 4 · 3 = 48 rakamları farklı 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = n · ( n - 1 ) / 2 = 210 4 · 1 · 1 = 4 rakamları aynı n ( n - 1 ) = 420 ise n = 21 dir. 100 - 52 = 48 farklı doğal sayı yazılabilir. Buna göre, törende 21 kişi vardır. 8. c) 156 d) 108 e) 120 9. 720 10. 9 11. 21 4 12. 27 13. 24 14. 48 15. 48 16. 48

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 17 ÖRNEK 21 H = { 0, 2, 3, 5, 6, 8 } 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarıyla en az iki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? kümesinin elemanlarını kullanarak, 500 den küçük kaç doğal sayı yazılabilir? Tamamı - rakamları farklı 4 · 5 · 5 = 100 tamamı 2 ve 3 ile başlayan üç basamaklı sayılar 2 · 6 · 6 = 72 ta- 4 · 4 · 3 = 48 rakamları farklı ne, iki basamaklı sayılar 5 · 6 = 30 tane, bir basamaklı 100 - 48 = 52 farklı doğal sayı yazılabilir. doğal sayılar 6 tane olup toplam 72 + 30 + 6 = 108 tane sayı yazılabilir. ÖRNEK 18 ÖRNEK 22 7000 den büyük, rakamları farklı, dört basamaklı kaç K = {0, 3, 4, 6, 7, 9} çift sayı yazılabilir? kümesinin elemanlarını kullanarak, 3 basamaklı en 8 ile başlayanlar 1 · 8 · 7 · 4 = 224 az iki basamağındaki rakamı aynı olan kaç doğal sa- 7 ve 9 ile başlayanlar 2 · 8 · 7 · 5 = 560 yı yazılabilir? 224 + 560 = 784 çift sayı yazılabilir. ÖRNEK 19 Tüm 3 basamaklı sayılar 5 · 6 · 6 = 180 A = { 1, 2, 3 } ve B = { 1, 4, 5, 6 } dır. Tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayılar 5 · 5 · 4 = 100 180 - 100 = 80 tane doğal sayı yazılabilir. Yüzler basam­ ağı A dan, onlar ve birler basamakları B den olmak üzere rakamları farklı üç basamaklı kaç ÖRNEK 23 sayı yazılabilir? Her biri özdeş 5 kırmızı ve 8 mavi toptan en az bir ta- 1 ile başlayanlar 1 · 3 · 2 = 6 nesi kaç değişik şekilde seçilebilir? 2 ve 3 ile başlayanlar 2 · 4 · 3 = 24 Toplam 6 + 24 = 30 sayı yazılabilir. 5 özdeş kırmızı için 6 durum 8 özdeş mavi için 9 durum vardır. ÖRNEK 20 9 · 6 = 54 54 - 1 = 53 {( 0, 0 ) durumu çıkarıldı.} 2, 3, 5, 7 rakamları kullanılarak yazılabilen 4 basa- maklı rakamları farklı sayıların toplamı kaçtır? ÖRNEK 24 A = { 1, 2, 3, 4, 5 } Toplam 4 · 3 · 2 · 1 = 24 sayı yazılabilir . Her sayı 24 : 4 = 6 defa her basamağa yazılabilir. kümesinin elemanlarıyla ilk dört rakamı ve son dört Sayıların toplamı 2 + 3 + 5 + 7 = 17 olduğundan her ba- rakamı sırasıyla aynı olan 8 basamaklı kaç sayı ya- samakta bu toplam oluşur. zılabilir? Bu durumda Binler basamağı 1000 · 6 · 17 = 102000 Rakamların farklı olması gerekmediğinden Yüzler basamağı 100 · 6 · 17 = 10200 5 5 5 5 54 şeklinde yazılabilir. Onlar basamağı 10 · 6 · 17 = 1020 Birler basamağı 1 · 6 · 17 = 102 şeklinde toplam oluşur. Sonuç olarak 102000 + 10200 + 1020 + 102 = 113 322 toplamı olur. 17. 52 18. 784 19. 30 20. 113322 5 21. 108 22. 80 23. 53 24. 54

TEST - 1 SIRALAMA VE SEÇME 1. 25 voleybolcu arasından voleybol takımına 1 5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kaptan ve 1 kaptan yardımcısı kaç farklı şekilde kümesinin elemanları ile ra­kamları farklı, 5 ile seçebiilir? bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 625 B) 600 C) 50 D) 49 E) 25 A) 16 B) 20 C) 32 D) 36 E) 48 2. 5 araba, birer arabalık 6 farklı park yerine kaç 6. 4 güvenlik görevlisi, 7 katlı bir binanın her ka- farklı şekilde park edilebilir? tında en fazla 1 güvenlik görevlisi olmak üzere, bu binaya kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? A) 25 B) 30 C) 60 D) 120 E) 720 A) 840 B) 720 C) 480 D) 360 E) 210 3. A = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} 7. E = {0, 3, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarını kullanarak, üç basa- kümesinin elemanlarını kullanarak 3 basamaklı maklı kaç doğal sayı yazılabilir? rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazalabilir? A) 343 B) 252 C) 216 D) 210 E) 105 A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60 4. B = {2, 5, 6, 7, 8, 9} 8. F = {0, 2, 4, 6, 7, 9} kümesinin elemanlarını kullanarak, 3 basamak- kümesinin elemanlarını kullanarak, 3 basamak- lı rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? lı rakamları farklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) 216 B) 125 C) 120 D) 108 E) 96 A) 24 B) 36 C) 40 D) 52 E) 68 1. B 2. E 3. A 4. C 6 5. D 6. A 7. D 8. E

SIRALAMA VE SEÇME TEST - 2 1. G = {0, 3, 5, 6, 7, 8} 5. 3 farklı madenî para 4 kumbaraya kaç farklı şe- kümesinin elemanlarını kullanarak, 3 basamak- kilde atılabilir? lı 600 den büyük kaç doğal sayı yazılabilir? A) 12 B) 24 C) 27 D) 48 E) 64 A) 72 B) 80 C) 96 D) 107 E) 108 2. A = {0, 1, 2, 3, 4} 6. Bir kumbaraya en çok 1 madenî para atmak ko- kümesinin elemanlarını kullanar­ ak, rakamları şuluyla 3 farklı madenî para 4 kumbaraya kaç farklı, üç basamaklı ve 200 den büy­ ük olan kaç farklı şekilde atılabilir? farklı çift sayı yazılabilir? A) 24 B) 18 C) 12 D) 8 E) 4 A) 18 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32 3. Ankara’dan İstanbul’a, 8 farklı otobüs şirketi ve 3 7. 10 kişinin katıldığı bir memuriyet sınavında farklı havayolu şirketi yolcu taşımaktadır. adayların sınavı kazanıp kazanmama durumu kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? Buna göre, Ankara’dan İstanbul’a uçak veya otobüsle gidecek olan bir kişi biletini kaç farklı A) 10 B) 20 C) 64 şirketten alabilir? D) 512 E) 1024 A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 24 4. Disiplin kurulunda görev almak üzere, 16 öğret- 8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} men arasından 1 başkan ve 1 başkan yardımcı- kümesinin elemanları kullanılarak 2000 ile 5000 sı kaç farklı şekilde seçilebilir? arasında 5 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı yazılabilir? A) 120 B) 180 C) 225 D) 240 E) 256 A) 36 B) 48 C) 108 D) 144 E) 216 1. D 2. B 3. D 4. D 7 5. E 6. A 7. E 8. C

TEST - 3 SIRALAMA VE SEÇME 1. Her biri 4 seçenekli olan 5 sorunun cevap anahtarı 5. A = {1, 3, 5}, B = {2, 4}, C = {0, 8, 9} hazırlanacaktır. kümeleri veriliyor. Art arda gelen soruların cevaplarının farklı se- Birler basamağı A, onlar basamağı B ve yüzler çeneklerde olması koşuluyla cevap anahtarı basamağı C kümesinden alınarak 3 basamaklı kaç farklı şekilde hazırlanabilir? kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 120 B) 240 C) 243 D) 324 E) 345 A) 6 B) 10 C) 12 D) 18 E) 24 2. A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine 4 6. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} yol vardır. kümesinin elemanları ile sadece iki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç farklı sayı yazıl­abilir? A dan C kentine gidip tekrar A ya dönmek iste- yen bir kişi, B den geçmek ve gittiği yoldan ge- A) 70 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90 ri dönmemek koşuluyla kaç farklı şeklide gidip dönebilir? A) 24 B) 36 C) 48 D) 64 E) 72 3. A = {1, 2, 3, 4} 7. Bir mağaza her gün vitrininde sadece 3 ceketi yan kümesinin elemanları kullanılarak en az iki ba- yana dizmek şartıyla vitrinini düzenlemektedir. samağındaki rakamı aynı olan, 4 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? Bu mağazada 10 çeşit ceket bulunduğuna göre, kaç gün boyunca farklı vitrin düzenleyebilir? A) 256 B) 232 C) 180 D) 144 E) 96 A) 360 B) 480 C) 630 D) 720 E) 960 4. Bir kırtasiyede bulunan 40 kalem ve 25 silgi 8. Bir işhanında 10 büro, her büroda 3 oda ve her aras­ ından, 1 kalem veya 1 silgi kaç değişik bi- odada 2 telefon varsa, bu işhanında kaç telefon çimde seçilebilir? vardır? A) 2 B) 25 C) 40 A) 6 B) 20 C) 30 D) 50 E) 60 D) 65 E) 1000 1. D 2. E 3. B 4. D 8 5. C 6. B 7. D 8. E

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF PERMÜTASYON İlişkili Kazanımlar 10.1.1.1 : Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. 10.1.1.2 : n çeşit nesne ile oluşturulabilecek r li dizilişlerin (permütasyonların) kaç farklı şekilde yapılabileceğini hesaplar. Faktöriyel ÖRNEK 3 TANIM ^ n + 1 h! + ^ n + 2 h! ^ n + 3 h! n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1 den n ye ka- dar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel de- ifadesinin eşiti nedir? nir ve n! şeklinde gösterilir. n! = 1 · 2 · ... · ( n - 1 ) · ( n ) dir. ^ n + 1 h! +^ n + 2 h·^ n + 1 h! 1! = 1 2! = 1 · 2 = 2 ^ n + 3 h·^ n + 2 h·^ n + 1 h! 3! = 1 · 2 · 3 = 6 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 ^ n + 1 h!·^ 1 + n + 2 h = 1 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 ^ n + 3 h·^ n + 2 h·^ n + 1 h! n+2 6! = 6 · 5! = 6 · 5 · 4! dir. 0! = 1 kabul edilir. ÖRNEK 4 Ayrıca n! = n · (n - 1)! = n · (n - 1) · (n - 2)! yazılabilir. 10! sayısı 8! sayısının kaç katıdır? 10! = 10·9· 8! = 90 8! 8! ÖRNEK 1 ÖRNEK 5 20! 10 + 5 + 1 18! + 19! 6! 5! 3! ifadesinin değeri kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 20·19·18! = 20· 19· 18! = 19 18! + 19·18! 18! ^ 1 + 19 h 10 5 1 10 + 30 + 120 6! + 5! + 3! = 6! ^ 6 h ^ 120 h = 160 = 2 6·5·4·3·2 9 ÖRNEK 2 ÖRNEK 6 n! = 42 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 2019! ^ n - 2 h! toplamının birler basamağındaki rakamı kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır? 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 n^ n - 1 h·^ n - 2 h! = 42 Geriye kalan tüm faktöriyelli sayların birler basamağı sıfır ^ n - 2 h! olduğundan ifadenin birler basamağındaki rakam 4’tür. n( n - 1 ) = 42 ise n = 7 olur. 9 3. 1 4. 90 5. 2 6. 4 n+2 9 1. 19 2. 7

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 7 ÖRNEK 9 a ve b doğal sayı olmak üzere, P( 4, 2 ) + 2 · P(5, 3) a! = 120 · b! işleminin sonucu kaçtır? eşitliğini sağlayan kaç farklı ( a, b ) sıralı ikilisi vardır? 4 · 3 + 2 · 5 · 4 · 3 = 12 + 120 = 132 120 2 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 60 2 30 2 a! = 120! a = 120 b = 119 15 3 b! 119! 55 1 a! = 5! ·6 = 6! &a=6 b=3 ÖRNEK 10 b! 6 3! a) P( n, n - 1 ) = 720 ise n kaçtır? a! = 5! a=5 b=0 b! 1 * a=5 b=1 ( a, b ) = { ( 120, 119 ), ( 6, 3 ), ( 5, 0 ), ( 5, 1 ) } olmak üze- n! n! re 4 tanedir. ^ n -^ n - 1 h h! 1! = = 720 & n! = 6! Permütasyon n=6 BİLGİ b) P( 3n - 1, 2 ) = 110 ise n kaçtır? n, r ! N ve n $ r olmak üzere, n tane elemanın ^ 3n - 1 h^ 3n - 2 h = 110 = 11· 10 r li sıralanışına n nin r li permütasyonu denir 3n - 1 = 11 & 3n = 12 ve P( n, r ) biçiminde gösterilir. n=4 P^ n, r h = n! ^ n - r h! P( n, r ) = n · ( n - 1 ) · ( n - 2 )·...· ( n - r + 1 ) ÖRNEK 8 c) P( 2n + 3,3 ) = 210 ise n kaçtır? Aşağıda verilen ifadeleri bulunuz. ^1424n27+4343h^1424n26+4243h^1424n25+4143h = 210 = 7 · 6 · 5 a) P( 10, 3 ) 2n + 3 = 7 & 2n = 4 n=2 P ( 10, 3 ) = 10! = 10 · 9 · 8 · 7! = 720 ( 10 - 3 ) ! 7! BİLGİ 1. P( n, 0 ) = n! = 1 b) P( 8, 2 ) n! P ( 8, 2 ) = 8! = 8 · 7 · 6! = 56 (8 - 2)! 6! 2. P( n, 1 ) = n! = n c) P( 7, 3 ) (n - 1) ! P( 7, 3 ) = 7·6·5 = 210 3. P( n, n ) = n! = n! >3 tane 0! d) P( 9,2 ) 4. P( n, n - 1 ) = n! = n! P ( 9, 2 ) = 9·8 = 72 2:tane 1! 7. 4 8. a) 720 b) 56 c) 210 d) 72 10 9. 132 10. a) 6 b) 4 c) 2

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 11 ÖRNEK 13 A = { a, b, c, d, e, f } kümesi veriliyor. P( n, 4 ) = 4 · P( n - 1,2 ) olduğuna göre, n kaçtır? a) A kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tane- sinde; a bulunur, b bulunmaz? n · ( n - 1) · ( n - 2 ) · ( n - 3 ) = 4 · ( n - 1) · ( n - 2 ) n· >( n -1 3 ) = 4 & n = 4 3 { a, c, d, e, f } kümesi için 64 a’nın konum sayısı 3 · P( 4, 2 ) = 3 · 4 · 3 = 36 b) A kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tane- sinde; a ve b birlikte bulunur? ÖRNEK 12 32 P( 4, 1 ) · 3 · 2 = 24 a’nın b’nin A = { 1, 2, 3, a, b, c } kümesi veriliyor. konum konum sayısı sayısı a) A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı kaçtır? c) A kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tane- sinde; a ve b den en az biri bulunur? P( 6, 3 ) = 6 · 5 · 4 = 120 Tüm durumdan ikisinin olmadığı durumu çıkartırsak; P( 6, 3 ) - P( 4, 3 ) = 6 · 5 · 4 - 4 · 3 · 2 = 120 - 24 = 96 b) A kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tane- d) A kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaçında sinde 2 bulunmaz? a veya b bulunur? { 1, 3, a, b, c } kümesi için Tüm durumdan a ve b’nin olmadığını çıkartırsak P( 5, 3 ) = 5 · 4 · 3 = 60 P( 6, 4 ) - P( 4, 4 ) = 6 · 5 · 4 · 3 - 4! = 336 e) A kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaçında a harfi b harfinin solundadır? c) A kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç ta- ab nesinde 2 bulunur? 4 3 4 3 = 144 144 = 72 2 Tüm 4 lü permütasyonlarından 2’nin bulunmadıkları- nı çıkartalım. P( 6, 4 ) - P( 5, 4 ) = 6! - 5! = 360 - 120 = 240 ÖRNEK 14 2! 1! 5 kişi, iki kişilik bir sıraya kaç farklı şekilde oturur? 11. 4 12. a) 120 b) 60 c) 240 P( 5, 2 ) = 5 · 4 = 20 11 13. a) 36 b) 24 c) 96 d) 336 e) 72 14. 20

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 15 ÖRNEK 19 Birbirinden farklı 3 matematik, 2 geometri ve 4 fi- 2 doktor, 4 avukat, 5 mühendis bir sıra boyunca sı- zik kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir? ralanmış 11 sandalyeye, a) Kaç değişik şekilde oturabilirler? P( 9, 9 ) = 9! P( 11, 11 ) = 11! ÖRNEK 16 b) Aynı meslekten olanlar bir arada olmak üzere kaç değişik şekilde oturabilirler? Birbirinden farklı 4 matematik, 3 tarih ve 2 coğrafya kitabı bir rafa, matematikler bir arada olmak koşu- DD A A A A MMMMM luyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? P( 3, 3 ) · P( 2, 2 ) · P( 4, 4 ) · P( 5, 5 ) 3! · 2! · 4! · 5! MMMM T T T C C P( 6, 6 ) · P( 4, 4 ) = 6! · 4! c) Aynı meslekten olanlar bir arada ve doktorlar orta- da olmak üzere kaç değişik şekilde oturabilirler? ÖRNEK 17 A A A A DD MMMMM Birbirinden farklı 4 matematik ve 5 coğrafya kitabı P( 2, 2 ) · P( 2, 2 ) · P( 4, 4 ) · P( 5, 5 ) bir rafa, her matematik kitabı iki coğrafya kitabı ara- 2! · 2! · 4! · 5! sında olmak üzere kaç farklı şekilde sıralanabilir? ÖRNEK 20 CMCMCMCMC P( 5, 5 ) · P( 4, 4 ) = 5! · 4! 3 erkek ve 2 kız öğrenci, bir sırada yan yana kaç farklı şekilde oturabilirler? ÖRNEK 18 P( 5, 5 ) = 5! = 120 TOLGA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya konul- duğunda baştan 81. kelime ne olur? P( 5, 5 ) = 5! = 120 sayı yazılır. ÖRNEK 21 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 120 = 24 A ile başlayan 24 5 kümesinin elemanlarını kullanarak, üç basamaklı G ile başlayan 24 ve rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? L ile başlayan 24 P( 6, 3 ) = 6 · 5 · 4 = 120 OA ile başlayan OA .... = 6 tane OGALT OGATL OGLAT $ 81. kelime 15. 9! 16. 6! · 4! 17. 5! · 4! 18. OGLAT 12 19. a) 11! b) 3! · 2! · 4! · 5! c) 2! · 2! · 4! · 5! 20. 120 21. 120

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 22 ÖRNEK 26 3 erkek ve 2 kız öğrenci, kızlar kendi aralarında, er- 5 erkek ve 4 kız bir sıraya, herhangi iki erkek yan ya- kekler kendi aralarında oturmak koşulu ile bir sırada na oturmamak üzere kaç farklı şekilde oturabilirler? yan yana kaç farklı şekilde oturabilirler? EKEKEKEKE EEE KK Erkeklerin sıralanışı P( 5, 5 ) P( 2, 2 ) · P( 2, 2 ) · P( 3, 3 ) Kızların sıralanışı P( 4, 4 ) 2! · 2! · 3! = 2 · 2 · 6 = 24 P( 5, 5 ) · P( 4, 4 ) = 5! · 4! ÖRNEK 23 ÖRNEK 27 3 erkek ve 2 kız öğrenci, kızlar yan yana olmak ko- 3 farklı matematik, 3 farklı fizik ve 1 kimya kitabı düz şulu ile bir sırada yan yana kaç farklı şekilde otura- bir rafa hiç bir matematik kitabı yan yana gelmemek bilirler? üzere kaç farklı biçimde dizilebilir? EEE KK -F-F-F-K- P( 4, 4 ) · P( 2, 2 ) Fizik ve kimya kitaplarının sıralanışı P( 4, 4 ) geriye ka- 4! · 2! = 24 · 2 = 48 lan boşluklara matematikler P( 5, 3 ) şeklinde sıralanır. P( 4, 4 ) · P( 5, 3 ) = 4! · 5 · 4 · 3 = 1440 ÖRNEK 24 ÖRNEK 28 4 kız ve 3 erkek bir sıraya, iki kız arasında bir erkek EMPATİ kelimesinin harfleriyle yazılabilecek 6 harfli oturmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? kelimelerin kaç tanesinde A harfinin sağında T harfi, solunda P harfi bulunur? KEKEKEK P( 4, 4 ) · P( 3, 3 ) = 4! · 3! = 144 P ( 6, 6 ) = 6 · 5 · 4 · 3! = 120 Kızların Erkeklerin 3! 3! sıralanışı sıralanışı ÖRNEK 25 ÖRNEK 29 4 doktor ve 4 avukat 8 kişilik bir sıraya aynı meslek- 5 öğrenci ve 4 öğretmen, herhangi iki öğretmen yan ten olanlar yan yana oturmamak koşulu ile kaç deği- yana gelmemek üzere yan yana duran 9 koltuğa kaç şik şekilde oturabilirler? farklı şekilde oturabilir? ADADADAD veya DADADADA şeklindedir. -Ö-Ö-Ö-Ö-Ö- Doktorların sıralanışı = P( 4, 4 ) Avukatların sırlanışı = P( 4, 4 ) öğrencilerin sıralanışı P( 5, 5 ) P( 4, 4 ) · P( 4, 4 ) · P( 2, 2 ) 4! · 4! · 2! = 1152 4 öğretmenin sıralanışı P( 6, 4 ) P( 5, 5 ) · P( 6, 4 ) = 5! · 6 · 5 · 4 · 3 = 5! ·6! 2 22. 24 23. 48 24. 144 25. 1152 13 26. 5! · 4! 27. 1440 28. 120 29. 5! ·6! 2

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 30 ÖRNEK 32 5 arkadaştan ikisi kardeştir. 5 hemşire, 7 katlı bir hastanenin her katında en çok Buna göre; 1 hemşire olmak üzere kaç farklı şekilde görev ya- a) Kardeşler yan yana gelmek üzere bu 5 kişi kaç pabilir? farklı şekilde yan yana fotoğraf çektirebilir? P( 7, 5 ) = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520 K K 3 kişi ÖRNEK 33 P( 4, 4 ) · P( 2, 2 ) = 4! · 2! = 48 P( 2n + 2, 3 ) = 90 · P( 2n - 3, 1 ) + 270 ise n kaçtır? b) K ardeşler yan yana gelmemek üzere bu 5 kişi kaç farklı şekilde yan yana fotoğraf çektirebilir? ( 2n + 2 ) ( 2n + 1) ( 2n ) = 90· ( 2n - 3 ) + 270 2 ( n + 1) · ( 2n + 1) · ( 2n ) = 90· ( 2n ) Tüm durumlardan kardeşler yan yana olma durumunu çıkartırsak P( 5, 5 ) - P( 4, 4 ) · P( 2, 2 ) >( n +5 1) ·1(424n29+4413) = 45 120 - 48 = 72 n+1=5& n=4 ÖRNEK 31 ÖRNEK 34 Her birinin boyutları birbirinden farklı olan 3 mavi, 2 Aralarında Erdem ile Ahmetin’de bulunduğu bir grup öğ- kırmızı ve 3 beyaz boncuk düz bir ipe, renci bir sıra şeklinde fotoğraf çektireceklerdir. a) Kaç farklı şekilde dizilebilir? Erdem ile Ahmet yan yana gelmemek şartıyla 3600 farklı şekilde fotoğraf çektirebildiklerine göre, bu 2 + 3 + 3 = 8 boncuk grup kaç kişiliktir? P( 8, 8 ) = 8! n! - ( n - 1) !2 = 3600 = 5 · 6! b) Mavi boncuklar bir arada olmak üzere, kaç farklı ( n - 1) ! ( n - 2 ) = 5 · 6! & n - 1 = 6 & n = 7 şekilde dizilebilir? ÖRNEK 35 MMM KKBBB P( 6, 6 ) · P( 3, 3 ) = 6! · 3! Bir okulda bulunan 2 öğretmen ile 5 öğrenci fotoğraf çektireceklerdir. Öğretmenler yan yana olmak üzere, c) Aynı renk boncuklar bir arada olmak üzere kaç 3 kişi arka sırada, 4 kişi de ön sırada olmak şartıyla farklı şekilde dizilebilir? kaç farklı şekilde poz verebilirler? MMM KK BBB Ö⁄⁄ ÖÖÖ P( 3, 3 ) · P( 3, 3 ) · P( 2,2  ) · P( 3, 3 ) ÖÖÖÖ ⁄⁄ÖÖ 3! · 3! · 2! · 3! = 432 P ( 5, 4 ) 2! ·2! = 480 P ( 5, 3 ) 3! · 2! = 720 480 + 720 = 1200 farklı şekilde poz verebilirler. 30. a) 48 b) 72 31. a) 8! b) 6! · 3! c) 432 14 32. 2520 33. 4 34. 7 35. 1200

PERMÜTASYON TEST - 4 1. 4 farklı kimya, 5 farklı matematik, 2 farklı fizik kitabı 5. Pelin elinde bulunan ve hepsi farklı büyüklükte olan bir rafa sıralanacaktır. 2 beyaz, 3 kırmızı ve 3 sarı boncuğu bir ipe yan ya- na dizecektir. Bir fizik kitabı en başta, bir fizik kitabı en sonda ve matematik kitapları yan yana olacak şekilde Sarıların hepsi bir arada olmamak koşuluyla kaç farklı sıralama yapılabilir? kaç farklı dizilim yapabilir? A) 2! · 5! · 4! B) 2! · 6! · 4! C) 2! · 4! · 3! A) 3600 B) 4800 C) 7200 D) 2! · 5! · 5! E) 2! · 3! · 5! D) 24000 E) 36000 2. Melis cep telefonunun 4 haneli olan pin kodunun 6. B = {a, b, c, d, x, y} son rakamının 3 olduğunu hatırlıyor. Geriye kalan 3 kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesin- hanede de en fazla 2 tane 6 kullandığını hatırlıyor. de x elemanı bulunur, y elemanı bulunmaz? Buna göre, Melis en çok kaç denemede pin ko- A) 72 B) 84 C) 96 D) 112 E) 128 dunu bulabilir? A) 729 B) 889 C) 923 D) 999 E) 1089 3. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 7. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak yedi basamak- kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesin- lı rakamları farklı yazılan sayıların kaç tanesinde de 3 veya 5 eleman olarak bulunmaz? 1, 3 ve 5 rakamları 6 sayısından önce gelir? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 A) 1260 B) 1280 C) 1420 D) 1680 E) 1960 4. Bir yarışmaya sadece 8 öğrenci katılmıştır. 8. 4 asker, 4 farklı nöbet yerinde her nöbet yerin- Bu yarışmada birinci, ikinci ve üçüncü kaç fark- de 1 asker olmak üzere, kaç farklı şekilde nöbet lı şekilde oluşabilir? tutabilir? A) 324 B) 336 C) 348 A) 30 B) 24 C) 20 D) 18 E) 12 D) 356 E) 364 1. D 2. D 3. A 4. B 15 5. E 6. C 7. D 8. B

TEST - 5 PERMÜTASYON 1. Okul birincisi olan Meltem adlı öğrenci ile 5 öğ- 5. 7 farklı Fizik kitabından herhangi 3’ü ve 4 farklı kim- retmen hatıra fotoğrafı çektirmek için düz bir sı- ya kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. rada Meltem başta ya da sonda olmayacak şe- kilde kaç farklı şekilde poz verebilirler? Aynı dersin kitapları bir arada olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 840 B) 600 C) 540 D) 480 E) 420 A) 1080 B) 1200 C) 1680 D) 10080 E) 10800 2. 11 kişi 5 i önde, 6 sı arkada yan yana olmak üze- 6. 5 doktor ve 4 hemşire bir sıraya oturacaklardır. re kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? Her iki kenarda bir doktor ve hemşireler yan ya- na olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir- A) 4! · 7! B) 5! · 6! C) 2! · 5! · 6! ler? D) 11! E) 5! · 7! A) 1080 B) 1152 C) 10800 D) 11520 E) 12200 3. ^ n + 1 h! + ^ n + 1 h! = 49 7. Tersten okunuşu kendisine eşit olan sayılara pa- ^ n – 1 h! n! lindrom sayı denir. eşitliğini gerçekleyen n değeri kaçtır? Buna göre beş basamaklı palindrom sayılardan kaç tanesi tek sayıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 5000 B) 4500 C) 4000 D) 500 E) 400 4. Aralarında Ayşe ve Mert’in bulunduğu 10 öğrenci 8. 11 katlı bir binanın her bir katı mavi, sarı, kırmızı, sınıftan sırayla çıkacaklardır. turuncu renklerinden herhangi biri ile boyanacaktır. Mert, Ayşe sınıftan çıkmadan çıkmayacağına göre, Üst üste 3 kattan herhangi ikisinin aynı renge bu 10 öğrenci sınıftan kaç farklı şekilde çıkabilir? boyanmaması koşuluyla bu bina kaç farklı şe- kilde boyanabilir? A) 2! · 9! B) 9! C) 2 · 9! D) 5 · 9! E) 6 · 9! A) 6144 B) 6240 C) 6320 D) 6480 E) 6640 1. D 2. D 3. C 4. D 16 5. D 6. D 7. D 8. A

PERMÜTASYON TEST - 6 1. Dört basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin 5. Aralarında Melis, Begüm, Emre ve Eda’nın bu- en az iki basamağında aynı rakam bulunur? lunduğu 7 kişilik bir grup, Melis ile Begüm yan yana fakat Emre ile Eda yan yana olmamak ko- A) 4824 B) 4624 C) 4548 şuluyla, bir sırada kaç farklı şekilde yan yana oturabilir? D) 4464 E) 4248 A) 1080 B) 960 C) 900 D) 840 E) 720 2. 305 < abc < 705 6. 4 kız, 5 erkek öğrenci yan yana düz bir sırada hatı- olmak üzere rakamları farklı kaç tane abc üç ba- ra fotoğrafı çektireceklerdir. samaklı tek sayısı yazılabilir? A) 147 B) 146 C) 145 D) 144 E) 143 Kızların 3 ü başta 1 i sonda olmak üzere, kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler? A) 4 · 4! · 5! B) 3 · 4! · 5! C) 4! · 5! D) 2 · 4! · 5! E) 4! · 6! 3. Bir okulda 5 telefon hattı bulunmaktadır. 7. A = { 2, 4, 6, 8 } kümesinin elemanları kullanıla- Bu okulda çalışan halkla ilişkiler görevlisi Mel- rak yazılan dört basamaklı sayılar küçükten büyü- tem Hanım art arda yaptığı herhangi iki görüş- meyi aynı hattan yapmaması koşuluyla 5 ara- ğe doğru sıralanıyor. mayı farklı şekilde yapabilir? Buna göre, baştan 208. sayı kaçtır? A) 1680 B) 1440 C) 1280 D) 1080 E) 960 A) 8266 B) 8282 C) 8284 D) 8286 E) 8288 4. Esra ve Bihter’e 6 kalem, 8 defter ve 9 silgi kaç 8. 6 farklı çiçek yan yana dizili 6 farklı vazoda, her farklı şekilde dağıtılabilir? vazoda 1 çiçek bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde sergilenebilir? A) 480 B) 560 C) 630 D) 640 E) 720 A) 36 B) 120 C) 360 D) 720 E) 66 1. D 2. D 3. C 4. C 17 5. B 6. C 7. E 8. D

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr TEKRARLI PERMÜTASYON İlişkili Kazanımlar 10.1.1.3 : Sınırlı sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) açıklayarak problemler çözer. ÖRNEK 1 ÖRNEK 3 “KUKLA” sözcüğündeki harfler kullanılarak anlam- 22 111 344 lı ya da anlamsız 5 harfli kaç sözcük yazılabileceği- ni bulalım. sayısının rakamlarının yer değiştirmesi ile 8 basa- maklı kaç sayı yazılabilir? Çözüm “KUKLA” sözcüğündeki 5 harfin her biri birbirin- 22 111 344 sayısında den farklı olsaydı bu harfler kullanılarak, 1 $ 3 tane , 2 $ 2 tane , 4 $ 2 tane , 3 $ 1 tane P( 5, 5 ) = 5! farklı sözcük yazılabilirdi. bulunmaktadır. “KUKLA” sözcüğündeki iki K harfinin kendi Bu durumda 22 111 344 sayısının rakamlarının yer de- aralarında yer değiştirmesi yeni bir sıralama ol- mayacaktır. İki K hafi birbirinden farklı olsaydı, ğiştirmesi ile yazılabilecek 8 basamaklı sayılar P( 2, 2 ) = 2! farklı şekilde sıralanabilecekti. P^ 8; 3, 2, 2, 1 h = 8! = Y82 · 7 · Y6 · 5 3! · 2! · 2! · 1! Y2 · Y6 · Y2 O hâlde “KUKLA” sözcüğündeki 5 harfle, P (5, 5) = 5! = 120 = 60 sözcük yazılabilir. = 14 · ( 5!) = 14 · 120 = 1680 tanedir. P (2, 2) 2! 2 ÖRNEK 4 TANIM 444223 • Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kü- menin n li permütasyonlarına tekrarlı permü- sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden tasyon denir. farklı 3 ile başlayan kaç sayı yazılabilir? • n tane elemanın r1 tanesi aynı, r2 tanesi ay- 3 44422 nı, ... , rk tanesi aynı iken r1 + r2 + ... + rk = n tane elemanın farklı sıralanışlarının sayısı, 5! = 5·4 = 5·4 = 10 sayı yazılabilir. 3! · 2! 3! · 2! 2 n! ile hesaplanır. r1! · r2! · f · rk! ÖRNEK 5 ÖRNEK 2 5552272 444115 sayısının rakamlarıyla 7 basamaklı ve birbirinden farklı 7 ile başlayan kaç çift sayı yazılabilir? sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir? 7 555222 6! · 1 3! ·3! 2 6! 6·5·4 Y6 · 5·Y4 = 10 say› yaz›labilir. 3! · 2! 2 3! · 2 = = 60 2. 60 18 3. 1680 4. 10 5. 10

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 4 440 003 30095008 sayısının rakamlarının yer değiştirmesi ile 7 basa- sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç farklı 8 ba- maklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? samaklı sayı yazılabilir? Tüm durumlardan tek sayıların sayısı çıkarılırsa çift 8! · 4 = 7 · 6 · 5 · 4 = 840 sayıların sayısı elde edilir. 4! 8 7 basamaklı 4 440 003 sayısının rakamlarının 4 tanesi sıfırdan farklıdır. Seçilen rakamların 3 tanesi 0 olduğundan yazılabile- cek 7 basamaklı dizilişlerin 3 ü 0 ile başlarken 4 ü 7 7 ÖRNEK 10 0 ile başlamaz. O hâlde yazılabilecek 7 basamaklı sa- MATEMATİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da yıların sayısı 7! · 4 tane olur. anlamsız 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? 3! ·3! 7 4440003 sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek tek sayıları bulmak için 3 rakamı birler basamağında sabitlenirse 0 ile başlamayan tek sayılar 6! · 3 9! = 45360 kadar farklı kelime yazılabilir. 3! ·3! 6 2! · 2! · 2! tane olur. Buna göre 7 basamaklı çift sayıların sayısı 7! · 4 - 6! · 3 = 80 - 10 = 70 olarak bulunur. 3! ·3! 7 3! ·3! 6 ÖRNEK 7 ÖRNEK 11 0555447 KELEBEK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirle- rek 7 harfli, anlamlı ya da anlamsız, B ile başlayıp K sayısının rakamlarıyla 7 basamaklı ve birbirinden ile bitmeyen kaç sözcük yazılabilir? farklı kaç sayı yazılabilir? 7! · 6 = 6·5·4·3·Y2 = 360 say› yaz›labilir. E$ 3 B KEELEK 3! ·2! 7 Y2 K$ 2 6! 4 6·5·4·3·2·1 4 3! ·2! · 6 = 3·2·2 · 6 = 40 + L$ 1 6 ÖRNEK 8 ÖRNEK 12 52200 KİŞİSELLEŞTİRME sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek 15 harf- sayısının rakamlarıyla beş basamaklı ve birbirinden li anlamlı ya da anlamsız yazılabilen sözcüklerin kaç farklı kaç çift sayı yazılabilir? tanesinde her L harfinden hemen sonra E, her Ş har- finden hemen sonra İ ve T harfinden hemen sonra 5! · 3 - 4! · 2 R gelir? 2! ·2! 5 2! ·2! 4 10! 18 - 3 = 15 2! · 2! 6. 70 7. 360 8. 15 19 9. 840 10. 45360 11. 40 12. 10! 2! · 2!

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 13 D ÖRNEK 15 Kuzey Özdeş 9 bilye 4 çocuğa her çocuk en az bir bilye al- mak koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? BC 0000 00000/ / / 5+3=8 8! = 8·7·6 = 56 5! ·3! 3·2 A ÖRNEK 16 Doğu Bir kutuda 6 sarı, 4 kırmızı bilye vardır. Yukarıdaki şekil, bir şehrin birbiriyle kesişen cadde ve Bu bilyeler 4 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? sokaklarının krokisidir. A noktasındaki bir araba, sadece doğu veya kuzey yönünde ilerleyecektir. 6S4K / / / $ 6 + 4 + 3 = 13 Buna göre bu arabanın; a) A noktasından D noktasına kaç farklı yolla gide- bileceğini bulunuz. 13! = 13 · 12 · 11· 10 · 9 · 8 · 7 6! ·4! ·3! 4·3·2·3·2 10! 10 · 9 · 8 · 7 A$D 6! · 4! = 4·3·2·1 = 210 = 60 060 b) BC yolunu kullanmak koşuluyla A noktasından D noktasına kaç farklı yolla gidebileceğini bulunuz. (A $ B $ C $ D) ÖRNEK 17 5! · 3! = 30 x, y ve z birer pozitif tam sayı olmak üzere, 3! ·2! 2! x + y + z = 10 c) B noktasına uğramak ve C noktasına uğrama- eşitliğini sağlayan kaç tane ( x, y, z ) sıralı üçlüsü mak koşuluyla A noktasından D noktasına kaç vardır? farklı yolla gidebileceğini bulunuz. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 // 7+2=9 9! = 8·9 = 36 7! ·2! 2 (A $ B $ D)-(A $ B $ C $ D) 5! · 5! - 30 3! · 2! 3! · 2! = 10 · 10 - 30 = 70 olur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 14 x, y ve z birer pozitif tam sayı olmak üzere, x·y·z=8 Özdeş 6 oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağı- eşitliğini sağlayan kaç tane ( x, y, z ) sıralı üçlüsü vardır? tılabilir? x·y·z=8 1 1 8$ 3! =3 2! 000000/ / 6+2=8 1 2 4 $ 3! = 6 8! 8·7 6! · 2! = 2·1 = 28 2 2 2$ 3! =1 3 + 6 + 1 = 10 3! 13. a) 210 b) 30 c) 70 14. 28 20 15. 56 16. 60 060 17. 36 18. 10

TEKRARLI PERMÜTASYON TEST - 7 1. EKLEMEK 5. KÜLLENMEK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek, kelimesinin harfleriyle her K harfinden hemen anlamlı ya da anlamsız kaç sözcük yazılabilir? sonra L harfi gelecek şekilde anlamlı ya da an- lamsız 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? A) 105 B) 210 C) 240 D) 420 E) 1260 A) 1260 B) 1080 C) 840 D) 630 E) 420 2. 440707 6. Özdeş 4 mavi, 3 sarı ve 3 kırmızı boncuk bir ipe sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek, on- sarı boncuklardan sadece 2 tanesi yan yana ol- lar basamağı 4 olan 6 basamaklı kaç farklı sayı mak üzere kaç farklı şekilde takılabilirler? yazılabilir? A) 1960 B) 1680 C) 1470 A) 60 B) 30 C) 24 D) 20 E) 18 D) 1260 E) 1080 3. RENKLENMEK 7. 3334410 kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız sayısının rakamlarıyla 7 basamaklı ve birbirin- 10 harfli R ile başlayıp L harfiyle biten kaç fark- den farklı kaç sayı yazılabilir? lı kelime yazılabilir? A) 420 B) 400 C) 380 D) 360 E) 300 A) 630 B) 840 C) 1260 D) 1680 E) 2520 8. B 4. KÜLLEMEK Kuzey kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 8 A Doğu harfli sessiz harfle başlayıp sessiz harfle biten kaç farklı kelime yazılabilir? A) 1080 B) 1260 C) 1440 Şekil bir şehrin birbirini dikey kesen sokaklarını E) 1800 göstermektedir. D) 1680 Sadece doğu ve kuzey yönünde gitmek şartıyla A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir postacı kaç farklı şekilde gidebilir? A) 180 B) 200 C) 225 D) 240 E) 280 1. D 2. E 3. D 4. E 21 5. A 6. A 7. D 8. C

TEST - 8 TEKRARLI PERMÜTASYON 1. 5325325 5. A = { 5, 7, 8 } sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek her kümesindeki rakamların her biri en az birer kez 2 rakamının hemen sağında 5 rakamı olmak ko- kullanılmak üzere, 5 basamaklı kaç farklı sayı şuluyla 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? yazılabilir? A) 60 B) 48 C) 36 D) 32 E) 30 A) 60 B) 80 C) 90 D) 140 E) 150 2. 9 tane özdeş silgi 5 öğrenciye kaç farklı şekilde 6. 588008 paylaştırılabilir? sayısının rakamları kullanılarak 6 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabillir? A) 2002 B) 1430 C) 1001 A) 40 B) 36 C) 34 D) 32 E) 30 D) 715 E) 630 3. x · y · z = 216 7. B ir lunapark atış poligonunda ası- eşitliğini sağlayan kaç tane ( x, y, z ) pozitif tam lı olan özdeş 10 adet balon vardır. sayı sıralı üçlüsü vardır? Ali 10 atış yaparak balonları pat- A) 120 B) 100 C) 96 D) 80 E) 60 latacaktır. Ali aynı ipe asılı balon- lardan alttakini patlatmadan üst- tekini patlatamayacaktır. Ali her atışında bir balon patlatmak şartıyla ba- lon seçimini kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 8400 B) 6300 C) 4200 D) 3150 E) 2100 4. 20 basamaklı bir merdiveni Mehmet, ikişer veya 8. G üç er basamak çıkarak kaç farklı şekilde çıkabi- İİ lir? RRR EEEE A) 70 B) 78 C) 87 D) 106 E) 114 SSS UU N Baştaki G harfinden başlayarak N harfine kadar harfleri izleyerek “GİRESUN” sözcüğü kaç farklı şekilde okunabilir? A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24 1. E 2. D 3. B 4. E 22 5. E 6. C 7. C 8. D

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK DÖNEL PERMÜTASYON ÖRNEK 2 BİLGİ Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan bir aile akşam ye- meklerini tüm aile bireyleriyle birlikte yuvarlak bir ma- Melis, Eylül ve Sude bir yuvarlak masada aşa- sa etrafında yemektedir. Buna göre aile bireyleri; ğıdaki iki değişik biçimde oturabilirler. Bunların dışında başka bir sıralama olamaz. a) K aç farklı şekilde oturabilirler? Melis Eylül Eylül Melis Masanın etrafına oturacak kişi sayısı 7 olduğun- dan yuvarlak masa etrafındaki farklı dizilişlerinin Sude Sude sayısı (7 - 1)! = 720 dir. (I) (II) b) A nne ve baba daima yan yana olmak koşuluy- Şimdi, n kişinin bir yuvarlak masa etrafında- la kaç farklı şekilde oturabilirler? ki değişik dizilişlerinin sayısını bulalım: Anne ve baba yan yana olduğundan bu kişiler 1 ki- Masaya oturacak ilk kişinin oturacağı yer sırala- şi olarak düşünülürse yuvarlak masa etrafında di- mayı etkilemez. Ancak, bir kişi masaya oturduk- zilen kişi sayısı AB Ç1Ç2Ç3Ç4Ç5 şeklinde olup tan sonra, bu kişiye göre farklı (n - 1) tane yer 6 olur. Ayrıca anne ve babanın kendi aralarındaki belirir. Kalan kişiler (n - 1)! değişik biçimde bu farklı dizilişlerinin sayısı 2! olduğundan saymanın yerlere sıralanırlar. çarpma kuralına göre, (6 - 1)! · 2! = 240 bulunur. Buna göre, c) Y alnız en küçük çocuğun, anne ve babasının arasında oturması koşuluyla kaç farklı şekilde s( A ) = n olmak üzere A kümesinin elemanları- oturabilirler? nın bir daire üzerindeki dizilişlerinin sayısı, Anne, en küçük çocuk ve baba yan yana olduğun- P (n, n) = n! = (n - 1) ! olur. dan bu kişiler 1 kişi olarak düşünülürse AÇ1B nn Ç2Ç3Ç4Ç5 şeklindeki 5 farklı kişinin yuvarlak masa etrafındaki farklı diziliş sayısı (5 - 1)! · 2! = 48 olur. TANIM ÖRNEK 3 • n ! Z+ olmak üzere n tane farklı elemanın da- iresel permütasyonlarının sayısına n elema- 4’ü kız, 4’ü erkek olan 8 kişi bir yuvarlak masaya, nın dönel (dairesel) permütasyonu denir. iki kız veya iki erkek yan yana olmamak koşuluy- la, kaç değişik sıralama ile oturabilirler? • n tane farklı elemanın dairesel dizilişlerinin sayısı ( n - 1 )! tanedir. ÖRNEK 1 K E Önce erkeklerin, sonra kızla- E rın oturduğunu düşünelim. 4 öğretmen, 3 doktor, 4 avukat ve 2 mühendis bir K yuvarlak masaya, meslektaşlar yan yana olmak Erkekler yuvarlak masaya koşuluyla kaç değişik sıralama ile oturabilirler? (4 - 1)! değişik sıralama ile; Her meslek grubunu bir kişi sayarsak, bu 4 kişi yu- K E erkeklerin oturması ile belir- varlak masaya (4 - 1)! değişik sıra ile oturabilir. Kendi aralarında öğretmenler 4!, doktorlar 3!, avu- EK lenen 4 yere de kızlar 4! de- katlar 4! ve mühendisler 2! değişik biçimde sıra- ğişik sıralama ile oturabilir- lanabilirler. Çarpma kuralına göre, (4 - 1)! · 4! · 3! · 4! · 2! bu- ler. Çarpma kuralına göre, değişik sıralanma sayı- lunur. sı, (4 - 1)! · 4! = 144 bulunur. 1. 3! 4! 3! 4! 2! 23 2. a) 720 b) 240 c) 48 3. 144

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK ÖRNEK 4 ÖRNEK 8 5 evli çift yuvarlak masa etrafında evli çiftler yan 4 evli çift yuvarlak bir masa etrafında bir bayanın yana oturmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabi- yanında bir erkek olması koşuluyla kaç farklı bi- lirler? çimde oturabilirler? ( 5 - 1 )! 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 768 ( 4 - 1 )! · 4! = 6 · 24 = 144 ÖRNEK 5 ÖRNEK 9 5 evli çift yuvarlak bir masa etrafında 4 çift eşiyle A, B, C, D, E, F, G, Ğ, K, L birlikte, belli bir çift eşinden ayrı olmak koşuluyla harfleri bir çember üzerine yazılacaktır. kaç farklı biçimde oturabilirler? D ve E harfleri arasında en az bir harf bulunmak üzere, bu 10 harf çember üzerine kaç farklı biçim- 4 çift kişi de yazılabilir? 2 kişide ayrı oturacak çift 4 + 2 = 6 kişi yuvarlak masa etrafında ( 10 - 1 )! - ( 9 - 1 )! · 2! = 9! - 8! · 2! 5! · 2! · 2! · 2! · 2! = 5! · 16 = 8! · ( 9 - 2 ) bu sonuç içinde ayrı oturacak çiftin birlikte otur- = 7 · 8! olur. ması durumu içerdiğinden 5! · 16 - 4! · 2! · 2! · 2! · 2! · 2! = 1920 - 768 = 1152 BİLGİ ÖRNEK 10 • n > 2 olmak üzere, halka şeklindeki mas- 7 anahtar halka şeklindeki maskotlu bir anahtar- kotlu bir anahtarlığa anahtarlar n! , lığa kaç farklı biçimde takılabilir? 2 7! = 2520 • maskotsuz bir anahtarlığa anahtarlar 2 (n - 1) ! farklı şekilde takılabilir. 2 ÖRNEK 6 Farklı renkte 7 boncuk, bir halka üzerine kaç farklı şekilde dizilebilir? ( 7 - 1) ! = 6! = 360 2 2 ÖRNEK 7 ÖRNEK 11 8 anahtar belirli ikisi yan yana gelmek üzere, Biri başkan ve 7 si üye 8 kişiden oluşan bir grup maskotsuz halka şeklinde bir anahtarlığa kaç yuvarlak masa etrafında, başkan belli bir yerde farklı şekilde takılabilir? oturmak üzere kaç farklı biçimde oturabilirler? ( 7 - 1) ! · 2! = 6! = 720 Başkan’ın yeri belli olduğu için diğer 7 üye 2 7! = 5040 şekilde oturabilirler. 4. 768 5. 1152 6. 360 7. 720 24 8. 144 9. 7 · 8! 10. 2520 11. 5040

DÖNEL PERMÜTASYON TEST - 9 FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK 1. 4 kız ve 4 erkekten oluşan bir öğrenci grubu, 5. 6 farklı anahtar, halka şeklindeki maskotlu yuvarlak bir masa etrafında kızlar yan yana bir anahtarlığa, anahtarlardan belli ikisi yan olmak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler? yana gelmemek koşuluyla kaç farklı şekilde takılabilir? A) 4! · 4! B) 5 · 4! C) 3! · 5! D) 4! · 5! E) 3! · 4! A) 360 B) 280 C) 240 D) 180 E) 140 2. 11 kişi 5 i önde 6 sı arkada olmak üzere kaç 6. Evli 4 çift yuvarlak masa etrafında eşler yan farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler? yana oturmak şartı ile kaç farklı şekilde otu- rabilirler? A) 3! · 7! B) 4! · 7! C) 2! · 5! · 6! D) 11! E) 5! · 7! A) 132 B) 124 C) 108 D) 96 E) 84 3. 4 öğretmen ve 4 öğrenci yuvarlak bir masa 7. 3 doktor ve 4 hemşire yuvarlak bir masa et- etrafında, daima 2 öğretmen arasında 1 öğ- rafında herhangi iki doktor yan yana gelme- renci bulunması koşulu ile kaç değişik bi- mek şartıyla kaç değişik biçimde oturabilir- çimde oturabilirler? ler? A) 576 B) 288 C) 240 A) 720 B) 600 C) 576 D) 180 E) 144 D) 480 E) 144 4. n tane farklı anahtar halka şeklindeki maskot- 8. Aralarında Elif ve Sude’nin de bulunduğu 6 suz bir anahtarlığa 60 değişik şekilde takıldığı- arkadaş yuvarlak bir masa etrafına Elif ile na göre, n kaçtır? Sude yan yana gelmeyecek şekilde kaç fark- lı şekilde oturabilirler? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 108 B) 96 C) 80 D) 72 E) 60 1. A 2. D 3. E 4. C 25 5. C 6. D 7. E 8. D

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr KOMBİNASYON İlişkili Kazanımlar 10.1.1.4 : n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar. ÖRNEK 1 ÖRNEK 2 A = { x, y, z, t} kümesi verilmiş olsun. C( 6, 4 ) ve c 7 m A kümesinin üç elemanlı farklı dizilişlerini ve üç ele- 3 manlı alt kümelerini bulalım. ifadelerini bulunuz. Çözüm C ( 6, 4 ) = 6! A kümesindeki 4 elamandan 3 ünü ( 6 - 4 ) ! ·4! P( 4, 3 ) = 4 · 3 · 2 = 24 farklı şekilde dizebiliriz. = 6 · 5 · 4! = 30 = 15 2! · 4! 2 Bu 24 farklı diziliş tablonun sol sütununda gösteril- miştir. 7 7! f 3 p= ( 7 - 3 ) ! · 3! = 7 · 6 · 5 · 4! = 35 4! · 3! Üç Elemanlı Farklı Dizilişler Üç Elemanlı Alt Kümeler (x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x) {x, y, z} ÖRNEK 3 (y, z, t), (y, t, z), (z, y, t), (z, t, y), (t, y, z), (t, z, y) {y, z, t} A = {1,2, 3, 4} (x, z, t), (x, t, z), (z, x, t), (z, t, x), (t, x, z), (t, z, x) {x, z, t} kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin sayısını (x, y, t), (x, t, y), (y, x, t), (y, t, x), (t, x, y), (t, y, x) {x, y, t} (2 li kombinasyonlarını) bulunuz. Dikkat ederseniz tablonun her bir satırındaki diziliş- A kümesinin iki elemanlı alt kümeleri { 1, 2 }, { 1, 3 }, ler aynı üç elemanın farklı dizilişlerini göstermekte- { 1, 4 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 }, şeklinde olup 6 tanedir. dir. Yani seçilen her üç eleman için 3! farklı diziliş söz konusudur. O hâlde sıralama dikkate alınmaz- A kümesinin 2 li kombinasyonlarının sayısı sa 24/3! farklı şekilde 4 elemandan 3 ü seçilebilir. C ( 4, 2 ) = 4! = 4 · 3 · 2! = 6 olur. Burada olduğu gibi 4 elemanlı bir kümenin 3 ele- ( 4 - 2 ) ! ·2! 2! · 2! manlı her alt kümesi bu kümenin 3 lü kombinasyo- nudur. ÖRNEK 4 C( n + 2, n - 1 ) = 5 · C( n, 1 ) olduğuna göre, n değerini bulunuz. C( n + 2, n - 1 ) = 5 · C( n, 1 ) TANIM & (n + 2)! = 5· n! 6 ( n + 2 ) - ( n - 1) @! · ( n - 1) ! ( n - 1) ! · 1! • n elemanlı kümenin r elemanlı alt kümelerinin & ( n + 2 ) · ( n + 1) ·Yn ( n - 1) ! = 5 · Yn · ( n - 1) ! sayısına n nin r li kombinasyonu denir. C( n, r ) veya c n m şeklinde gösterilir. ( n - 1) ! · 3! ( n - 1) ! · 1! r & ( n + 2 ) · ( n + 1) = 6 · 5 C( n, r ) = c n m = n! (n, r ! N, 0 # r # n) olur. & n = 4 olur. r (n - r )! ·r! 26 2. 15, 35 3. 6 4. 4

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF BİLGİ e) C( 2n + 3, 2n + 1 ) nn C( 2n + 3, 2 ) ✿✿ c 0 m = c n m = 1 nn nn ( 2n + 3 ) · ( 2n + 2 ) ( 2n + 3) · 2 ( n + 1) ✿✿ c 1 m = c n - 1 m = n , c r m = c n - r m 2·1 = Y2 · 1 = ( 2n + 3 ) ( n + 1) ✿✿ c n m = c n m ise m = r veya n = m + r f) C( n, n ) m r n n n+1 C( n, n ) = C( n, 0 ) = 1 ✿✿ c r m + c r - 1 m = f r p ✿✿ c n m + c n m + c n m + .... + c n m = 2n 0 1 2 n ✿✿ P( n, r ) = r! · C( n, r ) g) C( 3n - 2, 3n - 4 ) ✿✿ Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. C( 3n - 2, 2 ) = ( 3n - 2 ) · ( 3n - 3 ) n ele­manın r li seçimleri söz konusudur. 2 Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır. ÖRNEK 5 ÖRNEK 7 C( 2n + 7, n + 3 ) = C( 2n + 7, 2n - 1 ) Altı elemanlı bir kümenin, dört elemanlı alt kümele- olduğuna göre n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? ri sayısı kaçtır? n + 3 + 2n - 1 = 2n + 7 n + 3 = 2n - 1 66 6·5 = 15 3n + 2 = 2n + 7 n=4 f 4 p=f 2 p= 2·1 n=5 5+4=9 ÖRNEK 6 ÖRNEK 8 Aşağıdaki kombinasyonları hesaplayınız. İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 21 olan bir küme- nin eleman sayısı kaçtır? a) C( 9, 2 ) 9·8 = 36 n n ( n - 1) = 21 2·1 d n = 21 & 2 2 & n >( n -6 1) = 42 57 b) C( 25, 24 ) n=7 25 ÖRNEK 9 c) C( n, n-1 ) c n m + c n m + c n m + f + c n m = 255 1 2 3 n C( n, 1 ) = n olduğuna göre, n kaçtır? d) C( n, n - 2 ) d n n+d n n+d n n+ f +d n n = 2n 012 n n ( n - 1) 2n - 1 = 255 & 2n = 256 & n = 8 2 C( n, 2 ) = 5. 9 6. a) 36 b) 25 c) n d) n ( n - 1) 27 e) ( 2n + 3 ) ( n + 1) f) 1 g) ( 3n - 2 ) · ( 3n - 3 ) 2 2 7. 15 8. 7 9. 8

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 12 A = {a, b, c, d, e} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde; a) a bulunur? a) 1 bulunur? 24 = 16 7 7 · 6· 5 · 4 = 35 f p= 4·3·2·1 4 b) b bulunmaz? b) 2 bulunmaz? 24 = 16 77 7·6 = 21 f 5 p=f 2 p= 2·1 c) d ve e birlikte bulunur? c) 1 bulunur, 2 bulunmaz? 23 = 8 66 6·5 = 15 f 4 p=f 2 p= 2· 1 d) 1 ve 2 birlikte bulunur? d) d veya e den en az biri bulunur? 6 6·5·4 = 20 f p= 3· 2 Tüm durum - {d, e} yok 25 - 23 = 24 3 e) a bulunur, b bulunmaz? e) 1 ve 2 birlikte bulunmaz? 23 = 8 Tüm durum - ikisi birlikte bulunur. 86 8·7·6 - 6·5·4 = 56 - 20 = 36 f p-f p= 3·2 3·2 53 f) 1 ve 2 bulunup, 3 bulunmaz? 12 5 5·4 = 10 f 3 p= 2· 1 ÖRNEK 11 g) 1 veya 2 den en az biri bulunur? 3 · C( n, 3 ) - P( n, 2 ) = 2 · C( n, 4 ) 86 8·7·6 - 6 = 50 f p-f p= 3·2 olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 55 3 · ( n ) · ( n - 1) · ( n - 2 ) - n ( n - 1) = 2 · ( n ) · ( n - 1) · ( n - 2 ) · ( n - 3 ) 6 24 6 ( n - 2 ) - 12 = n2 - 5n + 6 ÖRNEK 13 & n2 - 11n + 30 = 0 10 kişi arasından 6 kişilik bir voleybol takımı kaç de- ğişik şekilde seçilebilir? n = 6 veya n = 5 5 + 6 = 11 10 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 210 f p= 6·5·4·3·2·1 6 10. a) 16 b) 16 c) 8 d) 24 e) 8 11. 11 28 12. a) 35 b) 21 c) 15 d) 20 e) 36 f) 10 g) 50 13. 210

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 14 ÖRNEK 19 5 kız ve 4 erkek arasından, 2 kız ve 2 erkek bulu- 5 erkek ve 4 kız arasından, nan 4 kişilik kaç farklı grup oluşturulabilir? a) 3 kişilik kaç komisyon kurulabilir? 54 5·4 · 4·3 = 10 · 6 = 60 9 9·8·7 = 84 f 2 pf 2 p = 2·1 2·1 f 3 p= 3·2·1 ÖRNEK 15 b) 2 erkek, 1 kızdan oluşan 3 kişilik kaç komisyon kurulabilir? Bir kutuda bulunan 5 sarı ve 6 kırmızı tebeşir ara- sından 3 sarı ve 2 kırmızı tebeşir kaç farklı şekil- f 5 pf 4 p = 10 · 4 = 40 de seçilebilir? 21 56 c) En az biri kız olan 3 kişilik kaç komisyon kuru- f pf p = 10 · 15 = 150 labilir? 32 45 45 4 f pf p + f pf p + f p = 4 · 10 + 6 · 5 + 4 = 74 ÖRNEK 16 12 21 3 5 matematikçi ve 3 fizikçi arasından 4 kişilik bir sı- nav komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir? d) En çok iki kız bulunan 3 kişilik kaç komisyon ku- rulabilir? 8 8·7·6·5 = 70 f p= 4·3·2·1 45 45 45 f pf p + f pf p + f pf p = 6 · 5 + 4 · 10 + 10 = 80 4 21 12 03 ÖRNEK 17 e) Belirli bir kız ve belirli bir erkeğin bulunduğu 3 5 matematikçi ve 4 kimyacı arasından 3 kişilik bir sı- erkek ve 2 kızdan oluşan 5 kişilik kaç komisyon nav komisyonu, komisyonda en çok 2 matematikçi kurulabilir? olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oluşturulabilir? 34 54 54 54 f 1 pf 2 p = 3 · 6 = 18 f pf p + f pf p + f pf p ÖRNEK 20 21 12 03 40 + 5 · 6 + 4 = 74 A sınıfında 2, B sınıfında 4 kişilik boş yer vardır. 5 kişi bu iki sınıfa kaç değişik şekilde yerleştirilebilir? ÖRNEK 18 (Sınıf içindeki yerleri dikkate alınmayacaktır.) 5 matematikçi ve 3 coğrafyacı arasından 4 kişilik bir 53 54 sınav komisyonu, komisyonda en az 3 matematikçi f pf p + f pf p = 10 + 5 = 15 olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oluşturulabilir? 23 14 53 5 f pf p + f p = 10 · 3 + 5 = 35 31 4 14. 60 15. 150 16. 70 17. 74 18. 35 29 19. a) 84 b) 40 c) 74 d) 80 e) 18 20. 15

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 21 ÖRNEK 24 9 kişi, biri 4 kişilik, biri 3 kişilik, biri 2 kişilik üç Bir sınavda sorulan 10 sorunun 4 ü geometri sorusudur. asansöre, En az 3 ü geometri sorusu olmak koşulu ile 8 soru kaç değişik biçimde cevaplandırılabilir? a) Kaç değişik şekilde binebilirler? 952 9·8·7·6 · 10 46 46 f pf pf p = 4·3·2 f 3 pf 5 p + f 4 pf 2 p = 4 · 6 + 15 = 39 432 = 126 · 10 = 1260 b) Belli A ve B kişileri aynı asansörde olmak ko- şuluyla kaç değişik şekilde binebilirler? 4 kişilik 3 kişilik 2 kişilik ÖRNEK 25 AB AB AB Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan kaç 752 7 3 2 7 3 farklı doğru geçer? f pf pf p + f p·f p·f p + f p·f p 232 4 1 2 4 3 = 21· 10 + 35 · 3 + 35 = 210 + 140 = 350 7 7·6 = 21 f p= 2·1 2 c) Belli A ve B kişileri aynı asansörde olmamak üzere kaç değişik şekilde binebilirler? Tüm durum - ikisi aynı asansörde ÖRNEK 26 1260 - 350 = 910 Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktadan, köşe- ÖRNEK 22 leri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen çizile- bilir? 5 erkek ve 4 kız öğrenciden, 2 erkek ve 2 kız öğrenci, bir sırada, kaç farklı biçimde yan yana oturabilirler? 8 8·7·6 = 56 f 3 p= 3·2·1 54 f p · f p · 4! 22 10 · 6 · 24 = 1440 ÖRNEK 23 ÖRNEK 27 Şekildeki 6 noktadan herhangi üçü doğrusal değildir. 14 kişi arasından 11 kişilik bir futbol takımı ve bu A 11 kişi arasından da bir kaptan seçimi kaç değişik F Köşeleri bu noktalardan seçilen ve biçimde yapılabilir? bir köşesi A noktası olan en çok BD kaç farklı üçgen çizilebilir? CE 14 11 5 5·4 = 10 f pf p f 2 p= 2· 1 11 1 21. a) 1260 b) 350 c) 910 22. 1440 14 11 30 24. 39 25. 21 26. 56 27. 10 23. f pf p 11 1

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 28 b) A noktasından ve bu noktalardan geçen kaç farklı doğru çizilebilir? Bir düzlemde bulunan 10 noktadan 4 tanesi doğr­usaldır. Geriye kalan 6 noktadan herhangi üçü doğrusal değildir. 5 Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen çi- f p+1 = 6 zilebilir? 1 46 46 6 f pf p + f pf p + f p = 4 15 + 6 · 6 + 20 c) Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizile- bilir? 12 21 3 = 60 + 36 + 20 = 116 f 8 p - f 5 p - f 3 p = 56 - 10 - 1 = 45 333 ÖRNEK 29 d) Bir köşesi A olan kaç farklı üçgen çizilebilir? d1 5 25 f p + f pf p = 10 + 10 = 20 d2 2 11 d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 5, d2 üzerinde 3 nok- ta vardır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen çi- zilebilir? 53 53 ÖRNEK 31 f pf p + f pf p = 5 · 3 + 10 · 3 = 45 12 21 A ÖRNEK 30 B C A D N d2 E F K LM AEM üçgeni üzerinde 10 nokta gösterilmiştir. a) Bu noktalardan geçen kaç farklı doğru çizilebilir? d1 10 5 5 3 d1 doğrusu üzerinde 3 nokta, d2 doğrusu üzerinde 5 f 2 p - f 2 p - f 2 p - f 2 p + 3 = 25 nokta belirtilmiştir. a) Bu noktalardan geçen kaç farklı doğru çizilebilir? b) Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? 853 10 5 5 3 f p-f p-f p+2 f p - f p - f p - f p = 120 - 21 = 99 222 3 333 28 - 10 - 3 + 2 = 30 - 13 = 17 31 b) 6 c) 45 d) 20 31. a) 25 b) 99 28. 116 29. 45 30. a) 17

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 32 ÖRNEK 35 Yandaki şekil birbirine eş kare- lerden oluşmaktadır. Bir düzlemde bulunan 10 doğrudan 4 tanesi pa­raleldir. Bu doğrular en çok kaç noktada kesişir? 10 4 Buna göre, şekilde kaç kare vardır? f p - f p = 45 - 6 = 39 23 67 22 2·>f p+f p+ f +f pH+f p 22 22 ÖRNEK 33 = 2^ 1 + 3 + 6 + 10 + 15 h + 21 = 91 Aynı düzlemde çakışık olmayan; a) 5 farklı çember en çok kaç noktada kesişir? ÖRNEK 36 5 Yandaki şekil birbirine eş kareler- 2·f 2 p = 2 · 10 = 20 den oluşmaktadır. b) 4 farklı kare en çok kaç noktada kesişir? 4 Buna göre, şekilde kaç; 8 · f p = 6 · 8 = 48 a) Dikdörtgen vardır? 2 67 f p·f p = 15 · 21 = 315 22 b) Kare vardır? 23 6 >f p+f p+ f +f pH· 2 ÖRNEK 34 22 2 ,1 ,2 ,3 ,4 = ^ 1 + 3 + 6 + 10 + 15 h · 2 = 70 d1 ÖRNEK 37 d2 d3 A ABC üçgeninde A nok- d4 F tasından çıkan 2 ve B d5 noktasından çıkan 2 G doğru parçası ile olu- Şekilde, d1 // d2 // d3 // d4 // d5 ve ℓ1 // ℓ2 // ℓ3 // ℓ4 ol- şan şekilde kaç farklı duğuna göre, bu doğruların oluşturduğu kaç farklı üçgen vardır? paralelkenar vardır? BD EC 54 43 f pf p = 10 · 6 = 60 3f 2 p + f 2 p · 3 = 3 · 6 + 3 · 3 = 18 + 9 = 27 22 32. 39 33. a) 20 b) 48 34. 60 32 35 . 91 36. a) 315 b) 70 37. 27

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 38 ÖRNEK 41 H G A F H KE B ABCD G Şekildeki A, B, C, D noktaları doğrusal, E, F, G, H, K C I JK F noktaları çember üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çi- E zilebilir? D Köşeleri ACD ve ACF üçgenleri üzerindeki noktalar- dan oluşan kaç farklı üçgen çizilebilir? 5 54 54 11 3 5 6 f 3 p + f 1 pf 2 p + f 2 pf 1 p f p-f p-f p-f p 10 + 30 + 40 = 80 3 333 = 11· 10 · 9 - 1 - 10 - 20 3·2 = 165 - 31 = 134 ÖRNEK 39 d1 ÖRNEK 42 ABC A D E F G H d2 BC ABC üçgeninde B noktasından çıkan 6 ve C nokta- d1 // d2 olmak üzere, d1 doğrusu üzerinde 3, d2 doğrusu sından çıkan 5 doğru parçası ile oluşan şekilde kaç üzerinde 5 noktada belirtilmiştir. farklı dörtgen vardır? Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı dörtgen çizile- bilir? 35 f pf p = 3 · 10 = 30 22 ÖRNEK 40 7 6 2 2 A d n·d n = 21· 15 = 315 BC ÖRNEK 43 ABC üçgeninde A noktasından 4 ve C noktasından Musa’da büyüklükleri farklı olan 7 mavi bilye, Hasan’da çıkan 4 doğru parçası ile oluşan şekilde kaç farklı büyüklükleri farklı 6 kırmızı bilye, Erkan’da ise büyüklük- üçgen vardır? leri farklı 4 sarı bilye vardır. Bu üç kişiden her biri diğer ikisine birer bilye verip birer bilye alıyor. d 11 n - d 6 n - d 6 n = 165 - 20 - 20 = 125 Buna göre, kaç farklı değişim yapılabilir? 3 3 3 764 f p·2! + f p·2! + f p2! = 42 + 30 + 12 = 84 222 38. 80 39. 30 40. 125 33 41. 134 42. 315 43. 84

TEST - 10 KOMBİNASYON 1. 3.c n m = 2.c n +1 m 5. c 15 m + c 15 m = c 16 m 3 n –1 a a+1 7 olduğuna göre, n kaçtır? olduğuna göre, c a m aşağıdakilerden hangisine 2 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 eşit olabilir? A) 6 B) 8 C) 12 D) 20 E) 28 2. c x m + c x m + c x m = 9x 6. Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin sayı- 1 2 3 sı, 2 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit oldu- olduğuna göre, x kaçtır? ğuna göre, A kümesinin en az 4 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 64 B) 56 C) 36 D) 35 E) 24 3. c 15 m = c 15 1 m 7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a+1 2a – kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tane- denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı sinde 1 ve 2 elemanları bulunur, 3 elemanı bu- kaçtır? lunmaz? A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 A) 10 B) 15 C) 24 D) 36 E) 40 4. c 5 m + c 5 m + c 6 m + c 7 m 8. Bir üniversitede 6 seçmeli dersten ikisi aynı saatte 2 3 4 5 verilmektedir. işleminin sonucu kaçtır? D) 28 E) 21 A) 280 B) 140 C) 56 Bu seçmeli derslerden üçünü almak isteyen bir öğrenci, kaç farklı şekilde ders seçimi yapabi- lir? A) 20 B) 16 C) 15 D) 12 E) 8 1. C 2. C 3. D 4. C 34 5. E 6. A 7. A 8. B

KOMBİNASYON TEST - 11 1. 12 soruluk bir sınavda soruların ilk dördünü cevap- 5. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 lamak zorunludur. nokta kaç doğru belirtir? A) 14 B) 28 C) 35 D) 42 E) 56 Toplamda 9 soruyu cevaplayacak olan bir öğ- renci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir? A) 32 B) 48 C) 56 D) 78 E) 112 2. 8 soruluk bir sınavda ilk üç sorudan sadece ikisini 6. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 10 cevaplamak zorunludur. Ancak 3. soruyu çözen 4. nokta ile kaç farklı üçgen çizilebilir? soruyu çözmeyecektir. A) 96 B) 120 C) 144 D) 360 E) 720 Buna göre, 5 soruyu cevaplamak zorunda olan bir öğrenci kaç farklı şekilde soru seçebilir? A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 3. 6 farklı matematik ve 5 farklı fizik kitabından 4 7. Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan biri A matematik ve 2 fizik kitabı bir rafa yan yana kaç dır. farklı şekilde sıralanabilir? Köşeleri bu noktalar üzerinde ve bir köşesi A olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 12 B) 36 C) 72 D) 144 E) 172 A) 1080 B) 1440 C) 10800 D) 108 000 E) 144000 8. A B C D d1 E F G 4. 16 kişilik bir futbolcu ekibinden belli mevkiler- d2 de oynayan 5 futbolcunun her maçta oynama- Şekilde d1 = d2 ve d1 + d2 = {A} dır. sı koş­ ulu ile 11 kişilik bir takım kaç değişik bi- çimde seçil­ebilir? Buna göre, şekildeki 7 nokta kullanılarak kaç tane dik üçgen çizilebilir? A) C(16, 11) B) C(16, 8) C) C(16, 6) D) C(11, 4) E) C(11, 6) A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18 1. C 2. B 3. D 4. E 35 5. B 6. B 7. B 8. A

TEST - 12 KOMBİNASYON 1. d1 5. A d2 H d1 // d2 olmak üzere, d1 doğrusu üzerinde 5, d2 G doğrusu üzerinde 6 nokta belirtilmiştir. Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizi- B DE FC lebilir? ABC üçgeninde A noktasından çıkan 3, B nok- A) 120 B) 125 C) 130 D) 135 E) 140 tasından çıkan 2 doğru parçası ile oluşan şekil- de kaç farklı üçgen vardır? A) 36 B) 40 C) 42 D) 44 E) 48 2. ,1 ,2 ,3 6. Şekilde bir kenarı 1 cm d1 olan 36 tane kare veril- d2 miştir. d3 d4 Buna göre, şekilde kaç farklı dikdörtgen vardır? A) 21 B) 121 C) 241 D) 441 E) 446 Şekilde d1 // d2 // d3 // d4 ve ℓ1 // ℓ2 // ℓ3 tür. Sadece çizilen doğrular üzerindeki noktalar doğrusal olduğuna göre, bu doğruların kesim noktalarından geçen kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 98 B) 108 C) 204 D) 216 E) 262 3. Düzlemde verilen 9 noktadan 5 i doğrusaldır. 7. 6 farklı karenin herhangi iki kenarının veya ke- Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç üçgen çi- narlarının bir parçasının çakışmadan kesiştiril- zilebilir? mesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur? A) 60 B) 64 C) 70 D) 74 E) 80 A) 60 B) 80 C) 90 D) 120 E) 180 4. Bir düzlem üzerinde bulunan 10 doğrudan 4 ü bir 8. Yandaki şekil bir kenarı 1 A noktasından, geri kalanlardan 3 ü de başka bir B cm olan 30 kareden oluş- noktasından geçmektedir. muştur. Herhangi ikisi paralel olmayan bu doğruların A ve Buna göre, şekilde kaç farklı kare vardır? B ile birlikte en çok kaç kesişme noktası vardır? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 A) 24 B) 28 C) 32 D) 36 E) 38 1. D 2. C 3. D 4. E 36 5. C 6. D 7. D 8. C

KOMBİNASYON TEST - 13 1. c m - 1 m + c m - 2 m = 16 5. 5 erkek ve 4 kız arasından 3 erkek ve 2 kızdan 3 2 oluşan 5 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçi- ifadesindeki m bir düzgün çokgenin kenar sayısı- lebilir? dır. A) 30 B) 36 C) 40 D) 50 E) 60 Bu düzgün çokgenin bir kenarı 8 cm ise alanı kaç santimetrekaredir? A) 72 B) 80 C) 90 D) 96 3 E) 108 3 2. 6 evli çift arasından içinde hiç evli çift bulunma- 6. İçlerinde Duygu ve Doğa’nın bulunduğu 8 kişi- yan 4 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebi- lik bir gruptan 5 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. lir? Duyg­ u’nun bulunup, Doğa’nın bulunmadığı kaç A) 120 B) 150 C) 180 D) 240 E) 300 farklı ekip oluşturulabilir? A) 15 B) 20 C) 30 D) 35 E) 40 3. c 8 m + c 8 m + c 8 m + c 8 m + c 8 m + c 8 m 7. Özlem ve Özge isimli iki kişinin bulunduğu 6 2 3 4 5 6 7 kişi arasından Özlem veya Özge’nin bulunacağı toplamının sonucu kaçtır? 4 kişil­ik kaç farklı grup oluşturulur? A) 246 B) 247 C) 248 D) 254 E) 256 A) 15 B) 14 C) 12 D) 8 E) 6 4. x, y, z, k birer rakamdır. 8. Bir kırtasiyede 4 sarı, 5 kırmızı kalem vardır. x < y < z < k < 7 olmak üzere kaç tane xyzk 2 sarı ve 4 kırmızı kalem kaç değişik biçimde dört basamaklı doğal sayısı yazılabilir? seçil­ebilir? A) 25 B) 22 C) 20 D) 15 E) 10 A) 6 B) 8 C) 20 D) 30 E) 60 1. D 2. D 3. A 4. D 37 5. E 6. A 7. B 8. D

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr BİNOM AÇILIMI İlişkili Kazanımlar 10.1.1.5 : Pascal üçgenini açıklar 10.1.1.6 : Binom açılımını yapar. Pascal Üçgeni Örneğin 4. satırı ele aldığımızda BİLGİ A = { a, b, c } kümesi için s( A ) = 3 olur. • x, y ! R - {0} ve n ! N olmak üzere Alt küme sayısı $ 23 = 8 = 513 + 533 + 533 + 513 x + y ifadesinin kuvvetleri alınırsa d 0 nd 1 n d 2 n d 3 n ( x + y )0 = 1 ( x + y )1 = 1 · x + 1 · y c 3 m = 1, A kümesinin 0 elemanlı alt küme sayısı ( x + y )2 = 1 · x2 + 2 · xy + 1 · y2 0 ( x + y )3 = 1 · x3 + 3 · x2y + 3 · xy2 + 1 · y3 c 3 m = 3 , A kümesinin 1 elemanlı alt küme sayısı 1 (x + y )n = c n m · xn y0 +c n m · xn - 1 y +...+ c n m· x0yn c 3 m = 3 , A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı 0 1 n 2 açılımları elde edilir. Bu açılımlardaki terimlerin kat- 3 1, A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı ol- 3 sayıları ortalanarak yazılırsa Pascal üçgeni elde c m = edilir. duğuna dikkat ediniz. 1 1 = 20 (1. satır) • Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırının r. sıra- 11 1 + 1 = 21 (2. satır) sındaki sayı ile ( r + 1 ). sırasındaki sayı toplanırsa Pascal üçgeninin ( n + 1 ). satırının ( r + 1 ). sıra- 121 1 + 2 + 1 = 22 (3. satır) sındaki sayı elde edilir. Başka bir ifadeyle Pascal 1 + 3 + 3 + 1 = 23 (4. satır) üçgeninin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayı- 13 3 1 nın toplamı, takip eden satırda bu iki sayının orta- 6 4 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24 (5. satır) sındaki sayıya eşit olur. 14 1. satır 0 c0m 2. satır c 1 m + c 1 m 0 1 3. satır c 2 m + c 2 m + c 2 m n n n + 1 0 1 2 r + r + 1 c m + c m = c m 4. satır 3 3 3 3 r 1 c 0 m + c 1 m + c 2 m + c 3 m 5. satır c 4 m + c 4 m + c 4 m + c 4 m + c 4 m Bu eşitliğe Pascal özdeşliği denir. 0 1 2 3 4 • Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayıların Örneğin; toplamı, eleman sayısı satır numarasının 1 ek- 1 siği olan kümenin alt küme sayısını verir. 11 • Pascal üçgeninin ( n + 1 ). satırındaki sayıların 121 her biri eleman sayısı n olan kümenin 0 eleman- lı, 1 elemanlı, 2 elemanlı, ..., n elemanlı alt küme 13 3 1 sayısını verir. 14 64 1 Bu durumda 1 5 10 10 5 1 c n m+ c n m+ c n m + f + c n m = 2n bulunur. 4 + 6 = 10 ya da c 4 m + c 4 m = c 5 m 0 1 2 n 1 2 2 4+1 = 5 ya da c 4 m + c 4 m = c 5 m olur. 3 4 4 38

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF Binom Açılımı ÖRNEK 2 TANIM ( 2x + y )4 ifadesinin açılımını bulunuz. • x ve y gerçek sayılar, n pozitif doğal sayı olmak ( 2x + y ) 4 = f 4 p( 2x ) 4 - 0 · y0 + f 4 p( 2x ) 4 - 1·y1 + f 4 p( 2x ) 4 - 2·y2 + üzere, 0 12 ^ x + y hn = c n mxn + c n mx n - 1 y 1 + c n mxn - 2y2 + f + c n myn f 4 p( 2x ) 4 - 3·y3 + f 4 p( 2x ) 4 - 4·y4 0 1 2 n 34 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre binom = 1·16·x4 + 4·8x3y + 6·4x2·y2 + 4·2x·y3 + y4 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4 açılımı denir. • Açılımdaki c n m , c n m , c n m ,f , c n m katsayıları 0 1 2 n Pascal üçgeninin ^ n + 1 h. satırındaki katsayılardır. BİLGİ ÖRNEK 3 1. ^ x + y hn ifadesinin açılımındaki terim sayısı ( 3x - 4 )3 ^ n + 1 h dir. ifadesinin açılımını bulunuz. 2. ^ x + y hn ifadesinin açılımındaki katsayılar top- ( 3x - 4 ) 3 = f 3 p( 3x ) 3 - 0 ( - 4 ) 0 + f 3 p( 3x ) 3 - 1· ( - 4 ) 1 + 01 lamı x = 1 ve y = 1 alınırsa, f 3 p^ 3x h3 - 2·^ - 4 h2 + f 3 p· ( - 4 ) 3 c n0 m + c n m + c n m + f + c n m = 2 n 23 1 2 n = 27x3 + 3·9x2 ( - 4 ) + 3·3x·16 + ( - 64 ) eşitliği elde edilir. = 27x3 - 108x2 + 144x - 64 3. ^ x + y hn ifadesinin açılımında sabit terim bulu- ÖRNEK 4 nurken x = 0 ve y = 0 (tanımsızlık yoksa) alınır. x = -1 ve y = 4 olduğuna göre, x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5 4. ^ x + y hn ifadesinin açılımındaki her bir terimde ifadesinin değeri kaçtır? x ile y nin kuvvetleri toplamı n ye eşittir. ( x + y )5 = ( -1 + 4 )5 = 35 c c n mxn - r y r teriminde n - r + r = n dir.m = 243 r 5. n ! N olmak üzere ^ x + y h2n ifadesinin açılı- mındaki ortanca terim c 2n mx nyn olur. n 6. ^ x + y hn ifadesinin x in azalan kuvvetlerine gö- re açılımında baştan ^ r + 1 h. terim c n mxn - ryr r olur. Bu terime açılımın genel terimi denir. ÖRNEK 1 ( 4x - 5y )13 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz. 13 + 1 = 14 1. 14 39 2. 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4 3. 27x3 - 108x2 + 144x - 64 4. 243

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 5 ÖRNEK 9 ( -3x + 5y + 4 )7 ifadesinin açılımındaki f x3 - 1 8 a) Katsayılar toplamını bulunuz. 2x2 p x = y = 1 alınırsa ( -3 · 1 + 5 · 1 + 4 )7 = 67 bulunur. ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 7. terim nedir? r+1=7 & r=6 b) Sabit terimi bulunuz. f 8 p^ x3 h8 - 6·f - 1 6 6 2x2 x = y = 0 alınırsa ( -3 · 0 + 5 · 0 + 4 )7 = 47 bulunur. p 8·7 · x6· 1 = 28 · x6 · 1 = 7 x -6 2·1 2 6 ·x 12 64·x 12 16 ÖRNEK 6 ÖRNEK 10 ( 3x2 - ky3 )6 ( x - 2y2 )7 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı 64 olduğuna ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? sondan 4. terim nedir? x = y = 1 & ( 3 - k )6 = 64 = 26  3 - k = 2 veya 3 - k = -2 r + 1 = 4 & r = 3 sondan 4. terim f 77 p=f p 7-3 4 1=k 5=k 1+5=6 f 7 p^ x h7 - 4·a - 2y 2 4 = 35 · x 3 ·16 · y8 = 560x 3 y 8 4 k ÖRNEK 7 ÖRNEK 11 ( 2x + 3y )4 ( x3 - y2 )40 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 3. terim nedir? ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında sondan 20. terim nedir? r+1=3 & r=2 f 4 p^ 2x h4 - 2 ^ 3y h2 = 6·4x2·9y2 = 216x2y2 r + 1 = 20 & r = 19 f 40 40 p=f p 2 40 - 19 21 f 40 p^ x3 h40 - 21 · a - y2 21 = -f 40 px 57 · y 42 k 21 21 ÖRNEK 8 ÖRNEK 12 ( 3x - y )5 fx- 1 6 x3 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında p baştan 4. terimin katsayısı kaçtır? ifadesinin açılımında ortadaki terim nedir? r+1=4 & r=3 f 6 px6 - 3·f - 1 3 6·5·4 · x3 · -1 f 5 p^ 3x h5 - 3·^ - y h3 = 10 · 9x2·a - y3 k = - 90x2y3 3 x3 3·2 x9 p= 3 Baştan 4. terim katsayısı -90’dır. = - 20x-6 5. a) 67 b) 47 6. 6 7. 216x2y2 8. -90 40 9. 7 x -6 10. 560x3y8 11. -f 40 px57· y42 12. - 20x-6 16 21

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 ( 2x - 3y )4 f x3 - 2 6 ifadesinin açılımında x2y2 li terimin katsayısı kaçtır? x2 p f 4 p^ 2x h4 - r·^ - 3y hr = A · x2·y2 den r = 2 bulunur. r ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaçtır? f 4 p^ 2x h4 - 2·^ - 3y h2 = A · x2·y2 f 6 p^ x3 h6 - r · f -2 r = A · x3 2 r x2 6 · 4x29y2 = 216x2y2 & A = 216 p x18 - 3r · x-2r = x3 & 18 - 5r = 3 &r=3 f 6 p^ x3 h3·f -2 3 = - 160x3 3 x2 p x3 lü terimin katsayısı -160’dır. ÖRNEK 14 ÖRNEK 17 ( x2 - 2y )n f x4 + 2 6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri Ax6y2 oldu- x2 ğuna göre, A kaçtır? p d n n^ x2 hn - r·^ - 2y hr = A · x6 · y2 & r = 2 dir. ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? r f 6 p^ x4 h6 - r · ^ 2 · x-2 hr = A · x0 2n - 2r = 6 r 2n = 10 x24 - 4r · x-2r = x0 & 24 - 6r = 0 n = 5 dir. f 5 p^ x2 h3 · ^ - 2y h2 = 10x6·4y2 r=4 f 6 p^ x4 h2 · ^ 2x-2 h4 = 16 · 15 = 240 2 = 40x6y2 4 A = 40 ÖRNEK 15 ÖRNEK 18 ( x2 - 2y4 )n = x2n + ... + Ax8y12 + ... fx- 1 9 binom açılımına göre A kaçtır? x p ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? d n n^ x2 hn - r · a - 2y4 r = A · x 8 y 12 r k 2n - 2r = 8 f 9 px9 - r · a - x- 1 r 2n = 14 4r = 12 2 n=7 r=3 k = A · x0 r x9-r · a -x- 1 r r =0 2 2 k = x0 & 9 - r - f 7 p^ x2 h4 · a - 2y 4 3 = 35 · x8·a -8 · y 12 k r=6 3 k = - 280x8y12 f 9 px3·a -x- 1 6 2 k = 84 6 A = - 280 13. 216 14. 40 15. –280 41 16. -160 17. 240 18. 84

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 fx- k 8 ^ 1 - 5 2 h30 x3 p ifadesinin açılımında kaç tane terim irrasyoneldir? ifadesinin açılımında sabit terim 112 ise k nin alabi- Rasyonel olanları bulalım. leceği değerler çarpımı kaçtır? 30 p · 130 - r · a -2 1 r$ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 5 f k f 8 px8 - r · ^ - k·x-3 hr = 112 · x0 r r 7 tane terim rasyonel, terim sayısı = 30 + 1 = 31 8 - r - 3r = 0 & r = 2 31 - 7 = 24 tanesi irrasyonel f 8 px8 - 2 · ^ - k · x-3 h2 = 112 ÖRNEK 23 2 28k2 = 112 & k2 = 4 1 9 x k = 2 ve k = - 2 c + 2x m 2 · ( -2 ) = -4 ifadesinin açılımındaki x3 lü terimin katsayısı kaçtır? ÖRNEK 20 f 9 p^ x-1 h9 - r · ^ 2x hr = A·x3 r ^ x + 3 x h9 x-9 + r·xr = x3 & r = 6 f 9 p·^ x-1 h3 ^ 2x h6 = 84 · 64 · x3 = 5376x3 ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yapıl- 6 dığında x4 lü terim baştan kaçıncı terimdir? ÖRNEK 24 1 9-r 1r f x2 + 6x + 9 4 a x 2 k ·a x 3 k = A · x4 x2 p 9 9-r + r =4 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? dr n 2 3 & 27 - 3r + 2r = 24 r = 3 bafltan 4.terim f ^ x + 3 h2 4 x+3 8 3 8 x2 x x p =d n =d1+ n f 8 p·18-0 · d 3 0 0 x n =1 ÖRNEK 21 ÖRNEK 25 ^ 2x + 3 x h15 f a - b 11 a 11 a m+ ... -f b 11 b a b b a ifadesinin açılımında rasyonel katsayılı terimler kaç p =c m -...+k·c p tanedir? 1 15 - r 1 r $ 0, 3, 6, 9, 12, 15 ifadesinin açılımındaki k değeri kaçtır? 2 3 k d 15 na^ 2x h ka x r r = 3, 9, 15 15 1 12 1 3 11 a 11 - r -b r a 1 3 2 3 f p ·d b a b ka k n ·d n = k·d n r d na^ 2x h x = d 15 n2 6 x 7 3 a11 - r · a-r = a1 & 11 - 2r = 1 d 15 na ^ 2x h 1 6 1 9 = d 15 n · 23 · x6 10 = 2r & r = 5 9 2 3 9 k ax k 15 1 0 1 15 15 11 a 6 b 5 11 a 15 2 3 15 f pd b a n =-f p b k ·a x k n ·d- 5 5 d na ^ 2x h = d nx5 k = - 462 19. -4 20. 4 21. 3 42 22. 24 23. 5376 24. 1 25. -462

www.aydinyayinlari.com.tr SAYMA VE OLASILIK 1. MODÜL 10. SINIF FEN LİSELERİNE YÖNELİK FEN LİSELERİNE YÖNELİK BİLGİ ÖRNEK 29 • (  ax + by + cz )n açılımında xp · yq · zt li te- ( x + 4y + k )3 rimin katsayısı ap · bq · ct · n! dir. ifadesinin açılımında sabit terim 27 olduğuna gö- p! · q! · t! re, k kaçtır? • ( x + y + z )n açılımında (n + 1) · (n + 2) 2 tane terim vardır. x = y = 0 yazılırsa k3 = 27 ÖRNEK 26 k = 3 bulunur. ( 2x - y + z )6 ÖRNEK 30 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri Ax3yz2 olduğuna göre, A kaçtır? ( x + y - 2z )6 ifadesinin açılımındaki x3yz2 li terimin katsayısı 23·^ - 1 h1 · 12· 6! = - 8 · 60 = - 480 kaçtır? 3! · 2! · 1! A = - 480 ÖRNEK 27 13 · 11 · ( -2 )2 · 6! = 4 · 60 = 240 3! · 2! 5 fy+x- 1 x2 p ifadesinin açılımındaki terimlerden biri Ay2 oldu- ÖRNEK 31 ğuna göre A kaçtır? ^ x + y - 3 h6 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? f 5 py5 - r·f x - 1 r = Ay2 & r = 3 r x2 x=y=0 p ^ - 3 h6 = 33 = 27 f 5 py2 f x - 1 3 3 x2 p f 5 py2·f 3 p·x2 f - 1 1 = - 30y2 3 1 x2 p ÖRNEK 28 ÖRNEK 32 ( 2x - y + 3z )6 ( 2x - 3y + z )7 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz. a) ifadesinin açılımındaki terimlerden biri ( 2x - y + 3z ) 6 = 6 ( 2x - y ) + 3z @6 biçiminde yazıla- Ax3yz3 ise A kaçtır? bilir. f 7 p^ 2x - 3y h4z3 İfadenin Binom açılımı yapılırsa 3 6 ( 2x - y ) + 3z @6 = f 6 p1(4274x. t2-eri4ym4) 63^ 3z h0 + f 6 p1(4264x. t2-eri4ym4) 53 ( 3z )1 = f 7 pf 4 p^ 2x h3 · ^ - 3y h1z3 0 1 31 +f 6 p1(425x44. -t2er3i4my44) 43 (3z) 2 + f + f 6 p1(4214x. t2-eri4ym4) 03 ( 3z )6 = 35·4·8·^ - 3 hx3yz3 2 6 = - 3360x3yz3 ( ( x + y )n açılımındaki terim sayısı n + 1 olur. ) Buna göre, ( 2x - y + 3z )6 ifadesinin açılımındaki 7·8 b) ifadesinin açılımındaki terim sayısı kaçtır? 2 terim sayısı 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = = 28 8·9 2 bulunur. = 36 26. -480 27. -30 28. 28 43 29. 3 30. 240 31. 27 32. a) - 3360 b) 36

TEST - 14 BİNOM AÇILIMI 1. (3x + 4y)n 5. (4x - 5y)n ifadesinin açılımında 11 terim olduğuna göre, n ifadesinin açılımında 9 terim bulunduğuna gö- doğal sayısı kaçtır? re, bu terimlerin katsayıları toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 A) 1 B) 2 C) 64 D) 256 E) 512 2. (3x - 4y)n 6. (x + 2)3 ifadesinin açılımındaki bir terim A · x4 · y9 oldu- ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? ğuna göre, n doğal sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 3. (3x2 + 4y3)n 7. ^ 3 x + 2 x h8 ifadesinin açılımındaki bir terim A · x4 · y9 oldu- ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaç- ğuna göre, n doğal sayısı kaçtır? tır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 12 E) 13 A) 112 B) 108 C) 104 D) 100 E) 96 4. (2x - 3)3 8. (3x - 4y)8 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? ifadesinin açılımında, A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 I. Sekiz terim vardır. II. Sabit terimi sıfırdır. III. Katsayılar toplamı 1 dir. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I, II ve III E) II ve III 1. B 2. C 3. A 4. B 44 5. A 6. E 7. A 8. E

BİNOM AÇILIMI TEST - 15 1. (x - 2y)10 5. c x2 + 2 8 x m ifadesinin açılımındaki terimler x in azalan ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıl­dığında, kuvvetlerine göre düzenlenirse ortanca terimin katsayısı kaç olur? ortadaki terim aşağıdakilerd­ en hangis­ idir? A) -8064 B) -7064 C) 7000 A) 16.c 8 m.x4 B) 8.c 8 m.x4 C) 16.c 8 m. 1 4 4 4 x4 D) 7064 E) 8064 8 8 1 4 4 x2 D) 16.c m.x2 E) 16.c m. 2. f x3 + 2y n 6. (x - 2y)n 3 p ifadesinin açılımındaki terimlerden biri Ax4y2 olduğuna göre, A kaçtır? ifadesinin açılımındaki x12y2 li terimin katsayısı A) 24 B) 36 C) 48 D) 54 E) 60 aşağıdakilerden hangisidir? A) 10 B) 5 C) 19 D) 20 E) 25 3 33 3 3. c x3 + 1 8 7. c x4 + 1 5 x x m m ifadesinin açılımındaki x12 li terimin katsayısı ifadesinin açılımında x5 li terimin katsayısı kaç­tır? kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 48 B) 52 C) 56 D) 63 E) 64 4. f a4 – 1 7 8. c x- 1 6 a3 x p m ifadesinin açılmındaki sabit terim kaçtır? ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 1. A 2. D 3. C 4. B 45 5. A 6. E 7. B 8. B

TEST - 16 BİNOM AÇILIMI 1. c 1 + x 2 m 5. c 2x + 1 5 x x m m ifadesinin açılımında beşinci ve dokuzuncu te- ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaç- rimlerin katsayıları eşit olduğuna göre, sabit te- rim aşağıdakilerden hangisidir? tır? A) 96 B) 84 C) 80 D) 48 E) 40 A) 375 B) 432 C) 495 D) 576 E) 624 2. ( x2y - 3y3 )m = ... + K · x4y14 + ... 6. (x2 – y)10 olduğuna göre, K kaçtır? ifadesinin açılımındaki x14 y3 lü terimin katsayı- sı kaçtır? A) -1215 B) -810 C) 810 A) -160 B) -120 C) -60 D) 60 E) 80 D) 960 E) 1215 3. (x + y)n 7. c 1 – x2 6 x ifadesinin açılımında baştan 7. ve 19. terimlerin m katsayıları eşit olduğuna göre, n kaçtır? A) 26 B) 25 C) 24 D) 23 E) 12 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdaki- lerden hangisidir? A) 35x3 B) 20x3 C) –35x E) –3x3 D) –20x3 4. (3x + 1)8 8. f 3 4 - 1 6 2 p ifadesinin açılımındaki terimler x in azalan kuv- ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin çar- vetlerine göre sıralanırsa, baştan 4. terimin kat- sayısı kaç olur? pımı kaçtır? A) 56.35 B) 28.35 C) 35 A) 1 B) 2 C) 8 D) 16 E) 64 D) 56 E) 128 1. C 2. E 3. C 4. A 46 5. C 6. B 7. D 8. B

BİNOM AÇILIMI TEST - 17 1. f 1 + ab2 9 FEN LİSELERİNE YÖNELİK a2b4 p 5. (3a - 4b - c)5 ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) 56 B) 72 C) 84 D) 96 E) 104 A) -32 B) -1 C) 0 D) 1 E) 32 2. f 1 - 11 6. (2x + y - 2)5 3x xp ifadesinin açılımında, x3 lü terimin katsayısı ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? kaçtır? A) -32 B) -1 C) 0 D) 1 E) 32 A) -165 B) -55 C) 55 D) 110 E) 165 3. (3x - y)5 7. (x + 2y – z)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetleri biçi- ifadesinin açılımındaki terimlerden birisi minde düzenlenirse baştan 4. terim aşağıdaki- Ax3y2z4 olduğuna göre, A kaçtır? lerden hangisi olur? A) 4040 B) 4050 C) 5040 A) -45x2y3 B) -90x2y3 C) -95x2y3 D) 5050 E) 5500 D) 90x2y3 E) 45x2y3 4. f 2x2 - 1 8 8. (2x - y + 3z)7 y2 p ifadesinin terimlerinden biri Ax4y2z olduğuna göre, A kaçtır? açılımı x in azalan kuvvetleri biçim­ inde düzen- lenirse sondan 3. terimin katsayısı kaç olur? A) 5060 B) 5040 C) 5020 A) 92 B) 100 C) 112 D) 118 E) 126 D) 4980 E) 4960 1. C 2. E 3. B 4. C 47 5. A 6. A 7. C 8. B

10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr OLASILIK İlişkili Kazanımlar 10.1.2.1 : Ö rnek uzay, deney, çıktı bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olay ve ayrık olmayan olay kav- ramlarını açıklar. 10.1.2.2 : Olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapar. Basit Olayların Olasılıkları b) 1 tane madenî paranın 3 kez havaya atılması deneyinde 1. Deney, Çıktı ve Örnek Uzay Örnek Uzay: TANIM E = { ( Y, Y, Y ), ( Y, Y, T ), ( Y, T, Y ), ( T, Y, Y ), ( Y, T, T ), ( T, Y, T ), ( T, T, Y ), ( T, T, T ) } , s( E ) = 8 = 23 DENEY: ÖRNEK 2 • Önceden sonucu bilinmeyen olayların gerçek- leşme durumlarına ilişkin veri toplama süreci- 2 tane zarın havaya atılması deneyinde örnek uza- ne deney adı verilir. Örneğin, içinde farklı renk- yı bulunuz. te bilyeler bulunan bir torbadan bir bilyenin çekil- mesi deneye bir örnektir. Çözüm ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) ÖRNEK UZAY: ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) • Deney sonucunda elde edilen bütün çıktıların ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) kümesine ise örnek uzay (örneklem uzayı) adı ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) verilir ve E ile gösterilir. ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) ÖRNEK 1 Örnek Uzay: E = {(1, 1),...,(1, 6),...,(6, 1),...,(6, 6)}, s(E)=36=62 Madenî paranın bir kez havaya atılması, bir zarın bir kez atılması deneylerindeki çıktıları ve örnek uzay- ları yazınız. Deney Çıktılar Örnek Uzay Tura (T), E = { T, Y } Madeni paranın Yazı (Y) E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } bir kez havaya 1, 2, 3, 4, 5, 6 atılması Zarın bir kez atılması BİLGİ SONUÇ Bir madenî paranın n kez (n tane madenî para- n tane madenî paranın havaya atılması deneyin- nın) havaya atılması deneyinde örnek uzayın de örnek uzayın eleman sayısı 2n dir. eleman sayısı, a) 1 tane madenî paranın 2 kez havaya atılması n tane zarın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı 6n dir. deneyinde Örnek Uzay: E = { ( Y, Y ),( Y, T ),( T, Y ),( T, T ) }, S( E ) = 4 = 22 1. Ep = { Y, T }, Ez = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 48