AYT Matematik Ders İşleyiş Modülü İntegral

Bu kitabın her hakkı saklıdır ve AYDIN YAYINLARI’na aittir. 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kitabın düzeni, metni, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir şekilde alınıp yayımlana- maz, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Yayın Sorumlusu : Can TEKİNEL Yazarlar : Nesibe AYDIN - Murat BELDEK Dizgi – Grafik Tasarım : Aydın Yayınları Dizgi Birimi ISBN No : 978 - 605 - 7945 - 40 - 2 Yayıncı Sertifika No : 16753 Basım Yeri : Ertem Basım Yayın Ltd. Şti. • 0312 640 16 23 İletişim : AYDIN YAYINLARI [email protected] Tel: 0312 418 10 02 • 0850 577 00 71 Faks: 0312 418 10 09 0533 051 86 17 aydinyayinlari aydinyayinlari * ÜNwİwVwE.ayRdinSyaİyTinlaEri.YcoEm.trHAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK Bölüm Kapağı KARMA TEST - 2 İntegral Karma Testler MATEMATİK - 2 7. MODÜL 1. y r Modülün sonunda y= 3x tüm alt bölümleri 3. 6 sin x dx x2 + y2 = 16 – r x4 + x2 + 1# Ox 6 Alt bölümlerin integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A ) 4r2 B ) 3r - 1 C ) 5r 5 2 6 İNTEGRAL başlıklarını içerir. Yukarıdaki şekilde x2 + y2 = 16 çemberi ve D) 1 E) 0 y = 3 x doğrusu verilmiştir. ➤ Belirsiz İntegral • 2 Taralı bölgenin alanını veren integral aşağıdaki- içeren karma testler lerden hangisidir? yer alır. ➤ İntegral Alma Kuralları • 8 1 4. Bir hareketli 0 ilk hızından başlayıp doğrusal bir şe- A) # a 3 x - 16 - x2 k dx kilde hızlanarak 5. sn de 50 m/s hıza ulaşmış daha ➤ Değişken Değiştirme Yöntemi • 17 sonra hızını doğrusal bir şekilde azaltarak 8. sn de 0 40 m/s hıza düşürmüş daha sonra sabit hızla 4 sn ➤ Belirli İntegral - I • 24 gitmiş ve daha sonra doğrusal bir şekilde yavaşla- 2 yarak 15. sn de durmuştur. B) # a 3 x - 16 - x2 k dx Bu hareketlinin [0, 15] saniyeler arasında aldı- 0 ğı toplam yol kaç metredir? ➤ Belirli İntegral - II • 32 1 A ) 400 B ) 450 C ) 480 D ) 500 E ) 600 C) # a 16 - x2 - 3 x k dx 0 2 D) # a 16 - x2 - 3 x k dx 0 π ➤ Riemann Toplamı • 40 Konu İşleyişi E) 3 16 - x2 - 3 x k dx Yeni Nesil SorularYENİ NESİL SORULAR - 1 ➤ Belirli İntegÜrNaİVElRiSlİTeEYAE HlAaZnIRLIHK e7.sMaObDÜı L• 44İNTEGRAL #a 0 İntegral www.aydinyayinlari.com.tr ➤ İki Fonksiyonun Grafiği Arasında Kalan BELİRSİZ İNTEGRAL 2. y 1. Şekildeki taralı böl- Şekil51. dYeateaşyk ednüazrlemde h3a.rekBeitr emdüehne bndiri scibsimr yinüz imvme eh-avuzu tasarlayıp bunları üçgen biçizmaimndaenk idbeirnklemi a ( t ) F=( 3xt) -= 2- 2 x v2e+ t 4=x 4v e agn(ınx-) = 4x2 - 8x fonksiyon- genin alanı ÖRNEK 2 y= k k ln f b p ile bula- havuzun dbair hkızeın 2a4rı m/s, aldığı lyaorıln ı6n8a mra soınldduağkiusnıan ırglıöbröel,g ede olacak şekilde ko- # (f (x) + x2 - 4) dx = x.f (x) x a Bölgenin Alanı •TAN4IFM8( x ) fonksiyonunun türevi f ( x ) olsun. f ( x ) 13 metredbiru. cBiusmhian- yol – zamaonr ddineantksleismteim aişnadğeıd1abkirilimeri- 1 metre olacak şekilde Bu bölümdeki örnek bildiğine göre, vuzun tabdaennın hınantgai-sidir? modelliyor. Modülün genelinde yorum soruların çözümlerine yapma, analiz etme vb. akıllı tahta uygulamasından O ab x mamının fayanslarla becerileri ölçen kurgulu ulaşabilirsiniz. kaplamasıA)33S8(0t) =lirat3 + t2 – 8t sorulara yer verilmiştir. fonksiyonunun türevi alınmadan önceki hâ- olduğuna göre, f ( x ) fonksiyonunun x = 1 noktasın- F(x) Ayrıca modül sonunda ➤ Doğrusal Hareket Pli roolanbFle(xm) folenkrsiiy•onun5a 4f(x) fonksiyonunun daki teğetinin eğimi kaçtır? y A1 Ş3bemökiellgt1reesinin ala- tutmaktadır. 2 ters türevi denir. Bir fonksiyonun ters türevini O nı kaç birimkare- y = 2x dir? Bu RiheamvaunzBnu)nSto(ptt)alab=ma-ıt23 – t2 + 8t + 20 nı Yüzme ➤ Karma Testler • 55bulma işlemine integral alma işlemi denir. y= 2 havuzu g(x) F ( x ) fonksiyonunun türevi f ( x ) olmak üzere, x A kmi agnibtıiğgıeylnaiCşşl)ieğkSii1l(t2)md=eett--3 - t2 + 8t + 3 F( x ) fonksiyonuna f ( x ) fonksiyonunun integra- x re olan alt aralıklara ➤ Yeni Nesil Soli dreunilra. r • 63 2 ayrılarak oDl)uşStu(tr)u=lant3 + t2 - 8t + 3 Örneğin, türevi f' ( x ) = 5 olan f ( x ) fonksiyonu, A) ln2 B) ln4 C) ln ( 2e ) dikdörtgenler yardı-  Yüzmehavuzununderinliği1,5metreolacağına E) ln ( 8e ) - +g2ö0re,tasarladığıyüzmehavuzukaçm3sualır? 5x + 7, 5x - 10, 5x, ... şeklinde bir fonksiyon- D) ln ( 4e ) mıyla kaplEan) aSca(tk)t=ır.t4 – 3t 2 4t dur. Bu durumda f ( x ) = 5x + c, (c sabit) olarak Şekil 2 ifade edilebilir. 1. D  2. DBuna göre, şekil 2 deki gib5i6 bir kaplama için A) 12 B) 15 C) 20 D) 24 E) 36 ödenecektutarkaçliraolmalıdır? Bir f ( x ) fonksiyonu1nun belirsiz integrali ÖRNEK 3 3. E 4. C 5. B # f (x) dx biçiminde ifade edilir. Bu integralin # x.f (x) dx = x4 - x3 - 2x2 bulunması için bir F' ( x ) = f ( x ) olacak şekilde A) 1620 B) 1920 C) 2160 D) 2880 E) 3200 olduğuna göre, f ( x ) fonksiyonunun yerel minimum bir F ( x ) fonksiyonu araştırılır ve integral sabi- noktasının apsisi kaçtır? ti olan c bu F ( x ) fonksiyonuna eklenir. Bu du- 4. Şekilde koordinat sisteminde modellenmiş, alt ve tamamı yeni nesil sorulardan üst sınırları parabol şeklinde olan bir tünel görül- oluşan testler bulunur. rumda mektedir. Koordinat sisteminde 1 birim, 1 metre # f (x) = F (x) + c olur. kabul edilip ölçeklendirilmiştir. Burada, f ( x ) e integrant (integrali alınan fonk- TEST - 21 Alt Bölüm Testleri 2. 4 m Şekildeki park çimlendiri- y siyon), dx e integral değişkeni, c ye ise integ- lecektir. Her bir kısım ara- ral sabiti denir. 36 8 m sındaki uzaklıklar birbirine 32 Bir Fonksiyonun Grafiği ile x Ekseni Arasında Kalan Bölgenin Alanı 1. Şekilde S1, S2, S3 bulundukları bölgelerin alanları- 4. Şekilde, f ( x ) fonksiyonunun graf iği verilmiştir. dır. y 12 m eşit ve 2 3 metredir. y ÖRNEK 4 Çimlendirme işlemi Rie- ÖRNEK 1 # f (x) dx = - x2 - 4x - 2 16 m mann üst toplam mantı- # f (x) dx = x4 - 3x2 + 5x + 6 –1 S1 4 S3 xx 2 S1 y = f(x) Her alt bölümün 12 m ğıyla yapılırsa X metreka- x S2 4 x sonunda o bölümle ilgili re, Riemann alt toplam 46 olduğuna göre, f ( x ) fonksiyonunu bulunuz. S2 7 10olduğuna göre, f ( x ) fonksiyonunu–3n yerel maks2i- testler yer alır. 8 m mantığıyla yapılırsa Y –6 –4 O metrekare kısım çimlendi- mf(ux)m değeri kaçtır? S1 = 21 br2 , S2 = 16 br2 ve S1 ve S2 içinde bul unduğu bölgelerin alanlarını rilmiş oluyor.  Tünelinyanyüzeylerininmetrekarefiyatı30TL göst erm ek üzere, 4m olan kaplama malzemesi ile kaplanması duru- 10 mundakaplamamaliyetikaçTLolur? # f(x) dx = 16 4  Bunagöre,X-Yaşağıdakilerdenhangisidir? –1 # f (x) dx = 6 ve S1 = 9 br2 olduğuna göre, S3 alanı kaç br2 dir? -3 A) 8 3 B) 12 3 C) 16 3 A) 2400 B) 2580 C) 3200 olduğuna göre, S2 kaç br2 dir? D) 18 3 E) 24 3 D) 3520 E) 3600 A ) 11 B ) 15 C ) 16 D ) 17 E ) 18 A ) 21 B ) 18 C ) 12 D ) 6 E ) 3 1. D 2. E 63 3. A 4. D 1. 4x23.– 6xŞ+ek5ilde y = f ( x ) in grafiği ver2ilmiştir. 2. –3 3. 3 4. 4 y 8 A 12 y = f(x) x 5. y –3 B C 57 6 x eks eninin, AB yayı ile sınırladığı bölg enin alanı –6 S2 5 x 1 S1 y = f(x) 12 br2, BC yayı ile sınırla dığı bölgenin alanı 5 br2 Şekilde; S1 = 12 br2 , S2 = 6 br2 ise 5 6 olduğuna göre, # f (x) dx kaçtır? # af^xh + f^xh kdx –3 -6 A ) 60 B ) 30 C ) 17 D ) 10 E ) 7 integralinin değeri kaçtır? Kitaptaki örnek soruların PDF çözümlerine www.aydinyayinlari.com.tr adresinden A ) -12 B ) -6 C ) 6 D ) 12 E ) 18 ulaşabilirsiniz. 3. y Şekilde A1, A2 bu lundukları böl- –3 –2 A1 O 4x genin alanını göst ermek tedir. A2 A1 = 3 br2, A2 = 8 br2 ve 6. y = x2 –2 4 parabolü ile y = 0, x = 1 ve x = 4 doğruları ara- # f(x) dx = - 5 ise # f_ x i dx sında kalan alan kaç br2 dir? –3 –3 A ) 18 B ) 20 C ) 21 D ) 24 E ) 27 integralinin değeri kaçtır? E ) 16 A ) -10 B ) -8 C ) -5 D ) 8 1. A 2. E 3. A 47 4. E 5. D 6. C

ÜNwİwVwE.ayRdinSyaİyTinlaEri.YcoEm.trHAZIRLIK ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, MATEMATİK - 2 7. MODÜL İNTEGRAL ³ Belirsiz İntegral t 2 ³ İntegral Alma Kuralları t 8 ³ Değişken Değiştirme Yöntemi t 17 ³ Belirli İntegral - I t 24 ³ Belirli İntegral - II t 32 ³ Riemann Toplamı t 40 ³ Belirli İntegral ile Alan Hesabı t 44 ³ İki Fonksiyonun Grafiği Arasında Kalan Bölgenin Alanı t 48 ³ Doğrusal Hareket Problemleri t 54 ³ Karma Testler t 55 ³ Yeni Nesil Sorular t 63 1

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr #&-÷34÷;
÷/5&(3\"-
TANIM ÖRNEK 2 F ( x ) fonksiyonunun türevi f ( x ) olsun. f ( x ) # (f (x) + x2 - 4) dx = x.f (x) GPOLTJZPOVOVO
UÐSFWJ
BMŽONBEBO
ËODFLJ
Iº- li olan F ( x ) fonksiyonuna f ( x ) fonksiyonunun PMEVôVOB
HÌSF
f ( x ) fonksiyonunun x =

OPLUBTŽO- ters türevi EFOJS
#JS
GPOLTJZPOVO
UFST
UÐSFWJOJ
EBLJ
UFôFUJOJO
FôJNJ
LBÀUŽS CVMNB
JõMFNJOF
JOUFHSBM
BMNB
JöMFNJ
EFOJS fh
( 1 ) bize soruluyor.
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
UÐSFWJ
G

Y

PMNBL
Ð[FSF
( x.f ( x ) )h = f ( x ) + x2 - 4 F( x ) fonksiyonuna f ( x ) fonksiyonunun integra- 1.f ( x ) + x.fh
( x ) = f ( x ) + x2- 4 MJ
EFOJS x.fh
( x ) = x2 - 4 j x = 1 koyarsak 1.fh
( 1 ) = 1 - 4 = -3 j fh
( 1 ) = -3
±SOFóJO
UÐSFWJ
Gh

Y

=

PMBO
G

Y

GPOLTJZPOV
5x +

Y
-

Y

õFLMJOEF
CJS
GPOLTJZPO- ÖRNEK 3 EVS
#V
EVSVNEB
G

Y

= 5x +
D
D
TBCJU
PMBSBL
JGBEF
FEJMFCJMJS # x.f (x) dx = x4 - x3 - 2x2
#JS
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
CFMJSTJ[
JOUFHSBMJ
PMEVôVOB
HÌSF
f ( x ) fonksiyonunun yerel minimum OPLUBTŽOŽO
BQTJTJ
LBÀUŽS # f (x) dx

CJ¿JNJOEF
JGBEF
FEJMJS
#V
JOUFHSBMJO
( x4 - x3 - 2x2 ) h = x.f ( x ) CVMVONBTŽ
J¿JO
CJS
'h

Y

=
G

Y

PMBDBL
õFLJMEF
4x3 - 3x2 - 4x = x.f ( x ) j f ( x ) = 4x2 - 3x - 4 CJS
'

Y

GPOLTJZPOV
BSBõUŽSŽMŽS
WF
JOUFHSBM
TBCJ- UJ
PMBO
D
CV
'

Y

GPOLTJZPOVOB
FLMFOJS
#V
EV- 3 SVNEB fh
( x ) = 8x - 3 = 0 j x = # f (x) = F (x) + c olur. 8
#VSBEB
G

Y

F
JOUFHSBOU
JOUFHSBMJ
BMŽOBO
GPOL- TJZPO
EY
F
JOUFHSBM
EFóJõLFOJ
D
ZF
JTF
integ- ral sabiti
EFOJS ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 # f (x) dx = x4 - 3x2 + 5x + 6 # f (x) dx = - x2 - 4x - 2 PMEVôVOB
HÌSF
f ( x ) fonksiyonunu bulunuz. x2 PMEVôVOB
HÌSF f ( x ) fonksiyonunun yerel maksi- f ( x ) fonksiyonunun integrali x4 - 3x2 + 5x + 6 oldu- ôVOEBO

Y4- 3x2 + 5x + 6 ifadesinin türevi f ( x ) olur. NVN
EFôFSJ
LBÀUŽS ( x4 - 3x2 + 5x + 6 )h =f ( x ) = 4x3 - 6x + 5 f- 2 l f(x) x - 4x - 2 p = x 2 -x - 4 = f(x) j -x2 - 4x = f ( x ) x fh
( x ) = -2x - 4 =


Y
= -2 j f ( -2 ) = -4 + 8 = 4 1. 4x3 – 6x + 5 2 2. –3 3. 3 4. 4 8

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 # ^ x + f (2x) h dx = 4x3 + x2 + 6 N
= 4x + 5 PMEVôVOB
HÌSF
EY
JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ 2 PMEVôVOB
HÌSF

G




LBÀUŽS dm dm = 4dx j dx = 2l f 4x3 + x + 6 p = x + f (2x) 4 2 ÖRNEK 9 12x2 + x = x + f ( 2x ) f ( 4 ) = 12.22 = 48 f(x) = x2 + 2 x - 1 x %JGFSBOTJZFM
,BWSBNŽ PMEVôVOB
HÌSF
E
G

Y

JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ TANIM df ( x) = d x2 + 2 x- 1 l Türevlenebilir bir f ( x ) fonksiyonu için x n dx d ^ f (x) h =
Gh

Y


JGBEFTJ
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
dx df ( x) = f 2x + 2· 11 2 + p dx UÐSFWJ
PMNBL
Ð[FSF
d^ f (x) h = f' (x) dx
JGBEFTJ- 2 ne f ( x ) fonksiyonunun diferansiyeli EFOJS x x
4POV¿
PMBSBL
CJS
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
EJGFSBOTJ- ZFMJ
PMBO
E

G

Y


JGBEFTJ
GPOLTJZPOVO
UÐSFWJ
JMF
= f 2x + 11 EY
JO
¿BSQŽNŽOB
FõJUUJS
+ p dx 2 x x ÖRNEK 6 #FMJSTJ[
÷OUFHSBMJO
²[FMMJLMFSJ f ( x ) = x3 - x2 - 4x + 6 %m/*m fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz. # f' (x) dx = f (x) + c df ( ( x ) ) = f' ( x ) dx = ( 3x2 - 2x - 4 ) dx # d^ f(x) h = f(x) + c ÖRNEK 7 # c.f(x) dx = c # f(x) dx , ^ c ! R h y = u4 - 2 d # f (x) dx = f (x) u dx PMEVôVOB
HÌSF EZ
OJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ d # f (x) dx = f (x) dx # f d f (x) p dx = f (x) + c dx # ^ f(x) ± g(x) h dx = # f(x) dx ± # g(x) dx dy = d 4 - 2 l & dy = f 3 + 2 u u n du 4u 2 p du u 3 dm 9. f 2x + 11 8. + p dx 6. (3x2 – 2x – 4)dx 32 2 5. 48 4 x x 7. f 4u + 2 pdu u

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 14 d # (x2 + 5x - 1) dx # > d ^ x3 - 4x hdxH dx dx JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ #d a x 2 + 5x - 1 k dx = 2 + 5x - 1 x dx #= d ^ 3 h Gdx 3 - 4x = - 4x + c dx x x ÖRNEK 11 ÖRNEK 15 # d^ x h # d f x2 + 4x p JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ x+2 JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # d^ x h = x + c ÖRNEK 12 #df x2 + 4x p= 2 + 4x +c d # d ^x3 + x2h x dx x+2 x+2 JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ #d d^ 3 + 2 h = ( 3x2 + 2x ) x x dx ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 d # (3x2 - 2x + 1) dx d # a d # ^ x2 - 4x h dx k JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ JGBEFTJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # # #ddd^ 2 - 4x hdx n = d ^ x2 - 4x hdx x #d 2 - 2x + 1) dx = 2 - 2x + 1) dx = ^ 2 - 4x hdx (3x (3x x 10. x2 + 5x – 1 11. x + c 12. 3x2 + 2x 13. (3x2 – 2x + 1)dx 4 14. x3–4x+c 2 16. (x2 – 4x) dx x + 4x 15. + c x+2

#FMJSTJ[
÷OUFHSBM TEST - 1 1. # f (x) dx = x2 - 3x + 1 5. # f (x) dx = 2x2 + 8x - 3
PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
FöJUJ
BöBôŽ- x EBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
ZFSFM
NJOJ- A) x3 - 3x2 + x + c

#
Y2 - 3x + 1 NVN
EFôFSJ
LBÀUŽS 32 A) -
#
-
$

%

&
 C) ( 2x -


EY

%
Y
- 3 E) x3 - 3x2 6. # x.f(x) dx = 2x + 1 + c x+1 4 PMEVôVOB
HÌSF f-1
Y

BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS 2. # x.f (x) dx = x3 - 3x2 + x + 1 A) 1
#
2 C) - 2 1 - 2x 2x + 1 2x + 2
PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS A) -
#
-2 C) -
%

&
 %
1 E) 1 2x - 1 2x + 2 3. f (x) = # ^ x3 + x2 + 4 h dx 7. # x3.f' (x) dx = x5 - 4x4 + c
PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOB
Y
=

BQTJTMJ
5 OPLUBTŽOEBO
ÀJ[JMFO
UFôFUJO
FôJNJ
LBÀUŽS
PMEVôVOB
HÌSF
Gh

-

LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 A) -
#
-21 C) -
%
-18 E) -17 4. # x.f (x) dx = x3 - 6x2 8.
G

Y

EPóSVTBM
GPOLTJZPO
PMNBL
Ð[FSF
PMEVôVOB
HÌSF
G



+
Gh



LBÀUŽS g(x) = d # f(x) dx + # d f (x) \"

#

$

%

&
 dx f ( 1 ) =


f ( 2 ) = 5 ve g ( 3 ) = -4 PMEVôVOB
HÌSF
H-1


LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 1. D 2. B 3. C 4. \" 5 5. \" 6. D 7. & 8. D

TEST - 2 #FMJSTJ[
÷OUFHSBM 1. # f(x) - 1 x-3 + x +c 5. # x2.f (x) dx = x4 - 15x3 + c dx = x+2 ^ x - 1 h2 2
PMEVôVOB
HÌSF
f ( -

LBÀUŽS A) -
#
-11 C) -
%
-45 E) -89
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
G

Y

GPOLTJZPOV
JÀJO f ( 5 ) de- ôFSJ
LBÀUŽS A) - 25
#
- 7 C) 45
%
38 9 E) 18 12 16 11 2 2. f(x) = # mx - 1 dx

PMNBL
Ð[FSF 6. f(x) = d # d 9 # (x3 - 4x) dxC x3 + 4x2 - x + 5 dx PMEVôVOB
HÌSF
Gh


LBÀUŽS f ( x ) fonksiyonunuO
HSBGJôJOJO
Y
= -
BQTJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ
OPSNBMJ
Z
= 3x -

EPôSVTV
PMEV- \"

#

$

%

&
 ôVOB
HÌSF
N
LBÀUŽS A) - 13
#
- 7 C) 14
%
23 48 E) 2 10 9 5 7 3. :FSFM
FLTUSFNVN
OPLUBMBSŽOEBO
CJSJOJO
BQTJTJ

7. # x.f(x) dx = d # (2x3 + x)dx PMBO
G

Y

GPOLTJZPOV
JÀJO dx PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS f (x) = # (4x2 - m) dx \"

#

$

%

&

PMEVôVOB
HÌSF
N
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 4. f (x) = # d (3x2 + 6x)

PMNBL
Ð[FSF 8. d # d (x2 + 6x) f ( 1 ) =


PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO

JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS BMBCJMFDFôJ
FO
LÑÀÑL
EFôFS
LBÀUŽS A) x2 +
Y
#
Y
+ 6 A) -
#
-6 C) -
%
-8 E) -9 C) ^ x2 + 6x hdx
%

Y
+


EY E) x2 + 6x +
D 1. & 2. C 3. D 4. C 6 5. & 6. B 7. C 8. D

%JGFSBOTJZFM
,BWSBNŽ TEST - 3 1. # ^ x + 2 h f (x) dx = x4 + 2x3 - 8x2 - 24x + 5 5. # d^ x3 + x h + d # ^ x3 + x hdx PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOB
Y
= -
BQTJT- dx MJ
OPLUBTŽOEBO
ÀJ[JMFO
UFôFUJO
FôJNJ
LBÀUŽS
JöMFNJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) -
#
-10 C) -
%
-6 E) -4 A) x4 + x3 + x2 + x + c 42 2. # ^ x + 1 h.f' (x) dx = x3 - 4x2 - 11x + 10 # 2x3 + 2x
PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
FLTUSFNVN
C) 2x3 + 2x +
D OPLUBTŽOŽO
BQTJTJ
LBÀUŽS % 6x + 2 E) 6x2 + 2 A) 8
#

$
10
%
11 E) 4 3 33 6. d # ^ x2 + 5x hdx = # f(x) dx dx
PMEVôVOB
HÌSF G



LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 3. # 2.f' (x) dx = 4f (x) - 6x2 + 10 PMEVóVOB
HËSF
G

Y

GPOLTJZPOV
BöBôŽEBLJMFSEFO
7. # f d (x3 + x) pdx = # f'(x) dx IBOHJTJ
PMBCJMJS dx A) x2 -
Y
#
Y2 + 4x C) 3x2 - 2x PMEVôVOB
HÌSF f ( x ) fonksiyonunun artan oldu- ôV
FO
HFOJö
BSBMŽL
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS
%
Y2 + 4 E) 2x2 + 4 \"

mÞ

>
#
<

Þ

$

-Þ
Þ

%
<
-
Þ

&

-Þ
-4 ) 4. f ( x ) = x2 -
Y



PMEVôVOB
HÌSF
8. d # 9d # x2 dxC f' (x)
JGBEFTJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS d ^ f(x) h
JGBEFTJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) x3 + c
C) x2 3
E) x2
EY #) 2x \"

#
Y
-

$
EY
%
1 E) x2 - 6x
%
Y2 +
D
dx 1. B 2. D 3. D 4. D 7 5. C 6. D 7. C 8. &

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"-
\"-.\"
,63\"--\"3*
÷OUFHSBM
\"MNB
,VSBMMBSŽ ÖRNEK 4 %m/*m D
`
3
PMNBL
Ð[FSF # x2. 3 x dx # dx = x + c JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # a.dx = ax + c 2 2 1/3 7/3 O
á
-1 ve n `
2

PMNBL
Ð[FSF
. x .x x dx # xn dx = xn + 1 + c # # #x 3 x dx = dx = n+1 a `
3
PMNBL
Ð[FSF

x 10/3 + c = 3 ·x10/3 + c = # a.xn dx = a # xn dx 10 10 # ^ f(x) ± g(x) h dx = # f(x) dx ± # g(x) dx 3 ÖRNEK 1 ÖRNEK 5 # 3 dx

JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # 4 dx # 3 dx = 3x + c 5 x2 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # #4 -2/5 4.x 3/5 dx = 4.x dx = 3 +c 52 x 5 = 20 3/5 + c 3 x ÖRNEK 2 ÖRNEK 6 # x2 dx # 3 x2 dx JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ 4 x3 3 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ #2 x x dx = + c 3 ÖRNEK 3 32 # #x # ^ 4x3 + 2x - 6 h dx dx = 2/3 –3/4 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ x .x dx 43 x 2/3–3/4 –1/12 x dx x dx # #= = 42 11/12 3 4x 2x x + c = 12 ·x11/12 + c #a + 2x - 6 kdx = + - 6x + c = 4x 42 11 11 = x4 + x2 - 6x + c 12 3 8 4. 3 x10/3 + c 5. 20 x3/5 + c 6. 12 11/12 + c 1. 3x + c x 3. x4 + x2 – 6x + c 10 3 11 x 2. + c 3

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 7 ÖRNEK 10 # ^ 2x - 1 h ^ x + 3 h dx # x2 y dx + # x2 y dy JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # #^ 2x - 1 h ^ x + 3 h dx = a 2x2 + 5x - 3 kdx # #2 2 3 22 x xy +c x y dx + x y dy = y + 32 3 2 2x 5x = + - 3x + c 32 ÖRNEK 8 ÖRNEK 11 # 2x3 - 4x2 + 3x dx # m3 - m2 + 2 dm x m2 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ integralinJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # #2x3 - 4x2 + 3x a 2 - 4x + 3 kdx x dx = 2x = 2 x3 - 2x2 + 3x + c 32 3 # #m - m + 2 dm = ^ m - 1 + –2 h dm 2 2m m 2 –1 2 m 2m m 2 = -m+ +c= -m- +c 2 -1 2 m UYARI öOUFHSBM
BMNB
JõMFNJ
GBSLMŽ
EFóJõLFOMFSF
HËSF
EF
uygulanabilir. ÖRNEK 9 ÖRNEK 12 # u2 du + # u2 dm # x - 4 dx JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ x+2 integralinJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ 3 # #x - 4 dx = ^ x - 2 h^ x + 2 h # #2 2 u 2 dx u du + u dm = + u .m + c 3 x+2 ^ x+2h 3/2 #= a x1/2 - 2 k dx = x - 2x + c 3 2 2 3/2 = x - 2x + c 3 2x3 5x2 2 u3 +u2.m+ c 9 3 22 2 + - 3x + c m2 2 3/2 7. 8. x3–2x2+3x + c 9. xy xy +c 11. - m - + c 12. x - 2x + c 10. + 32 3 3 32 2m 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 # ^ x6 - 1 h dx
Gh

Y

= 3x2 + 6x + 5 ve f ( 1 ) = 3 PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS ^x4 - x3 + x - 1h integralinJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ f (x ) = x3 + 3x2 + 5x + c f ( 1 ) = 1 + 3 + 5 + c = 3 j c = -6 # #^ x6 - 1 h ^ 3 - 1 h^ 3 + 1 h f ( 3) = 27 + 27 + 15 - 6 = 63 dx = x x dx ^ x 4 - 3 + x - 1 h 3 ^ x - 1 h + x - 1 x x # #= f ^ x3 - 1 h^ x3 + 1 h p dx = ^ x2 + x + 1 hdx ^ 3 h^ + 1 x - 1 h x 32 xx = + +x+c 32 ÖRNEK 17
Ghh

Y

= 6x2 +
Y


Gh


= 0 ve f ( -1 ) = 1 PMEVôVOB
HÌSF f ( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 14 f' ( x ) = 2x3+ 3x2 + c f' ( 1 ) = 2 + 3 + c =


D
= -5 # 3 x - 6 dx + # 6+2 x f' ( x ) = 2x3 + 3x2 - 5 dx 43 xx 2x 3x f(x) = + - 5x + c 43 integralinJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ 1 7 f^ -1 h = - 1 + 5 + c = 1, c =- 22 # #3 x - 6 + 6 + 2 x 5x dx = 5x + c 4 dx = f^ x h = x + x3 - 5x - 7 22 xx ÖRNEK 15 ÖRNEK 18
Gh

Y

= 3x2 - 4x + 1 ve f ( 1 ) = 2 y =
G

Y

FóSJTJOJO
Ð[FSJOEFLJ
5




OPLUBTŽOEBO
¿J[JMFO
PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOV
CVMVOV[ UFóFU
EPóSVTVOVO
FóJNJ

EŽS f (x ) = x3 - 2x2 + x + c olur. f'' ( x ) =


PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS f(1) = 1 - 2 + 1 + c = 2 c=2 f ( 3 ) =


Gh



=

Ghh
Y

= 4 f ( x ) = x3 - 2x2 + x + 2 f' ( x ) = 4x +
D

Gh


= 12 + c =


D
= -6 f'( x ) = 4x - 6 j f ( x ) = 2x2 - 6x + c f ( 3 ) = 18 - 18 + c =


D
= 7 f ( x ) = 2x2 - 6x + 7 f ( 5 ) = 50 - 30 + 7 = 27 32 4 x3 7 xx 14. 5x+c 15. x3 – 2x2 + x + 2 10 16. 63 17. + x - 5x - 18. 27 13. + + x + c 22 32

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 y = f ( x ) fonksiyonunun r

Y
Z

OPLUBTŽOEBLJ
UFóFUJOJO
f ( x ) = 4x3 + 6x2 + 2x - 1 FóJNJ
P
OPLUBOŽO
BQTJTJOJO

LBUŽOB
FõJUUJS fonksiyonunun ilkeli g ( x ) ve g ( -1 ) = -
PMEVôVOB
f ( 3 ) =

PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS HÌSF
H



LBÀUŽS
f'( x ) = 2x j f ( x ) = x2 + c g ( x ) = x4 + 2x3 + x2 - x + c g ( -1 ) = 1 - 2 + 1 + 1 + c = -

D
= -2 f ( 3 ) = 9 + c =



D
= 1 g ( x ) = x4 + 2x3 + x2 - x - 2 f ( x ) = x2 +







G



= 5 g ( 1 ) = 1 + 2 +1 - 1 - 2 = 1 ÖRNEK 20 ÖRNEK 23 # x2.d (x2)
E
G

Y

= ( 3x2 +


EY

WF
G



= 0 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ PMEVôVOB
HÌSF G



LBÀUŽS 2x 4 f' ( x ) dx = ( 3x2+ 4 ) dx f' ( x ) = 3x2 + 4 j f ( x ) = x3 + 4x + c # #2dx = 3 dx = 4 +c f ( 1 ) = 1 + 4 + c = 0 j c = -5 x .2x f ( x ) = x3 + 4x - 5 2x f ( 0 ) = -5 4 x = +c 2 ÖRNEK 21 ÖRNEK 24 # x.f (x) dx = ax2 + 4x + b # 3 3 x2 FõJUMJóJ
WFSJMJZPS x+ dx f ( 1 ) =


PMEVôVOB
HÌSF B
LBÀUŽS x x f ( x ) = 2ax + 4 1.f ( 1 ) = 2a + 4 = 0 a = -2 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ 1/3 2/3 # # #x + x dx = x 1/3 – 1/2 dx + x 2/3–1/2 dx x 1/2 # #–1/6 1/6 = x dx + x dx 5/6 7/6 6x 6x = + +c 57 4 11 22. 1 23. –5 24. 6 5/6 + 6 7/6 + c 19. 5 x 21. –2 x x 20. + c 57 2

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 25 ÖRNEK 28 f (x) = # (3x2 - 2x + 1) dx ve f ( 2 ) = 8
Gh

Y

= 3x2 - 6x + 4 ve f ( 1 ) = 7 PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS f ( x ) = x3 - 3x2 + 4x + c f ( x ) = x3 - x2 + x + c f(1) = 1 - 3 + 4 + c = 7 j c = 5 f(0) = 5 f(2) = 8 - 4 + 2 + c = 8 jc=2 f ( x ) = x3 - x2 + x + 2 j f ( 1 ) = 1 - 1 + 1 + 2 = 3 ÖRNEK 26 ÖRNEK 29 Ghh

Y

=
Y
PMNBL
Ð[FSF f (x) = # x4 - 1 dx ve f ( 1 ) = 3 f ( x ) fonksiyonuna A ( -


OPLUBTŽOEBO
¿J[JMFO
UFóFUJO
FóJNJ

PMEVóVOB
HËSF
G



LBÀUŽS x-1 PMEVôVOB
HÌSF G



LBÀUŽS f''( x ) = 6x j f' ( x ) = 3x2 + c f ( -1 ) =


Gh -1) = 3 j f'(-1) = 3 + c = 3 j c = 0 432 f' ( x ) = 3x2 j f ( x ) = x3+ c x x x f(-1) = -1 + c =


D
= 3 j f ( x ) = x3 + 3 #f(x) = ^ 3 + x 2 + x + 1 h dx = + + +x+c f(1) = 1 + 3 = 4 x 432 f^ 1 h = 1 + 1 + 1 + 1 + c = 3 432 26 48 22 11 j f(0) = 11 +c= j c= = 24 24 24 12 12 ÖRNEK 27 ÖRNEK 30 # ^ a b + b a h da f (x) = # (3x2 + 4x + 3) dx ve f ( 1 ) = 10 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ PMEVôVOB
HÌSF
f ( x ) fonksiyonunun x =

OPLUBTŽO- EBLJ
UFôFUJOJO
EFOLMFNJOJ
CVMVOV[ 2 3/2 # ^ a b + b a h da = a b.a .2 f(x) = x3+ 2x2 + 3x + c b+ +c f(1) = 10 j c =


G 
= 4 23 f'(x) = 3x2 + 4x + 3 j f'(0) = 3 y - 4 = 3x j y = 3x + 4 a2 b b.a3/2.2 12 28. 5 29. 11 30. y = 3x + 4 25. 3 26. 4 27. + +c 12 23

÷OUFHSBM
\"MNB
,VSBMMBSŽ TEST - 4 1. G

Y

GPOLTJZPOV
J¿JO

Gh
Y

= 6x2 - 2x + 5 ve 5. P (x) = # a 6x 5 + 4 - 4x 3 k dx veriliyor. f ( 1 ) = 8 PMEVôVOB
HÌSF G



LBÀUŽS 5x \"

#

$

%

&
 #VOB
HÌSF
1
Y

QPMJOPNV
JÀJO
1


-
1


LBÀUŽS A ) -
#

-
$


%


&

 2. f ( x ) fonksiyonunun diferansiyeli d ( f ( x ) ) ol- 6. # x2.fl (x) dx = x4 - 2x3 + c ve f^ 1 h = - 5 NBL
Ñ[FSF 42 9 - x3E

G

Y


= 6x ve f ( 3 ) = 2 PMEVôVOB
HÌSF
G
Y

BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 A ) x2 - 12x + 6

#

x2 - 4x + 12 2 2 3. # ^ x - 2 h2.x dx C ) x3 - 12x2 + 6

%

2x3 - 18x2 + 1 2 6
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS E ) x2 - 3x + 1 A) x3 - 4x2 + 4x +
D
#
Y3 + 4x2 - 4x +
D 7. y =
G

Y

FóSJTJ
Ð[FSJOEFLJ
IFS

Y
Z

OPLUBTŽOEBO
C) x4 - 4x3 + 4x +
D
%
x4 - 4x3 + 2x2 + x + c FóSJZF
¿J[JMFO
UFóFUMFSJO
FóJNJ
P
OPLUB
JMF
Z
FLTFOJ
43 BSBTŽOEBLJ
V[BLMŽóŽO
LBSFTJOF
FõJUUJS E) x4 - 4x3 + 2x2 + c 43 f ( 1 ) =


PMEVôVOB
HÌSF
G




LBÀUŽS A ) 10

#

11

$


%

14 E ) 16 33 33 4. # 3 x x3 x dx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- 8. :FSFM
FLTUSFNVN
OPLUBMBSŽOEBO
CJSJ
\"


-2 ) EJS #
3 x9/4 + c PMBO
G
Y

GPOLTJZPOV
JÀJO A) 4 x11/3 + c
7 f (x) = # (3x2 - a) dx 7 C) 9 x9/7 + c
%
14 x9/14 + c
PMEVôVOB
HÌSF f ( 3 ) LBÀUŽS 14 9 E) 9 x14/9 + c \"


#


$


%


&

 14 1. \" 2. B 3. & 4. & 13 5. D 6. \" 7. & 8. &

TEST - 5 ÷OUFHSBM
\"MNB
,VSBMMBSŽ 1.
Gh
Y

= 6x2 + 4x ve f ( 1 ) = 5 5. f(x) = # d 9 # ^ 3x2 - 2 h dxC ve f ( 1 ) = 0 PMEVôVOB
HÌSF
G


-


LBÀB
FöJUUJS
PMEVôVOB
HÌSF G



LBÀUŽS \"


#


$


%


&

 A) -
#

$

%

&
 6. # f(x) dx + # x.f'(x) dx 2. f : R Z
3

PMNBL
Ð[FSF

G
Y


GPOLTJZPOVOVO


JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS
\"


-

OPLUBTŽOEBLJ
OPSNBMJOJO
FóJNJ
- 1 ve 3 f2^ x h #
Y
+ f ( x ) +
D A) + f (x) + c
fŽŽ( x ) = 12x2 -

PMEVóVOB
HËSF
f ( -

LBÀUŽS 2 C) x.f ( x ) +
D
%
Y2+ f ( x ) +
D A ) -7
#

- 9 C ) - 7

%

-3 E ) - 5 E) f2 (x) + x2 f (x) + c 22 2 2 7. # x.f' (x) - 2f (x) dx x3 3. Ghh
Y

= 12x +


PMNBL
Ð[FSF integraliOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ-
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
\"





OPLUBTŽOEB
ZFSFM
EJS ekstremumV
PMEVôVOB
HÌSF

G




LBÀUŽS f(x) f(x) f(x) A) + c
#
+ c C) + c xx 2x x2 \"


#


$


%


&

 f(x) E) + c %
YG

Y

+
D
x3 4. # ^hlogh ^xh .gl^xh dx 8. # x .^ x + 1 h.^ x - x h^ x2 + x h dx
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJ
MFSEFO
IBOHJTJEJS
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS \"


IhPH


Y

+
D
#


HhPI


Y

+
D A) x5 + x3 + c
#
x5 - x3 + c 53 53 $


HhPIh


Y

+
D
%


IPH


Y

+
D C) x6 + x4 + c
%
x6 - x4 + c 64 64

&


HPI


Y

+
D E) x9 + x5 + c 95 1. B 2. \" 3. D 4. D 14 5. & 6. C 7. C 8. B

÷OUFHSBM
\"MNB
,VSBMMBSŽ TEST - 6 1. P (x) = # r' (x) .k (x) dx + # r (x) .k' (x) dx 5. f(x) = # ^x2 - 2hf 1 + 2 p dx x4 P ( 4 ) =


S



L



= 6 ve r ( 3 ) . k ( 3 ) = 10 PMEVôVOB
HÌSF 1



LBÀUŽS fonksiyonu veriliyor. \"

#

$

%

&
 f ( 1 ) = -

PMEVóVOB
HËSF f ( -

LBÀUŽS \"

#
4 C) 5
%

&
7 3 3 3 2. f(x) = # f x.g'(x) - g(x) p dx 6.
Gh
Y

= 4x -
N

PMNBL
Ð[FSF x2
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
\"




OPLUBTŽOEB
ZFSFM
fonksiyonu veriliyor. NJOJNVNV
WBSTB
G



LBÀUŽS 3.f ( 3 ) = g ( 3 ) - 6 ve g ( 2 ) = 8 \"

#

$

%

&
 PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 3. f (x) = # ^ x4 - x3 + 4x hdx 7. f(x) = # x9 - 8 dx ve f ( 2 ) = 5 x6 + 2x3 + 4
PMEVôVOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
Y
= -1 nok- UBTŽOEBLJ
UFôFUJOJO
FôJNJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBO-
PMEVôVOB
HÌSF
G

-

LBÀUŽS HJTJEJS \"

#

$

%

&
 A) -
#
-2 C) -
%

&
 4. # f(x) dx = 4x2 + 3x 8. # ^ x - 2 h P (x) dx = x3 + mx2 - 4x x2
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
1

Y

QPMJOPNV
JÀJO
1



EF- ôFSJ
LBÀUŽS PMEVôVOB
HÌSF f ( x ) fonksiyonunun yerel eks- USFNVN
OPLUBMBSŽOŽO
BQTJTMFSJ
UPQMBNŽ
LBÀUŽS A) - 1
#
- 1
$

%
1 E) 1 \"

#

$

%

&
 42 2 4 1. C 2. \" 3. B 4. \" 15 5. & 6. C 7. D 8. C

TEST - 7 ÷OUFHSBM
\"MNB
,VSBMMBSŽ 1.
Q

Y

L

Y

S

Y

UÐSFWMFOFCJMFO
GPOLTJZPOMBS
PMNBL
5. %JGFSBOTJZFMJ

Y
+


EY
PMBO
G

Y

GPOLTJZPOV
JMF
EJ- Ð[FSF feransiyeli ( 3x2 -


EY

PMBO
H

Y

GPOLTJZPOVOVO
LFTJN
OPLUBMBSŽOEBO
CJSJ
Z
FLTFOJ
Ð[FSJOEFEJS p (x) = # k' (x) dx k (x) = # r (x) dx
G

Y

JMF
H

Y


GPOLTJZPOMBSŽOŽO
LFTJöUJLMFSJ
EJôFS
OPLUBMBS
\"

Q
S

WF
#

L
N

PMEVôVOB
HÌSF

PMEVôVOB
HÌSF BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ
ZBOMŽö- Q
+
L

LBÀUŽS UŽS \"
Qh
Y

=
Lh
Y

A) -
#
-
$

%

&
 #
S
Y

=
Qh
Y
$
Lh
Y

= r( x ) 6. # x2 dx - # 4x - 4 dx %
Q
Y

-
L
Y

TBCJU
GPOLTJZPOEVS x+2 x2 + x - 2 &
Q( x ) =
Sh( x ) JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 2. Diferansiyeli ( 2x -


EY
PMBO
GPOLTJZPO
BöBôŽ- A) x2 - 2x + c
#
x2 + 2x + c 2 2 EBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS C) x3 - 4x + c
%
x4 - 2x + c A) 2x -

#

$
Y2 +
D 3 4
%
Y2- 4x +
D
&
Y2- 4x +
D E) x4 - x2 + c 42 3. \"öBôŽEBLJ
FöJUMJLMFSEFO
IBOHJTJ
ZBOMŽöUŽS A) # eda = e.a + c
#
# ndn = n2 + c 7.
G

Y

FóJNJ
QP[JUJG
PMBO
EPóSVTBM
CJS
GPOLTJZPO
PMNBL
C) # p2r dr = p3 .r + c 2 Ð[FSF 3 %
# u.t2 du = u2 t2 + c # x2.f (x) .f' (x) dx = 4x4 + 24x3 2 FõJUMJóJ
WFSJMJZPS E) # k3 dk = k4 + c
#VOB
HÌSF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
Z
FLTFOJOJ
LFT- UJôJ
OPLUBOŽO
PSEJOBUŽ
LBÀUŽS m 4m \"

#

$

%

&
 4. f (x) = 3x + 1



g (x) = 2x + 1 x-2 x-3
GPOLTJZPOMBSŽ
WFSJMJZPS 8. d^ h (x) h = 2x + 4 ve p (x) = # h (x) dx # ^ fog h (x) dx dx
FõJUMJLMFSJ
WFSJMJZPS
JGBEFTJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS
I



=


WF

Q



= 5
PMEVôVOB
HÌSF
Q



LBÀ- A) x +
D
#
3x + 1 + c C) x2 + c UŽS x-2 2 \"

#

$

%

&

%
x - 2 + c E) x2+
D 3x + 1 1. & 2. D 3. C 4. C 16 5. D 6. \" 7. C 8. &

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, %&ó÷õ,&/
%&ó÷õ5÷3.&
:²/5&.÷ TANIM ÖRNEK 3
öOUFHSBM
BMNB
LVSBMMBSŽ
JMF
BMŽONBTŽ
[PS
PMBO
CB- # ^ 1 - 4x2 h25.4x dx [Ž
JOUFHSBMMFS
EFóJõLFO
EFóJõUJSNF
ZËOUFNJ
LVM- MBOŽMBSBL
EBIB
CBTJU
JOUFHSBMMFS
IBMJOF
HFUJSJMEJL- JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ UFO
TPOSB
LPMBZDB
JOUFHSBMJ
BMŽOBCJMJS #^ 1 - 2 h25 .4x dx

V
= 1 - 4x2
EV
= -8x dx
O
á


O
á
-1 ve n `
2

PMNBL
Ð[FSF 4x # ^ F^ x hhn.F'^ x h dx
CJ¿JNJOEFLJ
JOUFHSBMMFSEF
j du = -2.4x dx TŽSBTŽZMB
BõBóŽEBLJ
BEŽNMBS
VZHVMBOŽS u = F^ x h

PMTVO
EFOJS #j u25.d - du n 2 du = F'^ x h dx olur.
#V
EVSVNEB
JOUFHSBMJNJ[ #1 25 1 26 - 1 ^ 1 - 2 h26 # un.du

CJ¿JNJOF
EËOFS =- u du = - u +c= 4x +c # un.du = un + 1 + c olur. 2 2 26 52 n+1
V
ZFSJOF
'
Y

ZB[ŽMŽSTB ÖRNEK 4 F^ x hn + 1 # ^ x6 + 3x2 h3^ x5 + x hdx = +c JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ n+1
õFLMJOEF
¿Ë[ÐNÐ
CVMNVõ
PMVSV[ #a 6 + 2 k3.^ 5 + x hdx

V
= x6 + 3x2
ÖRNEK 1 x 3x x # (x + 3) 7dx

JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ du = (6x5 + 6x) dx j du = 6(x5+ x) dx 4 du 1 u3 du = 1 · u + c # #j ^ 3 h· = u 66 64 4 a x6 + 3x2 k4 +c u = +c= 24 24 # ^ x + 3 h7 dx

V
= x +

EV
= dx #j 7 du = 8 +c= ^ x + 3 h8 +c u u 88 ÖRNEK 5 ÖRNEK 2 # x2 dx # 2 2x - 1 dx


JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ x3 + 4 inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. #x 2 dx



V
= x3 +



EV
= 3x2 dx 3 x +4 # 2 2x - 1 dx

V
= 2x -




EV
= 2dx & # du 3u u 3/2 + c = 2 ^ 2x - 1 h3/2 + c 1/2 # #j 1/2 #1 –1/2 1 u2 3 u du = du = = u du = +c= u 33 x +4+c 13 33 2 2 ^ x + 3 h8 2. 2 ^ 2x - 1 h3/2 + c 17 - ^ 1 - 2 h26 a x6 + 3x2 k4 23 1. + c 3 3. 4x + c 4. + c 5. x +4+c 8 52 24 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 # 3x dx # x d^ x3 h 5 - x2 4 + x4 inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. # 3x dx

V
= 5 - x2

EV
= -2x dx # #x.d^ 3 h 3 5 - x2 x = 3x dx

V
= 4 + x4

EV
= 4x3 dx # #3 du - 3 –1/2 4 4 4+x 4+x j- = u du 2 u2 du 3 3 4 + x4 = +c - 3 1/2 2 # #3 –1/2 du = j u 4 u4 2 = 2u + c = - 3 5 - x + c 2 ÖRNEK 7 ÖRNEK 10 # F ›^ 3x + 1 h .F^ 3x + 1 h dx rY



WF

G

Y




PMNBL
Ð[FSF G

Y

G h
Y

= 2x3 + 12x2 + 16x tir. inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. f ( 2 ) = 12 PMEVôVOB
HÌSF

G





LBÀUŽS f ( x ).f' ( x ) = 2x3 + 12x2 +
Y


G



=


G



=
# #f^ x h.f'^ x h dx = 32 2x + 12x + 16x dx #u = f^ x h x 4 u du = du = f'^ x h dx & 2 + 4x3 + 8x2 + c # F'^ 3x + 1 h.F^ 3x + 1 h dx

V
= F(3x +

24 du = F'(3x + 1).3 dx u x + 4x3 + 8x2 + c = 22 2 u.du 1 u + c = 1 ^ F^ 3x + 1 h h2 + c #j =· 2 ^ x h 4 3 32 6 j f = x + 4x3 + 8x2 + c 22 x=2j 2 ^ x h = 8 + 32 + 32 + c j 72 = 72 + c j c = 0 f 2 f2 ^ 3 h = 81 + 108 + 72 = 441 & f^ 3 h = 21 22 2 ÖRNEK 8 ÖRNEK 11 # f3 (x) .f› (x) dx # dx 3 f (x) inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. ^ x + 2 h4 inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. #3 ^ x h.f'^ x h dx f


u =
G

Y


EV
= f'( x ) dx 3 f^ x h 3 11/3 # dx u .du u8/3du = 3u



V
= x +


EV
= dx = ^ x + 2 h4 # #j 11 +c 1/3 u = 3 ^ f^ x h h11/3 + c # #du –4 u –3 -1 11 j 4 = u du = +c= +c –3 3^ x + 2 h3 u 6. - 3 5 - x2 + c 7. 1 ^ F^ 3x + 1 h h2 + c 8. 3 ^ f^ x h h11/3 + c 18 3 4 + x4 10. 21 -1 6 11 9. + c 11. + c 2 3^ x + 2 h3

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 12 ÖRNEK 15 # ^ 3x2 - 2x + 5 h3.^ 3x - 1 h.dx g^ x h = # fl^ x h.f^ x hdx ve f^ 1 h = g^ 1 h = - 3 tür. inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. f ( 2 ) = 6 ise
H




LBÀUŽS # a 3x2 - 2x + 5 k3 ^ 3x - 1 hdx #g ( x ) = Gh

Y
G

Y

EY

G



= g ( 1 ) = -

G



=



g ( 2 ) =
u = 3x2 - 2x +


EV
= 6x -

EY



EV
= 2(3x - 1) dx #u =
G

Y



EV
=
Gh

Y

EY




H Y
= u du #= 3 du 4 1 a 3x2 - 2x + 5 k4 + c g^ x h = f2^ x h +c u· = 1u +c= 8 2 · 2 24 9 - 15 , g^ 2 h = 36 - 15 -3 = +c & c = 2 2 22 g^ 2 h = 21 2 ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 # fl (x) .fm (x) dx # ^ 1 + x2 h11.x dx inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ # f' (x) .f' ' (x) dx

V
=
Gh

Y


EV
= f'' ( x ) dx #^ 1 + 2 h11 .x dx

V
= 1 + x2

EV
= 2x dx x #2 ^ f' (x) h2 #1 ^ u h11.du = 1 · 12 +c= ^ 1 + x2 h12 +c u j u.du = + c = +c & u 22 2 2 12 24 ÖRNEK 14 ÖRNEK 17 # 20.^ x2 - 4 h19.x dx # 1+3 k dk inteHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOuz. 3 k2 JOUFHSBMJOJO
FöJUJOJ
CVMVOV[ #20. ^ 2 - 4 h19 .x dx
V
= x2 -


EV
= 2x dx # 1 + 3 k dk





u = 1 + 3 k


du = 1 dk x #1 ^ u h19 du = 10.u 20 32 32 20· k 3k 2 20 +c u 3/2 .2 = 2^ 1 + 3 k h3/2 + c u du = 3 #3 3 = 1 ^ x2 - 4 h20 + c 2 a 3x2 - 2x + 5 k4 + c 13. ^ f'^ x h h2 +c 14. 1 ^ x2 - 4 h20 + c 19 21 ^ 1 + x2 h12 17. 2^ 1 + 3 k h3/2 + c 2 15. 16. + c 12. 24 82 2

TEST - 8 %FôJöLFO
%FôJöUJSNF
:ÌOUFNJ 1. # ^ 2x - 3 h6 dx 5. # ^ x4 - 2 h3 .x3 dx
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) 1 ^ x4 - 2 h3/2 + c
#
1 ^ x4 - 2 h5/2 + c ^ 2x - 3 h7 ^ 2x - 3 h6 4 10 A) + c
#
+ c C) 1 ^ x4 - 2 h5/2 + c
%
1 ^ x4 - 2 h3/2 + c 12 16 7 6 E) 1 ^ x4 - 2 h3/2 + c ^ 2x - 3 h7 ^ 2x - 3 h6 12 C) + c
%
+ c 6. # 3x - 3 dx 14 12 3 x2 - 2x + 6 2.^ 2x - 3 h7 integralJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS E) + c A) ( x2 - 2x + 6 )2/3 +
D
#


Y2 - 2x + 6 )3/2 +
D 7 C) 4 ^ x2 - 2x + 6 h3/2 + c 2. # ^ x2 - 4x h5.^ x - 2 h dx 9 %
4 ^ x2 - 2x + 6 h2/3 + c
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 9 A) ^ x2 - 4x h6 + c
#
^ x2 - 4x h6 + c E) 9 ^ x2 - 2x + 6 h2/3 + c 6 12 4 ^ x - 2 h6 %
2^ x2 - 4x h6 + c C) + c
3 6 E) ^ x2 - 4x h5 + c 10 3. # ^ x3 + 1 h3.x2 dx
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 7. # x2.f' ^ x3 h dx A) ^ x3 + 1 h4 + c
#
^ x3 + 1 h4 + c
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 12 6 A) f ( x3 ) +
D
#

G

Y3 ) +
D
C) ^ x3 + 1 h4 + c
%

Y3 + 1)4 +
D 3 C) f^ x3 h + c %

Ghh Y3) +
D 3 E) 3 ^ x3 + 1 h4 + c E) f'^ x3 h + c 4 2 4. # x2 + 4 xdx 8. # 4x.f' ' ^ x2 h dx
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) x2 + 4 + c
#
2 x2 + 4 + c A) f'^ x2 h + c
#
Ghh

Y2 ) +
D 2 2 C) 2 ^ x2 + 4 h3/2 + c
%
1 ^ x2 + 4 h3/2 + c C) f' '^ x2 h + c
%
Gh Y2) +
D 33 2 E) 1 ^ x2 + 4 h2/3 + c
&

Ghhh
(x2) +
D 3 1. C 2. B 3. \" 4. D 20 5. B 6. & 7. C 8. D

%FôJöLFO
%FôJöUJSNF
:ÌOUFNJ TEST - 9 1. # ^ 2x3 + 3x h.^ 2x2 + 1 h dx 4. # x dx
JOUFHSBMJOJO
EFôFSJ
OFEJS x-3 A ) 1 ^ 2x3 + 3x h2 + c
#

1 ^ 2x3 + 3x h2 + c 24
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSd
en hangisi- C ) 1 ^ 2x3 + 3x h2 + c
%

1 ^ 2x2 + 1 h2 + c 66 EJS E ) 1 ^ 2x2 + 1 h2 + c 2 ^ x - 3 h3 A) + x - 3 + c 3 ^ x - 3 h3 # + 6 x - 3 + c 3 C) 2 f ^ x - 3 h3 x - 3 p+ c +3 3 2. # ^x2 + 3hdx 2^ x - 3 h3 % + 3 x - 3 + c x3 + 9x + 8 3
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJ
MFSEFO
IBOHJTJ- E) 2 3 x - 3 + 6 x - 3 + c EJS A) 1 3 #

2 3 5. # ^ 3x - 1 h4 ^ 2x + 1 h dx x + 9x + 8 + c
x + 9x + 8 + c integralinin sPOVDV
BöBôŽ
EBLJMFSEFO
IBOHJTJ- 33 EJS C) 2 +c
%

3 x3 + 9x + 8 + c A) 1 f ^ x - 1 h6 + ^ 3x - 1 h5 p + c 3 x3 + 9x + 8 2 93 E ) 3 x3 + 5x + 8 + c # 1 f ^ 3x - 1 h6 + ^ 3x - 1 h5 p + c 3. # x11dx 93 1 + x6 C) 1 f ^ 3x - 1 h6 + ^ 3x - 1 h5 p + c integralinin sonucu aöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS 64 % 1 f ^ 3x - 1 h3 + ^ 3x - 1 h6 p + c 93 E) 1 f ^ 3x - 1 h6 + ^ 3x - 1 h5 p + c 94 A) 2a 1 + x 6 3 + 2 1 + x6 + c 1- x k dx # 3 6. # 2 a 1 + x6 k - 2 1 + x6 + c 1+ x 3 integralinde x = t2

EÌOÑöÑNÑ
ZaQŽMŽSTB
BöBôŽ- 1a 3 EBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
FEJMJS k C) 1 + x 6 + 2 1 + x6 + c 3 A ) # 1 - t dt
#

# t.^ t - 1 h dt 2a 3 1+t 1+t % 1 + x 6 k - 2 1 + x6 + c 3 # t^1 -th %

2 # t^ 1 - t h dt E) 1 a 3 1 C ) .dt
1+t 1 + x 6 k - 1 + x6 + c 1 +t 93 E ) 2 # 1 - t dt 1+t 1. C 2. B 3. & 21 4. C 5. B 6. D

TEST - 10 %FôJöLFO
%FôJöUJSNF
:ÌOUFNJ 1. # x2.f' (x3) dx 5. f^ x h = # x4 - 8x3 .^ x3 - 6x2 hdx veriliyor.
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS f ( -1) =

PMEVóVOB
HËSF
G



LBÀUŽS A) f ^ x3 h + c
#
3 f ^ x3 h + c C) f ^ x3 h + c
%
x3.f^ x3 h + c A) 1
#
1 C) 1
%

&
 3 3 8 4 2 E) 2 f ^ x3 h + c 3 6. # dx 9x2 - 12x + 4
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 2. g^ x h = # x.f' ^ x2 + 1 h dx

H



=


G



=
 A) - 1 + c
#
- 1 + c 9x - 6 6x - 4 f (10) =

PMEVôVOB
HÌSF
H



LBÀUŽS C) 1 + c
%
1 + c 9x - 6 6x - 4 \"

#

$

%

&
 E) 3 + c 6x - 4 7. # 3 x2 - 6x ^ x - 3 h dx 3. # f' ' '^ x h.f' ^ f' '^ x hh dx integralinde t3 = x2 -
Y

EFôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
ZBQŽMŽODB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF

JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS FEJMJS \"
Gh

Y

+
D
#
Ghh
Y

+
D
$
Ghhh
Y

+
D A) 2 # t3 dt
#
3 # t3 dt
%
G

Gh

Y


+
D
&
G


Ghh

Y


+
D 3 2 C) 2 # t2 dt %
9 # t2 dt 9 2 E) 9 # t3 dt 4 4. # 3 2x + 5 - 2x + 5 dx 6 2x + 5 8. # dx integralinde 2x + 5 = u6 deôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
6 2x + 3 ZBQŽMŽODB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
integralinde m6 = 2x +

EFôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
FEJMJS ZBQŽMŽODB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
A) 3 # ^ u7 - u6 h du
#
3 # ^ u6 - u7 h du FEJMJS A) 3 # m6 dm
#
3 # m5 dm C) 1 # ^ u7 - u6 h du
%) 1 # ^ u6 - u7 h du C) 3 # m4 dm
%
5 # m5 dm 3 3 E) 3 # ^ u5 - u6 h du E) 5 # m4 dm 1. C 2. & 3. & 4. B 22 5. C 6. \" 7. B 8. C

%FôJöLFO
%FôJöUJSNF
:ÌOUFNJ TEST - 11 1. # x2.^ x - 2 h ^ x2 + 2x + 4 h dx 5. # 3x + 3 dx x3.^ x + 2 h3
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) ^ x3 - 8 h + c
#
^ x3 - 8 h2 + c integrBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 6 6 A) - 3 + c
#
- 4 + c C) x3 - 8 + c
%
^ x3 - 8 h + c 4^ x2 + 2x h2 3^ x2 + 2x h2 3 2 C) - 3 + c
%
- 2 + c E) ^ x3 - 8 h3 + c 2^ x2 + 2x h2 3^ x2 + 2x h2 6 E) - 3 + c 4^ x + 2 h2 f'f 2 p x 2. # dx 4x2 6. # f' '^ x h dx integraliOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS ^ f'^ x hh3 A) - 1 ff 2 p + c
#
- 1 ff 2 p + c JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 2x 8x C) 1 ff 2 p + c
%
1 ff 2 p + c A) - 2^ f'^ x hh2 + c
#
-^ f'^ x hh2 + c 2x 8x - f'^ x h -^ f'^ x hh2 E) 2ff 2 p + c C) + c %
+ c x 2 2 E) - 1 + c 2^ f'^ x hh2 3. # dx x .^ x + 4 h2 7. # x5 ^ x2 + 1 h dx
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS integralinde u = x2 +

EFôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
A) - 4 + c
#
- 3 + c ZBQŽMŽODB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
x+4 x+4 FEJMJS C) - 2 + c
%
2 + c A) 1 # u3 du
#
1 # ^ u - 1 h2 du x+4 x+4 2 2 E) 3 + c C) 1 # ^ u - 1 h2 u du
%
2 # ^ u - 1 h3 du x+4 2 E) 2 # ^ u - 1 h2 u du 4. # ^ 3 x + 2 h3 8. # ^ f^ 3x + 1 hh2.f'^ 3x + 1 h dx dx 3 x2
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS
JOUFHSBMJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) 2 ^ 3 x + 2 h4 + c
#
2 ^ 3 x + 2 h3 + c A) 1 f^ 3x + 1 h + c
#
1 ^ f^ 3x + 1 hh3 + c 3 3 27 27 C) 3 ^ 3 x + 2 h4 + c
%
3 ^ 3 x + 2 h3 + c C) 1 ^ f^ 3x + 1 hh3 + c
%
1 ^ f^ 3x + 1 hh3 + c 4 4 93 ^ 3 x + 2 h4 E) 3 ( f ( 3x + 1 ) )3 +
D E) + c 4 1. B 2. B 3. C 4. C 23 5. \" 6. & 7. C 8. C

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr #&-÷3-÷
÷/5&(3\"-

* TANIM ÖRNEK 1 # f^ x h dx = F^ x h + c

PMNBL
Ð[FSF
2 b # ^ 2x - 3 h dx inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # f^ x h dx

JGBEFTJOe f ( x ) in
B
EBO
C
ZF
belirli 1 a 22 integrali EFOJS #^ 2x - 3 h dx = 2 - 3x x b 11 # f^ x h dx = F^ x h b = F^ b h - F^ a h = (4 - 6) - (1 - 3) = 0 a a ile bulunur. ÖRNEK 2 UYARI 2 öOUFHSBM
TBCJUJ
PMBO
D
TBEFMFõUJóJ
J¿JO
CFMJSMJ
JOUFHSBM- # ^ x2 - x + 2 h dx inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS EF
ZB[ŽMNB[ –1 2 32 2 x x #^ 2 - x + 2 h dx = - + 2x x 32 –1 –1 = d 8 - 2 + 4 n - d - 1 - 1 - 2 n = 15 3 32 2 #FMJSMJ
÷OUFHSBMJO
²[FMMJLMFSJ b bb ÖRNEK 3 1. # 6f^ x h ± g^ x h@ dx = # f^ x h dx ± # g^ x h dx 4 x+1 dx inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS a aa # 0x bb 44 2. # c.f^ x h dx = c. # f^ x h dx # #x + 1 dx = x + –1/2 dx aa x a 0x 0 3. # f^ x h dx = F^ a h - F^ a h = 0 = 2 3/2 + 1/2 4 16 +4 n-0 = 28 a x 2x =d ba 3 03 3 4. # f^ x h dx = - # f^ x h dx ab 5. a <
D
<
C
PMNBL
Ð[FSF ÖRNEK 4 b cb 3 # f^ x h dx = # f^ x h dx + # f^ x h dx # 3x2 dy inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS a ac 2 6.
G

Y

TÐSFLMJ
WF
¿JGU
GPOLTJZPO
JTF
3 aa 3 # f^ x h dx = 2. # f^ x h dx #2 dy = 2 = 2 ^ 3- 2h 3x –a 0 3x y 3x a 2 7.
G

Y

TÐSFLMJ
WF
UFL
fonksiyon ise # f^ x h dx = 0 2 –a 24 1. 0 15 28 4. 3x2^ 3 - 2 h 2. 3. 23

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 10 0 dx inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # ^ 5y - 2 h dt inteHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # -4 1 - 2x 1 01 10 10 # #dx 1 du

V
= 1 -
Y



EV
= -2dx j - # ^ 5y - 2 h dt = ^ 5y - 2 ht 2 –4 1 - 2x u 11 9 = ( 5y - 2 ) . ( 10 - 1 ) = 9. ( 5y - 2 ) #1 11 1 =- –1/2 du = - 1/2 = -(1 - 3) = 2 u ·2u 22 9 9 ÖRNEK 6 52 # f (x) dx = 9

PMEVôVOB
HÌSF

# f (3x - 1) dx ifade- 21 TJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 5 2 # f^ x h dx = 9



# f ^ 3x - 1 h dx 2 1 V

Y
m

EV

EY ÖRNEK 9 5 ôFLJMEF

Z

G

Y


GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõU
JS
y #1 f^ u h du = 1 ·9 = 3 4 y = f(x) 33 2 ÖRNEK 7 2 x 5 –3 –2 O1 4 # f (3x + 2) dx = 45

PMEVóVOB
HËSF


–2 0 3 # f^ 5x + 2 hdx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 0 53 1 # #f^ 3x + 2 h dx = 45



f^ 5x + 2 h dx

LBÀUŽS #VOB
HÌSF
# f›^ 4x hdx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 00 –1 2


h






















h u = 3x + 2 u = 5x + 2 17 #1 du = 3 dx f^ u h du 14 du =

EY

# #1 17 5 f' (4x) dx

V
=Y



EV
= 4dx j f'^ u h du 2 #1 f^ u h du = 45 4 1 –2 3 – 2 2 17 1 4 1 ^0-4h= 1 ·-4 =-1 #j f^ u h du = 135 1 = f^ u h = & 135· = 27 4 –2 4 4 2 5 5. 9(5y – 2) 6. 3 7. 27 25 8. 2 9. –1

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 14 4 5 # 2x2dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # f (4x - 1) dx = A PMEVóVOB
HËSF
–4 -2 4 43 4 16 # #2 2 x 256 # f (x + 3) dx integSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 2x dx = 4 x dx = 4 = 3 –2 3 –4 0 0 5 16 # #f^ 4x - 1 hdx = A








f^ x + 3 hdx = ? –2 –12 u = 4x - 1 u=x+3 ÖRNEK 11 du = 4dx du = dx 100 19 19 # 4x3dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS #1 f^ u h du = A # f^ u h du = 4A –100 4 –9 100 –9 #3 ÖRNEK 15 4x dx = 0

÷ÀUFLJ
GPOLTJZPO
UFL
GPOLTJZPO –100 G
WF
H
TÐSFLMJ
GPOLTJZPOMBS
PMNBL
Ð[FSF 22 5 # f(x) dx = 5

# f(x) dx = 4
# g(x) dx = 3 ÖRNEK 12 –1 5 –1 2 FõJUM
JLMFSJ
WFSJMJZPS # x 2x2 + 1 dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 5 0 #VOB
HÌSF

# ^ 2 f (x) - 3 g^ x hh dx integralinin sonu- DV
LBÀUŽS –1 2 5 55 # x. 2 + 1 dx

V
= 2x2 +



EV
= 4x dx # # #^ 2f^ x h - 3g^ x h h dx = 2 f^ x h dx - 3 g^ x h dx 2x –1 –1 –1 0 9 = 2 ( 5 - 4 ) - 3.3 = 2 - 9 = -7 9 1 #1 1 3/2 2 = u du = u · 4 43 1 = 1 ^ 27 - 1 h = 26 = 13 6 63 ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 :BOEBLJ
öFLJMEF
WFSJMFO- MFSF
HÌSF
5 x dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS y y = f(x) x 3 # 2 2 x-1 –2 3 # fl (x) .f (x) dx integrali- -2 OJO
TPOVDV
LBÀUŽS 5 3 # x dx

V2 = x -


V
EV
= dx # f'^ x h.f^ x h dx

V
=
G Y

EV
= f'(x) dx 2 x-1 2 ^ 2 h 3 2 #= 2 u + 1 u du = 2f u +up –2 3 u f^ 3 h 2 2 2 11 # #u =2-0=2 u du = u du = = 2 d d 8 + 2 n - d 1 + 1 n n = 2d 7 + 1 n = 20 2 0 f^ –2 h 0 33 33 256 11. 0 13 20 26 14. \" 15. –7 16. 2 10. 12. 13. 3 3 3

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 17 ÖRNEK 20 3
EF
UBOŽNMŽ
G
GPOLTJZPOV- OVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJ- f ( 1 ) = 1 ve f ( 3 ) =


PMEVóVOB
HËSF
y EJS 4 3 x a Ob # f^ x h. fl^ x h dx integralinin sonucu kaÀUŽS 1 3 # f^ x h.f'^ x h dx

V
=
G Y

EV
= f'(x) dx 1 b 42 4 # f^xh.fl^xh dx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS #u 1 15 a u du = =8- = 2 22 1 1 b # f^ x h.f'^ x h dx

V
=
G

Y




EV
= f' ( x ) dx a ÖRNEK 18 42 4 G

Y

GPOLTJZPOVOVO
BOBMJUJL
EÐ[MFNEF
Y1 =


OPLUBTŽO- #u =8-0=8 EBLJ
UFóFUJO
FóJNJ

Y2 =


OPLUBTŽOEBLJ
UFóFUJOJO
FóJ- NJ
-
EŽS = u du = 0 2 7 0 #Buna
HÌSF
fll ^xh fl ^xh dx

JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀ- ÖRNEK 21 UŽS 4 7 7 # ^x2 + x5 + x7 + x11 + x15hdx # f' '^ x h.f'^ x h dx

V=
Gh

Y


EV
= f'' ( x ) dx -7 4 integralinin sonucu LBÀUŽS –6 2 –6 #u 9 27 = 18 - = & u du = 2 22 3 3 77 2 5 7 11 15 2 x x x x x x dx # #^ + + + + h dx = –7 –7 3 7 343 - ^ - 343 h 686 x == ÖRNEK 19 = –7 3 3 y 3 F(x) :BOEBLJ
õFLJMEF
'
Y

GPOL- TJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõ- tir. –1 3 x O2 4 –2 ÖRNEK 22 3 7 #VOB
HÌSF
# ^x + F' (x)hdx integralinin sonucu
LBÀ- # ^x7 - x5 - 5x3h21dx UŽS
-1 -7 integralinin sonucu LBÀUŽS 32 3 3 #7 7 - 5 - 3 k21 dx = 0 –1 a # ^ x + F'^ x h h dx = x +F^ x h x x 5x 2 –1 –1 =d 9 - 1 n+^-2-0h= 4-2 = 2 –7 22 15 27 19. 2 27 20. 8 686 22. 0 17. 18. 21. 2 2 3

TEST - 12 #FMJSMJ
÷OUFHSBM a 3 #1. ^3x2 - 2x + ch dx = a3 - a2 + 5a 5. # 9x2.f' (x) + 2x.f (x)C dx = 18 0 0 PMEVôVOB
HÌSF
D

EFôFSJ
LBÀUŽS
PMEVôVOB
HÌSF

G



LBÀUŽS A ) -B
#

mB
$


%

B
&

 A ) 22
#


$

16

%


&

 3 3 k 6. ôFLJMEF
G

Y

GPOLTJZPOVOVO




WF




OPLUB- 2. # ^4x - 2hdx = 54 ve k -
N
= 3 MBSŽOEBLJ
FLTUSFNVN
OPLUBMBSŽ
WFSJMNJõUJS y m (4, 7) (1, 2) PMEVôVOB
HÌSF
L
+
N

LBÀUŽS O1 f(x) \"


#


$


%


&

 x 4 4 integralinin so- #VOB
HÌSF
# f' ^ x h f' ' ^ x h dx 1 nucu kaÀUŽS A ) -
#

-
$


%


&

 k 3. # ^3x2 + 6x - 2hdx = k3 + 1 0
FöJUMJôJOF
HÌSF
L
OJO
BMBCJMFDFôJ

EFôFSMFS
UPQMB- NŽ
LBÀUŽS 59 7. # f(x) dx = 7 ve # f(x) dx = 16 \"


#

2 C ) 1

%

- 1 E ) –1 22 3 33 5 PMEVôVOB
HÌSF
# f^ x h dx integralinin sonucu 9 LBÀUŽS A) -
#
-
$

%

&
 5 11 8. 3 3 dx 4. # f^ x h dx = 12


# f^ x h dx = - 3 # x +x 15 2 0 x +1 11 JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS
PMEVôVOB
HÌSF

# 2f^xhdx integralinin sonucu A) -
#
7 C) 8
%
 10 1 3 3 E) LBÀUŽS 3 A ) -
#

-
$


%


&

 1. & 2. \" 3. B 4. & 28 5. & 6. C 7. \" 8. B

#FMJSMJ
÷OUFHSBM TEST - 13 1 5. y ôFLJMEF
Z
= f( x ) fonk- #1. ^2x + 1ht dx = 40 6A TJZPOVOB
Ð[FSJOEFLJ
\"
t +1 OPLUBTŽOEBO
¿J[JMFO
UF- 0 PMEVôVOB
HÌSF
U
LBÀUŽS óFU
E
EPóSVTVEVS
\"


#


$


%


&

 f(x) x 4 10 d 4 #fŽ( 1 ) =


PMEVôVOB
HÌSF
f› (x) .f›› (x) dx integ- 1 SBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 2 \"

m
#

- 3 C ) –1
%

- 1 E ) 0 22 2. # x2 f^ x3 h dx = 20 0 8
PMEVôVOB
HÌSF
# f (x) dx integralinin sonucu 0 LBÀUŽS \"


#


$


%


&

 6. 2 x3 dx # –2 x4 + x2 + 6 integralinin soOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS A) -
#
-
$

%

&
 9 #3. 1 + x dx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 0 A) 232
#
242 C) 202 7.
ôFLJMEF
G
Y

GPOLTJZ
POVOVO
\"


Z0

OPLUBTŽOE
BLJ
15 15 15 teóFUJ

Z
= x +


EPóSVTVEVS
%
191 E) 12 15 y y=x+2 A y = f(x) O2 x –3 11 G
Y

GPOLTJZPO
VOVO
HSBGJôJ
Z
FLTFOJOJ


-3 ) 4. # f^xh dx = K

PMEVóVOB
HËSF 2 3 OPLU
BTŽOEB
LFT
UJôJOF
HÌSF
# x . f' '^ x h.dx in- 5 0 # f^ 2x + 1 h dx tegralinin sonucu LBÀUŽS 1 JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS A) K
#
,
$
,
%
,
&
, \"

m
#

m
$

m
%

m
&

 2 1. B 2. & 3. \" 4. \" 29 5. B 6. C 7. \"

TEST - 14 #FMJSMJ
÷OUFHSBM 1 3x2 2x3 i4._ x2 i m+1 3m 1. 4. f # 2x dx p = # 6x5 dx #_ - x - dx 0 00
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS olEVôVOB
HÌSF
N
LBÀUŽS A) 1
#
1 C) 1
%
1 1 A) - 1
#
- 1 C) 1
%
1 E) 1 60 50 40 30 E) 4 24 2 20 10 3 2. # x2 + 6 .x dx 5. # F_ 4x - 1 i dx = 48

PMEVóVOB
HËSF 3 1 integralinde u2 = x2 + 

EFôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
2 ZBQŽMŽSTB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
FEJMJS # F_ 3x + 5 i dx 10 10 4 2 – A) # u.du
#
# u2.du C) # u2.du 3 3 3 3
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 4 E) 1 4 \"

#

$

%

&

%
2 # u2 .du # u2.du 23 3 6.
ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõ- tir. 3. ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõ- y = F(x) y tir. Ap Bm y 6 135° 4 O –2 –1 O x x F ( x ) in A ( -
Q

OPLUBTŽOEB
ZFSFM
FLTUSFNVNV
3 PMVQ
'
Y

F
#

-
N

OPLUBTŽOEBO
¿J[JMFO
UFóFU
Y
FLTFOJ
JMF
QP[JUJG
ZËOEF
™
MJL
B¿Ž
ZBQNBLUBEŽS y = F(x) –1 3
#VOB
HÌSF
# F'_ x i.F' '_ x i dx integralinin so-
#VOB
HÌSF
# F'_ x i dx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöB- –2 0 OVDV
LBÀUŽS ôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) 5
$
3
%

&
1 A) -
#
-3 C) -
%

&
 2 2 2 #

1. D 2. C 3. C 30 4. B 5. & 6. &

#FMJSMJ
÷OUFHSBM TEST - 15 57 4. 16 x - 16 dx 1. # 3 x5 + 1 .x4 dx # 4 x+4 0 integralinde x5 + 1 = u3

EFôJöLFO
EFôJöUJSNFTJ
integraliniO
TPOVDV
LBÀUŽS ZBQŽMŽSTB
BöBôŽEBLJ
JOUFHSBMMFSEFO
IBOHJTJ
FMEF
A) - 64
#
- 32 - 16 FEJMJS 3 3 C) 7 #
3 7
%
- 8 3 50 3 A) # u3 du
# u3 du E) - 4 3 0 3 2 %
3 7 C) # u3 du
# u3 du 51 51 E) 5 2 31# u3 du 2.
ôFLJMEFLJ
HSBGJLUF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
\"
WF
#
5. y =
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
\"




WF
#




OPLUBMBSŽOEBLJ
UFóFUMFSJ
¿J[JMNJõUJS OPLUBMBSŽOEBO
HF¿NFLUFEJS y y = F(x)
#VOB
HÌSF
10 A 4 x.F'_ x i - F_ x i B6 dx # 2 F2 _ x i
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x A) - 1
#
- 1 C) - 1
%
1 E) 1 6 9 8 66 9 –4 –2 O2 6
#VOB
HÌSF
# x.F' '_ x i integralinin sonucu –2 LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 7 44 3. # F_ 3x + 1 i dx = 10
PMEVóVOB
HËSF
6. # x.F'_ x i dx = 2m, # F_ x i dx = n 3 0 03 5
PMEVôVOB
HÌSF
'



Ñn m ve O
UÑSÑOEFO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS # F_ 2x i dx A) 3m + n
#
2m + n C) 6m + n 11 6 12 12 integralinin sonucu LBÀUŽS
%
6m + n E) 3m + 2n 18 12 \"
m
#
m
$

%

&
 1. C 2. & 3. B 31 4. B 5. C 6. C

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr #&-÷3-÷
÷/5&(3\"-

** 1BSÀBMŽ
'POLTJZPOMBSŽO
#FMJSMJ
÷OUFHSBMJ ÖRNEK 2 TANIM æ
F^ x h = * 2 - x , x < 3 ise 2x - 7 , x ≥ 3 ise
H


Y

WF

I

Y


JOUFHSBMMFOFCJMJS
JLJ
GPOLTJZPO
WF
3 a #
D
#
C
PMNBL
Ð[FSF PMEVôVOB
HÌSF
# F^ x + 1 h dx integralinin deôFSJ
LBÀUŽS 1 F_ x i = * g_ x i , x < c ise h_ x i , x $ c ise
CJ¿JNJOEF
UBOŽNMŽ
'
Y

GPOLTJZonunun [B
C] 3 u = x +


EV
= dx BSBMŽóŽOEBLJ
JOUFHSBMJOJ
CVMNBL
J¿JO
JOUFHSBM
# F^ x + 1 h dx = GPOLTJZPOVOVO
LVSBMŽOŽO
EFóJõUJóJ
D
OPLUBTŽOB
1 HËSF
43 4 b cb # # #F^ u h du = ^ 2 - x h dx + ^ 2x - 7 h dx # F_ x i dx = # g_ x i dx + # h_ x i dx 22 3 a ac 2 3 4 2 x + x - 7x 2x - 23 2 biçiNJOEF
JLJ
JOUFHSBMJO
UPQMBNŽ
PMBSBL
ZB[ŽMNB- = =d 6 - 9 n - ^ 4 - 2 hG + 7^ 16 - 28 h - ^ 9 - 21 hA MŽEŽS 2 = = 3 - 2 G + 7 - 12 + 12 A = - 1 22 ÖRNEK 1 ÖRNEK 3 F (x) = * x2 x < 0 PMNBL
Ð[FSF F_ x i = * 6x2 + 1 , x < 1 ise 2x + 1 x $ 0 4x - 1 , x $ 1 ise CJ¿JNJOEF
UBOŽNMŽ
'

Y

GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS 3 2 # F (x) dx
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS #VOB
HÌSF
# F_ x i dx


JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS –2 –1 3 03 21 2 2 # # #F^ x h dx = a 6x2 + 1 k dx + ^ 4x - 1 hdx x dx + # # #F^ x h dx = ^ 2x + 1 h dx –2 –2 0 –1 –1 1 3 0 2 3 1 2 x = + x + x & 2x3 + x + 2 - x 3 2x –2 0 –1 1 = = 0 - d - 8 nG + 7^ 9 + 3 h - 0 A = 8 + 12 = 44 = 7^ 2 + 1 h-^ -2 - 1 hA+7^ 8 - 2 h-^ 2 - 1 hA 3 33 = (3 + 3) + (6 - 1) = 11 44 32 1 3. 11 1. 2. - 2 3

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, .VUMBL
%FôFS
'POLTJZPOVOVO
#FMJSMJ
÷OUFHSBMJ ÖRNEK 3 TANIM 3
.VUMBL
EFóFS
GPOLTJZPOVOVO
CFMJSMJ
JOUFHSBMJOJ
# a x - 2 + x + 1 k dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS CVMNBL
J¿JO
NVUMBL
EFóFSJO
J¿JOJ

ZBQBO
EF- óFSMFSF
HËSF
JOUFHSBMJO
TŽOŽSMBSŽ
QBS¿BMBOŽS -2 33 # #x - 2 dx + x + 1 dx –2 –2 2 3 –1 3 # # # #= 2 - x dx + x - 2 dx + - x - 1dx + x + 1dx –2 2 –2 –1 ÖRNEK 1 2 2 2 3 2 –1 2 3 x x - 2x +f - x -xp x = 2x - + + +x –2 2 22 –2 2 3 2 –1 # x dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 9 19 1 = 8 + - 6 + 2 + + + 3 + = 17 -2 2 22 2 3 03 # # #x dx = - x dx + x dx –2 –2 0 2 02 3 0 -x x & + –2 2 2 = 7 0 - ^ - 2 hA + = 9 - 0 G = 2 + 9 = 13 2 22 ÖRNEK 2 ÖRNEK 4 2 4 # x2 - x dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # x + x - 2 dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS –1 -3 2 01 2 4 24 # # #x + x - 2 dx = x - x + 2 dx + 2x - 2 dx –3 –3 2 a x2 - x k dx + 2 2 # # # #2 a x - x k dx + a x - x k dx 24 x - x dx = # #= 2 dx + 2x - 2 dx –1 –1 0 1 –3 2 32 0 23 13 2 2 xx xx xx +- +- 11 2 4 &- –1 2 3 03 2 = = 2x 2 + - 2x 2 16 x 32 –3 = 10 + (16 - 8) - (4 - 4) = 10 + 8 = 18 13 11 33 3. 17 4. 18 1. 2. 2 6

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 2 2x + 3 , x < 0 F_ x i = * 4x + 3 , x $ 0 # x + 1 dx integralinin sonucu LBÀUŽS fonksiyonu veriliyor. -3 1 2 –1 2 #VOB
HÌSF
# Fa x k dx integralinin eöJUJ
LBÀUŽS # # #x + 1 dx = - x - 1 dx + x + 1dx –2 –3 –3 –1 2 –1 2 2 -x x = -x + +x 1 01 2 –3 2 –1 # # #Fa x k dx = F^ - x h dx + F^ x h dx =d - 1 +1 n-d -9 +3 n+4-d 1 -1 n –2 –2 0 22 2 0 13 1 13 # F^ - x h dx u = -Y

EV
= -dx = + +5- = –2 22 22 022 # # #- F^ u h du = F^ u h du = ^ 4x + 3 h dx ÖRNEK 6 200 2 21 # x - 1 . dx
JGBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS # #= ^ 4x + 3 h dx + ^ 4x + 3 h dx –2 00 2x2 + 3x 2 + 2x2 + 3x 1 00 2 12 14 + 2 + 3 = 19 # # #x - 1 dx = 1 - x dx + x - 1dx –2 –2 1 2 12 2 x x =x- + -x –2 2 2 1 =d 1- 1 n-^-2-2h+0-d 1 -1 n 22 11 = +4+ =5 22 ÖRNEK 7 ÷OUFHSBM
WF
5ÑSFW
÷MJöLJTJ
%m/*m 2 d # F_ x i dx = F_ x i # x2 - x dx

JöMFNJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS dx 0 # dF_ x i = F_ x i+ c 21 2 # f d F_ x i p dx = F_ x i + c # # #2 2 dx x )BUŽSMBUNB
#FMJSMJ
JOUFHSBMMFSEF
D
ZB[ŽMNB[ - x dx = ^ - x2 + x h dx + ^ x - x h dx 34 8. 19 00 1 32 13 2 2 xx 1 -x x +- =+ 03 2 32 =d -1 + 1 n+d 8 -2 n-d 1 - 1 n 32 3 32 118 11 =- + + -2- + = 1 323 32 13 5. 6. 5 7. 1 2

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 F (x) = d 9 # ^ x2 - 1 hdxC f : R Z
3

'
-3 ) = -1 ve F ( 2 ) = 2 dx 2 3 PMEVôVOB
HÌSF
# F2_ x i.d _ F_ x i i EFôFSJ
LBÀUŽS PMEVôVOB
HÌSF

# F (x) dx

LBÀUŽS –3 1 #F^ x h = d ^ x2 - 1 h dx 2 dx # F2 ^ x h.d F^ x h u =
' Y
EV
= F'(x) dx –3 3 3 3 ^ h 2 –3 #& F^ h 2 - ^ 2 - h #& 2 u F x x = 1& 1 dx du = = x x u 1 33 33 = ^ 9 - 3 h - d 1 - 1 n = 20 = 8 -d -1 n= 3 x 33 & -x 31 33 ÖRNEK 2 ÖRNEK 5 f (x) = 3x - 1 3 F_ x i = x2
PMEVóVOB
HËSF
2x + 1 x+1 PMEVôVOB
HÌSF
# da f-1^ x h k

LBÀUŽS 2 1 # d_ F_ x i i integralinin sonucu LBÀUŽS #3 –1 –1 3 1 df ^ x h = f ^ x h 1 22 1 # d F^ x h = F^ x h & –1 ^ x h = -x - 1 11 f 2x - 3 22 -x - 1 3 -4 -d -2 n= - 10 & x 41 5 = -1 = =-= 2x - 3 1 3 3 x+1 1 3 2 6 ÖRNEK 3 ÖRNEK 6 F_ x i = # f x2 + 4 + x2 - 1 p dx d J 3 _ x2 + 1 i3.2xdx N integralinin sonucu LBÀUŽS dx K O x+3 KK # OO PMEVôVOB
HÌSF '
h


LBÀUŽS P L2 #F'^ x h = d f x2 + 4 + 2 + 1 p dx 3 dx x + 3 x #d f ^ x2 + 1 h3.2xdx p = ? & F' (x) = x2 + 4 + 2 - 1 dx x+3 x 2 55 ÷OUFHSBMJO
TPOVDV
CJS
TBZŽ
ÀŽLBS F' (1) = + 0 = d ^ say› h = 0 olur. dx 44 20 10 5 35 4. 3 5. 5 6. 0 1. 2. - 3. 6 3 3 4

TEST - 16 .VUMBL
%FôFS
WF
1BSÀBMŽ
'POLTJZPOVO
÷OUFHSBMJ 1. F_ x i = * x+2, x < 1 5. ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS
2x + 2, x $ 1 fonksiyonu veriliyor. y 4 3 #VOB
HÌSF
# F_ x - 1 i dx integralinin sonucu 0 LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 24 x O –3 y = F(x) 2. F ( x ) = 2x + 6 fonksiyonu veriliyor. 4 2 #VOB
HÌSF
# F_ x i .F'_ x i dx integralinin so- #VOB
HÌSF
# Fa x k dx integralinin sonucu 0 OVDV
LBÀUŽS LBÀUŽS –2 A) - 27
C) - 25 2 2 #) –13 \"
m
#
m
$

%

&
 E) - 23 2
%
m
3 3 3. # x - 1 - 2 dx 6. # x2 - 4x + 4 dx 0 1 integralinin sonuDV
LBÀUŽS integralinin sonucu BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS A) 5
#

$
7
%

&
9 2 2 2 \"

#

$

%

&
 3 %
46 56 5 3 E) 4. # x2 - 4 dx 7. # a x - 4 + x k dx 3 –3 3
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS integralinin sonucu kaÀUŽS \"

#

$

\"

#

$

%

&
 1. D 2. & 3. C 4. D 36 5. C 6. B 7. C

.VUMBL
%FôFS
WF
1BSÀBMŽ
'POLTJZPOVO
÷OUFHSBMJ TEST - 17 1. F_ x i = * 4x - 2 , x < 2 4 2x , x $ 2 fonksiyonu veriliyor. 4. # x - 2 dx 6 –2
#VOB
HÌSF
# F_ x - 3 i dx integralinin sonucu integralJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS 0 BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS \"

#

$

%

&
 A) -
#
-12 C) -
%
-6 E) -3 2. ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS

5. F_ x i = * 3x2 + 4 , x # 1 fonksiyonu veriliyor. y g_ x i, x > 1 –3 O x 44 –2 4 # F_ x i dx = 6 # g_ x i dx y = F(x) –1 1 –2 4 1 # F_ x i dx = - 4 , # F_ x i dx = 6
PMEVôVOB
HÌSF
# g_ x i dx integralinin sonucu –3 –2 4
PMEVóVOB
HËSF BöBôŽEBLJMFSEFO hBOHJTJEJS A) -
#
-
$

%

&
 44 6. ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS
# F_ x i dx - # F_ x i dx y –3 –3 4 y = F(x) integralinin sonucu aöBôŽEBkilerden hangisi- EJS x O 35 A) -
#
-
$

%

&
 –2 3 5 3. # 3x2 - 3 dx
#VOB
HÌSF
# F_ x i .F'_ x i dx integralinin so- –2 0 integralinJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- OVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS EJS \"

#

$

%

&
 \"

#

$

%

&
 1. \" 2. \" 3. D 37 4. C 5. B 6. &

TEST - 18 .VUMBL
%FôFS
WF
1BSÀBMŽ
'POLTJZPOVO
÷OUFHSBMJ 1.
ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS 4. F_ x i = * x - 2 , x < 2 y 4x + m , x $ 2 y = F(x) 3 1234 # F_ x i dx = 12 1 –3 x –2 O 5 PMEVôVOB
HÌSF
N
LBÀUŽS A) 1
#

$
3
%

&
5 2 2 2
#VOB
HÌSF
2 F'_ x i 5 F'_ x i dx # dx + # 0 F'_ x i 4 F'_ x i
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJlerden hangisi- EJS A) -
#
-
$

%

&
 2x - 1, x < 2 5. F_ x i = * 3x2, fonksiyonu veriliyor. x$2 2 3 2. # a x2 - 2x + 1 - x + 1 kdx
#VOB
HÌSF
# F_ - x i dx integralinin sonucu –1 –2 integraliOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS EJS A) -
#
-18 C) -
%
-12 E) -10 \"

#

$

%

&
 Z ] x-5 , x$4 3. F_ x i = [ ] x-3, x<4


PMEVóVOB
HËSF 2, x#1 F_ x i = * - 1, \\ 6. x >

PMEVóVOB
HËSF 1 6 3 # F_ x i dx # x .F_ x i dx 2 –2 JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS integralinin sonucu aöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS \"

C

$

%

&
 A) -
#

$

%

&
 1. B 2. C 3. \" 38 4. C 5. & 6. C

.VUMBL
%FôFS
WF
1BSÀBMŽ
'POLTJZPOVO
÷OUFHSBMJ TEST - 19 1. F (x) = 1
PMEVóVOB
HËSF
4.
ôFLJMEF
Z
= F ( x -

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJM- x-1 NJõUJS
3 y # d a F–1_ x i k y = F(x–1) 6 2 5
JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 4 A ) - 1
#

- 1 C ) - 1

%

1 E) 0 3 2 63 –2 O 3 x 2. y 1 y = F(x)
#VOB
HÌSF
# F'_ x + 1 i dx integralinin sonu- 5 –2 DV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 3 \"

#

$

%

&
 2 –3 3 x –2 O 5.
ôFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõ- :VLBSŽEBLJ
õFLJMEF
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS tir. y 03 6
#VOB
HÌSF

# F'_ x i dx + # F'_ x i dx integrali- 4 –3 –2 y = F(x) niO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS \"

#

$

%

&
 x –1 O 2 3. y 2 –2 O 135° x # x.F'_ x i dx = 10

PMEVóVOB
HËSF
–2 3 –1 y = F(x) 2 # F_ x i dx –1 JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ- EJS \"

#

$

%

&
 :VLBSŽEBLJ
õFLJMEF
Z
= F ( x ) fonksiyonunun grafi- 6. F_ x i = # x2 - 6 dx fonksiyonu veriliyor. óJ
WFSJMNJõUJS
'
Y

GPOLTJZPOVOB
Y
=

BQTJTMJ
OPL- UBTŽOEBO
¿J[JMFO
UFóFUJ
Y
FLTFOJ
JMF
™
MJL
B¿Ž
ZBQ- 2x - 3 NBLUBEŽS F ( x ) fonksiyonunun x =

OPLUBTŽOEBLJ
UFôFUJ- OJO
FôJNJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS 3 A) -
#
-2 C) -
%

&
 #VOB
HÌSF
# 7F' '_ x i + F'_ x i.F' '_ x iA dx in- –2 tegSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS A) - 1
#

$
1
%

&
5 2 2 2 1. C 2. C 3. \" 39 4. \" 5. D 6. &

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr 3*&.\"//
501-\".* TANIM ÖRNEK 1 B
C
` R ve a <
C

PMNBL
Ð[FSF ôFLJMEFLJ
HSBGJLUF
'

Y

= x2
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJM-
B

Y0 < x1 < x2 < ... < xk–1 < xk < ... < xn

C NJõUJS
[
]

FõJU
BMU
BSBMŽóB
BZSŽMŽZPS
õFLMJOEFLJ
TBZŽMBSŽO
PMVõUVSEVóV
LÐNFZF
y y = F(x) <B
C>
BSBMŽóŽOŽO
CJS
iQBSÀBMBONBTŽu
veya iCÌMÑOUÑTÑu
EFOJS
1

\\
Y0
Y1
Y2

Yk–1
Yn ^

õFLMJOEFLJ
1
O2 x CËMÐOUÐTÐOEF r
<
Yk–1
Yk >

BSBMŽLMBSŽOB
LBQBMŽ
BMU
BSBMŽL #VOB
HÌSF
IFTBQMBOBO a)
3JFNBOO
BMU
UPQMBNŽOŽ
CVMVOV[ r Dxk

Yk – xk–1

TBZŽTŽOB
CV
BMU
BSBMŽóŽO
b) 3JFNBOO
ÐTU
UPQMBNŽOŽ
CVMVOV[ c)
)FS
BMU
BSBMŽóŽO
PSUB
OPLUBTŽOB
HËSF
IFTBQMBOBO

V[VOMVóV
WFZB
CPZV
b–a n 3JFNBOO
UPQMBNŽOŽ
CVMVOV[ r
)FS
L
`
\\



O
^
J¿JO
Dxk = ise 1
CËlüntüsüne EÑ[HÑO
CÌMÑOUÑ
EFOJS 1

\\
x0
Y1
Y2

Yk–1
Yk

Yn ^

EÐ[HÐO
CË- ¦Ì[ÑN lünUÐTÐOEF
a) x1 – x0

Y2 – x1

Y3 – x2



Yn – xn–1 y EJS 4 y = F(x) 9 4 a = x0

C
= xn

PMNBL
Ð[FSF
[B
C]
BSBMŽóŽ
iOu
1 FõJU
QBS¿BZB
CËMÐOTÐO
#V
EVSVNEB


1 x 4 x =
B
Y
=
C
EPóSVMBSŽ
Y
FLTFOJ
WF
[B
C] ara- O MŽóŽOEB
Z
=
G
Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
BMUŽOEB
1 1 32 22 LBMBO
BMBOŽO
ZBLMBõŽL
EFóFSJ
BõBóŽEBLJ
UPQMBN- MBS
JMF
IFTBQMBOBCJMJS n <
>
BSBMŽóŽOŽ

FõJU
QBS¿BZB
CËMFMJN

&ó- /
\"MU
UPQMBN
An = f^ xk–1 h.Dxk SJ
BMUŽOEB
LBMBO
BMBO
UBSBMŽ
EJLEËSUHFOMFSJO
k=1 BMBOMBSŽ
UPQMBNŽOEBO
CÐZÐLUÐS
#V
EJLEËSU- n HFOMFSJO
BMBOMBSŽ
UPQMBNŽOŽ
\"4
BMU
UPQMBN
JMF
HËTUFSFMJN
ôFLJMEFLJ
BMU
EJLEËSUHFOMFSJO
UB- /
¶TU
UPQMBN
Ün = f^ xk h.Dxk CBO
V[VOMVLMBSŽ
1
CJSJNEJS k=1 2 tk = xk–1 + xk

PMNBL
Ð[FSF 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 A4 = ·Ff p+ ·F^ 1 h + ·Ff p n A4 = 1·1 + 1 + 1·9 = 7 br2 olur. /Rn = f ^ tk h.Dxk ifBEFTJOF
3JFNBOO
UPQ- 24 2 24 4 k=1 MBNŽ
EFOJS
#V
UPQMBNMBS
BSBTŽOEB
\"n < Rn < Ün

FõJUTJ[-
3JFNBOO
BMU
UPQMBNŽ
7 br2
EJS MJóJ
WBSEŽS 4 40

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, b) y F(x) = x2 NOT [
]
BSBMŽóŽOŽ
EBIB
¿PL
FõJU
QBS¿BZB
BZŽSEŽóŽNŽ[- 4 EB
HFS¿FL
BMBOB
EBIB
ZBLŽO
CJS
EFóFS
CVMVSV[ 9 4 1 SONUÇ 1 y 4 y = F(x) O 1132 x 22 <
>
BSBMŽóŽOŽ

FõJU
QBS¿BZB
CËMFMJN

&ó- SJ
BMUŽOEB
LBMBO
BMBO
UBSBMŽ
EJLEËSUHFOMFSJO
BMBOMBSŽ
UPQMBNŽOEBO
LпÐLUÐS
#V
EJLEËSU- HFOMFSJO
BMBOMBSŽ
UPQMBNŽOŽ
¶4
ÐTU
UPQMBN
x JMF
HËTUFSFMJN
ôFLJMEFLJ
EJLEËSUHFOMFSJO
UB- O a=x0 c1 x1 c2 x2 xn–1cn b=xn CBO
V[VOMVLMBSŽ
1
CJSJNEJS 2 Ü4 = 1 ·Fd 1 n+ 1 ·F^ 1 h + 1 ·Fd 3 n+ 1 F^ 2 h 2 2 2 2 2 2 = 1 · 1 + 1 ·1 + 1 · 9 + 1 ·4 j Ü = 15 br2 y =
'

Y

GPOLTJZPOVOEB
[B
C]
O
BEFU
FõJU
BMU
24 2 24 2 44 BSBMŽóB
CËMÐOTÐO olur. 3JFNBOO
ÐTU
UPQMBNŽ
15 br2
EJS 4
D1 ` [ x0 x1]
D2 ` [ x1
Y2 ]

Dn ` [ xn-1
Yn ] D y F(x) = x2 ve Dx = b - a PMNBL
Ð[FSF
IFTBQMBOBO
3JF- n 49 16 NBOO
UPQMBNŽ
\" ise y =
'
Y

FóSJTJOJO
BMUŽOEB
LBMBO
BMBO
ZBLMBõŽL
PMBSBL 25 16 9 A = DY
'

D1 ) + DY
' D2) + ... + DY
' Dn) 16 /n 1 A = TxF_ ck i


PMBSBL
JGBEF
FEJMJS 16 1 1315 3 7 2 x O k=1 4 24 424
\"MU
WF
ÐTU
UPQMBNMBSŽ
CVMVSLFO
<0 > aralŽóŽOŽ
[B
C]
EB
'
Y

GPOLTJZPOVOVO
BMUŽOEB kalan P = * 0, 1 , 1, 3 , 2 4
LÐNFTJOJO
FMFNBOMBSŽ
BMBO
[B
C]
OJO
EBIB
GB[MB
BMU
BSBMŽóB
CËMÐONFTJ
22 EVSVNVOEB
EBIB
ZBLŽO
EFóFSMFS
WFSFDFóJ
J¿JO
JMF

FõJU
QBS¿BZB
CËMÐQ
IFTBQMBNBMBS
ZBQ- UŽL
1
LÐNFTJOEF
BSEŽõŽL
FMFNBOMBSŽO
BSJU- 3JFNBOO
UPQMBNŽ
O
JO
TPOTV[B
ZBLMBõNBTŽ
EV- NFUJL
PSUBMBNBMBSŽOŽ
CVMBSBL
ZFOJ
CJS
1h
LÐ- NFTJ
FMEF
FPE'F=MJN* 1 , 3 , 5 , 7 4 SVNVOEB
Z
=
'

Y

JMF
Y
FLTFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
44 4 4 BMBOŽ
WFSFDFóJOEFO
CV
BMBO

ôFLJMEFLJ
EJLEËSUHFOMFSJO
UBCBO
V[VOMVLMBSŽ
n 1 bJSJNEJS
ôFLJMEFLJ
EJLEËSUHFOMFSJO
BMBO- /lim 2 Dx.F^ ck h
MJNJUJ
JMF
IFTBQMBOŽS MBSŽ
UPQMBNŽOŽ
34
3JFNBOO
UPQMBNŽ
JMF
HËT- n\"3 UFSFMJN k=1 R = 1 ·Fd 1 n + 1 Fd 3 n + 1 Fd 5 n + 1 Fd 7 n #VSBEB

'

Y

>

PMEVóVOB
EJLLBU
FEJOJ[

42 4 2 4 2 4 2 4 F ( x ) < 0 olNBTŽ
EVSVNVOEB
ZVLBSŽEBLJ
MJNJU
EFóFSJ
OFHBUJG
PMBDBLUŽS
#V
EVSVNEB
CV
MJNJU
EFóFSJ
GPOLTJZPOVO
HSBGJóJ
JMF
Y
FLTFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
BMBOŽO
OFHBUJG
EFóFSJOF
FõJU
PMBDBLUŽS 1 1 1 9 1 25 1 49 NOT R= · + · + · + · 4 2 16 2 16 2 16 2 16 R4 = 84 = 21 nb 2.16 8 /lim Dx.F^ c h = # f^ x h dx
EJS
:VLBSŽEBLJ
IFTBQMBNBMBS
TPOVDVOEB
n\"3 k k=1 a A4 < R4 < Ü4

PMEVóV
HËSÐMÐS 41

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 2 ÖRNEK 4 F : [
] Z <


>
PMNBL
Ð[FSF ôFLJMEFLJ
HSBGJLUF
'

Y

= x2 +


GPOLTJZPOV
WFSJMNJõUJS y F(x) = x2 + 1 F ( x ) =
Y

GPOLTJZPOV

FöJU
BMU
BSBMŽôB
CÌMFO
EÑ[HÑO
1
QBSÀBMBONBTŽOB
BJU
ÑTU
UPQMBN
BMU
UPQMBNEBO
LBÀ
CJSJNLBSF
GB[MBEŽS O1 x y ·TU
UPQMBN
6 1.2 = 1.4 + 1.6 = 12 5 4 \"MU
UPQMBN 2 1.2 + 1.4 = 6 [
]
BSBMŽôŽ

FöJU
BMU
BSBMŽôB
BZSŽMŽSTB
3JFNBOO
BMU
12 - 6 = 6 birimkare O 123 UPQMBNŽ
LBÀ
CJSJNLBSF
PMVS x y \"4 = 1F(1)+ 1.F(2)+1.F(3)+1.F(4) \"4 = 1.2 + 1.5 + 1.10 + 1.17 = 2 + 5 + 10 + 17 = 34 x O 12345 ÖRNEK 3 y :BOEBLJ
HSBGJLUF
ÖRNEK 5 13 x F ( x ) = -x2 + 1 fonksiyo- 3 F : [
] Z <


>
PMNBL
Ð[FSF O OV
WFSJMNJõUJS F ( x ) = -x2 + 12x +


GPOLTJZPOVOV

FöJU
BMU
BSB- #V
FôSJ
JMF
Y
FLTFOJ
BSB- MŽôB
CÌMFO
EÑ[HÑO
1
QBSÀBMBONBTŽOB
BJU
BMU
UPQMBN
LBÀ
CJSJNLBSFEJS TŽOEB
LBMBO
CÌMHFOJO
BMBOŽOŽ
[


]
OŽ

FöJU
F(x) = –x2 + 1 BMU
BSBMŽôB
CÌMFSFL
3JF- NBOO
ÑTU
UPQMBNŽ
ZBSEŽ- NŽZMB
ZBLMBöŽL
PMBSBL
IFTBQMBZŽOŽ[ y y 43 1.28 + 35 + 1.40 + 1.43 3 5 7 9 11 13 x 40 = 146 birimkare 35 O Tx = 13 - 3 =2 28 5 x O 23456 \"
= Dx.F(3) + Dx.F(5) + Dx.F(7) + Dx.F(9) + DxF(11) \"
= 2.(-8) + 2.(-24) + 2.(-48) + 2.(-80) + 2(-120) \"
= -560 y =
' Y
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJôJ
Y
FLTFOJOJO
BMUŽOEB
LBM- EŽôŽOEBO
3JFNBOO
ÑTU
UPQMBNŽ
OFHBUJG
PMVS
#VOB
HÌSF
BMBO
ZBLMBöŽL
PMBSBL

CS2 dir. 2. 34 3. 560 42 4. 6 5. 146

3JFNBOO
5PQMBNŽ TEST - 20 1. \"öBôŽEBLJ
QBSÀBMBONBMBSEBO
IBOHJTJ
EÑ[HÑO
5. [
]
BSBMŽóŽOEB
UBOŽNMŽ
CJSFCJS
WF
ËSUFO
CJS

G

Y

CJS
QBSÀBMBONBMŽEŽS 5 A) P1 = * 0, 1 , 1, 3 ,34 fonksiyonu için # f^ x h dx = 7 olarak verJMNJõUJS 2 2 2 # P = \" 1, 2, 3, 4, 6 , [
]
BSBMŽôŽOŽ
iOu
FöJU
QBSÀBZB
CÌMFO
EÑ[HÑO
CJS
2 1
QBSÀBMBONBTŽOB
BJU
3JFNBOO
BMU
UPQMBNŽOŽO
C) P = * 2, 7 , 8 ,3, 10 4 BMBCJMFDFôJ
FO
CÑZÑL
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
iBu
3JF- 3 3 3 NBOO
ÑTU
UPQMBNŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
FO
LÑÀÑL
UBN
3 TBZŽ
EFôFSJ
iCu
PMEVôVOB
HÌSF
B
+
C
UPQMBNŽ
LBÀUŽS % P = * 0, 1 , 3 , 1 4 4 55 \"

#

$

%

&
 E) P = * 1, 5 , 3 ,24 4 2 5 2. f : [
] Z
3
UBOŽNMŽ
G

Y

= 3x fonksiyonu veriliyor. 6. f : [
] Z [
]
PMNBL
Ð[FSF f ( x ) = x2

GPOLTJZPOVOVO
UBOŽNMŽ
PMEVóV
BSBMŽóŽ
JLJ
FõJU
QBS¿BZB
CËMFO
EÐ[HÐO
CJS
1
QBS¿BMBONBTŽ
ZB- QŽMŽZPS
#VOB
HÌSF
BSBMŽôŽ

FöJU
QBSÀBZB
CÌMFO
EÑ[HÑO
#VOB
HÌSF
PMVöBO
3JFNBOO
BMU
UPQMBNŽOŽO
3JF- CJS
1
QBSÀBMBONBTŽOB
BJU
BMU
UPQMBN
LBÀ
CJSJNLB- NBOO
ÑTU
UPQMBNŽOB
PSBOŽ
LBÀUŽS SFEJS A) 7
#
13 C) 13
%
16 25 25 25 E) A) 5
$
9
%

&
13 29 29 29 2 2 2 #

7.
3JFNBOO
UPQMBNŽ /n 1 1 16 1 81 1 1 F^ zK h DxK = 4 . n + 4 · n + 4 . n + . . . + 1· n k=1 n n n 3. f : [
] Z
3
UBOŽNMŽ
G

Y

= x2 + 1 fonksiyonu ve-
PMBO
CJS
GPOLTJZPOVOVO
JOUFHSBMJOJO
EFôFSJ
LBÀ- riliyor. UŽS #VOB
HÌSF
[
]
BSBMŽôŽOŽ

FöJU
QBSÀBZB
CÌMFO
A) 1
#
1 C) 1
%
1 1 EÑ[HÑO
CJS
1
QBSÀBMBONBTŽOB
BJU
ÑTU
UPQMBN
LBÀ
6 5 43 E) CJSJNLBSFEJS 2 \"

#

$

%

&
 4. f ( x ) = x3 fonksiyonu x ekseni ve x =

EPôSVTV
m BSBTŽOEB
LBMBO
CÌMHFOJO
[
]
BSBMŽôŽOEB
iOu
BMU
8. # _ m + k i dx = 24
[L
N]

BSBMŽóŽ

FõJU
QBS¿BZB
BSBMŽôB
CÌMÑOEÑôÑOEF
O
Z
ß
JÀJO
3JFNBOO
UPQ- MBNŽ
LBÀUŽS k \"

#

$

%

&
 BZSŽMEŽóŽOEB
CV
CËMÐOUÐOün
HFOJõMJóJ

CJSJN
PMEV- k óVOB
HËSF
# 2x dx JOUFHSBMJOJO
TPOVDV
BöBôŽ- 0 EBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS \"

#
3 C) 5
%
25 25 2 E) 4 16 4 1. C 2. C 3. \" 4. \" 43 5. C 6. B 7. B 8. &

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr #&-÷3-÷
÷/5&(3\"-
÷-&
\"-\"/
)&4\"#* bx A2 %m/*m %m/*m F : [B
C] Z
3
Z
= F ( x ) fonksiyonu integralle- y = F(x) y OFCJMFO
CJS
GPOLTJZPO
PMNBL
Ð[FSF
A1 y =
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
Y
= a ve x = b Oa c EPóSVMBSŽ
JMF
Y
FLTFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
TŽOŽSMŽ
CËM- HFOJO
BMBOŽ b A = # F_ x i dx integrBMJ
JMF
IFTBQMBOŽS a y y = F ( x ) fonksiyonu [B
C]
OEB
QP[JUJG
WF
OFHB- y = F(x) UJG
EFóFSMFSJO
IFS
JLJTJOJ
EF
BMŽZPSTB F_ x i = * - F_ x i , a # x # c ise F_ x i , c < x # b ise A Oa b x
PMEVóVOEBO

'

Y


GPOLTJZPOVOVn grBGJóJ
x = a ve x =
C
EPóSVMBSŽ
JMF
Y
FLTFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
CËMHFOJO
BMBOŽ

y = F ( x ) fonksiyonu [B
C]
OEB
QP[JUJG
EFóFS- cb MJ
JTF
ZBOJ
'

Y


GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
Y
= a ve A = A1 + A2 = # F_ x i dx - # F_ x i dx x =
C
EPóSVMBS
JMF
Y
FLTFOJ
UBSBGŽOEBO
TŽOŽSMB- OBO
CËMHFOJO
BMBOŽ
Y
FLTFOJOJO
Ð[FSJOEF
LBMŽ- ac | |yosa F ( x ) =
'

Y


PMBDBóŽOEBO
CV
CËMHFOJO
integrBMJ
JMF
IFTBQMBOŽS BMBOŽ UYARI b y A = # F_ x i dx integrBMJ
JMF
IFTBQMBOŽS a y A2 a bx a A1 b O x O c y = F(x) A
:VLBSŽEB
Z
=
'

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WF
FL- y = F(x) TFOMFS
BSBTŽOEB
LBMBO
TŽOŽSMŽ
CËMHFMFSJO
BMBOMBSŽ
y = F ( x ) fonksiyonu [B
C]
OEB
OFHBUJG
EFóFS- A1 ve A2

PMNBL
Ð[FSF MJ
JTF
ZBOJ
'

Y


GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
Y
= a ve x =
C
EPóSVMBSŽ
JMF
Y
FLTFOJ
UBSBGŽOEBO
TŽOŽSMB- c OBO
CËMHFOJO
BMBOŽ
Y
FLTFOJOJO
BMUŽOEB
LBMŽZPS- # F_ x i dx integraMJOJO
EFóFSJ | |sa F ( x ) = -'

Y


PMBDBóŽOEBO
CV
CËMHFOJO
a olur. BMBOŽ c b # F_ x i dx = - A1 + A2 A = - # F_ x i dx integrBMJ
JMF
IFTBQMBOŽS a a [B
D]
OEB
F ( x )
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
JMF
Y
FL- TFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
TŽOŽSMŽ
CËMHFOJO
BMBOŽ c olur. # F_ x i dx = A1 + A2 a 44

www.aydinyayinlari.com.tr ÷/5&(3\"- 7. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 15 br2 y (SBGJLUF
WFSJMFOMFre y = -x2 +
Y



QBSBCPMÐ –3 y = F(x) x = -

Y
= -1 HÌSF
5 EPôSVMBSŽ
WF
Y
FLTFOJ
JMF
TŽOŽSMŽ
CÌMHFOJO
BMBOŽ
LBÀ
2 5 br2 5 br2
EJS x # F (x) dx LBÀUŽS –3 5 y x 2 # F^ x h dx = 15 - 5 = 10 –2 –1 O –3 y =–x2 + 2x –1 3 –1 x #A = - ^ - 2 + 2x h dx = 2 x 3 -x ÖRNEK 2 –2 –2 y = d - 1 - 1 n - d - 8 - 4 n = - 4 + 20 = 16 y = F(x) 3 3 333 S1 S3 ÖRNEK 5 3 S2 x y = -x2 + 1 7 QBSBCPMÑ
WF
Y
FLTFOJ
JMF
TŽOŽSMŽ
CÌMHFOJO
BMBOŽ
LBÀ
7 br2
EJS # F (x) dx = 15 br2 S1 = 7 br2

S2 = 6br2 -3 PME
VôVOB
HÌSF
43

LBÀ
CS2
EJS y1 -x 31 #1 ^ - 2 h = +x A= + 1 dx x –1 3 –1 7 –1 1 x =d -1 +1 n-d 1 -1 n # F^ x h dx = S - S + S = 15 O 33 123 –3 22 4 =+= = 7 - 6 +
43 = 15 j
43 = 14 33 3 ÖRNEK 3 F(x) = 2x2 (SBGJLUFLJ
UBSBMŽ
CÌM
ÖRNEK 6 x HF
OJO
BMBOŽOŽ
CV y lunuz. y = x3 - 4x 3 FôSJTJ
WF
Y
FLTFOJ
JMF
TŽOŽSMŽ
CÌMHFOJO
BMBOŽ
LBÀ
CS2 –1 EJS y 0 #A = 2 ^ x3 - 4x h dx x–24 0 3 = 2f - 2 p 2x x 4 –2 #5BSBMŽ
BMBO
= 2 –2 O 2 2x dx –1 = 2(0 - (4 - 8)) = 8 3 3 2x = 2 ^ 27 - ^ - 1 h h = 56 & –1 3 3 3 1. 10 56 45 16 4 6. 8 2. 14 3. 4. 5. 33 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- ÖRNEK 9 www.aydinyayinlari.com.tr y y = F(x) ÖRNEK 7 y = x3 -


FôSJTJ
Y
= -1 ve x =


EPôSVMBSŽ
JMF
0Y
FL- TFOJOJO
PMVöUVSEVôV
BMBO
LBÀ
CJSJNLBSFEJS y y = x3–1 –3 A1 O A3 x –1 45 A2 –1 O x 12 –1 12 :VLBSŽEBLJ
öFLJMEF
\"1 =

CJSJNLBSF
\"2 = 9 birimka- SF
WF
\"3 =

CJSJNLBSF
PMEVôVOB
HÌSF
BöBôŽEBLJ
JO- # #A = ^ - x3 + 1 hdx + ^ x3 - 1 h dx UFHSBMMFSJO
EFôFSMFSJOJ
CVMVOV[ –1 1 4 5 - x4 14 2 a) # f_ x i dx b) # F_ x i dx x –3 –3 = +x + -x 44 4 5 –1 1 D

# F_ x i dx
E
# F_ x i dx =d - 1 +1 n-d - 1 -1 n+^4-2h-d 1 -1 n
–1 –3 44 4 35 3 19 4 45 = + +2+ = 44 44 e) # F_ x i dx f) # F_ x i dx - # F_ x i dx 5 –1 4 a) 3 - 9 = -6 b) 3 - 9 + 4 = -2 c) -9 d) 3 + 9 + 4 = 16 e) -4 f) -9 - 4 = -13 ÖRNEK 8 :BOEBLJ
õFLJMEF
Z
= F ( x ) ÖRNEK 9 EPóSVTBM
GPOLTJZPOVOVO
y HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS y 4 –1 O :BOEBLJ
õFLJMEF 6x y = F(x) F_ x i = x y = F(x) O2 _ x2 + 1 i2 5BSBMŽ
CÌMHFOJO
BMBOŽOŽ
JOUFHSBM
ZBSEŽNŽ
JMF
CVMVOV[ 2 x fonksiyonunun gra- GJóJ
WFSJMNJõUJS xy #VOB
HÌSF
UBSBMŽ
CÌMHFOJO
BMBOŽ
LBÀ
CJSJNLBSFEJS %PôSV
EFOLMFNJ
6 + 4 = 1 02 x ^2h ^3h x dx dx + 12 - 2x # #A = - 2x + 3y = 12 j y = –1 ^ x2 + 1 h2 ^ 2 h + 1 3 x 6 0 #A = d 12 - 2x n dx u = x2+

EV
= 2x dx 3 2 15 # #1 du 1 du 13 6 -+ = 1 ^ 12x - x2 h = 1 16 2 2 2 2 20 & ^ ^ 72 - 36 h - ^ 24 - 4 h h = 2 u 1 u 3 23 3 19 16 46 9. B
m
C
m
D
m
E

F
m
G
m 13 7. 8. 10. 20 4 3

#JS
'POLTJZPOVO
(SBGJôJ
JMF
Y
&LTFOJ
\"SBTŽOEB
,BMBO
#ÌMHFOJO
\"MBOŽ TEST - 21 1.
ôFLJMEF

41
42
43
CVMVOEVLMBSŽ
CËMHFMFSJO
BMBOMBSŽ- 4.
ôFLJMEF

G
Y



GPOLTJZPOVOVO
HSBG
JóJ
WFSJMNJõtir. EŽS
y y –1 S1 S3 x S1 y = f(x) –3 2 S2 4 x 4 S2 7 10 S1 ve S2

J¿JOEF
CVM
VOEVóV
CËMHFMFSJO
BMBOMBSŽOŽ
f(x) HËTU
FS
NFL
Ð[FSF S1 = 21 br2

42 = 16 br2 ve 4 10 # f (x) dx = 6 ve S1 = 9 br2 # f(x) dx = 16 -3 –1
PMEVôVOB
HÌSF
42 kBÀ
CS2
EJS PMEV
ôVOB
HÌSF 43
BMBOŽ
LBÀ
br2
EJS \"


#


$


%


&

 \"


#


$


%


&

 2.
ôFLJMEF
Z
=
G
Y


JO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS

y y = f(x) A 12 C x –3 B 57 6 5. y
Y
FLT
FOJOJO

\"#

ZBZŽ
JMF
TŽOŽSMBEŽóŽ
CËM
HFOJO
BMBOŽ
S2 5 x 12 br2
#$
ZBZŽ
JMF
TŽOŽSMBE
ŽóŽ
CËMHFOJO
BMBOŽ
5 br2 –6 S1 1 y = f(x) 6 ôFLJMEF S = 12 br2

42 = 6 br2 ise PMEVôVOB
HÌSF
# f (x) dx

LBÀUŽS 1 –3 5 \"


#


$


%


&

 # af^xh + f^xh kdx -6 integrBMJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS A ) -
#

-
$


%


&

 3. y ôFLJMEF

\"1
\"2 CV
MVOEVLMBSŽ
CËM- –3 –2 A1 O 4x HFOJO
BMBOŽOŽ
HËT
UFSNFLU
FEJS

A2 A1 = 3 br2


\"2 = 8 br2 ve 6. y = x2 –2 4
QBSBCPMÑ
JMF

Z
=


Y
= 1 ve x =


EPôSVM
BSŽ
BSB- TŽOEB
LBMBO
BMBO
LBÀ
CS2

EJS # f(x) dx = - 5 ise # f_ x i dx \"


#


$


%


&

 –3 –3 E ) 16
JOUFHSBMJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS A ) -
#

-8 C ) -5 %

 1. \" 2. & 3. \" 47 4. & 5. D 6. C

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 7. MODÜL ÷/5&(3\"- www.aydinyayinlari.com.tr ÷,÷
'0/,4÷:0/6/
(3\"'÷ó÷
\"3\"4*/%\"
,\"-\"/
#²-(&/÷/
\"-\"/* %m/*m UYARI y y = f(x) y y = g(x) A1 b A1 y = g(x) x a Ob A2 A2 aO y = f(x) x c
:VLBSŽEB
HËTUFSJMFO
G

Y

WF
H

Y

GPOLTJZPOMBSŽ-
&óFS
G
Y

WF
H

Y

GPOLTJZPOMBSŽOŽO
HSBGJLMFSJ
ZV- OŽO
HSBGJLMFSJ
JMF
Y
= a ve x =
C
EPóSVMBSŽ
BSBTŽO- LBSŽEBLJ
HJCJ
WFSJMJSTF
CPZBMŽ
CËMHFMFSJO
UPQMBN
EB
LBMBO
TŽOŽSMŽ
CËMHFOJO
BMBOŽ
\"1
H

Y

GPOLTJ- BMBOŽ
\"1 ve A2
BMBOMBSŽOŽO
BZSŽ
BZSŽ
IFTBQMBOB- ZPOVOVO
HSBGJóJ
Y
= a ve x =
C
EPóSVMBSŽ
JMF
Y
SBL
UPQMBONBTŽ
JMF
CVMVOVS FLTFOJ
BSBTŽOEB
LBMBO
TŽOŽSMŽ
CËMHFOJO
BMBOŽ
\"2 bc PMNBL
Ð[FSF
# #A = A + A = ^ f^ x h - g^ x h h dx + ^ g^ x h - f^ x h hdx b x i dx = A1 + A2 _ 12 b ab # f_ b bb a ` bb # g_ x i dx = A2 b bb a a bb & A1 = # f_ x idx - # g_ x idx aa b ÖRNEK 1 & A1 = # f_ x i - g_ x i dx y 3 a Sonuç olarak [B
C]
OEB
JLJ
GPOLTJZPOVn grafJóJ
–1 O x 3 BSBTŽOEB
LBMBO
BMBOŽ
CVMNBL
J¿JO
ÐTUUFLJ
GPOL- TJZPOVOVO
EFOLMFNJOEFO
BMUUBLJ
GPOLTJZPOVO
EFOLMFNJ
¿ŽLBSŽMBSBL
JOUFHSBMJ
BMŽOŽS :VLBSŽEBLJ
HSBGJLUF
QBSBCPM
JMF
EPôSV
BSBTŽOEB
LBMBO
CÌMHFOJO
BMBOŽ
LBÀ
CJSJNLBSFEJS 1BSBCPM
EFOLMFNJ
Z
= -1 (x + 1) (x - 3) %PôSV
EFOLMFNJ
Z
= -x + 3 3 #5BSBMŽ
BMBO
= 7 -^ x + 1 h^ x - 3 h - ^ - x + 3 hA dx 0 3 32 3 a - x2 + 3x k dx = - x 3x #= + = d - 9 + 27 n = 9 32 0 22 0 48 9 1. 2