Bu kitabın her hakkı saklıdır ve AYDIN YAYINLARI’na aittir. 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kitabın düzeni, metni, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir şekilde alınıp yayımlana- maz, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Yayın Sorumlusu : Can TEKİNEL Yayın Editörü : Mehmet İlker ÇOBAN Dizgi – Grafik Tasarım : Aydın Yayınları Dizgi Birimi ISBN No : 978-605-7945-33-4 Yayıncı Sertifika No : 16753 Basım Yeri : Ertem Basım Yayın Ltd. Şti. • 0312 640 16 23 İletişim : AYDIN YAYINLARI info@aydinyayinlari.com.tr Tel: 0312 418 10 02 • 0850 577 00 71 Faks: 0312 418 10 09 0533 051 86 17 aydinyayinlari aydinyayinlari * ÜNwİwVwE.ayRdinSyaİyTinlaEri.YcoEm.trHAZIRLIK Bölüm KapağıÜNİVERSİTEYEHAZIRLIK MATEMATİK - 1 1. MODÜL ➤ I. DERECEDEN BİR Alt bölümlerin KARMA TEST - 6 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler - Eşitsizlik - Mutlak Değer Karma Testler BİLİNMEYENLİ DENKLEM ve başlıklarını içerir. EŞİTSİZLİKLER 1 1 1 1 12 - 3x - x - 4 Modülün sonunda 1. c 1 + x md 1 + x + 1 nd 1 + x + 2 n.....d 1 + x + 33 n = 18 4. < 1 tüm alt bölümleri ➤ MUTLAK DEĞER denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 2+ 4-x ➤ I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler • 2 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( -3, -2 ) B) ( -2, -1 ) C) ( -1, 3 ) D) ( 1, 4 ) E) ( 2, 6 ) ➤ I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler • 11 ➤ Mutlak Değer • 27 Sınıf İçi İşleyiş içeren karma testler ➤ Mutlak Değerin Özellikleri • 29 www.aydinyayinlari.com.tr Bu bölümdeki örnek soruların çözümlerine ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER akıllı tahta uygulamasından ulaşabilirsiniz. ➤ I. Dereceden İki Bilinmeyenli DBeİnRİkNlCeİmDElReErCE•DEN44BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 2. 1 < 1 < 1 5. x = 3a yer alır. 12 3x - 9 3 4b - a TANIM ÖRNEK 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı y = 2b ➤ I. Dereceden İki Bilian, bm∈eRyevne lia E≠ ş0 iotlsmiazklüizkelree,r • 52 3x - 12 = 0 kaçtır? 4b - a ax + b = 0 biçimindeki denklemlere birinci de- denkleminin çözüm kümesini N, Z, Q ve R kümesin- olduğuna göre, x in y türünden eşiti aşağıdaki- de bulunuz. lerden hangisidir? ➤ Karma Testler • 57receden bir bilinmeyenli denklemler denir. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 ax + b = 0 denklemini sağlayan x = - b sayı- a sına denklemin kökü denir. A) 3y - 1 B) 6y - 3 C) 4y - 4 Yeni Nesil Sorular ➤ Yeni Nesil SoÇörzuümlakrüme•si Ç6=3* - b 4 ile gösterilir. D) 3y - 8 E) 2y + 6 Modülün genelinde yorum a yapma, analiz etme vb. YENİ NESİL SORULAR- 2 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler becerileri ölçen kurgulu Çözüm kümesinin elemanları denklemin ilk hâ- Eşitsizlik - Mutlak Değer sorulara yer verilmiştir. Ayrıca modül sonunda lini sağlar. tamamı yeni nesil sorulardan oluşan testler bulunur. ÖRNEK 1 1. A kenti ile B kenti arası 850 km'dir. Hızı 85 km/saat 4. Aşağıda gösterilen elektrik devreleri için Ohm Ka- 3x + ( k - 4 ) y + 6 = 0 olan bir otobüs ile A kentinden hızı 95 km/ saat olan nunu V = I . R dır. Bu denklemde V sabit bir gerili- bir otomobil birbirlerine doğru hareket ediyorlar. mi, I amper olarak akımı ve R de ohm olarak diren- denklemi x e bağlı birinci dereceden bir bilinmeyen- ci ifade eder. li denklem olduğuna göre, 1 a. k değeri kaçtır? A B V – I R 3. 1 < | x + 1 | + | x - 1 | # 6 85 km / saat + ÖRNEK 4 eşitsizliğinin çözüm kümesindeki x tam sayıla- | || |6. 95 kxm-/ s3aa+t 4 = m 3x - 11 = 0 rın toplamı kaçtır? denkleminin çözüm kümesi 1 elemanlı olduğu- denkleminin çözüm kümesini N, Z, Q ve R kümesin- de bulunuz. | |Buna göre, x saat sonra otomobnila ilgeöroet,o mbü isçin aşağıdakBiluenrdaegnö hraen, gVis=i d1o2ğ0rvuo- lt ve I nında I - 5 # 1 B) -1 C) 0arasındDa)k1i uzaklığEı) v3eren ifade handguisr?idir? amper değerleri için R nin değer aralığı aşağı- A) -3 dakilerden hangisidir? | |A) 850 - 10x | |B) 680 - 7A0)x4 < m | |A) BR) m- <5 3< 25 | |B) R - 25 # 5 b. Çözüm kümesini bulunuz. Alt Bölüm Testleri | |C) 680 - 10x | |D) 170x -C5)0-0 4 < m < 3 | |D) m = 4 | |D) R - 20 # 10 Her alt bölümün | |E) 850 - 170x E) m = 3 C) R - 20 # 10 sonunda o bölümle ilgili | |E) R - 15 # 15 TEST - 17 testler yer alır. Mutlak Değer - II 1. D 2. A 3. C 62 4. E 5. B 6. D | |1. 1 # 2 4 - x - 1 < 3 4. x < 0 olduğuna göre, ÖRNEK 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı var- | 2x - y | + | 3z - y | 2. Bir sınıftaki öğrencilerin boyları 160 cm ile 190 cm dır? arasındadır. Bu sınıftaki bir öğrencinin boyu x san- timetredir. ( a + 3 ) x3 + ( b - 2 ) x2 + 2Ax )-1a + b -B1)=20 toplamının en küçük değeri için aşağıdaki sıra- 5. Aşağıda y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. lamalardan hangisi doğrudur? C) 3 D) 4 E) 5 Buna göre, x in alabileceği değerleri ifade eden y a ÖRNEK 5 eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? 5 denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x=1– olduğuna göre, çözüm kümesini bulunuz. A) y < x < z B) y < z < x C) x < y < z -4 ( 3x + 6 ) = 6 ( -2x + 3 ) | |A) x - 170 < 15 | |B) x - 175 # 15 (y = f a denkleminin çözüm kümesini bulunuz.D) x < z < y E) z < y < x | |C) x - 175 < 25 | |D) x - 170 < 20 1+ 5 2 | |E) x - 175 < 30 (y = f1– a 5 1x –3 x=1+ a 5 3. Uzunluğu 10 cm olan tahta bir cetvelin tam orta 1. a. 4, b. Ç = {–2} 2. {–2} 2 3. Ç = {4} 4. Ç = ∅ veya Ç=( 11 2 5. ∅ noktasına 1 cm uzunluğunda bir ip ucundan sabit- Buna göre, her a > 0 sayısına karşılık, 3 leniyor. a 5 | |0 < x-1 < 2. | | x - 1| - 2 | < 1 5. A = 3 | x + 2 | - | x - 5 | eşitsizliğini sağlayan bütün x gerçek sayıları eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı var- Buna göre, ipin diğer ucunun ulaşabileceği tüm için y = f ( x ) fonksiyonunun değer aralığı aşa- dır? noktaları ( x ) ifade eden eşitsizlik aşağıdakiler- olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? den hangisidir? ğıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 | |A) f ( x ) - 2 < 5a | |B) a A) -7 B) -6 C) -4 D) -1 E) 1 | |C) f ( x ) - 3 < a f (x) - 3 < 5 | |A) x - 4 < 1 | |B) x - 6 < 1 2 | |D) f ( x ) + 2 < a | |C) x - 5 # 1 | |D) x - 5 > 1 | |E) f ( x ) - 2 < a | |E) x - 5 $ 1 1. E 2. B 3. C 64 4. B 5. E 3. A = | x - 2 | + | x + 4 | 6. x ∈ Z olmak üzere, | |x2 - 2x - 4 + 6 olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 1. B 2. B 3. D 42 4. A 5. A 6. E
ÜNwİwVwE.ayRdinSyaİyTinlaEri.YcoEm.trHAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK MATEMATİK - 1 1. MODÜL ➤ I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER ➤ MUTLAK DEĞER ➤ I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler • 2 ➤ I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler • 11 ➤ Mutlak Değer • 27 ➤ Mutlak Değerin Özellikleri • 29 ➤ I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler • 44 ➤ I. Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler • 52 ➤ Karma Testler • 57 ➤ Yeni Nesil Sorular • 63 1
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIM ÖRNEK 3 a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, 3x - 12 = 0 denkleminin çözüm kümesini N, Z, Q ve R kümesin- ax + b = 0 biçimindeki denklemlere birinci de- de bulunuz. receden bir bilinmeyenli denklemler denir. 3x - 12 = 0 ⇒ x = 4 olur. 4 ∈ N, 4 ∈ Z, 4 ∈ Q ve 4 ∈ R olduğundan N, Z, Q ve R ax + b = 0 denklemini sağlayan x = - b sayı- kümesinde Ç = {4} bulunur. a sına denklemin kökü denir. Çözüm kümesi Ç = * - b 4 ile gösterilir. a Çözüm kümesinin elemanları denklemin ilk hâ- lini sağlar. ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 3x + ( k - 4 ) y + 6 = 0 3x - 11 = 0 denklemi x e bağlı birinci dereceden bir bilinmeyen- li denklem olduğuna göre, denkleminin çözüm kümesini N, Z, Q ve R kümesin- a. k değeri kaçtır? de bulunuz. Denklem x e bağlı olduğundan y değişkeninin katsa- 3x - 11 = 0 ⇒ x = 11 bulunur. yısı 0 olmalıdır. 3 Buna göre, k - 4 = 0 ⇒ k = 4 bulunur. 11 b N , 11 b Z, 11 ! Q ve 11 ! R olduğundan b. Çözüm kümesini bulunuz. 333 3 k = 4 olduğuna göre, 3x + 6 = 0 denklemi elde edilir. N ve Z kümelerinde Ç = ∅, Buna göre, 3x = -6 ⇒ x = -2 ⇒ Ç = {-2] bulunur. Q ve R kümelerinde Ç = ( 11 2 bulunur. 3 ÖRNEK 2 ÖRNEK 5 ( a + 3 ) x3 + ( b - 2 ) x2 + 2x - a + b - 1= 0 -4 ( 3x + 6 ) = 6 ( -2x + 3 ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, çözüm kümesini bulunuz. -4 ( 3x + 6 ) = 6 ( -2x + 3 ) ⇒ -12x - 24 = -12x + 18 Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna gö- ⇒ -24 = 18 ⇒ 0 = 42 olur. re, Bu durumda Ç = ∅ bulunur. a + 3 = 0 ve b - 2 = 0 olur. a = -3 ve b = 2 olduğuna göre, 2x - (-3) + 2 - 1 = 0 ⇒ 2x = - 4 ⇒ x = -2 ⇒ Ç = {-2} bulunur. 1. a. 4, b. Ç = {–2} 2. {–2} 2 3. Ç = {4} 4. N ve Z de Ç = ∅ , Q ve R de Ç=( 11 2 5. ∅ 3
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 6 c. x + m = x + n + x - n 3 63 3 ( 2x + 4 ) = 2 ( 3x + 6 ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2^ x + m h x + n 2^ x - n h =+ 3 . (2x + 4) = 2 (3x + 6) ⇒ 6x + 12 = 6x + 12 6 66 ⇒ 0 = 0 olur. 2x + 2m = x + n + 2x - 2n ⇒ x = 2m + n ⇒ Ç = {2m + n} Bu durumda Ç = R bulunur. ÖRNEK 7 3- 1 2- 1 ( 2a - 5 ) x + 12 = 0 d. x = 1 denkleminin Ç = {-2} olduğuna göre, a kaçtır? 23 ( 2a - 5 ) ( -2 ) + 12 = 0 3- x = 1 & 9 - 3x = 2 -4a + 10 + 12 = 0 2x - 1 3 2x - 1 4a = 22 ⇒ 2a = 11 2 ⇒ a = 11 bulunur. ⇒7= 3x 2 2x - 1 ÖRNEK 8 ⇒ 14x - 7 = 3x Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm ⇒ 11x = 7 ⇒ Ç=( 7 2 kümesini bulunuz. ⇒ x= 7 11 a. 3x + 1 - [ 2x - ( x - 3 ) ] = 3 - x 11 3x + 1 - 2x + x - 3 = 3 - x 2x - 2 = 3 - x ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 5 ⇒ Ç = ( 5 2 33 e. f 1 - 1 pf 1 - 1 pf 1 - 1 p. . .f 1 - 1 p = 1 234 x+1 9 b. 13x + 2 (x - 3) + x + 1 = 1 54 2 1 · 2 · 3 ... x 1 = 2 3 4 x+1 9 52x + 10^ x - 3 h = 1 - x + 1 1 = 1 ⇒9=x+1 20 2 x+1 9 62x - 30 = 2 - x - 1 ⇒ 62x - 30 = 10 ( 1 - x ) ⇒x=8 20 2 ⇒ 72x = 40 ⇒ x = 5 ⇒Ç= ( 5 2 ⇒ Ç = {8} 9 9 6. R 7. 11 8. a. Ç = ( 5 2 b. Ç=( 5 2 3 c. Ç = {2m + n} d. Ç = ( 7 2 e. Ç = {8} 2 3 9 11
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr BİLGİ BİLGİ a, b, c, d ∈ R, a ≠ 0 ve c ≠ 0 olmak üzere, a, b, c, d ∈ R, a ≠ 0 ve c ≠ 0 olmak üzere, ax + b = 0 ise ax + b = 0 ve cx + d ≠ 0 dır. ( ax + b ) ( cx + d ) = 0 ise ax + b = 0 veya cx + d cx + d = 0 dır. ÖRNEK 9 ( ax + b )2 + ( cx + d )2 = 0 ise ax + b = 0 ve cx + d = 0 dır. Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 10 (x2 - 4) (2x - 6) ( 4x + 2 ) ( 2x + 3 ) = ( 3x + 4 ) ( 2x + 3 ) a. = 0 denkleminin kökler çarpımı nedir? (x - 2) (x - 3) (4x + 2) (2x + 3) = (3x + 4) (2x + 3) ^ x2 - 4 h^ 2x - 6 h = 0 & ^ x2 - 4 h^ 2x - 6 h = 0 ve 2x + 3 = 0 veya 4x + 2 = 3x + 4 ^ x - 2 h^ x - 3 h (x - 2) (x - 3) ≠ 0 olur. x = -3 veya x = 2 (x2 - 4) (2x - 6) = 0 ⇒ x = 2 , x = -2 , x = 3 (x - 2) (x - 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 ve x ≠ 3 ise Ç = {-2} x = - 3 veya x = 2 2 b. 1 + 2 = 3 x - 2 x2 - 4 x + 2 Kökler çarpımı, - 3 ·2 = - 3 bulunur. 2 x + 2 + 2 = 3 & x + 4 = 3^ x - 2 h ÖRNEK 11 ^ x - 2 h^ x + 2 h x + 2 ( 2x – 3 )2 + ( 3y – 2 )2 = 0 ⇒ x + 4 = 3x - 6 olduğuna göre, x + y kaçtır? ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5 ⇒ Ç = {5} 2x - 3 = 0 ve 3y - 2 = 0 olmalıdır. x = 3 ve y = 2 olup x + y = 13 bulunur. 23 6 c. 2x2 - 5 = 5 + 8 x-2 2-x 2x2 + 5 = 5 + 8 , x ≠ 2 ÖRNEK 12 2-x 2-x x, y ∈ R, x2 + y2 – 4x + 8y + 20 = 0 2x2 = 8 ⇒ x2 = 4 denklemini sağlayan x + y toplamı kaçtır? x = 2 veya x = -2 ⇒ Ç = {-2} d. 2x = x2 + 2 x-1 1-x x2 - 4x + y2 + 8y + 20 = 0 > > x2 2^ x - 1 h 2x =- + ; x ≠1 ^ x - 2 h2 + ^ y + 4 h2 =0 x-1 x-1 x-1 x = 2 ve y = -4 olup x + y = -2 dir. 2x = -x2 + 2x - 2 0 = x2 + 2 ⇒ x2 = -2 ⇒ Ç = ∅ 9. a. Ç = {–2}, b. Ç = {5} , c. Ç = {–2} , d. Ç = ∅ 4 10. –3 11. 13 12. –2 6
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK BİLGİ ÖRNEK 16 a, b ∈ R, a ≠ 0 olmak üzere, ( 2a + 3 ) x + 2b - 3 = ( b + 1 ) x + a ax + b = 0 denkleminde eşitliği her x gerçek sayısı için doğru olduğuna göre, a + b kaçtır? a = b = 0 ise Ç = R a = 0 ve b ≠ 0 ise Ç = ∅ a ≠ 0 ve b = 0 ise Ç = {0} (2 a+ 3)x + 2b - 3 = (b + 1) x + a 2a + 3 = b + 1 ve 2b - 3 = a dır. a ≠ 0 ve b ≠ 0 ise Ç = *- b 4 olur. a 2a - b = -2 ÖRNEK 13 + 2b - a = 3 2x + 1 = x + a a + b = 1 dir. 5b denklemi her x gerçek sayısı için doğru olduğuna göre, a . b nedir? ÖRNEK 17 1 1- 2 1- 1 2bx + b = 5x + 5a x-2 2b = 5 ve b = 5a ifadesini tanımsız yapan x değerleri nelerdir? b = 5 ⇒ a = 1 olup a.b = 5 1 22 4 1- 2 ; x = 2 için tanımsız ; x = 3 için tanımsız 1- 1 x-2 ÖRNEK 14 1 3x + 7 + 2x + b = 0 3 a+2 2^ x - 2 h 1- denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna gö- re, b hangi sayı olamaz? x-3 x - 3 ; x = 1 için tanımsız -x+1 ( 3x + 7 ) ( a + 2 ) + ( 2x + b ) 3 = 0 ÖRNEK 18 (3 ( a + 2 ) + 6 ) x + 7a + 14 + 3b = 0 3a + 12 = 0 ve 7a + 3b + 14 ≠ 0 5m + 3 = 2mn - 3n eşitliğinde n = x için m bulu namaz ve m = y için n bulunamaz olduğuna göre, a = -4 için b ≠ 14 tür. x + y ned ir? 3 5m + 3 = n ( 2m - 3 ) ⇒ n = 5m + 3 2m - 3 ÖRNEK 15 m = 3 için n bulunamaz. 2a ( x + 1 ) = 6x - 2 2 denkleminin reel bir kökü varsa, a ne olamaz? 2mn - 5m = 3n + 3 2ax + 2a = 6x - 2 m = 3n + 3 , n = 5 için m bulunmaz. ( 2a - 6 ) x = 2 - 2a ⇒ x = 1 - a 2n - 5 2 a-3 için a ≠ 3 tür. x + y = 4 olur. 13. 5 14. 14 15. 3 5 16. 1 17. 2, 3, 1 18. 4 4 3
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 y = 9x - 3 m - n = 1- d m 2 x+1 nx mx n n ifadesinde y nin hangi değeri için x hesaplanamaz? denkleminde m ≠ n olmak üzere x in m ve n türün- y(x + 1) = 9x - 3 yx + y = 9x - 3 den eşitini bulunuz. y + 3 = 9x - yx y + 3 = x(9 - y) m2 – n2 = n2 – m2 & - mnx = n2 mnx n2 y+3 x = 9 - y olup y = 9 için x hesaplanamaz. & x = – n olur. m ÖRNEK 20 ÖRNEK 23 4x - 3y + 3 3m ( n - m ) = 2n + 2m =0 denkleminde n nin m cinsinden eşitini bulunuz. x-3 olduğuna göre, y hangi tam sayı olamaz? 3mn - 3m2 = 2n + 2m x ≠3 ve 4x - 3y + 3 = 0 dır. 3mn - 2n = 3m2 + 2m & n ( 3m -2 ) = 3m2 + 2m & n = 3m2 + 2m bulunur. 3m – 2 Buna göre, 4.3 - 3y + 3 ≠ 0 15 ≠ 3y y ≠ 5 tir. ÖRNEK 21 ÖRNEK 24 2x - 3 + 3x + a = 5 a ≠ 2b olmak üzere, 34 a = 2x - 3y , b = 3x + 5y denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, a kaçtır? a – 2b a – 2b olduğuna göre, x in y cinsinden eşitini bulunuz. 2.2 - 3 + 3.2 + a = 5 1 a = 2x – 3y & a = 2x – 3y 34 a – 2b a – 2b 1 + a+6 =5 34 –2 b = 3x + 5y & –2b = –6x – 10y 4 + 3a + 18 = 5 a – 2b + a – 2b 12 3a + 22 = 60 & a – 2b = –4x –13y 3a = 38 a – 2b ⇒ a = 38 bulunur. 3 & 1 = -4x -13y 13y + 1 & x= – 4 19. 9 20. 5 21. 38 6 22. – n 23. 3m2 + 2m 13y + 1 3 24. – m 3m – 2 4
I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler TEST - 1 1. 2x + ( k - 3 ) y + 12 = 0 5. 3 - 3 [ 4 - 2 ( 1 - x ) ] = ( 2 - x ) .3 + 2x denklemi x e bağlı birinci dereceden bir bilin- denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden meyenli denklem olduğuna göre, k kaçtır? hangisidir? A) -3 B) -2 C) -1 D) 2 E) 3 A) * - 7 4 B) * - 9 4 C) * - 6 4 3 55 D) * - 3 4 E) { 2 } 2 2. 2x - 13 = 0 6. 6 - [ x - [ 2x - ( 3x - 2 ) ] + 5 ] = 2x - ( 3 - x ) + 1 denkleminin çözüm kümesi N, Z, Q ve R küme- denkleminin kökü nedir? lerinin kaç tanesinde boş kümeden farklıdır? A) 5 B) 2 C) 3 D) 1 E) 0 2 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. 3x - 2 = x + 4x 7. 0, 02 + (0,3) .x = 2 2 63 0, 06 + (0, 2) .x 3 denkleminin çözüm kümesi nedir? denkleminin çözüm kümesi aşağ ıd akilerden A) Ø B) R C) R – { 6 } hangisidir? D) { –2 } E) { –6 } A) * 13 4 B) * 3 4 C) * 3 4 20 50 25 D) * 7 4 E) * 5 4 20 12 4. 3x - [ x - ( x + ( x - y ) ) - y ] + 2y 8. 2x + 3 + 3x + 2 = 5x işleminin sonucu nedir? 3 23 denkleminde x aşağıd akilerden hangisidir? A) 2x + 4y B) 4x + 3y C) 2y - 3x D) 4x + 2y E) 2x - 3y A) 3 B) - 1 C) - 2 D) - 3 E) - 4 1. E 2. C 3. A 4. D 7 5. B 6. D 7. C 8. E
TEST - 2 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 1. x - 1 + x = x - x - 2 5. 6 = 3 22 3 4 - 2 - 2 1 denkleminin kökü nedir? x+1 A) - 1 B) - 1 C) 1 D) 6 E) 7 denkleminde x kaçtır? 5 10 10 5 2 A) -3 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 2. 1 + 1 = 2 - 3 6. x - 2^ x + 1 h =2 x-1 3-x 1-x x-3 x-2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminde x kaçtır? hangisidir? A) 2 B) 5 C) 4 D) 1 E) 2 A) { 1 } 33 3 D) { 5 } B) 11 4 C) 7 4 * 5 * 5 E) Ø 3. f 1 + 1 pf1+ 1 pf1+ 1 p...f 1 + 1 p= 4 x 3 4 5 x 7. 5 + x = 3 olduğuna göre, x kaçtır? 75 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 A) * 21 4 B) * 21 4 C) * 5 4 10 5 21 D) * 10 4 E) * 2 4 21 7 1 8. 1 + x + 1 = 4 1- 1 x 4. 3 = 0, 15 x+1 x+2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir? hangisidir? A) 1 B) 3 C) 2 D) 1 E) 13 A) ∅ B) { -2 } C) { 0 } 5 10 5 10 D) { 2 } E) { 1 } 1. E 2. B 3. C 4. A 8 5. C 6. E 7. A 8. E
I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler TEST - 3 1. m ≠ n olmak üzere, 5. x2 - 2 + 1 = x2 - 3 x+1 x+1 m2 + x = n2 + x mn denklemini sağlayan x değ eri aşağıdakilerden olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine hangisidir? eşittir? A) - 1 B) -1 C) - 3 A) m . n B) m - n C) n - m 22 D) m E) n D) -2 E) - 5 nm 2 2. b2 x - b2 = 4x - 4b + 4 6. x + 0, 3 0, 25 = 0, 2 0, 12 denkleminde x aşağıdakilerden hangisine eşit- 1+ tir? 0, 6 C) b - 2 denkleminde x kaçtır? b+2 A) b - 2 B) b + 2 A) 42 B) 36 C) 92 D) 27 E) 23 11 11 11 11 11 D) 1 E) b b+2 b-2 7. 1 + 8 =3 3. a + 1 = 2 6- 4 5- 3 x-1 x-2 2- 1 denkleminin bir kökü 3 olduğuna göre, diğer x+2 kökü kaçtır? eşitliğinde x kaçtır? A) 9 B) 5 C) 2 D) 3 E) 1 A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 22 2 4. a ∈ N+ olmak üzere, 8. 1 + 1 + 2 + 3 = 35 a + 9 =4- 3 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 12 x + a x2 - a2 3 a - x denklemin in bir kökü aşağıdakilerden hangisi denkleminin bir kökü 3 olduğuna göre, a kaç- tır? olabilir? A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 0 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9 1. A 2. C 3. D 4. E 5. A 6. D 7. A 8. E
TEST - 4 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 1. 2x + 7 = 2x + 2 5. 2x - 6 = a ( 3x - 12 ) 3x + 1 3x + 5 denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğu- na göre, a aşağıdakilerden hangisidir? denkleminde x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3 323 4 A) - 33 B) - 23 C) - 13 23 11 25 D) - 11 E) – 33 9 13 2. 1 + 2 + 2x2 = 2 6. x = x - m x - 3 x + 3 x2 - 9 x-3 x+3 x-3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğu- na göre, m kaçtır? hangisidir? A) -6 B) -5 C) -4 D) 5 E) 6 A) ∅ B) { -5 } C) { 5 } D) { 3 } E) R 3. 2x - 3 + x + 3 = 4 7. ax + 2 = b - 3x x-2 2-x denkleminin çözüm kümesi tüm reel sayılar ol- duğuna göre a · b kaçtır? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) -8 B) -6 C) -2 D) 0 E) 4 A) R B) * - 2 4 C) * 3 4 32 D) * 2 4 E) ∅ 3 8. x = 3y + 2 2y - 3 4. x, y, z ∈ Z+, x2 - 2xy - z2 + y2 = 41 eşitliğinde x in hangi değeri için y hesaplana- maz? olduğuna göre, z kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 5 23 23 1. A 2. B 3. D 4. E 10 5. B 6. A 7. B 8. A
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER TANIM / BİLGİ ÖRNEK 2 Sayı doğrusu üzerinde bulunan iki noktanın ( -2, 5 ] ve [ -3, 3 ) nı küme olarak ifade ederek sayı arasındaki noktalara karşılık gelen tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık denir. doğrusunda gösteriniz. Sayı doğrusu üzerindeki bu iki nokta ise uç (-2, 5] = {x | -2 < x G 5, x ∈ R} –2 5 nokta olarak adlandırılır. Aralıklar uç noktaların [ -3, 3 ) = {x | -3 G x < 3, x ∈ R} –3 3 kümeye dâhil edilip edilmemesine göre adlan- dırılır. Aralıklar, ( a, b ), [ a, b ], [ a, b ), ( a, b] şeklinde ÖRNEK 3 gösterilir. a ve b noktaları aralığın uç noktalarıdır. \"Pars'ın boyunun uzunluğu 80 cm den çok, 100 cm den daha azdır.\" | a, b ∈ R olmak üzere, {x a < x < b, x ∈ R} Yukarıda verilen ifadeye karşılık gelen aralığı bulup kümesine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm sayı doğrusunda gösteriniz. gerçek sayıların oluşturduğu aralığa açık aralık denir ve ( a, b ) şeklinde gösterilir. | ( a, b ) = {x a < x < b , x R } ab Pars'ın boyunun uzunluğu 80 cm den uzun ve 100 cm veya daha az olduğuna göre, 80 hariç, 100 dahil bu ara- ÖRNEK 1 daki tüm uzunluklara sahip olmuş olabilir. O hâlde bu ( -2, 6 ) ve ( 3, 10 ) küme olarak ifade ederek sayı doğ- aralık, (80, 100] olur. rusunda gösteriniz. 80 100 BİLGİ (-2, 6) = {x | -2 < x < 6, x ∈ R} a, b ∈ R olmak üzere, –2 6 | {x a G x G b, x ∈ R} kümesine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm gerçek sayıların oluşturdu- ( 3, 10 ) = {x | 3 < x < 10, x ∈ R} ğu aralığa kapalı aralık denir ve [ a, b ] şeklinde 3 10 gösterilir. | [ a, b] = {x a G x G b, x ∈ R} a b BİLGİ a, b ∈ R olmak üzere, ÖRNEK 4 | | {x a < x G b, x ∈ R} veya {x a G x < b, x ∈ R} [ 8, 2 ] ve [ -6, 0 ] nı küme olarak ifade ederek sayı kümelerine karşılık gelen a ve b arasındaki tüm doğrusunda gösteriniz. gerçek sayıların oluşturduğu aralığa yarı açık aralık denir. ( a, b] ve [ a, b ) ile gösterilir. | ( a, b] = {x a < x G b, x ∈ R} a b [ 8, 2] = {x | -8 G x G 2, x ∈ R} –8 2 | [ a, b) = {x a G x < b, x ∈ R} [ -6, 0) = {x | -6 G x < 0, x ∈ R} –6 0 a b 1. 6 3 10 11 2. –2 5 3. 4. 80 –2 100 –8 2 –3 3 –6 0
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 5 ÖRNEK 7 \"48 cm olarak doğan Pars'ın şimdiki boyu 85 cm veya Aşağıdaki sayı doğrularına karşılık gelen aralık ve daha azdır.\" kümeyi bulunuz. Yukarıda verilen ifadeye karşılık gelen aralığı bulup sayı doğrusunda gösteriniz. a. –2 5 Pars, 48 cm olarak doğduğuna ve şu anki boyunun ( -2, 5 ] = {x | -2 < x < 5 , x ∈ R} uzunluğu 85 cm veya daha az olduğuna göre, Pars'ın boyu 48 ve 85 dâhil bu aradaki tüm uzunluklara sahip b. –3 3 olmuş olabilir. O hâlde aralık [48, 85] olur. ( -3, 3 ] = {x | -3 < x G 3 , x ∈ R} 48 85 ÖRNEK 6 c. O [-2, 7] ile ilgili; [0, ∞) = {x | x H 0 , x ∈ R} I. Kapalı aralıktır. II. Bu aralıkta 11 tane tam sayı vardır. ÖRNEK 8 | III. { x -2 G x G 7, x ∈ R } kümesi ile ifade edilir. | |A = { x -4 G x < 5, x ∈ R }, B = { x -2 < x G 7, x ∈ R } yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? olmak üzere, A ∪ B kümesini bulup sayı doğrusu üzerinde gösteriniz. I. Kapalı aralıktır. II. 10 tam tam sayı değeri vardır. III. {x | -2 G x G 7, x ∈ R} ile gösterilir. O hâlde I ve III doğrudur. A = { x | -4 G x < 5, x ∈ R } –4 5 B = { x | -2 < x G 7, x ∈ R } –2 7 A ∪ B = { x | -4 G x G 7, x ∈ R } –4 7 BİLGİ a BİLGİ a a ∈ R olmak üzere, a a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, a | {x a < x, x ∈ R} ax + b > 0 , ax + b <0 , ax + b H 0 ve ax + b G 0 | {x a G x, x ∈ R} biçimindeki ifadelere birinci dereceden bir bi- | {x x < a, x ∈ R} linmeyenli eşitsizlikler denir. | {x x G a, x ∈ R} Eşitsizliğin doğru olmasını sağlayan değerler | R = {x -∞ < x < ∞, x ∈ R} kümesine de çözüm kümesi denir. 5. 48 85 6. I, III 12 7. a) ( –2, 5 ] = {x | –2 < x < 5 , x ∈ R} b) ( –3, 3 ] = {x | –3 < x G 3 , x ∈ R} c) [0, ∞) = {x | x H 0 , x ∈ R} 8. A ∪ B = { x | –4 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 9 ÖRNEK 10 Bir GSM şirketi müşterilerine ücretlendirme periyodu 1 2x + 5 G 13 dakika olan üç farklı paket sunmaktadır. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulup sayı doğrusun- da gösteriniz. Tarife Sabit ücret Bir dakika konuşma ücreti A 30 TL 25 kuruş 2x + 5 G 13 ⇒ 2x G 8 B 20 TL 40 kuruş C 10 TL 50 kuruş O hâlde ÇK = { x | x G 4 , x ∈ R } Buna göre, aşağıda verilen soruları ifade eden eşit- 4 sizlikleri bulunuz. a. Telefon ödemesine aylık en fazla 60 TL ayıran bir ÖRNEK 11 kişi A tarifesine göre en fazla kaç dakika arama yapacaktır? 5 - 3x > 12 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. x: Arama süresi A tarifesi için 30 + 0,25x G 60 5 - 3x > 12 ⇒ -3x > 7 ⇒ x < - 7 3 b. B tarifesini kullanan biri en az 40 TL fatura ödedi- 7 ğine göre, bu kişinin arama süresi ne olabilir? ÇK = {x | x < - 3 , x ∈ R} x: Arama süresi B tarifesi için 20 + 0,40x H 40 ÖRNEK 12 c. C tarifesini kullanan biri en az 60 TL ve en fazla 80 TL fatura ödediğine göre, bu kişinin arama sü- x+2 +x$ x-2 +1 resi hangi aralıktadır? 34 x: Arama süresi eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. C tarifesi için 60 G 10 + 0,5x G 80 x + 2 3x x - 2 + 4 +$ 33 4 4x + 2 x + 2 $ 34 4x + 2 - x + 2 $ 0 & 16x + 8 - 3x - 6 $ 0 34 12 ⇒ 13x + 2 H 0 ⇒ 13x H -2 ⇒ x H - 2 bulunur. 13 Eşitsizliğin Özellikleri BİLGİ BİLGİ a, b, c, d ∈ R olmak üzere, a, b, c ∈ R olmak üzere, a < b ve b < c ise a < c dir. a < b ise a ± c < b ± c c ∈ R+ ve a < b ise a . c < b . c a < b ve c < d ise a + c < b + d dir. c ∈ R- ve a < b ise a . c > b . c a, b, c, d ∈ R+ olmak üzere, a < b ve c < d ise a.c < b.d dir. 10. ÇK = { x | x G 4 , x ∈ R }, 4 9. a) 30 + 0,25x G 60 b) 20 + 0,40x H 40 c) 60 G 10 + 0,5x G 80 13 11. ÇK = {x | x < - 7 , x ∈ R} 12. x H 2 13 3 -
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 x ∈ R olmak üzere, Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz ve çözümü reel sayı doğrusunda gösteriniz. – 2 < x < 5 ve y = 3x + 4 a) -3x + 6 G x + 18 koşullarını sağlayan y tam sayılarının toplamı kaçtır? b) 2x - 1 < 3x - 5 G 2x + 3 c) 2x G 2 - 2 ( 1 - x ) < 4x + 2 -2 < x < 5 ⇒ -6 < 3x < 15 ⇒ -6 + 4 < 3x + 4 < 15 + 4 ⇒ -2 < y < 19 a) -3x - x G 18 - 6 ⇒ -4x G 12 ⇒ x H - 3 y nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı –3 -1 + 0 + 1 + ... + 18 = 170 bulunur. b) 2x - 1 < 3x - 5 3x - 5 G 2x + 3 ÖRNEK 17 x, y ∈ R olmak üzere, -2 < x < 2 ve 2 ≤ y < 4 iken +4 < x xG8 2x - 5y nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? 14444442 4444443 4<x#8 -2 < x < 2 ⇒ -4 < 2x < 4 2 G y < 4 ⇒ + -20 < -5y G -10 48 -24 < 2x - 5y < - 6 c) 2x G 2 - 2 + 2x 2 - 2 + 2x < 4x + 2 O halde en küçük tam sayı değeri -23 bulunur. 0G0 2x < 4x + 2 ÖRNEK 18 -2 < 2x a, b ∈ Z, -3 ≤ a < 4 ve -1 < b < 5 olduğuna göre, 3a - 2b nin en küçük değeri kaçtır? -1 < x a = -3 ve b = 4 için, –1 3a - 2b = -9 - 8 = -17 bulunur. ÖRNEK 14 BİLGİ 4a + 10 = b ve a < 0 a, b ∈ R olmak üzere, olduğuna göre, b nin alabileceği doğal sayıların a ile b aynı işaretli olduğunda a < b ise toplamı kaçtır? 1 > 1 dır. a < 0 ⇒ 4a < 0 ⇒ 4a + 10 < 10 ⇒ b < 10 ab b'nin alabileceği doğal sayıların toplamı 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 bulunur. a ile b zıt işaretli olduğunda a < b ise 1 < 1 dir. ÖRNEK 15 ab x < 5 olduğuna göre, 3x - 4 ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır? x < 5 ⇒ 3x < 15 ⇒ 3x - 4 < 11 En büyük tam sayı değeri 10 bulunur. 13. a) –3 b) 4 8 c) –1 14 16. 170 17. –23 18. –17 14. 45 15. 10
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 19 ÖRNEK 22 1 # 1 < 1 ve - 1 < 1 < - 1 olmak üzere, a + b < 0, b + c < 0, a + c > 0 olmak üzere, 8x2 2y 10 I. b ( a + c ) > 0 2x + y nin değer aralığını bulunuz. II. b < 0 III. ( a + b ) ( a + c ) < 0 1 ≤ 1 < 1 &2<x≤8 IV. ( a + b ) ( a - b ) < 0 8x 2 V. ab + b2 < 0 11 1 VI. ( b + c ) ( a + c ) > 0 - < <- & - 10 < y < - 2 olup 2y 10 ifadelerinden hangileri daima doğrudur? 2 < x G 8 ⇒ 4 < 2x G 16 + -6 < 2x + y < 14 bulunur. I. a+b < 0 4 & ;a ++ c + 2b < 0 & b < 0 olup b(a + c) < 0 b+c < 0 II. b < 0 ÖRNEK 20 III. (a + b) (a + c) < 0 1≤ 2 <5 IV. a + c > 0 4 & a - b > 0 olup (a + b) (a - b) < 0 x-4 -b-c > 0 koşulunu sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? V. b < 0 4 & ab + cb > 0 tür. 1 1 5 ve x ≠ 4 tür. a+b < 0 # < 2 x-4 2 VI. b + c < 0 4 ^ b + c h ^ a + c h < 0 a+c>0 ⇒ 2 <x-4#2 5 O hâlde II, III ve IV tür. ⇒ 22 < x # 6 & x ! \" 5, 6 , olup x'in alabileceği değer- 5 ler toplamı 11 olur. ÖRNEK 21 ÖRNEK 23 3 < x < 9 ve - 1 < y < - 1 a · b < 0, a2 · c < 0 ve a - b > 0 olmak üzere, 36 I. a · b· c < 0 II. ( a - b) ( c - a ) < 0 olduğuna göre, x ifadesinin çözüm aralığını bu- y III. ( a - b - c ) > 0 IV. ( b - a ) ( b + c ) > 0 lunuz. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? 3<x<9 ve 1 < y <- 1 olup c < 0, a > 0 ve b < 0 dır. - I. a · b · c < 0 36 II. a - b > 0 ve c - a < 0 olup ( a - b )( c - a ) < 0 dır. III. a - b - c > 0 - 6 < 1 < - 3 tür. IV. b - a < 0 ve b + c < 0 olup ( b - a )(b + c ) > 0 dır. y O hâlde 3<x <9 - 3 bb_ & - 54 < x <- 9 -6 < 1< ` y y bb a ⇒ (-54, -9) 19. –6 < 2x + y < 14 20. 11 21. (–54, –9) 15 22. II, III, IV 23. II, III, IV
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 24 ÖRNEK 26 0 < a < b < 1 olmak üzere, a . b2. c < 0, a . b . c2 < 0, a . b . c < 0 olmak üzere, I. 1 < 1 II. a2 < b2 ifadelerinden hangileri daima yanlıştır? IV. 1 < 1 ab I. a2 . b . c > 0 II. a . ( b + c ) < 0 a2 b2 III. a < b III. ( b - a ) ( c - a ) < 0 IV. a + c < 0 ba ba V. a3 > b3 VI. 1 > 1 V. b < b VI. a - b < c - b ab ac ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? I. a < b ise 1 > 1 ab2c < 0 _b ise b>0 ab abc2 < 0 b a<0 ` c>0 II. a < b ise a2< b2 abc < 0 bb a III. a < b ise a2 - b2 < 0 I. a2bc > 0 II. a (b + c) < 0 ab IV. a + c < 0 IV. a < b ise 11 III. (b - a) (c - a) > 0 ba > V. b < b a2 b2 V. a - b < c - b ac V. a < b ise a3 < b3 Buna göre III. daima yanlıştır. VI. a < b ise 1 > 1 dir. O hâlde II, III ve VI dır. ab ÖRNEK 25 ÖRNEK 27 1 <0< 1 < 1 a bc a2 < a ve a . b < 0 olmak üzere, ifadelerinden hangi- olmak üzere, ifadelerinden hangileri daima doğru- dur? leri daima doğrudur? I. a . c - b . c < 0 II. a . b . c < 0 I. a < 0 II. a + b < 0 III. 2a . b - a . b > 0 IV. a 1 a b a.b V. b 1 a cb III. a3 < b2 IV. b2 - a > 0 ac VI. a 1 c cb V. b < a3 < a2 VI. a - a . b + b > 0 a2 < a ise 0 < a < 1 ve a.b < 0 ise b < 0 dır. I. ac < bc ⇒ a < b II. abc < 0 I. a < 0 b III. ab < 0 II. 11 (+) veya (-) olabilir. IV. aa 11 + <&> cb cb ab III. a3 < b2 veya a3 > b2 olabilir. V. b < a & bc - a2 < 0 veya bc - a2 > 0 ola- IV. b2 - a < 0 veya b2 - a > 0 olabilir. ac ac ac bilir. V. b < a3 < a2 VI. a < c & ab - c2 < 0 VI. a + b > ab veya a + b < ab olabilir. cb ab I ve V daima doğrudur. O hâlde I, II, IV ve VI daima doğrudur. 24. II, III, VI 25. I, V 16 26. III 27. I, II, IV, VI
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 28 ÖRNEK 31 -1 < a < 0 < b < c < 1 için, x . y2 < 0, x . z < 0 ve x ( z - y ) > 0 I. b3 < c3 II. a2 + b2 > 1 olduğuna göre, x, y ve z yi küçükten büyüğe sı- III. ( b - a )2 - a > 0 IV. a . b < b . c ralayınız. V. b . c - a . b > 0 VI. a . b . c > -1 xy2 < 0 ⇒ x < 0 xz < 0 ⇒ z > 0 ifadelerinden hangileri daima doğrudur? x(z - y) > 0 ⇒ z - y < 0 ⇒ z < y ⇒ x < z < y olur. I. b3 < c3 II. 0 < a2 + b2 < 2 ÖRNEK 32 III. (b - a)2 > a IV. ab < bc V. bc > ab VI. abc > -1 a . b < 0, a2 < a ve b + c > 1 iken, a, b ve c yi küçükten büyüğe sıralayınız. Buna göre, I, III, IV, V ve VI daima doğrudur. ÖRNEK 29 a2 < a ⇒ 0 < a < 1 a4 . b3 . c < 0 a.b < 0 ⇒ b < 0 b + c > 1 ⇒ c > 1 - b olup b < a < c dir. a3 . b . c2 < 0 a.b.c>0 ÖRNEK 33 olduğuna göre, a, b ve c nin işaretlerini bulunuz. a2. b > 0, ( b - c ) . b < 0, a . c < 0 olduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe sı- a4.b3.c < 0 _ a<0 ralayınız. a3.b.c2 < 0 b ise b > 0 b a2.b > 0 ⇒ b > 0 a·b·c > 0 `bb c<0 (b - c).b < 0 ⇒ b - c < 0 a ⇒ b < c ve c > 0 a.c < 0 ⇒ a < 0 olup a < b < c dir. ÖRNEK 30 ÖRNEK 34 a + b <2 x > 0, 2x = 5y = 7z ba olduğuna göre, a . b nin işaretini bulunuz. olduğuna göre, x, y ve z yi küçükten büy üğe sıra- layınız. a + b -2<0 ba x>0, 2x = 5y = 7z a2 + b2 - 2ab < 0 & ^ a - b h2 < 0 ↓ ↓↓ ab ab 35k 14 k 10 k ⇒ ab < 0 olur. k > 0 için x = 35 k, y = 14 k ve z = 10k olup x > y > z dir. 28. I, III, IV, V ve VI 29. a < 0, b > 0, c < 0 30. ab < 0 17 31. x < y < z 32. b < a < c 33. a < b < c 34. x > y > z
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 35 ÖRNEK 39 x ∈ R olmak üzere, a, b, c negatif tam sayılar iken 2a = 3b, 2b = 5c olduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe sıra- -1 < x < 3 layınız. olduğuna göre, x2 - 2x in en küçük tam sayı değe- ri kaçtır? a<0,b<0,c<0 x2 - 2x = (x - 1)2 - 1 2a = 3b 4a = 6b = 15c -1 < x < 3 ⇒ -2 < x - 1 < 2 4 ⇒ 0 G (x - 1)2 < 4 ⇒ -1 G (x - 1)2 < 3 2b = 5c ↓ ↓ ↓ Buna göre, en küçük tam sayı değeri -1 dir. 15k 10k 4k k < 0 için a = 15k, b = 10 k, c = 4k ise a < b < c dir. ÖRNEK 36 ÖRNEK 40 x, y ∈ R olmak üzere, a, b, c birer rakam ve a < b < c olduğuna göre, 2a + 3b - 4c nin en büyük değeri kaçtır? -3 < x < 1 ve 2 < y - 4 < 3 olduğuna göre, x2 + 2y nin en küç ük tam sayı de- a < b < c, 2a + 3b - 4c nin en büyük değeri için; ğeri kaçtır? a=7 _ olup 14 + 24 - 36 = 2 olur. -3 < x < 1 ⇒ 0 G x2 < 9 b=8 bbbb` c=9 a 2 < y - 4 < 3 ⇒ 12 < 2y < 14 + ÖRNEK 37 x, y, z birbirinden farklı pozitif tam sayılar iken, 12 < x2 + 2y < 23 2x + 3y + z = 45 eşitliğinde z nin en büyük değeri için, x + y + z kaçtır? Buna göre, en küçük tam sayı değeri 13 tür. 2x + 3y + z = 45 ÖRNEK 41 ↓ ↓↓ 2 1 38 için x + y + z = 41 olur. -3 < x < 2 ve -2 < y < 1 olduğuna göre, x2 + y3 ün alacağı en büyük ve en ÖRNEK 38 küçük tam sayı değeri kaçtır? x ∈ R olmak üzere, -3 < x < 2 ⇒ 0 G x2 < 9 -2 < x < 4 -2 < y < 1 ⇒ + -8 < y3 < 1 olduğuna göre, x2 + 4 ün en küçük tam sayı değe- ri kaçtır? -8 < x2 + y3 < 10 -2 < x < 4 ⇒ 0 G x2 < 16 en büyük tam sayı değeri 9 ⇒ 4 G x2+ 4 G 20 olup en az 4 tür. en küçük tam sayı değeri -7 dir. 35. a < b < c 36. 2 37. 41 38. 4 18 39. –1 40. 13 41. en büyük: 9, en küçük –7
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 42 ÖRNEK 45 1 < x < 5 ve 2 < y < 8 olmak üzere, x ve y tam sa- f 1 5–x < 4 < 22x–8 yıları için; 2 p 1+ x y eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. A= 2x-5 < 22 < 22x - 8 y 2x-5 < 22 , 22 < 22x-8 1+ x x - 5 < 2 , 2 < 2x - 8 olduğuna göre, A nın en büyük değeri kaçtır? x+y x x x < 7 , 10 < 2x A= · = y x+y y 14444444244444443 1<x<5 x ve y tam sayı 5 < x < 7 olup Ç= ( 5, 7 ) dir. 4 2<y<8 x nin en büyük değeri y x = 4 ve y = 3 için 4 olur. 3 ÖRNEK 43 ÖRNEK 46 -2 < x # 5 ve -4 # y < 6 Bir çember etrafına olmak üzere, x . y çarpımının en büyük tam sayı de- • 1 den 46 ya kadar doğal sayılar herhangi bir şekilde ğeri kaçtır? sıralanmıştır. -2 < x # 5 - 20 # x . y < 30 • Herhangi ardışık dizili 5 sayının toplamı en az A dır. 4& -4 # y < 6 Buna göre, A nın değeri en çok kaçtır? olup en büyük tam sayı değeri 29 bulunur. 1 den 46 ya kadar olan sayıların herhangi dizilimi a1, a2, a3 ... a46 olsun. ÖRNEK 44 A G a1 + a2 + a3 + a4 + a5 A G a2 + a3 + a4+ a5 + a6 x, y tam sayılar olmak üzere, h - 9 < x < - 1 4 A G a46 + a1 + a2+ a3+ a4 - 7 < y < - 3 + olduğuna göre, x+y in en büyük değeri kaçtır? 46.A G 5.(a1 + a2 + ... + a46) y-x 46.A G 5· 46.47 2 -9 < x < -1 , -7 < y < -3, x ve y tam sayı olmak üzere, A G 235 = 117, 5 x+y in en büyük değeri x = -5 ve y = -6 için 11 2 y-x A en çok 117 olur. olur. 42. 4 43. 29 44. 11 19 45. ( 5, 7 ) 46. 117 3
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 47 ÖRNEK 49 On altı kişilik bir sınıfta matematik dersinde öğrenciler Birden a . b ye kadar olan sayılar, a satırı, b sütunu olan soru çözme çalışması yapacaktır. Öğrenciler matematik tabloya aşağıdaki gibi yazılmıştır. 21 sayısı 3. satırda 40 dersi boyunca en az 20, en çok 30 soru çözebilmektedir. sayısı, 5. satırda ve 104 sayısı son satırda yazılmıştır. Buna göre, gelmeyen öğrencinin olmadığı bir gün- de çözülen toplam soru sayısının değer aralığını bu- Satır no lunuz. 1 2 3 .......................... a Bir öğrencinin çözdüğü soru sayısı x, Sütun no 1 1 2 3 .......................... a 20 G x G 30 ⇒ 16.20 G 16x G 16.30 2 a+1 a+2 a+3 .......................... 2a .......................... ⇒ [320, 480] bulunur. b b 2b 3b ......................... a.b Buna göre, a + b toplamı kaçtır? ........... ........... ........... ........... ........... 2a < 21 < 3a & 7 < a < 21 _bb & a=9 2 ` bb 4a < 40 < 5a & 8 < a < 10 a a ( b - 1 ) < 104 < a.b ⇒ 104 < b < 113 99 ⇒ b = 12 a + b = 21 bulunur. ÖRNEK 48 ÖRNEK 50 a1, a2, a3, ... , an, b1, b2, ... , bn gerçek sayılar olmak A ABC üçgen üzere, BH [ AH ] 9 [ BC ] ( a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn )2 G a a21 + b22 + . . . + a2n k. A ( ABC ) = 24 cm2 a b12 + b22 + . . . + bn2 k | BC | = x cm eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşit- sizliği denir. C Buna göre, a, b ve c sayıları için a2 + b2 + c2 = 27 ise ABC üçgeninde BC kenarı için x ∈ (4, 8) olduğuna a + b + c toplamı en çok kaç olabilir? | |göre, AH ın değer aralığını bulunuz, a, b, c, 1, 1, 1 sayıları için Cauchy-Schwarz eşitsizli- 4<x<8& 4 AH x· AH 8 AH ği uygulanırsa; 1.a + 1.b + 1.c G 12 + 12 + 12 . a2 + b2 + c2 << 222 G 3 . 27 & 2| AH| < 24 < 4 | AH | G9 & 6 < | AH | < 12 bulunur. O hâlde a + b + c toplamı en çok 9 olur. 47. [320, 480] 48. 9 20 49. 21 50. 6 < | AH | < 12
I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler TEST - 5 1. [ -2, 3 ) ile ilgili; 5. a2 b < 0, a . b . c2 > 0, a . c > 0 I. Yarı açık aralıktır. olduğuna göre, aşağıdakilerd en hangisi daima II. Aralıkta 5 tane tam sayı vardır. doğrudur? |III. Küme olarak { x -2 G x < 3 , x ∈ R } şeklinde A) a . b + c < 0 B) ( b + c ) ( a - c ) < 0 gösterilir. C) a + b + c < 0 D) ( a + b ) ( b + c ) < 0 ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? E) a2 . ( b - c ) > 0 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III |2. A = { x x H -3, x ∈ R } 6. -1 < a < 0 < b < 1 < c | B = { x x < 6, x ∈ R } olmak üzere, eşitsizliği için aşağıdakilerd en hangisi daima A ∩ B kümesinin tam sayı elemanlarının topla- doğrudur? mı kaçtır? A) ( b - a ) ( c - a ) < 0 B) a > a bc A) 10 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4 C) b + c > 0 D) a2 < b < c b-a E) b - a < 0 c-a 3. A = R - [-2, 5) 7. a3 . b2 . c < 0, a2 . b . c3 > 0, a4 . b2. c5 > 0 kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden hangisi- olduğuna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla dir? aşağıdakilerden hangisidir? A) [ -2, 5 ) B) ( 2, 5 ) C) ( -2, 5 ) A) –, + ,– B) +, –, + C) –, +, + D) ( -2, 5 ] E) [ 2, 5 ) D) +, +, + E) +, –, – 4. x, y, z ∈ R ve x + y < z + y ve xy > zy 8. a2 . b > 0, b . c < 0, a . d < 0 ve a + c < d + c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? B) b - a C) d . (b - a) doğrudur? A) a . b . d A) y < 0 B) xy > 0 C) xz < 0 d-c c D) x + y < xy E) x - y < x + y D) a . d + b . c E) a + b + c + d 1. E 2. B 3. A 4. A 21 5. C 6. C 7. C 8. B
TEST - 6 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler 1. a ∈ R ve a < a3 < a6 5. a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere, olduğuna göre, aşağıdakilerd en hangisi daima a 2 b 2 a doğrudur? bcc A) a < -1 B) 0 < a < 1 C) a > -1 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan han- gisi doğrudur? D) a2 < a4 E) -1 < a < 0 A) a < c < b B) a < b < c C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b 2. a, b, c pozitif sayılardır. 6. a2 . c > 0, b . c = 0, a . c < 0 b . c < a ve b . a < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan han- doğrudur? gisi doğrudur? A) a3 > a B) c2 < c C) a2 < a A) b < a < c B) b < c < a C) a < c < b D) b3 < b D) a < b < c E) c < b < a E) a .c < a + c 3. a2 < a, ab < b 7. a2 < a ve b2 < b3 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru- olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima dur? doğrudur? A) b < 0 B) -1 < b < 0 C) b = 0 A) a . b < 0 B) a + b < 0 C) 1 < a a D) b < -1 E) b > 0 D) a . b < b + a E) b2 < a2 4. -1 < a < b < 0 < c 8. a > b için aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır? olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrud ur? A) ( b - a ) . c > 0 B) a < b cc A) b2 < a2 B) a2 < b2 C) a + b < 0 a.b C) b . c - a < 0 D) 1 < c b D) 1 < 1 ba E) 2a > a + b E) ( c – a ) ( c - b ) < 0 1. E 2. D 3. E 4. E 22 5. B 6. D 7. D 8. E
I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler TEST - 7 1. x ∈ R olmak üzere; 5. -2 < a < 1 -2 < x < 5 olduğuna göre, a3 + 1 in bulunacağı en geniş olduğuna göre, 4 - 3x in en küçük tam sayı de- aralık aşağıd akilerden hangisidir? ğeri kaçtır? A) ( -8, 5 ) B) ( -7, 2 ) C) ( -12, 1 ) A) -7 B) -8 C) -9 D) -10 E) -11 D) ( -8, 1 ) E) ( -7, 1 ) 2. x, y ∈ R olmak üzere, 6. -3 < x < 2, -1 < y < 1 -2 < x < 5, 3 < y < 4 iken x2 - y2 nin alabilec eği en küçük tam sayı değeri kaçtır? iken 2x + 3y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 3 E) 0 A) 23 B) 22 C) 21 D) 20 E) 19 7. x, y, z ∈ R olmak üzere, - 3 < x < 4, 1 < y < 2 ve x + 3y - 2z = 0 3. x, y tam sayı iken, olduğuna göre, z nin değer aralığı aşağıdaki- lerden hangisidir? - 3 < x < 5 ve - 5 < y < 3 olduğuna göre, 3x - 4y nin en büyük değeri A) ( -1, 1 ) B) ( 0, 5 ) C) ( 3, 5 ) kaçtır? D) ( 0, 2 ) E) ( 2, 4 ) A) 28 B) 27 C) 26 D) 25 E) 24 8. x = y ve 0,1 < x < 0,3 0, 002 4. x ∈ R olmak üzere, olduğuna göre, y için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? -1 < x < 5 iken, x2 + 1 in en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 1 < y < 3 B) 50 < y < 150 C) 10 < y < 30 D) 75 < y < 225 A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 26 E) 30 < y < 90 1. D 2. C 3. A 4. B 23 5. B 6. E 7. B 8. B
TEST - 8 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler 1. a ∈ R-, 2a = 5b = 3c 5. x < 0, olduğuna göre, a, b, c sayılarının doğru sırala- a = x , b = x , c = x nışı aşağıdakilerden hangisidir? 100 101 110 A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru- dur? D) b < c < a E) c < a < b A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a 2. a ∈ R+ ve a = 3 , b = 3 6. a ∈ R+ ve a = b = c b4 c5 235 olduğuna göre, a, b, c sayıların ın doğru sırala- iken a, b, c sayılarının doğru sıralanışı aşağı- nışı aşağıdakilerden hangisidir? dakilerden hangisidir? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b D) b < c < a E) c < a < b 7. x, y, z ∈ R, 3. a ∈ R- ve 3a = 2b, 5b = 4c x < -x, y . x < 0, z = 2x olduğuna göre, a, b, c sayılarının doğru sırala- olduğuna göre, aşağıdakilerden hang isi doğru- nışı aşağıdakilerden hangisidir? dur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c A) x < y < z B) z < x < y C) x < z < y D) b < c < a E) c < b < a D) y < x < z E) y < z < x 8. a < b < c 4. x, y, z ∈ R+ ve x+y = 3 , y+z 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima = doğrudur? y2z3 olduğuna göre, x, y ve z sayılarının doğru sı- A) 1 < 1 < 1 B) ab < ac ralanışı aşağıdakilerd en hangisidir? cba A) x < y < z B) x < y = z C) x = y < z C) ab < cb D) a . c < a + b + c D) x = z < y E) y < z < x E) a3 < b3 < c3 1. B 2. A 3. E 4. A 24 5. A 6. A 7. B 8. E
I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler TEST - 9 1. x, y ∈ R olmak üzere, 5. a tam sayı olmak üzere, bir üretici a TL ye mal etti- y = 2x + 1 ği bir ürünü b TL ye satmaktadır. x-2 a ile b arasında, ifadesinin x > 2 iken bulunacağı en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? b = 5a - 756 A) [ 0, ∞ ) B) ( 0, ∞ ) C) ( 2, ∞ ) ilişkisi bulunmaktadır. Buna göre, üreticisinin kâr elde edebilmesi için D) [ 2, ∞ ) E) R malın maliyeti en az kaç TL olmalıdır? A) 193 B) 192 C) 191 D) 190 E) 189 2. 6 < a < 16 ve 2 < b < 4 iken a sayısının bulu 6. a1, a2, a3, ... , an sayılarının b Aritmetik ortalaması: ^ A.O h = a1 + a2 + a3 + . . . + an nacağı en geniş aralık aşağıdakilerden hangisi- n dir? Geometrik ortalaması: (G.O) = n a1.a2.a3 . . . an biçimindedir. A) ( 3, 8 ) B) ( 2, 6 ) C) f 3 , 8 p 2 D) f 3 , 6 p E) ( 2, 8 ) Pozitif sayıların aritmetik ve geometrik ortalamaları 2 arasında A.O H G.O eşitsizliği vardır. Buna göre, x, y, z ve t pozitif tam sayıları için x . y . z . t = 16 ise, 3. a2 - b < -4 ve a2 + b < 8 1+ 1 + 2 +3 x 2y 3z t eşitsizliklerini sağlayan kaç tane ( a, b ) tam sa- yı ikilisi vardır? toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3 2 2 4. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, 7. 2 < a < b < 24 olmak üzere, 1 < a < 2 , 1 < 6 < 3 a ve b tam sayıları için; b ifadesini tam sayı b 2b2 a eşitsizliklerini sağlayan ( a, b ) ikililerinin sayısı yapan kaç farklı (a, b) ikilisi vardır? kaçtır? A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 20 A) 51 B) 50 C) 49 D) 48 E) 47 1. C 2. C 3. C 4. C 25 5. D 6. C 7. D
TEST - 10 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler 1. 13 < 6 < 7 4. Çevresi 60 cm ve kenarları tam sayı olan kaç ta- 51 x 17 ne ikizkenar üçgen vardır? eşitsizliğini sağlayan kaç tane x pozitif tam sa- A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 yısı vardır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 2. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, |5. A = {x 1 G x G 6 , x ∈ R} | B = {y y. x = 1 , x ∈ A} 1 G a < 1 ve c.a = a + c 11 b 7 kümeleri veriliyor. Buna göre, 64y ifadesinin alabileceği kaç farklı olduğuna göre, kaç tane a kesiri yazılabilir? b tam sayı değeri vardır? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 A) 64 B) 63 C) 62 D) 32 E) 31 3. a ve b sayılarının 6. A a, b, c ∈ Z+ aritmetik ortalaması ^ A.O h = a + b b - a + 3c = 32 2 c b b<a geometrik ortalaması ^ G.O h = a.b biçimindedir. BaC Yukarıda verilenlere göre, c en çok kaçtır? Pozitif sayıların aritmetik ve geometrik ortalamaları arasında A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 A.O H G.O eşitsizliği vardır. Buna göre, köşegenleri dik kesişen bir dörtgen- de köşegenlerin uzunlukları toplamı 16 ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? A) 64 B) 48 C) 32 D) 24 E) 20 1. B 2. D 3. C 26 4. C 5. B 6. A
www.aydinyayinlari.com.tr 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK MUTLAK DEĞER - I Mutlak Değer Kavramı ÖRNEK 3 TANIM Sayı doğrusu üzerinde -4 e olan uzaklığı, 6 ya olan uzaklığının 2 katına eşit olan sayıları ifade eden tek Bir gerçek sayının, sayı doğrusu üzerindeki ye- bir denklem yazınız. rinin başlangıç noktasına (sıfır) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. Bir x gerçek x sayısının -4 e olan uzaklığı | x + 4 | olup, 6 ya uzaklı- ğı | x - 6 | dır. Bu durumda | |sayısının mutlak değeri x şeklinde gösterilir. | x + 4 | = 2| x - 6 | denklemi bulunur. |x| |x| AOB | OA | = | OB | = | x | tir. | | x ∈ R olmak üzere x = x, x $ 0 olur. * –x, x<0 ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 Meteoroloji mühendisleri, ülkemizde haziran ayı sıcaklık Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitini bulunuz. ortalamasını 27° C olduğunu belirtmektedirler. Bununla beraber bu sıcaklıktan 5° C civarında sapmalar olduğu- a. | 6 - |(-9) + | -7 - |( -5 ) nu vurgulamaktadırlar. b. | 4 - π | + | π - 3 | Buna göre, ülkemizde haziran ayında en fazla ve en az sıcaklıkları ifade eden bir denklem yazınız. c. 1 - 3 + 3 - 2 | x - 27 | = 5 d. 3 - 5 + 5 - 5 ÖRNEK 2 a. | 6 + 9 | + | -7 + 5 | x bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde >0 <0 x in 2 ye olan uzaklığı x + 3 birimdir. = 15 - ( -2 ) Buna göre, x in değerlerini ifade eden tek bir denk- = 17 lem yazınız. b. | 4 - π | + | π - 3 | | x - 2 | = x + 3 4 - π > 0 ve π - 3 >0 dır. O hâlde, 4 - π - (π - 3 ) & 4 - π + π - 3 &1 c. | 1 - 3 | + | 3 - 2 | <0 <0 = - ( 1 - 3 ) - ( 3 - 2 ) = -1 + 3 - 3 + 2 =1 d. | 3 - 5 | + | 5 - 5 | <0 >0 =- 3 + 5 +5- 5 =5- 3 1. | x – 27 | = 5 2. | x – 2 | = x + 3 27 3. | x + 4 | = 2| x – 6 | 4. a. 17 b. 1 c. 1 d. 5 – 3
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 5 Mutlak Değerin Özellikleri Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitini bulunuz. BİLGİ | |a. x > 2 olduğuna göre, x + x - 2 = ? n tam sayı olmak üzere, her x, y ∈ R için, | |b. x < - 1 olduğuna göre, x - x + 1 = ? | | | |c. 1 < x < 3 olduğuna göre, x - 1 - x - 3 = ? | |• x ≥ 0 | | | |• -x = x | | | | | | | |• - x ≤ x ≤ x • xn = x n | | | | | |• x - y = y - x • x < x ise x < 0 dır. a. x + | x - 2 | = x + x - 2 | | | | | |• x · y = x · y • x = x , y ≠ 0 yy >0 = 2x - 2 | | | | | |• x – y ≤ x + y ≤ x + y b. x - | x + 1 | = x + x + 1 • n x n = * x , n çift x, n tek <0 = 2x + 1 ÖRNEK 7 c. | x - 1 | - | x - 3 | = x - 1 + x - 3 a < b < 0 < c < d olmak üzere, aşağıdaki ifadelerin >0 <0 eşitini bulunuz. = x - 1 + x - 3 = 2x - 4 | |a. a . c b. | a2 c | c. a2 3 b3 d. a2 b4 c6 ÖRNEK 6 a. |a.c| = -ac b) |a2c| = a2 c c) | a | . b = -a.b d) | a | . | b2 | . | c3 | = -a.b2.c3 Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 a. x < 0 olduğuna göre, Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. | -x | + | x | + | -2x | + 3.| x | = ? a. -1 < x < 2 olduğuna göre, | | | | | |b. x < 2 olduğuna göre, x - 2 - x - 4 + x = ? x2 + 2x + 1 - x2 - 4x + 4 = ? c. a < b < c olduğuna göre, b. a < b < c olduğuna göre, a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 = ? | a - b | + | b - c | + | c - a | = ? a. | - x | + | x | +| - 2x | + 3| x | a. x2 + 2x + 1 - x2 - 4x + 4 = x + 1 - x - 2 = x + 1 + x - 2 = 2x - 1 >0 <0 >0 <0 b. a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 = a - b + b - c = - x - x - 2x -3x = -7x =b-a+c-b=c-a b. x – 2 – x – 4 + x = | 2 - x + x - 4 + x | <0 <0 = | x - 2 | <0 =2-x c. | a - b | + | b - c | + | c - a | <0 <0 >0 = - a + b - b + c + c - a = 2c - 2a 5. a. 2x–2 b. 2x+1 c. 2x–4 6. a. –7x b. 2–x c. 2c–2a 28 7. a. – ac b. a2 c c. –ab d. –ab2c3 8. a. 2x–1 b. c –a
www.aydinyayinlari.com.tr 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 9 ÖRNEK 11 x ve y gerçek sayıları için 3x - 4y ≠ 0 olmak üzere, Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm e 3 x +4 y lerini bulunuz. a. x - 2 = 2 - x 3x - 4y 4-x 4-x ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değerini bu- (x - 2) (4 - x) (2 - x) (x - 4) lunuz. b. = x-1 x-1 | 3x - 4y | ≤ 3| x | + | -4y | a. x – 2 ≤ 0 | 3x - 4y | ≤ 3 | x | + 4 | y | 4–x 3x – 4y 3 x + 4 y & x 2 4 x–2 –+ – # 4–x 3x – 4y 3x – 4y 3 x +4 y & ( -3, 2 ] , ( 4, 3 ) 1# olur. ^ x – 2 h^ 4 – x h 3x – 4y b. $ 0 O hâlde en küçük tam sayı değeri 1 dir. x–1 & x 124 + –+– (x – 2) (4 – x) x–1 & ( -3, 1 ) , [ 2, 4 ] BİLGİ ÖRNEK 12 | | f ( x ) = f ( x ) ise f ( x ) ≥ 0 dır. Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini | | f ( x ) = -f ( x ) ise f ( x ) ≤ 0 dır. bulunuz. a ∈ R+ olmak üzere, a. | 2x - 1 | = 3 | |b. 4 3x - 1 - 2 = 14 | | f ( x ) = a ⇔ f ( x ) = a veya f ( x ) = - a dır. a. 2x - 1 = 3 & x = 2 2x - 1 = -3 & x = -1 Ç = { -1, 2 } ÖRNEK 10 b. 4| 3x - 1 | = 16 & | 3x - 1 | = 4 Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm e lerini bulunuz. & 3x - 1 = 4 veya 3x - 1 = -4 & x = 5 veya x = - 1 | |a. x - 2 = 2 - x | |b. 3x - 1 = 3x - 1 3 & Ç = { -1, 5 } a. (x - 2 ) ≤ 0 & x ≤ 2 & ( -3, 2 ] b. 3x - 1 ≥ 0 & x ≥ 1 & [ 1 , 3 ) 3 33 9. 1 10. a. (–∞, 2] b. = 1 ,3 n 29 11. a. (–3, 2 ] , ( 4, 3 ) b. ( –3, 1 ) , [ 2, 4 ] 12. a. { -1, 2 } b. {-1, 5 } 3 3
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 13 ÖRNEK 15 Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini bulunuz. bulunuz. | |a. 2 x - 1 + 2 = 1 b. | 2x - 4 | - 4 | x - 2 | + 8 = 0 a. | 4 - | 2x + 1| | = 3 | |b. x2 - x - 6 = 0 a. 2| x - 1 | = -1 & Ç = Q a. | | 2x + 1| - 4 | = 3 & | 2x + 1| - 4 = 3 v | 2x + 1| - 4 = -3 b. 2| x - 2 | - 4| x - 2 | = - 8 & | 2x + 1 | = 7 v | 2x + 1 | = 1 - 2| x - 2 | = -8 & | x - 2 | = 4 & 2x + 1 = 7, 2x + 1 = -7, 2x + 1 = 1, 2x + 1 = -1 & Ç = { -1, -4, 0, 3} & x - 2 = 4 veya x - 2 = -4 b. x 2– _ & x = 6 veya x = -2 x – 6 = 0 b b & Ç = {6, -2} x –3 ` a x – 3 ka x +2k=0 x +2 bb a | x | - 3 = 0 & x = 3 ve x = -3 & Ç = { -3, 3} ÖRNEK 14 ÖRNEK 16 Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini bulunuz. bulunuz. a. 2 + 4 = 2 b. | x - 2 | - | x - 3 | = 0 | |a. x2 - 2 x + 1 + 2 = 0 b. | x2 - 4 | = 2 | x - 2 | x-3 3-x a. x ≥ -1 & x2 - 2 ( x + 1 ) + 2 = 0 a. 2 + 4 = 2 & 6 = 2 & x2 - 2 x = 0 & x = 0, x = 2 x < -1 & x2 + 2 ( x + 1 ) + 2 = 0 x–3 x-3 x-3 & x2 + 2 x + 4 = 0 & |x - 3| = 3 & ∆ < 0 reel kök yok & x - 3 = 3 veya x - 3 = -3 & Ç = { 0, 2 } & x = 6 veya x = 0 & Ç = {0, 6} b. | x - 2 | | x + 2 | = 2| x - 2 | & | x - 2 | = 0 v | x + 2 | = 2 b. | x - 2 | = | x - 3 | & ( x - 2 )2 = ( x - 3 )2 & x = 2 v x + 2 = 2 v x + 2 = -2 & x2 - 4x + 4 = x2 - 6x + 9 & Ç = { 2, 0, -4 } &x= 5 2 & Ç = { 5 } 2 13. a. ∅ b. {6, –2} 14. a. {0, 6} b.{ 5 } 30 15. a. { –1, –4, 0, 3} b. { –3, 3} 16. a.{ 0, 2 } b.{ 2, 0, –4 } 2
www.aydinyayinlari.com.tr 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 17 ÖRNEK 19 Aşağıdaki denklemlerin her birinin çözüm küm esini Aşağıda üst üste konmuş her bir boş kutunun içine, bir bulunuz. alt satırda kendisiyle ortak kenarı olan iki kutunun için- de bulunan sayılar arasındaki uzaklık hesaplanarak ya- a. | x - 1 | + | x - 4 | = 3 b. | x - 2 | - | x + 1 | = x - 7 zılmaktadır. a. 1 4 1–x x–1 x–1 1 4–x 4–x x–4 2 ||x+2|–3| 5 – 2x = 3 3=3 2x – 5 = 3 5 3 |x+2| x=1 [1, 4] x=4 |–6| |–1| –2 x & Ç = [ 1, 4 ] 2–x 2 En üstteki kutuda yazılan sayı 1 olduğuna göre, x in x+1 alabileceği değerler toplamı kaçtır? b. –1 x–2 2–x x+1 –x–1 3 = x – 7 –2x + 1 = x –7 –3 = x – 7 x + 2 - 3 - 2 = 1 ise 8 x = 10 x= 3 x=4 & Ç = { 4} x+2 -3 =3 0 x+2 -3 =1 |x + 2| = 6 ∨ |x + 2| = 0 ∨ |x + 2| = 4 ∨ |x + 2| = 2 x = 4 x = -2 x = 2 x=0 x = -8 x = -6 x=-4 O hâlde x in alabileceği değerler toplamı -14 bulunur. ÖRNEK 18 ÖRNEK 20 Aşağıda I numaralı bölmeye, üzerinde sayılar yazan Aşağıda verilen her bir geometrik şeklin dışındaki harf o toplar konduğunda, II numaralı bölmeden şekildeki gibi şeklin içindeki ifadeye eşittir. çıkartan bir düzenek kurulmuştur. AB II –3y 2x –3 3 veya C DE –x y1 II 3 II 3 Buna göre, I numaralı bölmeye üzerinde -6, -3, -1, x > 0 ve y < 0 olduğuna göre, 4, 7 sayıları yazan toplar konulduğunda, II numara- lı bölmeden çıkan topların üzerinde yazan sayıların | 3A + 2B + 4D | - | 3C - 4E | + | A + B + 3E | toplamı kaçtır? ifadesinin x ve y türünden eşiti nedir? | -6 | = 6, | -3 | = 3, | -1 | = 1, | 4 | = 4, | 7 | = 7 |- 9y + 4x + 4y | - | -3x - 4 | + | -3y +2x +3 | = | 4x - 5y | - | 3x + 4 | + | 2x - 3y + 3 | 6 + 3 + 1 + 4 + 7 = 21 >0 >0 >0 = 4x - 5y - 3x - 4 +2x - 3y + 3 = 3x - 8y - 1 17. a. [1, 4], b. {4} 18. 21 31 19. –14 20. 3x–8y–1
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 21 ÖRNEK 23 Bir tahtanın üzerine sayı doğrusu çizilmiş ve 5 cm uzun- Aşağıda verilen tablo, a, b ve c sayılarıyla toplama ve luğunda bir ipin ucu x = 3, diğer ucu da x = 2 noktaları- çıkarma işlemleri yapılıp daha sonra elde edilen sonuç- nın bulunduğu yere sabitlenmiştir. ların mutlak değerinin alınması için hazırlanmıştır. 01234567 {a , b} | |(+) | | (-) Bu ip gergin bir şekilde tutulduğunda yukarıdaki gi- {a , c} | | a + b | | a - b bi uç kısmının sayı doğrusu üzerinde x = 2 ve x = 3 {b , c} | | a + c | | a - c noktalarına uzaklıkları toplamını ifade eden denkle- | | b + c | | b - c mi yazınız. | |a. (+) | x - 2 | + | x - 3 | = 5 {a , 2} 5 Tablosuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? | |b. (+) | | (-) {a , 2} 8 2 Tablosuna göre, a . b çarpımı kaçtır? | |c. (+) | | (-) {a , b} 5 x y {a , c} 7 z {b , c} 6 ÖRNEK 22 a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, x kaçtır? Mehmet ile Pars aşağıdaki gibi bir oyun oynamaktadır. a. |a + 2| = 5 ⇒ a + 2 = 5 v a + 2 = -5 ● Mehmet tam sayılar kümesinden 6 farklı tam sayı ⇒ a = 3 v a = -7 seçer. O hâlde a nın alabileceği değerlerin toplamı -4 bulunur. ● Pars, Mehmet'in seçtiği herhangi bir tam sayıyı mut- lak değerine böler. Bu işlemi her bir sayı için tekrar- b. a + b = 8 ab olacağından lar. 53 a . b = 15 4& -3 -5 bulunur. ● Mehmet, Pars'ın bulduğu her bir değeri toplar. -5 -3 a-b =2 35 Buna göre, Mehmet kaç farklı sonuç elde edebilir? c. a+b = 5 _ a + b = 5 _ a+b+ c=9 b a + c = 7 bb a = 3, b = 2, b ` c = 4 olur. abcde f a+c = 7 ` & bb & +++++ a b+c = 6 bb b + c = 6 abcde f a + + + + + + & 6 + + - - - - & -2 Buna göre, y = 1, z = 2 olup x + y + z = 4 bulunur. + + + + + - & 4 + - - - - - & -4 + + + + - - & 2 - - - - - - & -6 + + + - - - & 0 7 farklı sonuç 21. | x – 2 | + | x – 3 | = 5 22. 7 32 23. a. –4 b. 15 c. 4
Mutlak Değer - I TEST - 11 1. 2 1 - 2 + 2 2 - 3 4. -1 < x < 3 olduğuna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? | x + 1 | + | x - 3 | A) - 2 2 B) - 2 - 1 C) - 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? D) -1 E) 1 A) 2x - 2 B) 2x - 1 C) 2x + 1 D) 2 E) 4 2. x < 1 için, 5. x < 0 olduğuna göre, x + | x - 1 | + 2 | 2x | + | -3x | - 4 | -x | ifadesinin eşiti aşağıd akilerden hangisidir? A) 2x + 1 B) 1 - 2x C) 3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? D) 2 E) 1 A) -3x B) -2x C) -x D) x E) 2x 3. x > - 1 olduğuna göre, 6. x < y < z olduğuna göre, 2 | x - y | + | z - y | - | x - z | | 2x + 1 | - 1 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) -2x - 2 B) -2x C) 2x - 2 A) 2x - 2y B) 2x - 2z C) 0 D) 2y D) 2x - 1 E) 2x E) 2z 1. E 2. C 3. E 33 4. E 5. C 6. C
TEST - 12 Mutlak Değer - I 1. x < 3 olduğuna göre, 4. x < 0 < y olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç | x - 4 | + | x - 3 | + x - 4 tanesi doğr udur? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x-y x-y II. x3 = - x3 I. = y4 y4 A) x - 3 B) x - 5 C) 5 - x x.y x.y | |IV. -3x3 = 3x3 | | III. x2 y3 = - x2 y3 D) 3 - x E) 1 - x | | V. x2 + y3 = x2 + y3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. x < 0 olmak üzere; 5. x < y < 0 < z olmak üzere, 2 x - 3x 6 x6.3 y3. z2 2x - 3x x2.y4 . 5 z5 ifadesinin eşiti, aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerdenhangisidir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 1 E) 4 A) - z B) - x C) 1 D) 1 E) 1 5 55 5 zy yy 6. 1 < x < 2 olmak üzere, 3. a < b < 0 olmak üzere; x2 - 2x + 1 + x2 - 4x + 4 | 4a - 2b | + | b - 3a | + | a - b | + | -b | işleminin sonucu aşağ ıdakilerden hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x - 3 B) 2x - 1 C) 3 - 2x D) 1 A) 5a - 3b B) 3b - 5a C) 5b - 8a E) 2 D) 8a - 3b E) 3b - 8a 1. D 2. A 3. E 34 4. C 5. E 6. D
Mutlak Değer - I TEST - 13 1. a < b < c olmak üzere, 4. | 2x - 1 | = 7 b2 - 2ab + a2 + b2 - 2bc + c2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) a - c B) c - a C) b - c A) { -4, 3 } B) { -3, 4 } C) { 4 } E) 2b - a - c D) 2b - c D) { -2, 3 } E) { -3, 2 } 2. 1 < x < 3 olmak üzere, | |5. 3 4 - x - 1 = 8 22 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 4x2 - 12x + 9 + 4x2–4x + 1 hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) { -1, -7 } B) { -1, 7 } C) { 1, -7 } D) { 1 } A) 4x - 4 B) 4x + 2 C) 4 E) { 1, 7 } D) 3 E) 2 3. x < 2 olmak üzere, | |6. 2 3x + 2 + 6 = 2 x2 - 3x + 1 + x2 - 6x + 9 denkleminin çözüm kümesi aşağ ıdakilerden ifadesinin eşiti aşağıd akilerden hangisidir? hangisidir? A) 2 - x B) 3 - x C) 1 - x A) * - 4 , 0 4 B) * - 4 4 C) { 0 } 33 D) 3 E) 2 D) ∅ E) * 4 4 3 1. B 2. E 3. A 35 4. B 5. E 6. D
TEST - 14 Mutlak Değer - I 1. | 4x - 4 | - 2 | 1 - x | - 2 = 6 4. | x - 2 | . | x + 2 | = 3 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç- denkleminin kökler çarpımı kaçtır? tır? A) -7 B) -1 C) 1 D) 5 E) 7 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2. | l x - 2 l - 5 | = 2 5. 4 = 2 + 1 denkleminin kökler toplamı kaçtır? x-1 1-x A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 eşitliğini sağlayan x değerler inin toplamı kaç- tır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 3. | 2 - | 3x + 1| | = 3 6. x ∈ R olmak üzere, eşitliğini sağlayan x değerlerin in çarpımı kaç- | | x2 - x - 2 = 0 tır? denklemini sağlayan x değerler inin çarpımı kaçtır? A) - 8 B) -2 C) - 4 D) 4 E) 8 3 33 3 A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4 1. C 2. D 3. A 36 4. A 5. E 6. A
www.aydinyayinlari.com.tr 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYEN DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK MUTLAK DEĞER - II Mutlak Değerli Eşitsizlikler ÖRNEK 4 BİLGİ | x - 2 | - | x + 1| < 0 a pozitif gerçek sayı olmak üzere, eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. | | f ( x ) # a ⇔ -a # f ( x ) # a dır. a. | x - 2 |< | x + 1 | & -x - 1 < x - 2 < x + 1 ÖRNEK 1 & 1 < 2x ve -2 < 1 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. & 1 < x ve R &d 1 , 3 n 2 2 | |a. 2x - 1 < 5 b. | 3x - 2 | # 2 a. | 2x - 1 | < 5 & -5 < 2x - 1 < 5 ÖRNEK 5 & -4 < 2x < 6 & -2 < x < 3 bulunur. | x + 2 | - | x - 1 | < 6 b. | 3x - 2 | ≤ 2 & -2 ≤ 3x - 2 ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. & 0 ≤ 3x ≤ 4 & 0 ≤ x ≤ 4 bulunur. 3 ÖRNEK 2 b. –2 x+2 1 –x–2 1–x 1 – x x+2 x–1 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. | |a. 2 2 - x - 1 # 5 b. | x - 1 | + | 2x - 2 | - 6 < 0 i) (-3, -2) aralığında a. 2| 2 - x | - 1 ≤ 5 & | x - 2 | ≤ 3 -2 - x - ( 1 - x ) < 6 & -3 ≤ x - 2 ≤ 3 -3 < 6 olup x < -2 dir. & -1 ≤ x ≤ 5 bulunur. ii) ( -2, 1 ) aralığında b. | x - 1 | + 2| x - 1 | < 6 & 3| x - 1 | < 6 x + 2 - ( 1 - x ) < 6 & | x - 1 | < 2 x < 5 dir. &-2 < x - 1 < 2 2 &-1 < x < 3 bulunur. iii) ( 1, 3 ) aralığında x + 2 - ( x - 1 ) < 6 3 < 6 olup x > 1 dir. O halde çözüm kümesi R bulunur. ÖRNEK 3 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 a. 4 > 2 | |b. x - 3 + x < 5 Bir arabanın ideal satış fiyatı 180000 TL dir. Satış tem- x-2 silcisinin arabanın fiyatını % 5 oranına kadar değiştirme hakkı bulunmaktadır. a. 4 >2 & x–2 1 Buna göre, satış temsilcisinin arabayı satabileceği < fiyat aralığını bulunuz. x–2 42 | x - 180000 | ≤ 180000 · 5 = 9000 olup & | x - 2 | < 2 & -2 < x - 2 < 2 100 & 0 < x < 4 & ( 0, 4 ) - { 2 } bulunur. | x - 180000 | ≤ 9000 & 171000 ≤ x ≤ 189000 bulunur. b. | x - 3 | + x < 5 & | x - 3 | < 5 - x & x - 5 < x - 3 < 5 - x &-5 < -3 ve x < 4 & ( -3 , 4 ) 1. a. –2 < x < 3 b. 0 ≤ x ≤ 4 2. a. –1 ≤ x ≤ 5 b. –1 < x < 3 37 4. d 1 , 3 n 5. R 6. [171000, 189000] 3 2 3. a.( 0, 4 ) – { 2 } b. ( –3 , 4 )
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYEN DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 7 BİLGİ Kişisel antrenörünüz size ücretsiz bir antrenman kazan- a ve b pozitif gerçek sayı olmak üzere manız için kilo kaybınızın 7 ila 9 kg arasında olmasını söylemektedir. | | a < f ( x ) < b ise Buna göre, kilo kaybınızı modelleyen mutlak değerli eşitsizliği yazınız. a < f ( x ) < b veya a < -f ( x ) < b | x - 8 | < 1 ÖRNEK 10 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. | |a. 1 < x + 1 < 4 | |b. 3 # 2x - 1 < 7 BİLGİ a. 1 < | x + 1 | < 4 & 1 < x + 1 < 4 v 1 < -x - 1 < 4 a pozitif gerçek sayı olmak üzere & 0 < x < 3 v -5 < x < -2 | | f ( x ) $ a ⇔ f ( x ) $ a veya f( x ) # -a dır. b. 3 ≤ | 2x - 1 | < 7 & 3 ≤ 2x - 1 < 7 v 3 < 1 -2x < 7 ÖRNEK 8 & 2 ≤ x < 4 v -3 < x ≤ -1 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. & [2, 4 ) , ( -3, -1 ] bulunur. | |a. 2x - 3 > 4 | |b. 3 2x - 1 - 1 $ 2 ÖRNEK 11 a. | 2x - 3 | > 4 & 2x - 3 > 4 v 2x - 3 < -4 Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz. &x> 7 v x< – 1 | |a. 1 < 2 x - 1 - 1 # 5 22 b. | | x - 2 | - 3 | < 5 & ( -3, – 1 ) , ( 7 , 3 ) bulunur. a. 1 < | 2x - 1 | - 1 ≤ 5 & 1 < | x - 1 | ≤ 3 22 &1<x-1≤3 v 1<1-x≤3 b. 3| 2x - 1 | - 1 ≥ 2 & | 2x - 1 | ≥ 1 & 2 < x ≤ 4 v -2 ≤ x < 0 & 2x - 1 ≥ 1 v 2x - 1 ≤ -1 & ( 2, 4 ] , [ -2, 0 ) bulunur. &x≥1 v x≤0 & R - ( 0, 1 ) b. | | x - 2 | - 3 | < 5 & -2 < | x - 2 | < 8 & | x - 2 | < 8 ÖRNEK 9 & -6 < x < 10 | x | - | x - 2 | > 0 & ( -6, 10 ) bulunur. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. BİLGİ | x | - | x - 2 | > 0 & | x | > | x - 2 | Mutlak değerli bir ifadenin en küçük değeri sı- fırdır. & x2 > x2 - 4x + 4 & 4x > 4 &x> 1 & ( 1, 3 ) bulunur. 7. |x – 8| < 1 8. a. R – =- 1 , 7 G b. R – (0,1) 9. ( 1, 3 ) 38 10. a. (–5, –3) ∪ (0, 3) b. (2, 4) ∪ (–3, –1) 11. a. (2, 4) ∪ [–2, 0) b. (–6, 10) 2 2
www.aydinyayinlari.com.tr 1. DERECEDEN BİR BİLİNMEYEN DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 12 ÖRNEK 15 Aşağıdaki ifadelerin her birinin alabileceği en küçük | a - b + 2 | + | a + b + 4 | = 0 değeri bulunuz. olduğuna göre, a . b kaçtır? | |a. 2 x - 1 + 3 b. | x - 1 | + | x - 3 | | a - b + 2 | = 0 ve | a+ b + 4 | = 0 olmalıdır. c. | x - 1 | + | x - 2 | + | x + 5 | a – b = –2 4 a = - 3 ve b = - 1 bulunur. | |a. 2 x - 1 + 3 ifadesinin en küçük değeri için x = 1 a + b = –4 O hâlde a · b = 3 tür. alınmalıdır. O hâlde en küçük değeri 3 bulunur. ÖRNEK 16 | | | |b. x - 1 + x - 3 ifadesinin en küçük değeri için a, b ∈ R olmak üzere, x ! [1, 3] olmalıdır. Örneğin x = 1 için; 2 | 3a - 6b | | | | | 1 - 1 + 1 - 3 = 2 bulunur. ifadesinin en küçük değeri için, a + b oranı kaçtır? | | | | | |c. x - 1 + x - 2 + x + 5 ifadesinin en küçük de- a-b | |ğeri için x ! [-5, 2] ve x - 1 = 0 olmalıdır. Buna göre x = 1 için en küçük değeri 7 bulunur. ÖRNEK 13 2| 3a - 6b | = 0 olmalıdır. 36 3a = 6b & a = 2b dir. O hâlde a + b = 3 bulunur. x-2 + x-4 a– b ifadesinin en büyük değeri kaçtır? 36 ifadesinin en büyük değeri için ÖRNEK 17 x-2 + x-4 | x - 2 | + | x - 4 | ifadesi en küçük olmalıdır. Buna göre | x - 4 | - | x + 2 | x = 2 için en küçük değer 2 olup verilen ifadenin en bü- yük değeri 18 bulunur. ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri kaç tane- dir? ÖRNEK 14 x = -2 ve x = 4 denkleminin kökleridir. Buna göre 36 6x - 12 + 3x + 12 –2 4–x 4 x+2 ifadesinin en büyük değeri kaçtır? 4–x x–4 –x–2 x+2 36 ifadesinin en büyük değeri için x = 2 6 x-2 +3 x-4 6 2 – 2x – 6 alınmalıdır. O hâlde 36 = 6 bulunur. tablosu elde edilir. O hâlde; 6·0 + 3·2 -6 ≤ | x - 4 | - | x + 2 | ≤ 6 olup 13 tam sayı değeri vardır. 12. a. 3, b. 2, c. 7 13. 2 14. 6 39 15. 3 16. 3 17. 13
TEST - 15 Mutlak Değer - II 1. | 1 - 2x | < 3 4. | x - 2 | + x < 4 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangisinde sağ- lerden hangisidir? lanır? A) ( -2, 1) B) ( -1, 3 ) C) ( 2, 3 ) A) ( -∞, 3 ) B) ( 3, 6 ) C) ( 6, 9 ) E) ∅ D) ( 1, 3 ) E) ( -1, 2 ) D) ( 9, +∞ ) | |2. 2 x - 1 - 3 # 5 5. | x - 1 | + | x | < 2 eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangisinde sağ- eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- lanır? lerden hangisidir? A) [ -5, 3 ] B) [ -3, 5 ] C) [ 5, 8 ] A) c-3 , - 1 m B) f- 1 , 3 p C) f 3 , 2 p 2 2 2 2 D) [ -8, 5 ] E) [ -5, -1 ] 7 7 2 2 D) f2, p E) f ,+3p | |3. 2 x + 2 + 4 < 2 6. | x - 5 | + | x + 1 | < x + 3 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden olduğuna göre, x in alacağı tam sayı değerleri hangisidir? toplamı kaçtır? A) ( -3, -1 ) B) ( 1, 3 ) C) ( -1, 3 ) A) 19 B) 18 C) 16 D) 15 E) 11 D) ∅ E) R 1. E 2. B 3. D 40 4. A 5. B 6. D
Mutlak Değer - II TEST - 16 1. | 3x - 2 | > 4 4. | x - 2 | - | x - 4 | > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- lerden hangisidir? lerden hangisidir? A) f - 2 , 3 p B) ( -∞, 3 ) A) ( -∞, 3 ) B) ( 3, + ∞ ) C) ( -3, 3 ) 3 D) ( -2, 2 ) E) ( -∞, -2 ) 2 2 C) f - 3, - 3 p , (2, + 3 ) D) f- 3 , + 3 p E) f - 3, 2 p , (3, + 3 ) 3 | |2. 2 4x + 3 + 6 > 4 5. | x - 2 | $ 5 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- koşulunu sağlamayan kaç tane tam sayı vardır? lerden hangisidir? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) f -3,- 1 p B) f- 1 ,+3p 2 2 C) f- 1 , 1 p D) R 2 2 E) ∅ 3. f (x) = 6 - 2 – x 6. 2 < | x - 1| < 6 fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgedeki x tam eşitsizliğini sağlayan x tam sayılar ının toplamı sayılarının toplamı kaçtır? kaçtır? A) 16 B) 18 C) 22 D) 26 E) 28 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. C 2. D 3. D 41 4. B 5. B 6. E
TEST - 17 Mutlak Değer - II | |1. 1 # 2 4 - x - 1 < 3 4. x < 0 olduğuna göre, eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı var- | 2x - y | + | 3z - y | dır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 toplamının en küçük değeri için aşağıdaki sıra- lamalardan hangisi doğr udur? A) y < x < z B) y < z < x C) x < y < z D) x < z < y E) z < y < x 2. | | x - 1| - 2 | < 1 5. A = 3 | x + 2 | - | x - 5 | eşitsizliğini sağlayan kaç x tam sayısı vardır? olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? A) -7 B) -6 C) -4 D) -1 E) 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. A = | x - 2 | + | x + 4 | 6. x ∈ Z olmak üzere, olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? | | x2 - 2x - 4 + 6 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 1. B 2. B 3. D 42 4. A 5. A 6. E
Mutlak Değer - II TEST - 18 1. 12 4. x gerçel sayısı aşağıdaki aralıklardan hangisi- x+1 + x-1 + x-3 | | | |nin elemanı olursa x + 4 + x - 6 sayısı sa- ifadesinin en büyük değeri kaçtır? bit kalır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 12 A) [ 4, 6 ] B) [ -4, 6 ] C) [ 0, +∞ ) D) [ -4, 0 ] E) [ 0, 6 ] 2. a, b ∈ R olmak üzere, 5. | x - y + 5 | + | x + y - 1 | = 0 E) 6 | 2a - 8b | olduğuna göre, x . y kaçtır? A) -8 B) -6 C) -4 D) 4 ifadesinin en küçük değeri için, 2a - 3b oranı a + 2b kaçtır? A) 2 B) 5 C) 1 D) 7 E) 4 36 6 3 3. | x - 1 | + | x + a | 6. x, y , z ∈ R olmak üzere, ifadesinin en küçük değeri 3 olduğuna göre, a x2 + 12x + 36 + y - 3 + (z - 5) 2 = 0 nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? olduğuna göre, x + y + z kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. C 2. B 3. A 43 4. B 5. B 6. A
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli ÖRNEK 2 Denklemlerin Çözümü x + y = 2 4 TANIM x - y = 6 a, b, c gerçek sayılar, a ≠ 0, b ≠ 0 ve x ile y de- denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ğişkenler olmak üzere ax + by + c = 0 biçimin- deki denklemlere birinci dereceden iki bilin- x + y = 12 meyenli denklemler denir. Bu denklemi sağ- + x-y=6 layan ( x, y ) ikililerin kümesine denklemin çö- züm kümesi denir. 2x = 18 & x = 9 ve y = 3 olup ax + by + c = 0 birinci dereceden iki bilinme- Ç.K. = { ( 9, 3 ) } bulunur. yenli denklemin grafiği bir doğru belirtir. ÖRNEK 3 ax + by = 0 ifadesi her x ve y gerçek sayısı için doğru ise a = b = 0 dır. 2x - y = 10 4 x + 3y = 12 Aynı değişkenleri içeren iki veya daha fazla bi- rinci dereceden iki bilinmeyenli denklemden denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. oluşan ifadelere, birinci dereceden denklem sistemi denir. 3 2x - y = 10 6x - 3y = 30 x + 3y = 12 & + x + 3y = 12 a, b, c, d, e, f ! R, a ≠ 0, b ≠ 0, d ≠ 0, e ≠ 0 ol- mak üzere 7x = 42 & x = 6 ve y = 2 ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sis- temidir. olup Ç.K. = { ( 6, 2 ) } bulunur. ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 \"Güldeste'nin kumbarasında 50 kuruşluk ve 1 TL lik a+b = 5 olmak üzere toplam 50 adet madenî para bulunmakta- dır. Güldeste'nin kumbarasında toplam 40 TL olduğuna a+c=74 göre 50 kuruşluk ve 1 TL lik madenî paralardan kaçar tane vardır?\" b+c = 8 olduğuna göre, a .b .c çarpımının sonucu kaçtır? Şeklindeki problemin çözümü için bir denklem sis- temi yazınız. a+b=5 2a + <b +8 c = 12 & a = 2, b = 3 ve c = 5 4& 50 kuruşların sayısı x, 1 TL liklerin sayısı y olmak üzere, a+c=7 x + y = 50 50x + 100y = 4000 denklem sistemi elde edilir. b+c=8 olup a · b · c = 30 bulunur. 1. x + y = 50, 50x + 100y = 4000 44 2. {(9, 3)} 3. {(6, 2)} 4. 30
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 4x2 - 3y + 2x - 9y2 = 12 4 1 + 1 = 6 bb_ a + b = 5 ` 2x + 3y = 2 3 4 17 b olduğuna göre, x kaçtır? a b 5 b a olduğuna göre, a - b değerini bulunuz. 4x2 - 9y2 + 2x - 3y = 12 4 116 (2x - 3y) (2x + 3y + 1) = 12 & 2x - 3y = 4 += ab5 + 2x + 3y = 2 -1 3 4 17 y = - 1 olup x = 3 += + ab 5 32 bulunur. 1 = 7 & a = 5 olup b = -5 bulunur. a5 7 O hâlde a - b = 40 olur. 7 ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 ( 2a - 1 ) x + ( 3b - 6 ) y = 0 1+1 = 5 bbbb_ xy 6 ` ifadesi her x ve y gerçek sayısı için doğru olduğuna 1+1 = 3 b göre, a + b değerini bulunuz. xz 4 2a - 1 = 0 ve 3b - 6 = 0 dur. O hâlde a = 1 ve 1 + 1 = 7 b 2 y z 12 bb b = 2 olup a + b = 5 bulunur. a 2 oldu€una göre, xyz ifadesinin eşitini bulu- xy + yz + xz nuz. ÖRNEK 7 115 += x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, ( x + y + 1 ) ( x - y - 7 ) = 23 xy6 olduğuna göre, y kaçtır? 113 x + y = 22 4 x = 15 ve y = 7 olur. O hâlde y = 7 bulunur. += x–y=8 xz4 11 7 += + y z 12 2f 1 + 1 + 1 p= 26 x y z 12 xy + xz + yz 13 xyz = 12 bulunur. =& xyz 12 xy + xz + yt 13 5. 40 6. 5 7. 7 45 8. 3 9. 12 7 2 2 13
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 1. MODÜL I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 BİLGİ x =4, y z d1 : ax + by + c=0 4 denklem sisteminde =4 , d2 : dx + ey + f=0 yz xz xy olduğuna göre, x . y . z çarpımı kaçtır? d1 A x =4 _ yz b x·y·z = 256 & xyz = 1 d2 y b b b =4 `& bulunur. xz b x 2 ·y 2 ·z 2 256 b z = 16 bba a b xy d e ! ise denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlıdır. ÖRNEK 11 Denklemin belirttiği doğrular tek noktada kesi- şirler. 2x - y + z = 9 b_b d1 + d2 = A x+y-z = 6 a`bb d1 x-y-z = 2 olduğuna göre, x + y + z kaçtır? d2 2x – y + z = 9 4 3x = 15 & x = 5 a = b = c x+y–z=6 d e f x = 5 & y – z = 1 4 y = 2 ve z = 1 ise denklem sisteminin sonsuz çözümü vardır. y+z=3 Denklemin belirttiği doğrular çakışıktır. O hâlde x + y+ z = 8 bulunur. d1 + d2 = d1 = d2 ÖRNEK 12 d2 d1 x + 2y - 3z = 5 _bb 2x + y - 2z = 4 a`bb 3x + 4y + 7z = 6 olduğuna göre, 7x + 9y - z kaçtır? a = b ! c d e f 2 / x + 2y - 3z = 5 ise denklem sistemini çözüm kümesi boş kü- 2x + y - 2z = 4 medir. + 3x + 4y + 7z = 6 7x + 9y - z = 10 + 4 + 6 = 20 bulunur. Denklemlerin belirttiği doğrular paraleldir. 10. 1 11. 8 12. 20 46 256
www.aydinyayinlari.com.tr I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER - MUTLAK DEĞER 1. MODÜL ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÖRNEK 13 ÖRNEK 16 2x - 3y = 1 3x + my = 4 4 x + 2y = 11 4 mx + 12y = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, m kaçtır? 2 / 2x - 3y = 1 & 4x - 6y = 2 3 / x + 2y = 11 & + 3x + 6y = 33 Çözüm kümesi boş küme olduğuna göre 7x = 35 3 m & m = -6 bulunur. Çünkü m = 6 için çözüm x=5 = m 12 kümesi sonsuz elemanlıdır. x = 5 için y = 3 olup çözüm kümesi Ç = { ( 5, 3 ) } bu- lunur. ÖRNEK 14 ÖRNEK 17 (m + 1) x - (n + 2) y + 4 = 0 _ bb 2x - 6y + 4 = 0 ` 3x - 9y + 6 = 0 4 bb (m - 1) x + (2n - 1) y + 2 = 0 a denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. sisteminin çözüm küm esi sonsuz elemanlı olduğu- na göre, m + n kaçtır? 264 olup sonsuz çözüme sahiptir. O hâlde m + 1 –n – 2 4 == 396 == k+2 k+2 m – 1 2n – 1 2 x = k için y = 3 olup Ç = { ( k, 3 ) } bulunur. bbb_ m+1 ` m– 1 =2&m =3 b & m +n = 3 bulunur. –n – 2 =2 &n =0 bb 2n – 1 a ÖRNEK 15 ÖRNEK 18 6x + 12y = 3 mx + ( 2n + 1 ) y = 6 4x + 8y = 5 ( n - 1) y + mx = 4 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, n kaçtır? 6 = 12 ! 3 olup Ç = Q bulunur. 48 5 m 2n + 1 = m n–1 2n + 1 = n - 1 & n = -2 bulunur. 13. { ( 5, 3 ) } 14. { ( k, k + 2 ) } 15. Q 47 16. –6 17. 3 18. –2 3
TEST - 19 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler 1. 3x + y =-7 4 4. (2m + 1) x + (3n - 2) y=5 4 2x - 3y = - 12 (m - 2) x + (n + 1) y = 10 olduğuna göre, x . y aşağıdakilerden hangis i denklem sistemi sonsuz çözüme sahipse, m . n dir? çarpımının sonucu kaçtır? A) - 6 B) - 5 C) - 4 D) - 3 E) - 2 A) 1 B) - 1 C) - 3 22 D) - 4 E) - 5 34 5. m pozitif gerçek sayı olmak üzere, 2. 2x - 5y = 9 2x + my = 5 3x - 9y = 22 4 mx + 8y = 12 4 sisteminde x - y aşağıdakilerden hangisidir? denklem sistemi m nin hangi değ eri için çö- A) - 1 B) - 2 C) - 3 D) - 4 E) - 5 zümsüzdür? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 3. x ve y pozitif tam sayılar, 6. 3x - my = 8 2x + 6y = n 2 4 2 x + xy = 60 4 sistemi m nin hangi değeri için tek çözüm ver- y + xy = 84 mez? olduğuna göre, y sayısı kaçtır? A) 4 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11 A) - 2 B) - 3 C) - 6 D) - 8 E) - 9 1. A 2. D 3. B 48 4. D 5. B 6. E
Search
