สรุปแก่นคณิตศาสตร์ม.ปลาย Math Kit Ebook

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 151 ฐานนิยมคือ 75 ตาแหน่งมัธยมฐาน = = 44 / จากสตู รมัธยมฐาน คอื 59.5 + 11. = 59.5 +11 = 70.5 4.ค่าเฉลย่ี เรขาคณิต (geometric mean) ถา้ x1, x2, x3, …, xn เปน็ ขอ้ มลู N จานวนซึง่ เป็นจานวนบวกทกุ จานวน ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ G.M. คือ √ เน่อื งจากการหาค่าเฉลีย่ เรขาคณิตต้องคานวณหากรณฑ์ท่ี N ของจานวนซึ่งทาให้การใช้ สตู รดังกล่าวไม่สะดวกในการหาในกรณที ม่ี ีจานวนขอ้ มลู มคี า่ มากๆ ดงั น้ันเพ่อื ความสะดวกในการ คดิ จงึ ใช้ลอการิทึมช่วยในการคานวณ ขอ้ มูลทไ่ี ม่แจกแจงความถ่ี 1 n N log G.M. = log Xi i= ข้อมูลทีแ่ จกแจงความถ่ี k log G.M. = 1 fi log Xi N i= โดยท่ี Xi คอื จดุ กึ่งกลางของอันตรภารชั้นท่ี i fi คือแทนความถขี่ องขอ้ มลู อันตรภาคชั้นท่ี i k คอื จานวนอนั ตรภาคชนั้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 152 5.ค่าเฉล่ียอารม์ อนกิ (harmonic mean) ถ้า x1, x2, x3, …, xn เป็นข้อมลู N จานวนซ่งึ เปน็ จานวนบวกทุกจานวน ค่าเฉลยี่ อาร์มอนกิ H.M. คือ } { = N สาหรับข้อมูลทแี่ จกแจงความถี่ ∑ 1 คา่ เฉล่ยี อารม์ อนกิ H.M. คือ ������������ { โดยที่ Xi คอื จดุ กง่ึ กลางของ = k fi } อันตรภารช้นั ที่ i i= ������������ fi คือแทนความถ่ีของขอ้ มูล อันตรภาคช้ันที่ i k คือจานวนอนั ตรภาคชนั้ การวดั ตาแหน่งข้อมูล 1.ควอไทล์ (Qr) คือค่าของขอ้ มูลทถี่ กู แบง่ ออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน เมอ่ื เรยี งข้อมูลจากนอ้ ย ไปมาก มคี วอไทล์ท้ังหมด 3 ค่า คอื Q1, Q2, Q3 2.เดไซน์ (Dr) คอื คา่ ของขอ้ มูลทถี่ ูกแบง่ ออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกนั เมือ่ เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ย ไปมาก มีเดไซน์ทั้งหมด 9 ค่า คอื D1, D2, D2, ... , D9 3.เปอร์เซ็นตไ์ ทล์(Pr) คอื ค่าของข้อมูลทถี่ กู แบง่ ออกเปน็ 100 สว่ นเทา่ ๆกัน เมอ่ื เรียงขอ้ มูล จากนอ้ ยไปมาก มีเปอร์เซ็นตไ์ ทล์ท้ังหมด 99 ค่า คอื P1, P2, P3, … ,P99 ข้อมูลเด่ียว ข้อมูลกลุ่ม ตาแหนง่ Qr = () ตาแหน่ง Qr = ( ) ตาแหนง่ Dr = () ตาแหนง่ Dr = ( ) ตาแหนง่ Pr = () ตาแหนง่ Pr = ( ) หรือใช้สูตรหา Qr, Dr, Pr (เฉพาะข้อมูลกลุ่ม) ขอบลา่ ง + ความกวา้ งอนั ตรภาคช้นั (ตาแหน่ง − ความถีส่ ะสมชนั้ ก่อนหนา้ ) ความถ่ี ณ ช้ันนนั้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 153 การวดั การกระจายของข้อมูล การวดั การกระจายของข้อมลู แบ่งออกได้เป็น 2 แบบคอื 1.การวดั การกระจายแบบสัมบูรณ์ คือการวดั การกระจายของขอ้ มูลชดุ เดยี ว ไมส่ ามารถนามา เปรยี บเทยี บได้ 2.การวัดการกระจายแบบสัมพทั ธ์ คือการวดั การกระจายของขอ้ มูลแต่ชดุ เพอื่ นาเอาค่าทไ่ี ดไ้ ปใช้ เปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูลกับขอ้ มูลชุดอน่ื การวดั การกระจายแบบสัมบรู ณ์ การวดั การกระจายแบบสัมพทั ธ์ 1.พิสยั = คา่ มากสดุ – คา่ นอ้ ยสดุ 2.ส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์ (QD) ค่ามากสดุ – ค่าน้อยสุด = 1.สมั ประสทิ ธ์ิพสิ ยั = 3.สว่ นเบ่ยี งเบนเฉลยี่ (MD) ค่ามากสุด ค่านอ้ ยสุด ขอ้ มลู เดย่ี ว ̅ 2.สัมประสทิ ธิ์สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ ∑ − MD = 3.สัมประสทิ ธ์ิสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ย ขอ้ มูลกลมุ่ ̅ ∑ เม่ือ x คือจดุ กึง่ กลางชนั้ หรอื ̅ 4.สมั ประสิทธิก์ ารแปรผนั MD = ประชากร หรอื กล่มุ ตวั อย่าง ̅ 4.สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน (SD) ข้อมูลเดยี่ ว ประชากร =√∑( ) = √∑ − กล่มุ ตัวอย่าง SD =√∑( ̅) = √∑ ̅

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 154 ขอ้ มลู กล่มุ =√∑ ( ) ประชากร =√∑ − กลุ่มตวั อย่าง SD SD =√∑ ( ̅) = √∑ เรยี กวา่ ความแปรปรวน (Variance) หรอื ใช้ สัญลกั ษณ์ ขอ้ ควรรู้ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานประมาณ จากกฎ 95% โดยพจิ ารณาขอ้ มูลโดยพจิ ารณาจากพสิ ยั ถา้ ประมาณ 95% ของขอ้ มูลท้งั หมดอยใู่ นช่วง (̅ – 2s, ̅ + 2s) แลว้ มคี ่าประมาณ 4 เทา่ ของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน คอื คา่ พสิ ยั 4 สมบัติของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1.สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานมีคา่ เป็นบวกเสมอ ในกรณีทส่ี ว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานมคี ่าเป็น 0 แสดงวา่ ขอ้ มูลชุดนั้น ในแตล่ ะค่าไม่แตกต่างจากค่าเฉลยี่ เลขคณติ 2.ส่วนเบย่ี งเบนเป็นการวัดการกระจายทใ่ี หค้ ่าลกั ษณะข้อมูลได้ละเอียดและดีที่สดุ และเปน็ การวดั การกระจายที่ใช้กันมากท่ีสดุ 3.ถ้านาคา่ คงตวั (k) ไปบวกหรอื ลบขอ้ มูลทกุ ค่าในข้อมูล ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานจะมคี า่ เท่ากับ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดเดิม 4.ถา้ นาค่าคงตวั (k) ไปคณู ทุกค่าในข้อมูล สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานจะมคี า่ เท่ากับ Sใหม่ = | k | Sเดมิ

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 155 แผนภาพกล่อง (Box – plot) โดยแตล่ ะส่วนจะมีจานวนประชากรรอ้ ยละ 25 ของประชากรทง้ั หมด ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถ่ี คา่ กลางและการกระจายของขอ้ มูล จากภาพเปน็ การแจกแจงในรูปของโคง้ ปกติ โค้งเบข้ วา โค้งเบ้ซา้ ย

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 156 คา่ มาตรฐาน (standard value :Z) = ̅ = ̅ หรือ คุณสมบัตขิ องคา่ มาตรฐาน 1. ∑ = 0 เสมอ ของกลุม่ ตัวอย่างจะเปน็ N – 1 2. ค่าเฉลยเลขคณิตของ z มีคา่ เปน็ 0 เสมอ 3. ส่วนเบีย่ งเบนของ z คอื 1 เสมอ 4. ∑ ของขอ้ มูลประชากรจะเปน็ N แต่ ∑ พ้นื ท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติ 68.27% 95.45% 99.73% Z เส้นโค้งแจกแจงปกติจะมลี กั ษณะสมมาตร คอื พ้นื ทที่ างดา้ นซ้ายของ คา่ เฉล่ยี เลขคณิต กบั พ้ืนที่ ทางขวาของคา่ เฉลย่ี เลขคณติ เท่ากนั คือ 50% ของพืน้ ที่ทงั้ หมด

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 157 พ้ืนท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติ ค่า z 0 ถึง 1 มีค่าประมาณ 0.3413 ค่า z 0 ถึง 2 มคี ่าประมาณ 0.4772 คา่ z 0 ถึง 3 มคี ่าประมาณ 0.4987 ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั แบ่งออกเป็น 3 ประเภท คือแบบ เสน้ ตรง พาราโบลา และ เอกซ์โพเนนเซียล ปกติข้อสอบ Ent จะออกแบบเส้นตรงเป็นหลกั 1.ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั แบบเสน้ ตรง มีสมการเป็น ̂ = ax +b (ทานายค่า y) จากสมการปกติ คอื ∑ = ∑ N ––––– (1) ∑ =∑ ∑ – (2) ทีม่ าของสมการปกติ (1) เกดิ จากสมการทานาย y = ax + b คณู ด้วยซิกมา (∑) ∑ y = ∑ (ax + b) ∑y=a∑x+∑b ∑ y = a ∑ x + N(b) จากสมบตั ิของซิกมาค่าคงท่ี ท่ีมาของสมการปกติ (2) เกดิ จากสมการทานาย y = ax + b คูณดว้ ยซิกมา (∑ x) ∑ xy = ∑ (ax + b) ∑ xy = a ∑ x2 + b ∑ x สมการทานายค่า x คอื ̂= ay+b (ทานายคา่ x) ข้อแนะนา สมการทานาย y และสมการทานาย x จะตัดกันท่จี ดุ ( ̅) ถ้าโจทยก์ าหนด ̂ มา แลว้ กาหนดใหห้ าค่า x ตอบหาค่าไมไ่ ด้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 158 2.ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั แบบพาราโบลา มีสมการเปน็ ̂ = โดยที่ a ไม่เท่ากบั 0 จากสมการปกติ คือ ∑ = ∑ ∑ N ––––––––––––– (1) ∑ = ∑ ∑ ∑ –––––– (2) ∑ = ∑ ∑ ∑ ––– (3) ทีม่ าของสมการปกติ (1) เกดิ จากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คูณด้วยซกิ มา (∑) ∑ y = ∑ (ax2 + bx + c) ∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + ∑ c ∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + Nc จากสมบตั ิของซกิ มาค่าคงที่ ทีม่ าของสมการปกติ (2) เกดิ จากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คูณดว้ ยซกิ มา (∑ x) ∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c) ∑ xy = a ∑ x3 + b ∑ x2 + c ∑ x ทม่ี าของสมการปกติ (2) เกดิ จากสมการทานาย y = ax2 + bx + c คณู ดว้ ยซกิ มา (∑ x2) ∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c) ∑ xy = a ∑ x4 + b ∑ x3 + c ∑ x2 3.ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟังก์ชนั แบบเอกซโ์ พเนนเซยี ล มีสมการเปน็ y=abx หรือ log ̂ = log a + log b จากสมการปกติ คือ ∑ log = (log ) ∑ N log ∑ log = (log ) ∑ (log )∑ ทม่ี าของสมการปกติ (1) เกดิ จากสมการทานาย log y = log a + log b คณู ดว้ ยซิกมา (∑) ∑ log y = ∑ (log a + log b) ∑ log y = log a ∑ x + ∑ log b ∑ Log y = log a ∑ x + N(log b) จากสมบตั ขิ องซิกมาค่าคงท่ี ที่มาของสมการปกติ (2) เกิดจากสมการทานาย y = ax + b คูณด้วยซกิ มา (∑ x) ∑ xy = ∑ (log a + log b) ∑ xlog y = log a ∑ x2 + log b ∑ x x เป็นตัวแปรอิสระหรือตัวแปรต้น y เป็นตัวแปรตาม a,b,c, m เปน็ ค่าคงท่ี

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 159 ตวั อย่างท่ี 1 ถ้าสมการแสดงถงึ ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั ระหว่างตน้ ทุนกบั จานวนสินค้าที่ผลติ คอื y = 2x + 5 โดยที่ x คอื จานวนสินคา้ มีหนว่ ยเปน็ รอ้ ยช้ิน y คอื ต้นทุนมีหนว่ ยเปน็ พันบาท จง พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก.ถ้าต้นทุนเทา่ กบั 7,000 บาทคาดว่าผลติ สินค้าได้ 100 ช้ิน ข.ถา้ ผลติ สนิ ค้าเพม่ิ 200 ชนิ้ จะตน้ ทนุ จานวน 4,000 บาท ขอ้ ใดถูกตอ้ ง 1.ขอ้ ก ถูกเท่าน้ัน 2. ถกู ทั้งสองข้อ 3. ข้อ ข ถกู เทา่ นัน้ 4. ผิดทั้งสอง 2 ขอ้ วิธที า พจิ ารณาข้อ ก จากสมการทีโ่ จทย์กาหนดใหเ้ ป็นสมการทานายตน้ ทุนโดยใชจ้ านวนสิน้าที่ ผลติ เปน็ ตัวแปรหลัก ดงั นั้นข้อนี้จึงผิดเพราะเราตอ้ งสร้างสมการหาค่า x พจิ ารณาข้อ ข เมอื่ x = 200 y = 2(200) + 5 y = 405 ขอ้ ข จึงผดิ ดังนัน้ ข้อนจ้ี งึ ตอบ ขอ้ 4 ผิดทง้ั 2 ขอ้ ตวั อย่างที่ 2 จงพจิ าณาขอ้ ความต่อไปน้ี สมการทานาย y = 0.5(x)2 + 1000x − 3000 ก.สมการเชงิ สัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันเปน็ สมการพาราโบลา ข.สมการดงั กล่าวเม่อื x = 10 จะมคี า่ y เปน็ จานวนเต็มลบ 32 เท่าของผลคณู ของคาตอบ สมการ 3x3 + 6x2 − 12x − 24 =0 และ √1024 ค.สมการดังกล่าวเมือ่ ค่า x = 5 ค่า y จะมคี า่ เทา่ กบั 2012.5 1.ถูกขอ้ ก และ ข 2.ถกู ข้อ ก และ ค 3.ถูกทงั้ 3 ขอ้ 4.มีขอ้ ถกู เพียง 1 ขอ้ วิธที าพิจารณา ข้อ ก ถกู ต้องเพราะเปน็ สมการทมี่ ีกาลงั เป็นกาลัง 2 ตามรูปแบบของสมการแบบ พาราโบลา ข้อ ข พจิ ารณาสมการทานายเมอื่ x = 10 y = 0.5(10)2 +1000(10) – 3000 = 50 + 10000 – 3000 = 7050

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 160 พิจารณาสมการ 3x3 + 6x2  12x  24 =0 x2(3x + 6) − 4(3x + 6) =0 =0 (x2 − 4)(3x + 6) (x − 2)(x + 2)(3x + 6) = 0 x = 2, −2 ผลคณู คาตอบของสมการ คือ –4 จานวนเต็มลบ 32 เท่าของผลคูณคาตอบของสมการและ √1024 คือ 32 x – 4 x √1024 = −128 x 32 = −4096 ดังนน้ั ขอ้ ข จึงผิด ขอ้ ค พิจารณาสมการทานายเมื่อ x = 5 y = 0.5(5)2 +1000(5) – 3000 = 12.5 + 5000 – 3000 = 2012.5 ดังน้ันขอ้ ค จึงถูก ดังนนั้ ข้อน้ีตอบข้อ 2 ถกู ข้อ ก และ ค

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 161 บทที่ 14 ลาดับอนกุ รม ลาดบั ลาดบั จากัด อนุกรมเลขคณิต ลาดับเลขคณิต อนุกรมเรขาคณติ ลาดับเรขาคณติ ลาดบั ผสม อนุกรมจากัด อนกุ รมผสม อนกุ รมเศษสว่ นยอ่ ย ลาดบั อนันต์ ลาดบั เลขคณิต อนุกรมอนันต์ อนุกรมเรขาคณติ อนันต์ ลาดบั เรขาคณติ อนกุ รมผสมเรขาคณิตอนันต์ ลาดับผสม อนุกรมเศษส่วนยอ่ ยอนันต์ อนกุ รม ประเภทอนุกรม อนกุ รมเลขคณติ อนุกรมเรขาคณติ อนกุ รมผสมเรขาคณติ อนุกรมเศษสว่ นย่อย

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 162 ลาดับ (Sequence) คอื เซตของจานวนที่เรยี งตัวอย่างเปน็ ระบบระเบยี บ ภายใต้เง่ือนไข สมาชกิ แต่ละตัวจะเรยี กวา่ พจน์ (Term) ลาดับท่ัวไปแบ่งได้เป็น Ex 1.ลาดบั จากดั (finite sequence) 1. 2, 4, 6, 8, 10, … ,100 2.ลาดับอนนั ต์ (infinite sequence) 2. sin 30 + sin 60 + sin 90 + … จากรปู ข้างตน้ พบวา่ ลาดับรูปจานวนจดุ มีความสัมพนั ธด์ ังน้ี รูปที่ 1 2 3 4 5 จานวนจดุ 1 3 6 10 15 จากตารางดงั กล่าว แสดงใหเ้ ห็นความสมั พันธข์ องลาดบั ของรปู และจานวนจุด โดยมี ความสัมพนั ธท์ ่ีเปน็ ฟงั ก์ชันโดยจานวนรูปที่เปน็ โดเมน {1, 2, 3, 4, 5}และมจี านวนจดุ เป็นเรนจ์ {1, 3, 6, 10, 15} ของฟังก์ชนั นิยาม ฟงั กช์ นั ทมี่ ีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวกหรือสับเซตของจานวนเตม็ บวกในรปู {1, 2, 3, 4, … , n} ลาดับท่ี 1 2 3 4 5 ... n … จานวน 1 3 5 7 9 … 2n – 1 ... จากตารางแสดงให้เราเห็นถงึ ความสมั พนั ธโ์ ดยลาดบั เป็นโดเมน และมเี รนจ์ซง่ึ มคี วาม เกยี่ วขอ้ งกับโดเมน เชน่ ลาดับที่ 5 (โดเมนคือ 5 ซ่ึงเรนจม์ ีความสัมพันธก์ ับโดเมนคือ 2n – 1) จานวนซึง่ มีความสัมพันธก์ ับลาดับคือ 2(5) – 1 = 9

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 163 ในการเขียนลาดับ จะเขียนเฉพาะสมาชกิ ของเรนจเ์ รยี งกนั ไปตามกล่าวคือถ้าa เป็นลาดบั จากดั จะเขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3, … , an ในกรณีท่เี ป็นลาดบั อนันต์ a1, a2, a3, … , an , ... เรยี ก a1 ว่า พจน์ท่ี 1 ของลาดับ a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลาดับ a3 ว่า พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั an วา่ พจน์ที่ n ของลาดับ หรอื พจนท์ ว่ั ไป ตัวอยา่ งของลาดบั 1) 7, 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เป็นลาดบั จากดั ซึ่งมคี ่าเพม่ิ ขนึ้ คงท่ี เพ่มิ ขนึ้ ครัง้ ละ 7 2) 3, 6 , 12 , 24 , … เป็นลาดับอนันต์ มคี า่ เพมิ่ ขนึ้ คงที่ เพิ่มข้ึนเป็น 2เทา่ * ของพจนห์ น้า 3) an = 2n + 3 เป็นลาดบั อนันต์ มีคา่ เพม่ิ ขึน้ คงท่ี เพ่มิ ข้ึนเป็น 2เทา่ ของพจน์หน้า 4) an = (n+1)2 เป็นลาดบั อนันต์ ซึ่งค่าผลต่างครงั้ ท่ี 2เพ่มิ ขึ้นคงท่ี * 2 เป็นอัตราส่วนร่วม ซง่ึ คือ อตั ราส่วนระหว่างพจน์ที่ n +1 กับ พจนท์ ี่ n มคี ่าคงตัว

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 164 การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ (an) ในการหาพจน์ทวั่ ไปของลาดับ ถ้าระหวา่ งพจน์มีผลตา่ งเป็นจานวนคงตวั (1 ครัง้ ) รปู แบบพจนท์ ว่ั ไป คือ an = an+b ; a,b R ตัวอยา่ ง จงพิจารณาลาดบั ตอ่ ไปนแ้ี ล้วหาพจนท์ ั่วไป 1, 3, 5, 7, … วิธที า แทนค่า n ถา้ n = 1 แลว้ a(1)+b = 1 ––––––– (1) แทนคา่ n ถา้ n = 2 แลว้ a(2)+b = 3 ––––––– (2) (2) – (1) a=2 แทน a ใน (1) 2+b =1 b = –1 ดังนน้ั พจน์ทัว่ ไป an = 2n – 1 ในการหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับ ถ้าระหว่างพจน์มีอัตราสว่ นร่วม(r)เปน็ จานวนคงตัว (1 ครั้ง) รปู แบบพจนท์ วั่ ไป คือ an = arn+b ; a,b R ตวั อย่าง จงพิจารณาลาดับตอ่ ไปน้แี ล้วหาพจน์ทวั่ ไป 4,8,16,32, … พจิ ารณาจากข้อมูลทาใหเ้ ราทราบว่าลาดับตอ่ ไปน้ีมี อตั ราสว่ นร่วมเปน็ 2 วธิ ีทา แทนค่า n ถา้ n = 1 แลว้ a(2)1+b = 4 ––––––– (1) แทนคา่ n ถ้า n = 2 แลว้ a(2)2+b = 8 ––––––– (2) (2) – (1) 2a = 4 ดังนน้ั a = 2 แทน a ใน (1) 2(2)1+b = 4 b=0 ดังนน้ั พจน์ท่ัวไป an = 2(2)n หรือ 2n+1 ในการหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ ถา้ ระหวา่ งพจน์มีผลต่างเปน็ จานวนคงในการหาครั้งท่ี 2 รูปแบบพจนท์ ่วั ไป คอื an = an2+bn+c ; a,b,c R

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 165 ตวั อย่าง จงพิจารณาลาดบั ต่อไปนีแ้ ล้วหาพจนท์ วั่ ไป 5, 18, 35, 81, … วิธีทา แทนค่า n ถา้ n = 1 แล้ว a(1)2+b(1)+c = 5 ––––––– (1) แทนคา่ n ถา้ n = 2 แลว้ a(2)2+b(2)+c = 18 ––––––– (2) แทนค่า n ถ้า n = 3 แลว้ a(3)2+b(3)+c = 35 ––––––– (3) (2) – (1) 3a+b = 13 ––––––– (4) (3) – (2) 5a+b = 17 ––––––– (5) (5) – (4) 2a = 4 a=2 แทนคา่ a ใน (4) b=7 แทนคา่ a และ b ใน (1) 2(1) + 7 + c = 5 c = –4 ดังนัน้ พจน์ท่ัวไป an = 2n2+7n – 4 ในการหาพจนท์ ั่วไปลาดบั ซงึ่ มอี ัตราส่วนร่วม (อตั ราสว่ นระหวา่ งพจน์ที่ n +1 กับ พจน์ที่ n) คงที่ ตัวอย่าง จงพิจารณาลาดับตอ่ ไปนแี้ ลว้ หาพจนท์ ่วั ไป 2, 4, 8, 16, … พิจารณาความสัมพนั ธข์ องพจนใ์ นลาดบั จะเห็นวา่ พจน์ที่ 1 2 พจนท์ ่ี 2 4 = 2 x 2 = 22 พจน์ท่ี 3 8 = 4 x 2 = 23 พจนท์ ่ี 4 16 = 8 x 2 = 24 พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ 5 พจนแ์ รก จะได้ พจน์ที่ n คือ 2n พจนท์ ่วั ไปของลาดบั ตอ่ ไปน้คี อื 2n

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 166 ประเภทของลาดบั Ex จงหาพจนท์ ี่ 10 1.ลาดับเลขคณติ (arithmetic sequence) 1.1, 3, 5, … เป็นลาดบั เลขคณติ d คอื 2 คือลาดับที่มผี ลตา่ งของพจนท์ ีอ่ ยูต่ ดิ กันคงที่ a10 = 1+(10–1)2 จะได้ 19 an = a1 + (n – 1)d d คือผลตา่ งร่วม 2. 1, 4, 16, … เปน็ ลาดับเรขาคณติ (common difference) อตั ราสว่ นร่วมคอื 4 a10 = 1(4)10–1 จะได้ 262144 2.ลาดับเรขาคณิต (geometric sequence) คอื ลาดับทอี่ ัตราสว่ นระหว่างพจน์ท่ตี ดิ กนั กับพจน์ ข้างหนา้ มคี า่ คงที่ an=a1rn–1 r คอื อตั ราตา่ งร่วม(ratio) ชนิดของลาดับ Ex 1.ลาดบั คอนเวอรเ์ จนต์หรอื ลาดบั ลเู่ ข้า 1. l 6������ 17������ − 1 (Convergent sequence) คือลาดบั ทหี่ า 2������ − 1 n ได้ l n ไดแ้ ก่ 1.ลาดบั เลขคณิตท่ี ผลต่างร่วม(d) มคี ่าเป็น 0 ใหใ้ ช้ตวั ดกี รมี ากท่ีสดุ หารท้งั เศษและส่วน ดว้ ย 2.ลาดบั เราขาคณิตทอี่ ตั ราส่วนร่วม(r)เป็น 1 แลว้ จะไดค้ าตอบเป็น หรอื 3 3.ลาดับเรขาคณิตท่ี | r | < 1 จงึ เปน็ ลาดบั คอนเวอร์เจนต์ 4.ลาดับใดๆ ที่สามารถหาคา่ l ได้ 6������ 17������ − 1 2������ − 1 n 2.ลาดบั ไดเวอรเ์ จนต์หรือลาดับลู่ออก (divergent 2. l n sequence) คือลาดบั ท่ีหา เราไมส่ ามารถหาค่าของ ลมิ ติ ได้ เพราะไมส่ ามารถ ใชต้ ัวดีกรมี ากท่สี ุดหารทัง้ เศษและสว่ นได้ l ไม่ได้ได้แก่ จึงเป็นลาดับไดเวอร์เจนต์ n 1.ลาดับเลขคณติ ทผี่ ลตา่ งร่วม(d) มีคา่ ไม่เป็น 0 3.ลาดบั เรขาคณติ ที่ | r | 1 4.ลาดบั ใดๆ ทส่ี ามารถหาค่า l ไมไ่ ด้ n คณุ สมบตั ิของ l n 1. l c โดยท่ี c เปน็ ค่าคงท่ี แล้ว l c=c n n 2. l can = c l an n n 3. l (an+ bn) =nl an + l bn n n 4. l (an – bn) =nl an – l bn n n 5. l (an bn) =nl an l bn bn ≠ 0 n l n 6. l ( )= l และ l n n

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 167 ตัวอย่างท่ี 1 พจน์แรกท่เี ปน็ จานวนเตม็ ลบของลาดบั เลขคณิต 200, 182, 164, 146, ... มคี ่าตา่ ง จากพจนท์ ่ี 10 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (Ent) 1. 54 2.38 3.22 4.20 วธิ ที า ลาดบั เลขคณิตชุดนมี้ ี – 18 เปน็ ผลตา่ งร่วม ใช้สตู ร an = a1 + (n – 1)d หาพจน์ที่ 10 a10 = 200 + (9)(–18) = 200 – 163 = 38 พจิ ารณาพจน์แรกทีเ่ ป็นจานวนเต็มลบ 38, 20, 2, –16 38 – (–16) = 54 ตอบ ขอ้ 1 ตวั อย่างท่ี 2 ถ้าผลคูณของลาดับเรขาคณิต 3 จานวนที่เรียงตดิ กนั เท่ากับ 343และผลบวกของทั้ง สามจานวนเทา่ กบั 57 แล้วค่ามากท่สี ุดในบรรดา 3 จานวนน้เี ท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 53) วิธีทา (a1r–1)(a1)(a1r) = 343 a13 = 343 a1 = 7 เมื่อเรานาคา่ ทไี่ ด้มาเขียนใหม่ a1 + a2 + a3 = 57 a1 + 7 + a3 = 57 7r–1 + 7r = 50 นา r คณู ตลอด 7 + 7r2 = 50r 7r2 – 50r +7 = 0 (7r – 1)(r – 7) =0 r = 7, เราสามารถเขยี นลาดบั ได้ดังนี้ 1,7,49 หรือ 49,7,1 ดงั น้นั คา่ มากท่ีสุดคอื 49

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 168 ตัวอย่างท่ี 3 จงหาค่าต่อไปนี้nl วิธที า ใหน้ า n กาลังดกี รีสูงสุดหารทง้ั เศษและส่วน l ( ) l ( ) ( ) ) จะได้ n = n ( 00 l ( ) ) = n ( 00 = ตอบ ตวั อย่างท่ี 4 จงหาค่าตอ่ ไปนี้nl (Ent) วิธีทา ให้จดั รปู ของลมิ ิต จะได้ l n แลว้ นา ฐานที่มากทส่ี ดุ หารทงั้ เศษและส่วน () จะได้ l ( )= n ตอบ 25 = 25 ( )( in ) ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าตอ่ ไปน้ี l n วธิ ที า พิจารณาจากลิมติ พบว่าตวั สว่ นมกี ารเพมิ่ ขน้ึ เร็วกว่าตัวเศษเพราะฉะนั้นแลว้ ลมิ ิตจะมีค่า เขา้ ใกลศ้ นู ย์ พิจารณาฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ เปน็ ฟังกช์ ันที่เพ่มิ ชา้ มากซงึ่ คูณกับฟังก์ชันไซนซ์ ่ึงมีคา่ อยู่ ระหวา่ ง –1 ถงึ 1 จงึ ทาให้ตวั เศษมคี า่ นอ้ ยมาก ตอบ 0 ขอ้ ควรรู้ อตั ราการเพมิ่ ข้ึน แฟกทอเรียล > ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเซยี ล > พหนุ าม > ฟังก์ชนั ลอการริทึม

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 169 อนกุ รม (Series) เปน็ พจน์ของลาดับทเี่ ขยี นต่อเนอื่ งในรปู ผลบวก Sn อนุรมที่มีต้นกาเนิดจากลาดับจากัด จะเป็นอนุกรมจากัด อนุกรมทมี่ ีตน้ กาเนดิ จากลาดับอนันต์จะ เป็นอนกุ รมอนนต์ ตวั อย่างท่ี 6 จงหาค่าผลบวกของลาดับตอ่ ไปน้ี 1 + 2 + 4 + 8 +... + a7 วิธีทา ให้หารูปพจนท์ ่วั ไป จากลาดับเป็นลาดับเรขาคณิตมีอัตราสว่ นรว่ มเปน็ 2 จะได้พจนท์ ่วั ไปคือ a1(r)n–1 หรอื กค็ อื 1(2)6 เราสามารถเขยี นแจกแจงสมาชิกไดค้ อื 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรม เมอ่ื มจี านวนพจนม์ ากจะทาให้เขยี นได้ลาบาก ดงั น้นั นักคณิตศาสตรจ์ ึงกาหนดตวั อักษรกรีก ∑ เรยี กว่าซิกมาเป็นสญั ลักษณ์แทนการบวก หรืออาจ กลา่ วว่า a1 + a2 + a3 + … + an สามารถเขียนแทนดว้ ย n อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i มีคา่ ต้ังแต่ 1 ถงึ n = ตวั อยา่ งการใช้สญั ลกั ษณ์แทนการบวก 1. แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52 2 = 3 (2 1) แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) = ซึง่ มคี ่าเท่ากับ 3 + 5 + 7 4 (2 1) แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) + (8+1) + … =

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 170 ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรม (2 5) = วธิ ีทา ให้ Sn = n n= (2 5) i= n 20 25) = (4 i= n 20 25) =4 = = i= 20 25( )) n 1)5 20 ( ( 2 1)) = =4 1)( i= 6 = 4 4 (2 25 n = 4 420(2(20) 1)(20 1)5 20 (20(202 1)) 25(20) 6 = 4 42(416)(21)5 20 (20(221)) 500 = 11480 4200 500 = 16180 นน้ั คือผลบวก 20 พจน์แรกของอนกุ รมตอ่ ไปน้ี เทา่ กับ 16,180 อนกุ รมท่สี าคญั ข้อควรระวัง 1. ∑ ( ) = = 1+2+3+…+n = เปน็ อนกุ รมทเ่ี รม่ิ ตน้ จาก –1 บวกไปถึงพจนท์ ่ี n 2. ∑ 2 = 1+22+32+…+n2 = ( )( ) 3. ∑ 03 = 1+23+33+…+n3 = ( )1

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 171 คณุ สมบัติของ ∑ 1. = ( ) = 2. nn f( ) = f( ) i= i= nn n 3. ,f( ) g( )- = f( ) g( ) i= i= i= อนกุ รมเลขคณิต คือผลบวกของลาดับเลขคณติ Ex จงหา Sn ของ 1 + 3 + 5 +... +(2n–1) Sn = (a1 + an) = (2a1 – (n–1)d) Sn = [1+(2n–1)] = [2n] = n2 อนกุ รมเรขาคณิต คือผลบวกของลาดบั เรขาคณติ Ex จงหา Sn ของ 2 + 6 + 18 + ... () ( ) เม่ือ r < 1 Sn = Sn = ( ) ( ) = เมอื่ r > 1 = = 2(3n–1) อนกุ รมอนนั ต์ [Infinite Series] คอื ผลบวกของพจน์ทุกพจนใ์ นอนกุ รมอนนั ต์ หรอื เรยี กวา่ ลมิ ติ ของผลบวกย่อยตวั ท่ี n เมอ่ื n เข้าส่คู า่ อนันต์ S∞ = l n = ������������ ������ ������= อนกุ รมคอนเวอร์เจอร์เจนต์ คอื อนุกรมที่ S∞ หาค่าได้ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์ คอื อนกุ รมที่ S∞ หาค่าไม่ได้ ขอ้ ย้าเตอื น อนุกรมอนันต์ ไม่สามารถ หา S∞ เพราะเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 172 อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ S∞ = และ | r | < 1 ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี S∞ = 8 + 4 + 2 + 1 + + … วิธที า a1 = 8 r= = =4 ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาผลบวก 8 พจน์ ของอนุกรม 6 + 6.5 +7.25 + 8.125 + ... วธิ ีทา จากอนุกรมทโ่ี จทยก์ าหนดให้เปน็ อนุกรมผสมเรขาคณติ ซึ่งผสมกบั อนุกรมเลข คณิต ซ่งึ เราสามารถแยกไดเ้ ปน็ อนุกรม 2 ชุด อนุกรมชดุ ที่ 1 5 + 6 + 7 + 8+... +12 เป็นอนกุ รมเลขคณิต S8 = [5+12] = 68 อนกุ รมชุดท่ี 2 1 + 0.5 + 0.25 +0.125 + ... เปน็ อนุกรมเรขาคณิต [ ./] S8 = 01 = = นาอนุกรมทงั้ 2 ชดุ มาบวกกันจะได้ 69

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 173 บทที่ 15 แคลคลู ัสพืน้ ฐาน ลิมติ (lim) และความต่อเน่อื ง อตั ราการเปลี่ยนเฉลย่ี อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั (อตั ราการเปลีย่ นขณะใดๆ ) อตั ราการเปล่ียนขณะใดๆ เมอื่ y เทียบ x ความชนั เส้นโค้ง คา่ สงู สดุ ค่าตา่ สดุ ประยกุ ตอ์ นพุ ันธ์ ปฏิยานุพันธ์ของฟังกช์ ัน ปรพิ นั ธ์ไม่จากัดเขต ปริพนั ธ์จากัดเขต พน้ื ทใี่ ตก้ ราฟ

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 174 แคลคลู ัส (Calculus) เป็นสาขาหน่ึงของคณิตศาสตร์ซึ่งพฒั นามาจากพีชคณิต เรขาคณติ แคลคูลัสมีตน้ กาเนดิ จากสองแนวคดิ หลกั ดังน้ี แนวคดิ แรกคือ แคลคลู ัสเชงิ อนุพันธ์ (Differential Calculus) เปน็ ทฤษฎีทว่ี ่าดว้ ยอัตรา การเปลี่ยนแปลง และเก่ียวข้องกบั การหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ันทางคณติ ศาสตร์ ตวั อยา่ งเช่น การ หา ความเรว็ , ความเรง่ หรอื ความชันของเสน้ โคง้ บนจดุ ทก่ี าหนดให.้ ทฤษฎขี องอนพุ ันธ์หลาย สว่ นไดแ้ รงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์ แนวคดิ ทีส่ องคอื แคลคูลสั เชิงปรพิ นั ธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎที ่ไี ด้แรงบนั ดาลใจ จากการคานวณหาพ้นื ทห่ี รือปริมาตรของรปู ทรงทางเรขาคณติ ตา่ ง ๆ ทฤษฎีนใี้ ชก้ ราฟของฟงั กช์ ัน แทนรปู ทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปรพิ ันธ์ (หรืออินทิเกรต) เปน็ หลักในการคานวณหาพื้นที่ และปรมิ าตร (ท่ีมา วกิ ิพีเดยี ) การศกึ ษาลิมิตในบทเรื่องแคลคลู ัส เปน็ การศกึ ษาค่าเขา้ ใกล้ ไมใ่ ชค่ ่านน้ั โดยตรง ตวั อยา่ งที่ 1 จงแสดงค่า f(x) = 2x เมือ่ x เข้าใกล้ 2 แต่ x ≠ 2 x f(x) x f(x) 1.0 3 1.5 2 2.5 6 1.8 3 2.1 5 1.9 3.6 2.05 4.2 1.99 3.8 2.01 4.1 1.999 3.98 2.001 4.02 3.998 4.002 จากตารางเมือ่ x เข้าใกล้ 2 f(x) จะมคี ่าเขา้ ใกล้ 4

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 175 ลิมิต คือค่าเข้าใกลค้ ่าคงตัวจานวนหน่ึง 2 f( ) l f( ) (ลมิ ติ ทางขวาของ a ) คอื ลิมิตของ 1 ฟังก์ชนั เม่อื x มีคา่ เข้าใกล้ a ทางขวา (x > a) l f( ) (ลมิ ติ ทางซา้ ยของ a ) คือ ลมิ ิตของ l f( ) = 2 ฟังกช์ นั เม่ือ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา (x < a) l f( ) = 1 a– a a+ ดังน้นั เราไมส่ ามารถหาค่า l l f( ) จะหาได้ก็ต่อเมื่อ l f( ) = l f( ) ลิมิตทางซา้ ย ตอ้ งเทา่ กบั ลิมติ ทางขวา ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ นั (Continuity of function) ฟงั กช์ นั จะต่อเน่อื งกต็ ่อเมอ่ื l f( ) = l f( ) = f(x) ซึ่งสามารถตรวจสอบได้จากการวาดกราฟ แล้วพิจาณาลิมติ ดา้ นซ้าย ด้านขวาและคา่ ของฟงั ก์ชัน ฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนช่วง (a,b) เม่ือเป็นฟงั ก์ชันตอ่ เน่ืองท่ีทุกๆจุดในชว่ ง (a,b) ฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งบนชว่ ง [a,b] เมอ่ื เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื งท่ีทุกๆจุดในชว่ ง [a,b] และลิมิตทางขวา ของ a = f(a) และลิมติ ทางซ้ายของ b = f(b) จงพิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองหรอื ไม่ −3 1 f(x) { −2 = 1 1 วธิ ีทา หา l f( ) 1 – 3 = –2 หา l f( ) = = –2 หา f(1) –2(1) = –2 ฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้เี ป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื ง

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 176 ตวั อย่างที่ 2 จงตอบคาหาค่าตอ่ ไปนโี้ ดยพจิ ารณาจากกราฟ f(x) 1) l f( ) 2) l f( ) 3) l f( ) 4) f(1) 5) ฟงั กช์ ันต่อเน่ืองหรือไม่ วิธีทา 1) เมอ่ื ค่า x เขา้ ใกล้ 1ทางดา้ นซา้ ย (x < 1) จะได้ว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 2 ดังนัน้ l f( ) = 2 2) เม่ือค่า x เข้าใกล้ 1ทางด้านขวา (x > 1) จะได้ว่าคา่ ของ f(x) เข้าใกล้ 2 ดังนน้ั l f( ) = 4 3) เนอ่ื งจาก l f( ) l f( ) ดังน้ัน l f( ) จงึ หาค่าไม่ได้ 4) f(1) = 4 5) ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีไม่ตอ่ เนื่องท่ี x = 1 เพราะ l f( ) l f( ) ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมติ 1. l โดยท่ี c เป็นค่าคงที่ แล้ว l c=c n n 2. l can = c l an n n 3. l (an+ bn) =nl an +nl bn n 4. l (an – bn) =nl an – l bn n n 5. l (an bn) =nl an l bn i n n ( )= i 6. l และ l bn ≠ 0 n n 7. l (f(x))n = [l f(x)]n nn

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 177 หลักการแก้ปัญหาเร่อื งลิมิต เรานยิ มแทนค่า x ลงไป ซึง่ ทาใหเ้ กิดกรณีตอ่ ไปนี้ 1.ถา้ x เป็นจานวนจริง เราจะได้คาตอบ 2.ถ้าแทนแลว้ ได้ เม่อื c ไม่เป็น 0 เราจะหาค่าไม่ได้ 3.ถา้ แทนคา่ แล้วได้ หรอื ใหจ้ ดั รูป หรอื หาอนุพันธ์ตามกฎของโลปิตาล ตัวอย่างที่ 3 จงหาลิมิตข้อต่อไปนี้ 3) l 2 − 33 ให้เราแทนเลขลงไปจะได้ เป็น − 3 จะไดค้ าตอบคือ –1 ใหเ้ ราตอบว่า ลิมติ ดังกล่าวมี ค่าเข้าใกล้ –1 แตค่ าตอบไม่เท่ากบั –1 เปน็ เพยี งค่าเข้าใกล้ แต่เนือ่ งจากค่าเข้าใกลม้ ีจานวนมากมายเปน็ เซตอนนั ต์ เขาจึงกาหนดวา่ เมือ่ ไดค้ าตอบตัวใดออกมา ให้ตอบตัวน้นั เลย คือ –1 4) l 2 3 เมือ่ เรานา 2 ลงไปแทนจะทาเกิดเหตุการณท์ เ่ี ปน็ เราจึงตอ้ งจดั รูปเปน็ l 2( )( ) )3 = l 2( )3 ( = l *−( 2)+ เมื่อนา 2 ไปแทนแล้วจะได้ ลมิ ิตเขา้ ใกล้ –4 ลิมติ ตอ่ เนอื่ งก็ต่อเมื่อ l f( ) = l f( ) = f(x) และทงั้ 3 ตัวตอ้ งหาคา่ ได้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 178 กฎของโลปติ าล(L'Hôpital's rule) ทฤษฎีบท ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ท่หี าอนุพนั ธ์ไดบ้ นชว่ งเปิดท่มี ี a อยู่ โดยที่ g (x) ไม่ เทา่ กบั ศูนย์ ทุกค่า x ยกเว้นท่ี x = a ถ้า l f( )= 0 และ l g( ) = 0 แลว้ l () = l () () () ทฤษฎบี ท ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธไ์ ด้ บนชว่ งเปิดท่มี ี a อยู่ ถ้า l f( )= ∞ และ l g( ) = ∞ แลว้ l () = l () () () ตวั อย่างท่ี 4 10 4.1) กาหนดให้ f( ) = {6 − 5 0 34 4 จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้วี า่ ข้อใดถูกต้อง ก. l f( ) = 12 ข. l f( 2) = 13 วิธีทาพิจารณา ข l f( 2) = l f(3) = 6x – 5 ก ตรวจสอบลิมิตทางซ้าย = 6(3) –5 l f( ) = 6x – 5 = 13 = 6(4) – 5 = 19 ตรวจสอบลมิ ติ ทางขวา l f( ) = 3x = 3(4) = 12 l f( ) ≠ l f( ) ดงั นน้ั l f( ) หาไมไ่ ด้ขอ้ ก ผิด ดงั นัน้ ข้อ ข ถกู ตอ้ ง

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 179 4.2) กาหนดให้ a,b,c เปน็ จานวนจรงิ และ f เป็นฟงั ก์ชัน f( ) = − √5 − 1 −1 =1 { 2 −1 1 กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่ x = 1 แล้วจงหาคา่ –2(a + b–1c) วิธีทา พิจารณา √ เม่อื x = 1 จะทาให้สว่ นเปน็ 0 มีเพยี งกรณีเดียวทท่ี าให้สว่ นเปน็ 0 คอื ดังนนั้ a – √5 − = 0 ทจ่ี ุด x = 1 จะไดว้ ่า a – √5 − 1 = 0 ; a = 2 ดงั นั้น b √ 2 −1 = = เมื่อ x = 1 2c(1) = √√ c= =√ เมอ่ื x = 1 () = (√ ) =( √ ) =( √ ) = –2(a + b–1c) = –2[(2) + 4( 5 )] 8 = –2[2 + 5 ] 2 = –4 – 5 = –9 ตอบ –9

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 180 อัตราการเปล่ียนแปลงและอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน ( ) ( ) หรือ ()() อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ f(x) เทยี บ x ในชว่ ง x+h คือ นิยาม ถ้า y = (x) เปน็ ฟังกช์ ันใดๆ เม่อื ค่า x เปลย่ี นเป็น x+h แล้วอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลีย่ ของ y เทยี บ x ในชว่ ง x ถึง x+h Ex กาหนดให้ f(x) = x2+1 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในชว่ ง x = 2 ถึง 4 () () = = =6

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 181 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน (The derivative of a function) ( ) () คืออัตราการเปลีย่ นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มคี า่ ใดๆ คือ l หรือ f (x) นอกจากนเ้ี รายังสามารถเขียน f (x) ในรูปของ อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั คือความชันเส้นโค้งที่ จุด P(x, y) ใดๆ ข้อควรรู้ ขั้นตอนการหาอนุพนั ธเ์ รยี กว่า differentiation (ดฟิ เฟอเรนชเิ อต) สูตรอนุพนั ธ์ จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั f(x) = x2 1. y = c (ค่าคงท่ี) จะได้ y = 0 f =l ( ) () 2. y = x จะได้ y = 1 = l ( ) () 3. y = xn จะได้ y = n(x)n–1 =l 4. y = f g จะได้ y = f (x) g (x) =l ( ) 5. y = cf(x) จะได้ y = cf (x) 6. y = fg(x) จะได้ = 2x y = f(x)g (x) + g(x) f (x) 7. y = จะได้ y = () () () () , ( )- 8. y = (gof)(x) จะได้ y = g (f(x)) f (x)

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 182 ความชันเสน้ โคง้ y = f(x) ท่ีจดุ x0 คอื f (x0) Ex กาหนดให้ y2+3 จงหาความชันที่จดุ x = 1 วิธีทา y = 2y ความชันทีจ่ ุด x = 1 คือ 2(1) = 2 ตัวอย่างท่ี 5 จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้ 1.f(x) = x3 – 3x +7 2.f(x) = 5x7 + 3x4 – logsin0 tan45 3.f(x) = (2x+3)5 วธิ ที า 1. f(x) = x3 – 3x +7 f (x) = 3x2 – 3 2. f(x) = 5x7 + 3x4 – log45 tan45 f (x) = 35x6 + 12x3 (เนอ่ื งจาก log45 tan45 เปน็ คา่ คงท่ซี ึ่งมอี นุพันธ์เป็น 0) 3. f(x) = (2x + 3)5 f (x) = 5(2x + 3)4(2) จงหา (gof)(x) และ (gof)(1) = 10(2x + 3)4 ตัวอยา่ งท่ี 6 ให้ f(x) = x3 – x2+ 2x – 1 , g(x) = f (x) วิธีทา จาก g(x) = f (x) จะได้ f (x) = 3x2 – 2x +2 f (x) = 6x – 2 ดังนัน้ g(x) = 6x – 2 จาก (gof)(x) = g(x3 – x2+ 2x – 1) = 6(x3 – x2+ 2x – 1) – 2 = 6x3 – 6x2 + 12x – 8 (gof)(1) = 6(1)3 – 6(1)2 + 12(1) – 8 = 6 – 6 + 12 – 8 =4

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 183 ระยะทาง ความเรว็ ความเรง่ สมการการเคล่ือนที่ของวัตถุคือ s(t) = f(t) t เปน็ หนว่ ยของเวลาส่วนใหญ่จะเป็นวินาที และ s(t) คอื ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนทไ่ี ด้ โดยอยู่หา่ งจากจดุ เรมิ่ ต้นเมอื่ เวลาผา่ นไป t อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางขณะ t ใด คือs (t) ซงึ่ คือ ความเร็ว อัตราการเปล่ียนแปลงของความเรว็ ขณะ t ใด คอื s (t) ซ่งึ คือ ความเร่ง ตัวอย่างท่ี 7 กาหนดให้ F(x) = f(g(x)) ; g(3) =5 ; g (3) = 7 ; f (3) = –4 ; f (5) = 9 ;F (3) = A; B = A + (A – 2) + (A – 4) + (A – 6) + … + –1 ; C = log2sin30 + 4tan60 sin60 จงหา B – 4AC วิธที า F (x) = f (g(x))(g (x)) F (3) = f (g(3))(g (3)) = (f (5))(7) = (9)(7) = 63 = A พิจารณา B คอื A + (A – 2) + (A – 4) + พจิ ารณา C (A – 6) log2sin30 + 4tan60 sin60 = 63 + 61 + 59 +57 + … –1 = log22–1 + 4√3(√ ) จากลาดบั ดา้ นบนเป็นลาดับเลขคณิต พจน์ n มคี า่ –1 = 63 + (n–1)(–2) = –1 + (2)3 –64 = (n–1)(–2) =5 33 = n C =5 ใชส้ ตู รอนุกรมเลขคณติ Sn = (a1+an) S33 = (63–1) = 1023 B = 1023

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 184 พจิ ารณา B – 4AC = 1023 – (4)(63)(5) = 1023 – 1260 = – 37 ตอบ – 37 การประยุกตอ์ นพุ นั ธ์ ฟงั ก์ชัน เพมิ่ คือฟงั ก์ชนั ทีเ่ มื่อ คา่ x เพิ่มข้ึน แลว้ ทาให้คา่ y เพมิ่ ขน้ึ หาได้จาก เมอ่ื f (x) > 0 ฟังกช์ ันลด คือ ฟังก์ชนั ที่เมื่อคา่ x เพิ่มข้นึ แลว้ ทาให้คา่ y ลดลง หาไดจ้ าก เมอื่ f (x) < 0 คา่ สูงสุดและค่าตา่ สุด 1. การหาอนพุ นั ธ์ระดับหน่ึง หาได้ f (x) = 0 แลว้ หาค่า x1 ที่ทาให้ f (x1) = 0 เมอ่ื หาเสรจ็ แล้วใหพ้ จิ ารณาวา่ f (x1) เปลีย่ นเครอ่ื งหมาย จากค่าบวกเปน็ คา่ ลบ แสดงวา่ เปน็ จุดสูงสุดสมั พัทธ์ f (x1) เปล่ียนเคร่ืองหมาย จากคา่ ลบเป็นคา่ บวก แสดงว่า เปน็ จุดต่าสดุ สมั พัทธ์ 2. การหาอนพุ ันธร์ ะดบั สอง หาได้จากคา่ วกิ ฤตจากสมการ f′(x) = 0 แล้วทดสอบดว้ ย f′′(x) (อนพุ นั ธร์ ะดับ 2) ถ้า f (x) > 0 จะไดค้ ่าตา่ สดุ สมั พัทธ์ ถ้า f (x) < 0 จะได้ค่าสงู สุดสมั พัทธ์ ถ้า f (x) = 0 ให้กลบั ไปใชว้ ธิ ีทหี่ นึ่ง เนอื่ งจาก ไมส่ ามารถใชว้ ธิ ที ่ี 2 หาคาตอบได้ ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าสูงสุดสมั พัทธ์และค่าต่าสดุ สมั พทั ธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 14 วธิ ที า จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 14 f (x) = 6x2 + 6x2 – 36x = 6(x + 3)(x – 2) เม่ือ f (x) = 0 จะได้ x = 2 และ x = –3

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 185 วาดกราฟ คา่ สูงสดุ สัมพทั ธเ์ กิดที่ f(–3) = 95 คา่ ตา่ สดุ สมั พัทธเ์ กดิ ที่ f(2) = –30 วธิ กี ารหาค่าสงู สุดสัมบูรณแ์ ละค่าตา่ สดุ สัมบูรณ์ ถ้าฟังกช์ ัน f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องบนช่วงปดิ [a,b] แล้วสามารถหาคา่ สูงสุดสัมบรู ณแ์ ละคา่ ต่าสุดสัมบูรณ์ของฟงั ก์ชนั f ตามขัน้ ตอนดงั น้ี 1. หาคา่ วกิ ฤตท้งั หมด จากการหาอนพุ นั ธข์ อง f ในช่วงปดิ [a,b] 2. หาค่าของฟงั กช์ ัน ณ ค่าวกิ ฤตทไ่ี ด้ 3. หาคา่ f(a) และ f(b) 4. เปรยี บเทียบคา่ ท่ไี ดจ้ ากจากข้อ 2 และขอ้ 3 ซึ่ง สามารถสรุปได้วา่ คา่ มากท่สี ดุ จากข้อ 2 และข้อ 3 เป็นสงู สดุ สัมบูรณ์ของฟงั กช์ ัน f คา่ นอ้ ยที่สุดจากขอ้ 2 และข้อ 3 เปน็ สงู สุดสมั บูรณข์ องฟงั ก์ชัน f ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าสูงสุดสมั บูรณแ์ ละค่าต่าสดุ สัมบูรณข์ องฟงั กช์ ัน f เม่อื f(x) = x3 – 3x+2 บน ช่วงปดิ [0,2] วธิ ที า จาก f(x) = x3–3x+2 f (x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 186 เพราะฉะนัน้ จะได้ค่าวกิ ฤต 2 ค่า คือ x = 1 และ x = –1 แต่ –1 ใช้ไม่ได้เพราะ – 1ไมไ่ ด้อยู่ ในช่วง [0,2] วาดกราฟ จดุ ท่ี มคี ่านอ้ ยสดุ เกิดท่ี x = 1 ดงั นน้ั f(1) = 13 – 3(1) + 2 จงึ ได้ f(1) = 0 จดุ ท่ี มคี า่ มากสดุ เกิดท่ี x = 2 ดังน้ันf(2) = 23 – 3(2) + 2 จึงได้ f(2) = 4 เมื่อพจิ ารณาจากกราฟ พบว่า f มคี ่าสงู สดุ ที่ x = 2 ซ่ึงคือ f(2) = 4 F มคี า่ ต่าสดุ สมั บรู ณท์ ่ี x =1 ซึง่ คือ f(1) = 0 ปฏิยานพุ ันธ์ (Integration) เปน็ กระบวนการตรงข้ามกบั การหาอนุพนั ธ์ แบ่งเป็น 1.ปริพันธ์ไม่จากัดขอบเขต 2.ปริพนั ธ์จากัดเขต Ex จงหาคา่ ของ ∫ 8( ) ปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากดั ขอบเขต วธิ ที า () 1. ∫ = kx+c = 2. ∫ = n +c 3. ∫ f( ) = ∫ f( ) = 2(x)4 + c 4. ∫(f( ) g( )) = ∫ f( ) ∫ g( ) ขอ้ ควรระวงั ∫(f( ) g( )) กระจายไมไ่ ด้ Ex ปรพิ ันธจ์ ากัดเขต (8������ 3������ − 1)������������ นยิ าม f(x) = f′ (x) ปริพนั ธจ์ ากดั เขตของฟงั กช์ ัน ต่อเน่ือง f บนช่วง x = a ถงึ x=b คือ 3 a คือขอบลา่ ง b คือขอบบน = 2x4 + x2–z+c –2 = [2(3)4 + (3)2–(3)+c ]–[2(–2)4 + (–2)2–(– 2)+c ] = 130 + 7.5 – 5 = 132.5

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 187 การประยุกตป์ รพิ นั ธก์ ับพื้นทใ่ี ต้โค้ง จงหาพน้ื ท่ใี ตก้ ราฟตอ่ ไปนี้ f(x) = − ตงั้ แต่ x= 0 ถึง 2  ถ้ากราฟอย่เู หนอื แกน x ������ A = −∫ ( ) พนื้ ที่ = = −∫ − ������(������)������������ = [–4] – [0] ������ A = –4 ดงั นน้ั พืน้ ที่ใตก้ ราฟ คือ 4  ถ้ากราฟอยูใ่ ตแ้ กน x พื้นท่ี = ������ − ������(������)������������ ������ เมอื่ กราฟ 2 กราฟซอ้ นกนั ใช้พ้ืนท่ีกราฟบน – พืน้ ที่กราฟลา่ ง ตัวอยา่ งท่ี 10 ถ้า f = 2x3 – 3x2 + 1 และ f(2) = 3 แล้ว f(−1) มคี า่ เท่ากับข้อใดในต่อไปนี้ (Ent) x2 2 1.4 2.6 3.9 4.11 วธิ ที า f = 2x3 – 3x2 + 1 พิจารณา f(2) จะได้ (2)2 – 3(2) – 2–1 +C = 3 x2 x2 x2 4 – 6 – 2–1 + C =3 2 f = 2x – 3 + x–2 2 C=4 ∫ f dx= ∫ (2x – 3 + x–2) dx พิจารณา f(−1) = (−1)2 – 3(−1) – (−1)–1 + 4 f(x) = 2x2 – 3x + x–1 + C 2 -1 = 1+3+1+4 f(x) = x2 – 3x – x–1 +C =9 ดงั น้นั ตอบข้อ 3

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 188 ตัวอยา่ งที่ 11 กาหนด F (x) ดังรปู กาหนดให้ F(0) = 4 F(6) = 4 จงหา F(5) วธิ ีทา ∫ ( ) = F(6) – F(5) 12 = 4 – F(5) F(5) = –8

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 189 บทที่ 16 กาหนดการเชิงเส้น สมการเชิงเสน้ สมการจุดประสงค์ อสมการข้อจากดั การแก้ปญั หาหาค่ามากสดุ คา่ น้อยสุด

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 190 กาหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) เปน็ คณิตศาสตรป์ ระยุกตแ์ ขนงหนงึ่ ท่ีคิดคน้ ขน้ึ เพอ่ื แก้ปญั หาให้เปน็ ไปตามจุดประสงคข์ องมนุษย์ โดยมแี นวคดิ ท่ีวา่ ใหเ้ กิดประโยชน์อย่าง สงู สุดในทรัพยากรท่ีมีจากัด สามารถใชค้ านวณเพ่อื แกป้ ัญหาไดห้ ลายอย่าง เชน่ คานวณการผลติ สินคา้ ให้ไดม้ ากทีส่ ุด แต่เสียคา่ ใช้จา่ ยน้อยที่สุด,หาวิธีการเคลอื่ นยา้ ยทหารใหม้ ากทีส่ ดุ โดยทเ่ี สีย ค่าใช้จ่ายน้อยทสี่ ดุ , ผลติ สินคา้ จานวนน้อยทีส่ ุด แต่ทากาไรได้มากทส่ี ดุ เปน็ ต้น สมการเชงิ เสน้ (Linear equation) รปู แบบสมการท่วั ไป ax+ by = c ; a และ b ไม่เป็นศนู ยพ์ รอ้ มกัน เมอ่ื นามาเขียนกราฟ จะไดร้ ปู เส้นตรงซ่ึงมีความชนั – และมรี ะยะตดั แกน x เป็น ตวั อยา่ งท่ี 1 จงวาดกราฟของสมการต่อไปนี้ 5x + 3y = 15 เมื่อเราวาดกราฟเราจะได้ กราฟตัดแกน x ท่ี (3,0) ตดั แกน y ที่ (0,5) และพบว่าสมการนี้ มคี วามชนั เปน็ – กาหนดการเชงิ เสน้ จะอยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงเส้นและอสมการเชิง เส้น แล้วหาค่าสูงสุด ต่าสุดของฟังกช์ นั ท่สี อดคลอ้ งกับสมการ (และอสมการ) ทก่ี าหนด ตัวแบบ คณิตศาสตร์ประกอบดว้ ย

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 191 สมการจุดประสงค์ เป็นสมการท่สี ร้างใหต้ รงกับจุดประสงคท์ ต่ี ้องการ เรียกฟังก์ชันน้ีวา่ ฟังก์ชนั เป้าหมาย โดยจะตัง้ สมการขึน้ เพื่อหาค่าสูงสุด หรือต่าสุด ข้นึ อยูก่ ับตวั แปร เขยี นอย่ใู นรูป P = ax +by (ค่าสงู สุด) C = ax +by (ค่านอ้ ยสุด) เชน่ P = 5x + 12y เงอื่ นไขจากัด (เงอื่ นไขบงั คบั ) ไดแ้ ก่อสมการ หรือสมการทเ่ี ป็นเง่ือนไขท่ีกาหนดให้ เปน็ เงอ่ื นไขทีถ่ กู จากัดของทรพั ยากร หรอื ตวั แปร เช่น 2x + y < 100 และ x > 0 หลักการแก้ปัญหา 1. ใหน้ าอสมการขอ้ จากดั ไปวาดกราฟ 2. คา่ สูงสุด และต่าสุดของ P จะอยทู่ จ่ี ดุ มมุ ของพน้ื ที่ปิดของกราฟ 3. ในกรณพี นื้ ทเ่ี ปิดอาจจะมีคา่ สงู สดุ ,ตา่ สุด หรอื ไม่กไ็ ด้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 192 Ex กาหนดสมการจุดประสงคค์ ือ P = 3x – 2y และสมการขอ้ จากดั คือ y 5, x 0, x+y 10 จงหาค่าสูงสุดของ P วธิ ีทา จดุ A อยู่ที่ (0,5) เกิดจาก คือ y 5, x 0 จุด B อยู่ทจี่ ุด (0,10) เกิดจาก x = 0 ตัดกับ x+y=10 0 + y = 10 y = 10 เมื่อ y = 10 x = 0 จุด C อยทู่ ่ี (5,5) เกิดจาก y = 5 ตดั กับ x+y=10 x + 5 = 10 x = 5 เมื่อ x = 5 แล้ว y = 5 วธิ ีทาที่ 1 แทนคา่ ลงไปในแต่ละจดุ จดุ มุม P = 3x – 2y A(0,5) 3(0) – 2(5) = –10 B(0,10) 3(0) – 2(10) = –20 C(5,5) 3(5) – 2(5) = 5 P สงู สุดเม่ือ x = 5 y = 5 โดยที่ P = 5

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 193 วิธีทาที่ 2 จัดรปู หาความชัน ขั้นท่ี 1 จัดรูปเพ่อื ให้สามารถหาความชนั ได้ในสมการจดุ ประสงค์ P = 3x – 2y 2y = 3x – P y= x– ขัน้ ที่ 2 กาหนดจดุ 2 จดุ โดยทจ่ี ุดแรก อยเู่ หนือกราฟบริเวณใดก็ได้ จุดที่ 2อยู่ใตก้ ราฟบรเิ วณใดกไ็ ด้ กาหนดจุด H (–4,5) แทนลงในสมการจุดประสงค์จะได้ว่า P = 3(–4) – 2(5) = –22 กาหนดจุด O (–3,–6) แทนลงในสมการจดุ ประสงค์จะไดว้ า่ P = 3(–3) – 2(–6) = 3 จากตรวจสอบพบว่าเมอ่ื จุดใดๆทอ่ี ยู่ใตก้ ราฟจุดประสงคจ์ ะมีค่ามาก ขน้ั ตอนที่ 3 ให้เล่อื นกราฟเพอ่ื หาคาตาแหน่งท่ตี อ้ งการ จากสมการจดุ ประสงคใ์ หเ้ ลื่อนกราฟจากบริเวณมากไปนอ้ ยดังรปู ข้างตน้ เม่อื สมการจุดประสงค์จะ ตดั ทจี่ ดุ C เป็นจุดแรก แสดงวา่ จุด C มคี า่ วสงู สุด

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 194 ขอ้ ควรระวังเมอ่ื ใชว้ ิธีทาท่ี 2 จดั รูปหาความชัน รปู แบบการเลือ่ นเพอ่ื หาตาแหน่งในโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ จะได้วิธที าท่ีไม่เหมือนกัน Ex กาหนดสมการจุดประสงค์คอื P = 3x – 2y และสมการขอ้ จากัดคือ y 5, x 0, x+y 10 จงหาต่าของ P วธิ ีจากโจทยเ์ ราไม่สามารถใชว้ ิธกี ารเล่ือนแบบเดิมได้เพราะการเลอื่ นตาแหนง่ จากตาแหน่งมากมานอ้ ย เพอื่ หาจดุ สูงสดุ เม่อื สมการจดุ ประสงคต์ ดั ท่จี ดุ แรกใดในพ้ืนท่ี ให้โจทยข์ ้อน้ี จากตาแหน่งน้อยมามาย เพ่อื หาจดุ ต่าสุด เมอ่ื สมการจุดประสงค์ตดั ทจ่ี ดุ แรกใดในพื้นที่ ดงั นัน้ จดุ B จึงมีค่าต่าสดุ

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 195 ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนด P = ax + 2y และมเี งอื่ นไขดงั นี้ 2x + y ≥ 50 x+2 ≥70 x ≥ 0 , y≥0 ถ้าคา่ สูงสดุ ของ P เท่ากับ 100 แล้วค่า a เทา่ กับคา่ ในข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 44 มีนาฯ) 1.1 2.2 3.4 4.6 วิธที า ข้นั แรกให้วาดกราฟ จุดทก่ี ราฟท้งั 2 กราฟตดั กันคอื 2x+y=50 ––––– (1) x+2y=70 ––––– (2) (1)×2 4x+2y=100 –– (3) (3) – (2) 3x = 30 x = 10 y=3 เน่ืองจาก สมการจดุ ประสงค์เราไมส่ ามารถหาความชันได้เน่อื งจากติดคา่ a (x,y) P = ax + 2y P 0 (0,0) a(0)+2(0) 70 25a (0,35) a(0)+2(35) 10a+60 (25,0) a(25)+2(0) (10,30) a(10)+2(30) ดงั นัน้ ค่า P สูงสดุ จะเกิดขึน้ ที่จุด (10,30) P = 10a + 60 100 = 10a + 60 40 = 10a a =4 ดังนนั้ ตอบข้อ 2

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 196 ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดฟังก์ชันจดุ ประสงค์และอสมการข้อจากัดดงั น้ี C = 40x +32y 6x + 2y 12 2x + 2y 8 4x +12y 24 คา่ ต่าสุดของ C เท่ากบั เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (Ent) 1. 108 2.112 3.136 4.152 วธิ ีทา (ใช้วธิ ตี รวจสอบดว้ ยความชนั ) ขั้นแรกให้วาดกราฟ 6x + 2y = 12 ตัดแกนท่ี (0,6) (2,0) 2x + 2y = 8 ตัดแกนที่ (0,4) (4,0) 4x +12y = 24 ตัดแกนที่ (0,2) (6,0) หาจดุ X หาจุด Y หาจุด Z เกิดจาก 6x+2y = 12 ––– (1) เกิดจาก 2x+2y = 8 ––– (1) เกิดจาก 6x+2y = 12 ––– (1) ตัดกับ 2x+2y = 8 ––– (2) ตัดกับ 4x+12y = 24 ––– ตดั กับ 4x+12y = 24 ––– (1) – (2) 4x = 4 (2) (2) x=1 (2) – 2(1) 8y = 8 (2) – 6(1) –32x = –48 แทน x ใน (2) 2(1)+2y = 8 y =1 x = หรือ x = 2y = 6 แทน y ใน (1) 2x+2(1)=8 แทน x ใน (1) 6( )+2y = 12 y=3 2x = 6 9 + 2y = 12 จดุ ตดั (1,3) x=3 y= จุดตดั (3,1) จดุ ตดั ( , ) ตรวจสอบด้วยความชนั จัดรูป C = 40x +32y ให้อยใู่ นรูปของสมการความชัน y = − x + C ความชนั m = − หรอื −

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 197 ตรวจสอบกราฟ สมการจุดประสงค์ ดงั นั้นเพ่อื ให้ไดค้ ่านอ้ ยท่สี ุด ตอ้ งเลอ่ื นกราฟจากดา้ นลา่ งเมอื่ กราฟสมการตัดประสงคต์ ดั จุดใดเป็นจดุ แรกแสดงว่าจุดนน้ั เปน็ คา่ น้อยสดุ เลอ่ื นกราฟสมการจดุ ประสงค์ จากการตรวจสอบด้วยความชันพบว่าสมการ จุดประสงคท์ ่จี ุด Z เป็นจดุ แรกดงั นั้นจุด Z จงึ มี ค่านอ้ ยสดุ นาพกิ ดั ของ Z มาแทนลงในสมการจดุ ประสงค์จะได้คาตอบ C = 40( ) +32( ) = 108 ดังนัน้ ตอบ ขอ้ 1

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 198 ขอ้ ควรรูก้ ่อนสอบ เราสามารถจาแนกเร่อื งบทเรยี นคณิตศาสตร์ในระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาตอนปลาย กลุ่มท่วั ไป เซต, ตรรกศาสตร์, จานวนจริง, ความนา่ จะเป็น, ฟงั ก์ชัน กลมุ่ ที่ไมค่ ่อยผสมเรื่องอน่ื กาหนดการเชงิ เส้น, ทฤษฎีกราฟ, สถิติ กล่มุ ทีเ่ นอ้ื หาค่อนข้างยาก ตรโี กณมิติ, จานวนเชงิ ซ้อน, เวกเตอร์, ภาคตดั กรวย กลุ่มทส่ี ามารถประยกุ ต์ได้หลายๆ แนว เมตริกซ์, อนกุ รม, expo+log, แคลคลู สั สาหรบั การเตรยี มตวั สอบ ผมอยากจะให้เตรยี มตวั ก่อนสอบในโรงเรยี นประมาณ 2 สปั ดาห์ก่อนสอบโดยการอ่านหนงั สือของ สสวท เพ่ือเป็นการทบทวนพ้ืนฐาน พรอ้ มกับทาโจทย์ ขอ้ สอบเกา่ ของโรงเรียนประมาณ 2 – 3 ปียอ้ นหลังเพอ่ื เหน็ ลกั ษณะขอ้ สอบ ข้อสอบโดยสว่ นใหญ่ จะออกใกลเ้ คียงของเดิม แตอ่ าจจะมีบ้างในบางปีท่รี ูปแบบขอ้ สอบบางขอ้ ท่ีไมเ่ หมอื นปกติ อาจจะ เป็นการเอาขอ้ สอบจากภายนอกมาออก ถา้ เป็นข้อสอบแสดงวิธีทา ใหแ้ สดงวิธีทาใหล้ ะเอียด เพ่ือ ทัง้ ในการตรวจสอบคาตอบ ถา้ เปน็ ข้อสอบแบบพิสูจน์ ให้อ้างถึงทฤษฎบี ท หรือนยิ าม ต่างๆใน ละเอียด ซงึ่ นิยามและทฤษฎบี ท ดูได้จากหนงั สอื ของ สสวท สาหรบั การเตรยี มตัวสอบคัดเลือก ควรเตรียมตัวประมาณ 4 – 6 เดอื นกอ่ นสอบ โดยการ อา่ นทั้งหนงั สือ สสวท และ หนังสอื สรุปเนือ้ หาโดยต้ององิ หนังสอื สสวท ตามไปด้วย เพราะ หนังสือสรุปอาจจะสรุปขา้ มบางเนื้อหา ข้อสอบคัดเลือกสว่ นใหญจ่ ะออกขอ้ สอบโดยอา้ งอิงเน้ือหา จากหนังสอื ของ สสวท พร้อมท้งั ทาข้อสอบเก่าประมาณ 5 – 10 ปียอ้ นหลงั ของข้อสอบระบบ กลางหรอื ข้อสอบท่ียากกว่าขอ้ สอบระบบกลาง ถ้าหากมีขอ้ สงสัยกส็ ามารถสอบถามทช่ี มุ ชน คณิตศาสตรไ์ ดท้ ี่ http://www.mathcenter.net/forum/ ขอขอบพระคุณ อาจารย์ยทุ ธนา เฉลมิ เกยี รตสิ กุล อาจารย์สุวรีย์ เมธาวีวินิจ