สรุปแก่นคณิตศาสตร์ม.ปลาย Math Kit Ebook

OpenPASSORN Math Kit Ebook หนังสือพัฒนาการ Openpassorn Math Kit Ebook เสรีภสั สร สรุปแกน่ คณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย เขียน หนังสือพฒั นาการ ภาพประกอบ หนังสือพฒั นาการ ฉบบั A พมิ พเ์ ม่ือ มิถุนายน 2558 เจา้ ของลิขสิทธ์ิ โครงการเสรีภสั สร รหสั ประจาหนังสือ 16492 อีเล็กทรอนิกส์ นาเสนอโดย ขม้ ิน หนังสือในเครือเสรีภสั สร © เสรีภสั สร สงวนลิขสิทธ์ิ ตามพระราชบญั ญตั ิลิขสิทธ์ิ พ.ศ. 2537 เสรีภสั สรเป็ นเจา้ ของกรรมสิทธ์ิหนังสืออีเล็กทรอนิกสเ์ ลม่ น้ ีแต่ เพยี งผเู้ ดียว เสรีภสั สรเป็ นผูบ้ ริหารและจดั จาหน่าย

OpenPASSORN Math Kit Ebook หนงั สอื พัฒนาการ คานา หนงั สอื สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนปลาย (Openpassorn Math Kit Ebook) ไดม้ ีพฒั นาการ มาอยา่ งต่อเน่ือง วนั น้ ีทีมงานโครงเสรีภสั สรไดเ้ ขา้ มารว่ ม พฒั นาและเปลียนหนังสือเล่มน้ ีใหด้ ียงิ่ ข้ นึ หนงั สอื สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนปลาย (Openpassorn Math Kit Ebook) เป็ นหนังสือที่ ออกแบบมาใหอ้ ่านเขา้ ใจง่าย กะทดั รดั เพือ่ ใหผ้ ูส้ นใจได้ สามารถนาองคค์ วามรใู้ นหนังสือเล่มน้ ีไปประยุกตใ์ ชไ้ ดอ้ ยา่ ง ตรงประเด็น ทางโครงการหนังสือพฒั นาการ หวงั เป็ นอยา่ งยงิ่ วา่ หนงั สอื สรุปแก่นคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย (Openpassorn Math Kit Ebook) จะทาใหผ้ ูอ้ า่ นไดร้ บั ประโยชน์จากหนังสือเล่มน้ ี หากมีขอ้ ผิดพลาดประการใดทาง ทีมตอ้ งขออภยั มา ณ ท่ีน้ ีดว้ ย โครงการหนังสือพฒั นาการ ในเครือเสรีภสั สร – คุณภาพเพอื่ คุณ พฤษภาคม 2558

OpenPASSORN Math Kit Ebook หนังสือพฒั นาการ บทพ้ นื ฐาน แนะนา จานวนจริง เซต เพ่ือใหเ้ ขา้ ใจง่ายข้ ึนควรอา่ น ตรรกศาสตร์ ตามลาดบั น้ ี ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั บทท่ีตอ้ งประยุกตพ์ ้ นื ฐาน เมตริกซ์ ความน่าจะเป็ น ทฤษฎีกราฟ กาหนดการเชิงเสน้ ลาดบั และอนุกรม แคลคูลสั สถิติ บททล่ีมาดีเนบั ้ ือแหลาะคออ่นนุกขราม้ งยาก เรขาคณิตวเิ คราะห์ ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและลอการิทึม ตรีโกณมิติ เวกเตอร์ จานวนเชิงซอ้ น

OpenPASSORN Math Kit Ebook จานวนจริง หนังสอื พฒั นาการ หนา้ 27 เซต ตรรกศาสตร์ สารบญั หนา้ 6 หนา้ 15 ฟังกช์ นั ภาคตดั กรวย เมตริกซ์ หนา้ 39 หนา้ 52 หนา้ 66 เอกซโ์ พเนนเชียล ตรีโกณมิติ เวกเตอร์ และลอการิทึม หนา้ 82 หนา้ 95 หนา้ 75 จานวน ความน่าจะ ทฤษฎีกราฟ เชงิ ซอ้ น เป็ น หนา้ 133 หนา้ 104 หนา้ 113 แคลคลู สั สถิติ ลาดบั และ หนา้ 173 หนา้ 142 อนุกรม หนา้ 161 กาหนดการ เชิงเสน้ หนา้ 189

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 6 บทท่ี 1 เซต พื้นฐาน Set ประเภทของเซต เซตจากัด การเทา่ กันของเซต เซตอนนั ต์ เอกภพสัมพทั ธ์ เซตวา่ ง ข้อควรระวัง หากไม่กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสมั พัทธ์ จะเป็นจานวนจริง สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต การดาเนินการทาง Set ยูเนียน ∪ อินเตอรเ์ ซกชนั ∩ ผลต่าง − คอมพลีเมนต์ ′ การหาจานวนสมาชิก วาดแผนภาพเวนน์ออยเลอร์ ใชส้ ูตร การประยุกตเ์ ซต

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 7 เซต (Set) เปน็ อนิยาม แต่เราใชเ้ ซตในการศกึ ษากลุ่มสิ่งตา่ งๆทเ่ี ราสนใจ สงิ่ ที่อยูใ่ นเซต คอื สมาชกิ (Element) การเขยี นสัญลกั ษณ์เซตคือ { } โดยการเขยี นแจกแจงสมาชกิ จะต้องมี จลุ ภาค (,) ค่ันกลางหรืออาจจะกล่าวได้วา่ เซตคือสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ เพื่อใช้แทนกลมุ่ สิง่ ตา่ งๆทเี่ ราสนใจซึง่ เขยี นภายในเคร่ืองหมายปีกกา { } เครอื่ งหมาย คือเครื่องหมายเป็นสมาชกิ คอื เคร่อื งหมายไม่เปน็ สมาชิก เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือเซตทีก่ าหนดขอบเขตของสมาชกิ เซตที่เรา ต้องการศึกษา เราเขียนด้วยสัญลกั ษณ์ ถา้ เซตไม่ได้กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ ใหถ้ ือวา่ เอกภพ สมั พทั ธ์ คือเซตของจานวนจริง ขอ้ ควรรู้ ช่ือเซตถา้ เปน็ ภาษาองั กฤษ ให้ใชต้ ัวพมิ พ์ใหญ่ แต่ถา้ เปน็ สมาชิกให้ใช้ตัวพมิ พ์เล็ก การเขียนเซต EX เซตของสระในภาษาองั กฤษ 1. {a,e,i,o,u} 1.การเขยี นแจกแจงสมาชิก 2. {x | x เป็นสมาชิกในสระในภาษาองั กฤษ} 2.การเขียนแบบบอกเงอื่ นไข หมายเหตุ ลาดับก่อนหลังของสมาชิกไมม่ ีความสาคญั และ ในเซตใดๆ มีสมาชกิ ตัวเดียวกันมากกวา่ 1 คร้ัง ให้ถอื ว่าเป็นสมาชิกตวั เดยี วกัน ประเภทของเซต EX 1.{1,2,3,4} เปน็ เซตจากดั เพราะมีสมาชกิ 4 ตัว 1.เซตจากัด คือ เซตท่เี ราสามารถบอกจานวน 2.{x | x เป็นจานวนนับที่มีค่ามากกว่า 3} เปน็ เซต สมาชิกได้ อนนั ต์ 2.เซตอนันต์ คอื เซตท่ีมจี านวนมากมายนบั ไม่ถ้วน 3.เซตวา่ งคอื { } หรอื และไมส่ ามารถบอกจานวนสมาชกิ ได้ 3.เซตว่าง คอื เซตที่ไมม่ ีสมาชกิ อยูเ่ ลย ข้อควรระวงั { } และ {{ }} ไม่เปน็ เซตวา่ งนะครบั สัญลักษณค์ วรรู้ I คือจานวนเต็ม I+ คอื จานวนเต็มบวก I– คือจานวนเตม็ ลบ R คือจานวนจรงิ C คือจานวนเชิงซอ้ น N คือจานวนนับ Q คือจานวนตรรกยะ Q′ คอื จานวนอตรรกยะ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 8 ความสมั พันธ์ระหวา่ งเซต 1.การเทา่ กนั ของเซต เซต A จะเทา่ กบั เซต B กต็ อ่ เมื่อเซตทง้ั สองมสี มาชกิ เหมือนกันทกุ ตวั และมจี านวนสมาชิกเท่ากัน Ex กาหนดให้ A = {1,4,6} B={1,1,1,4,6} จงพิจารณาวา่ ทั้งสองเซตเทา่ กันหรือไม่ ทั้งเซต A และ B เทา่ กนั เพราะว่าเซต B มีสมาชกิ ทซ่ี ้ากนั ถอื วา่ เปน็ ตวั เดียว กลา่ วคือสมาชิกของ B คือ {1,4,6} ดงั น้นั ท้ังสองเซตจงึ เทา่ กนั 2.สับเซต เซต A จะเปน็ สบั เซตของเซต B ได้ก็ตอ่ เมอ่ื สมาชิกทกุ ตวั ของ A เปน็ สมาชิกของ B เราสามารถเขยี น ในรปู สญั ลักษณ์ไดด้ ังน้ี A B แตถ่ ้า เซต A และ B ไมเ่ ป็นสับเซตใหเ้ ขียนดว้ ย A B Ex กาหนดเซต A = {1, 2, 3} B = {x | x จานวนนับ} A B เพราะสมาชิกทกุ ตัวของ A อย่ใู น B B A เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ B ไมอ่ ยูใ่ น A มสี มาชกิ เพียง 3 ตัวท่อี ยใู่ น A คอื {1, 2, 3} ข้อควรรู้ ถ้า A B และ A B เรียกวา่ A เป็นสบั เซตแท้ของ B ขอ้ ควรระวงั เป็นสบั เซตของทุกเซต 3.เพาเวอร์เซต คือเซตท่ปี ระกอบด้วยสมาชิกทกุ ตัวที่สบั เซตท้งั หมดของเซตนนั้ เชน่ เพาเวอรเ์ ซต A สามารถเขยี นด้วยสญั ลักษณ์ P(A) Ex A = {1, 2, 3} }} P(A) = { { } { } { } { } { } { } { ดงั นัน้ เราสามารถสรุปไดว้ า่ P(A) { } P(A) สับเซตแท้ของ A คือ { } { } { } { } { } { } ถา้ เรามสี มาชกิ n ตัว แล้ว เพาเวอร์เซต มจี านวนสมาชิก 2n ตัว

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 9 แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ เป็นแผนภาพที่ใชแ้ สดงถึงเซต ซ่งึ ใชร้ ูปปิด โดยทัว่ ไปจะใช้รปู สีเ่ หลย่ี มผนื ผ้าแทนเอกภพสมั พัทธ์ และเขยี นเซตอืน่ ๆเป็นวงกลม ตัวอย่างการวาด 2 เซต ตวั อย่างการวาด 3 เซต ข้อควรรู้ ตง้ั แต่ 4 เซตเปน็ ต้นไปไมน่ ยิ มวาดแผนภาพ แตเ่ ราใช้สตู รในการช่วยหาจานวนสมาชกิ ใน เซตได้ การดาเนนิ การทางเซต A∩B Ex = {1,2,3,4,5} A={1,2} B={2,3,4} A∪ B A′ 1.ยูเนียน A− B A∪B คือเซตทป่ี ระกอบไปดว้ ยเซตของ A หรอื B จะได้ {1,2,3,4} 2.อนิ เตอรเ์ ซกชนั A∩B คือเซตที่ประกอบไปด้วยสมาชกิ A และ B คือ{2} 3.ผลต่าง A – B คือสมาชิกทง้ั หมดของ A ท่ีไม่ได้ เป็นสมาชิกของ B จะได้ {1} 4.คอมพลีเมนต์ คอื เซตตวั อื่นทีป่ ระกอบอยู่ในเอกภพ สัมพัทธ์ แต่ไมไ่ ดอ้ ยใู่ นทีเ่ ราสนใจ เช่น A′ คอื ไมเ่ อาสมาชกิ ท้งั หมดของ A คอื {3,4,5}

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 10 คุณสมบัติการดาเนนิ การทางเซต สตู รการหาจานวนสมาชิก  A – B = A ∩ B′ = B′ – A′  2 เซต n(A ∪ B) = n(A) + n(B)  n(A∩B)  (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′  3 เซต n(A∪B∪C)  (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)  n(A∩B)  n(A∩C)  n(B∩C) + n(A∩B∩C) สูตรการจัดรูปสบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต {A} B AB {A} P(B) A (B) {A} P(B) A (B) ตัวอย่างที่ 1 ใหเ้ ซต A = {1,2,3,{1,2,3}} และเซต B = {1,2,{1,2}} ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง (Ent) 1. A ∩ B = {{1,2}} 2.A ∪ B = {{1,2},{1,2,3}} 3. A – B = {{1,2,3},3} 4.B – A = วิธที า พิจารณา ขอ้ 1 A ∩ B = {{1,2}} ผดิ เพราะ {{1,2}} ไม่ได้อยใู่ น A ขอ้ 2 A ∪ B = {{1,2},{1,2,3}} ผดิ เพราะ ขาด {1,2,3} ขอ้ 3 A – B ={{1,2,3},3} ถกู เพราะจานวนสมาชกิ 2 ตวั ของ A ซา้ กบั B ข้อ 4 B – A = ผิดเพราะ {{1,2}} ไม่ไดอ้ ยใู่ น A ดังนนั้ B – A = {{1,2}} ดงั น้นั ขอ้ นจี้ ึงตอบข้อ 3 ตวั อยา่ งที่ 2กาหนดให้ A B ข้อใดผิด (สมาคมคณติ ศาสตร์) 1. B ∩ A′ B 2. A ∩ B′ 3. A ∩ B = A 4. A ∩ B = B วิธีทา พิจารณา ข้อ 1 ถูก มี B บางส่วนไม่ได้อยู่ใน A สว่ นดังกล่าวจงึ เป็นสับเซตของ B ขอ้ 2 ผดิ เพราะ นอก B เปน็ เซตว่าง A ∩ = ขอ้ 3 ถกู เพราะ A เป็นส่วนหนงึ่ ของ B เมือ่ นาส่วนที่ใหญ่กวา่ มา ∩ จึงตอบเซตทเ่ี ลก็ กว่า ข้อ 4 ถูกเมือ่ ถา้ A = B แลว้ A B จึงทาให้ A ∩ B = B ดังนั้นขอ้ นจ้ี งึ ตอบข้อ 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 11 ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนด A ={ , 1, 2, 3, … } และ B={{1}, {2,3}, {4,5,6}, 7, 8, 9,… } แล้ว (A – B) ∪ (B – A) จะมจี านวนสมาชิก วธิ ที า A – B ={ , 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A – B) = 7 B – A = {{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}}; n (B – A) = 3 (A – B) ∪ (B – A) = { , 1, 2, 3, 4, 5, 6, {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}} n((A – B) ∪ (B – A)) = 10 หรอื n((A–B) ∪ (B–A)) = n(A – B) + n(B – A) =7+3 = 10 ตอบ จานวนของสมาชกิ (A−B) ∪ (B−A) คือ 10 ตวั อยา่ งที่ 4 กาหนดให้ A,B,C,D เปน็ เซตใดๆ (A ∩ C) – (B ∪ D)เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1.(A−B) ∩ (D−C) 2. (A−B) ∩ (C′ − D′) 3.(A−B) ∪ (D−C) 4. (A−B) ∩ (D′ − C′) วิธีทา (A ∩ C) – (B ∪ D) = (A ∩ C) ∩ (B ∪ D) ′ = (A ∩ C) ∩ (B ′ ∩ D ′) = (A ∩ B′) ∩ (D ′ ∩ C) = (A−B) ∩ (D′ − ′) ตอบ ขอ้ 4 ตัวอย่างที่ 5 ถา้ A= {x | x = 1 − และ n เป็นจานวนนับ} B = {0,1, , , , … } และ C = {–1, 0, , { , , , …}} แลว้ (A ∩ C) – B มีจานวนสมาชิกเท่าใด

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 12 วธิ ที า พจิ ารณา A จะไดส้ มาชกิ ดังนี้ {–1, 0, , , , … } เมือ่ เรา นา A ∩ C จะได้สมาชกิ ดังนี้ {–1,0, } ซึง่ สมาชกิ ที่ A ∩ C ซ้ากบั B คอื {0} ดงั นัน้ เราจะได้ว่า (A ∩ C) – B = { – 1} ตอบ ไดจ้ านวนสมาชกิ ทงั้ หมด 1 ตัว ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ A = {0, 1, {1}} และ B ={0, {1}, {0,1}} จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. A P{B} ข {{1}} P(A) ∩ P(B) ค. จานวนสมาชกิ ของ P(A ∩ B) = 2 1.ถูกทกุ ขอ้ 2.ถูก 2 ขอ้ 3.ถกู 1 ข้อ 4.ผดิ ทุกข้อ วิธีทา พิจารณา P(A) และ P(B) P(A) = { , {0}, {1}, {{1}}, {0,1}, {0,{1}}, {1,{1}}, {0,1,{1}}} . P(B) = { , {0}, {{1}} ,{{0, 1}}, {0, {1}}, {0, {{0,1}}}, {{1}, {0,1}}, {0,{1}, {0,1}}} จากข้อ ก พบว่า {0, 1} ไมไ่ ดอ้ ยู่ใน P(A) ดงั นั้นขอ้ นจี้ ึงผิด จากขอ้ ข P(A) ∩ P(B) = { , {0} , {{1}} , {0,{1}}} {{1}} P(A) ∩ P(B) ดงั น้นั ข้อนี้จึงถกู จากขอ้ ค จาก A ∩ B ={0, {1}} เม่อื เราหาสับเซตเราจะได้ท้งั หมด 22 ตวั คือ 4 ตวั ไมใ่ ช่ 2 ตัวดังนนั้ ข้อนจี้ ึงผิด ตอบ ข้อ 3

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 13 ตัวอย่างท่ี 7 ในการสอบถามพนกั งานจานวน 300 คนในบรษิ ัทแหง่ หนง่ึ พบว่า มพี นกั งานชอบด่ืมชาเขียว จานวน 80 คน มพี นกั งานชอบดื่มน้าผลไมร้ วมจานวน 140 คน มพี นกั งานไมช่ อบดืม่ ทั้ง 2 อยา่ งจานวน 100 คน จงหาค่ามจี านวนพนกั งานท่ีชอบด่ืมเพยี งชนิดเดียว วธิ ีทา กาหนด x เป็นจานวนพนักงานชอบดื่มชาและน้าผลไม้รวม ทง้ั 2 ชนิด 80 + 140 – x +100 = 300 x = 20 มีพนักงานชอบดม่ื ชาเขยี วเพียงอย่างเดยี ว จานวน 80– 20 = 60 คน มีพนกั งานชอบด่มื น้าผลไมร้ วมจานวนเพียงอย่างเดยี ว 140– 20 =120 คน ดังนั้นมพี นักงานท่ีด่มื เครอ่ื งดมื่ เพียงชนดิ เดียวจานวน 60 + 120 = 180 คน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 14 ตัวอย่างท่ี 8 จากการสารวจของนกั เรยี นในระดบั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 จานวน 82 คน พบวา่ มนี กั เรียนชอบวิชาสังคมจานวน 40 คน มนี ักเรยี นชอบวิชารายได้ประชาชาติจานวน 30 คน มีนกั เรยี นชอบวชิ าบัญชใี นชีวิตประจาวันจานวน 20 คน มนี กั เรียนทีไ่ มช่ อบท้งั 3 วชิ าจานวน 10 คน มนี กั เรยี นที่ชอบวิชาสังคมเพยี งวชิ าเดยี ว 30 คน มนี กั เรียนทชี่ อบวิชาสงั คมและบญั ชี 5 คน มนี ักเรยี นท่ชี อบบญั ชี เพียงอย่างเดยี ว 10 คน จงหาจานวนนกั เรียนทช่ี อบทั้ง 3 วชิ า วิธีทา จากข้อมูลที่โจทยก์ าหนด นาขอ้ มูลโจทยม์ าหาสว่ นทีเ่ หลอื กาหนด x คอื นักเรียนทช่ี อบท้ัง สังคม รายได้ประชาชาติและ บญั ชี 30 + 5 + 5 + 10 +10 +(5 – x) + x + (20 – x) = 72 75 – x = 72 75 – 72 = x x=3 ดงั นน้ั นกั เรยี นทีช่ อบเรียนทัง้ 3 วิชามจี านวน 3 คน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 15 บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ ประพจน์และการเชือ่ มประพจน์ หรือ เปน็ เทจ็ เพียงกรณีเดยี วคือ เท็จหรือเท็จ ได้เท็จ ค่าความจรงิ เปน็ จริงง่าย และ เป็นจรงิ เพยี งกรณเี ดยี วคือ จรงิ และจรงิ ได้จรงิ ค่าความจรงิ เป็นจริงยาก ถ้า... แลว้ ... เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ ถา้ จรงิ แล้วเทจ็ ได้เท็จ ก็ตอ่ เมอ่ื เป็นจริงตอ่ เมือ่ ตัวหนา้ และตวั หลังเหมอื นกัน สมมูล ประพจนท์ ่ีมีค่าความจรงิ เหมือนกนั สัจนิรนั ดร์ / สมเหตสุ มผล ประพจน์ทมี่ คี ่าความจรงิ เป็นจริงทกุ กรณี ตรวจสอบใหท้ ุกตวั เป็นเทจ็ ถ้าเกิดการขดั แยง้ แสดงวา่ เปน็ สัจนิรนั ดร์ ตอ้ งเปน็ สจั นิรันดร์ถงึ จะสมเหตสุ มผล ตวั บง่ ปริมาณ อปุ นัย การใหเ้ หตผุ ล (เลขพน้ื ฐาน) นริ นัย บทตรรกศาสตรเ์ ป็นบทที่ใกลเ้ คียงกบั เซตมากทส่ี ดุ บทหนึง่ การดาเนินทางทางเซต เราสามารถ ใช้แทนการดาเนนิ การของตรรกศาสตร์บางตัวได้ ตรรกศาสตร์ เซต คา่ ความจรงิ เป็นจรงิ ∩ ค่าความจรงิ เปน็ เท็จ ∪ ′ (คอมพลเี มนต์) (และ) (หรอื ) (นเิ สธ)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 16 ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นการศึกษาท่ีว่าดว้ ยการให้เหตุผล โดยมกั จะเปน็ ส่วนสาคญั ของวชิ า ปรัชญา คณติ ศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถงึ ภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตรเ์ ป็นการตรวจสอบขอ้ โตแ้ ยง้ ที่ สมเหตสุ มผล (valid argument) ประพจน์ (proposition) หมายถงึ ประโยคบอกเลา่ หรอื ปฏิเสธที่สามารถบอกได้ วา่ เป็นจรงิ หรอื เทจ็ เพียงอยา่ งเดยี วเทา่ น้ัน เช่น 1+5 = 10 มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ประโยคเปิด (Open Sentence) หมายถงึ ประโยคที่ตดิ ตวั แปรซึง่ ไมส่ ามารถบอกวา่ เปน็ จรงิ หรอื เท็จได้ แต่เราสามารถทาให้เป็นประพจน์ไดโ้ ดยการแทนค่าตวั แปร เช่น x + 1 = 5 ตาราง การเชอ่ื มประพจน์ (compound proposition) สมมูลที่สาคญั p q p q p q p q p q p 1. p q p q q p TT T T T T F 2. (p q) p q TF T F F FF (p q) p q FT T F T F T 3. p (q r) (p q) (p r) FF F F T TT p (q r) (p q) (p r) 4. p q (p q) (q p) คา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ (True) ใช้ตวั ย่อ T คา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ (False) ใช้ตัวยอ่ F ตวั เชอื่ มของประพจนแ์ บ่งไดเ้ ป็น 4 ชนดิ คอื 1. และ (and) 2. หรอื (or) 3. ถ้าแลว้ (if… then …) 4. กต็ อ่ เมอื่ (… if and only if ..) นิเสธ คือ ค่าความจริงจะตรงข้ามกัน สจั นริ นั ดร์ (Tautology) คือประพจนท์ ม่ี คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ ทุกกรณี การตรวจสอบ ว่าเปน็ สจั นิรนั ดร์หรอื ไม่ 1. เขยี นตารางคา่ ความจริง 2. สมมติใหป้ ระพจนม์ ีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ แล้วตรวจสอบวา่ ขดั แยง้ หรอื ไม่ ถ้าขดั แยง้ แสดงวา่ เป็นสจั นริ นั ดร์ 3. a b เป็นสัจนริ ันดร์กต็ อ่ เมอื่ a b

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 17 ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้ p, q, r, s เปน็ ประพจน์ ถา้ [p (q r)] (s r) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ และ p s มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ แลว้ ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ กู (Ent 45 มีนาฯ) 1. p q มคี า่ ความจริงเป็นจริง 2. q r มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ 3. r s มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ 4. s p มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ วิธีทาให้พจิ ารณา p s มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ ดังน้ัน p เป็นเทจ็ p จึงเป็นจริง และ s เป็น เทจ็ p เปน็ จริง q เปน็ จริง r เปน็ เท็จ s เปน็ เท็จ ดงั นัน้ p q มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ T T T ตอบขอ้ 1

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 18 การอา้ งเหตุผล Ex เหตุ ให้ P1,P2,P3,…,Pn เป็นเหตุ และ C เปน็ ผล 1. P Q 2. Q การอ้างเหตผุ ลจะสมเหตุสมผลกต็ อ่ เมอ่ื [P1 P ,P3 … Pn] C เป็นสัจนิรันดร์ ผล P วิธีทาให้ เหตุ 1. P Q T 2. Q T ผล P F จากเหตุ Q เปน็ เทจ็ ทาใหเ้ หตอุ นั ท่ี 1 ขัดแยง้ ข้อน้จี งึ สมเหตสุ มผล ตวั บง่ ปรมิ าณ (Quantifier) เป็นขอ้ ความที่ใช้บง่ บอกจานวนตัวแปรในประโยคเปิด โดยเก่ียวขอ้ งกับสมาชกิ ในเอกภพ สัมพทั ธ์ มที ้งั หมด 2 ชนดิ คือ 1. Universal Quantifier เปน็ ตัวบ่งปริมาณทัง้ หมดของสมาชกิ ในเอกภพสมั พัทธ์ ใช้ x[P(x)] เป็นสัญลักษณ์ แทนข้อความ สาหรับ x ทุกตวั คา่ ความจริง ประพจน์จะเปน็ จรงิ ไดต้ ่อเมือ่ ทุกกรณตี อ้ งเปน็ จริง หากเป็นเท็จแมแ้ ต่กรณเี ดยี วก็เป็นเทจ็ Ex 1 x[x+1 > 3] { } ประพจน์น้ีมคี ่าความจริง เป็นจรงิ เน่ืองจากทั้ง 4 ,5 และ 6 นาไปบวก 1 ซงึ่ ทุกตวั มีค่า มากกว่า 3 = I+ Ex 2 x[3x+1 > 5 ] ประพจน์นม้ี ีค่าความจริงเปน็ เทจ็ เมื่อถา้ x = 1 2. Existential Quantifier เป็นตัวบ่งปรมิ าณบางส่ิงของสมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธ์ ใช้ x[P(x)] เป็นสัญลักษณ์ แทนขอ้ ความ มี x บางตวั คา่ ความจริง จะเปน็ จรงิ ไดต้ ่อเมอ่ื มี กรณใี ดก็ตามเปน็ จรงิ เพยี งกรณเี ดยี วก็มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ในทางกลบั กันถ้าทกุ กรณเี ปน็ เทจ็ ค่าความจริงจะมีค่าเปน็ เทจ็

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 19 การหาคา่ ความจริงของตัวบง่ ปริมาณ 2 ตัว x y มีคา่ ความจรงิ เมือ่ x และ y ใน แทนค่าแลว้ เป็นจริงทุกกรณี มโี อกาสเกดิ จรงิ ยาก x y มีคา่ ความจริงเม่ือ x และ y อย่างน้อย 1 คู่ใน แทนค่าแลว้ เปน็ จรงิ มโี อกาสเกดิ จรงิ งา่ ย x y มีค่าความจรงิ เม่อื x ทกุ ค่าสามารถหาค่า y บางตัวได้ แลว้ จะมคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ x y มีค่าความจริงเมือ่ x อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ทาให้ y ทุกตัวใน แทนคา่ แล้วเป็นจริง ตัวอย่างวิธกี ารใช้งาน กาหนดให้ x คอื เดก็ ในห้องเรียนหน่ึง y คอื สัตวเ์ ลย้ี ง x y คือ เดก็ ทุกคนตอ้ งเลีย้ งสัตวเ์ ล้ยี งทกุ ชนิด x y คือเด็กทุกคนเลียงสตั ว์เลย้ี งบางชนดิ x y คอื เดก็ บางคนเลี้ยงสตั ว์เลีย้ งทุกชนิด x y คือ เด็กบางคนเล้ียงสตั ว์เล้ยี งบางชนดิ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 20 ตวั อย่างที่ 2 จงหาความจริงตอ่ ไปนี้เมื่อกาหนด ={0,1,2,3} x y[x > y] มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จเช่นเมอื่ x = 0 y = 1 เป็นเทจ็ เมอื่ เป็นเทจ็ กรณีใดกรณีหนึ่ง ก็มคี า่ ความความจริงของตัวบ่งปรมิ าณเปน็ เท็จทนั ที x y[x > y] มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ เช่น เมอื่ x = 2 y =0 เมอ่ื มกี รณใี ดกต็ ามเปน็ จรงิ เพยี งกรณี เดียว กจ็ ะทาใหค้ ่าความความจรงิ ของตัวบ่งปริมาณเป็นจรงิ ทันที x y[x > y] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ x y[x > y] มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จเพราะไมม่ ี x ทส่ี ามารถทาให้ y ทุกคา่ เปน็ จรงิ นเิ สธของตัวบง่ ปริมาณ ~ x[P(x)] x[~P(x)] ~ x[P(x)] x[~P(x)] ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้เอกภพสมั พัทธค์ อื {–1,1,2} จงหาค่าความจริงของ x[x2 – x + 6= 0] วิธที า ใหพ้ จิ ารณาคาตอบของสมการ x2 – x + 6= 0 เนื่องจากสมการดังกล่าวไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบ เราสามารถใช้ตัวเลขทโี่ จทย์กาหนด แทนลงในสมการเพอื่ ตรวจสอบความถกู ต้อง (–1)2 + 1 + 6 = 7 (1)2 – 1 + 6 = 6 (2)2 – 2 + 6 = 8 ดงั นั้นคา่ ความจริงจงึ เป็นเท็จ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 21 ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ p,q,r และ s เป็นประพจนท์ ่ี ประพจน์ (p q) (r s) มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ ประพจน์ p r มีค่าความจริงเปน็ จริง ประพจนข์ อ้ ใดตอ่ ไปนม้ี ีค่าความจริงเปน็ จริง (PAT1 ก.ค. 53) 1. (p q) (q r) 2.q [p (q ~r)] 3. (p s) (r q) 4. (r s) [q (p r)] วธิ ที า จากโจทย์ (p q) (r s) มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ ทาให้ทราบว่า r และ s มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ เน่ืองจาก T F F เมอ่ื ทราบวา่ r เปน็ เท็จจะทาให้ p มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ เน่ืองจาก p r มีค่าความจริงเปน็ จรงิ ดังนน้ั q จึงมคี า่ ความจริงเป็นเท็จ ตอบ ข้อ 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 22 ตวั อยา่ งท่ี 5 ประพจน์ใดทส่ี มมูลกับ ~[(p ~q) (~p v r)] 1.p v (q ~r) 2.p (q v ~r) 3.p v (~ q r) 4.p (~q v r) วิธที า ข้ันแรกใหก้ ระจายนเิ สธจะวา่ [~ (p ~q) v ~ (~p v r)] [~(~p v ~q) v (p ~r)] [(p q) v (p ~r)] [(p (q v ~r)] ตอบ ขอ้ 2 ตวั อยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ p,q,r เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนไี้ มเ่ ป็นสัจนริ ันดร์ 1.(p q) [~r (p q)] 2.(~p v q) (~q ~p) 3.(p q) v (q r) v (~p ~q) 4.[(p q) v r)] [(~p v q) v (~r ~p)] ตอบ ข้อ 3

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 23 การใหเ้ หตผุ ล (เลขพ้นื ฐาน) สว่ นประกอบของการให้เหตผุ ลแบง่ เป็น 2 แบบดงั น้ี 1. ขอ้ อา้ งหรือเหตุ มักปรากฏคาวา่ เพราะว่า เน่ืองจาก ดว้ ยเหตทุ ว่ี า่ ฯลฯ 2. ข้อสรุปหรือผล มกั ปลากดคาว่า เพราะฉะนั้น ด้วยเหตุนจี้ ึง ดงั นั้น ฯลฯ ประเภทของการให้เหตุผล การใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนัย (Inductive reasoning) เป็นการให้เหตผุ ลโดยอาศยั ขอ้ สังเกต หรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตวั อย่าง มาสรปุ เปน็ ขอ้ ตกลง หรอื ข้อคาดเดาทว่ั ไป หรอื คา พยากรณ์ ซ่งึ จะเหน็ ว่าการจะนาเอาขอ้ สังเกต หรอื ผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนบั สนนุ ให้ ได้ข้อตกลง หรอื ข้อความทั่วไปซงึ่ กินความถงึ ทุกหน่วย ยอ่ มไมส่ มเหตุสมผล ข้อสังเกตของการให้เหตุผลแบบอุปนยั 1. ขอ้ สรปุ ของอปุ นัย ไม่จาเป็นต้องเป็นจรงิ เสมอไป 2. ข้อสรปุ ของอปุ นัยสามารถเกิดข้นึ ไดม้ ากกวา่ 1 คาตอบ 3. ขอ้ สรุปของอปุ นัยสามารถเกดิ ความผดิ พลาดไดส้ ูง ตัวอยา่ ง เหตุ 1.หา่ นตวั น้สี ขี าว 2.ห่านตวั นัน้ ก็สขี าว 3.หา่ นตัวโนน้ กส็ ีขาว ดังนัน้ ขอ้ สรปุ คอื หา่ นทกุ ตวั มีสขี าว ตัวอยา่ ง เหตุ 1.คอมพิวเตอร์ทีบ่ า้ นใชไ้ ฟฟ้า 2.คอมพิวเตอรพ์ กพาใช้ไฟฟา้ 3.คอมพิวเตอร์ในสานกั งานใช้ไฟฟา้ ดงั นน้ั ข้อสรุปคือ คอมพิวเตอร์ทุกเคร่อื งใช้ไฟฟ้า

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 24 การใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนัย(Deductive reasoning)เป็นการนาความรู้พน้ื ฐานท่ีอาจเปน็ ความเชอื่ ข้อตกลง กฎ หรอื บทนยิ าม ซึ่งเป็นสง่ิ ท่ีรู้มากอ่ นและยอมรับวา่ เปน็ จริง เพ่ือหาเหตผุ ล นาไปสขู่ อ้ สรุป ขอ้ สงั เกตของการให้เหตผุ ลแบบนิรนัย 1. เหตเุ ปน็ จรงิ และ ผลเปน็ จริง 2. เหตุเปน็ เทจ็ และ ผลเป็นเท็จ 3. ข้อสรปุ ของนริ นัยไม่ไดเ้ ปน็ จรงิ ทกุ กรณีเสมอไป ตัวอยา่ ง เหตุ 1.นายจรัสเปน็ มนษุ ย์ ดังนน้ั 2.มนุษยท์ กุ คนเป็นส่ิงมชี วี ิต 3.ส่ิงมชี ีวิตต้องการอากาศหายใจ ข้อสรปุ นายจรัสต้องการอากาศหายใจ ตัวอย่าง เหตุ 1.นางสาวกานดาเกดิ จังหวดั เชยี งใหม่ ดงั นัน้ 2.จังหวดั เชียงใหมเ่ ปน็ จงั หวดั ทอ่ งเที่ยว 3.จงั หวัดเชยี งใหมเ่ ปน็ จังหวดั ภาคเหนอื ของประเทศไทย ข้อสรุป นางสาวกานดาเกดิ ในจงั หวัดทอ่ งเที่ยวภาคเหนอื ของประเทศไทย ดงั น้นั จึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนยั จะให้ความแน่นอน แต่การใหเ้ หตุผลแบบ อปุ นัย จะให้ความน่าจะเป็น วธิ ีการตรวจสอบวา่ ขอ้ สรุปสมเหตสุ มผลหรือไม่ ใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ตรวจสอบความสมเหตุสมผล โดยในการวาดถา้ ทุกแผนภาพ แสดงผลขอ้ สรุปตามท่ีกาหนดแสดงวา่ ข้อสรปุ สมเหตุสมผล แตใ่ นทางกลบั กัน ถ้ามีแผนภาพแม้ เพยี งกรณเี ดยี วที่ไม่สมเหตุสมผล แสดงว่าขอ้ สรุปน้นั ไม่สมเหตุสมผล

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 25 ตวั อย่างท่ี 1 เหตุ 1.มนษุ ยท์ กุ คนมีหนวด 2.แมวบางตัวมหี นวด ข้อสรุป แมวทกุ ตวั เปน็ มนุษย์ จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ว่าสมเหตุสมผลหรอื ไม่ วธิ ที า วาดแผนภาพ จากแผนภาพพบว่ามแี มวบางตัวทีม่ หี นวดแต่ไม่ใช่มนุษยแ์ ละแมวบางตัวไมม่ หี นวด ดงั น้นั ขอ้ สรปุ แมวทุกตวั เป็นมนุษย์ จึงไมส่ มเหตสุ มผล ตัวอยา่ งที่ 2 เหตุ 1.คนไทยทุกคนทีม่ อี ายตุ ง้ั แต่ 7 ปบี ริบูรณต์ อ้ งมีบัตรประชาชน 2.นายกฤษฎา เปน็ คนไทย 3.นายกฤษฎา อายุ 17 ปี ขอ้ สรุป นายกฤษฎา มีบัตรประชาชน จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี วา่ สมเหตสุ มผลหรือไม่ วธิ ีทา วาดแผนภาพ จากแผนภาพคนไทยและมีบัตรประชาชนมนี ายกฤษฎา ดงั นัน้ ข้อสรุป นายกฤษฎา มีบัตรประชาชนจึงสมเหตุสมผล

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 26 ตวั อยา่ งที่ 3 .จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้แี ล้วระบุว่าสมเหตุสมผลหรอื ไม่ เหตุ ชาวนาบางคนรวย คนรวยบางคนเป็นคนดี ผล คนรวยบางคนไมเ่ ปน็ ชาวนาและไมเ่ ปน็ คนดี ตอบไม่สมเหตุสมผลเพราะมีกรณที ี่เป็นเท็จ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 27 บทท่ี 3 จานวนจริงและทฤษฏจี านวน การแก้สมการ แยกตวั ประกอบ กาลัง 2 มากกว่ากาลงั 2 ใช้สูตร −������ ± ������2− ������������ จบั คดู่ ึงตวั ร่วม ������ หารสังเคราะห์ การแกอ้ สมการ แยกตวั ประกอบ เขียนเส้นจานวน ระวังเร่อื งการใสเ่ ครอ่ื งหมาย ค่าสัมบูรณ์ | x | ≤ a -a ≤ x ≤ a | x | ≥ a x ≥ a หรอื x ≤ -a | x | ≥ | y | (x)2 ≥ (y)2 รปู แบบอน่ื ๆ แยกชว่ งคดิ ทฤษฎจี านวน หารลงตัว a|b อา่ นว่า a หาร b ลงตัว ห.ร.ม. ใช้วธิ ีของยูคลิด ค.ร.น. ใช้หารสนั้

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 28 จานวนจรงิ (Real Number) คอื จานวนทส่ี ามารถเขียนบนเส้นตรงที่มคี วามยาวไมส่ ้นิ สุด (เส้นจานวน) ได้ คาว่า จานวนจรงิ ซึ่งประกอบดว้ ยจานวนตรรกยะ และจานวนอตกรรกยะ จานวนจริง จานวนเต็ม ประกอบไปดว้ ยจานวนเตม็ บวก จานวนเตม็ ศูนย์ จานวนเตม็ ลบ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนนบั หรอื จานวนเตม็ บวก ไดแ้ ก่ 1,2,3,... เศษสว่ น จานวนเต็ม จานวนเต็มลบ ไดแ้ ก่ –1, –2, –3, ... โดย จานวนเตม็ บวก จานวนเต็มศูนย์ มี –1 มีค่ามากท่สี ดุ จานวนเตม็ ลบ จานวนคู่ คอื จานวนท่ี 2 หารลงตัว จานวนคี่ คอื จานวนที่ 2 หารไม่ลงตัว จานวนตรรกยะ คอื จานวนทสี่ ามารถ เขียนรูปเศษส่วนได้ เชน่ 4 , 3.67, 3.4848.., จานวนอตรรกยะคอื จานวนทไ่ี ม่สามารถ เขียนในรูปเศษสว่ นได้ เช่น 6.5123...,e, สมบตั ิของจานวนจริง สมบตั ิ การบวก การคณู ปดิ ถ้า a และ b เปน็ จานวนจรงิ แลว้ a + b R ถา้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ แลว้ a x b R สลับที่ a+b=b+a axb=bxa เปลยี่ นกลุ่ม (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c=a (b c) เอกลักษณ์ อนิ เวอรส์ 0 1 –a แจกแจง a (b+c) = a b + a c ความรเู้ สรมิ เอกลกั ษณ์ คอื จานวนซึ่งนาไปดาเนินการกบั จานวนใดแล้วไดจ้ านวนน้นั แล้วได้ตัวเดิม อนิ เวอรส์ (a–1) คือจานวนกต็ ามซงึ่ นาไปดาเนินการกับจานวนใดแล้วจะได้ เอกลกั ษณ์

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 29 การดาเนินการดว้ ย Operation เครอ่ื งหมายดาเนนิ การ (Operators) หรือ ตวั ดาเนินการ นั้นกาหนดการการกระทาท่ีเกิด ขน้ึ กับตัวแปรและค่าคงที่ โดยทนี่ พิ จน์ประกอบด้วยตัวแปร และค่าคงที่ และใชต้ วั ดาเนินการ คานวณเพอ่ื ให้ได้ค่า ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนด * เป็นตวั ดาเนินการในระบบจานวนจริง ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงบวก ทกุ a * b = 2a + b วธิ ที า a*a=1 ตอบ 35 b*b=0 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่า 5 * (10 * 5) 5 * (10 * 5) = 5 * (2(10)+5) = 5 * 25 = 2(5) + 25 = 35 กาหนด * เป็นตัวดาเนนิ การในระบบจานวนจริง ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ บวก โดยนยิ ามของ * คอื a * b = 4a + 2b – 1 จงหาเอกลักษณ์ของการดาเนนิ การตอ่ ไปนี้ วธิ ีทา กาหนดให้ e เป็นเอกลักษณ์ของการดาเนนิ การ ดังน้ัน a * e = a จาก a * e = 4a + 2e –1 4a + 2e − 1 = a 2e = 1 – 3a e= 1 – 3a 2 ตอบ 1 – 3a 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 30 การแกส้ มการพหนุ ามดีกรี 2 (Quadratic equation) สมการกาลังสองมรี ูปทัว่ ไป คือ ax2 + bx + c = 0 เม่อื x เป็นตวั แปร และ a,b,c เป็นคา่ คงที่และ a ไม่เปน็ 0 การแก้สมการกาลังสอง 1. การสมการโดยการแยกตัวประกอบ − ± 2− 2. ใช้สตู ร ข้อสงั เกต  ถา้ b2−4ac > 0 สมการจะมี 2 คาตอบ  ถ้า b2−4ac = 0 สมการจะมี 2 คาตอบท่เี หมือนกนั  ถา้ b2−4ac < 0 สมการไมม่ คี าตอบเป็นจานวนจริง คาตอบของสมการจะเปน็ จานวนเชิงซอ้ น การแก้สมการพหนุ ามดกี รตี ้งั แตก่ าลัง 3 ขึ้นไป วธิ ีท่ี 1 จับคู่ดงึ ตวั รว่ ม Ex x3 – 2x2 – 6x + 12 = 0 x2(x – 2) – 6(x – 2) = 0 (x2 – 6)(x – 2) = 0 (x – )(x + )(x – 2) = 0 x=– ,2, ความรู้เสรมิ สมการพหุนามดกี รี 3 ในรูป ax3 + bx2 + cx + d = 0 เรยี กว่า Cubic equation สมการพหุนามดีกรี 4 ในรูป ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0 เรียกว่า Quartic equation

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 31 วธิ ีท่ี 2 ใชท้ ฤษฏเี ศษเหลอื และหารสังเคราะห์ หลกั การแกโ้ จทย์คอื Ex x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0 นาสุ่มตัวเลขไปแทนแลว้ ทาให้สมการเป็น ลองแทนเลขพบว่า แทน 2 แล้วสมการเป็นจริง จริง แลว้ นาตวั เลขน้ันไปหารสังเคราะห์ ตัวเลขท่สี ่มุ ไปแทนตอ้ งหารตัวเลข ตัว สุดท้ายของโจทย์ลงตัว การสุ่มเราต้องส่มุ ทัง้ ค่าบวกและลบ เมอ่ื ทราบวา่ ใดหารลงตวั แลว้ นา สัมประสทิ ธจ์ิ ากโจทยม์ าเป็นตวั ตั้งแลว้ หารด้วยจานวนน้นั (x – 2)(x2 + 6x + 5) = 0 (x – 2)(x + 5)(x + 1)=0 x = 2 , –5 , –1 ขอ้ ควรรู้ (น+ล)3 = น3 + ล3 + 3นล(น+ล) (น−ล)3 = น3 − ล3 − 3นล(น−ล)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 32 ชว่ งและการแกอ้ สมการ ชว่ ง (Interval) เมือ่ กาหนด a และ b เป็นจานวนจริงโดยท่ี a < b ชว่ งเปดิ (Opened Interval) จาก a ถงึ b คอื (a,b) = {x R | a < x< b } ช่วงปิด (Closed Interval) จาก a ถึง b คือ [a,b]={x R | a ≤ x ≤ b } ชว่ งครึง่ เปดิ ทางขวา (Interval half open on the right) จาก a ถงึ b คือ [a,b) = {x R | a ≤ x < b } ช่วงคร่งึ เปดิ ทางซา้ ย (Interval half open on the left) จาก a ถงึ b คอื (a,b] = {x R | a x ≤ b } หลกั การแกอ้ สมการ 1. ย้ายข้างเหมอื นสมการทุกอยา่ ง ยกเวน้ ถ้าเอาจานวนลบไปคูณหรือการให้กลับ เครือ่ งหมาย 2. ย้ายข้างจนกว่าด้านหนงึ่ จะกลายเปน็ 0 และแยกตวั ประกอบ 3. เขยี นเสน้ จานวน หาคา่ วิกฤติ (คอื เลขทีท่ าให้ค่าเปน็ 0) 4. ใส่เครอ่ื งหมายเป็นเส้นจานวน Ex จงแก้อสมการต่อไปนี้ x2 – 6x + 2 > –7 คา่ + เกิดจากการแทนเลขท่ี x2 – 6x + 9 > 0 มากกวา่ 3 แล้วพบวา่ ทุกตวั มคี ่า เปน็ บวก เพราะฉะน้นั เราตอ้ งแทน (x – 3)(x – 3) > 0 เลขลงไปจึงจะทราบ ช่วงจะเปน็ เราจงึ สามารถเขยี นเส้นจานวนไดด้ ังน้ี บวกหรือลบ + 3+ เซตคาตอบ คือ R – {3}

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 33 ตัวอย่างท่ี 3 จงเขยี นเส้นจานวนของอสมการต่อไปน้ี 1.(x – 3)(5 – x) > 0 ตอบ (3,5) เพราะหากเรานาตัวเลขทอี่ ยู่ระหวา่ ง 3 ถงึ 5 มาแทนลงในสมการ มีผลให้คาตอบได้เป็นจานวน บวกเสมอแตใ่ นทางกลับกัน ถ้านาช่วงที่นอ้ ยกวา่ 3 หรอื มากกว่า 5 ไปแทนลงในสมการจะทาใหส้ มการได้ คาตอบเปน็ จานวนลบเสมอ 2.(x – 6)2 (x – 2)(x + 1) < 0 ตอบ (–1,2) เพราะหากเรานาตวั เลขท่ีอยรู่ ะหว่าง 3 ถงึ 5 มาแทนลงในสมการ มผี ลใหค้ าตอบได้เป็น จานวนบวกเสมอ 3.(7 – x)2(x + 3) ≤ 0 ตอบ (∞,–3] ∪ {7} −− −2 4. − ≥0 ตอบ (–∞,–2) ∪ (1,3] ∪ {2} เพาระ ทเ่ี ราไมร่ วม –2 กับ 1 มาเป็นคาตอบเพราะถา้ ถา้ นามารวมเป็นคาตอบ จะทาใหส้ ่วนเปน็ 0 แล้วหาคา่ ไม่ได้

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 34 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาเซตคาตอบของ − < –1 วธิ ที า − + 1 < 0 คาแนะนาถ้าเปน็ เศษส่วนแลว้ มีตวั แปรซงึ่ ไมท่ ราบว่าจะเปน็ บวกหรือลบห้ามคูณไขว้ − − <0 − − <0 ตอบ คาตอบอยู่ในช่วง (1,2) ค่าสัมบรู ณ์ นิยาม สาหรบั จานวนจรงิ ใดๆ a, ค่าสมั บูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และ เทา่ กบั −a ถา้ a < 0 |a| จะไม่เปน็ จานวนลบ คา่ สมั บูรณจ์ ะเปน็ จานวนบวกหรอื ศนู ย์เสมอ นน่ั คอื จะไมม่ ีค่า a ที่ |a| < 0 |x| = |–x| |x – y| =| y – x | |x + y| ≤ |x| + |y| |x – y| ≥ |x| – |y| |x • y| = |x||y| | | = ; y ≠ 0 |xn| = |x|n |x2|=x2 การแก้อสมการค่าสมบูรณต์ ัวเดียว การแกอ้ สมการค่าสมบูรณ์สองตัว | x | ≤ a –a ≤ x ≤ a | x | เครอ่ื งหมายอสมการ | a | ให้ยกกาลังสองทงั้ ตัวอย่าง สองขา้ ง ตัวอย่าง |x–3|<5 –5 < x – 3 < 5 | 4x + 3 | > | 3x – 1 | –2 < x < 8 (4x + 3)2 > (3x – 1)2 | x | ≥ a x ≥ a หรอื x ≤ –a (4x + 3)2 – (3x – 1)2 > 0 ตัวอยา่ ง (4x + 3 – 3x + 1)(4x + 3 + 3x – 1) > 0 |x–2|>7 (x + 4)(7x + 2) > 0 x – 2 > 7 หรอื x – 2 < –7 x > 9 หรอื x < –5 + –4 - –+

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 35 การแกอ้ สมการคา่ สมบูรณ์รปู แบบอืน่ ๆ ตัวอยา่ ง |x–3|+|x–1|≤2 นาคาตอบทไี่ ดม้ า x≤1 1≤x≤3 x≥3 อินเตอรเ์ ชกชนั กบั – (x – 3) – (x – 1) ≤ 2 –(x – 3) + (x – 1) ≤ 2 (x – 3)+(x – 1) ≤ 2 ช่วง –2x + 4 ≤ 2 2≤2 2x – 4 ≤ 2 –2x ≤ –2 2x ≤ 6 x≥ 4 ได้ 1 ≤ x ≤ 3 x≤3 ชว่ งนีไ้ ม่มีคาตอบ ชว่ งน้ไี มม่ คี าตอบ นาตอบทุกช่วงมายูเนียนกัน เซตคาตอบคอื ช่วง [1,3] การหารลงตวั Ex จงแสดงว่า 4|20 n|m คอื n หาร m ลงตวั หรอื กล่าวว่า m ถกู n วธิ ีทา 20 = 4×5 + 0 หารลงตัว เศษเปน็ 0 แสดงวา่ 4 หาร 20 ลงตวั n คอื ตัวหาร m คือพหุคณู ของ n ข้ันตอนการหาร (15,25) = 5 เพราะ 5 คอื จานวนเตม็ บวกที่มาก m = n(q) + r ที่สุด ทห่ี ารทงั้ 15 และ 25 ลงตัว m คอื ตวั ตัง้ n คอื ตัวหาร q คือผลหาร r คือเศษ Ex จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 58 ห.ร.ม. (a,b) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b คือ จานวนเตม็ บวกที่มากทสี่ ดุ ทหี่ าร a และ b ลงตวั 58 = 14(4) + 2 ข้นั ตอนของยูคลิด 14 = 2(7) + 0 1) ตอ้ งการหา ห.ร.ม. ของ a,b ให้ใชว้ ธิ กี ารหาร 2) (a,b) = ( ตวั หาร , เศษเหลอื ) ดังนั้น (14,58) = 2 3) ทาข้ันตอน 2 ไปเรอ่ื ยๆ จนกว่าเศษจะเปน็ 0 4) เศษเหลอื ตวั สดุ ท้ายของการหารกอ่ นเศษเป็น 0 Ex จงหาค.ร.น. ของ 4 กับ 6 คอื ห.ร.ม. 4 • 6 = ห.ร.ม. • ค.ร.น. ค.ร.น. [a,b] แทน ค.ร.น. ของ a และ b คือจานวน 24 = 2 • ค.ร.น. เต็มบวกท่นี อ้ ยทีส่ ุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว ดงั นนั้ ค.ร.น. = 12

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 36 ทฤษฏบี ท a และ b คือจานวนเต็มบวก แลว้ จานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ a•b = (a,b) • [a,b] a,b เป็นจานวนเฉพาะสมั พทั ธ์ เม่อื (a,b) = 1 หารรว่ มมากและคูณรว่ มน้อย หารร่วมมากคอื จานวนเตม็ บวกทีม่ คี า่ มากท่ีสดุ ซ่ึงหารจานวนที่เราสนใจอยา่ งนอ้ ย 2 ตวั ลงตัว หรอื จะกลา่ วตามนิยามวา่ เมอื่ กาหนด d เป็นตัวหารร่วมมากของ a และ b ซ่ึง a หรอื b ห้ามเปน็ 0 ก็ ตอ่ เม่อื d | a และ d | b และเราแทนห.ร.ม.ทบี่ วกบวกของ a,b ด้วย (m,n) Ex จงหาห.ร.ม. ของ 146 และ 192 อยา่ สับสนกบั เรอ่ื งชว่ งของอสมการนะครับ วิธีทาให้ใชข้ ้ันตอนวิธีการหารดงั นี้ 192 = 146(1) + 48 146 = 48(3) + 2 48 = 2(24) + 0 ห.ร.ม.ของ 146 และ 192 คอื 2 เพราะ 2 คอื จานวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดท่ีหารทัง้ 146 และ 192 ลงตวั คณู ร่วมน้อยคือจานวนเตม็ บวกซึ่งมคี า่ นอ้ ยท่ีสุดถกู หารดว้ ยท่ีจานวนท่เี ราสนใจอยา่ งน้อย 2 ตวั ลง ตวั หรือจะกล่าวตามนยิ ามวา่ เมื่อกาหนด d เป็นคณู รว่ มน้อยของ a และ b ซ่ึง a หรอื b หา้ มเป็น 0 ก็ ตอ่ เมื่อ a | d และ b | d และเราแทนค.ร.น.ท่บี วกบวกของ a,b ด้วย [m,n] อยา่ สับสนกบั เร่อื งช่วงของอสมการนะครับ Ex จงหาค.ร.น.ของ 34 และ 112 วธิ ที า เราสามารถทาได้หลายวิธเี ช่นใชท้ ฤษฎบี ท a • b = (a,b) • [a,b] การหารสน้ั การแยกตัวประกอบ สาหรบั วิธที งี่ ่ายท่สี ุดและรวดเรว็ คอื การตง้ั หารส้ัน 2 × 17 × 56 = 1904 ดังนั้น ค.ร.น.ของ34 และ 112 คอื 1,904 เพราะ 1,904 คือจานวนเป็นบวกทนี่ อ้ ยท่สี ดุ ที่ 34|1,904 และ 112|1,904

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 37 ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนดให้ S = , | 2− ≥ 2− - ชว่ งใดตอ่ ไปน้เี ป็นสบั เซตของ S (PAT1) 1.(–∞,–3) 2.(–1,0.5) 3.(–0.5,2) 4.(1,∞) วิธีทา − − ≥ − − −≥ (-∞,-4) ∪ (-1,1) ∪ (2, ∞) −− ≥ ≥ −− −− −− ตอบข้อ 2 สังเกตไดว้ ่า (–1,0.5) เป็นสับเซตของเซต S ตัวอย่างที่ 6 กาหนด S ={x | =1} เซตในขอ้ ใดต่อไปนี้เทา่ กับเซต S (PAT1) 1. {x| x3=1} 2.{x|x2=1} 3.{x|x3=–1} 4.{x4=x} วิธที า จากเซต S เราสามารถเขียนแจกแจงสมาชิกไดด้ ังนี้ {1,–1} พจิ ารณาคาตอบ 1.{x|x3=1} สามารถเขยี นแจกแจงสมาชกิ ได้ดงั นี้ {1} 2.{x|x2=1} สามารถเขยี นแจกแจงสมาชกิ ได้ดังนี้ {1,–1} เนอื่ งจากทงั้ ค่เู มอื่ นาไปยกกาลังสองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 1 3.{x|x3=–1} สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกไดด้ งั น้ี {–1} 4.{x4=x} สามารถเขียนแจกแจงสมาชกิ ไดด้ งั น้ี {0,1} เนื่องจากค่า x = x4 ซง่ึ x4 เป็นไดเ้ พยี งจานวนเต็มบวกเทา่ น้นั ดังนัน้ จงึ ทาให้ x ต้องเป็นจานวนเต็ม บวกไปด้วย ตอบ ขอ้ 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 38 ตัวอยา่ งที่ 7 ถา้ เซตคาตอบของอสมการ |x2 + x – 2| < (x + 2) คือชว่ ง (a,b) แล้ว a+b มคี า่ เทา่ กับเท่าใด (A–NET มีนาคม 2550) วิธีทา จากนยิ ามของค่าสัมบรู ณจ์ ะได้ – (x + 2) < x2 + x – 2 < x + 2 – (x + 2) < x2 + x – 2 x2 + x – 2 < x + 2 0 < x2 + 2x x2 < 4 0 < x(x + 2) x < –2,2 นาท้งั สองชว่ งมาอินเตอร์เซกชนั กนั จากรปู ชว่ งท่ซี า้ กนั คือ (0,2) ดังนนั้ 0 + 2 = 2 ดงั นนั้ ตอบ 2 ตวั อยา่ งท่ี 4 กาหนดให้ A = {x | (2x+1)(x–1) < 2} B = {x | |2x–10| < 2} C เปน็ เซตของ A ∩ B จงหาเซตคาตอบของ (A ∪ B) ∩ C′ วิธีทา พิจารณา A = (2x+1)(x–1) < 2 ใหจ้ ัดรูปให้ฝั่งหนึง่ มคี ่าเป็นศนู ย์ 2x2 – x – 3 < 0 (2x–3)(x+1) < 0 พิจารณา B = –2< 2x – 10 < 2 8 < 2x < 12 4< x <6 พจิ ารณา C คือ A ∩ B = (A ∪ B) ∩ C′ = (A ∪ B) ดงั นนั้ ตอบ A ∪ B = (–1,1.5) ∪ (4,6)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 39 บทที่ 4 ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ นั ความสมั พันธ์ ผลคูณคารท์ เี ชียน A x B = {(x,y) | x A y B } โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ โดเมนคอื คา่ x ในคูอ่ ันดบั (x,y) เรนจ์คือ ค่า y ในคู่อนั ดับ (x,y) อนิ เวอรส์ ของความสมั พันธ์ หรือตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ สลับที่ x กบั y ฟงั กช์ ัน y = f(x) ประเภทของฟงั กช์ นั ฟงั ก์ชัน A ไป B (into function) Df = A Rf B ฟังกช์ ัน A ไปท่ัวถึง B (onto function) Df = A Rf = B ฟงั ก์ชนั หน่ึงตอ่ หนึ่ง(1-1 function) ฟงั กช์ นั ทีต่ วั หลัง (y) สามารถจับคกู่ บั อนิ เวอร์สของฟังก์ชัน สมาชิกตวั หน้า (x) เพียง 1 ตัวเทา่ น้ัน สลับท่ี x กบั y ตรวจสอบว่าฟังกช์ นั หรอื ไม่ ฟงั ก์ชนั ประกอบ gof(x) = g(f(x)) แทนค่า f(x) ลงใน g(x) ฟงั ก์ชนั เอกลกั ษณ์ fof-1(x) = x การดาเนินการของฟังก์ชัน (f + g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df ∩ Dg (f - g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df ∩ Dg (f • g)(x) = f(x) • g(x) ; Df•g = Df ∩ Dg (gf )(x) = f ; g(x) ≠ 0 และ D f = Df ∩ Dg g g โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 40 คอู่ ันดับ (Order Pair) เป็นการจับคสู่ ิ่งของโดยถอื ลาดบั เปน็ สาคัญ เช่น คู่อนั ดบั a, b จะ เขยี นแทนด้วย (a, b) เรยี ก a วา่ เปน็ สมาชกิ ตวั หน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง (การเท่ากบั ของคูอ่ ันดับ) (a, b) = (c, d) กต็ ่อเมื่อ a = c และ b = d ผลคณู คารท์ ีเชียน (Cartesian Product) ผลคณู คารท์ ีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อนั ดบั (a, b) ทง้ั หมด โดยที่ a เป็น สมาชกิ ของเซต A และ b เปน็ สมาชิกของเซต B สัญลักษณ์ ผลคูณคารท์ ีเซยี นของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B หรือ เขยี นในรปู เซต แบบบอกเงอ่ื นไขจะได้วา่ A x B = {(x,y) | x A y B } ตวั อยา่ ง A ={1, 2, 3} B = {a, b} A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} ดงั นัน้ จานวนสมาชิกทง้ั หมดคือ n(A) x n(B) = 3 x 2 = 6 ความสมั พนั ธ์ (Relation) คือเซตของค่อู นั ดับซ่งึ เปน็ สบั เซตของ A x B กาหนดให้ r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B กต็ อ่ เมอ่ื r เป็นสับเซตของ A x B ตวั อย่าง กาหนดให้ A ={1, 3, 5} B = {−2, 2} จงเขยี นคอู่ ันดบั ของความสมั พันธ์ A x B ใน จตุภาค วิธที า เราสามารถเขยี นคู่อันได้ดงั นี้ {(1,−2), (1,2), (3, −2), (3,2), (5, −2), (5,2)} (1,2) (3,2) (5,2) 2 135 -2 (1,−2) (3,−2) (5,−2)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 41 ข้อควรรู้เกยี่ วกบั ความสมั พนั ธ์ 1. เซตว่างเป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B เพราะ เซตว่างเปน็ สบั เซตของทกุ เซต 2. ถา้ ความสัมพนั ธ์ A B และ B C แลว้ ความสัมพนั ธ์ A C 3. จานวนความสัมพันธข์ อง A ไป B คือ 2n(A x B) 4. ถ้าไมม่ กี าหนดขอบเขตของความสัมพนั ธ์ ใหถ้ ือวา่ ขอบเขตของความสัมพันธค์ อื จานวนจรงิ เม่ือ A และ B เปน็ จานวนจรงิ แลว้ A x B R x R 5. x r y คือ x มคี วามสัมพันธ์ r กบั y สามารถเขยี นอยู่ในรปู (x,y) r 6. x r y คือ x ไมม่ คี วามสมั พนั ธ์ r กบั y สามารถเขยี นอย่ใู นรูป (x,y) r ตัวอย่าง (9,3) r คอื 9 r 3 อา่ นว่า 9 มีความสมั พันธ์กับ 3 “เปน็ 3 เทา่ ” โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (Range) 1. โดเมน (Domain) ของความสมั พันธ์ r คอื เซตทม่ี สี มาชกิ ตวั หนา้ ของทุกคอู่ นั ดับในความสัมพนั ธ์ r ใช้ สัญลักษณ์แทนดว้ ย Dr ดงั นน้ั Dr = {x | (x, y) r} 2. เรนจ์ (Range) ของความสมั พันธ์ r คือ เซตท่ีมีสมาชิกตวั หลังของทุกคู่อนั ดับในความสมั พันธ์ r ใช้ สญั ลกั ษณแ์ ทนด้วย Rr ดงั นัน้ Rr = {y | (x, y) r} ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A = {−2, 0, 1, 3, 4} และ r เป็นความสัมพันธ์ {(x, y) A × A | y = x2} จงพจิ ารณา หาคา่ โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธต์ อ่ ไปน้ี วธิ ีทา r เปน็ ความสมั พนั ธร์ ปู แบบของ A โดยที่ y = x2 r = {(−2, 4), (0, 0), (1, 1)} ดังนั้น Dr = {−2, 0, 1} Rr = {0, 1, 4} ตวั อย่าง จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พันธ์ตอ่ ไปนี้ {(x, y) | y = 2x} ตอบ Dr = R Rr = R

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 42 การตรวจสอบขอ้ จากัดของโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ ตรวจสอบโดเมน จัด y ในเทอม x ตรวจสอบเรนจ์ จดั x ในเทอม y 1.ในรูปแบบเศษส่วน แนวคดิ ส่วนห้ามเปน็ 0 เนอ่ื งจากส่วนเป็น 0 แล้วหาค่าไม่ได้ ตวั อยา่ งที่ 1 r = , - จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตรวจสอบโดเมน จากความสมั พันธ์ ส่วนห้ามเป็นศูนย์ คือ x+2 ≠0 x ≠ –2 ตรวจสอบเรนจ์ ใหจ้ ดั x ในเทอม y คอื r=, - r=, − - r=, −- จากความสัมพันธ์ ส่วนห้ามเปน็ ศูนย์ คือ y≠0 ตอบ โดเมนคอื (–∞,–2) ∪ (–2, ∞) หรอื R – {–2} เรจนค์ อื (–∞,0) ∪ (0, ∞) หรอื R – {0} 2.ในรูปของยกกาลัง 2 แนวคิด

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 43 ตวั อยา่ งที่ 2 r = {(x,y)| y = (x−3)2 } จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตอบ โดเมน คือจานวนจริง {x | x R} เรนจ์ คือจานวนจริงซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 {y | y ≥ 0 } 3.ในรปู ในเคร่ืองหมายกรณฑ์ แนวคิด จะพบว่า A ≥0 เนอื่ งจากในเรอื่ งความสมั พันธ์จะมจี านวนจริงเปน็ เอกภพสมั พทั ธ์ จะ ทาให้ ค่าของ A ติดลบไมไ่ ด้ในเร่อื งของจานวนจริง ตวั อยา่ งที่ 3 r = {(x,y)| y = − } จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ 2x – 8 ≥ 0 2x ≥ 8 x ≥4 ตอบ โดเมน คือจานวนจรงิ {x | x ≥ 4} เรนจ์ คือจานวนจริงซึง่ มีค่ามากกว่าหรอื เทา่ กบั 0 {y | y ≥ 0 } 4.ในรูปเครื่องหมายค่าสมั บรู ณ์ แนวคดิ ตัวอย่างที่ 4 r = {(x,y)| y = |5 – 2x|} จงพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ ตอบ โดเมน คอื จานวนจริง {x | x R} เรนจ์ คอื จานวนจรงิ ซง่ึ มคี ่ามากกว่าหรอื เทา่ กบั 0 {y | y ≥ 0 }

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 44 5.ประยุกตโ์ ดยใช้กราฟ แลว้ พจิ ารณาจากกราฟ คา่ x คอื โดเมน ค่า y คอื เรนจ์ ตัวอย่างท่ี 5 r = {(x,y)| |x|+|y| = 4} จงพจิ ารณาหาโดเมนและเรนจ์ สามารถวาดกราฟได้ ตอบ โดเมน คือ {x | −4 ≤ x ≤ 4 } เรนจ์ คอื {y | −4 ≤ y ≤ 4 } กราฟ วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา สามารถศกึ ษาไดจ้ ากบทเรขาคณติ วเิ คราะห์ ตัวผกผนั ของความสมั พันธ์ ตัวผกผนั ของความสัมพนั ธ์ r คอื ความสมั พันธ์ซึง่ เกดิ จากการสลบั ทรี่ ะหว่างโดเมน และเรนจ์ โดยเขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ r −1 Ex กาหนดให้ r = {(1, 7), (2, 5), (6, −4), (8, 12)} จงหาตวั ผกผันของความสัมพันธ์ r วธิ ีทา r −1 = {(−4, 6), (1, 7), (5, 2), (12, 8)}

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 45 ฟังกช์ ัน (Function) คือ ความสัมพนั ธ์ ซง่ึ ในสองคูอ่ นั ดับใด ๆ ของความสัมพนั ธ์ นน้ั ถา้ มสี มาชิกตวั หน้าเทา่ กนั แลว้ สมาชิกตวั หลังตอ้ งไมแ่ ตกตา่ งกนั ฟังก์ชนั A ไป B (into function) คือฟงั ก์ชันท่ีใช้สมาชิกตัวหน้าครบทกุ ตัว Df = A Rf B เขียนสัญลักษณ์แทนดว้ ย f: A B ฟงั ก์ชัน A ไปท่วั ถงึ B (onto function) คอื ฟังกช์ ันที่ใชส้ มาชิกตวั หน้าและตัวหลงั ครบ ทุกตัว Df = A Rf B เขียนสัญลักษณแ์ ทนดว้ ย f: A ทวั่ ถงึ B ฟังก์ชันหน่ึงต่อหนึ่ง (1–1 function) คือ ฟังกช์ นั ที่ตวั หลัง (y) สามารถจับคกู่ ับสมาชกิ ตวั หน้า x เพียง 1 ตัวเท่าน้ัน เขียนสญั ลกั ษณ์แทนดว้ ย f: A 1–1 B

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 46 การตรวจสอบความสมั พนั ธ์ว่าเป็นฟงั ก์ชัน เราสามารถทดสอบว่าความสมั พนั ธ์นัน้ เป็นฟงั กช์ ันหรือไมโ่ ดยการลากเส้นแนวขนาน แนวแกน y หาก ตดั กราฟมากกวา่ 1 จุดแสดงว่าความสัมพันธน์ ั้นไมเ่ ป็นฟังก์ชัน กราฟนเี้ ป็นฟงั กช์ นั กราฟน้ไี มเ่ ปน็ ฟังก์ชัน สาหรับการพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ ันหนึ่งต่อหน่ึงหรอื ไม่ เราลากแนวเสน้ ขนานแกน x ถ้าเส้นตัดกราฟมากกว่า 1 จดุ แสดงว่าฟงั กช์ ันไมใ่ ชฟ่ งั กช์ ันหน่งึ ตอ่ หนึ่ง กราฟนเ้ี ป็นฟังก์ชันหนงึ่ ตอ่ หน่ึง กราฟน้ีไมเ่ ป็นฟงั ก์ชันหน่ึงตอ่ หนึ่ง ประเภทของฟงั ก์ชัน ฟงั ก์ชันลด ฟงั กช์ ันเพิ่ม เมือ่ f เป็นฟงั กช์ นั ถา้ x1 < x2 เมอื่ f เป็นฟงั กช์ ัน ถา้ x1 <x2 แล้ว f(x1) > f(x2) แลว้ f(x1) < f(x2)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 47 สัญลกั ษณ์ของฟงั ก์ชนั ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ ันเราจะเรยี น y = f(x) โดย (x,y) f ตัวอยา่ งท่ี 1 f={(1,2),(3,4),(5,6)} ตวั อย่างที่ 2 f(x) =x2+3x–1 จงหา f(2) f(1) = 2 f(2) = (2)2+3(2)–1 f(5) = 6 f(2) = 9 ตัวอย่างท่ี 3 f(2x+6) = 3x–4จงหา f(2) ตวั อย่างท่ี 4 f(2x–1) = 4x + 5 จงหา f(x) f(2) = 3(−2) − 4 f(x) = 4[ ]+5 = −10 = 2(x+1)+5 = 2x+7 วธิ คี ิด จับก้อนข้างใน f( ) = จานวนที่ ระวงั โจทย์ตอ้ งการ 2x1 – 1 = x2 2x+6 = 2 2x1 = x2 + 1 2x = −4 x1 = ������2 x =−2 ฟังก์ชันผกผนั อินเวอรส์ ของความสมั พันธ์ (r–1) คือ Ex ความสมั พนั ธท์ ่เี กิดจากการสลับสมาชิกตวั หนา้ r = {(1,2),(3,4),(5,6)} กับสมาชกิ ตวั หลัง r–1={(2,1),(4,3),(6,5)}

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 48 กราฟของอนิ เวอร์สของความสมั พันธ์ f(x) f-1(x) อินเวอรส์ ของฟงั กช์ ัน คอื ฟงั ก์ชันท่เี กดิ จากการ Ex สลับสมาชกิ ตวั หน้ากบั สมาชิกตัวหลงั f={(x,y) I+ x I | y = 2x+1} f–1={(y,x) I x I+ | y = 2x+1} หรอื f–1={(x,y) I x I+ | x = 2y+1} ซ่ึงสามารถจัดรูปไดด้ งั น้ี f–1={(x,y) I x I+ | y = − } ความสัมพนั ธ์ระหว่าง f(x) และ f–1(x) 1. f–1(x) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 2. D f = Rf 3. R f = Df รปู แบบการแกป้ ญั หาอินเวอรส์ ของฟังกช์ ัน อนิ เวอร์สในรูปคอู่ ันดบั Ex f = {(1,2),(3,4),(5,6)} จงหา f–1 (4) f–1={(2,1),(4,3),(6,5)} f–1 (4) = 3

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 49 อินเวอร์สในรูปสมการปกติ Ex f(x) = 3x +1 จงหา f–1 (2) − จงหา f–1 (2) Ex f(x) = − y = 3x +1 สลับที่ x และ y y= สลบั ท่ี x และ y x = 3y +1 − y= − f–1 (x) = − x= f–1 (2) = x(6y+5) = 4y – 1 x(6y+5) +1 = 4y 6xy – 4y + 5x +1 = 0 ± y(6x–4) = – 5x – 1 Ex f(x) = ± −− f–1(x) = −± f–1 (x) = − y= − ±− f–1 (2) = − − − อนิ เวอรส์ ในรูปไม่สมการปกติ เปน็ f–1 ( ) = แนวคิดให้สลับก้อนข้างใน f( ) = กาหนด A แทน x2 Ex f(4x+1) = 2x – 2 จงหา f–1(–2) 2x – 2 = A f–1(2x – 2) = 4x +1 x= f–1(x) = 4[ ] +1 f–1(x) = 2(x+2) +1 f–1(x) = 4x+5 f–1(–2) = 4(–2) +5 = –3

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 50 ฟังก์ชนั ประกอบ (Composite Function) gof(x) = g(f(x)) ทุก x Dgof และจะหาค่าไดเ้ มอ่ื Ex f(x) = x2+3 g(x) = –x +5 Rf ∩ Dg ≠ จงหา gof(1) วธิ ีทา g(f(1)) = g(12+3) = g(4) = –4 + 5 =1 ฟังก์ชนั เอกลักษณ์ (fof–1)(x) = x และ (f–1of)(x) =x แต่ (f–1ogof)(x) ≠ x ตวั อย่าง f(x) = 3x+7 จงหา (fof–1)(5) ตอบ 5 เพราะเป็นฟงั กช์ ันเอกลกั ษณ์ ฟังกช์ นั ประกอบอนิ เวอร์ส (fog)–1(x) = g–1of–1 (x) การดาเนินการของฟังกช์ ัน (f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df ∩ Dg Ex 1 (f–g)(x) = f(x) – g(x) ; Df–g = Df ∩ Dg f = {(1,–1),(3,2)} g(x)={(1,2),(7,3)} (f g)(x) = f(x) g(x) ; Df•g = Df ∩ Dg (f+g)(x) = {(1,1)} (gf )(x) = f ; g(x) ≠ 0 และ D f = Df ∩ Dg (f–g)(x) = {(1,–3)} g g (f g)(x) = {(1,–2)} (gf)(x) ={(1,− )} Ex2 กาหนด f(x)= –x+5 และ g(x) = 2x+6 (f+g)(x) = (–x+5) + (2x+6) = x+11 (f–g)(x) = (–x+5) – (2x+6) = –3x–1 (f g)(x) = (–x+5)(2x+6) =–2x2+x+30 f − (g)(x) =