สรุปแก่นคณิตศาสตร์ม.ปลาย Math Kit Ebook

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 101 ผลคณู ระหว่างเวกเตอร์ ° ผลคณู เชงิ สเกลาร์ (Dot Product) ผลคณู เชิงสเกลาร์สองมิติ ° ผลคณู เชงิ สเกลาร์สามมิติ ⋅ = a1b1+a2b2 ⋅ = a1b1+a2b2+a3b3 = | || |cos ; ° = | || |cos ; ° ตัวอย่าง กาหนดให้ =2 + 3 และ = –3 + 4 วธิ ีทา u ⋅ v = (2 • (–3 )) + (3 • 4 ) = –6 + 12 =6 ผลคูณเชงิ เวกเตอร์(Cross Product) ผลคณู เชิงเวกเตอรส์ ามมิติ กาหนด u [ ] v [ ] u v =| | =| || |sin

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 102 คณุ สมบตั ผิ ลคูณระหว่างเวกเตอร์ ผลคณู เชิงเวกเตอร์ แลว้ u v= v u ผลคูณเชิงสเกลาร์ u (v w) = u v u w) u⋅v =v⋅u u ⋅ (v w) =u ⋅ v u ⋅ w (u v) = ( u) v = u ( v) (u ⋅ v) = ( u) ⋅ v = u ⋅ ( v) u u=0 u= u ⋅ u = |u| ถ้า u และ v ไม่เท่ากับ 0 แล้ว u v = u⋅ =0 uv ถา้ u และ v ไม่เทา่ กับ 0 แลว้ u ⋅ v > 0 กต็ อ่ เมอื่ เป็นมุมแหลม u ⋅ (u v) = 0 u ⋅ v = 0 กต็ อ่ เมอ่ื =90°และ u v ต้ังฉากกนั u ⋅ v < 0 ก็ตอ่ เมอ่ื เปน็ มุมปา้ น |u v |2 = |u|2 + |v|2 + 2|u|⋅|v|cos |u v |2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|⋅|v|cos |u v |2 – |u v |2 = 4(|u ⋅ v |) |u v |2 + |u v |2 =2(|u|2 + |v|2) |u v |2 = |u|2 + |v|2 – (u ⋅ v) 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 103 การประยกุ ต์เวกเตอร์ 1.พน้ื ท่สี เ่ี หล่ยี มด้านขนาน (ตอ้ งทราบ) พื้นที่ = ฐาน สงู = |u v | = | || |sin 2.ปริมาตรของทรงส่ีเหลย่ี มด้านขนาน (ต้องทราบ) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง = |u||v r |cos = |u ⋅ (v r)| 3.โปรเจคช่ันของเวกเตอร์ (นอกหลักสูตร แตค่ วรทราบ) Proj vu = av เนอื่ งจาก v ตัง้ ฉาก u –av Proj vu = u⋅ v v |v| มาจาก v ⋅ (u v) = 0 v ⋅ u ( v ⋅ v) = 0 v ⋅ u = |v| u⋅ v a = |v| Proj uv = u⋅ v u |u| 4.พน้ื ทร่ี ปู สามเหลี่ยม (นอกหลกั สูตร แต่ควรทราบ) × |u|⋅|v|⋅sin = × ฐาน × สูง

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 104 บทท่ี 10 จานวนเชิงซอ้ น พน้ื ฐาน ค่า i ค่าสมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน สมบตั ขิ องจานวนเชิงซ้อน สงั ยคุ ของจานวนเชิงซ้อน อินเวอร์สของจานวนเชงิ ซ้อน กราฟของจานวนเชงิ ซอ้ น พิกัดเชงิ ขวั้ รากที่ n การแก้ปญั หาสมการดว้ ยจานวนเชิงซอ้ น

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 105 ระบบจานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) เนอื่ งจากสมการพหนุ ามจานวนมากไม่มีคาตอบตัวอยา่ งเชน่ x2 + 1=0 ไม่มีจานวนจรงิ ใด เป็นคาตอบของสมการ จึงมกี ารกาหนดจานวนชนิดหนึ่งข้ึนมาเพ่ือใหง้ า่ ยต่อการใชง้ านจานวนชนดิ หนง่ึ ซ่ึงไมใ่ ชจ่ านวนจริงเรียกวา่ จานวนเชงิ ซอ้ น เพ่ือหาค่าของสมการทีไ่ มม่ ีคาตอบในจานวนจรงิ สาหรบั จานวนเชิงซอ้ น เม่ือ a และ b เป็นจานวนจรงิ เรยี ก a วา่ สว่ นจรงิ (Real part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(z) เรยี ก b ว่าส่วนจินตภาพ (Imaginary part) ของ z เขยี นแทนด้วย Im(z) จานวนจนิ ตภาพ Ex คอื จานวนท่ีไม่ใชจ่ านวนจรงิ เขยี นในรูป √จานวนลบ 1. โดยนิยมเขยี นในรูปของตวั 2. จานวนจรงิ คอื จานวนเชิงซอ้ นทมี่ ีหน่วยจินตภาพเปน็ Ex ศนู ย์ และจานวนเชงิ ซ้อนที่ไม่มสี ่วนจรงิ หรอื ส่วนจรงิ เป็นศูนย์ เรยี กวา่ 1. จานวนจนิ ตภาพแท้ (Purely imaginary number) 2. คา่ ของั ไดด้ งั น้ี Ex ( เหลอื เศษ ) เมือ่ ∈ + สามารถหาคา่ ของ 1. ( เหลอื เศษ ) 2. 1. ถ้า เหลือเศษ คา่ ของ 2. ถา้ เหลอื เศษ ค่าของ 3. ถ้า เหลอื เศษ ค่าของ 4. ถา้ เหลอื เศษ ค่าของ ขอ้ ควรร้ัู ัััi2 = −1 i3 =−i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1 จานวนเชิงซอ้ น z = (a,b) = a + bi a คอื สว่ นจริง Re(z) b คอื สว่ นจินตภาพ Im(z) แกนจินตภาพ b a แกนจรงิ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 106 ตัวอย่าง เราสามารถเขียนได้วา่ 4 + 2i เราสามารถเขียนไดว้ ่า 5 − i สมบัตขิ องจานวนเชงิ ซ้อน ให้ และ 1. เมอ่ื และ )i 2. ( ) ( )i 3. ( ) ( ) หรอื (a+bi)(c+di) แลว้ คูณเหมอื นจานวนจรงิ 4. )( 5. ( + 6. = + ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนด z1= 4 – 6i z2= –3 + 2i จงหาค่า 3(z1 + z2) วิธที า z1 + z2 = (4 – 3) + (–6+2)i = 1 – 4i 3(z1 + z2) = 3 – 12i ตอบ 3 – 12i

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 107 ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ 4 + 3i =(3a+b) + (a+2b)i โดยที่ a และ b เปน็ จานวนจรงิ จงหาคา่ a+b วิธีทา จากโจทย์ 3a + b = 4 ––––––––– (1) a + 2b = 3 ––––––––– (2) (1) x 2 6a + 2b = 8 ––––––––– (3) (3) – (2) 5a = 5 a=1 แทน a ลงในสมการ (2) 1 + 2b = 3 2b = 2 B=1 ดงั น้ัน a+b = 2 + ตวั อย่างที่ 3 จงหาค่าของ + + ( + )( + ) + วิธที า ++ + + +

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 108 + = 1 – 4i จงหาค่าของ ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ x และ y เปน็ จานวนจรงิ ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ + y–x วิธีทา y + 11i = (1 – 4i)(x+3i) = x + 3i – 4xi –12i2 ดังนนั้ y + 11i = (x + 12) + (3 – 4x)i 11 = 3 – 4x 4x = –8 x = –2 y = (x + 12) = (–2+12) = 10 y – x = 10 – (–2) = 12 ตอบ 12 สงั ยุคของจานวนเชงิ ซ้อนั(Conjugate) ให้ คอนจเู กตของ คอื ̅ โดยท่ี ̅ 1. ̿ 2. ̅ 3. ̅̅̅̅±̅̅̅̅̅ ̅ ± ̅ 4. ̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ 5. ̅(̅̅̅)̅ ̅̅̅ ̅̅̅ 6. ̅ 7. ̅ ขอ้ ควรรู้ การหารจานวนเชงิ ซ้อนทาไดโ้ ดยการทาใหอ้ ยู่ในรูปของเศษสว่ นแล้วนาสงั ยกุ ต์ของจานวนน้นั ๆไป คณู ท้งั เศษและส่วน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 109 ค่าสมั บูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น ถ้า คา่ สมั บรู ณข์ อง คอื | | โดยท่ี | | 1. | | | | | ̅| 2. | | ̅ 3. | | | || | 4. | | | | 5. | | | | เม่ือ ≠ | | 6. | | | | | | 7. | | | | | | รากทีส่ องของจานวนเชิงซอ้ น / เม่อื หรอื ± .√ + √ / เม่อื ให้ และ √ รากทสี่ องของ ± .√ + √ อนิ เวอร์สการคูณของจานวนเชงิ ซอ้ น ถ้า แลว้ อนิ เวอรส์ การคณู ของ หรอื ดงั นน้ั ̅ + || ตัวอย่างท่ี 5 จงหาค่าของ |(5 – 4i)(5 + 12i)(–3i)| วธิ ที า |(5 – 4i)|(5 + 12i)|(–3i)| = = (13)(3) = 39 ตอบ 39

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 110 ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ z เป็นจานวนเชิงซอ้ น ซงึ่ |(7–24i)(3+4i)z6| = 1 แล้ว z มีคา่ เทา่ ใด (Ent 42) วิธที า |(7 – 24i)||(3 + 4i)||z6| = 1 |z6| = 1 (25)(5)|z6| = 1 |z6| = z = |z2| |z2| = ตอบ กราฟของจานวนเชิงซอ้ น สาหรบั จานวนเชงิ ซอ้ น ใชจ้ ดุ ในระนาบเป็นตวั แทนของจานวนเชงิ ซอ้ น ซงึ่ ระนาบดังกล่าวประกอบด้วย แกนจริง(X)และแกนจนิ ตภาพ(Y) ถา้ จะมีความหมายดงั นี้ เรียก ว่า อาร์กวิ เมนตข์ อง จากรูป จะพบวา่ || || || || แลว้ | | ) ( เรยี กรูปแบบน้วี า่ จานวนเชิงซอ้ นในรปู ของพิกดั เชิงขั้ว (Polar Co–Ordinate System)  สามารถเขียน r( ) เปน็ r

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 111 การดาเนนิ การของจานวนเชงิ ซอ้ นในรปู ของพกิ ดั เชงิ ขวั้ z1=r1cis 1 z2=r2cis 2 z1 × z2 = r1 × r2 cis ( 1+ 2) z1 ÷ z2 = r1 ÷ r2 cis ( 1– 2) z1n = (r1)n cis ( 1) z̅1 = r1cis – 1 ทฤษฎบี ทของเดอมัวร์ ถ้า ( ) ) () ( ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหาคา่ ของ [3(cos35° +i sin35°)][5(cos55° +I sin55°)] วธิ ที า [3cis35°][5cis55°] = [3×5 cis (35°+45°) = 15 cis (90°) = 15(cos90° + i sin 90°) = 15 (0 + 1i) = 15i ตอบ 15i การแก้สมการทีม่ ีผลลัพธ์เปน็ จานวนเชิงซ้อน 1. ถ้าสมการอยู่ในรูปั ± ac จัดรูปแลว้ ใช้ เทยี บสตู ร a 2. ถา้ สมการอยู่ในรปู ั เมอ่ื ≠ ใชส้ ตู ร ± ac a 3. ถา้ สมการมเี ลขชก้ี าลังสงู สุดเกนิ ั2ัข้นึ ไป ให้ใช้วิธแี ยกตวั ประกอบโดยอาจใชว้ ธิ เี ศษเหลอื ทาใหอ้ ยใู่ นรปู แบบทีส่ องแล้วใชส้ ูตร

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 112 รากท่ีัn ของจานวนเชิงซ้อน ถา้ แลว้ รากท่ี ของ จะมีทง้ั หมด รากที่แตกตา่ งกนั คอื [( )] เม่อื ขอ้ ควรรเู้ กี่ยวกับสมการพหุนาม axn + bxn–1 +cxn–2 + … + s = 0 ผลบวกของคาตอบทั้งหมดคอื – ผลคูณคาตอบทงั้ หมดคือ (–1)nas ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหารากท่ี 2 ของ z เม่ือ z = 3 + 4i วิธีทา หา |z| = =5 ± .√ √/ รากท่ี 2 ของ z คือ ± .√ √/ = ± (2 + i)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 113 บทท่ี 11 ความน่าจะเปน็ กฎการนบั หลกั การบวก ใชเ้ มื่องานยังไมเ่ สร็จ หลักการคูณ ใชเ้ มื่องานเสร็จ รปู แบบวิธีการนบั ยอดนิยม ตัวอย่าง ของตา่ ง ของเหมือน ของซ้า การเรยี งสับเปล่ยี น ABCDE AAAAA MMCAI (สนใจตาแหน่งทีไ่ ด)้ n! 1 วิธี n! หารดว้ ยของท่ี 5! = 120 วธิ ี ซ้า การเลือก ใช้ nCr 1 วิธี ใชก้ ฎการนับ ใชก้ ฎการนบั (ไมส่ นใจตาแหนง่ ทไ่ี ด)้ การแบง่ จานวนของ ใชก้ ฎ Star and ทั้งหมดหาร Bar ดว้ ยกลุ่มที่แบง่ ความน่าจะเป็น

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 114 กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกยี่ วกับการนบั ปญั หาเก่ยี วกับการนับเป็นปัญหาหน่ึงท่ีมักจะพบอยเู่ สมอ หลักการนับมี 2 ประการ ดังนี้ 1.หลักการบวก ใชเ้ ม่ือการทางานนั้นยังไมเ่ สรจ็ เชน่ ใช้ในรวมกันของกรณตี า่ งๆ 2.หลกั การคูณ ใชเ้ มอ่ื การทางานนน้ั เสรจ็ สมบรู ณแ์ ล้ว หลักการบวก ถ้าการทางานหน่ึงมวี ิธีการทา k วธิ ี คอื วิธีท่ี 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การทางานวธิ ีท่ี 1 มีวธิ ีทา วธิ ี การทางานวิธีที่ 2 มีวธิ ีทา วธิ ี การทางานวธิ ที ่ี k มวี ิธีทา วิธี และวิธีการทางานแต่ละวิธีแตกตา่ งกนั แล้วจานวนวิธีทางานนเ้ี ทา่ กบั + +...+ วิธี ตัวอยา่ งที่ 1 มีชุดทางาน 2 ชุด มถี งุ เท้า 3 แบบ จะเลือกวิธกี ารแตง่ ตัวโดยไม่ซ้ากันเลย วธิ ที า ชดุ ทางานแบบท่ี 1 สามารถใช้ถงึ เท้าได้ 3 แบบ 3 วธิ ี ชดุ ทางานแบบที่ 2 สามารถใช้ถึงเท้าได้ 3 แบบ 3 วิธี ดงั นัน้ วิธีการแตง่ ตัวโดยไมซ่ า้ กันเลยมีทงั้ หมด 3 + 3 = 6 วิธี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 115 ตัวอย่างท่ี 2 นกั เรียน 3 คน ต้องการเขา้ และออกหอ้ งๆหนึง่ ซงึ่ มีประตู 3 บาน โดยนักเรียนคนที่ 1 เขา้ และออกโดยใชป้ ระตบู านเดยี วกนั นักเรียนคนท่ี 2 เขา้ และออกโดยไมใ่ ชป้ ระตบู านเดมิ และ นักเรยี นคนที่ 3 เขา้ และออกประตูบานใดก็ได้ จงหาจานวนวิธที ี่นกั เรยี นท้ังสามคนเข้าและออก หอ้ งนี้ วิธที า นักเรียนคนที่ 1 มีวธิ เี ข้าและออกได้ 3 วธิ ี นักเรียนคนท่ี 2 มีวิธเี ขา้ และออกได้ 6 วิธี นกั เรียนคนท่ี 3 มวี ิธีเข้าและออกได้ 9 วธิ ี ดงั นั้น วิธีทนี่ กั เรียนท้งั สามคนเข้าและออกหอ้ งนีม้ ีท้งั หมด 3 + 6 + 9 = 18 หลักการคณู ถา้ การทางานอยา่ งหนึง่ ประกอบด้วยการทางาน k ข้ันตอน คอื ขนั้ ตอนที่ 1 ถงึ ข้ันตอนที่ k ตามลาดบั โดยท่ี การทางานขั้นตอนท่ี 1 มวี ิธีทา วธิ ี การทางานข้นั ตอนที่ 2 มวี ธิ ที า วิธี การทางานข้นั ตอนท่ี k มวี ิธที า วิธี × × ... × วธิ ี และวิธกี ารทางานแต่ละวธิ ีแตกตา่ งกัน แล้วจานวนวธิ ที างานนี้เทา่ กับ ตวั อย่าง 3 บริษทั ผลิตเสอ้ื ผา้ สาเรจ็ รูปแห่งหนึ่งผลิตเสอ้ื 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจดั แตง่ ตวั ให้กับหนุ่ เพอ่ื นาไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแตง่ เปน็ ชดุ ตา่ งๆกันได้กชี่ ุด วธิ ที าัในการแตง่ ตวั ให้กบั หนุ่ มี 3 ขั้นตอน คอื ขัน้ ตอนที่ 1 เลือกเส้อื ได้ 6 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี ข้ันตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี ดังนั้น วธิ ีแต่งตัวใหก้ บั หุ่นทาไดท้ ั้งหมด 6 x 5 x 4 = 120

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 116 ตัวอย่าง 4 ในคณะกรรมการนักเรยี นจานวน 10 คน จะมวี ิธเี ลือกประธาน รองประธานและ เลขานกุ าร ได้ก่ีวธิ ี ถ้าคณะกรรมการคนหนึง่ ไม่สมัครจะเปน็ ประธาน (Ent มีนาคม 48) วธิ ีทา 1.ในตาแหน่งประธาน มโี อกาสเกดิ ไดท้ งั้ หมด 9 วิธี (เนอ่ื งจากมคี ณะกรรมการคนหนึ่งไม่ สมัครจะเป็นประธาน) 2.ในตาแหน่งรองประธาน มีโอกาสเกิดได้ 9 วธิ ี (10 คน ไปอย่ปู ระธานแล้ว 1 คน) 3.ในตาแหนง่ เลขานุการ มีโอกาสเกดิ ได้ 8 วิธี ดังนนั้ วิธเี ลือกประธาน รองประธานและเลขานกุ ารไดท้ งั้ หมด 9 x 9 x 8 = 684 วธิ ี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 117 ตัวอยา่ งที่ 5 ในการสร้างรหสั (Code) กาหนดให้ใช้อักขระ 3 ตัวทไี่ มซ่ ้ากนั โดยตั้งมตี ัวอักษร ภาษาองั กฤษ (A–F อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั และมตี ัวเลข 0 – 9) อย่างน้อยหนงึ่ ตัวจานวนหารท่ีสร้างได้ โดยไมซ่ า้ แบบเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (B–PAT ตลุ าคม 51) ก. 1,260 ข. 2,520 ค. 5,040 ง. 3,780 วิธที า ให้แยกกรณี จากโจทย์เราสามารถไดท้ ้งั หมด 5 กรณี กรณี 1 มีอักษร 1 ตัว เกิดได้ 6 วิธี กรณี 2 มีอักษร 2 ตวั สองตาแหนง่ ตาแหนง่ มีตวั เลข 2 ตัว สองตาแหนง่ ตาแหน่ง หนึง่ สามารถเกดิ ได้ 6 วธิ ี หนงึ่ สามารถเกิดได้ 10 วิธี มีตัวเลข 1 ตัว เกิดได้ 10 วิธี 6 x 10 x 10 6 x 6 x 10 ตัวอักษร ตัวเลข ตัวเลข ตวั อักษร ตัวอักษร ตวั เลข ดงั นนั้ กรณที ่ี 1 มีโอกาสเกดิ 600 วธิ ี ดังน้ัน กรณีที่ 2 มโี อกาสเกดิ 360 วธิ ี กรณี 3 มีอกั ษร 1 ตวั เกิดได้ 6 วิธี กรณี 4มีอกั ษร 2 ตวั สองตาแหนง่ ตาแหน่งหน่งึ มตี ัวเลข 2 ตวั สองตาแหน่งตาแหนง่ สามารถเกิดได้ 6 วิธี หนึง่ สามารถเกิดได้ 10 วธิ ี มตี ัวเลข 1 ตวั เกิดได้ 10 วิธี 10 x 6 x 10 10 x 6 x 6 ตวั เลข ตัวอักษร ตัวเลข ตัวเลข ตัวอักษร ตัวอักษร ดงั นั้น กรณีที่ 1 มโี อกาสเกิด 600 วิธี ดังนนั้ กรณที ่ี 2 มีโอกาสเกดิ 360 วิธี กรณี 5 มีอักษร 1 ตวั เกิดได้ 6 กรณี มตี วั เลข 2 ตวั สองตาแหน่งตาแหน่งหน่ึงสามารถเกดิ ได้ 10 วิธี 10 x 10 x 6 ตวั เลข ตัวเลข ตัวอักษร ดังนน้ั กรณที ่ี 1 มโี อกาสเกิด 600 วิธี ดังน้ัน เราสามารถสร้างรหัสไดท้ ้ังหมด 600 + 600 + 600 + 360 + 360 = 2,520 วธิ ี ตอบขอ้ ข.

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 118 แฟคทอเรียล คือจานวนเตม็ บวก n ใดๆ แฟคทอเรียล n เขียนแทนดว้ ย n! หมายถงึ ผลคูณจานวนเต็ม บวกต้งั แต่ 1 ถงึ n n! = n(n – 1)(n – 2)…(3)(2)(1) ขอ้ ควรระวัง 0! = 1 1! = 1 ขอ้ ควรรู้ 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5,040 รปู แบบวิธีการนบั ตวั อย่าง ของตา่ ง ของเหมือน ของซา้ การเรยี งสบั เปล่ียน ABCDE AAAAA MMCAI (สนใจตาแหน่งทีไ่ ด้) n! 1 วิธี n! หารด้วยของท่ซี า้ 5! = 120 วธิ ี การเลอื ก ใช้ nCr 1 วิธี ใช้กฎการนับ ใช้กฎ Star and Bar ใชก้ ฎการนับ (ไมส่ นใจตาแหนง่ ท่ีได้) การแบ่ง จานวนของท้ังหมด หารดว้ ยกลุม่ ทแี่ บง่ วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นั(Permutation) เปน็ การจัดเรยี งสิ่งของโดยคานึงถงึ ตาแหน่งของส่ิงของแตล่ ะสิง่ เปน็ สาคญั นิยาม ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n คอื ผลคณุ ของจานวนเต็มบวกต้งั แต่ 1 ถึง n และเขียนแทนดว้ ย n! เชน่ 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! เปน็ ตน้ วธิ เี รียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้น เป็นการจดั เรยี งส่ิงของในแนวเส้นตรง แบ่งออกได้ 2 แบบ ดงั นี้ 1.กฎการนับ เหมาะสาหรับทาโจทยใ์ นระดับสูง โจทย์ท่ีมีการประยกุ ต์ ไม่สามารถคดิ ด้วยสตู ร 2.ใช้สตู รสาหรับการเรียงสับเปล่ียน เหมาะสาหรับโจทย์ทีไ่ ม่มกี ารประยุกต์ 1.เรยี งของแตกตา่ งกนั หมด Ex มนี กั เรียน 10 คน นามาเรียงเป็นแถวเพียง 7 คน มีของ n ช้นิ นามาเรยี งเปน็ จานวน r ชิ้น Pn,r = ( )= = 60480 วธิ ี nPr = Pn,r = ( )

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 119 2.เรยี งของซา้ Ex หนังสอื สังคมเหมอื นกัน 3 เล่ม หนงั สอื มขี อง n ชน้ิ นามาเรียงเปน็ เสน้ ตรง โดยมีของซา้ คณิตศาสตร์เหมือนกนั 2 เลม่ นามาเรียงบนชน้ั กลุ่ม n1 n2 n3 … nk Pn,r = nPr = Pn,r = = 10 วธิ ี ตัวอยา่ งที่ 6 ชาย 4 คน หญิง 2 คน เข้าแถวตรงโดยที่ไมม่ ีผูห้ ญิงยนื ติดกนั เลย จะไดท้ ัง้ หมดกี่วิธี วิเคราะห์ ผชู้ ายสามารถสลับกันเองได้ 4! วิธี 4321 จบั ผหู้ ญิงแทรกระหว่างผ้ชู ายเพ่ือไม่ให้ผหู้ ญงิ ยืนตดิ กัน ได้ ผ้หู ญงิ คนแรก ยืนได้ 5 ตาแหนง่ ผหู้ ญิง คนทส่ี อง ยืนได้ 4 ตาแหน่ง ดงั นน้ั 24 x (5 x 4) = 480 วิธี ตัวอย่างที่ 7 จงหาจานวนวธิ ที ่จี ะแจกหนงั สอื เลขซึ่งเหมือนกนั 2 เลม่ หนงั สืออังกฤษทเ่ี หมอื นกนั 3 เลม่ และหนังสือวทิ ยาศาสตรท์ ต่ี ่างกัน 2 เล่ม ใหน้ ักเรยี นคนละเล่มจะแจกได้กี่วธิ ี วธิ ีทา หนังสอื มีทัง้ หมด 7 เล่ม เรยี งสบั เปล่ียนได้ 7! แตเ่ นอื่ งจากมีหนังสอื เลขเหมือนกัน 2 เล่ม และหนังสอื ภาษาอังกฤษเหมือน 3 เลม่ ถ้าหนังสือภายในสองกองน้ี สลับกันเองทาใหเ้ กิด เหตกุ ารณ์ซ้า ดังน้ัน เราต้องหารดว้ ย 2! และ 3! ดงั นนั้ ตอบ 420 วธิ ี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 120 ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาจานวนวิธีเดนิ ทางจาก A ไป D ที่ ผา่ นจุด C โดยทางทศิ เหนือและตะวันออก เท่านนั้ วิธที า ใหใ้ ช้วิธคี ิดแบบของซ้า จากโจทย์ เราตอ้ งแบ่งเป็น 2 ช่วง คือ ช่วง A ไป C และ C ไป D ช่วง A ไป C ตอ้ งขึ้นทางทิศเหนือ 2 คร้ัง ต้องไปทางตะวันออก 4 ครงั้ รวมต้องเดินท้งั หมด 6 ครั้ง ช่วง C ไป D ต้องขึ้นทางทศิ เหนือ 2 ครั้ง ต้องไปทางตะวันออก 2 ครั้ง รวมต้องเดินทัง้ หมด 4 คร้ัง x ดังน้ันตอบ 90 วิธี เสรมิ ความรู้ ถ้าโจทยก์ าหนดว่า A ไป D ตอ้ งไมผ่ ่านจดุ C เรานากรณีท้งั หมด ไปหกั ดว้ ย กรณที ผี่ า่ นจดุ C กรณที ัง้ หมด คอื เคล่อื นที่ทงั้ หมด 10 คร้ัง ทางเหนือ 4 ครง้ั ทางตะวนั ออก 6 คร้ังดงั นน้ั ได้ – 90 ตอบ 120 วิธี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 121 ตวั อย่างท่ี 6 จากรูปจงพิจารณาว่ามีรูปสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากทงั้ หมดกีร่ ปู วธิ ีทา พจิ ารณาว่ารูปส่ีเหลย่ี มมุมฉาก 1 รปู เกดิ จากเสน้ แนวตง้ั 2 เส้น และเสน้ แนวนอน 2 เสน้ จึงเกิดเป็นรปู สีเ่ หล่ียมมุมฉาก เลือกเสน้ แนวตั้ง 5C2 = 10 เลือกเส้นแนวนอน 4C2 = 6 ดังนัน้ สเ่ี หล่ียมมมุ ฉากเกิดจากเส้นแนวต้ังและแนวนอนคือ 10 x 6 = 60 รปู

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 122 วิธจี ดั หมู่ั(Combination) เปน็ การเลือกส่งิ ของออกมาเป็นหมู่หรือชดุ โดยไม่คานงึ วา่ จะได้ส่งิ ของใดออกมากอ่ นหรือ หลัง เชน่ มตี วั อักษร 3 ตัว คือ a , b และ c ถา้ ตอ้ งการเลอื กตัวอกั ษร 2 ตวั จากตัวอักษร 3 ตวั น้ี โดยไมค่ านงึ ถึงลาดบั ก่อนหลงั ของการเลือก จะเลือกได้ 3 วธิ ี คือ ab , bc และ ca โดยท่ัวไปจานวนวิธจี ัดหมู่ของสิง่ ของ n สิ่ง โดยเลือกคราวละ r สง่ิ (0 r n) เทา่ กับจานวนสับ เซตทมี่ สี มาชิก r ตวั ของเซตท่มี สี มาชกิ n ให้ nCr หรอื Cn,r หรอื (n) แทนจานวนวิธีจดั หมู่ของสิง่ ของ n สิง่ โดยเลอื กคราวละ r สิ่ง ในแต่ละวิธจี ดั หมขู่ องสิง่ ของ r สิ่ง เมอ่ื นามาจดั เรยี งในแนวเส้นตรง จะไดว้ ธิ ีเรียงสับเปลีย่ น r! วธิ ี ดงั น้นั จานวนวธิ กี ารเรียงสับเปล่ียนของสิง่ ของทลี ะ r สง่ิ จากสิง่ ของ n สงิ่ ทีแ่ ตกตา่ งกัน เทา่ กับ r! x Cn,r = Pn,r ดงั นนั้ n = = n (n ) สรปุ ไดว้ ่า จานวนวิธีจดั หมู่ของส่ิงของทแ่ี ตกต่างกนั n ส่ิง โดยเลือกคราวละ r ส่ิง (0 r n) เทา่ กบั (n n ) เน่ืองจาก n = n (n ) = n (n ) = (n (n n ) )) (n = nn (n) = (nn ) ดงั นัน้ จะได้วา่ n = n n หรือ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 123 ตวั อยา่ งที่ 10 รปู 12 เหลี่ยมมีเสน้ ทแยงมุมทั้งหมดกี่เสน้ วธิ ที า เนือ่ งจาก 12 เหล่ยี ม มีเสน้ รอบรปู ทงั้ หมด 12 เสน้ เราสามารถหาเสน้ ทแยงมุมจากการเลอื กได้ มี 12 จุด เลอื กมา 2 จดุ เพ่อื สร้างเสน้ ทแยงมุมจะได้ 12C2 แล้วหักด้วยจานวนเส้นรอบรปู เนือ่ งจากการเลือกจุด 2 จุดเหลา่ นนั้ เปน็ การนบั รวมเสน้ รอบรูปเขา้ ไปดว้ ย ดงั นน้ั เราตอ้ งหกั ออกไป 12 เส้น 12C2 – 12 = 54 ดงั นั้น ข้อนมี้ เี ส้นทแยงมุมทง้ั หมด 54 เส้น ตวั อยา่ งที่ 11 รูป 12 เหลี่ยมจะมีเส้นทแยงมุมทงั้ หมดกเ่ี ส้น วิธีทา เสน้ ทแยงมุมเกิดจากการเลือกจุด 2 จุด จากท้ังหมด 12 จุด มาลากเสน้ ต่อกัน แตเ่ มือ่ เลือก จุด 2 จดุ จากทัง้ หมด 12 จดุ มาลากเส้นตอ่ กันจะไดเ้ ส้นรอบรปู มาเพมิ่ ดว้ ยดงั นน้ั เราต้องลบเสน้ รอบรูปออกจะได้ว่า 12C2 – 12(จานวนเส้นรอบรปู ) = ( ) – 12 = 66 –12 = 54 ตอบ รูปสิบสองเหล่ียมจะมเี ส้นรอบรูปท้งั หมด 54 เสน้

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 124 ตัวอย่างท่ี 12 กาหนดจดุ 6 จุดบนวงกลมวงหน่ึง จานวนวิธีทจ่ี ะสรา้ งรปู เหลี่ยมบรรจุในวงกลมใน วงกลมโดยใชจ้ ุดเหล่านน้ั เป็นจุดยอดมุมเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (Ent) 1.20 2.35 3.42 4.65 วธิ ีทา รปู เหลี่ยมท่สี ามารถเกิดข้นึ ไดจ้ ากจุด 6 จุด 3 เหลี่ยม 6C3 = 20 4 เหลี่ยม 6C4 = 15 5 เหล่ียม 6C5 = 6 6 เหลี่ยม 6C6 = 1 20 + 15 + 6 + 1 = 42 ตอบ ข้อ 3 42 รูป ตวั อยา่ งท่ี 13 มคี นงานหญงิ 6 คนและคนงานชาย 8 คนซงึ่ มนี ายดารวมอย่ดู ้วย ถา้ จะเลอื ก คนงาน 4 คนไปทางานทตี่ ่างกนั 4 ประเภทโดยใหเ้ ปน็ หญงิ 2 คน ชาย 2 คน และใหน้ ายดาอยใู่ น 4 คนนดี้ ้วย จานวนวิธีการเลอื กคนงานดงั กล่าวเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (Ent 46 มนี าคม) 1. 1,920 วธิ ี 2. 2,400 วิธี 3. 2,520 วธิ ี 4. 2,880 วิธี วธิ ีทา เลือกผู้หญิง 6C2 วิธี เลอื กผชู้ าย 7C1 วธิ ี เลอื กนายดาได้ 1 วิธี สลับงานได้ 4! วิธี 6C2 x 7C1 x 1 x 4! ตอบ ข้อ 3 2,520 วิธี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 125 ตัวอย่างที่ 14 คณุ ครูสุวรยี ์ ครปู ระจาชน้ั หอ้ ง ม.6/4 นาของรางวัลทง้ั หมด 3 ช้ิน ในช่วงกิจกรรม วนั เดก็ แต่ในหอ้ งมนี กั เรียนอยูเ่ พยี ง 10 เนอ่ื งจาก เด็กส่วนใหญต่ ้องไปสอบตรง ในจานวนนกั เรียน ทอี่ ยู่ มีนายสมเกยี รติ และ นางสาวทศั นก์ มล อยู่ดว้ ย จงหาจานวนวิธีท่ี นายสมเกียรติ และ นางสาวทัศนก์ มล รับรางวัลไมพ่ ร้อมกัน 1. 720 2. 640 3. 102 4. 112 วิธที า หากรณที วั่ ไป – กรณีรบั รางวัลพร้อมกัน กรณที ่ัวไป 10C3 มี 10 คนเลอื กมา 3 คน กรณีรับรางวัลพร้อมกนั 1 x 1 x 8 นายสมเกยี รติ นางสาวทัศน์กมล นกั เรยี นทเ่ี หลือ 120 – 8 = 112 ตอบข้อ 4 112 วธิ ี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 126 การแบง่ กลมุ่ การแบ่งกลมุ่ ของแตกตา่ งกันโดยแบ่งแลว้ ยังไม่แจก ใช้ วิธคี าแบบเดียวกับของซ้าๆ Ex มปี ากกาทแ่ี ตกต่างกนั ทง้ั หมด 10 ดา้ น แบ่งเปน็ กองละ 3 ด้าน 2 กอง กองละ 2 ด้าน 2 กอง วิธที า มีปากกา 10 ด้านเรียงสับเปลีย่ นได้ 10! แบง่ เป็นกอง กองแรก 3 ด้าน กองสอง 3 ด้าม กองสาม 2 ดา้ น กองสี่ 2 ด้าม การแบ่งกลุม่ ของเหมอื นกัน ใช้หลกั การ Stars and bars  แบ่งของ n ส่ิงเหมือนกัน ให้ r คน โดยทุกคนจะตอ้ งไดร้ ับ n–1Cr–1  แบง่ ของ n สง่ิ เหมอื นกนั ให้ r คน โดยไมจ่ าเป็นท่ีทุกคนจะตอ้ งได้รบั n–1+rCr–1 ซ่ึงสามารถหารายละเอยี ดเพิม่ เตมิ ไดจ้ าก http://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics) http://jhyun95.hubpages.com/hub/Stars–and–Bars–Combinatorics

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 127 วิธีเรยี งสับเปลี่ยนเชงิ วงกลม พจิ ารณาการจดั เรยี งตัวอักษร 3 ตัว คือ A ,B และ C เป็นแถวตรงจะมีวิธีจัดเรียงได้ 3! = 6 วธิ ี คอื ABC BCA CAB ACB BAC CBA วธิ ีการจดั เรียงตัวอักษร ABC , BCA และ CAB เป็นการจัดเรยี งแถวตรงท่แี ตกต่างกัน แต่ ถา้ นาแตล่ ะวิธีมาจดั เปน็ วงกลม จะได้ A BC B CA C AB ABC BC A C AB จะเห็นวา่ การจัดเรยี งท้งั สามแบบ ถือว่าเป็นการจัดเรยี งเปน็ วงกลมเพียง 1 วธิ ี เท่านน้ั ในทานองเดยี วกัน วิธกี ารจดั เรียงตวั อกั ษร ACB BAC และ CBA เป็นการจดั เรยี งเปน็ วงกลม เพียง 1 วธิ ี ดังน้ัน การจัดเรียงตัวอกั ษร 3 ตัวเปน็ วงกลม จะจดั ได้ 2 วิธี คอื AA B CC B แนวคิดในการหาจานวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิง่ ของที่แตกต่างกนั n สง่ิ อาจจะเรม่ิ โดย ให้สิง่ ของสิ่งหน่งึ อยู่คงท่ี ณ ตาแหนง่ ใดตาแหนง่ หน่ึง แล้วจดั เรียงสับเปล่ียนสิ่งของทีเ่ หลืออยู่ n–1 สง่ิ จะได้ จานวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี นเท่ากับ (n – 1)(n – 2)(n – 3)... 3 x 2 x 1 = (n – 1)!

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 128 สรปุ ไดว้ ่า จานวนวธิ เี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลมของสิ่งของทแ่ี ตกตา่ งกนั n ส่ิงให้ปกั หมุด เพ่ือไม่ให้ วงกลมหมนุ ได้ (n – 1)! วิธี ขอ้ ควรระวัง สาหรับโจทย์พนื้ ฐาน หากเป็นโจทย์ประยุกตใ์ หป้ ักหมดุ แล้วจานวนท่ีเหลอื ! ตัวอยา่ งที่ 15 ตอ้ งการจดั ชาย 8 คนหญงิ 2 คน นงั่ รับประทานอาหารโตะ๊ จนี รอบโตะ๊ กลม จงหา จานวนวิธที ีห่ ญงิ ทง้ั 2 คนนัน้ ตอ้ งน่ังติดกันเสมอ วธิ ที า  มัดผหู้ ญิง (เพ่อื ใหไ้ ด้ว่าผู้หญิงต้อง ติดกัน) ผหู้ ญิงสลับกนั เองได้ 2! วธิ ี  มัดผู้หญงิ สองคนแล้วมองเปน็ กอ้ น เดยี วกนั แลว้ จับปักหมดุ (การปัก หมดุ เพอื่ ไมใ่ ห้วงกลมหมุน ปกติ เรามกั จะปักหมุดก้อนท่ีมีปัญหา กอ่ นแลว้ ค่อยทา)  ผชู้ ายยืนสลบั กันเองได้ 8! ดังน้ันจานวนวิธที ี่ผู้หญงิ 2 คนนัง่ ติดกนั คอื 8!2!

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 129 ความน่าจะเปน็ ( Probability ) คอื จานวนทีบ่ ่งบอกวา่ เหตกุ ารณ์ท่ีเราสนใจน้ันมีโอกาส เกิดขึน้ มากน้อย ขนาดไหน ตัวอย่างเชน่ โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครง้ั 1เหรียญมโี อกาสเกิด ทงั้ หวั และกอ้ ย ครง้ั แรกอาจจะเป็นหวั หรอื ก้อยก็ได้ ครัง้ ทส่ี องกเ็ ช่นกนั เปน็ ต้น การทดลองสมุ่ (Random Experiment) การทดลองสุ่ม คอื การกระทาหรอื การทดลองที่ไมส่ ามารถคาดการณค์ าตอบล่วงหน้าได้ ตวั อย่างของการทดลองสุ่ม เช่น  การโยนเหรียญบาท  การออกสลากกินแบง่ รฐั บาล  การโยนลูกเตา๋ ผลลัพธจ์ ากการทดลองสมุ่ (Sample space) ผลลพั ธจ์ ากการทดลองสมุ่ คอื ผลลัพธ์ท่เี ป็นไปไดท้ งั้ หมดจากการทดลองสมุ่ ตัวอย่างเช่น  โยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ 1 ครง้ั ผลลัพธท์ ่ีเปน็ ไปไดค้ ือ หวั (Head) กับ ก้อย(Tail)  โยนลูกเต๋า 1 ลกู 1 ครั้ง ผลลพั ธท์ ่ีเป็นไปได้ คอื แต้ม 1,2,3,4,5 ,6 เหตุการณ์ (event) เหตุการณ์ คอื ส่ิงที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม ตัวอย่างเช่น หากโยนลูกเตา๋ จงหาจานวน เหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าออกหน้าเลขคู่ เปน็ ต้น

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 130 นยิ ามของความน่าจะเปน็ n( ) ความน่าจะเป็นของเหตุการณใ์ ดๆ P(E) = n( ) โดยท่ี 0 P(E) 1 เมอื่ n(E) คอื จานวนผลลัพธ์ทงั้ หมดของเหตกุ ารณ์ใดๆท่ีเราสนใจ n(s) คือ จานวนผลลพั ธท์ ัง้ หมดของ sample space สิง่ ท่คี วรรู้เกี่ยวกับความน่าจะเปน็ P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A ) = 1 – P(A) P(A – B) = P(A) – P(A B) ถา้ A B = แล้ว P(A B) P(A) + P(B) ตวั อย่างที่ 16 ชาย 3 คน หญงิ 4 คนน่งั ในรถ จงหาความน่าจะเป็นทีค่ น 2 คนท่ลี งรถก่อนน้นั เป็น ผ้หู ญิง วิธีทา ผลลพั ธท์ ี่เปน็ ไปได้ ( Sample space) ของคนท่ลี งจากรถ 2 คน คอื 7 x 6 มีคนอยู่บนรถ 7 คน คนแรกลงจากรถจะมไี ด้ 7 วธิ ี คนท่ีสองลงจากรถ 6วธิ ี เน่อื งจาก มี คนหนึง่ ลงไปก่อนหน้านแี้ ล้ว เหตุการณ์ ท่ีคนลงทง้ั สองคนเปน็ ผู้หญิง 4 x 3 เนื่องจากมีผ้หู ญิง 4 คน ดังนนั้ ความน่าจะเปน็ คือ =

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 131 ทฤษฎบี ททวินาม ในหัวข้อนจ้ี ะกล่าวถึงสตู รของการกระจาย (x+y)n เมอ่ื x , y เป็นจานวนจริงใดๆ และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก พจิ ารณาการกระจายต่อไปน้ี (x y) = x + y (x y) = x2+2xy + y2 (x y) = + + + (x y) = + + + + (x y) = + + + x (x y) =(x y) (x y) (x y) (ทง้ั หมด n ตวั ) ถ้า x , y เป็นจานวนจริง และ n เป็นจานวนเตม็ บวก แล้ว (x y)n = (n)xn (n)xn y (n)xn y (nn)yn เราจึงสามารถสรุปกฎได้ว่า Tr+1 = (n)an  rbr ข้อสังเกตการกระจาย (a+b)n  กระจายได้ทั้งหมด n+1 พจน์  ดีกรขี องแตล่ ะพจน์จะเทา่ กบั n เสมอ  ผลบวกสมั ประสทิ ธ์ทวินามทุกพจน์ คือ 2n  ผลบวกทุกพจนค์ ือ (a+b)n  สมั ประสทิ ธ์ิทวนิ ามสามารถหาได้จากสามเหลี่ยมปาสคาลหรือใชก้ ารเลือก

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 132 ตวั อยา่ งที่ 17 จงหาพจนท์ ่ี 7 ในการกระจาย (x2 – )10 T7 = T6+1 =10C6(x2)4(– )6 10C4 x8 ( )6 ตอบ 210

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 133 บทท่ี 12 ทฤษฎีกราฟ รายละเอยี ดของกราฟ จุด เส้นเชือ่ ม วงวน เสน้ เชอื่ มขนาน กราฟอย่างง่าย กราฟยอ่ ย ตน้ ไม้ กราฟบริบูรณ์ กราฟตน้ ไม้ ป่า กราฟเติมเตม็ ตน้ ไม้แผท่ ั่ว ดกี รี ตน้ ไมแ้ ผท่ ว่ั นอ้ ยท่สี ดุ กราฟเชอื่ มโยง กราฟออยเลอร์ กราฟถ่วงน้าหนกั ประยกุ ต์กราฟ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 134 ทฤษฎกี ราฟนัน้ มจี ดุ เริม่ จากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮารด์ ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือท่ีรูจ้ กั กันในนาม ปัญหาสะพานท้ังเจ็ดแหง่ เมืองโคนกิ สเ์ บิร์ก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีท่จี ะข้ามสะพานทง้ั 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพยี งครง้ั เดยี ว เท่านัน้ จากการพิสจู นข์ องออยเลอร์ทาให้ทราบว่า เราไมส่ ามารถข้ามสะพานทง้ั 7 เพียงคร้งั เดียว เพอื่ กลบั มาจดุ เร่ิมตน้ ได้เพราะ ถา้ หากแปลงปญั หาดังกลา่ วเปน็ กราฟ จะไดเ้ ส้นเช่อื มท้งั หมด 7 เสน้ ซง่ึ ขดั กับทฤษฎีว่าด้วยกราฟของออยเลอร์ AC e1 e2 ตัวอย่าง ที่ 1 กราฟ G B กราฟจะต้องประกอบไปด้วยจดุ อย่างน้อย 1 จดุ แต่จะมีเส้นเช่ือมหรอื ไม่กไ็ ด้ จากตัวอย่าง กราฟ G เราสามารถบอกรายละเอยี ดของกราฟไดด้ งั นี้ เซตของจานวนจดุ ยอด (Vertex) แทนดวยสญั ลกั ษณ์ V(G) V(G) = {A, B, C} เซตของเสนเชอ่ื ม (Edge) ทเี่ ชอื่ มระหว่างจุดยอดแทนดวยสญั ลกั ษณ์ E(G) E(G)={e1, e2} หรอื E(G)={AB, BC}

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 135 รายละเอยี ดทีน่ า่ สนใจของกราฟ วงวน (loop) คอื เสนเช่ือมที่อยูในรูป {u,u} e2 e1 หรอื uu หรือเสนทม่ี จี ดุ ปลายทั้งสองเปนจดุ เดยี วกัน เชน่ จุด e1 e3 e4 เสน้ เช่ือมขนาน (parallel edges) หรือ เสนหลายช้ัน (multiple edges) คือเส กราฟอย่างง่าย นเช่ือมท่ีมีมากกวา 1 เชน่ จุด e2 คือ กราฟที่ไม่มีวงวนและเสน้ เชื่อมขนาน กราฟบรบิ ูรณ์ Ex คอื กราฟอยา่ งงา่ ยที่ 2 จุด ทต่ี า่ งกนั ตอ้ งเปน็ จดุ ประชิดกันเสมอ Ex กราฟเติมเต็ม กราฟนเี้ ปน็ กราฟบริบูรณ์ 4 จุด เรียกวา่ จดุ K4 คือ กราฟทีไ่ ม่มวี งวนและเสน้ เช่อื มขนานเขยี นแทน อนั ดับและขนาด ด้วยสญั ลักษณ์ อนั ดับ คอื จานวนจดุ ขนาด คอื จานวนเส้นเช่ือม Ex ดกี รี คอื จานวนครง้ั ที่เส้นเชอ่ื มเกิดกบั จุดยอด Handshaking Lemma ผลรวมของดีกรี จะเปน็ สองเทา่ ของเสน้ เชอ่ื มเสมอ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 136 แนวเดนิ กราฟเชื่อมโยง คือลาดับจากัดของจดุ ยอดและเส้นเชอ่ื มสลับกัน คือกราฟท่ไี ม่ขาดตอน เปน็ กราฟที่ 2 จุดใดๆ แนวเดนิ เปดิ เป็นแนวเดนิ ทม่ี ี จุดเรม่ิ ตน้ และ สามารถมีแนวเดนิ ถึงกันได้ จดุ สนิ้ สดุ เป็นคนละจดุ เชน่ กราฟ G มจี ดุ ยอด U และ V เป็นจุดยอดท่ี แนวเดินปิด เป็นแนวเดนิ ทมี่ ี จุดเริม่ ตน้ และ ตา่ งกนั ในกราฟ จะต้องมีแนวเดนิ U – V จุดสิ้นสุดเปน็ จุด เดยี วกัน รอยเดิน เป็นแนวเดนิ ทีม่ ี จดุ เร่ิมตน้ และจุดสน้ิ สดุ Ex เปน็ จดุ ใดก็ตอ้ ง แต้ห้ามใชเ้ สน้ เชอ่ื มซา้ วิถ(ี แนวเดินอยา่ งง่าย) เปน็ แนวเดินทีม่ ี จดุ เริม่ ตน้ เปน็ กราฟเชอื่ มโยง และจุดส้ินสดุ เป็นคนละจดุ หา้ มใชเ้ ส้นเชอ่ื มและจุด ซา้ วงจร(Circuit) เป็นแนวเดินทม่ี ี จุดเริ่มต้นและ จุดสิ้นสดุ เปน็ จุด เดยี วกัน เสน้ เช่ือมหา้ มใชซ้ า้ วัฏจักร(Cycle) เปน็ แนวเดนิ ที่มี จุดเริ่มต้นและ จุดส้นิ สดุ เปน็ จุด เดยี วกนั เสน้ เชอื่ มและจดุ ห้ามใช้ ซ้า ยกเวน้ จุดเริ่มตน้ และส้ินสดุ ไม่เปน็ กราฟเชือ่ มโยง กราฟออยเลอร์ ตอ้ งเป็นกราฟเชอื่ มโยง และ มีวงจรออยเลอร์ คอื วงจรท่ีผ่านจุดทกุ จุดและ เส้นเชือ่ มบนกราฟ Ex จงพิจารณาวา่ กราฟตอ่ ไปนี้เปน็ กราฟออยเลอร์ หรือไม่ เป็นไม่กราฟกราฟออยเลอร์ เนอื่ งจากมีดกี รี เปน็ เลขค่ี เปน็ กราฟออยเลอร์ ข้อสงั เกต กราฟออยเลอร์จุดทกุ จดุ ของกราฟตอ้ งมดี กี รเี ปน็ เลขคู่เท่าน้ัน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 137 กราฟยอ่ ย คือ กราฟที่ประกอบไปด้วยจุดยอดและ กราฟต้นไม้ คือกราฟเช่ือมโยงที่ไมม่ วี ัฏจักร เส้นเชอ่ื มของกราฟนัน้ ๆ ป่า คือ กราฟท่ไี มม่ วี ฏั จักร แตไ่ ม่จาเป็นต้อง Ex กราฟ G กราฟยอ่ ยของ G เป็นกราฟเชอ่ื มโยง ใบ คอื จุดยอดป่าทม่ี ดี ีกรี เปน็ 1 กราฟยอ่ ยของ G กราฟถว่ งน้าหนกั คือกราฟเส้นเชอ่ื มทกุ เชื่อมโดย เปน็ ตน้ ไมแ้ ละป่า เป็นป่าแต่ไมเ่ ปน็ ต้นไม้ แตล่ ะเส้นเชอ่ื มมคี า่ นา้ หนกั กราฟตน้ ไมแ้ ผท่ ั่ว คือ ต้นไม้ที่เป็นกราฟย่อย ของกราฟเช่ือมโยง ตัวอยา่ งท่ี 1 จงพิจาณาขอ้ ความต่อไปน้ี กราฟตน้ ไมแ้ ผ่ทว่ั น้อยสดุ คอื ตน้ ไม้ที่มผี ลรวม คา่ น้าหนกั น้อยท่สี ดุ ก. กราฟ G มีดกี รจี ุดยอด 1,1,4,4,6 จะมีเสน้ เชือ่ ม 8 เส้น ข กราฟ G มจี ุดยอด 7 จดุ มดี ีกรี 5,4,2,2,2,3 และ 3 ตามลาดับ ค กราฟ G มีจุดยอดค่ี 6 จุดยอดคู่ 3 จุด ข้อใด เปน็ ไปไดเ้ กย่ี วกับกราฟ G วเิ คราะห์ ขอ้ ก ถกู เนือ่ งจาก ผลรวมทัง้ หมดของดีกรี เปน็ 16 ซึ่งเปน็ สองเท่าของจานวนเสน้ เชอ่ื ม . ข้อ ข ผดิ เน่ืองจาก กราฟ ตอ้ งมจี ุดยอดค่เี ปน็ จานวนคูเ่ ทา่ นน้ั ขอ้ ค ถูก เน่ืองจาก กราฟ ตอ้ งมีจุดยอดคเี่ ปน็ จานวนคเู่ ท่าน้นั ดังนัน้ ขอ้ น้ตี อบ ถกู ขอ้ ก และ ค ตวั อย่างที่ 2 กาหนด กราฟ G ดงั รปู จานวนกราฟต้นไม้แผท่ ว่ั ของกราฟ G ท่ีแตกต่างกนั มกี ่แี บบ 1. 4 แบบ 2. 5 แบบ 3. 6 แบบ 4. 7แบบ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 138 วเิ คราะห์ ตอบข้อ 1 4 แบบ เราสามารถเขียนไดด้ งั นี้ ตัวอยา่ งท่ี 3 จากกราฟ วิถี A–Z จงหาผลรวมค่าน้าหนักของตน้ ไม้แผ่ทัว่ ที่นอ้ ยทสี่ ดุ ของกราฟนี้ 1.6 2.7 3.8 4.22 วเิ คราะห์ ตอบข้อ 1 ผลรวมค่านา้ หนกั ของต้นไมแ้ ผ่ทวั่ ที่นอ้ ยที่สดุ คือ 6 เราสามารถเขียนรปู ตน้ ไม้ แผ่ทว่ั น้อยทสี่ ุดได้ดังนี้

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 139 ตัวอย่างท่ี 4 ข้อใดตอ่ ไปน้ีเป็นกราฟต้นไม้ 1 2 34 วิเคราะห์ ตอบข้อ 2 เนอื่ งจาก ขอ้ 1 กราฟมี วงจร จงึ ไม่เป็นกราฟต้นไม้ ข้อ 3 กราฟมี วงจร จึงไม่เปน็ กราฟตน้ ไม้ ข้อ4 ไม่เปน็ กราฟเชอ่ื มโยง กราฟต้นไมต้ ้องเปน็ กราฟเชอ่ื มโยง

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 140 ตัวอย่างท่ี 5 จงพจิ ารณาว่ากราฟใดตอ่ ไปน้ีจัดเปน็ กราฟออยเลอร์ 12 34 วิเคราะห์ ตอบขอ้ 3 เนื่องจากจุดยอดทุกจดุ เป็นดกี รีเลขคู่ ขอ้ 1 ผิด เนอื่ งจากไมเ่ ป็นกราฟเชอื่ มโยง ขอ้ 2 และ 4 ผดิ เนอื่ งจากดีกรขี องจุดยอดบางจุดเป็นเลขค่จี ึงทาใหไ้ ม่เปน็ กราฟออยเลอร์

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 141 ตวั อย่างท่ี 6 กราฟ G มีจดุ ยอดทงั้ หมด 10 จุด ซึ่งมดี กี รี ดังน้ี 1,1,3,3,3,5,x–5,x–3,x–2 และ x ถา้ กราฟมีเสน้ เช่ือมจานวน 15 เสน้ แล้ว ข้อใดกล่าวถกู ตอ้ ง ก.กราฟ G มีจุดยอดคี่ 6 จุด และจุดยอดคู่ 4 จุด ข.กราฟ G มีผลรวมดีกรคี ือ 30 ค.กราฟ G เปน็ กราฟออยเลอร์ วเิ คราะห์ ผลรวมดีกรเี ป็น 2 เทา่ ของเชอ่ื มเสมอดงั น้ันผลรวมดีกรีจึงเปน็ 30 1+1+1+3+3+3+5+x–5+x–3+x–2+x = 3 6 + 4x = 30 4x = 24 x=6 ดงั นน้ั กราฟนี้จึงประกอบด้วยดีกรี 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6 ขอ้ ก จงึ ผดิ ข้อ ข ถกู เนื่องจากผลรวมดกี รีจะเปน็ 2 เทา่ ของเสน้ เชอ่ื มเสมอ ขอ้ ค ผิดเนือ่ งจากกราฟออลเลอร์ ทุกจุดบนกราฟต้องเป็นดีกรีเลขคู่

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 142 บทท่ี 13 สถิติ ค่าเฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐาน การวิเคราะห์ข้อมลู เบอื้ งตน้ ฐานนิยม สถติ เิ ชงิ พรรณนา ค่ากลางขอ้ มูล การวดั การกระจายของข้อมูล การวัดการกระจายแบบสัมบูรณ์ พสิ ยั สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบยี่ งเฉล่ีย สว่ นเบีย่ งมาตรฐาน การวดั การกระจายแบบสัมพัทธ์ สัมประสิทธพ์ิ ิสัย สัมประสทิ ธส์ิ ่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ สมั ประสิทธ์ิส่วนเบ่ยี งเฉล่ีย สมั ประสทิ ธ์ิการแปรผนั การแจกแจงปกติ เส้นตรง คา่ มาตรฐาน (Z) พาราโบลา พ้นื ที่โคง้ ปกติ เอกซโ์ พเนนเชียล อนุกรมเวลา ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชันระหวา่ งขอ้ มูล

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 143 สถติ ิ (Statistics) คือ ตวั เลขท่ีแสดงขอ้ เท็จจรงิ ของข้อมลู เช่น สถติ ิรายได้ประชาชาติ เป็น ต้น สถิติมีความสมั พนั ธ์กับชีวติ ประจาวนั ของเรา เราเห็นไดจ้ าก ขา่ วตามหน้าหนงั สอื พมิ พ์ วทิ ยกุ ระจายเสียง วิทยุโทรทัศน์ จะมีข้อมูลตัวเลขแสดงใหเ้ หน็ ถงึ ข้อเท็จจรงิ ต่างๆ เช่น สถิตอิ ตั รา แลกเปลี่ยนค่าเงินบาท สถิติการซอ้ื –ขายอนุพนั ธ์ในตลาดหลักทรัพย์ สถิตริ ายไดป้ ระชาชาติ สถติ ิ ผลติ ภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศ สถิตอิ ณุ หภมู ิ ในทางคณติ ศาสตร์ สถติ ิหมายถึงศาสตร์หรือหลักการ และระเบยี บวธิ ีการทางสถิติ ซึง่ ประกอบด้วยข้ันตอนตอ่ ไปน้ี  การเก็บรวมรวมข้อมูล  การนาเสนอข้อมูล  การวิเคราะหข์ ้อมูล  การตคี วามข้อมูล การจาแนกข้อมูล  ขอ้ มูลเชิงปริมาณ คอื ขอ้ มูลท่อี ยู่ในลักษณะเป็นตวั เลข  ข้อมูลเชิงคณุ ภาพ คอื ขอ้ มูลที่แสดงลักษณะหรือคุณสมบัติ แหลง่ ท่มี าของขอ้ มลู  ขอ้ มลู ปฐมภูมิ คอื ข้อมลู ที่เก็บรวบรวมจากแหล่งต้นกาเนดิ  ข้อมูลทุติยภูมิ คอื ขอ้ มลู ท่ีรวบรวมขอ้ มูลจากแหล่งอ้างอิง การเกบ็ รวมข้อมลู  เกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากทะเบยี นประวตั ิ  เกบ็ รวมรวมข้อมลู จากการสารวจ  เกบ็ รวบรวมข้อมูลจากการทดลอง  เก็บรวบรวมขอ้ มูลจากการสงั เกต

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 144 ประชากรและกลุม่ ตวั อย่าง ประชากร (population) ในทางสถิติ มคี วามหมายคือ หน่วยตา่ งๆท่ใี ชใ้ นการเก็บรวบรวมข้อมลู หรือแหล่งที่มาของขอ้ มลู ประชากรอาจเปน็ กลมุ่ บุคคล สถานที่ เอกสารการพิมพ์ ประเภทของประชากร 1. ประชากรทเ่ี ป็นจานวนจากดั (Finite population) คือประชากรทสี่ ามารถนับแจกแจงรายการได้ 2. ประชากรทมี่ จี านวนอนนั ต์ (Infinite population) คอื ประชากรที่ไมส่ ามารถนับจานวนได้ ค่าท่แี สดงคณุ สมบตั ิหรือลกั ษณะของประชากร คือ พารามเิ ตอร์ (parameter) ได้แก่ ค่าเฉล่ยี เลขคณิตเขยี นแทนดว้ ย (มิว) คา่ เบ่ียงเบนมาตรฐานประชากรแทนด้วย (ซิกมา) กลมุ่ ตวั อย่าง (Sample) หมายถึงส่วนหนึง่ ของหน่วยขอ้ มลู หรอื ขอ้ มลู สว่ นหนง่ึ ที่เลอื กมาจาก ประชากร คา่ เฉล่ียเลขคณติ กลมุ่ ตวั อย่าง เขยี นแทนด้วย ̅ (เอ็กซบ์ าร)์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกลุ่มตวั อยา่ ง เขยี นแทน ดว้ ย S (เอส) การวิเคราะห์ข้อมลู เบอ้ื งตน้ การแจงแจงความถี่ของข้อมูล (Frequency distribution) เป็นวธิ ีการทางสถติ ิอย่างหนง่ึ ที่ ใชใ้ นการจดั ขอ้ มูลทมี่ อี ยู่หรือทีไ่ ด้เก็บรวบรวมใหไ้ ดเ้ ปน็ หมวดหมู่ เพื่อสะดวกในการวิเคราะหข์ ้อมูล 1.ขอ้ มูลที่แจกแจงความถี่ของขอ้ มูล อายุ จานวน 10 30 – 34 15 35 – 39 25 40 – 44 6 45 – 49 20 50 – 54 1) อนั ตรภาคช้ันคือ ช่วงความกว้างแต่ละช่วง เชน่ 30 –34 2) ขอบล่าง คือ ค่ากึง่ กลางระหวา่ งช่วงทีน่ อ้ ยท่สี ุดในช้ันน้นั กบั ช่วงที่มากที่สุดของ อนั ตรภาคชั้นทีต่ ิดกนั และเปน็ ชว่ งความกว้างตา่ กว่า เชน่ อนั ตรภาคชั้น 35 – 39 ขอบล่างคือ 34.5 มาจาก

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 145 1) ขอบบนคือ คอื คา่ กึ่งกลางระหวา่ งช่วงที่มากทสี่ ดุ ในอนั ตรภาคชั้นน้ัน กบั ช่วงทีน่ อ้ ย ทสี่ ดุ ของอนั ตรภาคช้ันทต่ี ิดกนั และเปน็ ช่วงทีส่ งู กว่าเช่น อันตรภาคช้ัน 35 – 39 ขอบล่างคือ 39.5 มาจาก 2) จุดกงึ่ กลาง ของแตล่ ะอนั ตราภาคช้นั หาได้จากขอบบนและขอบล่างในแตล่ ะชั้น ขอบบน ขอบลา่ ง 2 เชน่ จุดก่งึ กลางของอันตรภาคชั้น 35 – 39 คอื คอื 37 5) ความกวา้ งของอนั ตรภาคชั้น คือขนาดของแตล่ ะชัน้ หาไดจ้ ากผลต่างระหว่างขอบบน และขอบล่างของอนั ตรภาพชั้นนัน้ ขอบบน – ขอบลา่ ง ความกว้างของอันตรภาคชัน้ 35 – 39 คอื 39.5–34.5 = 5 6) ความถี่สะสมของอนั ตรภาคชั้น คือผลรวมของความถขี่ องอันตรภาคช้ัน กับความถีข่ อง อนั ตรภาคช้นั ทมี่ ีช่วงต่ากว่าทั้งหมด 7) ความถี่สมั พนั ธ์ ของอนั ตรภาคช้นั คอื อตั ราสว่ นระหว่างความถ่ีของอนั ตราภาคชัน้ นั้น กบั ผลรวมของความถีท่ ้งั หมด ความถข่ี องอนั ตรภาคช้ันนน้ั ความถ่ีสัมพนั ธ์ = ผลรวมของความถที่ ้ังหมด 8) ความถ่ีสะสมสมั พทั ธ์ ของอันตรภาคช้ัน คอื อัตราสว่ นระหว่างความถข่ี องอันตรภาคช้นั น้ันกับผลรวมความถ่ีท้งั หมด ความถข่ี องอนั ตรภาคชนั้ นัน้ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ = ผลรวมของความถีส่ ะสมทั้งหมด 9) ร้อยละความถ่ีสมั พัทธ์ คือ ความถี่สมั พทั ธ์ x 100 10) รอ้ ยละความถี่สะสมสัมพันธ์ คือ ความถ่ีสะสมสัมพัทธ์ x 100

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 146 การเขยี นแจกแจงโดยใชก้ ราฟ 1.ฮสิ โทแกรม (Histogram) เป็นรูปส่เี หลยี่ มมุมฉากทีว่ างเรียงตดิ กันบนแกนนอน โดยให้ แกนนอนแทนเป็นคา่ ตัวแปร ความกว้างของรูปสเี่ หล่ียมคือความกวา้ งของอันตรภาคชั้น พ้นื ท่ขี อง ส่ีเหล่ยี มแต่ละรูปแทนความถี่ของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั 2. รูปหลายเหล่ียมของความถี่ (frequency polygon) คือรปู หลายเหลี่ยมท่ีเกดิ จากการ โยงจุดกงึ่ กลางของยอดแท่งของฮิสโทแกรมด้วยเสน้ ตรง โดยเร่มิ ตน้ และสิ้นสุดกึ่งกลางของอนั ตร ภาคชัน้

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 147 3.พน้ื ท่โี ค้งของความถี่ (frequency curve) เปน็ เส้นโค้งท่ีได้รบั จากการปรับดา้ นของรูป หลายเหลี่ยมของความถ่ีใหเ้ รยี บขนึ้ โดยพยายามให้พ้นื ที่ใตโ้ คง้ ที่ปรับแล้ว มขี นาดใกลเ้ คยี ง ของเดิม 4.แผนภาพตน้ – ใบ (Stem – leaf Diagram) เป็นการบอกข้อมลู โดยเขยี นหลักสิบอยูห่ น้า เส้นกน้ั ส่วนหลักหนว่ ยอยู่หลังเสน้ กนั ตวั อย่าง 0 345 20 4 12 11 0 6 8 จากภาพแผนภาพตน้ – ใบ เราสามารถเขยี นสมาชิกได้ดังน้ี {3,4,5,20,41,42,110,116,118 }

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 148 คา่ กลางของข้อมูล 1.ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ประชาการ ขอ้ มลู เด่ยี ว ข้อมลู กลุ่ม ∑ ขอ้ มลู ทั่วไป ไม่มกี ารถ่วงนา้ หนัก ∑ = = x = จดุ กึง่ กลางอนั ตรภาคชน้ั ขอ้ มลู ถ่วงนา้ หนกั f คือความถี่ ∑  =∑ wi คอื เลขถว่ งน้าหนกั ของ xi แตล่ ะตัว ขอ้ มูลหลายชดุ นามาหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ∑  รวม = ∑ กล่มุ ตัวอย่าง ̅ ขอ้ มูลเดย่ี ว ขอ้ มลู กลุ่ม ∑ ข้อมลู ทั่วไป ไมม่ ีการถ่วงน้าหนัก ∑  ̅=  ̅= x = จดุ กง่ึ กลางอนั ตรภาคชน้ั ขอ้ มูลถว่ งน้าหนกั f คอื ความถ่ี ∑  ̅= ∑ wi คือเลขถว่ งน้าหนกั ของ xi แต่ละตัว ข้อมลู หลายชุดนามาหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ∑̅  ̅รวม = ∑ คาแนะนา การคดิ ค่าเฉลยี่ เลขคณิตขอ้ มูลกลมุ่ แบบลดทอนข้อมลู

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 149 คุณสมบตั ขิ องคา่ เฉลย่ี เลขคณิต 1.xmax ̅ xmin 2. i = N̅ i= 3. ( i − ) = 0 i= 4. ( i − M) มีคา่ นอ้ ยสุดเมอื่ M = ̅ i= 5.ถา้ yi = axi + b แลว้ ̅ = a̅ + b 2.มธั ยฐาน คอื ขอ้ มูลทีอ่ ยตู่ าแหน่งกงึ่ กลางของข้อมลู ทเี่ รยี งจากนอ้ ยไปมาก ใชส้ ัญลกั ษณ์ Me หรอื Med ข้อมลู เดี่ยว Me = Med = ข้อมลู กลมุ่ Me = ; N คอื ผลรวมของความถี่ Med = L + I 4 ∑ 5 L คือขอบลา่ งของชนั้ ท่ี Me อยู่ f(M) คอื ความถี่ ณ ชัน้ Me อยู่ I คอื ความกว้างของอันตรภาคชั้น fm คอื ความถ่ี ณ ชนั้ Me I คอื ความกว้างของอันตรภาคช้ันหาไดจ้ าก ขอบบน + ขอบลา่ ง 2 3.ฐานนิยม คอื ขอ้ มูลทมี่ ีความถ่ีสูงสุด ใชส้ ญั ลักษณ์ Mo หรอื Mod ขอ้ มูลเดย่ี ว Mo = ขอ้ มลู ทีซ่ า้ กันมากท่ีสดุ ขอ้ มลู กล่มุ Mo = จดุ กึ่งกลางอันตรภาคชั้นทม่ี คี วามถี่สงู สดุ

OpenPassorn Math Kit Ebook ห น้ า 150 ตัวอยา่ งที่ 1 นายอานวย สอบได้คะแนนตามรายวิชาได้ดงั น้ี รายวชิ า คะแนนทไี่ ด้ วิชาสงั คมศกึ ษา 68 วิชาสุขศกึ ษา 68 วิชาศิลปะ 85 วชิ าคณิตศาสตร์ 95 จงหาคะแนนเฉลย่ี และมัธยฐาน คะแนนเฉลย่ี คือ = 79 คะแนน = 76.5 มัธยฐาน ตาแหนง่ คอื 68 = = 2.5 ซงึ่ ก็คอื ตัวอย่างที่ 2 จงหาคะแนนเฉลีย่ ฐานนยิ มและมัธยฐานจากข้อมูลต่อไปน้ี จากการสารวจกลมุ่ ตัวอย่างของรายวิชาหนงึ่ ในภาคเรียนที่ 1 ได้ชว่ งคะแนนของนกั เรยี นดังนี้ ช่วงคะแนน จานวนนกั เรยี น 50 – 60 28 60 – 70 16 70 – 80 38 80 – 90 6 วิธที า ชว่ งคะแนน จานวนนักเรยี น(f) ความถ่ีสะสม x (จดุ กงึ่ กลางอันตภาพชั้น) y = x – 65 55 –10 50 – 60 28 28 65 0 75 10 60 – 70 16 44 85 20 280 20 70 – 80 38 82 80 – 90 6 88 ผลรวม 88 242 y = x – 65 ดังนัน้ = – 65 = =5 = + 65 = 5 + 65 = 70 ดงั นัน้ คะแนนเฉลีย่ ของนักเรียนคือ 70