สรุปแก่นคณิตศาสตร์ม.ปลาย Math Kit Ebook

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 51 ตวั อยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ f ={(1,2),(2,7),(3,4),(4,1),(5,6)} ก. จงหา f(f(1)) ข. จงหา f–1(f(3)) วิธที า f(f(1)) = f(2) f–1 ={(2,1),(7,2),(4,3),(1,4),(6,5)} ตอบ 7 f(2) = 7 f–1(f(3)) = f–1(4) f–1(4) = 3 ตอบ 3 ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ f(0) = 10 และ f(x+1) = f(x) + 5 จงหา f(20) วิธที า พจิ ารณา f(1) คือ (f(0)) +5 = 15 (เกดิ จาก 15 + 0(5)) พจิ ารณา f(2) คือ (f(1)) +5 = 20 (เกิดจาก 15 + 1(5)) พจิ ารณา f(3) คือ (f(2)) +5 = 25 (เกดิ จาก 15 + 2(5)) f(20) เกิดจาก 15 + 19(5) = 110 ตอบ 110

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 52 บทท่ี 5 เรขาคณติ วิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย จุด ระยะห่างระหว่างจุด จดุ แบง่ เสน้ ตรง จดุ ตดั เส้นมธั ยฐาน พ้ืนที่ n เหลย่ี ม เส้นตรง สมการเส้นตรง ความชันเส้นตรง ระยะห่างระหว่างจุดกบั เส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกบั เสน้ ตรง การเลอื่ นแกนขนาน วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 53 ความรู้เบ้อื งตน้ เกีย่ วกบั เรขาคณติ วิเคราะห์ (Fundamental of Geometry) ระบบแกนมุมฉาก (Coordinate System) คอื ระบบแกนทม่ี แี กนราบ (แกน x) และแกนดิ่ง (แกน y) ตงั้ ฉากกันทจ่ี ุด O (Origin) หรอื จดุ กาเนดิ หรอื จดุ (0,0) ดังนัน้ เราสามารถแทนคู่อันดบั ใดๆ ลงในระบบระบบแกนมมุ ฉาก เชน่ คูอ่ นั ดับ (x,y) เป็นจุด ห่างจากแกน y เป็นระยะทาง |x| หน่วยไป ทางขวา เม่ือ x เปน็ บวก ห่างจากแกน y เป็นระยะทาง |x| หน่วยไป ทางซ้าย เม่ือ x เปน็ ลบ ห่างจากแกน x เป็นระยะทาง |y| หน่วยไป ทางบน เม่อื y เปน็ บวก ห่างจากแกน x เป็นระยะทาง |y| หนว่ ยไป ทางลา่ ง เมอื่ y เป็นลบ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 54 จดุ 2 จดุ Ex ความยาว − |AB| = √ − 2) ความชัน 2− mab = tan( ) = 2− จดุ แบ่งเสน้ ตรง P=( 2 |AB| = √ − − = − ) −= mab = P( ถ้าจุดแบง่ คร่งึ AB คอื ( 2, 2) =P( ) จดุ ตงั้ แต่ 3 จดุ ข้นึ ไป Ex 1.จดุ ตัดเส้นมธั ยฐาน (Centroid) 1.จดุ ตัดเส้นมธั ยฐาน () (− − ) = (2,1) 2.พืน้ ทรี่ ูป n เหลี่ยม 2.พ้ืนที่รูป n เหลีย่ ม || 04 5 |− − −| 2 25 0 |2+25+0+0+4+5| =18 ตารางหน่วย

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 55 เสน้ ตรง ผา่ นจุด (x1.y1) , มีความชนั m 3 1.สร้างสมการเสน้ ตรงจาก y – y1 = m(x – x1) 2.สมการใช้หาความชนั y = mx + c เสน้ ตรงสองเส้น 12 ขนานกัน m1 =m2 ตั้งฉาก m1 × m2 = –1 ทามมุ tan = −2 ข้อควรระวัง 2 เมื่อเสน้ ตรงสองเส้นตงั้ ฉากกันแบบน้ี จะหาความชันหาค่าไม่ได้ ระยะจากจดุ ถงึ เส้นตรง Ex d d d= 2 2 −− d= 2 2 =

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 56 ระยะทางเส้นตรงถงึ เสน้ ตรง Ex dd . −− d= 2 2 −2 d= 2 2 =d= การเล่อื นแกน (Translation of Axes) การเลื่อนแกนทางขนาน หมายถึง หมายถงึ การเปล่ียนแปลงแกนพกิ ดั เดมิ อย่างนอ้ ยหนง่ึ แกน (แกน X หรอื แกน Y) โดยให้แกนพกิ ัดใหม่ขนานกบั แกนพกิ ดั เดมิ การเล่อื นแกนทางขนานนับเป็นพ้นื ฐานที่สาคัญทจี่ ะช่วยในการศกึ ษาเกย่ี วกับภาคตดั กรวย ได้ สะดวกยง่ิ ขึน้ ในระบบแกนมุมฉาก เราใชแ้ กน X และ Y สาหรับอา้ งอิงพิกัดหรอื ตาแหน่งของ จดุ ในระนาบจดุ P(x, y) เปน็ จดุ ทอี่ ยหู่ ่างจากแกน Y ไปทางขวามอื เปน็ ระยะ x หน่วย และอย่หู ่าง จากแกน X ซง่ึ อยู่เหนอื แกน X เปน็ ระยะ y หน่วย ดงั รูป

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 57 ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งท่ีได้จาก การตัดพ้ืนผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยน้ีถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาต้ังแต่สมัย 200 ปี กอ่ นคริสตศ์ ักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอรก์ า ผูซ้ ึ่งศกึ ษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลาย ประการของภาคตดั กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตดั กรวยถูกนาไปใชป้ ระโยชนห์ ลายแบบ กรวยกลมตรงมลี กั ษณะดังน้ี วงกลม เกิดจากการตัดกรวยกลมตรงดว้ ยระนาบ ท่ตี ง้ั ฉากแกนของกรวย พาราโบลา เกิดจากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบทขี่ นานกบั เสน้ ขอบกรวย วงรี เกิดจาดการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบเพียงส่วนเดียว โดยที่ระนาบนั้นไม่ขนาน กับเสน้ ของกรวยและไมต่ ้ังฉากกบั แกนของกรวย ไฮเปอรโ์ บลา เกดิ จากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบทต่ี ัดทง้ั สองส่วนของกรวย

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 58 วงกลม(Circle) วงกลมคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบท่ีห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม( center)เป็น ระยะคงตวั และมรี ะยะทางคงตวั คือรัศมี(radius) ของวงกลม สมการรปู มาตรฐาน วงกลมคือ (x – h)2+(y – k)2=r2 สว่ นประกอบของวงกลม จดุ ยอด (h,k) รัศมี r สมการรูปทวั่ ไป x2 + y2 + ax + by + c = 0 ถา้ สมการของวงกลมในรปู แบบท่ัวไป สามารถเขยี นสมการใหม่ในรูปแบบสมการมาตรฐาน ไดโ้ ดยใชว้ ิธีการทาเป็นกาลังสองสมบรู ณ์ Ex จงหารัศมขี องวงกลมและจุดศูนยก์ ลางของสมการวงกลมตอ่ ไปน้ี x2 +y2– 4x + 6y – 12 = 0 วธิ ีทา x2 +y2– 4x + 6y = 12 x2 – 4x +4 + y2 +6y + 9 = 12 + 4 + 9 (x2–2(2)x+22) + (y2+2(3)y+32) = 12+22+32 (x–2)2 + (y+3)2 = 25 หรือ (x–2)2 + (y+3)2 = 52 วงกลมจดุ ศูนย์กลาง (2,–3) รศั มี 5

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 59 Ex จงวาดกราฟของสมาการตอ่ ไปนี้ จุดยอด (5,-3) รัศมี 7 หนว่ ย ขอ้ ควรระวังเรอ่ื งวงกลม 1.เสน้ สมั ผสั ตง้ั ฉากกับรศั มที จี่ ดุ สมั ผัส (mเส้นสมั ผัส × mรัศมี = –1) 2.ระยะทางจากจุดศนู ย์กลางถงึ จดุ สัมผสั คอื รัศมี

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 60 พาราโบลา(Parabola) พาราโบลาคอื เซตของจดุ ทุกจดุ บนระนาบ ซ่ึงอย่หู ่างจากเส้นตรง(เส้นไดเรกติก) ทเี่ ส้น หน่งึ บนระนาบและจดุ คงท่ี(จดุ โฟกัส)จุดหน่ึงบนระนาบนอกเส้นตรงคงท่ีนน้ั เปน็ ระยะทางเทา่ กัน เสมอ สมการมาตรฐาน (y – k)2 = 4c(x – h) (x – h)2 = 4c(y–k) จุดยอด V จดุ โฟกสั F ลาตัสเรกตรมั (LR) = 4C

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 61 วงรี (ellipse) วงรี คือเซตของจุดทัง้ หมดในระนาบซ่งึ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆ ไปยังจุดโฟกสั (focus) ทง้ั 2 มคี ่าคงตวั สมการวงรีรูปมาตรฐาน −2 −2 −2 −2 2 =1 2 2 2 คาแนะนา ค่า a จะมคี า่ มากกวา่ ค่า b เสมอ ความสัมพนั ธข์ องวงรี c2 = a2 − b2 สว่ นประกอบของวงรี จุดยอด V, V’ จุดศนู ยก์ ลาง C 2 แกนเอก 2a แกนโท 2b ลาตัสเล็กตมั ยาว ความเยอื้ งศูนย์กลาง e = โดยท่ี 0 < e < 1 e เขา้ ใกล้เลข 0 จะเปน็ รปู ใกลเ้ คียงวงกลม แต่ ถ้าคา่ e เขา้ ใกลเ้ ลข 1 จะเป็นรปู วงรที ร่ี ีมาก

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 62 ไฮเปอรโ์ บลา(Hyperbola) ไฮเปอร์โบลา คือ เซตของจดุ ทกุ จุดในระนาบซงึ่ ผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนีไ้ ป ยังจดุ คงที่สองจดุ บนระนาบมีคา่ คงตวั ซ่ึงมากกวา่ ศนู ยแ์ ต่น้อยกว่าระยะหา่ งระหวา่ งจดุ คงท่ที ง้ั สอง โดยท่ีจุดคงทน่ี เ้ี รียกวา่ จดุ โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา = 2a สมการมาตรฐาน − −− − −−

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 63 สว่ นประกอบไฮเปอร์โบลา จุดศนู ยก์ ลาง C 2 จดุ ยอด V, V’ จุดโฟกัส F, F’ แกนตามขวาง 2a แกนสังยคุ 2b ลาตัสเรกตมั (LR) = สมการเสน้ กากับไฮเปอร์โบลา 1. − 2− −2 หรอื y – k = ± (x – h) หรือ x – h = ± (y – k) 2 2 2. − 2− −2 2 2 หมายเหตุ ไฮเปอรโ์ บลามมุ ฉาก คอื ไฮเปอรโ์ บลาคือ a = b คาแนะนา สาหรบั โจทยบ์ างประเภทไม่เป็นไป ตามสมการมาตรฐาน เชน่ วงรเี อยี ง ซง่ึ ไม่ตรงกับวงรรี ีตาม แกน x และแกน y เราจะตอ้ งสรา้ งสมการเองโดยอิงจากส่วนประกอบทโ่ี จทย์กาหนดมาให้ โดยเราตอ้ ง พิจารณาตามนิยามของแต่ละรปู

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 64 ตัวอยา่ งที่ 1 จุด A(–3,1) B(8,3) C(8,3) D(2,–3) เป็นจุดยอดของรูปสเี่ หล่ียม ABCD ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ผิด (PAT 1 ม.ี ค. 53) 1.ดา้ น AB ขนาดกบั BC 2.ผลบวกความยาวของดา้ น AB กบั DC เท่ากับ 10√2 หน่วย 3.ระยะตัง้ ฉากจากจดุ A ไปยงั เส้นตรงที่ผา่ นจดุ C และจดุ D เทา่ กบั หนว่ ย 4.ระยะตงั้ ฉากจากจุด B ไปยังเส้นตรงท่ีผา่ นจดุ C และจุด D เทา่ กับ หนว่ ย วิธีทา รา่ งกราฟโดยคร่าวๆจะไดป้ ระมาณนี้ mAB = − =1 mDC = =1 −− −− − ดงั นั้นข้อ 1 จึงถกู AB // DC |AB| = √ − − − =√ − −= |DC| = √ − −− = |AB| +|DC| = + = ดังนนั้ ขอ้ 2 ถกู เส้นตรงทีผ่ ่านจดุ C และจุด D หาโดยใชจ้ ุด C และความชนั CDจะได้ y – 3 =1(x – 8) x–y –5=0 ระยะตงั้ ฉากจากจดุ A ไปยงั เสน้ ตรงทผ่ี ่าน CD − −− – − −−− √2 − 2 = = ดังนั้นขอ้ 3 ถูก ระยะต้ังฉากจากจดุ A ไปยังเส้นตรงทผ่ี ่าน CD −− – − √2 − 2 = = ดงั น้ันขอ้ 4 ผิด ตอบข้อ 4

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 65 ตวั อยา่ งที่ 2 เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (1,–3 ) จะตงั้ ฉากและตัดกบั เส้นตรง x + 2y = 5 1. (3,1) 2. (–1,3) 3. (1,2) 4.(5,0) วิธที า สรา้ งสมการเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (1,–3 ) ซ่งึ มีความชนั คือ 2 เพราะต้งั ฉากกับสมการทโี่ จทย์ กาหนด (– ) y + 3 = 2(x – 1) 2x – y – 5 =0 แล้วแก้สมการ 2 ตัวแปร 2 สมการ x + 2y = 5 ––––––––––––––––––– (1) 2x – y = 5 ––––––––––––––––– (2) (1) + 2x(2) 5x = 15 ดงั นน้ั x = 3 เม่อื x = 3 ดงั น้นั y = 1 ดงั น้นั จดุ ตดั คือ (3,1) ตอบข้อ 1 ตวั อย่างท่ี 3 สมการของเส้นตรงท่ีอยู่ห่างจากจุด A(–5,2), B(–1,4) เทา่ กนั 1. y + 2x = –3 2. 2y – x = 9 3. 2x+3y =6 4. 2x + y = 3 วิธที า วาดกราฟโดยคร่าวๆ จดุ กึ่งกลาง A กับ B = (− ) = (–3,3) ความชันของAB = − − = − ดงั นน้ั ความชันของเส้นตรงทตี่ ง้ั ฉากคือ –2 เราสามรถสร้างสมการท่แี บง่ คร่ึงเส้นตรงไดด้ งั น้ี (y+3)=–2(x–3) 2x + y = –3 ตอบขอ้ 1

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 66 บทท่ี 6 เมตรกิ ซ์ พื้นฐานเมตริกซ์ A + B และ A - B kA เมตรกิ ซ์คูณดว้ ยค่าคงท่ี (k) A × B เมตรกิ ซ์ คูณดว้ ยเมตรกิ ซ์ At การทรานสโพสเมตรกิ ซ์ det det = 0 คือเมตริกซเ์ อกฐาน det ≠ 0 คือเมตรกิ ซ์ไมเ่ อกฐาน วิธกี ารหา det อินเวอร์สเมตรกิ ซ์ A-1 = detA[Cij]t AA-1 = I โดยท่ี I คอื เมตริกซเ์ อกลักษณ์ ประยกุ ตเ์ มตริกซ์ เมตริกซข์ ้ันบนั ได เมตริกซ์กบั สมการเชิงเส้น เมตริกซป์ ระยุกตเ์ วกเตอร์

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 67 เมตริกซ์ คอื กลุ่มของจานวนหรือสมาชิกของจริงใดๆ เขียนเรยี งกนั เป็นรปู สเี่ หล่ียมผนื ผ้า หรอื จตั รุ ัส กล่าวคอื เรยี งเปน็ แถวในแนวนอน และเรยี งเป็นแถวในแนวตัง้ เรามกั เขียนเมตริกซ์เป็น ตารางที่ไมม่ ีเสน้ แบง่ และเขยี นวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเปน็ วงเล็บโคง้ หรือวงเล็บเหล่ียม) เรา เรยี ก m × n มติ ิ [] เมตริกซท์ คี่ วรรจู้ กั 1.เมตรกิ ซเ์ ฉยี ง (Diagonal Matrix) คอื เมตรกิ ซ์จัตุรสั ท่ีมีสมาชิกทุกตัวทเี่ ปน็ สมาชิกทแยงมคี า่ เป็น ศนู ย์ โดยที่ aij = 0ทกุ ค่าที่ i ≠ j ตัวอย่าง * + [ ] 2.เมตริกซส์ ามเหล่ียมบน (Upper Triangular matrix) คือ เมตรกิ ซ์ท่ี i > j แลว้ aij = 0 ตัวอยา่ ง * + [ ] 3.เมตริกซส์ ามเหล่ยี มลา่ ง (Lower Triangular matrix) คือ เมตรกิ ซท์ ่ี i < j แล้ว aij = 0 ตวั อย่าง * + [ ] 4.เมตรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix) คอื เมตริกซ์ท่ี i ≠ j แลว้ aij = 0 และ i = j แลว้ aij = 1 ตัวอยา่ ง * + [ ]

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 68 การบวกลบ เมตริกซ์ การดาเนินการบวก หรือ ลบ เมตริกซ์ ต้องมีมติ ิเทา่ กัน [ ] + [− − ]=[ ] − [ ] – [− − ]=[ − ] −− การทรานสโพส คอื เมตริกซท์ ่ีไดจ้ ากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลกั เปน็ แถว ของเมตรกิ ซ์ ต้นแบบ เมตริกซส์ ลับเปลี่ยนของของเมตริกซ์ A ขนาด m×n คอื At ขนาด n×m A=[ ] At= [ ] การคูณเมตริกซ์ดว้ ยค่าคงท่ี ให้ A=[a]m x n และ k เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ ่า KA=[ka]m x n A=[ ] 5A = [ ]

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 69 การคณู เมตรกิ ซ์ด้วยเมตริกซ์ ถ้า A และ B เปน็ เมตรกิ ซ์ 2 เมตรกิ ซ์ใด ๆ การนาเมตรกิ ซ์ A มาคูณกับเมตรกิ ซ์ B จะ เกดิ ผลข้ึนอยา่ งใดอย่างหน่ึงใน 2 อย่างต่อไปนี้ 1. ไมส่ ามารถหาผลคูณได้ เนื่องจากปญั หาเรอื่ งมติ ิ 2. สามารถหาผลคณู ได้ ปญั หาทเ่ี ราจะต้องทราบก็คือ ถ้าหาผลคูณไดต้ อ้ งมเี งอ่ื นไขอยา่ งไร และสมาชิกของเมตรกิ ซ์ท่ีเป็น ผลคูณจะหามาได้อยา่ งไร ใหด้ ูหลกั การต่อไปน้ี 1. มติ ขิ องเมตรกิ ซ์ทีน่ ามาหาผลคณู ถา้ A เปน็ เมตรกิ ซ์ m × p B เปน็ เมตริกซ์ q × n เราจะคณู เมตริกซไ์ ดเ้ มื่อ p = q และ AB จะมมี ติ ิ m × n 2. ลักษณะสมาชกิ ของเมตรกิ ซท์ ่ีเปน็ ผลคณู (ถ้าหาผลคูณได)้ หลกั การหาสมาชกิ โดยทัว่ ๆ ไป สามารถหาไดด้ งั น้ี \"สมาชิกของผลคูณของเมตรกิ ซใ์ นแถวท่ี i หลกั ท่ี j จะเกดิ สมาชิกในแถวที่ i ของเมตริกซ์ทอ่ี ยู่ หนา้ คณู กบั สมาชกิ ในหลักท่ี j ของเมตรกิ ซ์หลกั เป็นคู่ ๆ แล้วนามาบวกกนั \" A=* +B=* − + − ] AB = [ − AB = * − + − ☺ขอ้ ระวงั AB ไมจ่ าเป็นที่ตอ้ งเท่ากับ BA เพราะการคูณเมตริกซด์ ้วยเมตรกิ ซ์ ไม่มี คุณสมบัติการสลับท่ี ☺

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 70 ดเี ทอรม์ แิ นนต์ คอื ฟังกช์ ันหนง่ึ ท่ใี ห้ผลลพั ธ์เปน็ สเกลาร์ ซง่ึ ข้นึ อยู่กบั ค่าของ n ในมติ ิ n×n ของเมตริกซจ์ ัตรุ ัส แบบ 1 x 1 A = [a] detA =a เเบบ 2 x 2 detA = ad – bc A=* + แบบ 3 x 3 A=[ ] detA = [ ] aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb ต้ังแต่ 3 x 3 ใช้แถว I แล้วพิจารณาหาคา่ โคแฟเตอร์ detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … ainCin หรอื ใชห้ ลัก j แลว้ พิจารณาหาค่าโคแฟเตอร์ detA = a1jC1j + a2jC2j + … anjCnj ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ คอื ดิเทอรม์ ิแนนตข์ องเมตรกิ ซท์ เ่ี กิดจากการตัด Cij = (–1)i+j • Mij(A) แถวท่ี i หลัก ท่ี j ตวั อยา่ ง A = [ − − ] จงหา C23 C23 = (–1)2+3 | | = (–1)(2) = –2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 71 ประเภทของเมตริกซ์ 1. เมตรกิ ซเ์ อกฐาน (Singular Matrix) คอื เมตรซิ ท์ ีม่ ี det = 0 ซ่ึงหาอินเวอร์สไมไ่ ด้ 2. เมตรกิ ซไ์ ม่เอกฐาน (Non Singular Matrix) คือเมตริซท์ มี่ ี det ไมเ่ ท่ากับ 0 ซ่งึ หาอนิ เวอรส์ ได้ การดาเนินการทางแถว 1. สลบั แถว ทาให้ det กลับเครือ่ งหมาย 2. นาคา่ คงทีค่ ณู ท้ังแถว ทาใหค้ า่ det ถูกคูณด้วยค่าคงที่ 3. นาค่าคงที่คณู ท้ังแถวไปดาเนนิ การบวกหรือลบกบั อกี แถวหนงึ่ det มีค่าเทา่ เดิม คณุ สมบัตดิ ีเทอรม์ แิ นนต์ Ex A = * + จงหา det 3At detAB = detA × det B เราสามารถใช้คุณสมบัตขิ อง ดีเทอร์มิแนนตช์ ่วย detAm = (detA)m จะได้ว่า 32 det A detAt = detA detA = 2 detkA = kn × detA n × n มติ ิ จึงได้วา่ 9 x 2 = 18 อนิ เวอร์สการคูณ การหาอินเวอร์สจากการดาเนินการทางแถว อนิ เวอรส์ การคูณของเมตรกิ ซ์ A ก็คอื เมตรกิ ซ์ ซ่ึง [A | I] ~ [I | A–1] เมอื่ นามาคณู กบั เมตริกซ์ A แล้วจะไดผ้ ลลัพธ์ Ex A= [ − − ] จงหา A–1 เทา่ กบั เมตริกซ์เอกลกั ษณ์ I และเราใช้สญั ลักษณ์ A–1 แทน อนิ เวอรส์ การคณู ของเมตรกิ ซ์ นัน่ คือ [− | ] AA–1 = I เราสามารถหาอินเวอรส์ การคูณของเมตริกซไ์ ดเ้ ม่ือ R2-R3 [ | −] ~เมตรกิ ซเ์ ป็นเมตรกิ ซไ์ ม่เอกฐาน (Non – Singular Matrix) หรอื คา่ det ไมเ่ ป็น 0 ~R23 [ |] − ~R1÷2 |] [ − A–1 = [ ] −

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 72 การหาอนิ เวอร์สการคณู Ex 1 × 1 มิติ A = [a] A–1 =[ ] A = [3] A–1 =[ ] −+ B = * + B–1= * 2 × 2 มิติ − =[ ] A=* + A–1 = * −+ − ตง้ั แต3่ × 3 มติ ิ C=[ ] detC = 7 A–1 = [adjA] ; adjA { adjoint (เมตรกิ ซ์ ผูกพนั )} คือโคแฟเตอร์ท้ังหมดทรานสโพส | | −| | | | | adjA = [Cij]t C–1= − | | | | − | |] [| | −| | | =[ − − −] = [− − ] − − =− [− ] คุณสมบัตทิ รานสโพสและอนิ เวอร์ส คณุ สมบัตอิ นิ เวอร์ส คุณสมบตั ทิ รานสโพส (A–1) –1 = A (At) t = A (A × B) –1= B–1 × A–1 (A × B) t= Bt × At (A ± B) –1 กระจายอนิ เวอรส์ ไมไ่ ด้ (A ± B) t = At ± Bt (kA) –1 = k–1A–1 (kA) t = kAt (An) –1 = (A –1) n (An) t = (A t) n .

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 73 คุณสมบัตพิ ิเศษของ adjoint (เมตรกิ ซ์ผกู พัน)  adj(AB) = adj(A) × adj(B)  adj(kA) = kn–1 × adj(A) ; A มมี ติ ิ n×n ; k คอื ค่าคงทีซ่ ึ่งเป็นจานวนจรงิ  A adj(A) = (adjA)A = (detA)I  det(adjA) = (detA)n–1 *** ออกขอ้ สอบบอ่ ย ***  adj(At) = (adjA) t  adj(adjA) = (detA)n–2 A ระบบสมการเชิงเสน้ * − + *������������+ = * + AX B Ex x + y = 4 x–y=8 การแกป้ ญั หาสมการเชิงเส้นโดยเมตรกิ ซซ์ ึ่งเป็นเมตรกิ ซ์จตั ุรัส 1.แกโ้ ดยใชก้ ฎคราเมอร์ detA detA2 detA X1, = detA X2 = detA , … ,Xn = detA วธิ ีคดิ a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 เราสามารถหา ค่า x , y ,z ได้จาก | 2 2 2| | 2 2 2| | 2 2 2| x = y= z= | 2 2 2| | 2 2 2| | 2 2 2| 2.แกโ้ ดยใช้อินเวอร์สของเมตรกิ ซ์ X = A–1B 3.แก้โดยใช้ การดาเนินการทางแถว [A | B] ~ [I | X]

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 74 เมตรกิ ซร์ ปู แบบขัน้ บนั ได (Row echelon form matrix) ทกุ แถวทป่ี ระกอบด้วย 0 ทั้งหมดจะอยูแ่ ถวลา่ งของเมตริกซ์ โดยการพจิ ารณาจากซ้ายไปขวา สมาชิกตัวแรกทีไ่ มเ่ ป็นศนู ย์จะต้องมคี ่าเป็น 1 ตัวอยา่ ง * +* + * + [ ] [ ] ประโยชน์ของเมตรกิ ซข์ ัน้ บนั ได คือ เอานาไปแก้สมการเชงิ เสน้ ซึ่งเม่ือจากรปู สมการเป็นเมตริซแ์ ล้วไม่เปน็ เมตรซิ ์จัตุรัส ซ่ึงส่วน ใหญ่จะสามารถหาค่าตัวแปรไดบ้ างตัว หรือหาค่าไม่ไดเ้ ลย [A | B] ~ [เมตรซิ ์ขัน้ บนั ได | X]

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 75 บทท่ี 7 ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและลอการทิ มึ เลขยกกาลงั xn คณุ สมบตั ิของเลขยกกาลัง เครอ่ื งหมายกรณฑ์ ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล นยิ าม Expo = {(x,y) ∈ R x R+ | y =ax, a > 0 , a ≠ 1} สมการฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล อสมการฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ล ฟังกช์ ันลอการทิ มึ นิยาม Log ={(x,y) ∈ R+ x R | y =logax โดยที่ a > 0 , a ≠ 1} สมการฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ อสมการฟังกช์ ันลอการทิ มึ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 76 การยกกาลงั คือการดาเนนิ การทางคณติ ศาสตรอ์ ย่างหนง่ึ เขยี นอยู่ในรูป an ซ่งึ ประกอบด้วยสองจานวนคือ ฐาน a และ เลขชกี้ าลัง (หรอื กาลงั ) n การยกกาลังมีความหมาย เหมือนการคูณซา้ ๆ กัน คือ a คูณกนั เป็นจานวน n ตัว เม่ือ n เป็นจานวนเต็มบวก an = a × a × a × … × a (ทงั้ หมด n ตวั ) สูตรเลขยกกาลัง Ex จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้ (16 • 82 • 2−4) ÷ 43 1. = am+n–p a ไมเ่ ป็น 0 วธิ ีทา = (24 • 26 • 2−4) ÷ 26 2.(am)n = amn 3., - = 24+6−4 ÷ 26 = 26÷ 26 4.a0=1 5.a–n= =1 6. = คาเตอื น 00 ไม่นยิ าม การหาค่ารากท่ี 2 ของจานวนติด a+b±2√ab Ex จงหาคา่ ของ √ วธิ ที า = √( ) ( ) (a+b)+2 = ( )2+2 +( )2 = ( + )2 = √( ) () รากท่ีสองคือ ±( + ) แต่ √( ) =+ = √( ) = ดังนน้ั รากท่ี 2 คอื ±| + | =

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 77 สมบัตขิ องเครื่องหมายกรณฑ์ ( ) = { เมอื่ เปน็ จานวนคี่ | |เมอ่ื เปน็ จานวนคู่ =× √= =( ) ×= ขอ้ ควรระวงั เครอื่ งหมาย คอื กรณฑท์ ่ี 2 ของ a ไมใ่ ช่ รากท่ี 2 ของ a เพราะ รากที่ 2 ของ a จะมีทั้ง คา่ บวกและคา่ ลบ แต่ภายในเคร่อื งหมายกรณฑ์ เมื่อถอดกรณฑท์ ่ี 2 แลว้ จะไดค้ า่ บวกเสมอ จงหาคา่ กรณฑ์ท่ี 2 ของ 4 จงหาคา่ รากท่ี 2 ของ 4 =2 รากที่ 2 ของ 4 คอื 2 กับ – 2 เพราะ เม่ือนาทัง้ สองคา่ ไปยกกาลงั 2 แล้วจะมคี า่ เท่ากับ 4 ทง้ั คู่ Expo = {(x,y) ∈ R x R+ | y =ax, a > 0 , a ≠ 1} หลักการแก้โจทย์เลขยกกาลงั 1.จดั ฐานเท่า โดเมนเป็นจานวนจริง เรนจ์เปน็ จานวนจรงิ บวก Ex จงหาคา่ y ของ 23y • 4 = 16y–3 วิธีทา 23y+2 = 24(y–3) a>1 0<a<1 3y+2 = 4y–12 ฟังกช์ ันเพิ่ม ฟังก์ชนั ลด y = 14 2.จดั เลขชเ้ี ท่า Ex จงหาค่า x ทีท่ าให้ 21X–3 = 63x–9 วิธที า 33x–9 = 63x–9 3x−9 = 0 3x = 9 x=3

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 78 Log = {(x,y) ∈ R+ x R | y =logax, a > 0 , a ≠ 1} 3.หากไมส่ ามารถใชว้ ธิ ที ้ัง 2ได้ ให้ take log ทั้ง 2 ข้าง โดเมนเปน็ จานวนจรงิ บวก เรนจเ์ ปน็ จานวนจริง Ex จงแก้ 2x=3x+1 วธิ ที า x log 2 = (x+1) log 3 a>1 0<a<1 X log 2 = x log 3 + log 3 ฟังก์ชันเพ่มิ ฟังก์ชันลด x (log 2 – log 3) = log3 สูตร log พน้ื ฐาน x= Ex จงหา ซ่ึงเกย่ี วขอ้ งกบั 6 log (x − 2y) = log x3 +log y3 วิธีทา (x − 2y)6 = x3 y3 (x − 2y)2= xy x2 − 5xy + 4y2=0 (x − 4y)(x − y) = 0 = 4 หรอื 1 สูตร log เพ่ิมเตมิ ควรรู้ = พสิ จู น์ take log ฐาน x ทั้ง 2 ข้าง จะได้ว่า = จากกฎของ log จะกล่าวไดว้ า่ (logx b)(log x a) = (logx a)(logx b) เน่อื งจากการคูณกันของจานวนจรงิ มีสมบัตกิ ารสลับที่การคูณ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 79 ลอการทิ ึมสามัญ ลอการริทมึ สามญั คอื ลอการริทมึ ฐาน 10 ซึ่งเราสามารถไมต่ อ้ งเขียนตวั เลขฐานกากบั ได้ เช่น log 2 = log10 2 กาหนด A เปน็ จานวนจรงิ บวกใดๆ สามารถเขยี น A ในรปู มาตรฐานคือ A = N × 10n ; 1 ≤ N < 10 ดังนั้น log A = log N + log 10n หรอื เราสามารถเขียนในรปู log A = log N + n N คือค่าแคแรกเทอรสิ ตกิ (Characteristic) ของ log A แคแรกเทอรสิ ตกิ เปน็ จานวนเต็มเท่านน้ั log N คือคา่ แมนทิสซา (Mantissa) ของ log A ซง่ึ คา่ มากกว่าหรือเทา่ กับ 0 แตจ่ ะนอ้ ยกวา่ 1 เสมอ ลอการิทึมธรรมชาติ ลอการทิ มึ ธรรมชาติ คอื ลอการริทมึ ฐาน e (e มคี ่าประมาณ 2.71828) เรานยิ มเขยี นในรูป ln x = logex แอนติลอการิทมึ แอนติลอการทิ มึ คือการดาเนนิ การท่ีตรงข้ามกับการหาค่าลอการิทึม โดยที่ log x = A ก็ต่อเมอ่ื antilog A = x เชน่ log 5 = 0.699 5 = 100.699 ซึ่งเราสามารถสรุปได้ วา่ 5 เปน็ antilog 0.699 การแก้โจทย์เกี่ยวกบั log และเลขยกกาลงั ตัวอยา่ งที่ 1 จงแกส้ มการ 6x+3(2)x −4 (3) x −12=0 วธิ ีทา ให้ เรานาเลขยกกาลงั เปลี่ยนเป็นตวั แปร A =2x และ B =3x AB + 3A – 4B–12=0 A(B + 3) – 4(B + 3)=0 (A – 4)(B + 3)=0 A = 4 B = –3 2x = 4 หรอื 3x = –3 ใชไ้ ม่ได้ x=2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 80 ตัวอยา่ งที่ 2 ผลบวกของสมการท้งั หมดของสมการ 3x+ 32−x = มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ไร (สามัญ 7 วชิ า) วิธที า กาหนดให้ 3x เป็น A จะได้วา่ A + = นา A คูณตลอด A2 + 9 = A A2 − A + 9 =0 (A − )(A − ) = 0 A= , และ 3x = ดังนน้ั 3x = x= , ตอบ ผลบวกของคาตอบคือ 2 ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ บวก ถ้า A log50 5 +Blog50 2 = 1 และ A + B มคี ่าเทา่ กบั เท่าไรตอ่ ไปนี้ (B – PAT) 1.2 2.3 3.4 4.5 วิธที า log50 5A + log50 2B log50 (5A 2B) =1 =1 5A 2B = 50 5A 2B = 52 21 A = 2 B =1 ตอบ A + B = 3 ตอบขอ้ 2 ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้คาตอบ log2 log3 log5 (2x +3) = 0 คือ A กาหนดให้ log2 256 – A เปน็ B จงหา 2A – 3B

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 81 วธิ ีทา พจิ ารณา log2 log3 log5 (2x +3) =0 ตอบ 281 = 20 จะไดว้ า่ log3 log5 (2x +3) = 31 = 125 log5 (2x +3) = 61 = log2 256 – 61 2x + 3 = log2 28 – 61 = 8 – 61 x = – 53 = 122 +159 พจิ ารณา log2 256 – A = 281 2A – 3B การแกอ้ สมการ Expo, log วิธีทา จัดฐานทัง้ 2 ข้างให้เทา่ กนั  ฐาน > 1 ใหใ้ ชเ้ คร่ืองหมายเดิม  0 < ฐาน <1 ให้เปล่ียนโดยการกลับเครอื่ งหมาย Ex ( ) > ( ) Ex log (5x–3) > log (4x+6) วิธที า ปลด log ฐานมากกวา่ 1 เครือ่ งหมายเดิม วธิ ที า ( ) > ( ) 5x–3 > 4x+6 ปลดฐาน x>9 x2 < 4 |x| < 2 −2 < x < 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 82 บทที่ 8 ตรีโกณมิติ มุมพ้นื ฐาน 30° 45° 60° วงกลมหน่งึ หนว่ ย สูตรพ้ืนฐาน sin2θ + cos2 θ = 1 สตู รมมุ 2 เท่า sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1- 2sin2A tan2A สตู รมมุ 3 เทา่ ������������������������ = ������������������ ������ sin3A = 3sinA – 4sin3A cos3A = 4cos3A – 3cosA tan3A = 3 tanA – tan3 A สูตรมมุ คร่งึ เทา่ 1–3tan2A sin =√ c sθ cos =√ +c sθ tan =√ c sθ +c sθ สูตรผลบวกลบ sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB tan ±tanB tan(A±B) = ∓������������������������������������������������ สูตรแปลงผลบวกลบเปน็ ผลคณู แปลงผลคูณเปน็ ผลบวกลบ sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B) 22 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB = cos(A+B)+cos(A-B) sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B) 2sinAsinB = cos(A-B)-cos(A+B) 22 cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B) 22 cosA – cosB = −2sin(A+B) sin(A−B) 22 สามเหล่ียมประยุกต์

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 83 ตรีโกณมติ ิ (จากภาษากรกี trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด) เป็นสาขาของ คณิตศาสตรท์ เ่ี กี่ยวขอ้ งกับมุม, รปู สามเหล่ยี ม และฟังกช์ ันตรโี กณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มี ความเกีย่ วขอ้ งกบั เรขาคณิต แมว้ ่าจะสรปุ ไม่ไดอ้ ย่างแนช่ ดั ว่า ตรีโกณมิตเิ ปน็ หัวข้อย่อยของ เรขาคณิต (ทม่ี า วิกิพีเดีย) ความรู้พน้ื ฐานสามเหล่ียมมมุ ฉาก คา่ มมุ ตรโี กณมติ ิ 30° 45° 60° sin 1 cos tan โคฟงั ก์ชันของตรีโกณมิติ คุณสมบตั ิโคฟังก์ชนั cos เป็นโคฟงั ก์ชันของ sin sin(90° − A) = cos A cosec เป็นโคฟงั ก์ชนั ของ sec sec(90° − A) = cosec A cot เปน็ โคฟังก์ชันของ tan tan(90° − A) = cot A วงกลมหน่ึงหนว่ ย มีสมการ x2+y2=1 ขนาดของมมุ มี 2ประเภท 1. หน่วยองศา Ex 360° มุมขนาด 1 องศา คอื 1 ใน 360 สว่ นของ มมุ รอบจุด มมุ ขนาด 1 ลปิ ดา ( 1 ) คือ 1 ใน 60 สว่ น ของมมุ 1 องศา มุมขนาด 1 ฟลิ ปิ ดา (1 ) คอื 1 ใน 60 ส่วน ของมุม 1 ลิปดา 2. หนว่ ยเรเดยี น Ex 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 84 เครือ่ งหมายของฟังก์ชันตรโี กณในแต่ละจตภุ าค ขนาดของ (หนว่ ยเรเดยี น) = การหาค่ามมุ ตามแกน ในวงกลมหน่ึงหน่วย คาอธบิ าย fn (แกนแนวราบ ± A) = fn (A) จตภุ าค1 ทกุ ฟังกช์ นั มีคา่ เป็นบวก fn (แกนแนวดิ่ง ± A) = co fn (A) จตภุ าค2 มีเฉพาะฟังก์ชนั sin และส่วนกับ fn คอื ฟังกช์ นั เครอื่ งหมายดตู ามจตภุ าค(ควอดรันต์) เท่าน้ันทีเ่ ป็นบวก จตภุ าค3 มเี ฉพาะฟงั ก์ชนั tan และสว่ น กบั เท่านนั้ ท่ีเป็นบวก จตุภาค4 มเี ฉพาะฟงั กช์ ัน cos และส่วน กบั เทา่ นัน้ ท่ีเปน็ บวก Ex sin(120°) = sin(180° − 60°) = sin(60°) อยูค่ วอดรนั ต์ 2 sec(280°) = sec(270°+10°) = sec(10°)

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 85 รปู สามเหล่ยี ม ท่ชี อบออกบอ่ ย 60° มุมจาก วงกลม 1 หนว่ ย (ต้องทราบ) มมุ พืน้ ฐาน (ตอ้ งทราบ) sin(0° + n(360°)) = 0 cos(0° + n(360°)) = 1 30° 45° sin(180° + n(360°)) = 0 sin cos(180° + n(360°)) = –1 sin(90° + n(360°)) = 1 cos cos(90° + n(360°)) = 0 sin(270° + n(360°)) = –1 tan 1 cos(270° + n(360°)) = 0 มุม 15° และมุม 75° (ควรทราบ) 75° เมือ่ n เปน็ จานวนเตม็ ใดๆ 15° มุม 72° , 18° และมุม 36° , 54° (ควรทราบ) sin 18° 72° sin √ cos cos √ tan tan √ √ 54° 36° sin √ cos √ tan √ √

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 86 ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่า sin60° – cos30° + tan45° วิธีทา – +1 =1 ตอบ 1 2 – 2sinA = 1 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่า A เมื่อ 0°< A < 90° และ วิธีทา 2 – 2sinA = 1 2 – 1 = 2sinA = sinA ตอบ A = 30° ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนด sin A = จงหา 12sin30°(tanA) วธิ ที า จากค่า sin จะได้ 132 = 52 + x2 13 5 ตอบ x = 12 x tan A = ) 6sin30°(tanA) = 6( × = ขอ้ ควรรู้ มมุ หนว่ ยเรเดยี น = 180° = 90° = 60° = 45° = 30°

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 87 สูตรตรีโกณมติ พิ นื้ ฐาน สูตรผลบวกและผลตา่ งตรโี กณมติ ิ sin2 + cos2 =1 sec2 – tan2 =1 sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB cosec2 – cot2 =1 cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB tan ±tanB tan(A±B) = ∓ สูตรมมุ 2 เทา่ สตู รมมุ 3 เทา่ sin3A = sin2A = 2sinAcosA cos3A = 3sinA – 4sin3A tan3A = = 2 tan A 4cos3 A – 3cosA 1 + tan2A cot3A = 3 tanA – tan3 A cos2A = cos2A – sin2A 1–3tan2A = 2cos2A – 1 cot3A – 3cotA 3cot2A – 1 =1 – 2sin2A = 1 – tan2A 1 + tan2A tan2A = 2 tan A 1 – tan2A สูตรมุมครงึ่ เทา่ sin = √ c s cos =√ +c s tan =√ c s +c s สูตรแปลงผลบวกผลตา่ งเปน็ ผลคูณ สตู รแปลงผลคูณเปน็ ผลบวกผลตา่ ง sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B) 22 2cosAsinB = sin(A + B) – sin(A – B) 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A – B) sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B) 2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B) 22 cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B) 22 cosA – cosB = −2sin(A+B) sin(A−B) 22

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 88 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A และ B เป็นมมุ แหลมถา้ sec A = และ sec B = จงหา cos(A+B) วิธที า sec คือส่วนกลับของ cos จะได้ cosA = cosB = 53 จะได้ cosAcosB  sinAsinB = ( )( ) – ( )( ) = 4 = 17 15 8 ตอบ ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า cosec(75°) × tan(75°) วิธีทา cosec(75°) × tan(75°) = s n ° × s n ° c s ° cos 75° =c s ° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° sin30°sin45° = = cs ° = ตอบ

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 89 สูตรอินเวอร์ส arctan x + arctan y = arctan( + ) ; xy < 1 arctan x + arctan y = arctan( + ) ; xy > 1 arcsin (–x) = −arcsin (x) arctan(–x) = −arctan(x) arctan x – arctan y = arctan( + ) arcos (–x) = π – arcos(x) การประยกุ ต์สามเหลีย่ ม C ba A B c เม่อื ABC เปน็ สามเหล่ยี มใดๆ กฎของไซน์ = = = 2R, R คอื รศั มีของวงกลมแนบในสามเหลย่ี ม กฎของโคไซน์ 1. a2 = b2 +c2 – 2bc cos A 2. b2 = a2 + c2 – 2ac cos B 3. c2 = a2 + b2 – 2ab cos C และ cos A = a +c c การหาพนื้ ทสี่ ามเหลย่ี ม 1ab sinC = 1 bc sinA = 1 ac sinB 22 2

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 90 ขอ้ ควรรู้ กราฟฟงั ก์ชนั ตรโี กณ ฟังก์ชันตรโี กณ แอมพลจิ ูด คาบ (Amplitude) || || y = A sin Bx |A| || y = A cos Bx ไมม่ ี y = A tan Bx ไม่มี กราฟ sin กราฟ cos กราฟ tan

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 91 กราฟ cosec กราฟ sec

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 92 กราฟ cot กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิตใิ นวงกลม 1 หนว่ ย กราฟ sin กราฟ arcsin โดเมนของฟงั กช์ ัน [− , ] เรนจ์ของฟงั กช์ นั [–1,1] กราฟ cos โดเมนของฟงั กช์ นั [− 1 ,1] โดเมนของฟงั กช์ นั [0, ] เรนจข์ องฟังก์ชนั [− , ] เรนจข์ องฟงั ก์ชนั [–1,–1] กราฟ arccos โดเมนของฟงั กช์ ัน[–1,–1] เรนจ์ของฟังกช์ นั [0, ]

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 93 กราฟ tan กราฟ arctan โดเมนของฟงั กช์ ัน (− , ) เรนจ์ของฟังก์ชนั R โดเมนของฟงั กช์ นั R เรนจข์ องฟงั กช์ นั (− , ) กราฟ cosec กราฟ arccosec โดเมนของฟงั กช์ ัน [− , ] – {0} เรนจข์ องฟังกช์ นั R – {–1,1} โดเมนของฟงั กช์ ัน R – {–1,1} เรนจ์ของฟังก์ชนั [− , ] – {0} กราฟ sec กราฟ arcsec โดเมนของฟังกช์ ัน [0, ] – { } เรนจข์ องฟังก์ชนั R – {–1,1} โดเมนของฟงั กช์ ัน R – {–1,1} เรนจข์ องฟังก์ชนั [0, ] – { }

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 94 กราฟ cot กราฟ arccot โดเมนของฟงั กช์ ัน (0, ) เรนจข์ องฟงั ก์ชนั R โดเมนของฟังกช์ นั R เรนจ์ของฟงั กช์ นั (0, )

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 95 บทที่ 9 เวกเตอร์ เวกเตอร์รปู ภาพ การเทา่ กนั ของเวกเตอร์ การขนานกันของเวกเตอร์ นิเสธของเวกเตอร์ การบวกลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ เวกเตอรใ์ นพิกดั ฉาก ขนาดของเวกเตอร์ เวกเตอร์ในระบบสองมิติ เวกเตอรใ์ นระบบสามมติ ิ การคูณเวกเตอร์ ผลคูณเชงิ สเกลาร์ ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ ประยกุ ต์เวกเตอร์ พนื้ ที่ส่ีเหลย่ี มด้านขนาน |u v| ปรมิ าตรของทรงสี่เหล่ยี มดา้ นขนาน |u ⋅ (v r)|

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 96 เวกเตอร์ (vector) ในทางคณิตศาสตร์ ซง่ึ มีลักษณะแตกต่างกบั สเกลาร์(scalar) ซ่งึ เวกเตอรเ์ ปน็ จานวนท่มี ีท้ังขนาด และ ทิศทาง เวกเตอร์มีการใช้กนั ในหลายสาขา นอกเหนือจากทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ฟสิ ิกส์ และวศิ วกรรมศาสตร์ เวกเตอรใ์ นเรขาคณติ เราใชเ้ สน้ ตรงทร่ี ะบทุ ศิ ทาง แทนเวกเตอร์ โดยความยาวของ เส้นตรง แทนขนาดของเวกเตอรแ์ ละหวั ลูกศรบอกทิศทางของเวกเตอร์ แทนขนาดของ เวกเตอร์และหัวลูกศรบอกทศิ ทางของเวกเตอร์ ในบางครั้งเราสามารถกล่าวถึงเวกเตอรโ์ ดยไม่ B จาเปน็ ต้องระบุจดุ เริ่มต้นและจุดสิน้ สดุ เชน่ A ������ ������ จากรูป A เปน็ จุดเร่มิ ต้น (initial point) B เป็นจดุ ส้ินสุด (terminal point) แสดงเวกเตอร์ AB เขียนแทนดว้ ย ความยาวของเสน้ ตรง AB เปน็ ขนาดของ เวกเตอร์ เขียนด้วย | | การขนานกันของเวกเตอร์ และ จะขนานกนั กต็ อ่ เมอ่ื เวกเตอร์ทง้ั สองมีทศิ ทางเดียวกนั หรอื มีทิศทางตรงขา้ มกนั ������ BD จากตวั อยา่ ง และ มขี นาดเทา่ กันและมที ศิ ทางเดียวกัน ������ A C การเทา่ กันของเวกเตอรแ์ ละนิเสธของเวกเตอร์ และ จะเท่ากันก็ต่อเมือ่ เวกเตอรท์ ง้ั สองมที ศิ ทางและขนาดเดยี วกันเขยี นแทนดว้ ย =

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 97 นิเสธของเวกเตอร์ นเิ สธ ของ (negative of ) คือเวกเตอรท์ ่ีมีขนาดที่มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ แต่มีทศิ ทางตรง ขา้ มกบั ทิศทางของ เขยี นแทนดว้ ย ������ จากตัวอย่างเวกเตอร์ มขี นาดเทา่ กนั กบั เวกเตอร์ แตม่ ีทศิ ทาง ������ ตรงกันข้ามดังน้ี เป็นนเิ สธของเวกเตอร์ การกาหนดทศิ ทางของเวกเตอรใ์ นระบบ 3 ตัว ในการกาหนดทศิ ทางของเวกเตอร์ สามารถกาหนดโดยใชท้ ิศเหนือเป็นหลัก และกาหนด ทศิ ทางของเวกเตอร์ เปน็ มุม ท่วี ัดจากทางทศิ เหนอื ในทศิ ทวนเขม็ นาฬิกา โดย ขนาด มุมจะอยู่ ระหว่าง 0° ถึง 360° การบวกลบเวกเตอร์ เม่อื และ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ เลือ่ น ให้จดุ เร่มิ ตน้ ของ อยู่ทจี่ ดุ สน้ิ สดุ ของ ผลบวกของ และ เขียนแทนดว้ ย “ + ” คือเวกเตอร์ท่มี ีจดุ เรมิ่ ตน้ ของ และจุดสิ้นสุดของ เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) เปน็ เวกเตอร์ทีม่ ขี นาดเป็นศนู ย์ เขยี นแทนดว้ ย ขอ้ สงั เกต 1.กรณขี องเวกเตอรศ์ นู ย์ ไมจ่ าเปน็ ต้องกล่าวถงึ ทศิ ทางของเวกเตอร์ แตถ่ า้ ตอ้ งการกล่าวถงึ มี ข้อตกลงว่าจะระบทุ ิศทางของเวกเตอร์ศนู ย์เปน็ เช่นใดก็ได้ 2.เมื่อเขียนรปู เรขาคณติ แทนเวกเตอร์ศนู ย์ จุดเรม่ิ ตน้ และจุดสน้ิ สดุ ของเวกเตอร์เปน็ จุด เดียวกัน

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 98 = ++ == P เม่ือ และ เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ ผลลบของ และ เขยี นแทนด้วย – หมายถึง ผลบวก และนิเสธของ คอื – = + ( ) การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ นิยามเมือ่ a เป็นสเกลาร์ เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ u ดว้ ย สเกลาร์ a เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย a โดยถ้า a เปน็ บวก  ถา้ a เป็นบวก จะมีทิศทางเดียวกนั  ถา้ a เป็น ลบจะมที ศิ ทางตรงกนั ข้าม  ถา้ a = 0 แล้ว a = ตัวอย่าง คาอธบิ ายจากรูป v=–u =u =u

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 99 คณุ สมบัติการบวกของเวกเตอร์ คณุ สมบัตกิ ารคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์  คุณสมบัติปิด เม่ือ และ ไม่เทา่ กับ 0 ถา้ = m( )  คณุ สมบตั เิ ปลย่ี นกลุ่มได้  คุณสมบัตั กิ ารมีเอกลักษณ์ ถา้ m เป็นบวก จะมที ศิ ทางเดยี วกัน  คณุ สมบัติการมอี ินเวอร์ส ถา้ m เป็น ลบจะมีทศิ ทางตรงกนั ข้าม  คุณสมบัตกิ ารสลบั ท่ี เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ ใดๆในรปู เวกเตอร์ เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ ใดๆในรูปเวกเตอร์ , และ ได้เสมอเมื่อ และ ไดเ้ สมอเมอ่ื เป็นเวกเตอร์ 1 หนว่ ยและมที ศิ ทางไปทางแกน x เปน็ เวกเตอร์ 1 หนว่ ยและมที ศิ ทางไปทางแกน x ทางบวก ทางบวก เปน็ เวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ิศทางไปทางแกน y เปน็ เวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ิศทางไปทางแกน y ทางบวก ทางบวก เป็นเวกเตอร์ 1 หนว่ ยและมีทิศทางไปทางแกน z ทางบวก (a1,a2,a3) ให้ a1 + a2 สามารถเขยี นใหอ้ ยู่ ในรปู ของ ขนาด | | = √ เมตรกิ ซ์ได้ ⌈ ⌉ โคไซน์แสดงทิศทางของ คอื ขนาด | | = √ ความชัน m a = tan = |a| , |a| , |a| =* + หรือ cos , cos , cos cos2 + cos2 + cos2 =1

OpenPassorn Math Kit EBook ห น้ า 100 คาแนะนา 1. เวกเตอร์ที่มีจดุ เร่ิมตน้ ท่ี A(x1,y1,z1) และจดุ สิน้ สดุ ท่ี B(x2,y2,z2) คอื [ ] 2. เวกเตอร์ 1 หนง่ึ ในทิศทางเดยี วกัน แทนด้วย ̂ = | | เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะมี ทิศทางตรงข้ามกนั ทศิ ทางเดียวกัน โคไซน์แสดงทศิ ทางกับแตล่ ะแกนของเวกเตอร์ จะ มีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดยี วกนั เป็นจานวนทมี่ ีค่าตรงขา้ มกนั กับโคไซน์แสดงทศิ ทาง ของอีกเวกเตอรห์ นึ่ง คุณสมบตั ิของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก นยิ าม เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมติ ิ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ การเท่ากัน * +=* + 01 [] กต็ ่อเม่อื a = c และ b = d การบวกเวกเตอร์ ก็ตอ่ เมื่อ a = d และ b = e * ++* +=* + c=f 01 [] [ ] การลบเวกเตอร์ * +–* +=* + 01 [] [ ] เวกเตอรศ์ นู ย์ คือ[ ] เวกเตอรศ์ ูนย์ เวกเตอร์ศูนย์ คอื * + k0 1 = [ ] เม่อื k เป็นจานวนจริงใดๆ การคณู เวกเตอร์ดว้ ย k* + = * + สเกลาร์ เมอื่ k เปน็ จานวนจริงใดๆ