หน่วยที่ 1 ประพจน์และค่าความจริง_24 A

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ประพจนแ์ ละคา่ ความจรงิ ของประพจน์ สาระสำคัญ การให้เหตุผลจะเกี่ยวข้องกับตรรกศาสตร์ (Logic) เพราะตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาว่า ข้อความในลักษณะใดที่เป็นความจริงหรือข้อความในลักษณะใดที่ไม่เป็นความจริงหรือข้อความนั้นเป็นเท็จ การศกึ ษาเร่อื งประพจนแ์ ละค่าความจรงิ ของประพจน์ ทำใหเ้ กดิ ความรู้ความเข้าใจเก่ียวกับการให้เหตุผล วา่ ประโยคบอกเลา่ หรอื ประโยคปฏเิ สธใดที่เปน็ จรงิ หรือเปน็ เทจ็ เพยี งอยา่ งใดอย่างหนึง่ เท่านัน้ สาระการเรยี นรู้ 1.1 ความหมายของประพจน์ 1.2 ประพจน์และคา่ ความจรงิ 1.3 ประพจน์เชงิ ประกอบ 1.4 คา่ ความจริงของประพจน์ที่มตี วั เช่ือม 1 ตัวเช่ือม 1.5 คา่ ความจริงของประพจน์ที่มตี วั เช่ือมตั้งแต่ 2 ตวั เชือ่ มขน้ึ ไป จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 1.1 อธิบายลักษณะของประโยคท่ีเปน็ ประพจน์ได้ 1.2 เขยี นประพจน์ทเ่ี ช่อื มดว้ ยตัวเช่ือมในรปู สญั ลักษณ์ได้ 1.3 หาค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่มตี ัวเชื่อม 1 ตัวเชือ่ มได้ 1.4 สร้างตารางค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่มตี วั เชื่อมตงั้ แต่ 2 ตวั เชอื่ มขึ้นไปได้ 1.5 หาค่าความจริงของประพจนท์ ี่มตี ัวเช่อื มต้งั แต่ 2 ตัวเชอ่ื มขึ้นไปได้ 1.6 หาค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ยท่ีมีตวั เชือ่ มตงั้ แต่ 2 ตวั เชื่อมข้ึนไปได้ สมรรถนะประจำหนว่ ย 1.1 ใช้วธิ ีการท่หี ลากหลายในการหาค่าความจรงิ ของประพจน์ 1.2 ส่อื สาร สื่อความหมาย และนำเสนอข้อมลู โดยใช้ประพจน์ 1.3 เชอื่ มโยงความรู้เกี่ยวกบั ประพจนแ์ ก้ปญั หาโจทย์ในสถานการณ์ท่ีกำหนด 1

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ประพจน์และคา่ ความจริงของประพจน์ การศึกษาวิชาคณิตศาสตรน์ ้ันเปน็ การนำความรู้ ทักษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ท่ี จำเป็นไปพัฒนาคุณภาพชีวิต เนื่องจากวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ช่วยพัฒนาและส่งเสรมิ กระบวนการคดิ และแกป้ ญั หาอย่างมีเหตุผล ฝึกคนให้รจู้ ักคิดและคิดเป็น และการทีจ่ ะพิจารณาว่าข้อความใดเป็นจริงหรือ เทจ็ นน้ั จะต้องคดิ พจิ ารณาโดยใช้เหตุผลเปน็ หลกั ซึ่งการใหเ้ หตุผลจะเกี่ยวขอ้ งกับตรรกศาสตร์ (Logic) เพราะตรรกศาสตรเ์ ป็นการศึกษาวา่ คำพดู หรือขอ้ ความในลกั ษณะใดท่ีเป็นความจรงิ คำพูดหรือข้อความ ในลกั ษณะใดทไี่ มเ่ ปน็ ความจริงหรอื ข้อความน้นั เปน็ เท็จ ดังนัน้ การพิจารณาถงึ ลักษณะของขอ้ ความใดท่ี ใช้ในโลกนี้ว่า มีลักษณะเป็นอย่างไรบ้าง จะต้องใช้ความรู้ด้านตรรกศาสตร์ทั้งส้ิน นักคณิตศาสตร์ได้ พัฒนาตรรกศาสตร์ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์และมีรูปแบบของการให้เหตุผลอย่างมีระบบมากขึ้นเป็น ตรรกศาสตร์สญั ลกั ษณ์ (Symbolic Logic) 1.1 ความหมายของประพจน์ ให้นกั ศกึ ษาพิจารณาข้อความต่อไปน้ี จากขอ้ ความดังกล่าว จะพบว่า 1) พระอาทิตย์ขนึ้ ทางทิศตะวนั ออก ขอ้ ความ 1) เป็นประโยคบอกเล่าท่ีเปน็ ความจริง 2) เดือนกันยายนมี 31 วนั 3) 1 ไมใ่ ช่จำนวนเฉพาะ ขอ้ ความ 2) เป็นประโยคบอกเล่าที่ไม่เป็นความจริง 4) 2x – 9 = 3 หรือเป็นเท็จ 5) เพอื่ นทด่ี ตี อ้ งมีน้ำใจต่อกนั ใช่หรือไม่ 6) กรุณาอย่าส่งเสยี งดัง ข้อความ 3) เปน็ ประโยคปฏเิ สธทีเ่ ป็นความจรงิ ข้อความ 4) เปน็ ประโยคบอกเล่าทีบ่ อกไมไ่ ด้ว่า เป็นจรงิ หรอื เท็จ ข้อความ 5) เป็นข้อความทม่ี ีลกั ษณะเปน็ คำถาม บอกไมไ่ ดว้ า่ เปน็ จรงิ หรือเท็จ ขอ้ ความ 6) เป็นขอ้ ความทม่ี ีลกั ษณะเป็นคำขอร้อง บอกไม่ไดว้ า่ เป็นจริงหรือเท็จ บทนิยาม 1.1 ประพจน์ (Statement) หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเป็น เท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงเดียวเท่านั้น โดยประโยคหรือข้อความดังกล่าวจะอยู่ในรูปบอกเล่า หรือปฏเิ สธก็ได้ 2

หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 1.2 ประพจน์และค่าความจรงิ ในตรรกศาสตร์ได้แบ่งประโยคออกเปน็ 2 ประเภท คือ ประโยค 1) ประโยคทีบ่ อกค่าความจรงิ ได้ว่าเป็นจรงิ หรอื เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ เป็นเท็จ จะเรียกประโยคในลักษณะนี้ว่า “ประพจน์” มคี ่าความจริง ไมม่ คี ่าความจรงิ จรงิ เท็จ 2) ประโยคที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ว่า เป็นจริงหรือเป็นเท็จ จะเรียกประโยคใน ลกั ษณะนีว้ ่า “ไม่เป็นประพจน์” ความเปน็ จรงิ หรือ ความไม่เป็นจริงของประพจน์ จะเรียกวา่ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ นน่ั คือ ➢ ถา้ ประพจนเ์ ปน็ ความจริง จะกล่าววา่ ค่าความจริงของประพจน์เปน็ จรงิ และแทนคา่ ความจรงิ “จริง” ด้วยสัญลกั ษณ์ T ➢ ถ้าประพจน์ไม่เป็นความจริง จะกล่าวว่า ค่าความจริงของประพจน์เป็นเท็จ และแทนค่าความจรงิ “เท็จ” ด้วยสัญลักษณ์ F ดงั นั้น ในตรรกศาสตร์เรยี กการเปน็ “จรงิ ” หรอื “เท็จ” ของแต่ละประพจนว์ ่า ค่าความจริง (Truth Value) ของประพจน์ ตัวอย่างขอ้ ความหรอื ประโยคท่เี ป็นประพจน์ “5 เป็นจำนวนเต็มนับ” เป็นประพจน์ที่มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ “ ไมเ่ ท่ากับ ” เป็นประพจน์ที่มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ “กบเปน็ สตั วเ์ ล้ยี งลูกด้วยนม” เปน็ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจริงเปน็ เท็จ “สนุ ทรภูเ่ ปน็ กวเี อกของประเทศไทย” เปน็ ประพจน์ทมี่ ีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ “ธงชาตไิ ทยมี 5 ส”ี เปน็ ประพจน์ที่มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ ประโยคที่ไม่เปน็ ประพจน์จะตอ้ งเปน็ ประโยคทไี่ มม่ ีคา่ ความจริง แบ่งออกได้ 2 กรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1 ประโยคท่ีมตี วั แปรจะทำใหป้ ระโยคนัน้ ไม่มคี า่ ความจรงิ 3

หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 ตัวอยา่ งเชน่ เขาชอบเล่นฟตุ บอล ประโยคนี้ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะไมท่ ราบว่า “เขา” หมายถึงใคร จึงไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ มคี า่ ความจริงเป็นจริงหรอื เทจ็ และเรยี ก “เขา” ว่าเปน็ ตัวแปร x+4 = 2 ประโยคนไ้ี มเ่ ปน็ ประพจน์ เพราะไม่ทราบว่า “x” หมายถึงอะไร a2 − 9 = 3 จึงไมส่ ามารถบอกไดว้ ่า มีค่าความจริงเปน็ จริงหรอื เท็จ และเรียก “x” วา่ เป็น ตัวแปร ประโยคน้ไี มเ่ ป็นประพจน์ เพราะไม่ทราบวา่ “a” หมายถึงอะไร จึงไมส่ ามารถบอกไดว้ ่า มีค่าความจริงเปน็ จริงหรอื เทจ็ และเรียก “a” วา่ เป็น ตวั แปร กรณีท่ี 2 ประโยคท่ไี มเ่ ปน็ ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏิเสธ ตวั อยา่ งเชน่ ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นคำอทุ าน ตาเถรตกน้ำ ซ่งึ ไมส่ ามารถบอกไดว้ ่ามีคา่ ความจรงิ เป็นจริงหรอื เท็จ ประโยคน้ไี ม่เปน็ ประพจน์ เพราะเปน็ คำรำพงึ โธ่ นา่ สงสารจัง ซง่ึ ไม่สามารถบอกไดว้ า่ มีค่าความจรงิ เปน็ จริงหรอื เท็จ ทกุ คน แถวตรง ประโยคนี้ไม่เปน็ ประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำสง่ั จงแก้สมการ 3x – 4 = 5 ซ่ึงไม่สามารถบอกได้วา่ มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ หรอื เทจ็ ประโยคน้ีไม่เปน็ ประพจน์ เพราะเปน็ ประโยคคำส่ัง ซึง่ ไมส่ ามารถบอกได้ว่ามีคา่ ความจริงเปน็ จริงหรือเทจ็ ข้อสังเกต 1. ความเป็นจริงหรอื ไมเ่ ปน็ จริงของประพจน์ เรียกว่า ค่าความจรงิ ของประพจน์ 2. ถา้ ประพจนเ์ ป็นความจริง กลา่ ววา่ ค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ป็นจรงิ จะแทนค่าความจรงิ “จริง” ดว้ ยสัญลักษณ์ T (True) 3. ถ้าประพจน์ไมเ่ ปน็ ความจรงิ กลา่ วว่า ค่าความจริงของประพจน์เปน็ เทจ็ จะแทนค่าความจริง “เท็จ” ด้วยสัญลักษณ์ F (False) 4. คา่ ความจริงของประพจน์จงึ เป็น T หรือ F อยา่ งใดอย่างหนงึ่ เพยี งอย่างเดยี ว 5. ประโยคที่ไม่อยใู่ นรปู ประโยคบอกเลา่ หรือปฏิเสธจะไม่เป็นประพจน์ เช่น ประโยคคำถาม ประโยคคำส่งั ประโยคคำขอรอ้ ง ประโยคคำรำพึง ประโยคคำอุทาน เปน็ ตน้ 4

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ตัวอยา่ งที่ 1 ใหพ้ ิจารณาประโยคหรือข้อความต่อไปนว้ี า่ เปน็ ประพจนห์ รือไม่ ถ้าเปน็ ประพจนใ์ หบ้ อก ค่าความจรงิ ของประพจน์ แตถ่ า้ ไม่เป็นประพจนใ์ ห้อธิบายเหตุผลและมีตัวแปรหรอื ไม่ ถ้ามีตัวแปรแล้วตวั แปรน้ันคอื อะไร ประโยค เปน็ ประพจน์หรือไม่ คา่ ความจริง/ถ้าเปน็ ตัวแปร เป็น ไมเ่ ปน็ ประพจนใ์ ห้ระบุเหตุผล 1) 0 ไม่เปน็ จำนวนเตม็  -  F x 2) 2x – 3 = 5  เปน็ ประโยคเปดิ - 3) กรณุ าถอดรองเท้าก่อนเข้าหอ้ ง  เปน็ ประโยคขอรอ้ ง - 4) ประโยคคำสั่งไมเ่ ป็นประพจน์  - 5) สูบบหุ รมี่ ากมีโอกาส T  T - เป็นโรคมะเรง็ ปอด  เขา 6) เมอื่ วานนฝี้ นตกหรอื เปล่า  เปน็ ประโยคคำถาม - 7) เขาชอบเล่นบาสเกตบอล เปน็ ประโยคเปดิ 8) ประโยคทเี่ ปน็ ประพจน์  - F จะหาค่าความจริงไมไ่ ด้  เธอ 9) คำตอบของสมการ y + 1 = 5  F -  - คอื y = 6 เปน็ ประโยคเปิด เขา 10) เธอเป็นคนสวย  T - 11) แมวเป็นสัตว์ 4 ขา  F - 12) สนุ ัขสามารถบนิ ได้ 13) เขาเป็นนักศึกษา  เปน็ ประโยคเปิด 14) 7 + 5 = 75 F 15) ทุกคน ขวาหนั เปน็ ประโยคคำส่ัง 5

หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.1 ประพจน์และค่าความจริง แผนกวชิ า/ช้ัน/หอ้ ง....................... จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ : อธิบายลักษณะของประโยคทีเ่ ป็นประพจนไ์ ด้ คำชแี้ จง 1. ใหผ้ ู้เรยี นจบั คกู่ ับเพอ่ื น แลว้ ทำกจิ กรรมตามสถานการณ์ทีก่ ำหนดให้ โดยใช้เวลาในการทำกจิ กรรม 15 นาที 2. สมุ่ เลือกผ้เู รยี นนำเสนอหน้าชน้ั เรียน สมาชิก 1. ...................................................เลขที่........ 2. ...................................................เลขที่........ กิจกรรม 1. ให้พิจารณาประโยคหรือขอ้ ความต่อไปนว้ี า่ เป็นประพจนห์ รือไม่ ถ้าเปน็ ประพจน์ใหบ้ อกค่าความ จรงิ ของประพจน์ แตถ่ า้ ไมเ่ ปน็ ประพจนใ์ หอ้ ธิบายเหตผุ ลและมตี วั แปรหรือไม่ ถา้ มีตัวแปรแล้วตวั แปรน้ันคืออะไร (ข้อละ 1 คะแนน) ประโยคหรือขอ้ ความ เป็นประพจน์ ค่าความจรงิ /ถา้ ไมเ่ ปน็ ตัวแปร หรือไม่ ประพจนใ์ หร้ ะบเุ หตุผล - ตวั อย่าง : 2x + 3 ≠ 0 เป็นสมการเสน้ ตรง เปน็ ไมเ่ ป็น F 1)  เป็นจำนวนตรรกยะ  2) หา้ มส่งเสียงดงั 3) วันนท้ี ำไมไปโรงเรียนสาย 4) ขนาดของมุมภายในของรปู n เหล่ียม เท่ากบั (n – 2) x 180 องศา 5) 2y – 5 = y + 7 6) จำนวนวันในหน่ึงปี มี 365 วนั หรอื 366 วนั 7) ปจั จบุ ันอาเซยี นมีประเทศสมาชิก 9 ประเทศ 8) สะพานมติ รภาพไทย-ลาว มีประโยชน์ ทางด้านการทอ่ งเท่ยี วมากทส่ี ุด 9) มุมภายในของรูปสามเหลย่ี ม รวมกันเท่ากบั 180 องศา 10) ขออภยั ในความไมส่ ะดวก 6

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 แบบฝกึ ทักษะ 1.1 ประพจน์และคา่ ความจรงิ ประโยคหรือขอ้ ความ เป็นประพจน์ ค่าความจริง/ถา้ ไมเ่ ปน็ ตวั แปร หรือไม่ ประพจนใ์ ห้ระบุเหตผุ ล 11) เขาชอบเล่นฟุตบอล 12) x2 – 4 = 2 เป็น ไมเ่ ป็น 13) นำ้ พงึ่ เรอื เสอื พ่ึงป่า 14) ไอแซก นวิ ตนั เปน็ ผคู้ ้นพบ กฎแรงโนม้ ถว่ งคนแรกของโลก 15) มีจำนวนเต็ม x บางจำนวนที่ x+x=x 2. ให้ยกตวั อย่างประโยคหรอื ขอ้ ความท่ีเป็นประพจน์มา 5 ประพจน์ พร้อมบอกคา่ ความจรงิ ของ ประพจนน์ น้ั (ข้อละ 1 คะแนน) ขอ้ ประโยคหรือขอ้ ความ คา่ ความจริงของประพจน์ 1. 2. 3. 4. 5. 7

หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 1.3 ประพจน์เชงิ ประกอบ 1.3.1 สญั ลักษณ์แทนประพจน์ ในการศึกษาเกี่ยวกับประพจน์ นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษ เช่น p, q, r, s, t, . . . เป็นต้น แทนประจน์ ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขียนประพจน์ที่กำหนดให้ตอ่ ไปน้ี ให้อยูใ่ นรปู สญั ลกั ษณพ์ รอ้ มระบคุ ่าความจรงิ ของประพจน์ วธิ ีทำ ประพจน์ “แมวเป็นสัตวส์ ีข่ า” เขียนแทนด้วย p มีคา่ ความจริงเปน็ จริง ประพจน์ “สุนัขสามารถบนิ ได้” เขยี นแทนดว้ ย q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ประพจน์ “3 เป็นตวั ประกอบเฉพาะของ 12”เขียนแทนด้วย r มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ ประพจน์ “เดอื นกันยายนมี 31 วัน” เขยี นแทนด้วย s มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ประพจน์ “0 เปน็ จำนวนนบั ” เขียนแทนด้วย t มีค่าความจริงเปน็ เท็จ 1.3.2 การเชื่อมประพจน์ ในชีวิตประจำวันจะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า...แล้ว...” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำว่ า “ไม่” ซ่งึ คำเหล่านี้ จะเรยี กว่า “ตวั เช่อื ม” (Connectives) เชน่ 2 และ 3 เปน็ จำนวนเฉพาะ แมวเป็นสตั วส์ ี่ขา หรือ สุนัขสามารถบินได้ ถ้า 3 เปน็ จำนวนเฉพาะ แลว้ 3 เป็นตวั ประกอบเฉพาะของ 12 0 เป็นจำนวนนบั ก็ตอ่ เมื่อ 3 เป็นจำนวนคู่ ข้อสังเกต ประพจนส์ ามารถจำแนกไดเ้ ปน็ 2 ชนิด คอื 1. ประพจน์ที่ไม่มีประพจน์อื่นประกอบอยู่ และสามารถหาค่าความจริงได้ด้วย ความหมายของประพจน์นั้นเอง หรือประพจน์ที่อยู่ในรูป p, q, r, s, . . . จะ เรียกว่า “ประพจน์เชิงเดียว” (Simple Statement) หรือเรียกว่า “ประพจน์ ยอ่ ย” (Atomic Statement) 2. ประพจนท์ ีม่ ปี ระพจนอ์ นื่ เป็นสว่ นประกอบ และมคี า่ ความจริงข้ึนอยูก่ บั ประพจน์ท่ี เปน็ ส่วนประกอบ จะเรียกว่า “ประพจนเ์ ชิงประกอบ” (Compound Statement) หรอื เรยี กว่า “รูปแบบของประพจน”์ (Statement Pattern) 8

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 การเปลี่ยนประพจน์ที่เป็นประโยคหรอื ข้อความให้อยู่ในรปู สัญลกั ษณ์ จะทำให้การพิจารณา ค่าความจริงได้ง่ายขึ้น โดยใช้สัญลักษณ์แทนประพจน์และตัวเชื่อมเพื่อเปลี่ยนประโยคให้อยู่ในรูป สัญลกั ษณ์ สำหรับตัวเชื่อม (Connectives) ในตรรกศาสตร์ เพื่อให้ได้ “ประพจน์เชิงประกอบ” (Compound Statement) หรือ “รูปแบบของประพจน”์ (Statement Pattern) ซ่ึงเป็นประพจน์ที่ได้ จากการเช่ือมประพจน์ย่อยด้วยตัวเชื่อมต้ังแต่สองประพจน์ย่อยขนึ้ ไปมีอยู่ด้วยกัน 5 รปู แบบ ดังนี้ 1) การเชอ่ื มประพจน์ดว้ ยตัวเชื่อม “และ” บทนยิ าม 1.2 กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ ประพจน์ร่วม (Conjunction Statement) ของ p และ q หมายถึง ประพจน์เชิงประกอบที่ได้จากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” โดยเขียนแทนด้วย สัญลกั ษณ์ “p  q” อา่ นวา่ “พีและคิว” (นอกจากน้ียังอาจใช้ตวั เชือ่ ม “กบั ” “แต่” แทนคำวา่ “และ” กไ็ ด)้ ดังนัน้ ตวั เช่ือม “และ” จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “” อ่านวา่ และ เช่น กำหนดประพจน์ “1 เป็นจำนวนเฉพาะ และ 5 เป็นจำนวนนบั ” จะพบวา่ ประพจน์น้ี เกิดจากประพจนย์ อ่ ยสองประพจน์ ได้แก่ “1 เป็นจำนวนเฉพาะ” กับ “5 เป็นจำนวนนับ” ซึ่งนำประพจน์ย่อยมาเชื่อมกันด้วย ตวั เชอ่ื ม “และ” ดังน้ัน ถา้ สมมติให้ p แทน 1 เป็นจำนวนเฉพาะ q แทน 5 เปน็ จำนวนนบั ประพจน์เชงิ ประกอบนี้ จงึ เขยี นในรปู สัญลกั ษณ์ได้เป็น p  q อา่ นวา่ พแี ละควิ 1 เปน็ จำนวนเฉพาะ และ 5 เป็นจำนวนนับ ประพจนเ์ ชิงประกอบ หรือ p nv q รูปแบบของประพจน์ ประพจน์ยอ่ ย ตวั เชือ่ ม ประพจน์ยอ่ ย 9

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 2) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตัวเช่ือม “หรอื ” บทนยิ าม 1.3 กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ ประพจน์เลือก (Disjunction Statement) ของ p และ q หมายถึง ประพจน์เชิงประกอบที่ได้จากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” โดยเขียนแทนด้วย สญั ลักษณ์ “p  q” อ่านว่า “พีหรอื คิว” ดงั นัน้ ตัวเชอ่ื ม “หรอื ” จะเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ “” อ่านว่า “หรอื ” เชน่ กำหนดประพจน์ “3 + 2 = 5 หรือ 32 = 5” จะพบวา่ ประพจน์น้ี เกิดจากประพจน์ย่อยสองประพจน์ ไดแ้ ก่ “3 + 2 = 5” กบั “32 = 5” ซ่ึงนำประพจนย์ อ่ ยมาเชอื่ มกันดว้ ยตวั เชือ่ ม “หรอื ” ดังนัน้ ถา้ สมมติให้ p แทน 3 + 2 = 5 q แทน 32 = 5 ประพจน์เชงิ ประกอบนี้ จึงเขยี นในรูปสัญลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น p  q อ่านวา่ พหี รอื คิว 3) การเช่ือมประพจนด์ ้วยตัวเชอื่ ม “ถ้า...แลว้ ...” บทนิยาม 1.4 กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ ประพจนแ์ บบเง่อื นไข (Conditional Statement) ของ p และ q หรือ ประพจน์มีเงื่อนไข หมายถึง ประพจน์เชิงประกอบที่ได้จากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” โดยเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “p → q” อ่านว่า “ถ้าพีแล้วคิว” ดังนั้น ตวั เชื่อม “ถ้า...แลว้ ...” จะเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ “→” อา่ นว่า “ถา้ ...แล้ว...” เช่น กำหนดรูปแบบของประพจน์ “ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานคู่หนึ่ง แล้วขนาด ของมุมแย้งเท่ากนั ” จะพบว่า ประพจน์นี้ เกิดจากประพจนย์ อ่ ยสองประพจน์ ได้แก่ “เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานคู่หนึ่ง” กับ “ขนาดของมุมแย้งเท่ากัน” ซึ่งนำ ประพจนย์ ่อยมาเชอ่ื มกันด้วยตวั เชอื่ ม “ถา้ ...แล้ว...” ดังน้นั ถ้าสมมติให้ p แทน เสน้ ตรงเสน้ หนงึ่ ตัดกับเส้นขนานคู่หน่ึง q แทน ขนาดของมุมแยง้ เท่ากัน ประพจนเ์ ชิงประกอบนี้ จึงเขยี นในรูปสัญลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น p → q อ่านวา่ ถ้าพีแล้วควิ • ประพจน์ p ซึง่ อยู่หลงั คำว่า “ถ้า” จะเรียกวา่ “เหต”ุ • ประพจน์ q ซง่ึ อยู่หลังคำวา่ “แลว้ ” จะเรยี กวา่ “ผล” ดังนั้น ประพจน์ “ถ้า p แล้ว q” จึงเป็นประพจน์ที่แสดงความเป็นเหตุเป็นผล หรือ อาจกลา่ วไดว้ ่า “เหตุ p ทำใหเ้ กดิ ผล q” จงึ เรยี กประพจน์ ถา้ p แล้ว q วา่ ประพจนม์ ีเง่ือนไข 10

หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1 4) การเชือ่ มประพจนด์ ้วยตวั เชื่อม “ก็ตอ่ เม่อื ” บทนยิ าม 1.5 กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ ประพจน์เงื่อนไขสองทาง (Biconditional Statement) ของ p และ q หมายถึง ประพจน์เชงิ ประกอบท่ีได้จากการเชื่อมประพจน์ดว้ ยตัวเชือ่ ม “ก็ต่อเมื่อ” โดยเขียน แทนด้วยสัญลกั ษณ์ “p  q” อา่ นวา่ “พีก็ตอ่ เมอื่ คิว” ดงั นน้ั ตัวเช่อื ม “กต็ ่อเมื่อ” จะเขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ “” อา่ นว่า “ก็ตอ่ เมอ่ื ” เชน่ กำหนดประพจน์ “2 เปน็ จำนวนคู่ ก็ตอ่ เมื่อ 2 เป็นจำนวนเตม็ ” จะพบว่า ประพจน์น้ี เกดิ จากประพจน์ยอ่ ยสองประพจน์ ได้แก่ “2 เป็นจำนวนคู่” กบั “2 เป็นจำนวนเต็ม” ซง่ึ นำประพจนย์ อ่ ยมาเชือ่ มกนั ดว้ ยตัวเชื่อม “กต็ อ่ เมื่อ” ดังนน้ั ถา้ สมมตใิ ห้ p แทน 2 เป็นจำนวนคู่ q แทน 2 เปน็ จำนวนเต็ม ประพจนเ์ ชิงประกอบนี้ จึงเขียนในรูปสัญลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น p  q อา่ นว่า พีกต็ ่อเมือ่ คิว 5) นเิ สธของประพจน์ บทนิยาม 1.6 กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ นิเสธของประพจน์ (Negation) p หมายถึง ประพจน์ที่มีความหมาย ตรงข้ามกับ p โดยเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ p” อ่านว่า “นิเสธของพี” ซึ่งมีค่าความจริง ตรงข้ามกับค่าความจริงของ p ตวั อยา่ งเช่น “5 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 15” คอื นเิ สธของประพจน์ “5 ไมเ่ ปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 15” นเิ สธของประพจน์ “6 – 4 = 2” คอื “6 – 4  2” นเิ สธของประพจน์ “เชียงใหม่เปน็ จังหวดั ที่อยู่ในภาคเหนอื ของประเทศไทย” คือ “เชียงใหม่ไม่เปน็ จงั หวดั ที่อยใู่ นภาคเหนอื ของประเทศไทย” 11

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ p และ q ประพจน์ โดยที่ p แทน 2 – 5 = –3 และ q แทน 2 + 3 = – 5 1. จงเปล่ยี นประพจน์ท่ีอยใู่ นรูปข้อความต่อไปนีใ้ หอ้ ยู่ในรูปสญั ลกั ษณ์ ข้อ ประพจน์ทอี่ ยใู่ นรปู ข้อความ เขยี นในรปู สญั ลกั ษณ์ 1) 2 – 5 = –3 และ 2 + 3 = – 5 pq pq 2) 2 – 5 = –3 หรือ 2 + 3 = – 5 p→q 3) ถ้า 2 – 5 = –3 แลว้ 2 + 3 = – 5 pq 4) 2 – 5 = –3 ก็ต่อเม่ือ 2 + 3 = – 5 q 6) 2 + 3 ≠ – 5 7) 2 – 5 = –3 แต่ 2 + 3 ≠ – 5 p  q q → p 8) 2 + 3 ≠ – 5 เพราะว่า 2 – 5 = –3 p → q 9) ถา้ 2 – 5 ≠ –3 แลว้ 2 + 3 ≠ – 5 q  p 10) 2 + 3 ≠ – 5 กต็ ่อเม่ือ 2 – 5 = –3 2. จงเปล่ยี นประพจน์ท่ีอยใู่ นรูปสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยใู่ นรูปขอ้ ความ ข้อ ประพจน์ท่ีอยใู่ นรปู สญั ลักษณ์ เขยี นในรปู ขอ้ ความ 1)  p 2 – 5 ≠ –3 2) p  q 2 – 5 ≠ –3 แต่ 2 + 3 = – 5 3) p  q 2 – 5 ≠ –3 และ 2 + 3 ≠ – 5 4) p  q 2 – 5 ≠ –3 หรอื 2 + 3 ≠ – 5 6) q  p 2 + 3 ≠ – 5 หรือ 2 – 5 ≠ –3 7) p → q ถ้า 2 – 5 ≠ –3 แลว้ 2 + 3 = – 5 8) q → p ถา้ 2 + 3 ≠ – 5 แล้ว 2 – 5 ≠ –3 9) p  q 2 – 5 = –3 ก็ตอ่ เม่ือ 2 + 3 ≠ – 5 10) q  p 2 + 3 ≠ – 5 กต็ อ่ เม่อื 2 – 5 ≠ –3 12

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.2 ประพจน์เชิงประกอบ แผนกวิชา/ชั้น/ห้อง....................... จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ : เขยี นประพจน์ทเี่ ชอ่ื มดว้ ยตวั เช่อื มในรูปสัญลกั ษณไ์ ด้ คำชี้แจง 1. ให้ผ้เู รยี นจบั คูก่ บั เพอ่ื น แล้วทำกิจกรรมตามสถานการณท์ ี่กำหนดให้ โดยใช้เวลาในการทำกิจกรรม 10 นาที 2. สมุ่ เลือกผู้เรยี นนำเสนอหน้าชนั้ เรียน สมาชิก 1. ...................................................เลขที่........ 2. ...................................................เลขที่........ กิจกรรม 1. ให้เขียนประพจนต์ อ่ ไปนใี้ นรูปสญั ลักษณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) ประพจน์ กำหนดประพจนย์ ่อย เขยี นในรูปสัญลกั ษณ์ ตัวอย่าง : 6 ไม่เท่ากบั 8 และ –2 น้อยกวา่ 0 pq p แทน 6 ไม่เท่ากับ 8 1) ถ้า 6 – 8 = 0 แลว้ 6 = 8 q แทน –2 นอ้ ยกว่า 0 2) สนุ ขั เป็นสตั ว์ปีก ก็ต่อเม่ือ แมวบนิ ได้ 3) โลมาหรอื วาฬเปน็ สตั วเ์ ลย้ี งลกู ด้วยนม 4) พระอาทิตยข์ นึ้ ทางทศิ ตะวนั ออก แตต่ กทางทิศตะวันตก 5) 3 เปน็ จำนวนจรงิ หรือจำนวนอตรรกยะ 6) 2 x (5 + 2) = 9 กต็ ่อเมอ่ื 5 + 2 = 9 13

หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.2 ประพจน์เชงิ ประกอบ ประพจน์ กำหนดประพจนย์ อ่ ย เขียนในรูปสญั ลักษณ์ 7) ถา้ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมมุ ตรงข้าม จะมีขนาดเท่ากนั 8) 10 เปน็ จำนวนคู่ หรือ 10 หารด้วย 2 ลงตัว 9) 3 เปน็ จำนวนเฉพาะและ 7 เปน็ จำนวนค่ี 10) 4 + 2 = 6 แต่ 6 + 2 ≠ 4 2. จงเขยี นประพจนต์ ่อไปนใี้ นรปู สญั ลกั ษณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) สญั ลกั ษณ์ เม่อื กำหนดให้ p แทนประพจน์ วันนสี้ ุดาไปโรงเรียนสาย p  q q แทนประพจน์ สุภาขยนั เรยี น ประพจน์ ตัวอยา่ ง : วนั น้ีสดุ าไมไ่ ปโรงเรยี นสายและสภุ าขยันเรียน 1) วนั นสี้ ุดาไปโรงเรียนสายและสุภาไม่ขยันเรยี น 2) สุภาขยันเรยี นก็ต่อเมอ่ื วันนสี้ ุดาไปโรงเรียนสาย 3) วนั นี้สดุ าไม่ไปโรงเรยี นสายแตส่ ภุ าไม่ขยนั เรยี น 4) ถา้ สภุ าขยนั เรยี น แล้ววันน้ีสุดาไม่ไปโรงเรยี นสาย 5) สภุ าไม่ขยนั เรยี นหรอื วนั นี้สดุ าไม่ไปโรงเรยี นสาย 6) ถ้าวันน้สี ดุ าไม่ไปโรงเรียนสาย แลว้ สภุ าขยนั เรียน 7) สุภาขยนั เรยี นแตว่ นั นสี้ ุดาไปโรงเรียนสาย 8) วนั นีส้ ดุ าไปโรงเรียนสายแตส่ ภุ าไม่ขยันเรยี น 9) สภุ าไมข่ ยันเรียนเพราะวา่ วันนสี้ ุดาไปโรงเรียนสาย 10) วันนีส้ ดุ าไปโรงเรยี นสายหรือสภุ าไม่ขยนั เรียน 14

หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 1.4 ค่าความจรงิ ของประพจนท์ ีม่ ตี วั เช่อื ม 1 ตัวเชอ่ื ม กำหนดให้ p และ q แทนประพจน์ โดยค่าความจริงที่เป็นจริง ให้เขียนแทนด้วย T และ คา่ ความจรงิ ท่ีเปน็ เท็จ เขียนแทนดว้ ย F จึงทำให้ p มีค่าความจริงเกิดขึ้น 2 กรณี คือ T หรือ F ในทำนองเดียวกัน q ก็จะต้องมีค่า ความจริงเกิดขึ้น 2 กรณเี ชน่ เดียวกัน คอื T หรือ F ดังนั้น ถ้าพิจารณาค่าความจริงของ p และ q พร้อมกัน จะมีค่าความจริงของ p กับ q ได้ 22 เทา่ กบั 4 กรณี ดังนี้ คา่ ความจริงของ p ค่าความจริงของ q ค่าความจรงิ ของ p กับ q T F T T, T F T, F T F, T F F, F คา่ ความจริงของ p และ q อาจแสดงได้ดว้ ยตารางทเ่ี รียกวา่ ตารางค่าความจริง ดงั นี้ pq TT TF FT FF 1.4.1 ค่าความจริงของประพจนท์ ่ีเช่อื มด้วยตวั เชอ่ื ม “และ” ใหน้ กั ศึกษาพิจารณารูปแบบของประพจน์ “สุนิสาเลน่ แบดมนิ ตันและวอลเลย่ ์บอล” ว่าจะมี คา่ ความจรงิ เป็นจริงหรือเป็นเท็จ วธิ ีการพิจารณารปู แบบของประพจนด์ งั กล่าว ทำได้ดังนี้ จะยอมรับวา่ มีคา่ ความจรงิ เป็น “จริง” เมอ่ื จะยอมรบั ว่ามีคา่ ความจรงิ เปน็ “เทจ็ ” ตอ้ งรู้ว่า สนุ สิ าเล่นแบดมนิ ตัน และ เล่น ถ้าสุนิสาเลน่ แบดมินตนั หรอื เล่นวอลเลย์บอลอย่าง ใดอย่างหนง่ึ เพียงอยา่ งเดียว หรอื ไมเ่ ล่นทง้ั สองอย่าง วอลเลย์บอล ท้งั สองอย่างจรงิ 15

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 จากขอ้ มูลดงั กล่าว สามารถเขยี นสรุปเปน็ ตารางค่าความจริงของประพจน์ p  q ได้ดงั นี้ p q pq TTT TFF FTF FFF ขอ้ สงั เกต 1. รปู แบบของประพจน์ p  q จะมคี า่ ความจรงิ เป็นจริงเพียงกรณเี ดียว เมือ่ p และ q มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริงทงั้ คู่ 2. รปู แบบของประพจน์ p  q จะมคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ เมอ่ื p และ q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ อย่างนอ้ ย 1 ประพจน์ ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาค่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจนท์ ีไ่ ด้จากการเชอ่ื มประพจนด์ ว้ ยตวั เช่ือม “และ” 1) 2 เป็นจำนวนเฉพาะ 5 เปน็ จำนวนเฉพาะ 2) p : 5 – 2 = 3 q:3+25 3) p : –2 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 5 = –1 q : –2 + 3 = –1 วธิ ีทำ 1) เน่ืองจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ มคี า่ ความจรงิ เปน็ T 5 เป็นจำนวนเฉพาะ มีคา่ ความจริงเป็น T ดงั นัน้ ประพจน์ “2 เปน็ จำนวนเฉพาะ และ 5 เปน็ จำนวนเฉพาะ” จึงมีคา่ ความจริงเป็นจริง นอกจากน้ยี งั สามารถหาค่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจนด์ ้วยวธิ ีการใชแ้ ผนภาพได้ดังน้ี 2 เปน็ จำนวนเฉพาะ และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ TT T ดงั น้นั ประพจน์ “2 เปน็ จำนวนเฉพาะ และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ” มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ 16

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 2) เนอื่ งจาก p : 5 – 2 = 3 มีคา่ ความจรงิ เป็น T q : 3 + 2  5 มคี ่าความจริงเปน็ F ดงั นัน้ ประพจน์ “p  q” จึงมคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ หรือหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจนด์ ้วยวิธีการใชแ้ ผนภาพได้ดงั นี้ pq TF F ดงั นน้ั ประพจน์ p  q มีค่าความจริงเปน็ เท็จ 3) เน่อื งจาก p : –2 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 5 = –1 มีคา่ ความจรงิ เปน็ F q : –2 + 3 = –1 มีค่าความจริงเปน็ F ดงั น้ัน ประพจน์ “p  q” จงึ มีค่าความจริงเป็นเท็จ หรอื หาค่าความจริงของรปู แบบของประพจน์ด้วยวิธกี ารใช้แผนภาพไดด้ งั น้ี pq FF F ดังนัน้ ประพจน์ p  q มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ 1.4.2 คา่ ความจริงของประพจนท์ ่ีเชอ่ื มดว้ ยตวั เชื่อม “หรอื ” คำว่า “หรือ” ในทางตรรกศาสตร์จะมีลักษณะแตกต่างจากคำว่า “หรือ” ที่ใช้อยู่ใน ชีวิตประจำวนั เชน่ ถ้าเพื่อนถามแหวนว่า วนั น้จี ะไปวา่ ยนำ้ หรือไปเลน่ ฟิตเนต คำว่า “หรอื ” ในประโยคดังกล่าว เมอ่ื ใช้ในชวี ิตประจำวนั โดยทัว่ ไปจะตอ้ งเลือกทำอย่างใด อยา่ งหน่ึงเพียงอย่างเดียว นนั่ คอื ถา้ แหวนไปวา่ ยน้ำ แหวนก็คงไมไ่ ปเลน่ ฟติ เนส 17

หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 วิธีการพิจารณาคำว่า “หรอื ” เป็นดงั นี้ คำว่า “หรือ” ในทางตรรกศาสตร์ ดังนั้น ประพจน์ที่ว่า “แหวนไปว่ายน้ำหรือไป หมายถงึ อย่างใดอยา่ งหนึ่งเพียงอย่างเดียว เล่นฟิตเนต” จะมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ หรือทั้งสองอยา่ งกไ็ ด้ ขนึ้ อยู่กับพฤตกิ รรมของแหวน ดังน้ี ดังนั้น ถ้าเพื่อนถามแหวนว่า วันนี้จะไป 1. ถา้ แหวนไปว่ายนำ้ และไปเลน่ ฟติ เนต ว่ายน้ำหรือไปเล่นฟิตเนต แหวนสามารถ ก็จะมีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ เลอื กปฏิบตั ิอย่างใดอย่างหนึง่ ได้ 3 แนวทาง ตอ่ ไปนี้ 2. ถ้าแหวนไปว่ายน้ำอย่างเดียวแต่ไม่ไปเล่น ฟิตเนต กจ็ ะมคี า่ ความจรงิ เป็นจริง 1. เลอื กไปวา่ ยนำ้ เพียงอยา่ งเดยี ว 2. เลอื กไปเลน่ ฟติ เนตเพยี งอยา่ งเดียว 3. ถ้าแหวนไม่ไปว่ายน้ำ แต่ไปเล่นฟิตเนต 3. เลอื กไปวา่ ยน้ำและเล่นฟิตเนต ก็จะมคี ่าความจริงเปน็ จริง 4. ถ้าแหวนไม่ไปว่ายน้ำและไม่ไปเล่นฟิตเนต กจ็ ะมคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ จากข้อมลู ดงั กล่าว สามารถเขียนสรปุ เป็นตารางค่าความจรงิ ของ p  q ไดด้ งั นี้ p q pq TTT TFT FTT FFF ขอ้ สังเกต 1. รปู แบบของประพจน์ p  q จะมคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ ไดเ้ พยี งกรณีเดยี ว เมอ่ื p และ q มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จทัง้ คู่ 2. รปู แบบของประพจน์ p  q จะมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ เม่ือ p และ q มคี ่าความจริงเปน็ จริงประพจน์ใดประพจนห์ นงึ่ หรอื เป็นจรงิ ท้งั สองประพจน์ ตวั อย่างท่ี 5 จงหาคา่ ความจริงของรปู แบบของประพจนท์ ไ่ี ด้จากการเชอื่ มประพจน์ด้วยตวั เชื่อม “หรอื ” 1) p : 4 เปน็ จำนวนอตรรกยะ q : 5 เป็นจำนวนอตรรกยะ 2) p : 9 = 32 q : จังหวัดตราดอยูท่ างภาคเหนือของประเทศไทย 18

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 1 3) p : 1 เป็นจำนวนนับ q : 1 ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ วธิ ีทำ 1) เนอ่ื งจาก p : 4 เป็นจำนวนอตรรกยะ มีค่าความจรงิ เป็น F q : 5 เปน็ จำนวนอตรรกยะ มคี า่ ความจริงเปน็ T ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ “p  q” จงึ มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ หรอื หาคา่ ความจริงของรปู แบบของประพจน์ดว้ ยวิธีการใชแ้ ผนภาพได้ดังนี้ pq FT T ดังน้นั ประพจน์ p  q มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ 2) เนือ่ งจาก p : 9 = 32 มคี ่าความจริงเปน็ F q : จังหวัดตราดอยูท่ างภาคเหนือของประเทศไทย มคี ่าความจริงเปน็ F ดังนน้ั ประพจน์ “p  q” จงึ มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ หรอื หาค่าความจริงของรูปแบบของประพจนด์ ้วยวิธกี ารใชแ้ ผนภาพไดด้ งั นี้ pq FF F ดังนั้น ประพจน์ p  q มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ 3) เน่อื งจาก p : 1 เปน็ จำนวนนับ มีคา่ ความจริงเป็น T q : 1 ไมเ่ ป็นจำนวนเฉพาะ มีค่าความจริงเป็น T ดังน้นั ประพจน์ “p  q” จงึ มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ หรือหาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ดว้ ยวิธีการใช้แผนภาพได้ดงั น้ี pq TT T ดงั นนั้ ประพจน์ p  q มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 19

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 1.4.3 ค่าความจริงของประพจน์ทเ่ี ชือ่ มด้วยตวั เชือ่ ม “ถ้า...แลว้ ...” ใหพ้ จิ ารณาประพจนต์ ่อไปนี้ • ถ้ากรงุ เทพมหานครฝนตกหนักแล้วการจราจรจะติดขัด • ถ้า 3 เป็นจำนวนคีแ่ ล้ว เป็นจำนวนคู่ • ถา้ – 5 – 2 = 7 แล้ว 7 – 2 = – 5 • ถ้านชิ าสอบได้เกรด 4 ทกุ วิชาแลว้ คุณแม่จะพาไปเท่ียวทะเล ประพจน์ดังกล่าวสามารถเขียนให้อยู่ในรูป p → q ได้ โดยเรียกประพจน์ p ว่าเป็นเหตุ เรยี กประพจน์ q วา่ เปน็ ผล และเรยี กประพจน์ p → q ว่าเป็นประพจน์ท่เี ป็นเหตเุ ป็นผล จากข้อมลู ดงั กลา่ ว จะหาคา่ ความจริงของ p → q ได้ดงั นี้ เมอ่ื พจิ ารณาคำพูดของแม่ก่อนสอบปลายภาคเรยี นวา่ “ถา้ นชิ าสอบไดเ้ กรด 4 ทกุ วิชา แลว้ คุณแม่จะพาไปเทย่ี วทะเล” จะพบว่า คำพูดของแมจ่ ะเป็นเทจ็ เม่อื แมผ่ ิดคำพดู เช่น นิชาสอบไดเ้ กรด 4 ทกุ วิชา (p) แต่คุณแมไ่ ม่พาไปเท่ยี วทะเล (q) ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นเทจ็ จะเห็นว่า เหตุ (p) เปน็ จรงิ ผล (q) เปน็ เท็จ แต่ในกรณีอื่น ๆ จะถือว่าคำพดู ของคุณแมไ่ มเ่ ป็นเท็จ คือ ไมผ่ ิดคำพดู เช่น • “นชิ าสอบไดเ้ กรด 4 ทุกวิชา (p เป็นจรงิ ) คุณแม่พาไปเทยี่ วทะเล (q เปน็ จรงิ )” • “นชิ าสอบไมไ่ ดเ้ กรด 4 ทุกวชิ า (p เป็นเทจ็ ) แต่คุณแมพ่ าไปเท่ยี วทะเล (q เป็นจริง)” • “นิชาสอบไม่ไดเ้ กรด 4 ทุกวิชา (p เป็นเท็จ) แต่คณุ แมไ่ มพ่ าไปเท่ียวทะเล (q เป็นเท็จ)” จากข้อมูลดังกล่าว สามารถเขียนสรปุ เปน็ ตารางค่าความจริงของ p → q ไดด้ งั น้ี p q p→q TTT TFF FTT FFT 20

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 ข้อสังเกต 1. รูปแบบของประพจน์ p → q จะมคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ไดเ้ พยี งกรณเี ดียว คอื p เป็นจริง และ q เปน็ เท็จ (ส่วนกรณีอน่ื ๆ จะได้ p → q เป็นจริงทกุ กรณี) 2. รูปแบบของประพจน์ p → q จะมคี ่าความจริงเป็นจรงิ เม่ือ p เป็นเทจ็ โดยไม่จำเป็นตอ้ งทราบคา่ ความจรงิ ของ q 3. รูปแบบของประพจน์ p → q จะมคี ่าความจรงิ เป็นจริง เมอื่ q เป็นจริง โดยไม่จำเปน็ ต้องทราบค่าความจริงของ p 4. ตวั เชื่อม “ถ้า...แล้ว...” สามารถใช้แทนประโยคภาษาดว้ ยคำวา่ “ถา้ ...ดงั น้นั ...” หรอื “ถา้ ...” โดยละคำวา่ “แลว้ ” ไวก้ ไ็ ด้ ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ไี่ ด้จากการเช่ือมประพจน์ดว้ ยตัวเช่อื ม “ถ้า...แล้ว...” 1) p : 3 เปน็ จำนวนค่ี q : 9 เปน็ จำนวนคู่ 2) p : – 5 – 2 = 7 q:7–2=–5 3) p : 2 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 12 q : 2 เปน็ จำนวนเฉพาะ วธิ ที ำ 1) เนื่องจาก p : 3 เปน็ จำนวนคี่ มคี ่าความจรงิ เปน็ T q : 9 เป็นจำนวนคู่ มีค่าความจรงิ เป็น F ดังนนั้ ประพจน์ “p → q” จึงมีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ หรอื หาค่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจนด์ ว้ ยวธิ ีการใชแ้ ผนภาพได้ดงั นี้ Tp → qF F ดังน้ัน ประพจน์ p → q มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ 21

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 2) เนือ่ งจาก p : – 5 – 2 = 7 มีคา่ ความจรงิ เปน็ F q : 7 – 2 = – 5 มีคา่ ความจริงเปน็ F ดังนน้ั ประพจน์ “p → q” จงึ มีค่าความจริงเปน็ จริง หรือหาคา่ ความจริงของรปู แบบของประพจน์ด้วยวธิ ีการใช้แผนภาพไดด้ ังนี้ p → q F F T ดังนั้น ประพจน์ p → q มีค่าความจริงเป็นจริง 3) เนื่องจาก p : 2 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 มีค่าความจรงิ เปน็ T q : 2 เปน็ จำนวนเฉพาะ มคี ่าความจรงิ เป็น T ดงั นัน้ ประพจน์ “p → q” จึงมคี ่าความจริงเป็นจริง หรอื หาค่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจนด์ ้วยวิธีการใชแ้ ผนภาพไดด้ ังน้ี p →q TT T ดังน้นั ประพจน์ p → q มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง 1.4.4 คา่ ความจริงของประพจน์ทเ่ี ชอื่ มดว้ ยตัวเช่อื ม “กต็ ่อเมอ่ื ” พิจารณาคา่ ความจริงของ (p → q)  (q → p) จากตารางค่าความจริงตอ่ ไปน้ี p q p → q q → p (p → q)  (q → p) TT T T T TF F T F FT T F F FF T T T 12 3 22

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 เน่อื งจาก p → q และ q → p เป็นประพจน์มเี ง่ือนไขทงั้ คู่ จงึ ทำใหร้ ูปแบบของประพจน์ (p → q)  (q → p) เปน็ ประพจนม์ ีเง่ือนไขสองประพจน์ ซึ่งสลบั กนั ระหว่างเหตุและผล และเรียก รปู แบบของประพจน์นวี้ ่า ประพจนเ์ งื่อนไขสองทาง โดยเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ p  q จากขอ้ มลู ดงั กล่าว สามารถเขียนสรปุ เปน็ ตารางค่าความจริงของ p  q ได้ดังนี้ p q pq TTT TFF FTT FFT ขอ้ สังเกต 1. รูปแบบของประพจน์ p  q จะมคี ่าความจริงเป็นจริง เมือ่ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกนั ท้ังคู่ 2. รปู แบบของประพจน์ p  q จะมีค่าความจริงเป็นเทจ็ เมือ่ p และ q มคี ่าความจรงิ ตา่ งกนั ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาค่าความจรงิ ประพจน์ทีไ่ ดจ้ ากการเชือ่ มประพจน์ด้วยตัวเชือ่ ม “กต็ ่อเมอ่ื ” 1) p : 4 เปน็ คำตอบของสมการ 3x – 2 = 10 q : 4 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 12 2) p : 0 เป็นจำนวนนับ q : −2−3 = – 5 3) p : 2 เปน็ จำนวนตรรกยะ q : 2 เป็นจำนวนเตม็ วธิ ีทำ 1) เนอื่ งจาก p : 4 เปน็ คำตอบของสมการ 3x – 2 = 10 มีคา่ ความจรงิ เป็น T q : 4 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 12 มีคา่ ความจรงิ เปน็ F ดงั นัน้ ประพจน์ “p  q” จึงมคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ 23

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 หรือหาค่าความจริงของรปู แบบของประพจน์ด้วยวิธีการใช้แผนภาพได้ดงั น้ี p q TF F ดังนน้ั ประพจน์ p  q มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ 2) เนอ่ื งจาก p : 0 เป็นจำนวนนบั มีค่าความจรงิ เปน็ F q : −2 −3 = – 5 มคี ่าความจริงเป็น F ดังนัน้ ประพจน์ “p  q” จงึ มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ หรอื หาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ดว้ ยวธิ ีการใช้แผนภาพไดด้ ังนี้ p q FF T ดงั นน้ั ประพจน์ p  q มคี ่าความจริงเปน็ จริง 3) เนอ่ื งจาก p : 2 เป็นจำนวนตรรกยะ มคี ่าความจรงิ เปน็ F q : 2 เปน็ จำนวนเตม็ มีคา่ ความจริงเปน็ T ดงั น้ัน ประพจน์ “p  q” จึงมีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ หรือหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ดว้ ยวิธกี ารใช้แผนภาพได้ดงั น้ี p q FT F ดังนนั้ ประพจน์ p  q มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ 24

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 1.4.5 ค่าความจริงของประพจน์ท่เี ชอ่ื มดว้ ย “นเิ สธ” เน่อื งจาก p มีค่าความจรงิ ตรงข้ามกับค่าความจริงของ p ซง่ึ แสดงได้ดงั ตารางค่าความจริง ตอ่ ไปน้ี p p TF FT ตัวอยา่ งที่ 8 จงหาคา่ ความจริงของนิเสธของประพจน์ที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้ p:2+6=8 q:–2+5>–2–5 r : 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 s :  เปน็ จำนวนอตรรกยะ วิธที ำ ประพจน์ คา่ ความจรงิ นิเสธของประพจน์ ค่าความจรงิ p:2+6=8 T p : 2 + 6 ≠ 8 F q : – 2 + 5 = –3 F q : – 2 + 5 ≠ –3 T r : 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 T r : 3 ไมเ่ ป็นตวั ประกอบเฉพาะของ 12 F s :  เปน็ จำนวนอตรรกยะ T s :  ไมเ่ ปน็ จำนวนอตรรกยะ F ตวั อย่างที่ 9 จงหาค่าความจริงของ p  (q ) เม่ือกำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ท่ี p  q มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ วธิ ที ำ จากโจทย์กำหนดให้ p  q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ ซึ่งจะเกดิ ขน้ึ ไดเ้ พยี งกรณีเดียว คอื ท้งั p และ q ตอ้ งมีค่าความจริงเป็นเทจ็ ทั้งคู่ ดงั แผนภาพต่อไปน้ี pq F FF จะได้ p และ q มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ ค่าความจริงของ p  (q) หาได้ดงั แผนภาพตอ่ ไปน้ี p  (q) FF T F ดังนนั้ ประพจน์ p  (q) มีค่าความจริงเป็นเทจ็ 25

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.3 คา่ ความจริงของประพจนท์ ่ีมตี วั เชือ่ ม 1 ตัวเชอ่ื ม แผนกวิชา/ช้ัน/ห้อง....................... จดุ ประสงค์การเรียนรู้ : หาค่าความจรงิ ของประพจน์ท่ีมีตัวเช่อื ม 1 ตัวเชอื่ มได้ คำชแ้ี จง 1. ใหผ้ เู้ รยี นจบั คกู่ บั เพอ่ื น แลว้ ทำกจิ กรรมตามสถานการณท์ ่กี ำหนดให้ โดยใช้เวลาในการทำกิจกรรม 20 นาที 2. สุม่ เลอื กผูเ้ รยี นนำเสนอหน้าชั้นเรยี น สมาชกิ 1. ...................................................เลขที่.......... 2. .................................................เลขที่.......... กิจกรรม (ขอ้ ละ 2 คะแนน) กำหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ที่มีค่าความจรงิ เปน็ จริง และ เท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ ประพจน์ แผนภาพแสดงค่าความจริง ค่าความจริงของประพจน์ ตัวอยา่ ง : ( p  q) เป็นจรงิ ( p  q) TF 1) (p  q) F T 2) p  q 3) (p  q) 26

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 แบบฝกึ ทักษะ 1.3 ค่าความจรงิ ของประพจน์ทมี่ ตี วั เชือ่ ม 1 ตัวเชือ่ ม ประพจน์ แผนภาพแสดงค่าความจรงิ ค่าความจริงของประพจน์ 4) p  q 5) p  q 6) p  q 7) (p → q) 8) (p → q)  (pq) 27

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ ที่ p  s มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ s → r มีคา่ ความจริงเป็นจริง และ r  (q) มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ในตารางต่อไปน้ี ประพจน์ p  r s  q p → r s  r s  (q) p → (q) r  s คา่ ความจรงิ วธิ ีทำ จากโจทยจ์ ะหาค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ยไดจ้ าก r  (q) เปน็ ลำดับแรก เนอ่ื งจาก r  (q) มีค่าความจริงเปน็ เท็จ ซึ่งเกดิ ขนึ้ ไดก้ รณีเดยี ว ดังแผนภาพตอ่ ไปน้ี r  q F FF T จะได้ค่าความจริงของ r เปน็ เทจ็ และ q มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ ตอ่ ไปพิจารณาค่าความจรงิ ของ s → r ซ่งึ มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ และ r มีค่าความจริงเปน็ เท็จ จะหาค่าความจริงของ s ได้ดงั นี้ s→r TF F จะไดค้ า่ ความจรงิ ของ s เป็นเท็จ และพิจารณาค่าความจริงของ p  s ซึง่ มคี ่าความจริงเป็นเท็จ และ s มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ จะหาค่าความจริงของ p ได้ดงั นี้ ps FF T จะได้คา่ ความจรงิ ของ p เปน็ จริง ดังนนั้ สรปุ คา่ ความจรงิ ของ p, q, r และ s ได้เปน็ จริง จริง เท็จ และเท็จ ตามลำดับ และค่าความจรงิ ประพจนใ์ นตารางเป็นดงั นี้ ประพจน์ p  r s  q p → r s  r s  (q) p → (q) r  s คา่ ความจรงิ F T F T F F F 28

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 1 แบบฝกึ หัดตรวจสอบความเขา้ ใจที่ 1.1 1. จงเขยี นประโยคต่อไปนใ้ี นรปู สัญลักษณ์ พร้อมหาค่าความจริงของประพจน์ 1) ถา้ 3(4 – 7) = 9 แลว้ 2(1 – 5) = 8 2) 9 เปน็ จำนวนคู่ แต่ 6 เปน็ จำนวนคู่ 3) a2 = 36 กต็ ่อเมือ่ a = 6 และ a = –6 4) 5 > 1 + 3 หรือ 1 + 3 < 5 5) เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันก็ต่อเมือ่ เสน้ ตรงท้งั สองมีระยะหา่ งเทา่ กัน 2. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปน้ี โดยใช้แผนภาพ 1) 7 + 2 = 9 หรือ 42 – 2 < 8 2) 1 เป็นจำนวนเฉพาะ และ 3 เป็นจำนวนคี่ 3) ถ้า 3 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 24 แลว้ 3 เปน็ จำนวนเฉพาะ 4) 52 = 25 กต็ อ่ เมือ่ 25 = 2  5 5) ถ้า 5 > 7 แลว้ 5 – 1  7 – 1 3. จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปน้ี พรอ้ มท้ังหาคา่ ความจรงิ ของนิเสธของประพจน์ดงั กล่าว 1) 7 + 2 < 9 2) ไกม่ ี 4 ขา 3) 10 – 4  4 – 10 4) 2 − 4  − 2 5) ประเทศไทยเป็นหนึ่งในหา้ ประเทศที่รว่ มกนั ก่อตงั้ ประเทศสมาชกิ อาเซียน 4. กำหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจนท์ ่ีมคี า่ ความจรงิ เป็น จรงิ เท็จ เท็จ และจริง ตามลำดบั จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปน้ี 1) p  s 2) r → q 3) p  (r) 4) p  (q) 5) r  s 29

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 แบบฝกึ หัดตรวจสอบความเขา้ ใจท่ี 1.1 5. ให้ p, q และ r เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ 1) กำหนดให้ p  q มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ และ q มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ จงหาค่าความจริงของ p 2) กำหนดให้ p  q มคี ่าความจริงเปน็ จริง และ p มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ จงหาคา่ ความจริงของ q 3) กำหนดให้ p → q มีคา่ ความจริงเปน็ จริง และ p มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ จงหาค่าความจริงของ q 4) กำหนดให้ p → q มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ และ q มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของ p 5) กำหนดให้ p  q มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ และ p มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ จงหาค่าความจรงิ ของ q 6) กำหนดให้ p  q มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ และ r มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ จงหาค่าความจริงของ q  r 7) กำหนดให้ p  q มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ และ r มคี ่าความจริงเปน็ จริง จงหาคา่ ความจริงของ r → q 8) กำหนดให้ p → q มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ และ r มคี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ จงหาค่าความจริงของ (p)  (r) 9) กำหนดให้ p  q มีคา่ ความจริงเปน็ จริง p มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง และ r มีค่าความจริงเปน็ เท็จ จงหาค่าความจรงิ ของ (r) → q 10) กำหนดให้ p  (q) มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ และ p → r มีค่าความจรงิ เป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของ q  r 30

หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 1 1.5 ค่าความจริงของประพจนท์ ่ีมีตวั เชอื่ มตง้ั แต่ 2 ตวั เช่อื มขึ้นไป การติดต่อสื่อสารในชีวิตประจำวันบางครั้งอาจต้องใช้ประโยคย่อย ๆ หลายประโยค โดยประโยค เหล่าน้ันจะใช้ตัวเชือ่ มมากกว่าหน่งึ ตัวเชื่อมข้ึนไป ตัวอย่างเชน่ กำหนดให้ p แทนประพจน์ ปารวีขยนั อ่านหนงั สือทุกวนั q แทนประพจน์ ปารวีทำการบา้ นทกุ วนั r แทนประพจน์ ปารวสี อบเขา้ มหาวทิ ยาลัยได้ ประโยคคำพูด ประโยคสัญลักษณ์ (p  q) → r ถา้ ปารวขี ยันอ่านหนงั สอื และทำการบ้านทกุ วัน แลว้ เธอสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้ (p  q) → (r) [(p)  q)] → (r) ถา้ ปารวไี มข่ ยนั อ่านหนงั สอื และทำการบา้ นทุกวนั แลว้ เธอสอบเข้ามหาวิทยาลยั ไม่ได้ r → [p  (q)] r  (p  q) ถา้ ปารวีไม่ขยันอา่ นหนังสือแต่ทำการบา้ นทุกวัน แล้วเธอสอบเข้ามหาวิทยาลยั ไมไ่ ด้ ถา้ ปารวีสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้ เพราะว่าเธอขยนั อ่านหนังสอื แต่ไม่ทำการบ้านทุกวัน ปารวสี อบเข้ามหาวทิ ยาลยั ได้ กต็ อ่ เม่อื เธอขยันอา่ นหนังสือ หรือทำการบา้ นทกุ วนั การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่ 2 ตัวเชื่อมขึ้นไปนั้น สามารถทำได้ 3 ลักษณะ ดงั น้ี 1.5.1 เมอ่ื ไม่ทราบคา่ ความจริงของประพจน์ย่อยสมมูล กนั การหาค่าความจริงของประพจน์ในลักษณะเช่นนี้ จะต้องพจิ ารณาค่าความจริงของประพจน์ ยอ่ ยทอี่ าจจะเกดิ ข้ึนไดท้ ้งั หมดทุกกรณี โดยมวี ิธีการดังน้ี 1) ถ้าประพจน์ยอ่ ยมี 1 ประพจน์ โดยกำหนดให้เปน็ p จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ท้งั หมด 2 กรณี ดงั ตารางคา่ ความจริงต่อไปนี้ p ประพจน์ p T คา่ ความจริง T F F 31

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 2) ถ้าประพจน์ย่อยมี 2 ประพจน์ คือ p กับ q จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด 22 = 4 กรณี ดังตารางค่าความจริงต่อไปน้ี p q ประพจน์ pq T, F สลับครัง้ ละหนง่ึ T, F สลับครงั้ ละสอง T TT T F ค่าความจริง TF FT T FF FF 3) ถ้าประพจน์ยอ่ ยมี 3 ประพจน์ คอื p, q และ r จะมีค่าความจริงทีเ่ ป็นไปไดท้ ั้งหมด 2  2  2 = 8 กรณี ดังตารางคา่ ความจริงต่อไปนี้ pq r ประพจน์ pq r T T TTT TF F TTF T TFT T F F ค่าความจริง T F F T F T T F F FTF T FFT F FFF T, F สลบั คร้งั ละหน่งึ T, F สลับครง้ั ละสอง T, F สลบั คร้งั ละสี่ ขอ้ สรุป ถ้าประพจน์เชงิ ประกอบเกิดจากประพจน์ย่อย n ประพจน์ ตารางคา่ ความจริง ท่แี สดงค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ย n ประพจน์ทีแ่ ตกต่างกนั มีทั้งหมด กรณี 32

หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 ตัวอยา่ งที่ 11 จงหาค่าความจรงิ ประพจนท์ กี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ี โดยสร้างตารางคา่ ความจริง 1) p  (p) 2) (p)  (q) 3) (p  q)  (p  q) 4) (p  q) → r 5) (p  q)  (r  q) วิธีทำ 1) ประพจน์ p  (p) มีประพจนย์ อ่ ย 1 ประพจน์ ค่าความจรงิ ที่เปน็ ไปได้ ทง้ั หมด 2 กรณี สามารถสรา้ งตารางคา่ ความจริงไดด้ งั น้ี p  p p  (p) TF T FT T 2) ประพจน์ (p)  (q) มีประพจน์ยอ่ ย 2 ประพจน์ คา่ ความจรงิ ทเ่ี ปน็ ไปได้ ทงั้ หมด 4 กรณี สามารถสรา้ งตารางคา่ ความจริงได้ดังนี้ p q  p  q (p)  (q) TT F F F TF F T F FT T F F FF T T T 3) ประพจน์ (p  q)  (p  q) มีประพจนย์ ่อย 2 ประพจน์ คา่ ความจริงท่เี ปน็ ไปได้ ทง้ั หมด 4 กรณี สามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ดังนี้ p q p  q  (p  q) p  q (p  q)  (p  q) T T TF T F T F TF F T F T TF F T F F FT F F 33

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 1 4) ประพจน์ (p  q) → r มปี ระพจนย์ อ่ ย 3 ประพจน์ คา่ ความจริงท่ีเปน็ ไปได้ ทง้ั หมด 8 กรณี สามารถสร้างตารางคา่ ความจรงิ ไดด้ ังนี้ pq r p  q (p  q) → r TT TT T TT TF FT F TF FT TF T FT FF FF T FF TF T FF T TF T FF T 5) ประพจน์ (p  q)  (r  q) มปี ระพจนย์ อ่ ย 3 ประพจน์ คา่ ความจริงท่เี ปน็ ไปได้ ท้ังหมด 8 กรณี สามารถสร้างตารางคา่ ความจรงิ ได้ดังนี้ p q r  q p  q r  q (r  q) (p  q)  (r  q) TTTF T T F F TTFF T F T T TFTT T F T T TFFT T F T T FTTF F T F T FTFF F F T F FFTT T F T T FFFT T F T T 34

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 แบบฝกึ ทักษะ 1.4 การสรา้ งตารางคา่ ความจริงของประพจน์ ที่มตี ัวเชอ่ื มต้ังแต่ 2 ตัวเช่ือมข้นึ ไป ชอื่ – สกุล ...........................................................เลขที่..........แผนกวิชา/ชั้น/หอ้ ง....................... จุดประสงค์การเรียนรู้ : สรา้ งตารางค่าความจรงิ ของประพจนท์ ่ีมีตวั เชื่อมต้งั แต่ 2 ตวั เช่ือมข้ึนไปได้ คำชีแ้ จง 1. ให้ผู้เรียนทำกจิ กรรมตามสถานการณ์ที่กำหนดให้ โดยใช้เวลาในการทำกิจกรรม 20 นาที 2. สุ่มเลอื กผเู้ รียนนำเสนอหนา้ ชน้ั เรยี น จำนวน 3 คน กิจกรรม (ขอ้ ละ 3 คะแนน) จงหาคา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจนท์ ่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี โดยสร้างตารางคา่ ความจริง 1.  (p  q) → (q  p) 2. (q → r)  [(r  q) → ] 35

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 แบบฝึกทักษะ 1.4 การสรา้ งตารางค่าความจริงของประพจน์ ท่มี ีตัวเช่ือมตงั้ แต่ 2 ตัวเชือ่ มขนึ้ ไป 3. [(p  q)  r]  [p → (q → r)] 4. [(p)  (q  r)] → [(p  q) → r] 36

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 1.5.2 เม่อื ทราบค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ยทง้ั หมด ในกรณีที่ทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อยทั้งหมด จะหาค่าความจริงของรูปแบบของ ประพจน์ดว้ ยการใส่ค่าความจรงิ ตรงกับประพจนท์ ีท่ ราบค่า แล้วจึงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ท่ีได้จาก ตัวเชอ่ื ม ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้ ตวั อยา่ งที่ 12 กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ จริง และจรงิ ตามลำดบั จงหาค่าความจริงของ [(p  q)  (q)] → (r → p) วธิ ีทำ โจทยก์ ำหนดให้ p มีคา่ ความจริงเปน็ F q มีค่าความจรงิ เป็น T r มคี ่าความจริงเป็น T ใหเ้ ขยี นคา่ ความจรงิ ของ p, q และ r ให้ตรงกบั ตัว p, q และ r ดังน้ี [(pF  q)  ( q)] → (r → pF) T T T TF F F T ดงั น้ัน ประพจน์ [(p  q)  ( q)] → (r → p) มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ ตัวอยา่ งที่ 13 กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ท่มี ีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ เทจ็ และจรงิ ตามลำดับ จงหาคา่ ความจริงของ [(p  q)  r]  [(r  p) → q] วธิ ีทำ โจทยก์ ำหนดให้ p มีคา่ ความจรงิ เปน็ F q มคี ่าความจริงเปน็ F r มีคา่ ความจริงเป็น T ให้เขียนคา่ ความจริงของ p, q และ r ให้ตรงกบั ตัว p, q และ r ดังนี้ [(p  q)  r]  [(r  p) → qF] FF T T F F F F T T ดงั น้ัน ประพจน์ [(p  q)  r]  [(r  p) → q] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 37

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ตวั อย่างท่ี 14 กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ โดยท่ี p  q มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ r → q มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ จงหาค่าความจรงิ ของ (p  q)  [(r  q)] วิธีทำ เนื่องจาก p  q มีค่าความจรงิ เป็น F ซงึ่ จะหาค่าความจริงของ p, q ได้ดังน้ี pq จากแผนภาพจะได้ p มีค่าความจริงเปน็ F F q มคี า่ ความจริงเป็น F FF เนอื่ งจากประพจนท์ ี่เชอื่ มด้วยตัวเชื่อม “หรอื ” มคี ่าความจริงเป็น F ได้กรณเี ดยี ว คอื ประพจนย์ อ่ ยเป็นเท็จทง้ั คู่ และเนอ่ื งจาก r → q และ q มคี า่ ความจริงเป็น F ทง้ั คู่ ดงั น้ัน จะหาค่าความจริงของ r ไดด้ ังนี้ r→q จากแผนภาพจะได้ r มคี ่าความจริงเปน็ T F เนื่องจากประพจน์ทีเ่ ชอ่ื มดว้ ยตวั เชื่อม “ถ้า...แลว้ ...” มคี า่ ความจริงเปน็ F ได้กรณีเดยี ว คือ ประพจน์หน้าเป็น T FF ประพจนห์ ลงั เป็น F นำคา่ ความจริงของ p, q และ r ไปหาคา่ ความจรงิ ของ (p  q)  [(r  q)] ไดด้ งั น้ี (p  q)  [( (r  q)] FF TF FT F T ดังน้ัน ประพจน์ (p  q)  [(r  q)] มคี ่าความจริงเปน็ จริง 38

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 1.5.3 เมื่อทราบคา่ ความจริงของประพจนย์ อ่ ยบางประพจน์ ในกรณที ีท่ ราบค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อยบางประพจน์ กส็ ามารถหาคา่ ความจริงของ ประพจน์ได้ด้วยการใส่ค่าความจริงตรงกับประพจน์ที่ทราบค่า แล้วจึงหาค่าความจริงของประพจน์ที่ได้ จากตวั เชอื่ ม ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี ตัวอยา่ งท่ี 15 กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ซง่ึ r มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง จงหาคา่ ความจริงของ [(r)  q] → (p  q) วธิ ีทำ เนือ่ งจาก r มีค่าความจรงิ เปน็ T ซ่ึงจะหาคา่ ความจรงิ ของ [(r)  q] → (p  q) ไดด้ ังน้ี [( r)  q] → (p  q) T F F T ดงั น้ัน ประพจน์ [(r)  q] → (p  q) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ตวั อย่างท่ี 16 กำหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ซงึ่ q มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ จงหาค่าความจรงิ ของ (p → r)  (q  p) วิธที ำ เนอ่ื งจาก q มีคา่ ความจริงเป็น F ซงึ่ จะหาค่าความจรงิ ของ (p → r)  (q  p) ไดด้ ังน้ี (p → r)  (q  p) F F F ดงั นนั้ ประพจน์ (p → r)  (q  p) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ 39

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 ตัวอย่างที่ 17 กำหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ ซง่ึ q มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ จงหาค่าความจริง ของ [(p → (q)]  [(q  r) → s] วิธีทำ เนื่องจาก q มคี ่าความจรงิ เป็น F ซงึ่ จะหาค่าความจรงิ ของ [(p → (q)]  [(q  r) → s] ได้ดังน้ี [(p → ( q)]  [(q  r) → s] FF TF TT T ดังนน้ั ประพจน์ [(p → (q)]  [(q  r) → s] มีค่าความจริงเป็นจรงิ จากทกี่ ล่าวมาเป็นการหาค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ชิงประกอบหรือรปู แบบของประพจน์ เม่ือ ทราบคา่ ความจรงิ ของประพจน์ย่อยทง้ั หมดหรอื บางประพจน์ ข้อสรปุ ในกรณีที่โจทย์กำหนดค่าความจริงของรปู แบบของประพจน์มาให้ แล้วให้คา่ ความจริงของประพจน์ยอ่ ย หรือรูปแบบของประพจน์ใหม่ สามารถทำได้เม่ือ รปู แบบของประพจนท์ ี่กำหนดให้นัน้ มตี ัวเช่อื มหลักเป็น “และ” “หรือ” “ถา้ ...แล้ว...” และต้องมีคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจนน์ ั้นเป็น จริง เทจ็ และ เท็จ ตามลำดับ เท่านั้น เนื่องจากรูปแบบของประพจน์ดังกล่าว มีค่า ความจรงิ เกิดข้ึนไดก้ รณีเดยี ว ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 40

หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 ตัวอยา่ งที่ 18 กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ (p  q)  [q  r)  (r  s)] เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของ p, q, r และ s วิธีทำ เน่ืองจาก (p  q)  [q  r)  (r  s)] มีค่าความจรงิ เป็น T ซ่ึงจะหาค่าความจรงิ ของ p, q, r และ s ได้ดังน้ี (p  q)  [( q  r)  (r  s)] T TT TT T T FF FT ดังน้ัน ประพจน์ p, q, r และ s มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ จริง เทจ็ และจรงิ ตามลำดับ 41

หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 1 แบบฝึกทกั ษะ 1.5 คา่ ความจริงของประพจน์ทีม่ ีตัวเชือ่ มตั้งแต่ 2 ตัวเช่ือมขน้ึ ไป แผนกวิชา/ชน้ั /หอ้ ง....................... จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ : 1. หาค่าความจรงิ ของประพจน์ทเี่ กิดจากตวั เช่ือมตง้ั แต่ 2 ตัวเช่อื มข้ึนไปได้ 2. หาคา่ ความจริงของประพจนย์ ่อยที่มีตัวเช่ือมตง้ั แต่ 2 ตวั เช่อื มข้ึนไปได้ คำช้ีแจง 1. ใหผ้ ้เู รียนแบ่งกลุ่ม ๆ ละ 4 คน (อ่อน 1 คน ปานกลาง 2 คน เกง่ 1 คน) แล้วทำกจิ กรรมตามสถานการณ์ที่กำหนดให้ โดยใชเ้ วลาในการทำกจิ กรรม 30 นาที 2. สมุ่ เลือกตวั แทนแตล่ ะกลุม่ นำเสนอหนา้ ชน้ั เรียน สมาชกิ 1. ..................................................เลขที่.......... 3. .................................................เลขที่.......... 2. ..................................................เลขที่.......... 4. .................................................เลขที่.......... กิจกรรม 1. กำหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ท่ีมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ เท็จ จริง เท็จ และ จริง ตามลำดบั จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ (ขอ้ ละ 3 คะแนน) 1) (q  r) → (s  p) 42

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 แบบฝึกทักษะ 1.5 ค่าความจริงของประพจน์ท่มี ตี ัวเชอื่ มต้ังแต่ 2 ตัวเชอื่ มขึ้นไป 2) (q  r) → (p  t) 3) [(p  q)  (r → s)] → [(r  t)  (s → r)] 43

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.5 คา่ ความจริงของประพจน์ทีม่ ีตัวเชื่อมต้ังแต่ 2 ตัวเช่ือมขน้ึ ไป 2. จงหาค่าความจริงของประพจน์ p, q, r และ s เมอื่ ประพจน์ (p → q)  (r  s) มีคา่ ความจริง เปน็ จริง และ q  s มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ (3 คะแนน) 44

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 1.5 ค่าความจริงของประพจน์ท่มี ีตัวเช่อื มตั้งแต่ 2 ตัวเช่อื มขน้ึ ไป 3. จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ p, q, r และ s ถ้าประพจน์ [p  (q → r)] → (s  r) มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ (3 คะแนน) 45

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 แบบฝึกหัดตรวจสอบความเข้าใจที่ 1.2 1. กำหนดให้ p : นางสาวภนดิ าเป็นนกั กฬี าว่ายน้ำ q : นางสาวสุชาดาชอบตเี ทนนสิ r : นายพสุเปน็ นักกีฬาเทควันโด ประโยคสัญลกั ษณ์ ประโยคคำพูด 1) (p  q) → r 2) (p  q) → (r) 3) p → (q  r) 4) [(r)  (q)]  (p) 5) [(p)  q)]  (r) 2. จงสรา้ งตารางหาค่าความจริงของประพจนต์ อ่ ไปนี้ 1) [(p) → q]  [p  (q)] 2) (p → q)  [p  (q)] 3) [p  (q)] → [q  r] 4) [(p)  (r)]  [r →q] 5) [(r) → (p  q)]  [(q → r)  (p)] 3. กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ที่มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง เท็จ เทจ็ และจริง ตามลำดบั จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปน้ี 1) [(p  q)  (s)] → r 2) [(p  q)  (r  s)]  (p  r) 3) (p  q)  [(r)  (s → q)] 4. กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ โดยท่ี p  q มีค่าความจรงิ เป็นจริง และ r → s มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ p, q, r และ s ของรูปแบบของประพจน์ ตอ่ ไปน้ี 1) [(p  s) → (r)] → (r  q) 2) (p  q) → (s → q) 3) [(r  q)  (s → ( p))]  [p  (s  q)] 46

หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 1 แบบฝึกหัดตรวจสอบความเขา้ ใจท่ี 1.2 5. กำหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ซ่ึง q มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ จงหาค่าความจริงของประพจน์ [(p)  q] → (p  q) 6. กำหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ซึ่ง r มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ (p → r)  [q  r) 7. กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ [(p  q)]  (r → s) เปน็ เทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของ p, q, r และ s 8. กำหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ [p  (q → r)] → [r  (s)] เปน็ เทจ็ จงหาคา่ ความจริงของ p, q, r และ s 47

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 สรปุ บทเรยี น ประพจน์ (Propositions) คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่สามารถบอกได้ว่ามีค่า ความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จอยา่ งใดอยา่ งหนึ่งเพยี งอย่างเดยี ว ค่าความจรงิ (Truth Value) คอื ความถูกต้องหรือไม่ถูกตอ้ งของส่ิงที่กำลงั พิจารณา คา่ ความจริงมี 2 ชนิด คอื คา่ ความจริงทเี่ ปน็ จริง เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ T (True) ค่าความจรงิ ทเี่ ปน็ เทจ็ เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ F (False) ประพจน์เชิงประกอบ (Compound Statement) คือ ประพจน์ที่มีประพจน์อื่นเป็นส่วนประกอบ และมีค่าความจริงขึ้นอยู่กับประพจน์ที่เป็นส่วนประกอบ หรือเรียกว่า “รูปแบบของ ประพจน์” (Statement Pattern) โดยมีท้งั หมด 5 แบบ ดงั น้ี กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ รปู แบบของประพจน์ ตัวเชอื่ ม สญั ลกั ษณ์ อ่านวา่ ประพจน์ร่วม (Conjunction Statement) และ pq พแี ละคิว ประพจนเ์ ลอื ก (Disjunction Statement) หรือ pq พหี รอื ควิ ประพจนแ์ บบเง่ือนไข (Conditional Statement) ถ้า...แล้ว... p→q ถ้าพีแลว้ ควิ ประพจนเ์ งื่อนไขสองทาง กต็ ่อเมื่อ pq พีกต็ ่อเมือ่ ควิ (Biconditional Statement) นิเสธของประพจนใ์ ด คือ ประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ ตรงข้ามกับประพจนน์ ้ัน เช่น นเิ สธของประพจน์ p เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ p ตารางคา่ ความจริงของประพจน์ทีเ่ กดิ จากตัวเช่ือม เม่ือกำหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ p q pq pq p→q pq p q TT T T T TF F TF F T F FF T FT F T T TT F FF F F T TT T 48

หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 แบบทดสอบหลังเรยี น หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 16 คะแนน ประพจนแ์ ละค่าความจริงของประพจน์ คำช้ีแจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยเลือกตอบ 4 ตวั เลือก จำนวน 16 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน โดยใช้เวลาในการทำแบบทดสอบ 30 นาที 2. ใหผ้ ู้เรียนเลือกคำตอบท่ีถูกต้องทส่ี ุดเพียงคำตอบเดียว โดยทำเครือ่ งหมาย กากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบใหต้ รงกบั ข้อที่ผเู้ รียนเลือก **************************************************************** จดุ ประสงค์การเรียนรู้ท่ี 1 อธิบายลักษณะของประโยคทเี่ ป็นประพจน์ได้ 1. ประโยคที่เป็นประพจนจ์ ะต้องมีลักษณะดังข้อใด 1. ประโยคท่ีบอกค่าความจริงไมไ่ ด้ 2. ประโยคที่มคี ่าความจรงิ เป็นจริงเท่าน้นั 3. ประโยคท่ีมคี ่าความจริงเปน็ เท็จเท่านัน้ 4. ประโยคทบ่ี อกได้ว่ามีค่าความจริงเปน็ จริงหรอื เปน็ เท็จอยา่ งใดอย่างหนึง่ เทา่ น้ัน 2. ประโยคในขอ้ ใดเป็นประพจน์ 1. ในห้องน้ใี ครเล่นดนตรไี ทยได้ 2. จรงิ หรือไม่ที่ 0 เปน็ จำนวนเต็มนำ 3. ดมื่ สรุ ามากมโี อกาสเปน็ โรคตบั แขง็ 4. 3 บวกเขา้ ทงั้ ทั้งสองข้างของสมการ 2x – 5 = 3 จดุ ประสงค์การเรียนรู้ท่ี 2 เขยี นประพจน์ที่เช่อื มด้วยตัวเชอ่ื มในรูปสญั ลกั ษณไ์ ด้ จงใช้ขอ้ มูลต่อไปน้ี ตอบคำถามในข้อ 3 – 5 กำหนดให้ p:2+3=5 q : 3 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 12 r : 12 เป็นจำนวนคู่ 3. รูปแบบของประพจนใ์ นขอ้ ใดเปน็ Disjunction ของ p และ q 1. p  q 2. p  q 3. p → q 4. p  q 49

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 แบบทดสอบหลงั เรยี น หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 16 คะแนน ประพจนแ์ ละค่าความจรงิ ของประพจน์ 4. รปู แบบของประพจนใ์ นข้อใดเป็น Conjunction ของ p และ r 1. p  r 2. p  r 3. p → r 4. p  r 5. รูปแบบของประพจนใ์ นข้อใดเปน็ Conditional ของ q และ r 1. q  r 2. q  r 3. q → r 4. q  r 6. ประพจน์ “2  3 = 6 หรอื 2 + 3 = 6 เพราะ 2 เป็นตวั ประกอบเฉพาะของ 6” เขยี นใหอ้ ยู่ใน รปู สัญลกั ษณ์ไดต้ รงกบั ขอ้ ใด 1. [(2  3 = 6)  (2 + 3 = 6)]  (2 เป็นตัวประกอบของ 6) 2. [(2  3 = 6)  (2 + 3 = 6)]  (2 เป็นตวั ประกอบของ 6) 3. [(2  3 = 6)  (2 + 3 = 6)] → (2 เปน็ ตัวประกอบของ 6) 4. [(2  3 = 6)  (2 + 3 = 6)]  (2 เปน็ ตัวประกอบของ 6) จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ท่ี 3 หาค่าความจรงิ ของประพจน์ท่ีมีตวั เช่ือม 1 ตวั เชอ่ื มได้ 7. ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ ีค่าความจริงเปน็ เท็จ 1. ถา้ 5 + 9 = 14 แลว้ −12 + 3 = –9 2. ถ้า 5 + 9 = 14 และ −12 + 3 = 9 3. 2 เปน็ จำนวนเฉพาะหรอื 2 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 4 4. จงั หวัดตากอยทู่ างภาคตะวนั ออกก็ต่อเมอื่ จงั หวดั ตราดอยู่ทางภาคเหนือของประเทศไทย 8. ถา้ กำหนดให้ p มีค่าความจรงิ เปน็ จริง q มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ แล้วข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู ตอ้ ง 1. p  q มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. p  q มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ 3. p → q มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง 4. p  q มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ 50