Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

Published by rajitamarod, 2021-03-23 09:48:08

Description: จำนวนเชิงซ้อน

Search

Read the Text Version

คำนำ หนงั สืออิเลก็ ทรอนิกส์(E-book)เรือ่ งจำนวนเชิงซ้อน (Probability) เล่มท่ี1 นี้ เปน็ สว่ นหนงึ่ ของวิชำ คณิตศำสตร์ ในระดบั ชั้นมธั ยมศึกษำปที ี่5 โดยมี จดุ ประสงคเ์ พอ่ื ถ่ำยทอดควำมรแู้ ละใช้เป็นสื่อกำร เรียนกำรสอนในเรอ่ื งของจำนวนเชิงซ้อน คณะผจู้ ัดทำหวงั เปน็ อย่ำงยิ่งวำ่ หนังสอื อเิ ลก็ ทรอนิกส์ (E-book)เลม่ น้จี ะสำมำรถเปน็ เครือ่ งมอื ที่ทำให้ผู้อำ่ น หรอื ผเู้ รียนนนั้ เกิดกำรเรยี นรู้ได้อย่ำงเต็มศักยภำพ ของตนและนำควำมรู้ท่ีน้ไี ปใชใ้ นกำรเรียนไดอ้ ยำ่ ง เหมำะสม คณะผู้จัดทำ 28 กุมภำพนั ธ์ 2564

สำรบัญ หน้าท่ี 1 เทำ้ ควำมในเร่อื งของจำนวนจนิ ตภำพ 2 จำนวนเชิงซอ้ น 4 สมบตั ิกำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชงิ ซอ้ น 5 รปู ของจำนวนเชงิ ซ้อน 6 สังยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน(conjugate) 7 สมบตั ขิ องสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 8 เอกลกั ษณแ์ ละตัวผกผันกำรคณู 9 กำรหำรของจำนวนเชิงซอ้ น 11 รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น 13 กรำฟของจำนวนเชงิ ซ้อน 14 คำ่ สมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 15 จำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ข้วั 16 คลปิ วิดีโอส่อื กำรเรยี นกำรสอน 17 แบบฝึกหัด 22 เฉลยแบบฝึกหดั

เท้ำควำมในเรอ่ื งของจำนวนจินต ภำพ จำนวนจนิ ตภำพ (imaginary number) คอื จำนวนเชิงซ้อน ท่ีค่ำกำลังสองเปน็ จำนวนจรงิ ลบ หรือมคี ำ่ เป็นศูนย์ เชน่ ������2+1=0 ������2=-1 X= −1=i เมอ่ื i= −1 -������2=( −12)=-1,������3=( −12)( −1)= −1=-i และ������������ =( −12) ( −12)=(-1)(-1)=1 *หลกั กำรจำ:ถำ้ ������������โดยท่ี n หำร4ลงตวั จะได้1 ถ้ำหำร4แลว้ เหลอื เศษ1 จะได้ i ถำ้ เหลือเศษ2 จะได้ -1 และถำ้ เหลอื เศษ3 จะได้ –i*

จำนวนเชงิ ซ้อน กำรเทำ่ กนั กำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 1.)เม่อื คอู่ นั ดบั (a,b)=(c,d)กต็ อ่ เมอื่ a=c และ b=d 2.)ถ้ำคู่อนั ดบั (a,b)+(c,d)จะได้(a+c,b+d) *หลักกำรจำ:(หน้ำ+หน้ำ,หลงั +หลัง)* 3.)ถ้ำคูอ่ ันดบั (a,b)•(c,d)จะได้(ac-bd,bc+ad) *หลกั กำรจำ:(หน้ำ•หน้ำ,หลงั •หลงั อันนีล้ บกัน),(ใกล้•ใกล้ ,ไกล•ไกล อนั น้บี วกกนั )* ตัวอย่ำง1: (12,-6y)=(3x,6) จงหำคำ่ x กบั y วธิ ที ำ จำก(a,b)=(c,d)กต็ ่อเม่อื a=c และ b=d คอื (12,-6y)=(3x,6) กต็ อ่ เมือ่ 12=3xและ -6y=6 จะได้12=3x 12=x 4=x 3 และ-6y=6 y= 6 y=-1 −6 เพรำะฉะนัน้ (12,-6y)=(3x,6) มีค่ำx=4และy=-1

จำนวนเชงิ ซ้อน(ต่อ) ตัวอย่ำง2: จงหำค่ำของ (12,-6)+(3,6) วิธีทำ จำก (a,b)+(c,d)จะได้(a+c,b+d) คือ (12,-6)+(3,6) จะได้ (12+3,-6+6) = (15,0) เพรำะฉะนนั้ (12,-6)+(3,6) มคี ่ำ (15,0) ตวั อย่ำง3: จงหำค่ำของ (12,-6)•(3,6) วิธีทำ จำก (a,b)•(c,d)จะได้(ac-bd,bc+ad) คอื (12,-6)•(3,6) จะได้ [(12•3)-(-6•6) , (3•(-6))+(12•6)] เทำ่ กบั [(36)-(-36) , (-18)+(72)]= (72 , 54) เพรำะฉะนั้น (12,-6)•(3,6) มีค่ำ (72 , 54)

สมบตั กิ ำรบวกและกำรคณู ของจำนวน เชิงซ้อน • กำหนดให้มzี 1,z2และz3 สมบตั ทิ 1่ี สมบตั กิ ำรสลบั ที่(z1+z2 = z2+z1) เช่น 20+3=3+20 คอื 23=23 สมบัตทิ 2่ี สมบตั กิ ำรเปลย่ี นหมู่(z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) เชน่ (20+3)+12 = 20+(3+15) คอื 35=35 สมบตั ิท3ี่ สมบตั กิ ำรแจกแจงz1(z2+z3) =(z1•z2)+(z1• z3) เชน่ 20(3+15) = (20•3)+(20•15) คือ 360 = 360

รูปของจำนวนเชิงซ้อน มกั เขยี นอยใู่ นรปู ของคู่อันดับ z=(a,b) หรือ z=a+bi โดยจะเรียก a ว่ำเปน็ ส่วนจริงของ z แทนด้วย Re(z) และจะเรียก b วำ่ เป็นส่วนจินตภำพของ z แทนด้วย Im(z) ตัวอยำ่ ง: ถ้ำ z=(20,15) จงหำ Re(z) และ Im(z) วธิ ที ำ จำก z=(20,15) จะได้ z=20+15i z=a+bi z=20+15i จะได้ a=20 และ bi=15i เพรำะฉะน้นั Re(z)=20 และ Im(z)=15 *ข้อสงั เกตุ: (A-Bi)(A+Bi)=������������ + ������������*

สงั ยุคของจำนวนเชิงซอ้ น (conjugate) ให้ z=a+bi เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น สงั ยุคของ z คอื a-bi เขยี นแทนดว้ ย ������ ตวั อยำ่ ง: 1.)ถ้ำ z=5+7i จงหำ ������ วิธีทำ z=5+7i จะได้ ������=5-7i 2.) ถำ้ z=7i จงหำ ������ วิธที ำ z=7i จะได้ ������=-7i 3.) ถำ้ z=6-i จงหำ ������ วธิ ที ำ z=6-i จะได้ ������=6+I *หลักกำรจำ: สงั ยคุ ของ z หรอื ������ จะเป็นกำรเปลี่ยนเครอ่ื งหมำยหน้ำ i ตำมตวั อย่ำง*

สมบตั ิของสงั ยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น สมบตั ขิ องสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ นมีท้งั หมด 6 สมบตั ิ คือ สมบัตทิ 1่ี Re(z)=������(Z+������) , Im(z)= ������ (Z-������) ������ ������������ สมบัติท2ี่ ������=Z สมบัติท3ี่ (������)=(������) โดยที่ z มีคำ่ ไม่เทำ่ กบั 0 ������ ������ สมบัตทิ 4่ี ������������ + ������������=������������+������������, ������������ − ������������=������������ − ������������ สมบัติท5ี่ ������������������������=������������•������������ , (������������)=(������������) ������������ ������������ สมบัตทิ 6่ี z������=������������+������������

เอกลกั ษณแ์ ละตวั ผกผันกำรคณู ตวั ผกผันกำรคณู ของจำนวนเชงิ ซอ้ น(z)เขยี นแทนด้วย������−������ โดย ������−������สำมำรถเขียนเปน็ ������������ ������ สงั ยคุ ������������ ������������+������������ ตวั อย่ำง: ถำ้ Z =5+9i จงหำตวั ผกผันของZ วธิ ีทำ หำสังยคุ จะได้สงั ยุคเท่ำกบั 5-9i หำ������������ + ������������ โดย a=5 และ b=-9 จะได้ ������������ + (−������)������ = 25+81 =106 จำก สงั ยุค ทำกำรแทนคำ่ จะได้ 5−9i 106 ������������+������������ 5−9i 106 เพรำะฉะน้นั ตวั ผกผันของ Z =5+9i คือ

กำรหำรของจำนวนเชิงซ้อน กำรหำรของจำนวนเชงิ ซอ้ นมสี องวธิ ี คือ วธิ ที ี่1 กำหนดให้ Z=3+9i , W=6+12i จงหำ ZหำรW วธิ ีทำ ������ คอื *Z • ������ Z • ������−������������������ Z • ������−������������������ ������ ������ ������������+������������������ ������������+������������������ Z • ������−������������������ Z • ������ - ������������������ Z • ������ - ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������ ������������ *[3+9i •������������������-������������������] (������������������-−������������������ , ������������������+−������������������) ( ������ + ������������ , ������ +−������) (������������ , ������ i) ( ������ , ������ ) ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ตอบ ( ������ , ������ ) ������������ ������������ * ������ คอื ตัวผกผนั กำรคณู ของ w โดยมคี ่ำเทำ่ กับ ������−������������������ ������ ������������+������������������ *[3+9i • ������ - ������ ] เปน็ กำรใช้กฏกำรคณู จึงเกดิ ( ������ -−������ , ������ +−������)������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������

กำรหำรของจำนวนเชงิ ซอ้ น(ต่อ) วธิ ีท่ี2 *หลักกำรจำ:บนคูณล่ำงอันนบี้ วกกนั +คณู ทะแยงอันน้ีลบกัน แลว้ ด้วยคณุ เจษ โดยคณุ เจษ มีคำ่ คือ ������������ หรอื ������������ + ������������* ตวั อย่ำง: กำหนดให้ Z=3+9i , W=6+12i จงหำ ZหำรW วิธีทำ ������ = 3+9i จะได้ ������ 6+12i ������ ������ + ������ ������������ + ������ ������ − ������ ������������ ������ ������������ + ������������������ ������������ + ������������������ + ������������ − ������������ ������ ������������ + ������������������ ������������������ + ������������ ������ = ������������������ + ������������������ = ������ + ������ = ( ������ , ������ ) ������������������ ������������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ตอบ ( ������ , ������ ) ������������ ������������

รำกท่สี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น กำรหำรำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซ้อนมสี องวิธี คอื วิธีที่1 แบบดงั้ เดมิ โดยให้ a+bi เป็นรำกทสี่ องของตัวทีต่ อ้ งกำรหำ ตวั อยำ่ ง: หำรำกท่ีสองของ 0+8i วิธีทำ เมอ่ื a+bi = 0+8i จะได้ (a+bi)������= 0+8i (a+bi)������ = ������������+2abi+(������������)������ = ������������+2abi-(������)������ ใชส้ มบตั กิ ำรสลับท่จี ะได้ ������������-(������)������+2abi = 0+8i จะได้ ������������-(������)������=0 และ 2abi = 8i ทำกำรแทนคำ่ ว่ำมีคำ่ ใดทีต่ รงกบั สมกำร ถำ้ แทนa=2,b=2 จะได้ ������������-(������)������=0 และ2(2)(2)i = 8i เปน็ จรงิ แต่กำรยกกำลังสองสำมำรถเป็นไดท้ ัง้ บวกและลบ จึงต้องตอบสอง แบบ ตอบ 2+2i , -2-2i

รำกท่สี องของจำนวนเชิงซอ้ น(ต่อ) วธิ ีที่2 แบบสูตรสำเรจ็ โดยรำกทส่ี องของ a+bi =± ������+������ + ������−������ ������ ������ และรำกทส่ี องของ a-bi =± ������+������ − ������−������ ������ ������ โดยท่ีr= ������������ + ������������ ตวั อยำ่ ง:หำรำกทส่ี องของ 0+8i วธิ ีทำ r= ������������ + ������������ = ������������=8 =±( ������+������ + ������−������) ������ ������ =±( ������ + ������������)= ±(2+2i) ตอบ 2+2i , -2-2i

กรำฟของจำนวนเชงิ ซอ้ น ให้ (a,b) แทน (x,y) เช่น (2,1) 3 2 1 01 23 โดยแกน x คือ แกนจริง และแกน y คือ แกนจินตภำพ *หมำยเหตุ:เวกเตอร์ จะเริ่มจำกจุด(0,0) ถึง จดุ ทก่ี ำหนด*

ค่ำสมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน ค่ำสมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อนจะเขยี นแทนดว้ ย ������ = ������ + ������������ โดย|������| = ������������ + ������������ เพรำะฉะนั้น |������| จะมีคำ่ เทำ่ กบั r เพรำะวำ่ r= ������������ + ������������ ตวั อย่ำง: ถำ้ Z = 2+6i จงหำ |������| วิธที ำ |������| = =������������ + ������������ ������ + ������������ = ������������ หรอื 2 ������������ สมบตั ขิ องค่ำสมบรู ณ์ 1.)ค่ำสมบรู ณส์ ำมำรถกระจำยในกำรคูณและกำรหำรได้ เช่น ������������ • ������������ = ������������ ������������ , ������ = ������ โดยที่ Z ไม่เท่ำกบั 0 ������ ������ 2.) ������������ + ������������ ≤ ������������ + ������������ 3.) ������������ − ������������ ≥ ������������ − ������������ 4.) ������������ = ������ ������ 5.) ������ = ���ത��� = ���������ത��� เพรำะฉะน้นั ���ത��� ������=z���ത���

จำนวนเชิงซอ้ นในรูปเชงิ ขั้ว y r b ������ จำก z=a+bi สำมำ0รถเขยี aนเปน็ z=(a,b) x และ r= ������������ + ������������ เนอ่ื งจำกเปน็ เชิงขัว้ จึงมีเร่ืองตรโี กณมติ เิ ข้ำมำเกีย่ วขอ้ ง sin ������=ขฉา้ามก=������������ ,cos ������=ฉชาิดก=������������ ,tan ������=ขชา้ ดิ ม=������������ และb=(r)sin������,a=(r) cos������,b=(a)tan������ โดยz=a+bi สำมำรถเขยี นเป็น Z=r[cos������+(i) sin������]หรือ Z=(r)cis������ *ถ้ำอยำกเปลี่ยจำนวนเชงิ ซอ้ นให้เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ขว้ั จะต้องหำ r และ ������ ใหไ้ ด้*

จำนวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ขั้ว(ตอ่ ) ตวั อย่ำง: Z=1- ������������ วธิ ีทำ หำ r โดย r= ������������ + (− ������������)= ������ + ������= ������=2 หำ ������ โดยใช้ tan ������=������������ = − ������=− ������ ������ พจิ ำรณำว่ำ tan ������ = − ������ คือ tan ������������������หรือ������������������ ใช้ Z=r[cos������+(i) sin������] จะได้ Z=2[cos ������������ +(i) sin ������������] หรือ Z=(r)cis ������������ ������ ������ ������ *สำคญั :กำรท่ีเรำจะรู้ว่ำคำ่ ที่โจทย์ใหม้ ำน้นั อยจู่ ตภุ ำค (quadrant) ไหน โดยสำมำรถดไู ดโ้ ดยแปลงโจทย์เปน็ z=(a,b) ถำ้ ได้z=(a,b)จะ อยูใ่ นจตภุ ำคท่ี1 ถ้ำได้z=(-a,b) จะอยูใ่ นจตุภำคที่2 ถำ้ ได้z=(-a,-b) จะอย่ใู นจตภุ ำคท่ี3 และถำ้ ได้z=(a,-b) จะอยู่ในจตภุ ำคที่4*

คลิปวดิ ีโอส่ือการเรียนการสอน

แบบฝึ กหดั 1. กาหนดให้ z1=2−iz1=2−i และ z2=−3+2iz2=−3+2i จงหา 1) z1¯¯¯¯¯z1¯ 2) z1z2z1z2 3) z z1 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯z1z2¯ z +z4) 1 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z1+z2¯ 2. จงหาสมการ ������2 − 4������ + 1 − 4 = 0

แบบฝึกหดั 3.จงหาคา่ สมั บรู ณข์ องรากของสมการ ������2 1 − ������2 = 16 4.กาหนดให้ ������ เป็นจานวนเชิงซอ้ นท่ี สอดคลอ้ งกบั สมการ������4 + 1 = 0 คา่ ของ ������ + 1 2 2 เทา่ กบั เทา่ ใด 5.������2 + 3������ + 6 = 0

เฉลยแบบฝึ กหดั 1.กาหนดให���้ ���1 = 2 − I และ ������2 = −3 + 2i จงหา 1)���ഥ���1 วธิ ีทา เน่ืองจาก ������1 = 2 − i ���ഥ���1 = 2 + i 2)������1������2 วธิ ีทา ������1������2 = 2 − i −3 + 2i = 2 −3 + 2i −i =−6 − 2i2 + 3i + 4i −3 + 2 2i =−6 + 2 + 7i =−4 + 7i 3.������1������2 วธิ ีทา .������1������2 = 2 − i −3 + 2i = 2 − i −3 + 2i = 2 + i −3 + 2i = 2 −3 + i 2i + i −3 + 2 2i =−6 + 2i2 − 3i + 4i =−8 + i 4.������1 + ������2 วธิ ีทา ������1 + ������2 = ������1ҧ + ���ഥ���2 = 2 − i + −3 + 2i = 2 + i + −3 − 2i = 2 + 3 + i − 2i = −1 − i

เฉลยแบบฝึ กหดั 2. จงหาสมการ ������2 − 4������ + 1 − 4 = 0 วิธีทา จะไดว้ า่ ������ = 4± −4 2−4 1 1−4ⅈ 21 = 4± 16−4+1������ⅈ −2 = 4± 12+16ⅈ 2 4± 4+2������ = 2 = 4+4+2ⅈ หรอื 4−4−2ⅈ = 2 ห2รอื ⋯ = 4 + i −i ������ พิจารณา 12 + 16i ได้ ������ = 122 + 162 = 20 12 + 16i = ± 20 + 12 20 − 12 2+ 2i ± 16 + 4i ± 4 + 2i

เฉลยแบบฝึ กหดั 3.จงหาคา่ สมั บรู ณข์ องรากของสมการ ������2 1 − ������2 = 16 ������4 − ������2 + 1������ = 0 ������2 = 1± 63ⅈ 2 ������ 2 = 1± 63ⅈ 2 ������ 2 = 1 2 63 2 2 2 + ������ 2 = 4 ⋯ ������ = 2

เฉลยแบบฝึ กหดั 4.กาหนดให้ ������ เป็นจานวนเชิงซอ้ นทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ������4 + 1 = 0 คา่ ของ ������ + 1 2 2 เทา่ กบั เทา่ ใด วิธีทา จาก ������4 + 1 = 0 สมบตั ิที่ใชใ้ นขอ้ นคี้ ือ ������������ = ������ ������ และ ������ + 1 2 = z2+1 2 ������ ������ ������2+1 2 = ������2 = ������4+2������2+1 ������2 ������4+1+2z2 = ������2 = 0+2z2 ������2 =2 =2

เฉลยแบบฝึ กหดั 5. 5.������2 + 3������ + 6 = 0 ������ = −������± ������2−4������������ 2������ −3± 32−4 1 16ⅈ 21 −3± −15 2 ������ = −3± 15 i 2


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook