Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore ฟิสิกส์เล่ม 1 บทที่4

ฟิสิกส์เล่ม 1 บทที่4

Published by suchanya.pun, 2021-09-01 08:40:07

Description: นางสาวโสภิตา ศรีจันทร์ 61102010505

Search

Read the Text Version

หนังสือเรียน รายวิชาเพิ่มเติม ฟิสิกส์ เล่ม ๑ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๔-๖ กลุ่มสาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์ เรื่อง การเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยความเร็วคงตัว และ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

4.2 การเคล่อื นท่แี บบวงกลมด้วยอตั ราเรว็ คงตัว การเคลอื่ นที่หลายอย่างรอบตัวเรา เชน่ รถยนต์หรือรถจักรยานยนตก์ ำลงั เลีย้ วโคง้ หรือ ดาวเทยี ม โคจรรอบโลก เปน็ การเคลอ่ื นท่ที ่มี ีแนวการเคลอ่ื นที่เปน็ วงกลมหรือสว่ นของวงกลม เรยี กการเคลื่อนท่นี ้วี า่ การ เคล่อื นท่แี บบวงกลม (circular motion) เพื่อความเขา้ ใจการเคล่ือนท่ีแบบวงกลม เราจะเริม่ ศึกษาการเคลอื่ นท่ีแบบวงกลมที่มีอัตราเร็วคงตวั ซ่งึ เรยี กว่า การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมสมำ่ เสมอ (uniform circular motion) น่ันคอื การเคล่อื นที่ทมี่ ีขนาดของ ความเร็วเท่าเดิม สมำ่ เสมอ แตท่ ศิ ทางเปลี่ยนไปทลี ะน้อย รูป 4.13 การแกว่งวตั ถใุ หเ้ คล่ือนที่ในแนววงกลมในระนาบระดบั ถ้าแกวง่ วตั ถุทผ่ี กู กับปลายเชอื กใหเ้ คล่ือนทีแ่ บบวงกลมในระนาบระดบั ดังรูป 4.13 ในการแกว่งท่ีรศั มี ค่าหน่ึง เราจะรู้สึกวา่ มือจะต้องใช้แรงดงึ วัตถุมากข้ึนเมื่อแกวง่ ใหเ้ ร็วขน้ึ (เวลาครบรอบสัน้ ลง) แสดงวา่ การทำให้ วตั ถุเคลอื่ นทเี่ ป็นวงกลมจะตอ้ งใชแ้ รงดงึ แสดงวา่ การเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลมหรอื การเคลื่อนทเี่ ป็นแนวโคง้ ของ วัตถตุ อ้ งใช้แรง เช่นเดียวกนั การใชอ้ ุปกรณ์สาธติ ทด่ี ดี ลูกกลมโลหะให้เคล่อื นท่ีไปตามรางโค้งวงกลม ดังรูป 4.14 ก จะสงั เกตได้วา่ เมื่อสุดรางโคง้ ลกู กลมโลหะจะวง่ิ ตรงต่อไป แสดงว่า วัตถวุ ง่ิ โคง้ ไดเ้ นือ่ งจากมรี างบงั คบั และจะต้องมีแรงจากรางกระทำต่อวตั ถุอย่ตู ลอดเวลา แรงดงั กลา่ วเป็นแรงกระทำจากผวิ ด้านในของรางซึง่ เกดิ ข้นึ เน่ืองจากลูกกลมโลหะเคล่ือนที่สัมผสั กับราง ณ ตำแหน่งตา่ ง ๆ ในทศิ ทางต้ังฉากกบั ราง จงึ มที ิศทางเขา้ หาศูนย์กลางของการเคล่ือนที่ ดังรปู 4.14 ข O ก. ลูกกลมโลหะเคลอื่ นทีไ่ ปตาม ข. แรงท่ีกระทำตอ่ ลูกกลมโลหะ รางโค้งวงกลม ขณะเคลื่อนทีใ่ นแนววงกลม รปู 4.14 อุปกรณ์สาธิตการเคลอ่ื นทีแ่ บบวงกลม

แรงทก่ี ระทำต่อวัตถซุ ่ึงเคลือ่ นทใี่ นแนววงกลม และมีทิศทางเขา้ หาศนู ย์กลางของแนววงกลมเรียกว่า แรงส่ศู ูนยก์ ลาง (centripetal force) ขณะลูกกลมโลหะหลดุ จากรางจะไมม่ ีแรงสูศ่ นู ย์กลางกระทำตอ่ ลูกกลม ลกู กลมจะเคลือ่ นท่ีไปตามทิศทางของความเรว็ ซงึ่ อยู่ในแนวสัมผัสวงกลมตรงตำแหนง่ ทีล่ กู กลมโลหะหลุดจาก ราง ซ่ึงเปน็ ไปตามกฎการเคล่ือนทข่ี ้อที่หนึ่งของนวิ ตนั การเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลมจะมีลักษณะเฉพาะ คือ การเคลอ่ื นท่ีแบบเลื่อนตำแหนง่ ท่ีมีแนวการเคลื่อนท่ี เป็นรูปวงกลม ช่วงเวลาท่ีวตั ถุใช้ในการเคลื่อนทค่ี รบ 1 รอบ เรยี กวา่ คาบ (period) ใชส้ ัญลกั ษณ์ T แทนคาบ หน่วยของคาบ คือวนิ าที และจำนวนรอบที่วัตถุเคล่ือนท่ใี น 1 หน่วยเวลา เรียกวา่ ความถ่ี (frequency) ใช้ สญั ลกั ษณ์ ������ มหี นว่ ย คือ รอบตอ่ วินาที หรอื เฮิรตซ์ ดงั นน้ั ความสัมพันธร์ ะหวา่ งความถี่และคาบจึงเปน็ 1 (4.12) ������ = ������ พจิ ารณาวตั ถุซึ่งกำลงั เคลอื่ นที่แบบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอัตราเร็วคงตวั ������ และรัศมขี องแนว วงกลมที่เคล่ือนที่ ������ ดังรปู 4.15 รปู 4.15 วัตถเุ คลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอัตราเรว็ คงตัว จะเห็นไดว้ า่ ระยะทางทว่ี ตั ถเุ คล่อื นทเ่ี มอ่ื ครบ 1 รอบ คือ ความยาวของเส้นรอบวง และในช่วงเวลาท่ี ใช้ในการเคลื่อนที่ 1 รอบคือ T วัตถุ เคลอื่ นท่ไี ด้ระยะทาง 2������������ ดงั นั้นอัตราเร็ว 2������������ (4.13) ������ = ������ จากสถานการณก์ ารแกว่งวัตถุใหเ้ คล่อื นที่แบบวงกลมในระนาบระดับ แรงที่ใชด้ ึงวตั ถใุ นทศิ ทางเข้าสู่ ศูนยก์ ลางของวงกลมซ่งึ เรยี กว่า แรงสูศ่ ูนย์กลาง มสี ญั ลกั ษณ์ ���⃑��������� 4.2.1 ความเรง่ สูศ่ นู ยก์ ลาง เราทราบแล้วว่า วตั ถุซึ่งเคลื่อนท่ีแบบวงกลม ทศิ ทางการเคล่ือนทจี่ ะเปลีย่ นตลอดเวลา แสดงวา่ มีแรง กระทำต่อวัตถุ จากกฎการเคลอื่ นท่ขี ้อท่สี องของนิวตนั จะพบวา่ วัตถุมคี วามเรง่ เกดิ ขน้ึ ด้วย

การหาทิศทางของความเร่ง ก. การเปลยี่ นความเรว็ ของวัตถทุ ่ีเคลื่อนทแ่ี บบวงกลม ข. ความเรว็ ทีเ่ ปลีย่ นไป ∆ ���⃑��� = ���⃑��������� − ���⃑��������� รปู ท่ี 4.18 ความเรว็ ของวตั ถุทเ่ี คล่ือนทแ่ี บบวงกลม พจิ ารณารปู 4.18 ก วตั ถเุ คลื่อนทไ่ี ปตามแนวโคง้ ของวงกลมรศั มี ������ ด้วยอัตราเร็วคงตวั ������ ความเร็วของ วตั ถุ ณ ตำแหนง่ ตา่ ง ๆ บนแนวโค้งจะมที ิศทางตามแนวเส้นสมั ผัสกบั ส่วนโคง้ ณ ตำแหน่งนน้ั เชน่ ���⃑��������� และ ���⃑��������� จะแทนความเรว็ ของวตั ถุ ณ จุด A และ B ดงั รูป 4.18 ก ดงั นน้ั ความเร็วที่เปล่ียนไประหวา่ งการเคลอ่ื นทจี่ าก จุด A ไปยัง B คือ ∆ ���⃑��� = ���⃑��������� − ���⃑��������� ดงั รปู 4.18 ข ถา้ วัตถเุ คล่ือนท่ีจาก A ไป B ใชเ้ วลานอ้ ยมาก ๆ และ ������ มคี า่ นอ้ ย ∆ ���⃑��� จะต้งั ฉากกับทศิ ทางของ ���⃑��� และ มที ศิ ทางสศู่ ูนย์กลางของวงกลม จากความหมายของความเรง่ ���⃑��� = ∆���⃑⃑��� แสดงวา่ ความเรง่ ���⃑��� มที ศิ ทางเดยี วกับความเรว็ ที่เปล่ยี นไป ∆������ ∆ ���⃑��� เม่ือ ∆ ���⃑��� มีทิศทางสู่ศูนย์กลางของวงกลม ดงั น้นั ความเร่งของวัตถุ ณ ตำแหน่งใด ๆ บนส่วนโคง้ รูปวงกลม จะมที ิศทางเขา้ สูศ่ นู ย์กลางของวงกลม เรียกความเรง่ นวี้ ่า ความเร่งสศู่ ูนยก์ ลาง (centripetal acceleration) ������������ ดังรปู 4.19 รูปท่ี 4.19 ความเร่งสู่ศนู ยก์ ลาง

การหาขนาดของความเร่ง จากรูป 4.18 ก จะเห็นว่า OA ตงั้ ฉากกับ ���⃑��������� และ OB ตง้ั ฉากกบั ���⃑��������� มุมเปน็ มมุ ระหวา่ ง OA และ OB และเปน็ มมุ ระหว่าง ���⃑��������� และ ���⃑��������� ดว้ ย เมื่อนำเวกเตอร์ ���⃑��������� ���⃑���������และ ∆ ���⃑��� มาตอ่ กนั เป็นรูปสามเหลีย่ มจะไดร้ ปู สามเหลีย่ มคล้ายกับรูปสามเหล่ยี ม OAB ดงั นน้ั จากสมบัตขิ องสามเหล่ียมค้ายจะได้ ������������ = ������������ = ∆������ (ก) ������������ ������������ ������������ เนอื่ งจากวัตถเุ คล่ือนทีด่ ว้ ยอัตราเรว็ คงตัว ดงั นนั้ ขนาดความเร็วขณะหนง่ึ ของวตั ถุจะมคี ่าเท่ากับ อัตราเร็วนี้ จะได้ ������������ = ������������ = ������ (ข) ถา้ วตั ถุเคลื่อนทจ่ี ากจุด A ไปยัง B ใช้เวลา ∆������ ซ่ึงมคี า่ น้อย ๆ ดังน้ันจดุ A และ B จะอยู่ใกล้กันมาก เรา อาจถือไดว้ ่า ความยาวของเส้นตรง AB เทา่ กับความยาวของส่วนโคง้ AB ซ่ึงมีคา่ เท่ากับ ������∆������ จาก (ก) และ (ข) จะได้ ������ ∆������ ������������ = ������������ ������ ∆������ ������ = ������∆������ หรอื ∆������ = ������2 ∆������ ������ น่นั คอื ������ = ������2 ������ ให้ ������������ เป็นความเรง่ ส่ศู ูนยก์ ลางของวัตถุซงึ่ เคล่ือนทีแ่ บบวงกลม ดงั นนั้ จะได้ ������������ = ������2 (4.14) ������ จากกฎการเคล่ือนท่ีขอ้ ที่สองของนิวตนั เราทราบว่า แรงมีทศิ ทางเดียวกับความเรง่ ดังน้ันวัตถุซ่ึง เคล่ือนทแี่ บบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอตั ราเร็วคงตัว จะมแี รงสู่ศนู ย์กลางในทิศทางเข้าหาศูนย์กลางของ วงกลม จาก ������ = ������������ เม่อื ให้ ������������ เป็นแรงสู่ศูนย์กลางท่ีกระทำกับวตั ถมุ วล ������ ทำใหว้ ตั ถเุ คลื่อนทแี่ บบวงกลม ด้วยความเร่งจะไดว้ ่า ������������2 (4.15) ������������ = ������������������ = ������

ตวั อยา่ งที่ 1 ผกู วตั ถมุ วล 100 กรมั ไวท้ ี่ปลายหนึ่งของเชือก แกว่งใหว้ ัตถุเคลื่อนทแี่ บบวงกลมใน ระนาบระดับดว้ ยอัตราเร็วสม่ำเสมอ และรัศมี 0.500 เมตร ถ้าวัตถเุ คล่ือนท่ีครบ 2 รอบใชเ้ วลา 1.0 วนิ าที จง หาความเร่งสู่ศนู ย์กลาง รปู ประกอบตวั อยา่ งที่1 ความเรง่ สูศ่ ูนยก์ ลางของวตั ถุ วธิ ที ำ หาอัตราเรว็ ของวตั ถุ จากสมการ ������ = 2������������ ������ ในทนี่ ้ี ������ = 0.500 ������ และ ������ = 1 ������ = 0.5 ������ 2 แทนคา่ จะได้ ������ = 2(3.14)(0.500 ������) = 6.28 ������/������ 0.5 ������ หาความเร่งสู่ศูนย์กลาง จากสมการ ������������ = ������2 ������ ในทีน่ ี้ ������ = 0.500 ������ และ ������ = 6.28 ������/������ แทนค่าจะได้ ������������ = (6.28 ������/������)2 = 78.9 ������/������2 0.500 ������ ตอบ ความเรง่ สู่ศนู ย์กลางเทา่ กับ 78.9 เมตรต่อวินาที2 4.2.2 การเคลอ่ื นท่ีบนทางโคง้ เราทราบแลว้ วา่ การทีว่ ัตถุเคล่อื นที่ตามแนวโค้งของวงกลมได้ จะต้องมแี รงสู่ศูนยก์ ลางกระทำต่อวัตถุ นั้น เชน่ การแกว่งจกุ ยางซ่งึ ผูกตดิ กับปลายเชือกใหเ้ คล่ือนทีแ่ บบวงกลม จะมีแรงดึงในเส้นเชอื กเป็นแรงสู่ ศูนยก์ ลาง สำหรับรถยนต์และรถจักรยานยนต์ซึ่งแล่นบนถนนราบตรง จะมีแรงเสยี ดทานระหวา่ งยางล้อกับพนื้ ถนนในทิศทางเดียวกับการเคล่ือนท่ี ซง่ึ ชว่ ยให้รถยนตเ์ คลอ่ื นท่ีไปข้างหน้า แต่ขณะรถกำลงั เล้ยี วโค้งนน้ั นอกจากจะมีแรงเสยี ดทานในแนวเดียวกับการเคลื่อนที่แลว้ ยงั มีแรงเสยี ดทานระหวา่ งยางรถกบั พน้ื ถนนท่ีมี ทศิ ทางพงุ่ เขา้ ส่ศู ูนย์กลางของทางโค้ง แรงน้ีกค็ ือแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถในแนวต้ังฉากกบั การเคล่อื นที่ และแรงส่ศู ูนย์กลางนีต้ ้องมีขนาดเพียงพอท่จี ะทำให้รถไม่ไถลออกนอกทางโค้ง

รูปที่ 4.20 แรงเสยี ดทานระหวา่ งยางกบั ถนนทางด้านข้าง ทำหน้าทเี่ ปน็ แรงสศู่ ูนย์กลางของรถยนตท์ ี่กำลงั เลยี้ วโค้ง ตวั อยา่ งที่ 2 รถยนต์มวล 1550 กโิ ลกรมั แลน่ เลย้ี วโค้งบนถนนระดบั ซงึ่ มีรศั มคี วามโคง้ 50 เมตร ด้วยอัตราเรว็ 36 กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง จงหาแรงเสียดทานระหวา่ งพ้นื ถนนกับยางรถท่มี คี า่ น้อยท่สี ุดท่ีทำให้ รถยนต์สามารถเลีย้ วโค้งไดอ้ ย่างปลอดภัย รูปประกอบตวั อย่างท่ี2 แรงทก่ี ระทำตอ่ รถยนต์ แรงเสยี ดทานระหวา่ งพ้นื ถนนกบั ยางรถท่ีมคี ่าน้อยที่สุดท่ที ำใหร้ ถยนตส์ ามารถเลย้ี วโค้ง ก็คือแรงสู่ ศูนยก์ ลาง ซ่ึงหาได้จากสมการ ������ = ������������ = ������������2 ������ วธิ ที ำ ในท่นี ้ี ,v = 36 km/h = 36 km = 36 ×1000 m = 10 m/s m = 1550 kg 1 h 3600 s และ r = 50 m แทนคา่ ������������ = (1550 kg)(10 m/s)2 จะได้ 50 m ������ = 3100 ������ ตอบ แรงเสียดทานระหว่างพน้ื ถนนกบั ยางรถทม่ี ีคา่ น้อยที่สดุ ท่ที ำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวโค้งได้ อย่างปลอดภยั เท่ากบั 3100 นวิ ตัน

การเลยี้ วโค้งบนถนนราบของรถจกั รยานยนตห์ รอื รถจักรยาน ขณะทร่ี ถจักรยานยนตห์ รือรถจกั รยานแล่นในแนวตรงบนถนนราบ ถา้ พิจารณาแรงทงั้ หมดทก่ี ระทำ กบั รถและคน นอกจากแรงเสียดทานที่กระทำท่ีลอ้ รถ ทำใหร้ ถเคลอื่ นที่ไปข้างหนา้ ได้ ยงั มีน้ำหนกั ของรถและ คน ���������⃑��� และแรงทีพ่ ้นื ดันรถและคนในทศิ ทางตง้ั ฉาก ���⃑���⃑ รถและคนจะต้องตั้งตรงแนวของ ���������⃑��� และ ���⃑���⃑ จงึ จะ ผ่านศูนยก์ ลางมวลรวมของรถและคนและอยู่ในแนวดิ่ง ทำใหไ้ ม่มโี มเมนต์ของแรงทีจ่ ะทำใหร้ ถล้ม รถจึงไมล่ ้ม ดังรูป 4.21 ก ก. แรงที่กระทำตอ่ ข. แรงท่ีกระทำตอ่ รถจกั รยานท่ี ค. แรงท่กี ระทำต่อรถจกั รยานท่ี รถจกั รยานทีแ่ ล่นตรง แลน่ โคง้ และเอยี ง ทำให้รถไม่ล้ม แลน่ โค้งและไม่เอียง ทำใหร้ ถล้ม รูปท่ี 4.21 แรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ เม่ือรถจักรยานยนตห์ รอื รถจกั รยานเล้ียวโคง้ จะตอ้ งมีแรงกระทำต่อรถเพิม่ อีก 1 แรง คือ แรงเสยี ด ทาน ���⃑��� ทพ่ี ้ืนถนนกระทำกบั ด้านขา้ งของลอ้ รถในทิศทางเขา้ หาศูนย์กลางของความโค้ง รถจำเปน็ ต้องเอียงตวั เพ่อื ให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงท่ีศนู ยก์ ลางมวล ดังรูป 4.21 ข ถ้าคนและรถไม่เอยี งตัว แรงลัพธ์ ���⃑⃑��� ของ ���⃑��� และ ���⃑⃑��� จะไมผ่ ่านศูนยก์ ลางมวล ดังรูป 4.21 ค ทำให้มีโมเมนต์ของแรง (คิดรอบศนู ย์กลางมวล) ทีเ่ ป็นเหตุให้รถลม้ ได้ การเล้ยี วโค้งบนถนนเอยี ง เพอ่ื ใหก้ ารเลยี้ วโคง้ ดว้ ยความเรว็ ที่สงู ข้ึนและปลอดภยั ขน้ึ พืน้ ถนนจะถูกสรา้ งใหเ้ อยี งตัวโดยยกขอบ ถนนด้านนอกสูงกวา่ ขอบด้านใน เมอ่ื รถแล่นเล้ียวโคง้ บนพ้ืนถนนทเ่ี อยี งด้วยขนาดของความเรว็ ท่ีพอดี ตามที่ วศิ วกรออกแบบไว้ ไมว่ า่ จะเปน็ รถยนตห์ รือว่าจักรยานยนต์ แรงทผี่ วิ ถนนกระทำต่อรถ ���⃑⃑��� จะอยู่ในทิศทางตั้ง ฉากกับพนื้ เอยี งในการเลีย้ วโค้งบนทางโคง้ ในกรณนี ผ้ี ลของการเอียงของผิวถนนมีมากกว่าแรงเสียดทาน เมื่อไม่ คดิ แรงเสียดทาน ���⃑��� ทีพ่ ้นื ถนนกระทำตอ่ ดา้ นขา้ งของล้อรถ องคป์ ระกอบของแรงตงั้ ฉากกับถนน ���⃑⃑��� ในทศิ ทาง ขนานกับพ้นื ระดับจะทำให้เกิดแรงสู่ศูนยก์ ลาง ⃑���⃑⃑���⃑���⃑��� ดังรูป 4.22 องค์ประกอบของแรง ���⃑⃑��� ในแนวระดับ คือ ������ sin ������ เมอ่ื ยกขอบถนนให้เอยี งทำมุม ������ กับแนวระดบั และวงิ่ ด้วยอตั ราเรว็ พอดี จากรูป 4.22 ขนาดแรงสู่ ศูนย์กลาง คือ ������ sin ������

รูปที่ 4.22 แรงท่ีกระทำตอ่ รถขณะทกี่ ำลงั แล่นเลยี้ วโค้งบนถนนเอียงทำมมุ ������ กับพ้นื ระดับ จาก ������������ = ������������2 ดังนน้ั ������ และ ������ sin ������ = ������������2 ������ ������ cos ������ = ������������ ดังน้นั ������ sin ������ = ������������2 ������ cos ������ ������������������ หรือ tan ������ = ������2 (4.16) ������������ จากสมการ (4.16) จะเหน็ ว่าการสร้างถนนช่วงทางโค้งให้เอยี งทำมุมกบั แนวระดับต้องคำนึงถงึ อัตราเรว็ ของรถขณะเลย้ี วและรัศมีของทางโค้งเพื่อใหเ้ กิดความปลอดภยั ในการขับรถ ตวั อยา่ งท่ี 3 ทางของบนถนนสายหนง่ึ ถกู ออกแบบใหม้ ีรัศมคี วามกวา้ ง 160 เมตร และพน้ื ถนน เอียงทำมมุ 10.5 องศา กบั แนวระดบั ปา้ ยบอกอตั ราเร็วสงู สุดของรถยนต์ที่อยูข่ ้างถนนก่อนถึงทางโค้งนั้น ควร มีค่าเทา่ ใด รถจึงเล้ียวโคง้ อย่างปลอดภัย เมื่อไม่คิดแรงเสียดทานระหวา่ งพ้ืนถนนกับยางรถ แนวคิด อตั ราเรว็ สงู สุดของรถยนต์ขณะเลย้ี วโคง้ บนพนื้ ถนนยังขึ้นอย่กู บั รศั มีความโคง้ และมุมทพ่ี นื้ ถนนเลี้ยงทำมุมกบั แนวระดบั ซง่ึ หาได้จากสมการ tan ������ = ������2 หรือ ������2 = ������g tan θ ������������ วิธีทำ จากสมการ ������2 = ������g tan θ ในทีน่ ี้ รศั มที างโค้งของถนน ������ = 160 m พนื้ ถนนเอียงทำมมุ ������ = 10.5° g = 9.8 m/s2 แทนค่า ������2 = (160 m)(9.8 m/s2)(tan 10.5°) ������ = 17.03 m/s = 61.3 km/h ตอบ อตั ราเร็วสูงสดุ ของรถยนต์ท่ีควรระบุไวบ้ นปา้ ยเทา่ กบั 60 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง

4.2.3 อัตราเรว็ เชิงมุม การศกึ ษาการเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมท่ผี า่ นมา เราพิจารณาอัตราเรว็ ของวัตถตุ ามแนวเส้นรอบวงโดยคดิ จากระยะทางทวี่ ตั ถุเคลื่อนที่ 1 หนว่ ยเวลา อัตราเรว็ ของวัตถซุ ึง่ คิดตามวธิ ีดังกลา่ วนี้เรยี กว่า อัตราเรว็ เชิงเส้น (linear speed) รูปท่ี 4.23 จดุ A และ B ลอ้ ซึง่ กำลังหมุนจะมอี ตั ราเร็วเชงิ เสน้ ไมเ่ ทา่ กัน ถา้ พิจารณาการเคล่อื นท่ีของจุด A และจุด B ในรูป 4.23 จะเห็นวา่ จุด A อยู่ใกลศ้ นู ย์กลาง O มากกว่า จุด B เมอ่ื เวลาผา่ นไป จุด A ย้ายไปอยู่ท่ี A′ และจดุ B ยา้ ยไปอยู่ที่ B′ ระยะทางทจี่ ุด B เคลื่อนทไ่ี ด้ในเวลา ������ มากกว่าระยะทางท่ี A เคล่ือนทไี่ ด้ อตั ราเรว็ เชิงเสน้ ของจุด B จึงมากกว่าอัตราเรว็ เชิงเส้นของจุด A แตม่ มุ และ หน้าที่รศั มี OA และ OB กวาดไปมคี ่าเทา่ กัน ดงั นั้น มุมระนาบทีร่ ัศมีกวาดไปได้ใน 1 หน่วยเวลาจึงเท่ากันดว้ ย มุมที่รศั มกี วาดไดต้ ่อเวลา เรยี กวา่ อัตราเร็วเชงิ มุม (angular speed) ใช้สญั ลกั ษณ์ ������ อ่านวา่ (โอเมกา) มมุ ท่ีรศั มขี องการเคล่ือนท่ีกวาดไปได้น้ัน นอกจากจะมีหน่วยองศา (degree) แล้ว ยงั มหี นว่ ยเรเดียน (radian) โดยกำหนดให้ 1 เรเดียน คือ มุมระนาบทศ่ี ูนย์กลางของวงกลมท่ถี ูกรองรบั ด้วยสว่ น โค้งของวงกลมที่มีความยาวเทา่ กับรศั มี รปู ท่ี 4.24 การหามุมในหน่วยเรเดยี น มุมระนาบท่ศี ูนย์กลางของวงกลม ในหน่วยเรเดยี น หาไดจ้ าก ������ (4.17) ������ = ������ เมื่อ ������ คอื ความยาวของส่วนโค้งท่ีรองรบั มุม ������ มีหน่วย เมตร ������ คือ รัศมีของสว่ นโคง้ มีหน่วย เมตร ������ คอื มุมท่ีศูนยก์ ลาง มหี นว่ ย เรเดยี น

ถ้าวัตถเุ คล่ือนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วเชงิ มุมคงตวั โดยมุมท่ีรัศมีของการเคลือ่ นท่ีกวาดไปเป็น ������ มี หนว่ ย เรเดยี น ในเวลา ������ อัตราเร็วเชิงมมุ ของวตั ถุ จะเป็น ������ = ������ (4.18) ������ และหน่วยของอัตราเรว็ เชงิ มุม ������ จะเปน็ เรเดยี นต่อวินาที (rad/s) เมอื่ วตั ถุเคลอ่ื นท่ีในแนววงกลมด้วยอตั ราเร็วสมำ่ เสมอจนครบ 1 รอบ โดยมีคาบเปน็ T แสดงว่ารัศมี การเคลือ่ นท่ีของวัตถนุ ั้นกวาดไปเป็นมุม 2������ ในเวลา T ดงั นัน้ วตั ถุจะมีอัตราเรว็ เชงิ มุม ������ = 2������ (4.19) ������ การทว่ี ัตถุเคลอ่ื นท่ีไดค้ รบ 1 รอบนั้น วัตถุจะเคลือ่ นท่ีได้ระยะทางเท่ากับความยาวของเส้นรอบวงซึ่ง เทา่ กับ 2������������ ในเวลา T ดังนั้น วตั ถมุ อี ัตราเรว็ เชิงเสน้ ������ = 2������������ (4.20) หรอื ������ ������ = ������������ จากสมการ (4.14) ขนาดของความเร่งสู่ศนู ยก์ ลาง ������������ = ������2 (4.14) ������ ดงั น้ันเมือ่ เขียนใหม่ในรปู ของอตั ราเร็วเชิงมุมจะได้ ������������ = ������2������ (4.21) และขนาดของแรงสูศ่ ูนย์กลาง ������������ = ������������2������ (4.22) การอธบิ ายการเคลอ่ื นที่ในแนววงกลมของวัตถใุ นรปู ของอัตราเร็วเชิงมมุ สามารถนำไปใช้ประโยชนไ์ ด้ เช่น ดาวเทียมสอ่ื สารทโี่ คจรอยรู่ อบโลกน้นั เพือ่ ความสะดวกในการติดต่อสื่อสาร เราจึงทำใหด้ าวเทียมโคจรไป รอบโลกพร้อม ๆ กบั ทโ่ี ลกหมุนรอบตวั เอง โดยตำแหนง่ ของดาวเทียมเมื่อเทยี บกับตำแหนง่ พ้ืนโลกจะอยูท่ เี่ ดิม ตลอดเวลา ซงึ่ ในกรณเี ชน่ นี้ อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทยี มจะต้องเท่ากับอตั ราเร็วเชงิ มุมของตำแหน่งบนผิวโลก หลกั การน้ใี ชใ้ นการกำหนดความสูงของดาวเทียมจากพ้ืนดิน และอัตราเร็วเชิงเสน้ ของดาวเทยี มได้ รูปท่ี 4.25 ดาวเทยี มสือ่ สารที่โคจรอยเู่ หนือตำแหน่งเดิมบนพ้ืนโลกจะมี อตั ราเรว็ เชิงมมุ เท่ากบั อัตราเรว็ เชงิ มมุ ของตำแหนง่ บนผวิ โลก

ตวั อยา่ งท่ี 4 จากการหมุนรอบตัวเองของโลกรอบละ 24 ชั่วโมง และรัศมโี ลกเทา่ กบั 6.37 × 106 เมตร จงคำนวณหา ก. อัตราเรว็ เชิงมุมของวตั ถบุ นพืน้ ผิวโลก ข. อตั ราเร็วเชงิ เสน้ ของวัตถทุ ่ีอย่บู นเส้นศนู ยส์ ูตรของโลก ค. ขนาดของความเรง่ สู่ศนู ยก์ ลางของวตั ถุท่ีอยูบ่ นเสน้ ศูนย์สูตรของโลก แนวคิด เมือ่ โลกหมนุ รอบตวั เอง วัตถุตา่ ง ๆ ทีอ่ ยบู่ นผวิ โลกจะเคลื่อนท่ีแบบวงกลม และมีคาบ เท่ากับ คาบการหมุนรอบตัวเองของโลก 1 รอบคือ 24 ช่วั โมง หรอื 24×60×60 วินาที วธิ ที ำ ก. อัตราเร็วเชิงมมุ ของวตั ถบุ นพื้นผิวโลก หาไดจ้ ากสมการ ������ = ������ ������ เมอ่ื โลกหมนุ ไป 1 รอบ รศั มีของการเคล่ือนท่ีจะกวาดได้มุม 2������ เรเดียน ดงั นน้ั ������ = 2������ rad 24×60×60 s ������ = 2 (3.14) rad 24×60×60 s ������ = 7.27 × 10−5 rad/s ตอบ อัตราเร็วเชิงมุมของวตั ถบุ นพ้ืนผวิ โลกเทา่ กับ 7.27 × 10−5 เรเดียนต่อวินาที ข. อตั ราเรว็ เชิงเสน้ ของวตั ถุที่อยบู่ นเสน้ ศูนยส์ ตู รของโลก หาไดจ้ ากสมการ ������ = ������������ เน่ืองจากรัศมีการเคลื่อนทขี่ องวัตถุบรเิ วณศูนย์สตู รมีความยาวเท่ากับรัศมโี ลก คอื 6.37 × 106 m ดังนนั้ ������ = (7.27 × 10−5 ������−1)(6.37 × 106 m) ������ = 4.64 × 102 m/s ตอบ อตั ราเรว็ เชงิ เสน้ ของวัตถทุ ี่อยู่บนเส้นศูนยส์ ูตรของโลก 4.64 × 102 เมตรต่อวนิ าที ค. ขนาดของความเรง่ สู่ศนู ยก์ ลางของวตั ถุท่ีอยบู่ นเสน้ ศนู ย์สตู รของโลก หาไดจ้ ากสมการ ������������ = ������2������ ดงั นั้น ������������ = (7.27 × 10−5 ������−1)2(6.37 × 106 m) ������������ = 3.37 × 10−2 m/s ตอบ บนเสน้ ศนู ย์สูตร ขนาดของความเร่งส่ศู นู ย์กลางของวัตถุเท่ากับ 3.37 × 10−2 เมตรตอ่ วนิ าที

4.2.4 การเคล่อื นท่ีของดาวเทยี ม เราทราบมาแล้วว่า วัตถซุ ่ึงเคลื่อนท่ีในแนววงกลมจะมีแรงสู่ศนู ยก์ ลางกระทำ และมคี วามเรง่ สู่ ศูนยก์ ลาง กรณีของดาวเทียมซง่ึ โคจรรอบโลก แรงสศู่ นู ย์กลางท่ที ำให้ดาวเทียมโคจรรอบโลกเกิดขึ้นไดอ้ ย่างไร จากการศึกษากฎแรงดงึ ดดู ระหวา่ งมวลของนิวตันจากบทท่ี 3 วตั ถทุ ง้ั หลายจะดึงดดู ซึง่ กันและกัน ใน กรณีทดี่ วงจันทร์โคจรรอบโลกกม็ ีแรงท่โี ลกดึงดูดดวงจันทร์ และแรงทด่ี วงจันทร์ดึงดูดโลก แรงทั้งสองเปน็ แรงคู่ กิรยิ า – ปฏกิ ริ ยิ า สำหรับโลกและดวงจนั ทร์ แรงทโ่ี ลกดงึ ดูดดวงจนั ทร์จะทำหนา้ ท่เี ปน็ แรงสศู่ ูนยก์ ลาง ให้ดวง จันทรโ์ คจรรอบโลก ในทำนองเดยี วกัน ดาวเทยี มทโ่ี คจรรอบโลกก็มีแรงทีด่ ึงดดู ดาวเทียมทำหนา้ ท่ีเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง ดงั รปู 4.26 รูป 4.26 แรงสู่ศูนย์กลางทโ่ี ลกกระทำตอ่ ดาวเทยี ม ให้ ������������ และ ������ เป็นวนั ของโลกและดาวเทียมตามลำดบั จากกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนวิ ตัน แรงดึงดดู ทโ่ี ลกกระทำต่อดาวเทยี ม คอื ������ = ������ ������������ ������ ������2 ให้ ������ เปน็ อตั ราเร็วของดาวเทียมมวล ������ ที่โคจรรอบโลก ณ ตำแหน่งวงโคจรซ่งึ ห่างจากศนู ย์กลางของ โลกเปน็ ระยะ ������ จะไดแ้ รงสู่ศูนยก์ ลางทก่ี ระทำตอ่ ดาวเทยี ม คอื ������������2 ������������ = ������ ดังนน้ั ������������������������ = ������������2 ������2 ������ ������2 = ������������������ (4.23) ������

จากการศึกษากฎแรงดึงดูดระหว่างมวลท่ผี า่ นมา เราสามารถคำนวณหามวลของโลกได้ ดังนัน้ เราจงึ สามารถคำนวณหาอตั ราเร็วของดาวเทยี มท่โี คจรรอบโลก ณ ตำแหนง่ วงโคจรตา่ ง ๆ ได้จากสมการดงั กลา่ ว ข้างต้น การส่งดาวเทยี มข้นึ ไปสูงโคจรต่าง ๆ รอบโลกน้นั ได้มีการกำหนดรศั มวี งโคจรไวก้ อ่ น แลว้ คำนวณหา แรงสู่ศูนย์กลางทก่ี ระทำต่อดาวเทียมและอัตราเร็วเชิงเส้นในวงโคจรนน้ั ๆ เม่ือส่งดาวเทียมข้นึ ไปจนมคี วามสูง หรือรัศมีของการโคจรตามตอ้ งการแลว้ จงึ ปรบั ทิศทางและอตั ราเร็วของดาวเทยี ม เพ่ือให้เข้าสู่วงโคจรรอบโลก ตามท่กี ำหนดไว้ ตวั อยา่ งที่ 5 ดาวเทียมส่ือสารดวงหนงึ่ โคจรรอบโลก จงหา ก. อตั ราเร็วเชงิ มมุ ของดาวเทียมส่ือสาร ข. รศั มวี งโคจรรอบโลกของเราเทย่ี งสอื่ สารในหนว่ ยกิโลเมตร กำหนดใหโ้ ลกหมุนรอบตัวเองหน่งึ รอบใช้เวลาเท่ากับ 24 ชัว่ โมง ������ = 6.67 × 10−11������������2/������������2 และ มวลของโลก = 5.98 × 1024 kg แนวคิด ดาวเทียมสื่อสารเปน็ ดาวเทียมประจำที่ผ้สู งั เกตบนโลกจะเห็นดาวเทยี มหยดุ นง่ิ เนื่องจาก อตั ราเร็วเชงิ มมุ ของดาวเทียมเท่ากับของอัตราเรว็ เชิงมุมการหมนุ รอบตวั เองของโลก ซงึ่ หาได้ จาก ������ = 2������ จากนัน้ นำอัตราเรว็ เชิงมุม ������ ไปหารศั มีวงโคจรรอบโลกของดาวเทยี มส่ือสาร ������ วธิ ที ำ ก. อัตราเร็วเชงิ มุมของดาวเทียมสือ่ สาร จาก ������ = 2������ โดย ������ = 86400 ������ ������ แทนค่า ������ = 2(3.14) 86400 ������ ������ = 7.27 × 10−5 rad/s ตอบ อตั ราเร็วเชิงมมุ ของดาวเทียมสอื่ สารเท่ากบั 7.27 × 10−5 เรเดยี นต่อวินาที ข. รัศมวี งโคจรรอบโลกของเราเท่ยี งส่ือสาร ในท่ีน้ี ������ = ������������ จะได้ ������3 = ������������ แทนค่า ������2 ������3 = (6.67×10−11������������2/������������2)(5.98 × 1024 kg) (7.27 × 10−5 ������−1)2 ������3 = 75467.19 × 1018 m3 ������ = 42.259 × 106 m ������ = 42259 km ตอบ รศั มีวงโคจรรอบโลกของเราเทีย่ งสอ่ื สารเทา่ กบั 42259 กิโลเมตร

4.3 การเคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย การเคลือ่ นทข่ี องส่ิงของต่าง ๆ เชน่ การแกวง่ ของชิงช้า การแกว่งของลกู ตุ้ม การเคล่ือนที่ของมวลท่ีตดิ กับปลายแผน่ สปริง การเคล่ือนทขี่ ้นึ ลงของน้ำขณะเกิดข้ึนผวิ นำ้ การเคลอ่ื นทขี่ องสิง่ เหล่านี้แตกต่างจากการ เคลอ่ื นท่ีทเ่ี คยทราบมาแลว้ อยา่ งไร การเคล่อื นที่ของชงิ ช้า ลกู ตุ้มและมวลท่ีปลายแผน่ สปริง มลี ักษณะท่ีเหมือนกัน นน่ั คอื ถ้าเราเรม่ิ สังเกตวัตถุดังกลา่ ว ณ ตำแหน่งปลายสดุ ด้านหนง่ึ วัตถุดังกลา่ วจะเคล่ือนท่ีผา่ นตำแหน่ง สมดลุ ไปในทิศทางหนึ่ง และอัตราเรว็ จะลดลงเรื่อย ๆ จนหยุด แล้วเคล่ือนทยี่ ้อนกลับมาตามแนวทางเดมิ โดยอัตราเร็วเพม่ิ ขนึ้ เรือ่ ย ๆ และมีอตั ราเร็วสูงสดุ เม่อื ผ่านตำแหน่งสมดลุ จากดา้ น อตั ราเรว็ จะลดลงจนหยดุ อกี ครัง้ หนึ่ง รปู 4.27 การแกวง่ ของลกู ตมุ้ 4.3.1 การเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายของวตั ถุท่ตี ดิ ปลายสปริง นำรถทดลองมายึดตดิ ที่ปลายดา้ นหน่งึ ของลวดสปริง สว่ นอีกปลายยึดให้แนน่ โดยใหล้ วดสปรงิ วางตวั ขนานกับพนื้ และยังคงมีความยาวปกติ ตำแหนง่ ของรถทดลองเปน็ ตำแหน่งทย่ี ังไม่ออกแรงกระทำตอ่ รถทดลอง เรยี กตำแหน่งน้ีว่า ตำแหน่งสมดุล (equilibrium position) ดงั รูป 4.28 ก รูป 4.28 รถทดลองทีต่ ดิ กับปลายลวดสปริง ออกแรง ⃑���⃑���⃑1⃑ ดึงรถทดลองไปทางขวา ลวดสปรงิ จะยืดออกและการกระจดั ของรถทดลองจากตำแหน่ง สมดลุ เปน็ ���⃑��� ดงั รูป 4.28 ข เนื่องจากแรง ⃑���⃑���⃑1⃑ ท่ีใช้ดงึ รถทดลองแปรผันตรงกับการกระจดั ���⃑��� ในขณะเดียวกัน ลวดสปริงจะดงึ รถทดลองกลับด้วยแรง ���⃑��� เรยี กวา่ แรงดึงกลับ (restoring force) ซึ่งมีขนาดเทา่ กับขนาดของ แรง ⃑���⃑���⃑1⃑ แตม่ ที ิศทางตรงขา้ ม ดังนัน้ ���⃑��� = −���������⃑��� (4.24)

รปู 4.29 การเคลอ่ื นท่ีของรถทดลองทต่ี ิดกบั ปลายลวดสปริง เม่ือปลอ่ ยมือ แรง ���⃑⃑���⃑1⃑ จะหมดไป เหลอื แรงดงึ กลับ ���⃑��� ซึง่ จะดงึ รถทดลองใหเ้ รม่ิ เคลอื่ นท่ไี ปทางซา้ ย ด้วยความเร่ง ดังรูป 4.29 ก ในขณะท่รี ถทดลองเคลอ่ื นท่ไี ปทางซา้ ย การกระจัดจะมขี นาดลดลงเร่อื ย ๆ ทำให้ขนาดของแรง ���⃑��� ลดลงดว้ ย ดงั รปู 4.29 ข เมื่อรถทดลองเคลือ่ นทถี่ งึ ตำแหน่งสมดลุ การกระจัดมขี นาดเป็นศูนยข์ นาดของแรง ���⃑��� เป็นศนู ยด์ ้วย ทต่ี ำแหน่งสองตัวน้ี รถทดลองมีความเรว็ สูงสดุ ไปทางซ้าย ดงั รปู 4.29 ค เนื่องจากขณะนร้ี ถ ทดลองมีพลังงานจน ดังนัน้ รถทดลองจะเคล่ือนท่ีไปทางซา้ ยพร้อมกับอดั ลวดสปริงให้หดสนั้ เขา้ ลวดสปริงท่ีถูก อดั จะมีแรง ���⃑��� ตา้ นการเคลอ่ื นที่ของรถทดลอง ทำให้รถทดลองมีความเรว็ ลดลง ดงั รปู 4.29 ง และความเร็วเปน็ ศูนย์เมือ่ เคลอ่ื นที่ถึงจดุ ซา้ ยสุดและมกี ารกระจัดขนาดหนึ่ง ดังรปู 4.29 จ

หลังจากนนั้ แรง ���⃑��� จะดนั รถทดลองใหเ้ คล่ือนท่ีกลบั ไปทางขวาด้วยความเร่ง เม่ือการกระจัดมขี นาด ลดลง แรง ���⃑��� มีขนาดลดลงดว้ ย และจะมีขนาดเป็นศูนยเ์ มื่อถงึ ตำแหน่งสมดุล ดงั รปู 4.29 ช ในขณะนีร้ ถทดลอง มีความเรว็ สูงสุดไปทางขวาจึงเคล่ือนท่ีไปพร้อมกบั ดงึ สปริงให้ยืดออกไปดว้ ย เมอ่ื ลวดสปรงิ ถูกยดื ออก ลวดสปริงจะมแี รง ���⃑��� ตามการเคล่ือนทีข่ องรถทดลอง จนในทสี่ ุดรถทดลองจะ หยดุ นง่ิ เมอ่ื เคลื่อนที่ถึงตำแหนง่ ขวาสุดซึ่งเปน็ ตำแหน่งท่ีเริ่มตน้ ดังรปู 4.29 ฌ ต่อจากนน้ั ลวดสปริงจะดงึ รถ ทดลองขับไปดงั รูป 4.29 ก เกิดการเคล่ือนที่กลบั ไปกลบั มาซ้ำทางเดิมโดยผ่านตำแหน่งสมดุล การเคลอื่ นที่ ดงั กล่าวน้เี ป็นการเคลอื่ นที่แบบสนั่ พจิ ารณารูป 4.29 ข แรงดึงกลบั ���⃑��� เป็นแรงทลี่ วดสปริงดึงรถทดลองซึ่งมีมวล ������ เคลอ่ื นท่ีไปทางซ้าย ด้วยความเรง่ ���⃑��� จากกฎการเคลอื่ นที่ข้อทสี่ องของนวิ ตนั จะได้ จากสมการ (4.24) ���⃑��� = ���������⃑��� ���⃑��� = −���������⃑��� ดงั นั้น ���⃑��� = − ������ ���⃑��� (4.25) ������ ในสมการ (4.25) ������ และ ������ เป็นค่าคงตวั แสดงว่า ความเร่งมขี นาดแปรผนั ตรงกบั ขนาดของการ กระจดั แต่มที ศิ ทางตรงข้าม เมื่อพิจารณารปู 4.29 จะเหน็ ว่าการกระจัดในทศิ ทางออกจากตำแหนง่ สมดุล แต่ความเร่งมที ิศทางเข้า หาตำแหนง่ สมดลุ ตลอดเวลา ส่วนความเรว็ อาจมีทศิ ทางออกจากหรอื เข้าหาตำแหนง่ สมดุลก็ได้ ในการเคลื่อนทีข่ องรถทดลองดังกลา่ ว หากไม่มแี รงต้านจากภายนอก เช่น แรงเสียดทานและแรงต้าน จากอากาศ เป็นต้น มากระทำตอ่ รถทดลอง รถทดลองจะเคลื่อนที่กลบั ไปกลบั มาภายใต้แรงของลวดสปรงิ เพียง อย่างเดียว ดังน้ันขนาดการกระจดั สูงสดุ ของรถทดลองจะมีค่าคงตัว ขนาดการกระจดั สูงสดุ นเี้ รยี กว่า แอมพลิ จูด A การเคล่ือนที่แบบส่ันท่ีมขี นาดของการกระจดั สูงสดุ และคาบของการเคลื่อนท่ีคงตวั เรยี กวา่ การเคล่อื นที่ แบบฮารม์ อนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) เมื่อสงั เกตการณ์สัน่ ของสายกีตา้ ร์ หรือการสัน่ ของมวลท่ีผูกกับยางยืดซึ่งแขวนในแนวดิ่ง จะเหน็ วา่ ทง้ั สายกีตาร์ และมวลดังกล่าวจะส่ันอย่ใู นชว่ งเวลาหนึง่ แลว้ ก็หยดุ แสดงวา่ แอมพลิจูดในแต่ละรอบจะมคี ่าลดลง ทง้ั นเี้ น่อื งจากแรงตา้ นจากภายนอก ถ้าพิจารณาการส่ันดงั กล่าวในชว่ งเวลาสัน้ ๆ แอมพลิจูดจะลดลงน้อยมาก จนอาจถือไดว้ ่าการสน่ั ที่พิจารณาในชว่ งเวลาสัน้ ๆ นีเ้ ปน็ การเคล่อื นทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ยอีก

จากสถานการณใ์ นรปู 4.29 เราทราบแลว้ วา่ วัตถุท่ีมีการเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนิกอยา่ งง่ายนน้ั ความเรง่ มที ิศทางตรงขา้ มกับการกระจดั และมีขนาดแปรผันตรงกบั ขนาดของการกระจัด โดยท่ีแอมพลจิ ดู มคี า่ คงตวั 4.3.2 การเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มนิกอยา่ งงา่ ยเทยี บกับการเคลอื่ นทีแ่ บบวงกลม การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มมอนิกยา่ งง่ายซ่งึ มีการกระจดั ความเรว็ และความเรง่ ของวตั ถุ ณ ตำแหนง่ ตา่ ง ๆ เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ดังกราฟในรูป 4.31 และ 4.32 จากการศกึ ษาขา้ งต้น สามารถหาความสัมพันธ์ ระหวา่ งปรมิ าณตา่ ง ๆ ดังกลา่ วไดจ้ ากสถานการณต์ ่อไปนี้ ตดิ ดนิ น้ำมันก้อนเลก็ ๆ ไว้ท่ตี ำแหน่ง A ของแผน่ ไม้วงกลม เมอ่ื ฉายแสงไปที่ดนิ น้ำมนั และหมนุ แผ่นไม้ วงกลมด้วยอตั ราเรว็ คงตัวในระนาบระดับ ดนิ น้ำมนั ก็จะเคลือ่ นทใ่ี นแนววงกลม จาก A ไป B ไป C ...และ กลับมาที่ A ทำใหเ้ กิดเงาของดนิ นำ้ มันบนฉากเคล่ือนทก่ี ลับไปกลบั มาในแนวตรงที่ A′, B′, C′ … และกลับมาท่ี A′ ตามลำดบั ดงั รปู 4.33 การเคลื่อนท่ีของเงาของดนิ นำ้ มันเก่ยี วข้องกับการเคลอ่ื นทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย หรือไม่ อยา่ งไร รปู 4.33 การเคล่ือนท่ขี องดนิ นำ้ มันและเงาของดินน้ำมนั สมมติใหด้ นิ นำ้ มนั เคลอื่ นทใ่ี นแนววงกลมรศั มี R ด้วยอตั ราเรว็ เชิงมมุ คงตัว ������ โดยมคี วามเร่งสศู่ นู ย์กลาง ������0 และมอี ตั ราเรว็ เชงิ เสน้ ������0 เม่ือดนิ น้ำมันเริ่มเคล่ือนทจี่ ากตำแหนง่ A ถงึ B ดนิ น้ำมันทำมุมท่ี ศนู ย์กลางของเส้นผ่านศนู ย์กลาง AE เปน็ มุม ������ เงาของดินน้ำมันจะมีการ กระจดั จาก O′ เท่ากบั ���⃑��� ต้งั รปู 4.34 ขนาดของการกระจัดจะเปน็ (4.26) รปู 4.34 การกระจดั และความเร็ว ของเงาของดนิ นำ้ มนั ที่ตำแหน่ง ������ = ������ cos ������ ������′

ขนาดของความเรว็ ������ ของเงาของดินน้ำมันจะเท่ากบั ขนาด ขององคป์ ระกอบของความเร็ว ������0 ในทศิ ทางขนานกับเสน้ AE และ เนื่องจากกำหนดให้ทศิ ไปทางขวาเปน็ บวก แต่ความเร็วของเงาของดิน นำ้ มนั มที ิศไปทางซา้ ย ดงั นน้ั ������ = −������0 sin ������ (4.27) ความเร่ง a ของเงาของดินน้ำมันจะมีขนาดเท่ากับขนาดของ รูป 4.35 ความเรง่ ของเงาของ ความเร่งองค์ประกอบของ ������0 ในทิศทางขนานกับเส้น AE ดงั รูป 4.35 ดนิ นำ้ มัน ที่ตำแหนง่ ������′ และความเรง่ ของเงาของดินน้ำมันมีทิศทางเขา้ หาตำแหน่งสมดุล นั่นคอื / ������ = −������0 cos ������ (4.28) จากเรื่องการเคล่ือนทแี่ บบวงกลม ทราบว่า ������ = ������������, ������0 = ������������ และ ������0 = ������2������ ดังน้ัน สมการ (4.26) (4.27) และ (4.28) จะเป็น ������ = ������ cos ������������ (4.29) ������ = −������������ sin ������������ (4.30) และ ������ = −������2������ cos ������������ (4.31) ������������ เปน็ มุมเฟส (phase angle) ณ เวลา t เฟสเป็นคำท่ีใช้บอกตำแหน่งขณะหนง่ึ ของส่ิงทเี่ คลือ่ นท่ี ในลกั ษณะทเ่ี ปน็ รอบ จากสมการ (4.29) และ (4.31) จะได้ ������ = −������2������ (4.32) หรือ ���⃑��� = −������2���⃑��� เนอื่ งจากอัตราเร็วเชิงมุม ������ มีค่าคงตวั จากสมการ (4.32) ขนาดของความเรง่ แปรผนั ตรงกับขนาดของ การกระจดั นัน่ คือเงาของดินนำ้ มันมกี ารเคล่ือนทีแ่ บบฮาร์มมอนิกอยา่ งงา่ ย ดงั น้นั สมการ (4.29) (4.30) และ (4.31) ซ่ึงเปน็ สมการบอกความสมั พนั ธ์ระหว่างการกระจัด ความเรว็ และความเร่งของเงาของดินนำ้ มันเทยี บ กับเวลา จึงใชอ้ ธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง การกระจดั ความเรว็ และความเร่งรเทียบกับเวลาของการเคลอ่ื นท่ี แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยของวัตถุใด ๆ ไดก้ ราฟของสมการ (4.29) (4.30) และ (4.31) มีลักษณะเชน่ เดยี วกับ กราฟในรปู 4.30 ก ข และรปู 4.32 ตามลำดบั จากสมการ (4.25) และ (4.32) จะได้ ������ = √ ������ (4.33) ������

ตวั อยา่ งท่ี 6 ลวดสปริงอนั หนึ่งวางอยบู่ นพ้ืนเกล้ียงปลายดา้ นหนึ่งยดึ แน่นกับผนัง ปลายทเ่ี หลือมี มวล 1.0 กโิ ลกรัม ติดไว้ ออกแรง 5.0 นวิ ตนั ดงึ มวล ทำให้ลวดสปริงยดื ออก 0.2 เมตร เม่ือปล่อยมือ มวลจะ เคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายดว้ ยคาบเทา่ ใด แนวคิด เมอ่ื ปลอ่ ยมือ มันจะเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ซง่ึ หาคาบการเคลอื่ นท่ีไดจ้ ากสมการ ������ = 2������ ในท่ีนไ้ี มท่ ราบคา่ ของ ������ แต่หาได้จาก ������ = √������������ เม่ือ ������ เปน็ คา่ คงตวั สปรงิ ������ จากสถานการณ์เขียนแทนดว้ ยรปู ไดด้ งั นี้ รูปการณเ์ คลอื่ นทข่ี องมวลทีป่ ลายลวดสปรงิ วธิ ที ำ หา ������ จากสมการ ������ = ������������ ในท่นี ้ี ������ เปน็ ขนาดของแรงที่ยดื ลวดสปรงิ = 5.0 N ������ เป็นขนาดของการกระจดั = 0.2 m แทนค่า 5.0 N = ������(0.2 m) จะได้ ������ = 5.0 N = 25.0 N/m 0.2 m ดงั นน้ั ������ = √ ������ = √251.0.0Nk/gm = 5.0 rad s−1 จากสมการ ดังน้นั ������ ������ = 2������ ������ ������ = 2(3.14) = 1.3 s 5.0 s−1 ตอบ มวล 1.0 กโิ ลกรมั มีคาบการเคลือ่ นท่เี ท่ากับ 1.3 วินาที

4.3.3 การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย ลกู ตุม้ อยา่ งงา่ ย (simple pendulum) ประกอบด้วยมวลขนาดเลก็ ตามอุดมคตเิ ป็นจดุ แขวนที่ปลาย ดา้ ยหรือเชอื กอ่อน โดยธรรมชาติวตั ถแุ ขวนห้อยในแนวดิ่งเปน็ ตำแหนง่ สมดุล เม่ือดึงวตั ถใุ หเ้ อียงทำมุมเลก็ ๆ กับแนวดิ่งแล้วปลอ่ ย วตั ถจุ ะเคลอื่ นที่กลับไปมาซำ้ ทางเดมิ ผา่ นตำแหนง่ สมดลุ ซง่ึ เป็นการเคลอื่ นทแ่ี บบฮาร์มอ นกิ อย่างง่ายอีก รูป 4.36 แผนภาพวตั ถุอสิ ระของลูกตมุ้ ขณะเสน้ เชอื กเอียงทำมมุ กับแนวดิง่ มีแรงกระทำเขา้ หาตำแหน่งสมดลุ ขณะทล่ี ูกตุ้มมวล ������ ท่ีผูกกับเส้นเชือกยาว ������ เอยี งเปน็ มุม ������ กบั แนวดิ่ง จะมีแรงสองแรงกระทำตอ่ มวล ������ คอื น้ำหนักของลกู ตุ้ม ������������ และแรงดึงในเส้นเชอื ก ������ ซงึ่ ทำมุม ������ กบั แนวด่ิง ดังรปู 4.36 สองแรงนร้ี วมกัน ได้แรงลัพธ์เป็น ������������ sin ������ ตามแนวเส้นสมั ผัสซง่ึ ตง้ั ฉากกับเส้นเชือก เนือ่ งจากแรง ������������ สามารถคดิ แยกออกเปน็ สองแรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรปู 4.36 จะเหน็ วา่ แรง ������������ sin ������ เป็นแรงทดี่ ึงมวล ������ กลบั สู่ตำแหน่งสมดุล ให้แรงนี้เปน็ แรง ������ เมอ่ื คำนึงถงึ ทิศทางด้วย แรง ������ คือ ������ = −������������ sin ������ ถ้า ������ เปน็ มมุ เลก็ ๆ (ค่าของมมุ ท่ที ำให้ sin ������ = tan ������) การเคลื่อนที่โคง้ ประมาณไดว้ ่าเปน็ เสน้ ตรง มี ขนาดการกระจดั ������ และ sin ������ = ������ จะได้ ������ ������ ������ = −������������ ������ จากกฎการเคลื่อนท่ีขอ้ ทีส่ องของนิวตนั ������ = ������������ จะได้ ������ −������������ ������ = ������������ ������ ������ = − ������ ������ จะเหน็ ว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัดและมที ศิ ทางตรงข้าม การแกว่งของลูกต้มุ จึง เปน็ การเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย

เนื่องจากขนาดของความเรง่ ของการเคลือ่ นท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย ������ = −������2������ ดังน้นั ������2 = ������ ������ จาก ������2 = ������ จะได้ ������ = 2������√������������ (4.34) ������ หรือ ������ = 1 √������������ (4.35) 2������ สมการ (4.34) อาจนับว่าเปน็ สมการท่ีทำนายคาบของลูกตมุ้ อย่างงา่ ยและจากทไ่ี ดว้ เิ คราะหม์ าตาม หลกั ของการของการเคล่ือนที่ท่ีต้องเปน็ ไปตามกฎการเคลื่อนทขี่ องนวิ ตัน ตวั อย่างที่ 7 นาฬกิ าแบบลูกตุ้มเรือนหนงึ่ ลูกตุ้มแกวง่ ได้ 60 รอบตอ่ วินาที จงหาความยาวของ กา้ นของลูกตุ้มนาฬิกา วิธที ำ จาก ������ = 1 √������������ 2������ หรือ ������ = ������ 4������4������2 ในทีน่ ้ี ������ = 60 = 60 = 1 ������−1 1 ������������������ 60 ������ ������ = 9.8 ������/������2 แทนค่า จะได้ ������ = 9.8 ������/������2 = 0.25 ������ 4(3.14)4(1 ������−1)2 ตอบ ความยาวของก้านของลูกตุ้มนาฬกิ าเท่ากับ 0.25 เมตร


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook