ເອກະສານປະກອບການສອນ ວິຊາຄະນິດສາດສາຍຄູປະຖົມ ລະບົບ 12+2

ຮູບສາມແຈແຕ່ ລະຮູບຈະມເີ ມດັ ຖ່ ວງໜກັ ຫຼ ສູນຖ່ ວງໜກັ ເຊ່ ງິ ເພ່ ນິ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ບາຣຊີ ງັ ຂອງຮູບສາມແຈ, ເຊ່ ງິ ບາຣຊີ ງັ ຈະໄດຈ້ໍ າກເມດັ ຕດັ ກນັ ລະຫວ່ າງສາມເສນັ້ໍ ຈອມກາງຂອງຮູບສາມແຈ ຕງົ ຢ່ າງ: ໃຫຮໍ້ ູບສາມແຈ ABC ແລະ ໃຫເໍ້ ມດັ G ແມ່ ນບາຣຊີ ງັ A CB ເຮາົ ຈະໄດກໍ້ ານພວົ ພນັ ເວກັ ເຕດີ ່ ງັ ນ:ີ້ໍ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ⃗0  ການນາໃຊຫໍ້ ຼກັ ເກນຕາແລດັ ສາລບັ ຮູບສາມແຈ - ເສນັ້ໍ ຊ່ ທ່ ີຂະໜານກບັ ຂາໍ້ ງໜ່ ງຂອງຮູບສາມແຈຈະແບ່ ງສອງຂາໍ້ ງອ່ ນອອກເປັນບນັ ດາທ່ ອນຊ່ ທ່ ີເປັນ ອດັ ຕາສ່ ວນພວົ ພນັ ຕວົ ຢ່ າງ: ເຮາົ ຈະໄດໍ້ AD  DE  AB AE EC AC - ທ່ ອນຊ່ ທ່ ຂີ ດີ ຕ່ ລະຫວ່ າງເມດັ ເຄ່ ງິ ກາງຂອງສອງຂາ້ໍ ງຂອງຮູບສາມແຈມນັ ຈະຕອໍ້ ງເທ່ າົ ກບັ ເຄ່ ງິ ໜ່ ງ ແລະ ຂະໜານກບັ ຂາໍ້ ງທສີ າມ ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫຮ້ໍ ູບສາມແຈ ABC ໃຫເໍ້ ມດັ M ແລະ N ເປັນເມດັ ເຄ່ ງິ ກາງຂອງ ABແລະ AC ຕາມລາດບັ ເຮາົ ຈະໄດໍ້ MN//BC ແລະ MN  1 BC MK//AC 2 NK  AB MK 1 AC 47 2 NK 1 AB 2

ບດົ ທີ 4 ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກ 1. ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກລວງຍາວ ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍລວງຍາວໂດຍນາໃຊຕ້ໍ າຕະລາງ  ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍນອໍ້ ຍ ຫກຼັ ການ : ເຮາົ ຕອ້ໍ ງວາງຈານວນທ່ ຫີ ວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ຂາົ ໃຫມ້ໍ າໃສ່ ຫອ້ໍ ງໃຫຖ້ໍ ກຕອງເສຍກ່ ອນ, ຈາກ ນນັ້ໍ ຈ່ ງ ປ່ ຽນໄປຫາຫອໍ້ ງທ່ ເີ ຂາົ ຕອ້ໍ ງການ, ຖາ້ໍ ມຕີ ວົ ເລກກ່ ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫອໍ້ ງລະໜ່ ງຕວົ ເລກ, ຖາ້ໍ ບ່ ມຕີ ວົ ເລກ ກຕ່ ມເລກ 0 ໃສ່ , ຈນົ ກວ່ າຈະຮອດຫອໍ້ ງທ່ ຕີ ອ້ໍ ງການຈ່ ງພ. ຕວົ ຢ່ າງ 3 m = ...........mm 2,5 km=...........m 20hm=...........m 0,76m=...........cm km hm Dam m dm cm mm 3000 2500 2000 076 ປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກລວງຍາວ • 3 km 6 hm 2 m = ......... m • 6 km 8 hm 5 m = ......... m • 36720 m = ......... hm • 68201 m = ......... km • 3 hm 6 dam = ......... m • 9 hm 5 dam= ......... m • 35,72 hm = ......... km • 0,72 dm = ......... cm 2. ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກກມວນສານ ການຊ່ ງັ ມວນສານ ແລະ ການ ປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍມວນສານ  ເຄ່ ອງຊ່ ງັ ປະເພດຕ່ າງໆ 48

ເຄ່ ອງຊ່ ງັ ທ່ ໃີ ຊໃໍ້ ນການຊ່ ງັ ມວນສານຂອງວດັ ຖຸມຫີ ຼາຍຊະໜດິ , ແລະ ມຄີ ຸນນະສມົ ບດັ ໃນການສ່ ງັ ທ່ ແີ ຕກ ຕ່ າງກນັ , ສະນນັ້ໍ ເພ່ ນິ ຈ່ ງໃຊງໍ້ ານເຄ່ ອງຊ່ ງັ ເຫ່ ຼາົ ນເີໍ້ ຂາົໍ້ ໃນວຽກງານທ່ ແີ ຕກຕ່ າງກນັ , ເພ່ ນິ ເອນີໍ້ ເຄ່ ອງ ຊ່ ງັ ເຫ່ າຼົ ນວີໍ້ ່ າ ຊງິ . ຊງິ ສອງຝາງສະໜດິ ແຂວນ ຊງິ ສອງຝາງມາດຕະຖານ ຊງິ ລຊມາດຕະຖານແບບຕງັໍ້ ຊງິ ຊ່ ງັ ນາໍ້ ໜກັ ຂອງຄນົ ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍມວນສານ ປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍໃຫເ້ໍ ປນັ ເອກກຫະພາບກນັ ເພ່ ອໃຫກ້ໍ ານຄດິ ໄລ່ ຖກຕອ້ໍ ງ ແລະ ຊດັ ເຈນ, ເຊ່ ງິ ຫວົ ໜ່ ວຍ ມວນ ສານທ່ ມີ າດຕະຖານ ແລະ ໃຊໃໍ້ ນທ່ ວົ ໂລກແມ່ ນ : ກໂິ ລກະລຼາມ ( kg ), ເຮກັ ໂຕກະລຼາມ( hg ), ເດກາ ກະລາຼ ມ( dag ), ກະລຼາມ( g ), ເດຊກີ ະລາຼ ມ( dg ), ຊງັ ຕກີ ະລຼາມ( cg ), ມລິ ກີ ະລຼາມ( mg ), ຂດີ ຫຼ ກາ, ໂຕນ( T ), ແກງ້ໍ ຕານ( q ), ອຽນ ແລະ ອ່ ນໆ. ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍມວນສານໂດຍນາໃຊຕໍ້ າຕະລາງ  ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍນອ້ໍ ຍ ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ຕອໍ້ ງວາງຈານວນທ່ ຫີ ວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ຂາົ ໃຫມ້ໍ າໃສ່ ຫອ້ໍ ງໃຫຖໍ້ ກຕອງເສຍກ່ ອນ, ຈາກ ນນັ້ໍ ຈ່ ງປ່ ຽນໄປ ຫາຫອ້ໍ ງທ່ ເີ ຂາົ ຕອໍ້ ງການ, ຖາໍ້ ມຕີ ວົ ເລກກ່ ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫອ້ໍ ງລະໜ່ ງຕວົ ເລກ, ຖາ້ໍ ບ່ ມຕີ ວົ ເລກກຕ່ ມເລກ 0 ໃສ່ , ຈນົ ກວ່ າຈະຮອດຫອ້ໍ ງທ່ ຕີ ອໍ້ ງການຈ່ ງພ. ຕວົ ຢ່ າງ 4g = ...........mg 2,5 kg=...........g 40hg=...........g 0,76g=...........cg 2, 5 T = ......... kg 0,24 T = ......... kg 23 q = ......... hg 49

T q  kg hg dag g dg cg mg 40 0 0 250 0 400 0 07 6 2500 240 2300 0  ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍນອໍ້ ຍ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ຕອໍ້ ງວາງຈານວນທ່ ຫີ ວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ຂາົ ໃຫມ້ໍ າໃສ່ ຫອ້ໍ ງໃຫຖ້ໍ ກຕອງເສຍກ່ ອນ, ຈາກ ນນັ້ໍ ຈ່ ງປ່ ຽນໄປ ຫາຫອ້ໍ ງທ່ ເີ ຂາົ ຕອ້ໍ ງການຫອ້ໍ ງທ່ ໃີ ຫຍ່ ກວ່ າ, ຖາໍ້ ມຕີ ວົ ເລກກ່ ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫອໍ້ ງລະ ໜ່ ງຕວົ ເລກ, ຖາ້ໍ ບ່ ມຕີ ວົ ເລກກຕ່ ມເລກ 0 ໃສ່ , ຈນົ ກວ່ າຈະຮອດຫອ້ໍ ງທ່ ຕີ ອໍ້ ງການຈ່ ງພ.ຈາກນນັໍ້ ໝາຍ ຈດຸ ໃສ່ ຫຼງັ ຫອ້ໍ ງທ່ ຕີ ອໍ້ ງການ.  ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍມວນສານໂດຍນາໃຊທ້ໍ ະວຄີ ນູ ແລະ ອຸປະຄນູ ຂອງ ກາຼ ມ - ທະວຄີ ນູ ຂອງ g ໄດແ້ໍ ກ່ ຫວົ ໜ່ ວຍທ່ ໃີ ຫຍ່ ກວ່ າ g ຄ kg, hg,dag... - ອຸປະຄູນຂອງ g ໄດແ້ໍ ກ່ ຫວົ ໜ່ ວຍທ່ ນີ ອໍ້ ຍກວ່ າ g ຄ dg, cg, mg... ທະວຄີ ູນຂອງ g 1 kg = 10hg = 100dag = 1000g 1hg = 10dag = 100g 1dag = 10g ອຸປະຄູນຂອງ g 1 g = 10dg = 100cg = 1000mg 1dg = 10cg = 100mg 1cg = 10mg ດ່ ງັ ນນັໍ້ ເຮາົ ໄດ້ໍ : 1 kg = 10hg = 100dag = 1.000g=10.000dg = 100.000cg = 1.000.000mg 1hg = 10dag = 100g=1.000dg = 10.000cg = 100.000mg 1dag = 10g=100dg = 1.000cg = 10.000mg ນອກຈາກນນັ້ໍ ເຮາົ ຍງັ ມີ : 1 kg = 10 ຂດີ 1 ຂດີ = 100g 1 T = 1000 kg 1 q = 100 kg 50

 ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍນອໍ້ ຍໂດຍໃຊອ້ໍ ຸປະຄນູ ແລະ ທະວຄີ ູນ ຂອງ g ຫຼກັ ການ :ເຮາົ ເອາົ ຈານວນທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າຄູນ ກບັ ອຸປະຄນູ ຂອງຫວົ ໜ່ ວຍນນັ້ໍ . 7 g = ...........mg 1 g = 1.000mg ດ່ ງັ ນນັ້ໍ 7 x1000mg = 7.000 mg 4,8 kg=...........g 1 kg = 1.000g ດ່ ງັ ນນັ້ໍ 4,8 x1.000g= 4.800g 45hg=...........g 1 hg = 100g ດ່ ງັ ນນັໍ້ 45 x100g = 4.500g 0,89 g =...........cg 1 g = 100cg ດ່ ງັ ນນັ້ໍ 0,89 x100cg = 89cg 0,46 T =...........kg 1 T = 1000kg ດ່ ງັ ນນັໍ້ 0,46 x1000kg = 460 kg  ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍນອໍ້ ຍ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ເອາົ ຈານວນທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າຫານ ກບັ ທະວຄີ ນູ ຂອງຫວົ ໜ່ ວຍນນັໍ້ . ຕວົ ຢ່ າງ 4577 mg = ...........kg ເຮາົ ຮູ ້ໍ : 1 kg = 1.000.000 ດ່ ງັ ນນັໍ້ 4577÷ 1.000.000= 0,004577 kg 445 cg..........g ເຮາົ ຮູ ໍ້ : 1 g = 100cg ດ່ ງັ ນນັໍ້ 445 ÷ 100= 4,45g 78945 cg...........g ເຮາົ ຮູ ໍ້ : 1 g = 100cg ດ່ ງັ ນນັ້ໍ 78945 ÷ 100= 789,45g 0,56g...........hg ເຮາົ ຮູ ໍ້ : 1 hg = 100g ດ່ ງັ ນນັ້ໍ 0,56 ÷ 100= 0,0056 hg ບດົ ເລກ 1. 789 g........... ຂດີ 2. 23456 kg...........T 3. 89 ຂດີ ..........kg 4. 5,412 T =...........kg 5. 23 q =...........kg 6. 2,5 ຂດີ = ..........g 7. 6,7 kg = ......... ຂດີ 51

3. ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກເນອໍ້ ທ່ ີ ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກເນອ້ໍ ທ່ ີ ຫວົ ໜ່ ວຍທ່ ມີ າດຕະຖານໄດແ້ໍ ກ່ ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກເນອ້ໍ ທ່ ທີ ່ ເີ ພ່ ນິ ການດົ ຄກນັ ແລະ ເທ່ າົ ກນັ ທ່ ວົ ໂລກ, ເຊ່ ງິ ໄດແ້ໍ ກ່ : ມລີ ຕີ າແມດັ (mm2), ຊງັ ຕຕີ າແມດັ (cm2), ເດຊຕີ າແມດັ (dm2), ຕາແມດັ (m2), ເດກາຕາແມດັ (dam2), ເຮກັ ໂຕຣຕາແມດັ (hm2), ກໂິ ລຕາແມດັ (km2), ເຮກັ ຕາ(ha), ອາ(a), ຊງັ ຈາ (ca).... ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍເນອໍ້ ທ່ ໂີ ດຍນາໃຊຕໍ້ າຕະລາງ ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍນອ້ໍ ຍ • ຫກຼັ ການ : ເຮາົ ຕອໍ້ ງວາງຈານວນທ່ ຫີ ວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ຂາົ ໃຫມໍ້ າໃສ່ ຫອໍ້ ງໃຫຖ້ໍ ກຕອງເສຍກ່ ອນ, ຈາກ ນນັໍ້ ຈ່ ງ ປ່ ຽນໄປຫາຫອໍ້ ງທ່ ເີ ຂາົ ຕອ້ໍ ງການ, ຖາໍ້ ມຕີ ວົ ເລກກ່ ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫອໍ້ ງລະໜ່ ງຕວົ ເລກ, ຖາ້ໍ ບ່ ມຕີ ວົ ເລກ ກຕ່ ມເລກ 0 ໃສ່ , ຈນົ ກວ່ າຈະຮອດຫອ້ໍ ງທ່ ຕີ ອ້ໍ ງການຈ່ ງພ. ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍແຕ່ ຫວົ ໜ່ ວຍນອ້ໍ ຍ ຫາ ຫວົ ໜ່ ວຍໃຫຍ່ • ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ຕອ້ໍ ງວາງຈານວນທ່ ຫີ ວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ຂາົ ໃຫມ້ໍ າໃສ່ ຫອໍ້ ງໃຫຖໍ້ ກຕອງເສຍກ່ ອນ, ຈາກ ນນັໍ້ ຈ່ ງ ປ່ ຽນໄປຫາຫອ້ໍ ງທ່ ເີ ຂາົ ຕອໍ້ ງການຫອໍ້ ງທ່ ໃີ ຫຍ່ ກວ່ າ, ຖາ້ໍ ມຕີ ວົ ເລກກ່ ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫອໍ້ ງລະ ໜ່ ງຕວົ ເລກ, ຖາໍ້ ບ່ ມຕີ ວົ ເລກກຕ່ ມເລກ 0 ໃສ່ , ຈນົ ກວ່ າຈະຮອດຫອໍ້ ງທ່ ຕີ ອໍ້ ງການຈ່ ງພ.ຈາກນນັ້ໍ ໝາຍ ຈດຸ ໃສ່ ຫຼງັ ຫອ້ໍ ງທ່ ຕີ ອ້ໍ ງການ. ຕວົ ຢ່ າງ 3m2 = ...........mm2 2,7 km2=...........m2 2,5 ha=...........m2 0,98m2=...........cm2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ha a ca 52

1. 4,2 m2 = …………….. d m2 2. 4,38 m2= …………….. d m2 3. 24 m2= …………….. mm2 4. 0,2484 m2 = …………….. c m2 5. 4,8620 m2 = …………….. d m2 6. 4325 cm2 = …………….. m2 7. 24 ha = …………….. m2 8. 4,3 m2 = …………….. c m2 9. 5324 m m2 = …………….. c m2 10. 5,8 ca = …………….. dm2 11. 6,8 a = …………….. m2 4. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຮູບເລຂາຄະນດິ ໜາ້ໍ ພຽງ ເນອໍ້ ໃນທີ 1: ຮູບຈະຕຸລດັ : ແມ່ ນຮູບທ່ ມີ ສີ ່ ມີ ຸມສາກ ແລະ ມສີ ່ ຂີ າໍ້ ງເທ່ າົ ກນັ AI B  ຄຸນລກັ ສະນະ:  ສອງເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມຕງັ້ໍ ສາກກນັ ແລະ ມລີ ວງຍາວເທ່ າົ ກນັ K O AC  BD ແລະ AC  BD , OA  OB  OC  OD L  ມສີ ່ ແີ ກນເຄ່ ງິ ຄເຊ່ ງິ ແມ່ ນສອງເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມ ແລະ ສອງເສນັໍ້ ກາງ DJ ສາກ AC, BD, IJ , KL C  ມສີ ູນກາງເຄ່ ງິ ຄ O ຢ່ ູຈດຸ ຕດັ ກນັ ຂອງສອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ ແລະ ສອງເສນັໍ້ ກາງສາກ ເນອໍ້ ໃນທີ 2: ຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: ແມ່ ນຮູບທ່ ມີ ສີ ່ ມີ ຸມສາກ AI B  ຄຸນລກັ ສະນະ: O  ສອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມມລີ ວງຍາວເທ່ າົ ກນັ AC  BD ແລະ K L OA  OB  OC  OD DJ  ເປນັ ຮູບສ່ ແີ ຈທ່ ແີ ນບໃນວງົ ມນັ ທ່ ມີ ຈີ ດຸ ໃຈກາງ O ແລະ ລດັ ສະໝີ C OA ເນອ້ໍ ໃນທີ 3: ຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ໍ ງຂະໜານ: ແມ່ ນຮູບສ່ ແີ ຈທ່ ມີ ຂີ າ້ໍ ງເຊ່ ງິ ໜາ້ໍ ຂະໜານກນັ ຕາມແຕ່ ລະຄ່ ູ  ຄຸນລກັ ສະນະ:  ສອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມຂອງຮູບບສ່ ແີ ຈຂາ້ໍ ງຂະໜານຕດັ ກນັ ຢ່ ູເມດັ ເຄ່ ງິ ກາງຂອງ A B ແຕ່ ລະເສນັ້ໍ ຄ: AC ແລະ BD ຕດັ ກນັ ຢ່ ູເມດັ O ຈະໄດ:ໍ້ OA  OC O ແລະ OB  OD  ສອງຂາ້ໍ ງເຊ່ ງິ ໜາ້ໍ ກນັ ເທ່ າົ ກນັ ຕາມແຕ່ ລະຄ່ ູ AB  CD ແລະ AD  BC  ມຸມເຊ່ ງິ ໜາ້ໍ ກນັ ເທ່ າົ ກນັ ຕາມແຕ່ ລະຄ່ ູ A  C ແລະ B  D D C  ຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ໍ ງຂະໜານມໜີ ່ ງສູນກາງເຄ່ ງິ ຄ O ເຊ່ ງິ ແມ່ ນເມດັ ຕດັ ກນັ ຂອງ ສອງເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມ AC ແລະ BD 53

ເນອໍ້ ໃນທີ 4: ຮູບດອກຈນັ : ແມ່ ນຮູບສ່ ແີ ຈຂາໍ້ ງຂະໜານ ເຊ່ ງິ ທງັ ສ່ ຂີ າ້ໍ ງລວໍ້ ນແຕ່ ມລີ ວງຍາວເທ່ າົ ກນັ A  ຄຸນລກັ ສະນະ  ສອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມຕງັ້ໍ ສາກກນັ ( AC)  (BD) D1 21 1  ເສນັ້ໍ ເນ່ ງຈອມເປນັ ເສນັໍ້ ແບ່ ງເຄ່ ງິ ມູມ A1  A2  C2  C2 2 B ແລະ B1  B2  D2  D2 2 O 21  ມສີ ອງແກນເຄ່ ງິ ຄ ເຊ່ ງິ ແມ່ ນສອງເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມ ( AC) ແລະ C (BD)  ມສີ ູນກາງ O ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຈດຸ ຕດັ ກນັ ຂອງສອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ ເນອໍ້ ໃນທີ 5: ຮູບວ່ າວ: ຮູບສ່ ແີ ຈໃດໜ່ ງຈະເອນີໍ້ ວ່ າ ຮູບວ່ າວໄດກ້ໍ ຕ່ ເມ່ ອ: B 1. ມເີ ສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມໜ່ ງເສນັໍ້ ຕດັ ກບັ ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມອກີ ເສນັ້ໍ ໜ່ ງເປນັ ມຸມສາກ ( AC)  (BD) ແລະ ແບ່ ງເຄ່ ງິ ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ O ຈອມນນັໍ້ ອອກເປນັ ສອງສ່ ວນເທ່ າົ ກນັ OB  OD . A C 2. ເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມໜ່ ງເສນັໍ້ AC ແບ່ ງຮູບສ່ ແີ ຈ ABCD D ອອກເປນັ ຮູບສາມແຈສອງຮູບຄ: ABC ແລະ ADC ຫຼ ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ BD ແບ່ ງຮູບສ່ ແີ ຈ ABCD ອອກເປນັ ຮູບສາມແຈສອງຮູບຄ: ABD ແລະ CBD ເນອ້ໍ ໃນທີ 6: ຮູບຄາງໝ:ູ ແມ່ ນຮູບສ່ ແີ ຈທ່ ມີ ຂີ າ້ໍ ງຄ່ ູໜ່ ງຂະໜານກນັ A B  ປະເພດຂອງຮູບຄາງໝູ ກ. ຮູບຄາງໝທູ ່ ວົ ໄປ  ບ່ ມຂີ າ້ໍ ງໃດເທ່ າົ ກນັ D C  ບ່ ມມີ ຸມໃດເປນັ ມຸມສາກ 1. ຂ. ຮູບຄາງໝທູ ່ ຽງ  ສອງຂາໍ້ ງທ່ ບີ ່ ຂະໜານກນັ ເທ່ າົ ກນັ  ສອງມຸມພນໍ້ ເທ່ າົ ກນັ . ຖາ້ໍ ວ່ າ ABCD ເປນັ ຮູບຄາງໝທູ ່ ຽງ ເຮາົ AB ໄດ:ໍ້ AD  BC , D  C ແລະ A  B DC 54

ຄ. ຮູບຄາງໝສູ າກ  ມໜີ ່ ງມຸມສາກ. EFGH ແມ່ ນຮູບຄາງໝສູ າກ ເຊ່ ງິ ສາກຢ່ ູ H EF  ມຸມໃນຂອງຮູບຄາງໝູ  ຮູບຄາງໝູ ABCD, AB / /CD ເຮາົ ໄດ:້ໍ H G A  D  B  C 180 ແລະ A  B  C  D  360  ຮູບວງົ ມນົ ນຍິ າມ: ຖາໍ້ ເມດັ A ປ່ ນິ ອອ້ໍ ມເມດັ O ໂດຍຮກັ ສາໄລຍະຫ່ າງສະເໝຈີ າກເມດັ O, ເມດັ A ເຄ່ ອນທ່ ຕີ າມເສນັໍ້ ໜ່ ງໆ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ວງົ ມນົ . – ເມດັ O ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ເມດັ ໃຈກາງ – ໄລຍະຫ່ າງແຕ່ O ຫາ A ເອນີໍ້ ວ່ າ: ລດັ ສະໝ,ີ ສນັ ຍາລກັ ດວ້ໍ ຍ r , r r = OA O A ຄຸນລກັ ສະນະ: – ວງົ ມນົ ແມ່ ນກ່ ຸມບນັ ດາເມດັ ເທງິ ແມ່ ນພຽງທ່ ມີ ໄີ ລຍະຫ່ າງສະເໝຈີ າກເມດັ ໃຈກາງ. – ເສນັ້ໍ ຜ່ ານໃຈກາງແມ່ ນເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ທ່ ອນກ່ ງົ ທ່ ຍີ າວທ່ ສີ ຸດ. – ເສນັໍ້ ຕດິ ແມ່ ນເສນັໍ້ ທ່ ຕີ ງັ້ໍ ສາກກບັ ລດັ ສະໝຂີ ອງວງົ ມນົ . l T F ເສນັໍ້ ຕ່ າງໆຂອງວງົ ມນົ : B – ເສນັ້ໍ ຊ່ ທ່ ຜີ ່ ານເມດັ ໃຈກາງຂອງວງົ ມນົ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ເສນັ້ໍ ຜ່ ານໃຈກາງ. d C d  2r  AB EO – ທ່ ອນຊ່ [FG] ທ່ ຂີ ດີ ຕ່ ລະຫວ່ າງສອງເມດັ ຂອງວງົ ມນົ ເອນີໍ້ ວ່ າ: ເສນັໍ້ ເນ່ ງັ A ທ່ ອນກ່ ງົ . – ເສນັໍ້ ຊ່ (CD) ທ່ ມີ ເີ ມດັ ຮ່ ວມກບັ ວງົ ສອງເມດັ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ເສນັ້ໍ ຕດັ ວງົ ມນົ . D – ເສນັໍ້ ຊ່ l ທ່ ມີ ເີ ມດັ ຮ່ ວມກບັ ວງົ ມນົ ພຽງເມດັ ດຽວ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ເສນັ້ໍ ຕດິ ວງົ ມນົ . 2. ເນອໍ້ ທ່ ຮີ ູບເລຂາຄະນດິ ໜາ້ໍ ພຽງ ຮູ ບຈະຕຸ ລດັ a a S  aa  a2 a ແມ່ ນຂາໍ້ ງ ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອ້ໍ ທ່ ຮີ ູບຈະຕຸລດັ ເນອໍ້ ທ່ ີ = ຂາ້ໍ ງ x ຂາ້ໍ ງ 55

ຮູບສ່ ແີ ສາກ ລວງຍາວ ລວງກວາ້ໍ ງ ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອ້ໍ ທ່ ີ ຂອງຮູບສ່ ແີ ຈສາກ ເນອໍ້ ທ່ ີ = ລວງຍາວ x ລວງກວາໍ້ ງ S  Ll L ລວງງຍາວ l ລວງກວາ້ໍ ງ ຮູບສ່ ແີ ຈຂາໍ້ ງຂະໜານ ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອໍ້ ທ່ ຂີ ອງຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ໍ ງຂະໜານ a ແມ່ ນຂາ້ໍ ງ h ແມ່ ນລວງສູງ ເນອໍ້ ທ່ ີ = ຂາ້ໍ ງພນໍ້ x ລວງສູງ S  ah ຮູບສາມແຈ ch b a ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອ້ໍ ທ່ ຂີ ອງຮູບສາມແຈ ເນອ້ໍ ທ່ ີ = 1 ພນໍ້ × ລວງສູງ 2 S  1 ah 2 56

ຮູບຄາງໝູ a h b ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອ້ໍ ທ່ ຂີ ອງຮູບຄາງໝູ ເນອໍ້ ທ່ ີ = (ພນໍ້ ໃຫຍ່ + ພນໍ້ ນອໍ້ ຍ) X ລວງສູງ  2 ສູດຄດິ ໄລ່ S  1 a  b h a ແມ່ ນພນໍ້ ນອໍ້ ຍ b ແມ່ ນພນ້ໍ ໃຫຍ່ 2 5. ຮູບດອກຈນັ ແລະ ຮູບວ່ າວ D1 A 1 B A B C 2 O 2 21 D O ຮູບວ່ າວ 21 C ຮູບດອກຈນັ ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອໍ້ ທ່ ຂີ ອງຮູບດອກຈນັ ແລະ ຮູບວ່ າວ ເນອ້ໍ ທ່ ີ = ເສນັໍ້ ເນ່ ງັ ຈອມ x ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ  2 S  1 m n m ແລະ n ແມ່ ນເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ 2 ຮູບວງົ ມນົ RR ສູດຄດິ ໄລ່ ເນອໍ້ ທ່ ຮີ ູບວງົ ມນົ 57

ເນອໍ້ ທ່ ີ = ລດັ ສະໝີ x ລດັ ສະໝີ x    3,14 S  R2  6. ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກບລມິ າດ ການຄດິ ໄລ່ ບລມິ າດ ແລະ ການປ່ ຽນຫວົ ໜ່ ວຍບລມິ າດ ຫວົ ໜ່ ວຍວດັ ແທກບລມິ າດທ່ ເີ ພ່ ນິ ການດົ ຄກນັ ແລະ ເທ່ າົ ກນັ ທ່ ວົ ໂລກ, ເຊ່ ງິ ໄດແໍ້ ກ່ : mm3, cm3, dm3, m3, dam3,hm3, km3, kL, hL, daL, L, dL, cL, mL. ຕວົ ຢ່ າງ 5m3 = ...........mm3 4,7 km3=...........m3 775 L=...........m3 0,98m3=...........cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 5 000000000 4700000000 0, 7 7 5 0 980000 58

7. ບລມິ າດຮູບເລຂາຄະນດິ ຮູບກບັ ສາກ ຮູບທ່ ສາມຫ່ ຽຼ ມ ຮູບກອໍ້ ນສາກ S 6S S 2ab 2a bh S 2S  S ອຂ ພ ພ V ccc V Llh V bhh 2 1. ໃຫຮໍ້ ູບກອໍ້ ນສາກໜ່ ງທ່ ມີ ຂີ າໍ້ ງເທ່ າົ ກບັ 10 cm ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບດ່ ງັ ກ່ າວ? 2. ແກດັ ໜ່ ວຍໜ່ ງເປນັ ຮູບກບັ ສາກກວາໍ້ ງ 5 cm , ຍາວ 8 cm ແລະ ລວງສູງ 10 cm ເພ່ ນິ ຕອ້ໍ ງການບນັ ຈຸ ແຟບໃສ່ ໃຫເໍ້ ຕມັ ພດ.ີ ຖາມວ່ າບລມິ າດຂອງແຟບໃນແກດັ ນນັ້ໍ ມເີ ທ່ າົ ໃດ? ແກ ້ໍ 1. ຮູ ້ໍ a  10 cm ຊອກ S  ..............? V  ..............? ອງີ ຕາມສູດ S  6 a2 V  C3 ແທນຄ່ າ S  610 cm2  6100 cm2  600 cm2 V  10cm3 1000cm3 2. ຮູ ້ໍ L  5cm , l  8 cm, h  10 cm ຊອກ V ແຟບທ່ ບີ ນັ ຈໃຸ ນແກດັ ໜ່ ວຍນນັ້ໍ =…….? ອງີ ຕາມສູດ V  Ll  H ແທນຄ່ າ V  5cm8cm10cm  400cm3 59

ຮູບຈວຍ ຮູບທາດສາມຫ່ ຼຽມ ຮູບທາດສ່ ຫີ ່ ຽຼ ມ S ທໝ = S ພ + S ອຂ / S ພ =  R2 S ທໝ = S ພ + S ອຂ S ທໝ = S ພ + S ອຂ S ອຂ =  R AS S ອຂ = ( AB + AC + BC) X d V 1 Sພh d ທ່ ອນສູນສາກ 3 V 1 Sພh V 1 S ພh 3 3 ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບຈວຍທ່ ມີ ລີ ດັ ສະໝພີ ນໍ້ ເທ່ າົ ກບັ 2 cm ແລະ ລວງສູງເທ່ າົ ກບັ 3 cm? 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທາດສ່ ຫີ ່ ຼຽມສະເໝທີ ່ ມີ ຂີ າ້ໍ ງເທ່ າົ ກບັ 7 cm ແລະ ລວງສູງເທ່ າົ ກບັ 9 cm? 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບກອ້ໍ ນສາກທ່ ມີ ຂິ າໍ້ ງເທ່ າົ ກບັ 4 cm? 4. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ ທ່ ມີ ລີ ດັ ສະໝເີ ທ່ າົ ກບັ 4 cm ແລະ ລວງສູງ 3 cm? 5. ອ່ າງເກບັ ນາ້ໍ ໜ່ ວຍໜ່ ງເປນຮັ ູບກບັ ສາກເຊ່ ງິ ວ່ າລວງກວ້ໍ າງເທ່ າົ ກບັ 2 cm, ລວງຍາວເທ່ າົ 3 ເທ່ ອຂອງລວງກ ໍ້ ວາງ ແລະ ລວງສູງເທ່ າົ ເຄ່ ງິ ໜ່ ງຂອງລວງຍາວ ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອໍ້ ທ່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງອ່ າງດ່ ງັ ກ່ າວ? 6. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ ຫ່ ຼຽມທ່ ມີ ຂີ າ້ໍ ງພນ້ໍ ເທ່ າົ 4 cm, 6 cm, 7 cm ແລະ ລວງສູງ ເທ່ າົ ກບັ 3 cm? 7. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອໍ້ ທ່ ີ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ ຫ່ ຽຼ ມ, ພນໍ້ ເປນັ ຮູບສາມແຈສະເໝຂີ າ້ໍ ງເທ່ າົ 4 cm, ລວງສູງ 6 cm ແລະ ທ່ ອນສາກແມ່ ນ 8 cm? 8. ຫອ້ໍ ງຮຽນໜ່ ງເປນັ ຮູບກບັ ສາກເຊ່ ງິ ມຫີ ່ ຼຽມຂາໍ້ ງ 9 cm, 6 cm, 3 cm ຈ່ ງົ ຊອກຫາເນອ້ໍ ທ່ ທີ ງັ ໝດົ ແລະ ບ ລມິ າດ? 60

ບດົ ທີ 5 ເລກສ່ ວນ 1. ຮູບແບບການຂຽນເລກສ່ ວນ ເລກສ່ ວນແມ່ ນຈານວນໜ່ ງ ເຊ່ ງິ ແມ່ ນໜ່ ງສ່ ວນ ຫຼ ຫຼາຍໆສ່ ວນເທ່ າົ ກນັ ຂອງຫວົ ໜ່ ວຍດຽວ ປະກອບເປນັ ຫຼ ແມ່ ນການແບ່ ງສ່ ວນເທ່ າົ ໆກນັ ໃນໜ່ ງຫວົ ໜ່ ວຍ , ຖາ້ໍ ມຫີ ຼາຍຫວົ ໜ່ ວຍກຕອໍ້ ງຖເອາົ ການ ແບ່ ງສ່ ວນໃນໜ່ ງຫວົ ໜ່ ວຍເປັນຫວົ ໜ່ ວຍຫຼກັ , ແລວ້ໍ ໃນນນັໍ້ ເຮາົ ຕອ້ໍ ງການຈານວນໃດໜ່ ງໃນຫຼາຍສ່ ວນ ແບ່ ງເທ່ າົ ໆກນັ . ຈານວນທ່ ເີ ຮາົ ຕອ້ໍ ງການເອນີ້ໍ ວ່ າ: ຈານວນພູດ ແລະ ຈານວນສ່ ວນແບ່ ງເທ່ າົ ໆກນັ ທງັ ໝດົ ໃນ ໜ່ ງຫວົ ໜ່ ວຍເອນີ້ໍ ວ່ າ: ພູດ ຖາໍ້ ເຮາົ ແບ່ ງສ່ ວນໃນໜ່ ງຫົວໜ່ ວຍໃດໜ່ ງຫຼາຍໆສ່ ວນເທ່ ົາໃດ ຄຸນຄ່ າຂອງເລກສ່ ວນຍ່ ງິ ມຄີ ່ າ ໜອ້ໍ ຍເທ່ າົ ນນັໍ້ .  ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຈີ ານວນພູດໜອໍ້ ຍກວ່ າພູດເອນີໍ້ ວ່ າ: ເລກສ່ ວນດາຍ.  ເລກສ່ ວນທ່ ຈີ ານວນນວນພູດຫຼາຍກວ່ າພູດເອນີໍ້ ວ່ າ: ເລກສ່ ວນເກນີ  ເລກສ່ ວນທ່ ປີ ະກອບດວ້ໍ ຍຈານວນຖວ້ໍ ນ ແລະ ສ່ ວນດາຍໃດໜ່ ງເອນີໍ້ ວ່ າ: ເລກສ່ ວນປະສມົ . ຕວົ ຢ່ າງ: ເລກສ່ ວນດາຍ 12 1 1 2 23 3 4 5 ຕວົ ເລກເບອໍ້ ງເທງິ ເລກ 1 ເອນີ້ໍ ວ່ າ: ຈານວນພູດ ຕວົ ເລກເບອໍ້ ງລ່ ຸມເລກ 2 ເອນີໍ້ ວ່ າ: ພູດ ຕວົ ຢ່ າງ: ເລກສ່ ວນເກນີ ຫຼ ເລກສ່ ວນໃຫຍ່ ກວ່ າ 1 ຫວົ ໜ່ ວຍຂນ້ໍ ໄປ 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 17 ; 2 4 5 4 15 12 ຕວົ ຢ່ າງ: ເລກສ່ ວນປະສມົ 23 31 21 4 3 2 2. ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າເທ່ າົ ກນັ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນ ສອງ ຫຼ ຫຼາຍສ່ ວນຂອງເລກສ່ ວນພອໍ້ ມສະແດງອາການໜ່ ງ ຫຼ ອາການ ຕ່ າງໆເທ່ າົ ກນັ ພອ້ໍ ມຫວົ ໜ່ ວຍດຽວ 61

ຕວົ ຢ່ າງ: 11 23 22 46 43 89 1 = 2 = 4 1 = 2 = 3 2 4 8 3 6 9 ( ໃນຕວົ ຈງິ ແມ່ ນຫວົ ໜ່ ວຍດຽວ ແລະ ທງັ 3 ເລກສ່ ວນແມ່ ນແຕມໍ້ ທບັ ກນັ ຕ່ າງສລີ ງົ ໃນຮູບດຽວກນັ , ແຕ່ ເພ່ ອໃຫເໍ້ ຫນັ ຊດັ ເຈນຈ່ ງສະແດງໃຫເໍ້ ຫນັ 3 ຮູບ ແຕ່ ບ່ ໝາຍເຖງິ 3 ຫວົ ໜ່ ວຍ )  ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າບ່ ເທ່ າົ ກນັ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າບ່ ເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າຫຸດຼ ລ່ ນກນັ . ຕວົ ຢ່ າງ: 11 3 24 4 12 3 34 5 1 ≠1 1≠2 3 ≠3 23 44 45 3. ການປຽບທຽບເລກສ່ ວນ ການປຽບທຽບເລກສ່ ວນແມ່ ນການເອາົ ເລກສ່ ວນສອງ ຫຼ ຫຼາຍຈານວນມາປຽບທຽບກນັ ທາງດາ້ໍ ນຄຸນຄ່ າ ໃນຫວົ ໜ່ ວຍດຽວ, ຖາ້ໍ ຄຸນຄ່ າຂອງເລກສ່ ວນໃດໃຫຍ່ ກ່ ວາເລກສ່ ວນນນັ້ໍ ຈະໃຫຍ່ ກ່ ວາ. ຕວົ ຢ່ າງ: ພູດເທ່ າົ ກນັ 22 43 31 43 2 < 3 2 > 1 3 > 1 4 4 3 3 4 4 ຕວົ ຢ່ າງ: ພູດຕ່ າງກນັ ຕອ້ໍ ງເຮດັ ໃຫພໍ້ ູດເທ່ າົ ກນັ ແລວໍ້ ຈ່ ງປຽບທຽບ, ຖາໍ້ ປຽບທຽບດວ້ໍ ຍຮູບພາບຈະ ເຫນັ ໄດຊ້ໍ ດັ ເຈນກ່ ວາ 12 = 2 ( ປ່ ຽນ 1/2 ເປນັ 2/4 ເຮດັ ໃຫພໍ້ ູດເທ່ າົ 4 ແລວ້ໍ ຈ່ ງປຽບທຽບ ) ສະນນັ້ໍ ເຮາົ ໄດ:້ໍ 2 4 2 > 1 ຫຼ 1 > 1 4 4 2 4 62

 ການຫຍເ້ໍ ລກສ່ ວນ ການຫຍເໍ້ ລກສ່ ວນ ແມ່ ນຕວົ ເລກທ່ ທີ ງັ ສອງຂອງເລກສ່ ວນນນັ້ໍ ຫານໃຫຈໍ້ ານວນດຽວກນັ ເພ່ ອໃຫໍ້ ໄດເໍ້ ລກສ່ ວນໜ່ ງທ່ ມີ ຄີ ຸນຄ່ າເທ່ າົ ກບັ ເລກສ່ ວນເກ່ າົ ແຕ່ ວ່ າມຕີ ວົ ເລກທ່ ນີ ອ້ໍ ຍກ່ ວາ. ຕວົ ຢ່ າງ: 2 = 2:2 = 1 ; 3 = 3:3 = 1 4 4:2 2 6 6:3 2 4 = 4:4 = 1 ; 22 = 22 : 2 = 11 ; 5 = …… ? 12 12 : 4 3 26 26 : 2 13 15  ການຊອກຫາພູດລວມ ແມ່ ນການເຮດັ ໃຫເໍ້ ລກສ່ ວນສອງຈານວນ ຫຼ ຫຼາຍຈານວນມພີ ູດດຽວກນັ ຫຼ ເທ່ າົ ກນັ ແຕ່ ຄຸນຄ່ າ ຂອງເລກສ່ ວນເຫ່ າຼົ ນນັ້ໍ ບ່ ປ່ ຽນແປງ. ດວໍ້ ຍການຊອກຫາທະວຄີ ນູ ລວມນອ້ໍ ຍສຸດຂອງບນັ ດາ ເລກສ່ ວນນນັໍ້ ໆ. ຫຼກັ ການ ຢາກຂນ້ໍ ພູດລວມຂອງຫຼາຍເລກສ່ ວນ ກ່ ອນອ່ ນໝດົ ເຮາົ ຫາທະວຄີ ູນລວມນອໍ້ ຍສຸດຂອງບນັ ດາພູດ ແລະ ສ່ ວນຄນູ ສາຮອງຂອງແຕ່ ລະເລກສ່ ວນ ແລວໍ້ ຄູນທງັ ສອງໂຕ ເລກທຂີ ອງແຕ່ ລະເລກສ່ ວນກບັ ສ່ ວນ ຄູນສາຮອງຂອງມນັ . ຕວົ ຢ່ າງ 1: 1 + 1 = 1 x 2 + 1 = 2 + 1 = 3 2 4 2 4 4 4 4 ສະນນັໍ້ ພູດລວມຂອງ 2 ເລກສ່ ວນນແີໍ້ ມ່ ນ 4 2 + 1 = 2 + 1 x 2 = 2 + 2 = 4 ÷ 2= 2 6 3 6 3 6 6 6 3 ສະນນັ້ໍ ພູດລວມແມ່ ນ 6 1 + 1 = 1 x3 + 1 x2 = 3 + 2 = 5 2 3 2 3 6 6 6 ສະນນັໍ້ ພູດລວມແມ່ ນ 6 1 + 2 + 1 = 1 x4 + 2 x3 + 1 x2 = 4 + 6 + 2 = 12 =1 3 4 6 3 4 6 12 12 12 12 ສະນນັໍ້ ພູດລວມແມ່ ນ 12 ຕວົ ຢ່ າງ2: 7 ແລະ 8 ສະນນັໍ້ ເຮາົ ມີ 7 x1 ແລະ 8 x2 7 ແລະ 16 30 15 30 15 30 30 63

ສະນນັ້ໍ ພູດລວມແມ່ ນ 30 7 , 11 ແລະ 3 30 60 70 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ 30 = 2 x 3 x 5 60 = 22  3  5 70 = 2 x 3 x 7 = 22  3  5  7  420 420 ÷ 30= 14; 420 ÷ 60 = 7; 420 ÷ 70 = 6 ເຮາົ ໄດໍ້ 7 = 7 x14 = 98 ; 11 = 11 x7 = 77 30 30 420 60 60 420 3 = 3 x 6 = 18 70 70 420 ເຮາົ ໄດ້ໍ 3 , 11 ແລະ 3 ແມ່ ນ 98 , 77 ແລະ 18 ສະນນັໍ້ ພູດລວມແມ່ ນ 420 70 60 70 420 420 420 4. ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເກນີ ເປນັ ເລກປະສມົ ຫຼ ຈານວນສ່ ວນ ແມ່ ນເອາົ ຈານວນພູດຫານໃຫພໍ້ ູດ ແລວໍ້ ເອາົ ຜນົ ຫານເປັນສ່ ວນຖວ້ໍ ນ ແລວ້ໍ ເອາົ ຕວົ ເສດເປັນຈານວນພູດ ຂອງເລກສ່ ວນ, ສ່ ວນພູດແມ່ ນພູດເດມີ . ຕວົ ຢ່ າງ: 9 ເຮາົ ໄດໍ້ 94 21 ; 11 = ……. ? 4 4 3 12 13 =……..? 13 5 11 3 5 32 2 3 ສະນນັ້ໍ 11 = 32 3 3 13 = 23 5 5 5. ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນປະສມົ ເປນັ ເລກສ່ ວນເກນີ ແມ່ ນເອາົ ພູດຄູນກບັ ສ່ ວນຖວໍ້ ນແລວ້ໍ ບວກກບັ ຈານວນພູດ ສ່ ວນພູດແມ່ ນພູດເດມີ . ຕວົ ຢ່ າງ: 2 1 =…….? 21 = 5 2 1  11 5 5 55 21 = 11 ; 3 1 = 7 ; 3 4 = 31 5 5 2 2 9 9 64

6. ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເປນັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ  ການປ່ ຽນຈານວນຖວໍ້ ນເປນັ ເລກສ່ ວນ ຕວົ ຢ່ າງ: ຢາກປ່ ຽນຈານວນຖວ້ໍ ນ 4 ເປນັ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດແມ່ ນ 6 ໃຫເໍ້ ອາົ 46 ເຮາົ ຈະໄດໍ້ 24 ແມ່ ນເລກສ່ ວນ 6 6 ທ່ ຕີ ອໍ້ ງການ.  ຈ່ ງົ ປ່ ຽນຈານວນຖວໍ້ ນ 5 , 3, 2 ແລະ 6 ເຫ່ າຼົ ນເີ້ໍ ປນັ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດ 7, 8 , 9  ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເປນັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເປັນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ແມ່ ນ ໃຫເໍ້ ອາົ ຈານວນພູດຫານໃຫພ້ໍ ູດແຕ່ ຕອໍ້ ງເປນັ ການ ຫານສນິໍ້ ສຸດ ຖາໍ້ ຫາກບ່ ສນິໍ້ ສຸດບ່ ສາມາດປ່ ຽນເປນັ ທດົ ສະນຍິ ມົ ໄດ.ໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ 1: 5 =0,5 ; 3  0,3 ; 7  0,07 ; 75  7,5 ; 78  0,78 10 10 100 10 100 ຕວົ ຢ່ າງ 2 6  ........? 64 8  ........? 8 5 4 5 20 1,5 30 1,6 6  1,5 8  1,6 4 5 7. ການຄານວນສ່ ປີ ະການຂອງເລກສ່ ວນ  ການບວກເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນເອາົ ຈານວນພູດບວກກນັ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄ້ໍ ເກ່ າົ ຫງຼັ ຈາກນນັໍ້ ຫຍລໍ້ ງົ ຖາໍ້ ຫຍໄໍ້ ດໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ: 112 213 325 44 4 55 5 66 6 3 2  5 ; 2131 ; 4  2  6 1 88 8 99 9 3 12 12 12 6 1. ການບວກເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດບ່ ເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນເຮດັ ໃຫພໍ້ ູດເທ່ າົ ກນັ ແລວ້ໍ ຈ່ ງເອາົ ຈານວນພູດບວກກນັ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄ້ໍ ເກ່ າົ ຫຼງັ ຈາກນນັ້ໍ ໃຫຫ້ໍ ຍລໍ້ ງົ ຖາ້ໍ ຫຍໄ້ໍ ດ.ໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ: 1  1  13 12  3  2  5 23 2 3 66 6 65

 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ? 1 2 ? ; 2  1  ? ; 2  2  ? ; 21 ? 34 5 2 5 4 63  ການລບົ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນໃຫເໍ້ ອາົ ຈານວນພູດລບົ ກນັ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄ້ໍ ເກ່ າົ ຫຼງັ ຈາກນນັ້ໍ ຫຍລໍ້ ງົ ຖາໍ້ ຫຍໄໍ້ ດ່ .ໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ: 32  1 ; 4 2  2:2  1 55 5 6 6 6:2 3  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ : 5  3  ? ; 4  1 ? ; 5  2  ? ; 7  5 ? 6 6 7 7 9 9 10 10  ການລບົ ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ູດບ່ ເທ່ າົ ກນັ ແມ່ ນເຮດັ ໃຫພໍ້ ູດເທ່ າົ ກນັ ແລວ້ໍ ຈ່ ງເອາົ ຈານວນພູດລບົ ກນັ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄ້ໍ ເກ່ າົ ຫຼງັ ຈາກນນັໍ້ ໃຫຫ້ໍ ຍລ້ໍ ງົ ຖາ້ໍ ຫຍໄໍ້ ດ.ໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ: 1 1 ? 1  2 ? 23 25 1312  3  2  1 15 22  5  4  1 2 3 66 6 2 5 10 10 10 1 1  1 12 1 23 6 2 5 10  ການຄນູ ຈານວນຖວ້ໍ ນກບັ ເລກສ່ ວນ ແມ່ ນໃຫເໍ້ ອາົ ຈານວນຖວ້ໍ ນຄູນຈານວນພູດ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄໍ້ ເກ່ າົ ຫຼງັ ຈາກນນັໍ້ ໃຫສໍ້ ງັ ເກດຜນົ ຄນູ ຖາ້ໍ ຫາກສາມາດຫຍຖ້ໍ າ້ໍ ຫຍລ້ໍ ງົ ໄດ.້ໍ ຕວົ ຢ່ າງ: / 1  1  1  1  4 1  41  4  2  2 6 6 6 6 6 6 62 3 2  2  2  3 2  62  3 10 10 10 10 10  2 5  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ແລະ ແຕມ້ໍ ຮູບປະກອບໃສ່ ເລກສ່ ວນຕ່ ໄປນ:ີໍ້ 3 2  ? ; 2 2  ? ; 5 1  ?; 6 5  ? 12 14 7 60 66

 ການຄນູ ເລກສ່ ວນກບັ ຈານວນຖວໍ້ ນ ແມ່ ນໃຫເໍ້ ອາົ ຈານວນພູດຄູນກບັ ຈານວນຖວ້ໍ ນ ສ່ ວນພູດຮກັ ສາໄວຄໍ້ ເກ່ າົ ຫຼ ປີນໍ້ ກບັ ການຄູນ ຈານວນຖວໍ້ ນກບັ ເລກສ່ ວນ ຫຼງັ ຈາກນນັ້ໍ ໃຫສ້ໍ ງັ ເກດຜນົ ຄນູ ຖາ້ໍ ສາມາດຫຍໄ້ໍ ດໃ້ໍ ຫຫ້ໍ ຍລໍ້ ງົ . ຕວົ ຢ່ າງ: 2  3  6  2; 4  2  8  1; 32 6:3  2 3 3 8 8 9 9:3 3  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 4 2  ?; 3 7  ?; 2 4  ?; 3 2? 97 6 12  ການຄນູ ເລກສ່ ວນກບັ ເລກສ່ ວນ ແມ່ ນໃຫເ້ໍ ອາົ ຈານວນພູດກບັ ຈານວນພູດ, ພູດຄູນພູດ ຫຼງັ ຈາກນນັໍ້ ໃຫຫໍ້ ຍລໍ້ ງົ ໄດ.້ໍ ຕວົ ຢ່ າງ: 21 ? ວທິ ແີ ຕມ້ໍ ຮູບປະກອບ 32 - ແຕມໍ້ ຮູບສະແດງຄວາມໝາຍ 1 ກ່ ອນຫຼ 2 ກ່ ອນກໄດໍ້ 2 3 - ໃຫແໍ້ ບ່ ງບ່ ອນທາສ1ີ ສ່ ວນອອກເປນັ 3ສ່ ວນເທ່ າົ ໆກນັ ໄປຕາມລວງ 2  1  21  2  1 ນອນແລະໃຫຂໍ້ ດີ ຈນົ ສຸດສ່ ວນແບ່ ງທງັ 2 ສ່ ວນ 3 2 32 6 3 ໃຫທ້ໍ າສຂີ ດີ ຕດັ ເອາົ 2 ສ່ ວນໃນບ່ ອນທາສໄີ ວກໍ້ ່ ອນແລວ້ໍ 3 ສ່ ວນ ສຸດທາໍ້ ຍກໄດຜ້ໍ ນົ ຮບັ 2 ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຜນົ ຄນູ ຂອງ 2  1 ນນັ້ໍ ເອງ. 6 3 2  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ແລວ້ໍ ແຕມ້ໍ ຮູບປະກອບພອ້ໍ ມ 22 ? 21 ? 31 ? 43 52 63  ການຫານຈານວນຖວໍ້ ນໃຫເ້ໍ ລກສ່ ວນ ແມ່ ນໃຫເ້ໍ ອາົ ຈານວນຖວໍ້ ນຄູນກບັ ພູດ ແລວ້ໍ ຫານໃຫຈໍ້ ານວນພູດ ໃນກລະນນີ ຜີ້ໍ ົນຫານເປັນ ຈານວນຖວໍ້ ນ ຫຼ ຈານວນເສດ ຕວົ ຢ່່ າງ: ວທິ ໃີ ຊຄໍ້ າເວາົ້ໍ 21 ? ມເີ ຈຍໍ້ 2 ໃບ ປນັ ໃຫຜ້ໍ ູລໍ້ ະ 1 ຖາມວ່ າຈະໄດຈ້ໍ ກັ ຄນົ ?( 4 ຄນົ ) 2 2 2 1  22  4  4 21 1 67

3  2  3 4  12  6 42 2 ມວີ ງົ ມນົ 3 ອນັ ປນັ ໃຫຜ້ໍ ູລ້ໍ ະ 2 ຖາມວ່ າຈະໄດຈ້ໍ ກັ ຄນົ ? (6 ຄນົ ) 4 4  2  4  8  32  16 82 2 ມເີ ຈຍໍ້ 4 ໃບປນັ ໃຫຜ້ໍ ູລ້ໍ ະ 2 ຖາມວ່ າຈະໄດຈໍ້ ກັ ຄນົ ? ( 16 ຄນົ ) 8  ການຫານເລກສ່ ວນໃຫຈ້ໍ ານວນຖວ້ໍ ນ ແມ່ ນໃຫເໍ້ ອາົ ຈານວນພູດຫານໃຫພໍ້ ູດຄູນກບັ ຈານວນຖວ້ໍ ນ, ຜນົ ຫານທ່ ໄີ ດຮ້ໍ ບັ ເປນັ ເລກສ່ ວນ, ຫຼງັ ຈາກນນັໍ້ ໃຫຫ້ໍ ຍລໍ້ ງົ ຖາ້ໍ ຫຍໄໍ້ ດ້ໍ ຕວົ ຢ່ າງ: 1 3? 2 1 3 1  1 2 23 6  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ແລະ ແຕມໍ້ ຮູບປະກອບ ພອ້ໍ ມທງັ ເຝກິ ການໃຊຄ້ໍ າເວາົ້ໍ 32? ; 4 3? ; 2 3? ; 2 4  ? 9 8 5 7  ການຫານເລກສ່ ວນໃຫເ້ໍ ລກສ່ ວນ ແມ່ ນໃຫຄໍ້ ູນໄຂ່ ວກນັ ຫຼ ຄູນປີນໍ້ ກບັ ຕວົ ຫານ ຫຼ ໃຫເ້ໍ ອາົ ຈານວນພູດຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຫານຄູນກບັ ພູດ ຂອງຕວົ ຫານ ແລວ້ໍ ຫານໃຫພ້ໍ ູດຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຫານຄູນກບັ ຈານວນພູດຂອງຕວົ ຫານ, ຫຼງັ ຈາກນນັໍ້ ໃຫຫ້ໍ ຍລໍ້ ງົ ຖາໍ້ ຫຍໄ້ໍ ດໍ້ ຕວົ ຢ່ າງ 2  1  ? ວທິ ໃີ ຊຄ້ໍ າເວາົໍ້ : 4 8 ມໝີ າກກຽໍ້ ງ 2 ປນັ ໃຫຜໍ້ ູລ້ໍ ະ 1 ຖາມວ່ າຈະໄດຈ້ໍ ກັ ຄນົ ? 4 8 ວທິ ແີ ຕມ້ໍ ຮູບ: 68

2  1  2  8  16  4 ໃຫແ້ໍ ຕມ້ໍ 42ກ່ ອນ,ຈາກນນັ້ໍ ໃຫແໍ້ ບ່ ງສ່ ວນທງັ ໝດົ ຂອງຮູບເປນັ 48 41 4 8ສ່ ວນເທ່ າົ ກນັ .ຈາກນນັ້ໍ ທາສໄີ ປເທ່ ອລະ 1 ,ທາໄປຈນົ ໝດົ 8 ໃນສ່ ວນທ່ ມີ ີ 2 ທາອດິ .ຈາກນນັໍ້ ກຈະໄດຜໍ້ ນົ ຫານເທ່ າົ 4 4 ຮູບຍ່ ອຍ: ຂນັໍ້ ທ1ີ ແຕມໍ້ 2/4 ຂນັໍ້ ທ2ີ ແບ່ ງເປນັ 8ສ່ ວນເທ່ າົ ກນັ ໂດຍຂດີ ແບ່ ງເຄ່ ງິ ຕາມທາງນອນ (ຂນັໍ້ ທີ 3 ຮູບລວມສຸດທາ້ໍ ຍ ໂດຍທາສໄີ ປເທອລະ 1/8 ) 2  1  ? 2  1  2 x 6  12 36 3 6 3 1 34 ຂນັ້ໍ ທ1ີ ແຕມໍ້ 2/3 ຂນັ້ໍ ທ2ີ ແບ່ ງເປນັ 6ສ່ ວນເທ່ າົ ກນັ ຂນັໍ້ ທ3ີ ທາສເີ ທ່ ອລະສ່ ວນ ຫຼ ເທ່ ອລະ1/6ໄດໍ້ 4 ເທ່ ອ  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ແລວໍ້ ແຕມໍ້ ຮູບປະກອບ ພອ້ໍ ມທງັ ເຝກິ ການໃຊຄ້ໍ າເວາົ້ໍ 22 ? 32? 2 1 ? 4 8 9 8 6 12  ໂຈດກ່ ຽວກບັ ເລກສ່ ວນ ຕວົ ຢ່ າງ 1 : ເຊອກເສນັໍ້ ໜ່ ງຍາວ 52m ເພ່ ນິ ຕດັ ເອາົ ໄປເຮດັ ເຊອກມດັ ງວົ 1 ຂອງເຊອກ ແລະ ເອາົ ໄປເຮດັ 4 ຜຽກຕາກເຄ່ ອງ 1 ຂອງເຊອກ. ຖາມວ່ າເຊອກເສນັໍ້ ນນັໍ້ ຍງັ ເຫຼອເທ່ າົ ໃດ m ? 2 69

ແກ:້ໍ ເຊອກເສນັໍ້ ນນັໍ້ ຍງັ ເຫຼອເທ່ າົ ນີໍ້ m 52 – ( 1 + 1 )x52 = 52- ( 52 + 52 ) = 52 - ( 26 +13) = 13 m 2 4 2 4 ຕວົ ຢ່ າງ 2 : ໄມ ໍ້ 4 ທ່ ອນ ມລີ ວງຍາວດ່ ງັ ນ:ີ້ໍ ທ່ ອນທ່ ໜີ ່ ງຍາວ 3,5 m ,ທ່ ອນທສີ ອງເທ່ າົ 2 ເທ່ ອຂອງທ່ ອນທ່ ີ ໜ່ ງ, ທ່ ອນທສີ າມຍາວເທ່ າົ ເຄ່ ງິ ໜ່ ງຂອງທ່ ອນທໜີ ່ ງ ແລະ ທ່ ອນທສີ ່ ຍີ າວເທ່ າົ ສອງເທ່ ອຂອງທ່ ອນທສີ າມ. ຖາ້ໍ ເພ່ ນິ ເອາົ ໄມ ໍ້ 4 ທ່ ອນມາຕ່ ໃສ່ ກນັ ຈະມລີ ວງຍາວທງັ ໝດົ ເທ່ າົ ໃດ ? ແກ:້ໍ ເຊອກເສນັ້ໍ ນນັ້ໍ ມລີ ວງຍາວທງັ ໝດົ ເທ່ າົ ນ:ີໍ້ 3,5 + ( 2x 3,5 ) + ( 3,5X1/ 2 ) + 2 x ( 3,5x1/2 )= 26,25 m ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຈ່ ງົ ບອກ ແລະ ອະທບິ າຍຕາມຂມໍ້ ນູ ລ່ ຸມນ:ີໍ້  ຄວາມໝາຍຂອງເລກສ່ ວນ ?  ເລກສ່ ວນທ່ ມີ ຄີ ່ າເທ່ າົ ກນັ ?  ວທິ ປີ ຽບທຽບເລກສ່ ວນ ?.  ວທິ ຫີ ຍເໍ້ ລກສ່ ວນ ?  ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເກນີ ເປນັ ເລກສ່ ວນປະສມົ ?  ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນປະສມົ ເປນັ ເລກສ່ ວນເກນີ ?  ການປ່ ຽນເລກສ່ ວນເປນັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ?  ຈ່ ງົ ຄານວນເລກສ່ ວນຕາມສ່ ປີ ະການ ?  ຈ່່ ງົ ແກໂ້ໍ ຈດ ແລະ ສາ້ໍ ງໂຈດກ່ ຽວກບັ ເລກສ່ ວນ ? 70

ບດົ ທີ 6 ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ 1. ນຍິ າມ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ແມ່ ນເລກສ່ ວນທ່ ມີ ພີ ນ້ໍ ແມ່ ນກາລງັ ຂອງ 10 ຫຼ ແມ່ ນເລກສ່ ວນພນໍ້ ສບິ ທ່ ີ ຂຽນບ່ ມພີ ູດ ເອນີໍ້ ວ່ າ: ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ 25 25  2,5 25  0,25 ຕວົ ຢ່ າງ : 2,5 ໄດມ້ໍ າຈາກ 10 ຫຼ 10 ; 100 ສນັ ຍະລກັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ມີ 2 ພາກສ່ ວນຄ: ພາກສ່ ວນຖວໍ້ ນ ແລະ ພາກສ່ ວນເສດ ຕວົ ຢ່ າງ: 2,5 ອ່ ານວ່ າ: ສອງຈດຸ ຫາ້ໍ , 2 ແມ່ ນພາກສ່ ວນຖວໍ້ ນ ແລະ 5 ແມ່ ນພາກສ່ ວນເສດ 4,368 ອ່ ານວ່ າ: ສ່ ຈີ ດຸ ສາມຫກົ ແປດ ຫຼ ສ່ ຈີ ດຸ ສາມຮອໍ້ ຍຫກົ ສບິ ແປດ, 4 ແມ່ ນສ່ ວນຖວໍ້ ນ, 3 ແມ່ ນ ເສດສ່ ວນສບິ , 6 ແມ່ ນເສດສ່ ວນຮອ້ໍ ຍ ແລະ 8 ແມ່ ນເສດສ່ ວນພນັ ຕາຕະລາງ ສ່ ວນຖວ້ໍ ນ ໝາຍ ສ່ ວນເສດ ສ່ ວນພນັ ຫວົ ຮອໍ້ ຍ ຫວົ ສບິ ຫວົ ໜ່ ວຍ , ສ່ ວນສບິ ສ່ ວນຮອ້ໍ ຍ 8 4, 36 4 4 7, 92 5 78 9, 10 ວທິ ປີ ່ ຽນເລກສ່ ວນສບິ ເປນັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ : 6  0,6 58  0,58 9  2,09 85 7 10 ; 100 ; 2 100 ; 3 100 = 3,85 ; 5 100 = 5,07 ການເພ່ ມີ ຫຼ ຫຸຼດຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂນໍ້ -ລງົ 10 ; 100; 1000 ເທ່ ອຕ່ ໆໄປ  ກ່ ຽວກບັ ຈານວນຖວ້ໍ ນໃດໜ່ ງ ຖາໍ້ ຕ່ ມສູນໃສ່ ເບອໍ້ ງຂວາໜ່ ງຕວົ , ສອງຕວົ , ສາມຕວົ ຈານວນນນັ້ໍ ຈະ ເພ່ ມີ ຂນໍ້ 10 ເທ່ ອ, 100 ເທ່ ອ, 1000 ເທ່ ອ ….ເຊ່ ນັ : 25 ຕ່ ມໜ່ ງສູນເປນັ 250 ເພ່ ມີ ຂນໍ້ 10 ເທ່ ອ 25 ຕ່ ມສອງສູນເປນັ 2500 ເພ່ ມີ ຂນໍ້ 100 ເທ່ ອ……..  ກ່ ຽວກບັ ຈານວນເສດໃດໜ່ ງ ຖາ້ໍ ຕ່ ມສູນໃສ່ ເບອ້ໍ ງຂວາ ຫຼ ເບອໍ້ ງຊາ້ໍ ຍ ຈານວນນນັໍ້ ຈະບ່ ປ່ ຽນແປງເຊ່ ນັ : 71

2,5 ຕ່ ມໜ່ ງສູນຢ່ ູເບອໍ້ ງຂວາເປນັ 2,50 ຫຼ ຕ່ ມຢ່ ູເບອ້ໍ ງຊາ້ໍ ຍເປນັ 02,5 ເຮາົ ເຫນັ ວ່ າຄຸນຄ່ າຂອງມນັ ບ່ ປ່ ຽນແປງ ຫຼກັ ການ  ຖາໍ້ ຢາກເພ່ ີມຈານວນເສດໃດໜ່ ງຂນໍ້ ເປັນ 10 ເທ່ ອ, 100 ເທ່ ອ….. ແມ່ ນໃຫຍ້ໍ າໍ້ ຍຈຸດຂອງ ຈານວນເສດນນັໍ້ ໄປດາໍ້ ນຂວາເຊ່ ນັ : - ຖາ້ໍ ເພ່ ມີ 10 ເທ່ ອແມ່ ນໃຫຍ້ໍ າໍ້ ຍໄປ ໜ່ ງຕວົ ເຊ່ ນັ : 1,5 ເພ່ ມີ 10 ເທ່ ອເປນັ 15 - ຖາໍ້ ເພ່ ມີ 100 ເທ່ ອແມ່ ນໃຫຍໍ້ າ້ໍ ຍໄປ ສອງຕວົ ເຊ່ ນັ : 1,5 ເພ່ ມີ 100ເທ່ ອເປນັ 150  ຖາ້ໍ ຢາກຫຸຼດຈານວນເສດໃດໜ່ ງລງົ ເປນັ 10 ເທ່ ອ, 100 ເທ່ ອ….. ແມ່ ນໃຫຍໍ້ າໍ້ ຍຈດຸ ຂອງຈານວນ ເສດນນັໍ້ ໄປດາ້ໍ ນຊາໍ້ ຍເຊ່ ນັ : - ຖາ້ໍ ຫຸຼດ 10 ເທ່ ອແມ່ ນໃຫຍ້ໍ າໍ້ ຍໄປ ໜ່ ງຕວົ ເຊ່ ນັ : 1,5 ຫຸດຼ 10 ເທ່ ອເປນັ 0,15 - ຖາ້ໍ ຫຸຼດ 100ເທ່ ອແມ່ ນໃຫຍໍ້ າໍ້ ຍໄປ ສອງຕວົ ເຊ່ ນັ : 1,5 ຫຸຼດ100ເທ່ ອເປນັ 0,015 2. ການປຽບທຽບຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຕວົ ຢ່ າງ :  3,4 > 2,5 ເພາະວ່ າ: ສ່ ວນຖວໍ້ ນ 3 > 2  3,2 >3,1 ເພາະວ່ າ: ເສດສ່ ວນສບິ 2 > 1  3,08 >3,06 ເພາະວ່ າ: ເສດສ່ ວນຮອ້ໍ ຍ 8 > 6  5,99 < 7,01 ເພາະວ່ າ: ສ່ ວນຖວ້ໍ ນ 5 < 7  6,18 < 6,39 ເພາະວ່ າ: ເສດສ່ ວນສບິ 1 < 3  ຫຼກັ ການ ການປຽບທຽບຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫປໍ້ ຽບທຽບພາກສ່ ວນທ່ ເີ ປັນຈານວນຖວ້ໍ ນ ຫຼ ພາກສ່ ວນຖວ້ໍ ນຢ່ ູ ໜາໍ້ ຈດຸ ກ່ ອນ ໂດຍໃຫສ້ໍ ງັ ເກດ : - ຈານວນໃດມສີ ່ ວນຖວໍ້ ນໃຫຍ່ ກວ່ າ ແມ່ ນຈານວນນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ - ຖາ້ໍ ສ່ ວນຖວໍ້ ນເທ່ າົ ກນັ , ຈານວນໃດມສີ ່ ວນສບິ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ - ຖາໍ້ ສ່ ວນຖວ້ໍ ນ ແລະ ສ່ ວນສບິ ເທ່ າົ ກນັ , ຈານວນໃດມສີ ່ ວນຮອ້ໍ ຍໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນ ນນັ້ໍ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ ຫຼ - ການປຽບທຽບຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ແມ່ ນໃຫປໍ້ ຽບທຽບພາກສ່ ວນຖວ້ໍ ນດວໍ້ ຍກນັ ກ່ ອນ, ຖາໍ້ ພາກສ່ ວນຖວ້ໍ ນຂອງຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃດໃຫຍ່ ແມ່ ນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ - ໃນການປຽບທຽບຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຖາໍ້ ພາກສ່ ວນຖວ້ໍ ນຄກນັ ແມ່ ນໃຫປ້ໍ ຽບທຽບພາກສ່ ວນ ເສດສ່ ວນສບິ ຖາ້ໍ ພາກສ່ ວນເສດສ່ ວນສບິ ຂອງຈານວນໃດໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ 72

- ໃນການປຽບທຽບຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຖາ້ໍ ພາກສ່ ວນຖວໍ້ ນ ແລະ ພາກສ່ ວນເສດສ່ ວນສບິ ຄກນັ ແມ່ ນໃຫປ້ໍ ຽບທຽບພາກສ່ ວນເສດສ່ ວນຮອໍ້ ຍ ຖາ້ໍ ພາກສ່ ວນເສດສ່ ວນຮອໍ້ ຍຂອງຈານວນໃດ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ນນັ້ໍ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ 3. ການລຽງລາດບັ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃນການຈດັ ລຽງຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫສ້ໍ ງັ ເກດ : ຈານວນໃດມສີ ່ ວນຖວ້ໍ ນໃຫຍ່ ກວ່ າ ແມ່ ນຈານວນນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ, ຖາໍ້ ສ່ ວນຖວ້ໍ ນເທ່ າົ ກນັ ຈານວນໃດມສີ ່ ວນ ສບິ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ, ຖາໍ້ ສ່ ວນຖວ້ໍ ນ ແລະ ສ່ ວນສບິ ເທ່ າົ ກນັ ຈານວນໃດມສີ ່ ວນຮອໍ້ ຍ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ ແມ່ ນຈານວນນນັໍ້ ໃຫຍ່ ກ່ ວາ, ໃຫສໍ້ ງັ ເກດໄປເລອໍ້ ຍໆ ແລະ ຈດັ ລຽງໄປຕາມລາດບັ ຕວົ ຢ່ າງ: ລຽງລາດບັ ແຕ່ ໜອໍ້ ຍຫາຫາຼ ຍ 2,34 ; 2,44 ; 2,53 ; 2,61 ; 3,01 ; 3,11; 3,12 ….. ຕວົ ຢ່ າງ: ລຽງລາດບັ ແຕ່ ຫາຼ ຍຫາໜອ້ໍ ຍ 6,34 ; 6,24 ; 6,13 ; 6,01 ; 5,01 ; 4,11; 3,12 ….. ຕວົ ຢ່ າງ: ລຽງລາດບັ ແຕ່ ໜອ້ໍ ຍຫາຫາຼ ຍໂດຍເພ່ ມີ ຂນ້ໍ ເທ່ ອລະ 0,2 2,43 ; 2,63; 2,83; 3,03, 3,23; 3,43; ………………. 4. ການຄານວນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ  ການບວກຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການບວກຈານວນທົດສະນິຍມົ ການຕັງ້ໍ ເລກແມ່ ນໃຫຕ້ໍ ັງໍ້ ຈຸດໃຫສ້ໍ ່ ຈຸດ, ຫຼັງຈາກນັນ້ໍ ໃຫ້ໍ ປະຕບິ ດັ ຄການບວກຈານວນຖວໍ້ ນດວ້ໍ ຍກນັ , ຜນົ ບວກອອກມາໃຫໝໍ້ າຍຈດຸ ຢ່ ູຜນົ ບວກໃຫກໍ້ ງົ ກບັ ຈດຸ ຂອງຕວົ ຕງັໍ້ ບວກ ແລະ ຕວົ ບວກ ຕວົ ຢ່ າງ: 23,34 36,78 3 4,68 5,3     12,23 27,54 4,78 2,9 2,985 _____ _____ ____ ____ ____ 35,57 64,32 7,78 7,58 8,285  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 3,08 + 2 =? ; 5,2 + 1,456 =? 1,873 + 2,3? ; 5,08 + 2,7984 =? 73

 ການລບົ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການລົບຈານວນທົດສະນຍິ ົມການຕັງ້ໍ ເລກແມ່ ນໃຫຕ້ໍ ັງໍ້ ຈຸດໃຫສໍ້ ່ ຈຸດ, ຫຼັງຈາກນນັ້ໍ ໃຫ້ໍ ປະຕບິ ດັ ຄການລບົ ຈານວນຖວ້ໍ ນດວ້ໍ ຍກນັ , ຜນົ ລບົ ອອກມາໃຫໝ້ໍ າຍຈດຸ ຢ່ ູຜນົ ລບົ ໃຫກ້ໍ ງົ ກບັ ຈດຸ ຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ລບົ ແລະ ຕວົ ລບົ ຕວົ ຢ່ າງ: 36,78 54,67   27,54 12,23 _____ _____ 09,24 42,44  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 5 – 2,64 =? , 3 – 1,008 =? 6,04 – 2,99 =? ; 8,13 – 3,87 =? 8,36 – 2,898 =? ; 9,1 – 5,007 =?  ການຄນູ ຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການຄູນຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ແມ່ ນປະຕບິ ດັ ຄກນັ ກບັ ດວ້ໍ ຍການຄູນຈານວນຖວ້ໍ ນກບັ ຈານວນ ຖວໍ້ ນ,ແຕ່ ເມ່ ອເວລາຄດິ ໄລ່ ຜນົ ຄູນອອກມາແລວ້ໍ ,ໃຫໝ້ໍ າຍຈດຸ ໃສ່ ຜນົ ຄູນໂດຍໃຫມໍ້ ຈີ ານວນຕວົ ເສດຂອງ ຜນົ ຄູນເທ່ າົ ກບັ ຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຄນູ ກບັ ຕວົ ຄູນ ຕວົ ຢ່ າງ:ຖາ້ໍ ຈານວນຜນົ ຄູນຫາກບ່ ພຽງພກບັ ຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຕງັໍ້ ແລະຕວົ ຄູນ,ໃຫຕ້ໍ ່ ມ 0 (ສູນ) ໃສ່ ໄປທາງ ດາ້ໍ ນຊາໍ້ ຍຈນົ ຄນົ ຕາມຈານວນ ຕວົ ຢ່ າງ: 0,7 3,45 2.409 xx x 0.5 7 12 0,35 24,15 4818 2409 28,908 ຈ່ ງົ ຕງັ້ໍ ເລກໃຫຖໍ້ ກວທິ ີ ພອໍ້ ມທງັ ຄດິ ໄລ່ ໃຫຖ້ໍ ກຕອໍ້ ງ 5,24 x 9 =? ; 9,314 x 3,6 =? 8,768 x 0,4 =? ; 86,42 x 0,21 =? 0,09 x 1,003 =? 0,08 x 0,077 =? 74

 ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ມຫີ າຼ ຍກລະນເີ ຊ່ ນັ :  ການຫານຈານວນຖວໍ້ ນໃຫຈ້ໍ ານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຕວົ ຢ່ າງ1: ໄມທ້ໍ ່ ອນໜ່ ງຍາວ 9 dm ໃຫຕໍ້ ດັ ເປນັ ທ່ ອນລະ 4,5 dm.ຖາມວ່ າຈະໄດຈ້ໍ ກັ ທ່ ອນ ? ວທິ ແີ ກ ້ໍ 90 45 9 4,5 02 (ຄູນ10ໃສ່ ທງັ ສອງເບອໍ້ ງ ແລວໍ້ ກາຍເປນັ 90:45 ໃຫມ້ໍ ຈີ ານວນຕວົ ເລກສູນ ຫຼ ຂາ້ໍ ຈດຸ ຢ່ ູຕວົ ຫານ ແລວໍ້ ຕ່ ມສູນໃສ່ ຕວົ ຕງັໍ້ ຫານເທ່ າົ ກບັ ຈານວນ ຕວົ ເສດຢ່ ູຕວົ ຫານ )  ຫຼກັ ການ - ການຫານຈານວນຖວ້ໍ ນໃຫຈໍ້ ານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ແມ່ ນໃຫສ້ໍ ງັ ເກດຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານ ຖາໍ້ ຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານມີ 1 ຕວົ ເສດ, ແມ່ ນໃຫຄ້ໍ ູນ 10 ໃສ່ ທງັ 2 ເບອ້ໍ ງ ເພ່ ອໃຫຕ້ໍ ວົ ຫານກາຍເປັນຈານວນ ຖວໍ້ ນ ຫຼ ຂາໍ້ ຈຸດຢ່ ູຕວົ ຫານ ແລວ້ໍ ຕ່ ມສູນໃສ່ ຕວົ ຕັງ້ໍ ຫານ ຕາມຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານ.ຈາກນນັໍ້ ປະຕບິ ດັ ການຫານຄກນັ ກບັ ການຫານຈານວນຖວ້ໍ ນຫານໃຫຈໍ້ ານວນຖວ້ໍ ນ - ຖາໍ້ ຕົວເສດຂອງຕົວຫານມີ2ຕົວເສດ, ແມ່ ນໃຫຄ້ໍ ູນ100ໃສ່ ທັງສອງເບອ້ໍ ງເພ່ ອໃຫຕ້ໍ ວົ ຫານການເປັນ ຈານວນຖວໍ້ ນ, ແລວໍ້ ປະຕບິ ດັ ການຫານຄກບັ ຈານວນຖວ້ໍ ນ ຫານໃຫຈ້ໍ ານວນຖວໍ້ ນ, ຖາ້ໍ ຕວົ ຫານມຕີ ວົ ເສດ 3ຕວົ ໃຫຄໍ້ ູນ1000 … ແລະ ຕ່ ໆໄປ ກປະຕບິ ດັ ຄາ້ໍ ຍຄກນັ ຕວົ ຢ່ າງ : ໄມທ້ໍ ່ ອນໜ່ ງຍາວ 9dm ໃຫຕ້ໍ ດັ ເປນັ ທ່ ອນລະ 0,45 dm.ຖາມວ່ າຈະໄດຈໍ້ ກັ ທ່ ອນ? 9 0,45 ວທິ ແີ ກ ໍ້ (ຄນູ 100 ໃສ່ ທງັ ສອງເບອ້ໍ ງ ແລວ້ໍ ກາຍເປນັ 900:45 ຫຼ ຂາໍ້ ຈດຸ ຢ່ ູຕວົ ຫານ ແລວ້ໍ ຕ່ ມສູນສອງຕວົ ໃສ່ ຕວົ ຕງັໍ້ ຫານ 900 45 ຈາກນນັ້ໍ ຫານເລຍີ ) 00 20  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ : 8442:4,200=…? 5628 : 0,028=…?; 64064 : 3,2= ….? 86086 : 0,43 = …? 75

 ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫຈ້ໍ ານວນຖວໍ້ ນ ການຫານວທິ ນີ ແີໍ້ ມ່ ນບ່ ໃຫຂໍ້ າໍ້ ຈດຸ ກໄດ,້ໍ ໃຫຫ້ໍ ານເລຍີ ຕວົ ຢ່ າງ1: ເຊອກເສນັ້ໍ ໜ່ ງຍາວ8,4m,ໃຫຕໍ້ ດັ ເປນັ 2ທ່ ອນ.ຖາມວ່ າລວງຍາວແຕ່ ລະທ່ ອນຈະມເີ ທ່ າົ ໃດ? ວທິ ແີ ກ:ໍ້ 8,4  2= 4,2m 8,4 2 ບ່ ໃຫຂ້ໍ າ້ໍ ຈດຸ ໃຫຫ້ໍ ານຈານວນຖວ້ໍ ນກ່ ອນ,ຈາກນນັໍ້ ໃຫໝ້ໍ າຍຈດຸ ໃສ່ ຜນົ ຫານແລວ້ໍ ຈ່ ງຫານຈານວນເສດ ( ມຄີ ວາມໝາຍດງັ ນ:ີໍ້ ແບ່ ງສ່ ວນຫວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ປນັ ແມດັ ກ່ ອນ , ແລວ້ໍ ຈ່ ງແບ່ ງສ່ ວນຫວົ ໜ່ ວຍທ່ ເີ ປນັ ເດຊແີ ມດັ ) ຕວົ ຢ່ າງ2 : ບ່ ໃຫຂໍ້ າ້ໍ ຈດຸ 24,48 4 ຫານຈານວນຖວໍ້ ນ 24 ກ່ ອນ ຜນົ ໄດຮ້ໍ ບັ 6 ເສດ 0 0 4 6,12 ຕ່ ໄປໝາຍຈດຸ ໃສ່ ຜນົ ຫານ ແລວໍ້ ຊກັ 4 ລງົ ມາ, ແລວ້ໍ 08 ເອາົ 4 ຫານໃຫ້ໍ 4 ໄດຮໍ້ ບັ 1 ເສດ 0 , ຕ່ ໄປຫານ8 0 ໃຫ4ໍ້ ໄດຮໍ້ ບັ 2 ເສດ 0 24,48  4 =6,12 ( ໃຫຫ້ໍ ານຈານວນຖວ້ໍ ນຢ່ ູຕ່ ໜາໍ້ ໝາຍຈດຸ ກ່ ອນໝ່ ຈູ າກນນັ້ໍ ໝາຍຈດຸ ໃສ່ ຜນົ ຫານ,ແລວໍ້ ຫານຕ່ ໆໄປຕາມລາດບັ )  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ : 3,636:0,18=….?; 38,7600: 19=…..?; 46,4646:23=…..?  ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫຈ້ໍ ານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫຈໍ້ ານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ມ3ີ ກລະຄ: ກລະນທີ 1ີ : ຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຫານເທ່ າົ ກບັ ຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານ, ໃນກລະນນີ ໃີໍ້ ຫຂ້ໍ າໍ້ ຈດຸ ທງັ 2 ພາກພອ້ໍ ມໆກນັ ແລວໍ້ ກາຍເປນັ ການຫານຈານວນຖວໍ້ ນໃຫຈ້ໍ ານວນຖວໍ້ ນ. ຕວົ ຢ່ າງ 48,48 : 0,24 = …? ( ຂາ້ໍ ຈດຸ ທງັ ສອງພາກກາຍເປນັ 4848:24 ແລວ້ໍ ຫານເລຍີ ! ) 48,48 0,24 8,844 4,422 048 202 0000 2  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ : 78,078:0,039=…..?; 66,66:0,33=….? 112: 0,56=…? 76

ກລະນທີ 2ີ : ກລະນຕີ ວົ ເສດຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຫານຫຼາຍວ່ າຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານມ2ີ ວທິ ໃີ ນການຄດິ ໄລ່ ຄ: #ວທິ ທີ 1ີ :ແມ່ ນວທິ ຕີ ່ ມສູນໃສ່ ຕວົ ຫານໃຫມ້ໍ ຕີ ວົ ເສດເທ່ າົ ກບັ ຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຕງັໍ້ ຫານ,ຈາກນນັໍ້ ຂາ້ໍ ຈດຸ ທງັ 2ຟາກແລວໍ້ ຫານເລຍີ ຕວົ ຢ່ າງ 24,88 1,2 24,08 1,20 9,648 4,8 9,648 4,800 0 048 2 #ວທິ ທີ 2ີ : ແມ່ ນວທິ ຍີ າ້ໍ ຍຈດຸ ຂອງຕວົ ຕງັ້ໍ ຫານ ລງົ ໄປທາງດາ້ໍ ນຂວາໃຫມ້ໍ ຈີ ານວນຕວົ ເລກທ່ ຍີ າໍ້ ຍໄປນນັ້ໍ ໃຫເໍ້ ທ່ າົ ກບັ ຈານວນຕວົ ເສດຂອງຕວົ ຫານ, ແລວໍ້ ຈດຸ ໄວຢ້ໍ ່ ູທ່ ນີ ນັ້ໍ ຈາກນນັໍ້ ນາໃຊຫໍ້ ຼກັ ການຫານຈານວນທດົ ສະນຍິ ມົ ໃຫຈ້ໍ ານວນ ຖວ້ໍ ນ ຕວົ ຢ່ າງ -ຍາໍ້ ຍຈດຸ ຈາກ 6,464 ເປນັ 646,4 ຫຼງັ ຈາກນນັ້ໍ ໃຫຂ້ໍ າ້ໍ ຈດຸ 6,464 0,32 ຢ່ ູຕວົ ຫານ ,ໃຫກໍ້ າຍເປນັ ຈານວນຖວໍ້ ນ32 ຈາກນນັໍ້ ຫານເລຍີ 6,46,4 0,32 0 6 4 20,2 0 ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1.ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 2828 1,4 5454 0,27 6,848 34 96,48 24 77

ບດົ ທີ 7 ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ 1. ສມົ ຜນົ  ນຍິ າມ ສມົ ຜນົ ແມ່ ນສະເໝຜີ ນົ ທ່ ບີ ນັ ຈຕຸ ວົ ອກັ ສອນທ່ ບີ ່ ຮູຄ້ໍ ່ າ ແລະ ຕອບສະໜອງພຽງແຕ່ ຄ່ າໃດໜ່ ງຂອງຕວົ ອກັ ສອນເທ່ າົ ນນັ້ໍ , ສ່ ວນຕວົ ອກັ ສອນທ່ ບີ ນັ ຈໃຸ ນສມົ ຜນົ ເພ່ ນິ ເອນີໍ້ ວ່ າ ຕວົ ລບັ .  ຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ຂນັໍ້ ໜ່ ງແມ່ ນ: ������������ + ������ = ������ ������ ແມ່ ນຕວົ ລບັ ������, ������ ແລະ ������ ∈ ℝ ������ ແມ່ ນສາປະສດິ ຂອງຕວົ ລບັ ( ������ ≠ 0 ) ������, ������ ແມ່ ນສາປະສດິ ເອກະລາດ ໝາຍເຫດ: ການແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ແມ່ ນການຊອກຫາຄ່ າຕວົ ລບັ ຕວົ ຢ່ າງ:1 ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ລ່ ຸມນ:ີ້ໍ  3������ − 7 = 0  5������ + 4 = 9  2������ − 2 = −5  5������ + 3 = 18  2������ − 1 = 3 ຕວົ ຢ່ າງ:2 ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ລ່ ຸມນ:ີ້ໍ  2������ + 3 = ������ + 5  ������ + 5 = 12  3������ + 2 = ������ + 8 ວທິ ແີ ກ:ໍ້  2������ + 3 = ������ + 5 (1) 2������ − ������ = 5 − 3 ������ = 2 ກວດຄນດວ້ໍ ຍການແທນ ������ = 2 ໃສ່ ສມົ ຜນົ (1) ເຮາົ ຈະໄດ້ໍ 2������ + 3 = ������ + 5 2(2) + 3 = 2 + 5 4+3=7 7=7 ສະແດງວ່ າ ������ = 2 ແມ່ ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 2������ + 3 = ������ + 5  ������ + 5 = 12 (1) ������ + 5 + (−5) = 12 + (−5) ������ + 5 − 5 = 12 − 5 ������ = 7 ກວດຄນດວ້ໍ ຍການແທນ ������ = 7 ໃສ່ ສມົ ຜນົ (1) ເຮາົ ຈະໄດ້ໍ ������ + 5 = 12 7 + 5 = 12 12 = 12 78

ສະແດງວ່ າ ������ = 7 ແມ່ ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ������ + 5 = 12  3������ + 2 = ������ + 8 (1) 3������ + (−������) + 2 = ������ + (−������) + 8 2������ + 2 = 8 2������ + 2 + (−2) = 8 + (−2) 2������ =6 ຄູນທງັ ສອງຟາກຂອງສມົ ຜນົ ກບັ 1 2 ເຮາົ ຈະໄດໍ້ 1 2x  1 6 22 ������ = 3 ວທິ ກີ ວດຄນ: ເຮາົ ແທນຄ່ າຂອງ ������ = 3 ໃສ່ ສມົ ຜນົ (1) ເຮາົ ຈະໄດໍ້  3������ + 2 = ������ + 8 (1) 3×3+2=3+8 11 = 11 ສະແດງວ່ າ ������ = 3 ແມ່ ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 3������ + 2 = ������ + 8 2. ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ( Irrational Equations ) 2.1 . ຄວາມໝາຍຂອງສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ແມ່ ນສມົ ຜນົ ທ່ ຢີ ່ ູໃນຮູບຮ່ າງເລກຮາກ ຫຼ ແມ່ ນສມົ ຜນົ ທ່ ມີ ສີ ານວນ ຫຼ ຕາລາທ່ ບີ ນັ ຈຸ ຕວົ ປ່ ຽນ ������ ເປນັ ຕວົ ລບັ ຂອງສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕ.ິ 2.2 . ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ 1. 2n f  x  2n g  x 2. 2n f  x  g  x 3. 2n1 f  x  g  x    4. f2n1 x  2n1 g x 79

3. ຄວາມເຂາົ້ໍ ໃຈກ່ ຽວກບັ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ແລະ ສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ 3.1 . ຄວາມເຂາົ້ໍ ໃຈກ່ ຽວກບັ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ແມ່ ນສມົ ຜນົ ທ່ ມີ ຮີ ູບຮ່ າງດ່ ງັ ລ່ ຸມນ:ີ້ໍ 1. 2n f  x  2n g  x 2. 2n f  x  g  x 3. 2n1 f x  g x    4. f2n1 x  2n1 g x ເຊ່ ງິ ໃນຕາລາ ������(������) ແລະ ������(������) ແມ່ ນສານວນ ຫຼ ຕາລາທ່ ບີ ນັ ຈຕຸ ວົ ປ່ ຽນ ������ ເປນັ ຕວົ ລບັ ຂອງສມົ ຜນົ ເພ່ ອຢາກແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ໃນຮູບຮ່ າງ (1) ຫາ (4) ຂາໍ້ ງເທງິ ພວກເຮາົ ຕອ້ໍ ງຊອກເຂດການດົ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຫຼ ຊອກຫາສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ໂດຍອງີ ຕາມຄຸນລກັ ສະນະຂອງເລກຮາກ ຫຼ ເວາົໍ້ ອກີ ຢ່ າງໜ່ ງວ່ າ: ການແກສໍ້ ມົ ຜນົ ນຕີ້ໍ ອໍ້ ງ ໄດຊ້ໍ ອກພາຍໃຕເໍ້ ງ່ອນໄຂຂອງເລກຮາກທງັ ໝດົ . ເງ່ອນໄຂທ່ ໃີ ຊສ້ໍ າລບັ ການແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ແຕ່ (1) ຫາ (4) ແມ່ ນອງີ ຕາມສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ລ່ ຸມນ:ີໍ້ 1) ສມົ ຜນົ ���������√��� ������(������) = ���������√��� ������(������) ມສີ ມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ແມ່ ນ: {������(������)������≥(���������)��� , ������(������) ≥ ������ = ������(������) ໝາຍຄວາມວ່ າ: ພວກເຮາົ ຈະໄດແໍ້ ກສໍ້ ມົ ຜນົ ������(������) = ������(������) ຕາມເງ່ອນໄຂ ������(������) ≥ ������ ຫຼ ������(������) ≥ ������ ຕາມຄວາມເໝາະສມົ ໃນເຂດການດົ ຂອງໃຈຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າ ເຊ່ ງິ ແມ່ ນ: ������������ = {������⁄������(������) ≥ ������ ຫຼ ������(������) ≥ ������} ຕວົ ຢ່ າງ1: √������2 + 3������ − 4 = √2������ + 2 ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນ:ີໍ້ ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າທຽບເທ່ າົ {������2 + 2������ + 2 ≥ 0 + 2 3������ − 4 = 2������ ⇔ {������2 ������ ≥ −1 0 ⇔ {������1 ������ ≥ −1 = 2 + ������ − 6 = = −3, ������2 ຈາກສມົ ຜນົ ທ່ ໄີ ດຮ້ໍ ບັ ສາມາດສະຫຸຼບໄດວໍ້ ່ າ: ມແີ ຕ່ ������2 = 2 ທ່ ນີ ອນຢ່ ູໃນເງ່ອນໄຂ ������ ≥ −1 ������������ = { ������⁄������ ≥ 0 } , ດ່ ງັ ນນັ້ໍ : ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ ານນັ້ໍ ແມ່ ນ ������ = 2 80

ຕວົ ຢ່ າງ2: ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນ:ີໍ້ 4√2������ − 8 = 4√1 + ������ ວທິ ແີ ກ:້ໍ {2������2−������ − 8 ≥ 0 ������ ⟺ {������������ ≥ 4 ສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມໍ້ າທຽບເທ່ າົ 8 = 1 + = 9 ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ ������ = 9 2) ສມົ ຜນົ ���������√��� ������(������) = ������(������) ທຽບເທ່ າົ {������(������������)(���=���)���≥���������������������(������) ຕວົ ຢ່ າງ1: ຈ່ ງົ ແກສໍ້ ມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນ:ີໍ້ √1 + 3������ = 1 − ������ ວທິ ແີ ກ:ໍ້ √1 + 3������ = 1 − ������ ⟺ {1 + 1 − ������ ≥ 0 ������)2 ⟺ {������ ≤1 (������������ = {������ ∕ ������ ≤ 1}) 3������ = (1 − 1+ 3������ = 1 − 2������ + ������2 ⟺ {������2 ������ ≤1 0 ⟺ {������ = ������ ≤ 1 = 5 − 5������ = 0 , ������ ຈາກຜນົ ທ່ ໄີ ດຮໍ້ ບັ ເຫນັ ວ່ າ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມໍ້ າແມ່ ນ ������ = 0 , ເພາະວ່ າ ������ = 5 ∉ ������������ ຕວົ ຢ່ າງ2: ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນ:ີ້ໍ √������2 + 4������ − 9 = ������ + 1 ວທິ ແີ ກ:້ໍ ເຮາົ ມສີ ມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ {������2 + ������ + 1 ≥ 0 + 1)2 4������ − 9 = (������ ⟺ {������ ≥ −1 ( ������������ = { ������⁄������ ≥ −1 } ) ⟺ {2������������≥=−110 ������2 + 4������ − 9 = ������2 + 2������ +1 ⟺ {������������≥=−51 ດ່ ງັ ນນັ້ໍ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ: ������ = 5 3) ສມົ ຜນົ ������������−���√��� ������(������) = ������(������) ທຽບເທ່ າົ ������(������) = ������������������−������(������) 81

ຕວົ ຢ່ າງ1: ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ 3 x2  2x 3  x 1 ວທິ ແີ ກ:້ໍ ສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າທຽບເທ່ າົ ������2 − 2������ − 3 = (������ + 1)3 ⟺ (������ + 1)(������ − 3) = (������ + 1)3 ⟺ (������ + 1)[(������ − 3) − (������ + 1)2] = 0 ⟺ −(������ + 1)(������2 + ������ + 4) = 0 ເຮາົ ມ:ີ ������ + 1 = 0 ⟹ ������ = −1 ແລະ ເຮາົ ມ:ີ (������2 + ������ + 4) = 0 ເຮາົ ມ:ີ Δ = 1 − 16 = −15 ⟺ −15 < 0 ດ່ ງັ ນນັ້ໍ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມໍ້ າແມ່ ນ ������ = −1 4) ສມົ ຜນົ ������������−���√��� ������(������) = ������������−���√��� ������(������) ທຽບເທ່ າົ ������(������) = ������(������) ຕວົ ຢ່ າງ1: 3 x2 15  23 x 1 ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ⟺ ������2 − 8������ + 7 = 0 ເຮາົ ມ:ີ ສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ແມ່ ນ: ������2 + 15 = 8(������ + 1) ⟺ ������1 = 1 , ������2 = 7 ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ: ������ = 1 ແລະ ������ = 7 ຕວົ ຢ່ າງ2: ຈ່ ງົ ແກສ້ໍ ມົ ຜນົ 5√2������2 − 4������ + 8 = 5√������2 − 2������ 82

ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ແມ່ ນ: 2������2 − 4������ + 8 = ������2 − 2������ ⟹ ������2 − 2������ + 8 = 0 ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ າ ສມົ ຜນົ ບ່ ສາມາດແກໄ້ໍ ດໃ້ໍ ນກ່ ຸມຈານວນຈງິ , ດ່ ງັ ນນັໍ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າບ່ ສາມາດຊອກໄດໍ້ ຫຼ ������ = ∅ ຄວາມເຂາົໍ້ ໃຈກ່ ຽວກບັ ສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ນຍິ າມ: ສອງສມົ ຜນົ ຈະທຽບເທ່ າົ ກນັ ກຕ່ ເມ່ ອສອງສມົ ຜນົ ດ່ ງັ ກ່ າວ ມກີ ່ ຸມໃຈຜນົ ດຽວກນັ . ຕວົ ຢ່ າງ1: ຈ່ ງົ ກວດເບ່ ງິ ວ່ າສອງສມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນທີໍ້ ຽບເທ່ າົ ກນັ ຫຼ ບ່ ? 2������ − 5 = 11 (1) ແລະ 7������ + 6 = 62 (2) ວທິ ແີ ກ:້ໍ (1) 2������ − 5 = 11 2������ = 11 + 5 2������ = 16 16 ������ = 2 ������ = 8 7������ + 6 = 62 (2) 7������ = 62 − 6 7������ = 56 56 ������ = 7 ������ = 8 ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ າ ສມົ ຜນົ ທງັ ສອງມໃີ ຈຜນົ ດຽວກນັ ຄ: ������ = 8 , ອງີ ຕາມນຍິ າມເຫນັ ວ່ າສອງສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ າົ ກນັ . ຕວົ ຢ່ າງ2: ຈ່ ງົ ສງັ ເກດເບ່ ງິ ວ່ າສອງສມົ ຜນົ ຕ່ ໄປນທີໍ້ ຽບເທ່ າົ ກນັ ຫຼ ບ່ ? ສມົ ຜນົ 3������ + 5 = 6������ − 7 (1) ແລະ ������ + 3 = 2������ − 1 (2) ວທິ ແີ ກ ້ໍ o 3������ + 5 = 6������ − 7 (1) 3������ − 6������ = −7 − 5 −3������ = −12 3������ = 12 x  12 3 ������ = 4 o ������ + 3 = 2������ − 1 (2) ������ − 2������ = −1 − 3 −������ = −4 ������ = 4 83

ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ າສອງສມົ ຜນົ (1) ແລະ (2) ທຽບເທ່ າົ ກນັ ຍອໍ້ ນວ່ າສອງສມົ ຜນົ ນລີໍ້ ວ້ໍ ນແຕ່ ມໃີ ຈຜນົ ອນັ ດຽວກນັ ຄ: ������ = 4 4. ອະສມົ ຜນົ ຂນັ້ໍ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ 1. ນຍິ າມ. ອະສະເໝີຜນົ ax  b  c ; ax  b  c ; ax  b  c ຫຼ ax  b  c ເຊ່ ງິ ປະກອບດວ້ໍ ຍຈານວນໜ່ ງທ່ ີບ່ ທນັ ຮູ ້ໍ ເອນີໍ້ ວ່ າ: ອະສມົ ຜນົ ຂນັ້ໍ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ . a ; b ; c ເປນັ ຈານວນທ່ ຮີ ູແໍ້ ລວໍ້ ແລະ a ຕ່ າງສູນ (a  0) . x ແມ່ ນຈານວນທ່ ບີ ່ ທນັ ຮູ ້ໍ ເຊ່ ງິ ເອນີ້ໍ ວ່ າ: “ຕວົ ລບັ ”. ຄ່ າຂອງ x ທ່ ຕີ ອບສະໜອງກບັ ອະສມົ ຜນົ ເອນີໍ້ ວ່ າ: “ໃຈຜນົ “. 2. ຮູບຮ່ າງ. 1) ax  b  0 (a  0) 2) ax  b  0 (a  0) 3) ax  b  0 (a  0) 4) ax  b  0 (a  0) a,b ℝ x ແມ່ ນຕວົ ລບັ . 3. ຄຸນລກັ ສະນະ. ອະສມົ ຜນົ ຂນັໍ້ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ ຕອບສະໜອງຕາມຄຸນລກັ ສະນະດ່ ງັ ນ:ີໍ້  ຮູບຮ່ າງທີ 1: ax  b  0 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ເຮາົ ບວກທງັ ສອງຂອງອະສມົ ຜນົ ດວໍ້ ຍ  b ເຮາົ ຈະໄດອໍ້ ະສມົ ຜນົ ໃນແຕ່ ລະກລະນດີ ່ ງັ ຕ່ ໄປນ:ີໍ້ - ກລະນີ 1: ຈາກ ax  b  0 ax  b  x   b ເຊ່ ງິ ວ່ າ a  0; x   b aa ເຊ່ ງິ a,b, c ແມ່ ນຈານວນຈງິ ແລະ a ຕ່ າງສູນ (a  0) . ເຂດໃຈຜນົ x b a ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S  x / x   b   b ;   a a  ຕວົ ຢ່ າງ 1: ອະສມົ ຜນົ 2x  9  2 2x  9  2 2x  7 x7 2 ເຂດໃຈຜນົ 7 x 2 ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   7 ;  2 84

ຕວົ ຢ່ າງ 2: ອະສມົ ຜນົ 2x  6  2 2x  6  2 2x  8 x  8 2 x  4 ເຂດໃຈຜນົ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   4;4 x x - ກລະນີ 2: ຈາກ ax  b  0 x a  0; x   b x a ເຂດໃຈຜນົ b a ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   ; b a  ຕວົ ຢ່ າງ 3: ອະສມົ ຜນົ  2x  6  4  2x  6  4  2x  2 x2 2 x  1 ເຂດໃຈຜນົ 1 ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   ;1 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ອະສມົ ຜນົ  2x  5  2  2x  5  2  2x  3 x3 2 ເຂດໃຈຜນົ 3 2 85

ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   ; 3 2   ຮູບຮ່ າງທີ 2: ax  b  0 - ກລະນີ 1: a  0 ເຮາົ ຈະໄດໍ້ x   b a ເຂດໃຈຜນົ b x a x b   b  x ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   / x   a   ; a  x  x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ອະສມົ ຜນົ 6x  2  20 6x  20  2 x  18 6 x3 ເຂດໃຈຜນົ ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S 3 ;3 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ອະສມົ ຜນົ 7x  5  16 7x  16  5 7x  11 x  11 7 ເຂດໃຈຜນົ 11 11 7 7  ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S  ; - ກລະນີ 2: a  0, x   b a ເຂດໃຈຜນົ b a ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   b ; a 86

ຕວົ ຢ່ າງ 3: ອະສມົ ຜນົ  3x  9  18  3x  18  9  3x  9 x  9 3 x  3 ເຂດໃຈຜນົ ສະນນັ້ໍ  3 S   3; x ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ x x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ອະສມົ ຜນົ  5x  8  14 x  5x  14  8  5x  6  5x  6 5 5 x  6 5 ເຂດໃຈຜນົ ສະນນັໍ້  6   6 ; ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ 5S 5  ຮູບຮ່ າງ 3: ax  b  0 - ກລະນີ 1: a  0; x   b a ເຂດໃຈຜນົ b a ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S  x / x   b   b ;   a a  ຕວົ ຢ່ າງ 1: ອະສມົ ຜນົ 4x  8  0 4x  8 x8 4 x  2 ເຂດໃຈຜນົ 2 87

ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   2; ຕວົ ຢ່ າງ 2: ອະສມົ ຜນົ 6x  2  3 6x  3 2 x1 6 ເຂດໃຈຜນົ 1 x x 6 x x ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S  1 ;  6 - ກລະນີ 2: a  0; x   b a ເຂດໃຈຜນົ ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   b b  ;a a  ຕວົ ຢ່ າງ 3: ອະສມົ ຜນົ  4x  7  3  4x  7  3  4x  10 4 4 x5 2 ເຂດໃຈຜນົ ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   5 5  ;2 2  ຕວົ ຢ່ າງ 4: ອະສມົ ຜນົ  6x  8  7  6x  7 8  6x  1  6x  1 6 6 x1 6 ເຂດໃຈຜນົ 1 6 88

ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   ; 1  6   ຮູບຮ່ າງທີ 4: ax  b  0 - ກລະນີ 1: a  0; x   b a ເຂດໃຈຜນົ b x ;a ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   b  a  ຕວົ ຢ່ າງ 1: ອະສມົ ຜນົ 6x  6  18 6x  18  6 6x  12 x  12 6 x2 ເຂດໃຈຜນົ x ສະນນັ້ໍ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   2;2 - ກລະນີ 2: a  0; x   b a,b ແມ່ ນຈານວນຈງິ ເຊ່ ງິ ວ່ າ a ຕ່ າງສູນ (a  0) a ເຂດໃຈຜນົ x b a ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S   b ; a ຕວົ ຢ່ າງ 2: ອະສມົ ຜນົ  6x 10  20  6x  20 10  6x  30  6x  30 6 6 x   30 6 x  5 ເຂດໃຈຜນົ x ສະນນັໍ້ ເຂດໃຈຜນົ ແມ່ ນ S5 5; 89

 ການສກສາເຄ່ ອງໝາຍ. ເພ່ ອຢາກແກອໍ້ ະສມົ ຜນົ ເຮາົ ຄວນປະຕບິ ດັ ດ່ ງັ ນ:ີໍ້ - ປ່ ຽນອະສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າເປນັ ການປຽບທຽບສານວນໜ່ ງກບັ ສູນ (ໂດຍບ່ ປ່ ຽນທດິ ຂອງອະສມົ ຜນົ ). - ແຍກສານວນນນັໍ້ ເປນັ ສ່ ວນຄູນໂດຍຮກັ ສາພູດໄວ.ໍ້ - ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງສານວນນນັໍ້ ໂດຍໃຊຕ້ໍ າຕະລາງສກສາເຄ່ ອງໝາຍ. - ເບ່ ງິ ເຄ່ ອງໝາຍທ່ ກີ ງົ ກບັ ເຄ່ ອງໝາຍຂອງອະສມົ ຜນົ ຢ່ ູແຖວຂອງ E(x) ແລວໍ້ ອ່ ານບນັ ດາຫວ່ າງໃຈຜນົ ຢ່ ູ ແຖວຂອງ x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ x ທ່ ເີ ຮດັ ໃຫອໍ້ ະສມົ ຜນົ x 8 2  (x  4) ເປນັ ຈງິ .  E(x)  8  (x  4)  0 x2 E(x)  8  (x  4) ຂນ້ໍ ພູດຮ່ ວມ. x2 E(x)  8  (x  4)(x  2)  0 x  2 (x  2) x20 x2 ສະນນັໍ້ ຄ່ າທ່ ຕີ ອ້ໍ ງຫາ້ໍ ມແມ່ ນ 2 . E(x)  8  (x2  6x  8)  0 (x  2) E(x)   x2  6x  0 ແຍກຈານວນພູດເປນັ ສ່ ວນຄູນ. x2 E(x)  x(x  6)  0 x2 ປະຕບິ ດັ ຕາມຫກຼັ ການຜນົ ຫານເທ່ າົ ສູນ.  x0  x60x6  x20x2 ຕາຕະລາງສກສາເຄ່ ອງໝາຍ. x  0 2 6  x6    0 x 0    x2  0   E(x) 0   0 ເຮາົ ໄດກໍ້ ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ ນ. E(x)  0 S  0;26; ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ x ທ່ ເີ ຮດັ ໃຫອໍ້ ະສມົ ຜນົ x x 3  3 1ເປນັ ຈງິ .  x ປຽບທຽບສານວໜ່ ງກບັ ສູນ. 90

x  0 x  3  0 x  0 x  3 ສະນນັໍ້ 0 ແລະ  3 ແມ່ ນຄ່ າຕອ້ໍ ງຫາໍ້ ມ. f (x)  x  3 1  0 x3 x x  x  (x  3)3  x(x  3)  0 x(x  3) x(x  3) x(x  3) x2  3x  9  x2  3x  0 x(x  3)  6x  9  0 x(x  3)  x0  6x  9  0  6x  9 x9 3 62  x  3  0  x  3 ຕາຕະລາງສກສາເຄ່ ອງໝາຍ x  3 3 0  2  6x  9 + +0- - x - - -0 + x3 -0 + ++ f (x) + -0+ - ເຮາົ ໄດກໍ້ ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . f (x)  0 S   ;3   3 ;0 2  ວທິ ກີ ານສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ (ax  b) ແບບສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ. - ກລະນີ a  0 ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ ax  b . ໃນການແຕມໍ້ ເສນັ້ໍ ສະແດງແມ່ ນຂດີ ແຕ່ ເທງິ ລງົ ລ່ ຸມ ແຕ່ ຂວາຫາຊາ້ໍ ຍ. ວາງ ax  b  0  x   b a 91

ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນເຮາົ ໄດ:້ໍ b  a   (ການສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ ax  b ກລະນີ a  0)  ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ 12x  24 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ 12x  24 ເຫນັ ວ່ າ: a  12  0 ວາງ: 12x  24  0 12x  24 x  2 ສະແດງໃນເຄ່ ອງໝາຍແກນຈານວນ.   2  - ກລະນີ a  0ການແຕມໍ້ ເສນັ້ໍ ສະແດງ ແມ່ ນຂດີ ແຕ່ ລ່ ຸມຂນ້ໍ ເທງິ ແຕ່ ຂວາຫາຊາໍ້ ຍ. ການສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ ax  b ວາງ ax  b  0  x   b a ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນເຮາົ ໄດ:ໍ້  b   a  (ການສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ ax  b ກລະນີ a  0) ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ  4x  20 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ສກສາເຄ່ ອງໝາຍຂອງ  4x 12 ເຫນັ ວ່ າ: a  4  0 92

ວາງ:  4x 12  0   4x  12 x  3 ສະແດງໃນເຄ່ ອງໝາຍແກນຈານວນ.   3  5. ການແກອ້ໍ ະສມົ ຜນົ ຂນັ້ໍ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ ແມ່ ນອງີ ຕາມຮູບຮ່ າງ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງອະສມົ ຜນົ ຂນັ້ໍ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ . ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ແກອໍ້ ະສມົ ຜນົ 4x  5  8 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ 4x  5  8 ບວກ  5 ເຂາົໍ້ ໃສ່ ສອງຟາກ 4x  5  5  8  5 4x  3 ຄູນ 1 ໃສ່ ສອງຟາກ 4 4x  1  3 1 44 x  3 ຫຼ S  3 ; 4  4 ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ ເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . 3  4  x ກວດຄນໃຈຜນົ x / x  3  ຫຼ S   3 ;  4   4  4x  5  8 ເອາົ 3 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x ເຮາົ ໄດ:້ໍ 435  12  5  8 17  8 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ແກອໍ້ ະສມົ ຜນົ  2x  3  x  6 ວທິ ແີ ກ:ໍ້  2x  3  x  6 ບວກ (3) ໃສ່ ສອງຟາກເຮາົ ໄດ.ໍ້  2x  3  (3)  x  6  (3)  2x  x  3 ບວກ (x) ໃສ່ ສອງຟາກ.  2x  (x)  x  x  3 93

 3x  3ຄູນ ( 1) ໃສ່ ສອງຟາກ. 3  1  (3x)   1  3 33 x  1ຫຼ S  1; ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ .   1  ກວດຄນໃຈຜນົ x / x  1ຫຼ S  1; x  2x  3  x  6 ເອາົ (1) ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x ເຮາົ ໄດ.ໍ້  2(1)  3  (1)  6 235 55 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ແກອໍ້ ະສມົ ຜນົ 2x 1  3x 1  5 32 ວທິ ແີ ກ:້ໍ 2x 1  3x 1  5 ຂນ້ໍ ພູດຮ່ ວມທງັ ສອງຟາກໂດຍໃຫພ້ໍ ູດຮ່ ວມເທ່ າົ ກບັ 6 32 ເຮາົ ຈະໄດໍ້ (2x 1)  2  (3x 1)  3  5  6 3 2 23 16 4x  2  9x  3  30 ເຮາົ ໄດພ້ໍ ູດເທ່ າົ ກບັ 6 ຈາກນນັໍ້ ເອາົ ຈານວນພູດມາຄດິ ໄລ່ 66 6 ເຮາົ ຈະໄດໍ້ 4x  2  9x  3  30  5x 1  30 ເອາົ ຈານວນກງົ ກນັ ຂາ້ໍ ມກບັ 1 ເຂາົ້ໍ ທງັ ສອງຟາກ ເຮາົ ຈະໄດໍ້  5x 11  30 1  5x  29 ຄູນທງັ ສອງຟາກດວໍ້ ຍ  1 5 ເຮາົ ຈະໄດໍ້   1    5x  29    1   5  5 x   29 5 x  5,8 ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ ເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . x  5,8   ສະນນັ້ໍ ໃຈຜນົ ແມ່ ນ x / x  5,8ຫຼ S   ;5,8 ກວດຄນ x / x  5,8ຫຼ S   ;5,8 2x 1  3x 1  5 ເອາົ  6 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x 32 2  (6) 1  3 (6) 1  5 32 94

13  19  5 ຂນໍ້ ພູດຮ່ ວມທງັ ສອງຟາກ. 32 2  (13)  3 (19)  5  6 3 2 23 16  26  57  30 6 66 31  30 ສະແດງວ່ າຖກຕອໍ້ ງຕາມຄວາມຈງິ . 66 ໝາຍເຫດ: ຖາ້ໍ ເອາົ  5,8 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x ສມົ ຜນົ ນຈີໍ້ ະເທ່ າົ ກນັ . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ແກອ້ໍ ະສມົ ຜນົ  5  x  9 ວທິ ແີ ກ:້ໍ  5  x  9 ເອາົ ຈານວນກງົ ກນັ ຂາໍ້ ມກບັ  5 ເຂາົໍ້ ທງັ ສອງຟາກ. ເຮາົ ຈະໄດໍ້  5  5  x  9  5 x  4 ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ ເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . ເຂດໃຈຜນົ 4    ສະນນັໍ້ ໃຈຜນົ ແມ່ ນ x / x  4ຫຼ S   ;4 ກວດຄນ x / x  4ຫຼ S   ;4  5  x  9 ເອາົ  5 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x  5  (5)  9  5  5  9 10  9 ສະແດງວ່ າຖກຕອ້ໍ ງຕາມຄວາມມຈງິ . ໝາຍເຫດ: ຖາ້ໍ ເອາົ  4 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x ສມົ ຜນົ ນຈີໍ້ ະເທ່ າົ ກນັ . ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ແກອ້ໍ ະສມົ ຜນົ x  2  6 ວທິ ແີ ກ:ໍ້ x  2  6 ເອາົ ຈານວນກງົ ກນັ ຂາ້ໍ ມກບັ 2 ເຂາົໍ້ ທງັ ສອງຟາກ. ເຮາົ ຈະໄດໍ້ x  2  2  6  2 x4 ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ ເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . ເຂດໃຈຜນົ 4  ກວດຄນ ສະນນັໍ້ ໃຈຜນົ ແມ່ ນ x / x  4ຫຼ S   ;4 x / x  4ຫຼ S   ;4 x  2  6 ເອາົ 3 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x 3 2  6 5  6 ສະແດງວ່ າຖກຕອໍ້ ງຕາມຄວາມຈງິ . ໝາຍເຫດ: ຖາໍ້ ເອາົ 4 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x ສມົ ຜນົ ນຈີໍ້ ະເທ່ າົ ກນັ . 95

ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ແກອໍ້ ະສມົ ຜນົ 13  x  8 ວທິ ແີ ກ:້ໍ 13  x  8 ເອາົ ຈານວນກງົ ກນັ ຂາໍ້ ມກບັ x ເຂາົ້ໍ ທງັ ສອງຟາກ. ເຮາົ ຈະໄດ້ໍ 13  x  x  x  8 13x  8ເອາົ ຈານວນກງົ ກນັ ຂາ້ໍ ມກບັ 13 ເຂາົໍ້ ທງັ ສອງຟາກ. ເຮາົ ຈະໄດ້ໍ 13 13  x  8 13  x  21 ຄູນ 1ເຂາົໍ້ ທງັ ສອງຟາກ. ເຮາົ ຈະໄດ ້ໍ 1 (x)  21 (1) x  21 ສະແດງໃສ່ ແກນຈານວນ ເພ່ ອການດົ ກ່ ຸມໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ . ເຂດໃຈຜນົ 21 ສະນນັໍ້ ໃຈຜນົ ແມ່ ນ x / x  21ຫຼ S  21;  x / x  21ຫຼ S  21; ກວດຄນ 13  x  8 ເອາົ 21 ມາແທນໃສ່ ຄ່ າຂອງ x 13  21 8 13  13 ສະແດງວ່ າຖກຕອໍ້ ງຕາມຄວາມຈງິ . 6. ການແກໂໍ້ ຈດບນັ ຫາໂດຍນາໃຊອໍ້ ະສມົ ຜນົ ຂນັ້ໍ ໜ່ ງທ່ ມີ ໜີ ່ ງຕວົ ລບັ  ຫກຼັ ການລວມໃນການແກບໍ້ ດົ ເລກໂຈດ. 1. ອ່ ານບດົ ເລກຄນຫຼາຍເທ່ ອເພ່ ອໃຫເ້ໍ ຂາົ້ໍ ໃຈສາຍກ່ ຽວພນັ ລະຫວ່ າງຂມ້ໍ ູນທ່ ເີ ພ່ ນີ ໃຫໍ້ ກບັ ສ່ ງິ ທເີ ພ່ ນີ ຕອ້ໍ ງການໃຫ້ໍ ຊອກຫາ. 2. ເລອກຕວົ ລບັ ຕາມທາມະດາ ເຮາົ ເລອກຕວົ ລບັ ແມ່ ນອາການທ່ ເີ ພ່ ນີ ຕອ້ໍ ງການໃຫເ້ໍ ຮາົ ຊອກ (ເບ່ ງິ ຄາຖາມຄນ ໃຫດ້ໍ ີ ວ່ າເພ່ ນີ ຕອໍ້ ງການໃຫເໍ້ ຮາົ ຊອກຫາຫຍງັ ?). 3. ສາ້ໍ ງອະສມົ ຜນົ ຕາມເງ່ອນໄຂບດົ ເລກໂຈດ. 4. ແກອ້ໍ ະສມົ ຜນົ ທ່ ສີ າໍ້ ງໄດ.ໍ້ 5. ສກສາຄນໃຈຜນົ ທ່ ຊີ ອກໄດ້ໍ ໃຫເ້ໍ ໝາະສມົ ແລວໍ້ ຕອບ. ບດົ ເລກ 1: ໃຫຈ້ໍ ານວນໜ່ ງ ຖາ້ໍ ເພ່ ນີ ເອາົ 2 ຂອງຈານວນນນັໍ້ ມາລບົ ກບັ 1 ຂອງຈານວນດ່ ງັ ກ່ າວຈະເຫນັ ວ່ າ ຜນົ ລບົ ຂອງພວກ 34 ມນັ ໜອໍ້ ຍກວ່ າ 120 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຈານວນນນັ້ໍ . ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ກ. ຄດັ ເລອກຕວົ ລບັ . ວາງ x ແມ່ ນຈານວນທ່ ຕີ ອໍ້ ງການຊອກ 2 ຂອງຈານວນນນັໍ້ ແມ່ ນ 2x 3 3 1 ຂອງຈານວນນນັໍ້ ແມ່ ນ 1x 4 4 ຂ. ສາ້ໍ ງເປນັ ອະສມົ ຜນົ ຕາມເງ່ອນໄຂຂອງບດົ ໂຈດເຮາົ ໄດ:້ໍ 2 x  1 x  120 34 96