บทที่ 8 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟิสกิ ส์ 3(ว31203) การเคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย คานา เอกสารเล่มนี้ จัดทาขึน้ เพื่อใช้ในการประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าฟสิ ิกส์ 3(ว 32203) ของนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรียนท่ี 1 ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551 (ฉบบั ปรังปรุง พ.ศ. 2560) กลุ่มสาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตร์ ประกอบไปดว้ ยเน้อื หาเรือ่ ง การเคลื่อนท่ีแบบ ฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย เพื่อใหน้ กั เรยี นหรอื ผสู้ นใจไดศ้ ึกษาและฝกึ ฝน พฒั นาความรู้ ความสามารถของตนเองทาง ด้านวชิ าฟิสกิ ส์ใหม้ ากขน้ึ ผ้จู ัดทาหวังว่าเอกสารประกอบการเรยี นการสอนเลม่ นี้ จะเปน็ ประโยชน์แกน่ ักเรยี น และผทู้ ่ีสนใจ ศึกษาในเนอื้ หาดังกล่าวได้เปน็ อย่างดี ผจู้ ดั ทา รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพนั ธน์ ิช

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสิกส์ 3(ว31203) การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย สารบัญ หน้า 1 บทท่ี 8 การเคล่อื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย 2 เน้ือหา 3 8.1 ลกั ษณะการเคล่อื นท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย 5 8.2 เงาของมวลท่เี คลอื่ นที่เป็นวงกลมสม่าเสมอ 6 8.3 ปรมิ าณทเี่ กย่ี วข้องกับการเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย 7 8 8.3.1 การกระจัดของการเคล่อื นท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย 9 8.3.2 ความเรว็ ของการเคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย 9 8.3.3 ความเร่งของการเคลือ่ นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย 11 8.3.4 การหาความเร็วสงู สดุ (vmax) และความเร่งสงู สดุ (amax) 12 8.4 แรงกบั การส่นั ของมวลตดิ ปลายสปรงิ และลูกตุ้มอยา่ งงา่ ย 8.4.1 การสัน่ ของมวลตดิ ปลายสปรงิ 8.4.2 การแกวง่ ของลกู ตุ้มอย่างงา่ ย 8.5 ความถี่ธรรมชาติและการส่ันพอ้ ง รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพนั ธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟิสกิ ส์ 3(ว31203) - 1 - การเคลอ่ื นท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 8.1 ลกั ษณะการเคลอ่ื นท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นอกจากการเคลื่อนท่ีในแนวตรง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ และการเคล่อื นท่ีแบบวงกลมที่ นกั เรียนเรยี นมาแลว้ ยงั มกี ารเคลอื่ นท่อี กี รูปแบบหนง่ึ ที่มอี ยูใ่ นธรรมชาติ นนั่ คอื การเคล่ือนท่แี บบ ฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย(Simple harmornic motion) ซึง่ นักเรยี นจะไดศ้ ึกษาตอ่ ไป การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย เปน็ การเคลื่อนทข่ี องวตั ถุกลับไปกลับมาซ้าเส้นทางเดิม โดยผ่านตา้ แหนง่ สมดลุ ตัวอยา่ ง การแกวง่ ของชงิ ชา้ การส่ันของมวลติดปลายสปรงิ และการสนั่ ของโมเลกุลใน สาร และการเคล่อื นท่ีขึ้นลงของน้าทเ่ี กิดคล่ืนผิวน้า จากรปู ที่ 8.1 จะเหน็ ว่า รปู (A) มวลอย่นู ่ิงทตี่ า้ แหนง่ สมดุล รปู (B) ออกแรงดึงวตั ถุด้วยขนาด F ทา้ ให้สปรงิ ยืด ออกเป็นระยะ x สปริงจะออกแรงดึงกลบั ดว้ ยขนาด Fs ระยะนีเ้ ปน็ ระยะท่ยี ดื มากท่สี ดุ เรียกวา่ แอมพลิจูด ทางบวก(+A) รปู (C) เมอื่ ปล่อย วตั ถุจะถูกแรงดงึ สปริง Fs ดึงใหม้ วล เคลอ่ื นท่ีเขา้ หาตา้ แหนง่ สมดุล รูป(D) วตั ถอุ ยทู่ ีต่ า้ แหน่งสมดุล แรงดึงสปริงหมดแลว้ แตม่ วลยงั คงเคลอื่ นท่ีตอ่ ไปในทิศทางเดมิ เน่ืองจาก ความเฉ่อื ย รูป(E) ความเฉ่อื ยทา้ ให้มวลยงั คงเลอ่ื นที่ไปทางขวา ส่งผลให้สปริงหดตวั และออกแรงดนั กลบั ด้วยขนาด Fs รปู (F) มวลอดั สปรงิ ใหห้ ด สปรงิ จะออกแรงดันกลบั ดว้ ย ขนาด Fs ระยะน้เี ปน็ ระยะทหี่ ดตวั มากที่สดุ เรียกวา่ http://gg.gg/SHM8_1 แอมพลิจูดทางลบ(-A) รปู (G, H, I และ J) มวลถูกแรงดันกลับของสปริงดันให้ เคลอื่ นท่กี ลับมายงั ตา้ แหน่งสมดุลเหมือนเดมิ เหตุการณ์ จะไปเร่มิ ที่รปู (B) อีกคร้งั รูปท่ี 8.1 การเคลอ่ื นทข่ี องมวลทผี่ กู ปลายสปริงบนพนื ไร้แรงเสียดทาน รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พนั ธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสิกส์ 3(ว31203) - 2 - การเคล่ือนทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย 8.2 เงาของมวลทเ่ี คลื่อนท่เี ปน็ วงกลมสม่า้ เสมอ รปู ท่ี 8.2 เงาของมวลทเี่ คล่อื นที่แบบวงกลม http://gg.gg/SHM8_2 เมื่อฉายแสงผ่านไปยังมวลทีก่ า้ ลังเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวด่งิ สม่า้ เสมอ เงาของมวลจะปรากฏขนึ้ บนฉากท่ีอยู่ถัดไป ลักษณะเงาจะเคลือ่ นท่ขี ้ึนลงตามแนวด่งิ คลา้ ยกบั ลักษณะการเคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง งา่ ยของมวล ดังน้นั เราสามารถใช้ความรเู้ รือ่ งการเคล่อื นทีแ่ บบวงกลมเขา้ มาช่วยในการศึกษาปรมิ าณท่ี เกีย่ วข้องกบั การเคลือ่ นท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่ายได้ เชน่ คาบของการเคลื่อนท่ี ความถี่ และอัตราเรว็ เชงิ มมุ ดงั น้ี ทบทวนความรู้เร่ือง คาบ(Period : T) กับความถ่ี(Frequency : f) คาบ(T) คอื เวลาที่วตั ถใุ ช้ในการเคลอื่ นทคี่ รบ 1 รอบ มหี น่วยฐานเปน็ วนิ าที(s) ความถ่ี(f) คือ จา้ นวนรอบใน 1 หนว่ ยของเวลา มหี นว่ ยฐานเปน็ รอบ/วินาที หรอื เฮิรตซ์(Hz) จากปรมิ าณทงั้ สอง เขียนแสดงความสมั พันธไ์ ด้ว่า T= 1 f สว่ นอตั ราเร็วเชิงมมุ (Agular velocity : ω) เปน็ การวัดมุมทว่ี ดั ถุกวาดไปได้เทียบกับเวลา เขยี น เป็นความสัมพนั ธ์ได้วา่ ω = θ t นอกจากน้แี ลว้ อัตราเร็วสามารถหาไดจ้ าก รูปท่ี 8.3 อัตราเร็วเชิงมุม ω= v ω= 2π ω = 2πf r T รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พันธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสิกส์ 3(ว31203) - 3 - การเคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย 8.3 ปริมาณทีเ่ กยี่ วข้องกบั การเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย ในการเคล่อื นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ปริมาณการเคลื่อนท่ี เชน่ การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง และแรงทีเ่ กดิ กบั วตั ถุจะเปลยี่ นแปลงตลอดการเคลอ่ื นท่ี นกั เรียนสามารถศึกษาได้ดังนี้ ► การหาการกระจดั ของมวล กา้ หนดให้ต้าแหน่งท่ีมวลอยนู่ ่งิ ขณะท่ีมวลไม่เคลือ่ นที่ เป็นตา้ แหนง่ อ้างอิง(x = 0) ท่เี วลา t ใดๆ วัตถจุ ะมกี ารกระจดั (x) ดงั รปู ท่ี 8.4(B) และ 8.4(C) ท้งั นข้ี ึ้นอยกู่ ับวา่ ต้าแหนง่ ของมวลจะอยู่ทางลบ(-x) หรืออยู่ ทางบวก(+x) ส่วนการกระจดั ทีม่ ากทส่ี ุด เรยี กวา่ แอมพลจิ ดู (A) ทงั้ นี้ข้นึ อยู่กบั วา่ เปน็ แอมพลิจทู างลบ(-A) หรือ แอมพลจิ ูดทางบวก(+A) ดว้ ยเช่นกนั ดังรูปท่ี 8.4(A) และ 8.4(D) http://gg.gg/SHM8_4 รูปท่ี 8.4 การกระจัดของมวลที่เคลอ่ื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ณ เวลาตา่ งๆ ► การหาความเร็วของมวล เมื่อมวลมกี ารกระจัดทางบวกมากท่สี ุด(+A) มวลจะหยุดชว่ั ขณะ v = 0 m/s จากน้ันมวลจะเคลอ่ื นท่ี เข้าหาต้าแหน่งสมดลุ โดยมคี วามเรว็ เพ่ิมขน้ึ และมีความเร็วสงู สุด(Vmax) ท่ีต้าแหน่งสมดลุ จากนัน้ มวลจะ เคลอ่ื นที่ต่อไปทางลบเนอื่ งจากความเฉ่ือย เม่อื มวลไปทางลบได้มากทส่ี ดุ จะมแี อมพลจิ ดู เป็นลบ(-A) และมวล จะเคลอ่ื นท่ยี อ้ นกลับไปทางบวกอีกคร้งั ดังรปู ที่ 8.5 http://gg.gg/SHM8_5 รูปท่ี 8.5 ความเร็วของมวลที่เคลื่อนท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างง่าย ณ เวลาตา่ งๆ รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพันธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ ิกส์ 3(ว31203) - 4 - การเคลอื่ นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย ► การหาความเร่งของมวล ทีต่ า้ แหน่งท่ีมกี ารกระจัดทางบวกมากท่ีสุด(x = +A) ความเรง่ จะมคี ่ามากที่สุดและมที ิศไปทางลบ ตอ่ มามวลเคล่ือนที่ ขนาดความเรง่ จะมีคา่ ลดลง ท่ีตา้ แหนง่ สมดุล(x = 0) มวลจะมคี วามเร่งเป็นศนู ย์ มวลจะ ยงั คงเคลอ่ื นที่ตอ่ ไปด้วยความเฉอ่ื ย ท้าใหค้ วามเร่งมขี นาดเพม่ิ ข้นึ แตม่ ที ิศไปทางบวก เมอื่ มวลมกี ารกระจดั ทาง ลบมากที่สดุ จะมีความเรง่ มากที่สดุ จากน่นั วัตถจุ ะเคลอ่ื นที่ย้อนกลบั ไปทางบวกอกี ครั้ง ดงั รูปท่ี 8.6 http://gg.gg/SHM8_6 รปู ที่ 8.6 ความเร่งของมวลที่เคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย ณ เวลาต่างๆ สว่ นแรงดงึ กลบั ในสปรงิ (Fs) ที่กระท้าต่อมวล ณ เวลาใดๆ จะมีทิศทางเหมือนกันกบั ความเรง่ ของมวล จากความสมั พันธท์ ่วี า่ ∑F = ma เมอ่ื ∑F = Fs น่ันเอง รปู ที่ 8.7 การกระจัด ความเรว็ และความเร่งของมวลติดปลายสปริงท่ีเคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พนั ธ์นชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟิสิกส์ 3(ว31203) - 5 - การเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย จงึ สรปุ ได้ว่า(ดังรูปท่ี 8.7) 1) ท่ตี ้าแหนง่ ที่มกี ารกระจัดสงู สุด ความเรว็ ของวตั ถุจะมีค่าเปน็ ศนู ย์ ส่วนการกระจดั ความเรง่ และ แรงจะมคี ่ามากทีส่ ุด 2) ทีต่ ้าแหนง่ สมดลุ การกระจดั ความเรง่ และแรงจะมีคา่ เปน็ ศนู ย์ ส่วนความเร็วจะมคี า่ มากที่สุด 3) การกระจดั จะมที ิศตรงข้ามกบั ความเร่งและแรงเสมอ จากที่ผ่านมานกั เรยี นเห็นแลว้ วา่ วตั ถุที่มกี ารเคล่ือนทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ทั้งการกระจัด ความเร็วและความเรง่ มขี นาดเปล่ยี นแปลงตลอดเวลา ซึ่งนกั เรียนจะได้ศกึ ษาตอ่ ไป ดังน้ี 8.3.1 การกระจัดของการเคล่อื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ใน 1 คาบที่วตั ถุมีการเคลื่อนทีแ่ บบฮารม์ อนิกอย่างง่าย ขนาดของการกระจัดจะมกี ารเปล่ียนแปลง ตลอดเวลา ถ้าน้าค่าเหล่านนั้ มาเขียนเป็นกราฟแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ งการกระจดั ณ ตา้ แหนง่ ใดๆ กับเวลา จะไดก้ ราฟรูป cosine ออกมา ดังรูปที่ 8.8 http://gg.gg/SHM8_8 รปู ท่ี 8.8 กราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการกระจดั (x) กบั เวลา(t) จากกราฟรปู ที่ 8.8 เขียนเป็นสมการได้วา่ x(t) = Acos(θ + ∅) เมอ่ื θ = ωt จะได้ว่า x(t) = Acos(ωt + ∅) x คอื ตา้ แหน่งของวตั ถทุ ี่เวลาใดๆ (เมตร) A คือ การกระจดั สูงสดุ หรอื แอมพลิจูดของวัตถุ (เมตร) ω คอื ความถเ่ี ชิงมมุ (เรเดยี น/วนิ าที) t คอื เวลาท่วี ตั ถใุ ช้ในการเคล่ือนทไ่ี ปได้ (วนิ าท)ี ∅ คอื เฟสเรม่ิ ตน้ ของการเคลือ่ นท่ี (เรเดียน) รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พันธ์นชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ ิกส์ 3(ว31203) - 6 - การเคลื่อนท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างง่าย 8.3.2 ความเร็วของการเคลอ่ื นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย เมอ่ื เร่มิ ปล่อยวตั ถุจากตา้ แหนง่ x = +A ให้เคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย วัตถุจะเคลอ่ื นทไ่ี ปและ กลับ โดยความเรว็ ของวัตถุตลอดเวลา 1 คาบ สามารถเขยี นเปน็ กราฟแสดงความสมั พันธร์ ะหว่างความเร็ว ณ ต้าแหนง่ ใดๆ กบั เวลา จะได้กราฟรูป cosine ออกมา ดังรปู ท่ี 8.9 http://gg.gg/SHM8_9 รปู ท่ี 8.9 กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหวา่ งความเร็ว(v) กบั เวลา(t) จากกราฟรูปท่ี 8.9 เขียนเป็นสมการได้ว่า v(t) = -Aωsin(θ + ∅) เม่ือ θ = ωt จะได้ว่า v(t) = -Aωsin(ωt + ∅) v คือ ความเรว็ ของวัตถทุ ีเ่ วลาใดๆ (เมตร/วินาที) A คอื การกระจัดสูงสดุ หรอื แอมพลิจูดของวตั ถุ (เมตร) ω คอื ความถ่เี ชิงมุม (เรเดยี น/วนิ าท)ี t คอื เวลาท่วี ัตถุใช้ในการเคลอ่ื นท่ีไปได้ (วินาที) ∅ คือ เฟสเริม่ ต้นของการเคล่อื นท่ี (เรเดียน) นอกจากนี้แล้ว นักเรยี นสามารถค้านวณหาความเรว็ ของวัตถุ ณ ต้าแหน่งใดๆ ได้จากสมการท่วี า่ v = ± ω√A2 − x2 หมายเหตุ ศึกษาทม่ี าของสมการได้จาก http://gg.gg/SHM8-1PDF รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพนั ธ์นชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ กิ ส์ 3(ว31203) - 7 - การเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย 8.3.3 ความเร่งของการเคล่อื นทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย เม่ือวตั ถเุ คลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ความเร่งของวัตถจุ ะเปล่ียนแปลงตามเวลา ซ่ึงสามารถเขียน เป็นกราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความเรง่ ณ ต้าแหนง่ ใดๆ กบั เวลา จะไดก้ ราฟรปู cosine ออกมา ดังรปู ท่ี 8.10 รปู ท่ี 8.10 กราฟแสดงความสมั พันธร์ ะหว่างความเรง่ (a) กับเวลา(t) http://gg.gg/SHM8_10 จากกราฟรปู ท่ี 8.10 เขยี นเปน็ สมการได้ว่า a(t) = -Aω2cos(θ + ∅) เม่อื θ = ωt จะไดว้ า่ a(t) = -Aω2cos(ωt + ∅) a คอื ความเร่งของวัตถทุ เ่ี วลาใดๆ (เมตร/วินาที2) A คอื การกระจดั สูงสุด หรือ แอมพลจิ ดู ของวตั ถุ (เมตร) ω คือ ความถเี่ ชงิ มมุ (เรเดยี น/วินาที) t คอื เวลาที่วัตถใุ ช้ในการเคลือ่ นทไี่ ปได้ (วินาที) ∅ คอื เฟสเรม่ิ ต้นของการเคลอ่ื นที่ (เรเดยี น) =จากสมการ x(t) Acos(ωt + ∅) และ a(t) = -Aω2cos(ωt + ∅) จะได้วา่ a = -ω2x http://gg.gg/SHM8_11 รปู ที่ 8.11 กราฟแสดงความสมั พันธร์ ะหว่างการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง กบั เวลา(t) รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พันธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสิกส์ 3(ว31203) - 8 - การเคลอ่ื นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จากรูปท่ี 8.11 จะเห็นว่า ������ 2 การกระจัด(x) มีเฟสนา้ ความเร็ว(v) อยู่ เรเดยี น และน้าความเร่ง(a)อยู่ ������ เรเดียน สมการหาการกระจัด ณ เวลาใดๆ x(t) = Acos(ωt + ∅) สมการหาความเร็ว ณ เวลาใดๆ v(t) = -Aωsin(ωt + ∅) =v ± ω√A2 − x2 สมการหาความเรง่ ณ เวลาใดๆ =a(t) -Aω2cos(ωt + ∅) a = -ω2x เพิ่มเติม ������ 2 เนือ่ งจากฟงั กช์ นั cosine และ sine มเี ฟสตา่ งกันอยู่ เรเดียน ในหลายคร้ัง เราจะเหน็ สมการของ ตา้ แหนง่ x อยู่ในรูปของ sine และจะได้ความเร็วกับความเรง่ ดงั น้ี x(t) = Asin(ωt + ∅) v(t) = Aωcos(ωt + ∅) =a(t) -Aω2sin(ωt + ∅) 8.3.4 การหาความเร็วสงู สดุ (vmax) และความเร่งสูงสดุ (amax) จากสมการ =v ± ω√A2 − x2 วัตถุท่ีเคล่อื นท่แี บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ยจะมคี วามเรว็ สงู สดุ ขณะทวี่ ตั ถอุ ยทู่ ต่ี า้ แหนง่ สมดลุ (x = 0) แทนคา่ x = 0 จะไดว้ า่ =vmax ± ω√A2 − 02 =vmax ωA และจากสมการ a = -ω2x วัตถุท่ีเคล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่ายจะมคี วามเรง่ สงู สุด ขณะทว่ี ตั ถมุ กี ารกระจดั มากทส่ี ุด(A) จะไดว้ ่า =amax ω2A รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พันธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสกิ ส์ 3(ว31203) - 9 - การเคลือ่ นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย 8.4 แรงกบั การสน่ั ของมวลติดปลายสปริงและลูกตุ้มอยา่ งง่าย 8.4.1 การสั่นของมวลติดปลายสปริง ► ระบบมวลกบั สปรงิ เบา รูปท่ี 8.12 การทดลองตามกฎของฮกุ ในการออกแรงกระท้าใหส้ ปริงหดสัน้ หรือยืดออกจากความยาวปกติ จะเกดิ แรงทีพ่ ยายามดงึ สปรงิ กลับไปสคู่ วามยาวเดมิ เรียกว่า แรงดึงกลบั ในสปรงิ (Restoring force : Fs) โรเบริ ์ต ฮุก(Robert Hook) ไดท้ ้าการศึกษาความสมั พันธ์ระหว่างแรงดึงกลับ(Fs) และระยะยดื หรือหดของสปรงิ (x) ในช่วงระยะยดื หรอื หด คา่ หน่งึ ไดผ้ ลการทดลองเปน็ ดังกราฟรปู ที่ 8.13 รปู ที่ 8.13 กราฟแสดงความสมั พนั ธ์ตามกฎของฮุก เขียนเป็นสมการแสดงความสมั พนั ธ์ไดว้ า่ Fs = -kx Fs คอื แรงดงึ กลับในสปริง (นิวตนั ) k คือ ค่าคงตัวของสปริง (นวิ ตนั /เมตร) x คือ ระยะยดื หรือหดของสปรงิ (เมตร) หมายเหตุ : ทดลองเสมอื นเพ่ือศึกษากฎของฮกุ ได้ท่ี https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_en.html รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจิมพนั ธ์นิช

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ กิ ส์ 3(ว31203) - 10 - การเคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย เพมิ่ เตมิ 1. ค่า k เป็นจ้านวนจรงิ ทบ่ี อกได้ว่าสปริงแขง้ หรอื อ่อนเท่าไหร่ ถา้ สปรงิ แขง็ หรอื มคี ่า k มากกว่า จะตอ้ งออกแรงมากในการดงึ ให้สปรงิ ยดื ออกเทา่ กัน หรือหดสน้ั ด้วยระยะเท่ากันกบั ตอนแรก 2. เครือ่ งหมายลบในกฎของฮกุ มคี วามหมายวา่ แรงดึงกลับในสปรงิ และการกระจัดของสปริงจะมี ทศิ ทางตรงกันข้าม จากกฎการเคล่ือนท่ีของนิวตันขอ้ ท่ีสอง ∑ F = ma และ Fs = -kx เมื่อ ∑ F = Fs จะได้วา่ ma = -kx a = - kx m a คอื ความเร่งของวตั ถุ (เมตร/วนิ าที2) m คอื มวลของวตั ถุ (กิโลกรมั ) และจาก a = -ω2x จะได้วา่ -ω2x = - kx m ω = √k m ω คอื ความถ่ีเชิงมุม (เรเดยี น/วนิ าที) k คือ ค่าคงตวั ของสปรงิ (นิวตนั /เมตร) m คอื มวลของวตั ถุ (กิโลกรัม) ► การหาคาบ(T) และความถ่ี(f) ของการสั่นของมวลทีต่ ดิ สปริง จาก ω = √mk และ ω = 2������ จะได้ว่า 2������ = √mk T T หรอื T = 2������√mk และจาก ω = √mk และ ω = 2������f จะไดว้ า่ 2������f = √mk หรือ =f 1 √mk 2������ รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พันธ์นิช

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสิกส์ 3(ว31203) - 11 - การเคล่อื นท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย 8.4.2 การแกว่งของลกู ตุ้มนาฬกิ าอยา่ งง่าย รูปที่ 8.14 การแกว่งของลกู ตุ้มนาฬิกา เมอ่ื กางลกู ต้มุ นาฬิกาดว้ ยมมุ น้อยๆ (ไม่เกิน 10 องศา) แลว้ ปล่อย ลูกตุ้มนาฬกิ าจะแกวง่ ท้าใหต้ ัว ลูกต้มุ เคล่อื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ซึง่ จากรปู ที่ 8.14 แรงท่ีท้าให้ลูกตุ้มแกว่งไปไดค้ ือ F = -mgsinθ ถ้ามุมทเ่ี สน้ เชือกกระทา้ กับแนวดงิ่ มคี ่าน้อยๆ การเคลื่อนี่ตามแนวเส้นรอบวงจะถกู ประมาณไดว้ า่ เปน็ เสน้ ตรง x คอื มกี ารกระจัด x และ sinθ ≈ L ซ่งึ จะไดว้ า่ F = - mgx L จากกฎการเคล่ือนท่ีของนวิ ตันขอ้ ทสี่ อง ∑ F = ma จะได้ - mgx = ma L และจาก a = -ω2x จะได้วา่ gx a = - L -ω2x = - gx L ω = √Lg ω คือ ความถีเ่ ชงิ มมุ (เรเดยี น/วินาท)ี g คอื ความเรง่ โนม้ ถว่ ง (เมตร/วนิ าที2) L คอื ความยาวเชอื ก (เมตร) รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พันธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟสิ ิกส์ 3(ว31203) - 12 - การเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย ► การหาคาบ(T) และความถี่(f) ของการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา จาก ω = √Lg และ ω = 2������ จะไดว้ ่า 2������ = √Lg T T หรือ T = 2������√Lg และจาก ω = √gL และ ω = 2������f จะได้วา่ 2������f = √Lg หรือ =f 1 √Lg 2������ 8.5 ความถีธ่ รรมชาติและการสน่ั พอ้ ง การส่นั พ้อง(Resonance) เป็นปรากฎการณท์ ี่ท่ีระบบหนึ่งที่มกี ารสั่น โดยถกู แรงภายนอกมากระท้า ดว้ ยความถี่เท่ากบั ความถี่ธรรมชาตขิ องระบบน้นั สง่ ผลให้แอมพลิจูดการสน่ั ของระบบน้นั เพมิ่ มากข้ึน และ เรยี กความถี่น้ีวา่ ความถี่สน่ั พอ้ ง(Resonance frequency) จะเห็นได้ว่า ความถี่ธรรมชาตเิ ป็นความถี่เฉพาะตัวของระบบหน่งึ ๆ ซงึ่ นกั เรียนสามารถค้านวณหา ความถีธ่ รรมชาตจิ ากการส่ันของมวลทตี่ ิดสปรงิ ไดจ้ าก f = 1 √mk และความถธี่ รรมชาติจากการแกวง่ ของ 2π ลกู ตมุ้ นาฬกิ าไดจ้ าก f = 1 √Lg สมมตุ วิ ่าวตั ถุหนึ่งมีความถีธ่ รรมชาตเิ ป็น 50 เฮริ ์ต เม่อื มีแรงภายนอกมา 2π กระทา้ ดว้ ยความถี่เท่ากับ 50 เฮิร์ตพอดี จะทา้ ให้ระบบสนั่ ดว้ ยแอมพลจิ ดู สูงสุด แต่ถา้ แรงท่มี ากระทา้ มคี วามถี่ แตกต่างเลก็ นอ้ ย เชน่ 49 เฮริ ต์ หรอื 51 เฮิร์ต แอมพลิจูดของการสนั่ จะลดลง ดังรปู ที่ 8.15 รูปที่ 8.15 กราฟแสดงความถ่ขี องแรงภายนอกกบั แอมพลิจูดของการสัน่ รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพนั ธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟสิ กิ ส์ 3(ว31203) - 13 - การเคล่ือนท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย ตวั อย่างการสน่ั พอ้ งอ่นื ๆ ที่พบเหน็ ในชีวติ ประจ้าวนั เชน่ การปรับจูนชอ่ งสญั ญาณของวิทยุใหต้ รงกบั ความถขี่ องคลนื่ วิทยุที่สถานีส่งออกมา หรอื นักรอ้ งโอเปรา่ เปลง่ เสยี งออกมาด้วยความถค่ี า่ หน่ึงที่ตรงกบั ความถ่ี ธรรมชาติของแก้วไวน์ ท้าให้แก้วไวน์สน่ั อย่างรนุ แรงจนแกว้ แตกได้ รปู ที่ 8.16 การปรบั ช่องสญั ญาณของวิทยุ และการใช้พลงั จากเสียงท้าให้แก้วไวน์แตก หมายเหตุ ศกึ ษาการสน่ั พ้องของวตั ถุไดท้ ่ี http://gg.gg/resonance ศกึ ษาเร่อื ง เสยี งทา้ ใหแ้ ก้วแตกได้อย่างไร ไดท้ ่ี http://gg.gg/brokenglass การทดลอง พลงั เสยี งแกว้ แตก https://bit.ly/2Jzv7kv รวบรวมโดย นายสรยทุ ธ เจมิ พนั ธ์นชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟสิ กิ ส์ 3(ว31203) - 14 - การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ตวั อยา่ งท่ี 1  อนุภาคมวล 1 กรมั เคล่อื นที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยในระนาบดิ่งด้วยความถี่ 50 เฮิรตซ์ และมแี อมพลจิ ูด 10 เซนตเิ มตร โดยมเี ฟสเร่ิมต้นเปน็ ศนู ย์ จงหา ก. ความถี่เชงิ มุม ข. การกระจดั ที่เวลา t ใดๆ ค. ความเร็วทเี่ วลา t ใดๆ ง. การกระจดั ท่เี วลา 0.01 วนิ าที จ. ความเรว็ ที่เวลา 0.01 วินาที ฉ. อตั ราเร็วท่ตี ้าแหนง่ 5 เซนตเิ มตรจากสมดุล ช. อตั ราเร็วสงู สุด ซ. อัตราเรง่ สูงสดุ ฌ. แรงทก่ี ระทา้ ตอ่ อนภุ าคสูงสุด วธิ ีทา้ ก. หา ω จาก ω = 2������f ω = 2(272)(50) ω = 100������ rad/s ดังนน้ั ความถี่เชิงมมุ มคี า่ เท่ากบั 100 π เรเดยี น/วนิ าที ข. หา x(t) ท่ี t ใดๆ จาก =x(t) Asin(ωt + ∅) =x(t) 0.1sin100������t ดังนน้ั การกระจัดท่เี วลาใดๆ เขยี นเปน็ สมการไดว้ ่า x(t) = 0.1sin100������t ค. หา v(t) ท่ี t ใดๆ จาก =v(t) Aωcos(ωt + ∅) =v(t) (0.1)(100������)cos100������t =v(t) 10������cos100������t ดังนั้น ความเรว็ ทเ่ี วลาใดๆ เขียนเปน็ สมการได้วา่ =v(t) 10������cos100������������ ง. หา x(t) ที่ t = 0.01 s จาก =x(0.01) 0.1sin100������(0.01) =x(0.01) 0.1 m ดงั นนั้ การกระจดั ที่เวลา 0.01 วนิ าทมี คี ่าเท่ากบั 0.1 เมตร จ. หา v(t) ที่ t = 0.01 s จาก =v(0.01) 10������cos100������t =v(0.01) 10������cos100������(0.01) =v(0.01) -10������ m/s ดังน้ัน ความเรว็ ทเ่ี วลา 0.01 วินาทมี ีคา่ เท่ากบั 10������ เมตร/วินาที มที ศิ ชี้ลง ฉ. หา v ที่ต้าแหนง่ x = 5 x 10-2 m จากสมดลุ จาก v = ω√A2 − x2 v = 100π √(0.1)2 − (5 x 10−2)2 v = 8.66 π m/s ดังนน้ั อตั ราเรว็ ท่ตี า้ แหนง่ 5 เซนติเมตรจากสมดุลมคี ่าเท่ากับ 8.66 เมตร/วินาที รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พนั ธน์ ิช

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าฟิสกิ ส์ 3(ว31203) - 15 - การเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย ช. หา vmax จาก =vmax ωA =vmax (100������)(0.1) =vmax 10������ m/s ดงั นัน้ อตั ราเร็วสงู สดุ มคี ่าเทากบั 10������ เมตร/วินาที ซ. หา amax จาก =amax ω2A =amax (100������)2(0.1) =amax 1000������2 m/s2 ดงั นั้น อตั ราเร่งสงู สุดมีค่าเทากับ 1000������2 เมตร/วินาที2 ฌ. หา Fmax จาก =Fmax mamax =Fmax (0.001)(1000������2) =Fmax ������2 N ดงั นั้น แรงสูงสดุ ท่ีกระท้าตอ่ อนภุ าคมีคา่ เทา่ กบั ������2 นวิ ตัน ตวั อยา่ งที่ 2  สปรงิ เบาอนั หนึ่งมีค่าคงตวั 10 นวิ ตัน/เมตร วางอยู่บนโตะ๊ ทไี่ ม่มแี รงเสยี ดทาน โดยท่ปี ลาย ข้างหนง่ึ ของสปรงิ ถูกตรงึ ไว้กบั ท่ี ส่วนปลายอกี ข้างหนง่ึ ติดกบั วัตถุมวล 0.40 กิโลกรมั เมือ่ ดึงวตั ถุให้ยืดออก 10 เซนตเิ มตร จากต้าแหน่งสมดลุ แลว้ ปล่อย วตั ถุจะเคลอ่ื นท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย จงหาการกระจัดที่เวลา ใดๆ วธิ ีท้า จากสมการ =x(t) Asin(ωt + ∅) จะต้องหา ω, A และ ∅ กอ่ น จาก ω = √k m ω = √01.400 ω = 5.0 rad/s และ A = 10 cm หรือ 0.10 m เนอ่ื งจากเวลา t = 0 วนิ าที วัตถอุ ยูท่ ่ตี า้ แหนง่ x = 0.10 m เมอ่ื แทนค่าในสมการการกระจดั ทเี่ วลา ใดๆ จะไดว้ ่า 0.10 = 0.10sin((5.0)(0) + ∅) sin ∅ = 1 ∅= 90o หรอื ������ rad 2 ดงั นัน้ การกระจัดท่เี วลาใดๆ หาไดจ้ ากสมการ x(t) = 0.10sin (5.0t + ���2���) รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พนั ธ์นชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ ิกส์ 3(ว31203) - 16 - การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย ตวั อย่างท่ี 3  อนภุ าคมวล 1.75 กโิ ลกรัม มีความสมั พนั ธ์ระหว่างตา้ แหนง่ กบั เวลาดังสมการ =x(t) 4.00cos(1.33t + ���5���) โดยทตี่ ้าแหน่งมีหนว่ ยเปน็ เมตร เวลามีหน่วยเปน็ วินาที และอนุภาคเรมิ่ ต้นเคล่ือนท่ี ท่ีเวลา t = 0 วินาที จงหาเวลาถัดไปที่อนภุ าคอยทู่ ่ีต้าแหนง่ แอมพลิจดู ต่้าสุด วิธที า้ อนภุ าคอยู่ท่ตี า้ แหนง่ แอมพลจิ ูดตา่้ สดุ x = –A = -4.00 m จะได้วา่ =-4.00 4.00cos(1.33t + ���5���) =cos(1.33t + ���5���) -1.00 =1.33t + ������ cos-1(-1.00) 5 ������ =1.33t+ 5 ������ =1.33t 4������ 5 t = 1.89 s ดังนั้น เมอื่ เวลาผา่ นไปแล้ว 1.89 วินาที อนภุ าคจะอยู่ท่ีต้าแหน่งแอมพลิจดู ต้่าสดุ ตัวอย่างที่ 4  วัตถุวางอยู่บนปลายของจานหมุนที่วางตวั อยู่ในระนาบมรี ศั มีของจาน 2 เมตร หากจาน หมนุ มคี วามถค่ี งท่ี 0.2 เฮิรตซ์ ในขณะนนั้ ฉายแสงไปยังจานหมุนทา้ ใหเ้ กดิ เงาของวัตถปุ รากฏบนก้าแพง ก้าลงั เคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ยอย่ดู า้ นหลงั จานหมนุ จงหาแอมพลิจดู ความถี่ คาบ และความถเี่ ชิงมุมของ เงาของวัตถุ วธิ ีทา้ จากโจทย์ A = รัศมีของจานหมุน = 2 m f = ความถข่ี องจานหมนุ = 0.2 Hz T= 1 = 1 = 5s f 0.2 ω = 2������f = 2������(0.2) = 0.4������ rad/s ดงั นั้น แอมพลิจดู ความถ่ี คาบ และความถี่เชงิ มุมของเงาวัตถจุ ะมคี า่ เท่ากับ 2 เมตร, 0.2 เฮิรตซ,์ 5 วนิ าที และ 0.4������ เรเดยี น/วนิ าที ตามล้าดับ ตวั อยา่ งที่ 5  การกระจัดของวตั ถุ (x) หนว่ ยเมตรกบั เวลา (t) หน่วยวนิ าที ของวตั ถุท่ีเคล่ือนที่แบบฮาร์ มอนิกอยา่ งง่ายมคี วามสมั พันธ์ตามสมการ x = 0.4 sin 10t จงหาความเร่ง ณ จุดไกลสุดจากแนวสมดลุ วธิ ที า้ จากสมการ =x(t) A sin (ωt + ∅) และ x = 0.4 sin 10t จะไดว้ า่ A = 0.4 m และ ω = 10 rad/s จาก =amax ω2A = 102(0.4) = 40 m/s2 ดังนน้ั จากสมการ วัตถจุ ะมคี วามเรง่ ณ จไุ กลสุดจากแนวสมดุลเทา่ กบั 40 เมตร/วินาที2 รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจมิ พนั ธน์ ชิ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาฟสิ กิ ส์ 3(ว31203) - 17 - การเคลื่อนทีแ่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย ตัวอย่างท่ี 6  มวล 0.25 kg ตดิ กับปลายข้างหนึง่ ของสปรงิ ซง่ึ มคี า่ นจิ 100 N/m วางอยู่บนพน้ื ระดบั ลื่น ส่วนปลายอกี ขา้ งหนงึ่ ของสปรงิ ยดึ ตดิ กบั ผนงั เม่อื ดงึ มวลทา้ ให้สปริงยดื ออกเลก็ นอ้ ยแลว้ ปล่อยมวลจะเคลอ่ื นที่ กลบั ไปกลับมาดว้ ยคาบเทา่ ใด วิธีทา้ จาก T = 2������ √ m k =T 2 (272 )(√ 100.205) T = 0.31 s ดังนนั้ คาบมีค่า 0.31 วินาที ตัวอย่างท่ี 7  ลูกตุ้มแขวนด้วยเชือกยาว 2 m แกวง่ ไปมาดว้ ยความถี่ 2.5 Hz ถา้ เปลยี่ นเปน็ เชอื กยาว 8 m จะแกวง่ ด้วยความถเ่ี ทา่ ใด วธิ ีท้า จาก f = 1 √Lg 2π ได้ว่า f1 = 1 √Lg1 ---------------- (1) 2π f2 = 1 √Lg2 ---------------- (2) 2π น้า (1) / (2) จะได้ f1 = √LL21 f2 2.5 = √28 f2 f2 = 1.25 Hz ดังนน้ั ความถีข่ องลูกตมุ้ นาฬกิ าเท่ากบั 1.25 เฮิรตซ์ ตัวอยา่ งที่ 8  จงหาความถ่ีธรรมชาติของลูกตมุ้ นาฬกิ าทมี่ คี วามยาวเชอื ก 1 เมตร ( g = 9.8 m/s2) วธิ ที ้า จาก f = 1 √Lg 2π f = 1 √91.8 2π f = 0.5 Hz ดงั นน้ั ความถี่ธรรมชาตขิ องเชอื กนม้ี ีคา่ เท่ากับ 0.5 เฮิรตซ์ รวบรวมโดย นายสรยุทธ เจิมพันธ์นชิ