คาบที่2-การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิก

การเคล่ือนทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก นยิ าม การเคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย (simple harmonic motion: SHM) เปน็ การ เคลอื่ นที่ซา้ ไปซ้ามา โดยผา่ นต้าแหน่งสมดุล และคาบของการเคลอ่ื นทีค่ งตวั

การเคลื่อนท่แี บบซิมเปิ ลฮาร์มอนิกในชีวติ ประจาวัน https://www.youtube.com/watch?v=9fTBCyGYnLY

การเคล่ือนที่แบบซิมเปิ ลฮาร์มอนิกในชีวติ ประจาวนั

ประโยชน์ของการเคล่ือนท่แี บบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก

การเคล่ือนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก ตาแหนง่ สมดุลของการเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนิก คือ ต้าแหน่งทีแ่ รงลัพธ์เทา่ กับศูนย์ เชน่ ตา้ แหน่งก่อนดงึ สปรงิ นิยมก้าหนดการ กระจัดทตี่ ้าแหนง่ สมดลุ เทา่ กับ ศนู ย์ (x = 0)

การกระจดั ของการเคลื่อนที่แบบ SHM การกระจัด ทตี่ าแหน่งเวลา t = T การเคลอ่ื นที่มลี กั ษณะอยา่ งไร………………………………………………………………….

การกระจดั ของการเคล่ือนที่แบบ SHM กราฟการกระจดั กับเวลาอยูใ่ นรปู ของฟังกช์ นั ไซนห์ รอื โคไซน์ เมอื่ A คือ แอมพลิจดู (Amplitude) หรอื การกระจัดสงู สดุ และ θ = ωt การคือมมุ เฟสของการเคลื่อนท่ี ฟงั ก์ชัน sin หรือ cos ฟังก์ชนั ใดสอดคลอ้ งกับการเคลอื่ นที่ของสปริงจากสไลด์ท่ีผ่านมามากกว่ากนั ?

การกระจดั ของการเคลื่อนท่ีแบบ SHM อย่างไรกต็ ามจุดเรม่ิ ตน้ ของการเคลอ่ื นที่จะเริ่มทมี่ ุมใดก็ได้ เช่น x  Acos(t   ) 4 ดังนนั อาจเขยี นสมการท่ัวไปเปน็ x  A cos(t  ) เม่ือ คอื เฟสเริม่ ตน้ หรอื มมุ เริ่มต้นของการเคลอื่ นท่ี มีหน่วยเปน็ องศาหรอื เรเดยี น

ข้อควรทราบเกย่ี วข้องกบั การเคลื่อนที่แบบ SHM 1. แอมพลิจดู (A) คือ ขนาดของการกระจัดของวตั ถุท่ีวัดจากต้าแหนง่ สมดุลถงึ จดุ ปลายทังสองข้าง ซ่ึงมีค่ามาก ที่สุดและมีค่าคงทเี่ สมอ 2. คาบ (T) คอื ชว่ งเวลาทีว่ ัตถุเคลอ่ื นทค่ี รบหนึ่งรอบ มหี นว่ ยเปน็ วินาที 3. ความถ่ี (f) คอื จ้านวนรอบที่วัตถเุ คลอื่ นทไ่ี ดใ้ น 1 วนิ าทีมหี น่วยเปน็ รอบตอ่ วินาที หรือ เฮริ ตซ์ (Hz) 4. ณ ตาแหน่งสมดลุ F, x, a = 0, แต่ v มีค่ามากทส่ี ุด 5. ณ ตาแหน่งจดุ ปลาย F, x, a มีค่ามากที่สุด แต่ v = 0

ความเร็วของการเคล่ือนท่แี บบ SHM ทราบวา่ การกระจดั ของการเคลอ่ื นทแ่ี บบ SHM เท่ากับ x  Acos(t ) จากนยิ ามของความเร็ว v  d x  d Acos(t )   Asin(t ) d (t ) dt dt dt   A sin(t ) ดงั นน้ั ขนาดสูงสุดของ v คอื vmax=Aω เพราะว่า…………………………………… ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที โดย ω = 2πf = 2π/T

ความเร็วของการเคลื่อนทแ่ี บบ SHM ทราบว่าความเร็วของการเคลือ่ นทีแ่ บบ SHM เท่ากับ x   A sin(t ) จากนิยามของความเร่ง a  d v  d  A sin(t )   A cos(t ) d (t ) dt dt dt   A2 cos(t ) ดังนนั้ ขนาดสูงสดุ ของ a คอื amax=Aω2 เพราะว่า…………………………………… ω คือ อตั ราเรว็ เชงิ มุม มหี นว่ ยเปน็ เรเดยี นตอ่ วินาที โดย ω = 2πf = 2π/T

ตวั อย่างที่ 1 จากสมการการเคลอื่ นทีแ่ บบ SHM x  5cos(6t) จงหาแอมพลจิ ดู และ คาบของการเคลือ่ นท่ี (ตอบ 5 เมตร และ 1/3 วินาที)

ตวั อย่างที่ 2 อนุภาคมวล 0.1 กรมั เคลอ่ื นท่แี บบ SHM ด้วยความถี่ 50 Hz และ มีแอมพลิจูด 0.01 m โดยมเี ฟสเริ่มต้นเป็นศนู ย์ มี สมการการเคลอื่ นท่ีเปน็ y = Asin(ωt) จงหา ก. อัตราเร็วเชิงมุม (100π rad/s) ข. การกระจดั และความเร็วทเ่ี วลา 0.01 วินาที (0, - π m/s) ค. อตั ราเร็วและอัตราเรง่ สงู สดุ (π m/s, 100 π2 m/s2)

ตวั อยา่ งที่ 3 อนุภาคหนง่ึ เคล่ือนที่แบบซมิ เปลิ ฮาร์มอนกิ ด้วยอตั ราเร็ว 0.7 รอบ/วินาที และมกี ารกระจัดไกลสดุ 0.5เมตร จงหา ก. อัตราเร็วสงู สุด (2.2 m/s) ข. อัตราเรง่ สูงสดุ (9.68 m/s2)

ค่าคงทส่ี ปริงและแรงสปริง การยดื -หด ของสปรงิ แต่ละแบบมคี วามยากงา่ ยแตกตา่ งกนั ขนึ กบั คา่ คงที่สปรงิ k

การหาอตั ราเร็วเชิงมุม ความถี่ และคาบของวตั ถุตดิ สปริง กรณีสปรงิ ซึง่ มีคา่ คงทส่ี ปริง k ผกู ติดกบั มวล m ความสัมพันธร์ ะหวา่ งอัตราเร็วเชิงมมุ ความถ่ี และคาบ

การหาอตั ราเร็วเชิงมุม ความถี่ และคาบของแกว่งลูกตุ้มนาฬิกา กรณีลูกตุม้ หอ้ ยดว้ ยเชอื กยาว l แกวง่ อิสระรอบจดุ ตรึงแนน่ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งอตั ราเรว็ เชงิ มมุ ความถี่ และคาบ

ตวั อย่างที่ 4 มวล 0.25 กโิ ลกรมั ติดกับปลายข้างหนึ่งของสปรงิ ซงึ่ มีค่านิจ 100 นวิ ตนั /เมตร วางอย่บู นพนื ระดับลน่ื สว่ นปลายอีกขา้ งหนึ่งของสปรงิ ยึดตดิ กับผนงั เมื่อดงึ มวลท้าใหส้ ปรงิ ยืดออกเลก็ นอ้ ยแล้วปลอ่ ย มวลจะเคลอ่ื นที่กลบั ไปกลบั มาดว้ ยคาบเทา่ ใด (0.31 วินาท)ี

ตวั อยา่ งท่ี 5 ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว 2 เมตร แกวง่ ไปมาด้วยคาบ 2.5 วนิ าที ถา้ ลกู ตุ้มแขวนดว้ ย เชอื กยาว 8 เมตร จะแกว่งดว้ ยคาบเทา่ ไร (5 วนิ าที)

พลงั งานศักย์และพลงั งานจลน์ของการส่ันของสปริง • สปรงิ ทีม่ ีค่าคงทส่ี ปรงิ k เคล่ือนท่หี า่ งจากจดุ สมดลุ เป็นระยะเทา่ กบั x จะมี พลงั งานศักย์ Ep 1 2 Ep  kx2 • จะมีพลงั งานจลน์ Ek เทา่ กับ Ek  1 mv2 2

พลงั งานรวมของการส่ันของสปริง พลังงานรวม ET คดิ จากผลรวมของพลงั งานศักยแ์ ละพลงั งานจลน์ ET  Ep  Ek  1 kx2  1 mv2 2 2  1 k( Acos(t))2  1 m( A sin(t))2 ET  1 kA2 2 22  1 kA2 cos2 (t)  1 mA22 sin2 (t) 22  1 kA2 cos2 (t)  1 mA2 k sin2 (t) 2 2m  1 kA2 cos2 (t)  1 kA2 sin2 (t)  1 kA2 222

ตวั อย่างที่ 6 สปริงสัน่ ดว้ ยสมการการเคลอ่ื นทแี่ บบ SHM x  5cos(6t) หากสปริงมีคา่ คงท่ีสปรงิ เทา่ กบั 100 N/m และผกู ติดกับมวล 3 kg อยากทราบว่าที่เวลา t = 1/18 วินาที จะมีพลงั งานศกั ย์ พลงั งานจลน์ และพลงั งานรวมของการเคล่ือนท่ีเปน็ เทา่ ไร

ตวั อย่างที่ 7 สปรงิ มคี า่ คงที่สปรงิ เท่ากับ 400 N/m ออกแรง 100 N เพอื่ ดึงสปริง จะมีพลงั งานศกั ยส์ ะสมใน สปรงิ เทา่ ไร