บทที่8

สาระสาคญั ตอนท่ี 8.1 การแกวง่ กวดั แบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย ตอนท่ี 8.2 ระบบทม่ี กี ารเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ ง งา่ ย ตอนท่ี 8.3 การแกวง่ กวดั แบบหน่วงและแบบบงั คบั

ตอนท่ี 8.1การแกวง่ กวดั แบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย • สมการการเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย • แนวเทยี บวงกลมอา้ งองิ กบั ฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย • พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั

สมการการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย m   kx  F mP x01 x xx2 การเคล่อื นทแ่ี บบน้ีเรยี กวา่ การเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) SHM

สมการการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย   kx F m 0 xx กฎของฮุก (Hooke’s law)  kx F  k คอื คา่ คงตวั ของสปรงิ มหี น่วยเป็นนิวตนั ตอ่ เมตร (N / m) จากกฎขอ้ ทส่ี องของนิวตนั จะได้  F  ma ในกรณี 1 มติ ิ d2x  kx  ma  kx  m dt2

สมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย m d 2x  kx  0 d2x 2x  0 2  k dt2 dt2 m สมการการเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย เดาคาตอบ x(t)  ??? x(t)  Asint  หรอื x(t)  Acost  A แอมปลจิ ดู ถกู กาหนดด้วย  ความถเ่ี ชงิ มุม เรเดยี น ตอ่ วนิ าที (rad/s) การกระจดั และความเรว็ ในตอนเร่ิมต้น t  มมุ เฟส  เฟสเรมิ่ ตน้

สมการการเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย d2x  2 x  0 a  dv  dv dx  v dv  d  1 v2  dt2 dt dx dt dx dx  2  1  dx 2   2 x2  c 2  dt  2 จากเงอ่ื นไข c  2 A2 x  A dx  0 dt 2  dx 2  v2   2 ( A2  x2 ) sin 1 x   t    dt   A v  dx   A2  x2 dt dx  dt x  A sin(t ) A2  x2

สมการการเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย คาบของการกวดั แกวง่ (T ) เวลาทใ่ี ชใ้ นการเคล่อื นทค่ี รบ 1 รอบ หน่วยคอื วนิ าที sint  2   sin t cos2  cost sin 2  sin t T  2 sint  2   sin(t T)    t  2   (t  T   )  (f) จานวนรอบทเ่ี คล่อื นทไ่ี ดใ้ น หน่ึงวนิ าที ความถข่ี องการกวดั แกวง่ หน่วยคอื รอบต่อวนิ าที หรอื Hz f 1 T

สมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ถา้ กาหนดให้      2 x(t)  Asint   Asint      Asint     2  2  Asint  cos  cost  sin    2 2 x(t)  Acost  sinA B  sin AcosB  cos Asin B

สมการการเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย การกระจดั x(t)  Asint  ความเรว็ v(t)  dx  A cost  ความเร่ง dt v(t)  A cost  a(t)  dv  d 2x  A2 sint   dt dt2 a(t)  A2 sint   a(t)  2 Asint   a(t)  2x(t)

แนวเทยี บวงกลมอา้ งองิ กบั ฮารม์ อนกิ เชงิ เดยี ว http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/shm/phase0.html

แนวเทยี บวงกลมอา้ งองิ กบั ฮารม์ อนิกเชงิ เดยี ว (a) ตาแหน่ง x ของจดุ Q (b) ความเรว็ vx ของจดุ Q (b) ความเรง่ axของจดุ Q รปู แสดงวงกลมอา้ งองิ สาหรบั SHM ของจุด Q ซง่ึ เคล่อื นทไ่ี ป-กลบั ในแนวแกน  x

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั x(t)  Acost  ระบบประกอบด้วยพลงั งานศกั ย์ และพลงั งานจลน์ พลงั งานศกั ย์ Ep  1 kx2  1 kAcos(t   )2  1 kA2 cos2 (t ) 2 2 2 พลงั งานศกั ยม์ คี า่ สงู สดุ เท่ากบั 1 kA2ณ ตาแหน่งทม่ี กี ารกระจดั เป็น  A 2 พลงั งานศกั ยม์ คี า่ ต่าสดุ เทา่ กบั 0 ณ ตาแหน่งสมดลุ

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั 2  k พลงั งานจลน์ 1 mv2 m 2 v(t)  dx(t)  A sint  dt Ek  1 mv2  1 m A sint   2  1 mA2 2 sin2 (t ) 2 2 2  1 kA2 sin 2 (t ) 2 พลงั งานจลน์มคี า่ สงู สุดเทา่ กบั 1 kA2 ณ ตาแหน่งสมดลุ 2 พลงั งานจลน์มคี า่ ต่าสดุ เทา่ กบั 0 ณ ตาแหน่งทม่ี กี ารกระจดั เป็น  A

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั พลงั งานศกั ย์ Ep (t)  1 kA2 cos2 (t   ) พลงั งานจลน์ 2 Ek (t)  1 kA2 sin 2 (t   ) 2 พลงั งานรวม E  Ep (t)  Ek (t)  1 kA2 cos2 (t   )  1 kA2 sin 2 (t  ) 2 2  E  1 kA2 sin2(t )  cos2(t ) 2 E  1 kA2 2

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั พลงั งานศกั ย์ Ep (t)  1 kA2 cos2 (t   ) E  1 kA2 2 2 พลงั งานจลน์ Ek (t)  1 kA2 sin 2 (t ) 2  0 กราฟแสดงพลงั งานจลน์ พลงั งานศกั ย์ และพลงั งานรวมทเ่ี ป็นฟังกช์ นั ของเวลา

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั พลงั งานศกั ย์ พลงั งานจลน์ Ep (t)  1 kA2 cos2 (t  ) Ek (t)  1 kA2 sin 2 (t ) 2 2 E p ,MAX  1 kA2 Ek ,MAX  1 kA2 2 2 Ep,MIN  0 Ek,MIN  0 E p, AVE  1 kA2  1   1 kA2 Ek , AVE  1 kA2 1   1 kA2 2  2 4 2 2 4

พลงั งานของตวั แกวง่ กวดั กราฟแสดงพลงั งานจลน์ พลงั งานศกั ย์ และพลงั งานรวมทเ่ี ป็นฟังกช์ นั การกระจดั

ตวั อย่างที่ 1 การเคล่อื นทแ่ี บบ SHM ซง่ึ แทนดว้ ยสมการ x(t)  5sin 20t     3 โดยท่ี x มหี น่วยเป็นเมตร t มหี น่วยเป็นวนิ าที และเฟสมหี น่วยเป็นเรเดยี น จงคานวณหา 1. ความถ่ี 2. คาบ 3. การกระจดั สงู สดุ 4. อตั ราเรว็ สงู สดุ 5. อตั ราเรง่ สงู สดุ t 0 และ t  วนิ าที 6. การกระจดั อตั ราเรว็ และอตั ราเรง่ ทเ่ี วลา 40

ตวั อย่างที่ 2 การเคล่อื นทแ่ี บบ SHM ซง่ึ แทนดว้ ยสมการ x(t)  12 sin 2t    T  คาบของการกวดั แกวง่ เทา่ กบั 20 วนิ าที และทเ่ี วลา t=0 การกระจดั ของอนุภาค เทา่ กบั 6 เมตร จงหา 1. เฟสเรมิ่ ตน้ 2. เวลาทน่ี ้อยทส่ี ดุ ทท่ี าใหเ้ กดิ การกระจดั 6 3 เมตร 3. เฟสทแ่ี ตกต่างกนั ระหวา่ งตาแหน่ง 2 ตาแหน่งของอนุภาคทเ่ี วลา ตา่ งกนั 5 วนิ าที

ตวั อย่างที่ 3 มวล 1 กโิ ลกรมั เคล่อื นทแ่ี บบ SHM ดว้ ยแอมพลจิ ดู 0.05 เมตร และคาบ 5 วนิ าที จงหา 1. อตั ราเรว็ ของมวลทจ่ี ดุ ซง่ึ หา่ งจากจดุ กง่ึ กลางของการแกว่งกวดั เป็น ระยะ 0.03 เมตร มคี า่ เป็นเทา่ ใด 2. พลงั งานศกั ยท์ จ่ี ุดซง่ึ อยหู่ า่ งจากจดุ กง่ึ กลางของการกวดั แกวง่ เป็น ระยะ 0.03 เมตรมคี า่ กจ่ี ลู 1) 1.6 102 m/s 2) 0.72  2 104 J

ตวั อย่างที่ 4 มวล 2.0 กโิ ลกรมั ยดึ ตดิ กบั สปรงิ และเคล่อื นทแ่ี บบ SHM ดว้ ย แอมพลจิ ดู 0.12 เมตรพลงั งานจลน์ทร่ี ะยะการกระจดั เทา่ กบั 0.07 เมตร มคี า่ 0.38 จลู คา่ คงตวั ของสปรงิ มคี า่ เทา่ ใด k  80N/m

ตวั อย่างที5่ มวล m = 2.0 kg ตดิ ทป่ี ลายสปรงิ เบา เมอ่ื ออกแรง F = 20.0 N ดงึ ทป่ี ลายทาใหส้ ปรงิ ยดื ออกเป็นระยะ x(0) = 40 cm หลงั จาก นนั้ เรมิ่ จบั เวลาพรอ้ มกบั ปลอ่ ยใหม้ วลเคล่อื นท่ี และถา้ ไมม่ แี รง เสยี ดทานใน การเคล่อื นท่ี และกาหนดใหส้ มการแสดงตาแหน่งของมวลทเ่ี วลาใดๆคอื x(t)  Acos(t ) จงหา • คา่ คงตวั (k) ของสปรงิ • อมั พลจิ ดู (A) • ความถเ่ี ชงิ มุม ( ) • มุมเฟส ( ) เรม่ิ ตน้ • จงหาความเรว็ สงู สุดในการเคล่อื นทข่ี องมวลทป่ี ลายสปรงิ น้ี • จงหาพลงั งานรวมของระบบ