คาบที่3-การเคลื่อนที่แบบวงกลม

การเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม(circular motion) นยิ าม: การเคลือ่ นทแี่ บบวงกลมเปน็ การเปล่ยี นตาแหนง่ ของวัตถโุ ดยแนวการเคลื่อนท่ี ทบั เสน้ รอบวงของวงกลม ตัวอย่างการเคลอื่ นท่ีเปน็ วงกลม เชน่ การเคลอ่ื นทข่ี องดาวเทยี มรอบโลก นกั ศกึ ษาคดิ ว่า ดาวเทยี มที่โคจรรอบโลกทีร่ ะดบั ความสูงต่างกัน จะมีความเร็วแตกต่างกนั หรือไม่ อย่างไร

ลกั ษณะการเคลื่อนทแี่ บบวงกลม 1. มแี นวทางการเคลือ่ นทีท่ ับเส้นรอบวงของ วงกลม ทิศของการเคลอื่ นที่จึงเปลยี่ นแปลง ตลอดเวลา ความเร็วจงึ ไมค่ งท่ีเพราะเปลยี่ น ทศิ ตลอดเวลา 2. ความเร็วของวัตถุ ณ ตาแหนง่ ใดๆจะมที ศิ อยู่ ในแนวเส้นสมั ผสั วงกลม หรอื ต้งั ฉากกบั รศั มี เสมอ 3. แรงลัพธท์ ี่กระทาต่อวตั ถุ และความเร่งของ วตั ถจุ ะมที ศิ พ่งุ เข้าสจู่ ดุ ศนู ย์กลางการเคล่อื นท่ี ตลอดเวลา

ลกั ษณะการเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม การเคลื่อนที่แบบวงกลมนับว่าเป็นการเคลือ่ นทซี่ า้ ความสัมพนั ธ์ระหว่างคาบและความถ่ี เปน็ ไปตาม รอยเดมิ อยา่ งหนึ่ง หากการเคลื่อนที่มี สมการ T  1 อัตราเร็วและรศั มคี งที่ f คาบของการเคลอ่ื นท่ี (T) คอื เวลาท่วี ัตถใุ ชใ้ น การเคลอื่ นทค่ี รบ 1 รอบ หนว่ ยในระบบ SI คอื วนิ าที หรอื วนิ าทตี อ่ รอบ ความถ่ขี องการเคล่ือนท่ี (f) คอื จานวนรอบทว่ี ัตถุ เคล่ือนทไี่ ด้ใน 1 หน่วยเวลา หน่วยในระบบ SI คือ รอบต่อวนิ าที หรือ เฮิรตซ์

ทบทวนปริมาณต่างๆ ที่เกย่ี วข้องกบั การเคลื่อนท่แี บบวงกลม การกระจัดเชงิ มมุ (angular displacement, θ) คือ คือมมุ ท่ีกวาดไปได้ หน่วยเปน็ เรเดียน การกระจดั เชิงมมุ (angular displacement, θ) ในหน่วยเรเดียนสามารถคานวณได้จาก S r หากเคล่อื นทีค่ รบ 1 รอบพอดี θ = ?   S  2 r  2 rr

ทบทวนปริมาณต่างๆ ท่เี กย่ี วข้องกบั การเคลื่อนทแ่ี บบวงกลม ความเรว็ เชิงมมุ (angular velocity, ) คือ อตั ราส่วนของการกระจดั เชิงมมุ ทที่ าได้ตอ่ เวลาที่ใชใ้ น การหมุน ความเร็วเชิงมมุ (angular velocity, ) ใน หน่วยเรเดียนต่อวินาที สามารถคานวณได้จาก  t ความเรว็ เชิงมมุ ยังสามารถคานวณไดจ้ าก   2  2 f T

ปริมาณต่างๆ ทเ่ี กยี่ วข้องกบั การหมุน การกระจัดเชงิ มุมและความเรว็ เชิงมุม เป็นปรมิ าณเวคเตอร์ สามารถหาทศิ ได้จาก กฎมือขวา โดยการใชม้ อื ขวากาแกนหมนุ แล้วให้น้วิ ทัง้ ส่ีวนตามการเคล่ือนท่ีนวิ้ หวั แม่มือจะชบ้ี อกทศิ ของการกระจัดเชงิ มมุ และความเร็วเชงิ มมุ ดังแสดงในรปู February 5-8, 2013

ตวั อยา่ งท่ี รถไตถ่ งั เคลือ่ นท่ดี ว้ ยความถี่คงท่ี 0.7 รอบ/วนิ าที จงหาอัตราเร็วเชิงมุมเฉล่ยี ของการเคล่อื นท่นี ้ีใน หน่วยเรเดยี นตอ่ วินาที (4.4 เรเดยี นต่อวนิ าท)ี

ทบทวนปริมาณต่างๆ ท่เี กยี่ วข้องกบั การเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม ความเร่งเชงิ มมุ (angular acceleration, α) คือ อัตราสว่ นของความเรว็ เชงิ มมุ ท่ี เปลีย่ นไปตอ่ เวลาทใ่ี ชใ้ นการหมนุ ความเรง่ เชงิ มุม (α) ในหนว่ ยเรเดียนต่อวนิ าท2ี สามารถคานวณได้จาก     0 t กรณหี มุนด้วยความเรว็ เชิงมมุ คงท่ี ความเรง่ เชิงมมุ จะเป็นเทา่ ไร

ตวั อย่าง ม้าหมุนอันหนงึ่ ในตอนแรกหมุนดว้ ยความเร็วเชงิ มุมคงตวั 50 เรเดียน/วนิ าทีตอ่ มาลดลง เหลอื 10 เรเดยี น/วนิ าที ในเวลา 10 วนิ าที จงหาความเร่งเชงิ มมุ ในหนว่ ย เรเดียนต่อวินาที2 (-4 เรเดยี นต่อวนิ าท2ี )

เปรียบเทยี บปริมาณต่างๆของการเคลื่อนทเ่ี ชิงเส้นกบั เชิงมุม เมอ่ื เปรียบเทียบปริมาณต่างๆ ของการเคลือ่ นทใี่ นแนวเส้นตรงกบั การเคลือ่ นที่แบบหมุนรอบแกน หมุนตรึงแนน่ จะได้ดังน้ี ปรมิ าณทางฟิสกิ สข์ องการ ปรมิ าณทางฟิสิกสข์ องการ เคล่อื นท่ีแนวเสน้ ตรง เคล่ือนที่แบบหมุน Sθ u 0 v aα

ความสัมพนั ธ์ระหว่างบางปริมาณของการเคลื่อนทเี่ ชิงเส้นกบั เชิงมุม • ตัวอย่างเชน่ ล้อรศั มี r หมุนโดยไมไ่ ถล (rolls without slipping การ เคล่ือนท่ีเชิงมมุ ของลอ้ ทาใหร้ ถเคลื่อนท่ไี ปขา้ งหนา้ • ความสมั พนั ธร์ ะหว่างการกระจัด S = rθ • ความสมั พันธ์ระหวา่ งความเรว็ v = r February 5-8, 2013 • ความสัมพันธ์ระหว่างความเรง่ a = rα

แรงและความเร่งสู่ศูนย์กลาง วัตถุจะเคลอ่ื นทเี่ ปน็ วงกลมได้ก็ตอ่ เมอ่ื มีแรงดงึ วตั ถใุ ห้เคลือ่ นทร่ี อบจุดคงทหี่ นึง่ ๆ โดยแรงดงั กล่าว มีทิศชี้เข้าสูศ่ นู ยก์ ลางของการเคลอ่ื นทีเ่ สมอ เรียกแรงดังกลา่ วว่า แรงสศู่ นู ยก์ ลาง เม่อื มีแรงลัพธ์ซง่ึ มีทศิ ชเ้ี ขา้ สู่ศนู ย์กลางจะมคี วามเรง่ สู่ศนู ย์กลาง Fc เกดิ ขน้ึ ตามมา ความเรง่ (ac) เขา้ สศู่ ูนยก์ ลางสามารถคานวณได้ จาก ac  v2 r พสิ ูจน์ความเร่งสู่ศูนย์กลาง https://www.youtube.com/watch?v=jXJKk7bURmE

แรงและความเร่งสู่ศูนย์กลาง จากกฎการเคล่อื นที่ขอ้ ท่ี 2 ของนิวตนั F  ma จะได้ความสมั พันธ์ระหวา่ งแรงสศู่ ูนย์กลางและความเรง่ ส่ศู ูนยก์ ลาง เปน็ Fc Fc  mac Fc  mv2 ac  v2 r r Fc  m( r ) 2  m2r v  r r

สรุปสูตรสาคญั สาหรับการเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม ตวั แปร ความสมั พนั ธ์ ตวั แปร ความสมั พนั ธ์ ความถ่ีและคาบ T  1 ความเร่งศูนยก์ ลาง ac  v2  2r อตั ราเร็วเชิงเสน้ r f อตั ราเร็วเชิงมุม v  S  2 r แรงศูนยก์ ลาง Fc  mv2  m 2 r r tT     2  2 f tT

ตวั อย่าง วตั ถุเคล่ือนทใี่ นแนววงกลมอย่างสมา่ เสมอดว้ ยอัตรา 20 รอบใน 4 วินาที จงหา ก.ความถี่ ของการเคล่ือนท่ี ข. คาบของการเคลือ่ นท่ี ค. ถา้ ให้รศั มขี องวงกลม มีคา่ 2 เมตร จะมีอัตราเรว็ เทา่ ใด

ตวั อยา่ ง จงหาความเร่งสู่ศนู ยก์ ลางของวัตถุทเ่ี คลอื่ นท่เี ป็นวงกลมดว้ ยรัศมี 16 เมตร ด้วย อตั ราเรว็ 4 เมตร/วินาที

ตวั อย่าง ผกู กอ้ นหนิ มวล 100 กรัม ดว้ ยเชือกยาว 1.3 เมตร แกว่งเปน็ วงกลมดว้ ยความถ่ี 5 รอบต่อวนิ าที จะมแี รงสศู่ ูนยก์ ลาง เทา่ ใด

วธิ ีแก้โจทย์ปัญหาการเคล่ือนท่แี บบวงกลม 1. ระบุจดุ ศนู ยก์ ลางของการเคล่ือนที่เปน็ วงกลม 2. เขียนเวกเตอรข์ องแรงที่กระทาตอ่ วตั ถทุ ี่เคลื่อนทเ่ี ปน็ วงกลมให้ครบ 3. แยกแรงใหเ้ ปน็ แรงยอ่ ยสองแรงตัง้ ฉากกันโดยแรงหนงึ่ ต้องอยใู่ นแนวรัศมีของวงกลมการ เคล่ือนทเ่ี พราะต้องการหาแรงสู่ศนู ยก์ ลาง 4. เขา้ สมการ แรงลพั ธ์ = แรงส่ศู นู ยก์ ลาง

การแกว่งกรวย เชือกยาว l ปลายหนึง่ ผกู ตรึงกบั เพดาน ปลายหนงึ่ ผูกกับมวล m แกวง่ มวล จนได้การเคล่ือนท่ี แบบวงกลม ดงั รูป 1. จดุ ศนู ย์กลางของการเคลอ่ื นที่เปน็ วงกลม คือ  2. จงเขียนสมการ การเคล่อื นท่ี h T T cos  r T sin  mg

ตวั อย่าง แกวง่ เชือกยาว 5 เมตร ซ่งึ มวี ัตถมุ วล 2 kg ผูกทปี่ ลายใหเ้ คลอ่ื นทีแ่ บบเพนดูลมั กรวย ดังรูป หากให้ แนวเสน้ เชือก ทามมุ 37º กับแนวดิง่ จงหาอัตราเร็วเชงิ มมุ (ω) ของการแกว่งกรวยน้ี ( 2.5 rad/s)

ตัวอย่าง จากขอ้ ท่ผี ่านมาหากมวลหนกั ขึ้นสองเท่า (m = 4kg) อตั ราเร็วเชิงมุมจะเปน็ เท่าไร ( 2.5 rad/s)

การเคลื่อนที่ทางโค้งและการออกแบบถนน ขณะรถเล้ยี วโค้ง บนถนนโคง้ ราบ ซงึ่ มีแนวทางการเคลอ่ื นท่ี เปน็ สว่ นโคง้ ของวงกลม ดงั นั้น เพอ่ื ใหร้ ถ เลี้ยวได้ ตอ้ งมีแรงสู่ศูนยก์ ลางกระทาต่อวัตถุ เมือ่ พิจารณาแรงกระทาตอ่ รถในแนวระดับพบว่าขณะรถ เลยี้ ว รถจะพยายามไถลออกจากโคง้ เสมอ จงึ ตอ้ งมีแรงเสียดทาน ที่พืน้ กระทาต่อลอ้ รถในทิศทาง พงุ่ เข้า ในแนวผ่านศนู ยก์ ลางความโคง้ ดงั นั้น แรงเสียดทาน = แรงสศู่ ูนยก์ ลาง fs fs  Fc  mv2  m 2 r r

การเคลื่อนท่ที างโค้งและการออกแบบถนน รถจะสามารถเลยี้ วดว้ ยอตั ราเร็วสงู สุดได้ เท่ากับเทา่ ไร จาก fs  mv2 r จะได้  N  mv2 fs r mg  mv2 N  mg r rg  v2 v  rg

ตวั อย่าง ถนนแหง่ หน่งึ มโี ค้งซึง่ มีรศั มีความโค้งเปน็ 100 เมตร หากสมั ประสิทธแ์ รงเสียดทานระหว่างล้อรถคนั หนึ่งกับพนื้ เป็น 0.7 และ 0.4 กรณถี นนแหง้ และถนนเปียกตามลาดับ หากฝนตก รถคันน้จี ะเข้าโค้ง ดังกล่าวไดด้ ว้ ยความเรว็ ไม่เกนิ เทา่ ไร (20 m/s หรือ 72 km/hr)

การเคล่ือนทท่ี างโค้งและการออกแบบถนน การออกแบบถนนใหม้ ีความลาดเอยี ง ถนนท่ีมคี วามลาดเอียงจะช่วยใหร้ ถสามารถเขา้ โคง้ ด้วยความเรว็ ทสี่ ูงขึ้นได้ N sin  mv2 (1) (2) r tan  sin N cos  mg cos นา (1)/(2) จะได้ tan  v2 rg ขอ้ ควรทราบ! แรงปฏิกิรยิ า N มีทศิ ตั้งฉากกบั ผวิ สัมผัสเสมอ

ตวั อย่างการออกแบบถนนให้มคี วามลาดเอยี ง

ตวั อยา่ ง รถยนตค์ ันหนึ่งแล่นด้วยอัตราเรว็ 72 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง บนถนนโคง้ ทีม่ ีรศั มคี วามโค้ง 100 เมตร ถ้า ไมค่ ิดแรงเสียดทาน พืน้ ถนนควรเอียงทามุมเทา่ ไร กับแนวระดับรถจงึ จะเลี้ยวได้อยา่ งปลอดภยั (21.80º)

ตวั อย่างการเคล่ือนท่แี บบวงกลมอ่ืนๆ

ตวั อยา่ ง รถไฟเหาะวง่ิ ผา่ นจดุ A ในรูปดว้ ย อัตราเรว็ 72 กโิ ลเมตรตอ่ ชวั่ โมง ขณะนนั้ มนี า้ หนกั รวม 600 kg ตอ้ งออกแบบรางที่จุด A ให้ทนแรงกระทาไดอ้ ย่างนอ้ ยกนี่ ิวตนั จึงจะสามารถเล่นเครื่องเลน่ ได้อยา่ ง ปลอดภยั (30,000 นวิ ตนั )