ma32204

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 87 ================================================================================================ ตัวอยา่ งท่ี 3. กําหนดให้ u =−3 i + 3 3 j (30 องศา) 1) จงหามุม β ท่ี u ทาํ กับแกน Y 2) จงหามุม α ท่ี u ทาํ กบั แกน X (120 องศา) ผลคณู เชิงสเกลาร์ (Scalar Product or Dot Product) บทนิยาม ถา x1  และ x 2  แลว ผลคณู เชิงสเกลารของ และ v คือ   u = y1 v = y2  u x1x 2 + y1y2 + z1z2 z1  z2    เขียนแทนดว ย u ⋅ v สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชงิ สเกลาร์ 1. ให้ u,v และ w เป�นเวกเตอร์ใด ๆ ในสองมติ ิ หรือสามมิติ และ a เปน� สเกลาร์ จะได้ว่า 1.1 u ⋅ v = v ⋅ u 1.2 u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w 1.3 a(u ⋅ v) = (au) ⋅ v = u ⋅ (av) 1.4 0 ⋅ u = 0 1.5 u ⋅ u = u 2 1.6 i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 i ⋅ j = i ⋅k = j ⋅k =0 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 88 ================================================================================================ แบบฝ�กหัด (23) 1. กาํ หนด u และ v มาให้ จงหา u ⋅ v 1.1 u = 2 i + 3 j , v = 4 i + 5 j 1.2 u = 2 i + 4 j − 6k, v = i + j − 2k (18) − 2  2  6  4  4  5 2. กําหนด u =  , v =  และ w =  − จงหาค่าในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้  5  − 8  − 3 2,1 (u + v − w) ⋅ (u + 2v) (144) 2,2 (u − 3w) ⋅ (2u + 5w) (-913) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 89 ================================================================================================ ให้ θ เปน� มมุ ระหวา่ ง u และ v ซึง่ 0o ≤ θ ≤ 180o แลว้ u ⋅ v = u v cosθ มุมระหว่างเวกเตอร์ หมายถงึ มมุ ทไี่ มใ่ ชม่ มุ กลับ ซึ่งมีแขนของมมุ เป�นรังสีที่ขนานและมีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอร์ทัง้ สอง (30 องศา) 1. กาํ หนดให้ =u 2 i + 2 3 j แล=ะ v 3 i + j จงหามุมระหวา่ ง u และ v 3  2  1 ***2. ถ้า θ เปน� มุมระหวา่ งเวกเตอร์ 4 และ   แล้วค่าของ cos2 θ เทา่ กบั เท่าใด ( 3 ) u= v =  1  0 − 1 (ข้อนต้ี ้องใชค้ วามรเู้ รอื่ งฟง� ก์ชันตรโี กณของเทอม 1 มาช่วยคดิ จาํ ไดไ้ หมว่า cos2 θ =? ถา้ u และ v เปน� เวกเตอรท์ ีไ่ ม่ใช่เวกเตอรศ์ นู ย์ u ตงั้ ฉากกบั v กต็ ่อเมอ่ื u ⋅ v = 0 1. กําหนดให้ u = 3 i − j + ak และ v = 4 i + 2 j − 2k จงหาค่า a ทที่ ําให้ u ต้ังฉากกบั v (a=5) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 90 ================================================================================================ ถา้ u และ v เปน� เวกเตอร์ทไี่ ม่ใช่เวกเตอร์ศนู ย์ u + v 2 = u 2 + 2 u v cos θ + v 2 u − v 2 = u 2 − 2 u v cos θ + v 2 u + v 2 = u 2 + 2u ⋅ v + v 2 u − v 2 = u 2 − 2u ⋅ v + v 2 1. กําหนดให้ u= 3, v= 13 และuv1+4 = จงหา u ⋅ v (9) 2. กําหนด u + v = 5 , u − v = 15 จงหา u ⋅ v ( 5 ) 2 3 .กําหนด u = 10 v = 6 u ตั้งฉากกับ v จงหา u + v ( 2 34 ) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 91 ================================================================================================ ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ (Cross Product or Vector Product) บทนยิ าม 1. ผลคณู เชงิ เวกเตอรข์ อง u กบั v คือ u × v (อ่านวา่ “u cross v ”) 2. กาํ หนดให้ u กบั v เป�นเวกเตอร์ใด ๆ ทท่ี าํ มมุ กัน θ ขนาดของ u × v เขยี นแทนด้วย u × v โดย u × v = u v sin θ โดยที่ o ≤ θ ≤ 180o ทศิ ทางของ u × v หาไดจ้ าก กฎมอื ขวาดงั รูป จากรปู ใหป้ ลายนวิ้ ท้ังส่ชี ้ีตามทศิ u จากนน้ั กวาดปลายน้วิ ทัง้ สีเ่ ขา้ หา v ทศิ ของหวั แม่มือทต่ี ั้งฉากกับระนาบท่ี u และ v อยคู่ ือทศิ ของ u × v ตวั อย่างท่ี 1 u และ v เป�นเวกเตอร์อยู่บนระนาบ XY และทํามุมกนั 30 องศาดังรปู ถ้า u = 2 และ v = 1 จงหาขนาดและ ทศิ ทางของ u × v ตวั อย่างที่ 2 s และ t เป�นเวกเตอรอ์ ยบู่ นระนาบ XZ และต้งั ฉากกันดงั รูป ถา้ s = t = 3 จงหาขนาดและทิศทางของ s × t การหาผลคณู เชิงเวกเตอร์โดยใช้ความรู้ทางเมตรกิ ซ์ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 92 ================================================================================================ a   กําหนดให้ u=a i + b j + ck = b c   ลองทาํ ดู − 2 1 ( − 9 i +13 j − 6k )  1. ให้ u =  0 , u = 3 จงหา u × v   5  3  2. ให้ u = 2 i + 3k , v = i + 5k จงหา u × v และ v × u (−7 j, 7 j ) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 93 ================================================================================================ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 94 ================================================================================================ แบบฝ�กหัด =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 95 ================================================================================================ =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลัย ช่ือ............................................ม.5/............. 96 ================================================================================================ 3. .……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …3…. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………ข…อ้ น…้ีถ…า้ เป…ลี่…ยน…คาํ…ถา…ม…จา…กส…่เี ห…ล่ยี …มด…า้ …น …………………………… ………………………………………………………………… ขนานเป็นสามเหลี่ยม คิดอยา่ งไรคะ ……………………………………………………………………………………………………ต…อบ….. 4. ………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….. 5. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ัย ช่ือ............................................ม.5/............. 97 ================================================================================================ การใช้เวกเตอรใ์ นการหาปริมาตรของทรงสีเ่ หลีย่ มด้านขนาน กําหนดส่ีเหลย่ี มด้านขนานซง่ึ มี u , v และ r เปน� ด้านดงั รูป ** แตสูตรการหาปรมิ าตรที่ นิยมใชคือ การนาํ คา ของ เวกเตอรทง้ั สามมาหา dat ไดเลย ปริมาตรของทรงส่ีเหลย่ี มดา้ นขนานเท่ากับ u ⋅ (v × r) หรือ r ⋅ (u × v) หรือ v ⋅ (r × u) ข้อสังเกต ถา้ u, v และ r อย่บู นระนาบเดยี วกนั แลว้ u ⋅ (v × r) =0 (ปริมาตรเป�น 0 น่นั เอง) แบบฝก� หดั จงหาปริมาตรของทรงสเี่ หลีย่ มดา้ นขนานทมี่ ี u, v และ r เปน� ดา้ นซง่ึ กาํ หนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ดังน้ี 1) u = − i + j + k , v = 2 i + j + k และ r = 5 i + j + k (12 ลบ.หน่วย) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 98 ================================================================================================ 2) u = 4 i + 6 j − k , v = 2 i − j + 2k และ r = 3 i + 2 j − k (29 ลบ.หน่วย) − 1  x  4      3) กาํ หนด u =  0 , v =  3 และ r = 1  โดยที่ u, v และ r เป�นด้านของทรงส่เี หลย่ี มด้านขนานเทา่ กับ  2  2  2    10 ลกู บาศก์หน่วย จงหาค่า x =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 99 ================================================================================================ โจทย์ ประยกุ ต์ เรอื่ ง เวกเตอร์ในสามมติ ิ 1. E D BE และ ในรปู ของ จBา=Cกรูปaก, ําDห=Cนดbให, ้AF=B เป�นE=Dจดุ ศ2ูนaย์กดลงั นาง้ันขอCงF a และ b เท่ากบั ข้อใด F 3 a 1 b 3 a 1 b 2 2 2 2 ก. − + ข. − − A BC ค. 3 a − 1 b ง. 3 a + 1 b 2 2 2 2 2. กําหนด A(3,2), B(-4,1), C(-3,4) และ D(1,-2) จะได้ BA + CD ในรูป i และ j ตรงกับข้อใด ก. 11i − 5 j ข. −3 i − 7 j ค. −11i + 5 j ง. 3 i + 7 j 3. กาํ หนด =u 2 i − j และ =v 4 i + 5 j ขอ้ ใดไม่ถกู ตอ้ ง ก. ถ้า w =  2 และ w= xu + yv แล้ว x+y =3 −15  ข. เวกเตอรท์ ีม่ ขี นาดเทา่ กับ u แต่มที ศิ ทางตรงขา้ มกับ v คอื − 5 (4 i + 5 j ) 41 ค. คา่ ของ (2u + v) ⋅(u − 2v) เท่ากับ -81 ง. นเิ สธของ 3u − 2v คือ 4 i + 26 j =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 100 ================================================================================================ 4. ถ้า u + v =5 2 และ u − v =26 แล้ว u ⋅ v เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 3 ข. 6 ค. 8 ง. 12 ทบทวนกอ่ นสอบ เรื่อง 1 ฟง� ก์ชนั เอก็ ซ์โพเนนเชียล และฟง� กช์ นั ลอการทิ ึม 1.เซตคําตอบของสมการ 22x+1 − 3(2x ) + 1 =0 คอื สบั เซตของเซตในข้อใด ก. (-4, -3) ข. (-3,1) ค. (0,3) ง. (-1,2) 2. คา่ ของ x−2 − y−2 เมอ่ื กาํ หนด x= 1 และ y=2 คอื ข้อใด x−1 + y−1 ก. 1 ข. 1 ค. 2 ง. 3 2 3 3 2 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 101 ================================================================================================  1 x2 +2 x+8 <  1 x+12 2 4 3. เซตคําตอบของอสมการ คอื ขอ้ ใด ก. (−∞,−4) ∪ (4,∞) ข. (4,∞) ค. (−∞,−4) ง. (−4,4) 4. ค่าของ log3 2 331 ⋅ log4 3 7 41 ⋅ log5 7 1651 ตรงกับขอ้ ใด ง. 4 ก. 1 ข. 2 ค. 3 5. กาํ หนดให้ log 1.87 = 0.2718 จงหาคา่ ของ N เมื่อ logN = -5.7282 ก. 1.87 ×10−5 ข. 1.87 ×10−6 ค. 2.718 ×10−5 ง. 2.718 ×10−6 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 102 ================================================================================================ เร่อื ง 2 ฟง� กช์ ันตรโี กณมติ ิ 1. กาํ หนด tan 25 o = a จงหาคา่ ของ cot 65o − cot 25o cot 65o ⋅ cot 25o + 1 ก. a2 + 1 ข. a2 − 1 a2 +1 a2 −1 2a 2a ค. a2 −1 ง. a2 +1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------- 2. พิจารณากราฟตอ่ ไปนี้ว่าเปน� กราฟของฟ�งกช์ นั ใด 3 2 1 -2π 3π -π π π π 3π 2π 5π 3π -- 222 22 -1 -2 -3 ก. y = 2cosx ข. y = 2sinx ค. Y = 2cos2x ง. y = 2sin2x =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 103 ================================================================================================ 3. จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ความใดสรุปถกู ตอ้ ง 1 cos(π6 + A) ⋅ cos(π6 A) − sin(π3 + A) ⋅ sin(π3 2 1. − − A) = 2. sin(π3 − A) ⋅ cos(π6 + A) + cos(π3 − A) ⋅ sin(π6 + A) = 1 ก. ถูกเฉพาะขอ้ 1. ข. ถูกเฉพาะขอ้ 2. ค.ถูกทั้งข้อ1 และ2 ง. ไม่มีข้อใดถกู 4. ให้ tanθ = a จงหาคา่ ของ sinθ + sin3θ cosθ + cos 3θ ก. a ข. 1 + 3a 2a 2a 1+ 3a a ค. 1− a2 ง. 1+ a2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------- 5. ค่าของ sin2 (arccos 3 ) + cos 2 (arcsin 1 ) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 2 2 ค. 1 ง. 3 ก. -1 ข. 1 2 2 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 104 ================================================================================================ เรื่อง 3 เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ 2. E D BE และ ในรูปของ จBา=Cกรูปaก, าํDห=Cนดbให, ้AF=Bเปน�E=Dจุดศ2ูนaย์กดลังนางน้ั ขอCงF a และ b เทา่ กบั ขอ้ ใด F 3 a 1 b 3 a 1 b 2 2 2 2 ก. − + ข. − − AB C ค. 3 a − 1 b ง. 3 a + 1 b 2 2 2 2 2. กาํ หนด A(3,2), B(-4,1), C(-3,4) และ D(1,-2) จะได้ BA + CD ในรปู i และ j ตรงกับขอ้ ใด ก. 11i − 5 j ข. −3 i − 7 j ค. −11i + 5 j ง. 3 i + 7 j 3. กําหนด =u 2 i − j และ =v 4 i + 5 j ข้อใดไม่ถกู ตอ้ ง ก. ถา้ w =  2 และ w= xu + yv แลว้ x+y =3 −15  ข. เวกเตอรท์ ่ีมขี นาดเท่ากับ u แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ v คอื − 5 (4 i + 5 j ) 41 ค. คา่ ของ (2u + v) ⋅(u − 2v) เทา่ กบั -81 ง. นิเสธของ 3u − 2v คอื 4 i + 26 j =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลัย ชื่อ............................................ม.5/............. 105 ================================================================================================ 4. ถา้ u + v =5 2 และ u − v =26 แลว้ u ⋅ v เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ก. 3 ข. 6 ค. 8 ง. 12 ขอใหโ้ ชคดใี นการสอบค่ะ ^_^ =======================================================================================================