ma32204

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 37 ================================================================================================ จงวาดกราฟของฟง� กต์ รีโกณมิตติ ่อไปน้ีอย่างครา่ ว ๆ x เรเดยี น -π − 3π −π −π 0 π π 3π π 1. y = 2sinx 4 24 42 4 sinx 2sinx แอมพลิจูด.................. คาบ ................. เรจน์.................. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x เรเดยี น -π − 3π −π −π 0 π π 3π π 4 24 42 4 2x 2. y = sin2x sin2x แอมพลจิ ดู .................. คาบ ................. เรจน์.................. =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ช่อื ............................................ม.5/............. 38 ================================================================================================ 3. y = (sinx)+1 x เรเดียน -π − 3π −π −π 0 π π 3π π 4 24 42 4 sinx (sinx)+1 แอมพลิจดู .................. คาบ ................. เรจน์.................. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. กราฟของ y = cos x x เรเดียน -π − 3π −π −π 0 π π 3π π 4 24 42 4 cosx แอมพลิจดู .................. คาบ ................. เรจน์.................. สําหรบั ฟง� ก์ชนั y = a sin bx และ y = a cosbx เม่อื a , b เป�นจํานวนจรงิ ทไ่ี มเ่ ป�นศนู ย์ จะได้ แอมพลจิ ดู = a , คาบของฟง� ก์ชนั = 2π ตวั อย่ b างเช่น =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 39 ================================================================================================ 1. y = −5sin 3x มีแอมพลิจูด =……………. , คาบของฟง� ก์ชัน คือ................ 2. y = 1 cos 5x มแี อมพลจิ ดู =…………… , คาบของฟง� ก์ชนั คอื .................. 2 4 1. กราฟของ y = tan x Y − 3π −π 0 Xπ 3π 2 2π 2 −π 2 โดเมนของฟ�งก์ชัน = x ∈ R|x ≠ nπ + π , n ∈ I เรนจข์ องฟ�งก์ชัน = R 2 1 คาบ =π แอมพลิจดู = ไมม่ ี 2. กราฟของ y = cot x Y 0−2π 3π −π − π π π 3π X 22 2 2 − 1 คาบ { }โดเมนของฟง� ก์ชัน = x ∈ R| x ≠ nπ, n ∈ I เรนจ์ของฟ�งก์ชัน = R 1 คาบ =π แอมพลิจูด = ไม่มี สาํ หรับฟ�งก์ชัน y = a tan bx และ y = a cotbx มีคาบของฟง� ก์ชัน = π b =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 40 ================================================================================================ 4. กราฟของ y = sec x Y 1 0− 3π −π −π π 3π X 2 2 2π 2 −1 π 1 คาบ 2 โดเมนของฟ�งก์ชนั = x ∈ R|x ≠ nπ + , n ∈ I เรนจข์ องฟ�งกช์ นั = (− ∞,−1]∪ [1,∞) 1 คาบ = 2π แอมพลิจูด = ไมม่ ี 6. กราฟของ y = cos ec x Y 1 - 02π − 3π −π −π π 3π X 2 2 2π 2 2π −1 โดเมนของฟง� กช์ นั = {x ∈ R | x ≠ nπ , n ∈ I } เรนจข์ องฟ�งกช์ นั = (− ∞,−1] ∪ [1, ∞) 1 คาบ = 2π แอมพลจิ ดู = ไมม่ ี สาํ หรับฟ�งกช์ ัน y = a sec bx และ y = a cos ec bx มคี าบ = 2π b =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 41 ================================================================================================ ฟ�งกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจาํ นวนจริง คา่ ของฟง� กช์ ันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจํานวนจริงหรอื มุมทเี่ ป�นพื้นฐานและตอ้ งจาํ ไปใช้กับสตู รอน่ื ๆ อกี มากมายคอื sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B sincos cossin เคร่อื งหมายเหมือนเดมิ cos(A ± B) = cos A cos B  sin A sin B coscos sinsin เครือ่ งหมายตรงข้าม cos2 A + sin2 A = 1 ศกึ ษาเพ่ิมเติมไดท่ี เมือ่ A และ B คือขนาดของมมุ ใด ๆ ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ cos 3π − π  (ตอบ 6 − 2 ) ↓↓↓ 4 3 4 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin75° (ตอบ 6+ 2) ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแสดงวา่ sin(90° - A) = cos A 4 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ัย ชื่อ............................................ม.5/............. 42 ================================================================================================ แบบฝ�กหัด 1. กาํ หนดให้ A และ B เป�นมุมแหลม ถ้า sinA= 3 และ sinB = 4 จงหา 5 5 1.2 sin(A-B) 7 1.1 sin(A+B) (ตอบ 1) (ตอบ − 25 ) 1.3 cos(A+B) (ตอบ 0) 1.4 cos(A-B) (ตอบ 24 ) 25 2. กาํ หนดให้ A และ B เป�นมุมแหลม ถา้ sec A = 5 secB= 17 จงหา 4 8 2.2 cosec(A-B) 2.1 sec(A+B) (ตอบ − 85 ) (ตอบ − 85 ) 13 36 3. จงหาค่าของ (ตอบ 6 − 2 ) 3.2 sin 105o (ตอบ 6 + 2 ) 3.1 sin 15o 4 4 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 43 ================================================================================================ 3.3 cos15o cos 75o + sin15o sin 75o (ตอบ 1 ) 2 4. จงแสดงวา่ 4.1 cos( π + A) = − sin A 4.2 sin(270o + A) = − cos A 2 4.3 cos(45o + θ) − sin(45o − θ) = 0 **4.5 กาํ หนด cos(A + B) = 1 และ cos(A − B) = 3 จงหาค่าของ cosAcosB (ตอบ 5 ) 2 4 8 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย ช่ือ............................................ม.5/............. 44 ================================================================================================ ฟ�งกช์ ัน tan, cot ศึกษาเพิม่ เตมิ ไดท้ ี่ cot(A + B) = cot A cot B − 1 cot(A − B) = cot A cot B + 1 cot B + cot A cot B − cot A ,tan(A tan A − tan B + B) = tan A + tan B tan(A − B) = 1 + tan A tan B 1 − tan A tan B ตัวอยา่ ง 1. ถ้า A และ B เป�นมมุ แหลมแลว้ tan A = 7 และ tan B = 5 จงหา 24 12 1.1 tan (A+B) (ตอบ 204 ) 1.2 tan (A-B) (ตอบ − 36 ) 253 323 1.3 cot (A+B) (ตอบ 253 ) 1.4 cot (A-B) (ตอบ − 323 ) 204 36 แบบฝ�กหัด (ตอบ 2 − 3 ) 1.2 tan75o (ตอบ 2 + 3 ) 1. จงหาคา่ ของ 1.1 tan15o =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 45 ================================================================================================ 1.3 cot105o (ตอบ − 2 + 3 ) 2. จงหาคา่ ของ (ตอบ 3 ) 2.2 tan105o − tan 75o (ตอบ 3 ) 2.1 tan 35o + tan 25o 1+ tan105o tan 75o 3 1− tan 35o tan 25o 2.3 cot10o cot 50o − 1 (ตอบ 3 ) cot10o + cot 50o 3 2.4 tan(A − B) + tan B เมือ่ sin A = 5 , sin B = 4 (A และ B เป�นมุมแหลม) (ตอบ 5 ) 12 5 1− tan(A − B) ⋅ tan B 119 3. จงหาค่าของ 3.2 tan 20o + tan 40o + 3 tan 20o tan 40o 3.1 tan15o + tan 30o + tan15o tan 30o (ตอบ 1) (ตอบ 3 ) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลัย ชอ่ื ............................................ม.5/............. 46 ================================================================================================ ฟง� ก์ชันตรโี กณของสองเทา่ สามเท่า และครง่ึ หนง่ึ ของ สองเทา สามเทา sin 2A = 2 sin A cos A sin 3A = 3 sin A − 4 sin3 A ศึกษาเพิ่มเติมได cos 2A ท่ี = 2 tan A cos 3A = 4 cos3 A − 3 cos A tan 2A + tan 2A 1 3 tan A − tan3 A tan 3A = 1− 3 tan2 A = cos2 A − sin2 A = 2 cos2 A − 1 ครึ่งหน่ึง = 1 − 2 sin2 A cos A  = ± 1+ cos A 2 2 = 1− tan 2 A 1+ tan 2 A sin A  ± 1− cos A 2 tan A 2 = 2 − tan 2A = 1 tan A  = ± 1− cos A 2 1+ cos A แบบฝก� หดั 1. กําหนด tan A = 3 และ 0 < A < 90o จงหาคา่ ของ 4 24 7 1.1 sin2A (ตอบ 25 ) 1.2 cos2A (ตอบ 25 ) 1.3 tan2A (ตอบ 24 ) 1.4 cot2A (ตอบ 7 ) 7 24 2. ** กําหนด cos(A − B) = 7 ถา้ A เปน� มุมแหลม และ tan B=2 แล้ว จงหาค่าของ tan(A+B) (ตอบ 11 ) cos(A + B) 3 3 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 47 ================================================================================================ 2. กาํ หนด cos A = 3 และ 3π < A < 2π จงหาคา่ ของ 5 2 − 44 117 2.1 sin3A (ตอบ 125 ) 2.2 cos3A (ตอบ - 125 ) 2.3 tan3A (ตอบ 44 ) 2.4 cot3A (ตอบ 117 ) 117 44 3. กาํ หนด cos A = 3 , 0 < A < π จงหา 5 2 3.1 cos A (ตอบ 25 ) 2 5 3.2 1− sin 2 ( π − A ) (ตอบ 1 ) 2 2 5 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 48 ================================================================================================ โจทย์ประยุกต์ สตู รมุม 2 เทา่ ( 4a2 −1) 1. กาํ หนดให้ sinx + cosx = 2a จงหา ( 1− (4a2 −1) 1.1 sin2x 1.2 cos2x โจทย์ประยุกต์ สูตรมุม 3 เท่า (0) 1. จงหาค่าของ 4(cos3 20o + cos3 40o ) − 3(cos 20o + cos 40o ) 2. จงหาค่าของ 3(cos 20o + sin 40o ) − 4(sin3 20o + sin3 40o ) ( 3) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 49 ================================================================================================ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟ�งก์ชัน ศกึ ษาเพม่ิ เติมไดที่ การเปลย่ี นฟงกชนั ผลบวกหรอื ผลตา งใหเปนฟงกช ันผล คูณ sin A + sin B = 2 sin A + B  cos A − B  การเปลี่ยนฟงกชนั ผลคูณใหเ ปนผลบวกหรอื ผลตา ง 2 2 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B) sin A − sin B = 2 cos A + B  sin A − B  2 2 2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B) cos A + cos B = 2 cos A + B  cos A − B  2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B) 2 2 − 2 sin A sin B = cos(A + B) − cos(A − B) cos A − cos B = −2 sin A + B  sin A − B  2 2 แบบฝ�กหัด 1. จงหาค่าของ (ตอบ 1 ) 1.2 2 sin 45o cos15o (ตอบ 3 + 1 ) 1.1 2 sin 75o sin 15o 2 2 1.3 2 cos105o cos15o (ตอบ − 1 ) 1.4 sin 45o sin15o (ตอบ 3 − 1 ) 2 4 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 50 ================================================================================================ 2. จงเปลีย่ นฟ�งก์ชนั ต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรูปของผลคูณ 2.1 sin 8θ + sin 4θ 2.2 cos10o − cos 50o Co-function ลองคดิ ดู สรปุ ความคิดรวบยอดได้วา่ cos 50o = .............. ……………. ........................................................... Co-function ตรีโกณมิติ sec10o = .............. …………….. ........................................................... สังเกตกันไหมคะ ว่า cot 25o = .............. …………….. ........................................................... sin 60o = cos 30o tan 30o = cot 60o cos ec60o = sec 30o 3. cos10o + cos110o − sin 40o (ตอบ 0) ศึกษา เพมิ่ เตมิ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 51 ================================================================================================ 4.** ประยุกต์ หาคา่ ของ cos 20o ⋅ cos 40o ⋅ cos 80o (โจทย์เดยี วกบั sin 70o ⋅ sin 50o ⋅ sin10o ) ( 1 ) 8 5.** กาํ หนด sin 20o = y แลว้ จงหาคา่ ของ sin10o + 3 sin 80o (2 1− y2 ) 6. ลองทาํ ดู กําหนด sin 80o = a แลว้ จงหาค่าของ 3 cos 20o + cos 70o (2a) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลัย ชือ่ ............................................ม.5/............. 52 ================================================================================================ ตวั ผกผนั ของฟง� ก์ชันตรโี กณมติ ิ จุดสําคัญในเรอื่ งน้ีคือ จะตองจําโดเมนและเรนจข อง ฟงกชันอนิ เวอรสแตละตัวใหไ ด y = arcsinx มาจาก x= siny y = arccosx มาจาก x = cosy ฟง� กช์ นั โดเมน เรนจ์ y = arctanx มาจาก x = tany y = arcsin x [-1,1] − π ,π2  ศกึ ษาเพม่ิ เตมิ ท่ี y = arccos x [-1,1] 2  y = arctan x R [0,π ]  − π , π  2 2 ความหมาย 1 หมายถงึ มุมที่มคี ่า sin เปน� 2 arcsin 1 ซง่ึ ก็คือมมุ ................................... ดงั น้นั arcsin 1 =……………………. 2 2 arccos(− 2 ) หมายถึง ................................................................................ดังนนั้ arccos(− 2 ) =…………… 2 2 1 1 arctan 3 หมายถึง ................................................................................ดงั นัน้ arctan 3 =…………… ขอ้ สังเกต 1. sin(arcsin x) = x เมอ่ื -1≤ x ≤1 2. arcsin(sin x) = x (ตอ้ งพจิ ารณาเรนจป์ ระกอบด้วย) พจิ ารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปนถ้ี กู หรือผดิ sin arcsin 1  = 1  ถกู  ผิด เพราะ...................................................................... 4 4  ถูก  ผิด เพราะ......................................................................  ถูก  ผดิ เพราะ...................................................................... sin arcsin 5  = 5 3  3 arcsin(sin 30o ) = 30o ,150o ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ sin(arccos 4 ) 5 แบบฝก� หัด จงหาคา่ ของ 1. sin(arctan1) (ตอบ 2 ) 2. cos(arccot 3 ) (ตอบ 3 ) 4 5 2 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ............................................ม.5/............. 53 ================================================================================================ 3. arcsin(sin π ) (ตอบ π ) 4. cos(arccos x) (ตอบ x) 3 3 5. arccos0.5 + arcos(-0.5) =? 6. sin arcsin 3 + arc cot 5  ( 6635 ) 5 12  7. cos arctan 7 + arccos ec 17  ( 340245 ) 24 8 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลัย ช่ือ............................................ม.5/............. 54 ================================================================================================ เอกลักษณ์ตรโี กณมิติ สมการ cot A = 1 จะเปน� จรงิ สาํ หรับทกุ ค่าของ A เมือ่ คา่ ของฟ�งกช์ นั ท่ปี รากฏในสมการนค้ี อื คา่ ของ cotA, tanA, 1 หาคา่ tan A tan A ได้ เรียกสมการท่ีมสี มบตั ดิ ังเช่นนว้ี ่า เอกลักษณ์ การพิสจู นเ์ อกลกั ษณ์ เปน� การแสดงให้เหน็ ว่าทัง้ สองขา้ งของสมการเทา่ กนั จริง โดยใชค้ วามสมั พนั ธต์ า่ ง ๆ ระหว่างฟง� ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ เอกลักษณ์ทพี่ สิ จู น์แลว้ สามารถนาํ ไปอ้างอิงในการพิสจู น์เอกลักษณอ์ ืน่ ๆ ไดเ้ ช่น sin2 A + cos2 A = 1 ศกึ ษาเรื่องเอกลักษณเพิ่มเติมได sec2 A - tan2 A = 1 ที่ cosec2 A - cot2 A = 1 ตวั อย่าง จงพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์ 1+ 1 θ + 1+ 1 θ = 1 tan 2 cot2 แบบฝก� หดั จงพสิ ูจนเ์ อกลักษณต์ ่อไปนี้ 1. secθ − tan θsin θ = cos θ 2. sin4 θ − cos4 θ = sin2 θ − cos2 θ 3. tan2 θ − sin2 θ = tan2 θ ⋅ sin2 θ =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 55 ================================================================================================ สมการตรโี กณมติ ิ สมการตรีโกณมติ ิ ศกึ ษาเพ่ิมเตมิ ท่ี สมการตรโี กณมิติ คือ สมการท่ปี ระกอบดว้ ยพจนท์ อี่ ยใู่ นรูปฟง� ก์ชนั ตรีโกณมิตขิ องตัวแปร ตวั อย่าง กําหนดให้ 0 ≤ x ≤ 2π จงแกส้ มการในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1. sin x = 3 2. cos x = −1 3. tanx= 3 2 2 แบบฝก� หดั จงแกส้ มการทก่ี าํ หนดใหใ้ นแต่ละขอ้ เม่ือ 0 ≤ x ≤ π 1. 2sinX = 3 (π , 2π ) 2. 4 cos2 x = 1 ( π , 2π ) 3 3 3 3 3. sin2 x + 2cos x − 2 = 0 (0) 4. cos3x = sin x (π ) 8 5. 4 cot x = 3 cos ec2x ( π , π ) 6 3 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ชอื่ ............................................ม.5/............. 56 ================================================================================================ กฎของไซน์ (The Law of sine) ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใด ๆ ถ้า a,b,c เปน� ความดา้ นตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลําดับ จะไดค้ วามสมั พันธด์ ังน้ี a b c B ศกึ ษาเพ่ิมเตมิ ที่ sin A sin B sin C = = = 2R c โดยท่ี R เปน� รัศมีของวงกลมซง่ึ ลอ้ มรอบสามเหล่ยี ม A a b C แบบฝ�กหัด 1. กําหนดใหร้ ปู สามเหล่ียม ABC มี a,b และ c เป�นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลาํ ดบั 1.1 กาํ หนด A= 60o , B= 45o และ a = 6 จงหา b,c (ตอบ b=2, c=1 + 3 ) 1.2 กําหนด B= 30o , C=120o และ a= 3 3 จงหา c (ตอบ c=9) 2. จงหาพืน้ ทีข่ องรูปสามเหล่ียม ABC เมอื่ กําหนดให้ B= 60o ,a= 12 และ c= 8 (ตอบ 3 2 ตร.หน่วย) 3. ชายผหู้ นงึ่ อยู่บนยอดตึกสูง 40 เมตร สังเกตเหน็ รถยนต์ 2 คนั อย่ใู นแนวเดยี วกัน โดยทํามมุ กม้ 30o และ 60o ตามลําดับ จงหา ระยะหา่ งระหว่างรถทงั้ 2 คัน (ตอบ 80 3 เมตร) 3 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลัย ชื่อ............................................ม.5/............. 57 ================================================================================================ กฎของ cosine (The law of cosine) ในรปู สามเหลีย่ ม ABC ใด ๆ ถ้า a,b,c เป�นความดา้ นตรงขา้ มมุม A,B และ C ตามลําดับ จะไดค้ วามสัมพันธ์ดงั น้ี a2 = b2 + c2 − 2bc cos A พน้ื ทส่ี ามเหลย่ี ม = 1 ab sin C b2 = a2 + c2 − 2ac cos B 2 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C 1 = 2 bc sin A = 1 ac sin B 2 = s( s − a)(s − b)( s − c) โดยท่ี S = a +b + c 2 แบบฝ�กหัด 1. กําหนดใหร้ ปู สามเหลยี่ ม ABC มี a,b และ c เปน� ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A,B และ C ตามลาํ ดบั 1.1 กําหนด a=5, c=8 และ B= 60o จงหา b (ตอบ b=7) 1.2 กาํ หนด a=13, b=15, c=7 จงหา A (ตอบ A= 60o ) 2. กาํ หนด a=7, b=5 และ c=3 จงหามมุ ที่โตทีส่ ุด (ตอบ 120o ) 3. กาํ หนดใหด้ ้านทัง้ สามของรปู สามเหลย่ี มรปู หน่งึ เปน� x,y และ x2 + xy + y2 จงหามุมทโ่ี ตท่ีสดุ (ตอบ 120o ) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลยั ช่อื ............................................ม.5/............. 58 ================================================================================================ สตู รเยอะใชไ่ หมจะ๊ นักเรียนสามารถศกึ ษาเพิม่ เติมเร่อื งเทคนคิ การเขยี นสูตรได้ท่ี ลองทาํ ดู 1. หาค่าของ cos1o + cos 2o + cos 3o + ... + cos179o คิดต่อ แล้วถ้าหาคา่ cos1o + cos 2o + cos 3o + ... + cos180o (− 3) 2. ถ้า A + B = 120o จงหาคา่ ของ tan A + tan B − 3 tan A tan B 3. หาคา่ ของ 3(cos10o + sin 20o ) − 4(cos3 10o + sin3 20o ) (สูตรสามเท่า) (0) 4. เขียน cosA เม่อื เขยี นในรูป tan A ได้อยา่ งไร 1− tan2 A ) 2 2 ( A 2 1+ tan2 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 59 ================================================================================================ 5. cos(arcsin 5 + arccos 4 ) =? ( 33 ) 13 5 65 6. ค่าของ tan 70o sin 200o cos ec250o = ? (1) 7. ให้π = 3.14 และ cos0.86 =0.65 แล้ว tan4=? ( 0.58 ) 0.65 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 60 ================================================================================================ เกบ็ ตก เรอ่ื งการวดั มุมหน่วยองศา 1o (องศา) = 60′(ลิบดา) (ตอบ 133π ) 1o (ลิบดา) = 60′′(ฟลิบดา) 135 จงหาขนาดของมมุ ตอ่ ไปน้ีในหนว่ ยเรเดียน 1. 150o40′ 1.2. − 12o30′ (ตอบ − 5π ) 72 การใชต้ ารางค่าฟ�งก์ชันตรีโกณมิติ (ตารางอยหู่ น้าถัดไป) นกั คณติ ศาสตรไ์ ด้สรา้ งตารางแสดงคา่ ของฟ�งกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องจํานวนจรงิ บางจาํ นวนในช่วง หรอื ของมมุ บางมมุ ท่ีมีขนาดตงั้ แต่ 0o ถึง 90o ดงั ตวั อย่าง ตัวอยา่ ง sin 30o 20' หรือ sin 0.5294 = ……………………………. cos 30o 20' หรอื cos 0.5294 = ……………………………… ตวั อย่าง จงหาค่าของ sin 230o 20' วธิ ีทํา เพราะวา่ sin 230o20' = = =- ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ cos 142o 10' วธิ ที าํ เพราะวา่ cos 142o 50' = = = =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิม่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 61 ================================================================================================ =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ัย ช่อื ............................................ม.5/............. 62 ================================================================================================ เวกเตอร์ในสามมติ ิ ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ กาํ หนดเสน้ ตรง XX' , YY' และ ZZ' เปน� เส้นตรงทผ่ี ่านจดุ O และตง้ั ฉากซ่ึง กนั และกันโดยกําหนด ทศิ ทางของเสน้ ตรงท้งั สามเป�น รูป 1 ระบบมอื ขวา ดงั รปู 1 แกน ถ้าเสน้ ตรงท้งั สามเป�นเสน้ จาํ นวน (real line) จะเรียกเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' ว่า แกนพกิ ัด X แกนพิกัด Y และ แกนพกิ ดั Z หรอื เรยี นส้ันๆ วา่ แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเรียนจุด O วา่ จุดกาํ เนิด (origin) ดงั รูป 2 เรยี กสว่ นของเสน้ ตรง OX OY และ OZ ว่า แกน X ทางบวก รูป แกน Y ทางบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทางบวก (positive z(p-aoxsiist)ivแeลxะ-เaรxียiกsส) ว่ นของเสน้ ตรง2OX' วา่ แกน OY' และ OZ' X ทางลบ (negative x-axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และ แกน Z ทางลบ (negative z-axis) โดยทวั่ ไปเมอ่ื เขียนรปู แกนพิกดั ในสามมิติ นยิ มเขียนเฉพาะ แกน X แกน Y และ แกน Z ทเี่ น้นเฉพาทางดา้ นทแ่ี ทนจาํ นวนจรงิ บวกซงึ่ มีหัวลูกศรกํากับ ดังรูป 3 หรอื รูป 4 รูป 3 รปู 4 ระนาบ แกน X แกน Y และ แกน Z จะกําหนดระนาบขน้ึ 3 ระนาบ เรยี กวา่ ระนาบอา้ งอิง • เรยี กระนาบทีก่ ําหนดดว้ ย แกน X และแกน Y ว่า ระนาบอา้ งอิง XY หรือ ระนาบ XY • เรียกระนาบทีก่ ําหนดดว้ ย แกน X และแกน Z ว่า ระนาบอ้างองิ XZ หรือ ระนาบ XZ • เรยี กระนาบท่ีกําหนดด้วย แกน Y และแกน Z ว่า ระนาบอ้างอิง YZ หรือ ระนาบ YZ (ดงั รปู 5) รูป 5 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย ชื่อ............................................ม.5/............. 63 ================================================================================================ อฒั ภาค ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทงั้ สามระนาบ จะแบ่งปริภูมิสามมติ ิ ออกเปน� 8 บรเิ วณ คือ เหนือระนาบ XY จาํ นวน 4 บรเิ วณ และใต้ระนาบ XY จาํ นวน 4 บรเิ วณ เรยี กแต่ละบรเิ วณว่า อัฒภาค (octant) ดังรูปท่ี 6 อฒั ภาคที่บรรจุ แกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกจะเรยี กวา่ อฒั ภาคที่ 1 ส่วนอัฒภาคอืน่ ๆ จะใช้ขอ้ ตกลงเดยี วกับในระบบ พกิ ัดฉากสองมติ ิ (นบั ทวนเขม็ นา�กิ า) โดยพิจารณาบริเวณเหนอื ระนาบ XY กอ่ น รูป 6 สามสง่ิ อนั ดบั (นยิ มใช้ “พกิ ดั ”) เมื่อกําหนดจดุ P ใดๆ ในปริภมู สิ ามมติ ิ จะระบุตาํ แหนง่ ของจดุ P หรอื พกิ ดั จดุ P โดยใช้จํานวนจรงิ สามจํานวนเรยี ง กันตามลําดับ หรือเรียกว่า สามสงิ่ อนั ดบั ในรูป (x,y,z) โดยที่ x คือระยะท่ีมีทิศทางตามแนวแกนX ซงึ่ ระบุว่าจุด P อยู่หา่ งจากระนาบ YZ เท่าใด ระยะดังกล่าวมีค่าเป�นจํานวน บวกเมื่อวัดจากระนาบ YZ ไปยังจุด P ไปทางด้านบวกของแกน X มีค่าเป�นจาํ นวนลบเมอ่ื วดั ไปทางด้านลบของแกน X และมี คา่ เป�นศนู ยเ์ ม่อื จดุ P อยบู่ นระนาบ YZ y คือระยะทม่ี ีทิศทางตามแนวแกน Y ซง่ึ ระบุวา่ จดุ P อยูห่ ่างจากระนาบ XZ เท่าใด ระยะดังกลา่ วมคี า่ เป�นจาํ นวน บวกเมอื่ วัดจากระนาบ XZ ไปยงั จดุ P ไปทางดา้ นบวกของแกน Y มคี า่ เปน� จาํ นวนลบเมอ่ื วดั ไปทางด้านลบของแกน y และมี คา่ เป�นศนู ยเ์ มอื่ จุด P อย่บู นระนาบ XZ z คือระยะทีม่ ีทิศทางตามแนวแกน Z ซ่งึ ระบวุ ่าจุด P อยหู่ ่างจากระนาบ XY เทา่ ใด ระยะดังกลา่ วมคี ่าเป�นจํานวน บวกเมอื่ วัดจากระนาบ XY ไปยังจุด P ไปทางดา้ นบวกของแกน Z มีค่าเปน� จํานวนลบเม่ือวดั ไปทางด้านลบของแกน Z และมี คา่ เปน� ศูนยเ์ มอ่ื จดุ P อยบู่ นระนาบ XY เรียก (x,y,z) วา่ พิกดั ของจดุ P และบางครัง้ จะเขยี นจดุ และพิกดั กาํ กับไว้ดว้ ยกันเป�น P(x,y,z) ดงั รูป =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 64 ================================================================================================ ตวั อยา่ งท่ี 1 จากรปู จงหาพิกัดของจดุ B,C,D,E,F และ G เมือ่ กาํ หนด A(2, 4, 3) จุด B มีพิกัดคือ..................................... 4 จุด C มพี กิ ัดคอื ..................................... จดุ D มีพิกัดคอื ..................................... จดุ E มพี กิ ัดคือ..................................... จดุ F มพี ิกดั คือ..................................... จดุ B มีพกิ ัดคือ..................................... จดุ C มีพกิ ัดคอื ..................................... จุด D มีพกิ ัดคือ..................................... จดุ E มพี ิกัดคอื ..................................... จดุ B มีพกิ ดั คือ..................................... จดุ C มพี ิกัดคอื ..................................... จุด D มพี กิ ัดคือ..................................... จุด E มพี ิกัดคือ..................................... จดุ F มพี ิกดั คือ..................................... จุด G มีพิกัดคือ.................................... =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ัย ชอ่ื ............................................ม.5/............. 65 ================================================================================================ ระยะทางระหว่างจุด 2 จดุ ในปริภมู สิ ามมติ ิ ระยะทางระหวา่ งจดุ P(x1,y1,z1) และ Q(x2,y2,z2) หรือ |PQ| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 แบบฝ�กหัด จงหาระยะระหว่างจดุ A(2,0,3) และ B(1,2,-1) ( 21 ) ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) ปรมิ าณมสี องประเภท ประเภทหนง่ึ ใช้บอกแต่ขนาด เช่น พื้นท่ี มวล ความสูง อุณหภูมิ ซึ่งเขียนแทนขนาดดว้ ย จํานวนเพอ่ื บอกใหท้ ราบว่า มากหรอื น้อยเพยี งใด เชน่ กลอ่ งใบหนึ่งหนกั 50 กรมั เด็กชายโหน่งสูง 180 เซนติเมตร ทด่ี ิน แหง่ หนึ่งมีพนื้ ที่ 250 ไร่ เปน� ตน้ สว่ นปริมาณอีกประเภทหนง่ึ บอกท้งั ขนาดและทิศทาง เช่น การ เคล่ือนท่ี แรง ความเรว็ ความเรง่ ปริมาณเหลา่ น้ีจําเปน� ต้องบอกทง้ั ขนาดและทศิ ทาง เช่น คณุ พอ่ ขบั รถไปทางทศิ ตะวนั ออกเปน� ระยะทาง 9 กโิ ลเมตร พี่ชายขับรถดว้ ยความเรว็ 240 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง เป�นต้น ปริมาณทมี่ แี ตข่ นาดเพยี งอยา่ งเดยี ว เรยี กวา่ ปรมิ าณสเกลาร์ (scalar quantity) ปริมาณทมี่ ีท้ังขนาดและทศิ ทาง เรยี กว่า ปริมาณเวกเตอร์ (vectorquantity ) หรือเรยี กส้นั ๆ ว่า เวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์ แทนดว้ ยจาํ นวนจรงิ สว่ นปริมาณเวกเตอร์ ในเชิงเรขาคณิตแทนไดด้ ว้ ยส่วนของเสน้ ตรงทร่ี ะบทุ ศิ ทาง ( directed line segment หรือ directed segment ) โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงบอกขนาดของเวกเตอร์และหัว ลูกศรบอกทศิ ทางของเวกเตอร์ จากรปู แสดงเวกเตอร์ A ไป B เขยี นแทนด้วย AB เรียก A วา่ จดุ เร่ิมตน้ (initial point) เรียก B วา่ จดุ สน้ิ สุด ( terminal point) ในบางคร้ังเราอาจเขียนสัญลกั ษณข์ องเวกเตอรโ์ ดยใช้อกั ษรเพยี งตัวเดียว เชน่ เวกเตอร์ u เขยี นแทนดว้ ย u ใช้ สัญลักษณ์ | AB | แทนขนาดของ AB (ระยะทางจาก A ไป B นัน่ เอง) และใช้สัญลกั ษณ์ | u | แทนขนาดของ u =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 66 ================================================================================================ เวกเตอร์ทีข่ นานกนั บทนยิ าม u ขนานกับ v กต็ อ่ เมอ่ื เวกเตอรท์ ้งั สองมที ิศทางเดยี วกนั หรือทศิ ทางตรงขา้ มกนั เวกเตอร์ที่เทา่ กนั บทนิยาม u เท่ากับ v ก็ต่อเมอ่ื | u |= | v | และ u ทิศทางเดยี วกบั v นเิ สธของเวกเตอร์ บทนิยาม นเิ สธของ u คอื เวกเตอรท์ ม่ี ขี นาดเทา่ กับ u และมทิ ศิ ทางตรงข้ามกบั u เขียนแทนด้วย - u ตัวอยา่ ง กําหนดสามเหล่ียมด้านเท่า จุด D, E และ F เป�นจดุ ก่ึงกลางของดา้ น AB, BC และ CD และกาํ หนดเวกเตอร์ AB , DB , BC , EC , AC , FC , DE , EF , FD จงหา 1. เวกเตอร์ใดบา้ งทท่ี ศิ ทางเดยี วกนั ................................................................................... ................................................................................... 2. เวกเตอร์ใดบ้างทม่ี ีทศิ ทางตรงขา้ มกัน ................................................................................... ................................................................................... 3. เวกเตอรใ์ ดบ้างท่เี ท่ากนั ................................................................................... ................................................................................... 4. เวกเตอร์ใดบ้างทเี่ ปน� นิเสธกัน ................................................................................... ................................................................................... 5. เวกเตอร์ใดบา้ งท่ีขนานกนั ................................................................................. ................................................................................ =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 67 ================================================================================================ การกาํ หนดทิศของเวกเตอร์ ในบางครั้งรูปอาบกําหนดในรปู ของมุมท่มี หี นว่ ยเป�นองศา เรยี กวา่ “Three figure system” คือ การเร่มิ วัดจากทศิ เหนอื ทุกคร้ัง หมุนตามเขม็ นา�กิ าไปจนถึงเวกเตอร์ คา่ ของมมุ จะอยู่ระหว่าง 0 องศา ถึง 360 องศา ถา้ มมุ ที่วดั น้อยกวา่ 100 องศา จะเขียน “0” นาํ หน้า ตวั เลขที่ไดจ้ นครบ 3 ตวั เชน่ 045 เป�นตน้ เช่น 1) 100 เมตรไปทางทิศใต้ 2) 15 เมตรไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉียงเหนือ 3) 20 เมตรไปทาง 120องศา แบบฝก� หดั นายเอเดนิ ทางไปทศิ ตะวันตกเฉียงเหนือเปน� ระยะทาง 5 กโิ ลเมตร จากนน้ั เดนิ ทางไปทางทศิ 225o เปน� ระยะทาง 5 กิโลเมตร นายเออย่หู ่างจากจุดเริ่มตน้ ก่ีกโิ ลเมตร และอย่ทู างทิศใดของจดุ เรมิ่ ตน้ ( 5 2 กม.ทางทิศตะวันตก) การบวกและการลบเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ นยิ าม ให้ u และ v เป�นเวกเตอรใ์ ด ๆ เลื่อนใหจ้ ุดเริม่ ตน้ ของ v อยูท่ ่ีจุดสิ้นสุดของ u ผลบวกของ u และ v เขยี นแทนดว้ ย “ u + v ” คือเวกเตอร์ท่ีมีจดุ เรมิ่ ตน้ ทจี่ ดุ เริ่มต้นของ u และจุดส้นิ สดุ อยทู่ ่ีจุดสิ้นสุดของ v ดังรูปที่ 1 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 68 ================================================================================================ การบวกเวกเตอร์ดว้ ยวิธี “กฏของรปู สเ่ี หลยี่ มด้านขนาน” เลอื่ กจุด A เป�นจุดเร่ิมตน้ หาจดุ B ที่ทําให้ u = AB แลว้ หาจดุ D ทท่ี ําให้ v = AD จากนนั้ สรา้ งรปู สีเ่ หลย่ี มดา้ น ขนาน ABCD และอาศัยบทนยิ ามของการบวดเวกเตอรข์ ้างต้น จะได้ว่า u + v เปน� เวกเตอรผ์ ลลพั ธ์ ซงึ่ แทนด้วยเสน้ ทแยงมมุ ของรูปส่เี หลีย่ มดา้ นนานน้นั โดยเวกเตอรผ์ ลลัพธ์ จะมีจดุ เริ่มตน้ เดียวกนั กบั จดุ เร่ิมตน้ ของ u และ v ดังรปู ท่ี 2 เวกเตอร์ศนู ย์ นิยาม เวกเตอรศ์ นู ย์ (Zero vector) คือเวกเตรอท์ มี่ ขี นาดเป�นศูนย์ เขยี นแทนดว้ ย 0 ขอ้ สงั เกต 1 เวกเตอรศ์ ูนยไ์ ม่จําเป�นตอ้ งกลา่ วถงึ ทศิ ทางของเวกเตอร์ แตถ่ า้ ต้องการกลา่ วถงึ มขี ้อตกลงว่าจะระบุทิศทางของเวก เอตรศ์ ูนย์เปน� เชน่ ใดกไ็ ด้ 2 เมอื่ เขยี นรปู เรขาคณติ แทนเวกเตอร์ศูนย์ จดุ เรม่ิ ตน้ และจดุ สิ้นสุดของเวกเตอรเ์ ป�นจุดเดียวกนั ดังตวั อยา่ งในรปู ท่ี 3 หรอื รปู ที่ 4 การลบเวกเตอร์ นยิ าม ให้ u และ v เปน� เวกเตอรใ์ ด ๆ ผลลบ ของ u ดว้ ย v หมายถงึ ผลบวกของ u และนิเสธของ v เขยี นแทนดว้ ย u − v นั่นคือ u + (−v) ดังรปู ท่ี 5 การลบเวกเตอรด์ ้วยวิธี “สรา้ งรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนาน” ให้จุดเร่มิ ตน้ ของเวกเตอร์ท้ังสองเป�นจุดเดยี วกนั และสรา้ งรปู สีเ่ หลีย่ มด้านขนาน ซ่งึ เวกเตอรท์ ีเ่ ปน� ผลลบจะมจี ดุ เรม่ิ ต้น และจดุ ส้ินสดุ ของเวกเตอร์ทงั้ สองท่กี าํ หนดให้ โดยเวกเตอรท์ เี่ ป�นผลลบกับเวกเตอร์ทเี่ ป�นตวั ตัง้ มีจดุ สนิ้ สุดเปน� จุดเดียวกัน ดงั รปู ที่ 6 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 69 ================================================================================================ ฝ�กการบวก ลบ เวกเตอร์ ให้นักเรยี นใชเ้ วกเตอรท์ ่ีครกู ําหนดให้ในคาบแล้วทําแบบฝก� ต่อไปน้ี (ใช้ปากกาหรือดินสอสีต่างกันจะทาํ ให้ดูงา่ ยข้นึ ) เวกเตอรท์ ่ีครกู าํ หนดคือ 1) u + v 2) v + u 3) v + w 4) w + u 5) u + v + w 6) u − v 7) v − u 8) v − w 9) − u − v + w 10) v − w + u =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 70 ================================================================================================ ตัวอยา่ ง กาํ หนด u และ v เป�นเวกเตอร์ทม่ี ีจดุ เรม่ิ ตน้ ทจี่ ดุ เดียวกนั คือจดุ A โดยให้ AB = u, AD = v แล้วสรา้ งรปู สี่เหลยี่ มดา้ น ขนาน ABCD ดงั รูป จะได้ u + v =……………………………….. v + u =……………………………….. u − v =……………………………….. v − u =……………………………….. แบบฝ�กหดั 1. จากรปู จงเขียนเวกเตอรท์ ่ีกาํ หนดใหใ้ นแต่ละข้อในรปู ผลบวกหรือผลตา่ งของเวกเตอร์ a, b, c, d, e หรอื f 1) AE ……………………………… 2) AD ……………………………… 3) BD ……………………………… 4) BF ……………………………… 5) AC ……………………………… 2 ให้ AB = a, AD = b, AG = c และ ABCDEFGH เปน� รูปทรงส่เี หล่ยี มมมุ ฉากดงั รปู จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปน้ใี นรปู ของ เวกเตอร์ a, b, c F E 1) AE ……………………… 2) EF ………………………… ……………………………… ………………………………..... 3) DH ………………………… 4) AC ………………………… G H ……………………………… ………………………………...... DC AB สมบตั กิ ารบวกเวกเตอร์ ให้ u , v และ w เปน� เวกเตอร์ใดๆในระนาบ แลว้ ข้อสังเกต 1. u + v เป�นเวกเตอรใ์ นระนาบ 1.) 1 u = u 2. u + v = v + u 2.) (-1) u = - u 3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 4. u + 0 = 0 + u = u 5. u + (- u ) = (- u ) + u = 0 =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 71 ================================================================================================ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ บทนยิ าม ให้ a เป�นจํานวนจรงิ และ u เป�นเวกเตอร์ แลว้ 1. ผลคณู ระหว่าง a กับ u เขยี นแทนดว้ ย a u 2. ถ้า a = 0 แลว้ a u = 0 3. ถา้ a > 0 แลว้ a u จะมขี นาดเทา่ กับ |a|| u | และมที ิศทางเดียวกบั u 4. ถ้า a < 0 แลว้ a u จะมขี นาดเท่ากับ |a|| u | และมที ิศทางตรงกนั ข้ามกบั u ตวั อย่าง กาํ หนดให้ u = AB โดย | u | =2 และมที ิศทางดังรูป จงเขียนและบรรยายลกั ษณะของเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี 1) 1 u 2) 2u 2 3) − 3 u 2 โจทย์เพมิ่ เตมิ เร่อื งการบวกลบเวกเตอร์ 1. กําหนดให้ ORQP เปน� สีเ่ หลยี่ มด้านขนาน จุด T อยู่ในแนวเสน้ ตรง QR โดยที่ QT = 3QR และ S เป�นจุดตัดระหว่าง สว่ นของเสน้ ตรง PT กบั OR ดังรปู จงเขยี นเวกเตอร์ตอ่ ไปนใ้ี นรูปของ u และ v 1.1 OQ 1.2 PR 1.3 OT 2. กําหนดให้ AB = u และ AC = v ดงั รูป ถา้ AD : DB = 2 : 3 และ AE : EC = 5 : 4 แล้ว จงเขยี น DE ในรปู ของ u และ v =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพิ่ม3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลัย ช่อื ............................................ม.5/............. 72 ================================================================================================ 3. จงหาค่าของ 2AB + 4BC + 2BA 4. จงหาค่าของ 3XY − XZ + 3YZ − 2WZ ทฤษฎีบทท่ี 1 สําหรบั u ≠ 0 และ v ≠ 0 u // v ก็ตอ่ เมอื่ มีจาํ นวนจริง a ≠ 0 ทที่ าํ ให้ ตัวอยา่ ง ให้ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จงแสดงว่า u ขนานกบั v เม่อื กําหนดสมการในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 1) 5u + v = 3u + 2v 2) 6u + 4v = 2u − 5v ทฤษฎีบทที่ 2 สาํ หรบั u ≠ 0 และ v ≠ 0 u ไม่ขนานกบั v ถา้ au + bv = 0 แล้ว a=0 และ ตวั อย่าง กาํ หนดให้ u ≠ 0 และ v ≠ 0 และ u ไมข่ นานกับ v ถ้า 3u + 2v = xu − yv จงหา x+2y =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 73 ================================================================================================ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสอง ในกรณที ่ีทราบจุดเรมิ่ ตน้ และจดุ สน้ิ สุดของเวกเตอร์ ดงั รปู พิกัดจุดสนิ้ สุด – เริ่มต้น ถ้า P(x1, y1) และ Q(x2, y2 ) เป�นจุดใด ๆ ในระบบแกนมมุ ฉากแลว้ PQ = x2 − x1 y 2  − y 1  ตวั อย่าง 1 กาํ หนดให้ A มีพิกดั เป�น (0,4) และ B มีพิกดั เปน� (3,5) จงหา AB แบบฝก� หดั จงหา AB และ BA เมอื่ กําหนด A และ B ดงั ตอ่ ไปนี้ 1) A(3,2), B(4,6) 2) A(-3,-2), B(4,-5) =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชือ่ ............................................ม.5/............. 74 ================================================================================================ การเทา่ กนั ของเวกเตอร์ เวกเตอรศ์ ูนย์ บทนยิ าม a c  กต็ ่อเมื่อ a=c และ b=d 0 b = d 0 = 0 การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ a c  a + c  a c  a − c  b + d = b + d b − d = b − d นิเสธของเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ นิเสธของเวกเตอร์ a  −a  a เป�นจาํ นวนใด ๆ c  เปน� เวกเตอร์ จะได้ c  ac  b = − b d ad = ad แบบฝ�กหดั กําหนด u = 2 , v = −3 , w − 4 จงหา 3  5 = − 7  1) (2u − v) + w 2) (u − v) + 3w =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลยั ช่ือ............................................ม.5/............. 75 ================================================================================================ เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสาม จากท่กี ล่าวมาแล้วว่าเวกเตอร์ในสองมิติ กาํ หนดใดใ้ นรูป a  ต่อไปเราจะขยาย แนวคิดจากเวกเตอร์ในสองมิติ b เปน� เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ โดยใชร้ ะบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ ท่ีได้ศกึ ษาแลว้ เปน� พ้ืนฐาน บทนยิ าม กาํ หนดให้ x,y,z เป�นจํานวนจริง เรยี ก xy ว่า เวกเตอรใ์ นปริภูมสิ ามมติ ิ หรอื เวกเตอร์ในสามมิติ ในทางเรขาคณติ z   เราแทนเวกเตอร์ x ดว้ ยส่วนของเสน้ ตรงทก่ี าํ หนดทิศทางซง่ึ มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ทจี่ ดุ กําเนิด ( 0 ) และมจี ุดสนิ้ สุดที่ ( x,y,z )ดงั รปู y z   นิยามเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก นิยาม เวกเตอร์ในสองมิติ เวกเตอร์ในสามมิติ การเท่ากัน a c  กต็ อ่ เมื่อ a=c และ b=d a  d ก็ตอ่ เมอื่ a=d และ b=e และ c=f b = d b = e  c  f    การบวก a c  a + c  a  + d = a + d เวกเตอร์ b + d = b + d b e  b + e เวกเตอร์ศนู ย์ 0 c  f  c + f  0 = 0    0 0 = 0 0 การลบเวกเตอร์ a c  a − c  a  d a − d b − d = b − d  b − e = b − e c  f  c    − f  การคณุ เวกเตอร์ α เป�นจาํ นวนใด ๆ a  เป�นเวกเตอร์ α เป�นจาํ นวนใด ๆ a  เป�นเวกเตอร์ ดว้ ยสเกลาร์ b b c  a αa  αb = αb a αa  αb αb = c  αc    =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 76 ================================================================================================ แบบฝ�กหดั − 7    1. กําหนด AB = − 6  และ B มพี กิ ัดเปน� (9, -8, 13) จงพกิ ัดของจดุ A  10  1  − 1   0      2. กาํ หนด และ w = − 3 จงหา u = 2 , v =  0    3 − 2   1 1) (2u − v) + w 2) (u − v) + 3w =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 77 ================================================================================================ การขนานกนั ของ เวกเตอร์ a  ขนานกับเวกเตอร์ c  กต็ ่อเมอื่ มีจํานวนจรงิ k ≠0 ที่ทําให้ a=kc และ b = kd (หรือคดิ แบบดึงตวั รว่ ม) และใน b d ระบบสามมิตกิ ม็ ีผลในทาํ นองเดียวกนั 1. จงพิจารณาวา่ เวกเตอร์แตล่ ะคูท่ กี่ ําหนดให้ขนานกนั หรือไม่ 1.1 4 8 1.2 4  12  3 และ6   3  และ9  −1 − 3 1.3 3 6 1.4 4 − 3 0 และ2 0 และ0  4 8  =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวิลยั ชอ่ื ............................................ม.5/............. 78 ================================================================================================ สมบัติของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัด ให้ a c  e เปน� เวกเตอรใ์ ด ๆ ระบบพกิ ัดฉากสองมิติ และ a 1  a 2  a 3  b, d และ f         b1 , b2  และ b3  c1  c 2  c    3  เป�นเวกเตอร์ใด ๆ ระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ และ α เป�นจาํ นวนจริงใด ๆ สมบัติ การบวก การคณู ดว้ ยสเกลาร์ 1. ปด� 1. a c  เปน� เวกเตอร์ 1. a  เป�นเวกเตอร์ b + d αb 2. a1  a 2  เป�นเวกเตอร์ 2. a 1  เปน� เวกเตอร์      b1 + b2  α b1  c1  c 2  c 1     2. สลบั ที่ 1. a  + c  = c  + a  1. a  = a  b d d b αb bα 2. a1  a 2  = a 2  a 1  2. a 1  = a 1  b1    b 2       α  + b2   + b1  α b1  b1 c1  c 2  c 2  c 1  c 1  c 1        3. เปล่ียนกลุ่ม 1.  a  + c   + e = a  +  c  + e  1. α a   = a   b d  f  b  d f   βb  (αβ)b   2.  a 1  a 2   a 3  = a 1   a 2  a 3   2.  a 1   = a 1                  α       b1  + b 2   + b 3  b1  +  b 2  + b 3   βb1   (αβ)b1           c1  c 2  c 3  c1  c 2  c 3  c1  c1  4. การมีเอกลักษณ์ 1. a 0 = 0 a a  1. มี 1 ที่ทําให้ a  = a  b + 0 0 + b = b 1b b 2. a 1  0 0 a 1  a 1  2. มี 1 ท่ีทาํ ให้ a 1  a 1            b1  + 0 = 0 + b1  = b1  1b1  = b1  c1  0 0 c1    c1  c1  c1     5. การมตี ัวผกผัน 1. a  + −a  = 0 (อินเวอรส์ ) b − b 0 เรยี ก −a  ว่าตัวผกผนั การบวกของ a  − b b 2. a 1  − a 1  0     b1  + − b1  = 0 c1  − c1  0   เรียก − a1  วา่ ตวั ผกผนั การบวกของ a1     b1  − b1 c1  −   c1  =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครูเณริศา พรหมวิลยั ชื่อ............................................ม.5/............. 79 ================================================================================================ ขนาดของเวกเตอร์ในสองมิตแิ ละสามมติ ิ ถา้ AB เปน� เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ A มีพกิ ัดเป�น x1, y1, z1 และ B มพี กิ ัดเปน� x2, y2, z2 ดงั รปู ขนาดของเวกเตอรใ์ ช้ เคร่ืองหมายคา่ สมั บูรณ์ “| |” นะ x 2 − x1  (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 y 2  จะได้ AB = − y1 และ | AB|= z 2 − z1   ถ้าให้ x2 − x1 = a, y2 − y1 = bและz2 − z1 = c แล้วจะได้ | AB|= a2 + b2 + c2 แบบฝ�กหดั จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) u 3 (5 หน่วย) 2) 2 ( 2 2 หน่วย) = 4 v = 2 3) AB โดยที่ A มีพกิ ัด (2, 1, 0) และ B มีพกิ ดั (-1, 1, 0) (3 หนว่ ย) =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ชื่อ............................................ม.5/............. 80 ================================================================================================ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกดั ฉากสอง บทนยิ าม เวกเตอรท์ มี่ ขี นาดหนึง่ หนว่ ย เรยี กวา่ เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย (unit vector) a เวกเตอร์ b มขี นาดเทา่ กบั a2 + b2 เวกเตอรท์ ี่มขี นาดหน่ึงหนว่ ยและมที ศิ ทางเดยี วกับเวกเตอร์ a ใด ๆท่ไี มใ่ ช่เวกเตอร์ศนู ย์คือ 1 a b a2 + b2 b เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในสองมติ ทิ ่สี าํ คญั คอื Y 1  และ 0 0 1  เพอ่ื ความสะดวกจงึ เขียนแทน 1  0 ดว้ ย i X 0 ดว้ ย j ดังรปู 1  ตวั อย่าง จงหาเวกเตอร์ทีม่ จี ุดเร่ิมต้นท่ี P1(2,-3) และมจี ุดสนิ้ สุดที่ P2(-4,6) และเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยทมี่ ที ศิ ทางเดียวกับ เวกเตอรน์ รี้ ูป i และ j วิธที ํา ดังนั้นเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยท่ีมที ศิ ทางเดียวกบั P1P2 คอื − 2 i + 3 j 13 13 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย ช่ือ............................................ม.5/............. 81 ================================================================================================ แบบฝก� หดั 1. จงหาเวกเตอรท์ มี่ จี ดุ เรมิ่ ต้นท่ี P1(−1, −3) และจดุ สิ้นสุดที่ P2(−4,1) และเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยทม่ี ที ิศทางเดียวกบั เวกเตอร์นีใ้ นรปู ของ i และ j 2. จงหาเวกเตอรท์ ีม่ จี ุดเรมิ่ ตน้ ท่ี A(1,2) และมีจดุ สน้ิ สุดท่ี B(5,7) และ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทศิ ทางตรงข้ามกับเวกเตอร์น้ี รูป i และ j =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่ิม3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวิลัย ช่อื ............................................ม.5/............. 82 ================================================================================================ เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉากสาม เวกเตอร์ a  มขี นาดเทา่ กับ a2 + b2 + c2 เวกเตอรท์ ม่ี ีขนาดหน่ึงหน่วยและมีทิศทางเดยี วกบั b c   a  1 a  เวกเตอร์  ใด ๆท่ีไมใ่ ชเ่ วกเตอรศ์ นู ย์คอื a2 + b2 + c2  b b c  c    เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในสามมติ ิทส่ี าํ คัญคอื 1  , 0 และ 0  1  0 0 0 0 1  เพอ่ื ความสะดวกจึงเขยี นแทน 1  ด้วย i 0 ดว้ ย j และ 0 ดว้ ย k ดังรปู  1  0 0 0 0 1  Z  (0,0,1) Y j k i (0,1,0) (1,0,0) X ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอร์ทมี่ ีจุดเรม่ิ ต้นที่ P1(1,2,0) และมจี ดุ สนิ้ สดุ ท่ี P2(-2,3,1) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทมี่ ีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอร์นี้รปู i , j และ k ดงั นั้นเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยที่มที ศิ ทางเดยี วกับ P1P2 คือ −3 i + 1 j + 1 k 11 11 11 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพมิ่ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ัย ชือ่ ............................................ม.5/............. 83 ================================================================================================ แบบฝ�กหดั 1. จงหาเวกเตอร์ทม่ี ีจดุ เรม่ิ ต้นท่ี P1(−1, −6,0) และจุดสิ้นสุดท่ี P2(5, 2,0) และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทมี่ ีทศิ ทางเดยี วกับเวกเตอร์นีใ้ น รปู ของ i , j และ k 2. จงหาเวกเตอร์ทม่ี ีจดุ เรมิ่ ต้นที่ A(2,2,7) และมจี ดุ สิ้นสดุ ที่ B(1,5,8) และเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยทม่ี ีทศิ ทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ นรี้ ูป i , j และ k แบบฝ�กหดั ประยกุ ต์ 1. กาํ หนด u = 9  , v = − 6 จงหาเวกเตอร์ทกี่ าํ หนดในแต่ละข้อ 12 − 8 1.1 เวกเตอร์ 1 หนว่ ยท่ีทศิ ทางเดยี วกบั u + v ( 3 i + 4 j ) 5 5 1.2 เวกเตอร์ 2 หน่วยทีม่ ีทิศทางตรงขา้ มกบั u − v ( − 6 i − 8 j ) 5 5 แนะแนวทาง หา u − v --> นเิ สธ u − v -->ทาํ ให้เหลือ 1 หน่วย --> คูณด้วย 2 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณรศิ า พรหมวลิ ัย ช่ือ............................................ม.5/............. 84 ================================================================================================ 1.3 เวกเตอร์ที่มที ศิ ทางตรงข้ามกับ v และมขี นาดเท่ากับ u ( 9i +12j ) แนะแนวทาง นิเสธ v --> ทํา v ให้เหลือ 1 หนว่ ย --> แลว้ คูณด้วยขนาดของ u  3   5   4   2. กําหนด u =  , v = − 1  จงหาเวกเตอร์ทกี่ ําหนดในแต่ละข้อ − 2 − 4 2.1 เวกเตอร์ 1 หนว่ ยทที่ ศิ ทางเดียวกับ u − v ( −2 i + 5 j + 2 k ) 33 33 33 2.2 เวกเตอร์ 3 หนว่ ยทม่ี ที ศิ ทางตรงข้ามกับ u + v ( −24 i − 9 j + 18 k ) 109 109 109 2.3 เวกเตอร์ทม่ี ที ิศทางเดยี วกบั u และมขี นาดเทา่ กับ v (3 42 i +4 42 j −2 42 k ) 29 29 29 แนะแนวทาง ทํา u ใหเ้ หลือ 1 หนว่ ย --> แล้วคณู ด้วยขนาดของ v =======================================================================================================

คณิตศาสตร์เพม่ิ 3 ค32204 ครเู ณริศา พรหมวิลัย ชอื่ ............................................ม.5/............. 85 ================================================================================================ โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง (direction cosines) กําหนดจุด O(0,0,0) และ P(a,b,c) จะได้  จะได้  = a  และให้ α,β, γ ∈[0, π] เป�นมุมท่ี OP OP b c  วัด จากแกนพกิ ัดด้านบวกทัง้ สามลําดบั ไปยงั  จะได้ OP cosα = OQ = a , OP OP cosβ = OR = b OP OP cos γ = OS = c OP OP มุม α,β, γ คือมมุ ที่  ทํากบั แกน X,Y,Z ทางด้านบวก ตามลําดบั เรียกมมุ ดังกล่าววา่ “มมุ กาํ หนดทิศทาง” OP (direction angle) ของ  และเรียก cos α, cos β และ cos γ ว่า “โคไซน์กําหนดทิศทาง” (direction cosines) ของ  OP OP a  บทนยิ าม โคไซนแสดงทิศทางของ u เม่อื u = b ซงึ่ u ≠ 0 เทียบกบั แกน X,Y,Z ตามลาํ ดบั คือ c  จํานวนสามจาํ นวนเรียงตามลาํ ดบั ดงั น้ี a , b , c uuu ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เร่ิมต้นท่ี P(0,3,5) และจดุ สิ้นสุด Q(1,5,2)  1 , 2 , −3 โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ PQ คือ 14 14 14 =======================================================================================================

คณติ ศาสตร์เพ่มิ 3 ค32204 ครูเณรศิ า พรหมวลิ ยั ช่ือ............................................ม.5/............. 86 ================================================================================================ เวกเตอรสองเวกเตอร จะมีทิศทางเดยี วกันกต็ อเมื่อมโี คไซนแสดงทิศทางชุดเดยี วกัน และจะมีทศิ ทางตรงขา มกต็ อเมื่อ โคไซนแสดงทศิ ทางเทยี บแตละแกนของเวกเตอรห น่ึงเปนจํานวนตรงขามกับ โคไซนแ สดงทิศทางของอีกเวกเตอรห นงึ่ ตัวอยา่ งที่ 2 จงตรวจสอบว่าเวกเตอรต์ อ่ ไปน้ีคใู่ ดขนานกนั โดยใชโ้ คไซน์แสดงทิศทาง 1) เวกเตอร์ PQ มีจุดเริม่ ต้นท่ี P(1,2,3) และจุดส้นิ สุดท่ี Q(2,-3,5) 2)  2  a = − 10     4  3) เวกเตอร์ OR ซ่ึงมจี ดุ เริม่ ต้นท่จี ดุ กําเนดิ และจดุ ส้ินสุดท่ี R(-3,15,-6) สรุปว่า...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. =======================================================================================================