Lecture บทที่3

สมการและอสมการ (Equations and Inequalities) สมการ เส้นจํานวนและชว่ ง อสมการ การแกป้ ญั หาโจทย์ บรรยายโดย …ผศ.ศิรวิ รรณ วาสกุ รี

สมการ (Equations) สมการ คอื ประโยคสัญลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์ท่ีแสดงวา่ สองส่ิง เหมือนกัน สามารถนํามาเขียนเปรียบเทยี บกัน โดยมเี คร่อื งหมาย เท่ากบั (  ) ค่นั กลาง เชน่ 23 5 2x + 5 =20 เปน็ ตน้ การแกส้ มการ คือ การหาคา่ ของตวั แปรทท่ี าํ ให้สมการเป็นจรงิ ซง่ึ จะ แยกพิจารณา ดังนี้

สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว หรอื เรยี กวา่ สมการตวั แปรเดยี วกาํ ลังหนึ่ง เปน็ ตน้ สมการทม่ี ีตัวไม่ทราบคา่ เพยี งหนึ่งตวั เลขชีก้ ําลังสงู สดุ ของตัวแปรเทา่ กับ 1 เชน่ 5x+3 = 12 หรอื 7x – 1 = x +2

สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ในการแก้สมการ เราสามารถอาศัยคณุ สมบัตติ า่ งๆตอ่ ไปนเ้ี พอื่ ช่วย แก้สมการ ถา้ a  b แล้ว a + c  b + c ถ้า a  b แล้ว a – c  b – c  ถ้า a b แล้ว aacc bbcc  ถา้ a b แลว้  เมอ่ื c  0 

ข้ันตอนการแกส้ มการตวั แปรเดยี วกําลงั หน่งึ ข้นั ท่ี 1 ถา้ สมการอย่ใู นรูปเศษสว่ น เราสามารถลดรูปเศษสว่ น ไดโ้ ดยการคณู ท้ังสองขา้ งดว้ ยตวั คูณร่วมนอ้ ย (least common multiple) ขน้ั ที่ 2 ถา้ มวี งเล็บกระจายวงเลบ็ ออก ขน้ั ท่ี 3 ยา้ ยพจน์ทม่ี ตี วั แปรไว้ดา้ นใดดา้ นหนึ่งของสมการ ขน้ั ท่ี 4 ใช้การคณู หรอื การหารเพ่อื ใหส้ ัมประสทิ ธิห์ นา้ ตัวแปร มีค่าเทา่ กบั หน่ึง

สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปรทีท่ าํ ให้สมการเปน็ จริง 1) 5x – 1  14  2x 2) 7(2x – 1) – 11(x – 2)  0

สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว 3) 2x  3x  7 4) (x 3 1)  (x 2 2) 

สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว 5) 0.1(x  7) + 0.05x  0.8

สมการตวั แปรเดียวกําลงั สอง สมการท่มี ีตัวไม่ทราบคา่ เพยี งหน่ึงตวั เลขชี้กําลงั สงู สดุ เทา่ กับ 2 โดยทั่วไปสามารถเขยี นในรปู ท่ัวไป คอื ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตวั ใดๆ และ a  0

แนวทางการแก้สมการตวั แปรเดียวกําลงั สอง หลักเบอ้ื งต้น ถา้ ผลคณู ของจํานวน 2 จํานวนใดๆ เท่ากบั ศูนย์ ดังนั้น จะมีจาํ นวน อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจํานวนนอ้ ยที่เท่ากับศนู ย์ นั่นคอื ถา้ a, b  R , ab  0 ก็ตอ่ เม่ือ a  0 หรอื b  0

รปู แบบท่ี 1 : ถ้าไม่มีเทอมของค่าคงท่ี จากสมการในรูปท่ัวไป ax2 + bx + c = 0 คอื เมือ่ c  0 ดังนั้น ตวั แปร x สามารถมองเปน็ ตวั แปรรว่ ม (common factor) และ สามารถใชว้ ธิ กี ารดงึ ตวั แปรร่วมเพ่ือจดั รูปสมการใหมไ่ ด้ ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่า x ทีท่ ําให้สมการ x2 – 3x = 0 เป็นจริง

รูปแบบท่ี 2 : ถา้ ไม่มีเทอมของ x แกส้ มการโดยใช้การถอดรากท่ีสอง ใช้กับสมการท่ีอยู่ในรปู ax2 + c = 0 คอื เมอ่ื a  0 อาศยั หลกั ทว่ี า่ ถ้า x2 = c จะได้ว่า x   c ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาคา่ x ทีท่ ําให้สมการ 2x2 – 15 = 0 เป็นจรงิ

รปู แบบท่ี 3 : แกส้ มการโดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบ แก้สมการโดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบ  กรณสี มการเขยี นอยู่ในรูปทั่วไป คอื ax2 + bx + c = 0  สามารถที่จะแยกตวั ประกอบได้  จากนน้ั อาศัยสมบัติของจาํ นวนจริง ทีว่ า่ ถา้ a, b  R , ab = 0 กต็ ่อเมอื่ a = 0 หรอื b = 0 ตวั อย่างที่ 4 จงหาค่า x ทีท่ าํ ใหส้ มการ x2 – 5x + 6 = 0 เปน็ จรงิ

รปู แบบท่ี 4 : แก้สมการโดยใชส้ ตู ร แก้สมการโดยการใชส้ ตู ร  เมื่อสมการอยใู่ นรปู ax2 + bx + c = 0  สมการไม่สามารถแยกตัวประกอบได้  สตู รที่ใชค้ ือ b2  4ac x  b 2a ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาคา่ x ท่ีทาํ ใหส้ มการ x2 – 7x + 5 = 0 เป็นจริง

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแก้สมการต่อไปนี้ 6.1) 2x2 – 10 = 0 6.2) 3x2 = 2x

ตัวอย่างท่ี 6 จงแก้สมการต่อไปนี้ 6.3) x2 – 2x – 8 = 0 6.4) x2 + 5x – 24 = 0

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแกส้ มการต่อไปน้ี 6.5) 2x2 – 4x – 3 = 0 6.6) x 3 1  x 2 1  1  

สมการตัวแปรเดยี วกําลงั มากกว่าสอง สมการทีต่ วั แปรเดียวทีม่ ีเลขชกี้ ําลงั สงู สุด ตง้ั แต่ 3 ข้นึ ไป เชน่ x3 – 2x2 – x + 2 = 0 ขัน้ ตอนในการแก้สมการ ขั้นที่ 1 จัดใหพ้ จน์ของตัวแปรและตวั เลขอยทู่ างด้านซ้าย ของเครื่องหมายเทา่ กับ และ ทางขวาเปน็ 0 ขัน้ ที่ 2 จัดกลมุ่ หรอื แยกตวั ประกอบ แล้วหาคาํ ตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแกส้ มการหาคา่ ของ x3 – 2x2 – x + 2 = 0

เสน้ จาํ นวน ( Number Line) เสน้ จาํ นวน เปน็ เสน้ ตรงที่ใช้แทนเซตของจํานวนจรงิ เสน้ จํานวนจะมี ลักษณะดังนี้

ชว่ ง ( Interval ) ชว่ งของจํานวนจริง คอื สับเซตของจํานวนจรงิ การเขียนชว่ ง จะใช้สัญลกั ษณต์ า่ งๆ ดังน้ี ช่วงปดิ แทนดว้ ย [ __ , __ ] หมายถงึ รวมตวั เลขจุดปลายทั้งสองดา้ น (จดุ ทึบ ) และสามารถแสดงโดยใชเ้ สน้ บนเส้นจาํ นวน โดยใช้ เช่น [ 2, 5 ] = { x | 2  x  5 } ช่วงเปิด แทนดว้ ย ( __ , __ ) หมายถงึ ไม่รวมตวั เลขจุดปลายท้งั สองด้าน (จุดใส ) และสามารถแสดงโดยใช้เสน้ บนเสน้ จํานวน โดยใช้ เชน่ ( 2, 5 ) = { x | 2 < x < 5 }

ชว่ ง ( Interval ) 1 ช่วงจํากดั ( Finite Interval) แบ่งไดเ้ ป็น 4 ลกั ษณะ คือ 1) ช่วงปิด [a, b] หมายถงึ {x | a  x  b} a b เชน่ [-1, 4] 4 -1

ชว่ ง ( Interval ) 2) ชว่ งเปิด (a, b) หมายถึง {x | a  x  b} ab 3) ชว่ งครึ่งเปดิ (a, b] หมายถึง {x | a  x  b} ab

ชว่ ง ( Interval ) 4) ชว่ งครงึ่ เปิด [a, b) หมายถงึ {x | a  x  b} ab

ช่วง ( Interval ) ช่วงอนนั ต์ 2 ช่วงอนันต์ ( Infinite Interval) แบง่ ไดเ้ ป็น 5 ลักษณะ คือ 2.1) ชว่ งอนันต์ทางบวก (a, ) หมายถงึ {x | x  a} a 2.2) ชว่ งอนนั ต์ทางบวก [a, ) หมายถงึ {x | x  a} a

ช่วง ( Interval ) ช่วงอนนั ต์ 2.3) ชว่ งอนันตท์ างลบ (-, b) หมายถึง {x | x  b} b 2.4) ช่วงอนันตท์ างลบ (-, b] หมายถึง {x | x  b} b 2.5) ชว่ งอนนั ต์ (-, ) หมายถงึ {x | xR} 0

ตวั อย่างที่ 8 จงเขยี นช่วงตอ่ ไปนล้ี งบนเสน้ จํานวน 8.1 (-, 4] = …{ x…| x…≤…4 …} ……… 8.2 -2 < x ≤ 3 = ……………… 0 4 -2 0 3 8.3 x < -4 หรือ x 2 = ……………… -4 2 8.4 (0, ) = ……………… 0

การดําเนินการของชว่ ง 1) ยูเนียน (Union) ยเู นียนของชว่ ง A และชว่ ง B คอื ช่วงซึ่งประกอบดว้ ยสมาชิกท่อี ย่ใู น ช่วง A หรอื ชว่ ง B อย่างนอ้ ยหนึง่ ช่วง เขยี นแทนด้วย A B เช่น A = [1, 3] และ B = (2, 5) จะไดว้ า่ A  B = [1, 5) ซึ่งพิจารณาได้จากเส้นจาํ นวนดังน้ี A B A B 123 5

การดาํ เนินการของชว่ ง 2) อินเตอร์เซคชัน (Intersection) อินเตอร์เซคชนั ของชว่ ง A และช่วง B คือ ชว่ งทปี่ ระกอบด้วยสมาชิก ซึ่งเป็นสมาชกิ ของท้งั ชว่ ง A และชว่ ง B เขยี นแทนดว้ ย AB เช่น A = [0, 3) และ และ B = [2, 6) จะได้ว่า AB = [2, 3) ซ่ึงพจิ ารณาได้จากเส้นจํานวนดังนี้ 01 2 3 4 5 6

การดาํ เนินการของช่วง 3) ผลตา่ ง (Difference) ผลตา่ งระหว่างช่วง A กับ ชว่ ง B คือ ช่วงที่ประกอบดว้ ยสมาชกิ ของชว่ ง A ซง่ึ ไม่ใชส่ มาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A – B เชน่ A = [0, 3) และ B = [2, 6) จะได้ว่า A – B = [0, 2) และ B – A = [3, 6) ซงึ่ พิจารณาไดจ้ ากเส้นจํานวนดังนี้ 01 2 3 4 5 6

การดาํ เนินการของช่วง 4. คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนตข์ องชว่ ง A คือ ช่วงทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชิกของ R ซง่ึ ไม่ใชส่ มาชกิ ของช่วง A เขียนแทนด้วย A เชน่ A = [2, 5) จะไดว้ า่ A = (-, 2)  [5, ) ซึง่ พิจารณาไดจ้ ากเส้นจาํ นวนดังนี้ 01 2 3 4 5 6

ตัวอยา่ งที่ 9 A= [-1, 5], B=(0, 3] ,C=(-, 4] และD =[ -2, ) จงหา 1) A  B = ..(.0..,..3...].............A.........BB. A -1 0 1 2 3 4 5 2) D – C = ..(.4..,......)...................... C D -2 4

ตัวอย่างที่ 9 A= [-1, 5], B=(0, 3] ,C=(-, 4] และD =[ -2, ) จงหา 3) A B = …(-…, -…1) … …(0,…3]……(5…, …) …... AB -1 0 35 4) C B = …………………………….. B C C -1 0 1 2 3 4 5

ตัวอยา่ งที่ 9 A= [-1, 5], B=(0, 3] ,C=(-, 4] และD =[ -2, ) จงหา 5) (A  D) – B = …[ …-1, …0] ……(3,…5]……………….. B AD D A -2 -1 0 1 2 3 4 5

อสมการ (Inequalities) ประโยคสญั ลักษณท์ างคณิตศาสตรท์ ี่มเี ครอ่ื งหมาย เปรียบเทยี บอนื่ ๆท่ีไมใ่ ช่เครอื่ งหมายเท่ากับ เช่น 2x + 5 < 0 x2 + 4x + 4  0

การแกอ้ สมการ ใชว้ ธิ ีการเหมอื นกบั การแกส้ มการ การแสดงคาํ ตอบทาํ ไดห้ ลากหลายวิธี เชน่ x  1 อาจแทนดว้ ย { x| x  1 } หรือ (1, ) หรอื เขียนชว่ ง

ขอ้ ควรระวงั เมอ่ื มกี ารคูณหรือหารดว้ ยจํานวนลบตลอดทง้ั อสมการ เครื่องหมาย อสมการจะตอ้ งเปล่ียนไปในทศิ ทางตรงกนั ข้าม เชน่ 3 4 เมอื่ คณู ด้วย (- 5) ตลอดท้งั อสมการ จะได้ – 15  – 20

อสมการตัวแปรเดียวกาํ ลังหน่ึง การแกอ้ สมการตัวแปรเดยี วกําลงั หนึง่ ขัน้ ที่ 1 จดั ให้ตวั แปรอยู่ทางดา้ นใดดา้ นหน่ึงของอสมการ และ ให้คา่ คงตัวอยอู่ กี ด้านของอสมการ ขัน้ ท่ี 2 ทําให้สัมประสิทธขิ์ องตวั แปรมีคา่ เทา่ กับ 1 โดยใช้ คณุ สมบตั ิตา่ งๆของอสมการเขา้ ชว่ ย ขน้ั ท่ี 3 เซตคําตอบของอสมการจะเป็นเซตของจํานวนที่ เป็นไปได้ทง้ั หมดที่ทาํ ใหอ้ สมการเป็นจรงิ สิ่งทีต่ อ้ งคาํ นงึ ถงึ คือ เมอื่ มีการคณู หรือหารด้วยจาํ นวนลบ เครอื่ งหมายจะต้องเปล่ยี นไปในทิศทางตรงกันขา้ ม

ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปน้ี 10.1) 3 – x  4(x – 3) 10.2) 3m – 2  7(m – 4) + 2 10.3) –6x44≤5 +2x62<1 10.4)  21 5x 10.5) 3x+1  x – 5  4x + 1

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ 10.1) 3 – x  4(x – 3) 10.2) 3m – 2  7(m – 4) + 2

ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปน้ี 10.3) 6x45  2x21

ตวั อย่างท่ี 10 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ 10.4) – 4 ≤ 5x + 6 < 21

ตวั อยา่ งที่ 10 จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ่ ไปน้ี 10.5) 3x+1  x – 5  4x + 1

อสมการตัวแปรเดียวท่ีมกี ําลังมากกวา่ หรือเทา่ กบั สอง ขัน้ ตอนในการแก้อสมการกาํ ลงั สอง  จัดอสมการใหอ้ ยใู่ นรปู ax2 + bx + c < 0 (หรือ a2 + bx + c ≤ 0 หรือ a2 + bx + c > 0 หรอื a2 + bx + c  0 )  แยกตวั ประกอบ สมมติแยกได้ในรปู (x - m)(x - n) < 0  แก้สมการเพอ่ื หาของตวั แปรทีท่ าํ ใหแ้ ตล่ ะวงเลบ็ เป็นศูนย์ ซึ่งจะเปน็ จดุ ตดั บนเสน้ จาํ นวน ซง่ึ ในที่นี้ จะได้ x = m หรือ x = n  เขยี นเส้นจาํ นวนแลว้ กาํ หนดคา่ m และ n บนเสน้ จาํ นวนจากนัน้ ลองแทนคา่ ตวั เลขทอี่ ยู่แตล่ ะในช่วงในสมการเพอื่ หาเครอ่ื งหมาย ประจาํ ช่วง

อสมการตัวแปรเดยี วท่ีมีกาํ ลังมากกว่าหรือเทา่ กับสอง ข้นั ตอนในการแกอ้ สมการกาํ ลงั สอง (ตอ่ ) พจิ ารณาคา่ ในแตล่ ะชว่ งเพ่ือหาว่าช่วงใดทท่ี าํ ใหอ้ สมการเปน็ จรงิ หรอื อาจจะพิจารณาจากเครื่องหมายประจําชว่ ง ซ่ึงเราสามารถสรปุ คําตอบไดด้ ังน้ี  ถา้ อสมการมีเครื่องหมาย  หรือ ≤ ชว่ งคําตอบ คอื ช่วงทม่ี ี เครอื่ งหมายลบ  ถ้าอสมการมีเครอื่ งหมาย  หรือ  ชว่ งคําตอบ คือ ชว่ งท่มี ี เคร่อื งหมายบวก

ตัวอย่างที่ 11 จงหาคําตอบในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 11.1) x2 + 3x – 10  0 + –+ -5 2

ตัวอยา่ งที่ 11 จงหาคําตอบในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 11.2) 4a ≤ a2 + – + 0 4

ตัวอยา่ งท่ี 11 จงหาคําตอบในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 11.3 3x42  2(x 1) +– +

สมการและอสมการท่เี ก่ยี วขอ้ งกบั คา่ สมั บูรณ์ ค่าสมั บรู ณ์ของจํานวนจริง a ใดๆ เขยี นแทนดว้ ย | a | หมายถึง ระยะหา่ งจากจดุ กาํ เนดิ (จดุ 0) ถงึ จุด a บนเสน้ จาํ นวน  เชน่  คา่ สมั บรู ณ์ของ 4 เขยี นแทนดว้ ย | 4 | มีคา่ เท่ากบั 4  ค่าสัมบูรณข์ อง -3 เขยี นแทนด้วย | -3 | มคี ่าเทา่ กบั 3 นยิ าม  a ; a0  | a |  0 ; a0  a ; a  0

คุณสมบตั ิพื้นฐานของค่าสมั บูรณ์ สําหรับจํานวนจรงิ x และ y ใดๆ 2) | x | = | – x | 1) | x |  0 3) | xy | = | x || y | 4) x  | x | y | y | 5) | x + y | ≤ | x | + | y | 6) x2  | x | 7) x2 = | x |2