Lecture บทที่7อินทิเกรต

อนิ ทกิ รลั และบทประยกุ ต์ Integral and Application

หัวขอ้ บรรยาย 1. นิยามของการอนิ ทเิ กรต 2. อินทกิ รัลไมจ่ ํากดั เขต 3. อนิ ทิกรัลจาํ กัดเขต 4. อินทเิ กรตโดยการแทนคา่ ตัวแปร 5. อนิ ทเิ กรตของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 6. เทคนคิ การอนิ ทเิ กรต 7. การประยุกตข์ องการอินทเิ กรต

นยิ ามของการอนิ ทเิ กรต

การอนิ ทิเกรตในมุมมองการกระทาํ ย้อนกลบั ของการหาอนุพันธ์ การอินทิเกรต หมายถงึ การกระทํายอ้ นกลบั ของการหาอนุพนั ธ์ เรยี กวา่ ปฏิยานพุ นั ธ์ (Anti derivative) หรือ การอินทิเกรต (Integration) กําหนดฟงั ก์ชนั f (x)  x4  3x  5 และให้ F(x) แทนฟงั กช์ ันทีห่ าอนุพนั ธ์แลว้ ได้ผลลพั ธ์ คือ f (x)  x4  3x  5 สมมุติ F(x)  x55  3x22  5x หาอนุพนั ธ์ได้ F(x)  5x54  3(22x)  5  x4  3x  5 ซง่ึ กค็ ือฟังก์ชนั f(x) x55 3x22 55x5x544 สมมตุ ิ F(x)  x55  3x22  5x  2 หาอนพุ นั ธไ์ ด้ F(x)   3(22x) 5  x4  3x  5 คือฟังกช์ ัน f(x) สมมตุ ิ F(x)    5x  11 หาอนพุ ันธ์ได้ F(x)   3(22x) 5  x4  3x  5 คือฟังกช์ นั f(x) เชน่ กนั

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งของอนุพันธ์ และการอินทเิ กรต การอินทเิ กรต หมายถึงการกระทํายอ้ นกลับของการหาอนพุ ันธ์

ความสัมพันธ์ระหว่างของการอินทเิ กรต และอนุพนั ธ์ รายได้, ราคา, กาํ ไร Differentiation ตน้ ทุน เสน้ โค้ง Integration ความชนั ระยะทาง ความเร็ว อัตราการเปลยี่ นแปลง ปริมาณใดๆ

นิยามของการอินทิเกรต กาํ หนดฟังกช์ นั f(x) ดังน้ัน ปฏิยานุพันธ์ (anti derivative) ของ f(x) คอื ฟังกช์ นั F(x) เมื่อ F(x)  f(x) ถ้า F(x) เปน็ ปฏิยานุพันธข์ องฟังกช์ นั f(x) ใดๆ ดังนั้น จะเรยี ก ปฏยิ านุพันธ์ของฟังก์ชนั f(x) ว่า อนิ ทกิ รัลไม่จาํ กัดเขต (indefinite integral) และเขียนแทนดงั นี้  f(x)dx  F(x)  c เมอื่ c R

สัญลักษณ์ของการอินทเิ กรต 2 1  f (x)dx 3 1 สัญลักษณ์ หมายถึงเคร่อื งหมายอนิ ทกิ รัล 2 ฟงั กช์ นั f(x) หมายถึงตัวถูกอนิ ทิเกรต 3 และ dx หมายถงึ ดิฟเฟอเรนเชยี ลของ x โดยที่ x เปน็ ตัวแปรของการอนิ ทเิ กรต

อนิ ทิกรลั ไมจ่ าํ กัดเขต

คุณสมบัติของการอินทเิ กรต 1. kf(x)dx  k  f(x)dx 2.   f(x)dx   f(x)dx 3.  f(x)  g(x) dx   f(x)dx  g(x)dx

สูตรการอินทเิ กรตฟงั กช์ นั พน้ื ฐาน 1. k dx  kx  c 2. un du  unn11  c 3.  u1 du  n | u | c 4  eu du  eu  c 5.  au du  au c na

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาอนิ ทกิ รลั ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 2.   5 dt  4.  10t dt  1. 100 dx  6.   2x dt  8.    23t dt  3.   dx  5.   x6 dx  7.  x13 dx 

ตวั อย่างที่ 1 จงหาอินทิกรัลในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 13.  x dx  14.  4 16x3 dx  9.  e dx  10.  e2 dx  11.  2et dt  12.  3x dx 

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาอินทกิ รัลในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 2.1 (12x2  4x  5) dx 2.2 (2x  4)2 dx

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาอนิ ทิกรลั ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 2.3 (71x  3x  53 x2 ) dx 2.4  ( 4x 3  3x2  x  1) dx x2

อนิ ทิกรลั จาํ กดั เขต

อนิ ทกิ รัลจาํ กัดเขต (Definite Integral) • เมื่อฟังก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนือ่ งบนช่วง [a, b] และ F(x) แทน ปฏิยานพุ นั ธ์ (anti derivative) ของ f(x) ดงั น้ัน อินทกิ รลั จาํ กัดเขตของฟงั ก์ชัน f(x) จาก a ถงึ b กําหนดดงั น้ี b a f(x) dx  F(b)  F(a)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาคา่ ของ 4 ( 31 x  21  3x 2 ) dx 2

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ ของ 01(2e2x  ex )ex dx

อนิ ทิเกรตโดย การแทนคา่ ตัวแปร

อนิ ทเิ กรตโดยการแทนค่าดว้ ยตวั แปร (Integration by Substitution) แนวทางท่ี 1 กําหนดตัวแปรใหม่ คือ u แลว้ หา du นาํ ไปแทนคา่ หลงั จากนั้น หาอนิ ทิกรลั เทียบกบั ตัวแปร u  เชน่  (x  5)9dx แนวทางท่ี 2 กาํ หนดตวั แปรใหม่ คือ u แล้วเปลี่ยน dx เป็น du หลงั จากน้นั หารดว้ ยอนุพันธ์ของ u และ กาํ จัดสว่ นเกินเพือ่ ทําการอนิ ทิเกรตตามสูตรนน้ั ๆ เชน่  (x  5)9dx

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาคา่ อนิ ทิกรลั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ un du  unn11  c 5.1  ( x  4)3 dx 

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาคา่ อินทกิ รลั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้  u ndu  unn11  c , n  1 5.2  2x  1 dx

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาคา่ อนิ ทกิ รลั ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้  u ndu  unn11  c , n  1 5.3  x(2x 2  6)3dx

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาค่าอนิ ทิกรลั ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี  eu du  eu  c 5.4   xe3x2 2dx

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาค่าอินทกิ รลั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 5.5  3x 1dx  u1 du  n | u | c 4x2 

อนิ ทิเกรตของ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

สตู รการอินทเิ กรตของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ อินทิกรัลในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 6.1 cos(3) d

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาค่าอนิ ทกิ รัลในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 6.2  sec(3x)tan(3x) dx

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาค่าอินทกิ รัลในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 6.3  sin(xnx) dx

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาคา่ อินทกิ รัลในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 6.4  xsec2(x2 1)dx

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาคา่ อินทกิ รลั ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้  u ndu  unn11  c , n  1 6.5 cos2 xsinx dx

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาค่าอนิ ทิกรัลในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 6.6 (2  tanx)2 dx

เทคนคิ การอินทิเกรต

อินทเิ กรตทีละสว่ น d (uv)  u dv  v du . dx dx dx อนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น มาจากอนุพนั ธผ์ ลคูณ

อนิ ทิเกรตทีละสว่ น โดยใชส้ ตู ร จากสูตร  udv  uv   vdu เลือก u ที่หา เลือก dv ท่ี อนุพันธไ์ ดง้ ่าย อินทิเกรตได้งา่ ย จะได้ du จะได้ v

อนิ ทเิ กรตทลี ะส่วน โดยใชต้ ารางการอนิ ทิเกรต (Tabular Integration) ตารางการอินทเิ กรตทลี ะสว่ น (Tabular Integration by Parts Method : TIBP) TBIP ใช้สําหรับการอินทเิ กรตในรปู ผลคูณของฟังกช์ นั โดยกําหนดฟังก์ชนั ให้อยใู่ นรูปของตาราง ทมี่ ี 2 คอลัมน์ เพือ่ ทําการหาอนุพนั ธ์และอินทกิ รลั พรอ้ มกาํ หนดเครอ่ื งหมายบวกและลบ ตามลาํ ดับ แบ่งเปน็ 2 กรณี ดงั ต่อไปนี้ 1. กรณีหาอนุพนั ธ์ของ u จนกระท่ังมคี ่าเปน็ 0 2. กรณหี าอนุพนั ธข์ อง u ไปเรื่อยๆแลว้ ไมเ่ ป็น 0 หาอนุพนั ธข์ อง u หาอนิ ทิกรลั ของ v หาอนพุ นั ธข์ อง u หาอินทิกรลั ของ v

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาค่าอินทกิ รัลในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ ใชต้ ารางการอินทเิ กรต 7.1  x cos(x)dx ใชส้ ูตร  udv  uv   vdu

ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าอินทกิ รัลในแต่ละข้อต่อไปนี้ 7.2  x2exdx ใช้ตารางการอินทเิ กรต

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาค่าอินทิกรัลในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 8.1  x3 cos x dx ใช้ตารางการอินทิเกรต

ตัวอย่างที่ 8 จงหาคา่ อินทิกรัลในแต่ละข้อต่อไปนี้ 8.2  x3e2x dx ใช้ตารางการอินทิเกรต

การประยกุ ต์ของ การอินทิเกรต

การหาพื้นท่รี ะหวา่ งเสน้ โค้ง

การหาพ้นื ท่ีภายใตเ้ สน้ โคง้ แบบท่ี 2 กราฟ f(x) อยใู่ ต้แกน x 1. การหาพืน้ ที่ของกราฟ f(x) กบั แกน x b แบบที่ 1 กราฟ f(x) อยู่เหนอื แกน x พื้นที่ A   f (x)dx b a พ้ืนท่ี A   f (x)dx a

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาพ้นื ที่ภายใตเ้ ส้นโคง้ y  2x2  3 กับแกน x จาก x = -1 ถึง x = 3

ตวั อยา่ งที่ 10 จากรปู จงหาพื้นท่สี ่วนที่แรเงา

ตวั อยา่ งความหมายของพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ของฟงั กช์ ันตา่ งๆ www.themegallery.com

ตัวอย่างท่ี 11 ถา้ วตั ถชุ ิ้นหน่งึ เคล่ือนที่ดว้ ยความเร็ว V(t) ซง่ึ มีสมการ คอื V(t)  2t2  5t  4 เมตรตอ่ วินาท2ี จงหา (1) ฟงั ก์ชันของระยะทางที่เคลอ่ื นที่ได้ (2) ระยะทางทเี่ คลือ่ นทไ่ี ด้ในช่วงวินาทที ี่ 2 ถึงวนิ าทที ี่ 6

การหาพนื้ ที่ภายใตเ้ ส้นโค้ง แบบท่ี 2 กราฟ g(y) อยู่ดา้ นซ้ายของแกน y 2. การหาพ้นื ท่ีของกราฟ g(y) กบั แกน y d แบบท่ี 1 กราฟ g(y) อยดู่ ้านขวาของแกน y พน้ื ที่ A   g(y)dy d c พนื้ ท่ี A   g(y)dy c