บทที่2 อัตราส่วน สัดส่วน ร้อยละ_ครั้งที่ 1

บทที 2 อัตราส่วน สัดส่วน และร้อยละ Ratio Proportion and Percent ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี LOGO ภาควิชาคณิตศาสตรแ์ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั รงั สติ

อัตราส่วน (Ratio)  อตั ราสว่ นเป็นวธิ ีทีแสดงถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าณ 2 ปรมิ าณ  เขียนแทนดว้ ยเครอื งหมาย “ : “ หรอื เขียนในรูปเศษสว่ น  เชน่ ถา้ ตอ้ งการแสดงถงึ อตั ราสว่ นระหวา่ งปรมิ าณ A ตอ่ ปรมิ าณ B สามารถเขียนแทนดว้ ย A B A : B หรอื

ข้อสังเกตเกยี วกับหน่วย ถา้ 2 ปรมิ าณ หน่วยเหมือนกนั ==> ไมต่ อ้ งระบหุ นว่ ย  อตั ราสว่ นของนกั ศกึ ษาชาย : นกั ศกึ ษาหญิง คือ 15 : 35 ถา้ 2 ปรมิ าณ หนว่ ยตา่ งกนั ==> ตอ้ งระบหุ น่วย เขียนได้ 2 แบบ  อตั ราสว่ นของจาํ นวนหนงั สือ : ราคา คือ 1 เลม่ : 10 บาท หรอื 1 เล่ม 10 บาท  อตั ราสว่ นของระยะทางจากเมือง A ไปเมือง B : ระยะทางจากเมือง C ไปเมือง D คือ 1 ชวั โมง : 45 นาที หรอื 60 : 45

อัตราส่วนอยา่ งตาํ  อตั ราสว่ นของนกั ศกึ ษาชาย ตอ่ นกั ศกึ ษาหญิง คือ 15 : 25 หรอื 15 25 ซงึ สามารถเขียนเป็นอตั ราสว่ นอยา่ งตาํ ไดเ้ ป็น 3 5 Note: เมือทาํ ใหอ้ ยใู่ นรูปอตั ราสว่ นอยา่ งตาํ แลว้ จะไมส่ ือถงึ คา่ ทีแทจ้ รงิ

อัตราส่วนตอ่ เนือง  อตั ราสว่ นตอ่ เนือง หรอื อตั ราสว่ นของจาํ นวนหลายจาํ นวน เป็นอตั ราสว่ นที แสดงการเปรยี บเทียบปรมิ าณตงั แต่ 3 ปรมิ าณขนึ ไป เขียนอยใู่ นรูป a : b : c  กลว้ ยนาํ วา้ หา่ ม 1 หวี แปง้ ขา้ วเจา้ : แปง้ สาลี คือ 1 : 1/4  แปง้ ขา้ วเจา้ 1 ถว้ ย แปง้ สาลี : หวั กะทิ คือ 1/4 : 1/2  แปง้ สาลี 1/4 ถว้ ย  เกลือ 1/2 ชอ้ นชา แปง้ ขา้ วเจา้ : แปง้ สาลี : หวั กะทิ คือ 1 : 1/4 : 1/2  ผงฟู 1 ชอ้ นชา  งาขาวควั (ปรมิ าณตามความชอบ)  มะพรา้ วขดู ขาว 1/2 ถว้ ย  นาํ ตาลปีบ 1/2 ถว้ ยตวง  หวั กะทิ 1/2 ถว้ ย  นาํ ปนู ใส 1/4 ถว้ ย  ใบเตย 3-5 ใบ

หลักการเขยี นอัตราส่วนต่อเนือง  1. ถา้ ปรมิ าณหลงั ของอตั ราสว่ นชดุ ทีหนงึ เทา่ กบั ปรมิ าณแรกของอตั ราสว่ นชดุ ทีสอง เชน่ a : b และ b : c เมืออตั ราสว่ นทงั สองมีคา่ b เทา่ กนั แลว้ สามารถเขียนอตั ราสว่ นตอ่ เนืองไดเ้ ป็น a:b:c  2. ถา้ ปรมิ าณหลงั ของอตั ราสว่ นชดุ ทีหนงึ ไมเ่ ทา่ กบั ปรมิ าณแรกของอตั ราสว่ นชดุ ที สองตอ้ งทาํ ทงั สองปรมิ าณนีใหเ้ ทา่ กนั ก่อนจงึ สามารถเขียนอตั ราสว่ นตอ่ เนืองได้ เชน่ a : b และ c : d โดยที b  c ดงั นนั ตอ้ งทาํ ให้ b = c ก่อน จงึ สามารถ เขียนอตั ราสว่ นตอ่ เนืองได้

อัตราส่วนทใี ช้คาํ อนื เรียกทแี ตกต่างกัน  อตั รา(Rate) คือ ลกั ษณะของอตั ราสว่ นทีเปรยี บความสมั พนั ธข์ องขอ้ มลู ชนิดหนงึ ตอ่ หนงึ หน่วยของขอ้ มลู ชนิดหนงึ  เปรยี บเทียบระยะทางกบั หนงึ หน่วยของเวลา เรยี กวา่ อตั ราความเรว็  เปรยี บเทียบรายไดข้ องประชากรตอ่ เวลาหนงึ เดือน เรยี กวา่ อตั ราเงินเดือน 200 เมตร B ใชเ้ วลา 20 วนิ าที A

อัตราส่วนทใี ช้คาํ อนื เรียกทแี ตกต่างกัน  มาตราส่วน ก็คืออตั ราสว่ นทีเกียวขอ้ งกบั ความยาว เพือแสดงการเปรยี บเทียบ ระหวา่ งระยะทางในแผนที หรอื แผนผงั กบั ระยะทางจรงิ ซงึ อาจจะเป็นการยอ่ หรอื การขยาย อาจมีหนว่ ยเดียวกนั หรอื หนว่ ยตา่ งกนั ก็ได้  อัตราทด เป็นอตั ราสว่ นของความเรว็ รอบของลอ้ ขบั (เฟื องขบั ) ตอ่ ความเรว็ รอบ ของลอ้ ตาม (เฟื องตาม)

อัตราส่วนทใี ช้คาํ อนื เรียกทแี ตกตา่ งกัน  ในทางการแพทย์ มีหลายสงิ ทีนิยมแสดงในรูปของอตั ราสว่ น เชน่ ปริมาณยา แสดงความสัมพนั ธ์ นาํ หนักหรือตวั ยา (Weight, strength) ปริมาตรของยา (Volume of Medication) ปริมาณยา แสดงความสัมพนั ธ์ Strength 10 mg Volume 5 mL

ตวั อย่างที 1 จงเขยี นปริมาณในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีในรูปอัตราส่วน 1.1 ถา้ ราคาทองคาํ แท่ง ราคาขายบาทละ 24,600 บาท (ทองคาํ 1 บาทหนัก 15.2 กรมั ) ดงั นัน้ อตั ราส่วนของราคาทองคาํ ต่อน้ําหนัก คือ 1.2 ยาพาราเซตามอล 1 เมด็ มีปริมาณยา 500 มิลลิกรมั ดงั นัน้ อตั ราส่วนของปริมาณยาต่อเมด็ คือ 1.3 ข้อมลู จากสาํ นักนโยบายและยทุ ธศาสตร์ ระบวุ ่า ปี 2560 ประเทศไทย มีแพทย์ 1 คนต่อประชากรประมาณ 1,843 คน ดงั นัน้ อตั ราส่วนของจาํ นวนประชากรต่อแพทย์ คือ

ตวั อย่างที 1 จงเขยี นปริมาณในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีในรูปอัตราส่วน 1.4 จากข้อมลู การรบั นักเรียนเพ่ือเรียนต่อในระดบั อดุ มศึกษา รอบ 4 ปี การศึกษา 2561 พบว่า คณะแพทยศ์ าสตร์ มหาวิทยาลยั แห่งหนึ่งมีอตั ราการแข่งขนั สงู ท่ีสดุ กล่าวคือ ต่อผสู้ มคั รทกุ ๆ 110 คน จะรบั ได้เพียง 1 คน ดงั นัน้ อตั ราส่วนของจาํ นวนผสู้ มคั รต่อจาํ นวนท่ีรบั ได้ คือ อตั ราส่วนของจาํ นวนผสู้ มคั รต่อจาํ นวนที่รบั ไมไ่ ด้ คือ อตั ราส่วนของจาํ นวนท่ีรบั ได้ต่อจาํ นวนท่ีรบั ไมไ่ ด้ คือ

ตวั อย่างท่ี 2 ถ้าผสู้ อนระบอุ ตั ราส่วนของจาํ นวนนักศึกษาท่ีสอบผา่ น ต่อ จาํ นวนนักศึกษาที่สอบไม่ผา่ น เป็น 7 : 2 จงหาคาํ ตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ 2.1 อตั ราส่วนของจาํ นวนนักศึกษาท่ีสอบไมผ่ า่ น ต่อ จาํ นวนนักศึกษาทงั้ หมด 2.2 ถ้าในวิชาหนึ่งมีนักศึกษาเรียน 180 คน ดงั นัน้ จาํ นวนนักศึกษาท่ีไมผ่ า่ นมีกี่คน

ตวั อย่างท่ี 3 จงเปลียนอัตราส่วนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีใหเ้ ป็ น อัตราส่วนอย่างตาํ 3.1 24 : 36 3.2 35 : 49 3.3 6 min : 30 sec

ตวั อย่างท่ี 4 กาํ หนดให้ a : b = 4 : 5 , b : c = 5 : 6 และ c : d = 1 : 2 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.1 a : b : c : d 4.2 a : d

ตวั อย่างท่ี 4 กาํ หนดให้ a : b = 4 : 5 , b : c = 5 : 6 และ c : d = 1 : 2 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.3 อตั ราส่วนของ b : ปริมาณทงั้ หมด 4.4 ถ้าปริมาณ a เพิ่มเป็น 3 เท่า ดงั นัน้ จะเขียนอตั ราส่วน a : b : c : d ได้อย่างไร

สัดส่วน (Proportion)  สดั ส่วน คือ อตั ราส่วน 2 อตั ราส่วนที่นํามาเขียนเปรียบเทียบความสมั พนั ธ์ กนั ในรปู ของสมการ เช่น = ดงั นัน้ หากมีบางตาํ แหน่งท่ีไม่ทราบค่า สามารถใช้การแก้สมการเพ่ือหาคาํ ตอบ ได้ เช่น = = =1

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาค่าของตวั แปร x ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 5.1 = 5.2 / =

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาค่าของตวั แปร x ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 5.3 . = . 5.4 =

ตวั อย่างที่ 6 ถ้าอัตราส่วนของความสูงของคน ตอ่ ระยะจากสะดอื ถงึ พนื ของคนๆเดยี วกัน เป็ นไปตามอัตราส่วนทองคาํ (Golden Ratio) คอื มคี ่า ประมาณ 1 5 ดงั นัน ถา้ วัดความสูงของคนๆหนึงได้ 180 เซนตเิ มตร แล้ว ระยะจาก2สะดอื ถงึ พนื ของคนๆนัน จะมคี ่าเทา่ กับเทา่ ไหร่

ชนิดของสัดส่วน  สัดส่วนตรง (Direct Proportion) สดั สว่ นทีแสดงการเปรยี บเทียบอตั ราสว่ นสองอตั ราสว่ นทีมีความสมั พนั ธ์ ใน ทศิ ทางเดียวกนั เชน่ หนงั สอื 1 เลม่ ราคา 10 บาท = หนงั สอื 4 เลม่ ราคา 40 บาท สามารถเขียนสดั สว่ นตรงได้ ดงั นี

สมบตั ขิ องสัดส่วนตรง เมือ a , b , c และ d ตอ้ งไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ จะไดว้ า่ a : b และ c : d เป็นสดั สว่ นตรง ก็ตอ่ เมือ 1 a:b=c:d 2= 3 ad = bc

ชนิดของสัดส่วน  สัดส่วนผกผัน (Inverse Proportion) สดั สว่ นทีแสดงการเปรยี บเทียบอตั ราสว่ นสองอตั ราสว่ นทีมีความสมั พนั ธไ์ ปใน ทิศทางตรงกนั ขา้ ม เชน่ ชา่ งก่อสรา้ ง 10 คน เทพืนปนู เสรจ็ ภายในเวลา 4 วนั ชา่ งก่อสรา้ ง 20 คน เทพืนปนู แบบเดียวกนั เสรจ็ ภายในเวลา 2 วนั สามารถเขียนสดั สว่ นผกผนั ได้ ดงั นี =

สมบตั ขิ องสัดส่วนผกผัน เมือ a , b , c และ d ตอ้ งไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ จะไดว้ า่ a : b และ c : d เป็นสดั สว่ นผกผนั ก็ตอ่ เมือ 1 a:c=d:b 2= 3 ab = cd

การแก้โจทยป์ ัญหาเกยี วกับสัดส่วน 1 สมมติตวั แปรแทนจาํ นวนที่ต้องการ 2 พิจารณาว่าโจทยป์ ัญหานี้เป็นสดั ส่วนตรงหรือสดั ส่วนผกผนั 3 เขียนสดั ส่วนแสดงการเท่ากนั ของอตั ราส่วนท่ีกาํ หนดให้สอง อตั ราส่วน โดยให้ลาํ ดบั ของสิ่งท่ีเปรียบเทียบกนั ในแต่ละอตั ราส่วน เป็นลาํ ดบั เดียวกนั 4 หาค่าตวั แปรที่ต้องการ โดยใช้สมบตั ิของสดั ส่วน

ตวั อย่างท่ี 7 ในการทานยาชนิดหนึง แพทยร์ ะบุใหท้ านครังละ 60 มลิ ลิกรัม ถ้ายาทแี พทยส์ ังใหเ้ ป็ นยาเมด็ ทมี ขี นาด 40 มลิ ลกิ รัม ตอ่ เมด็ จงหาว่า ผู้ป่ วย คนนีจะตอ้ งทานยาครังละกเี มด็

ตวั อย่างท่ี 8 ในการผสมเครืองดมื นมเยน็ อัตราส่วนของปริมาณนมตอ่ ปริมาณนาํ แดงเทา่ กับ 2  1 ดงั นันถา้ ใช้นาํ แดง 15 ลติ ร จะตอ้ งใช้นมกลี ติ ร

ตวั อย่างท่ี 9 ถา้ โลหะชนิ หนึงยาว 12 ฟุต และมนี าํ หนัก 130 ปอนด์ จงหา นาํ หนักของโลหะทมี ลี ักษณะแบบเดยี วกันแตม่ คี วามยาว 2 ฟุต 8 นิว

ตวั อย่างที่ 10 ถา้ หมูทดลองทเี ลยี งไว้จาํ นวน 60 ตวั กนิ อาหารทเี ตรียมไว้ จาํ นวนหนึงหมดภายในเวลา 30 วัน ดงั นันถ้าอาหารนีหมด ภายในเวลา 10 วัน แสดงว่าเลียงหมูทดลองกตี วั

ร้อยละ (Percent)  ร้อยละ คือ อตั ราส่วนท่ีมีตวั ส่วนเป็น 100 หรือ การเทียบปริมาณใดปริมาณ หนึ่ง กบั 100 นิยมเรียกว่า เปอรเ์ ซน็ ต์ เขียนแทนด้วยเครอื่ งหมาย % เช่น ร้อยละ 20 หรือ 20 เปอรเ์ ซน็ ต์ ซึ่งเขียนแทนด้วย 20% หมายถึง 20 ส่วนใน100 ส่วน หรอื เขียนเป็นอตั ราส่วนได้เป็น 20 : 100

การเปลยี นอัตราส่วนใหเ้ ป็ นร้อยละ  เป็นการปรบั ให้อตั ราส่วนนัน้ มีตวั ส่วนเป็น 100 เช่น ต้องการ 1 เปล่ียนให้เป็นรอ้ ยละ สามารถเขียนในรปู ของสดั ส่วน ดงั นี้ 2 = = = 50  ดงั นัน้ 1 มีค่าเท่ากบั ร้อยละ 50 หรอื 50% 2

ตวั อย่างที่ 11 จงเปลยี นอัตราส่วนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีใหอ้ ยู่ในรูปร้อยละ 11.1 1 มีค่าเท่ากบั รอ้ ยละเท่าใด 4 11.2 6 มีค่าเท่ากบั ร้อ ยล ะเท่าใด 15

ตวั อย่างที่ 11 จงเปลียนอัตราส่วนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีใหอ้ ยู่ในรูปร้อยละ 11.3 60 มีค่าเท่ากบั ร้อยละเท่าใด 200 11.4 9 : 11 มีค่าเท่ากบั ร้อยละเท่าใด

การเปลียนร้อยละใหเ้ ป็ นอัตราส่วน  การเปลี่ยนรอ้ ยละให้เป็นอตั ราส่วนมีแนวทาง ดงั นี้ 1 เขียนร้อยละ หรือ เปอรเ์ ซน็ ต์ ให้อย่ใู นรปู เศษส่วนท่ีมีตวั ส่วนเป็น 100 2 ทาํ ให้เป็นอตั ราส่วนอย่างตา่ํ (ถา้ ตวั เศษเป็นทศนิยม ควรทาํ ให้ตวั เศษเป็นจาํ นวนเตม็ ก่อนทาํ ให้เป็นอตั ราส่วนอย่างตา่ํ )  เช่น จงเปลี่ยนร้อยละ 30 ให้อย่ใู นรปู อตั ราส่วน ขนั้ ท่ี 1 : รอ้ ยละ 30 = = ขนั้ ที่ 2 : ทาํ ใหเ้ ป็นอตั ราสว่ นอยา่ งต่าํ จะได้  ดงั นัน้ รอ้ ยละ 30 เขียนเป็นอตั ราส่วนได้เป็น 3 หรือ 3 : 10 10

ตวั อย่างที่ 12 จงเปลียนร้อยละในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีใหอ้ ย่ใู นรูปอัตราส่วน 12.1 0.08% 12.2 16.42% 12.3 4 %

ข้อควรระวัง 1 การระบเุ ก่ียวกบั ร้อยละ ควรระบวุ ่าเป็นร้อยละของจาํ นวนใด เพราะรอ้ ยละที่เท่ากนั ของจาํ นวนท่ีต่างกนั มีค่าไมเ่ ท่ากนั เช่น  เช่น ร้อยละ 20 ของ 80 จะมีค่าเท่ากบั x 80 = 16 รอ้ ยละ 20 ของ 120 จะมีค่าเท่ากบั x 120 = 24 2 ในทางกลบั กนั รอ้ ยละที่ไม่เท่ากนั ของจาํ นวนที่ไม่เท่ากนั อาจมีค่าเท่ากนั  เช่น ร้อยละ 20 ของ 80 จะมีค่าเท่ากบั x 80 = 16 รอ้ ยละ 10 ของ 160 จะมีค่าเท่ากบั x 160 = 16

การหาคาํ ตอบทเี กยี วข้องกับร้อยละ โจทยป์ ัญหาท่ีเกี่ยวข้องกบั รอ้ ยละ จะมีอยู่ 3 ลกั ษณะ คือ 1 ร้อยละ 20 ของ 80 มีค่าเท่าใด ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดงั นี้ = หรือ ������ = 80 = 16 จะได้ x = 16 แสดงว่า รอ้ ยละ 20 ของ 80 มีค่าเท่ากบั 16 2 16 เป็นร้อยละเท่าไหร่ของ 80 ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดงั นี้ = หรือ 16 = 80 จะได้ x = 20% แสดงว่า 16 เป็นร้อยละ 20 ของ 80 3 16 คิดเป็นร้อยละ 20 ของจาํ นวนใด ซ่ึงสามารถเขียนเป็นสมการได้ดงั นี้ = หรือ 16 = ������ จะได้ x = 80 แสดงว่า 16 คิดเป็นรอ้ ยละ 20 ของจาํ นวน 80

ตวั อย่างท่ี 13 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 13.1 ร้อยละ 3 ของ 20 มีค่าเท่ากบั 13.2 9.6 คิดเป็นร้อยละเท่าไหร่ของ 32 13.3 12 คิดเป็น 10% ของจาํ นวนใด

ตวั อย่างที่ 13 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 13.4 0.1% ของ 54 มีค่าเท่ากบั เท่าใด 13.5 7 คิดเป็นรอ้ ยละ 41 ของจาํ นวนใด

ตวั อย่างท่ี 13 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 13.6 20% ของ 10% ของ 5% ของ 1,000,000 มีค่าเท่าใด 13.7 100% – (60%  70%) มีค่าเท่าใด

ตวั อย่างท่ี 13 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 13.8 สารละลายเกลือความเข้มข้น 3% (หน่วย : g/mL) ปริมาตร 750 มิลลิลิตร จะ มีปริมาณเกลือในสารละลายดงั กล่าวก่ีกรมั

ตวั อย่างท่ี 13 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 13.9 ในเลือดประกอบด้วยส่วนท่ีเป็นของเหลว ที่เรียกว่า นํ้าเลือดหรือพลาสมา (Plasma) ประมาณ 55 เปอรเ์ ซน็ ต์ ที่เหลือเป็นของแขง็ นัน่ กค็ ือเซลลเ์ มด็ เลือดและ เกลด็ เลือด ถา้ โดยทวั่ ไปร่างกายของผใู้ หญ่ปกติจะประกอบด้วยเลือดประมาณ 5 ลิตร ดงั นัน้ จะมีนํ้าเลือดเท่าใด