บทที่10SequenceandSeries

ลาํ ดบั และอนุกรม Sequence and Series บรรยายโดย ผศ.ศริ ิวรรณ วาสุกรี

10.1 ลาํ ดบั (Sequence) ลาํ ดบั เป็นชุดของจาํ นวนซ่ึงมีการเรียงลาํ ดบั แบบมีระบบ เช่น 1, 3, 5, 7, ... หรือ 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16  ตวั เลขแต่ละตวั เรียกวา่ พจน์หรือเทอม (term)  และสามารถเขียนลาํ ดบั n พจนใ์ นรูปทวั่ ไปไดด้ งั น้ี a1 , a2 , a3 , …, an โดยท่ี an แทน เทอมท่ี n (เมื่อ n  I+) หรือเรียกวา่ เป็น พจน์ทั่วไป หรือเทอมทั่วไป (general term)

10.1 ลาํ ดบั (Sequence) ลาํ ดบั แบ่งออกเป็ น 2 ชนิด คือ (1) ลาํ ดบั จาํ กดั (Finite sequence) ถา้ โดเมนของฟังกช์ นั f = { 1 , 2 , 3 , … , n } แลว้ จะเรยี ก f วา่ ลาํ ดบั จาํ กดั (Finite Sequence) เขียนแทนดว้ ย f(1) , f(2) , f(3) , … , f(n) เรานิยมใช้ an แทน f(n) ดงั น้นั ลาํ ดบั จาํ กดั คือ a1 , a2 , a3 , … , an

10.1 ลาํ ดบั (Sequence) (2) ลาํ ดบั อนันต์ (Infinite sequence) ถา้ โดเมนของฟังกช์ นั f = { 1 , 2 , 3 , … , n , … } เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ บวก แลว้ จะเรยี ก f วา่ ลาํ ดบั อนนั ต์ (Infinite Sequence) เขียนแทนดว้ ย f(1) , f(2) , f(3) , … , f(n) , f(n+1) , … อาจเขียนยอ่ ๆเป็น {f(n)} หรือ a1 , a2 , a3 , … , an , an+1 , … อาจเขียนยอ่ ๆเป็น {an} เรยี น an วา่ เทอมทวั ๆไป หรอื เทอมที n ของลาํ ดบั

ตวั อยา่ งลาํ ดบั อนนั ต์  n 1 หรือ 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , n 1 , . . .

ตวั อยา่ งลาํ ดบั อนนั ต์  1n  หรือ 1 , 12 , 13 , 14 , . . . , 1n , . . .

ตวั อยา่ งลาํ ดบั อนนั ต์  (1)n1n! หรือ 1! ,  2! , 3! ,  4! , . . . , (1)n1 n! , . . .

การหาพจน์ (เทอม) ที่ n • คือ การหาพจนท์ ่ีเป็นตวั แทนของลาํ ดบั โดยจะเรียกวา่ พจนท์ ี่ n หรือพจนท์ ว่ั ไป หรือเทอมทวั่ ไป • สญั ลกั ษณ์ คือ an

ตวั อยา่ งท่ี 10.1.1 กาํ หนดลาํ ดบั อนนั ต์ คือ 2 , 4 , 6 , 8 , … จงหาเทอมที่ n จะเห็นไดว้ า่ a1 = 2  a1 = 2(1) a2 = 4  a2 = 2(2) a3 = 6  a3 = 2(3) a4 = 8  a4 = 2(4)  ดงั น้นั an = 2n เม่ือ n = 1, 2, 3, …

ตวั อยา่ งท่ี 10.1.2 กาํ หนดลาํ ดบั อนนั ตค์ ือ 1 , 3 , 5 , 7 , … จงหา an จะเห็นไดว้ า่ a1 = 1  a1 = 2(1) – 1 a2 = 3  a2 = 2(2) – 1 a3 = 5  a3 = 2(3) – 1 a4 = 7  a4 = 2(4) – 1  ดงั น้นั an = 2n – 1 เม่ือ n = 1, 2, 3, …

ตวั อยา่ งท่ี 10.1.3 กาํ หนดลาํ ดบั อนนั ตค์ ือ 12 , 23 , 43 , . . . จงหา an ตวั เศษ 1, 2, 3,…, n ,… ตวั ส่วน 2, 3, 4,…, n+1,… ดงั น้นั 1 , 2 , 3 , ... , n n 1 , ... 2 3 4  แสดงวา่ an  n เมื่อ n = 1, 2, 3, … n 1

การลู่เข้า และไม่ลู่เข้า (Convergent and Divergent) บทนิยาม 10.1.1 ให้ {an} เป็นลาํ ดบั อนนั ต์  ลาํ ดบั an เป็นลาํ ดบั ลู่เข้า (Convergent Sequence) ถา้ มีจาํ นวน L ท่ี ทาํ ให้ เรียก L ว่าลมิ ติ ของลาํ ดบั lim an  L n  ถา้ ไม่มีจาํ นวน L ที่มีคุณสมบตั ิดงั กล่าว เราเรียก {an} วา่ เป็นลาํ ดบั ไม่ลู่เข้า (Divergent Sequence) หมายเหตุ บทนิยามของ lim a n  L มีลกั ษะเช่นเดียวกบั บทนิยาม ของ lim f (x)  L n x

บทแทรก 10.1.2 จากกฎโลปิ ตาล จะไดค้ ่าของลิมิตท่ีน่าสนใจ ดงั น้ี 1. lim n n  1 n 1 2. lim x n  1 , x  0 n 3. lim x n  0 , | x | 1 n 4. lim 1  x n  ex , x  n  n 5. lim xn  0 , x n! n จาก (2) – (5) x คงท่ี เมื่อ x

จากกฎของโลปิ ตาล สามารถหาค่าลิมิตของลาํ ดบั ได้ พิจารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 10.1.4 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 1.  n2   1  n2  วธิ ีทาํ ใชก้ ฎของโลปิ ตาลหาค่าลิมิตดงั น้ี lim n2  n2 1 n

ตวั อย่าง 10.1.4 จงพิจารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 2. 4  2n3 1   n3  วธิ ีทาํ lim  4  2n3  1   n n 3

ตวั อย่าง 10.1.4 จงพิจารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 3.  2n     n  1  วธิ ีทาํ lim 2n  n 1 n

ตวั อย่าง 10.1.4 จงพิจารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 4. {1  (1)n } วธิ ีทาํ เนื่องจาก {1 (1)n }  0 , 2 , 0 , 2 , ...

ตวั อย่าง 10.1.5 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 1. {n 10n } วธิ ีทาํ 1 lim n 10n  lim (10n) n n n 11  lim (10n  n n ) n 11  lim 10n  lim n n n n  11  1 ดงั น้นั {n 10n } เป็นลาํ ดบั ลู่เขา้

ตวั อย่าง 10.1.5 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 2. {3  (0.1)n } วธิ ีทาํ lim (3  (0.1)n )  n

ตวั อย่าง 10.1.5 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 3.  n  2 n  n    วธิ ีทาํ lim  n  2 n   n  n

ตวั อย่าง 10.1.5 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 4. (10)n   n!  วธิ ีทาํ lim (10)n n n!

ตวั อย่าง 10.1.6 จงพิจารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 1. { n2  n 1  n} ขออนุญาตไม่สอน (ไม่ออกสอบ) วธิ ีทาํ lim ( n2  n 1  n)  lim ( n2  n 1  n) ( n2  n 1  n) n n n2  n 1  n  lim n2  n 1  n2  lim n 1 n n2  n 1  n n n2  n 1  n  lim 1 1 1 0 1 n 100 1 2 n   1 1 1 n  n2 1 ดงั น้นั { n2  n 1  n} เป็ นลาํ ดบั ลู่เขา้

ตวั อย่าง 10.1.6 จงพจิ ารณาวา่ ลาํ ดบั ต่อไปน้ีเป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 2. 2n  n     3n  n  วธิ ีทาํ 2n  n 2n  n 3n  n n n lim  lim 3n n n n n n   lim  2 n 1  0 1  1    1 0 1 n  3 n   ดงั น้นั 2n  n  เป็นลาํ ดบั ลู่เขา้    3n  n 

10.2 1อ0น.2ุกรอมนุก(Sรeมrie(Ss)eries) • อนุกรม (Series) เป็นผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ในลาํ ดบั เช่น ลาํ ดบั {an} = a1 , a2 , a3 , …, an , … • จะไดอ้ นุกรมของลาํ ดบั คือ a1 + a2 + a3 + … + an + …

10.2 1อ0น.2ุกรอมนุก(Sรeมrie(Ss)eries) อนุกรมแบ่งออกเป็ น 2 ประเภท คือ (1) อนุกรมจาํ กดั (Finite series) คือ ผลบวกของแต่ละเทอมของลาํ ดบั จาํ กดั เช่น จาก 2 , 22 , 23 , . . . , 26 เป็นลาํ ดบั จาํ กดั จะได้ 2  22  23  . . .  26 6 เป็นอนุกรมจาํ กดั เขียนแทนดว้ ย 2n n1 จาก 1 , 3 , 5 , 7 , … , 19 เป็นลาํ ดบั จาํ กดั 10 จะได้ 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 เป็นอนุกรมจาํ กดั เขียนแทนดว้ ย (2n 1) n1

(2) อนุกรมอนันต์ (Infinite series) คือ ผลบวกของแต่ละเทอมของลาํ ดบั อนนั ต์ เช่น ถา้ n เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ บวก ให้ a1 , a2 , a3 , … , an , … เป็นลาํ ดบั อนนั ต์ จะได้  เป็นอนุกรมอนนั ต์ a1  a2  a3  ...  an  ...  an n1

ตวั อยา่ งอนุกรมอนนั ต์  1 = 1 1  1  ...  1  ... 2 3 n n1 n  1 (3)  32  (3)3  ...  (1)n13n1  ... 1 3  32  33  ...  (1)n13n1  ...  =(1)n13n1 n1 =

การเขยี นอนุกรมโดยใช้เครื่องหมาย  • เราสามารถเขียนอนุกรมไดใ้ นรูปของการใชเ้ ครื่องหมายแสดงผลบวก () นน่ั คือ • เม่ือ a1 + a2 + a3 + … + an เป็น อนกุ รมจาํ กัด เขียนแทนไดด้ ว้ ย n ak k 1 เช่น 2  22  23  . . .  26 6 2n n 1 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n1) + ... + 19 = 10  (2n 1) n 1

การเขยี นอนุกรมโดยใช้เครื่องหมาย  • เมื่อ a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็น อนุกรมอนันต์ เขียนแทนไดด้ ว้ ย  an n 1 เช่น  1  1 1  1  ...  1  ... 2 3 n n1 n   1 (3)  32  (3)3  ...  (1) 3n1 n1  ...  1 3  32  33  ...  (1)n13n1  ...  (1) 3n1 n1 n 1

บทนิยาม 10.2.1 ให้ {an} เป็นลาํ ดบั และ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ---------------------- Sn = a1 + a2 + a3 + … + an n  ak k 1 • จะเรียก Sn วา่ เป็นผลบวกย่อย (Partial Sum) ของ n เทอมแรก • เราเรียกลาํ ดบั S1, S2, S3, … = {Sn} วา่ ลาํ ดบั ของผลบวกย่อย (Sequence of Partial Sums)

บทนิยาม 10.2.2 ถา้ {Sn} เป็นลาํ ดบั ลู่เขา้ (Converge) ท่ีมีลิมิต เป็นจาํ นวน L หรือ lim Sn  L เราจะกล่าววา่ n • อนุกรม  an เป็นอนุกรมลู่เข้า (Convergent Series)  n 1 • และเรียก L วา่ ผลรวม (Sum) ของอนุกรม • เขียนแทนดว้ ย  a1  a2  a3  ...  an  ...  an  L n 1

บทนิยาม 10.2.3 ถา้ {Sn} เป็นลาํ ดบั ไม่ลู่เขา้ (Diverge) ท่ีมี lim Sn  หรือ  หรือแกวง่ เราจะกล่าววา่ n • อนุกรม  เป็นอนุกรมไม่ลู่เข้า (Divergent Series)  an n 1 • นนั่ คือ   a1  a2  a3  ...  an  ...   an แกวง่ n 1

ตวั อย่าง 10.2.1 จงพิจารณาวา่ อนุกรมต่อไปน้ีเป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 1. 1 n 1 (2n 1)(2n  3) วธิ ีทาํ ตอ้ งหา Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ก่อน เนื่องจาก an  1 แยกเป็นเศษส่วนยอ่ ย (2n 1)(2n  3)

ตวั อย่าง 10.2.1 (ต่อ)

ตวั อย่าง 10.2.1 จงพิจารณาวา่ อนุกรมต่อไปน้ีเป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือไม่ลู่เขา้ 2.  ln  n n 1  n 1   วธิ ีทาํ ตอ้ งหา Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ก่อน เน่ืองจาก an  ln  n n 1    

10.3 อนุกรมเรขาคอณนุกิตร(มGเeรoขmาคeณtriิตc Series) รูปทวั ไปของอนกุ รมเรขาคณิต คือ  a  ar  ar2  ar3  ...  ar n1  ...  ar n1 n1 เม่ือ a แทน เทอมที่ 1 (เทอมแรก) r แทน อตั ราส่วนร่วม (Common Ratio) ซ่ึง

อนุกรมเรขาคณติ (Geometric Series) ตวั อยา่ งอนุกรมเรขาคณิต 2  4  8  ...  2n  ... มี a = 2 และ r = 2 1  x  x 2  ...  x n1  ... มี a = 1 และ r = x 1  1  1  ...  (1) n1 1 + ... มี a= భ และ r= - భ 2 4 8 2n మ మ

ทฤษฎบี ท 10.2.4 • ให้  เป็ นอนุกรมเรขาคณิต และ a0  arn1 n 1 (1) ถา้ | r | < 1 แลว้ อนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลรวมเป็ น a 1 r (2) ถา้ | r | ≥ 1 แลว้ อนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมไม่ลู่เข้า นน่ั คือหาผลรวมไม่ได้

ตวั อย่าง 10.2.2 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า (1) 1 + 3 + 9 + 27 + … วธิ ีทาํ

ตวั อย่าง 10.2.2 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า (2) 1 1  1  ...  1  ... 5 52 5n วธิ ีทาํ

ตวั อย่าง 10.2.2 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า   2  n 1 n 1  3  (3)  วธิ ีทาํ

ตวั อย่าง 10.2.2 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า (4)  3   5 n1 n 1  4  วธิ ีทาํ ดงั น้นั จึงเป็นอนุกรมไม่ลู่เขา้

อนุกรม p (p-Series) • รูปทวั่ ไปของอนุกรม p คือ 1  1  1  ...  1  ...   1 2p 3p np n 1 np 1p เม่ือ p เป็นจาํ นวนจริง • เช่น 1 1  1  ...  1  ... 2 3 n 1  1  1  ...  1  ... 23 n

ทฤษฎบี ท 10.2.5 • ให้  1 เป็นอนุกรม p n 1 np (1) ถา้ p > 1 อนุกรม p จะเป็นอนุกรมลู่เข้า (2) ถา้ p  1 อนุกรม p จะเป็นอนุกรมไม่ลู่เข้า

ตวั อย่าง 10.2.3 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า 1.  1 n 1 n3 วธิ ีทาํ

ตวั อย่าง 10.2.3 อนุกรมต่อไปนี้ เป็ นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ลู่เข้า  2. 5 n n 1 วธิ ีทาํ

การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรม ในการตรวจสอบการลู่เขา้ ของอนุกรม อาจทาํ ไดห้ ลายวธิ ี แบ่งออกเป็น 2 ลกั ษณะใหญ่ๆ คือ • การหาผลรวมโดยตรง โดยการหา lim Sn • การใชท้ ฤษฎีในการตรวจสอบ n ต่อไปน้ีจะเป็นทฤษฎีในการตรวจสอบการลู่เขา้ ของอนุกรม ซ่ึงมีหลาย ทฤษฎีดว้ ยกนั แต่ในวชิ าน้ีจะขอกล่าวถึงเพียง 2 ทฤษฎีเท่าน้นั

ทฤษฎบี ท 10.2.6 การตรวจสอบการไม่ลู่เข้าโดยเทอมท่ี n (Divergent Test) กาํ หนดให้  เป็ นอนุกรม  an n 1  ถา้ lim a n  0 n  หรือ lim a n หาค่าไม่ได้ n แลว้ จะไดว้ า่  เป็นอนุกรมไม่ลู่เขา้ (Divergent series)  an n 1

ตวั อย่าง 10.2.4 จงพิจารณาวา่ อนุกรมต่อไปน้ี เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือไม่  1.  n n 1 วธิ ีทาํ