บทที่6อนุพันธ์ของเวกเตอร์

บทที 6 อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั เชงิ เวกเตอร์ (Derivative of vector function) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

หวั ขอ้ บรรยาย ฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ของตวั แปรเดยี ว ลมิ ติ ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ อนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ตวั ดาํ เนินการเดล เกรเดยี นต์ ไดเวอร์เจนซ์ และเคริ ์ล

6.1 ฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ของตวั แปรเดยี ว บทนิยามที่ 6.1 ให้ และ เป็นฟังกช์ นั ของตวั แปร t และมีเวกเตอร์ F กาํ หนดโดย F(t)  f1(t)i  f2 (t)j  f3(t)k เม่ือโดเมน t ของ F คืออินเตอร์เซคชนั ของโดเมน t ของ f1 , f2 และ f3 เราเรียก F หรือ F(t) วา่ ฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ โดยเรียก f1(t) , f2(t) และ f3(t) วา่ เป็น องคป์ ระกอบของฟังกช์ นั (component functions)

การดาํ เนินการของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ เม่ือ F(t) และ G(t) เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ใดๆ และ (t) เป็นฟังกช์ นั สเกลาร์ จะไดว้ า่ (1) (t)F(t) (ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์) (2) F(t) G(t) (ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์) (3) F(t)G(t) (ผลลพั ธ์เป็นสเกลาร์) i j k (ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์) (4) F(t)G(t)  x1(t) y1(t) z1(t) x2(t) y2(t) z2(t)

ตวั อย่างท่ี 6.1.1 กาํ หนดให้ (t)  t2  2t  3 , F(t)  ti  t2j  3k และG (t)  t( i  j  k) จงหา (1) (t)F(t) (2) F(t)G(t) (3) F(t)G(t) (1) (t)F(t) (2) F(t)G(t)

ตวั อย่างที่ 6.1.1 กาํ หนดให้ (t)  t2  2t  3 , F(t)  ti  t2j  3k ตอ่ และ G (t)  t( i  j  k) (3) F(t)G(t)

6.2 ลมิ ติ ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ บทนิยาม 6.2.1 ให้  เป็ นฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ลมิ ติ ของฟังก์ชัน F(t) เชิงเวกเตอร์ เม่ือ ta ซ่ึงถ้าหาค่าได้แล้ว จะมคี ่าเท่ากบั เวกเตอร์ค่า คงตวั ค่าหนึ่ง ถ้าเวกเตอร์ค่าคงตวั คือ m แล้วจะเขยี นลมิ ติ ของฟังก์ชันเชิง  เวกเตอร์ F(t) แทนด้วย   m lim F(t) ta

6.2 ลมิ ติ ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ จาก   f1(t) ˆi  f2 (t) ˆj  f3 (t) kˆ F(t) จะได้ lim   [ lim f1 ( t )] ˆi  [ lim f2 ( t )] ˆj  [ lim f 3 ( t )] kˆ F(t) t a t a t a t a กต็ อ่ เมอื lim f1(t) , lim f2 (t) และ lim f3 (t) หาค่าได้ t a t a t a

ทฤษฎบี ท 6.1 ถา้ tlima    ,  และ tlima (t)  k F(t) จะไดว้ า่ m tlima G(t)  n (1)    k  tlima (t)  F(t)  tlima (t)  tlima F(t) m     (2) tlima[F(t)  G(t)]  tlima F(t)  tlima G(t)]  mn (3)     tlima[F(t)  G(t)]  tlima F(t)  tlima G(t)  mn (4)      tlima[F(t)  G(t)]  tlima F(t)  tlima G(t)  mn

ตวั อย่างท่ี 6.2.1 จงหาค่าของ tlim1F(t) เม่ือกาํ หนด F(t)  t3i  e2t j 3cos(3t  3) k

ตวั อย่างท่ี 6.2.2 กาํ หนดให้ A (t)  2 cos t i  2sin t j  3t k B(t)  t2i  t j  5 k จงหา tlim0[A(t)  B(t)]  ˆi ˆj kˆ A(t)  B(t)  2sin t 3t 2cos t 5 t2 t  ˆi 2sin t 3t  ˆj 2cos t 3t  kˆ 2cos t 2sin t t 5 t2 5 t2 t  (10sin t  3t2 ) ˆi  (10cos t  3t2 ) ˆj  (2t cos t  2t2 sin t) kˆ    10ˆj lim[A(t)  B(t)]  t0

6.3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ บทนิยามที่ 6.3.1 ฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์F(t) ต่อเน่ืองที่ t = c เมื่อเงื่อนไขต่อไปน้ีเป็ นจริ ง  1. F(c) หาค่าได้ 2.  หาค่าได้ tlimc F(t) 3.   tlimc F(t)  F(c)

ตวั อย่างที่ 6.3.1 จงแสดงวา่ F(t)  sin ti  cos tj  tk ต่อเนื่องท่ีจุด t =  หรือไม่

6.4 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ เมื่อ  เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ใดๆ จะไดว้ า่ “อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันเชิง F(t) เวกเตอร์” เขียนแทนดว้ ย  F(t) หรือ d  dt F(t) นิยามเหมือนกบั อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ค่าจริงทวั่ ๆไป นน่ั คือ d   ltim0   t)   เม่ือลิมิตหาค่าได้ dt F(t) F(t t F(t)

ทฤษฎบี ท 6.4.2 ถา้ F(t)  f1(t)i  f2 (t)j  f3(t)k เป็ นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ท่ีหาอนุพนั ธ์ได้ และ f1 (t) , f2 (t) และ f3 (t) เป็นฟังกช์ นั เชิงสเกลาร์ของ t ที่สามารถหาอนุพนั ธ์ได้ แลว้ d F (t)  d f1 ( t )i  d f2 (t)j  d f3 (t)k dt dt dt dt

ตวั อย่างท่ี 6.4.1 กาํ หนดให้ x(t)  e2t , y(t)  sin3t 4  t2  และ z(t)  จงหาฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ F(t) และอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ที่ t = 0

สูตรอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันเชงิ เวกเตอร์ ถา้  และ H (t)เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ที่หาอนุพนั ธ์ได้ F(t), G(t) (t) เป็นฟังกช์ นั สเกลาร์ของ t ที่หาอนุพนั ธ์ได้ และ c เป็น เวกเตอร์คงตวั 1. d c  0 dt 2. d   d  d  dt [F(t)  G(t)] dt F(t)  dt G(t) 3. d       d     d  dt [F(t) G(t)] F(t) dt G(t) G(t) dt F(t)

สูตรอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันเชงิ เวกเตอร์ (ตอ่ ) 4. d     d   d  dt [F(t)  G(t)] F(t) dt G(t) dt F(t)  G(t) 5. d   (t) d    d (t) dt [(t)F(t)] dt F(t) F(t) dt 6. d       dt [F(t) G(t) H(t)] d         d        )  d  dt F(t) G(t) H(t) F(t) dt G(t) H(t) F(t) G(t dt H(t) d   dt F(t) [G(t)  H(t)]  7.  d       [ d         d  dt F(t) [G(t) H(t)] F(t) dt G(t) H(t)] F(t) [G(t) dt H(t)]

ตวั อย่างท่ี 6.4.2 กาํ หนดให้ (t)  t2  5 , F(t)  ti  t2j 3k และ G (t)  ti  sin tj  et k จงหา 1. ddt [(t)F(t)] 2. ddt [F(t)  G(t)]

ตวั อย่างที่ 6.4.2 กาํ หนดให้ (t)  t2  5 , F(t)  ti  t2j 3k ตอ่ และ G (t)  ti  sin tj  et k จงหา 3. ddt [F(t)  G(t)]

ตวั อย่างที่ 6.4.2 กาํ หนดให้ (t)  t2  5 , F(t)  ti  t2j 3k ตอ่ และ G (t)  ti  sin tj  et k จงหา 4. ddt [F(t) G(t)]  ˆi ˆj kˆ t2 3 F(t)  G(t)  t t sin(t) et  t2 3 ˆi  t 3 ˆj  t t 2 kˆ sin(t) et t et t sin(t)  (t2et  3sin(t)) ˆi  (tet  3t)ˆj  (t sin(t)  t3 ) kˆ

ตวั อย่างที่ 6.4.3 กาํ หนดให้ A (t)  e2t i  e3t j จงแสดงวา่ A //(t)  6A(t)  5A / (t)

6.5 อนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ เม่ือ F(x,y,z)  f1(x,y,z)i  f2 (x,y,z)j  f3(x,y,z)k เป็ นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ ของต–––วั กกออกอแานนนาาปํํํ หหหพุุพุพรนนนันันันxดดด,ธธธโโโy์์์ยยยดดด,่่่อออแยยยยยยลขขขะอออzงงงFzฟฟฟFyหxFััังงงากกกอ์์์ชชชนััันนนFุพFFเเเชชชนxyัzิิิงงงธเเเ์ยวววอ่กกกยเเเตตตขออออรรรง์์์ ฟFFังกFช์ นัเเททเเชทียียิบงีบยเบกวกกับกับเับตxzอy ร ์ ไดด้ งั น้ี

6.5 อนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ เช่น  F F  (2x  y)i  (xz)j  (y  z)k x  F  yF  y

6.5 อนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ F(x,y,z) เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ของ x , y and z เขียนแทนดว้ ย F(x, y, z)  f1(x, y, z)i  f2 (x, y, z)j  f3 (x, y, z)k หรือเขียนส้นั ๆ F  f1i  f2j  f3 k อนุพนั ธย์ อ่ ยของ F F เทียบกบั x คือ x  f1 i  f 2 j  f3 k x x x อนุพนั ธ์ยอ่ ยของ F เทียบกบั y คือ F  f1 i  f 2 j  f3 k y y y y อนุพนั ธย์ อ่ ยของ F เทียบกบั z คือ F  f1 i  f 2 j  f3 k z z z z

6.5 อนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ สัญลกั ษณ์ของอนุพนั ธ์ย่อยอนั ดบั สูง       2F  (F) Fxx 2F  Fy ) Fyy x 2  x x  y2  y (        2F  xF ) Fxy 2F  F Fyx yx  y (  xy  x ( y )     3F   xF )] Fxxy yx 2  y [ x ( 

สูตรอนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ถา้  และ  เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ท่ีหาอนุพนั ธ์ไดข้ อง x, y และ z  F G และ  เป็นฟังกช์ นั สเกลาร์ที่หาอนุพนั ธ์ไดข้ อง x, y และ z แลว้ 1.  ((((FFFF)GGG)))FFFxFxGxFGxGxGx  2. x F 3.  x 4.  x F   x G  x  x

ตวั อย่างท่ี 6.5.1 ถา้ F(x , y)  exyi  x(sin y)j จงหา 1. Fx 2. Fy 3.  2 F x 2

ตอ่ ถา้ F (x , y)  exyi  x(sin y)j ตวั อย่างที่ 6.5.1 จงหา ˆi ˆj kˆ  yexy 0 sin y 4. Fx  Fy xexy 0 x cos y  ˆi 0 sin y  ˆj yexy sin y  kˆ yexy 0 0 x cos y xe xy x cos y xe xy 0   (xyexy cos y  xexy sin y) ˆj

กิจกรรมตน้ ชวั่ โมง ส่งในอลั บ้มั กลุ่มไลน์ แบบฝึ กหัดบทที่ 6 ทาํ คนละ 1 ข้อ ให้เวลาทาํ 10 นาที ส่งในอลั บ้ัมช่ือ “ ทาํ ข้อตรงกบั วนั เกดิ ” ก่อนส่ง อยา่ ลืมเขียน รหสั ชื่อ นามสกลุ วนั อาทิตย์ ขอ้ 2 วนั จนั ทร์ ขอ้ 3 วนั องั คาร ขอ้ 4 วนั พธุ ขอ้ 5(5.1) วนั พฤหสั บดี ขอ้ 5(5.2) วนั ศุกร์ ขอ้ 5(5.4) วนั เสาร์ ขอ้ 5(5.5)

ทบทวนอนุพนั ธ์ย่อยของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ���⃑��� 5������ 2������ ������ ������̂ ������������������ ������̂ 4������ 3������������ ������

ตวั อย่างที่ 6.5.2 ถา้ (x, y, z)  xyz , F(x,y,z)  x2i  y2j z2k  และ G(x,y,z)  xyi  yzj  xzk จงหา 1. x (F) at point (1,1,2)

ตวั อย่างท่ี 6.5.2 ถา้ (x, y, z)  xyz , F(x,y,z)  x2i  y2j z2k  และ G(x,y,z)  xyi  yzj  xzk จงหา 2. y (F  G )

ตวั อย่างท่ี 6.5.2 ถา้ (x, y, z)  xyz , F(x,y,z)  x2i  y2j z2k  และ G(x,y,z)  xyi  yzj  xzk จงหา 3. x2y (F  G )

ตวั อย่างท่ี 6.5.2 ถา้ (x, y, z)  xyz , F(x,y,z)  x2i  y2j z2k  และ G(x,y,z)  xyi  yzj  xzk จงหา 4. x2z (F G ) at point (1,2,0)  ˆi ˆj kˆ  ˆi y2 z2  ˆj x2 z2  kˆ x2 y2 FG  x2 y2 z2 yz xz xy xz xy yz xy yz xz   (xy2z  yz3 ) ˆi  (x3z  xyz2 )ˆj  (x 2yz  xy3 )kˆ FG

6.6 ตวั ดาํ เนินการเดล เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนตแ์ ละเคิร์ล ตวั ดาํ เนินการเดล (Operation del) เป็นตวั ดาํ เนินการเชิงอนุพนั ธเ์ วกเตอร์ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ อ่านวา่ เดล (del) หรือเนปรา (nebla) กาํ หนดโดย   i   j   k  x y z

6.6 ตวั ดาํ เนินการเดล เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนตแ์ ละเคิร์ล เกรเดยี นต์ (Gradient) บทนิยาม 6.6.1 ถา้ (x, y, z) เป็นฟังกช์ นั สเกลาร์ 3 ตวั แปร ซ่ึงมีอนุพนั ธ์ยอ่ ย ณ จุด (x, y, z) แลว้ เกรเดียนตข์ องฟังกช์ นั  เขียนแทนดว้ ย grad  หรือ  กาํ หนดโดย grad     i   j   k     x y z    i   j   k  x y z

ตวั อย่างที่ 6.6.1 ถา้ (x, y,z)  x2  xz  y 2  yz แลว้ จงหา grad ท่ีจุด (1,1,3) จาก grad      ˆi   ˆj   kˆ x y z  (2x  z)ˆi  (2y  z)ˆj  (x  y)kˆ ทจ่ี ุด (1, 1, 3) จะได้ grad   (2  3)ˆi  (2  3)ˆj  (11)kˆ  5ˆi  5ˆj  2kˆ

ตวั อย่างที่ 6.6.2 กาํ หนดให้ f (x, y)  arc tan(2xy) จงหา grad f ท่ีจุด (1,3) จาก grad f  f ˆi  f ˆj x y   (arctan(2xy))ˆi   (arctan(2xy))ˆj x y  1  (2xy) ˆi  1  1 2  (2xy) ˆj 1  (2xy)2 x (2xy) y  2y ˆi  1  2x y2 ˆj 1 4x2y2 4x2 ทจ่ี ุด (-1, 3) จะได้ grad f  1 6 ˆi  1  2 ˆj  6 ˆi  2 ˆj  36  36 37 37

อนุพนั ธ์ระบุทิศทาง (Directional Derivatives) ณบท.จนุดิย(าxม, y6,.6z.)2แถลา้ ว้ อน(xุพ, นyั ,ธz์ร)ะเบป็ุทนิศฟทังกางช์ ขนั อสงเกลใานร์ขทอิศงท3างตเดวั แียวปกรบั ซ่ึงAมีอคนือุพนั ธ์ยอ่ ย ผเดลียควูณกบัจุดA(Dถoาt้ ใPหroเ้ วdกucเตt)อรระ์หหนว่ึงา่ หงนg่วrยaใdนทิศทแาลงเะดเวียกวกเตบั อรA์หนค่ืึองหuˆน่วยใAน ทิศทาง A นนั่ คือ อนุพนั ธ์ระบุทิศทางของ  ในทิศทางเดียวกบั A เท่ากบั (grad )  u เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Duˆ     uˆ

อนุพนั ธร์ ะบุทิศทาง (Directional Derivatives) ข้นั ตอนการหาอนุพนั ธ์ระบุทิศทาง : 1. หา grad  2. หาเวกเตอร์หน่ึงห(นg่วrยaใdนท)ิศทาuงเดียวกบั A คือ u 3. หาผลคูณจุด คือ

ตวั อย่างที่ 6.6.3 จงหาอนุพนั ธ์ระบุทิศทางของ (x,y,z)  x cos y  ze x  ทีจดุ (0, 2 ,2) ในทิศทางเดียวกบั A  2ˆi  ˆj  2kˆ

ไดเวอร์เจนต์ (Divergence) บทนิยาม 6.6.3  y, z)  f1i  f2 j  f3 k เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ ซ่ึงมี F(x, อนุพนั ธ์ยอ่ ย ณ จุด (x, y, z) แลว้    F F ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์ F เขียนแทนดว้ ย div หรือ กาํ หนดโดย div F   (  i   j   k )  (f1i  f2 j  f3 k )  F x y z  f1  f2  f3 x y z

ไดเวอร์เจนต์ (Divergence) • ข้อสังเกต   F F  เพราะ   f1  f 2  f3 F x y z แต่   f1   f2   f3  เป็ นเพยี งสัญลกั ษณ์เท่าน้ัน F x y z ยงั ไม่สามารถหาอนุพนั ธ์ย่อยของแต่ละตวั ได้

ตวั อย่างท่ี 6.6.4 ถา้  y, z)  x 2 zi  2y3zj  x2 cos(yz)k จงหา  F(x, div F

ตวั อย่างที่ 6.6.5 ถา้ (x, y, z) = 3x2y2 + yz2 ถา้ จงหาไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนตข์ องฟังกช์ นั 

หมายเหตุ 2  2  y22  z22 x 2 2 เรียกวา่ ตวั ดาํ เนินการลาปาเซียน (Laplacian Operator) ใช้ กระทาํ กบั เวกเตอร์ได้ 2 2 2 2  x 2  y 2  z 2 ถา้ 2  = 0 จะเรียกวา่ สมการลาปลาซ (Laplace Equation) โดย จะเรียกฟังกช์ นั วา่ ฟังกช์ นั ฮาร์มอนิก (Harmonic Function)

ตวั อย่างที่ 6.6.6 กาํ หนดให้(x, y,z)  2x3z 12x2y  4y 3  2xz 3 จงหา 2  แลว้ พจิ ารณาวา่ เป็นฟังกช์ นั ฮาร์มอนิกหรือไม่

เคริ ์ล (Curl)  บทนิยาม 6.6.4 ถา้ F(x, y, z)  f1ˆi  f2ˆj  f3kˆ เป็นฟังกช์ นั เชิง เวกเตอร์ ซ่ึงมีอนุพนั ธย์ อ่ ย ณ จุด (x, y, z) แลว้ เคิร์ลของเวกเตอร์   F F เขียนแทนดว้ ย  หรือ  กาํ หนดโดย curl F  i j k F  F  curl    x y z f1 f2 f3  ( f3  f2 )i  ( f3  f1 )j  ( f2  f1 )k y z x z x y

ตจงวั หอาย่าcงuทrี่ 6lF.6.7 ถา้ F(x, y, z)  x3yz2i  x2y2z2 j  x2yz3 k ที่จุด (1,1,1)  ˆi ˆj kˆ curl F    F     x y z x 3 yz2 x2y2z2 x 2yz3    z ˆi  x z ˆj  x y kˆ  y x3yz2 x2yz3 x 2y2z2 x 2yz3 x3yz2 x 2y2z2