Lecture บทที่6อนุพันธ์

อนพุ นั ธ์และบทประยกุ ต์ (Derivative and Its Application) บรรยายโดย: ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

หวั ข้อบรรยาย นยิ ามอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั สญั ลกั ษณ์ของอนุพันธ์ การหาอนพุ นั ธ์โดยใชส้ ตู ร เทคนิคการหาอนุพันธ์ การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์

นิยามอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน กาํ หนด y = f(x) อนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน f ที่ x หรอื อนพุ ันธ์ของ y เทยี บกบั x สัญลกั ษณ์ : f(x) ซึง่ มีค่า ดังน้ี f(x)  im f(x  h)  f(x) เมื่อลิมิตหาคา่ ได้ h h0

ตวั อย่าง 1 : ถ้า f(x) = x2 จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั f(x)

ตวั อยา่ ง 2 : ถา้ f(x) = 2x2 +16x+3 จงหา f(x)

สัญลักษณ์ของอนุพันธ์ สัญลกั ษณ์ของอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั y = f(x) • y , f (x) เม่ือต้องการหาค่าอนพุ ันธ์ของ f ที่ จุด x = a จะแทนด้วยสัญลกั ษณ์ • ddx (y) , dy • f (a) ddx f(x) dx df(x) dy • , dx • dx x  a • Dxy • Dx[f(x)]

การหาอนพุ ันธ์โดยใชส้ ตู ร สตู รการหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันพชี คณติ 1.   ddx (c)  0 2.   ddx (x)  1 4. d dx (cu)  c ddx (u) 3.  ddx (xn )  nxn1 5.  ddx (u  v  w )  ddx (u)  ddx (v)  ddx (w )

ตวั อย่าง 3 : จงหาค่าในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 2) ddt (t)  4) ddx (x)  1) ddx (100)  3) ddx (3x)  6) ddx ( 8x )  5) ddx (54x )  7) ddx ( 2x)  8) ddx (x) 

ตัวอย่าง 3 : จงหาค่าในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 9) ddx (t)  10) ddx (e)  11) ddx (x3 )  12) ddx ( x1)  14) ddx (4 x3 )  13) ddx ( x ) 

ตัวอยา่ ง 4 : จงหา f(x) ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 5.  ddx (u  v  w )  ddx (u)  ddx (v)  ddx (w ) 4.1) f(x) = 3x4 - 2x3 + x2 + 5 4.2) f(x)  8x3  1  2 3x5

ตัวอยา่ ง 4 : จงหา f(x) ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 4.4 f(x)  x  14 8 4 x3 7x 4.3 f(x)  2x4 x32x2  1

ตวั อยา่ ง 4 : จงหา f(x) ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 4.5 f(x)  x2 (x  3)2

การหาอนุพนั ธโ์ ดยใช้สตู ร สตู รอนพุ ันธ์ของผลคูณและอนพุ ันธ์ของผลหาร (Product and Quotient Rules) 1.  ddx (u  v)  u ddx (v)  v ddx (u) 2.   ddx (uv)  v ddx (u)  u ddx (v) v2

ตวั อยา่ ง 5 : จงหาอนพุ ันธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี ddx (u  v)  u ddx (v)  v ddx (u) 5.1 f(x)  3 x2 (2x  1)

ตวั อยา่ ง 5 : จงหาอนพุ ันธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ddx (u  v)  u ddx (v)  v ddx (u) 5.2 f(x)  (6x3  x)(2  x3 )

ตวั อย่าง 5 : จงหาอนพุ ันธ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี ddx (uv)  v ddx (u)  u ddx (v) v2 5.3 f(x)  x2x 1 เม่อื x = 2

ตวั อยา่ ง 5 : จงหาอนพุ ันธใ์ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี ddx (uv)  v ddx (u)  u ddx (v) v2 5.4 f(t)  2  5tt2 2t3

การหาอนุพันธโ์ ดยใชส้ ตู ร สูตรอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันยกกาํ ลังด้วยจาํ นวนจริง ddx(u)n  nun-1 ddx(u)

ตัวอย่าง 6 : จงหาอนุพนั ธใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ ddx(u)n  nun-1 ddx(u) 6.1 y  (2x3  3)6

ตัวอยา่ ง 6 : จงหาอนพุ ันธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ddx(u)n  nun-1 ddx(u) 6.2 y  (4x  3x4 )1/ 2

ตวั อย่าง 6 : จงหาอนุพนั ธใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี ddx(u)n  nun-1 ddx(u) 6.3 f(x)  (7x  x 2  3)6

ตวั อยา่ ง 6 : จงหาอนุพันธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี ddx(u)n  nun-1 ddx(u) 6.4 f(x)  (x2  2x  1)(2  x3 )2

การหาอนุพันธโ์ ดยใชส้ ูตร ทบทวนฟังกช์ นั ชี้กําลังและลอการิทมึ • ฟังกช์ ันช้ีกําลงั ฐาน a เช่น • ลอการิทมึ ฐาน a คือ y = ax, a > 0 , a1 y = loga x • ฟงั ก์ชันชก้ี าํ ลงั ฐาน e เชน่ • ลอการทิ มึ ธรรมชาติ คอื y = ex, e  2.71828… y = ln x ฟงั กช์ ันชก้ี ําลัง ฟงั ก์ชันลอการทิ ึม

การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร สูตรอนุพันธข์ องฟงั กช์ ันชี้กําลงั และลอการิทมึ 1.   ddx(eu)  eu ddx(u) 3.   ddx(loga u)  ul1na ddx(u) 2.   ddx(au)  au lna ddx(u) 4.   ddx(lnu)  u1 ddx(u)

ตวั อยา่ ง 7 : จงหาอนพุ ันธ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ ddx(eu)  eu ddx(u) 7.1 f(x)  7ex  2x2

ตัวอยา่ ง 7 : จงหาอนพุ ันธ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ ddx(eu)  eu ddx(u) 7.2 y  ex2 5x4

ตัวอยา่ ง 7 : จงหาอนพุ ันธใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 7.3 y  (e2x  2x)3

ตวั อย่าง 7 : จงหาอนุพันธใ์ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ ddx(au)  au lnaddx(u) 7.4 y  52x

ตวั อยา่ ง 7 : จงหาอนพุ ันธใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปนี้ ddx(lnu)  u1 ddx(u) 7.5 y  ln(5x2  7)

ตัวอยา่ ง 7 : จงหาอนุพนั ธ์ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี ddx(loga u)  ul1na ddx(u) 7.6 y  log5 (3x 2  4x)

ตัวอยา่ ง 7 : จงหาอนุพันธ์ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 7.7 y  ln(ex  3ex )

ทาํ การบา้ นอนพุ ันธ์โดยใชส้ ูตร ใน Classroom สปั ดาหท์ ่ี 11 สามารถทาํ ได้หลายคร้งั จนกว่า จะไดค้ ะแนนเต็ม

การหาอนุพนั ธโ์ ดยใชส้ ตู ร สตู รอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ 1.   ddx(sinu)  cosuddx(u) 4.   ddx(cotu)  -csc2 uddx(u) 2.   ddx(cosu)  -sinuddx(u) 5.  ddx(secu)  secutanuddx(u) 3.   ddx(tanu)  sec2uddx(u) 6.  ddx (csc u)  - cscu cot u ddx (u)

ตวั อย่าง 8 : จงหาอนุพนั ธ์ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี ddx(cotu)  -csc2 uddx(u) ddx(sinu)  cosuddx(u) 8.1 y  cot(6x)  5sin(x)cos(x) ddx(cosu)  -sinuddx(u)

ตัวอยา่ ง 8 : จงหาอนพุ ันธใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 8.2 y  sec2 (x) tan(x)

ตัวอยา่ ง 8 : จงหาอนุพนั ธใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 8.3 y  tan(cos x)

ตัวอยา่ ง 8 : จงหาอนุพนั ธ์ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 8.4 y  sin x  csc(x 2 )

เทคนิคการหาอนุพนั ธ์ (Techniques of Differentiation) กฎลกู โซ่ การหาอนุพันธ์โดยปรยิ าย การหาอนพุ ันธ์โดยลอการทิ ึม

กฏลกู โซ่ (Chain Rule) • ถ้า y = f(u) และ u = g(x) เป็นฟังก์ชันท่หี าอนพุ ันธไ์ ดท้ ่ี u และ x ดงั น้นั dy  ddyuddxu dx

ตวั อย่าง 9 : กาํ หนดให้ y  (1 u)4 และ u 1 จงหา dy x3 dx

ตวั อย่าง 10 : กําหนดให้ y  usin(3u) , u  ev และ v  2t จงหา dy dt

การหาอนพุ ันธโ์ ดยปริยาย (Implicit Differentiation) • ถ้าฟังก์ชนั ไม่สามารถเขียนในรปู y = f(x) เชน่ x3 + xy2 = y4 + 6 • หรอื ฟงั ก์ชนั ท่ีเขียนในรูป y = f(x) ไดม้ ากกวา่ หนง่ึ ฟงั ก์ชนั x2 + y2 = 4 • เปน็ การหาอนพุ นั ธ์ท่เี รียกวา่ อนุพนั ธโ์ ดยปรยิ าย เขียนสมการในรูป F(x, y) = 0 dy   FFxy หาอนุพันธโ์ ดยปรยิ าย ได้จากสูตร dx

ตวั อยา่ ง 11 : เมื่อ y = f(x) โดยท่ี x3  y2  4 จงหา dy dx

ตวั อยา่ ง 12 : กําหนดให้ ln(y)  ey  sin(x) จงหา dy dx

การหาอนพุ ันธโ์ ดยลอการทิ มึ (Logarithmic Differentiation) • ใช้เมอ่ื ฟงั กช์ ันอยใู่ นรูป y = f(x)g(x) วิธที ี่ 1 มีขนั้ ตอน ดังน้ี 1) ใส่ ln ทง้ั สองขา้ งของฟังกช์ ัน 2) หาอนุพนั ธ์ท้ังสองขา้ ง 3) แกส้ มการหาค่า dy dx 4) แทนคา่ y = f(x)g(x)

ตวั อย่าง 13 : กําหนดให้ y = (5x+1)x จงหา dy dx

ตวั อย่าง 14 : กําหนดให้ y  x5 x2 2 จงหา dy (110x) dx 

อนพุ นั ธ์อันดบั สงู (Higher Order Derivatives)

การหาอนุพนั ธอ์ นั ดบั สงู กําหนดให้ y = f(x) หาอนพุ นั ธ์คร้งั ทหี่ นง่ึ อนุพนั ธ์ของ y เทยี บ x คือ y หรอื f (x) หรือ dy dx ถา้ นาํ y หรือ f (x) มาหาอนุพนั ธค์ รั้งท่สี อง d2y dx 2 อนพุ ันธอ์ ันดบั สอง คือ y หรอื f (x) หรอื ถา้ นาํ y หรอื f (x) มาหาอนุพนั ธค์ รัง้ ทสี่ าม d3y dx 3 อนุพนั ธอ์ ันดับสาม คือ y หรือ f (x) หรอื

ตวั อยา่ ง 15 : ถ้า f(x) = (2x+4)3 จงหา f(x), f(0), f (2)